Статистика полей и макромолекул в случайных потоках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Турицын Константин Сергеевич

Статистика полей и макромолекул в случайных потоках

Специальность 01 04 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка 2007

003071751

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л Д Ландау РАН, г Черноголовка

Научный руководитель

доктор физико-математических наук член-корреспондент РАН Лебедев Владимир Валентинович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Кац Ефим Иосифович кандидат физико-математических наук Подивилов Евгений Владимирович

Ведущая организация

Институт физических проблем им П Л Капицы РАН

Защита состоится 22 июня 2007 г в Ю.ОО на заседании диссертационного совета Д 002 207 01 при ИТФ им Ландау РАН, расположенном по адресу 142432, г Черноголовка, пр ак Семенова, 1А С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ им Ландау РАН, по адресу 142432, г Черноголовка, пр ак Семенова, 1А

Автореферат разослан « мая 2007 г

Гриневич Петр Георгиевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Исследования динамики и статистики пассивных объектов во внешних потоках скорости представляют собой одну из бурно развивающихся областей науки, находящуюся на стыке гидродинамики и статистической физики Разнообразие систем, исследуемых в рамках этого направления чрезвычайно велико круг задач включает в себя как биологические процессы, происходящие внутри организмов, так и поведение крупномасштабного магнитного поля, размешиваемого межгалактическими потоками Несмотря на все различия, многие из них могут быть изучены в рамках математически близких подходов

В последние годы, в связи с развитием экспериментальных методов, стало возможным прямое наблюдение отдельных макромолекул, например ДНК, помещенных во внешние потоки жидкости Подобные наблюдения позволили изучить динамические свойства биомолекул, и существенно улучшить понимание механизмов их взаимодействия В рамках этих экспериментов удалось также исследовать статистику флуктуаций в микроскопических неравновесных системах, к которым относится, в частности, помещенная во внешний поток полимерная молекула Впервые было получено экспериментальное подтверждение флуктуационной теоремы, накладывающей определенные ограничения на функцию распределения производства энтропии в неравновесных системах Эта теорема, привлекавшая большой интерес со стороны ученых в последние 15 лет, представляет собой один их немногих точных результатов, справедливый для широкого круга неравновесных систем

В 2000 году было открыто явление, получившее название "эластической турбулентности" Было показано, что в разбавленных растворах полимерных молекул (с концентрацией полимеров на уровне 25 ррт)

может возбуждаться хаотический поток при исчезающе малых числах Рейнольдса Большое внимание к этому явлению обусловлено как его потенциальными приложениями (хаотический поток возникающий при малых числах Рейнольдса идеально подходит для задач перемешивания микроскопических объемов растворов), так и его значимостью с точки зрения фундаментальной физики Хаотические потоки, возникающие в эластической турбулентности, с точки зрения статистики, кардинально отличаются от потоков, наблюдаемых в обычных турбулентных течениях, и поэтому теория, описывающая их свойства, представляет собой отдельную, новую область гидродинамики

Цель диссертационной работы

1 Описание статистических свойств динамики полимерной молекулы во внешних хаотических или стационарных потоках со средней сдвиговой компонентой

2 Изучение статистики производства энтропии, и статистики диссипации для линейных стохастических систем, в частности для полимера, помещенного во внешний стационарный поток жидкости

3 Создание теории, описывающей приграничное размешивание пассивных скалярных полей (например концентрации примесей или флуктуаций температуры) хаотическими или турбулентными потоками в системах с разными геометриями

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, выносимых на защиту

1 Предложена простая модель, позволяющая описывать динамику полимерной молекулы в хаотических и стационарных полях скорости со средней сдвиговой компонентой Представлено качественное

3

описание поведения полимера, в частности явления tumbhng Предложены две модели хаотической компоненты внешнего потока, одна из которых соответствует случайному полю общего положения, а другая предполагает изотропную, дельта-коррелированную статистику случайной компоненты потока

2 Для задачи со стационарным потоком найдена полная функция распределения состояния полимера, описывающая одновременную статистику как его длины, так и ориентации Исследована зависимость формы функции распределения от числа Вайссенберга, характеризующего относительную мощность внешнего потока

3 В случае хаотического внешнего потока изучена функция распределения углов ориентации полимера относительно плоскости сдвиговой компоненты Показано, что функция распределения угла ф (отвечающего за ориентацию полимера внутри плоскости сдвиговой компоненты) асимметрична, и сконцентрирована в области углов ф ~ 4>t 1 Найдена универсальная асимптотика функции распределения Рф, связанная с детерминистской динамикой полимера Рф ~ sin-2 ф Для модели с дельта-коррелированной компонентой поля скорости получено точное выражение для функции распределения Рф

4 Рассмотрена функция распределения угла в, связанного с отклонением полимера от плоскости сдвигового потока Показано, что основное тело функции распределения сконцентрировано в области \в\ ~ </>t, а асимптотики соответствующие большим отклонениям состоят из двух вкладов детерминистского Pe ~ 9~2 и стохастического Р$ ~ в~а, в котором константа а не универсальна и зависит

от функции Крамера, связанной со статистикой поля скорости

5 Изучена функция распределения времен проворота полимера Т Показано, что ее пик находится в области Т ~ (й^)"1, где б - амплитуда сдвиговой компоненты поля скорости Найдены асимптотики функции распределения Рт в случаях Т (в^)-1 иТс (в^)-1

6 Исследована зависимость функции распределения длины полимера Р{Я) от числа Вайссенберга Показано, что при разных значениях этого параметра может наблюдаться по крайней мере три качественно разных формы Р{К) В каждой из этих ситуаций исследованы асимптотические поведения, соответствующие разным областям

7 Для полимера в стационарном внешнем потоке вычислена функция Крамера, связанная с распределением диссипации энергии и производства конфигурационной энтропии за фиксированный интервал времени Найдены условия, при которых эти функции распределения удовлетворяют флуктуационной теореме Вычислены их асимптотики, а также изучена их зависимость от структуры внешнего потока Результаты обобщены на случай произвольной линейной стохастической системы

8 Исследована динамика пассивного скаляра (поля концентрации примесей или флуктуаций температуры), перемешиваемого хаотическим или турбулентным потоком и локализованного вблизи границ сосуда Найдены универсальные законы, описывающие распад (гомогенизацию) в периферийной области Получены аналитические выражения для средних значений моментов пассивного скаляра, его одноточечной функции распределения, одновременного парно-

го коррелятора Рассмотрены два типа геометрии, соответствующие замкнутому сосуду и течению в трубе

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты позволяют улучшить понимание процессов, связанных с динамикой полимеров во внешних потоках и с размешиванием пассивных скалярных полей в хаотических или турбулентных течениях Предсказанные в работе зависимости могут быть использованы, при сравнении с экспериментальными данными, для анализа механических свойств макромолекул и статистических свойств хаотических потоков Предложенные модели могут служить основой для построения более сложных теорий, описывающих соответствующие эксперименты

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международных конференциях по физике в Черноголовке (2004 и 2005 гг), в Эйлате (Израиль, 2004 г), в Триесте (Италия, 2005 г), в Ворике (Великобритания, 2005 г), на семинарах Института Теоретической Физики им Л Д Ландау РАН (2004, 2005, 2006 гг), в Лос-Ала-мосовской Национальной Лаборатории (США, 2004 г), в университете Аризоны (США, 2004 г)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований,

показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения

Первая глава посвящена изучению динамики полимерной молекулы в стационарных и случайных потоках со средней сдвиговой компонентой Полимер, помещенный в поток с сильной сдвиговой компонентой, вытягивается вдоль направления потока При этом, в случае стационарного течения положение равновесия полимера (соответствующее молекуле, растянутой параллельно направлению потока) является неустойчивым Поэтому, любые возмущения, например тепловые шумы или флуктуации поля скорости, приводят к выводу полимера из положения равновесия и его дальнейшему прокручиванию на угол ж в плоскости сдвигового потока Движение полимера, состоящее из вытягиваний вдоль направления потока, и последующих, апериодически повторяющихся прокручиваний известно в литературе под термином tumbling В первой главе представлены результаты исследования различных статистических свойств этого движения

Эволюция полимера описывается в рамках гантельной (dumbbell) модели, в которой состояние молекулы полностью параметризуется вектором R, соединяющим ее концы Поскольку числа Рейнольдса, связанные с динамикой полимера, исчезающе малы, эволюция вектора R описывается следующим уравнением

Здесь 7 (Л) = /(К)/т - коэффициент нелинейной релаксации полимера, который ведет себя как /(/2) = 1 если длина полимера достаточно мала по-сравнению с максимальной Д <С Яшах, и как /(Л) ос (Кщ-Я)-1 в случае (Нт — Щ <С Я Функции £,(£) являются случайными, независимыми белыми шумами, представляющими Ланжевеновские силы Матрица аг]

(1)

определяется через локальные градиенты поля скорости (вычисленные в Лагранжевой системе отсчета полимера) аг] =д3Уг = 85гх61у+аг:(1), где в - амплитуда среднего сдвигового потока поля скорости, <тг) - матрица градиентов случайной компоненты поля скорости В работе рассматриваются три различных ситуации

• Стационарное поле скорости, для которого <тч = 0 При этом, число Вайссенберга АУ1 определено как \У1 = вт

• Поле скорости с произвольной случайной компонентой, характеризуемое средней Ляпуновской экспоггентой А < 5 и временем корреляции случайной компоненты, оцениваемым как А-1 В этом случае число Вайссенберга \¥1 определено как А т

• Поле скорости, в котором случайная компонента моделируется изотропным, гауссовским, дельта-коррелированным матричным стохастическим процессом, характерная амплитуда которого И много меньше амплитуды сдвигового потока Д С в При этом А ~

(Ов2)У3 < 1

При этом, вторая и третья модели описывают одну физическую ситуацию и являются комплементарными друг к другу В рамках второй, где используется минимум допущений относительно статистики случайной компоненты поля скорости, можно провести полный качественный анализ динамики, и сделать ряд количественных предсказаний связывающих наблюдаемые объекты с характеристиками поля скорости В рамках третьей модели для многих исследуемых величин и функций можно получить аналитические выражения, которые подтверждают и иллюстрируют общие предсказания, полученные для произвольной статистики случайной компоненты

я,

У

¥

Е

08

(а) Ориентация полимера

(Ь) Распределение по размерам полимера

Рис 1. Левый рисунок Схема иллюстрирующая ориентацию полимера относительного сдвиговой компоненты потока жидкости Правый рисунок Функция распределения длин полимера в стационарном сдвиговом потоке при разных значения числа Вайссенберга \У1 = 0,1,5,10,40,200 (от А до Г)

Для стационарного поля скорости найдено явное выражение для функции распределения вектора Л в пределе линейной релаксации, то есть для малых растяжений полимера

где используется порядок координатных осей X, У, Z Используя выражение (2) можно вычислить функции распределения длины полимера Я и вектора его ориентации п = Л/Я При этом, удобно ввести углы ф,в, параметризующие ориентацию полимера пх = соБвсозф, пу = сой 9 бш ф, т = бш 0 Угол ф отвечает за ориентацию молекулы в плоскости сдвигового потока X — У, а угол в за ее отклонение от этой

Р(Я) = (2тг)-3/2(ае1/)-1/2ехр —В? Г1 Л

(2)

( 1+\¥12/2 Ш/2 о\

Я1

1 0

V 0 0 ч

(3)

плоскости (смотри также рисунок 1(а)) При этом, не нарушая общности, можно считать, что —тт/2 < ф < 7г/2 и 0 < в < тг/2 Явное выражение для функций распределения РаПд(Ф,9) может быть найдено интегрированием (2) по Я

Рапд(Ф, 0) = С--^-_ (4)

I1 - Ш ^12соз(2ф) + 2Ш13.п(2ф)]}

где С - нормировочная константа

Функция распределения длины полимера в случае линейного коэффициента релаксации может быть вычислена аналитически в предельных случаях малых и больших чисел Вайссенберга

3 я2

(5)

Wl > 1 (6)

(2 + \№

Здесь выражение (5) соответствует равновесной функции распределения, так как в случае \У1 <С 1 в первом приближении влияние потока пренебрежимо В случае больших чисел Вайссенберга гауссов вид функции распределения (6) связан с тем, что полимер проводит большую часть времени вытянутым вдоль оси X Результаты численного исследования функции распределения Р(К) при нелинейных коэффициентах релаксации представлены на рисунке 1(Ь)

Для случайных потоков общего типа показано, что в случае большой амплитуды сдвиговой компоненты функция распределения угла ф асимметрична и сконцентрирована в области малых углов {ф) = 1 При этом, характерные флуктуации вокруг среднего значения ф тоже оцениваются как Функция распределения угла в симметрична, и имеет характерную ширину ф1 Асимптотики совместной функции распределения Ращ{Ф, соответствующие области \ф\, |#| Фг определяются де-

10

терминистскими процессами проворота полимера, и могут быть найдены явно

{/(tan 9/ sm ф) Рапд{Ф, V) = -з~т-TW- > (7)

sin ф cos" 0

где неизвестная функция U зависит от деталей статистики случайного поля скорости и не может быть найдена в общем случае Из этого выражения следует, что функция распределения угла ф имеет универсальную асимптотику Рф ~ sin-2 ф Асимптотика функции распределения угла в в области ф( \9\ <С 1 определяется двумя вкладами детерминистским Рд ос в~2, определяемым процессами проворота полимера, и стохастическим Ре ос в~а, в котором коэффициент а зависит от деталей статистики поля скорости а = S'(x*), где S(x) - функция Крамера, соответствующая данному полю скорости, ах* - решение уравнения S(x*) = x*S'(x*) В модели дельта-коррелированного поля скорости, корреляционная функция градиента случайной компоненты о имеет вид

<cry(í)MO> = D5(t - t')(45lkSjt - 5ü5k] - St]6kl) (8)

В рамках этой модели можно найти явное выражение для функции распределения угла ф

7Г

Рф = Ъ |d</? ехр sm 2®)]' (9)

о

где и) - это средняя частота вращений полимера, которая определяется из условия нормировки Среднее значение угла ф также может быть вычислено аналитически фг = (ф) = (D/s)1^2у/ттЪ1^/Т{1/&) Таким образом, условие слабости случайной компоненты потока имеет вид D s

Другой интересной для эксперимента зависимостью является функция распределения времени проворота полимера, которое определяется как время между последовательными пересечениями углом ф значений

