Строение диффузийных процессов с нерегулируемыми коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

п и ин

юйсхагеш ошну поднн

КИЇВСЬКИЙ УНІЕВїШЕТ ІИШІ ТАРАСА ІШВЧЙША

йа празах рукопис*

ш шлі

ОСИПЧУІС МисаНаа ШявИлогич

псзудом дкаузівних арабів з ккшуаяйіиші

КОЕвЩІЄШїИ

ТА ДОСЛІДЖЕННЯ їх ШШ0ОЄТЄК 01.01.05 - теорія ймовірнозтей іа иатеиати«ча

статистика

• катораавРАї

диоертації на здобуття вченого ступеня' кандидата фІвико-матміатичИих иаук

Київ - ІШ

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної стптіістики механіко-математичного факультету Київського університету імені Тараса Шевченка '

Провідна організація Київський політехнічний інсти1

Захист дисертаці ї відбудеться аО" 1993 року

Науковий керівник

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук,

професор Портенко М.І.

доктор фізико-математичних наук,

професор Кулініч Г.Л.

кандидат фізико-математичних наук .

професор Копитко Б.І.

Київський політехнічний інститут

п 14.00 год., на засіданні спеціалізованої ради К 0o8.I8.II по присудженню вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук в Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою:.

Р52ІЕ7, Київ, проспект Академіка Глушова, 6, механіко-математич-< чий факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці університету.

Автореферат розіслано 1993 року.

• ✓

Вченні, секретар

ЗАГАЛЬНА ХА РАІІТКРИС'І” ІКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дифузійні і близькі до них квазідифузійні процеси відіграють значну роль в теорії марківських процесів, теорі диференціальних рівнянь в частинних похідних параболічного та еліптичного типу, теорії управління. Одне з центральних місць в теорії дифузійних процесів посідає задача побудови процесу з напе_.;д звітними коефіцієнтами: вектором переносу та оператором дифузії. Розв"язан!ш цієї задачі і присвячена робота, що реферуеться.

Ге значення, яке має згадана задача, забезпечило їй значну популярність серрц вчених, як Еітч"їняних, так і зарубіжних. Зокр',:і результати робіт А.В.Скорохода, М.В.Крилова, Х.Ганака, Д.В.Струка, С.Р.С.Варадана дозволяють будувати дифузійні і квазідифуоійні процеси з неперервнои, до.цзтньовизначеною, обмеженою матрицею дифузії та обмеженим, виміри»/! вектором переносу. Подальший розвиток задачо одерг-іла в роботах М.І Ліортенка, де побудовані квазідифузіи.; /узагальнені дифузійні/ процеси з невиродженоа, обмеженою, неперервною матриц дифузії та вектором переносу, ¡цо являє собою, взагалі каку чи, локально необмежену /або навіть узаг альнену/ фуг-цію. Сере>' методів, що застосовувались, слід виділити аналітичний. лог"лайниГі :: диференціальними рівишіняйи в частинних похідних еліптичного ?н параболічного типів, І ймовірнісний, що базується на побудові траєкторій дифузійних процесіз як розв'язків сгохастичних днфі,,.;н-ціальних рівнянь. -

Зауважимо, що згадані результати стосуються скінченновиміржи просторів. Нескінч^новійирниЯ випадок почали рогглг"атн В.й.ВяКлі-.-, і ТЛ.Чпнтладзє, вивчаючи параболічні диференціал, ні рівняння друг го порядку як рівняння Колмогорова для дифузійних процесіє. Зьдач.. Коші для таких рівнянь і застосування до неї теорії стохаегичних рівнянь з обласними операторними коефіцієнтами в шкалі гільберт .'.п просгоріп викладена Ю.Л.Далецьккм. Випадок необмежених ков|іці?м1” р.^з! лчдався в робс^’ч В.В.Рччлпнп, В.Л.Далецьк^го, М.В.крп .в--,

F 'і . ГпгпчсЬК'Ч'п.

Мета роботи. Подальша розробка методів побудови дифузійних процесів з нерегулярними коефіцієнтами, зокрема, а локально необмеженим вектором переносу, як в скінченно- , так і в нескінчєнновимір-них просторах.

Методика досліджень. В дисертації використовуються метод рівнянь збуреної дифузії /аналогів рівнянь Колмогорова/, а такая метод стохастичних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна роб ?и. Основні реї. іьтати дисєртг"ії полягають в тому, що: ч .

