Строение границ зерен и разрушение в системах границ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РГ9

московский

ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ

■■■'ч ЪЛ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ м- ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ_

На правах рукописи • УДК 669.018.29:539.56:620.179.16

Маркович Александр Львович

СТРОЕНИЕ ГРАНИЦ ЗЕРЕН И

• РАЗРУШЕНИЕ В СИСТЕМАХ ГРАНИЦ

(Специальность 01.04.07 - "Физика твердого тела")

Автореферат

диссертационной раооти на, соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: профессор, доктор физико-математических наук И. А. Штремель

Москва 1993

Работа выполнена в Московском институте стали и сплавов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук И.М. Разумовский кандидат физико-математических наук Л.Н. Алешин

Ведущее предприятие -

Институт металловедения и физики металлов ЦНИИЧМ

на заседании специализированного совета К 053.08.06 при Московском институте стали и сплавов.

Адрес института: 117936, Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института стали и сплавов.

Научный руководитель -

профессор, доктор физико-математических наук М. А. Штремель

Защита состоится

1993 г. в

час.

Автореферат разослан

1993 г.

Справки по телефону 236-96-89.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических Наук, ведущий научный сотрудник

Я. М.МуковскиЙ

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Механические свойства поликристаллоь во многом определяются свойствами границ зерен. Экспериментальное наблюдение структуры и измерение индивидуальных свойств границ зерен и определение степени их участия в' разрушении не представляется возможным' в достаточном объеме из-за высокой трудоемкости. В этой связи компьютерное моделирование для получения качественных и количественных оценок свойств границ зерен и параметров разрушения в системах границ является актуальной задачей.

Цель работы'. Разработка математической модели несоизмеримой границы зерен и изучение влияния статистики свойств границ зерен на параметры зернограничного разрушения.

Научная новизна. Из статистической модели' строения произвольных несоизмеримых границ получено выражение для их энергии при любой разориентировке. На численной модели роста трещины в трехмерной системе границ показаны пределы влияния распределения прочности фасеток на характер распространения трещины. Обнаружены два режима распространения трещины: ."фронтальный" и "перколяционный". Остающиеся позади фронта трещины островки вязкого долома значимо влияют на общую работу зернограничного разрушения:

Практическая ценность. Разработана методика вычисления энергии и свободного объема для несоизмеримых границ зерен 'в ОЦК и ГЦК металлах. • На базе потенциала Морзе рассчитаны полные карты энергии и свободного объема границ для алюминия, а и у - железа. Построена трехмерная компьютерная модель распространения зернограничной трещины.

Публикации. По теме диссертации опубликована 1 работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав, выводов, списка литературы из 40 названий. Работа изложена на 60 страницах, содержит'42 страницы текста, 9 таблиц и'11 рисунков.

- 4 -

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ГРАНИЦЫ ЗЕРЕН

1.1. Построение модели.

Несоизмеримые (несоразмерные. нерегулярные, неспециальные, общего типа) границы зерен - границы, для которых не существует решетки совпадений и, следовательно, . нет . периодичности в расположении атомов в границе. Число различных конфигураций в них бесконечно и потому их описание может быть только статистическим. Теряя в наглядности (нет рисунка -укладки), такой подход приносит ¡1 большое преимущество: возможность вычисления энергии и энтропии границы непосредственно из статистики конфигураций, без рассмотрения самих конфигураций. Первым приближением является списание плотности распределения длин связей через плоскость границы.

Все величины удобно представить в безразмерном виде на единицу площади границы Ьг , выбрав за единицу длины Ь - кратчайшее межатомное расстояние в решетке, за единицу энергии 0 - значение потенциала парного межатомного взаимодействия на расстоянии Ь.

Положение плоскости границы относительно решетки одного из зерен задается единичным вектором нормали п с компонентами х. у, г (оси куба нумеруются так, что х>у)г>0). Основной вклад в энергию границы дают атомы, имеющие .хотя бы одну оборванную границей связь в первой координационной сфере. Для совокупности направленных к границе векторов {Ь } перенумеруем от к=1 до Кл, (Кт-половина координационного числа) в порядке убывания длины их проекций гк=(Ьк-п) на нормаль и выделим Кт слоев граничных атомов: в слое к на глубине от до гм1 от плоскости границы атом имеет к оборванных связей. Если на один атом в идеальной решетке приходится объем П, то на единицу площади границы Ьг в слое к приходится атомов.

аК=(2к~2к41)/й (1)

Тогда безразмерная (в единицах 0/Ьг) удельная энергия свободной поверхности есть энергия разорванных связей.

и,- | к-\/2 • (2)

• Безразмерная удельная энергия границы

и=№ис ■ (3) ,

- 5 -

складывается из энергий поверхностей восстановленных связей через границу

V Нк ? [

pK1(R)-V(R) dR

1 и 2 н энергии

(4)

где p(R)--распределение длины пересекающих грищцу связей номер 1 для атомов из слоя k, V(R) - потенциал межатомного взаимодействия в единицах D; первое суммирование - по всем слоям, второе по всем связям каждого атома в слое. Число связей атома не более координационного числа решетки, поэтому плотность восстановленных связей G равна меньшей из плотностей связей через поверхность для зерен 1 и 2

G = fKA=Gi<G* <5>'

Измеряемая удельная свободная энергия границы E=U-T-S (6)

зависит от температуры Т. а ее энтропия S складывается из колебательной и ангармонической энтропии. В расчете на один атом колебательная энтропия

Sy= fc-lntv0/vt) . (7)

где vQ и v - частоты колебаний атомов в решетке и на границе, к - постоянная Больцмана. • ■

Так как частота пропорциональна квадратному корню из жесткости связей, а жесткость - произведению координационного числа на вторую производную потенциала V"(R), то колебательная энтропия на единицу площади находится усреднением по распределению R

2-К

к г

In

2-К -RtVf

m

зернам, (Wl = l

•к-У"(Ю/Т'(1:>)

где индекс "э" относится к 1 и II восстановленных связей зерна 2 (5) Ангармоническая энтропия на один атом (У02/У1Е-1)/4 и на единицу площади

к „ г 2-К

V -л н;

dR (8)

а W

i,|2

доля

W =G( / С,2 ).

