Строение и свойства связанных вихревых структур в сверхпроводниках второго рода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Рыжов Денис Андреевич

СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА СВЯЗАННЫХ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР В СВЕРХПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 2004

Работа выполнена в Институте физики микроструктур РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

А. С. Мельников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Жаров ИФМ РАН, Нижний Новгород

кандидат физико-математических наук

И. Л. Максимов

ННГУ, Нижний Новгород

Ведущая организация: Институт физики твёрдого тела РАН,

Черноголовка

Защита состоится 24 июня 2004 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.098.01 в Институте физики микроструктур РАН (603950, Нижний Новгород, ГСП-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики микроструктур РАН, Нижний Новгород.

Автореферат диссертации разослан 24 мая 2004 г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Существенно возросший в последнее время интерес к исследованию вихревого состояния обусловлен широкими потенциальными возможностями применения сверхпроводников в современной микроэлектронике и энергетике, а также интересом к самой физике процессов происходящих в смешанном состоянии сверхпроводников. Развитие нанотехнологии и открытие новых сверхпроводящих соединений (в частности, высокотемпературных сверхпроводников) стимулировали новые теоретические и экспериментальные исследования смешанного состояния. Изучение строения и свойств вихревых структур необходимо для получения ряда основных характеристик смешанного состояния сверхпроводников, таких как критические магнитные поля, кривые намагничивания, транспортные характеристики.

В частности, большое внимание уделяется изучению связанных вихревых структур, образованных несколькими вихрями, расстояние между которыми сравнимо с масштабом самого вихря и много меньше периода вихревой решетки, определяемого внешним магнитным полем. Безусловно, образование таких необычных вихревых структур приводит к существенным изменениям свойств смешанного состояния. Связанные вихревые состояния могут существовать в различных сверхпроводящих системах, например, высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП), мезоскопических сверхпроводниках и гибридных структурах сверхпроводник—ферромагнетик.

Одной из особенностей ВТСП является то, что в таких соединениях может образовываться сверхпроводящее состояние с нетривиальным (й + в)-типом спаривания, когда в сверхпроводнике одновременно существуют два конденсата куперовских пар с различными угловыми моментами (см., напр., обзоры [1, 2]). Взаимодействие конденсатов приводит к образованию связанных вихревых состояний из вихрей й- и 5- компонент, которые можно рассматривать как структурные единицы смешанного состояния в ВТСП. При анализе свойств слоистых ВТСП в магнитном поле необходимо учитывать и высокую степень пространственной анизотропии сверхпроводящих свойств таких материалов. Ранее в литературе в основном анализировались сингулярные вихревые решения (у которых сверхпроводящая щель обращается в нуль хотя бы в одной точке пространства), ориентированные вдоль главной кристаллографической оси тетрагонального сверхпро-

водника (см., напр. [3, 4, 5]). Вопрос о возможности существования несингулярных вихревых решений (у которых сверхпроводящая щель всюду отлична от нуля) ранее для ВТСП не рассматривался. Исследование структуры сингулярного вихря в магнитном поле произвольной ориентации представляется актуальным, в частности, для получения угловых зависимостей многих важных характеристик смешанного состояния ВТСП, например, критических магнитных полей и тензора вязкости вихря. Также важным вопросом является изучение возможности фазового перехода от сингулярных вихрей к несингулярным.

В мезоскопических сверхпроводниках с размерами всего несколько длин когерентности важную роль в образовании связанных вихревых состояний (вихревых молекул) играет влияние токов, текущих вдоль границ образца. Очевидно, что сильное влияние на структуру связанных вихревых состояний будут оказывать геометрия сверхпроводника, которая влияет на характер протекания токов, и различные дефекты, нарушающие симметрию сверхпроводника, определяемую его формой. Присутствие связанных вихревых состояний оказывает влияние на термодинамические свойства смешанного состояния. В частности, распад (или образование) вихревых молекул и многоквантовых вихрей приводит к появлению особенностей на кривой намагничивания [6]. Поэтому изучение влияния формы мезоскопического сверх-проводника'и дефектов, нарушающих симметрию формы на структуру и процессы перестройки связанных вихревых состояний, а также исследование особенностей на кривой намагниченности представляет несомненный интерес, как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения различных приложений.

Спецификой систем сверхпроводник—ферромагнетик является наличие неоднородного магнитного поля. Очевидно, что мелкомасштабные неоднородности магнитного поля будут существенно влиять на структуру смешанного состояния и могут приводить к образованию связанных вихревых состояний. В частности, в планарных системах сверхпроводник—ферромагнетик наблюдаются нетривиальные температурные зависимости верхнего критического магнитного поля (см., напр., [7]), что в представляемой работе объясняется формированием локализованной сверхпроводимости. Актуальной задачей является объяснение таких экспериментальных зависимостей и анализ структуры сверхпроводящего состояния, образующегося в неоднородном магнитном поле. Решение задачи о появлении критического зародыша является необходимым шагом для исследования структуры вихревого состояния в системах сверхпроводник—ферромагнетик.

Г^сль рибсты

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование структуры и свойств связанных вихревых состояний, возникающих в сверхпроводниках с различным видом взаимодействия между вихрями, в частности, в сверхпроводниках с анизотропным (й + s)-типoм спаривания, а также в мезоскопических сверхпроводниках квадратной формы с обычным s-типом спаривания и в гибридных планар-ных системах ферромагнетик—сверхпроводник. Задачи, решаемые в работе, можно сформулировать следующим образом:

- Исследование структуры сингулярных и несингулярных вихрей в сверхпроводниках с анизотропным (й + 5)-типом спаривания.

- Аналитический расчет угловых зависимостей нижнего критического поля и тензора вязкости сингулярного вихря.

- Полуклассический анализ взаимного расположения нулей функции щели в корах сингулярных и несингулярных вихрей.

- Исследование структуры связанных вихревых состояний в мезо-скопическом образце квадратной формы.

- Анализ особенностей на кривой намагничивания, связанных с переходами между различными вихревыми состояниями в мезо-скопических сверхпроводниках квадратной формы.

- Исследование устойчивости связанной вихревой конфигурации, образованной вихрями и антивихрём по отношению к нарушениям симметрии, вызванными наличием малых дефектов.

- Исследование условия зарождения сверхпроводимости вблизи доменных стенок в двухслойной структуре сверхпроводник — ферромагнетик во внешнем магнитном поле. Расчет температурной зависимости верхнего критического поля для таких систем.

- Анализ пространственной структуры зародышей параметра порядка в гибридных структурах сверхпроводник — ферромагнетик.

Научная новизна

1. Впервые проанализирована структура сингулярного вихря при произвольной ориентации слабого магнитного поля относительно кристаллографических осей сверхпроводника для различной

степени анизотропии и рассчитаны угловые зависимости нижнего критического магнитного поля и тензора вязкости вихревой нити в сверхпроводниках с анизотропным (й + 8)-типом спаривания.

2. Предсказано существование несингулярного вихря в сверхпроводнике с (й + 8)-типом спаривания и исследована его структура.

3. Впервые проанализировано положение нулей функции щели в корах сингулярных и несингулярных вихрей в ВТСП и показано, что при фазовом переходе от сингулярного к несингулярному вихрю происходит выталкивание нулей щели из центра вихря.

4. Впервые показано, что устойчивость связанной вихревой конфигурации, образованной вихрями и антивихрями в мезоскопиче-ском сверхпроводнике, существенным образом зависит от нарушений симметрии, вызванными наличием малых дефектов.

5. Впервые получены температурные зависимости верхнего критического поля в двухслойных структурах сверхпроводник-ферромагнетик различной геометрии и исследована пространственная структура зародышей параметра порядка в таких системах.

Научная и практическая значимость

- Результаты исследования связанных вихревых состояний (сингулярных и несингулярных вихрей) в высокотемпературных сверхпроводниках могут быть применены для анализа термодинамических и транспортных характеристик смешанного состояния в таких соединениях. Сравнение теоретических предсказаний с результатами эксперимента позволит определить феноменологические константы двухкомпонентной теории Гинзбурга-Ландау, используемой для описания свойств высокотемпературных материалов.

- Проведенные исследования влияния геометрии мезоскопических образцов и роли малых дефектов, нарушающих идеальную тетрагональную симметрию образца, на структуру связанных вихревых состояний представляют интерес для интерпретации фазовой диаграммы реальных мезоскопических систем и в связи с их возможным применением в микроэлектронике.

- Результаты анализа фазезой диаграммы двухслойной структуры сверхпроводник-ферромагнетик и структуры параметра порядка в таких системах важны для дальнейшего теоретического и экспериментального исследования термодинамических и транспортных характеристик подобных систем, а также возможного применения их в микроэлектронике.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Показано, что при угле отклонения магнитного поля от главной кристаллографической оси тетрагонального сверхпроводника с (й + s)-типом спаривания на угол, превышающий критический, происходит качественное изменение внутренней структуры вихревой нити: вместо связанного состояния d-вихря, четырех 5-вихрей и одного s-антивихря энергетически выгодным становится структура из d-вихря и трёх s-вихрей. Получено, что угловые зависимости нижнего критического поля и тензора вязкости сингулярного вихря в плоскости аЬ обладают тетрагональной симметрией.

2. Предсказано существование несингулярных вихрей в сверхпроводниках с {й + s)-типом спаривания. Найдена область параметров теории Гинзбурга-Ландау, при которых реализуются несингулярные вихревые состояния. Показано, что несингулярные вихри обладают пониженной симметрией по сравнению с сингулярными вихрями. В рамках полуклассического подхода показано, что при переходе от сингулярного вихря к несингулярному нули сверхпроводящей щели вытесняются из кора вихря.

3. На основе численного моделирования нестационарных уравнений Гинзбурга-Ландау проведено систематическое исследование влияния внутренней перестройки вихревых решений:на кривую намагниченности М(Н) мезоскопического сверхпроводника квадратной формы с дефектами. Показано, что распад двух-квантового вихря и диссоциация трёхквантовой вихревой молекулы приводят к появлению скачка на зависимости йМ/йН.

4. Найден размер вихревой конфигурации, состоящей из четырех вихрей и одного антивихря, существующей в чистом мезоскопи-ческом сверхпроводнике квадратной формы в сильных полях. Исследована устойчивость такого связанного вихревого состояния и показано, что оно сильно чувствительно к наличию слабых дефектов, вызывающих нарушение тетрагональной симметрии.

^ Wftttnouo 1ГО»,ГПЛГ>ОФттиО or Г)5РГ*(ПТ»>*ЛЛГГ11. Т)ОГ\ЧГиО-пГ1 T/r*T»4'TfXT0/'VAT4O

поля появления сверхпроводимости в гибридных структурах

сверхпроводник-ферромагнетик.

Личный вклад автора в получение результатов

Соискатель принимал участие в постановке и решении теоретических задач, в обсуждении полученных результатов и их интерпретации. В частности, в работах (i)-(v), (viii), (ix) вклад автора является основным в получении аналитического решения для структуры сингулярных и несингулярных вихрей, получении угловых зависимо -стей нижнего критического магнитного поля и тензора вязкости сингулярного вихря. В работах (vi), (vii) соискатель проводил численное моделирование вихревых состояний в мезоскопическом сверхпроводнике квадратной формы, рассчитывал и анализировал кривую намагниченности такого образца. Вклад соискателя в решение задачи о размере и стабильности связанного вихревого состояния, содержащего антивихрь, в мезоскопическом сверхпроводнике квадратной формы является равноценным. В работах (x)-(xii) вклад автора является определяющим с точки зрения численного решения задачи о формировании локализованной сверхпроводимости в гибридных планарных системах сверхпроводник—ферромагнетик; аналитическое решение и интерпретация полученных результатов выполнено соискателем совместно с соавторами.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на семинарах ИФМ РАН, Нижегородского Государственного Университета, Bordeaux University I (Бордо, Франция), Argonne National Laboratory (Аргон, США) и Helsinki University of Technology (Хельсинки, Финляндия), а также были представлены на Всероссийских совещаниях по физике низких температур (ФНТ-32 (2000 г.) — Казань, ФНТ-33 (2003 г.) — Екатеринбург); на международных совещаниях "Advances in High-Temperature Superconductivity", (2001 г. — Рамат-Ган, Израиль) и "Vortex Dynamics and Vortex Matter"(2003 г. — Олерон, Франция); на международной конференции "Modern Problems of Superconductivity"(2002 г. — Ялта, Украина), Нижегородских сессиях молодых ученых, (2000, 2001, 2002 гг., — Нижний Новгород).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 12 работ (6 статей в реферируемых журналах, 1 доклад на международной конференции, 2 доклада на всероссийских совещаниях, 3 доклада на нижегородских сессиях молодых ученых).

