Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме

Морозов, Игорь Владимирович

Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Морозов, Игорь Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.08 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме»

Автореферат диссертации на тему "Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР

МОРОЗОВ Игорь Владимирович

СТОЛКНОВЕНИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Специальность 01.04.08 - Физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УДК: 532.9

На правахрукописи

Москва - 2004

Работа выполнена в Институте теплофизики экстремальных состояний Объединенного института высоких температур РАН и на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Норман Г.Э.

кандидат физико-математических наук, доцент Магницкий С.А

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Рухадзе А.А.

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Тараканов В.П.

Ведущая организация: Институт проблем химической физики РАН

Защита состоится ПП4 г. в ^ часов на заседании

специализированного совета Д 002.110.02 при Объединенном институте высоких температур РАН по адресу: 125412, Москва, Ижорская ул. 13/19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института высоких температур РАН.

Отзывы на автореферат просьба присылать по адресу: 125412 Москва, Ижорская ул. 13/19, ОИВТ РАН.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /

доктор физико-математических наук ' (///

Хомкин А.Л.

(с) Объединенный институт высоких температур РАН, 2004

25042

1. Общая характеристика работы

Диссертация посвящена теоретическому исследованию плазменных волн и характера столкновений частиц в двухкомпонентной неидеальной плазме, состоящей из электронов и однократно заряженных ионов, на основе компьютерного моделирования методом молекулярной динамики (МД).

Актуальность работы. Неидеальная плазма изучается экспериментально в ударных волнах в газах и твердых телах, при электровзрыве проводников, при взаимодействием мощных электронных пучков и коротких лазерных импульсов на твердотельные и газовые мишени, в капиллярном и искровом разрядах и др. При измерении проводимости, вре ени релаксации энергии в неизотермической плазме, коэффициента отражения были обнаружены эффекты, которые не удается описать на основе имеющейся теории. Поэтому интерес к построению теоретических моделей неидеальной плазмы достаточно велик.

Результаты теории идеальной плазмы получены в предположении о том, что сфера дебаевского экранирования содержит большое число частиц, а столкновения частиц являются слабыми с рассеянием на малые углы. В неидеальной плазме, напротив, экранирование происходит уже на расстояниях, сравнимых со средним межчастичным расстоянием, а дебаевская сфера формально содержит меньше одной частицы (десятые и даже сотые доли частицы). Без построения адекватной модели столкновений в неидеальной плазме, невозможно рассмотрение следующих вопросов:

• статическая и динамическая проводимость;

• область существования и декремент затухания плазменных волн;

• характер релаксационных процессов и время установления равновесия в неизотермической неидеальной плазме;

• поглощение энергии электромагнитного поля в плазме.

Особое место в этом списке занимают плазменные волны. Их дисперсия и декремент затухания оставались сравнительно мало исследованными.

Цель работы состоит в изучении двух взаимосвязанных вопросов: характер столкновительных процессов и ленгмюровские плазменные волны. Основным способом получения исходных данных для теоретической обработки является моделирование методом МД. Решаются следующие задачи.

1. Разработка пакета программ МД моделирования двухкомпонентной неидеальной плазмы с использованием псродопотсчщнальвой модели.

2. Моделирование равновесной неидеальной плазмы. Расчет корреляционных функций скоростей, токов, плотностей и зарядов для различных значений параметра неидеальности и массы ионов.

3. Расчет динамического структурного фактора (ДСФ), определение области существования ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазме, расчет дисперсии и декремента затухания этих волн, определение роли столкновительного затухания и затухания Ландау.

4. Изучение стохастических свойств неидеальной плазмы, определение показателя Ляпунова, области применимости кинетической теории для описания временной эволюции системы.

5. Моделирование релаксации энергии в сильно неизотермической неидеальной плазме. Определение характера и длительности релаксации из различных начальных условий.

6. Интерпретация экспериментальных данных по коэффициенту отражения электромагнитного излучения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Рассчитаны дисперсия и декремент затухания ленгмюровских плазменных волн в диапазоне параметра неидеальности Г < 4. Обнаружено, что декремент столкновительного затухания проходит через максимум при Г = 2, оставаясь при этом в четыре раза меньше плазменной частоты. Различными способами определена эффективная частоты столкновений, с помощью которой дисперсионные характеристики плазменных волн в неидеальной плазме при Г < 3 могут быть описаны путем обобщения теории идеальной плазмы.

2. Исследованы стохастические свойства неидеальной плазмы, определены максимальные показатели Ляпунова для электронов и ионов в зависимости от параметра неидеальности и массы ионов. Определено время динамической памяти, отделяющее динамическое описание системы от стохастического. Предложена формула, связывающая время динамической памяти, максимальный показатель Ляпунова и уровень флуктуации полной энергии.

3. Для нескольких типов неизотермической неидеальной плазмы изучена релаксация к равновесию. Обнаружено, что релаксация имеет две стадии. Для конечной стадии характерно экспоненциальное убывание разности температур компонент. На начальной (неэкспоненциальной) стадии обнаружены осцилляции средней кинетической энергии электронов с частотой, близкой к плазменной. Показано, что начальная стадия

соответствует динамическому этапу релаксации, конечная — стохастическому. Получены значения характерного времени экспоненциальной релаксации в большом диапазоне отношения масс компонент и параметра неидеальности. Предложены интерполяционные формулы, позволяющие рассчитать время релаксации для неидеальной плазмы с ионами произвольной массы.

4. Проведены расчеты коэффициента отражения электромагнитного излучения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне. Рассмотрено влияния нерезкого фронта ударной волны и над-теплового возбуждения плазменных волн на коэффициент отражения.

Научная и практическая ценность работы определяется полученными в ней интерполяционными формулы и рассчитанными значениями эффективной частоты столкновений, дисперсии и декремента затухания ленгмю-ровских плазменных волн, скорости релаксации энергии в неизотермической плазме, времени динамической памяти, проводимости плазмы, коэффициента отражения от плоского слоя плазмы. Указанные результаты могут использоваться для построения более полной теории неидеальной плазмы, для проектирования новых экспериментов или интерпретации уже полученных экспериментальных данных.

Положения, выносимые на защиту:

1. Область существования, дисперсия и декремент затухания ленгмюров-ских плазменных волн в диапазоне параметра неидеальности Г < 4. Зависимость величины столкновительного затухания от Г. Анализ возможности применения теории идеальной плазмы с модифицированной частотой столкновений для описания плазменных волн в неидеальной плазме. Объяснение отрицательной дисперсии положения максимума динамического структурного фактора по частоте.

2. Зависимости эффективной частоты столкновений в неидеальной плазме от массы ионов, параметра неидеальности и частоты возмущения.

3. Стохастические свойства неидеальной плазмы, максимальные показатели Ляпунова для электронов и ионов в зависимости от параметра неидеальности и массы ионов. Время динамической памяти, отделяющее динамическое описание системы от стохастического. Формула, связывающая время динамической памяти, максимальный показатель Ляпунова и уровень флуктуации полной энергии.

4. Релаксации в неизотермической неидеальной плазме для трех типов начальной неравновесности (Те Т{, Те 1» Т,, Те — 7) = 0). Характер и

длительность релаксационных процессов на различных стадиях релаксации в зависимости от отношения масс компонент и параметра неидеальности. Интерполяционные формулы, позволяющие рассчитать время релаксации для плазмы с ионами произвольной массы.

5. Анализ экспериментальных данных по коэффициенту отражения электромагнитного излучения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне. Коэффициент отражения от равновесной неидеальной плазмы на фронте с резкой границей. Оценки влияния нерезкого фронта ударной волны и надтеплового возбуждения плазменных волн.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы представлены на научно-координационных сессиях "Исследования неидеальной плазмы" (Президиум РАН, Москва, 1996,1997, 2001, 2002, 2003 г.г.) и на международных конференциях "Physics of Nonideal Plasma" (Росток, ФРГ, 1998 г.; Валенсия, Испания, 2003 г.), "Strongly Coupled Coulomb Systems" (Сан-та Фе, Нью Мексико, США, 2002 г.), "Conference on Computational Physics" (Аахен, Германия, 2001 г.; Сан Диего, Калифорния, США, 2002 г.), "Уравнения состояния вещества" (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская республика, 2002, 2003 гг.), "Conference on Computational Science" (Амстердам, Голландия, 2002 г.), "V International Congress on Mathematical Modelling" (Дубна, 2002г.), "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах. Эксперимент, теория, компьютерное моделирование" (Новый Афон, Абхазия, 2003 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 16 печатных работ (без тезисов конференций), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 112 страниц, включая 3 таблицы, 43 рисунка и 89 наименований цитируемой литературы.

2: Содержание работы

Во введении обоснована актуальность проводимого исследования, сформулированы основные задачи диссертационной работы, оценена их научная новизна. Изложена структура диссертации. Даны определения параметров плазмы, используемых на протяжении всей диссертации: параметра неидеальности Г, частоты и периода электронных плазменных колебаний,

дебаерской длины ...