(9)

Pk(R)-

2-K-k+W® -k- V" (R)/V" (t>)

dR

(10)

Чтобы проверить возможность упрощений при интегрировании Ц). (6), (17) в тестовых расчетах энергии на примере ГЦК решетки сопоставляются два типа распределения р(Н): "реальное"., прямо

вычисленное из- данной конфигурации (п ,пг) границы, и аппроксимирующее это распределение выражение для случайного (пуассоновского) размещения атомов с такой же плотностью в каждой слое. "Реальное" р(К) просто вычисляется для первых трех (самых коротких) связей из слоев 3<к<6. Их атомы, самые близкие к границе, дают наибольший вклад в энергию и. Если плоскости границ п и п2 удалены на расстояние с1, атом в зерне 1 лежит на глубине Х1 от поверхности, а в зерне 2 на глубине Хг, то связь длиной Я между ними имеет проекцию на нормаль к границе длиной Х=Х1+Х£+(3, а на плоскость границы длиной г.. Длина связи

ГН/г2+Хг. (И)

Для несоизмеримых границ распределения р(г) и р(Х) независимы

и. задают полностью распределение р(Ю и удельную энергию (3), , где

интеграл по К заменяется двойным интегралом по г и X. Длина XI

распределена от 0 до 2т {2т=2э) равномерно. Следовательно, сумма

двух независимых равномерно распределенных величин Х1. Хг И

константы с1 имеет кусочно линейное распределение:

р(X)= | р'(г-Х) р"(2)-йг , (12)

р8(г) = (8(0) - в(г®)) / г*. , (13)

* гл ш

где ' и " - индексы, относящиеся к первому и, соответственно, второму зерну.

Атомы поверхности зерна 2 в проекции на плоскость границы составляют вершины покрывающей ее непериодической сетки из треугольников трех типов. Проекции г всех связей через границу на ее плоскость - это расстояния от проекции на нее "поверхностного атома" .из зерна 1 до трех ближайших вершин треугольника. Поверхность зерна можно огранить правильными треугольниками в трех плоскостях плотной упаковки в »{111), ближайших к плоскости границы (кроме ш1п(т}-й)). Ь - ребра соответствующих треугольников. В пирамиде из плоскостей п\{, га2, шз, площадь проекций боковых граней т на основание и пропорциональна вероятности попадания случайной нормали к п на соответствующий треугольник огранки п^. Если' е^ -орт бокового ребра пирамиды против грани <], а 11 - высота пирамиды при основании в . площадью Гг то объем пирамиды V:

У=Е -^/34^/3 . ■ (14)

где Т - площадь основания и и ¡1 - опирающаяся на него высота. Тогда

проекция грани j на плоскость границы п занимает долю площади

• •п)/Р=Ь-.(т^ •п)/11] = (е] п) (т^ :п)/(е^ -п) (15)

В проекции на плоскость границы треугольник огранки имеет стороны

' с1Г1Л-(п-Ъи)г • ■• . (16)

Через них выражается плотность распределения р1 (г) расстояний г от произвольной точки внутри треугольника типа >3- до его вершины 1 (с+1 и с - большая и меньшая стороны, исходящие из вершины 1). Площадь треугольника

Ч^/вчгё-с^Ыв-с^Ыв-с^) , . где полупериметр е = 1с1)+0()+с.,)/2' Высота = /си,

угол при вершине 1

(с2 + с2 - с£ > —1 ^-^--1_1_1

2 с с ) ♦ 1-1

Если с^ + с* < с* , то

ри(г) =

Г'Р^ . 0< Г < с

г-(0 -агссовШ /г)-ьагссоз№ /с ,))/¥ , с < г < с .

Если с; +• с ) с* то '

11 -1 : ♦! (17)

г'-ц,/», , 0< г < 11,

Ри(г)=. г- (^-2'агссоз^/г)), ^ < г < в_ . г-(0 -агссозж /П-агссоэт /с , , с < г < с:

. Сумма по всем типам плоскостей и по' всем . вершинам треугольников дает

_р(г)-А-$ $ р,а(Ю . ' (18)

• где А - нормировочный множитель.

. Описанное "реальное"■ распределение р(й) не намного отличается от распределения при некоррелированном (пуассоновском) размещении атомов о . той же средней плотностью П. Для- него вероятность нахождения I атомов.в объеме Н = и-А

Р,= е:"'ИьЛ! .. (19)

Вероятность, что в объеме Н больше, чем 1 атомов

п, - i - а! р, «го»

Если 3 = 1,2... Кт нумерует связи атома А с объемом Н по возрастающей длине R, то из (20) распределение длины R связи 1 Pj(R)= dqt/dR = Р1_1 dw/dR (21)

Сфера радиуса R с центром в точке А на расстоянии a-Xj+Z +d от слоя толщиной Z отсекает от него объем

(л-(R-a) (2R*a)/3 , a<R<a+Z

Н(R) = т (22)

Л-(R-a) (2R+a)/3-Jt-(R-a-ZJ (2R+a+Zm)/3, a+Zm<R

тогда распределение длины связи от А к атому слоя находится усреднением по слою

Pkl(R)= —i— f* Pl(R) dR (23) .

