Стационарные режимы горения, пределы распространения и неустойчивость пламени предварительно перемешанной смеси газов при горении во встречных потоках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Фурсенко Роман Викторович

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ГОРЕНИЯ, ПРЕДЕЛЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАМЕНИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПЕРЕМЕШАННОЙ СМЕСИ ГАЗОВ ПРИ ГОРЕНИИ ВО ВСТРЕЧНЫХ ПОТОКАХ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Минаев Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сухинин Геннадий Иванович

кандидат физико-математических наук Медведев Алексей Елизарович

Ведущая организация: Томский государственный университет,

г. Томск

Защита состоится "_" _ 2004 г. в "_" часов на

заседании диссертационного совета Д 003.035.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, Институтская 4/1, ИТПМ СО РАН.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просьба направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН

Автореферат разослан "_" _ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук ' Корнилов В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Интерес исследователей к изучению горения предварительно перемешанных смесей газов во встречных потоках обусловлен появившейся в последнее время тенденцией к созданию малоразмерных горе-лочных устройств. С уменьшением размера камеры сгорания возрастает отношение поверхности камеры к ее объему, что приводит к увеличению теп-лопотерь из пламени и трудностям организации устойчивого горения. Использование горелочных устройств с регенерацией тепла позволяет уменьшить общие тепловые потери в окружающую среду и организовать устойчивое горение в малоразмерных устройствах при сжигании даже запредельно бедных газовых смесей. Горение в смежных каналах с противоположно направленными потоками газа является примером системы с конвективным способом регенерации тепла. Характерной особенностью горения в такой системе является тепловое взаимодействие между фронтами пламени через теплопроводящую стенку, разделяющую каналы. Решение задач о пламенах в системе с противоточным теплообменом позволяет изучить особенности горения в системах с регенерацией тепла, а также охватывает целый ряд новых явлений, которые оставались за пределами существующих теорий.

Важной задачей теории горения является описание структуры пламени в неоднородном потоке газа или растяженного пламени. Эффекты неоднородности потока проявляются при горении газа, практически, в любой системе. Наиболее простым и удобным объектом для экспериментальных и теоретических исследований растяженного пламени является конфигурация из двух фронтов пламени, стабилизированных в противоположно направленных и равных по величине потоках газа. Исследование влияния растяжения пламени при горении во встречных потоках газа представляет фундаментальный интерес с точки зрения изучения структуры, пределов существования и устойчивости ламинарных пламен. Несмотря на большое количество работ, посвященных растяженным пламенам, решение задачи о диффузионно-тепловой устойчивости растяженного пламени отсутствовало.

Затронутый круг проблем, касающихся теоретического описания горения во встречных потоках предварительно перемешанных смесей газов, оставался нерешенным. В диссертационной работе изложены исследования автора, посвященные теоретическому описанию стационарных режимов горения, их устойчивости и пределов существования пламени во встречных потоках газа.

Цель работы. Разработка математических моделей горения во встречных потоках газа и методов их аналитического решения применительно к задачам устойчивости растяженных пламен и задачам о горении в системах с противоточным теплообменом; описание стационарных режимов горения, исследование их устойчивости и пределов существования.

Научная новизна. В работе впервые получены оценки разности между решением классической диффузионно-тепловой задачи о распространении пламени и решением приближенной задачи, предполагающей существование бесконечно узкой зоной химической реакции. Это позволило получить аналитические оценки точности приближения узкой зоны химической реакции. Впервые теоретически решена задача о горении предварительно перемешанной горючей смеси в системе, состоящей из двух смежных каналов с противоположно направленными потоками газа. Построена аналитическая модель горения в микроканале с неоднородно нагретыми стенками и впервые теоретически предсказана возможность существования устойчивого режима горения при малых значениях скорости подачи газа. Построены диаграммы устойчивости двойных растяженных пламен и пламени в потоке, набегающем на нагретую стенку. Перечисленные задачи являются новыми в теории горения.

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы для моделирования процессов горения в системах с конвективным способом регенерации тепла, в которых существенную роль играет взаимодействие между пламенами, процессы межфазного теплообмена и теплопотери в окружающую среду. Малоразмерные горелочные устройства с конвективным способом регенерации тепла, могут найти применение в автономных источниках электроэнергии с термофотоэлектрическими, термоэлектрическими, термоэмиссионными или другими методами конверсии тепла. Результаты исследования устойчивости растяженных пламен позволяют расширить рамки теории диффузионно-тепловой неустойчивости пламени и способствуют развитию фундаментальной теории горения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью применяемых математических моделей, строгой постановкой задач и соответствием полученных результатов с имеющимися в литературе данными теории и результатами численного моделирования.

На защиту выносятся:

- оценки разности между решением классической диффузионно-тепловой задачи о распространении пламени и решением приближенной задачи с бесконечно узкой зоной химической реакции;

- результаты теоретического исследования стационарных режимов горения, устойчивости и пределов существования пламени в неоднородно нагретом микроканале и в системе с противоточным теплообменом;

- результаты исследования спектров задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен и задачи о растяженном пламени вблизи нагретой стенки.

Апробация работы Результаты диссертационной рабогы докладывались на Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, 2000); на Конференции молодых ученых, посвященной

100-летию М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000); на XXXIX Международной научной студенческой конференции (Новосибирск, 2001); на ХП Всероссийском семинаре «Динамика многофазных сред» (Новосибирск, 2001); на Международной конференции по некорректным и обратным задачам, посвященной 70-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2002); на Международной конференции «Горение и загрязнение атмосферы» (Санкт-Петербург, 2003); на семинаре по горению в Университете Тохоку (Сендай, Япония, 2003), а также на семинарах в ИХКиГ СО РАН (Новосибирск), ИТПМ СО РАН (Новосибирск), ИМ СО РАН (Новосибирск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 85 наименований. Объем диссертации составляет 152 страницы, включая 40 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение раскрывает актуальность работы и определяет ее цели. Здесь же излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе кратко описано современное состояние теории ламинарного пламени и приведен обзор литературы по теме диссертации.

