Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов

Уткин, Сергей Геннадьевич

Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Уткин, Сергей Геннадьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов»

Автореферат диссертации на тему "Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов"

На правах рукописи

Уткин Сергей Геннадьевич

Статистика и кинематика аномально-диффузионных

процессов

01.04.03 - Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Нижний Новгород, 2005

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского"

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Саичев Александр Иванович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Гавриленко Владимир Георгиевич Доктор физико-математических наук, профессор Музычук Олег Владимирович

Ведущая организация:

Нижегородский государственный технический университет, г. Н. Новгород

Защита состоится 22феьШЛ& 2006 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.ИЛобачевского по адресу: г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, д. 23, корп. ^ . ауд2 Р (

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан ! $■Жо^а^Л 2006 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета С/"") Черепенников В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы работы. Диффузионные процессы привлекают к себе неослабевающее внимание исследователей в различных областях науки. В последнее время интенсивно изучаются аномальные суб- и супердиффузия лучей и частиц в случайно-неоднородных и турбулентных средах. Высокий интерес к подобным процессам вызван несколькими причинами: во-первых, подобного рода задачи возникают на практике в самых различных областях науки и техники, во-вторых, физические явления, обусловленные теми или иными диффузионными процессами, имеют сходную природу, несмотря на различную специфику в каждом отдельном случае (напр. явление переноса и диффузия лучей в случайно-неоднородной среде). С математической точки зрения, уравнения, описывающие различные аномальные диффузионные процессы, а также способы их решения и анализа оказываются аналогичными. Рассматриваемому вопросу посвящена достаточно обширная литература физического, математического, биологического, экономического характера.

Довольно полное представление о состоянии развития исследований аномальной диффузии применительно к различным физическим задачам могут дать обзоры Мецлера, Клафтера1 и Учайкина2.

Metzler, Я The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / R Metzler, J Klafter // Physics Reports - 2000. - Vol. 339 - Pp. 1-77

2 Учайкин. В В Автомодельная аномальная диффузия ир itifl lining чщгппы f П В Учайкин // УФН-2003.-T 173,Л& 8.-С. 847-876. | рос. национальная^/

з | библиотека | гп—rttaid.V 1

о» mFTZL i ■л

ло инициировано Шером и Монтроллом в их описании дисперсионного переноса в аморфных полупроводниках, системе, для которой традиционные методы не работают. Их подход к непрерывным во времени случайным блужданиям очень отличался от его броуновского аналога и был призван объяснить многие физические явления. В 1970-е годы Татарский, Кравцов, Рытов, Апресян и Кляцкин3 подошли к аномально-диффузионным и близким к ним явлениям при исследовании диффузии и рассеяния лучей и волн в статистически неоднородных, слоистых и турбуленьных средах средах, используя различные методы, такие как решение стохастических дифференциальных уравнений, метод возмущений, теория многократного рассеяния волн и др.

Сегодня диапазон разнообразных явлений физической, биологической и другой природы, проявляющих аномальный характер, довольно широк и постоянно растет. В числе прочих, следующие системы носят субдиффузионный характер: перенос носителей заряда в аморфных полупроводниках, диффузиометрия ядерного магнитного резонанса в фильтрующих и пористых системах, динамика полимеров, геометрия фракталов.

Супердиффузия и статистика Леви наблюдается в специальных видах вихревых потоков, коллективной скользящей диффузии на твердых поверхностях, полупроводниках, турбулентной диффузии, наблюдавшейся еще Ричардсоном, квантовой оптике, контролируемой динамике объемно-поверхностного взаимодействия жидкостей и пористого стекла, переносе в системах мицелл (биол.), в движении бактерий.

Аномальная диффузия в присутствии или отсутствии внешнего поля скоростей или силы моделировалась различными способами, такими как: дробное броуновское движение, введенное Мандельбротом, обобщенные уравнения диффузии, модели непрерывных во времени случайных

1 См. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику / С.М Рытов, Ю. А.Кравков, В И.Татарский -М:Наука, 1978.463с. и библиографию.

блужданий, уравнения Ланжевена, обобщенные уравнения Ланжевена, обобщенные кинетические уравнения, стохастические уравнения переноса волн в хаотических средах, теория многократного рассеяния волн, обобщенная термодинамика и статистика.

Для аномальной диффузии, только некоторые из перечисленных подходов учитывают память системы и специфическую форму, ожидаемую для функции плотности вероятностей. Недостатком же их является отсутствие прямого пути учета случайных силовых полей, проблемы постановки граничных условий, или анализа динамики в фазовом пространстве.

В последние годы было опубликовано большое число работ на тему дробных уравнений релаксации, дробных диффузионных уравнений, дробных диффузионно-сдвиговых уравнений и дробных уравнений Фоккера-Планка, в которых были задействованы различные обобщения дробного порядка. Иными словами, были введены новые дробные операторы для замены временной или пространственной производных или их обеих.

Цель работы. Сконструировать некоторые модельные процессы аномальной диффузии и проанализировать их вероятностные свойства. Построить модели аномально субдиффузионных и супердиффузионных случайных процессов, вероятностные распределения которых удовлетворяют диффузионным уравнениям в частных дробных производных. Описать типичные диффузионные процессы случайных блужданий частицы с постоянной скоростью между столкновениями.

Научная новизна. Основываясь на асимптотических свойствах характеристической функции различных аномально-диффузионных процессов, получены их статистические характеристики, а также выведены макроскопические уравнения, описывающие их кинетику. Сконструирован вспомогательный процесс "дробного сноса", при помощи которого удается решить выведенные уравнения дробной диффузии. Показано, что процессы, подчиняющиеся на больших временах классическому закону диффузии, на малых временах, могут иметь аномально диффузионный характер.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Теоретические и численные результаты представленной работы могут быть использованы и применяются для анализа диффузионных процессов и явлений различной физической, биологической и экономической природы. К примеру, при анализе относительной диффузии лучей в случайно-неоднородных средах, при конструировании полупроводниковых приборов, где из-за неэкспоненциального распределения времени нахождения носителя в ловушке диффузия приобретает аномальный характер, при анализе квантового хаоса и стохастического поведения га-мильтоновых систем, при описании относительной диффузии частиц примеси в условиях сильной турбулентности, для статистического анализа во-латильности биржевых операций с ценными бумагами и т.д.

Положения, выносимые на защиту:

1. Сконструированы модельные процессы аномальной диффузии, помогающие понять природу аномальной субдиффузии и супердиффузии. Решено дробное диффузионное уравнение при помощи сконструированного в диссертации процесса "дробного сноса".

2. Произведен ряд обобщений классических процессов и уравнений

на дробный порядок, а также аномального диффузионного процесса на многомерный случай. Сделан вывод о наличии статистической зависимости между координатами аномального диффузионного процесса в пространстве.

3. Введено модельное обобщенное дробно-экспоненциальное распределение, при помощи которого прослежен переход аномальных диффузионных процессов к классическому нормальному виду.

4. На примере процесса со скачкообразным изменением ускорения продемонстрировано возникновение супердиффузии даже в случае быстро спадающего распределения интервалов между скачками.

Апробация работы. Результаты проделанной работы были доложены на:

1. XI школе "Нелинейные волны'2002" (Нижний Новгород, 2002)

2. XV сессии Российского акустического общества (Нижний Новгород, 2004)

3. Международной конференции "Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics II" (Gran Canaria, 2004)

4. Международном юбилейном симпозиуме "Актуальные проблемы науки и образования - 2003" (Пенза, 2003)

5. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004)

6. Седьмой и восьмой научных конференциях по радиофизике (Нижний Новгород, 2003-2004)

7. VIII и IX Нижегородских сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 2003; Саров, 2004)

Личное участие автора. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем, профессором А.И. Саичевым. Проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором са-

мостоятельно.