к Vi

Для вычисления энергии (6) конфигурацию связей на границе найдем, сначала сблизив до соприкосновения (d=l) две полурешетки, как укладки жестких шаров, а затем допустив релаксацию такой системы до минимума свободной энергии. Разумно выделить три стадии релаксации (со все меньшим выигрышем в энергии). На первой длина связей изменяется за счет сближения двух решеток как целого по нормали к границе (d<l) (рассматривается только плоское "ядро границы" - без короткопериодических упругих полей в зернах). Это дает 90% выигрыша в энергии при релаксации регулярных границ.

В схеме жесткого сближения зерен как целого для некоторых из пар атомов межатомное расстояние укорачивается настолько, что энергия их связи V>0 - превысит работу полного разрыва связи. Поэтому вычисленные в этом приближении значения энергии представляют оценку сверху. В следующем приближении такие связи исключались бы: вдавливанием этих атомов в следующие слои, либо смещением вдоль границы, либо удалением одного из двух близко сидящих атомов (в первых двух случаях нарушается допущение одномерной релаксации, в третьем допущение о плоской границе). Перечисленные три варианта "полуторамерной" (для избранных атомов) релаксации отражают разные физические гипотезы о строении границы, заслуживающие изучения. Мы исследовали из них лишь одну - ту, что

■ - 9 -

дает для энергии ближайшую оценку снизу.

В рамках рассматриваемого первого приближения удаляется один из пары атомов, расположенных по разные стороны границы на расстоянии R<R =(1-1п2/а) (то есть с энергией связи V>0).

После подстановки (3). (4). (8), (10), (23) в (6). минимизируя свободную энергию Е по параметру d, можно для любой несоизмеримой границы по ее геометрическим параметрам nt, п2 найти равновесное значение Е и .свободный обьем d (в силу несоизмеримости энергия границы зерна не зависит от угла поворота одного из зерен относительно нормали п к плоскости границы). Таким образом можно описать всю совокупность несоизмеримых границ, включая несимметричные. Трудность здесь только в компактном представлении результатов в четырехмерном пространстве (rij, п2).

Константы принятого потенциала межатомного взаимодействия Морзе

-2a(R-l) -a(R-l)

V(R)= е - 2-е (24)

калибруются по периоду решетки, сжимаемости и энергии вакансии

для алюминия и железа.

Если для ГЦК решетки достаточен учет первой координационной сферы (<Ь>=<1io>, К =6), то для ОЦК необходим учет и близкой к ней второй координационной сферы (тогда из 14 векторов Бюргерса <111> и <100> пересекать плоскость границы могут К =7). Выраженная через координаты х,у,z единичного вектора п нормали к границе плотность связей через границу составляет

G= 2-х+у для ГЦК решетки и ' '

G= 3-(x+y+z) при x<y+z (25)

G= 3/2-(З-x+y+z) при x>y+z для ОЦК решетки. t Плотность связей через границу G есть также безразмерная.(ь единицах D/b2) энергия свободной поверхности кристалла при ориентировке п. Кроме непарности связей C=|G -G2I границу косвенно характеризует и суммарная энергия этих исходных поверхностей

u=g1+g2.

Безразмерная свободная энергия Е найдена прямой минимизацией (6) по d с точностью до 0.01. значения энергии Е, свободного объема d при нулевой ' температуре вычислены для границ, имеющих ориентировку iij в решетке I и п в решетке 2 при значениях п. равномерно размещенных на стереографическом треугольнике lino), [1101, [111]. Он разбит проведенными около полюса [100] параллелями на к = 7 поясов по условию cos 1- (k+1)•k/ЭО. На параллели Н -

- 10 - ' '

( + X ) / 2*с шагом тг/(8к) расставлена к+1 - точка (к=0... 6). Ирм этом 'в стереографический треугольник попадает 23 точки (6 полных поясов и еще 2 точки на седьмой параллели около [111]). При попарном переборе, сочетаний (ly, ng) эти точки дают га=276 ориентировок границ. • .

1.2. Анализ модели.

Для выбора типа допущений о распределении длин связей p(R) энергия Е вычислена для симметричных границ (nt=nz с кручением на 180°) в характерных точках стереографического треугольника при нулевой температуре в трех вариантах: -по первым, трем связям для "реального" распределения, построенного, как 'описано, (R3); пуассоновского распределения с так же выделенными тремя связями (РЗ).; пуассоновского. распределения с ' учетом всех связей до 1=6 (PR). Наибольшее различие в энергии между "реальным" и пуассоновским (РЗ) вариантами составляло 3%. Поэтому в дальнейшем использовался вариант распределения-связей PR.

Систематических абсолютных измерений энергии границ в зависимости от ориентировки почти нет. Исключение составляют электронномикроскопическиё измерения в твердом растворе А1-0. 4655 Си равновесных при 543 К углов в тройных стыках дислокационных субграниц с границей одиночного зерна в . монокристальной полигонизованной матрице Ш. Измерялась свободная энергия границ разной ориентировки, но с неизменной матрицей разворота. Вычисленные для этих • границ значения ' Е прй Т=0 и температуре измерения сравниваются с измеренными на рис.1. Найденный в эксперименте провал около ф=1440 соответствует регулярной границе двойника и е . модели нерегулярных границ, естественно, не воспроизводится. Вместе с тем его наличие показывает, что остальные границы нерегулярные. Расчет в приближении "жесткой" релаксации ' (рис.1) воспроизводит минимум вблизи 45е (снижение около 15%), но измеренные значения Е=1.85-2.03 ниже вычисленных для тех ае ориентировок и температуры Е=2.82-3.41 на 51- 67%. При исключении связей с V>0 (4-5% всех связей) вид зависимости Е(ф) не изменился (рис.1), и она приблизилась к измеренной" до пределов возможной ошибки калибровки (постоянная D определена по энергии вакансий, измеренные значения которой дл; алюминия рассеяны в пределах 13%) -при Е=1.96-2.29 расхождение с измерениями. 6-13% (при d=0.14-0.25).