±7г/2 Основной вклад во время Т связан с процессами стохастических флуктуаций в узкой (шириной порядка окрестности ф = 0, поэтому максимум функции распределения времени Г, а также ее характерная ширина могут быть оценены, как (вф^"1 ~ Л-1 Асимптотическое выражение для вероятности больших времен проворота Т Л-1 имеет вид 1п Рт--ЛТ

Асимптотика функции распределения, соответствующая малым временам проворота определяется специальными реализациями поля скорости, которые позволяют полимеру аномально быстро пройти через стохастическую область ф ~ фг Физически, подобными конфигурациями являются вихри, закрученные по часовой стрелке в плоскости X — У Для времен проворота Т, много меньших характерного времени корреляции поля скорости А-1, асимптотика функции распределения имеет вид

где - это одновременная функция распределения величины завихренности случайной компоненты поля скорости Очевидно, что эта асимптотика не является универсальной

Для дельта-коррелированного поля скорости характерное время проворота полимера оценивается как Т ~ (Об'2)"1/3 В случае Т (.Ой2)-"1/3 асимптотика функции распределения имеет вид Рт ос ехр (—¿^(-Ов2)1/3!1), где константа Ео равна минимальному собственному значению следующей спектральной задачи

Асимптотика, соответствующая малым временам может быть найдена с помощью квазиклассических методов С экспоненциальной точностью функция распределения имеет вид Рт ~ ехр(—А), где аналитическое

(10)

-2% + ^-х]*п(х) = ЕпЩх)

(П)

выражение для величины А может быть найдено в двух предельных случаях

Здесь К{х) - эллиптический интеграл второго рода Промежуточная асимптотика (13) является функцией произведения так как она

тотика, соответствующая самым малым временам не зависит от силы сдвигового потока s, так как времена Т s-1 могут возникать только в результате аномальных флуктуаций случайной компоненты поля скорости

Форма функции распределения длины полимера в случайных потоках со средней сдвиговой компонентой сильно зависит от числа Вайссен-берга При Wi = 1 происходит так называемый coil-stretch переход, сопровождаемый перестройкой функции распределения Точка Wi = 1 соответствует полному балансу средних растягивающих и релаксационных сил, действующих на полимер Поэтому, при Wi < 1 полимер проводит большую часть времени в свернутом состоянии, а при Wi > 1 наоборот -в сильно растянутом Результаты численных симуляций в рамках модели с дельта-коррелированной случайной компонентой представлены на графиках 2(a-d)

В случае Wi < 1 большую часть времени молекула проводит в свернутом состоянии с характерным размером Rt, определяемым балансом Ланжевеновских и релаксационных членов в уравнении (1) Тем не менее, редкие флуктуации поля скорости приводят к эпизодическим удлинениям полимера до длины R, много большей равновесной R RT Соответствующая асимптотика функции распределения длины полиме-

, s-1 « Т <С (Ds2)-^3

(13)

(12)

определяется в основном движением в области ф ~ </>£ ~ (D/s)1/3 Асимп-

02 04 06 0.8 1

х 10"*

(с) т=3,а< -1 »

К-Ф, 1 »

/ТЧс / /1 1 1 / 1 I 1 1 1

О 0.2 04 06 08 1

02 04 Об 06 1

Рис 2 Функция распределения длины полимера Л представленной в единицах максимальной длины Пт Симуляции проводились в модели дельта-коррелированной случайной компоненты поля скорости, описанной в тексте

ра имеет степенной вид

Р(Я) ~ ЩЯ

<а г>—1—а

(14)

причем коэффициент а > 0 может быть вычислен через функцию Крамера потока

Выше точки сог/-А^гс{сЛ перехода, когда \У1 > 1, полимер проводит большую часть времени в сильно растянутом расстоянии, его наиболее вероятная длина И, много больше равновесной Нт При этом, характерное значение Я, оценивается из соотношения = А При — 1 < а < 0, асимптотика, соответствующая области Ят < й С Д» описывается тем

же степенным законом (14) Единственным отличием от режима \У1 < 1 является то, что основной вклад в нормировочный интеграл § (Ш.Р(11) связан с областью И ~ Л* Поэтому, вычисление нормировочной константы приводит к выражению Р(Я) ~ Асимптотика, соответствующая аномально большим растяжениям П,п — В, Я — II, определяется процессами, связанными с нелинейной динамикой полимера, характерные времена релаксации которых много меньше времени корреляции поля скорости Это условие позволяет получить аналитическое выражение для асимптотики

Р(Д) = 25-17(Д)7,(Л)П (72(Л)/5) (15)

Это выражение для вероятности аномально больших отклонений справедливо при произвольных значениях '\У1

В случае '\У1 > 1, а < — 1 происходит перестройка формы функции распределения Р(Я) в промежуточной области Нт С Д С Т1,п В этом случае основной вклад в вероятность вносят детерминистские процессы проворота полимера, и график функции распределения в этой области имеет форму плато Область длин, в которой функция распределения может быть аппроксимирована постоянной задается соотношением < Д < Д, При К < К*ф1 наблюдается, как и раньше, степенная асимптотика Р{В) ~ Н'^П/ф^1-0

В рамках дельта-коррелированной модели получены асимптотические выражения, связывающие коэффициент а с параметрами потока

81 1

а=32ДЛ* *Т>>1 (16)

«= ¿г, «г« 1 (17)

Во второй главе изучается статистика производства энтропии в линейных неравновесных стохастических системах Общие результаты,

15

полученные для широкого класса подобных систем иллюстрируются на примере полимерной молекулы, помещенной в стационарный внешний поток, и возбуждаемой Лапжевеновскими шумами Формально, данная система описывается уравнением, аналогичным уравнению (1) со стационарной матрицей градиентов <ту, отвечающей произвольному планарно-му потоку Для произвольной системы, характеризуемой состоянием R и микроскопической потенциальной энергией U(R), вероятность определенной траектории R(t') (при 0 < t' < t) задается функционалом V{R(t')} Энтропия, произведенная за фиксированный промежуток времени t определяется как

5 = m + (18)

V{R} T v ;

Здесь T = 2Д|уЗт - эффективная температура системы, a R*(t) - обратный процесс, получающийся из R(t) процедурой обращения времени (явный вид которой зависит от конкретной физической системы) При этом, в тепловом равновесии, при правильно выбранной процедуре обращения времени, справедлив принцип детального баланса среднее производство энтропии (<S) строго равно нулю В случае неравновесных систем этот принцип оказывается нарушен, и произведенная энтропия (S) > О служит мерой нарушения принципа детального равновесия Мы рассматриваем неравновесные, но статистически стационарные системы, в которых статистика производства энтропии может быть описана функцией распределения энтропии Р (<S|i) С точки зрения эксперимента наиболее интересен предел i>r, в котором в силу статистической стационарности системы функция распределения P(S\t) принимает вид

P(S\t) ~ exp [~tC(Sr/t)/T], (19)

Функция С(х) называется функцией больших отклонений или функцией Крамера Для системы, описываемой уравнением (1) с постоянной

7(R) = 1/т можно определить два типа энтропии, используя разные процедуры обращения времени t

Sc = ^dt'RT{t'){& - aT)R{t')/{2T) + 0{ 1), (20)

ST = t~1

dt'RT(t')aR(t')/(2T) + 0(l), (21)