Достоверность результатов. Достоверность представленных в диссертации результатов проверялась путем сравнения решений задач различной природы, полученных различными способами, а также сопоставлением с частными случаями, точное решение для которых можно получить в аналитическом виде. Результаты хорошо согласуются друг с другом и с результатами, полученными другими авторами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 6 статей в центральных российских реферируемых журналах, статья в нереферируемом журнале и 9 трудов и тезисов международных и российских конференций.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из трех глав, введения, заключения, трех приложений, 21 рисунка, содержит 127 страниц текста, включая оглавление и список литературы из 126 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, приводится обзор литературы по проблематике диссертации и история развития изучения диффузионных и аномально-диффузионных явлений. Описывается структура диссертации, определяются положения, выносимые на защиту.

В первой главе вводятся основные понятия дробно-диффузионного анализа, характерные распределения и процессы, являющиеся базовыми для всей диссертации. В параграфе 1.1, 1.2 на основе теории безгранично-делимых процессов вводится ключевой элемент в построении процессов аномальной диффузии - случайное время, зависящее от непрерывного аналога числа эле-

ментарных событий. При анализе аномальной диффузии используется так называемое ^-устойчивое время, то есть безгранично делимая функция, обладающая устойчивым материнским распределением с дробным параметром р.

/Лт)--^—г"'Л 0<В< 1

При помощи специальных функций Митгаг-Лефлера выводится выражение для распределения случайного времени бДг), проводится анализ его вероятностных свойств.

Параграф 1.3 посвящен изучению статистических свойств непрерывного во времени аномально-диффузионного процесса. Изучается безгранично-делимый процесс, зависящий от непрерывного аналога случайного числа событий. При помощи характеристической функции выведено дробное диффузионное уравнение для его функции плотности вероятностей. Решение полученного уравнения удается найти используя исследованную в предыдущем параграфе функцию ) (графики приведены на рис.1).

Рисунок 1 Графики функции при различных значениях параметра /?.

В параграфе 1.4 вводится модельный процесс "дробного сноса". Так назван простейший случайный процесс, пропорциональный (непрерывному) числу элементарных событий, призошедших к текущему моменту времени л Выяснено, что его моменты растут по степенному закону с дробными показателями.

\ '' Г(пв +1)

Г(и/? + 1)

Далее описан непрерывный субдиффузионный процесс, выведены уравнения для его плотности вероятностей, решение которого найдено при помощи описанного процесса "дробного сноса".

Параграф 1.6 вводит понятие аномального случайного блуждания, поскольку в приложениях характерны процессы, скачком меняющие значение в случайные значения времени, а до этого в диссертации рассматривались лишь непрерывные процессы. На основе различных статистик случайных интервалов между скачками блуждающей частицы выводятся уравнения для характеристической функции процесса. Далее обсуждаются вероятностные свойства аномального случайного блуждания. На примере среднего квадрата продемонстрировано, что подобные процессы могут иметь различное асимптотическое поведение на разных временах (см. рис.2).

Рисунок 2 Повеление среднего квадрата при Э=1/2, построенное в логарифмическом масштабе Прямыми линиями ибображены ее линейная на больших временах и субдиффузионная (л/г ) асимптотики.

В параграфах 1.8 и 1.9 обобщаются на дробный порядок такие широко используемые в теории случайных процессов уравнения, как уравнение Колмо-горова-Феллера и уравнение Ланжевена. Обобщения получаются для стационарного потока времен наступления элементарных событий, удовлетворяющего устойчивому распределению. Для процесса, удовлетворяющего уравне-

шло Ланжевена

где г\п - гауссовы независимые величины, выводятся некоторые стационарные характеристики, такие как средний кватрат, четвертый момент и эксцесс. В конце параграфа, на основании неравенства нулю эксцесса, делается вывод о негауссовости стационарного решения уравнения Ланжевена, несмотря на то, что величины скачков г\п имеют нормальное распределение.

В параграфе 2.1 рассматриваются одномерные субдиффузионные процессы. Ключевым понятием всей главы является обобщенное дробно-экспоненциальное распределение. Его Лаплас образ выглядит следующим образом:

и'р +(з + о)р

параметры \/м> и 1/5 имеют размерность времени. Если величина 5 мала настолько, что интервал между 1/и> и 1/<5 достаточно велик, то становятся возможными два варианта асимптотического поведения случайного процесса: нормальный и аномальный.

На основе упомянутого распределения удалось получить переходные диффузионные уравнения для различных временных асимптотик. Найдены решения выведенных уравнений. Производится сравнение асимптотических аналитических результатов с точными численными решениями. Решения достаточно хорошо сходятся. Также продемонстри-

рован и переход среднего квадрата процесса от аномальной асимптотики к линейной.

Далее, на основе уравнения Ланжевена, конструируется обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека.

т т А

Как известно, обычный процесс Орнштейна-Уленбека - это самый общий нормальный марковский процесс, описывающий поведение частицы, совершающей броуновское движение под действием внешней упругой силы. Характерной его особенностью является то, что он может быть легко преобразован в винеровский процесс, описываемый классическим уравнением диффузии. В сконструированном процессе скорость скачком изменяет свое значение на случайную, нормально распределенную величину щ. Несмотря на это, обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека уже не будет ни нормальным, ни марковским из-за неэкспоненциального распределения интервалов между скачками скорости. С другой стороны, при приближении параметров распределения к значениям, при которых оно переходит в экспоненциальное, исследуемый процесс переходит в обычный процесс Орнштейна-Уленбека.

Параграф 2.2 содержит обобщение полученных результатов на случай многомерных случайных блужданий. На основе обобщенного дробно-экспоненциального распределения выводятся и решаются многомерные уравнения аномальной субдиффузии. Производится численное сравнение полученных асимптотических результатов с точным решением упомянутых уравнений (рис.3) и вероятностных характеристик.

/У / / ч- ч \ ч 2

Рисунок 3 Трехмерный случай. Асимптотические (штриховая линия) и точные численные (сплошная линия) решения на больших (справа) и промежуточных (слева) временах При приближении к асимптотическим пределам по времени (I—>2) точные решения стремятся к своим асимптотикам.

Третья глава посвящена аномальным супердиффузионным процессам. Вначале исследуется типичный процесс диффузии, аналогичный диффузии молекул газа, где частица, испытывая столкновения с другими частиццами скачком меняет скорость, а между столкновениями двигается равномерно.

ti>t,

Модель учитывает различия между тем, до или после начала наблюдений произошло первое столкновение. Обсуждаются статистические свойства супердиффузионного процесса, выводятся уравнения Монтролла-Вейсса и уравнение для его плотности вероятностей. Решение последнего уравнения обсуждается в параграфе 3.6.

В параграфах 3.7, 3.8, 3.9 вводится супердиффузионный процесс ускоренных блужданий, описывающий поведение частицы, испытывающей скачкообразные изменения внешней хаотической силы. При этом, для упрощения задачи, сделано предположение о том, что в моменты изменения силы частица останавливается. Общность задачи не ограничивается, поскольку введенной предположение лишь убирает постоянный снос. Обсуждаются свойства процесса, асимптотические значения характеристик полностью согласуются с аналогичными значениями для слу-

чайного скачкообразного процесса и лучайного блуждания со скачкообразным изменением скорости, рассмотренными ранее. Так, например, в зависимости от временной асимптотики, средний квадрат растет либо по

ускоренной супердиффузии в разных временных асимптотиках, найдены коэффициенты дробной диффузии. Анализ уравнений выявил автомодель-ность их решений. Сама плотность вероятностей найдена в интегральном виде, удобном для численной обработки.