Согласие с прямыми измерениями показывает приемлемость

- и -

сделанных допущений и возможность использовать описанную технику жесткой релаксации для прогноза свойств границ.

1.3. Основные результаты.

Вычислены: значения энергии границы Е и свободного объема 13 для 276 границ в алюминии, К'^езе и а-железе для температуры Т=0; распределения энергии Е. свободного объема а и плотности непарных связей С, приведенные к интервалу от О до 1; коэффициенты корреляции между этими величинами.

Наибольшее изменение внутренней энергии Е несоизмеримых границ с ориентировкой для решеток ОЦК и ГШ одинаково: 19+26%.

У обеих решеток свободный объем границ (1 тем меньше, чем больше энергия исходных свободных поверхностей и (коэффициент корреляции 9) и чем ближе граница к симметричной (меньше

плотность непарных связей С 7).

После сделанной нормировки энергии на Б и Ь различие потенциалов Морзе для различных металлов влияет только через параметр а или, что то же, постоянную Грйнайзена - меру

энгармонизма (от ¥=1.8 у железа до ¥=3.2 у алюминия). При указанных а существенное усиление энгармонизма почти не изменило свободный объем а, хотя и увеличило на 35+40% безразмерную энергию всех границ при Т=0. • •

Энтропию границ (8,10) удобно характеризовать относительным изменением свободной энергии с температурой от абсолютного нуля до точки плавления. Для несоизмеримых границ в алюминии оно практически на зависит от ориентировки (21+1%). Свободный объем любой из этих границ с нагревом 0 до Тпл увеличивается - также вне зависимости от ориентировки - на 25+1%.

Энергия восстановленных связей зависит от ориентировки зерна 2. (с максимальной плотностью оборванных связей) только-' через максимальную глубину расположения в нем атомов, '. имеющих оборванные связи (22). Атомы, лежащие на расстоянии порядка Ь от плоскости границы, вносят незначительный вклад в энергию восстановленных связей и поэтому в первом приближении их влиянием можно пренебречь. Тогда, если зерно 1 имеет энергию свободной поверхности и , а зерно 2 - иг <и4 <ии). то Е(П,. )+и8 +ио-и^ +ия + Е(П4 ,пг )-и1 -и4 -Е{111. ) + иг-и, (27) сКп1,пг)=(3(п1,п1)

Коэффициенты линейной аппроксимации методом наименьших .

квадратов зависимости энергии Е и свободного объема <3 симметричных несоизмеримых границ зерен от энергии свободных поверхностей и при Т-0 для алюминия, у- и а- железа приведены в табл.1 (см. рис. 2). Среднеквадратическая ошибка регрессии

/ (У - V2

= /-1- (28)

у Ш(Ш-1)

по т=23 точкам во всех случаях была меньше 0.001. Максимальное отклонение регрессионной функции от вычисленных табличных значений для несимметричных границ зерен было во всех точках меньше ошибки вычисления, за.' исключением одной-двух точек около вершины стереографического треугольника в области минимума числа разорванных связей для симметричных границ (11Ш у ГЦК-решетки, и [110] у ОЦК-реше.ки), где максимальное отклонение регрессионной функции было меньше удвоенной ошибки вычисления (0.02 для свободного объема, и около 5% для свободной энергии).

Таблица 1.

Коэффициенты линейной аппроксимации зависимости энергии Е и свободного объема й симметричных несоизмеримых границ зерен от энергии свободных поверхностей и.

Е сЗ

Ао А. А0

А1 № а-Ре 0. 389 0. 386 0. 020 0. 535 0.347 0.452 0.620 0.667 0.579 -0. 111 -0. 117 -0. 104

о 4-г зо IV

Рис.3. Тестовое распределение прочности фасеток.

Рис.1. Свободная энергия границы наклона чг=71е (110] в алюминии в зависимое,и от угла ф между плоскостью границы и осью (001

Ь - Т=543 К (с учетом связей с 1)>0);

# - Т=0 К; О- Т=543 К; X - Т=933 К - расчет;

• - Т=543 К, эксперимент (11-

Рис.2. Свободная энергия симметричных границ Т=0; (а): А1; (в): ОЦК-Ре;

- 14 -

Й. РАЗРУШЕНИЕ В СИСТЕМАХ ГРАНИЦ

2.1. Построение модели.

Зернограничная хрупкость очевидным образом связана со слабостью всех или некоторых границ зерен - низкой удельной работой разрушения Г по этим границам. Возможность неограниченного распространения зернограничной трещины при данном внешнем напряжении ' 6 (или интенсивности напряжений к ) в поликристалле определяется величиной Г.

В чистых металлах зернограничного разрушения нет. Известна неоднородность 'значений Г для разных границ из-за неодинаковой сегрегации примесей, выделения частиц или пор, но нет никаких сведений о влиянии вида этой неоднородности (размаха Г, доли границ с низким Г, корреляции в расположении слабых границ) на критерий макроскопического распространения излома по границам и на возможность сохранения позади фронта трещины неразрушившихся перемычек-островов, где в дальнейшем пойдет пластическая деформация.