Во второй главе рассматривается задача вида

с граничными условиями

где Т(х) и V подлежат определению, а ЩТ,М) - произвольная кусочно-непрерывная функция, дифференцируемая в окрестности точек Т =Т = 1 и удовлетворяющая следующим условиям

\)Що) = \У(\) = 0, \У(Т)шО при а<Т<а<1, \У(Т)>0 при а<Т< 1. 2) Для каждого значения уе (1/2,1) существует N^>1 такое, что

В случае равенства коэффициентов диффузии и температуропроводности газа уравнения (1), (2) описывают распространение плоского адиабатического пламени в рамках классической диффузионно-тепловой модели. В этом случае Т(х) - температура газа, измеряемая в единицах адиабатической температуры пламени Т^, V — безразмерная скорость распростране-

ния волны горения, Ж(Т,Ы) - скорость химической реакции, N = ЕЛЛ), -безразмерная энергия активации химической реакции и <т=Гд/7£, где Т0 -начальная температура газа. В случае реакции первого порядка скорость химической реакции описывается выражением

Идан 1-Т)ехр(Ы(1 - 1/Г)) при <т < а < Т < 1

Ц'(Т,Ы) = 0 при а<Т<а (3)

и функция заданная формулой (3), удовлетворяет условиям 1-3.

В работе доказано, что при N —решение уравнений (1), (2) с функцией ЩТ, Ы), удовлетворяющей условиям 1-3, сходится к решению приближенной задачи

где 6(х) - дельта-функция Дирака. Метод доказательства основан на оценках разности между решением точной задачи (1), (2) и решением приближенной задачи (4), (5). Полученные в работе оценки позволяют определить точность приближенного решения при конечных значениях параметра N.

2

Если функция ЩТ,Ы) задана выражением (3), то А=(1 — а) /2, и уравнения (4), (5) описывают задачу о распространении адиабатического пламени в приближении бесконечно узкой зоны химической реакции. Приближение бесконечно узкой зоны химической реакции используется при аналитических исследованиях широкого круга задач теории горения, поскольку позволяет свести сильно нелинейную задачу к кусочно-линейной задаче для системы параболических уравнений с нелинейными граничными условиями на фронте пламени, которая допускает аналитическое исследование. Из сходимости решения задачи (1), (2) к решению задачи (4), (5) в частности следует, что при бесконечно больших значениях безразмерной энергии активации решение классической задачи об адиабатическом пламени совпадает с решением приближенной задачи, предполагающей существование бесконечно узкой зоны химической реакции. Оценки разности между решениями точной задачи (1), (2) и приближенной задачи (4), (5) позволяют определить точность приближения бесконечно узкой зоны химической реакции при конечных значениях безразмерной энергии активации N. На рис. 1 приведены зависимости верхней и нижней оценки скорости распространения волны горения от безразмерной энергии активации и оценки температуры газа для N=10.5, О = 0.21, что примерно соответствует околопредельной метано-воздушной смеси.

В третьей главе описываются исследования задачи о взаимодействии двух фронтов пламени в системе с противоточным теплообменом. Известно,

что одним из способов организации процессов горения запредельно бедных смесей газов является использование тепла продуктов горения для подогрева свежей смеси. В системе с противоположно направленными потоками газа пламена могут обмениваться теплом через теплопроводяшую инертную перегородку, что приводит к их взаимному влиянию друг на друга. Схожей системой является ^образная трубка (рис. 2), в которой продукты горения могут передавать тепло свежей смеси через стенки трубки. При отсутствии теплопотерь в колене, процессы горения в ^образной трубке и в противо-точном теплообменнике могут быть описаны в рамках одной математической модели.

В разделе 3.1 излагаются результаты исследований динамического поведения двух фронтов пламени, распространяющихся в каналах с противоположно направленными потоками газа. Это теоретическое исследование было выполнено в рамках одномерной диффузионно-тепловой модели с бесконечно узкой зоной химической реакции. Для аналитического описания динамического поведения фронтов пламени используется квазистационарное приближение. Особое внимание в данном исследовании уделялось поиску условий, при которых возможна стабилизация волн горения. Доказано, что стационарное горение в теплоизолированной системе невозможно. Необходимым условием стабилизации волн горения является отвод тепла в окружающую среду.

Для системы с противоточным теплообменом показана возможность стабилизации волн горения в широком диапазоне значений как скорости потока газа, так и теплопотерь в окружающую среду. За счет регенерации тепла в такой системе температура в зоне химической реакции может превышать адиабатическую температуру свободного плоского пламени даже при наличии теплопотерь. Показано, что модель горения в системе с противоположно направленными потоками газа допускает существование нескольких стационарных режимов горения при одних и тех же параметрах задачи. Проведены оценки устойчивости стационарных режимов горения в случае медленной эволюции фронта пламени.

В разделе 3.2 исследуется линейная устойчивость различных стационарных режимов горения в системе с противоположно направленными потоками газа. В отличие от модели, использовавшейся в разделе 3.2, перенос тепла вдоль инертного каркаса не учитывается. Это приближение позволяет изучить особенности горения в системе с противоточным теплообменом отдельно от процессов кондуктивного переноса тепла вдоль стенок каналов.

Считается, что фронт химической реакции представляет собой поверх-иость, разделяющую свежую смесь и продукты горения. В верхнем канале уравнение соответствующей поверхности х=-ха в нижнем х^Х^) (рис. 2). В силу симметрии задачи начало координат может быть выбрано так, что В рамках одномерной диффузионно-тепловой модели распре-

деления температуры газа и концентрации недостающего компонента свежей смеси описываются системой дифференциальных уравнений

Э/

в

Эг

дх дх2

.Вт-, дЪ--

-2-+ V ^ = Я (Г2 - Г,) -+ а - .

дх дх2

Щ.2 ^ ,, _ 1 д2С?1,2

Эх Ье Эх2

Э*

-»и.