где V - дробный параметр, лежащий в пределах от 0 до 2, а Еу/2 -функция Миттаг-Лефлера, описанная в первой главе.

В приложениях А и В приведены часто используемые в диссертации сведения о безгранично-делимых и устойчивых распределениях, а также безгранично-делимых процессах. Приложение С содержит необходимые сведения из теории восстановления. Объясняется парадокс, связанный с выбором начала наблюдений, заключающийся в бесконечности времени ожидания следующего скачка блуждающей частицы.

Основные результаты и выводы

1. Сконструированы модельные процессы аномальной диффузии, помогающие понять природу аномальной субдиффузии и супердиффузии, а также процесс "дробного сноса", при помощи которого удается решать диффузионные уравнения в дробных частных производных.

Основываясь на аномальной кинематике и исходя из вида конкретных физических распределений, произведен ряд обобщений классичес-

закону ч4, либо Получены уравнения для плотности вероятностей

= ^ {^(шУ^И,

/ 1Г »

во

ких процессов и уравнений на дробный порядок. Выведены дробное уравнение Колмогорова-Феллера, обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека.

3. Введено модельное обобщенное дробно-экспоненциальное распределение, при помощи которого удается проследить переход аномальных на промежуточных временах диффузионных процессов к классическому нормальному диффузионному виду на больших временах.

4. Произведено многомерное обобщение аномального субдиффузионного процесса. Сделан вывод о наличии нового, по сравнению с линейным случаем, эффекта - статистической зависимости координат аномального диффузионного процесса.

5. Произведено сравнение аналитических асимптотических результатов с точными, полученными численно. Сделан вывод о том, что асимптотические решения аномальных диффузионных уравнений и характеристики процессов с достаточно высокой точностью совпадают с точными значениями.

6. На примере процесса со скачкообразным изменением ускорения продемонстрировано возникновение супердиффузии даже в случае быстро спадающего распределения интервалов между скачками.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Саичев, А. И. Модели дробной диффузии / А.И. Саичев, С. Г. Уткин // Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник). - 2002. - Т. 1, № 1. — С. 5-43.

2. Саичев, А. И. Случайные блуждания с промежуточной аномально-диффузионной асимптотикой / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ЖЭТФ. - 2004. — Т. 126, № 2. - С. 502-508.

3. Саичев, А. И. Асимптотические законы супердиффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ЖТФ. - 2003. - Т. 73, № 7. - С. 1-6.

4. Саичев, А. И. Переход многомерных скачкообразных процессов от аномальной к линейной диффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ТМФ. - 2005. - Т. 143, № 3. - С. 455-464.

5. Саичев, А. И. К вопросу об обобщенном процессе Орнштейна-Уленбека / А. И. Саичев, С. Г. Уткин И Известия ВУЗ. Радиофизика. - 2004. - Т. 47, № 2. - С. 163-166.

6. Уткин, С. Г. Ускоренная супердиффузия частиц / С. Г. Уткин // Известия ВУЗ. Радиофизика. -2005.

7. Саичев, А. И. Законы аномальной диффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Нелинейные волны' 2002 / Отв ред. А. В. Гапонов-Грехов, В. И. Некоркин. - Н.Новгород: ИПФ РАН, 2003. - 416 с.

8. Саичев, А. И. Трансформация от аномальной к нормальной диффузии частиц и лучей / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // XV сессия Российского акустического общества. Сборник трудов. - М.: ГЕОС, 2004. -С. 166-169.

9. Saichev, А /. Random walks models with intermediate fractional diffusion asymptotics / A. I. Saichev, S. G. Utkin // Proceedings Noise in Com_ plex Systems and Stochastic Dynamics II. - SPIE, 2004. - T. 5471. - С

575-583.

10. Саичев, А. И. Уравнение дробной диффузии и его асимптотики / А.

И. Саичев, С. Г. Уткин // Международный юбилейный симпозиум АПНО-2003. Сборник трудов / Ред. М. А. Щербаков. - Пенза: Инф-Изд. Центр ПГУ, 2003. - Т. 1. - С. 52-56.

11. Саичев, А. И. Дробная диффузия, как промежуточная асимптотика случайных блужданий / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов / Под ред. Е. Ф. Мищенко — Владимир: РИК ВГУ, 2004. - С. 216-218.

12. Саичев, А. И. Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Труды (седьмой) научной конференции по радиофизике... 7 мая 2003г / Под ред. А.В.Якимова. - H.H.: TAJIAM, 2003.-С. 270-271.

13. Саичев, А. И. Промежуточная аномальная диффузия. Многомерный случай / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Труды (восьмой) научной конференции по радиофизике.. .7 мая 2004г / Под ред. А. В. Якимова. - H.H.: ТАЛАМ, 2004. - С. 232-234.

14. Саичев, А. И. Асимптотические законы супердиффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // XIII Нижегородская сессия молодых ученых, тезисы докладов. - H.H.: изд-во Гладкова О.В., 2003. - С. 109-110.

15. Саичев, А. И. Модели случайных блужданий с промежуточной аномально-диффузионной асимптотикой / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // IX нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. - H.H.: изд-во Гладкова О.В., 2004. - С. 36-37.

16. Саичев, А. И. Промежуточное поведение нормально диффундирующей частицы / А. И .Саичев, С. Г. Уткин // Труды VIII Международной научно-практической конференции "Наука и образование -2004".

Оглавление диссертации Введение

1 Модели дробной диффузии

1.1 Случайное время

1.2 Свойства функции £?Дг)

1.3 Аномальная диффузия

1.4 Дробный снос

1.5 Уравнение субдиффузии

1.6 Аномальное случайное блуждание

1.7 Законы диффузии

1.8 Дробное уравнение Колмогорова-Феллера

1.9 Уравнение Ланжевена

2 Аномальная субдиффузия

2.1 Одномерный случай

2.1.1 Статистика случайных блужданий

2.1.2 Обобщенное дробно-экспоненциальное распределение

2.1.3 Переходные диффузионные уравнения

2.1.4 Сравнение точного и асимптотического решений уравнения Монтролла-Вейсса

2.1.5 Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека

2.2 Многомерный случай

2.2.1 Многомерная субдиффузия

2.2.2 Случайные блуждания

4 13

13 16 19 22 23 26 31 33 36 42

47 53 58 58 ПО

2.2 3 Асимптотические уравнения для плотности вероятностей блужданий Х(() ^

2.2.4 Решение уравнения многомерной аномальной диффузии ^

2.2.5 Проверка асимптотических следствий уравнения Мон-тролла-Вейсса ^

2.2.6 Дисперсия скачкообразного процесса ^

3 Аномальная супердиффузия

3.1 Кинематика диффундирующей частицы

3.2 Статистика диффундирующей частицы ^

7«

3.3 Независимые столкновения

3.4 Асимптотические законы супердиффузии

3.5 Дробное диффузионное уравнение

оп

3.6 Решение уравнения супердиффузии

оп

3.7 Ускоренные блуждания °

3.8 Статистика диффундирующей частицы

3.9 Уравнения аномальной супердиффузии ^

3.10 Плотность вероятностей аномально-су пер диффузионного процесса ^

со

Заключение 07

Литература

А Безгранично-делимые и устойчивые распределения В Безгранично-делимые процессы

11(1

С Элементы теории восстановления

Подписано в печать 24.12.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Зак. 1708. Тир. 100.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лиц. ПД№ 18-0099 от 04.05.2001. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

I t

■4

I «

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Уткин, Сергей Геннадьевич

Введение

1 Модели дробной диффузии

1.1 Случайное время.

1.2 Свойства функции Qp (г).

1.3 Аномальная диффузия

1.4 Дробный снос.

1.5 Уравнение субдиффузии.

1.6 Аномальное случайное блуждание.

1.7 Законы диффузии.

