Строение конечной группы и арифметические свойства ее неприводимых представлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На^равах ру^рписи

004603819

Чанков Евгений Игоревич

Строение конечной группы

и арифметические свойства ее неприводимых представлений

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль • 2010

1 о ИЮН 2010

004603819

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Казарин Лев Сергеевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Струнков Сергей Петрович.

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев Анатолий Семенович.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится 25 июня 2010 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова но адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, аудитория 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Автореферат разослан мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Яблокова С- И.

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Представление группы G не имеет кратностсй, если оно разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностя-ми, не превосходящими единицы. Группы, в которых любой элемент сопряжен со своим обратным, называются вещественными.

Просто приводимыми группами называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей. Будем говорить, что G является «STi-группой, если группа просто приводима (от английского "simply гейисМё', то есть апросто приводимал").

Определение SH-группы было предложено лауреатом Нобелевской премии по физике Ю. Вигнером [13]. Условия для определения этого класса групп сформулированы исходя из физических соображений. Например, отсутствие кратностей в произведении неприводимых представлений позволяет определить коэффициенты Клебша-Гордана с точностью до фазового множителя [8].

В работе [13] Ю. Вигнер показал, что для произвольной конечной группы G справедливо следующее неравенство

где |М| — мощность множества М, у/д = {ж 6 С? | ж2 = у}, Сс{д) — централизатор элемента д. Конечная группа С является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство.

В работе С.П. Струпкова [7] отмечено, что необходимость изучения 5Л-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики. В Коуровской тетради С.П. Струн-ковым был поставлен следующий вопрос (см. [6], вопрос 11.94):

Будут ли конечные 5Я-группы разрешимы?

В приложении «Нерешенные задачи» книги [5] А.И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о й'Я-группах:

Как выразить в общем принадлежность к ¿'/¿-классу в терминах структурных свойств группы?

(1)

дес

g£G

В работе Л.С. Казарина и В.В. Янишевского [4] получены важные продвижения в проблеме разрешимости конечных просто приводимых групп. Ими был предложен новый класс групп, который включает в себя класс SR-групп. Группа G называется AS-R-группой (от английского "almost simply reducible, то есть "почти просто приводимая1')., если тензорный квадрат любого неприводимого представления G не имеет кратпостей. Очевидно, что любая ^/¿-группа является .Д^Д-группой. Обратное (см. [4]), вообще говоря, неверно.

В [4] проблема разрешимости конечных ASTf-rpynn сведена к следующей ситуации. Конечная неразрешимая Л5Л-группа существует тогда и только тогда, когда таковой является группа G < Aut(N), где N — прямое произведение простых неабелевьгх групп, каждая из которых изоморфна знакопеременной группе (или Ав) viG/N разрешима. Эта группа представляет собой минимальный контрпример к гипотезе о разрешимости конечных ASR-групп.

Отметим связь S/¿-групп с симметричными схемами отношений (определение см. в книге [1]). На эту связь указал Макки [10], но во время опубликования его работы терминология схем отношений еще не была разработана. Пусть Н — конечная группа. Определим группу G = II х Я х Н и ее диагональную подгруппу К = {(/г., h, h) | h G II}. Пусть группа G действует сдвигами на множестве смежных классов Я = G/K, Схема отношений определяемая действием G на О х fi является коммутативной и симметричной тогда и только тогда, когда Н — просто приводимая группа.

В диссертации также изучалось строение конечных р-групп с ограничением на число их неприводимых представлений. Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных групп порядка 29 уже более 10 миллионов. Поэтому для изучения и детального описания какого-либо класса р-групп зачастую требуется формулировать в определении этого класса дополнительные ограничения.

Для конечной группа G через n(G) обозначается число нелинейных представлений группы G. Группы с ограничением на число нелинейных неприводимых представлений начал изучать Г. Зейц [12]. Он определил группы G, у которых n(G) — 1. С. Хансен и Дж. Нильсен [9], а также П. Палфи [11] описали случай n(G) — 2. Список конечных ненильпотентных групп, с ограничением n(G) < 5, был получен Я.Г. Берковичем в работах [2,3].

Цель работы.

Исследование строения конечных SR-rpyua и строения конечных

р-групп с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров.

Методы работы.

В диссертации используются методы доказательств теории конечных групп, теории групп перестановок и теории характеров конечных групп.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Получен окончательный положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных 5Д-групп. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса Л5Л и Лб'Л'-групп. Тем самым, из работы [4] и настоящей работы следует положительное решение вопроса 11.94 Коуровской тетради, [6].

2. Найдено строение конечных сверхразрешимых б'Я-групп.

3. Определено строение конечных р-групп, у которых не более б нелинейных неприводимых характеров.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 32-ой научной студенческой конференции (Ярославль, 2004), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения III» (Ярославль, 2005), на международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр» посвященной 100-летию со дня рождения С.А. Чунихина (Гомель, Беларусь, 2005), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения IV» (Ярославль, 2006), на международной конференции «Математика. Кибернетика. Информатика.» памяти А.Ю. Левина (Ярославль,2008), на международной конференции «Некоммутативный гармонический анализ, теория представлений групп и квантование» (Тамбов, 2009), на международной конференции «Дискретная математика, алгебра и их приложения» (Минск, Беларусь, 2009).

Публикация результатов.

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 2 статьи в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 3 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Казарин Л.С., Чанков Е.И.).

Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав (28 параграфов), заключения и списка литературы из 44 наименований. Текст диссертации изложен на 96 страницах.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации.

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа. Формулы и таблицы имеют сквозную внутри всей диссертации нумерацию.