(6)

(7)

(8) (9)

где ? и х - безразмерное время в единицах О,»,/!/^ и пространственная координата в единицах О^/Ц^, - температуропроводность газа, 7^2 и - безразмерная температура газа и концентрация недостающего компонента свежей смеси в верхнем и нижнем канале, соответственно, (рис. 2) V -скорость потока газа в единицах нормальной скопости алиабатического пла-

,, т тт X ^ 1 2Г^и

мени и^, Ье - число Льюиса, Н——^--—, л=--здесь

1+ХРе2 1+ X Ре

- отношение коэффициента теплообмена газа с внутренней стенкой к коэффициенту теплопередачи, № и Ре - числа Нуссельта и Пекле. Параметр 1/% характеризует отношение внешних теплопотерь к потоку тепла через стенку, разделяющую каналы. Для уравнений (6)-(8) ставятся следующие граничные условия: при

Задачу (6)-(8) со скоростью химической реакции, записанной в виде (9), можно рассматривать, как кусочно-линейную задачу с нелинейными граничными условиями на фронте пламени. Из граничных условий определяется температура пламени и положение фронта пламени при заданной

скорости потока газа.

Система уравнений (6)-(8) исследовалась аналитически. Были найдены стационарные решения (й/й1 = 0) и исследована их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Особое внимание уделено случаю горения в каналах с диаметром меньше критического, а также изучению влияния теплопотерь, состава смеси и скорости потока газа на пределы существования пламени и устойчивость стационарных режимов горения.

На рис. 3 приведены типичные зависимости ^С^Лгде х2 - координата фронта пламени в нижнем канале. В силу симметрии расстояние между пламенами равно Расчет проводился для различных значений параметра

Х = Н/К. При я = 0 отсутствует теплообмен с внутренней перегородкой (Н = 0), и задача сводится к задаче о распространении плоского неадиабатического пламени в отдельных каналах. Такое пламя не может распространяться в канале с диаметром меньше критического. При отсутствии внешних теплопотерь (К=0) стационарных решений также не существует, хотя возможно нестационарное распространение пламени. В случае д^^О часть тепла, выделившегося в ходе химической реакции в одном из каналов, уходит наружу, а другая часть тепла остается в системе и идет на подогрев газа в другом канале. Обмен теплом через стенку, разделяющую каналы, приводит к возможности существования стационарных режимов горения в каналах с диаметром меньше критического. Диапазон скоростей газа, при которых возможна стабилизация пламени, существенно зависит от отношения потоков тепла через внутреннюю перегородку и во внешнюю среду. Это отношение характеризуется параметром х. При увеличении значения параметра х пламя может быть стабилизировано в более широком диапазоне скоростей подачи газа.

На основании линейного анализа устойчивости были выделены области параметров, которые соответствуют устойчивым и неустойчивым режимам горения, а также пульсациям пламени. Сделан вывод о том, что стационарная волна горения может существовать только в случае, когда область пространства в каналах между фронтами пламени заполнена продуктами сгорания (рис. 3). Теоретически показана возможность горения запредельно бедных смесей газов в такой системе даже при диаметре каналов меньше критического значения.

В разделах 3.1,3.2 была теоретически показана возможность использования системы с противоположно направленными потоками газа для сжигания запредельно бедных смесей и организации устойчивого горения в каналах с диаметром меньше критического значения. При горении газов в системах с регенерацией тепла, к которым, в частности, относится система с противоположно направленными потоками газа, типична повышенная температура стенок горелочного устройства. Основные механизмы горения газов в системах с регенерацией тепла могут быть выяснены из исследования горения в узком канале с неоднородно нагретыми стенками. В системах с регенерацией тепла профили температуры в стенках канала формируются волной горения и зависят от температуры пламени, условий теплообмена и взаимного положения фронтов пламени. Процессы регенерации и выделения тепла в результате химической реакции связаны между собой и влияют друг на друга сложным образом. На первом этапе исследований особенностей горения в малоразмерных системах можно разделить процессы регенерации тепла и горения и тем самым упростить модель до трубки, нагреваемой внешним источником тепла. Поскольку характерное время установления теплового равновесия в стенках горелочного устройства обычно больше характерного вре-

мени установления теплового равновесия в газовой фазе и характерного времени горения, то можно предложить, что предлагаемое упрощение не повлияет на физический механизм изучаемых явлений.

На рис. 4 приведена схема пламени в канале с неоднородно нагретыми стенками. Температурный профиль формируется внешним источником тепла и остается неизменным со временем. Одномерная диффузионно-тепловая модель, описывающая горение в нагретом канале, отличается от классической модели неадиабатического пламени записью линейного члена, описывающего теплообмен. В классической модели температура стенок канала считается постоянной и равной температуре окружающей среды а, в этом случае в уравнении для температуры газа теплообмен со стенками канала описывается членом Н(Т — а). Если распределение температуры в стенках канала неоднородно и задается функцией 0( х) то член, описывающий теплообмен газа со стенками, имеет вид - параметр теплообмена, O^Tq/T/j - безразмерная температура окружающей среды, 6(.х) - безразмерная температура стенок канала. Распределение температуры в стенках канала описывается формулой (см. также рис. 4):

Qfor^a+fe-aJexpf-TVc,) при х>0 и 6Сл) = в при х<0, (Ю) Ц — Щй^/и^, где 1/T|q - характерный пространственный масштаб изменения температуры стенок канала, 0 = 7'„,/7^, Tw - температура стенок на горячем конце канала. Температура стенок трубки, заданная в виде (10), качественно соответствует профилю температуры, наблюдавшемуся в экспериментах.

Из решения стационарной задачи были найдены типичные конфигурации кривых, описывающих зависимости V(xj-S) (рис. 5), где V - скорость потока газа, xjs - положение фронта пламени. Поскольку диаметр трубки d0

был меньше критического диаметра, определенного для начальной температуры а, то существование пламени невозможно без дополнительного подогрева смеси. Стенки трубки подогревают свежий газ, что ведет к увеличению нормальной скорости и стабилизации пламени в подогретой части трубки. Фронт пламени может находиться в одной и той же точке пространства при различных значениях скорости потока газа (см. рис. 5). В частности, расчеты показали, что существует режим горения при малых значениях скорости газа. Этот режим характеризуется малой величиной скорости потока газа и пониженной температурой пламени (V~0.25i/^, 7у~1180К для смеси 6%

поэтому такое пламя может быть названо "слабым" пламенем. Для этого режима характерно то, что температура газа близка к температуре стенок всюду, кроме узкой зоны в окрестности пламени.