где за 0( 1) обозначены члены, не растущие со временем £ Конфигурационная энтропия Бс определена с помощью процедуры обращения R —R и не имеет определенного физического смысла для полимерной системы (в то же время она является обычной термодинамической энтропией для систем, в которых члены имеют смысл неконсер-

вативных сил) Термодинамическая энтропия <5>г определена с помощью процедуры R —> —R, а —> —<т и совпадает, с точностью до членов порядка <Э( 1) с полной энергией, диссипированной в системе за время Ь

Для анализа функции Крамера С{х) вводится ее преобразование Ле-жандра А? = тш, [£(жд) — хчС'(хч)\, где —б/ = £{хч) Функцию Хч можно вычислить как для конфигурационной энтропии 5С, так и для термодинамической В обоих случаях она задается выражением

V

'Л,! (deti^\ 2тг &\detA0(u)J

где Ад = — т~1)т(ст — т-1)-Ии>(1 — 2дг)(<5" — ат) в случае конфигура-

ционной энтропии и Ап = и2+(а—т~1)т(а—т~1)+ги}(а—ат)+2д(а+ат) в случае термодинамической Из анализа этих выражений можно вывести следующие свойства функции Крамера С(х)

• Для обеих энтропий функция С(х) имеет минимум при х > 0, что соответствует в среднем положительному производству энтро-

пии При х —> ±оо функция Крамера имеет линейные асимптотики С{х) ~ q±x

• Функция распределения производства конфигурационной энтропии удовлетворяет флуктуационной теореме С{х) — С{— х) = —х, которая связывает вероятности производства положительной и отрицательной энтропии

• В планарных внешних потоках конфигурационная энтропия зависит только вихревой компоненты поля скорости, в то время как термодинамическая - только от гиперболической компоненты

В третьей главе исследуется поведение пассивного скаляра 0(t, г) (поля концентрации примесей или флуктуаций температуры) в хаотических и турбулентных потоках вблизи границы При больших значениях числа Шмидта Se, которое представляет собой отношение кинематической вязкости жидкости и к коэффициенту диффузии скаляра к, динамика одновременных корреляционных функций пассивного скаляра может быть описана уравнением

п п

dtFn = K^V2mFn+ Y^ Vma[Dai3(Tm,rk)VkíiFn] ,

m=1 m,k=1

Fn(t,ru ,rn) = (e(t,ri) e(t,rn)), (23)

где Daf¡ - тензор вихревой диффузии, имеет некоторый универсальный, но достаточно громоздкий вид В частности, можно показать, что Dqq ос fiqjq?¿, где q - координата, перпендикулярная к стенке, a fi - величина, пропорциональная мощности потока

Если пассивным скаляром является поле концентрации, то его пристеночная эволюция может быть разделена на две стадии Это связано с тем, что в случае Se !S> 1 в задаче происходит разделение масштабов ширина периферийной области L, которая оценивается как размер сосуда в

случае эластической и как ширина вязкого пограничного слоя в случае обычной турбулентности, оказывается много больше ширины диффузионного пограничного слоя гы Начальное распределение скаляра #о(<7) имеет характерный масштаб Ь Первая стадия распада пассивного скаляра происходит внутри периферийной области, в которой молекулярной диффузией можно пренебречь Характерный масштаб, на котором сконцентрирован профиль распределения скаляра 5 удовлетворяет условиям Ь 6 гы При этом, в случае геометрии замкнутого сосуда, этот масштаб падает как 5 = (/И^-1/2, в то время как в случае течения в трубе его эволюция описывается законом 6 ос где г - это координата вдоль трубы Основная масса скаляра сконцентрирована в области д < 6 (здесь q - расстояние до границы) Эволюция средних значений моментов пассивного скаляра во время этой стадии описываются выражением

erftl)-^exp

( v).

(24)

где = $о(0) - начальная амплитуда скаляра вблизи границы Одноточечная функция распределения пассивного скаляра имеет следующий вид

P(i' = еХР ("ВД '

где qo является неявно заданной функцией в, определяемой через уравнение $о(<7о) = в Парная корреляционная функция пассивного скаляра F(t, Г\, г2) не может быть вычислена явно Однако, можно показать, что в случае |<7i — <721 Q = (<Ji +<?2)/2 ее неприводимая часть имеет автомодельный вид F = {e2{Q)){q/Q)a^(QQ/q), где коэффициент а не является универсальным, и зависит от статистики внешнего поля скорости

Во время второй стадии, когда размер 6 становится сравнимым с шириной диффузионного пограничного слоя гы, наступает следующая стадия затухания пассивного скаляра, во время которой скаляр затухает

экспоненциально быстро, а основная его часть оказывается сконцентрирована в диффузионном пограничном слое При этом, затухание связано с потоком скаляра внутрь сосуда Величина декремента затухания зависит от числа Пекле, которое определяется как Ре = УьЬ/и (здесь V/, -это амплитуда флуктуаций поля скорости внутри сосуда, а к - это коэффициент молекулярной диффузии) В случае вязкого пограничного слоя число Пекле совпадает с числом Шмидта, в то время как для эластической турбулентности они отличаются на дополнительный фактор, равный числу Рейнольдса В случае задачи с сосудом, временной декремент затухания пропорционален Ре~1|/2, в то время как для затухания скаляра в трубе он пропорционален Ре-1/4

Если пассивный скаляр соответствует полю флуктуаций температуры, фиксированному на границах, то во время второй стадии формируется квазистационарное распределение скаляра При этом, внутренняя часть сосуда служит большим резервуаром, который поддерживает температуру постоянной и поглощает поток тепла, поступающий от границ Среднее значение скаляра в этом случае имеет следующий вид

<0) = Н^кЗ/4 1/40о 7Г

оо

^ (26)

цд{ 4- к

ч

а высшие моменты как и в случае поля концентрации, имеют асимптотики {вп) ос д~3, соответствующие ненулевому потоку на бесконечность Подобные асимптотики, справедливые и для поля концентраций указывают на сильную перемежаемость в системе в области д 8 или д гы средние значения высоких моментов пассивного скаляра оказываются много больше, чем их приводимые части

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации Основное содержание работы изложено в следующих работах

1 Lebedev V V, Turitsyn, К S Passive scalar evolution in peripheral regions // Phys Rev E - 2004 - Vol 69, no 3 - P 036301

2 Chertkov M, Kolokolov I, Lebedev V, Turitsyn К Polymer statistics in a random flow with mean shear //J Fluid Mech — 2005 — Vol 531 -Pp 251-260

3 Celani A , Puhafito A , Turitsyn К Polymers in linear shear flow A numerical study // Europhysics Lett — 2005 — Vol 70, no 4 — Pp 464-470

4 Puhafito A , Turitsyn К Numerical study of polymer tumbling in linear shear flows // Physica D — 2005 — Vol 211, no 1-2 — Pp 9-22

5 Tuntsyn К, Chertkov M, Chernyak V, Puhafito A Statistics of Entropy Production in Linearized Stochastic System // Phys Rev Lett — 2007

- Vol 98, no 18 - P 180603

6 Turitsyn К S Polymer dynamics in chaotic flows with strong shear component // Принято к печати в ЖЭТФ — 2007

Введение.