2тг /4тгпее2 / /евГ

4ппее2

где пе — концентрация электронов, е — заряд электрона, Т — температура, кв — постоянная Больцмана.

В первой главе приводится обзор литературы по теме диссертации. В §1.1 кратко обсуждается теория идеальной плазмы. § 1.2 посвящен моделированию равновесной неидеальной плазмы методами МД и Монте-Карло. В § 1.3 рассматриваются работы по стохастическим свойствам динамических систем многих частиц, основной упор делается на результаты численного моделирования. По неравновесной неидеальной плазме в § 1.4 приведен обзор теоретических работ, основывающихся на кинетической теории, и результатов моделирования методом МД. § 1.5 посвящен обзору экспериментальных работ, относящихся к теме диссертации.

Во второй главе описывается метод исследования равновесной неидеальной плазмы. Приводятся результаты для эффективной частоты столкновений, которые используются в последующих главах.

В § 2.1 обсуждается алгоритм и параметры метода МД, используемого в работе. Алгоритм основан на численном решении классических уравнений движения частиц в некотором выделенном объеме среды (МД ячейке). Для решения уравнений движения применяется схема "Leap-frog" второго порядка точности. Шаг интегрирования по времени выбирается таким образом, чтобы полная энергия системы сохранялась с точностью не хуже 0,1%. При расчете сил, действующих на частицы, находящиеся в МД ячейке, применяются периодические граничные условия и метод ближайшего образа. Рассмотрены различные псевдопотенциальные модели взаимодействия частиц. Основная часть результатов работы получена с использованием модифицированного потенциала Кельбга [1]. Полное число частиц в МД ячейке составляет N = 128 - 5000.

§ 2.2 посвящен описанию методики и результатов расчета статических свойств неидеальной плазмы. Подтверждено экранирование заряда в неидеальной плазме на среднем межчастичном расстоянии. Рассчитаны бинарные функции распределения частиц. Приводится обоснование правильности расчетной модели и сравнение с имеющимися в литературе данными.

В § 2.3 исследуются динамические свойства плазмы. Проводимость рассчитывается на основе теории линейного отклика в длинноволновом пределе к 0, поэтому зависимость от волнового числа к в приведенных ниже формулах не указывается. Рассматривая внутреннее электрическое поле плазмы

как возмещение, а плотность тока частиц J как отклик среды, "внутреннюю" проводимость плазмы а можно связать с равновесными флуктуациями то-ка[2]

(1)

где По — объем системы, /3 — \/квТ. Для МД системы средняя плотность тока определяется непосредственно из скоростей электронов и ионов. Результаты для нормированных автокорреляторов тока К(1), скоростей электронов и ионов

K(t) =

(J(i)J(O))

Ke(t) =

<ve(t)ve(0))

«<v.(Qv.(Q))

h,[t) - (v,2)

(2)

<J2) ' 'W (v?)

представлены на рис. 1. При уменьшении неидеальности характер затухания K(t) все больше приближается к экспоненциальному и при Г = 0,13 уже хорошо аппроксимируется зависимостью K(t) = ехр(—u}t). В неидеальной плазме экспоненциальное затухание автокорреляторов тока и скоростей начинается не с нулевого момента времени, а при t > 0,2те.

Из результатов моделирования с различным отношением масс ионов и электронов установлено, что М/т = 100 является достаточно хорошим приближением для изучения динамики электронной компоненты в реальной плазме, и дальнейшее увеличение М/т не оказывает заметного влияния на динамику электронов.

В § 2.4 вычисляется ключевая величина данной работы — эффективная частота столкновений и{ш), которая в дальнейшем используется для анализа декремента затухания плазменных волн. Термин "частота столкновений" не следует понимать буквально — это лишь удобная характеристика столкно-вительных процессов в плазме. Определением для служит обобщенная формула Друде для проводимости [3] и соответствующее выражение для диэлектрической проницаемости:

В теории идеальной плазмы V обычно интерпретируется как частота электрон-ионных столкновений и не зависит от и [4]. В настоящей работе и(и>) — это комплексный параметр, характеризующий столкновительное затухание для возмущений с частотой щ. По формуле (1) величина 1>{и)) выражается через автокорреляционные функции тока, рассчитываемые с помощью МД модел-трования.

Результаты для статической частоты столкновений у/(0) представлены на рис. 2а, а для статической проводимости на рис. 26. Как видно из рисунка, при слабой степени неидеальности результаты МД хорошо согласуются с формулами для идеальной плазмы. Экстраполяция формул идеальной плазмы в область неидеальности даже с фиксированным кулоновским логарифмом существенно завышает эффективную частоту столкновений. Результаты МД для у(0) хорошо согласуются с независимыми расчетами [5] при Г < 3.

В [9] проанализирован большой объем экспериментальных данных по проводимости для различных веществ, плотностей и температур. Выделена кулоновская часть проводимости, которая представлена на рис. 26 в зависимости от параметра неидеальности. Как видно из рисунка, в результатах различных экспериментов (закрашенные точки) наблюдается большой разброс, который не может быть объяснен ни одной из известных теорий равновесной плазмы. Кривые 1 и 2, определенные по формулам идеальной плазмы, оказались выше всего массива экспериментальных данных. В работе [10] сделано сделано предположение о том, в неидеальной плазме существенное значение имеет рассеяние электронов на коллективных модах, причем в лабораторной плазме эти моды могут быть возбуждены до надтеплового уровня. В этом случае проводимость неравновесной неидеальной плазмы должна оказаться меньше проводимости равновесной плазмы.

Оценка проводимости для равновесной плазмы, выполненная в работах [9] показана на рис. 26 кривой 4. Практически весь массив экспериментальных данных оказался ниже кривой 4, что свидетельствует о той или иной степени неравновесности экспериментальной плазмы.

0.1 1 0.1 1

Рис. 2. (а) Эффективная частота столкновений, полученная различными способами: треугольники — из автокоррелятора тока на частотах ш = 0 (нижние треугольники) и и = шр (верхние треугольники), кружки и аппроксимирующая их линия — из декремента плазменных волн, штриховая линия — теория идеальной плазмы, штрих-пунктирная — то же с фиксированным кулоновским логарифмом (Ье = 3,2), пунктир справа — асимптотика [6] для Г > 1, сплошная линия — теоретический расчет [5].

(б) Статическая проводимость в зависимости от параметра неидеальности 7 = е2(п, + щУ*/квТ К5 Г/1,28. Закрашенные точки — данные различных экспериментов, незакрашенные точки — результаты МД: ромб и квадраты — [7]. треугольники — настоящая работа. Теоретические кривые: 1 — формула Ландау, 2 — то же при Ье = 3, 3 — то же при = 1 х/Л^+Т, Л = гв/гь [6], 4 — расчет [8), 5 — а = шр/4л-

Результаты настоящей работы показаны на рис. 26 незакрашенные треугольниками. Они хорошо согласуется с оценками [8] (кривая 4) во всем диапазоне (7 < 3). Таким образом, теория [8] и результаты МД, полученные в настоящей работе, взаимно подтверждают друг друга.

Действительная и мнимая части динамической частоты столкновений "(о») представлены на рис. 3, а значения Пе^Ур) в зависимости от Г — на рис. 2а (треугольники сверху). Скорость убывания и(ш) на больших частотах определяется короткодействующей частью потенциала взаимодействия и хорошо согласуется с аналитическими расчетам для потенциала Кельбга и(и>) ~ ш-7/2 (рис. 3). Низкочастотная часть эффективной частоты столкновений сравнивается с теоретическими расчетами для Борновского приближения и с численным решением уравнения для Т-матрицы [11]. Уравнение для Т-матрицы дает наиболее хорошее согласие с МД при и <ир. В работе показано, что появление максимума на эффективной частоте столкновений в зависимости от частоты возмущения обусловлено увеличением характерного

времени столкновения частиц в неидеальной плазме по сравнению с периодом плазменных колебаний При уменьшении Г зависимость юты исчезает

01 1 "Ч 10 01 1 "Ччо

Рис 3 Динамическая частота столкновений в зависимости от частоты возмущающего поля Точки — результаты МД, кривые — расчет [11] пунктирная линия — борновское приближение, сплошная и штриховая кривая — численное решения уравнения для Т-матрицы, сплошная линия справа — асимптотика на больших частотах для потенциала Кельбга Г = 1 28

В третьей главе исследуется дисперсия и декремент затухания ленгмю-ровских плазменных волн в равновесной неидеальной плазме Экстраполяция теории идеальной плазмы предсказывает отсутствие плазменных волн в неидеальной плазме [12] Однако, с помощью метода МД ленгмюровские плазменные волны были обнаружены во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности Г = 0,13 — 3 84, что находится в соответствии с теоретическими оценками [6,9,13] и результатами компьютерного моделирования других авторов [7,14,15]

