Статистика случайных векторов в пространствах растущей размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

СТЕПАХНО Владимир Иванович

СТАТИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ ЬЕКТОРОВ Б ПРОСТРАНСТВАХ РАСТУЩЕЛ РАЕМЗИЮСТИ

0I.OI.O5 - теория вероятностей и

математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1992

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Институте математики АН Украины.

Научный консультант-академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Скороход A.B.

Официальные оппоненты: член-корр.АН Российской Федерации,

доктор физико-математических наук, профессор ИБРАГйЫСВ И.А.,

■доктор физико-математических наук,

профессор

САЗОНОВ В.Б.,

член-корр. АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор ЯДРЕНКО М.И.

Еедущая организация: Институт кибернетики АН Украины.

Защита диссертации состоится " А/!п {к^чл-ие*^* 199^3г. в /■ST' часов на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев, ГСП, ул.Решша.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " /Л " ,¿^сд^п ■уухг.^

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.Е.

■'Л (

гаций !

ОЛЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОТМ

Актуальность теми. Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения больших выборок из многомерного распределения при условии, что размерность пространства неограниченно возрастает. Традиционно многомерный статистический анализ в значительной степени посвящен определению среднего значения и корреляционного оператора многомерного нормального распределения ( изложение этих результатов можно найти в книге Т.Андерсона "Введение в многомерный статистический анализ"). Дальнейшим обобщением этой задачи можно считать и задачу определения параметров гауссовского случайного процесса. Следует отметить, что принципиальным отличием статистики случайных процессов является содержательность задачи о точном определении параметров распределения по единственному наблюдению. Правда, в этом случае наблюдением является вся траектория процесса ( см..напр., книгу И.Ш.Ибрам-халилова, А.В.Скорохода "Состоятельные оценки параметров случайных процессов").

Один из возможных подходов к решению задач статистики случайных процессов - это рассмотрение не целой траектории случайного процесса, а ее значений в нескольких точках. Дяя получения достоверных значений в этом случае нужно снимать наблюдения с нескольких траекторий. Естественно возникает задача об изучении статистик от таких наблюдений, когда число траекторий и число точек, в которых снимаются наблюдения, одновременно стремятся к бесконечности. Таким образом, мы приходам к задача статистического исследования многомерных распределений при условии, что размерность пространства, в котором сосредоточено исследуемое распределение, неограниченно возрастает.

Четко задача статистического исследования в пространстве бесконечно возрастающей размерности сформулирована в книге Е.Я.Гир-ко "Многомерный статистический анализ". Там же для совокупности таких задач предложено название - общий статистический анализ. Основное внимание в это;! книге посвящено исследовании асимптотического поведения случайных матриц неограниченно возрастающей размерности. Следует отметить, что изучение таких матриц Бызвано не только задачами статистики, но и некоторыми ¡пзаческлми задачами (см. обзор Л.А.Пастура "Спектры случайных самосопрялешшх ол"рзторов". Успехи мат.наук. - 1973. - Т.25, ,'£ I).

Вышесказанное позволяет сделать вывод, что задача асимптотического исследования больших выборок в пространстве неограниченно растущей размерности является одной из актуальных задач современной теории вероятностей.

Данная диссертационная работа посвящена изучению асимптотики поведения выборки из многомерного распределения, если размерность пространства п. и объем выборки т. одновременно стремятся к бесконечности. Рассматриваемые здесь задачи разбиваются на два класса. К первому классу относятся задачи о расположении выборки из т. независимых векторов е пространстве Ял. Эти задачи собраны в гл.1. Рассматриваются векторы с независимыми координатами, имеющими или нормальное распределение, или распределения, для которых выполнены некоторые грубые теоремы о большие уклонениях.

Рассматриваются также векторы с независимыми компонентам!, имеющими либо устойчивое распределение, либо притягивающееся к устойчивому распределению. При этом. существенным образом используются как свойства самих устойчивых распределений ( наиболее полно эти свойства освещены в книге Е.Н.Золотарева "Одномерные устойчивые распределения"), так и предельные теоремы для функционалов от сумм независимых случайных величин, развитые Л.Е.Скороходом ( см. "Предельные теоремы для случайных процессов с независимыми приращениями" // Теория вероятностей и ее применение. -1957. - Еып.2. - С. 145-177; "Случайные процессы с независимыми приращениями". - М. :11аука, 1964. - 278 е.). Оказывается, что геометрия расположения векторов с устойчивыми компонентами существенно отличается от таковой для нормально распределенных компонент. Наконец, рассматриваются векторы, для которых компоненты имеют медленно меняющиеся функции распределения ' точнее хвосты распределений). В этом случае геометрия выборки отличается и от устойчивого, и от нормального случая. Заметим также, что рассматриваемые здесь задачи имеют тесную связь с изучением предельных распределений для членов вариационного ряда ( см. II.Е.Смирнов "Предельные закони распределения для членов вариационного ряда"// Труды мат., ин-та ш.Г .Л.Стекдова. - 1949 . - Т.25. - C.I-G0; Е.Б.ГпедеНКО "Sur la ciotribution limite du terme maximum d'nno ferie nlentoire 11 // ;.nn. .423-453 ).

Гторой класс задач cr-язан с построением обобжошт пояшоиои

Эрмита от совокупности независимых гауссовских векторов, а затем -с применением таких полиномов, с исследованием асимптотических свойств эмпирических корреляционных операторов.

Основанный на использовании векторнозначных полиномов Зр-

ап. %п

> .метод исследования эмпирического корреляционного оператора позволил выделить "главную часть" этого оператора, и для этой главной части эффективно описать собствен-ние функции и собственные значения и, таким образом, построить асимптотически точное разложение единицы для этого оператора.