Глава 1. Введение

Во введении обосновывается актуальность проблемы, делается постановка задачи, приводится краткий обзор уже известных результатов. Далее следует содержание диссертации, а также обзор полученных в ней результатов.

Глава 2. Предварительные сведения

Глава носит вспомогательный характер. В ней формулируются основные определения и результаты, используемые в диссертации. В параграфе 2.1 изложены сведения теоретико-группового характера.

В §2.2 приводятся сведения из теории представлений и теории характеров. Вводится понятие индуцированного характера, подстановочного представления и его характера. Формулируется закон взаимности Фробениуса. Приводятся основные формулировки теории Клиффорда.

В §2.3 приводится доказательство неравенства Вигнера, предложенное Макки [10]. Для изложении идей Макки используется современная терминология (конечные пары Гельфанда).

В параграфе 2.4 представлены два важных свойства А^-К-груип — факторгруппа АЗ'Я-группы является А5Я-группой и полиномиальная оценка порядка А£>Н-группы ее классовым числом. В связи с этим предложена конструкция, позволяющая для произвольной наперед заданной группы (7 и сколь угодно малого положительного е построить такую группу © и ее нормальную подгруппу Я, для которых б ~ в/Ы и к{&) > |®|1-е.

Глава 3. Разрешимость конечных Л£Л-групп

В этой главе получено положительное решение гипотезы о разрешимости конечных Л.5К-групп.

Теорема 3.1.2. Пусть С — конечная ЛБЯ-группа. Тогда С разрешима.

Из утверждения этой теоремы непосредственно получаем

Следствие 3.1.3. Пусть (3 — конечная БЯ-группа. Тогда б разрешима.

Можно рассматривать и другое обобщение ЗЯ-групп, полагая отсутствие кратпостей у тензорного произведение неприводимого представления с его дуальным представлением. Группа (7 называется Лй1/¿'-группой, если для любого неприводимого представления р группы £7, тензорное произведение представлений р и его дуального р* не имеет кратпостей.

Теорема 3.1.5. Пусть С — конечная Л5Я'-группа. Тогда С? разрешима.

Утверждения теорем 3.1.2 и 3.1.5 позволяют сформулировать следующее свойство неприводимых характеров неразрешимых групп.

Следствие 3.1.6. Пусть С, — конечная неразрешимая группа. Тогда найдутся такие, не обязательно различные, неприводимые характеры х> Ф, 'Ф, С группы б, что скалярные произведения [Х\Ф] > 1 и [фф,$ > 1.

Для бесконечных групп свойство разрешимости Л5Д-групп перестает быть справедливым, как показывает следующее замечание.

Замечание 1. Для бесконечных групп утверждение теоремы 3.1.2 неверно, так как трехмерная группа вращений 0(3) является БЯ-группой /7/.

План изложения главы 3 следующий. В §3.2 представлены необходимые предварительные сведения, касающиеся характеров групп Л5 и Л6, а также некоторые сведения о группах перестановок и теории представлений. В параграфе 3.3 обсуждается строение минимального контрпримера и зафиксированы используемые в дальнейшем обозначения. Доказательство теоремы 3.1.2 состоит из двух частей в зависимости от строения неабелевых факторов минимального контрпримера. В параграфе 3.4 рассматривается случай, когда у ЛЛ'Л-группы есть композиционный фактор, изоморфный л5. Соответственно, в §3.5 содержится анализ случая с композиционпым фактором Лб- В параграфе 3.6 изложено доказательство теоремы 3.1.5 о разрешимости конечных Л5Д'-групп.

Глава 4. Строение копечных сверхразрешимых S R-групп

В данной главе определено строение конечных сверхразрешимых SR-групп, представленное в теоремах 4.1.2 и 4.1.4. В 4.1 сформулированы основные результаты этой главы. Необходимые предварительные сведения приведены в параграфе 4.2. В параграфах 4.3 и 4.4 изложены доказательства теоремы 4.1.2 и теоремы 4.1.4.

Пусть р — это простое число. Напомним, что р'-группой называется группа, порядок которой взаимпопрост с р. Подгруппа Н, группы G, называется р'-холловой, если H — это р' группа, а факторгруппа G/H является р-группой.

Теорема 4.1.2. Пусть G — конечная сверхразрешимая просто приводимая группа, тогда 2'-холлова подгруппа группы G абелева.

Теорема 4.1.4. Пусть G — конечная сверхразрешимая просто приводимая группа и S — 2-силовская подгруппа группы G, тогда

GmS)^D(A1)x---xD(Am),

где m — это целое неотрицательное число и D(Aj) — обобщенные диэдральные группы с абелевыми группами А, нечетного порядка.

Таким образом, строение конечной сверхразрешимой 5Л-группы в значительной степени определяется ее 2-силовской подгруппой. Пусть S — произвольная просто приводимая 2-группа. Тогда группа S х С2 является 2-силовской подгруппой сверхразрешимой SR-группы G = D(A) х S. Но не всякая просто приводимая 2-группа реализуется в качестве 2-силовской подгруппы непримарной сверхразрешимой SR-группы. Доказательство этого утверждения представлено параграфе 4.5.

Глава 5. Некоторые классы ASR и SR-групп

В главе 3 была доказана разрешимость конечных Ай'Д-групп. Естественно рассмотреть строение некоторых конкретных классов таких групп. Основные результаты этой главы, представленные в параграфе 5.1.

Теорема 5.1.1. Если G — ASR-группа нечетного порядка, то G абелева.