В § 3 1 кратко рассмотрены модели диэлектрической проницаемости для идеальной плазмы [4,16] и соответствующие им дисперсионные характеристики леигмюровских плазменных волн Предлагается модель, в которой эффективная частота столкновений 1>(и>) в формулах [16] рассматривается как свободный параметр, подлежащий определению на основе МД

§ 3 2 посвящен определению ДСФ Используя равновесную МД траекторию, рассчитываются автокорреляционные функции плотности для частиц разного сорта

где пс — средняя концентрация частиц сорта с,

Усреднение проводится по начальным конфигурациям г(0) и по направлениям вектора к в силу изотропии плазмы. Значения ДСФ находятся из преобразования Фурье от автокоррелятора "заряд-заряд"

(б)

(7)

При слабом затухании нуль функции к), определяющий дисперсию плазменных волн, соответствует максимуму к), однако при большом затухании это не всегда так. На рис. 4 представлен пример для = 0,8, при котором нуль функции е(ш — /¡г), определяющий дисперсию, заметно смещен в мнимую область. Поскольку ДСФ определен на действительной оси и, то, как показывают этот пример, его максимум может значительно смещаться в область меньших частот при увеличении затухания вплоть до полного исчезновения. Данный эффект иногда неверно интерпретируется как отрицательная дисперсия плазменных волн.

Рис. 4. Динамический структурный фактор (ДСФ) идеальной плазмы при и/шр = 0,8, кгв = 0,2. На вставке проиллюстрировано смещение максимума ДСФ относительно нуля диэлектрической проницаемости вследствие большого затухания

В § 3.3 изложен метод определения дисперсионных характеристик ленг-мюровских плазменных волн на основе анализа пика ДСФ вблизи плазменной частоты. Для обработки ДСФ, полученного из МД моделирования, применяется процедура, проиллюстрированная на рис. 5. Область пика аппроксимируется параболой. Полученные из интерполяции положение пика штлх и его высота 5тах = 3(штах,к) используются для определения полуширины на полувысоте Полученная таким образом величина практически совпадает с декрементом затухания 5 во всей области существования плазменных волн за исключением небольшой области 6/и>р > 0,8, в которой отличие можно от учесть на основе теории идеальной плазмы.

Рис. 5. ДСФ неидеальной плазмы, полученный из МД моделирования (кружки). Кривые иллюстрируют определение положения пика ДСФ шшах и его полуширины ¿ь»

Результаты для декремента затухания при больших к (рис. б слева) показывают, что затухание Ландау остается практически неизменным и в случае неидеальной плазмы. В пределе к -> О затухание Ландау, наоборот, стремится к нулю, а декремент затухания определяется только столкновительной частью 6С = 1//2. Для определения эффективной частоты столкновений величина V рассматривалась как свободный параметр. Далее формулы идеальной плазмы с полученным значением V использовались для аппроксимации зависимостей декремента затухания и частоты ленгмюровских пламенных волн от к, полученных из МД (рис. 6). Как можно видеть, с учетом с смещения максимума ДСФ в область меньших частот (рис. 6 справа), теоретические кривые для выбранных V хорошо согласуются с МД данными.

Полученные таким образом значения V (кружки) в зависимости от параметра неидеальности Г представлены на рис. 2а в сравнении с частотой столкновений и(шр) (треугольники), найденной из автокоррелятора тока. Хо-

Рис. 6. Полуширина ¿ь» (слева) и положение максимумов ДСФ (справа). Точки — данные МД для различного числа частиц М, штрихованные кривые — затухание Ландау сплошные кривые — полуширина и положение максимумов ДСФ идеальной плазмы при указанных на графиках значениях V

рошее согласие результатов указывает на согласованность обоих методов расчета. Заметные отличия и = 25с от с^р) наблюдается при минимальном Г = 0,26 и максимальном Г = 3,84 значениях параметра неидеальности. В первом случае это отличие скорее всего связано с недостаточной точностью полученных результатов, а во втором — неприменимостью выражений для диэлектрической проницаемости идеальной плазмы, использованных при определении 2&с. Таким образом изложенный метод определения столкнови-тельного затухания имеет область применимости Г < 3. При Г > 3 частота плазменных волн оказывается для волновых чисел к/га < 0,3 выше, а для к/гв > 0,3 ниже частоты, полученной из описанной теоретической модели. Общий характер зависимостей V, проходящих через максимум при Г и 2, полностью соответствует качественным представлениям, приведенным в работе [6]. Асимптотика V ~ Г-1/2 полученная в [6] для Г > 1 также не противоречит результатам МД.

В четвертой главе изучается экспоненциальное разбегание изначально близких траекторий частиц, приводящее к потере динамической памяти и возникновению необратимости.

В § 4.1 изучается разбегание координат и скоростей равновесных траекторий из изначально близких начальных состояний, обусловленное ляпунов-ской неустойчивостью динамических систем. Из МД моделирования определяются усредненные разности скоростей и координат частиц в исходной и

возмущенной траекториях

где Аи В — константы, зависящие от начального возмущения, К — максимальный показатель Ляпунова, 4те — время, после которого разбегание перестает носить экспоненциальный характер. Физически величина К'' определяет скорость возрастания энтропии при перемешивании траекторий [17]. Экспоненциальных рост квадрата разности скоростей (Дг>2(<)) продолжается до тех пор, пока его величина не достигнет значения удвоенного квадрата тепловой скорости (Дг2(<)) = 1 (рис. 7 слева). Достижение этого

значения показывает, что корреляция скоростей частиц на возмущенной и невозмущенной траекториях полностью потеряна, т. е. возмущенная система полностью "забыла" свое начальное состояние. Соответствующее время естественно назвать временем динамической памяти для электронов.

Рис. 7. Слева: Определение Бремени динамической памяти для электронов £„ (верхний

набор ромбов). Нижний набор кружков показывает два участка экспоненциального раз-бегания ионов. Величины Av2 нормированы на удвоенные квадраты тепловой скорости 2vf для электронов и 2fj., для ионов. Г = 1,28; М/т = 100.

Справа: Произведение показателя Ляпунова К на время динамической памяти tm,. в зависимости от уровня флуктуации полной энергии. Треугольники — неидеальной плазма (Г = 1,28; М/т = 10), кружки — Леннард-Джонсоновская система [18], прямая проведена по формуле (9)

В § 4.2 изучается стохастизация в ионной подсистеме. Согласно результатам МД скорости экспоненциального разбегания на начальном участке для траекторий электронов и ионов с различными массами совпадают. При

t > tme, кривая (Дf2(<)) для электронов выходит на насыщение, а (Дг2(<)) меняет характер роста с экспоненциального на диффузионный. В то же время экспоненциальный рост величины (Ди2(<)) для ионов, еще не достигшей своего максимального значения, продолжается, но уже с другим показателем экспоненты. Объяснение заключается в том, что после прекращения экспоненциального разбегания электронных траекторий максимальным становится показатель Ляпунова для ионов К{. Именно он и выявляется в МД расчетах при t > tm. Зависимость К{(М) имеет вид К{{М) ~ у/т/М.

В § 4.3 изучается переход от экспоненциального к диффузионному режиму разбегания траекторий. Если в приведенных выше примерах начальное отклонение задавалось искусственно через изменение координат электронов, то в реальных системах к забыванию начального состояния может приводить внешнее шумовое воздействие какой угодно природы. В любом численном алгоритме роль шума играет ошибка численного интегрирования уравнений движения, зависящая от шага интегрирования Д<. Это приводит к тому, что через некоторое время численное решение отклоняется от ньютоновской траектории, являющейся точным решением тех же уравнений движения. Основным выводом, следующим из правого рис. 7, является то, что время динамической памяти очень слабо (логарифмически) зависит от шага интегрирования At. Поэтому даже существенное уменьшение шага интегрирования или повышение порядка численной схемы не приводит к заметному увеличению tme.

Любая численная схема с шагом интегрирования At > 0 приводит к небольшим флуктуациям полной энергии E(t). Связь уровня флуктуации

с шагом зависит от конкретной численной схемы. Тем не менее, в работе показано, что связь уровня флуктуации с произведением показателя Ляпунова на время динамической памяти носит универсальных характер (рис. 7 справа)

K(tme 1 - ime2) = In {АЕЦАЕ\). (9)

Можно предположить, что формула (9) применима не только для МД системы, но и для любой реальной системы, в которой существует флуктуации полной энергии вызванные, например, взаимодействием системы с окружением. Для применения формулы (9) необходимо лишь определить показатель Ляпунова К. С целью подтверждения этой гипотезы было проведено МД моделирование, в котором на частицы действовала дополнительная ланжевеновская сила. Несмотря на принципиально другую природу шумов общий вид зависимости (9) оказался справедливым и в этом случае.