Научная новизна работа. В работе построена теория геометрического расположения больших выборок в пространствах неограниченно возрастающей размерности. В сеязи с этюд найден новый широкий класс распределений, для которых выполняются грубые предельные теоремы для больших уклонений. Введен новый класс полиномов Эрмита от системы т независимых гауссовских векторов в Л."-со значениями в пространстве полилинейных форм. Доказаны центральная предельная теорема и некоторые ее обобщения для указанных полиномов при г», и т. —>■ .

Развит новый метод исследования спектра эмпирического корреляционного оператора гауссовского многомерного распределения.

Методика исследования. Основной метод исследования - использование теорем о больших уклонениях для величин, асимптотически притягивающихся к нормальному распределению, устойчивым распределениям, а также распределениям с медленно меняющимися хвостата (см. И.А.Ибрагимов, Ю.Е.Линник "Независимые и стационарно связанные величины"; В.М.Золотарев "Одномерные устойчивые распределения"). Использованы также мартингалыше метода в предельных теоремах для случайных величин (см..напр., Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев "Теория мартингалов"; И.И.Гихман, А.В.Скороход "Стохастические дифференциальные уравнения"), а также аналитические методы теории ортогональных многочленов.

Практическая и теоретическая ценность. ' Полученные результаты имеют практическое значение в общем статистическом анализе, в теории суммирования независимых и зависших случайных величин, в спектральной теории случайных 'матриц. Они могут быть использованы в задачах математической и теоретической физики, приводящих к изучению случайных матриц.

Апробация работы. Результаты диссертант докладывались: на 1У Гсесоязкоп научно-технической конференция

менение многомерного статистического анализа в экономической оценке качества продукции" (Тарту, 1989 г.);

на семинаре "Бесконечномерные распределения в гильбертовом пространстве" при отделе теории случайных процессов Института математики АН Украины (1990 г.);

на семинаре "Случайные операторы и стохастические уравне-( ния" при отделе теории случайных процессов Института математики

АН Украины (1990 г.); йлг _ на семинаре "Многомерный статистический анализ" при кафедре-прикладной статистики факультета кибернетики Киевского го-суниверойтета (1990 г.);

на П Донецкой конференции по вероятностным моделям процессов в управлении и надежности ( Мелекино, 1930 г.);

- 'на Республиканской школе-семинаре "Стохастический анализ и его приложения", организованной отделом теории случайных процессов и отделом теории вероятностей и математической статистики (Косов , 1990 г.);

на Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (г.Пермь, 1990 г.);

на У1 Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киев, 1991 г.);

на секции теории вероятностей и математической статистики при Ученом совете Института математики АН Украины (1990 г., 1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах £1 - 15 3 .

Структура и объем работы. Диссертация, содержащая 255 страниц машинописного текста,„состоит из введения и двух глав, которые разбиты на 12 параграфов, а каждый параграф на пункты. Список литературы содер;шт 209 наименований.

С0ДЕРЗА1ШЕ РАБОТЫ

Формулируемые ниже определения, теоремы, следствия и замечания имеют те же номера, что и в диссертации.

Ео введении дается краткий обзор исследований но тематике диссертации и краткая характеристика работы с изложением основных результатов.

В первой главе изучаются асимптотические свойства множеств независимых векторов в пространствах неограниченно возрастающей размерности.

В § I приводится постановка задач асимптотического исследования больших выборок в пространстве неограниченно растущей размерности, т.е. когда размерность пространства tt и объем выборки tn стремятся к бесконечности.

Рассматриваются независимые наблюдения случайного вектора J в пространстве Л11 , имеющего функцию распределения <?С<£*), причем, компоненты вектора J являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими не зависящую от

а функцию распределения. Расположения одного случайного вектора в пространстве характеризуются распределением одной координаты. Геометрическая характеризация такого положения является одной из задач, которая и рассмотрена в диссертации, т.е. изучается поведение случайного множества ■M-j^' = {, J^ »^ з

когда ti ~* "" и —► <*> зависимо от п. . Среди геометрических характеристик этого множества рассмотрены, например, такие:

1) поверхность в Л , в окрестности которой расположено

множество Ц ; _

rtt 1,1

2) форма облака II £Cx^l, где 11 ^ (х1 - шар радиуса £ с центром в точке X ;

3) вид геометрической фигуры, полученной в результате соединения всех точек множества отрезками;

4) условия, при которых множество М1п> плотно заполняет ка-

nt-

кую-то часть пространства.

Мы будем различать случаи:

а) малого числа наблюдений, когда —*

б) среднего числа наблюдений, когда

в) большого числа набжздений, когда

В первую очередь представляют^ интерес нижние и верхние сферические границы множества Mnt . т.е. гШл. IJ^I и max 1^1

Существенны!.» образом на характер поведения Еектора J вли-'яет вид распределения одной координаты случа;'1ного взктора. Так, если это распределение пходит в область нормального притязания,

1л1rt

a —*

bltn. rt * С

a

то все координаты , в определенном смысле, равноправны и "направ-„

ления || примерно равномерно распределены на единичной

сфере. '

Если распределение координаты принадлежит области устойчиво -го закона, то тогда среди координат вектора, грубо говоря, только конечное число их имеет существенное значение, и поэтому векторы приближаются к конечномерным, не случайным плоскостям.

А если распределение - медленно меняющаяся функция распределения, то среди координат вектора ^ только одна имеет существенное значение, и в этом случае векторы асимптотически стремятся к координатным осям.