1.8 Дробное уравнение Колмогорова-Феллера.

1.9 Уравнение Ланжевена.

2 Аномальная субдиффузия

2.1 Одномерный случай.

2.1.1 Статистика случайных блужданий.

2.1.2 Обобщенное дробно-экспоненциальное распределение

2.1.3 Переходные диффузионные уравнения.

2.1.4 Сравнение точного и асимптотического решений уравнения Монтролла-Вейсса.

2.1.5 Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека.

2.2 Многомерный случай

2.2.1 Многомерная субдиффузия.

2.2.2 Случайные блуждания.

2.2.3 Асимптотические уравнения для плотности вероятностей блужданий X(t)

2.2.4 Решение уравнения многомерной аномальной диффузии

2.2.5 Проверка асимптотических следствий уравнения Монтролла-Вейсса.

2.2.6 Дисперсия скачкообразного процесса.

3 Аномальная супердиффузия

3.1 Кинематика диффундирующей частицы.

3.2 Статистика диффундирующей частицы.

3.3 Независимые столкновения.

3.4 Асимптотические законы супердиффузии.

3.5 Дробное диффузионное уравнение.

3.6 Решение уравнения супердиффузии.

3.7 Ускоренные блуждания.

3.8 Статистика диффундирующей частицы.

3.9 Уравнения аномальной супердиффузии.

3.10 Плотность вероятностей аномально-супердиффузионного процесса

Введение диссертация по физике, на тему "Статистика и кинематика аномально-диффузионных процессов"

Диффузионные процессы привлекают к себе неослабевающее внимание исследователей в различных областях науки. В последнее время интенсивно изучаются аномальные суб- и супердиффузия лучей и частиц в случайно-неоднородных и турбулентных средах. Высокий интерес к подобным процессам вызван несколькими причинами: во-первых, подобного рода задачи возникают на практике в самых различных областях науки и техники, во-вторых, физические явления, обусловленные теми или иными • диффузионными процессами, имеют сходную природу, несмотря на различную специфику в каждом отдельном случае (напр. явление переноса и диффузия лучей в случайно-неоднородной среде). С математической точки зрения, уравнения, описывающие различные аномальные диффузионные процессы, а также способы их решения и анализа оказываются аналогичными. Рассматриваемому вопросу посвящена достаточно обширная литература физического, математического, биологического, экономического характера.

Довольно полное представление о состоянии развития исследований аномальной диффузии применительно к различным физическим задачам могут дать обзоры [1, 2]

Стохастическая формулировка явления переноса с точки зрения процессов случайного блуждания, также как описание с помощью стандартного уравнения диффузии [3], являются двумя фундаментальными концепциями теории нормальной и аномальной диффузии.

Слабое дрожание частиц угольной пыли на поверхности спирта наблюдалось голландским физиком Ингенхаузом еще в 1785 году. В 1827, шотландский ботаник Броун наблюдал похожее нерегулярное движение пыльцы под микроскопом. Примерно в то же время, в 1822 году, Фурье получил уравнение теплопроводности, на основе которого в 1855 году Фик вывел уравнение диффузии. Позже, детальные эксперименты Гоува подтвердили объяснение кинетической теории, данное К. Винером в 1863г.

После попыток найти стохастические основания диффузии (такие как модель столкновений Стратта и Рэлея) Эйнштейн в 1905 объединил стохастический и диффузионный подходы в его научных трудах по броуновскому движению. Надо заметить, что похожее описание диффузии было представлено французским математиком Башелье в его тезисах 1900 года, правда, с точки зрения биржевых операций, а не физических величин [4, 5].

Важным приложением результатов Эйнштейна были независимые измерения числа Авогадро Перреном, Вестгреном и Капплером [6, 7, 8], совпавшие с достаточно высокой точностью. Некоторые результаты Перрена по этой проблеме явились частью работы, за которую в 1926 году он получил Нобелевскую премию.

Случайное блуждание, наблюдаемое экспериментально, представляет собой некий мост между микроскопической динамикой малых атомов, бомбардирующих большие частицы, и макроскопическими наблюдаемыми величинами, такими как коэффициент диффузии или число Авогадро. Идеи Эйнштейна также открыли дорогу теории Ланжевена броуновского движения под действием внешней случайной силы [3], теориям Фоккера-Планка, Смолуховского и Клейна-Крамерса, в дальнейшем развитым в трудах Орн-штейна, Уленбека, Чандрасекара и других, а в затем в работах Монтролла и др. [9, 10].

Математическая модель броуновского движения, в основном, было разработано Н. Винером. Он доказал, в частности, что траектория броуновской частицы практически везде непрерывна, но нигде не дифференцируема. Эти наблюдения полностью отвечают фрактальной природе диффузионного процесса, чья результирующая пространственная траектория подобна самой себе в любом микроскопическом отрезке [3, 11-17].

Аномальная диффузия, чьей отличительной особенностью является нелинейный рост среднего квадрата процесса во времени, была известна еще из работ Ричардсона по турбулентной диффузии 1926 года. В рамках теории переноса она изучалась с конца 1960-х. Тогда же Леви предложил свою модель аномальных блужданий (Levy flights). В большой степени теоретическое исследование аномальной диффузии было спровоцировано Ше-ром и Монтроллом в их описании дисперсионного переноса в аморфных полупроводниках, системе, для которой традиционные методы не работают. Их подход к непрерывным во времени случайным блужданиям очень отличался от его броуновского аналога и был призван объяснить многие физические явления [18]. В 1970-е годы Татарский, Кравцов, Рытов, Апресян и Кляцкин (см. [19] и библиографию) подошли к аномально-диффузионным и близким к ним явлениям при исследовании диффузии и рассеяния лучей и волн в статистически неоднородных, слоистых и турбуленьных средах средах, используя различные методы, такие как решение стохастических дифференциальных уравнений, метод возмущений, теория многократного рассеяния волн и др.

Весомый вклад также внесли Вайсс и Шлезингер^Кроме описания случайных блужданий, были получены обобщения диффузионного уравнения, объяснявшие статистику аномального переноса.

Сегодня диапазон разнообразных явлений физической, биологической и другой природы, проявляющих аномальный характер, довольно широк [20-28] и постоянно растет. В числе прочих, следующие системы носят субдиффузионный характер:

• перенос носителей заряда в аморфных полупроводниках [18, 29-33],

• диффузиометрия ядерного магнитного резонанса в фильтрующих [34,

35] и пористых системах [36],

• динамика полимеров [37-41],

• геометрия фракталов [42]. Супердиффузия и статистика Леви наблюдается в

• специальных видах вихревых потоков [43],

• коллективной скользящей диффузии на твердых поверхностях [44],

• полупроводниках [45, 46],

• турбулентной диффузии, наблюдавшейся еще Ричардсоном [27,47, 48],

• квантовой оптике [49, 50],

• контролируемой динамике объемно-поверхностного взаимодействия жидкостей и пористого стекла [51-53],

• переносе в системах мицелл (биол.) [54-56],

• в движении бактерий [57-59].

Аномальная диффузия в присутствии или отсутствии внешнего поля скоростей или силы моделировалась различными способами, такими как: i) дробное броуновское движение, введенное Мандельбротом [11, 12, 14, 16, 17], и) обобщенные уравнения диффузии [60], iii) модели непрерывных во времени случайных блужданий [18, 27, 61-64], iv) уравнения Ланжевена [65], v) обобщенные уравнения Ланжевена [55, 66-68], vi) обобщенные кинетические уравнения [69], vii) обобщенная термодинамика и статистика [70-74], viii) стохастические уравнения переноса волн в хаотических средах, теория многократного рассеяния волн [75-77].