Статистика- состояний границ, собираемая Оже-микроскопией или односторонней трансмиссионной Микроскопией изломов, весьма скудная и дорогая. Поэтому мы моделировали распространение трещины в системе границ с разной степенью охрупчивания с целью выявить, какие наблюдаемые различия вытекают из статистики Г: в пробеге трещины в зависимости от напряжения, в критическом напряжении ее неограниченного распространения, в рельефе поверхности излома (в его амплитуде и периоде), в соотношении доли слабых границ в объеме и в изломе, в количестве и размере островов.

Основные физические допущения модели заключаются в выборе пространственной системы зерен, распределения прочности их граней Г и закона перехода излома от одной фасетки к следующей в связи с приложенным напряжением б.

Для системы равноосных И равновеликих в среднем зерен есть две предельные модели: случайное разбиение пространства на полиэдры Вороного около пуассоновского множества, центров зерен и правильная система одинаковых кубооктаэдров Кельвина, заполняющих все пространство. Обе модели имеют правильную топологию - к одному ребру сходятся ровно три грани, в отличие от. скажем, кубической упаковки. Пуассоново разбиение пространства ближе к реальному своим

- 15 - •

изотропным распределением случайных ориентировок' фасеток. В регулярной модели случайна только их прочность. Выбрана более удобная в записи система кубооктаэдров Кельвина - 14-гранных зерен с центрами в узлах объемно-центрированной кубической решетки. В ней все ребра одинаковой длины, а грани всего двух типов (но семи ориентировок): три - квадрат с нормалью <100> и четыре - правильные шестиугольники с нормалью <111>.

Грани всех зерен в объеме нумеруются- декартовыми координатами их центров. На каждом своем ребре фасетка встречается с -двумя другими. 36 возможных типов соседств фасеток и переходов трещины табулируются. Трещина описывается как набор (коллекция 1) уже вскрытых граней - фасеток. Каждая из них хотя бы одним из свбих ребер соседствует с еще одной вскрытой фасеткой. Невозможно независимое вскрытие ( вне фронта трещины) и ветвление - встреча на одном' ребре трех вскрытых фасёток (в обоих'случаях в изломе должны быть видны уходящие вглубь расщелины, что е металлах бывает редко)... Периметр трещины очерчивает цепь ребер и Цепь вскрытых фасеток, с-каждой из которых по этому ребру соприкасаются по две невскрытые фасетки. Эти доступные к " вскрытию фасетки составляют окружение , трещины - ее фронт, описанный как коллекция 2..

• Чтобы при растяжении вдоль оси б трещина перешла'из фасетки п ' в фасетку и прочностью Г, необходима критическая интенсивность напряжений, достигаемая при внешнем напряжении

б = ИГ.-A/F, ■ (29)

Геометрический фактор ■ •

F = cos3 (\|i/2;cos(8)-3sln(Tf/2)cos2 (ip/2)cos(a)sln(0). (30)

ij) =» (п.. m) - угол поворота.трещины;

8 = (б,л) - угол между нормалью к вскрываемой фасетке п и осью б; а = (б,Hraxnlxn])- угол Между нормалью к общему ребру [mxn] И проекцией оси б на плоскость п.

Нормировочный множитель А= vE/(ML) включает постоянные: модуль

Юнга Е, фактор формы H (постоянный поскольку все ребра одинаковы) и размер макротрещины L (поскольку ставится задача воспроизвести . стационарное движение трещины достаточно далёко от очага, -когда L много больше диаметра полигона моделирования). Для численной модели принята запись б, Г и L в таком масштабе, чтобы А ». 1. Тогда условие вскрытия фасетки при внешнем напряжении б имеет вид :,

б-Г,/^ >1 (31)

Если возле данной фасетки вскрыта более чем одна смежная -нужен коэффициент интенсивности напряжений Г для неплоской трещины. Эта задача в общем случае не решена. Поэтому для определения критического напряжения используется линейная комбинация решений отдельно для каждого из соседей - первый член разложения Р в ряд по степеням Е :

Гх=Г1 + а'Гг (32)

когда смежные фасетки перенумерованы так, что Е <Ег <Е3... Варьлруя

параметр Оса<1, можно оценить ' риск допущения (32). На фронте в

среднем прямой макротрещины оно ограничивает дальнодействие

отдельно взятой фасетки ее ближайшим окружением. Это упрощение

проявится в излишней извилистости ппоекции фронта на плоскость

макротрещины и в попытках ее ветвления (чем дальше действие - тем

прямей фронт трещины).

Один цикл работы модели включает следующие действия: при _ заданной ■ коллекции 1 (фасетки трещины) перебором всех смежных с каждой из них и не входящих в трещину фасеток составляется коллекция 2 - фронт трещины. Для каждой из его фасеток вычисляется геометрический фактор Р и приписывается прочность Г4 (случайным -образом в соответствии с заданным распределением рис.3), если эти ? и Г не -определены ранее. Если одна фасетка коллекции 2 сопрягается .с несколькими из коллекции 1 (то . есть может быть вскрыта с разных сторон), для нее из всех ^ выбирается наибольшее и по - (32) вычисляется эффективное Г. Из всех фасеток коллекции 2 находится фасетка А с наибольшим риском разрушения !