Отмечено также, что при любой функции распределения из множества Лможно выбрать подмножество векторов, которые ведут себя так, как будто для них распределение притягивается к нормальному закону. И если т. имеет порядок Сп ( О! ), то и это подмножество имеет такой же порядок.

В § 2 рассматриваются т. - независимые гаус-

совы случайные векторы в Ал , имеющие плотность распределения

^ г , ¿Л

в (¿а) гпр | 1*1 j . (2.1)

Для таких векторов в случае малого числа наблюдений доказана дующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть

для произвольного £>0

дующая теорема. ^ ^

Теорема 2.1. Пусть --при п —► а* . Тогда

п.

!) {¡пи 6 * йиР + sii

2) и * иу '¿г^;1 *

п.-*»

¿♦к

(2.2)

(2.3)

еле

Следующее утвегядение показывает поведение нишей и верхней

т.

сферических грашщ множества Н ж' в случае среднего числа на-

блюдений.

Теорема 2.2. ' Пусть m - Сл ,где С у 1 .Тогда для любого & >0

ton. ^iaf у=Г Ч,

(2.10)

1£к ¿т.

U p{ii-A)i4 6 вир ~=~ +

П.-* ее ¿¿k itri

-I, (2.II)

где -ii определяется из соотношения Сна« f * ^* а - £аС

J А* « '

а i»jr из соотношения Ea + '¿^ a " ^^ •

На минимальное расстояние мезду точками .множества М. т указывает следующая теорема.

Теорема 2.3. Е условиях теоремы 2.1, для каждого £>0

&Л1 р | ГП1Л

! J. - J. I \ ¿о, (2.14)

П-*. м m. 1 J 7

где находится из соотношения &td + я " ¿biC ,

Затеи рассматривается величина S, j (па* /tun. li- i. I

ы iiktriL !

"h, - есть тот минимальней радиус t , при котором кзтдай из замкнутых шаров ч1 ц, t * k ) содер':шт, по крайней мере, две точки, i.e. при < 6ц. найдется хотя бы одна точка , которая ле::ии на расстоянии, больном, чем X } от всех остальных точек. Еелпчина характеризует изолирован-

ность отдельных точек множества • Получены оценки снизу

для величин вх

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и J> та-

кое, как в теореме 2.1, а $>0 является решением уравнения г г . <3

5

А

£8 *

- Ьг -/ ,11 + -, , .1 ""О.

Тогда для всякого ¿■»О

йпг Р [в е (2.18)

п. —*■ а ^

Далее рассматривается в условиях теоремы 2.2 характер заполнения векторами сферического слоя

[1*1 бСи-лЫ^Ул^а+г)^ } в котором находятся эти век-

торы с вероятностью сколь-угодно близкой к единице. Как вытекает из теоремы 2.3, каждую точку £ можно поместить в центр шара радиуса ¿.У¿п. ' , так что эти шары не будут пересекаться. В § 2 диссертации исследован случай, когда С в теореме

2.2 стремится к бесконечности, т .е. I » со. Толькс

п.

в этом случае можно ожидать, что векторы будут заполнять часть пространства. ^^

Теорема 2.5. Пусть - —у ее . Тогда, дан всякого

К,наконец, рассматриваются условия, когда векторы плотно

заполняют часть пространства без нормировки.

Теорема 2.6. Пусть ¿¿т. ^= ^ • Тогда

для всякого 8>0 ия^"-"»0

и 41 С =» <11 _(О) I

¿=1 * 1 Лу'гкт. ' J

"1 ' (2.21)

п.

Таким образом, для нормальных случайных векторов множество

. (а)

Мт. имеет достаточно простую геометрию, а именно: при £лпг ' О С п) оно асимптотически расположено на поверх-

ности шара 'Utfji Cû) , затем, при in m Оп. множество расположено в сферическом слое

I х : < 1X1 ^ А4Уа 3 с фиксированными границами, и, на-

конец, при С —»• с*> _ множество iiотносительно плотно заполняет шар ^yjjjj—1

Б § 3 главы I найдены условия, при которых асимптотически гауссовы случайные векторы сохраняют обнаруженные свойства для нормально распределенных векторов.

Сначала рассматривается случай "малой" выборки и устанавливается результат, аналогичный тому, который имел мэото для нормальных векторов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) H^'.Oi -ii

2) Я е>р [S <■ i£Vj «

„, in m

3) —-— —». О при rt -► *>.

Тогда для всякого & > О

km JP {U-A)Vа <

< mût i I a tnclA I |, | 4 lit ¿m ИкЛт K J

п. —* <« ¿¿¿^¿м. 1£С^£т ^

Далее рассматриваются условия, при которых для средних выбо-.рок существуют сферические границы с радиусом порядка УК1 Б этом же параграфе вводится некоторый класс одномерных рзспреде-

лений, для которых такого рода асимптотику можно установить.

Определение 3.1. Функция распределения &на Л + принадлежи клаооу Е , если выполнены следующие условия: . <я

1) ш е J xdJi*> ^

2) Для всех х У/0 существуют пределы

pl^O * tin. 7и (3.7)

+ а—»■••' " П> —да»

и при этом (к) строго убывает для * > т. при

iS,О >0 , a строго возрастает для

при С. >0 . Использование распределений класса Е

поясняет следующая теорема.

Теорема 3.?. Пусть ^¿«•••t^nt -независимые одинаково распределенное случайные векторы в Л л с независимыми одинаково распределенными компонентами Js^ * i •••> < причем

распределение &й (Ю я Р £ пРкна-ЬЛЕЗЖИТ классу

irttn - *

Е и - по ¿п С , где С > i .И пусть CL,

п.