Из утверждения этой теоремы может быть получено следующее

Следствие 5.1.2. Пусть G - неабелева группа нечетного порядка. Тогда существуют такие неприводимые характеры х и Ф группы G, что их скалярное произведение [х2,Ф\ > 1-

Замечание 2. Отметим, что если у группы G характер %Х не имеет кратностей для любого х £ Irri (G), то G может быть неа-белевой группой нечетного порядка. Пример — экстраспециальная

р-группа. Отсюда получается определенное различие между АБИ и АвИ! группами.

Теорему абелевости Л5Д-групп нечетного порядка можно усилить, используя результат о разрешимости конечных АЗ'Д-групп. А именно,справедлива

Теорема 5.1.3. Пусть ¿7 — конечная неабелева ЛЯП группа, тогда индекс ее комл1утапта четен.

Теорема 5.1.5. Пусть й = К х Н ..... группа Фробениуса, где

К — ядро (7, и Н — ее дополнительный множитель, и пусть й является АБ Я-группой. Тогда С — обобщенная диэдралъпая группа О(К) с абелевой группой К нечетного порядка.

В параграфе 5.2 изложено доказательство теоремы 5.1.1 и теоремы 5.1.3, а в параграфе 5.3 — теоремы 5.1.5.

В параграфе 5.4 получено описание конечных групп регулярных автоморфизмов, являющихся просто приводимыми группами. Пусть X — некоторая группа. Автоморфизм ф £ Аи1(Х) называется регулярным, если он оставляет па месте лишь единичный элемент группы X. Группа С < Аи/.(Х) называется группой регулярных автоморфизмов, если любой неединичный элемент <3 является регулярным автоморфизмом X.

Теорема 5.1.8. Пусть О — конечная неабелева группа регулярных автоморфизмов, и пусть С просто приводима. Тогда О изоморфна группе кватернионного типа С}(С„), где Сп — циклическая группа порядка п, для любого п, кратного четырем.

Глава 6. Описание конечных р-групп с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров

В главе исследуются конечные нильпотентные группы с небольшим числом (не более 6) нелинейных неприводимых характеров. Любую конечную нильпотентную группу можно представить в виде прямого произведения ее силовских подгрупп, поэтому вопрос описания таких групп сводится к изучению р-групп с указанным свойством. Из указанного описания получено следствие, в котором определены не Лб'Л-группы б, которые принадлежать полученному списку групп.

Еще одним результатом, полученным в главе 6, являются теоремы определяющие необходимые и достаточные условия того, чтобы 2-группа класса 2 являлась /16"/?-грушгой.

Введем следующие обозначения:

п(О) — число нелинейных неприводимых характеров группы б;

а!(С) = {1,рС1,...,рСп} — множество степеней неприводимых характеров;

щ — количество характеров степени рс<;

= |{х € : Сс(х)| — р*}|, (г = 0,1,...), в частности,

\г{С) | = го.

Описание р-групп, у которых не более чем три нелинейных неприводимых характера, можно найти в работе [2].

Теорема 6.1.1. Группа С умеет четыре нелинейных неприводимых характера тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих утверждений

(7 — экстраспециальная 5-группа.

2. й - 2-группа такая, что = 23+2п, |С| = 2, \г{в)\ = 8 и

Ы(С) = {1,2"}.

Теорема 6.1.2. Группа С имеет пять нелинейных неприводимых характеров тогда и только тогда, когда |С| = 26, |(7'| = 23, сй(<2) — {1,2,4}, а! = 2, аг = 3 и (20,21,22) = (2,2,20). Примером такой группы может служить группа вида

в = (а, 6,с || а4 = Ь4 = с4 = 1, [а, 6] = 1, ас = аЬ, Ьс = а2Ь)

Теорема 6.1.3. Группа О имеет шесть нелинейных неприводимых характеров тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих утверждений

1. р = 7 и (7 — экстраспециальная 7 - группа.

2. р = 3, |С| = 32"+2, |С| = 3, Щв)\ = 32 и аЩв) = {1,3").

3. р = 2, \С\ = 24. Тогда |С?| = 27, (20,21,22,23) = (2,2,4,40),

«¿(С) = {1,2,4,8}. Примером такой группы является следующая группа

в = (а,Ь,с || о8 = Ь4 = с4 = 1, аь = а5, ас = Ьа"1, Ьс = 6а2).

р = 2, |6"| = 22 и возможен один из случаев

(a) Если (20,2:1) - (2,18), то |С| = 2б. Пример такой группы -£>8* £>16-

(b) (го.гО = (4,12). |С| = 22п+4 и сЙ(С) = {1,2",2П+1}, либо |(3| = 22п+3 «сад = {1,2"}.

(У (20,2!) = (8,0). |С| = 22п+5 и св.{С) = {1,2"+!}.

Замечание 3. Пусть G — 2-группа с n(G) < 5. Легко видеть, что G не является ASH-группой тогда и только тогда, когда |G| = 2Ь и n(G) = 3, либо |G| = 26 u n(G) = 5.

В теоремах 6.1.5 и 6.1.6 представлены необходимые и достаточные условия того, что 2-группа класса 2 является ЛЬ'/¿-группой. Кроме того, теорема 6.1.5 позволяет сформулировать критерии отсутствия кратностей у квадратов неприводимых представлений для 2-групп класса 2. Эти тесты более быстро, по сравнению с определением У15й-групп, проверяемы на компьютере.

Теорема 6.1.5. Пусть G — 2-группа класса 2. Группа G является ASR-группой тогда и только тогда, когда Тгг(\2) с Lin(G) для любого х £ /гп (G).

Теорема 6.1.6. Пусть G — 2-группа класса2. Группа G является ASR-группой тогда и только тогда, когда для любого х € /гп {G) факторгруппа Н — G/ker(x) такова, что \Н'\ = 2.

