О некоторых L-функциях кольца многочленов над конечным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

<4, ' Л&ОСИЕИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

университет имени Ленинского Комсомола

О НЕКОТОРЫХ I -ФУНКЦИЯХ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕГЛ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\

На правах рукописи

ФОМЕНКО Максим Николаевич

УДК 512.624.2

Новосибирск - 1997

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной

математики Нац. АН Респ. Казахстан.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Чубариков В.Н., кандидат физ.-мат. наук, доцент Викентьев A.A.

Ведущая организация - Омский государственный университет.

Защита состоится "_" _ 1997 г. в_

■часов на заседании диссертационного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " _ " _ 1996 г.

VtrAfTT тй л лтя*чл mл*чг

С.Т.Федоряев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Пусть А ~ F^ ~ CF(<j ) - поле Га-

луа из 1 ~ Р5 элементов, р - с/,лт. & _ характеристика поля А . М - мультипликативная полугруша нормированных многочленов из Acxl I - множество многочленов f^M , степень (f ) которых равна И . Хорошо известна принадлежащая Гауссу классическая формула для числа /V^ „ норми -

рованных неприводимых многочленов степени я £ I над ^ :

ыь„ ■ i I л^?"^, ®

Min

где у* (и) - функция Мёбиуса. Большое число работ посвящено оценка числа неприводимых в $ С х 3 многочленов с теш или иными ограничениями на коэффициенты многочлена (обширную библиографию по этому вопросу можно найти в [I] ). Один из возмож -ннх типов ограничений состоит в том, чтобы некоторые из коэф -фициентов ¿•i t t tc неприводимого многочлена

к

имели фиксированные значения а ■ , •, ^ € , в то время как остальные коэффициенты принимают произвольные значения в

В частности, ряд работ группируется вокруг гипотезы Човла [2] > о том, что число неприводимых *посИ р многочленов вида

Х.*+ %+Ь ( £ € ) астштотику ~ р при р~*оа

(гипотеза Човла почти полностью подтверждена Р.Ри [з] , дока-казателъство которого основывается на теореме Бёрча и Суиннер -тон-Дайера [4] о том, что группа Галуа шогочлена x"+x+t над полем рациональных функций ^ ( £ ) является при р { 2п (ь-1) симметрической группой . В этом случае

Ри показал, что число неприводимых "шогочленов Човлы", равно

<]+ О () > Р$ ; частные результаты по проблеме содержатся в [5] , (6] ).

Д.Хэйс [7] дал оценку для числа неприводимых многочленов (2), у которых фиксированы первые 5 коэффициентов

и последние I коэффициентов. Наиболее общий результат в этом направлении получен С.Коэном [8] , который установил, что для любого набора фиксированных коэффициентов ,..., 1ст в

(2) (при условиях 4 О , р и fcк) 4 & Г*д3 Д™ фиксированного А > 1 ) число неприводимых шогочленов этого

вида имеет асимптотику ^ О (}-»оо) ,

рассмотрев одновременно аналогичный вопрос дця числа шогочленов из Мл , разлокение которых на нецриводимые множители над 4 = Р^ содержит А^ множителей 1-й степени, А2 множителей

степени 2 и т.д., 2 к А = 1 • Результат С.Коэна означает, к *

что эта асимптотика, грубо говоря, не зависит от значений

, так что неприводимые многочлены в Мп (как и

многочлены с другими наборами А( 7 Д2 э ... ) распределены в определенном смысле равномерно по значениям своих фиксированных коэффициентов. Другим методом подобные результаты получил С.А. Степанов [ 9 ] .

Отметим прикладное значение этих вопросов. Как известно, неприводимые многочлены над конечным полем применяются для нелинейного кодирования сообщений. Чем больше число перестановочных (т.е. задающих перестановку поля F^ ) многочленов при заданной емкости кода, тем сложнее задача дешифровки. В связи с этим приобретает особое значение проблема оценки числа неприводимых mod р многочленов, коэффициенты которых находятся в фиксированном интервале длины К « р • Однако эта проблема выходит за рамки настоящей диссертации.