В пятой главе рассмотрена релаксация энергии в плазме для нескольких типов начальной неравновесности, при которых одна или обе подсистемы находятся при нутевой температуре. Это соответствует трем предельным случаям: Те TJ (плазма за фронтом ударной волны), Tt <С Т{ (лазерный нагрев плазмы) и Те = Т = 0 (методический пример). В случае Те ^ TJ-рассматриваются два варианта начального пространственного распределения ионов: кристаллическая решетка и распределение, взятое из равновесной МД траектории.

В § 5.1 рассмотрены качественные особенности процессов релаксации в неидеальной плазме. Выделены две основных стадии релаксации: начальная "неэкспоненциальная" и последующая с экспоненциальным убыванием разности температур электронов и ионов. Локальные равновесия в подсистемах устанавливаются достаточно быстро. Например, для отношения масс M/m = 100, Г = 1,28 распределение по скоростям принимает вид масквел-ловского для электронов за время 0,1ге, для ионов — за 15ге.

§ 5.2 посвящен начальной неэкспоненциальной стадии релаксации. Показано, что по мере увеличения неидеальности зависимость электронной температуры от времени приобретает все более выраженный осциллирующий характер, а длительность неэкспоненциальной стадии тпВ возрастает. Хотя характер релаксации на этой стадии для разных начальных условий различен, ее длительность во всех случаях оказывается одного порядка с временем динамической памяти ime (рис. 8 слева). Это подтверждает гипотезу о том, что неэкспоненциальная стадия соответствует динамическому режиму t < tme и поэтому не описывается кинетическим уравнением.

В § 5.3 характерное время экспоненциальной релаксации тв найдено для различных значений соотношения масс М/т и параметра неидеальности Г. Установлено, что зависимость тв от М/т отличается от линейной, как это было бы в случае идеальной плазмы, но может бьпь аппроксимирована степенной функцией Величины и а практически не зависят

от типа начальной неравновесности. В пределе идеальной плазмы Г —)• 0 показатель а (Г) стремиться к теоретическому значению а = 1, а неидеальной плазме может быть аппроксимирован выражением

(10)

Имея зависимости тв{М) и а(Г) можно экстраполировать результаты для времени релаксации на любые значения М/т. Ошибка определения а не превышает 5%, что дает, например, для алюминия ошибку определения тв порядка 40%. Этого достаточно для оценки времени релаксации по порядку

0.1 1 10 0.1 1

Рис. 8. Зависимость характерных времен релаксации от параметра неидеальности. Начальные условия: Т,(0) = 0 — квадраты, Т,(0) = 0, кристалл — кружки, Ге(0) = 0 — ромбы, Те(0) = Т,(0) = 0 — треугольники.

Слева: длительность неэкспоненциальной релаксации. Крестиками отмечено время динамической памяти tmc для равновесной плазмы, кривая — линейная аппроксимация для tМ/т = 100.

Справа: характерное время экспоненциальной релаксации в пределе М/т —> 1. Сплошная кривая сверху — теория идеальной плазмы, пунктирная снизу — то же с фиксированным кулоновским логарифмом (Lt = 3,2). Звездочки — время релаксации импульса в пересчете по формуле (Sirv/uip)'1

величины. Для изучения зависимости тв от Г можно разделить переменные

Зависимость Тд(Г) представлена на рис. 8 справа. Как видно из рисунка, нижняя пунктирная линия (экстраполяция теории идеальной плазмы [19] с фиксированным кулоновским логарифмом) на несколько порядков превышает скорость релаксации энергии в неидеальной плазме. Это согласуется с результатами экспериментов по релаксации в ударно-сжатом алюминии и кремнии [20,21]. Время релаксации импульса, пересчитанное по соответствующим формулам идеальной плазмы, показано звездочками. В пределен Г —► 0 оно совпадает с временем

В шестой главе проведен анализ экспериментальных данных по коэффициенту отражения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне.

В § 6.1 приводятся экспериментальные данные [22,23] и их интерпрета-

ция на основе существующих теоретических моделей. Показано, что модель для плазмы с резким фронтом и диэлектрической проницаемостью в форме [4] не может объяснить результаты указанных экспериментов.

В § 6.2 для расчета диэлектрической проницаемости и коэффициента отражения от плазмы с резкой границей применяется метод МД. Результаты сравниваются с экспериментальными данным и имеющимися теоретическими моделями для двух значений длины волны лазерного излучения (рис. 9). Как видно из рисунка, данные МД лучше согласуются с результатами измерений, чем теоретические оценки. Тем не менее, для более точного воспроизведения экспериментальных данных необходимо учесть дополнительные факторы, такие, например, как нерезкий фронт ударной волны и неравновесное возбуждение плазменных волн.

Рис. 9. Коэффицинет отражения для излучения на двух длинах волн: кружки — экспериментальные данные, треугольники — МД расчет для равновесной плазмы, кривая — теоретическая оценка по формулам (24)

Поскольку имеющиеся экспериментальные данные не позволяют установить точный профиль концентрации электронов на границе плазменного слоя, в § б.З изучается влияние формы этой границы на коэффициент отражения. Решается обратная задача, т. е. определяется, каким должен быть профиль электронной концентрации для объяснения экспериментальных данных на основе существующих теоретических моделей для диэлектрической проницаемости [24]. Установлено, что нерезкий фронт шириной порядка 0,1 — 0,5 мкм влияет на коэффициент отражения. Однако, одного этого эффекта недостаточно для объяснения экспериментальных данных.

В § 6.4 для оценки влияния неравновесного состояния на коэффициент отражения использована модель [9]. Была определена степень раскачки неравновесных плазменных волн которая является основным параметром модели [9], для объяснения экспериментальных данных. Полученный рост £ от Г качественно согласуется с представлениями [6,9] о возрастании роли коллективных эффектов в неидеальной плазме. Тем не менее, количественные значения £ указывают на необходимость доработки модели [9].

3. Основные результаты работы

В настоящей работе создан пакет программ молекулярно-динамичес-кого моделирования изотермической и неизотермической неидеальной плазмы в диапазоне параметра неидеальности 0,1 < Г < 4. Использована псевдопотенциальная модель. На основе моделирования получены следующие результаты.

1. Показано, что ленгмюровские плазменные волны существуют во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности Г < 4. Определены их дисперсия и декремент затухания. Обнаружено, что декремент затухания проходит через максимум при Г 2, оставаясь при этом в четыре раза меньше плазменной частоты. Расчеты показали, что теория идеальной плазмы с модифицированной частотой столкновений может применяться для описания плазменных волн в неидеальной плазме при Г < 3. Отмечено, что отрицательная дисперсия максимума динамического структурного фактора по частоте обусловлена смещением нуля диэлектрической проницаемости в мнимую область вследствие сильного столкновительного затухания в неидеальной плазме.

2. Несколькими способами определены зависимости эффективной частоты столкновений от массы ионов и параметра Г. Результаты для статической частоты столкновений согласуются с теорией идеальной плазмы при Г <0,3 и с асимптотическими оценками при Г > 2. Динамическая частота столкновений согласуется с расчетами других авторов, имеющимися для Г = 1 в пределах низких и высоких частот.

3. Исследованы стохастические свойства, определены максимальные показатели Ляпунова для электронов и ионов в зависимости от параметра Г и массы ионов. Найдено время динамической памяти, отделяющее динамическое описание системы от стохастического. Показано, что в неидеальной плазме это время становится больше периода плазменных электронных колебаний. Предложена формула, связывающая время дина-

мической памяти, максимальный показатель Ляпунова и уровень флуктуации полной энергии.

4. Для трех типов неизотермической неидеальной плазмы

изучена релаксация к равновесию. Обнаружено, что релаксация имеет две стадии. Для конечной стадии характерно экспоненциальное убывание разности температур компонент. На начальной (неэкспоненциальной) стадии обнаружены осцилляции средней кинетической энергии электронов с частотой, близкой к плазменной. Показано, что начальная стадия соответствует динамическому этапу релаксации, конечная — стохастическому.

5. Получены значения характерного времени экспоненциальной релаксации в большом диапазоне отношений масс компонент и параметров неидеальности. Предложены интерполяционные формулы, позволяющие рассчитать время релаксации для неидеальной плазмы с ионами произвольной массы. Установлено, что простые экстраполяционные оценки по теории идеальной плазмы дают на несколько порядков меньшее время релаксации при

6. Полученные результаты и модели применены для анализа экспериментальных данных по коэффициенту отражения излучения от неидеальной плазмы, образующейся на фронте ударной волны в ксеноне. Проведены МД расчеты, результаты которых лучше согласуются с экспериментом, чем существующие теоретические модели. Показано, что отличие МД данных от результатов эксперимента может быть объяснено с учетом нерезкого фронта ударной волны и надтеплового возбуждения плазменных волн.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Валуев A.A., Морозов И.В., Норман Г.Э. Ленгмюровские волны и ионный звук в неидеальной плазме. Молекулярно-динамический расчет // ДАН. 1998. Т. 362. С. 752-755.

2. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Divergence of particle trajectories in electron-ion plasmas // J. Tech. Phys. 1999. V. 40. P. 61-65.

3. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. K-Entropies of Electrons and Ions in Nonideal Plasmas // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. № 4. P. 307-311.

4. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. K-entropy (average Lyapunov exponent), dynamics and chaos for particle trajectories. Molecular dynamics simulation for electron-ion strongly coupled plasmas // J. de Physique, France. 2000. V. 10, Pr5. P. 251-254.

5. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Stochastic Properties of Nonideal Plasmas. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 36405-1-9.

6. Reinholz H., Roepke G., Morozov I.V., Mintsev V.B., Zapapoghets Yu.B., Fortov V.E., Wierling A. Density profile in shock wave fronts of partially ionized xenon plasmas // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 5991-5997.

7. Magnitskiy SA, McjKzcv I.V., Norman G.E., Valuev AA Anomalous reflectivity from nonideal plasma // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 5999-6004.

8. Mcrczov I.V., Norman G.E. Non-Exponential dynamic relaxation in strongly nonequihb-rium nonideal plasmas // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 6005-6012.

9. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev AA, Valuev IA Nonideal plasma as non-equilibrium media // J. Phys. A 2003 V. 36. P. 8723-8732.

10. Reinholz H., Zaporoghets Yu., Mintsev V., Fortov V., Morozov I., Roepke G. Frequency-Dependent Reflectivity of Shock Compressed Xenon Plasmas // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 036403-1-10.

11. Магницкий С.А., Морозов И.В., Норман Г.Э., Тарасишин А.В. О коэффициенте отражения от фронта неидеальной плазмы, создаваемой ударной волной // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2002". — Черноголовка: ИПХФ РАН, 2002. С. 107-109.

12. Морозов И.В. Численное моделирование взаимодействия излучения с неидеальной плазмой. // там же. С. 109-111.

13. Морозов И.В., Норман Г.Э. Небольцмановская релаксация неидеальной электрон-ионной плазмы. // там же. С. 111-112.

14. Morozov I.V., Norman G.E. Stegailov V.V. Dynamic and Stochastic Properties of Molecular Systems: from Simple Liquids to Enzymes // Lecture Notes in Computer Science. 2002. V. 2331. P. 1137-1146.

15. Морозов И.В., Норман Г.Э. Небольцмановская релаксация в неидеальной электрон-ионной плазмы // В сб. "Научные труды ИТЭС ОИВТ РАН - 2001". — Москва: ОИВТ РАН, 2002. С. 249-254.

16. Морозов И.В. Экспоненциальная и неэкспоненциальная релаксация в двухкомпо-нентной неидеальной плазме // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества, Эльбрус-2003". - Черноголовка: ИПХФ РАН, 2003. С. 152-154.

Список цитированной литературы

[11 Ffav AV, Eortz M, Ebefing W Improved Ketg potential fr correlated C^lomb systems // J Phys. A 2003. V 36. P. 5957-5962.

[2] Зубарев Д Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — M.: Наука, 1971. 321с.

[3] Berkovsky MA., Djordjevic D., Kurilenkov Yu.K., Milchberg H.M. On high frequency electrical conductivity of strongly coupled plasma // J. Phys. B. 1991. V. 24. P. 50435053.

[4] Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Физматлит, 2001. 535 с.

[5] Schlanges M., Bornath Th., Kremp D.t Hilse P. Quantum kinetic approach to transport processes in dense laser plasmas // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43, No. 5-6. P. 360-362.

[6] Валуев А.А., Каклюгин A.C., Норман Г.Э. Плазменные волны в неидеальной плазме // ЖЭТФ. 1998. Т. 114, Вып. 3. С. 880-896.

[7] Hansen J.P., McDonald I.R. Microscopic simulation ofa strongly coupled hydrogen plasma // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. P. 2041-2059.

[8] Валуев А.А., Куриленков Ю.К. Электропроводность плазмы в широком диапазоне плотностей зарядов // ТВТ. 1983. Т. 21. № 3. С. 591-594.

[9] Norman G.E., Valuev A.A. Response functions for electron-ion strongly coupled plasmas // In "Strongly Coupled Coulomb Systems", eds. Kalman G., Rommel M., Blagoev K. -New York: Plenum Press, 1998. P. 103-116.

110] Kaklyugin A.S., Noiman G.E., Valuev A.A. Plasma waves in strongly coupled electron-ion plasmas // In 'Physics of Strongly Coupled Plasmas", eds. Kraeft W. D., Schlanges M. -Singapore: World Scientific, 1996. P. 435-440.

[11] Millat Th., Selchow A., Wierling A., et al. Dynamic collision fiequency for a two-component plasma // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 6259-6264.

[12| Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат 1979

[13] Berkovsky M.A., Kurilenkov Yu.K. Electron dynamic correlations in strongly coupled plasmas: beyond the Born approximation // J. Phys. B. 1991. V. 24. P. 5043-5053.

[14] Валуев A.A. О колебаниях электронов в неидеальной плазме // ТВТ 1977 Т 15 X* 6. С. 1143-1147.

[15] Selchow A., Ropke G., Wierling A., et al. Dynamic structure factor for a two-component model plasma // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 056410-1-10.

[16] Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Колебания и волны в плазменных средах. — М.: Изд. МГУ, 1990. 271 с.

[17] Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984. 246 с.

[18] Norman G.E. Stegailov V.V. Stochastic and dynamic properties of molecular dynamics systems: simple liquids, plasma and electrolytes, polymers // Computer Physics Communications. 2002 V. 147. P. 678-683.

[19] Рамазашвили P.P., Рухадзе А.А., Силин В.П. О скорости выравнивания температуры заряженных части в плазме // ЖЭТФ. 1962. Т. 43. Вып. 4(10). С. 1323-1330.

[20] Ng A., Celliers P., Hu G., Foreman A. Electron-ion equilibration in a strongly coupled plasma // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 4299-4310.

[21] Riley D., Woolsey N.C., McSherry D., et al. X-ray diffraction from a dense plasma // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84 P. 1704-1707.

[22] Mintsev V.B., Zaporoghets Yu.B. Reflectivity of dense plasma // Contrib. Plasma Phvs 1989. V. 29. P. 493-501.

[23] Запорожец Ю.Б., Минцев В.Б., Грязное В.К., Фортов В.Е. Коэффициент отражения плотной плазмы ксенона в красной области спектра (694 нм) // В сб. "Физика экстремальных состояний - 2002" под ред. Фортова В.Е. - Черноголовка- Изд ИПХФ РАН, 2002. С. 188-189.

[24] Esser A., Redmer R., Ropke G. Interpolation formula for the electrical conductivity of nonideal plasmas // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43. P. 33-41.

317 с.

Морозов Игорь Владимирович

СТОЛКНОВЕНИЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Автореферат

Подписано в печать 14.01.04

Печать офсетная

Тираж 120 экз._

Уч.-изд.л. 1,5 Заказ № 73

Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1.39 _Бесплатно

ОИВТ РАН. 125412. Москва, Ижорская ул., 13/19

Р 17 74

РНБ Русский фонд

2004-4 25042

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Морозов, Игорь Владимирович

Введение

Глава 1. Обзор литературы

§1.1 Плазменные волны в идеальной плазме

§ 1.2 Теория равновесной неидеальной плазмы

§ 1.3 Моделирование равновесной неидеальной плазмы.

§ 1.4 Стохастические свойства.

§ 1.5 Неравновесная неидеальная плазма: теория и моделирование

§ 1.6 Экспериментальные исследования неидеальной плазмы

Глава 2. Столкновения в равновесной плазме

§ 2.1 Моделирование неидеальной плазмы методом молекулярной динамики.

§ 2.2 Статические свойства неидеальной плазмы

§ 2.3 Расчет проводимости из автокоррелятора тока.

§ 2.4 Эффективная частота столкновений.

Глава 3. Плазменные волны в равновесной плазме

§ 3.1 Ленгмюровские плазменные волны в идеальной плазме

§ 3.2 Динамический структурный фактор идеальной и неидеальной плазмы.

§ 3.3 Дисперсия и затухание ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазме.

Глава 4. Стохастические свойства равновесной плазмы

§ 4.1 Экспоненциальное разбегание траекторий электронов

§ 4.2 Экспоненциальное разбегание траекторий ионов

§ 4.3 Время динамической памяти.

Глава 5. Релаксация энергии в неизотермической плазме

§ 5.1 Основные стадии релаксации в идеальной и неидеальной плазме.