Следствие 6.1.7. Пусть G — 2-группа класса 2. Определим следующие характеры:

®= £ х2, ф= £ х, Л= ¿2 л-

xGirri(G) x£W<7) AeLm(C)

1. Группа G является ASR-группой тогда и только тогда, когда [Ф, Ф] = 0.

2. Группа G является ASR-группой тогда и только тогда, когда

[Ф,А] = Ф(1).

С помощью первого критерия в системе компьютерной алгебры GAP был проведеден тест для 2-групп класса 2 на отсутствие кратностей у тензорных квадратов неприводимых характеров. В следующей таблице представлены полученные результаты.

Таблица. Число не ASR-групп для 2-групп класса 2

Порядок группы Число групп класса 2 Число не Л^Д-групп

23 2 0

24 6 0

2s 26 0

2« 117 3

2' 947 10

2« 31742 70

Гипотеза 1. Из таблицы естественным образом возникает следующее предположение. Пусть с,, — число групп класса 2 среди групп порядка 2" и а.чг„ — число АБ ¡{-групп среди групп класса 2 и порядка 2". Верно ли, что

авгп

--> 1, при п—* 00!

Сп

Глава 7. Заключение. В заключение сформулировано четыре гипотезы (вопроса). Эти гипотезы могут служить ориентирами для дальнейших исследований по БЯ и Л5Д-группам.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Л.С. Казарину за постановку задачи, всестороннюю помощь и внимание к работе над диссертацией, а также В.В. Яни-шевскому за доброжелательное отношение и формулировку одной из проблем, решенной в настоящей диссертации.

Список цитируемой литературы

[1] Баннаи, Э. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Баннаи. Т. Ито. - М.: Мир, 1987. - 376 с.

[2] Беркович, Я.Г. Конечные группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Я.Г. Беркович // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль. 1990. - С. 97-107.

[3] Беркович, Я.Г. Конечные группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Я.Г. Беркович // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль. 1991. - С. 145-156.

[4] Казарин, Л.С. О конечных просто приводимых группах / Л.С. Казарин, В.В. Янишевский // Алгебра и анализ. - 2007.- Т.19, №6. - С. 86-116.

[5] Кострикин, А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры / А.И. Кострикин. - М.: Физ.-мат. лит., 2000. -272 с.

[6] Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее архив решенных задач / Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. - 193 с.

[7] Струнков, С.П. О расположении характеров просто приводимых групп / С.П. Струнков // Математические заметки. -1982. - т. 31, №3. - С. 357-362.

[8] Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. - М.: Мир, 1966.- 588 с.

[9] Hansen, С. Finite groups having exactly two non-linear irreducible characters / C. Hansen, J.M. Nielsen //Prepr. Ser. Mat. inst. Aarhus univ., 1981-1982, №33. - 10 pp.

[10] Mackey, G.W. Symmetric and anti symmetric kroneker squares and interwining numbers of induced representations of finite groups / G.W. Mackey // Amer. J. Math. - 1953. - V- 75, №2. - p. 387-405.

[11] Palfy, P.P. Groups with two non-linear irreducible representations / P.P. Palfy // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. math. - 1981. -№24. - p. 181-192.

[12] Seitz, G.M. Finite groups having only one irreducible representation of degree greater than one / G.M. Seitz // Proc. Amer. Math. Soc. - 1968. - №. - p. 459-461.

[13] Wigner, E.P. On representations of certain finite groups / E.P. Wigner // Amer. J. Math. - 1941. - V. 63. №1 - p. 57-63.

Работы автора по теме диссертации

Публикации в издании, рекомендованном ВАК РФ:

[1] Казарин, Л.С. Признак абелевости группы нечетного порядка/ Л.С. Казарин, Е.И. Чапков // Моделирование и анализ информационных систем. - 2009. - т. 16, № 2. - С. 103-108.

[2] Казарин, Л.С. Конечные просто приводимые группы разрешимы/ Л.С. Казарин, Е.И. Чанков // Математический сборник. - 2010. - т. 201, №5. - С. 27-40.

Другие публикации:

[3] Чапков, Е.И. р-группы с пятью нелинейными неприводимыми характерами / Е.И. Чанков // Труды третьих колмогоровских чтений. Ярославль. - 2005. - С. 145-151.

[4] Чанков, Е.И. р-группы с пятью нелинейными неприводимыми характерами/ Е.И. Чанков // «Классы групп и алгебр», международная алгебраическая конф., тезисы докладов. Гомель. -2005. - С. 109-110.

[5] Чанков, Е.И. Конечные р-группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Е.И, Чанков // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса «Ярославль на пороге тысячелетия». Ярославль. - 2006. - С. 24-28.

[6] Чанков, Е.И. Конечные р-группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Е.И. Чанков // Труды международной научной конференции «Математика. Кибернетика. Информатика.» памяти проф. А.Ю. Левина. Ярославль. - 2008. - С. 171-175.

[7] Чанков, Е.И. Конечные сверхразрешимые просто приводимые группы/ Е.И. Чанков // «Дискретная математика, алгебра и их приложения.», международная научная конф., тезисы докладов. Минск. - 2009. - С. 43-44.

Подписано в печать «4.>.05.2010. Формат 60x84 1/16.

Уся. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Л"' Отпечатано в отделе оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская, 14

1 Введение

2 Предварительные сведения

2.1 Теоретико-групповые сведения.

2.2 Сведения из теории представлений.

2.2.1 Начальные сведения.

2.2.2 Индуцированные характеры.

2.2.3 Теория Клиффорда.

2.3 Неравенство Вигнера.

2.3.1 Конечные пары Гельфанда.

2.3.2 Условие Вигнера.