и

(3.8)

(3.9)

определены из соотношений Сб_ С ¿L й С С. , О, + ),

с (Se, i>~) + i-i + 5.

Тогда для всякого £>0

- £

Im. P\ii-&)CLi i A 1^1 ^ (¿+6)ад3 si, (3.10)

п-+"0 iifcim-

U. PjV*)^ sup II (mHj^i. (ЗЛ1)

liLitn.

Следующие результаты показывают плотность заполнения множеством .М^' некоторой части пространства, как это было справедливо для нормальных вектороЕ.

Теорема 3.3, Пусть: 1°. Функция распределения величины имеет плотность JCx) , для которой существует о ^т.

{¿т. --- =- об . 2 . —— —* по при П

во X

Тогда для любого Л ^ i и какого бы ни было о >0

т.

'( U и, „ С|.) э <2i --, С01Л

1 1 aWvin J

(3.27)

при п. —> во.

Теорема 3.4. Пусть выполнено условие 1° теоремы 3.3 и —► ». Тогда для всякого <Г > 0 и Я < i

а in. п

Ья P{u U;CJ.) - \j7T-l <°>]

t*i

В § 4 изучаются геометрические свойства устойчивых случайных векторов и притягивающиеся к ним. Пусть случайные векторы <1 ^ независимые и имеют независимые одинаково распределенные компоненты , функция распределения которых &(х) удовлетворяет одному из следующее условий: ,

1) Функция Jjjiaj sjiiü )-SC- V?) - Р [ili, ) появляется устойчивой функцией распределения с показателем оL ¿i, ;

2) SC я. 1 имеет симметричное устойчивое распределение с показателем Л <d ■

3) - симметричная функция распределения, притягивающаяся к устойчивому закону с показателем сС ^ ä . Crt)

Оказывается, что в этом случае поведение множества существенно отличается от того, что установлено для гауссовских случайных векторов. Эти отличия заключаются в следующем:

во-первых, отсутствует "жесткая" верхняя сферическая граница для множества Я ; ..

во-вторых, сферический слой вида {йч ^ >

содержащий асимптотически множество , будет таким, что

—i —>■ "о . если только пт. —*■ ■» . о. п.

И, наконец, наблюдения будут располагаться ке г> шаровой области, а в об части, ;:ме:::\ей г::сту!:и где ль г.о^г.пнатн^х осе/.

Это отражают следующие точные результаты. Сначала исследуется нижняя сферическая граница множества Л в предположении, что Six."* удовлетворяет условию I). Полагаем

* * « , 1£> * Д «li I * £ С 4 ) . U.D

* îti *

При этом предположении имеет устойчивое распределение

с тем же показателем et . А величина

(4.2)

00 1 £ , Л" &

' "Тй ? >

* а 1*1

имеет то же распределение , что и ) .

В вариационном ряду,. построенном по величинам ..., -

- р* > ^ >... > ^ ь вводится обозначение = 1^1.

Теорема 4.1. Пусть п. -*•<*> и лг —г оо . Тогда

-- -1 по вероятности. (4.4)

£

С

_ Пусть функция распределения ^Сж) удовлетворяет условиям 2) или 3) и ¿jn km с ц, С

«-*<*> П.

Тогда существует такое £2. , что для всякого А >0

2un Р[а-А>атЯ < Д 4 (itAJaVfcJ Si. (4Л1)

fl—f «о

Затем рассматривается поведение множества Ж в верхних слоях, лля этого изучается совместное распределение величин f* * J'd* ' ""'Л* >где ^ ~ либов натуральное число.

Тес рема 4.С. Пусть выполнено условие I). Тогда совместное продельное распределение величин ( 1 ,

L , > -fW. lam.)

Cfï) , t= 4,г, ...,£} U.:o

при п. —*■ о» и т. —ао сходится к совместному распределению случайных величин £ 1 » £ • которые образуют однородную цепь Маркова с вероятностью перехода

р [г < <} = е*р С ,где с3 * и Л ((¿у > * }.

3 Л *

причем распределение £ А определяется равенством

3 J п-

Лнадогичный результат имеет место и в том случае, когда удовлетворяет условиям 2) или 3).

Эта теорема показывает, что множество Л ^ в верхних слоях очень "разряжено".

Далее исследуется средний слой,который состамякл1 ^большинство векторов. Рассматривается один вектор, например Связанный с him случайный процесс имеет вид

¿¿lit 1 ✓ s

Предполагается, что распределение / нормально притягива-

ется к устойчивому закону с показателем «£. . Тогда процесс

Ш слабо сходится к процессу I , который фигурирует в теореме 4.3. И, если обозначить > jS^ у ... у вариационный ряд величин С,!"' , то совместное распределение Да j ¡Pit Для любого I сходится к совместному распределению цепи Маркова fcj» —, указанной в теореме 4.3. В частности, справедлива следующая теорема. Теорема 4.5. Существует такая последовательность ¿л —«, £а = О , что:

I. ы р{ £ u^'J,'2} =°, (4-24)

И.-+ сч li-i+1

п

каково Сы ни било 0 ;

к

- Г "I «з л

2. ^ ^ ^ } (4.25)

П~* ев п

IX

где аС^^^А , а ¿>0 можно сделать выбором ¿> сколь угодно малым.

Из этой теоремы вытекает, что вектор при больншх П.

имеет конечное число "существенных" координат.

Далее рассматривается более подробно расположение векторов £^ в нижних слоях, т.е. векторов, лежащих в шарах ,

где I >0 . Поведение множества М^' П

оказалось похожим на поведение мнолеотве /I дл.-; гауссового случая.