^/У^- и если для' нее б'Г,/^ > I- (33)

делается'один шаг трещины. За один шаг фасетка к вставляется в коллекцию 1 и исключается из 2, а все окружающие ее фасетки вставляются в коллекцию 2, если не входили в нее ранее. После шага цикл повторяется. Если невозможно вскрытие ни одной из фасеток фронта, то напряжение б подымается до уровня, необходимого для вскрытия фасетки. А. ■ •

•-Развитие трещины непрерывно отображается графически ( проекция вдоль -оси напряжения- на плоскость с нормалью б).' При попытке. 'образования' складки (наложения проекции вскрываемой фасетки на уже

- 17 - ■

вскрытую), вместо этой фасетки выбирается следующая по (33). .Число попыток образования складок фиксируется как характеристика неустойчивости макроскопической трещины.

Процесс начинается с задания в центре полигона двух смежных вскрытых фасеток с наибольшими из возможных напряжениями в них. Циклы прекращаются при выходе хотя бы одной фасетки на край полигона. После этого рассчитываются конечные характеристики: напряжение б к моменту достижения'края полигона;

- параметр наклона трещины I - средняя проекция единичных векторов нормали к фасеткам на ось приложенного напряжения ..(большему наклону соответствует меньшее I);

- среднеквадратичная амплитуда трещины А в проекции на ось *б, отсчитанная в диаметрах кубооктаэдра - по координатам центров фасеток, от проведенной через них методом наименьших квадратов макроплоскости излома; •

Из амплитуды и наклона период X колебаний трещины оЦенен следующим образом. Для нормальной стационарной изотропной случайной поверхности Z(х, у), при среднем <Z>=0, среднее расстояние между нулями вдоль любой прямой

X = . (34) '

где моменты случайного поля М = <Z2> ■ (35)

М2 = <(dZ/dy)e> = <(dZ/dx)e> • _ . -(36)

У такой поверхности средняя амплитуда A=<Z*>= М0: а в сечении

y=const средний наклон' " ' ■ . . , '

<!dz/dx|> •- ]/ 2-Ыг/х; . (37)

Для направляющих косинусов нормали к фасетке nx, n nz в силу изотропности

<пхг> = <пуг>= (1-<пгг>)/2 - (38)

При п <<1 производная dz/dx=n , так что

<(dZ/dx)z>~<n!(í >='(1-<пгг »/2 . ' ■ (39)

Регистрируемую величину I=<|nJ> введем заменой <nzz>=<|nz |>2. я/?.

и 'тогда средний период А, измеренный числом фасеток,

•4'Л-А - ■■

X =--—--• (40)'

|/ 2 - я- I2 . '

■Аналогично по коллекции фасеток периметра можно отфеделить период

- 18 -

колебаний фронта трещины относительно ее макроплоскости.

Далее вычислялись:

- площадь трещины N( - число входящих в нее фасеток;

- периметр трещины Np - число граничащих с трещиной фасеток;

- параметр гладкости фронта трещины

ж - 2-i/il^" / н : . (41)

- число (пресеченных) попыток появления складки рельефа К и

вероятность попытки ветвления к=К/Кр;

- средняя по всем вскрытым . фасеткам нормированная работа разрушения G=<Df/<F>; где <Г> - усреднение по фасеткам в трещине. <Г> - по распределению Г фасеток в объеме;

При заданном для объема распределении 0<r<S, где "чистые" ' фасетки с Г=1 составляли долю 1-Р, а остальные - "ослабленные" -долю Р, регистрировались также доля тех и других в изломе: Ht и N ;

- степень концентрации ослабленных фасеток в изломе Nb = (1-М ) /Р;

• Далее для .характеристики.островов делается долом - продолжение ' циклов до заполнения всего' Полигона. Полученные при доломе фасетки

и составляют острова - связанные хотя бы по одному ребру группы фасеток. "Открытые" острова. касающиеся краев полигона, из рассмотрения исключаются. Для оставшихся указываются: -относительная площадь островов q=No/Nf; число фасеток Ио, вскрытых для уничтожения островов, отнесенное к числу фасеток в трещине Hf, и суммарный периметр всех островов N0p; - средний размер острова (число фасеток в нем) R;,

• Программа на языке С++ занимает около 1500 :строк исходного текста или 120 килобайт исполняемого кода,' содержит следующие классы вместе с соответствующим им набором функций : вектор в трехмерном пространстве, абстрактная фасетка, четырех- и шестиугольная фасетка, зерно, ребро, действующая фасетка, коллекция фасеток. Коллекции могли содержать до 5000 фасеток.

На ЭВМ IBM РС/АТ-486 "единичный эксперимент" - пробег трещины до края полигона - занимал в среднем около двух минут и -в идентичных условиях (различающихся лишь случайными Г при одном сочетании входных параметров) • повторялся десятикратно. Для всех выходных параметров Y приводится среднее значение Y и ■ среднеквадратическая ошибка среднего Sy (28).

■ 2.2. Анализ модели. '

- 19 - .

В предварительной серии экспериментов проверено качество модели: ее чувствительность к конечному размеру полигона Ь, к регулярности системы зерен (к ориентировке напряжения б) и к выбору неизвестного параметра влияния соседей а. Для этого задавались следующие параметры:

-- размер полигона Ь: 20. 30. 40. 50 (что соответствует ^ приблизительно диаметру трещины, выраженному .в числе • фасеток); ' •

- ориентировка напряжения б: [0.28,0.12,0.95], [0.6,0.13,0.78], [0.55,0.39.0.73] И [0.46,0. 21. 0. 86] (В центре стереографического' треугольника и в серединах дуг, соединяющих

■ центр с направлениями [100]. [110] и [111] ):

- параметр влияния соседей а: 0.00, -0,50, 1.00.' . ' .