2.4 Свойства ASR-групп.

3 Разрешимость конечных ASR-групп

3.1 Предварительные обсуждения.

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Свойства минимального контрпримера.

3.4 Аб'Л-группы с композиционным фактором, изоморфным группе А

3.5 A/S-R-rpynnbi с композиционным фактором, изоморфным группе А

3.6 Доказательство разрешимости AS7?'-rpynn.

4 Строение конечных сверхразрешимых SR-групп

4.1 Формулировка результатов.

4.2 Вспомогательные результаты.

4.3 2'-холловы подгруппы сверхразрешимых ,572-групп.

4.4 Теорема о строении сверхразрешимых 57?-групп.

4.5 2-силовские подгруппы сверхразрешимых й'Л-групп.

5 Некоторые классы ASR и SR-групп

5.1 Формулировка результатов.

5.2 А^-й-группы нечетного порядка абелевы.

5.3 Ай'Л-группы Фробениуса.

5.4 572-группы регулярных автоморфизмов

6 Конечные р- группы

6.1 Предварительные обсуждения.

6.2 Вспомогательные результаты.

6.3 Конечные р-группы с 4 нелинейными неприводимыми характерами

6.4 Конечные р-группы с 5 нелинейными неприводимыми характерами

6.5 Конечные р-группы с 6 нелинейными неприводимыми характерами

6.6 Л5/2-группы класса 2.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации

Представление группы G не имеет кратностей, если оно разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностями, не превосходящими единицы. Группы, в которых любой элемент сопряжен со своим обратным, называются вещественными.

Просто приводимыми группами называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей. Будем говорить, что G является S72-rpynnoft, если группа просто приводима.1

Определение 572-группы было предложено лауреатом Нобелевской премии по физике Ю. Вигнером [43]. Условия для определения этого класса групп были сформулированы исходя из физических соображений. Например, отсутствие кратностей в произведении неприводимых представлений позволяет определить коэффициенты Клебша-Гордана с точностью до фазового множителя [15]. В работе [43] Ю. Вигнер показал, что для произвольной конечной группы G справедливо следующее неравенство geG gee где \М\ — мощность множества М, ^Jg = {х G G | х2 — g}, Cdg) — централизатор элемента д. Конечная группа G является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство. Получаемое из (*) равенство называется условием Вигнера. Таким образом, проверка справедливости условия Вигнера позволяет дать ответ о простой приводимости конечной группы, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложении их тензорных произведений. В ряде случаев этот метод является эффективным. Например, принадлежность к классу £Д-групп диэдральных и обобщенно кватернионных нетрудно показать с помощью условия Вигнера [10]. Тем не менее, в общем случае проверка условия Вигнера для конечной группы G является трудоемкой задачей.

1От английского "simply reducible, то есть "просто приводимая".

В работе С.П. Стрункова [14] отмечено, что необходимость изучения 572-групп не вызывает сомнений, так как этот класс групп непосредственно связан с задачами на собственные функции уравнения Шредингера квантовой механики. В Коуровской тетради С.П. Струнковым был поставлен следующий вопрос (см. [11], вопрос 11.94):

Будут ли конечные S-R-группы разрешимы?

В приложении «Нерешенные задачи» книги [10] А.И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о ^Д-группах:

Как выразить в общем принадлежность к >5Л-классу в терминах структурных свойств группы?

Конечные просто приводимые группы изучались Дж. Макки. Им были предложены некоторые обобщения 5"Л-групп [35], в которых он рассматривал различные ослабления условия вещественности группы. В работе [36] Макки, в частности, привел доказательство неравенства Вигнера для конечных групп, которое поясняет по каким причинам возникает условие Вигнера. Кроме того, он обобщил неравенство Вигнера. Для произвольной конечной группы G справедлива следующая группа неравенств:

Т,Шп+1 <Т,\Сс(д)\п, geG geG где п — произвольное натуральное число.

Для группы G при п — 1 указанное неравенство (неравенство Макки) обращается в равенство тогда и только тогда, когда G — вещественная группа. Случай п— 2 — это условие Вигнера.

При п > 2 для группы G неравенство Макки обращается в равенство тогда и только тогда, когда G является элементарной абелевой 2-группой.

Представление группы называется целым, если оно реализуется в поле вещественных чисел и полуцелым в противном случае. В работе [14] С.П. Струнков исследовал связь между целыми и полуцелыми представлениями <572-групп. Он показал, что если й'Д-группа G имеет хотя бы одно полуцелое представление, то центр группы G нетривиален. Причем в G содержится такая центральная подгруппа W, \W\ = 2, что все неприводимые целые представления группы G являются компонентами представления 1^, а полуцелые — компонентами представления где С — нетривиальное неприводимое представление группы W. Из этого результата, в частности, вытекает, что любая полуцелая группа является расширением группы порядка два, при помощи ЗД-группы, все представления которой целые, а также вещественная реализуемость любого представления й'Л-группы без центра.

В работе JI.C. Казарина и В.В. Янишевского [7] получены важные продвижения в проблеме разрешимости конечных просто приводимых групп. Ими был предложен новый класс групп, который включает в себя класс 57?-групп.

Группа G называется Л57?-группой2, если тензорный квадрат любого неприводимого представления не имеет кратностей. Ослабление достигнуто как за счет отказа от условия вещественности группы, так и наложения условия отсутствия кратностей только на тензорные квадраты представлений. Очевидно, что любая S7i!-rpynna является .AS".R-группой. Обратное (см. [7]), вообще говоря, неверно.