Для выделения устойчивых и пульсационно неустойчивых режимов горения было выполнено исследование линейной устойчивости стационарных решений. Результаты линейного анализа устойчивости приведены на рис. 5; толстые, тонкие и пунктирные линии обозначают, соответственно, устойчивые (ИеСЛнеустойчивые (ИеС£2,)>0, 1т(Д,)=0) и пульсацион-но неустойчивые (Ке(£^>0, 1п/£2,|*0) ветки кривых У(х/Х). 3 д е £2ь -

скорость роста экспоненциальных возмущений.

На основании линейного анализа устойчивости были определены области параметров задачи, при которых возможно устойчивое горение и пульсации пламени. Построены диаграммы устойчивости в плоскости где ф - коэффициент избытка топлива. Устойчивое горение возможно при больших значениях скорости подачи газа (см. рис. 5). С уменьшением скорости потока горючей смеси возможны пульсации пламени. При очень малых значениях скорости газа теория предсказывает возможность существования устойчивого горения. Теоретические результаты качественно согласуются с имеющимися в литературе экспериментальными данными и результатами численного моделирования с детальной кинетикой химических реакций. В частности, данные экспериментов К. МагШа и др. (2003) показывают, что устойчивые пламена действительно существуют при очень малых скоростях потока газа (У~3-4 см/с), которые были ниже значений, соответствующих пульсирующему пламени. В работах К. МагШа и др. (2003, 2004) экспериментально обнаружено, что с увеличением скорости подачи газа происходит следующая смена режимов горения околопредельной метано-воздушной смеси: устойчивый низкоскоростной режим горения («слабое» пламя) -пульсации пламени - устойчивый высокоскоростной режим горения («нормальное» пламя). Этот результат находится в согласии с полученными в диссертационной работе теоретическими данными (см. рис. 5).

В четвертой главе приведены исследования диффузионно-тепловой неустойчивости пламени, стабилизированного в неоднородном потоке газа. Раздел 4.1 посвящен исследованию задачи о двух растяженных пламенах, стабилизированных в противоположно направленных и равных по величине потоках газа. Диффузионно-тепловая модель, описывающая горение в такой системе, включает в себя уравнения переноса тепла и концентрации недостающего компонента свежей смеси, которые в приближении бесконечно узкой зоны химической реакции могут быть записаны в виде

(И) (12)

где

)Уг = ехрЦ -1 /т})/г)цх-хр, ехр(^ -\/Т]\х- х} ).

Здесь 1, х, С и Т - соответственно, безразмерное время, пространственная

координата, температура и массовая доля недостающего компонента горю-

2

чей смеси, - безразмерный градиент скорости потока газа

или параметр растяжения, У0 — скорость газа на выходе из горелки и Ь -расстояние между горелкой и плоскостью симметрии. Координата правого фронта пламени обозначена как х^ >0, а левого как лу <0. Член 0(Т), ответственный за теплопотери, приближенно описывается линейной функцией от температуры газа.

Стационарные решения задачи (11)-(12) рассматривались лишь для случая двух симметрично расположенных пламен. В этом случае, учитывая симметрию задачи, стационарные решения достаточно рассмотреть только в полуплоскости х > 0. При этом, граничные условия имеют вид: при х = 0: дТ/дх=0, С-0; при х=°°: Т=а, С = 1.

В работе найдены точные решения стационарной задачи

(11), (12) и определены пределы существования двойных растяженных пламен. На рис. 6 приведены пределы погасания пламени при горении предварительно перемешанных смесей газов во встречных потоках. По оси абсцисс отложен коэффициент избытка топлива ф, а по оси ординат - размерный параметр растяжения а. Штриховая линия соответствует бедному концентрационному пределу для метано-воздушной смеси. Область параметров задачи, при которых возможно существование растяженного пламени лежит внутри С-образной кривой.

Основное внимание в данной работе было уделено исследованию устойчивости стационарных решений задачи (11), (12) по отношению к симметричным и антисимметричным возмущениям. Результаты линейного анализа устойчивости различных стационарных режимов горения приведены на рис. 7. Толстые линии выделяют устойчивые части кривых для нормального пламени (а, е) и пламени вблизи застойной зоны (с, ё). Тонкой линией выделена часть кривой, соответствующая неустойчивому низкоскоростному режиму горения (Ь). Вертикальными и горизонтальными черточками, соответственно, выделены части кривых (с, ё), где возможны пульсации пламени. Частота колебаний растяженного пламени предварительно перемешанной смеси 5% СН4+воздух меняется от 2.5 до 4.5 Гц. Результаты численного моделирования с полной кинетикой химических реакции (1и У., й а]., 2000) и эксперименты в условиях микрогравитации (1и У., й а1., 1999) показали, что при указанном составе смеси частота колебаний изменяется от 2 до 3 Гц.

Выделены области параметров задачи, при которых возможно устойчивое горение и пульсации пламени. Показано, что осцилляции пламени мо-

гут происходить лишь при умеренных значениях градиента скорости и отсутствуют при малых и больших значениях градиента скорости (см. рис. 7). Этот результат качественно совпадает с результатами численного моделирования и экспериментальными данными, которые показывают, что пульсации пламени возможны лишь в области значений параметра растяжения, лежащей вдали от пределов существования пламени. Можно сделать заключение о том, что теоретический анализ устойчивости позволяет объяснить пульсации растяженных пламен, наблюдавшиеся экспериментально.

Исследование устойчивости двойных растяженных пламен основывалось на анализе дискретного спектра задачи (11), (12). Известно, что непрерывный спектр может изменить выводы линейного анализа устойчивости, который основан на анализе лишь дискретной части спектра оператора. В разделе 4.2 описаны результаты решения задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен по отношению к малым симметричным возмущениям, с учетом вклада непрерывного спектра. Методы, использованные для этого анализа, являются достаточно общими и могут быть применены для исследования устойчивости широкого круга задач теории горения.