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, списка публикаций автора и списка цитируемой литературы из 132 наименований. Общий объем — 118 страниц, в диссертации приведено 32 рисунка.

Основное содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели диссертационной работы, указаны сведения о личном вкладе соискателя, апробации работы и публикациях, приведены основные результаты работы.

Первая глава посвящена изучению в рамках теории Гинзбурга-Ландау структуры и свойств сингулярных и несингулярных вихрей в сверхпроводниках с (й + в)-типом спаривания. Основные результаты данной главы опубликованы в работах (\тш) и

В разделе 1.1 приведён обзор экспериментальных данных, указывающих на образование в ВТСП сверхпроводящего состояния с доминирующим d-типом спаривания. Также обсуждаются экспериментальные данные, указывающие на возможную примесь сверхпроводящего конденсат с 8-типом спаривания (см., напр., обзоры [1, 2]).

Раздел 1.2 посвящен теории Гинзбурга-Ландау, применяемой для описания сверхпроводников с (с?х2_у2 + в)-типом спаривания с функционалом свободной энергии (см., напр., [5]), обобщенном для двух компонент параметра порядка:

+Kd |(П,| + Tall^o) í'¿¡2 + К, ¡(П|| + 7snzz0) í'sj2 +Ktd [([ПХФ,]* ПхФ^ - [П„Ф,]* + к.с.] + — J dV. (1)

Здесь ad = ad{T-Tcd), аа = as(T-TC3), (cxd,as > О), П = Пц+П220 = V—¿l^-A, А — векторный потенциал, Фо = he/2е — квант магнитного

потока. Поскольку d-компонента параметра порядка предполагается доминирующей, то Тся < Tcd. В дальнейшем рассмотрен случай, когда параметры теории ГЛ выбраны таким образом, что в однородном состоянии (без магнитного поля) энергетически выгодна d-компонента параметра порядка, аФа = О/

В разделе 1.3 сделан обзор имеющихся к настоящему времени теоретических результатов, посвященных исследованию структуры сингулярного вихря в высокотемпературном сверхпроводнике с (d + s)-типом спаривания в магнитном поле направленном вдоль с-оси (см., напр., [3, 4,.5]). В этом случае сингулярный вихрь обладает тетрагональной симметрией. В коре вихря d-компоненты, за счет токового взаимодействия вынужденным образом появляется ненулевая s-компонента параметра порядка с дополнительными четырьмя вихрями, расположенными на кристаллографических осях а и Ь, и одним 5-антивихрём, расположенном в центре d-вихря.

В разделе 1.4 в диапазоне температур, близких к критической {Tcd - Т<Т - Tcs), исследуется структура сингулярного вихря при произвольной ориентации слабого магнитного поля (Нсi < Н Нс2> Нс1 — нижнее критическое магнитное поле, Н& — верхнее критическое магнитное поле) относительно кристаллографических осей сверхпроводника для различной степени анизотропии. Направление магнитного поля относительно кристаллографических осей задаётся единичным вектором n = (sinocos a, sin в sin a, COS0) (ж, у, z направлены вдоль кристаллографических осей о, b и с, соответственно). Показано, что при отклонении магнитного поля от с-оси кристалла происходит смещение вихрей s-компоненты относительно вихря d-компоненты, приводящее к нарушению тетрагональной симметрии (рис. 1). По мере увеличения угла между направлением магнитного поля и осью с два s-вихря (Ли С) с той же завихренностью, что и d-вихрь (N — +1) удаляются от центра вихревой линии (рис. 1 (а), (Ь) и (с)). В то же время, два других s-вихря (В и D) смещаются к s-антивихрю (О), находящемуся в центре d-вихря. Когда в достигает критического значения 0maxi последние два вихря сливаются с s-антивихрем (О) и образуют один вихрь (О') с положительной завихренностью N = +1, расположенный в центре вихревой линии. Когда магнитное поле лежит в

Рис. 1. Характерные расположения 8-вихрей в коре сингулярного вихря (в плоскости перпендикулярной магнитному полю) для а — 15° и различных в: в = 0° (а), 9 = 45° (Ь), в = 80° (с), в = 90° (а). Вихри 5-компоненты с той же завихренностью, что и d-вихрь (Ы = +1) обозначены о, 8-антивихрь с N = — 1 обозначен •.

плоскости аЬ (в = тг/2), в коре d-вихря остается только один 8-вихрь с положительным обходом фазы (рис. 1^)). Зависимость критического угла от ориентации магнитного поля в плоскости аЬ определяется выражением

На основе полученного аналитического решения для структуры 5-компоненты, найдены дополнительные вклады в нижнее критическое поле, связанные с появлением 5-компоненты, индуцированной в коре ё-вихря. Для случая слабой анизотропии, когда длина когерентности вдоль оси с много больше расстояния между слоями в ВТСП (£с ^ в):

Д Не1(в,а) = ^ЩЫ^сиРв+вш'в

где Ааь — глубина проникновения магнитного поля вдоль плоскости аЬ, в =

В случае сильной анизотропии (£с в), когда ВТСП представляет собой набор сверхпроводящих слоев, связанных джозефсоновским взаимодействием

(4)

для диапазона углов А^/в -С tg0 •С Ас/й. Здесь AJ — джозефсонов-ская длина, Ас — глубина проникновения магнитного поля вдоль оси с.

Также в случае слабой анизотропии найдена поправка к тензору вязкости единицы длины сингулярного вихря, обусловленная дополнительными потерями, вызванными индуцированной s-компонентой параметра порядка в коре d-вихря. В системе координат, где вихревая линия направлена вдоль новой оси

(5)

дополнительный вклад в тензор вязкости имеет следующий диагональный вид

Показано, что нижнее критическое магнитное поле и тензор вязкости сингулярного вихря обладают тетрагональной угловой зависимостью в плоскости аЬ.

В разделе 1.5 рассмотрена структура несингулярного вихря в слабом магнитном поле. Ранее несингулярные вихри исследовались для

3Ке [8, 9] и в сверхпроводниках с тяжелыми фермионами [10, 11]. Показано, что в коре сингулярного вихря благодаря нелинейному взаимодействию компонент параметра порядка может спонтанно возникать зародыш s-компоненты с нулевой циркуляцией фазы, что приводит к взаимному смещению 5- и й- вихрей (рис. 2). Сдвиг вихрей

■20 -20

Рис. 2. Типичная структура s-компоненты параметра порядка в коре несингулярного вихря (результаты численного моделирования). Параметры: аа/ал = 3.2, Тс,/Ты = 0.9, Т/ТсЛ = 0.68, Ьв/Ьл = 9, Ь^/Ь* = 3, Рзй/Ъа = 0, Кц/Ка = 0.5, К^/Ка = 0.6. На вставке показаны положения d-вихря с циркуляцией фазы N = +1 (черный квадрат), s-вихрей с IV = +1 (круги) и с N = — 1 (крест).

s-компоненты в коре d-вихря приводит к дополнительному нарушению симметрии вихря даже в случае ориентации магнитного поля вдоль главной кристаллографической оси.

Критическая температура Г*, ниже которой несингулярные вихревые решения являются энергетически выгодными, определяется следующим выражением:

ЬЛ ~ Л _ К* а,{Т*) \

Ъ*- МГ*)| V 2К3\ал{Т*)\)- (7)

Отмечено, что образование несингулярных вихрей, не обладающих тетрагональной симметрией, присущей сингулярным вихрям, должно привести к ряду интересных эффектов, связанных с анизотропией

динамических характеристик б с,5- плоскости. Повсюду а корб вихр»

сверхпроводящая щель отлична от нуля, что указывает на нетривиальный спектр квазичастиц внутри несингулярных вихревых линий.

В разделе 1.6 на основе полуклассического подхода анализируется положение нулей функции щели в центре вихря и показыва-

ется, что при фазовом переходе от сингулярного к несингулярному вихрю происходит выталкивание нулей щели из центра вихря. Такое ассиметричное положение нулей функции щели указывает на наличие пространственной асимметрии плотности состояний квазичастиц в коре несингулярного вихря.

Во Второй главе рассмотрены различные типы связанных вихревых состояний (вихревые молекулы) и многоквантовые вихри в ме-зоскопическом сверхпроводнике (с s-типом спаривания) квадратной формы с дефектами и рассчитана кривая намагниченности такого сверхпроводника.

Раздел 2.1 посвящен постановки численного эксперимента, описывающего реальный эксперимент по намагничиванию мезоскопическо-го сверхпроводника.

В разделе 2.2 на основе численного моделирования нестационарных уравнений Гинзбурга-Ландау исследованы особенности структуры различных вихревых конфигураций (изолированных вихрей, многоквантовых вихрей и связанных вихревых состояний — вихревых молекул) в мезоскопических сверхпроводниках квадратной формы. Рассчитана кривая намагничивания во всем интервале магнитных полей (рис. 3) и изучено влияние переходов между различными вихревыми состояниями на характер особенностей на кривой намагничивания. Показано, что особенности на кривой намагничивания связаны с внутренней перестройкой вихревых структур без изменения общей завихренности вдоль границы сверхпроводника

(<р — фаза параметра порядка, Г — периметр сверхпроводника).

Показано, что в квадратном сверхпроводнике может происходить фазовый переход первого рода (скачок на зависимости М(Н) для N = 2 на рис. 3), не связанный с изменением числа вихрей в образце, а вызванный переориентацией двух вихрей. При полях два

вихря выстроены вдоль диагонали образца, при более низких полях вихри ориентируются вдоль границ образца.

Рис. 3. Кривая намагниченности М{Н) для квадратного сверхпроводника со стороной Ь = 8£. Числа около различных ветвей на кривой намагниченности обозначают общую завихренность N в образце для данной ветви. На вставке в увеличенном масштабе показана особенность на ветке М(Н) с N = 2, связанная с переориентацией двух вихрей относительно сторон сверхпроводника.

Также наблюдался и фазовый переход второго рода, связанный с распадом двухквантового вихря (скачок на зависимости dM/dH для N" — б на рис. 4). Скачок на зависимости dM/dH для N — 7 на рис. 4, связан с распадом связанного вихревого состояния - диссоциацией трёхквантовой вихревой молекулы.

В разделе 2.3 проведено исследование структуры и стабильности вихревого комплекса, состоящего из четырех вихрей и одного антивихря, соответствующего полной завихренности Я = 3. Такое связанное вихревое состояние было получено теоретически в работе [12] а полях близких к критическому полю появления поверхностной сверхпроводимости Ш. Такая компактная вихревая конфигурация малого размера (около представляет собой реализацию трехкван-

тового вихря в квадратном сверхпроводнике. В диссертации найден размер связанного вихревого состояния, состоящего из четырех вих-

Рис. 4. Зависимость йИ/йИ от внешнего магнитного поля Н. Числа около различных ветвей на кривой намагниченности обозначают общую завихренность N в образце для данной ветви.

реи и одного антивихря:

г0/Ьн - у/ЩнеМ-{Ь/Ьн)2/8), (9)

где Ьн = л/Ьс/(еН) — магнитная длина, причем вблизи верхнего критического поля Ьц ~

Как указано в работе [12] основную роль в образовании такого необычного вихревого состояния играют граничные эффекты. Для исследования условий стабильности конфигурации вихрь-антивихрь к нарушениям тетрагональной симметрии на границе сверхпроводника был размещён асимметрично расположенный малый дефект (вкрапление нормального металла) прямоугольной формы. При последовательном увеличении размера дефекта, начиная с наблюдалось искажение вышеописанной вихревой конфигурации: антивихрь смещается в направление одного из вихрей и, когда размер дефекта достиг 0.;16£X0.08£, эта пара вихрь-антивихрь аннигилировала. Таким образом, мы приходим к заключению, что вихревая структура, состоящая из четырех вихрей и антивихря, очень чувствительна к нарушениям тетрагональной симметрии, вызванными наличием малых дефектов.

В ТрСТоСЙ ТЛЛЕВ 8.11оЛИЗ*1руЮТС51 ССоСвНКОСТй фэЗОЗОГО ПврбХС"

да в сверхпроводящее состояние двухслойных гибридных структур сверхпроводник—ферромагнетик во внешнем однородном магнитном поле.