В [7] проблема разрешимости конечных А5Д-групп сведена к следующей ситуации. Конечная неразрешимая ASR-группа существует тогда и только тогда, когда таковой является группа G < Aut(N), где N — прямое произведение простых неабелевых групп, каждая из которых изоморфна знакопеременной группе А5 (соответственно Aq) и G/N разрешима. Эта группа — представляет собой минимальный контрпример к гипотезе о разрешимости конечных AS-ft-rpynn.

Классовое число k(G), конечной группы G, — это число классов сопряженных элементов группы G. Как известно, порядок конечной группы ограничен функцией от классового числа. В общем случае эта функция имеет экспоненциальный вид. В статье [7] для ASR-групп была доказана полиномиальная оценка. А именно, если G — конечная ASR-группа, то |G| < k(G)3.

Также JI.C. Казариным и В.В. Янишевским в работах [8], [18], [19] получено описание строения несверхразрешимой бипримарной ^эЛ-группы G с Ф((7) = 1, если р-силовская (р>2) подгруппа G циклическая или 2-силовская подгруппа G диэдральная.

2От английского " almost simply reducibleто есть "почти просто приводимая".

Из других работ посвященным близкой тематике, укажем на следующие две статьи. В работе [42] исследовались числа решений некоторых уравнений в SR-группах. Помимо изучения просто приводимых групп, представляет интерес задача описания таких пар (д, а) неприводимых представлений группы С, для которых тензорное произведение представлений д и а не имеет кратностей. В работе [34] описаны пары неприводимых представлений исключительных групп Ли с указанным свойством.

Отметим связь SR-rpymi с симметричными схемами отношений (определение см. в книге [1]). На эту связь указал Макки [36], но во время опубликования его работы терминология схем отношений еще не была разработана. Пусть Н — конечная группа. Определим группу G = HxHxHviee диагональную подгруппу К = {(h,h,h)\h Е Н}. Пусть группа G действует сдвигами на множестве смежных классов Q = G/K. Схема отношений, определяемая действием G на f! х О, является коммутативной и симметричной тогда и только тогда, когда Н — просто приводимая группа.

Укажем на еще один комбинаторный объект — С-алгебры (определение см. в книге [1]). С помощью таблицы характеров групы G можно определить следующие две С-алгебры. Одна из них порождается классами сопряженных элементов группы G. (Это центральная подалгебра группового кольца G). Вторая С-алгебра — это алгебра характеров группы G. Расмотрим ситуацию, когда структурные константы С-алгебры равны 0 или 1. Это ограничение существенно разным образом сказывается на структуре группы G, в зависимости от порождающих элементов С-алгебры. Пусть С-алгебра порождается классами сопряженных элементов и структурные константы равны 0 или 1, тогда G — абелева группа. В случае алгебры характеров, у которой структурные константы равны 0 или 1, получаем, что тензорное произведение любых неприводимых представлений группы G не имеет кратностей, т.е. класс групп значительно более разнообразный класса абелевых групп.

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. Это утверждение справедливо и для просто приводимых групп, и для Лб'Л-групп, в которых важную роль выполняют 2-группы. В связи с этим информация о строении р-групп может быть полезной при решении различных задач, относящихся к теории конечных групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных групп порядка 29 уже более 10 миллионов. Поэтому для изучения и детального описания какого-либо класса р-групп зачастую требуется формулировать в определении этого класса дополнительные ограничения.

Пусть G — конечная неабелева нильпотентная группа, n(G) — число нелинейных неприводимых представлений группы G и cl(G) — класс нильпотентности группы G. Айзексом [22] получен следующий результат. Пусть ]G : G'\ > n(G)3, тогда cl(G) =2.

Как ранее отмечалось, порядок группы G ограничен функцией от классового числа, а если G — ЛЗ'.Д-группа, то справедливо неравенство |G| < k(G)3. Группы с заданным числом классов сопряженных элементов начал изучать Миллер. Он получил описание всех групп G, для которых k(G) < 5. На настоящий момент усилиями различных математиков определена структура всех групп, классовое число которых не превосходит 10. В случае, когда зафиксировано число n(G), порядок группы G уже может быть не ограничен. Например, экстраспециальная 2-группа любого порядка имеет ровно один нелинейный неприводимый характер. JI.C. Казарин показал [22|, что порядок коммутанта р-группы G ограничен функцией от числа n(G). Таким образом, учитывая результат Айзекса, получаем, что существует лишь конечное число неизоморфных р-групп G класса большего двух, с заданным числом n(G).

Группы с ограничением на число n(G) начал изучать Г. Зейц [40]. Он определил группы G, у которых n(G) — 1. С. Хансен и Дж. Нильсен [30], а также П. Пал-фи [38] описали случай n(G) = 2. Список конечных ненильпотенгных групп, с ограничением n(G) < 5, был получен Я.Г. Берковичем в работах [5], [6].

Цель и методы работы

Целью работы является исследование строения конечных б'Д-групп и строения конечных р-групп с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров. В диссертации используются методы доказательств теории конечных групп, теории групп перестановок и теории характеров конечных групп.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. получен окончательный положительный ответ на вопрос о разрешимости конечных SR-групп. Причем этот результат справедлив и для более широкого класса ASR и А^Я'-групп. Тем самым, из работы [7] и настоящей работы следует положительное решение вопроса 11.94 Коуровской тетради [11];

2. найдено строение конечных сверхразрешимых 5Л-групп;

3. определено строение конечных р-групп, у которых не более 6 нелинейных неприводимых характеров.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на 32-ой научной студенческой конференции (Ярославль, 2004), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения III» (Ярославль, 2005), на международной алгебраической конференции «Классы групп и алгебр» посвященной 100-летию со дня рождения С.А. Чунихина (Гомель, Беларусь, 2005), на всероссийской конференции «Колмогоровские чтения IV» (Ярославль, 2006), на международной конференции «Математика. Кибернетика. Информатика.» памяти А.Ю. Левина (Ярославль, 2008), на международной конференции «Некоммутативный гармонический анализ, теория представлений групп и квантование» (Тамбов, 2009), на международной конференции «Дискретная математика, алгебра и их приложения» (Минск, Беларусь, 2009).