Известно сравнительно мало случаев, когда удается установить точную формулу (т.е. алгебраическое выражение типа (I) через известные функции) для числа неприводимых многочленов

специального вида. Ряд таких случаев указан в [ю] (см. также [il] , [12]). Например, С.И.Гельфэнд [13] исследовал вопрос о числе неприводимых многочленов 3-й степени над , коэффициенты которых удовлетворяют фиксированному линейному соотношению..

Одной из интереснейших проблем, на стыке алгебры (теории конечных полей) и теории чисел, является вопрос о нахождении числа Нп (л,,лт ) неприводимых в £ х ] многочленов (2), у которых первые уп коэффициентов имеют фиксированные значения tc - d. € ( i - I,..., т ) ; по определению считается, что д = О при «1 >п .В простейшем случае m-i

эта проблема была решена Л.Карлицем [14] (см. также Г10J )," а для «1=2 - Е.Н.Кузьминым [II] . Частный случай этой проблемы .при рассмотрен в [12] . При малых п к решению проблемы применим элементарный метод Д.Ватсона Г15] , который позволяет решить и более тонкую проблему об определении числа многочленов из Мп > имеющих тот или иной тип разложения на неприводимые множители. Однако возможности этого метода ограничены , так как с ростом П быстро растет число типов разложения многочленов f (х) € Мп •

Другой подход к проблеме предложен Д.Хэйсом [ 7 ] . Определим, следуя Хэйсу, на полугруппе Л| конгруэнцию 9т .полагая f = $ (мое/ дт J • если первые m коэффициентов л,, ... , многочлена f (х) совпадают с первыми »j коэффициентами g (х) (считается, что = 1 и QM=.0 , если ^ > 1 = (f) ) • Тогда фактор-полугруппа И /б^ является абелевой р -группой порядка уп , элементы которой могут быть представлены как .упорядоченные m -наборы (А|...., ) элементов поля $ . С характерами jc группы Ст

обычным образом связывается L -функция L(z,j/: ) комплексного переменного Z (см., например, [i] ), которая для нетривиального характера jc 0е ) являзтся многочленом стенени $ и может быть представлена в виде

i-fc./ ) = a+cd|2)... (i + co^z), W

где из. = u>.(jc ) € С . (Если , то L О,/) = (i-fz) ').

Исследование этой функции позволяет получить оценку для числа ' Н (зат ) или даже получить для него точную формулу в виде функции от у , которая, в частности, может оказаться

/ _ Л-Л1 ,

многочленом со старшим членом ^ ? (в соответствии с

упомянутым результатом С.Коэна). Этот подход оказался эффек -тивным в случае «1 = 2 ГII] , когда (г, ^ ) принимает вид I (г,^ ) г I + со г . Отметим, например, что, как показано в [и] , ^если скаг к

где у* (н) - функция Мёбиуса и 8) при н) = 1 оп-

ределяется формулой

и-г ¿-i

а при pin - формулой

Г „И-2 í-l , ¿ .

<э (»J = <

I п 1-2 i € \

[ 1 + Ч Ч (('/) г<к),

где ^ - квадратичный характер поля Á .

Для сравнения, из результатов I.Карлица следует, что при'

Я ФО число Ну, (л) не зависит от « и дается формулой

V* (5)

ei In (*/>)'i

В fil] показано, что величина и> = <*> (je) в формуле

L (z, у ) - 1 ч- и)(je) z дая любого нетривиального характера

JC группы Gm либо равна 0, либо удовлетворяет равенству i/s

Icj | = <j . Это дало Е.Н.Кузьмину повод высказать гипотезу (см. [20] ), что для любого щ > i и любого характера

^ 4 JCQ ненулевые величины tOt. в равенстве L (z> f ) =

- П (± z) также обладают свойством fco. j = о1у* , точ-i

яый аналог известной гипотезы Римана - Вейля для алгебраичес -ких многообразий, доказанной П.Делинем fl6j . Частичным подтверждением гипотезы Кузьмина явились результаты, получен -ные автором в Г 20 3 -

Цель -работы состоит в изучении функции L (z, f ) при м >2,

в частности, проверке гипотезы Е.Н.Кузьмина, а также исследовании строения группы Gm , инвариантном описании ее однородных степени р компонент при стандартной реализации Gm как алгебраической группы на аффинном пространстве ^ .