Глава 1. Динамика полимерных молекул .В

1.1. Модели полимера и внешнего потока

1.2. Качественный анализ.

1.3. Полимер в стационарном иоле скорости.

1.4. Полимер в случайных потоках.

1.5. Статистика ориентации полимер.

1.6. Функция распределения времен проворотов

1.7. Растяжение полимера.

Глава 2. Производство энтропии в линейных системах

2.1. Конфигурационная энтропия.

2.2. Производство энтропии полимером во внешнем потоке.

2.3. Производство термодинамической энтропии

Глава 3. Пассивный скаляр в приграничной области.

3.1. Модельные предположения.

3.2. Статистика среднего значения скаляра.

3.3. Высшие моменты пассивного скаляра.

3.4. Парная корреляционная функция.

3.5. Затухание скаляра в трубе

Исследования динамики и статистики пассивных (то есть не оказывающих обратного влияния на жидкость) объектов во внешних потоках представляют собой одну из бурно развивающихся областей науки, находящуюся на стыке гидродинамики и статистической физики. Разнообразие систем, исследуемых в рамках этого направления чрезвычайно велико: круг задач включает в себя как биологические процессы, происходящие внутри организмов, так и поведение крупномасштабного магнитного поля, размешиваемого межгалактическими потоками. Несмотря на все различия, многие из них могут быть изучены в рамках математически близких подходов.

Развитие экспериментальных технологий сделало возможным осуществлять прямые наблюдения отдельных макромолекул, находящихся во внешних стационарных или хаотических/турбулентных потоках [1-16]. Подобные наблюдения представляют огромный интерес для приложений, связанных с полимерной [17] или биологической физикой [14]. Они позволили существенно улучшить понимание как динамических свойств биомолекул (см. например работы [2, 3, 5, 6, 10, 12-16] по изучению свойств молекул ДНК), так и механизмов взаимодействия белков с другими макромолекулами [1, 7, 11]. Параллельно с экспериментами развивались и теоретические модели, описывавшие поведение макромолекул во внешних потоках. Наиболее серьезных результатов на этом пути удалось добиться группе Стивена Чу. В работах [3-6, 8, 9, 12, 14] путем прямых численных симуляций моделировалось поведение отдельных полимерных макромолекул в сдвиговых потоках. Теоретическое исследование статистики ориентаций и конформаций подобных молекул представлено в работах [18, 19].

Развитие экспериментальных методов также позволило осуществлять прямые наблюдения флуктуаций в микроскопических неравновесных системах. Описание статистических свойств неравновесных систем представляет собой широкий и тяжелый круг задач, которые не могут быть решены в рамках какого-либо универсального подхода. Эти задачи давно привлекают внимание ученых, и одним из наиболее существенных достижений последних лет в этой области было доказательство флуктуационной теоремы, связывающей вероятности производства положительной и отрицательной энтропии в системе [20-24]. Эта теорема была успешно подтверждена экспериментально для ряда неравновесных систем с сильными флуктуациям: для дрейфующих коллоидных частиц [25], для электрических цепей [26], для растягиваемых полимерных молекул [27]. На основе следствия из флуктуационной теоремы, соотношения Жарзин-ского был предложен метод исследования механических свойств полимерных молекул или белков, в котором равновесные характеристики, такие как свободная энергия изучаются в существенно неравновесных экспериментах [28-32]. Флуктуационная система позволила сформулировать ряд предсказаний по статистике флуктуаций для большого круга систем, например для объектов взаимодействующих с двумя различными термостатами [33-35], биологических молекулярных моторов [36, 37], систем с непрерывно протекающими химическими реакциями [38].

В 2000 году было открыто явление, получившее название "Эластической турбулентности" [39, 40]. Было показано, что в разбавленных растворах полимерных молекул (с концентрацией полимеров на уровне 25 ррт) может возбуждаться хаотический поток при исчезающе малых числах Рейнольдса. Большое внимание к этому явлению обусловлено как его потенциальными приложениями (хаотический поток возникающий при малых числах Рейнольдса идеально подходит для задач перемешивания микроскопических объемов растворов), так и его значимостью с точки зрения фундаментальной физики. Хаотические потоки, возникающие в эластической турбулентности, с точки зрения статистики, кардинально отличаются от потоков, наблюдаемых в обычных турбулентных течениях, и поэтому теория, описывающая их свойства представляет собой отдельную, новую область гидродинамики. Поведение полимеров в случайных потоках активно изучалось еще со второй половины 20го века, когда было обнаружено, что свойства турбулентных течений сильно меняются при добавлении в нее небольшого количества полимера [41]. Этот эффект активно используется в индустрии, но до сих пор не построено никакой количественной теории, описывающей его, существуют только качественные объяснения [42]. В работах [43, 44] рассматривалось поведение отдельных полимерных молекул в статистически изотропных случайных потоках, и показано, что в такой системе может наблюдаться так называемый coil-stretch переход, когда при изменении силы потока кардинально меняется структура функции распределения полимера по длинам: при слабых потоках большую часть времени полимер проводит в свернутом состоянии, в то время как в сильных большую часть времени он оказывается вытянут. Эффект эластической турбулентности был рассмотрен в теоретических работах [45-47], в которых эластические неустойчивости также связывались с coil-stretch переходом.

Проблема перемешивания растворов во внешних потоках привлекала повышенное внимание как из-за ее фундаментального значения, так и благодаря многочисленным прикладным приложениям. Скорость перемешивания примесей во внешних течениях сильно зависит от типа гидродинамического потока, возбужденного в жидкости. В последние годы теоретикам удалось существенно продвинуться в изучении стохастических моделей поля скорости, использовавшиеся для описания поведения пассивных объектов в турбулентных и хаотических полях [48, 49]. В рамках этих моделей было, в частности, изучено размешивание пассивных скалярных полей, к которым можно отнести концентрации разбавленных растворов или поле слабых флуктуаций температуры. Отличительной особенностью размешивания пассивного скаляра вблизи границ сосуда является гладкость поля скорости в этой области. Размешивание пассивного скаляра в гладких нолях скорости было впервые рассмотрено в работах Батчелора

50] и Крайчнана [51-53], в которых были соответственно рассмотрены случаи полей с большим и малым временем корреляции. Обобщение на произвольное время корреляции было представлено в работе [54]. Во всех этих работах рассматривался неограниченный поток, и скаляр со стационарной статистикой, которая возникала в результате установления равновесия между процессами накачки и диффузии. Свойства распада пассивного скаляра в неограниченных потоках также хорошо известны. В работе [55] показано, что в инерционном интервале затухание скаляра описывается степенными законами. Помимо этого изучалась задача о затухании скаляра в вязком интервале масштабов, внутри которого поле скорости может считаться гладким (см. например [56]). В работах [57, 58] показано, что в этом случае распад происходит экспоненциально быстро. Подобный анализ также применим и к потокам, возникающим в эластической турбулентности. В работе [59] рассматривался общий случай, в котором учитывались как инерционный, так и вязкий интервал. В этом случае распад пассивного скаляра определяется в основном вихрями из инерционного интервала и описывается, таким образом, степенным законом.

В диссертации исследуются определенные задачи возникающие в контексте эффектов, описанных выше.