- побудовані узагальнені дифузійні процеси, як в скінченно- , так і в нескінченновимірних просторах з, можливо, локально необмєяеним сектором переносу, що задовільняє деяку умову інтегровності за гаусівсьною мірою;

- побудовами., дифузійний процес в евклідовому просторі, як розв"язок стсхастичиого диференціального рівняння, з вектором переносу, що має в одній точці особливість, яка виходить за межі згаданої умови;

- побудований узагальнений дифузійний процес в с,4ичснновяиірному просторі з коефіцієнтом обриву, ¡до є дельта-функцією зосередкенов на ¡оверхні.

'Геореті. ;на і практична цінність. Результати дисертаційної роботи маять теоретичний характер і мскуть бути використані в теорії випадкових процесів, математичній фізиці та інших галузях науки і техніки, де досліджуються явища, що моделюються дифузійними процесами.

Апробація роботи та публікації. Результати роботи до,звідались на наукових семінарах відділу теорії випадкових процесів інституту математики АН України, республіканському семіі,прі з теорії ймовірностей та математичної статистики при Київському університеті, Третій Донецькій міжнародній конференції "ймовірнісні моделі процесів в управлінні та надійності"/Донецьк, 1993/, конференції молодих вчених Київського університету /1993/.

вповні результати дисертації опубліковані в роботах [і - з] .

Структура і об”ем роботи. Дисертація складається з вступу і трьох рог>цілів, що розбиті на 12 параграфів. Загальний обсяг рсСоти сторінок мдаячописного тексту. Бібліографія містить 2Ь назв.

ЗМІСТ РОБОТИ ' ,

У вступі наведено іюсі-аноьку задачі, короткнй огляд робіт, пов"язатіх з темою дисертації а такси перераховані основні результати роботи. '

Перший розділ має загальний характер. 13 ньому сформульовані основні поняттяіі твердження, що використовуються о дисертації.

В другому розділі розглянута задача побудова узагальнених дифузійних процесів в скінченновимір.чих просторах.

В §¿,1 доведена наступна теорема.

Теорема '¿,1. ІІехай функція б(і х) є £<>/ГД, аначеі. .ями якої е симетричні матриці порядку кп * уу\ , така, що: а/ при всіх ,Х5 ІІГ, 0*8Г

сІівіг*(вс*,Ю0,0) *

Де.' С, і Сх- додатні сталі; б/ при всіа І/е/в 0,т] , У. ,х'е ІІч" , ІЛ= і.

(*'.*'>і * +

де X ) елементи матриці , а ¿.і оі - деякі

дгчатні с.олі, с(.-4І „

Нехай для векторної функції 0.(і}х) , І і |с,ТІ , Xг- ^ ' снують такі сталі §>0 , С«?>£?, <?>-•§- > |ц0 ИРИ в0*х X* ¡Я*

■і і

|еі(>(иНиГа--5) &тф [- _р І < (° (£_^у /і/

■ 5 ,Г> • • ' ' " *

де1 |( - стала з і'чінки щільності ¡імовірності цереходу процесу з нуль о рим переносом і дифузією $С£|Х ) >|1)х $(«,хД$

Годі іечуе неперервний маркіпський процес я перехідною {імовірністю Р(л,х,І.,Г) } 6ь$<І іТ , X € Й, Г* - боролівеька мисчина р |*л і іакиГ', що для довільної ""мірної обмеж\нот *у!>«піV !сч>1 .«¿-¡Р,*1 Р /ПрГ'ПТ'Г ■змч'іенчямі! функц’я

йт

розв'язком рівняння

Г 5 Г _,

яяя якого викопується IV* ии,хД,<?)1 * Кв'рвС*-*)’'А , де К-стала,

^лідаментальни^ розв"язок

..'ТВНЯННЯ

Зтгг2*т£ Ы^ = 0.

^ ^ Ъх^х*

Умова /І/, зокрема, виконується для функцій. О.(і, у) , розгляну-тх М.І.ІІортенком, тобто таких, що .

т

|а($,х)|^сіх < + й° при деякому' р>м + 2.