§ 5.2 Длительность неэкспоненциальной релаксации

§ 5.3 Характерное время экспоненциальной релаксации

Глава 6. Коэффициент отражения от плоского слоя плазмы

§ 6.1 Обсуждение экспериментальных данных.

§ 6.2 Расчет коэффициента отражения методом МД.

§ 6.3 Определение профиля электронной концентрации на фронте ударной волны.

§ 6.4 Влияние неравновесности на поглощение излучения

Введение диссертация по физике, на тему "Столкновения и плазменные волны в неидеальной плазме"

Актуальность работы определяется тем, что развитие экспериментальной техники в последнем десятилетии привело к возможности получения и исследования вещества в экстремальных состояниях, в частности, неидеальной плазмы. Неидеальная плазма изучается экспериментально в ударных волнах в газах и твердых телах, при электровзрыве проводников, при воздействии мощных электронных пучков и коротких лазерных импульсов на твердотельные и газовые мишени. Стоит также упомянуть неидеальную плазму, получаемую при взаимодействии мощных электронных пучков с микроструктурами, капиллярный и искровой разряды, астрофизические задачи описания атмосферы звезд.

В работах по измерению проводимости, времени релаксации энергии в неизотермической плазме, коэффициента отражения были обнаружены эффекты, которые не удается описать на основе имеющейся теории. Поэтому интерес к построению теоретических моделей неидеальной плазмы в настоящее время достаточно велик.

Теория идеальной плазмы развивается достаточно давно (Лифшиц, Питаевский, Арцимович, Сагдеев, Александров, Богданкевич, Рухадзе [13]). В рамках этой теории были построены модели для диэлектрической проницаемости и проводимости плазмы, обнаружены и изучены различные виды плазменных волн в равновесном и неравновесном случаях. Эти модели подтверждаются многочисленными экспериментами. Существование плазменных волн обуславливает практически все многообразие явлений в идеальной плазме. Многие из этих явлений имеют широкое практическое применение (распространение радиоволн в атмосфере, диагностика плазмы излучением, плазменные барьеры и др.).

К сожалению, экстраполяция результатов теории идеальной плазмы в область неидеальности для большинства задач приводит к неправильным результатам и существенным расхождениям с экспериментальными данными. Все основные результаты этой теории получены в предположении о том, что сфера дебаевского экранирования содержит большое число частиц, а столкновения частиц являются слабыми с рассеянием на малые углы. В неидеальной плазме, напротив, экранирование происходит уже на расстояниях, сравнимых со средним межчастичным расстоянием [4], дебаевская сфера формально содержит меньше одной частицы (десятые и даже сотые доли частицы), а взаимодействие частиц принимает характер короткодействующего с рассеянием на большие углы. Поэтому именно столкновительные процессы играют главную роль в теории неидеальной плазмы, и построение адекватной модели столкновений является основной задачей этой теории. Без создания такой модели невозможно корректное рассмотрение следующих вопросов:

• статическая и динамическая проводимость;

• область существования и декремент затухания плазменных волн;

• поглощение энергии электромагнитного поля в плазме.

Особое место в этом списке занимают плазменные волны. Вследствие неправильного учета характера столкновений и экстраполяции результатов теории Ландау за область ее применимости можно придти к выводу о невозможности плазменных волн в неидеальной плазме. Такое утверждение можно встретить даже в широко известных монографиях по физике плазмы (Арцимович, Сагдеев [2]). Впоследствии в некоторых теоретических работах (Валуев, Норман, Каклюгин, Куриленков, Берковский [5-7]) и работах по компьютерному моделированию (Валуев, Хансен, Мак Дональд, Цвикнагель, Пшивул, Рёпке, Вирлинг, Райнхольц [8-10]) было показано, что ленгмюровские и ионно-звуковые плазменные волны все-таки могут существовать в равновесной неидеальной плазме. Однако, эта точка зрения так и не стала общепризнанной. Свойства этих волн, в частности, их дисперсия и декремент затухания, остаются сравнительно мало исследованными.

Несмотря на то, что формула Ландау для релаксации энергии в двух-температурной системе [1] выводилась в приближении слабого столкнови-тельного затухания, многие экспериментаторы применяют ее или ее аналоги для оценки скорости релаксации в неидеальной плазме (Нг, Райли,

Селье, Форсман, Мак Шерри, Вивер, Нарди [И, 12]). В результате в указанных работах были выявлены существенные (на несколько порядков величины) расхождения экспериментальных данных с теорией. Анализ экспериментальных данных по проводимости неидеальной плазмы (Дихтер, Зейгарник [13]) указывает на наличие неравновесности на временах, существенно больших, чем время релаксации, определенное по формулам для идеальной плазмы.

Для описания неравновесных систем многих частиц в настоящее время активно развиваются теории на основе квантовой статистики (Зубарев, Морозов, Рёпке, Климонтович [14,15]), однако, результаты этих явлений являются настолько общими, что их применение в каждом конкретном случае требует специального исследования, сопряженного, как правило, с применением численных методов. Точные аналитические результаты удается получить лишь в приближениях слабого взаимодействия или для слабого отклонения системы от равновесия. В то же время для проектирования экспериментов и анализа их результатов требуются простые формулы, дающие оценку хотя бы по порядку величины. Поэтому в последнее время публикуется много работ (Дхарма-Вардана [16]), в которых вычисляются поправки к скорости релаксации, связанные с неидеальностью плазмы. С учетом этих поправок теоретические результаты [16] гораздо лучше согласуются с экспериментальными данными, чем формула Ландау.

Диагностика излучением является важным методом определения концентрации идеальной плазмы в эксперименте. В то же время, коэффициент отражения от неидеальной плазмы на фронте ударной волны в ксеноне, измеренный в работах [17,18], не удалось объяснить на основе существующих теоретических моделей.

Основной подход к описанию столкновительных процессов в неидеальной плазме заключается в построении модельных интегралов столкновений, которые затем применяются для аналитического или численного решения кинетических уравнений. В этом направлении достигнуты определенные успехи (Райнхольц, Редмер, Рёпке, Вирлинг, Шлангес, Борнат, Хилее, Кремп, Бониц, Оде, Эссер [19-22]). В то же время указанный подход имеет и серьезные ограничения. Во-первых, в указанных работах учитываются лишь парные столкновения частиц. Во-вторых, коллективные эффекты в плазме часто вообще не принимаются во внимание. Во-третьих, в основе кинетического уравнения лежит гипотеза о том, что за время свободного пробега частица успевает "забыть" свое прежнее состояние, поэтому столкновения частиц являются статистически независимыми. Эта гипотеза основана на представлениях о динамическом хаосе (Заславский,

Герценштейн, Кравцов [23-25]). Однако, в случае неидеальной плазмы с сильными столкновениями, время забывания прежнего состояния может оказаться достаточно большим по сравнении с временем свободного пробега и с характерными временами релаксации импульса и энергии. Проверка этой гипотезы может быть осуществлена с помощью компьютерного моделирования.

Среди методов компьютерного моделирования неидеальной плазмы особое место занимают методы Монте-Карло и молекулярной динамики (МД). По сравнению с численным решением уравнений для функции распределения или системы гидродинамических уравнений они обладают гораздо большим быстродействием, поскольку не используют вычислительной сетки в пространстве координат или скоростей. Кроме того, эти методы дают наиболее полную картину о состоянии плазмы на микроскопическом уровне. В отличии от метода РагЫс1е-т-се11, применяемого в основном для бесстолкновительной плазмы, столкновения частиц в методах Монте-Карло и МД учитываются точно. Метод Монте-Карло предназначен в основном для определения термодинамических характеристик и стационарных функций распределения равновесной плазмы, в то время как МД с успехом используется и для описания динамики процессов, в том числе, в сильнонеравновесных средах.

Настоящая работа посвящена двум взаимосвязанным вопросам: исследованию столкновительных процессов в неидеальной плазме и определению области существования и дисперсионных характеристик ленгмюров-ских плазменных волн. Основным способом получения исходных данных для теоретической обработки является компьютерное моделирование методом МД.

Результатами данной работы являются интерполяционные формулы и таблицы значений эффективной частоты столкновений, дисперсии и декремента затухания ленгмюровских плазменных волн, скорости релаксации энергии в неизотермической плазме, времени динамической памяти, проводимости плазмы, коэффициента отражения от плоского слоя плазмы. Указанные результаты могут использоваться для построения более полной теории неидеальной плазмы, для проектирования новых экспериментов или интерпретации уже полученных экспериментальных данных.

В связи с относительной простой и большим количеством работ по теории идеальной плазмы весьма перспективными представляются поиски таких параметров, модификация которых позволила бы применить эту теорию для решения широкого круга задач неидеальной плазмы. Понятно, что свободными параметрами должны быть величины, связанные со столкновениями частиц. В настоящей работе в качестве такого параметра рассматривается комплексная эффективная частота столкновений, значения которой определяются из МД моделирования. Этот параметр связан простыми арифметическими соотношениями с проводимостью и диэлектрической проницаемостью плазмы.