В первой главе рассмотрено поведение полимера во внешних потоках со средней сдвиговой компонентой. Такая задача естественно возникает в экспериментах по эластической турбулентности. В наших исследованиях мы не учитываем обратную реакцию полимера на поток, а изучаем динамику пассивного полимера. Используется простая модель, позволяющая описывать динамику полимерной молекулы в хаотических и стационарных полях скорости со средней сдвиговой компонентой. Представлено качественное описание поведения полимера, в частности явления tumbling. Рассмотрены две модели хаотической компоненты внешнего потока, одна из которых соответствует случайному полю общего положения, а другая предполагает изотропную, дельта-коррелированную статистику случайной компоненты потока. Для задачи со стационарным потоком найдена полная функция распределения состояния полимера, описывающая одновременную статистику как его длины, так и ориентации. Исследована зависимость формы функции распределения от числа Вайссенберга, характеризующего относительную мощность внешнего потока. В случае хаотического внешнего потока сначала изучается функцию распределения углов ориентации полимера относительно плоскости сдвиговой компоненты. Показано, что функция распределения угла ф (отвечающего за ориентацию полимера внутри плоскости сдвиговой компоненты) асимметрична, и сконцентрирована в области углов ф ~ (f)t <С 1. Найдены универсальные асимптотика функции распределения Рф, связанная с детерминистской динамикой полимера: Рф ~ sin~2 ф. Для модели с дельта-коррелированной компонентой поля скорости получено точное выражение для функции распределения Рф. Далее, рассматривается функцию распределения угла в, связанного с отклонением полимера от плоскости сдвигового потока. Показано, что основное тело функции распределения сконцентрировано в области \в\ ~ фt, а асимптотики соответствующие большим отклонениям состоят из двух вкладов: детерминистского Рд ~ в~2 и стохастического Р$ ~ в~а, в котором константа а не универсальна и зависит от функции Крамера, связанной со статистикой поля скорости. Также показано, что функция распределения времен проворота полимера Т. имеет пик в области Т ~ где s - амплитуда сдвиговой компоненты поля скорости. Найдены асимптотики функции распределения Рт в случаях Т > иГ< (s^f)-1- В конце первой главы исследуется зависимость функции распределения длины полимера P(R) от числа Вайссенберга. Показано, что при разных значениях этого параметра может наблюдаться по крайней мере три качественно разных формы P(R). В каждой из этих ситуаций исследованы асимптотические поведения, соответствующие разным областям.

Во второй главе изучается статистика производства энтропии полимером, находящимся во внешнем стационарном потоке. Введено два типа энтропии -конфигурационная и термодинамическая, и показано, что функция распределения величины произведенной энтропии при больших временах принимает форму, предсказываемую теорией больших отклонений. Предложено два метода вычисления функции Крамера, входящей в функцию распределения, и показано, что в случае планарных потоков выполняется флуктуационная теорема, накладывающая определенные ограничения на асимптотики функции Крамера.

В третьей главе рассматривается задача размешивания пассивного скаляра хаотическими и турбулентными потоками в приграничной области. Подобная задача также мотивирована экспериментами по эластической турбулентности, а также работами [59, 60], в которых было показано, что размешивание скаляра происходит особенно медленно вблизи границ сосудов. Исследуются две принципиально разные ситуации: распадпая, соответствующая например размешиванию поля концентрации примесей. В этом случае динамика скаляра является существенно нестационарной. Примером второй ситуации является размешивание поля температур. В этом случае статистика скаляра может быть описана квазистационарным распределением. В обоих случаях исследуются средние высоких моментов пассивного скаляра, поведение которых будет указывать на сильную перемежаемость в системе. Выведено уравнение на парную корреляционную функцию и вычислим одноточечную функцию распределения пассивного скаляра. В конце главы большинство результатов обощается также на систему, в которой размешивание происходит в трубе с хаотическим потоком. Подобная система использовалась в экспериментах [61J.

Заключение

В ходе работы нами были получены следующие наиболее значимые результаты:

1. Предложена простая модель, позволяющая описывать динамику полимерной молекулы в хаотических и стационарных полях скорости со средней сдвиговой компонентой. Представлено качественное описание поведения полимера, в частности явления tumbling. Предложены две модели хаотической компоненты внешнего потока, одна из которых соответствует случайному полю общего положения, а другая предполагает изотропную, дельта-коррелированную статистику случайной компоненты потока.

2. Для задачи со стационарным потоком найдена полная функция распределения состояния полимера, описывающая одновременную статистику как его длины, так и ориентации. Исследована зависимость формы функции распределения от числа Вайссенберга, характеризующего относительную мощность внешнего потока.

3. В случае хаотического внешнего потока изучена функция распределения углов ориентации полимера относительно плоскости сдвиговой компоненты. Показано, что функция распределения угла ф (отвечающего за ориентацию полимера внутри плоскости сдвиговой компоненты) асимметрична, и сконцентрирована в области углов ф ~ <С 1. Найдена универсальная асимптотика функции распределения Рф, связанная с детерминистской динамикой полимера: Рф ~ sin-2 ф. Для модели с дельта-коррелированной компонентой поля скорости получено точное выражение для функции распределения Рф.

4. Рассмотрена функция распределения угла в, связанного с отклонением полимера от плоскости сдвигового потока. Показано, что основное тело функции распределения сконцентрировано в области |0| ~ ф^ а асимптотики соответствующие большим отклонениям состоят из двух вкладов: детерминистского Рв ~ 9~2 и стохастического Ро ~ 9~а, в котором константа а не универсальна и зависит от функции Крамера, связанной со статистикой поля скорости.

5. Изучена функция распределения времен проворота полимера Т. Показано, что ее пик находится в области Т ~ где s - амплитуда сдвиговой компоненты поля скорости. Найдены асимптотики функции распределения Рт в случаях Т иТ< (s</>t)-1.

6. Исследована зависимость функции распределения длины полимера P(R) от числа Вайссенберга. Показано, что при разных значениях этого параметра может наблюдаться по крайней мере три качественно разных формы P(R). В каждой из этих ситуаций исследованы асимптотические поведения, соответствующие разным областям.

7. Для полимера в стационарном внешнем потоке вычислена функция Крамера, связанная с распределением диссипации энергии и производства конфигурационной энтропии за фиксированный интервал времени. Найдены условия, при которых эти функции распределения удовлетворяют флуктуационной теореме. Вычислены их асимптотики, а также изучена их зависимость от структуры внешнего потока. Результаты обобщены на случай произвольной линейной стохастической системы.

8. Исследована динамика пассивного скаляра (поля концентрации примесей или флуктуаций температуры), перемешиваемого хаотическим или турбулентным потоком и локализованного вблизи границ сосуда. Найдены универсальные законы, описывающие распад (гомогенизацию) в периферийной области. Показано, что распад скаляра протекает в две стадии, первая из которой характеризуется степенным затуханием скаляра, и сужением области его локализации. Во время второй стадии скаляр сконцентрирован в узком диффузионном слое и распадается экспоненциально быстро. Получены аналитические выражения для средних значений моментов пассивного скаляра, его одноточечной функции распределения, одновременного парного коррелятора. Рассмотрены два типа геометрии, соответствующие замкнутому сосуду и течению в трубе.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Lebedev V. V., Turitsyn, К. S. Passive scalar evolution in peripheral regions. // Phys. Rev. E. - 2004. - Vol. 69, no. 3. - P. 036301.