0 Г П. -**

: також для функцій вигляду аі(і,х) = (X (¿. х£. )

' Із| * /

при |х|^К і aj.it,Х>= 0 в іншому випадку /тут 6С сталий вектор в (км, , К£ ФК'і при і*і , ^ 6/3 <

Зчуваяимо, що функція ІО|(і,)г)/^ неінтегровна на Го,тЗ х йГ

"і при якому р?М + 2. •

В §2.2 доведено, що побудований в теоремі 2.1 процес е слабким

іюзв’’язком стохастичного рівняння з коефіцієнтами а(*,х) і

0 г(£,х) . Крім того міра, що йому відповідає в просторі неперєр-гічих функцій, еквівалентна мірі, що відповідає дифузійному процесові т тією ж дифузією і нульовим переносом /теорема 2.3/.

В §2.3 розглянуто однорідний аналог теореми-2.1. Умова /І/ в "7-ому випадку має вигляд /теорема 2.4/ ‘

5 /2/

де Ь>о, с>о, % > 2~ >

■і теоремі 2.5 доведено, що побудований процес е узагальненим дифузійним процесом з вектором переносу А (Ч') і матрицею дифузії ВОО, Ч'еСД'іП , що задаються співвідношеннями ‘

(АОП,Є) = ^Ооо,вт*^л , к*

(Ь(ї)Є,0)= 5(€ск>©,©>М'<*>*Ал ,

‘ Г

де в е (Ят -

Крім того такий процес с слабким розв'язком відповідного стохастич-ного диференціального рівняння /теорема 2.6/.

Теорема 2.7 Нехай матричьозначна функція ¿<х) 1 Х€ задовільняє однорідні ; t аналоги ¿'мов а/ і 0/ теореми 2.1, а для векторної функції а<х) , X 6 В.” існують такі сталі 8>0,С • 0, у >- , що при всіх Ь > 0 ’

5 іа(^|145 е^ср {- ^ /З/

ЇГ

Тоді міра, що відповідає процесові, побудованому в -еоремх 2.4, еквівалентна на кожній б"-алгебрі ЛЦ , Т<«>“ мірі, що відь-аідае дифузійному процесові з тією ж дифузією і нульовим переносом /тут ДІ мінімальна <у-алгєбра підмножкн множини неперервних на Го,<~) векторнозначних функцій, що містить функції вигляду {*(*)<: Г] і«Со,ТЗ-, г - Сорглівська множина а ІГ /. '

Зауважимо, що ьоли умова /2/ виконується, а /3/ не виконуються, то про еквівалентність згаданих мір, взагалі кажучи, гочорити не можна. Прикладом є процес з одиничною дифузією і актором переносу асх) = сС їх,!"'4 > а<= &*\ і і при іхИЛ і а.(х) = 0 в і юному випадку.

З §2.4 побудований дифузійний процес в & ,т?2 /рг "ялок .

стохастичного дифереіщіального рівняння/ з перенс ач СіОО , *4 ¡Ят !і)о «іяє особливість п одній точці, і матрицею дифузії ЗЇ,£>0 , де X - оді1!»!: ..‘/і уі'рі'П'т. ОчорчиП результат параграфу сформульовано

в теоремі 2.Ь.

ІЧ/ЗГЧИНСІІО

ІО ¡Х(й)а С(х> Цх) + *§(*) , д-- с : І•• & -ь6\>

g'. Rw-» І< і (Х,СІ*))-0 :.ри ьсіх Ні (R . Тане ьобра-нешш доьілиюї функції Л (а) маяиа еспади р^иііі>увити.

НехіЛ g (х') = Cr0*0 , Х€ iRM • Пі‘и /Ь>0 покладемо Z4 о

l,(Q) * J тжг wp {- |г ^ с<»)Лг] да,

О З ц

/* Я { v

LA(G)= 5’/“®Ч> ecp р j* G Сг) Лі j іх A »j,

о /> о Л

,wo LXQ)* <*».

(П ГЛ л **

и орима k.i-i. Нехай ^¿нкщн U ‘ ¡К -* 84 Ьддоаілмше ннсі>і!-иі ууори:

с/ д.иі кожного (“>0 існує гака cvtuia , щп

ІМ*)1«КГ(1+ІКІ) , мацо ІХІ *Г і

б/ для кожних t'?-0 І R>1- Існує "¡иКії стала

)а(х)-й(чі)^ СЙҐІХ*^| ЛІСДО ¡х| І R І i^l^UR,

Тоді мають місце тг;ердяьння:

І/ ЯКЩО бо Lt(6)4 + oOJLj{G)-*«a, Ті) ТС(!>г СИЛЬНИЙ

ооав"р^ок рівняння

^(*)*a(^<0)Jt+£cl«>(t) ,t>0j /4/

де W(t)~ ІП-БИМІрИМЙ DiHepibCbKHii процес)

?/ .:Кщо Lt (От) <+•* , а L,(-Ct)r:ioci а£>о L^(*G)sa®’

то рівняння /4/ при t>0 р02в"яіку не мас*,

З/ в випадку І/ міра, що відповідач рсзв"лгку рівняння /4/ <ібгол«н-НО неперервна ВІДНОСНО міри, ЩО ВІДПОВІДІ nivjyniMii.ivy іч-іі-а ТІЄЮ Я дифузія* І пул, РИМ ПРІ’Г-'Г'СММ.