Общая методика исследований. В работе используются методы теории чисел, теории конечных полей, а также теории групп и теории симметрических многочленов (в главе об алгебраическом строении группы С№ при произвольном m ).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации явля-

ЮТСЯ НОВЫМИ. ;

Практическая ценность. Результаты и методы диссертации дают вклад в теорию неприводимых многочленов над конечным полем . Они могут быть использованы в дальнейших исследо -ваниях специальных классов неприводимых многочленов над , а также при чтения спецкурсов по данной проблематике. Помимо этого, результаты и методы гл. 2 дают определенный вклад в теорию симметрических многочленов над полями простой характеристики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика" при Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И.Ширшова при Институте математики Сиб. отд. РАН, на семинаре отдела алгебры Института теоретической и прикладной математики Нацяо -нальной Академии наук Республики Казахстан.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17] - [20 ] .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I "Свойства -функции кольпэ многочленов над конечным полем, связанной с нахождением числа неприводимых многочленов специального вида" состоит из шести параграфов и посвящена исследованию функции L (z, jc ) , упомянутой выше, при различных m и р = c/ai ^ , в частности, вопросу о справедливости равенства / cj. / = ^ для ненулевых и нетри -виальных характеров ^с .

В § I "Общие замечания и предложения" вводятся основные понятия и обозначения, для которых доказываются некоторые предложения общего характера.

В § 2'"Случай м = 3 и " детально рассматри-

вается указанный случай, он дает почву для обобщения (в § 4) на случай произвольных с./Лг -к = р > т . Как и в § 2, в , этом общем случае гипотеза о модулях и), подтверждается, а группа Q т является элементарной (показателя р ) абелевой р -группой.

В § 3 "Случай 3 , 2 " группа G3 = £ч * ( <} -2%) перестает быть элементарной, тем не менее гипотеза Кузьмина снова подтверждается. Основным результатом этого параграфа является

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если р = 4 = 2. , f. - нетривиальный характер группы Gj , TO L(Z,/)-(i+bJtz)(i+<*jzz ) > где для любого С = 1,2 либо м. = С , либо ¡о, \ s у %

В § 4 "Случай = | > w " основным результатом является

ТЕОРЕМА I. Пусть р - chai > т • / " нетривиальный характер группы Gw . Тогда L (г,/) = /у*1"' ("1+ «J. z) , где

irzl

ДЛЯ любого С либо и. = 0 , либо I с^ I = <j ^

В § 5 "Случай w > р = скаг4, " удается получить лишь частичное подтверждение гипотезы Кузьмина. Если m = 2i+l или w = It + 2. , где / £ i , то G^ содержит подгруппу й , состоящую из элементов вида (о,..., О, а,,..., ) ,

or; е 4. . При этом 6 = 4, - элементарная абелева

О д

группа, а сужение любого характера у. £ Ст на о дается

формулой

t 0 }(о.....О,а„...,« ^ ) » Л. . К,

где JCj - канонический аддитивный характер поля ^ - В этих обозначениях имеет место следувдий основной результат § 5:

ТЕОРЕМА. 2.' Если ч е С* - характер, для которого

С О

то L (z,x) - П (l+cj.z) , где ... и>ы_ I = о* г« 1 -/i

При m = 3 остался неисследованным случай f>-c¡4iz$= - 3 . В § 6 "Примеры для случая т^р сАяг Á " рас-смотрэны случаи m = р - 3 , ^ = 3 , 3 2 . В этих примерах гипотеза Е.Н.Кузьмина снова подтверждается, поэтому можно ожидать, что она верна и доя любого поля i - F^ при

Í р -г с'Алл. 4. ~ Ь

Глава П "Алгебраическое строение группы при произ-

вольном m " состоит из двух параграфов, § I "Предварительные замечания и примеры" содержит конкретные примеры разложения группы Gm на однородные компоненты, которые являются рациональными подмногообразиями в * . Рассматриваются случаи р=2, и ■ пл ~ р , где р - нечетное простое число.