2. Chertkov M., Kolokolov I., Lebedev V., Turitsyn K. Polymer statistics in a random flow with mean shear. // J. Fluid Mech. — 2005. — Vol. 531. — Pp. 251-260.

3. Celani A., Puliafito A., Turitsyn K. Polymers in linear shear flow: A numerical study 11 Europhysics Lett. - 2005. - Vol. 70, no. 4. - Pp. 464-470.

4. Puliafito A., Turitsyn K. Numerical study of polymer tumbling in linear shear flows // Physica D. - 2005. - Vol. 211, no. 1-2. - Pp. 9-22.

5. Turitsyn K., Chertkov M., Chernyak V., Puliafito A. Statistics of Entropy Production in Linearized Stochastic System // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 98, no. 18 - P. 180603.

6. Turitsyn K. S. Polymer dynamics in chaotic flows with strong shear component // Принято к печати в ЖЭТФ. — 2007.

1. Transcription against an applied force / H. Yin, M. D. Wang, K. Svoboda et al. // Science. — 1995. — Vol. 270, no. 5242.- Pp. 1653-1657.

2. Evidence for the universal scaling behaviour of a freely relaxing DN A molecule / S. Manneville, P. H. Cluzel, J. Viovy et al. // Europhys. Lett. 1996. - Vol. 36, no. 6.-Pp. 413-418.

3. Perkins Т. Т., Smith D. E., Chu S. Single polymer dynamics in an elongational flow // Science. — 1997. — Vol. 276, no. 5321.- Pp. 2016-2021.

4. Doyle P., Shaqjeh E., Gast A. Dynamic simulation of freely draining flexible polymers in steady linear flows //J. Fluid Mech. — 1997. — Vol. 334. — Pp. 251-291.

5. Smith D. E., Chu S. Response of flexible polymers to a sudden elongational flow // Science. — 1998. — Vol. 281, no. 5381.- Pp. 1335-1340.

6. Smith D. E., Babcock H. P., Chu S. Single-polymer dynamics in steady shear flow // Science. — 1999. — Vol. 283, no. 5408.- Pp. 1724-1727.

7. Hegner M., Smith S. В., Bustamante C. Polymerization and mechanical properties of single RecA-DNA filaments // PNAS. 1999. - Vol. 96, no. 18. -Pp. 10109-10114.

8. Li L., Larson R., Sridhar T. Brownian dynamics simulations of dilute polystyrene solutions // Journal of Rheology.— 2000.— Vol. 44, no. 2.— Pp. 291-322.

9. Hur J. S., Shaqfeh E. S. G., Larson R. G. Brownian dynamics simulations of single DNA molecules in shear flow // J. Rheol— 2000.- Vol. 44, no. 4,-Pp. 713-742.

10. Сиг Y., Bustamante С. Pulling a single chromatin fiber reveals the forces that maintain its higher-order structure // PNAS. — 2000. Vol. 97, no. 1. -Pp. 127-132.

11. Single-molecule studies of the effect of template tension on T7 DNA polymerase activity / G. J. L. Wuite, S. B. Smith, M. Young et al. // Nature. 2000. -Vol. 404, no. 6773. - Pp. 103-106.

12. Dynamics of dilute and semidilute dna solutions in the start-up of shear flow / J. S. Hur, E. S. G. Shaqfeh, H. P. Babcock et al. // J. Rheol. 2001. - Vol. 45, no. 2. - Pp. 421-450.

13. Direct imaging of single-molecules: from dynamics of a single DNA chain to the study of complex DNA-protein interactions / B. Ladoux, J. Quivy, P. S. Doyle et al. // Science Progress. 2001. - Vol. 84, no. 4. - Pp. 267-290.

14. Chu S. Biology and polymer physics at the single-molecule level // Philos. Trans. A. 2003. - Vol. 361, no. 1805. - Pp. 689-698.

15. Gerashchenko S., Chevallard C., Steinberg V. Single-polymer dynamics: Coil-stretch transition in a random flow // Europhys. Lett. — 2005. — Vol. 71, no. 2. Pp. 221-227.

16. Gerashchenko S., Steinberg V. Statistics of tumbling of a single polymer molecule in shear flow // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96, no. 3.

17. Dynamics of Polymeric Liquids. Second Edition. Vol. 2: Kinetic Theory / R. B. Bird, C. F. Curtiss, R. C. Armstrong, O. Hassager. — New York: Wi-ley-Interscience, 1987.

18. Characteristic periodic motion of polymers in shear flow / С. M. Schroeder, R. E. Teixeira, E. S. G. Shaqfeh, S. Chu // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95, no. l.-Pp. 1-4.

19. Shear thinning and tumbling dynamics of single polymers in the flow-gradient plane / R. E. Teixeira, H. P. Babcock, E. S. G. Shaqfeh, S. Chu // Macro-molecules. 2005. - Vol. 38, no. 2. - Pp. 581-592.

20. Evans D. J., Cohen E. G. D., Morriss G. P. Probability of second law violations in shearing steady states // Physical Review Letters Phys Rev Lett. — 1993. — Vol. 71, no. 15.- Pp. 2401-2404.

21. Gallavotti G., Cohen E. G. D. Dynamical ensembles in nonequilibrium statistical mechanics // Phys. Rev. Lett.- 1995.- Vol. 74, no. 14.- Pp. 2694-2697.

22. Kurchan J. Fluctuation theorem for stochastic dynamics // Journal of Physics A: Mathematical and General J. Phys. Math. Gen. — 1998. — Vol. 31, no. 16. — Pp. 3719-3729.

23. Gamier N., Ciliberto S. Nonequilibrium fluctuations in a resistor // Phys. Rev. E. 2005. - Vol. 71, no. 6. - Pp. 1-4.

24. Verification of the crooks fluctuation theorem and recovery of RNA folding free energies / D. Collin, F. Ritort, C. Jarzynski et al. // Nature Nature. — 2005. -Vol. 437, no. 7056. Pp. 231-234.

25. Jarzynski С. Equilibrium free-energy differences from nonequilibrium measurements: A master-equation approach // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 56, no. 5 SUPPL. A. Pp. 5018-5035.

26. Jarzynski C. Nonequilibrium equality for free energy differences // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78, no. 14.- Pp. 2690-2693.

27. Hatano T. Jarzynski equality for the transitions between nonequilibrium steady states // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 60, no. 5 A.

28. Chernyak V., Chertkov M., Jarzynski C. Dynamical generalization of nonequilibrium work relation // Phys. Rev. E.— 2005. — Vol. 71, no. 2.

29. Chernyak V. Y., Chertkov M., Jarzynski C. Path-integral analysis of fluctuation theorems for general Langevin processes // J. Stat. Mech. — 2006. — no. 8.

30. Visco P. Work fluctuations for a Brownian particle between two thermostats // J. Stat. Mech. — 2006. no. 6.

31. Derrida В., Lebowitz J. L., Speer E. R. Free energy functional for nonequilibrium systems: An exactly solvable case // Phys. Rev. Lett. — 2001.— Vol. 87, no. 15.

32. Bodineau Т., Derrida B. Distribution of current in nonequilibrium diffusive systems and phase transitions // Phys. Rev. E. — 2005.— Vol. 72, no. 6.