Для аномальной диффузии, только (iii) и (v) подходы учитывают память системы и специфическую форму, ожидаемую для функции плотности вероятностей. Недостатком же этих подходов является отсутствие прямого пути учета силовых полей, проблемы постановки граничных условий, или анализа динамики в фазовом пространстве.

Альтернативный подход к аномальной кинетике основан на уравнениях дробного порядка. В работах Вайсса и Балакришнана было замечено, что замена локальной временной производной в уравнении диффузии на дробный оператор приводит к проявлению эффектов запоминания, которые присутствуют во множестве комплексных систем.

Спустя всего десятилетие с первого упоминания, такие дробные кинетические уравнения привлекли к себе большой интерес. В наше время они широко изучаются и признаны действенным инструментом описания аномальных процессов переноса, как в отсутствии, так и в присутствии внешних полей скоростей или силы.

В последние годы было опубликовано огромное число работ на тему дробных уравнений релаксации [78], дробных диффузионных уравнений [78-93], дробных диффузионно-сдвиговых уравнений [94, 95] и дробных уравнений Фоккера-Планка [65, 88, 94-105], в которых были задействованы различные обобщения дробного порядка. Иными словами, были введены новые дробные операторы для замены временной или пространственной производных или их обеих.

В первых попытках обобщения стандартного уравнения диффузии для описания процессов диффузии дробного порядка были предложены коэффициенты, зависящие от расстояния. О'Шонесси исследовал обобщенное диффузионное уравнение с коэффициентом диффузии, зависящим от расстояния, и получил субдиффузионный процесс [60]. Дальнейшие исследования показали, что асимптотическая форма зависимости при субдиффузии является "расширенной" гауссовой. Дробные диффузионные уравнения переноса на дробных структурах имеют общие основные свойства, такие как среднеквадратическое отклонение и немарковская природа [106]. В дальнейшем было показано, что дробные уравнения естественным образом всплывают в диффузионном пределе определенных схем случайных блужданий.

Однако, хотя статистике аномальной диффузии и дробным диффузионным уравнениям было уделено много работ, пока еще нет полного понимания свойств аномальной диффузии и ее связей с поведением реализаций диффундирующих частиц. Данная работа посвящена, в основном, конструированию некоторых модельных процессов аномальной диффузии и анализу их вероятностных свойств; построению моделей аномально субдиффузионных и супердиффузионных случайных процессов, вероятностные распределения которых удовлетворяют диффузионным уравнениям в частных дробных производных; описанию типичных диффузионных процессов случайных блужданий частицы с постоянной скоростью между столкновениями. Основываясь на асимптотических свойствах характеристической функции различных процессов, получены их статистические характеристики, а также выведены макроскопические уравнения, описывающие их кинетику. Сконструирован вспомогательный процесс "дробного сноса", при помощи которого удается решить выведенные уравнения дробной диффузии. Показано, что процессы, подчиняющиеся на больших временах классическому закону диффузии, на малых временах, в свою очередь, могут иметь аномально диффузионный характер.

Положения, выносимые на защиту:

1. Сконструированы модельные процессы аномальной диффузии, помогающие понять природу аномальной субдиффузии и супердиффузии.

Решено дробное диффузионное уравнение при помощи сконструированного в диссертации процесса "дробного сноса".

2. Произведен ряд обобщений классических процессов и уравнений на дробный порядок, а также аномального диффузионного процесса на многомерный случай. Сделан вывод о наличии статистической зависимости между координатами аномального диффузионного процесса в пространстве.

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, трех приложений и списка литературы. В первой главе вводятся основные понятия дробно-диффузионного анализа, характерные распределения и процессы, являющиеся базовыми для всей диссертации. В параграфах 1.1, 1.2 на основе теории безгранично-делимых процессов вводится ключевой элемент в построении процессов аномальной диффузии - случайное время, проводится анализ его вероятностных свойств. Дается краткое описание специальных функций Миттаг-Лефлера. Параграф 1.3 посвящен изучению статистических свойств непрерывного во времени аномально- диффузионного процесса. В параграфе 1.4 вводится модельный процесс "дробного сноса", при помощи которого в дальнейшем удается решить диффузионные уравнения дробного порядка. Параграф 1.5 содержит описание непрерывного субдиффузионного процесса, вывод уравнения для его плотности вероятностей. Параграф 1.6 вводит понятие аномального случайного блуждания. На основе различных статистик случайных интервалов между скачками блуждающей частицы выводятся уравнения для характеристической функции процесса. Вероятностные свойства аномального случайного блуждания обсуждаются в параграфе 1.7. В параграфах 1.8 и 1.9 обобщаются на дробный порядок такие широко используемые в теории случайных процессов уравнения, как уравнение Колмогорова-Феллера и уравнение Ланжевена, выводятся некоторые стационарные характеристики удовлетворяющих им процессов.

Вторая глава содержит описание более конкретных аномальных субдиффузионных процессов с выводом уравнений для их характеристических функций и плотностей вероятностей. Исследуются некоторые их статистические характеристики. Производится аналитическое и численное решение полученных уравнений. Демонстрируется различное поведение сконструированных диффузионных процессов в зависимости от времени. В параграфе 2.1 рассматриваются одномерные субдиффузионные процессы. В пункте 2.1.2 обобщается хорошо известное дробно-экспоненциальное распределение, обсуждаются его свойства в различных временных асимптотиках. В пункте 2.1.5 естественным образом, на основе уравнения Ланжевена, обобщается один из ключевых диффузионных процессов - процесс Орнштейна-Уленбека. Параграф 2.2 содержит обобщение полученных результатов на случай многомерных случайных блужданий. На основе обобщенного дробно-экспоненциального распределения выводятся и решаются многомерные уравнения аномальной субдиффузии. В пунктах 2.2.5 и 2.2.6 производится численное сравнение полученных асимптотических результатов с точным решением упомянутых уравнений и вероятностных характеристик.

Третья глава посвящена аномальным супердиффузионным процессам. В параграфе 3.1 описывается кинематика процесса, его статистические свойства обсуждаются в параграфе 3.2. В параграфе 3.3 приведен краткий вывод уравнения Монтролла-Вейсса, а параграф 3.5 содержит уравнение для плотности вероятностей, решение которого обсуждается в параграфе 3.6. Параграф 3.4 посвящен обсуждению некоторых асимптотических вероятностных закономерностей супердиффузии. В параграфах 3.7, 3.8, 3.9 вводится супердиффузионный процесс ускоренных блужданий, обсуждаются его свойства, выводится уравнение для плотности вероятностей, анализируется решение полученного уравнения. Сама плотность вероятностей найдена в параграфе 3.10, где обсуждаются ее свойства на разных временных асимптотиках.

Основные результаты опубликованы в работах [107-122].

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Заключение

В заключении приведем основные результаты и выводы по работе:

I 2. Основываясь на аномальной кинематике и исходя из вида конкретных физических распределений, произведен ряд обобщений классических процессов и уравнений на дробный порядок. Выведены дробное уравнение Колмогорова-Феллера, обобщенный процесс Орнштейна-Улен-бека [107, 111, 118].

4. Произведено многомерное обобщение аномального субдиффузионного • процесса. Сделан вывод о наличии нового, по сравнению с линейным случаем, эффекта - статистической зависимости координат аномального диффузионного процесса [110, 119].

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Уткин, Сергей Геннадьевич, Нижний Новгород

1. Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / R. Metzler, J. Klafter // Physics Reports. — 2000. — Vol. 339. - Pp. 1-77.

2. Учайкин, В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы / В. В. Учайкин // УФН. 2003. - Т. 173, № 8. - С. 847-876.

3. Coffey, W. Т. The Langevin Equation / W. Т. Coffey, Y. P. Kalmykov, J. T. Waldron. — Singapore: World Scientific, 1996.