В разделе 3.1 предложена модель для описания зарождения сверхпроводимости в двухслойной гибридной структуре сверхпроводник-ферромагнетик. Предполагается, что если сверхпроводник и ферромагнетик разделены тонким слоем изолятора, то можно пренебречь эффектом близости и обменным взаимодействием сверхпроводника и ферромагнетика, по сравнению с электромагнитным взаимодействием. Таким образом, ключевая роль в формировании сверхпроводимости в гибридной структуре сверхпроводник—ферромагнетик будет принадлежать орбитальному эффекту в неоднородном магнитном поле. Вид температурной зависимости верхнего критического магнитного поля определяется пространственным распределением неоднородной компоненты магнитного поля Ь(х), индуцированной ферромагнетиком, а следовательно, его доменной структурой: амплитудой инду-

Рис. 5. Характерный вид сверхпроводящего зародыша для случая уединенной доменной стенки в тонкой ферромагнитной пленке при Д)С?/г/Фо = 25 и Н/Бо = 0.24 (сплошная линия). Пространственное распределение магнитного поля показано штриховой линией.

цированного в сверхпроводнике магнитного поля Во> токгцччоч домена с1р и его шириной ги. Эффекты, связанные с перемагничиванием ферромагнетика не учитываются.

В разделе 3.2 на основе численного и аналитического решения линеаризованного уравнения Гинзбурга-Ландау исследуются условия появления сверхпроводимости вблизи уединенной доменной стенки. Показано, что сверхпроводящий зародыш локализован вблизи линии нуля магнитного поля (рис. 5), и следовательно, меняя внешнее магнитное поле Н можно управлять положением и размером такого сверхпроводящего канала. Найдены аналитические выражения для температурной зависимости верхнего критического магнитного поля сверхпроводящей пленки в поле уединенной доменной стенки в тонкой ферромагнитной пленке (¿р ■С ии) для случая слабого внешнего поля (|Я| < Во):

(10)

Рис. б. Температурная зависимость верхнего критического поля для случая уединенной доменной стенки в тонкой ферромагнитной пленке при Вос^/Фо = 25 (сплошная линия). Штриховая линия соответствует аналитическому выражению (10) при слабых полях, пунктирная — асимптотическому выражению для сильных полей (11).

где ее ~ 0 904, ДТ°тЬ = Тс0(2т50^/Ф0) определяет характерный сдвиг критической температуры вследствие орбитального эффекта. В сильных магнитных полях (|Я| > Во)

Тс — Тс о

дуогб

= 1 - |Я|/Д».

(И)

В разделе 3.3 учитывается взаимодействие сверхпроводящих зародышей, локализованных на разных доменных стенках.

Были получены два типа температурной зависимости верхнего критического магнитного поля: однозначная и неоднозначная (рис. 7), последняя соответствует возвратной сверхпроводимости. Показано, что возвратная сверхпроводимость будет наблюдаться, ес-

Рис. 7. Температурная зависимость верхнего критического поля для периодической доменной структуры в 8Б системе с толстым ферромагнитным слоем для 7Г.Вош2/Фо = 5 (сплошная линия) и тгВо'ш2/Фо = 1 (штриховая линия).

ли "кВциРФц > 2.0, что соответствует случаю сильного перекрытия сверхпроводящих зародышей, расположенных на соседних доменных стенках при полях

В Заключении сформулированы результаты работы.

Список литературы

[1] Tsuei С. С. Pairing symmetry in cuprate superconductors/ С. С. Tsuei and J. R. Kirtley // Rev. Mod. Phys. - 2000. - Vol. 72. -P. 969-1016.

[2] Van Harlingen D. J. Phase-sensitive tests of the symmetry of the pairing state in the high-temperature superconductors — Evidence for dx7_2 symmetry // Rev. Mod. Phys. - 1995. - Vol. 67. -P. 515535.

[3] Berlinsky A. J. Ginzburg-Landau Theory of Vortices in d-Wave Superconductors/ A. J. Berlinsky, A. L. Fetter, M. Franz, C. Kallin, and P. I. Soininen // Phys. Rev. Lett. - 1995. - Vol. 75. - P. 22002203.

[4] Franz M. Vortex state in a d-wave superconductor/ M. Franz, C. Kallin, P. I. Soininen, A. J. Berlinsky, and A. L. Fetter // Phys. Rev. В - 1996. - Vol. 53. - P. 5795-5814.

[5] Heeb R. Vortices in d-wave superconductors/ R. Heeb, A. van Otterlo, M. Sigrist, and G. Blatter // Phys. Rev. В -1996. - Vol. 54.

- P. 9385-9398.

[6] Geirn A. K. Fine Structure in Magnetization of Individual Fluxoid States/ A. K. Geim, S. V. Dubonos, J. J. Palacios, I. V. Grigorieva, M. Henini, J. J. Schermer // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 85. -P. 1528-1531.

[7] Lange M. Phase diagram of a super conductor/ferr omagnet bilayer/ M. Lange, M. J. Van Bael, and V. V. Moshchalkov // Phys. Rev. В

- 2003. - Vol. 68. - P. 174522-1-174522-6.

[8] Thuneberg E. V. Identification of vortices in superuuid 3B // Phys. Rev. Lett. - 1986. - Vol. 56. - P. 359-362;

[9] Salomaa M. M. Vortices with spontaneously broken axisymmetry in zHe-B/ M. M. Salomaa and G. E. Volovik // Phys. Rev. Lett. -1986. - Vol. 56. - P. 363-366.

[10] Tokuyasu T. A. Vortex states in an unconventional superconductor and the mixed phases of UPt/ T. A. Tokuyasu, D. W. Hess, and J. A. Sauls // Phys. Rev. В - 1990. - Vol. 41. - P. 8891-8903.

[11] Бараш Ю. С. Структура вихрей в экзотических сверхпроводниках вблизи нижнего критического поля/ Ю. С. Бараш, А. С. Мельников // ЖЭТФ - 1991. - Т. 100. - С. 307-322.

[12] Chibotaru L. F. Symmetry-induced formation of antivortices in mesoscopic superconductors/ L. F. Chibotaru, A. Ceulemans, A. V. Bruyndoncx, V. V. Moshchalkov // Nature - 2000. - Vol. 408. -P. 833-835.

Список публикаций автора по теме диссертации

(i) Mel'nikov A. S. Nonsingular vortices in (d-hs)-wave superconductors/ A. S. Mel'nikov, I. M. Nefedov, D. A. Ryzhov, I. A. Shereshevskii, P. P. Vysheslavtsev // Physical Review В -2000. - Vol. 62. - P. 11820-11825.

(ii) Вышеславцев П. П. Несингулярные вихри в высокотемпературных сверхпроводниках/ П. П. Вышеславцев, А. С. Мельников, И. М. Нефёдов, Д. А. Рыжов, И. А. Шерешевский // XXXII совещание по физике низких температур, Казань, сборник тезисов докладов. - 2000. - С. 88-89.

(Hi) Вышеславцев П. П. Несингулярные вихри в высокотемпературных сверхпроводниках/ П. П. Вышеславцев, А. С. Мельников, И. М. Нефёдов, Д. А. Рыжов, И. А. Шерешевский// Пятая нижегородская сессии молодых ученых, Нижний Новгород, сборник тезисов докладов - 2000. - С. 13-14.

(iv) Bystrov A. S. Structure of tilted vortices and angular dependence of lower critical field in anisotropic (d+s)-wave superconductors/ A. S. Bystrov, A. S. Mel'nikov, and D. A. Ryzhov // Journal of Physics: Condensed Matter - 2001. - Vol. 13. - P. 6005-6013.

(v) Быстров А. С. Вихри в анизотропных сверхпроводниках с нетривиальным спариванием/ А. С. Быстров, П. П. Вышеславцев, А. С. Мельников, И. М. Нефёдов, Д. А. Рыжов, И. А. Шерешев-ский // Шестая нижегородская сессии молодых ученых, Нижний Новгород, сборник тезисов докладов - 2001. - С. 15-16.

(vi) Mel'nikov A. S. Vortex states and magnetization curve of square mesoscopic superconductors/ A. S. Mel'nikov, I. M. Nefedov, D. A. Ryzhov, I. A. Shereshevskii, V. M. Vinokur, P. P. Vysheslavtsev // Physical Review В - 2002. - Vol. 65. - P. 140503-1 (R)-140503-4(R).

(vii) Винокур В. М. Сметанное состояние и кривая намагниченности мезоскопических сверхпроводников/ В. М. Винокур, П. П. Вышеславцев, А. С. Мельников, И, М. Нефёдов, Д. Л. Рыжов, И. А. Шерешевский // Седьмая нижегородская сессии молодых ученых, Нижний Новгород, сборник тезисов докладов - 2002. -С. 94-95.

(viii) Bystrov A. S. Singular and nonsingular vortices in high-temperature. superconductors/ A. S. Bystrov, A. S. Mel'nikov, D. A. Ryzhov, I. M. Nefedov, I. A. Shereshevskii, P. P. Vysheslavtsev // Physica С - 2003. - Vol. 388-389. - P. 657-658.

(ix) Bystrov A. S. Singular and nonsingular vortex structures in high-temperature superconductors/ A. S. Bystrov, A. S. Mel'nikov, D. A. Ryzhov, I. M. Nefedov, I. A. Shereshevskii, P. P. Vysheslavtsev // Modern Physics Letters В - 2003. - Vol. 17. - P. 621-626.

(x) Aladyshkin A. Yu. Domain wall superconductivity in hybrid superconductor—ferromagnetic structures/ A. Yu. Aladyshkin, A. I. Buzdin, A. A. Praerman, A. S. Mel'nikov, D. A. Ryzhov, A. V. Sokolov // Physical Review В - 2003. - Vol. 68. - P. 184508-1184508-7.

(xi) Аладышкин А. Ю. Влияние периодического магнитного поля на критическую температуру тонкой сверхпроводящей пленки/ А. Ю. Аладышкин, П. П. Вышеславцев, А. С. Мельников, И. М. Нефёдов, Д. А. Рыжов, А. В. Соколов, А.. А. Фраерман, И. А. Шерешевский // XXXIII совещание по физике низких температур, Екатеринбург, сборник тезисов докладов. - 2003. - С. 132133.

(xii) Mel'nikov A. S. Domain wall superconductivity in ferromagnetic superconductors and hybrid S/Fstructures/ A. S. Mel'nikov, A. Yu. Aladyshkin, A. I. Buzdin, A. A. Fraerman, D. A. Ryzhov, A. V. Sokolov // 9h Joint Vortex Dynamics and Vortex Matter Workshop, Oleron, Prance, book of abstract - 2003. - P. 51.

Рыжов Денис Андреевич

СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА СВЯЗАННЫХ ВИХРЕВЫХ

СТРУКТУР В СВЕРХПРОВОДНИКАХ ВТОРОГО РОДА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 19 мая 2004 г. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе Института физики микроструктур РАН, 603950, Нижний Новгород, ГСП-105

1014961

Введение

1. Структура и свойства сингулярных и несингулярных вихрей в высокотемпературных сверхпроводниках

1.1. Симметрия сверхпроводящего состояния в высокотемпературных сверхпроводниках.

1.2. Теория Гинзбурга-Ландау для сверхпроводников с (dx2у2 + в)-типом спаривания.

1.3. Структура сингулярного вихря в магнитном поле перпендикулярном плоскости аЬ. Обзор.

1.4. Структура сингулярного вихря в магнитном поле произвольной ориентации.

1.4.1. Угловая зависимость нижнего критического поля Нс\ высокотемпературного сверхпроводника с анизотропным тензором масс (s >С £3).

1.4.2. Угловая зависимость нижнего критического поля Нсi квазидвумерного сверхпроводника (s » £s).

1.4.3. Угловая зависимость вязкости сингулярного вихря в сверхпроводнике с анизотропным тензором масс (s <С

1.5. Структура несингулярного вихря в высокотемпературных сверхпроводниках.

1.6. Структура нулей сверхпроводящей щели в корах сингулярного и несингулярного вихрей.

1.7. Выводы.

2. Вихревые состояния и намагниченность мезоскопических сверхпроводников квадратной формы

2.1. Постановка задачи.

2.2. Структура смешанного состояния и кривая намагниченности.

2.3. Структура и стабильность вихревого состояния с антивихрём

2.4. Выводы

3. Зарождение локализованной сверхпроводимости в пленарных системах сверхпроводник—ферромагнетик

3.1. Введение.

3.2. Появление сверхпроводимости на доменной стенке: изолированный зародыш.

3.2.1. Доменная стенка в толстой магнитной пленке: ступенчатый профиль магнитного поля. Обзор.

3.2.2. Доменная стенка в тонкой ферромагнитной пленке.

3.3. Зарождение сверхпроводимости в периодической доменной структуре

3.4. Выводы.