Розглянуто деякі випадки, колії, вашші кажучи, g(x)^ Gr(l*0 Крім,того в прикладі 2.4 провгдсна процедура множення модуля fil -вимірного ВІНерІВСЬНОІ'С процесу на сферичну проекцій незглеяшш о ВІД попереднього tV-ВНМІрНОГО ВІНСрІВСЬКОГО ПроЦйСу. Доведено, 0,0 таким ч"ном одержання процес мас стохастичний діц.:рснціол

де W(t)~ деякий П. -вимірний віпсрівськиП процес.

В 52.5 розглянуто мультиплікатинний функціонал від м -вимірної вінерівського процесу w(t) / mÿ 3 /

. U Wit))

*ts їїШїї ’ t>0

(УНО))

±

іут и(х) - и* е^*“ , ^ }

о

і ХҐ - деяка неперервна, невід"смна функція на обмеженій, замкж -ній поверхні Ляпунова £ , 5^(х)- дельта-функція зосереджена на поверхні £ .

З допомого» функціоналу проведено перетворення вінєрів-

сьиого процесу «Г(І> , тобто розглянуто каркізський процес з перехідною ймовірністю

г .

де - щільність ймовірності переходу м -вимірного

пінерівеького процесу. Доведено, що одержаний процес є узагальнені« дифузійним процесом з одиничною дифузіє», вектором переносу V ¿VI и(г) і коефіцієнтом о(5р; ну

и

Зауважимо, що умови, які задозільняє вектор персосу ь ¿52.1 -2.3 мшоті вигляд оцінок інтегралів за гаусівською мірою, а це дозчоляе без ссоОлирих труднощів перенести результати цих параграфів на випадок сепарабельного гільбертового простору. Це і зроблено в

Еіоа.і.Ьи л /роагчіацуто однорідній; ь.к.ьдок/.

Ь §3.1 ДОВЄДСі№ гіаСТуг.На ТСОрЫа.

Те^ргКії 3.1. Нехай X - сепцлйелышй гільСері-ів простір, В-

ДчіДьи'ІІІЙ ядерний Сі'іС-раїОр в X , іа»<і , рм ¡я,')- гаусіьська *’Тр£і О Гс|ДіДїіІМ і кореляційним оператором

оснащення простору X побудоване за оператором Ь .

.Нехай 'іункціл 6:Х —^¿/(Х)/ /ДЮ^-НОЖШШ лінійних, симетріїч-і:іі>: ог.оратиріь на X / така, що:

ні/ зV)&*(і-аоо)е,-* . ди а-х-*ії(Х-,Х*);

Ь2/ |С(^Ї ОСМЄдЄі при ьсіх X 6 X 1

вз/ £(*) дьічі нмърерьнс дифьреіщійовма, ГСМ, к;і,2

с.Оь'сжи;! - і ■ Є (О задовільна: умову ііішшця;

ь:/(Ь''Ч\л)&"^(х)Ь^,а) >(и-В)^у) , ЛеК^кХ .

: ла.і чункі: (Х^Х *Х така, що:

Аі/ (кіА € Ь‘*Х ПРИ майже ьсіх >ьХ &ь всіма мірами 'к*

АЙ/ існують такі сталі о>Оя С>0 , К > ~ моА*е

всіх Х^Х аа ьсіка мірами РЛ(^1с4‘)

)4Сі^ , ±>с,

X ,

де Р,(ї, х «) гаусіьська ь «а з середнім ХьХ* кореляційним

ч ^раїором ± а-ауф а - оператор з оцінки щільності,підносно р> (і,* *), ймовірності переходу гроиесу э нульовим переносом і диф} -Зіви вй<х)Ь «V ,11>їу(і,х,Я)І* і'Г^/хр 4,(Ч'аЙ.