Показано, что непрерывный спектр задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен лежит в левой полуплоскости и не влияет на выводы линейного анализа устойчивости, основанного на изучении дискретной части спектра. Доказано, что число собственных чисел задачи в правой полуплоскости конечно.

В разделе 4.3 приведены результаты теоретического исследования пламени, стабилизированного в потоке, набегающем на нагретую стенку. Такая постановка задачи позволяет изучить влияние неоднородного поля температур, создаваемого нагретой стенкой, на горение растяженного пламени.

Математическая модель горения в потоке, набегающем на нагретую стенку, отличается от модели горения двойных симметрично расположенных растяженных пламен лишь формулировкой граничного условия на поверхности твердого тела, заданной уравнением х = 0. Считается, что при х = 0:

- температура стенки.

Исследованы стационарные режимы горения, их устойчивость и пределы существования пламени. Изучено влияние температуры стенки на горение в неоднородном потоке газа и обнаружен новый режим устойчивого горения запредельно бедных смесей газов вблизи застойной зоны. Этот режим интересен тем, что температура пламени может быть достаточно низкой (Гу ~ 1030К ДЛЯ смеси 5.6% СНд+воздух и =990К) и тем, что такое пламя существует при малой величине скорости потока газа. Скорость свежей смеси, поступающей в зону химической реакции, может быть существенно ниже, чем величина нормальной скорости адиабатического пламени, рассчитанная для заданного состава смеси ({/ для смеси 5.6 %

СН»+воздух И Tw =990К). Горение поддерживается за счет диффузионного потока недостающего компонента, а также за счет подогрева от горячей стенки. Режим горения вблизи застойной зоны аналогичен низкоскоростному режиму горения пламени в нагретой трубке (раздел 3.3).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены оценки решения диффузионно-тепловой задачи о распространении плоского адиабатического пламени. Доказано, что при бесконечно больших значениях энергии активации решение этой задачи совпадает с решением приближенной задачи, предполагающей существование бесконечно узкой зоны химической реакции. Разработан метод, позволяющий определить точность приближенной модели при конечных значениях энергии активации.

2. Доказано, что стационарное горение в теплоизолированной системе с противоточным теплообменом невозможно. Необходимым условием стабилизации волн горения является наличие теплопотерь в окружающую среду. Показано, что устойчивое горение возможно только в том случае, когда область пространства в каналах между фронтами пламени заполнена продуктами сгорания.

3. Построена аналитическая модель горения предварительно перемешанных смесей газов в узком канале с неоднородно нагретыми стенками. Теоретически предсказана возможность устойчивого горения в нагретом ка-иале с диаметром меньше критического значения при скорости потока газа <

- адиабатическая скорость плоского пламени. Найдено, что с увеличением скорости потока газа происходит следующая смена режимов горения околопредельной метано-воздушной смеси: устойчивый низкоскоростной режим горения - пульсации пламени - устойчивый высокоскоростной режим горения.

4. Доказано, что непрерывная часть спектра задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен лежит в левой полуплоскости и устойчивость стационарных решений определяется дискретной частью спектра. Теоретически показано, что при температуре стенки 800 - 1500 К и скорости потока газа < 0.1 Uf, возможно устойчивое горение растяженного пламени околопредельной метано-воздушной смеси в застойной зоне вблизи нагретой стенки. Найдено, что с увеличением градиента скорости происходит следующая смена режимов горения растяженных пламен околопредельной смеси газов: устойчивый низкоскоростной режим горения — пульсации пламени (с частотами ~ 2.5 - 20 Гц) - устойчивый высокоскоростной режим горения.

Автор благодарен проф. Т.И. Зеленяку, проф. B.C. Бабкину, проф. В.К. Баеву и проф. А.В. Федорову за ценные замечания и обсуждения работ.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих

публикациях:

1. Фурсенко Р.В., Минаев С.С., Бабкин B.C. Тепловое взаимодействие двух фронтов пламени, распространяющихся в каналах с противоположно направленными потоками газа // ФГВ. - 2001. - Т. 37. - N 5. - С. 3-11.

2. Минаев С.С., Фурсенко Р.В., Чу Ю. Устойчивость растяженных пламен предварительно перемешанных смесей газов вблизи пределов их существования // Теплофизика и аэромеханика. - 2002. - Т. 9. -N 2. - С. 273-287.

3. Minaev S.f Fursenko R., Ju Yiguang and Law C.K. Stability Analysis of Near-Limit Stretched Premixed Flames // J.Fluid Mech. - 2003. - V. 488. - P. 225244.

4. Фурсенко Р.В. О поведении решения задачи распространения плоского адиабатического пламени при больших значениях энергии активации // Сибирский журнал прикладной и индустриальной математики. - 2003. -Т. 6.-№4(16).-С. 132-141.

5. Фурсенко Р.В., Минаев С.С., Бабкин B.C. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа // Сопряженные задачи механики и экологии: Материалы Международной конф. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 2000.-С. 203-204.

6. Фурсенко Р.В., Минаев С.С., Бабкин B.C. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа // Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию МА Лаврентьева. 4.1. — Новосибирск, 2000.-С. 126-127.

7. Фурсенко Р.В. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа // Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции. Физика. - Новосибирск, 2001. - С. 103-104.

8. Fursenko R.V. Combustion of premixed gases in non-uniform gas flow // International conference ILL-POSED and Inverse Problems Dedicated to Prof. M.M. Lavrent'ev on the occasion of his 70th anniversary. Novosibirsk, 2002.

9. Baev V.K., Fursenko R.V., Maruta K., Minaev S.S. Hammability Limits, Stability and Pulsations of the Flame Propagating in Narrow Channel with Nonuniform Temperature Distribution in the Walls // Combustion and Atmospheric Pollution / Eds. G.D. Roy and all. - 2003. - P. 197-198.