Актуальность работы

Существенно возросший в последнее время интерес к исследованию вихревого состояния обусловлен широкими потенциальными возможностями применения сверхпроводников в современной микроэлектронике и энергетике, а также интересом к самой физике процессов, происходящих в смешанном состоянии сверхпроводников. Развитие нанотехнологии и открытие новых сверхпроводящих соединений (в частности, высокотемпературных сверхпроводников) стимулировали новые теоретические и экспериментальные исследования смешанного состояния. Изучение строения и свойств вихревых структур необходимо для получения ряда основных характеристик смешанного состояния сверхпроводников, таких как критические магнитные поля, кривые намагничивания, транспортные характеристики.

На протяжении нескольких десятилетий изучение вихревого состояния неизменно привлекает внимание исследователей. Впервые смешанное состояние с неполным эффектом Мейсснера-Оксенфельда (фаза Шубникова) в сверхпроводниках, находящихся во внешнем магнитном поле, было обнаружено группой J1. В. Шубникова в 1937 году [1]. В 1957 году А. А. Абрикосов, основываясь на теории Гинзбурга-Ландау [2], показал, что в массивных сверхпроводниках второго рода внешнее магнитное поле проникает в сверхпроводник в виде нитей магнитного потока (вихрей Абрикосова) [3]. Каждая нить окружена вихревым током и несет один квант магнитного потока Ф0 = he/2е ~ 2.07 • 10~7 Гс-см2. Вихрь представляет собой топологическую особенность сверхпроводящего параметра порядка, вокруг которой циркуляция градиента фазы ip параметра порядка Ф отлична от нуля и кратна 27г. Важной топологической характеристикой вихря является завихренность N, определяемая циркуляцией градиента фазы <р вдоль контура С охватывающего особенность: j) Vy>dl = 27riV. (B.l)

Фактически, именно существование ненулевой циркуляции фазы (завихренности) вокруг особой линии и является определением вихря.

Следствием существования такой особенности является обращение в ноль параметра порядка на оси вихря. Модуль параметра порядка в абрикосовском вихре в слабых полях аксиально симметричен. При удалении от центра вихря модуль параметра порядка растёт и выходит на свое равновесное значение |Ф|оо на расстоянии порядка длины когерентности £ от центра вихря. Область размером порядка где параметр порядка подавлен, называется кором вихря. Магнитное поле, индуцированное вихрем в массивном сверхпроводнике, максимально в области нормального кора и экспоненциально спадает при удалении от него на расстоянии порядка Л — глубины проникновения магнитного поля в массивном сверхпроводнике. В массивном сверхпроводнике без дефектов энергетически выгодными являются одноквантовые вихри с N = 1, которые образуют гексагональную вихревую решетку.

Большое влияние на строение и различные свойства вихревых линий могут оказывать различные анизотропные факторы, присущие конкретной сверхпроводящей системе. В ряде случаев, под действием этих факторов в сверхпроводниках могут образовываться многоквантовые вихри (с \N\ > 1) и связанные вихревые состояния. Связанные вихревые состояния — это совокупность вихрей, локализованных в малой области порядка размера самого вихря (то есть, несколько длин когерентности), которую можно рассматривать как структурную единицу смешанного состояния.

В частности, к образованию сложных вихревых комплексов может приводить микроскопическая природа сверхпроводимости, когда образуется сверхпроводящее состояние с энергетической щелью А (к) анизотропной в импульсном пространстве, что, по-видимому, реализуется в сверхпроводниках с тяжёлыми фер-мионами (см., например, обзор [4]), рутенатах (см., например, обзор [5]) и высокотемпературных сверхпроводниках (см., например, обзоры [б, 7] и раздел 1.1).

Отличительным свойством экзотической сверхпроводимости является образование сверхпроводящего конденсата из электронных пар с ненулевым орбитальным моментом (см., например, [8, 9]). Обычное сверхпроводящее состояние обладает полной точечной симметрией кристалла, то есть относится к единичному представлению А\д (s-тип спаривания). Экзотическими сверхпроводящими состояниями называют состояния, неотносящиеся к чётному единичному представлению Aig, что аналогично спариванию с ненулевым орбитальным моментом для изотропной задачи куперовского спаривания. Часто классификацию экзотических сверхпроводящих состояний проводят в соответствии с классификацией состояний пары электронов по угловому моменту I в изотропной задачи Купера. При этом термин угловой момент куперовской пары может использоваться и для классификации состояний в кристаллах, подразумевая при этом формальное сходство сим-метрийных свойств базисных функций конкретного неприводимого представления группы симметрии кристалла с симметрийными свойствами конкретной сферической функции Ylm.

В последние годы большое внимание как экспериментаторов, так и теоретиков привлекает исследование смешанного состояния в высокотемпературных сверхпроводниках. Такой интерес во многом вызван рядом экспериментальных данных, указывающих на смешанную (d + в)-симметрию сверхпроводящего состояния в меднооксидных (купратных) соединениях УВагСизОг и Bi2Sr2CaCu208, когда образуются два взаимодействующих сверхпроводящих конденсата с I = 2 (d-^гип спаривания) и I = 0 (обычный s-тип спаривания). Подробно обзор экспериментов приведён в разделе 1.1.

Несмотря на то, что природа высокотемпературной сверхпроводимости до сих пор неясна, и не существует общепризнанной микроскопической теории высокотемпературных сверхпроводников (см. обзоры [10,11]), множество важных свойств таких соединений могут быть описаны в рамках теории Гинзбурга-Ландау с параметром порядка, состоящим из двух комплексных компонент, соответствующих d- и s- типам спаривания. Очевидно, что присутствие двух взаимодействующих компонент параметра порядка должно существенно изменить структуру вихревых линий. Это, в свою очередь, приведёт к изменению термодинамических и транспортных характеристик сверхпроводника в смешанном состоянии по сравнению со сверхпроводником с обычным s-типом спаривания.

Как было показано в ряде работ (см., например, [12, 13, 14]), вихревая линия в высокотемпературных сверхпроводниках с (d + з)-типом спаривания состоит из набора элементарных вихрей различных компонент параметра порядка, сосредоточенных в области масштаба Необходимо отметить, что такое решение аналогично вихревым структурам, предсказанным для сверхпроводников с тяжёлыми фермионами, в которых параметр порядка, имеющий две компоненты, соответствует двумерному неприводимому представлению кристаллической группы симметрии D^h [15, 16].

В соответствие со стандартной терминологией, введённой для сверхтекучего 3Не и сверхпроводников с анизотропным типом спаривания [17, 18], можно определить два типа вихревых линий в системах с двумя компонентами параметра порядка:

• сингулярные вихри, у которых имеется хотя бы одна точка, где обе компоненты параметра порядка обращаются в ноль {элементарные вихри различных компонент совпадают);

• несингулярные вихри, у которых нет точки, в которой параметр порядка полностью обращается в ноль (элементарные вихри различных компонент разнесены в пространстве).

Структура сингулярных вихрей в магнитном поле направленном вдоль с-оси высокотемпературного сверхпроводника хорошо известна (подробно обзор работ приведён в разделе 1.3). Такой сингулярный вихрь обладает тетрагональной симметрией и состоит из вихря ^-компоненты, четырех вихрей ^ компоненты и одного s-антивихря. Необходимо отметить, что высокотемпературным сверхпроводникам присуща сильная пространственная анизотропия [19], безусловно влияющая на свойства смешанного состояния в произвольно ориентированном магнитном поле. Однако, до настоящего времени вопрос о структуре сингулярного вихря в магнитном поле произвольной ориентации рассматривался только численно [20]. Отметим, что получив аналитические выражения для структуры параметра порядка в сингулярном вихре в магнитном поле произвольной ориентации, можно определить угловые зависимости многих важных характеристик смешанного состояния, например, критических магнитных полей и тензора вязкости. Поэтому актуальным как с физической точки зрения, так и в плане прикладного применения представляется дальнейшее аналитическое исследование структуры и свойств сингулярных вихрей в магнитном поле произвольной ориентации.

В то же время надо отметить, что вихревые решения в виде несингулярного вихря ранее для высокотемпературных сверхпроводников не рассматривались, хотя на существование такого класса решений в системах с анизотропным типом спаривания указывалось в работах [21, 22, 23] для сверхтекучего 3Не и в работах [15, 16] для сверхпроводников с тяжёлыми фермионами. В частности, в работах [15, 16] было показано, что при определенных значениях коэффициентов теории Гинзбурга-Ландау сингулярный вихрь оказывается неустойчивым к появлению зародыша второй компоненты параметра порядка с нулевой циркуляцией фазы в коре вихря доминантной компоненты параметра порядка. Нестабильность такого рода, приводящая к появлению несингулярного вихря, есть следствие нелинейного взаимодействия компонент параметра порядка и не является спецификой сверхпроводников с тяжёлыми фермионами, но также может существовать и в высокотемпературных сверхпроводниках. Такая задача ранее не рассматривалась в работах, посвященных исследованию вихревых структур в высокотемпературных сверхпроводниках, хотя возможность спонтанного появления второй компоненты параметра порядка возле поверхности сверхпроводника или вблизи границ гранул в таких соединениях исследовалась в работе [24]. По видимому, отсутствие решения в виде несингулярного вихря в предыдущих работах объясняется конкретным выбором набора параметров теории Гинзбурга-Ландау, при которых всегда реа-лизовываются только сингулярные вихри.

Очевидно, что образование несингулярных вихрей, не имеющих точек, где параметр порядка обращается в ноль, должно изменять свойства смешанного состояния. В частности, можно ожидать, что энергетическая щель Д(к, г) в коре вихря будет подавлена слабее, чем в сингулярных вихрях, что должно привести к особенностям температурного поведения термодинамических и транспортных характеристик смешанного состояния. Этот же эффект может привести и к ослаблению пиннинга вихревых нитей в высокотемпературных сверхпроводниках. Таким образом, задача о фазовом переходе от сингулярного вихря к несингулярному и анализ структуры несингулярного вихревого решения представляется важной и актуальной для исследования смешанного состояния высокотемпературных сверхпроводников.

Другим фактором влияющим на образование связанных вихревых состояний, могут быть экранирующие токи, текущие вдоль границ сверхпроводника. При этом необычные вихревые структуры могут образовываться и в сверхпроводниках с изотропной щелью (s-тип спаривания). Особенно сильным влияние экранирующих токов оказывается в мезоскопических сверхпроводниках (тонких пленках или образцах цилиндрической формы), размеры которых порядка несколько длин когерентности и не превышают глубины проникновения магнитного поля. За счет баланса конкурирующих сил, действующих на вихри со стороны экранирующего тока и сил отталкивания между отдельными вихрями, оказывается возможным существование связанных вихревых состояний (вихревых молекул с размером порядка длины когерентности) [25] и многоквантовых вихрей с |ЛГ| > 1 [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34}. Вихревая молекула — это совокупность близко расположенных взаимодействующих одноквантовых вихрей, обладающих общим кором, то есть модуль параметра порядка между вихрями существенно меньше модуля параметра порядка вокруг вихревой молекулы. Многоквантовые вихри и вихревые молекулы не могут быть реализованы в обычном чистом объёмном сверхпроводнике, находящемся в однородном магнитном поле, поскольку они обладают большей энергией по сравнению с решёткой одноквантовых вихрей Абрикосова. Существование таких экзотических вихревых структур приводит к нетривиальным зависимостям транспортных и термодинамических характеристик от внешних параметров (например, от температуры, внешнего магнитного поля, транспортного тока).

Экспериментальные и теоретические исследования мезоскопических сверхпроводников указывают на наличие целого ряда фазовых переходов во внешнем магнитном поле Н. Как для цилиндрических образцов [35, 36], так и для тонких пленок [25, 30, 31, 37, 38, 39, 40] были отмечены осцилляции критической температуры, аналогичные осцилляциям Литтла-Паркса в полом цилиндре [41]. Появление осцилляций ТС(Н) связано со входом (или выходом) вихрей в мезоскопический образец. При изменении внешнего магнитного поля структура вихревого состояния может меняться как за счет изменения числа вихрей в сверхпроводнике, так и за счет внутренней перестройки вихревых состояний (распадом или образованием многоквантовых вихрей и вихревых молекул). В связи с этим, большое внимание исследователей привлекает изучение кривой намагничивания М(Н) мезоскопи-ческих образцов. Так при входе вихрей в сверхпроводник происходят фазовые переходы первого рода, что приводит к появлению новых веток на кривой намагничивания [25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 40, 43, 44, 45, 46, 47]. В то же время, на некоторых ветках кривой намагничивания мезоскопических дисков экспериментально были обнаружены особенности в поведении М(Н) (в частности, изломы) [32], которые связываются с внутренней перестройкой вихревого состояния (распадом или образованием многоквантовых вихрей и вихревых молекул). В то время как теоретические исследования вихревых состояний в мезоскопических сверхпроводниках смогли объяснить множество экспериментальных фактов, наблюдаемых в сверхпроводящих образцах малых размеров, некоторые важные вопросы, среди которых, в частности, находятся вопросы о роли симметрийных эффектов в формировании определённых вихревых конфигураций, процессах распада (диссоциации) вихревых молекул, остаются до сих пор открытыми.