Отдельное исследование посвящено анализу области существования ленгмюровских плазменных волн в неидеальной плазмы и исследованию их дисперсионных характеристик. Наличие плазменных волн в неидеальной плазме открывает путь к применению богатого теоретического арсенала, разработанного для идеальной плазмы. Благодаря этому эффекты, связанные с плазменными волнами, которые были подробно изучены теоретически и экспериментально для случая идеальной плазмы (например, взаимодействие частиц с плазменными волнами [26,27] или перенос излучения через плазменные барьеры), могут иметь место и в неидеальной плазме. Для их количественной оценки требуется лишь набор характеристик, таких как дисперсия и декремент затухания. Указанные характеристики в настоящей работе рассчитываются на основе МД моделирования. В работе показано, что для слабонеидеальной плазмы дисперсионные характеристики ленгмюровских плазменных волн могут быть описаны теорией идеальной плазмы с модифицированной частотой столкновений, о которой уже было сказано. Это еще больше облегчает применение теории для решения конкретных задач.

Результаты, полученные на основе численного моделирования, сравниваются с имеющимися теоретическими моделями. Однако, как уже было отмечено, кинетическая теория перестает работать на временах меньших, чем время возникновения стохастичности в системе. Поэтому изучению стохастических свойств неидеальной плазмы посвящена отдельная глава диссертации. В частности, изучается на каких этапах процессы релаксации импульса и энергии могут быть описаны кинетической теорией (стохастический режим), а на каких динамическими уравнениями движения (динамический режим).

С помощью метода МД исследуется также характер и длительность релаксационных процессов в неизотермической неидеальной плазме. Выделяются основные этапы релаксации. Поскольку в релаксации энергии так же, как и в релаксации импульса, основную роль играют столкновения частиц, результаты МД лучше согласуются с экспериментальными данным, чем теория идеальной плазмы. В работе приводятся интерполяционные формулы, позволяющие определить характерные времена релаксации в плазме с различными типами начальной неравновесности, различной массой ионов и степенью неидеальности. Эти формулы дают возможность экспериментаторам быстро оценить температуру компонент плазмы в различные моменты времени, что особенно важно для экспериментов с временным разрешением в нано- и пикосекундном диапазонах.

Заключение диссертации по теме "Физика плазмы"

Заключение

В настоящей работе создан пакет программ молекулярно-динами-ческого моделирования изотермической и неизотермической неидеальной плазмы в диапазоне параметра неидеальности 0,1 < Г < 4. Использована псевдопотенциальная модель. На основе моделирования получены следующие результаты.

1. Показано, что ленгмюровские плазменные волны существуют во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности Г < 4. Определены их дисперсия и декремент затухания. Обнаружено, что декремент затухания проходит через максимум при Г « 2, оставаясь при этом в четыре раза меньше плазменной частоты. Расчеты показали, что теория идеальной плазмы с модифицированной частотой столкновений может применяться для описания плазменных волн в неидеальной плазме при Г < 3. Отмечено, что отрицательная дисперсия максимума динамического структурного фактора по частоте обусловлена смещением нуля диэлектрической проницаемости в мнимую область вследствие сильного столкновительного затухания в неидеальной плазме.

2. Несколькими способами определены зависимости эффективной частоты столкновений от массы ионов и параметра Г. Результаты для статической частоты столкновений согласуются с теорией идеальной плазмы при Г < 0,3 и с асимптотическими оценками при Г > 2. Динамическая частота столкновений согласуется с расчетами других авторов, имеющимися для Г = 1 в пределах низких и высоких частот.

4. Для трех типов неизотермической неидеальной плазмы (Те «С Т Те Те = Т{ = 0) изучена релаксация к равновесию. Обнаружено, что релаксация имеет две стадии. Для конечной стадии характерно экспоненциальное убывание разности температур компонент. На начальной (неэкспоненциальной) стадии обнаружены осцилляции средней кинетической энергии электронов с частотой, близкой к плазменной. Показано, что начальная стадия соответствует динамическому этапу релаксации, конечная — стохастическому.

5. Получены значения характерного времени экспоненциальной релаксации в большом диапазоне отношений масс компонент и параметров неидеальности. Предложены интерполяционные формулы, позволяющие рассчитать время релаксации для неидеальной плазмы с ионами произвольной массы. Установлено, что простые экстраполяцион-ные оценки по теории идеальной плазмы дают на несколько порядков меньшее время релаксации при Г > 1.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Морозов, Игорь Владимирович, Москва

1. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Физмат-лит, 2001. 535 с.

2. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979. 317 с.

3. Валуев A.A., Каклюгин A.C., Норман Г.Э. Плазменные волны в неидеальной плазме // ЖЭТФ. 1998. Т. 114, Вып. 3. С. 880-896. Валуев A.A. О колебаниях электронов в неидеальной плазме // ТВТ. 1977. Т. 15. № 6. С. 1143-1147.

4. Зубарев Д.H., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. — М.: Физматлит, 2002. Т. 1. 431 с.

5. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. — М.: Наука, 1975. 352 с.

6. Dharma-wardana M.W.С. Results on the energy-relaxation rates of dense two-temperature aluminum, carbon and silicon plasma close to liquid-metal conditions // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 035401 (R)-l-4.

7. Mintsev V.B., Zaporoghets Yu.B. Reflectivity of dense plasma // Contrib. Plasma Phys. 1989. V. 29. P. 493-501.

8. Запорожец Ю.Б., Минцев В.В., Грязнов В.К., Фортов В.Е. Коэффициент отражения плотной плазмы ксенона в красной области спектра (694 нм) // В сб. "Физика экстремальных состояний 2002" под ред. Фортова В.Е. — Черноголовка: Изд. ИПХФ РАН, 2002. С. 188-189.

9. Reinholz H., Redmer R., Röpke G., Wierling A. Long-wavelength limit of the dynamical local-field factor and dynamical conductivity of a two-component plasma // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 5648-5666.

10. Bornath Th., Schlanges M., Hilse P., Kremp D. Nonlinear collisional absorption in dense laser plasmas // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 0264141-12.

11. Esser A., Redmer R., Röpke G. Interpolation formula for the electrical conductivity of nonideal plasmas // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43. P. 33-41.

12. Ohde Th., Bonitz M., Bornath Th., Kremp D. Two-temperature relaxation in nonideal partially ionized plasmas // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 12411249.

13. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — M.: Наука, 1984. 246 с.

14. Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости // В сб. "Пределы предсказуемости" под ред. Кравцова Ю.А. М.: Центрком, 1997. С. 170-200.

15. Валуев A.A., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. Метод молекулярной динамики: теория и приложения // В сб. "Математическое моделирование" под ред. Самарского А.А, Калиткина H.H., — М.: Наука, 1990. Т. 2. С. 5-40.

16. Давыдов Б.И. О влиянии колебаний плазмы на ее электропроводность и теплопроводность // В сб. "Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций". Изд. АН СССР, 1958. Т. 1. С. 77-88.

17. Рамазашвили P.P., Рухадзе A.A., Силин В.П. О скорости выравнивания температуры заряженных части в плазме // ЖЭТФ. 1962. Т. 43. Вып. 4(10). С. 1323-1330.

18. Анисимов И.А., Левитский С.М. Перенос электромагнитных волн сквозь слой плотной плазмы с помощью электронного потока // ЖТФ. 1989. Т. 59. Вып. 7. С. 50-54.

19. Kurilenkov Yu.K., Valuev A.A. Electrical conductivity of plasma in wide range of charge densities // Beitr. Plasma Physik. 1984. V. 24. P. 161-172.

20. Berkovsky M.A., Djordjevic D., Kurilenkov Yu.K., Milchberg H.M. On high frequency electrical conductivity of strongly coupled plasma // J. Phys. B. 1991. V. 24. P. 5043-5053.

21. Schlanges M., Bornath Th., Kremp D., Hilse P. Quantum kinetic approach to transport processes in dense laser plasmas // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43, No. 5-6. P. 360-362.

22. Gibbon P., Pfalzner S. Direct calculation of inverse-bremsstrahlung absorption in strongly coupled, nonlinearly driven laser plasmas // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 4698-4705.

23. Reinholz H., Röpke G., Wierling A., et al Reflectivity of shock compressed xenon plasma // Contrib. Plasma Phys. 2003. V. 43. P. 3-9.

24. Millat Th., Selchow A., Wierling A., et al Dynamic collision frequency for a two-component plasma // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 6259-6264.

25. Kaklyugin A.S., Norman G.E., Valuev A.A. Plasma waves in strongly coupled electron-ion plasmas //In "Physics of Strongly Coupled Plasmas", eds. Kraeft W.D., Schlanges M. Singapore: World Scientific, 1996. P. 435440.