Использованное при этом тестовое распределение, прочности фасеток (рис.3), состояло из доли (1-Р) "чистых" фасеток ( с одинаковой и наибольшей прочностью Г=1) и доли Р ослабленных, прочность которых Г распределена равномерно в -заданном интервале. (О. Б). -

Влияние размера' полигона I, проверено при ориентировке [0.46,0.21,0.861 для а=0.5 При неизменных Р=0.3 и 8=0.3.' Разрушающее напряжение б с размером Ь растет и достигает примерно постоянного значения при 1=40... 50, где значения б в пределах ошибки воспроизводимости неразличимы, а вариация б снизилась до' 2%. В дальнейшем для получения собственно физических характеристик принят полигон размером 50 на 50, • очевидно, достаточный, чтобы устранить искажения от макрокривизны фронта и флуктуации начальных условий. ' ' . '

Реальная система зерен изотропна и для нее выбор оси растяжения безразличен. Возможная чувствительность модели равных кубооктаэдров к ориентировке приложенного напряжения относительно осей куба проверена сравнением результатов для четырех направлений оси напряжения при тех же а=0.5." Р=0.3, Э=0.3. Из-за принятого дискретного распределения фасеток по ориентировкам отклонение оси растяжения к углам стереографического . треугольника изменяет напряжение -разруиения б на 15-20%, но средняя работа разрушения 0=0.81+0.01. амплитуда трещины А=0.12+0.02 и степень концентрации ослабленных фасеток в изломе НЬ=1.69±0.03 остаются неизменными. Дальнейшие эксперименты • проводились при .ориентировке

оа [0.46, 0.21, 0.86] (в центре стереографического треугольника).

При Р=0.3. S=0,3 с ростом влияния соседних фасеток (с ростом а ит 0 до 1) фронт трещины сглаживается (гладкость se растет от 0.30 до 0.43 t 0,02), уменьшается концентрация ослабленных фасеток в -.зломе (с 1.86 до 1.55+0.03), амплитуда трещины снижается с 0.20 до 0.12 ± 0.02 (при наименьшей возможной амплитуде по плоскости (100) системы кубооктаздров А=0.08). падает, напряжение разрушения (с 2.Q8 до 1.70 ± 0.04) и доля островов (с. 0.014 до 0.002 ± 0.002). трещина приближается к плоской (I растет с 0.646 до 0.672 ± 0.001). Несмотря на облегчение вскрытия - растет и работа разрушения (с 0.7-1 до 0.85 + 0.01).

Вероятность попытки ветвления (через образование складок) во всех реализациях к<0.005.

Различие амплитуды. гладкости фронта, наклона, работы разрушения и доли островов для а=0.5 и а=1.0 было в пределах ошибки воспроизводимости, поэтому в дальнейшем влияние статистики повреждений границ на распространение трещины изучено при а=0.5. 1=50 и выбранном б. " ' ■

2.3. Основные результаты.

Увеличение ширины распределения S от 0.05 до 0.60 при соответствующем выборе Р, обеспечивающем постоянное среднее <Г>=0.75, немного рассеивает наклон трещины (от 1=0.671 до 0.666 + 0.001), снижает концентрацию ослабленных фасеток в изломе (с 1.81 до 1.46 +0.03), увеличивает амплитуду фронта трещины (с 0.15 до 0.22 ± 0.02). ' Остальные параметры в пределах ошибки воспроизводимости не меняются. .

Увеличение доли слабых фасеток от 0 до 1, естественно, снижает напряжение разрушения с 2.10 до 0.92 + 0. 04.' Среднеквадратичная амплитуда трещины во всех случаях А<0.20 менее одного зерна.

Не избирательное распространение трещины дало бы долю ослабленных фасеток Nb=l, и линейно снижающуюся работу разрушения <r>t=(í-P)+P'S/2. Но чем меньше Р, тем больше концентрация. При Р, стремящемся к нулю, излом максимально использует ослабленные фасетки: концентрация И =1.75. .

' Напряжение бесконечного распространения трещины 6 линейно связано со степенью использования ослабленных фасеток в изломе N /Р Ii нелинейно со средней прочностью фасеток, в изломе <Г> . Таким

- 21 - .

образом, если при небольших концентрациях ослабленных фасеток, увеличение их доли приводит к заметному -снижению работы зернограничного разрушения при практически ¡.еизменном напряжении разрушения, то при больших концентрациях, наоборот, существенно изменяется напряжение при практически постоянной работе.

Работа С=1 при Р=0 после минимума (5=0.52+0.01 при Р=0.7 возрастает к концу интервала Р=1. Около Р=0. 7 наименьшая гладкость 'фронта (размах значений и от 0.32 до 0.-43+0.01), наклон фасеток (размах значений I от 0.658 до 0.672+0.001) и максимум доли островов 0.016Ю.002 (при неизменном среднем размере острова [?=1.5 ± 0.2 фасетки). Заметим, что Р=2/3 соответствует минимальной доле -чистых фасеток 1-Р=1/3, способных ограничить рост трещины, - близко к порогу протекания по связям Р0=0.3473 для треугольной сетки, отображающей систему ребер в шестиугольных сотах.