Из-за сильного влияния на вихревую структуру экранирующих токов, текущих вдоль границы сверхпроводника, процессы перестройки вихревого состояния должны быть весьма чувствительны к размерам и форме конкретного образца. Такие процессы были исследованы в работах [46, 48] для сверхпроводящих дисков. Безусловный интерес как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения вызывает исследование процессов изменения вихревой структуры в мезоскопических сверхпроводниках квадратной формы, и их влияние на кривую намагничивания таких образцов.

В то же время надо учитывать, что реальные сверхпроводящие образцы, как правило, пространственно неоднородны и содержат дефекты, например, вкрапления областей с пониженной критической температурой, области нормального металла. Присутствие подобных дефектов изменяет пространственное распределение токов и, таким образом, влияет на формирование смешанного состояния в мезоскопических сверхпроводниках. Необходимо также учитывать важную роль дефектов в понижении симметрии сверхпроводника.

Необходимо отметить, что и в идеальных сверхпроводниках без дефектов с нарушенной аксиальной симметрией (в частности, сверхпроводниках квадратной формы) влияние граничных эффектов увеличивается по сравнению с аксиально симметричными образцами. В частности, в работе [38] было показано, что несовпадение тетрагональной симметрии сверхпроводника с симметрией решения трёхбайтового вихря (или симметрией трёхвихревой молекулы) может привести к появлению в полях близких к критическому магнитному полю появления поверхностной сверхпроводимости Нс3 сложной тетрагонально симметричной вихревой структуры, состоящей из четырех вихрей и центрально расположенного антивихря. Исследование такой необычной структуры представляет интерес в первую очередь из-за того, что образование изолированного антивихря в сильном магнитном поле энергетически невыгодно и очевидно, что основная роль в стабилизации такого сложного вихревого комплекса принадлежит симметрийным свойствам граничных эффектов. Ввиду этого, представляет интерес исследовать стабильность такого вихревого комплекса относительно нарушений идеальной тетрагональной симметрии сверхпроводника, вносимых малыми дефектами.

Мезоскопические эффекты в сверхпроводниках могут наблюдаться и в образцах макроскопического размера, находящихся в мелкомасштабном неоднородном магнитном поле. В качестве источников таких неоднородных полей удобно использовать ферромагнетики. Это могут быть ансамбли магнитных частиц малых размеров или ферромагнитные пленки с доменной структурой, которые размещены на сверхпроводящей пленке. При этом могут образовываться необычные вихревые структуры, в частности, связанные вихревые состояния. Образование вихревых молекул и многоквантовых вихрей в сверхпроводящих пленках, находящихся в неоднородном магнитном поле ферромагнитных частиц изучалось в работах [49, 50, 51, 52].

Задача о сосуществовании сверхпроводящего и магнитного порядков привлекает внимание исследователей на протяжение последних десятилетий. Можно выделить два основных механизма взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с магнитной подсистемой: электромагнитный механизм, когда куперовские пары взаимодействуют с магнитным полем индуцированным ферромагнетиком (впервые такое взаимодействие было рассмотрено В. JI. Гинзбургом в 1956 [53]); и обменное взаимодействие магнитных моментов с куперовскими парами [54, 55]. Если ферромагнетик и сверхпроводник разделены тонкой диэлектрической прослойкой, то эффект близости подавлен и единственным фактором, определяющим взаимодействие подсистем, является магнитное поле, создаваемое неоднородным распределением намагниченности в ферромагнетике.

Исследование сверхпроводящих свойств систем сверхпроводник—ферромагнетик (SF систем) также привлекает большое внимание в связи с большим потенциалом их применения в современной электронике. В частности, такие структуры рассматриваются как кандидаты на создание систем с контролируемым пиннин-гом вихрей. Увеличение тока депиннинга наблюдалось экспериментально в сверхпроводящих пленках с ансамблем магнитных наночастиц [56, 57, 58, 59, 60], перфорированной магнитной пленкой (antidots) [61] и в двухслойных SF системах с доменной структурой ферромагнитной пленки [62]. Вихревые структуры и специфика пиннинга вихрей в SF структурах в слабых полях были рассмотрены в лон-доновском приближении в работах [63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75].

Двухслойная SF система, состоящая из сверхпроводящей пленки с нанесенной на нее пленкой ферромагнетика, является весьма перспективным объектом для изучения мезоскопических эффектов в сверхпроводимости как с прикладной, так и с фундаментальной точки зрения. С одной стороны, нанести ферромагнитную пленку на сверхпроводник значительно легче, чем расположить на нем ансамблю ферромагнитных наночастиц. С другой стороны, доменная структура ферромагнитной пленки имеет масштабы, сопоставимые с длиной когерентности сверхпроводника (например, £(Т = 0) « 1500 нм для А1 [76], характерный размер домена может достигать 300 нм для магнетика Co/Pt [77]). Примером таких систем является гибридная плёночная SF структура, представляющая собой тонкую сверхпроводящую пленку с расположенной на ней пленкой ферромагнитного диэлектрика. Также часто используется металлический ферромагнетик отделенный от сверхпроводника тонкой изолирующей прослойкой.

Экспериментальные данные по изучению кривой фазового перехода таких систем в сверхпроводящее состояние в однородном внешнем магнитном поле свидетельствуют о немонотонной температурной зависимости критического магнитного поля перехода в сверхпроводящее состояние в SF структурах с двумерными доменами в с ферромагнитной пленке [77] и для SF структуры с квадратной решеткой магнитных частиц [78]. Поскольку магнитное поле подавляет сверхпроводимость, следует ожидать, что сверхпроводимость будет стремится сосредоточиться в области локальных минимумов модуля неоднородного магнитного поля. Такая ситуация может реализовываться как под доменом, где поле рассеяния ферромагнетика частично или полностью может быть скомпенсировано внешним магнитным полем, так и на доменной стенке, где магнитное поле меняет направление на противоположное. Первый сценарий может в простейшем случае описываться в рамках теории Гинзбурга-Ландау сдвигом отсчета магнитного поля. При рассмотрении же появления локализованной сверхпроводимости на доменной стенке существенным становится неоднородное распределение магнитного поля вблизи границ доменов. Ранее подобный сценарий появления локализованной сверхпроводимости рассматривался для доменных стенок в ферромагнитных сверхпроводниках, когда оказывается возможным сосуществование магнитного и сверхпроводящего упорядочения. Впервые такая возможность обсуждалась в работе [79]. В работе [80] в полуклассическом приближении исследовались условия появления локализованной сверхпроводимости на доменных стенках различного типа. При этом предполагалось, что магнитная подсистема влияет на сверхпроводящую только благодаря электромагнитному взаимодействию, в то время как обменный механизм не учитывался. Похожая ситуация была рассмотрена в работе [81] для блоховской доменной стенки в предположении, что толщина доменной стенки существенно больше длины когерентности £(Т). В работе [82] обсуждалось формирование локализованной сверхпроводимости на доменной стенке с учетом обменного взаимодействия. В недавней работе [83] в рамках линеаризованной теории Гинзбурга-Ландау была решена задача о появлении локализованного зародыша вблизи доменной стенки в ферромагнитных сверхпроводниках.

Одной из задач представляемой диссертационной работы является решение вопроса о возникновении сверхпроводимости в SF системах с доменными структурами различной геометрии в ферромагнитной пленке. Отметим, что решение этой задачи важно не только для объяснения экспериментальных кривых фазового перехода в сверхпроводящее состояние, но и для дальнейшего изучения структуры смешанного состояния в сильных полях в таких SF системах. Также эта задача представляет определённый интерес в связи с возможным управлением локализованными сверхпроводящими каналами магнитным полем.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является теоретическое исследование структуры и свойств связанных вихревых состояний, возникающих в сверхпроводниках с различным типом анизотропии, в частности, в сверхпроводниках с анизотропным (d + s)-типом спаривания, а также в мезоскопических сверхпроводниках квадратной формы с обычным s-типом спаривания и в гибридных планарных системах ферромагнетик-сверхпроводник.

Задачи.

• Исследование структуры сингулярных и несингулярных вихрей в сверхпроводниках с анизотропным (d + в)-^ипом спаривания.

• Аналитический расчет угловых зависимостей нижнего критического поля и тензора вязкости сингулярного вихря.

• Полуклассический анализ взаимного расположения нулей функции щели в корах сингулярных и несингулярных вихрей.

• Исследование структуры связанных вихревых состояний в мезоскопическом образце квадратной формы.

• Анализ особенностей на кривой намагничивания, связанных с переходами между различными вихревыми состояниями в мезоскопических сверхпроводниках квадратной формы.

• Исследование устойчивости связанной вихревой конфигурации, образованной вихрями и антивихрём по отношению к нарушениям симметрии, вызванными наличием малых дефектов.

• Исследование условия зарождения сверхпроводимости вблизи доменных стенок в двухслойной структуре сверхпроводник — ферромагнетик во внешнем магнитном поле. Расчет температурной зависимости верхнего критического поля для таких систем.

• Анализ пространственной структуры зародышей параметра порядка в гибридных структурах сверхпроводник — ферромагнетик.

Методы исследования

При решении поставленных задач использовалась феноменологическая теория Гинзбурга-Ландау, методы теории групп, методы теории возмущений, а также численные методы решения нестационарных уравнений Гинзбурга-Ландау и уравнений Шредингера.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечена оптимальным выбором физических моделей, учитывающих основные свойства исследуемых систем, и адекватным выбором методов численного моделирования.

Научная новизна

• Впервые проанализирована структура сингулярного вихря при произвольной ориентации слабого магнитного поля относительно кристаллографических осей сверхпроводника для различной степени анизотропии и рассчитаны угловые зависимости нижнего критического магнитного поля и тензора вязкости вихревой нити в сверхпроводниках с анизотропным (d + 5)-типом спаривания.

• Предсказано существование несингулярного вихря в сверхпроводнике с {d + s)— типом спаривания и исследована его структура.

• Впервые проанализировано положение нулей функции щели А (к, г) в корах сингулярных и несингулярных вихрей и показано, что при фазовом переходе от сингулярного к несингулярному вихрю происходит выталкивание нулей щели из центра вихря.

• Впервые показано, что устойчивость связанной вихревой конфигурации, образованной вихрями и антивихрями в мезоскопическом сверхпроводнике, существенным образом зависит от нарушений симметрии, вызванными наличием малых дефектов.

• Впервые получены температурные зависимости верхнего критического поля в двухслойных структурах сверхпроводник — ферромагнетик различной геометрии и исследована пространственная структура зародышей параметра порядка в таких системах.

Положения, выносимые на защиту

1) Показано, что при угле отклонения магнитного поля от главной кристаллографической оси тетрагонального сверхпроводника с (d + я)-типом спаривания на угол, превышающий критический, вшах происходит качественное изменение внутренней структуры вихревой нити: вместо связанного состояния rf-вихря, четырех s-вихрей и одного s-антивихря энергетически выгодным становится структура из d-вихря и трёх s-вихрей. Получено, что угловые зависимости нижнего критического поля Нсi и тензора вязкости сингулярного вихря в плоскости ab обладают тетрагональной симметрией.

2) Предсказано существование несингулярных вихрей в сверхпроводниках с (d + s)^гипом спаривания. Найдена область параметров теории Гинзбурга

Ландау, при которых реализуются несингулярные вихревые состояния. Показано, что несингулярные вихри обладают пониженной симметрией по сравнению с сингулярными вихрями. В рамках полуклассического подхода показано, что при переходе от сингулярного вихря к несингулярному нули сверхпроводящей щели вытесняются из кора вихря.

3) На основе численного моделирования нестационарных уравнений Гинзбурга-Ландау проведено систематическое исследование влияния внутренней перестройки вихревых решений на кривую намагниченности М(Н) мезоскопиче-ского сверхпроводника квадратной формы с дефектами. Показано, что распад двухквантового вихря и диссоциация трёхквантовой вихревой молекулы приводят к появлению скачка на зависимости dM/dH.