10. Baev V.K., Fursenko R.V., Maruta K., Minaev S.S. Thermodynamical Aspects and Dynamic Behavior of the Premixed Flame Fronts in Systems with Heat Regeneration // Combustion and Atmospheric Pollution / Eds. G.D. Roy and all. -2003.-P. 201-202.

Рис. 1. Верхняя и нижняя оценки нормальной скорости распространения пламени для С = 0 22 (а) и температуры газа для

N=10.5, 0=021 (б).

Пунктирная линия - решение приближенной задачи (4), (5)

Рис. 2. Схема горения в и-образной трубке (вверху) и в системе с противоточным теплообменом (внизу). Направление движения газа показано стрелками. Заштрихованные области - продукты горения. Вертикальная пунктирная линия - ось симметрии системы.

Рис. 4. Распределение температуры стенок канала 6(х) и схема горения в неоднородно нагретом канале. Область 1 - свежая смесь, область 2 - продукты горения.

Рис. 5. Типичные зависимости У(х&), рассчитанные для смеси 5% (а) и

6.4% (б) СЙЦ+воздух. -1

N»1 = 4, Ту = 1200 К, Т1о = 1.5 см , ¿о = 0.2 см. Толстые, тонкие и пунктирные линии обозначают, соответственно, устойчивые, неустойчивые и пульсационно неустойчивые ветки расчетных кривых У(х^).

Рис. 6. Пределы существования двойных растяженных пламен метано-воздушной смеси газов.

Рис. 7. Зависимости половины безразмерного расстояния между пламенами Ху- от безразмерного параметра растяжения а, рассчитанные для Le = 0.9

и о=0.23 (а), а=0.22 (б).

Ответственный за выпуск Р.В. Фурсенко

Подписано в печать 19.04.2004 Формат бумаги 60x84/16, Усл.печ.л. 1.0, Уч.-изд. л. 1.0, Тираж 100 экз., Заказ №3

Отпечатано на ризографе ЗАО "ИНТЕРТЕК" 630090, Новосибирск, Институтская, 4/1

P-R41 3

Основные обозначения Введение

ГЛАВА I. Горение предварительно перемешанных смесей газов во встречных потоках и основные предположения теории ламинарного пламени (обзор литературы)

ГЛАВА II. О поведении решения задачи распространения плоского адиабатического пламени при больших значениях энергии активации

ГЛАВА III. Тепловое взаимодействие фронтов пламени в каналах с противоположно направленными потоками газа

3.1. Стационарные режимы горения и динамическое поведение пламен при горении в каналах с противоположно направленными потоками газа

3.2. Стационарные режимы горения, пределы существования и устойчивость пламен в системе с противоточным теплообменом

3.3. Особенности горения газа в узком нагретом канале

ГЛАВА IV. Диффузионно-тепловая неустойчивость пламени в неоднородном потоке газа

4.1. Диффузионно-тепловая неустойчивость двойных растяженных пламен

4.2. Свойства спектра задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен

4.3. Растяженное пламя предварительно перемешанной смеси газов в потоке, набегающем на плоскую нагретую поверхность твердого тела

Интерес исследователей к изучению горения предварительно перемешанных смесей газов во встречных потоках обусловлен появившейся в последнее время тенденцией к миниатюризации горелочных устройств. С уменьшением размера камеры сгорания возрастает отношение поверхности камеры к ее объему, что приводит к увеличению теплопотерь из пламени и трудностям организации устойчивого горения. Использование горелочных устройств с регенерацией тепла позволяет уменьшить общие тепловые потери в окружающую среду и организовать устойчивое горение в малоразмерных устройствах даже при использовании запредельно бедных газовых смесей. Горение в смежных каналах с противоположно направленными потоками газа является примером системы с конвективным способом регенерации тепла. Характерной особенностью горения в такой системе является тепловое взаимодействие между фронтами пламени через теплопроводящую стенку, разделяющую каналы. Исследования взаимодействия между отдельными фронтами пламени и их динамического поведения являются новыми задачами теории горения. Их решение позволяет изучить особенности горения в системах с регенерацией тепла, а также охватывает целый ряд новых явлений, которые оставались за пределами существующих теорий.

Другой важной задачей теории горения является задача о распространение пламени в неоднородном потоке газа. Эффекты неоднородности потока проявляются при горении газа практически в любой системе. Влияние течения на структуру пламени сводится к появлению тепло- и массоотвода вдоль фронта химической реакции. В этом случае нормальная к фронту пламени компонента скорости газа зависит от координаты, отсчитываемой от фронта пламени вдоль нормали к поверхности. Влияние градиента скорости на структуру пламени получило название "stretch effect" (эффект растяжения). Типичными примерами систем, в которых неоднородность потока газа играет существенную роль, являются цилиндрические пламена в поле точечного источника или стока газа, пламя в расходящемся потоке газа и пламя за обтекаемым телом.

Наиболее простым и удобным объектом для экспериментальных и теоретических исследований структуры пламени является конфигурация из двух фронтов пламени, стабилизированных в противоположно направленных и равных по величине потоках газа. Исследование влияния растяжения пламени при горении во встречных потоках газа представляет фундаментальный интерес с точки зрения изучения структуры, пределов существования и устойчивости ламинарных пламен. Несмотря на большое количество работ, посвященных растяженным пламенам, полное исследование устойчивости растяженного пламени отсутствовало.

При исследовании горения обычно рассматриваются течения газов, в которых важную роль играют явления переноса и химические реакции. Для того, что бы проанализировать процесс горения, помимо химических превращений вещества необходимо учитывать явления, вызванные выделением тепла. При горении газофазных пламен существенное значение имеют движения газов, связанные с горением, а так же процессы диффузии. Если учесть еще взаимосвязанность перечисленных процессов, то сложность теоретического анализа горения становится очевидной.

Успехи в области теории горения газов были связаны, прежде всего, с использованием простых и в то же время реалистичных математических моделей. Однако строго математического обоснования многих физически верных предположений и результатов до сих пор нет. В связи с этим особое значение приобретает использование и развитие современного математического аппарата для нужд теории горения.