Тоді існує НРііерсрЕниЯ однорідний маркіьськк»! і.роцес в X а " їіерг лідііо^ ймовірністю Кі,х,Г)і такий, що дли д-'РІлиюі ричір -—ної , пбмелениї функції Ч> -X- ^ функція

иа,х,ч>)= 5 „ . X

є розв'язком рівняння , .

■ т^г

дня якого виконується П>есма(*.х,?)1 *КМ І , де К -

Сіла, 8'{>й = **р!ЧЧ*>1 , €(х) = ^1— , х*Х ,

Л/а гч\ ^ -V

Ц(С,Х, Г ) - перехідна ймовірність дифузійчто процесу в Л. э

нульовим переносом і оператором дифузії £*\х) (з\к) , Х^Х

В §3.2 доведено, що побудований в теоремі 3.1 марківський процес е узагальненим дифузійний лрсцесом з вектором переносу а(х) і . оператором дифузії вл<«>вв*0с) в тому розумінні, що для довільної обмеженої неперервної з обмеженим носієм дійсної функції ЧЧ*), хеХ

5ч'(х>ис^х,4)Ри,х,^)^(4х); ^(а(х>,г)уоО_|Ц(<Ь)

XX X

ІЛ/** ЧЧ*) т 1 Си-х,г)гР(і(х,^)^(іх) = 1(ЛаьЛ*>г,*)У(і0рЙ

X X X

/тут М - гаусівська міра з середнім 0 і кореляційним оператором

в /.

§3.3 присвячений доведенню "ого факту, що побудований в теоремі 3.1 процес є слабким рсзв"язко». стохастичного інтегрального рівняння

ХС^^ = х(0>+ ^ ,

* о •

де «7В _ Є, -вінерівський процес в ^ /процес з незалежними

приростами, для якого при довільному мае

гаусівський розподіл з середнім 0 і кореляційнім оператором

В §3.4 наЕРденг умови, 'при яких міра, що відповідає побудованому в теоремі 3.1 процесові еквівалентна мірі, що відповідач дифузійному процесові з тією ж дифузією і нульовим переносом.

Тсазеыа 3.4. Нехай функція <Х:Х-*Х задовільняє умови Аі/ і ЛЗ/ існують такі сталі §>0 , С>0 , У >~ , 40 при І>0

і майже всіх ХеХ за всіма мірами РоСІ.С,-) , ¿»^СєХ

Р1«, * С і

Нехай функція зедовільняє >мови В1/ - В4/.

Тоді звуження на ЛІТ мір, що відповідають побудованому ь 'і ¿орем і 3.1 процесові та дифузійному процесові з нульовим перзносои

і тісю ж дифузією, еквівалентні при кожному Т< о° .

Взагалі каяучи, ніщо виконуються умоьи і іреш о.І, але не біно-ється АЗ/, то гоь^рити про еквівалентність згаданих вище нір не можна. Прикладом.цьому є процес з вектором переносу <х ; X- X таким, що <Х(Х)- ЄЇ КХ.Є'іГ'* при і (\(ж)~0 .

В іншому вкладку /тут 5 €. Ь^Х сталий вектор, £ - власнії;! вект ■ оііерато; . £> , ~ ^ <х < і / та оператором дифузії & .

Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах;

І. Осш.-іук Ы.М. ДиіІФузи»! с интегрируемым иереносом.//Ьесконечномер-ный стохастический анализ: Сб, науч. тр./АН УССР. Ин-т математики.

- Киев, 1990.- с. 96-101. '

й. Осипчук М.М. и диффузионных ’ ооцессах с переносом, имеющим '.окальную особенность в одной точке// Стохастический уравнения и граничные теоремы: Сб. кауч. тр./ Ин-т математики АН Украины.

- Киев, 1991. - с. ІІ6-І22.

3. Осипчук М.Ы. Перетвореній вінерівського процесу в К з допомога-т фу -ціоналу типу локального часу на поверхні// Український математичний журнал. - 1593. - т, 45, № Ь. - с. 663-66?.

г‘'дп до друку/З 04 93. Формат 60x84/16. Папір друк. Офс. друк. Ум.друк. арк. і)¥ . Ум. ^-обо-відб. . СГиі.-пид.арк. Ог 5'

Тираж ¿00 пр. Зам.Л#/ Відаруковано в Інституті математики МІ України 25?.<Ї0Т Київ 4, ГСП, руд Тєреїч^ч^+я^ькч, З