4) Найден размер вихревой конфигурации, состоящей из четырех вихрей и одного антивихря, существующей в чистом мезоскопическом сверхпроводнике квадратной формы в сильных полях. Исследована устойчивость такого связанного вихревого состояния и показано, что оно сильно чувствительно к наличию слабых дефектов, вызывающих нарушение тетрагональной симметрии.

5) Найдена температурная зависимость верхнего критического поля появления сверхпроводимости в гибридных структурах сверхпроводник-ферромагнетик.

Научная и практическая ценность

Результаты исследования связанных вихревых состояний (сингулярных и несингулярных вихрей) в высокотемпературных сверхпроводниках могут быть применены для анализа термодинамических и транспортных характеристик смешанного состояния в таких соединениях. Сравнение теоретических предсказаний с результатами эксперимента позволит определить феноменологические константы двухкомпонентной теории Гинзбурга-Ландау, используемой для описания свойств высокотемпературных материалов.

Проведенные исследования влияния геометрии мезоскопических образцов и роли малых дефектов, нарушающих идеальную тетрагональную симметрию образца, на структуру связанных вихревых состояний представляют интерес для интерпретации фазовой диаграммы реальных мезоскопических систем и в связи с их возможным применением в микроэлектронике.

Результаты анализа фазовой диаграммы двухслойной структуры сверхпроводник-ферромагнетик и структуры параметра порядка в таких системах важны для дальнейшего теоретического и экспериментального исследования термодинамических и транспортных характеристик подобных систем, а также возможного применения их в микроэлектронике.

Апробация работы и научные публикации

Работа выполнена в Институте физики микроструктур РАН (Нижний Новгород). Основные положения и результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на семинарах ИФМ РАН, Нижегородского Государственного Университета, Bordeaux University I (Бордо, Франция), Argonne National Laboratory (Аргон, США) и Helsinki University of Technology (Хельсинки, Финляндия), а также были представлены на Всероссийских совещаниях по физике низких температур (ФНТ-32 (2000 г.) — Казань, ФНТ-33 (2003 г.) — Екатеринбург); на международных совещаниях "Advances in High-Temperature Superconductivity", (2001 г. — Рамат-Ган, Израиль), "Quantum Transport in Mesoscopic Systems"(2002 r. — С.-Петербург), "Theory of Quantum Transport in Metallic and Hybrid Nano-structures"(2003 г. — С.-Петербург) и "Vortex Dynamics and Vortex Matter" (2003 г. — Олерон, Франция); на международной конференции "Modern Problems of Superconductivity"(2002 г. — Ялта, Украина), Нижегородских сессиях молодых ученых, (2000, 2001, 2002 гг., — Нижний Новгород).

По результатам исследований, вошедших в диссертацию, опубликовано 12 научных работ (6 статей и б тезисов докладов на российских и международных конференциях).

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка публикаций автора и списка цитируемой литературы из 132 наименований. Общий объем — 118 страниц, в диссертации приведено 32 рисунка.

Основные результаты, полученные в данной главе могут быть сформулированы следующим образом:

На основе решения линеаризованного уравнения Гинзбурга-Ландау было проведено изучение формирования сверхпроводимости в одномерном неоднородном магнитном поле, источником которого может служить ферромагнитная пленка с доменной структурой. Показано, что линия фазового перехода в сверхпроводящее состояние на плоскости Н—Т определяется конкуренцией между образованием локализованной сверхпроводимости под доменной стенкой и зарождением сверхпроводимости между ними. Найдены температурные зависимости критического поля появления локализованной сверхпроводимости для различных распределений неоднородного магнитного поля.

По результатам, полученным в этой главе, опубликованы работы (x)-(xii).

Заключение

В представленной работе рассмотрен ряд задач о структуре и свойствах связанных вихревых комплексов в сверхпроводниках с анизотропным спариванием и мезоскопических системах.

В рамках теории Гинзбурга Ландау была проанализирована структура сингулярного вихря в высокотемпературных сверхпроводниках с анизотропным (d + s)-типом спаривания для магнитного поля произвольной ориентации относительно осей кристалла. В частности, такое описание может быть применимо для соединений YBa2Cu307 и Bi2Sr2CaCu20g. Рассмотрены случаи как сильной, так и слабой пространственной анизотропии. Обнаружено качественное изменение вихревой структуры при отклонении магнитного поля от оси с на угол, превышающий критическое значение втах: при отклонении магнитного поля на угол в < втах в коре d вихря находятся четыре вихря s-компоненты и один s-антивихрь, при 9 > 9тах аннигилирует с одним из s-вихрей и в результате в коре d-вихря остаются три вихря s-компоненты.

Найденное в работе пространственное распределение компонент параметра порядка позволило найти угловые зависимости нижнего критического поля НсХ и тензора вязкости вихря, обладающие тетрагональной симметрией в базовой кристаллографической плоскости ab. Показано, что дополнительные потери, связанные с релаксацией s-компоненты сверхпроводящего параметра порядка индуцированной в коре d-вихря, приводят к увеличению вязкости вихря по сравнению с однокомпонентными сверхпроводниками.

В работе предсказано существование в высокотемпературных сверхпроводниках с s)—типом спаривания несингулярного вихревого решения, появляющегося за счет спонтанного формирования зародыша s-компоненты в центре вихревой линии. Найдена критическая температура фазового перехода второго рода от сингулярных вихрей к несингулярным. Даже в случае ориентации магнитного поля вдоль оси с несингулярные вихри в таких соединениях не обладают тетрагональной симметрией, присущей сингулярным вихрям. Также в рамках полуклассического описания продемонстрировано, что формирование зародыша s-компоненты в центре несингулярной вихревой линии должно приводить к выталкиванию нулей спектра энергии квазичастиц из кора вихря. Таким образом, повсюду в коре несингулярного вихря сверхпроводящая щель отлична от нуля, что указывает на нетривиальный спектр квазичастиц внутри несингулярных вихревых линий. Такие специфические особенности должны приводить к ряду интересных эффектов, таких как нетривиальные транспортные и термодинамические свойства вихревого состояния, анизотропия динамических характеристик в ab-плоскости, уменьшение эффекта пиннинга и т.п.

В работе рассмотрена структура различных типов вихревых решений в ме-зоскопическом сверхпроводнике квадратной формы, содержащем дефекты, и построена кривая намагничивания такой системы. Исследован характер особенностей на кривой намагничивания М(Н), появляющихся при распаде связанных вихревых состояний (вихревых молекул) и многоквантовых вихрей. Также продемонстрировано, что на кривой М(Н) присутствует скачок, не связанный с изменением числа вихрей в образце, а вызванный переориентацией двух вихрей относительно сторон квадрата. Эти результаты представляют интерес как в связи с интерпретацией экспериментальных данных, так и в связи с возможным применением мезоскопических сверхпроводников в микроэлектронике.

Также в работе исследована структура экзотического связанного вихревого состояния, состоящего из четырех вихрей и одного антивихря, являющегося аналогом трехквантового вихря в сверхпроводнике. Найден размер такого вихревого комплекса, существующего в сильных магнитных полях (Нсi < Н < Hc$) и показано, что он существенно меньше длины когерентности. Продемонстрировано, что существование связанного вихревого состояния с антивихрем крайне чувствительно к наличию дефектов малого размера, нарушающих идеальную тетрагональную симметрию сверхпроводника. Таким образом показано, что наблюдение такого вихревого образования в мезоскопических сверхпроводниках будет крайне затруднительным.

Также в работе исследовались условия зарождения локализованной сверхпроводимости на доменных границах в планарных системах сверхпроводник—ферромагнетик. Было продемонстрировано, что образование локализованных зародышей должно приводить к уширению линии сверхпроводящего перехода по температуре, что может быть наблюдаемо, например, в измерениях зависимости сопротивления от температуры. Возможны два типа температурной зависимости верхнего критического поля вблизи Тс, один из которых соответствует появлению так называемой "возвратной"сверхпроводимости. Сделанные в работе оценки показывает, что переход между этими двумя режимами вполне может быть обнаружен экспериментально. Решение задачи о критическом зародыше в планарных системах сверхпроводник—ферромагнетик позволяет не только объяснить экспериментально наблюдаемые линии фазового перехода на плоскости Н—Т, но и позволит в дальнейшем найти структуру вихревого состоянии в таких системах.

Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты ставят ряд новых задач, решение которых представляет интерес в связи с дальнейшим развитием теории смешанного состояния. В частности, можно выделить следующие задачи:

Провести анализ спектра квазичастиц в сингулярных и несингулярных вихрях. В диссертации подобный анализ был выполнен на основе простейшего полуклассического описания, которое лишь качественно описывает особенности квазичастичного спектра в коре вихревой линии. В связи с этим, представляется необходимым решить квантовомеханическую задачу о спектре квазичастиц в корах сингулярного и несингулярного вихрей. Решение этой задачи должно послужить отправной точкой для описания различных транспортных свойств смешанного состояния в высокотемпературных сверхпроводниках.

Также представляет интерес и задача о структуре смешанного состояния в высокотемпературных сверхпроводниках в сильных полях, а именно вопрос о формирование решетки вихрей из несингулярных вихрей. Такая задача может быть решена в рамках используемой в работе теории Гинзбурга-Ландау, что позволит найти линию фазового перехода от сингулярных вихрей к несингулярным во всем диапазоне магнитных полей.

Для дальнейшего исследования смешанного состояния в мезоскопических сверхпроводниках, не обладающих аксиальной симметрией, представляет интерес развитие аналитического описания структуры различных вихревых решений с учетом эффектов экранировки. В настоящей работе этот эффект не рассматривался, но очевидно, что для достаточно толстых пленок (ds ~ Л) сверхпроводников с малым значением параметра к = А/£ (в частности, к таким относится А1) важно учитывать эффекты экранирования магнитного поля.

Значительный интерес как с фундаментальной, так и практической точки зрения представляет дальнейшее исследование структуры сверхпроводящего параметра порядка в планарных системах сверхпроводник—ферромагнетик. Здесь можно выделить следующие задачи, тесно связанные с результатами полученными в работе. Во-первых, это вопрос о структуре и свойствах вихревой решетки в таких гибридных системах, что является естественным продолжением решенной в работе задачи о критическом зародыше. Также, в связи с возможностью управления положением и формой локализованных зародышей внешним магнитным полем, значительный интерес представляет и решение задачи о протекании тока вдоль локализованных сверхпроводящих каналов.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю А. С. Мельникову за искренний интерес и постоянную помощь на всех этапах работы над диссертацией; и поблагодарить всех сотрудников ИФМ РАН, совместная работа и общение с которыми сделали возможным появление настоящей диссертации, особенно И. А. Шерешев-ского — за помощь и постоянный интерес к работе; а также А. А. Андронова, А. А. Фраермана, И. М. Нефёдова, П. П. Вышеславцева, Ю. Н. Ноздрина, А. Ю. Ала-дышкина, А. С. Быстрова, В. В. Курина, И. Д. Токмана, А. В. Самохвалова и А. В. Соколова — за критические замечания и ценные советы при обсуждении результатов диссертации.

Автор выражает свою признательность И. JI. Максимову, Г. М. Максимовой и Д. Ю. Водолазову (Нижегородский государственный университет) за полезные замечания.

1. j1. В. Шубников Магнитные свойства сверхпроводящих металлов и сплавов / Л. В. Шубников, В. И. Хоткевич, Ю. д. Шепелев, Ю. Н. Рябинин // ЖЭТФ - 1937. - Т. 7. - С. 221-237.

2. Гинзбург В. Л. К теории сверхпроводимости / В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау // ЖЭТФ 1950. - Т. 20. - С. 1064.

3. Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ 1957. - Т. 32. - С. 1442-1452.

4. Sigrist М. Phenomenological theory of unconventional superconductivity / M. Sig-rist and K. Ueda // Rev. Mod. Phys. 1991. - Vol. 63. P. 239-311.

5. Овчинников С. Г. Экзотическая сверхпроводимость и магнетизм в рутенатах / УФН 2003. - Т. 173. - С. 27-50.

6. Tsuei С. С. Pairing symmetry in cuprate superconductors / С. С. Tsuei and J. R. Kirtley // Rev. Mod. Phys. 2000. - Vol. 72. - C. 969-1016.

7. Van Harlingen D. J. Phase-sensitive tests of the symmetry of the pairing state in the high-temperature superconductors — Evidence for dx2y2 symmetry // Rev. Mod. Phys. 1995. - Vol. 67. - P. 515-535.