Затронутый круг проблем, касающихся теоретического описания горения во встречных потоках предварительно перемешанных смесей газов, оставался нерешенным. В диссертационной работе изложены исследования автора, посвященные математическому моделированию и описанию стационарных режимов горения, их устойчивости и пределов существования пламени при горении во встречных потоках. Большое внимание уделено корректности математических постановок и физических приближений. Везде где это было возможно проведено сравнение полученных теоретических результатов с имеющимися в литературе экспериментальными данными и результатами численного моделирования.

Целью данной работы являлась разработка математических моделей горения во встречных потоках газа и методов их аналитического решения применительно к задачам устойчивости растяженных пламен и задачам о горении в системах с противоточным теплообменом; описание стационарных режимов горения, исследование их устойчивости и пределов существования пламени. Достижение цели осуществлялось путем решения следующих задач: анализ и сравнительная оценка влияния различных процессов и явлений на структуру, пределы существования и устойчивость пламени; формулировка математической модели для описания процессов горения в исследуемой системе; изучение и классификация стационарных режимов горения и определение пределов существования пламени; исследование устойчивости фронта пламени, выявление определяющих параметров задачи и определение областей устойчивости, неустойчивости и пульсаций пламени; анализ полученных результатов и сравнение их с экспериментальными данными.

В работе впервые получены оценки разности между решением классической диффузионно-тепловой задачи о распространении пламени и решением приближенной задачи с бесконечно узкой зоной химической реакции, что позволило математически обосновать широко используемое в теории горения приближение узкой зоны химической реакции. Впервые теоретически решена задача о горении предварительно перемешанной горючей смеси в системе, состоящей из двух смежных каналов с противоположно направленными потоками газа. Построена аналитическая модель горения в микроканале с неоднородно нагретыми стенками и впервые теоретически предсказана возможность существования устойчивого режима горения при малых значениях скорости подачи газа. Доказано, что непрерывный спектр задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен лежит в левой полуплоскости и устойчивость стационарных решений определяется дискретной частью спектра. На основании анализа дискретной части спектра построены диаграммы устойчивости двойных растяженных пламен и пламени около нагретой стенки. Перечисленные задачи являются новыми в теории горения.

Полученные в работе результаты позволяют сформулировать физические представления об особенностях горения в системах с конвективным способом регенерации тепла, в которых существенную роль играет взаимодействие между пламенами, процессы межфазного теплообмена и теплопотери в окружающую среду. Результаты исследования устойчивости растяженных пламен позволяют расширить рамки теории диффузионно-тепловой неустойчивости пламени и способствуют развитию фундаментальной теории горения.

Результаты работы могут быть использованы при создании малоразмерных горелочных устройств с конвективным способом регенерации тепла, которые могут найти применение при создании автономных источников электроэнергии на основе термо-фото-электрических, термоэлектрических, термоэмиссионных или других методов конверсии тепла.

На защиту выносятся:

- оценки разности между решением классической диффузионно-тепловой задачи о распространении пламени и решением приближенной задачи с бесконечно узкой зоной химической реакции; результаты теоретического исследования стационарных режимов горения, устойчивости и пределов существования пламени в неоднородно нагретом микроканале и в системе с противоточным теплообменом;

- результаты исследования спектров задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен и задачи о растяженном пламени вблизи нагретой стенки.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены оценки разности между решением классической диффузионно-тепловой задачи о распространении пламени и решением приближенной задачи с бесконечно узкой зоной химической реакции. Доказано, что при бесконечно больших значениях энергии активации эти решения совпадают. Математически обоснована возможность использования приближения узкой зоны химической реакции при больших значениях энергии активации. Разработан метод, позволяющий определить точность приближенной модели с бесконечно узкой зоной химической реакции при конечных значениях энергии активации.

2. Впервые теоретически решена задача о горении предварительно перемешанной горючей смеси в системе, состоящей из двух смежных каналов с противоположно направленными потоками газа. Доказано, что стационарное горение в теплоизолированной системе невозможно. Показано, что необходимым условием стабилизации волн горения является наличие теплопотерь в окружающую среду. Исследованы пределы существования пламени и устойчивость стационарных режимов горения. Построены диаграммы устойчивости в плоскости (состав смеси, расход газа). Выделены области параметров задачи, при которых возможно устойчивое горение и пульсации пламени. Показано, что стабилизация пламени возможна только в том случае, когда область пространства в каналах между фронтами пламени заполнена продуктами сгорания.

3. Построена аналитическая модель горения предварительно перемешанных смесей газов в узком канале . с неоднородно нагретыми стенками. Исследована устойчивость стационарных режимов горения и определены пределы существования пламени. Построены области существования стационарного и пульсирующего пламени в плоскости (состав смеси, расход газа). Теоретически предсказана возможность существования устойчивого режима горения при значениях скорости подачи газа меньше 0.3Uad, где Uad - адиабатическая скорость плоского пламени. Показана возможность пульсаций пламени при умеренных значениях скорости потока газа. Проведено сравнение теоретических результатов с имеющимися в литературе экспериментальными данными и результатами численного моделирования с детальной кинетикой химических реакций.

4. Изучены свойства спектра задачи о линейной устойчивости двойных растяженных пламен. Доказано, что непрерывная часть спектра лежит в левой полуплоскости и устойчивость стационарных решений определяется положением дискретной части спектра. Показано, что число собственных чисел задачи в правой полуплоскости конечно. На основании анализа дискретной части спектра выделены устойчивые стационарные решения задачи о двойных растяженных пламенах и пламени в потоке, набегающем на нагретую стенку. Доказана устойчивость низкоскоростного режима горения в застойной зоне вблизи нагретой стенки по отношению к малым возмущениям. В плоскости (состав смеси, градиент скорости) выделены области, в которых возможно устойчивое горение и пульсации пламени. Найдено, что с увеличением градиента скорости происходит следующая смена режимов горения околопредельной смеси газов: устойчивый низкоскоростной режим горения -пульсации пламени — устойчивый высокоскоростной режим горения. Этот результат качественно согласуется с имеющимися экспериментальными данными.

Содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Р.В.Фурсенко, С.С.Минаев, В.С.Бабкин. Тепловое взаимодействие двух фронтов пламени, распространяющихся в каналах с противоположно направленными потоками газа// ФГВ. - 2001. -т.37. -N 5. - с.3-11.

2. С.С.Минаев, Р.В.Фурсенко, Ю.Чу. Устойчивость растяженных пламен предварительно перемешанных смесей газов вблизи пределов их существования// Теплофизика и Аэромеханика. - 2002. - т. 9. - N 2. -с.273-287.

3. S.Minaev, R.Fursenko, Yiguang Ju and C.K.Law. Stability Analysis of Near - Limit Stretched Premixed Flames// J.Fluid Mech. - 2003. - V.488. -p.225-244.

4. Фурсенко P.B. О поведении решения задачи распространения плоского адиабатического пламени при больших значениях энергии активации// Сибирский Журнал Прикладной и Индустриальной Математики. -2003.-т. 6.-N4(16).-с. 132-141.

5. Фурсенко Р.В., Минаев С.С., Бабкин B.C. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа.// Сопряженные задачи механики и экологии: Материалы международной конференции. -Томск: Издательство Томского университета. - 2000. - с.203-204.

6. Фурсенко Р.В., Минаев С.С., Бабкин B.C. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа.// Материалы конференции молодых ученых, посвященной 100-летию М.А. Лаврентьева. 4.1. -Новосибирск. - 2000. - с. 126-127.

7. Фурсенко Р.В. Модель фильтрационного горения в системе с двумя потоками газа// Материалы XXXIX международной научной студенческой конференции. Физика. — Новосибирск. - 2001. -с.103-104.

8. R.V. Fursenko. Combustion of premixed gases in non-uniform gas flow// International conference ILL-POSED and Inverse Problems Dedicated to prof. M.M. Lavrent'ev on the occasion of his 70th anniversary. Novosibirsk. - 2002.

9. V.K. Baev, R.V. Fursenko, K. Maruta, S.S. Minaev. Flammability Limits, Stability and Pulsations of the Flame Propagating in Narrow Channel with Nonuniform Temperature Distribution in the Walls// Combustion and Atmospheric Pollution ed. by G.D. Roy and all. - 2003. - p.197-198.

10. V.K. Baev, R.V. Fursenko, K. Maruta, S.S. Minaev. Thermodynamical Aspects and Dynamic Behavior of the Premixed Flame Fronts in Systems with Heat Regeneration// Combustion and Atmospheric Pollution ed. by G.D. Roy and all. - 2003. - p.201-202.

1. Гардинер У., Диксон-Льюис Г., Целнер Р и др. Химия горения// под ред. У.Гардинера. -М.: Мир, 1988.

2. Sivashinsky G.I. Structure of Bunsen Flames// Journal of Chemical Physics. -1975. v. 62. - N.2. - P.638-643.

3. Buckmaster J.D., Ludford G.S. Lectures on Mathematical Combustion// CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. Philadelphia, PA: SIAM, 1983. -N.43. - 73 p.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: T .6, Гидродинамика. -М.: Наука, 1988.-733 с.

5. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 2-е изд. - М.: Наука, 1967.

6. Румер Ю.Б. , Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

7. Clavin P., Garsia P. The influence of the temperature dependence of diffusivities on the dynamics of flame front// J.Mech.Therm.Appl. — 1983. -N2.-P.245.

8. Берман B.C., Рязанцев Ю.С. К анализу задачи о тепловом распространении пламен методом сращиваемых асимптотических разложений//ПММ. 1972. - т.36. - вып.4. - С.659-666.

9. Clavin P. Dynamic behavior of premixed flame fronts in laminar and turbulent flows// J. Prog.Energy Combust.Sci. 1985. - v. 11. - P. 1-59.

10. Ландау Л.Д. К теории медленного горения// ЖЭТФ. 1944. - т.14. - N6. -С.240—244.

11. Darrieus G., Propagation d'un front de flamme// unpublished works presented at La Technique Moderne in (1938) and at Congres de Mechanique Appliquee, Paris (1945).

12. Колмогоров A.H., Петровский И.Г, Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ.— 1937. -т.1, сер. А. вып. Б.

13. Канель Я.И. О стабилизации решений задачи Коши для уравнений, встречающихся в теории горения// Математический сборник. — 1962. — т.59 (101). -С.245-288.

14. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени// ЖФХ. — 1948. — т.22. вып. 1. - С.27—48.

15. Канель Я.И. О стационарном решении для системы уравнений теории горения// Докл. АН СССР. 1963. - т. 149. - N 2. - С.367-369.

16. Новиков С.С., Рязанцев Ю.С. О существовании и единственности решения системы уравнений тепловой теории горения// ПМТФ. — 1965. — N4. — С.86-88.

17. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. О неединственности стационарного решения системы уравнений теории горения// ПММ. 1966. - т. 30. — вып. 2. -С.368-374.

18. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. О неединственности стационарного решения системы уравнений теории горения в случае постоянного отношения коэффициентов теплопроводности и диффузии// ПМТФ. — 1968. — N 1. — С.161-167.

19. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени// ЖФХ. 1938. - т. 12. - вып.1. - С. 100-105.

20. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. К теории равномерного распространения пламени// Докл. АН СССР. 1938. - т. 19. - С.693-695.

21. Зельдович Я.Б. Теория горения и детонации газов. М.; JL; Изд-во АН СССР, 1944.

22. Зельдович Я.Б., Воеводский В.В. Тепловой взрыв и распространение пламени в газах. М.: ММИ. - 1947. - 294 с.

23. Bush W.B., Fendell F.E. Asymptotic analysis of laminar flame propagationfor general Lewis numbers// Combust. Sci. Techn. 1970. - v. 1. - P.421-428.

24. Clarke J.F. The diffusion flame as a singular perturbation problem// J. Eng. Math. 1971. - v. 5. -N 3. - P.179-185.

25. Fendell F.E. Asymptotic analysis of premixed burning with large activation energy// J. Fluid Mech. 1972. - v. 56. - pt 1. - P.81-96.26