4. The Random Character of Stock Market Prices / Ed. by P. H. Cootner. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1964.

5. Hughes, B. D. Random Walks and Random Environments, Vol. 1: Random Walks / B. D. Hughes. — Oxford: Oxford University Press, 1995.

6. Becker, R. Theorie der Warme, Heidelberger Taschenbiicher / R. Becker. Berlin: Springer, 1966. — Vol. 10.

7. Becker, R. Theory of Heat / R. Becker. — Berlin: Springer, 1967.

8. Nelson, E. Dynamical Theories of Brownian Motion / E. Nelson. — Princeton: Princeton University Press, 1967.

9. The wonderful world of stochastics: a tribute to E.W. Montroll. Studies in statistical mechanics 12 / Ed. by M. F. Shlesinger. — Amsterdam: North-Holland, 1985.

10. Selected Papers on Noise and Stochastic Processes / Ed. by N. Wax. — New York:Dover, 1954.

11. Falconer, K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications / K. Falconer. — Chichester, UK: Wiley, 1990.

12. Feder, J. Fractals / J. Feder. New York: Plenum, 1988.

13. Feller, W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. 2 / W. Feller. New York: Wiley, 1971.

14. Gouyet, J.-F. Physique et Structures Fractales / J.-F. Gouyet.— Paris: Masson, 1992.

15. Levy, P. Processus stochastiques et mouvement Brownien / P. Levy.— Paris: Gauthier-Villars, 1965.

16. Mandelbrot, В. B. The Fractal Geometry of Nature / В. B. Mandelbrot. — New York: Freeman, 1983.

17. Takayasu, H. Fractals in the Physical Sciences / H. Takayasu.— Manchester: Manchester University Press, 1990.

18. Blom, P. W. M. Dispersive hole transport in poly (p-phenylene vinylene) / P. W. M. Blom, M. C. J. M.Vissenberg // Physical Review Letters. 1998. - Vol. 80. - Pp. 3819-3822.

19. Рытое, С. M. Введение в статистическую радиофизику. Ч. II: Случайные поля / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский. — М.: Наука, 1978.

20. Balescu, R. Statistical Dynamics, Matter out of Equilibrium / R. Balescu. — London: Imperial College Press, 1997.

21. Bouchaud, J.-P. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications / J.-P.

22. Bouchaud, A. Georges // Physics Reports. 1990. - Vol. 195. - Pp. 127293.

23. Grifoni, M. Driven quantum tunneling / M. Grifoni, P. Hanggi // Physics Reports. 1998. - Vol. 304. - Pp. 229-354.

24. Anomalous Diffusion, from Basics to Applications / Ed. by R. Kutner, A. Pekalski, K. Sznajd-Weron. — Berlin: Springer, 1999.

25. Levy Flights and Related Topics / Ed. by M. F. Shlesinger, G. M. Zaslavsky, U. Frisch. — Berlin: Springer, 1995.

26. Weiss, G. H. Aspects and Applications of the Random Walk / G. H. Weiss. — Amsterdam: North-Holland, 1994.

27. West, B. J. Fractal physiology for physicists: Levy statistics / B. J. West, W. Deering // Physics Reports. 1994. - Vol. 246. - Pp. 1-100.

28. Zaslavsky, G. M. Chaos, Kinetics and Nonlinear Dynamics in Fluids and Plasmas / G. M. Zaslavsky, S. Benkadda. — Berlin: Springer, 1998.

29. Optical Spectroscopy of Glasses / Ed. by I. Zschokke. — Dordrecht: Reidel, 1986.

30. Учайкин, В. В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность / В. В. Учайкин // ЖТФ. — 1998. — Т. 68, № 1. С. 138-139.

31. Учайкин, В. В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения / В. В. Учайкин // ТМФ. — 1998. — Т. 115, № 1.-С. 154-161.

32. Учайкин, В. В. К теории классической мезодиффузии / В. В. Учайкин, В. В. Саенко // ЖТФ. 2001. - Т. 71, № 2. - С. 8-15.

33. Gu, Q. Non-gaussian transport measurements and the einstein relation in amorphous silicon / Q. Gu, E. A. Schiff, S. Grebner // Physical Review Letters. 1996. - Vol. 76. - Pp. 3196-3199.

34. Rinn, B. Stochastic modelling of ion dynamics in complex systems: dipolar effects / B. Rinn, W. Dieterich, P. Maass // Philosophical Magazine B. 1998. - Vol. 77, no. 5. - Pp. 1283-1292.

35. Klemm, A. Evaluation of fractal parameters of percolation model objects and natural porous media by means of nmr microscopy / A. Klemm, H.-P. Muller, R. Kimmich // Physica A. 1999. - Vol. 266. - Pp. 242-246.

36. Klemm, A. Nmr microscopy of pore-space backbones in rock, sponge, and sand in comparison with random percolation model objects / A. Klemm, H.-P. Mueller, R. Kimmich // Physical Review E.— 1997.- Vol. 55.-Pp. 4413-4423.

37. Kimmich, R. NMR: Tomography, Diffusometry, Relaxometry / R. Kimmich. — Berlin: Springer, 1997.

38. Amblard, F. Subdiffusion and anomalous local viscoelasticity in actin networks / F. Amblard, A.C.Maggs, B.Yurke // Physical Review Letters. 1996. - Vol. 77. - Pp. 4470-4473.

39. Doi, M. The Theory of Polymer Dynamics / M. Doi, S. F. Edwards. — Oxford: Clarendon Press, 1986.

40. Fischer, E. Segment diffusion in polymers confined in nanopores: A fringe field nmr diffusometry study / E. Fischer, R. Kimmich, U. Beginn // Physical Review E. 1999. - Vol. 59. - Pp. 4079-4084.

41. Fischer, E. Nmr field gradient diffusometry of segment displacements in melts of entangled polymers / E. Fischer, R. Kimmich, N. Fatkullin //

42. Journal of Chemical Physics. 1996. - Vol. 104, no. 22. - Pp. 91749178.41. de Gennes, P.-G. Scaling Concepts in Polymer Physics / P.-G. de Gennes. — Ithaca: Cornell University Press, 1979.

43. Bunde, M. P. A. Structural and dynamical properties of the percolation backbone in two and three dimensions / M. P. A. Bunde, S.Havlin // Physical Review E. 1997. - Vol. 56. — Pp. 1667-1676.

44. Weeks, E. R. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks / E. R. Weeks, H. L. Swinney // Physical Review E.—1998. Vol. 57. - Pp. 4915-4921.

45. Luedtke, W. D. Slip diffusion and levy flights of an adsorbed gold nanocluster / W. D. Luedtke, U. Landman // Physical Review Letters. —1999. Vol. 82. - Pp. 3835-3838.

46. Забурдаев, В. . Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви / В. . Забурдаев, К. В. Чукбар // ЖЭТФ.- 2002.- Т. 121, № 2. С. 299-307.

47. Золотарев, В. М. Супердиффузия и устойчивые законы / В. М. Золотарев, В. В. Учайкин, В. В. Саенко // ЖЭТФ.- 1999.- Т. 115, №4.-С. 1411-1425.

48. Shlesinger, М. F. Levy dynamics of enhanced diffusion: Application to turbulence / M. F. Shlesinger, B. J. West, J. Klafter // Physical Review Letters. 1987. - Vol. 58. - Pp. 1100-1103.

49. Sokolov, I. M. Drude approach to anomalous diffusion: Application to richardson dispersion in turbulent flows / I. M. Sokolov, A. Blumen, J. Klafter // Europhysics Letters. 1999. - Vol. 47. - Pp. 152-157.

50. Schaufler, S. Key-hole look at levy flights in subrecoil laser cooling / S. Schaufler, W. P. Schleich, V. P. Yakovlev // Physical Review Letters. — 1999. Vol. 83. - Pp. 3162-3165.