При стационарном (с постоянным напряжением 61 росте трещины долю q площади излома занимают острова, которые оставляют позади фронта трещины мосты, разрушающиеся вязко - сужением или ■ срезом после удлинения до потери устойчивости. Высота зоны пластической деформации Ц сравнима с диаметром острова а, а удельная работа большой (е~1) деформации а порядка модуля упрочнения материала 0. Тогда один остров поглощает пластическую работу сМ2, - а на одну его фасетку работа составит оМ, где Я - число фасеток в острове. Соответственно, удельная работа зернограничного разрушения с учетом вязкого разрыва мостов составит (в расчете на одну фасетку) •

В = <Г>Г-ё0 ■ (1-4) +'д-0-[М1; ' . _ (42)

где в0~аЕв -• энергия . образования новых поверхностей на неповрежденнбй границе зерна, - в - межатомное расстояние и а~0.'1 Поскольку безразмерный модуль упрочнения 9=Б/Е~10~3■•~4, то работа зернограничного разрушения "

У=8/80 = (1-Ч)-<ГГ > + Ч-И-ш . - (43)'

ш = 9-<3 /(а-в) (44)-

при обычных, размерах, зерна! дз./в ~ 5 п ц ~ Ю"2-'"3 составит <0=101''3. Поскольку й ~ Г и й~1, несколько процентов .вязко доламываемых островов дают существенный вклад в общую работу • зернограничного разрушения - зависимости ч) при ыЧО... 1000 и 001... 0.01 различаются качественно. На нижнем пределе этого диапазона ш и ц на общую вязкость у работа вскрытия фасетки влияет 'непосредственно, а на верхнем - важна'не так абсолютная величина Г,

как вид распределения Г. контролирующий вязкость через долю островов я. поглощающих основную работу. ■

Различная прочность фасеток Г обусловлена сегрегацией на ней примеси, а степень сегрегации, при прочих равных условиях, связана " какими-то из свойств границ зерен и должна нарастать с ростом свободного объема а, асимметрии связей С, энергии границы Е.. ■ Простейшее представление этой зависимости от перечисленных свойств У - линейное : Г = п- ^•' Хотя выявить, какой из етих

факторов доминировал, только-по строению излома и работе разрушения можно надеяться лишь при благоприятном стечении обстоятельств. Поэтому проверены все случаи линейной связи прочности Г4 с этими параметрами, найденными для решетки ОЦК.'

Для сравнения выбраны Р=1, 3 = I (все фасетки поражены •сегрегацией и имеют прочность от Г=0 до Гвах) и такие коэффициенты П,- чтобы по распределениям всех У получить одинаковые средние <Г>. Тогда различия в работе зернограничного разрушения в, доле островов ц, их размере И и общей работе К будут связаны только с видом -распределения свойств У. 'Распределение <1 и С очень близки, поэтому сравнение сделано только для энергии границы Е и асимметрии связей С.. Судя по среднеквадратичным ошибкам среднего Эх все параметры трещины (кроме амплитуды) оказались в пределах ошибки неразличимы. 'Амплитуда . трещины, определяемая "энергетической" сегрегацией, значимо больше, чем амплитуда трещины, определяемой сегрегацией из-за "симметрии связей", но без дополнительной информации ведущий фактор по строению излома не выявляется.

. Построенная модель реальна в том смысле, что она воспроизводит стационарное движение трещины, и, несмотря на искусственную -регулярность,' мало чувствительна к ориентировке и к деталям взаимного расположения фасеток.

Важнейший наблюдаемый на модели результат - два режима распространения трещины: ' с Необходимостью вскрывать наиболее прочные фасетки и без нее(перколяционный режим). Вблизи точки смей-режимов фронт трещины наиболее изрезан, а работа вскрытия минимальна. Важнейшим параметром является доля .островов позади фронта трещины, -доламываемых вязко. При достаточной вязкости онй примут на себя основную работу разрушения, которое по виду излома на 100% зернограничНое.

- 23 -ВЫВОДЫ

1. Предложен метод вычисления свободной энергии и свободного объема несоизмеримых границ зерен из пЛотноспи распределения длин связей через границу. В приближении одномерной релаксации найденная ориентационная зависимость энергии количественно согласуется с систематическими измерениями на алюминии.

2. Для алюминия, к и а-железа рассчитана общая зависимость 'свободной энергии и объема от всех параметров разориентировки. Если решетка совпадений не существует, то энергии границ любой ориентировки различаются не более чем в 1.22 - 1.26 раза. - Для симметричных несоизмеримых границ наклона и границ кручения в алюминии описано также изменение свободной энергии и объема'до температуры плавления, которое для всех границ были в пределах ■ 21+155 и 25+1%. • • • .

• 3. На IBM РС/АТ-486 реализована численная трехмерная модель распространения зернограничной трещины в системе границ зерен, различной прочности и показано, что при размере полигона-в -502-фасеток уже воспроизводится стационарное движение трещины.

4. В зависимости от вида распределения прочности фасеток реализуются два режима распространения трещины; со вскрытием.более прочных фасеток либо с их обходом (перколяционный режим).-

5. При любых распределениях прочности фасеток при стационарном . распространении трещины позади ее фронта, остаются - острова' из нескольких неразрушенных фасеток. Несмотря на малую долю занимаемой ими площади (10_2"~3) их вязкое разрушение дает значимый вклад в общую работу зерНограничного разруйенИя.

Список исрользованных источников.

1. Н. Gleiter. Effect of Inclination on grain bounrtmy energies// Acta Metallurglca.-1970. -V18. -Nl. -PP. 23-27.

По теме.диссертации опубликован^ следующие работы: ' 1. М. А. Штремель, А.Л. Маркович. Энергия несоизмеримых границ зерен в поликристалле. ФММ., N6,1992, с15-31.

Московский Институт Стали и Сплавов ' . Заказ 62.? Объем 1 пл. ' Тираж 100 • Типография МИСиС, ул. Орджоникидзе, 8/9