Теорегда 4.6. Пусть ^удовлетворяют условиям 2) или 3)

параграфа 4 и —» м> • Тогда для всякого

п.

и для любого <Г у О

Р ( и „ СЛ. ) => <и „ '0)1

I 1^1 ЛУ» № к J (4.29)

при а —»■ жз.

Теорема 4.7. Пусть ^ удовлетворяют условиям 2) или 3)

параграфа 4 и ^ _^ ^ . Тогда, для всякого -):?0

и произвольного <?>0

-Р ( и п С«М = К 10Л

(4.30)

при П. —► по.

Это плотное заполнение Шаров радиуса порядка "уЯ? и есть • свойство^ аналогичное свойству гауссовых векторов, и именно это имеется ь виду,когда говорится, что множество Л^ я шганвх слоях ведет себя так же,г.ак и к гауссовом случае.

Е § 5 рассмотрены г.сктори с медленно глоияээдшел •Зуикцпдаи распределения, компоненты которых г.меют "ункцяэ

рис-^едслоння , удоЕЛРП.оряащуо слодултам услог^'ш:

1) она симметрична;

2) ее плотность распределения ^С*) представлена в виде 4CUJ

¿сил*

а

(5.1)

а

где VCn)- непрерывная, нечетная, медленно меняющаяся функция при ■t -t t<c , Т.о.

p. V ItuJ

игл - = i для всех ЧУ О.

t~+rc VU) Л

При оТюрмулиртвапних условиях функция ¿СХ'3 «Fl-n'J + i -медленно меняющаяся при * —► + <*> i и если СО - функция распределения ( ,1 ') й , то i-^C*? - также иодлен-но меняющаяся функция. Отсюда вытекает, что

Ij I* = £ el10)4 - и«* <JcV

в смысле сходимости но вероятности.

Таким образом, в этом случае подавляющее число векторов k б Л 1т асимптотически располагается на координатных осях -J2a , что принципиально отличает этот случай от рассмотренных ранее. Но и здесь могло выделить "нижний" слой, в котором поведение векторов аналогично гауссовому случаю, а также некоторые другие слои, в которых наблюдается аналогия "среднего" слоя Л в случае устойчивого распределения.

Too рема 5.1. Предположим, что выполнены условия I) и 2) параграфа 5 и функция - при X > 0 игле от един-

ственный максимум.^

I. Пусть ^ ' Положим> 4X0 0 * С± < < •*>

являются соответственно наименьшим и наибольшим решением уравне-

•{гаГ е1 в с j со

Тогда для всяких С д < & 4 b < С.^ и {>0

U Р [ 2 Hi ^con»t}»i.(5.7)

n-rro ** e атп[ J J

8)

¿арг „

2. Пусть —д;— —»■ м и числа Сгцпг для данного

¿>0 определяются как наибольшее решение уравнения

Г~— Чп. ' У<?Яе пг й <рСО Я1+Л.

Тогда, для произвольных Я >0, и £ , а также

для всех £ >0

*-»<*> км аУЯСппг с -¿-»Я Л

П|Пг " "а, ш.

Из этого утверждения следует, что векторы "жестко" за-

полняют слои шириной <? для всех <Г>0 и оказывается, что они заполняют их все одновременно.

Приводится и другой подход для изучения нижних слоев множества . Пусть Сц> 0 - некоторая последовательность такая, что С —► («о . .Разобьем все величины ( Л,' , ^ ¿т, £

^ — I к

на два множества. К первому - оц^ц отнесем те, для которых 'Ль*' ^ , а к А^а - все остальные. Гыделим теперь

подмножество С тех векторов , у которых

все координатц принадлежат в'т,«. «Очевидно, что векторы «Н ^ имеют одинаково распределенные координаты. Их плот-

ность имеет вид:

1 1 г (5.17)

/с"" '¿йП^Гс,

п * ц

Эти векторы также независимы между собой, но их число - случайно.

Если обозначить через - число этих векторов, то оно имеет

биномиальное распределение о параметрами { С£(С )" С-С .

Теорема 5.3. Пусть (п л>ап ,где йУ О , а"" -

такая последовательность, что ¿С V п. с с „.)' ,где

Са удовлетворяет условию: Н. с с^) —»- * и, кроме того, V1 1 —к . Тогда, для всякого <?>0 ' п.

1 5 > 0

И.—* [«в

(5.20)

IT

Затем рассмотрены "средние" слои. Они характеризуются тем,что "жесткое" заполнение их уже не обязательно. При этом, среди координат векторов имеются "большие". Для выделения "больших" координат используются различные границы. Определяются числа ct^

так, чтобы кгл £ if> (.па^) /у СO-^JJ » 1. Может ока-п —>

заться, что в качестве можно взять С^ .Например, при т|)СЮ<« 2a"1_t<x будет _

^ СпСЛ) ~ (£аСЛ+ (tiCj*** ,

ot_ Li

так как С = n ,где et —да и - —+Q . Если

■> * вл«.