8. Минеев В. П., Самохин К. В. Введение в теорию необычной сверхпроводимости // М.: Издательство МФТИ 1998.

9. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика, часть II. Теория конденсированного состояния // М.: Наука 2002.

10. Максимов Е. Г. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Современное состояние // УФН 2000. - Т. 170. - С. 1033-1061.

11. Гинзбург В. jl Сверхпроводимость: позавчера, вчера, сегодня, завтра // УФН- 2000. Т. 170. - С. 620-630.

12. Berlinsky A. J. Ginzburg-Landau Theory of Vortices in d-Wave Superconductors / A. J. Berlinsky, A. L. Fetter, M. Franz, C. Kallin, and P. I. Soininen // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 2200-2203.

13. Franz M. Vortex state in a d-wave superconductor, M. Franz, C. Kallin, P. I. Soininen, A. J. Berlinsky, and A. L. Fetter // Phys. Rev. В 1996. - Vol. 53. -P. 5795-5814.

14. Heeb R. Vortices in d-wave superconductors / R. Heeb, A. van Otterlo, M. Sigrist, and G. Blatter // Phys. Rev. В 1996. - Vol. 54. - P. 9385-9398.

15. Tokuyasu T. A. Vortex states in an unconventional superconductor and the mixed phases ofUPt3 / T. A. Tokuyasu, D. W. Hess, and J. A. Sauls // Phys. Rev. В1990. Vol. 41. -P. 8891-8903.

16. Бараш Ю. С. Структура вихрей в экзотических сверхпроводниках вблизи нижнего критического поля / Ю. С. Бараш, А. С. Мельников // ЖЭТФ1991. Т. 100. - С. 307-322.

17. Воловик Г. Е. Сверхтекучие свойства А-фазы Не3 // УФН 1984 - Т. 143. -С. 73-109.

18. Luk'yanchuk I. A. Magnetic properties of unconventional superconductors / I. A. Luk'yanchuk and M. E. Zhitomirsky // Superconductivity Review 1995. - Vol. 1.- P. 207.

19. Плакида H. M. Высокотемпературные сверхпроводники // M.: Международная программа образования 1996.

20. Vicente Alvarez J. J. Vortex structure in d-wave superconductors / J. J. Vicente Alvarez, C. A. Balseiro, and G. C. Buscaglia // Phys. Rev. В 1998. - Vol. 58. -P. 11181-11184.

21. Thuneberg E. V. Identification of vortices in superfiuid 3B // Phys. Rev. Lett. -1986. Vol. 56. - P. 359-362.

22. Salomaa M. M. Vortices with spontaneously broken axisymmetry in 3He-B / M. M. Salomaa and G. E. Volovik // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56. - P. 363-366.

23. Salomaa M. M. Exotic states in the cores of quantised vortices for superfiuids and superconductors / M. M. Salomaa and G. E. Volovik J j J. Phys.: Cond. Matt. -1989. Vol. 1. - P. 277-288.

24. Sigrist M. Fractional Vortices as Evidence of Time-Reversal Symmetry Breaking in High-Temperature Superconductors j M. Sigrist, D. B. Bailey, and R. B. Laughlin // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. -P. 3249-3252.

25. Baelus B.J. Dependence of the vortex configuration on the geometry of mes oscopic fiat samples / B. J. Baelus and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 2002. - Vol. 65. -P. 104515-1-104515-12.

26. Fink H. J. Magnetic Irreversible Solution of the Ginzburg-Landau Equations / H. J. Fink and A. G. Presson // Phys. Rev. 1966. - Vol. 151. - P. 219-228.

27. Fink H. J. Superheating of the Meissner State and the Giant Vortex State of a Cylinder of Finite Extent / H. J. Fink and A. G. Presson // Phys. Rev. 1968. -Vol. 168. - P. 399-402.

28. Geim A. K. Phase transitions in individual sub-micrometre superconductors / A. K. Geim, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, K. S. Novoselov, F. M. Peeters, V. A. Schweigert // Nature 1997. - Vol. 390. - P. 259-262.

29. Singha Deo P. Magnetization of Mesoscopic Superconducting Disks / P. Singha Deo, V. A. Schweigert, F. M. Peeters, A. K. Geim // Phys. Rev. Lett. 1997. -Vol. 79. - P. 4653-4656.

30. Schweigert V. A. Phase transitions in thin mesoscopic superconducting disks / V. A. Schweigert and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 1998. - Vol. 57. - P. 1381713832.

31. Schweigert V. A. Vortex Phase Diagram for Mesoscopic Superconducting Disks / V. A. Schweigert, F. M. Peeters, and P. Singha Deo // Phys. Rev. Lett. 1998. -Vol. 81. - P. 2783-2786.

32. Geim A. K. Fine Structure in Magnetization of Individual Fluxoid States / A. K. Geim, S. V. Dubonos, J. J. Palacios, I. V. Grigorieva, M. Henini, J. J. Schermer // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1528-1531.

33. Yampolskii S. V. Vortex structure of thin mesoscopic disks with enhanced surface superconductivity / S. V. Yampolskii and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 2000. -Vol. 62. - P. 9663-9674.

34. Hakim V. Giant vortices in the Ginzburg-Landau description of superconductivity / V. Hakim, A. Lemaitre, and K. Mallick // Phys. Rev. В 2001. - Vol. 64. -P. 134512-1-134512-15.

35. Saint-James D. Onset of superconductivity in decreasing fields / D. Saint-James, P. G. Gennes // Physics Letters 1963. - Vol. 7. - P. 306-308.

36. Saint-James D. Etude du champ critique Hc3 dans une geometrie cylindrique // Physics Letters 1965. - Vol. 15. - P. 13-15.

37. Bruyndoncx V. Giant vortex state in perforated aluminum microsquares / V. Bruyndoncx, J. G. Rodrigo, T. Puig, L. Van Look, V. V. Moshchalkov, R. Jonckheere // Phys. Rev. В 1999. - Vol. 60. - P. 4285-4292.

38. Chibotaru L. F. Symmetry-induced formation of antivortices in mesoscopic superconductors / L. F. Chibotaru, A. Ceulemans, A. V. Bruyndoncx, V. V. Moshchalkov // Nature 200. - Vol. 408. - P. 833-835.

39. Morelle M. Critical temperature oscillations in magnetically coupled superconducting mesoscopic loops / M. Morelle, V. Bruyndoncx, R. Jonckheere, and V. V. Moshchalkov // Phys. Rev. В 2001. - Vol. 64. - P. 064516-1-064516-7.

40. Palacios J. J. Effective lowest Landau level treatment of demagnetization in superconducting mesoscopic disks / J. J. Palacios, F. M. Peeters, and B. J. Baelus // Phys. Rev. В 2001. - Vol. 64. - P. 134514-1-134514-6.

41. Little W. A. Observation of quantum periodicity in the transition temperature of a superconducting cylinder j W. A. Little and R. D. Parks // Phys. Rev. Lett. -1962. Vol. 9. - P. 9-12.

42. McLachlan D. S. Quantum Oscillations in the Susceptibility of a Superconducting Tin Microcylinder // Phys. Rev. Lett. 1969. - Vol. 23. - P. 1434-1437.

43. Palacios J. J. Vortex matter in superconducting mesoscopic disks: Structure, magnetization, and phase transitions j j Phys. Rev. В 1998. - Vol. 58. - P. 5948-5951.

44. Palacios J. J. Metastability and paramagnetism in superconducting mesoscopicdisks // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 1796-1799.

45. Akkermans E. Mesoscopic superconductors in the London limit: Equilibrium properties and metastability / E. Akkermans, D. M. Gangardt, and K. Mallick 11 Phys. Rev. В 2001. - Vol. 63. - P. 064523-1-064523-15.

46. Zharkov G. F. Paramagnetic Meissner effect in superconductors from self-consistent solution of Ginzburg-Landau equations // Phys. Rev. В 2001. - Vol. 63.ф -P. 214502-1-214502-7.

47. Baelus B. J. Saddle-point and energy barriers for vortex entrance and exit in superconducting disks and rings / B. J. Baelus, F. M. Peeters, and V. A. Schweigert I/ Phys. Rev. В 2001. - Vol. 63. - P. 144517-1-144517-12.

48. Marmorkos I. K. Vortex structure around a magnetic dot in planar superconductors / I. K. Marmorkos, A. Matulis, and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 1996. -Vol. 53. - P. 2677-2685.

49. Milosevic M. V. Vortex structure of thin mesoscopic disks in the presence of an inhomogeneous magnetic Geld / M. V. Milosevic, S. V. Yampolskii, and F. M.

50. Peeters // Phys. Rev. В 2002. - Vol. 66. - P. 024515-1-024515-19.

51. Milosevic M. V. Superconducting Wigner vortex molecule near a magnetic disk / M. V. Milosevic and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 2003. - Vol. 68. - P. 0245091-024509-4.

52. Aladyshkin A. Yu. The Little-Parks effect and multiquanta vortices in a hybrid superconductor-ferromagnet system / A. Yu. Aladyshkin, A. S. Mel'nikov and D. A. Ryzhov //J. Phys.: Condens. Matter 2003. - Vol. 15. - P. 6591-6597.

53. Гинзбург В. JI. Ферромагнитные сверхпроводники // ЖЭТФ 1956. - Т. 31. - С. 202-210.

54. Буздин А. И. Существование сверхпроводящих стенок в ферромагнетике / А. И. Буздин, Л. Н. Булаевский, С. В. Панюков // ЖЭТФ 1984. - Т. 87.1. C. 299-309.

55. Bulaevskii L. N. Coexistence of superconductivity and magnetism. Theoretical predictions and numerical results / L. N. Bulaevskii, A. I. Buzdin, M. L. Kulic, S. V. Panyukov // Advances in Physics 1985. - Vol. 34. - P. 175-261.

56. J. I. Martin, M. Velez, J. Nog^s, and I. K. Schuller, Flux Pinning in a Superconductor by an Array of Submicrometer Magnetic Dots, Phys. Rev. Lett., Vol 79, N. 10, 1929-1932 (1997);

57. Martin J. I. Artificially Induced Reconfiguration of the Vortex Lattice by Arrays of Magnetic Dots / J. I. Martin, M. Velez, A. Hoffmann, I. K. Schuller, and J. L. Vicent // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 1022-1025.

58. Morgan D. J. Asymmetric Flux Pinning in a Regular Array of Magnetic Dipoles /

59. D. J. Morgan, and J. B. Ketterson // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80. - P. 36143617.

60. Van Bael M. J. Magnetic properties of submicron Co islands and their use as artificiai pinning centers / M. J. Van Bael, K. Temst, V. V. Moshchalkov, and Y. Bruynseraede // Phys. Rev. В 1999. - Vol. 59. - P. 14674-14679.

61. Van Bael M. J. Ferromagnetic pinning arrays / M. J. Van Bael, L. Van Look, M. Lange, J. Bekaert, S. J. Bending, A. N. Grigorenko, V. V. Moshchalkov, Y. Bruynseraede // Physica С 2002. - Vol. 369. - P. 97-105.

62. Van Bael M. J. Magnetic domains and вих pinning properties of a nanostructured ferromagnet/superconductor bilayer / M. J. Van Bael, S. Raedts, K. Temst, J. Swerts, V. V. Moshchalkov, and Y. Bruynseraede //J. Appl. Phys. 2002. -Vol. 92. - P. 4531-4537.

63. Garsia-Santiago A. Enhanced pinning in a magnetic-superconducting bilayer j

64. A. Garsia-Santiago, F. Sanchez, V. Varela, J. Tejada // J. Appl. Phys. 2000. -Vol. 77. - P. 2900-2902.

65. Сонин Э. Б. Подавление сверхпроводимости (слабая связь) доменной стенкой в двухслойной пленке сверхпроводник-ферромагнетик // Письма в ЖТФ -1988. Т. 14. - С. 1640-1644.

66. Tokman I. D. Pinning of a vortex lattice on magnetic inbomogeneities in a thin superconducting Sim (type-II superconductor) j j Phys. Lett. A 1992. - Vol. 166.- P. 412-415.

67. Lyuksyutov I. F. Magnetization Controlled Superconductivity in a Film with Magnetic Dots / I. F. Lyuksyutov and V. L. Pokrovsky // Phys. Rev. Lett. -1998. Vol. 81. - P. 2344-2347.

68. Sai>ik R. Enhanced pinning of vortices in thin Sim superconductors by magnetic dot arrays / R. Sasik, T. Hwa, Preprint cond-mat/0003462 2000.