51. Schaufler, S. Scaling and asymptotic laws in subrecoil laser cooling / S. Schaufler, W. P. Schleich, V. P. Yakovlev // Europhysics Letters.— 1997. Vol. 39. - Pp. 383-388.

52. Bychuk, О. V. Anomalous diffusion at liquid surfaces / О. V. Bychuk, B. O'Shaughnessy // Physical Review Letters.— 1994.— Vol. 74.— Pp. 1795-1798.

53. Stapf, S. Proton and deuteron field-cycling nmr relaxometry of liquids in porous glasses: Evidence for levy-walk statistics / S. Stapf, R. Kimmich, R.-O. Seitter // Physical Review Letters. 1995. - Vol. 75. - Pp. 28552858.

54. Klafter, J. Levy walk approach to anomalous diffusion / J. Klafter, A. Blumen, G. Zumofen // Physica A. 1990. - Vol. 168. - Pp. 637-645.

55. Ott, A. Anomalous diffusion in "living polymers": A genuine levy flight? / A. Ott, J. P. Bouchaud, D. Langevin // Physical Review Letters. — 1990. Vol. 65. - Pp. 2201-2204.

56. Sahimi, M. Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media: from long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown / M. Sahimi // Physics Reports.— 1998.- Vol. 306.— Pp. 213-395.

57. Biological Motion, Lecture Notes in Biomathematics / Ed. by W. Alt, G.Hoffmann. — Vol. 89, Berlin: Springer.

58. Under, H. Biologie / H. Linder. — Stuttgart: J.B.Metzler, 1984.

59. Matthews, С. K. Biochemistry, 2nd Edition / С. K. Matthews, К. E. van Holde. — Menlo Park, CA: Benjamin/Cummings, 1996.

60. O'Shaughnessy, B. Analytical solutions for diffusion on fractal objects / B. O'Shaughnessy, I. Procaccia // Physical Review Letters.— 1985. — Vol. 54. Pp. 455-458.

61. Barkai, E. Levy walks and generalized stochastic collision models / E. Barkai, V. N. Fleurov // Physical Review E.— 1997.- Vol. 56.-Pp. 6355-6362.

62. Berkowitz, B. Theory of anomalous transport in random fracture networks / B. Berkowitz, H. Scher // Physical Review E.— 1998.— Vol. 57. P. 5858.

63. Klafter, J. Derivation of the continuous-time random-walk equation / J. Klafter, R. Silbey // Physical Review Letters.- 1980.- Vol. 44.-Pp. 55-58.

64. Kutner, R. Levy flights with quenched noise amplitudes / R. Kutner, P. Maass // Journal of Physics A. 1998. - Vol. 31. - P. 2603.

65. Fogedby, H. C. Levy flights in random environments / H. C. Fogedby // Physical Review Letters. 1994. - Vol. 73. - Pp. 2517-2520.

66. Kubo, R. Statistical Physics II, Solid State Sciences, Vol. 31 / R. Kubo, M. Toda, N. Hashitsume. — Berlin: Springer, 1985.

67. Wang, K. G. Correlation effects, generalized brownian motion and anomalous diffusion / K. G. Wang, L. K. Dong, X. F. Wu // Physica A. 1994. - Vol. 203. - Pp. 53-60.

68. K.G.Wang,. Nonequilibrium statistical description of anomalous diffusion / K.G.Wang, M.Tokuyama // Physica A. 1999. - Vol. 265. -Pp. 341-351.

69. Stochastic Processes in Chemical Physics: The Master Equation / Ed. by I. Oppenheim, К. E. Shuler, G. H. Weiss. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1977.

70. Borland, L. Microscopic dynamics of the nonlinear fokker-planck equation: A phenomenological model / L. Borland // Physical Review E. 1998. - Vol. 57. - Pp. 6634-6643.

71. Compte, A. Non-equilibrium thermodynamics and anomalous diffusion /

72. A. Compte, D. Jou // Journal of Physics A. — 1996. — Vol. 29. P. 4321.

73. Tsallis, C. Anomalous diffusion in the presence of external forces: Exact time-dependent solutions and their thermostatistical basis / C. Tsallis, D. J. Bukman // Physical Review E. 1996. - Vol. 54. - P. 2197R.

74. Tsallis, C. Statistical-mechanical foundation of the ubiquity of levy distributions in nature / C. Tsallis, S. V. F. Levy, A. M. C. Souza // Physical Review Letters. 1995. - Vol. 75. — Pp. 3589-3593.

75. Zanette, D. H. Thermodynamics of anomalous diffusion / D. H. Zanette, P. A. Alemany // Physical Review Letters. — 1995. — Vol. 75. Pp. 366369.

76. Кляцкин, В. И. Новый метод последовательных приближений в задаче о распространении волн в случайных средах / В. И. Кляцкин,

77. B. И. Татарский // Известия ВУЗ. Радиофизика. — 1971.— Т. 14.—1. C. 1400.

78. Апресян, JI. А. Методы статистической теории возмущений / J1. А. Апресян // Известия ВУЗ. Радиофизика. — 1974.— Т. 17. — С. 165.

79. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде / Ю. Н. Барабаненков, Ю. А. Кравцов, С. М. Рытов, В. И. Татарский // УФН. 1970. - Т. 102. - С. 3.

80. Schiessel, Н. Generalized viscoelastic models: their fractional equations with solutions / H. Schiessel, R. Metzler, A. Blumen // Journal of Physics A. — 1995. — Vol. 28.-P. 6567.

81. Alemany, P. A. Fractional diffusion equation for fractal-time-continuous-time random walks / P. A. Alemany // Chaos, Solutions & Fractals. — 1995.-Vol. 5.-Pp. 7-10.

82. Chaves, A. S. A fractional diffusion equation to describe levy flights / A. S. Chaves // Physics Letters A. 1998. - Vol. 239. - Pp. 13-16.

83. Compte, A. Stochastic foundations of fractional dynamics / A. Compte // Physical Review E. 1996. - Vol. 53. - P. 4191.

84. Grigolini, P. Fractional calculus as a macroscopic manifestation of randomness / P. Grigolini, A. Rocco, B. J. West // Physical Review E.— 1999. Vol. 59. - Pp. 2603-2613.

85. Mainardi, F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena / F. Mainardi // Chaos, Solutions & Fractals. — 1996. — Vol. 7. Pp. 1461-1477.

86. Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diffusion / R. Metzler, W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Physica A. 1994. -Vol. 211.-Pp. 13-24.

87. Metzler, R. Boundary value problems for fractional diffusion equations / R. Metzler, J. Klafter 11 Physica A. 2000. - Vol. 278. - Pp. 107-125.

88. Metzler, R. Fractional diffusion, waiting-time distributions, and cattaneo-type equations / R. Metzler, T. F. Nonnenmacher // Physical Review E. — 1998. Vol. 57. - Pp. 6409-6415.

89. Roman, H. E. Continuous-time random walks and the fractional diffusion equation / H. E. Roman, P. A. Alemany // Journal of Physics A.— 1994. Vol. 27. - P. 3407.

90. Saichev, A. I. Fractional kinetic equations: solutions and applications / A. I. Saichev, G. M. Zaslavsky // Chaos. 1997. - Vol. 7. - Pp. 753-764.

91. Vlad, M. 0. Fractional diffusion equation on fractals: Self-similar stationary solutions in a force field derived from a logarithmic potential / M. O. Vlad // Chaos, Solutions & Fractals. 1994. - Vol. 4. - Pp. 191199.

92. West, B. J. Fractional diffusion and levy stable processes / B. J. West, P. Grigolini, R. Metzler // Physical Review E. 1997. - Vol. 55. - P. 99.