обозначить через <&а.п. условную функцию распределения величины

J^' при условии, что IJ^ I ^ . то плотность этой

величины будет ±

Теоое.ма 5.4._ Если йв у L и у i t то тогда для ш^оЛ .гДе йгА в слое <. g1 ka

im

будут выполняться совероятностыз, стремящейся к 1, следующие условия:

1) при ааЬ о -в этом слое нет наблюдений;

2) при О-в^о ^ й < ~ в нем бесконечное число наблюдений и все они лежат в области »L ;

k +А

3) если же й = 0 а —^ И -Л g ( k Л* ),

па £jö 0 о '

где к 4 а , то всё наблюдения лежат в Vl . Здесь

Tt = ixеД I*.... г l^eidi.ai^V * w о e> в о ^

Теорема 5.5. Пусть ÜQ - А ^ и з i , и существует

вап. t ^ Тогда в слое t^«

И—ew tai,

выполняется с вероятностью, стремящейся К 1, следующее:

I) при i < £1 < Ь } Q -iei ^ 1 _ все наблюдения лежат в области Т^ .где L^Cci+ßit^ каково бы ни было £ >0 ;

2) при а у Ь^ для всякого <5 >0 , сфера радиуса с центром на сфере радиуса содер;шт бесконечное число на-

блюдений.

И, наконец, рассматриваются самые верхние слои. Е этом случае имеет место следующее утверждение.

. Теорема 5.6. Пусть (Л м (где 0.7 X ) и

I

—► 0. Тогда существует такая последовательность £ —»•£).

410 й , с и>

|| Iе - так I 1 I

Г П' ^¿^ П ^

iim.pl вир -7--1=1>^Аау

и Л. ч1 -о (5-40)

здесь ¡Г^ - множество тех векторов, среди которых есть такие, квадрат которых "большой".

' Вторая глава диссертации - "Обобщенные эрмитовы многочлены и асимптотические свойства эмпирических коррел, лонных операторов гауссовых векторов растущей размерности" - посвящена изучению функций от выборок гауссовых случайных векторов и их асимптотического поведения, когда размерность векторного пространства л. и количество наблюдений выборки т. стремится к бесконечности. Е частности, изучаются эмпирические моментные з-ункиди и в особенности, моментные корреляционные функции.

В § I приведена эмпирическая ыоментная форма степени X по следующей формуле :

m ksi

Эта цементная функция, симметрично зависящая от наблюдений, поини-

£%Ь1 ...

мает значение в пространстве 2? - t -лине1шых июрм на пространстве JJ*1 .Е частности, Jit , где

С* . £ Л 7 л

- корреляционный оператор, т.е. операторнозначная функция, симметрично зависящая от наблюдений. Основным инструментом для изучения этих функций будут обобщенные полиномы Ершта от наблюде-члй случайного вектора.

Из- формулы (I.I) вытекает, что э;лг.ирпчос1и::; коррлзд-пошшЯ

IS

оператор С* тлеет вид

т.

<*к*}к>, U.2)

* *

где оператор в ЛЛ определяется равенством

о

я с (1.з)

Е 5 2 рассматриваются свойства и строение полиномов Эрмита от нескольких случайных векторов. Обозначим через tpc X) ,где * б-R а - нормальную плотность распределения со средним О и единичным корреляционным оператором I , а через =

пт

= л х, ё Л - совместную плотность га независимых

гауссовых векторов в Л , каждый из которых имеет плотность ifOO, т. л п. .будем считать фиксированными. В пространстве

вводится скалярное произведение по формуле: если а б и .то

¿Л

в4

где е.,,..., е

п. - ортогональный базис в Л .

Обозначим через Сч,п,>тО _ пространство 5 -значных функций j-.-.jXfn.l , для которых

, «> . i« , А через Д|д С г,а, т.! и и^ lt,rt,fn.J будем обозначать

подпространства унитарно-инвариантных п унитарно-инвариантных симметричных функций соответственно. Наконец, через u' (4,rt,m.) и ¿Р^ it,п.,т.) обозначим подпространства полиномиальных 'функций. Запишем ортогональные разности:

СО U) С ¿)

Н, С 1,п,т.) = ¿Р (4,rt,m.) S J3, (г,а,лО. 4 * k-,1

(2.5)

Функции к из Н( и называются обобщенными полиномами Эрмита

I ^ Л

степени со значениями в 21 .Они унитарно инвариантны и

симметричны. Базис в пространстве Н^ С г,п,гп.) образуют поли-

нош ¿^....г^мар-шая форма которых имеет вид

^и Си [¿х

т

где ¿и У/ 0, 2 (¡¿- =1. Степень полинома к

* * £*д с! . , - . __ ,

отдельно по каждому х- будет к * «+ ^ ,

а по всем ^ - к £ Ц- + *. ¿¿¿¿¿¿ъ'-

Теорема 2.2. ы

1 Ь к £ (2-14'

» м

где ^ - векторный оператор дифференцирования по переменной

Х^ ; а обозначает ( ^, Р; 1 . Далее,в диссертации приво-

дятся рекуррентные формулы, позволяющие повышать степень обобщенного полинома Эрмита , меняя при этом количество аргументов полилинейной фуНКНИИ. а)

Лемма 2,3. Если то тогда

б Н' _

(2.23)

Здесь ---- линейный оператор дифференцирования

.п. Зх£3 1г

в Я .

iS)

Установлен вид полиномов из Н^ СЧ.,п,ггО. Теорема 2.3. Пусть /V irrt- и фиксированы t и 1 . Тогда базис в пространстве Нц C*,ft,m.' образуют полиномы вида: . es)

Ь. «»,..., 3

где суммирование производится по всем различным наборам индексов

¿я е 11 Ji 1 — * этом все степшш

удовлетворяют следующему: t

к. = Z ь,. + + £ t. >о.

ь ■ , . J i и «-9

J-it

В § 3 получены некоторые оценки для моментов обобщенных полиномов Эрмита. Пусть ^

¿¿isijfi tJ

(3.1).

kj - 2 k' £ v

d iiUJim. J JSJ J

Через h. С ^Ji»—i*«^ обозначен полином Эрмита со старшим членом вида (3.1). Далее, видно, что „ <г

(3.2)

ii' ын Л ' /V 1,1 "

Еыражение (2.2) обозначено через Су«г С ^$а). Получена оценка для второго момента числовых полиномов Эрмита. Теорема 3.1.