Публикация результатов

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 2 статьи в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 3 тезисов докладов. Из 4 статей 2 написаны без соавторов, 2 — двумя авторами (Каза-рин JI.C., Чанков Е.И.). Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав (28 параграфов), заключения и списка литературы из 44 наименований. Текст диссертации изложен на 96 страницах.

Содержание диссертации

Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий, предложений), а также определений сквозная внутри параграфа и состоит из трех цифр: первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа и третья — порядковый номер внутри параграфа. Формулы и таблицы имеют сквозную нумерацию внутри всей диссертации.

7 Заключение

В заключение представлены несколько вопросов о свойствах SR и /15"А-групп.

Вопрос 1. Существуют ли конечные ^Я-группы сколь угодно большой ступени разрешимости? Предположительно, ступень разрешимости любой конечной группы ограничена некоторым фиксированным числом п.

Вопрос 2. Существует ли конечная SR-группа с фиттинговой длиной большей или равной пяти? Фиттингова длина группы G определяется следующим образом. Пусть F0(G) = 1 и Fi(G)/Fi-X(G) = F(G/Fji(G)). Минимальное значение к, для которого Fk = G, называется фиттинговой длиной.

Вопрос 3. Верно ли, что почти любая 2-группа класса нильпотентности 2 является Л5Я-группой? А именно, пусть сп — число групп класса 2, имеющих порядок 2П и asrn — число AS'A-rpyim класса 2, имеющих порядок 2П. Верно ли, что asrn

--> 1, при п —> оо; сп

Вопрос 4. Определим следующий класс 2-групп: Ф^ = {G — 2 — группа | n(G) = /с}. То есть 2-группа G принадлежит классу Ф^, если число ее неприводимых нелинейных представлений равно к. Верно ли, что в множестве Ф^ лишь конечное число групп не являются ЛбЯ-группами? Если справедливо утверждение вопроса 3, то настоящее предположение кажется вполне вероятным, поскольку лишь конечное число число групп в множестве Ф^ имеют класс нильпотентности, больший двух. Из замечания 3 главы 6 следует, что эта гипотеза справедлива для множеств Ф^, при к < 5.

1. Баннаи, Э. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Баннаи, Т. Ито. М.: Мир, 1987. - 376 с.

2. Белоногов, В.А. Матричные представления в теории конечных групп / В.А. Белоногов, А.Н. Фомин. М.: Наука, 1976. - 125 с.

3. Белоногов, В.А. Представления и характеры в теории конечных групп / В.А. Белоногов, Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990. - 378 с.

4. Белоногов, В.А. Задачник по теории групп / В.А. Белоногов, М.: Наука, 2000. - 239 с.

5. Беркович, Я.Г. Конечные группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Я.Г. Беркович // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль. 1990. С. 97-107.

6. Беркович, Я.Г. Конечные группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Я.Г. Беркович // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль. 1991. С. 145-156.

7. Казарин, J1.C. О конечных просто приводимых группах / Л.С. Казарин,

8. B.В. Янишевский // Алгебра и анализ. 2007 - Т.19, №6. - С. 86-116.

9. Казарин, JI.C. £Д-группы порядка 2пр / Л.С. Казарин, Янишевский В.В. // Сборник научных работ «Математика в Ярославском университете», посвященный 30-летию математического факультета ЯрГУ. Ярославль. 2006.1. C. 257-262.

10. Кэртис, Ч. Теория представлений групп и ассоциативных алгебр / Ч. Кертис, И. Райнер. М.: Наука, 1969. - 668 с.

11. Кострикин, А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры / А.И. Кострикин. М.: Физ.-мат. лит., 2000. - 272 с.

12. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее архив решенных задач / Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. 193 с.

13. Серр, Ж.-П. Линейные представления конечных групп / Ж.-П. Серр М.: Мир, 1970. - 132 с.

14. Старостин, А.И. О группах Фробениуса / А.И. Старостин // Украинский математический журнал. 1971. - Т. 23, №5. - С. 629-639.

15. Струнков, С.П. О расположении характеров просто приводимых групп / С.П. Струнков // Математические заметки. 1982. - т. 31, №3. - С. 357-362.

16. Хамермеш, М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / М. Хамермеш. М.: Мир, 1966 - 588 с.

17. Холл, М. Теория групп / М. Холл. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 468 с.

18. Шериев, В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами / В.А. Шериев // Сиб. матем. ж. 1967. - №8. - С. 195-212.

19. Янишевский, В.В. б'Д-группы порядка 2прт с циклической р-силовской подгруппой / В.В. Янишевский. // Вестник Пермского Университета: Математика. Механика. Информатика. 2007. № 7. - С. 39-43.

20. Янишевский, В.В. S'/2-группы порядка 2прт с диэдральной 2-силовской подгруппой / В. В. Янишевский. // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. - Т. 14, № 2.- С. 17-23.

21. Янишевский, В.В. Структура конечных б'Я-групп: дис. . канд. физ.-мат. наук / В.В. Янишевский. Ярославль, 2008. - 114 с.

22. Berggren, J.L. Solvable and supersolvable groups in which every element is conjugate to its inverse / J.L. Berggren // Pacific Journal of Mathematics, 1971. Vol. 37, №1. p. 21-27.