33. Oster G., Wang H. Rotary protein motors // Trends in Cell Biology Trends Cell Biol. 2003. - Vol. 13, no. 3. - Pp. 114-121.

34. Seifert U. Fluctuation theorem for a single enzym or molecular motor // Euro-phys. Lett. 2005. - Vol. 70, no. 1. - Pp. 36-41.

35. Seifert U. Fluctuation theorem for birth-death or chemical master equations with time-dependent rates // Journal of Physics A: Mathematical and General J. Phys. Math. Gen. 2004. - Vol. 37, no. 42.

36. Groisman A., Steinberg V. Elastic turbulence in a polymer solution flow // Nature. 2000. - Vol. 405. - P. 53.

37. Groisman A., Steinberg V. Efficient mixing of liquids at low Reynolds numbers using polymer additives // Nature. 2001. - Vol. 410. - Pp. 905-908.

38. Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds numbers. — Amsterdam, 1949. North-Holland.

39. Lumley J. Drag reduction by additives // Ann. Rev. Fluid Mech.— 1969.— Vol. l.-P. 367.

40. Ralkovsky E., Fouxon A., Lebedev V. Turbulent dynamics of polymer solutions // Phys. Rev. Lett 2000. - May. - Vol. 84, no. 20. - Pp. 4765-4768.

41. Chertkov M. Polymer stretching by turbulence // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 84, no. 20,- Pp. 4761-4764.

42. Fouxon A., Lebedev V. Spectra of turbulence in dilute polymer solutions // Phys. Fluids. 2003. - Vol. 15. - Pp. 2060-2072.

43. Shraiman В. I., Siggia E. D. Scalar turbulence // Nature. — 2000. —Jun.— Vol. 405, no. 6787. Pp. 639-646.

44. Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence // Rev. Mod. Phys.- 2001. -Nov. Vol. 73, no. 4.- Pp. 913-975.

45. Batchelor G. Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. // J. Fluid Mech. 1959. - Vol. 5.- Pp. 113-133.

46. Kraichnan R. Inertial ranges in two-dimensional turbulence // Phys. Fluids. — 1967.- Vol. 10, no. 7.- Pp. 1417-1423.

47. Kraichnan R. Inertial-range transfer in two- and three-dimensional turbulence Ц J. Fluid Mech. 1971. - Vol. 47. - Pp. 525-535.

48. Kraichnan R. Statistical dynamics of two-dimensional turbulence //J. Fluid Mech. 1975. - Vol. 67. - Pp. 155-175.

49. Statistics of a passive scalar advected by a large-scale two-dimensional velocity field: Analytic solution / M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev // Phys. Rev. E. — 1995. — Vol. 51, no. 6.- Pp. 5609-5627.

50. Eyink G., Xin J. Self-similar decay in the kraichnan model of a passive scalar // J. Stat. Phys.- 2000.- Vol. 100, no. 3-4.- Pp. 679-741.

51. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости. — Мир, 1973. — 760 с.

52. Son D. Т. Turbulent decay of a passive scalar in the batchelor limit: Exact results from a quantum-mechanical approach // Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 59, no. 4.-Pp. R3811-R3814.

53. Balkovsky E., Fouxon A. Universal long-time properties of lagrangian statistics in the batchelor regime and their application to the passive scalar problem // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 60, no. 4. - Pp. 4164-4174.

54. Chertkov M., Lebedev V. Decay of scalar turbulence revisited // Phys. Rev. Lett. 2003. - Jan. - Vol. 90, no. 3. - P. 034501.83

55. Chertkov M., Lebedev V. Boundary effects on chaotic advection-diffusion chemical reactions // Phys. Rev. Lett. 2003. - Apr. - Vol. 90, no. 13. - P. 134501.

56. Burghelea Т., Segre E., Steinberg V. Mixing by polymers: Experimental test of decay regime of mixing // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. - P. 164501.

57. Warner H. Kinetic theory and rheology of dilute suspensions of finitely extensible dumbbells // Ind. Eng. Chem. Fundam. 1972. - Vol. 11.- P. 379.

58. Marko J. F., Siggia E. D. Stretching DNA // Macromolecules. — 1995. — Vol. 28, no. 10.- Pp. 8759-8770.

59. Hinch E. Mechanical models of dilute polymer solutions for strong flows with large polymer deformations. // Proc. Symp. Polymer Lubrification. — 1974.

60. Fuller G., Leal L. Flow birifrengence of dilute polymer solutions in two-diimen-sional flows 11 Rheol. Acta. 80. - Vol. 19. - P. 580.

61. Dunlap P., L.G. L. Dilute polystyrene solutions in extensional flows: birifrengence and flow modification //J. Non-Newtonian Fluid Mech.— 1986.— Vol. 23. P. 5.

62. Visualization of molecular fluctuations near the critical point of the coil-stretch transition in polymer elongation / H. Babcock, R. Teixeira, J. Hur et al. // Macromolecules. 2003. - Vol. 36. - P. 4544-4548.

63. Groisman A., Steinberg V. Stretching of polymers in a random three-dimensional flow // Phys. Rev. Lett.- 2001.- Vol. 86, no. 5.- Pp. 934-937.

64. Groisman A., Steinberg V. Elastic turbulence in curvilinear flows of polymer solutions // New J. Phys. 2004. - Vol. 6.

65. Hinch E., Leal L. The effect of Brownian motion on the rheological properties of a suspension of non-spherical particles //J. Fluid Mech. — 1972. — Vol. 72. — Pp. 683-712.

66. Balkovsky E., Fouxon A., Lebedev V. Turbulence of polymer solutions // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 64, no. 5. - P. 056301.

67. Ellis R. Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics.— Berlin: Springer Verlag, 1985.

68. Puliafito A., Turitsyn K. Numerical study of polymer tumbling in linear shear flows // Physiea D.- 2005.- Vol. 211, no. 1-2.- Pp. 9-22.

69. Tolman R. C. Duration of molecules in upper quantum states // Phys. Rev. — 1924. Jun. - Vol. 23, no. 6. - Pp. 693-709.

70. Dridgman P. W. General considerations on the photo-electric effect // Phys. Rev. 1928. - Jan. - Vol. 31, no. 1. - P. 90.

71. Nyquist H. Thermal agitation of electric charge in conductors // Phys. Rev. — 1928. Jul. - Vol. 32, no. 1. - Pp. 110-113.

72. Farago J. Injected power fluctuations in Langevin equation // J. Stat. Phys. — 2002. Vol. 107, no. 3-4. - Pp. 781-803.

73. Farago J. Power fluctuations in stochastic models of dissipative systems // Physiea A. 2004. - Vol. 331, no. 1-2. - Pp. 69-89.

74. Монин А., Яглом А. Статистическая гидромеханика: теория турбулентности. М.: Наука, 1992. - 695 с.

75. Фриш У. Турбулентность: Наследие А.Н. Колгомогорова .— М.: Фазис, 1998. 346 с.

76. Gawedzki К., Kupiainen A. Anomalous scaling of the passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75, no. 21. - Pp. 3834-3837.

77. Shraiman В., Siggia E. Anomalous scaling of a passive scalar in turbulent flow // CRAS. 1995. - Vol. 321, no. 7. - Pp. 279-284.

78. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar / M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, V. Lebedev // Phys. Rev. E.— 1995.- Vol. 52, no. 5.- Pp. 4924-4941.