26. Norman G.E., Valuev A.A. Response functions for electron-ion strongly coupled plasmas // In "Strongly Coupled Coulomb Systems", eds. Kaiman G., Rommel M., Blagoev K. — New York: Plenum Press, 1998. P. 103-116.

27. Kaklyugin A.S., Norman G.E., Valuev A.A. Contemporary physics of strongly coupled plasmas // J. Tech. Phys. 2000. V. 41. P. 65-72.

28. Бом Д. Общая теория коллективных переменных. — М.: Мир, 1964. 152 с.

29. Norman G.E., Valuev A.A. Electrical conductivity of nonideal plasma // Plasma Phys. 1979. V. 21. P. 531-544.

30. Валуев A.A., Куриленков Ю.К. Электропроводность плазмы в широком диапазоне плотностей зарядов // ТВТ. 1983. Т. 21. № 3. С. 591-594.

31. Зеленер Б.В., Норман Г.Э., Филинов B.C. Теория возмущений и псевдопотенциал в статистической термодинамике. — М.: Наука, 1981. 179 с.

32. Ebeling W., Norman G.E., Valuev A.A., Valuev I.A. Quasiclassical Theory and Molecular Dynamics of Two-Component Nonideal Plasmas // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. P. 61-64.

33. Hoover W.G., Posch H.A. Lyapunov instability of dense Lennard-Jones fluids // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 473-482.

34. Hoover W.G., Posch H.A. Second-law irreversibility and phase space dimensionality loss from time-reversible nonequilibrium steady state La-punov spectra // Phys. Rev. E.1994. V. 49. P. 1913-1920.

35. Hoover W.G. Time reversibility, computer simulation and chaos. — Singapore: World Scientific, 1999. 265 c.

36. Кравцов Ю.А. Фактические границы гипотезы замкнутости и классические парадоксы кинетической теории // ЖЭТФ. 1989. Т. 96. Вып. 5(11). С. 1661-1665.

37. Кравцов Ю.А. Случайность, детермированность, предсказуемость // УФН. 1989. Т. 158. Вып. 1. С. 93-122.

38. Герценштейн М.Е., Кравцов Ю.А. Ограничения применимости ньютоновского описания движения частиц в газе вследствие спонтанного излучения низкочастотных фотонов // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. Вып. 4(10). С. 761-763.

39. Валуев А.А., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. Уравнения метода молекулярной динамики // В сб. "Термодинамика необратимых процессов". М.: Наука, 1987. С. 11-17.

40. Norman G.E., Podlipchuk V.Yu., Valuev A. A. Equations of motion and energy conservation in molecular dynamics method // Molecular simulation. 1993. V. 9. P. 417-424.

41. Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Стохастические свойства молекулярно-динамической ленард-джонсовской системы в равновесном и неравновесном состояниях // ЖЭТФ. 2001 Т. 119. № 5. С. 1011-1020.

42. Norman G.E. Stegailov V.V. Stochastic and dynamic properties of molecular dynamics systems: simple liquids, plasma and electrolytes, polymers // Computer Physics Communications. 2002 V. 147. P. 678-683.

43. Майоров С.А., Яковленко С.И. Развитие метода моделирования динамики многих кулоновских частиц // Известия ВУЗов. 1994. № 11. С. 45-56.

44. Майоров С.А. Расходимость фазовых траекторий кулоновской системы // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1999. № 1. С. 33-47.

45. Dharma-wardana M.W.C., Perrot F. Energy relaxation and the quasiequa-tion of state of a dense two-temperature nonequilibrium plasma // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 069901.

46. Zwicknagel G. Molecular dynamics simulations of the dynamics of correlation and relaxation in OCP // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. P. 155-158.

47. Hansen J.P., McDonald I.R. Thermal relaxation in a strongly coupled two-temperature plasma // Phys. Lett. 1983. V. 97A. P. 42-44.

48. Kuzmin S.G., O'Neil T.M. Numerical simulation of ultracold plasmas: how rapid intrinsic heating limits the development of correlation // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88 P. 065003-1-4.

49. Kurilenkov Yu.K., Valuev A.A. Plasma oscillations and their influence on certain properties of non-ideal plasma // Beitr. Plasma Physik. 1984. V. 24. P. 529-538.

50. Батенин В.M., Берковский M.А., Валуев А.А., Куриленков Ю.К. О коллективных эффектах и аномальной проводимости в неидеальной токонесущей плазме. Физическая модель. Стратификация проводника с током. // ТВТ. 1987. Т. 25. № 2. С. 218-224.

51. Norman G.E., Valuev A.A., Valuev I.A. Nonequlibrium effects in electron-ion strongly coupled plasmas. Molecular dynamics simulation. // J. de Physique (France). 2000. V. 10(Pr5). P. 255-258.

52. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1971. 416 с.

53. Андреев С.И., Ивасенко Н.Ф. Основы расчета импульсных ксеноновых ламп. — Томск: Изд. Томского университета, 1982. 152 с.

54. Валуев А.А., Морозов И.В., Норман Г.Э. Ленгмюровские волны и ионный звук в неидеальной плазме. Молекулярно-динамический расчет // ДАН. 1998. Т. 362. С. 752-755.

55. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Stochastic Properties of Nonideal Plasmas. // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 36405-1-9.

56. Морозов И.В. Численное моделирование взаимодействия излучения с неидеальной плазмой. // "Физика экстремальных состояний вещества, Эльбрус-2002". Черноголовка: ИПХФ РАН, 2002. С. 109-111.

57. Валуев А.А., Морозов И.В., Норман Г.Э. Ленгмюровские и ионно-звуковые волны в неидеальной плазме. Молекулярно-динамический расчеты // Тезисы XXIV Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 1997. С. 236.

58. Morozov I.V. Langmuir Waves and Ion Sound in Nonideal Plasmas: MD simulations // 9th Int. Workshop on the Physics of Nonideal Plasma (PNP-9), 1998. P. 29.

59. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Divergence of particle trajectories in electron-ion plasmas //J. Tech. Phys. 1999. V. 40. P. 61-65.

60. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. K-Entropies of Electrons and Ions in Nonideal Plasmas // Contrib. Plasma Phys. 1999. V. 39. № 4. P. 307-311.

61. Morozov I.V., Norman G.E. Stegailov V.V. Dynamic and Stochastic Properties of Molecular Systems: from Simple Liquids to Enzymes // Lecture Notes in Computer Science. 2002. V. 2331. P. 1137-1146.

62. Morozov I.V., Norman G.E. Non-Exponential dynamic relaxation in strongly nonequilibrium nonideal plasmas // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 6005-6012.

63. Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A., Valuev I.A. Nonideal plasma as non-equilibrium media // J. Phys. A. 2003 V. 36. P. 8723-8732.

64. Морозов И.В., Норман Г.Э. Небольцмановская релаксация неидеальной электрон-ионной плазмы. // "Физика экстремальных состояний вещества, Эльбрус-2002". Черноголовка: ИПХФ РАН, 2002. С. 111-112.

65. Морозов И.В., Норман Г.Э. Небольцмановская релаксация в неидеальной электрон-ионной плазмы // В сб. "Научные труды ИТЭС ОИВТ РАН 2001". - Москва: ОИВТ РАН, 2002. С. 249-254.

66. Морозов И.В. Экспоненциальная и неэкспоненциальная релаксация в двухкомпонентной неидеальной плазме // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества, Эльбрус-2003". — Черноголовка: ИПХФ РАН, 2003. С. 152-154.

67. Morozov I.V., Norman G.E. Electric Double Layer and Non-Boltzmann Relaxation. Two Component Strongly Coupled Plasmas // Int. Conf. Strongly Coupled Coulomb Systems (SCCS02), 2002.

68. Reinholz H., Roepke G., Morozov I.V., Mintsev V.B., Zapapoghets Yu.B., Fortov V.E., Wierling A. Density profile in shock wave fronts of partially ionized xenon plasmas //J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 5991-5997.

69. Magnitskiy S.A., Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Anomalous reflectivity from nonideal plasma // J. Phys. A. 2003. V. 36. P. 5999-6004.

70. Reinholz H., Zaporoghets Yu., Mintsev V., Fortov V., Morozov I., Roepke G. Frequency-Dependent Reflectivity of Shock Compressed Xenon Plasmas // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 036403-1-10.

71. Магницкий C.A., Морозов И.В., Норман Г.Э., Тарасишин А.В. О коэффициенте отражения от фронта неидеальной плазмы, создаваемой ударной волной // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества, Эльбрус-2002". Черноголовка: ИПХФ РАН, 2002. С. 107-109.

72. Magnitskiy A.S., Morozov I.V., Norman G.E., Tarasishin A.V., Valuev A.A. Anomalous Reflectivity from Shock-Compressed Strongly Coupled Plasmas // Int. Conf. Strongly Coupled Coulomb Systems (SCCS02), 2002.