69. Bulaevsky L. N. Magnetic pinning in superconductor-ferromagnet multilayers / L. N. Bulaevsky, E. M. Chudnovsky, and M. P. Maley j j Appl. Phys. Lett. 2000.- Vol. 76. P. 2594.

70. Беспятых Ю. И. Возникновение спонтанной структуры вихрей в двухслойной системе ферромагнетик-сверхпроводник второго рода / Ю. И. Беспятых,

71. B. Василевский // Физика Твердого Тела 2001. - Т. 43. - С. 215-221.

72. Беспятых Ю. И. Закрепление вихрей на доменной структуре в двухслойной системе ферромагнетик-сверхпроводник второго рода / Ю. И. Беспятых, В. Василевский, М. Гайдек, И. П. Никитин, С. А. Никитов // Физика Твердого Тела 2001. - Т. 43. - С. 1754-1760.

73. Erdin S. Topological Textures in a Ferromagnet-Superconductor Bilayer / S. Erdin, I. F. Lyuksyutov, V. L. Pokrovsky, and V. M. Vinokur // Phys. Rev. Lett. 2002.- Vol. 88. C. 017001-1-017001-4.

74. Erdin S. Interaction of mesoscopic magnetic textures with superconductors / S. Erdin, A. F. Kayali, I. F. Lyuksyutov and V. L. Pokrovsky // Phys. Rev. В- 2002. Vol. 66. - C. 014414-1-014414-7.

75. Helseth L. E. Interaction between superconducting films and magnetic nanostruc-tures // Phys. Rev. В 2002. - Vol. 66. - P. 104508-1-104508-6 (2002).

76. Milosevic M. V. The Vortex-Magnetic Dipole Interaction in the London Approximation / M. V. Milosevic, S. V. Yampolskii, and F. M. Peeters //J. Low Temp. Phys. 2003. - Vol. 130. - P. 321-331.

77. Laiho R. Penetration of vortices into the ferromagnet/type-II superconductor bilayer / R. Laiho, E. Lahderanta, E. B. Sonin, and К. B. Traito // Phys. Rev. В- 2003. Vol. 67. - P. 144522-1-144522-7.

78. Физические величины. Справочник / под ред. И. С. Григорьева и Е. 3. Мей-лихова // М.: Энергоатомиздат 1991.

79. Lange М. Phase diagram of a superconductor/ferromagnet bilayer / M. Lange, M. J. Van Bael, and V. V. Moshchalkov 11 Phys. Rev. В 2003. - Vol. 68. -P. 174522-1-174522-6.

80. Lange M. Nanoengineered Magnetic-Field-Induced Superconductivity / M. Lange, M. J. Van Bael, Y. Bruynseraede, and V. V. Moshchalkov // Phys. Rev. Lett. -2003. Vol. 90. - P. 197006-1-197006-4.

81. Matthias В. T. Possible Explanation of the "Coexistence"of Ferromagnetism and Superconductivity / В. T. Matthias and H. Suhl 11 Phys. Rev. Lett. 1960. -Vol. 4. - P. 51-52.

82. Копаев Ю. В. Возможность существования сверхпроводимости в ферромагнитных материалах, обладающих доменной структурой // Физика Твердого Тела 1965. - Т. 7. - С. 2907-2911.

83. Tachiki М. Superconducting bloch-wall in ferromagnetic superconductors / M. Ta-chiki, A. Kotani, H. Matsumoto, H. Umezawa // Solid St. Commun. 1979. -Vol. 32. - P. 599-602.

84. Kulic M. L. Importance of RKKY exchange interaction in the formation of a supercon-ducting Bloch wall // Phys. Lett. 1981. - Vol. 83A. - P. 46-48.

85. Buzdin A. I. Domain wall superconductivity in ferromagnetic superconductors / A. I. Buzdin and A. S. Mel'nikov // Phys. Rev. В 2003. - Vol. 67. - P. 0205031-020503-4.

86. Achkir D. Temperature dependence of the in-plane penetration depth of YBa2Cu306.95 and YBa2(Си0.д985Епо.оо15)зОб.95 crystals from T toT2 / D. Achkir,

87. M. Poirier, D. A. Bonn, Ruixing Liang, and W. N. Hardy // Phys. Rev. В 1993. - Vol. 48. - P. 13184-13187.

88. Bidinosti C. P. Magnetic Field Dependence of lambda in УВа2Си30е.95: Results as a Function of Temperature and Field Orientation / C. P. Bidinosti, W. N. Hardy, D. A. Bonn, and Ruixing Liang // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 3277-3280 (1999).

89. Wright D. A. Low temperature specific heat of YBa^Cu^Oj-s, 0 < 6 < 0.2: evidence ford-wave pairing / D. A. Wright, J. P. Emerson, B. F. Woodfield, J. E. Gordon, R. A. Fisher, and N. E. Phillips // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82. -P. 1550-1553.

90. Воловик Г. E. Сверхпроводящие классы в системах с тяжелыми фермионами / Г. Е. Воловик, Л. П. Горьков // ЖЭТФ 1985. - Т. 88. - С. 1412-1428.

91. Volovik G. Е. Superconductivity with lines of gap nodes: density of states in the vortex // Письма в ЖЭТФ 1993. - Т. 58. - С. 457-461.

92. Wollman D. A. Evidence for dx2y2 Pairing from the Magnetic Field Modulation of УВа^СщОтРЬ Josephson Junctions j D. A. Wollman, D. J. Van Harlingen,

93. J. Giapintzakis, and D. M. Ginsberg // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. -P. 797-800.t,

94. Brawner D. A. Evidence for a non-s-wave superconducting order parameter in УВа2Си306.6 with Tc=60 К / D. A. Brawner, H. R. Ott // Phys. Rev. В 1996.- Vol. 53. P. 8249-8252.

95. Sun A. G. Observation of Josephson pair tunneling between a high-Tc cuprate (YBa2Cu307s) and a conventional superconductor (Pb) / A. G. Sun, D. A.

96. Gajewski, M. B. Maple, R. C. Dynes // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72.1. P. 2267-2270.

97. Ф 99. Kouznetsov K. A. c-axis Josephson Tunneling between YBa2Cu307s and Pb:

98. Kashiwaya Satoshi Tunnelling effects on surface bound states in unconventional superconductors / Satoshi Kashiwaya and Yukio Tanaka // Reports on Progress in Physics 2000. - Vol. 63. - P. 1641-1724.

99. Tsuei С. C. Pairing Symmetry and Flux Quantization in a Tricrystal Supercon-♦ ducting Ring of YBa^CusO?^ / С. C. Tsuei, J. R. Kirtley, С. C. Chi, Lock See

100. Yu-Jahnes, A. Gupta, T. Shaw, J. Z. Sun, and M. B. Ketchen // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - P. 593-596.

101. Kelley R. J. Superconducting gap and order parameter in Bi2Sr2CaCu2Og+x / R. J. Kelley, Jian Ma, C. Quitmann, G. Margaritondo, M. Onellion // Phys. Rev. В 1994. - Vol. 50. - P. 590-593.

102. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов // М.: Наука 1984.

103. Bulaevskii L. N. Vortices in layered superconductors with Josephson coupling / L. N. Bulaevskii, M. Ledvij, and V. G. Kogan 11 Phys. Rev. В 1992. - Vol. 46. -P. 366-380.

104. Chang D. Static and dynamical anisotropy effects in the mixed state of d-wave superconductors / D. Chang, C.-Y. Мои, В. Rosenstein, and C. L. Wu // Phys. Rev. В 1998. - Vol. 57. - P. 7955-7969.

105. Li Q. Vortex structure for a d+is-wave superconductor / Q. Li, Z. D. Wang, and Q.-H. Wang II Phys. Rev. В 1999. - Vol. 59. - P. 613-618.

106. Afleck I. Generalized London free energy for high-Tc vortex lattices j I. Afleck, M. Franz, and M. H. S. Amin // Phys. Rev. В 1997. - Vol. 55. - P. 704-707.

107. Clem J. R. Simple Model for the vortex core in a type II superconductor // J. Low Temp. Phys. 1975. - Vol. 18. - P. 427-434.

108. Wang Q. Simulating the time-dependent dx2y2 Ginzburg-Landau equations using the finite-element method / Q. Wang, Z. D. Wang // Phys. Rev. В 1996. - Vol. 54.- P. 15645-15648.

109. Feinberg D. Theory of tilted vortex lattice in Josephson-coupled layered superconductors // Physica С 1992. - Vol. 46. - P. 126-140.

110. Горькое JI. П. Движение вихрей и электросопротивление сверхпроводников второго рода в магнитном поле / Л. П. Горьков, Н. Б. Копнин // УФН 1975.- Т. 116. С. 413-448 (1975).

111. Генкин Г. М. Движение абрикосовских вихрей в анизотропных сверхпроводниках / Г. М. Генкин, А. С. Мельников // ЖЭТФ 1989. - Т. 95. - С. 2170-2174.

112. Ivlev В. I. Flux-Bow conductivity in anisotropic and layered high-Tc superconductors / В. I. Ivlev, N. B. Kopnin // Europhys. Lett. 1991. - Vol. 15. - P. 349-354.

113. Kirtley J. R. Distribution of magnetic ffux in high-Tc grain-boundary junctions enclosing hexagonal and triangular areas / J. R. Kirtley, P. Chaudhari, M. B. Ketchen, N. Khare, Shawn-Yu Lin, T. Shaw // Phys. Rev. В 1995. - Vol. 51. -P. 12057-12060.

114. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория) // М.: Наука, 2002.

115. Hoogenboom В. W. Shape and motion of vortex cores in Bi2Sr2CaCu2 Os+s / B. W. Hoogenboom, M. Kugler, B. Revaz, I. Maggio-Aprile, and O. Fischer // Phys. Rev. В 2000. - Vol. 62. - P. 9179-9185.

116. Bonca J. Phase transitions in the mesoscopic superconducting square / J. Bonca and V. V. Kabanov // Phys. Rev. В 2002. - Vol. 65. - P. 012509-1-012509-4.

117. Chibotaru L. F. Vortex Entry and Nucleation of Antivortices in a Mesoscopic Superconducting Triangle / L. F. Chibotaru, A. Ceulemans, V. Bruyndoncx, and V. V. Moshchalkov 11 Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 1323-1326.

118. Zeper W. B. Perpendicular magnetic anisotropy and magneto-optical Kerr effect of vapor-deposited Co/Pt-layered structures / W. B. Zeper, F. J. A. Greidanus, P. F. Garcia, and C. R. Fisher //J. Appl. Phys. 1989. - Vol. 65. - P. 4971-4975.

119. Сан-Жам Д., Сарма Г., Томас Е. Сверхпроводимость II рода // М.: Мир -1970.

120. Cheng S.-L. Upper critical field Hc3 for a thin-film superconductor with a ferromagnetic dot / S.-L. Cheng and H. A. Fertig // Phys. Rev. В 1999. - Vol. 60. - P. 13107-13111.

121. Ibrahim I. S. Two-dimensional electrons in lateral magnetic superlattices / I. S. Ibrahim and F. M. Peeters // Phys. Rev. В 1995. - Vol. 52. - P. 17321-17334.

122. Peeters F. M. Quantum transport of a two-dimensional electron gas in a spatially modulated magnetic field / F. M. Peeters and P. Vasilopoulos // Phys. Rev. В -1993. Vol. 47. - P. 1466-1473.

123. Reijniers J. Snake orbits and related magnetic edge states / J. Reijniers and F. M. Peeters // J. Phys.: Cond. Matt. 2000. - Vol. 12. - P. 9771-9786.

124. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Сти-ган // М.: Наука 1979.

125. Watts-Tobin R. J. Nonequilibrium theory of dirty, current-carrying superconductors: Phase-slip oscillators in narrow filaments near Tc / R. J. Watts-Tobin, Y. Krahenbuhl, and L. Kramer // J. Low. Temp. Phys. 1981. - Vol. 42. - P. 459501.

126. Горьков JI. П. Обобщение уравнений теории Гинзбурга-Ландау для нестационарных задач в случае сплавов с парамагнитными примесями /Л. П. Горьков, Г. М. Элиашберг // ЖЭТФ 1968. - Т. 54. - С. 612-626.

127. Lee К. H. Quantized voltage plateaus in Josephson-junction arrays: A numerical study / К. H. Lee and D. Stroud // Phys. Rev. В 1991. - Vol. 43. - P. 5280-5286.

128. Shereshevskii I. A. A Finite dimensional analog of the Krein formula // Journal of Nonlinear Mathematical Physics 2001. - Vol. 8. - P. 446-457.