В § 2 "Разложение Q п в произведение однородных полиноми -альных подгрупп G¿ т " рассматривается общий случай и доказывается основная теорема этой главы, в которой с помощью некоторой системы инвариантов описывается алгоритм разложения Gm в прямое произведение формульных однородных подгрупп G¿„ .

Нумерация формул (определений, утверждений) в различных

главах независимая.

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Е.Н.Кузьмину за внимание и помощь в работе. -

Литература

Г. Р.Лида, Г.Нидеррайтер, Конечные поля, , М., Мир, 1988, T.I.

2. S. ckowia , A note о* tU Oonstiuctco*, of filite C*€o¿s ftziUs GF(f>"), J. M*tL

kff>t, ts (1366), si'54.

3. R. Rie , Picof of <* u>*j*ttu4e of S. CU^-in, J, TUoxy , 3, /V2 (($}(), ¿10 -212..

4. &. 3.&¿zcÁ, H.P.F. SvrCM* zt»b- г , Motil ол

я рго-Мсъ af C/<w/*,Ac¿*Au-tÁ.,r(/9fe),?'?-**3-

5. K. S, WM a Úwo conjetinzex Cw/. МлЫ. 12 (19ÉS), 545-SCS.

6. P.A.L^

аго! ,

с** s tv^ cÁCntj <jua. г Í.Cc -ex íc*i -s¿e* cf CfCp) , A/ozsh VU foiÁ СТг0«Л*-'~),

НО (/3é?) , 36-94.

7. R. H<*-<jZ¡>, TU Of Ciiteha'J'-f-es ¿h GF(b T^s. A**i. M«tí.S»c.,m (Í36S), 101-Í2}.

8. S3, Cele*,, u»¿fn~ p-tj**«*;-вчлл f¿»¿te fctJJs, J. Lobetc» /ЧлН. Soc,, 5>ег,2,

£,Ы1 (1612) , 93-/02.

9. С.А.Степанов, 0 числе неприводимых в Fq С*] многочленов специального вида, УМН, 40, й 4 (1985), 199-200.

10. Е.Н.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, Сиб.матем. ж., 30, № 6 (1989), 98-109.

11. Е.Н.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным полем и одном аналоге сумм Гаусса над полем характеристики 2, Сиб.матем. ж., 32, № 6 (1991), 100-108.

12. Е.Н.Кузьмин, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, Алгебра и логика, 33, № 4 (1994), 387-414'.

13. С.И.Гельфанд, 0 неприводимых многочленах над конечным полем, УШ, 24, № 4(1969), 193-194.

14. l.Cazlctz , А йеогь» °f «'«eJuC^lée оыа/t, Piec, MatL Soc., Z,VS(t952), бП'Ш.

15. G.L. Ш*о«г Su~s of *3kt 'f «

J. UnJc» ИМ, (tiïi)

16. П.Делинь, Гипотеза Вейля, УМН, 39, й 5 (1976), 159190.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

17. М.Н.Фоменко, 0 неприводимых многочленах специального вида над конечными полями, Деп.Казгос., ИНТИ, вып. 2 (1994),

№ 4850-, 41, Алма-Ата.

18. М.Н.Фоменко, 0 свойствах L -функции, связанной с одним классом неприводимых многочленов, Деп. Казгос. ИНТИ, вып.

4 (1994), № 5401, 32-33, Алма-Ата.

19. М.Н.Фоменко, 0 некоторых L-функциях кольца многочленов над конечным полем, Деп.Казгос.ИНТИ, вып.4(1994), №5402, 33, Алма-Ата.

20. М.Н.Фоменко, 0 некоторых L-функциях кольца "многочленов над конечным полем, Алгебра и логика ,35,№4(1996) ,474-495.

//