" (3.14)

в многочлене

(3.16)

где ¿(.к «... I' ) * - коэффициент при п.* Леша 3.5. Предельное распределение величины

Л'«"4".....

совпадает с распределением величины Ц kjífcqj Ic-ib

где h.^ (í,tl - одномерный полином Эрмита степени I •со старшим членом .a tt¡ - независимые гауссовы величины со среднюю О и ü

Для четвертых моментов оценку дает следующая лемма. Лемма 3.6. При некотором С * С С kiJ(, „., >

Аналогичные оценки получены для векторных и операторнозяачных полиномов Эрмита на векторных аргументах.

Б § 4 рассматриваются центральные предельные теоремы для нормированных выражений вида:

fc г* kci. i. )

' ni о ш _ Ci t ... 9 СЧ

*£»...» ¿я * i'Bt

(4.1)

где В(1,т.- некоторая Постоянная, к - полином Эрмита, лг"

различные индексы из , т.е. исследуются условия существо-

вания такой нормировки . при которой т. ~ асимп-

тотически нормальная с параметрами С О, А) при —► оо

и (тг —ж» . •' .

Определение 4.1. Многочлен К. С ^н > , )

называется неразложимым, если он не представим в виде

где i £ S 4 Ñ »

Сомножители и ' еСЛИ 0НИ СУ"5001^01' та1ГК6 являются

многочленами Зрмига соответственна от $ и переменных. Полученные здесь результаты опираются на следующую общую теорему. Теорема 4.1. Пусть имеется последовательность серий независимых случайных величин , ..., . Здесь к - номер серии и в этой серии к величин. Обозначим через ^^ - <?-ал-гебру, поращеннуюа I , ... , I.1 . и пусть ^ ¡»^р ^

ь 1*1

Для того, чтобы была асимптотически нормальны о параметрами

(0,1) , достаточно выполнения следующих условий:

1) я (гкш ц-.^

2) £ Л С ^ 1 Л — /»»> ПрИ к —► I * а '

для всех 1 6 Со, ,где ¿ш) - непрерывна, строго возрастающая на интервале СО/ДД функция и = 1 ;

3) при некотором

. ^ я Е л(1к)г*о. к £гд

о

Для числовых полиномов Эрмита доказана основная предельная теорема.

Теорема 4.2. Пусть к „., ) - неразложимый

числовой полином Эрмита. Тогда | полагая й ат.^* П 6.

-и,«

где - степень многочлена, Ь - некоторая постоянная, зависящая от ки, (ь/у^ . (^гп асимптотически нормальная случайная величина о параметрами 10,Л) ,

Любой конечный набор таких величин при различных неразложимых полиномах к имеет также асимптотически нормальное рас -пределение со средним 0 и корреляционной матрицей, которую можно вычислить через степени входящих полиномов.

Для векторных полиномов Эрмита доказана следующая теорема. Теорема 4.5. Пусть

есть векторный неразличимый полином Эшита. Тогда случайное поле

их ил, . ^ и

т. п. 4 ьх "

где - векторная постоянная, зависящая от показателей степеней полинома А , к - общая степень полинома, слабо сходится по распределению к гауссовом? случайному полю ¿р(Я в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Н , для которого Л -О

Аналогичного рода результаты получены и для полиномов Эрмита со значениями в

В § Б получаны предельные теоремы для разложимых полиномов Эрмита. Пусть • *(V' является полиномом Эрмита,допус-

кающим разложение

I , 1

в Л к ,* •) (5.9)

-

где к , ••• , £ - такке являются полиномами Зрмита,

зависящими лишь от аргументов ,где к. £ S¿ ,а ...,

попарно не пересекаются и 5 5 • а • Рассмотрим величины '

П.ш ,. . , _ <-3.* '

Считаегоя, что два полинома различны, если симметрично различны их симметризации.

Теорема 5.1. Пусть полином Эрмита

ш,.....

} есть

произведение вида (5.9) симметрично различных полиномов. Тогда предельное распределение величин

при п. —♦> ас и Ш —У с*> существует и совпадает с распреде-

t

лением величины -Л I ,гдэ ti» ~ независимые

isj

мевду собой гауссовые случайные величины с параметрами (О,X1 .

Когда ii ( , ..., разлагается на неразложимые много-

члены, то тогда справедлив следующий результат.

Теорема 5.2. $усть представлен в виде

произведения { полиномов Эрмита, которые тлеют одинаковые симметризации и являются неразложимыми. Тогда предельное распределение величины С Л С (П)2Л*'</г^П(ГПсовпадает с распределением величины (t!)"^4 ni t, 1) ,где - числовой полином Эрмита на Л степени I и старшим членом i i , а £ - нормальная случайная величина с параметрами СО,.!).

Результаты для общего случая разложимого полинома Эрмита и для полиномов со значениями в пространстве Î формулируют-

ся и доказываются аналогично соответствующим результатам для числовых ПОДИНОМОЁ.

Е § 6 и § 7 изучены асимптотические свойства спектра эмпирического корреляционного оператора С * , действующего на любой случайный вектор по формуле:

Для изучения спектральный свойств этого оператора удобно было рассматривать его на векторных полиномах Эрмита.

Теорема 6.1. Пусть CL - векторный симметричный полином Эрмита. Тогда

ш1 Я ea,J.5J. «

i xî

Здесь для полиномиальной функции через Ь

обозначается полином Эрмита, имеющий те же старшие члены, что и к. Через - обозначен оператор проектирования на Н^ (Д, п, т).