23. Berkovich, Ya.G. Characters of Finite Groups, Part 1/ Ya.G. Berkovich, E.M. Zhmud Translations of Mathematical Monographs 171, American Math. Soc., Providence, R.I., 1998. - 382 p.

24. Bertram, E.A. On large cyclic subgroups of finite groups/ E.A. Bertram // Proc. Amer. Math. Soc., 1976. Vol. 56, № 1. p. 63-66.

25. Ceccherini-Silberstein, T. Finite Gel'fand pairs and their applications to probability and statistics / T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli // Journal of Math. Science, 2007. Vol. 141, № 2. p. 1182-1229

26. Conway, J.H. Atlas of Finite Groups / J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985. - 253 p. URL: http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/

27. Dolfi, S. Orbits of permutation groups on the power set / S. Dolfi // Arch. Math. (Basel), 2000. Vol 75., № 5. p. 321-327.

28. Gallagher, P.X. The number of conjugacy classes in a finite group / P.X. Gallagher // Math. Z., 1970. Vol. 118, № 3. p. 175-179.

29. The GAP Group, GAP Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008. URL: http://www.gap-system.org

30. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. N.Y.: Harper and Row, 1968. -519 p.

31. Hansen C. Finite groups having exactly two non-linear irreducible characters / C. Hansen, J.M. Nielsen //Prepr.Ser.Mat.inst. Aarhus univ., 1981-1982, №33, 10 pp.

32. Huppert,' B. Endliche Gruppen I / B. Huppert. Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer, 1967. - 796 p.

33. Isaacs, I.M. Character theory of finite groups / I.M. Isaacs. N.Y.: Acad. Press, 1976. - 320 p.

34. Kovacs, L.G. On the number of conjugacy classes of a finite group / L.G. Kov&cs, G.R. Robinson //J. Algebra, 1993. Vol. 160, № 2. p. 441-460

35. King, R.C. Multiplicity-free tensor products of irreducible representations of the exceptional Lie groups/ R.C. King, B.G. Wybourne // J. Phys. A: Math. Gen., 2002. Vol. 35, № 15. p. 3489-3513.

36. Mackey, G.W. Multiplicity free representations of finite groups/ G. Mackey // Pacific. J. Math., 1958. Vol. 8, N°- 3. p. 503-510.

37. Mackey, G.W. Symmetric and anti symmetric kroneker squares and interwining numbers of induced representations of finite groups/ G.W. Mackey // Amer. J. Math., 1953. Vol. 75, № 3. p. 387-405.

38. Mong, L.L. Rank of the Sylow 2-subgroups of the classical groups / L.L. Mong // arxiv: 0805.1574vl URL: http://arxiv.org/pdf/0805.1574

39. Palfy, P.P. Groups with two non-linear irreducible representations/ P.P. Palfy // Ann. Univ. sci. Budapest. Sec. math., 1981, №24. p. 181-192.

40. Redei, L. Das «Schiefe Product» in Gruppentheorie mit Anwendung / L. Redei // Cooment, Math. Helv., 1947. Vol. 20. p. 225-264.

41. Seitz, G.M. Finite groups having only one irreducible representation of degree greater than one / G.M. Seitz // Proc. Amer. Math. Soc., 1968. №2. p. 459-461.

42. Seress, A. The minimal base size of primitive solvable permutation group / A. Seress // J. London Math. Soc., 1996. Vol. 53, № 2 p. 243-255.

43. Van Zanten, A.J. Number of roots of certain equations in finite simply reducible groups. / A.J. Van Zanten. E. De Vries // Groningen University, Netherlands, Physica, 1970. Vol. 49, № 4. p. 536-548.

44. Wigner, E.P. On representations of certain finite groups / E.P. Wigner // Amer. J. Math., 1941. V. 63, №1 p. 57-63.

45. Winter, D.L. The automorphism group of an extraspecial p-group / D. L. Winter // Rocky Mountain J Math., 1972. Vol. 2, № 2. p. 159-168.

46. Публикации автора по теме диссертации

47. Публикации в издании, рекомендованном ВАК РФ:

48. Казарин, JI.C. Признак абелевости группы нечетного порядка/ Л.С. Каза-рин, Е.И. Чанков // Моделирование и анализ информационных систем. -2009. т. 16, № 2. - С. 103-108.

49. Казарин, J1.C. Конечные просто приводимые группы разрешимы/ J1.C. Казарин, Е.И. Чанков // Математический сборник. 2010. - т. 201, №5. - С. 27-40.1. Другие публикации:

50. Чанков, Е.И. р-группы с пятью нелинейными неприводимыми характерами / Е.И. Чанков // Труды третьих колмогоровских чтений. Ярославль. 2005.- С. 145-151.

51. Чанков, Е.И. р-группы с пятью нелинейными неприводимыми характерами/ Е.И. Чанков // «Классы групп и алгебр», международная алгебраическая конф., тезисы докладов. Гомель. 2005. - С. 109-110.

52. Чанков, Е.И. Конечные р-группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Е.И. Чанков // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса «Ярославль на пороге тысячелетия». Ярославль.- 2006. С. 24-28.

53. Чанков, Е.И. Конечные р-группы с небольшим числом нелинейных неприводимых характеров / Е.И. Чанков // Труды международной научной конференции «Математика. Кибернетика. Информатика.» памяти проф. А.Ю. Левина. Ярославль. 2008. - С. 171-175.

54. Чанков, Е.И. Конечные сверхразрешимые просто приводимые группы/ Е.И. Чанков // «Дискретная математика, алгебра и их приложения.», международная научная конф., тезисы докладов. Минск. 2009. - С. 43-44.