93. Zanette, D. H. Macroscopic current in fractional anomalous diffusion / D. H. Zanette // Physica A. 1998. - Vol. 252. - Pp. 159-164.

94. Zaslavsky, G. M. Renormalization group theory of anomalous transport in systems with hamiltonian chaos / G. M. Zaslavsky // Chaos. — 1994. — Vol. 4. Pp. 25-33.

95. Zavada, T. Propagator representation of anomalous diffusion: The orientational structure factor formalism in nmr / T. Zavada, N. Suedland, R. Kimmich // Physical Review E. 1999. - Vol. 60. - Pp. 1292-1298.

96. Metzler, R. Anomalous transport in disordered systems under the influence of external fields / R. Metzler, E. Barkai, J.Klafter // Physica A. 1999. - Vol. 266. - Pp. 343-350.

97. Metzler, R. Anomalous transport in external fields: Continuous time random walks and fractional diffusion equations extended / R. Metzler, J. Klafter, I. M. Sokolov // Physical Review E.— 1998.- Vol. 58.-Pp. 1621-1633.

98. Barkai, E. From continuous time random walks to the fractional fokker-planck equation / E. Barkai, R. Metzler, J. Klafter // Physical Review E. 2000. - Vol. 61. - Pp. 132-138.

99. Fogedby, H. C. Levy flights in quenched random force fields / H. C. Fogedby // Physical Review E. 1998. - Vol. 58. - Pp. 1690-1712.

100. Honkonen, J. Stochastic processes with stable distributions in random environments / J. Honkonen // Physical Review E. — 1996. — Vol. 53. — P. 327.

101. Jespersen, S. Levy flights in external force fields: Langevin and fractional fokker-planck equations and their solutions / S. Jespersen, R. Metzler, H. C. Fogedby // Physical Review E.- 1999.- Vol. 59,- Pp. 27362745.

102. Kolwankar, К. M. Local fractional fokker-planck equation / К. M. Kolwankar, A. D. Gangal // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 80. — Pp. 214-217.

103. Kusnezov, D. Quantum levy processes and fractional kinetics /

104. D. Kusnezov, A. Bulgac, G. D. Dang // Physical Review Letters. — 1999. Vol. 82. - Pp. 1136-1139.

105. Metzler, R. Anomalous diffusion and relaxation close to thermal equilibrium: A fractional fokker-planck equation approach / R. Metzler,

106. E. Barkai, J. Klafter // Physical Review Letters. — 1999. — Vol. 82. — Pp. 3563-3567.

107. Metzler, R. Deriving fractional fokker-planck equations from a generalised master equation / R. Metzler, E. Barkai, J. Klafter // Europhysics Letters. 1999. - Vol. 46. - Pp. 431-436.

108. Metzler, R. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: From the langevin equation to fractional diffusion / R. Metzler, J. Klafter // Physical Review E. 2000. - Vol. 61. - Pp. 6308-6311.

109. Zaslavsky, G. M. Self-similarity, renormalization, and phase space nonuniformity of hamilton chaotic dynamics / G. M. Zaslavsky, M. Edelman, B. Niyazov // Chaos. 1997. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 159-181.

110. Metzler, R. Fractional diffusion: exact representations of spectral functions / R. Metzler, T. F. Nonnenmacher // Journal of Physics A. — 1997.-Vol. 30.-P. 1089.

111. Саичев, А. И. Модели дробной диффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник). 2002. - Т. 1, № 1. — С. 5-43.

112. Саичев, А. И. Случайные блуждания с промежуточной аномально-диффузионной асимптотикой / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ЖЭТФ. 2004. - Т. 126, № 2. - С. 502-508.

113. Саичев, А. И. Асимптотические законы супердиффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ЖТФ. 2003. - Т. 73, № 7. - С. 1-6.

114. Саичев, А. И. Переход многомерных скачкообразных процессов от аномальной к линейной диффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // ТМФ. 2005. - Т. 143, № 3. - С. 455-464.

115. Саичев, А. И. К вопросу об обобщенном процессе Орнштейна-Уленбека / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Известия ВУЗ. Радиофизика. 2004. - Т. 47, № 2. - С. 163-166.

116. Уткин, С. Г. Ускоренная супердиффузия частиц / С. Г. Уткин // Известия ВУЗ. Радиофизика. — 2005.

117. ИЗ. Саичев, А. И. Законы аномальной диффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Нелинейные волны' 2002 / Под ред. А. В. Гапонов-Грехов,

118. B. И. Некоркин. Н.Новгород: ИПФ РАН, 2003. - С. 416.

119. Саичев, А. И. Трансформация от аномальной к нормальной диффузии частиц и лучей / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // XV сессия Российского акустического общества. Сборник трудов. — М.: ГЕОС, 2004. —1. C. 166-169.

120. Саичев, А. И. Random walks models with intermediate frac-tional diffusion asymptot-ics / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Proceedings Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics II. — SPIE, 2004. — T. 5471.-C. 575-583.

121. Саичев, А. И. Уравнение дробной диффузии и его асимптотики / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Международный юбилейный симпозиум АПНО-2003. Сборник трудов / Под ред. М. А. Щербаков. — Пенза: Инф.-Изд. Центр ПГУ, 2003. Т. 1. - С. 52-56.

122. Саичев, А. И. Обобщенный процесс Орнштейна-Уленбека / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Труды (седьмой) научной конференции по радиофизике. . 7 мая 2003г / Под ред. А. В. Якимов. — Н.Н.: TAJ1AM, 2003.-С. 270-271.

123. Саичев, А. И. Промежуточная аномальная диффузия. Многомерный случай / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Труды (восьмой) научной конференции по радиофизике. 7 мая 2004г / Под ред. А. В. Якимов. — Н.Н.: ТАЛАМ, 2004.- С. 232-234.

124. Саичев, А. И. Асимптотические законы супердиффузии / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // XIII Нижегородская сессия молодых ученых, тезисы докладов. — Н.Н.: изд-во Гладкова О.В., 2003. — С. 109-110.

125. Саичев, А. И. Модели случайных блужданий с промежуточной аномально-диффузионной асимптотикой / А. И. Саичев, С. Г. Уткин //IX нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. — Н.Н.: изд-во Гладкова О.В., 2004. — С. 3637.

126. Саичев, А. И. Промежуточное поведение нормально диффундирующей частицы / А. И. Саичев, С. Г. Уткин // Труды VIII Международной научно-практической конференции "Наука и образование -2004".

127. Saichev, A. I. Distributions in the Physical and Engineering Sciences. Volume I. / A. I. Saichev, W. A. Woyczynski.— Boston: Birkhauser, 1997. 336 pp.

128. Чукбар, К. В. Статистический перенос и дробные производные / К. В. Чукбар // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108, № 5(11). - С. 1875-1883.

129. Barkai, Е. Fractional fokker-planck equation, solution, and application / E. Barkai // Physical Review E. 2001. - Vol. 63. - Pp. 046118-1/17.

130. Barkai, E. Fractional kramers equation / E. Barkai, R. Silbey //J. Phys. Chem. B. 2000. - Vol. 104. - Pp. 3866-3874.

131. Чукбар, К. В. Квазидиффузия пассивного скаляра / К. В. Чукбар // ЖЭТФ. 1996. - Т. 109, № 4. - С. 1335.

132. Chechkin, А. V. Linear relaxation processes governed by fractional symmetric kinetic equations / A. V. Chechkin, V. Y. Gonchar // ЖЭТФ. 2000. - T. 118, № 3. - C. 730.

133. Barkai, E. Ctrw pathways to the fractional diffusion equation / E. Barkai // Chem. Phys. 2002. - Vol. 284, no. 1.- Pp. 3-11.