Если то

е'й ен © н. и.п.т Ф И, и,*» "О.

При этоы, „

л

. т- д За

4 & "»зг *р_55г"

В каждом из этих операторов выделена главная часть. Если положить Л , ^ и предполагать, что ^ ограниченно, го тогда

<г / л

а I и+Г)лг»о ( —

Пусть вектор а определяется равенством

а * - £ 4 ( 1. ) 1 ■

а

¿о*

и .А - сопряженный ему оператор, то тогда

£

* » „ / Я 1а.1 \

я«* 0 (

с-* *

т.е.

Я I е*а- * о ^

Откуда видно, что Н л> тГ" -М 1 й-'*• Пусть

„* -НА .о» т 11 а у.г-^ ^ Тогда асимптотически-, спсктр оператора

описан следующим образом.Полагая

т

1, =

л у т.п. 1*1

4

4, = -

* Lm.fi)

где Ну О-

е л г VI * *

а - ьа ^ [л ,

0 /»¿«а /у^т. 1x1 '

+ = 2йп.

и П. №.

т

г

(чэ

Пусть функция ср си.) ,где а б £ (^¿^удовлетворяет условию

= о се'), (з0

а

ПХ

а а = 2 $ <рСШ Ип * и Ли..

а

Теорема 7.3. Пусть ^ , £ = 4,..., к удовлетворяют

условию (х). Тогда векторы Ц^О^,, й^С^), ..., а^С^) ~

асимптотически имеют совместное нормальное распределение, совпадающее с совместным распределением векторов

г £

где с'д/"-' - ЕПнеповскиЦ процесс в Я^ .При этом, оператор Г + Г * асимптотически имеет вид

(Г+Т*)ва|ГИ. С?) = О-п.,т. ССср), где С ^ = £соз и ^ С а).

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Степахно В.И. Некоторые эмпирические характеристики многомерного нормального распределения-// 1У Всесоюз. научно-техническая конф. "Применение многомерного статистического анализа", Тарту, 1989 г.; Тез.докл. - Тарту, 1989.- С.86-87.

2. Скороход A.B., Сгепахно Б.И. Об одном обобщении полиномов Эршта // Укр.мат. журн. - 1990. - 42, tf II. - C.I524-I52S.

3. Скороход'A.B., Степахно Е.И. Центральная предельная теорема для полиномов Зрмита от независимых гауссовых величин // Укр.мат.

журн. - 1990. - 42, ß 12. - С. I68I-I686,

4. Степахно В.И. О нормальных, совокупностях в пространствах неограниченно возрастающей размерности // Есесовз. научно-техническая конф. с междунар. участием стран-членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь, ISS0 г.: Тез.докл. -Лериь, 1990.-С.88-89.

5. Степахно В.И. Симметричные векторные многочлены Зрмита от большого числа независимых у гауссовских векторов // П Донецк.. конф. "Еероятностные модели процессов в управлешш и надежности", Донецк, 1990 г.: Тез.докл. - Донецк: Пн-т прикл.математики и механики АН УССР,"1990.- С .63-64.

6. Скороход A.B., Степахно Е.И. Об одном классе распределений и связанных с ним теоремах о больших уклонениях //Докл. АН SCCP.

Сер.А. - 1991. - К 7, - С. 34-38.

7. Степахно В.И. О больших выборках наблюдений случайных векторов большой размерности // Укр.мат, хурн. - IL9I. - 43, № 10. -C.I4I3-I4I8.

8. Степахно В.И. Эмпирический корреляционный оператор и многомерные полиномы Эршта // Тац же .- № 7.- С.937-943.

9. Степахно В.И. 0. предельных распределениях для полиномов Эршта от независимых гауссовых векторов /Дркл.АН УССР.Сер.A.-I99I .10. - С. 39-42.

ТО.Степахно В.И. Больше выборки наблюдений случайных векторов большой размерности // Всесоюз.школа-семинар "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного шюгомезного статистического анализа", Цахкадзор, ICSI г.: Тез.докл. - Тбилиси,1991 С. 7£-77.

11. Скороход А.В., Степахно Б.И. Асимптотические свойства спектра эмпирического корреляционного оператора для гауссовских случай-ннх векторов // У1 Советско-японский симпоз. по теории вероят ностей и мат .статистике, Киев, 5-10 авг.1291 г.: Тез.дога. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1291. - С. 129.

12. Stepakhno V.I, On the great samples of observations over random vectors in a space of infinitely increasing dimension Random operators and Stochastic equations IIIVSPIII. 1991.

1.- P.35-62.

13. Скороход А.В., Степахно В.И. О больших выборках случайных векторов неограниченно возрастающей размерности // Теория вероятностей ¿1 эе применение.-1992.-37,вып.З.- С. 441-447.

14. Степахно В.И. О множествах независимых векторов в пространствах неограниченно возрастающей размерности // Укр.мат. журн. -1922. -44. ¡5 5. - С. 633-S89.

15. Skorokhod A.V., Stepakhno V.I. Asymptotic properties of the correlation operator for the multivariate random vectors // Springer-Verlag.- 1992,- P. 500-508.

Подп. в печ. 02.03.92. Формат 60x84/16. Бумага тип. Офо. печать. Усл.печ.л. 1,86. Усл.кр.-отт. 1,86. Уч.-изд.л. 1,55. Тираж 120 экз. Ззк.74_. Бесплатно._;_г

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН Украины. 25гб01 Киев ГСП, ул. Репина, 3