Структура и фазовые переходы в аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

на правах рукописи

РГВ од

Чижиков Вячеслав Анатольевич ■) Л «>1*1 ■'}••■ гч

Структура и фазовые переходы ваппроксимантах икослэдрических квазикристаллов.

01.04.07 - физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена

в Институте кристаллографии им. A.B. Шубникова Российской Академиям наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

B. Е. Д митриенк о

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Копцик (МГУ)

кандидат физико-математических наук

C.А.Мишоков (ИК РАН)

Ведущая организация: Московский институт стали и сплавов

Защита состоится 16 февраля 2000 года в 1030 на заседании диссертационного совета Д002.58.01 в Институте кристаллографии РАН по адресу: 117333, Москва, Ленинский проспект, д. 59.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кристаллографии РАН.

Автореферат разослан /У января 2000 года

Ученый серетарь диссертациошюго совета кандидат физико-математических наукВ.М.Каневский

6 $75-, J 06>3

А

? Д О 2,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Физика квазикристаплов - молодая и быстро развивающаяся область зна-ия. Специфика квазикристаялов - их необычная симметрия, и поэтому осно-шые экспериментальные и теоретические исследования в этой области на-фавлены на поиск ответов на вопросы о том, каким образом природе удайся создавать столь удивительные типы веществ, а как странная симметрия влияет на их физические свойства. В частности, к таким свойствам »тносятся фазовые переходы, одним из важнейших следствий которых являйся изменение группы симметрии. Еще одним объектом для исследований :тали кристаллы с большими элементарными ячейками, часто наблюдающи-;ся в кваоикристаллических системах. Эти вещества, называемые крпсталли-юскими аппроксимантами, имеют близкие с квазикристаллами структуры и физические свойства. Большое количество экспериментальных данных о фа->овых переходах в квазикристаллах и аппроксимантах вызывает интерес к ах теоретическому описанию.

Цель работы.

Основной целью представленной работы является теоретическое исследование фазовых переходов в кристаллических аппроксимантах икосаэдриче-ских кваоикристаллов в рамках термодинамической и статистической теорий.

Степень достоверности результатов работы достаточно высока;

это подтверждается тем, что они получены на основе широко применяемых теоретических методов, а именно: проективного метода, используемого для

описания структур квазнхристаллов и их аппрожспмантов, а также термодинамической и статистической; теорий упорядочения. Полученные данные согласуются с ранее известными результатами.

Научная новизна работы:

1. проведена классификация кубических аппроксимантов (кристаллов Фибоначчи) по группам симметрии, некоторым стуктурным особенностям и порядку их баша оста к шосаэдрическим квазикристаялам;

2. проведено феноменологическое исследование фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аиироксимантах, и установлена их связь с фазовыми переходами в икосаэдрических квазикрпсталдах;

3. показано, что в любой структуре с додекаэдрическим локальным упорядочением (ДЛУ) атомов можно выделить две лодрешетки таким образом, чтобы узлы каждой из них были окружены узлами другой;

4. исследован возможный фазовый переход упорядочения в ромбоэдрическом А1Р<1, связанный с заполнением атомами разных элементов двух эквивалентных по дрешеток его структуры с ДЛУ атомов.

Личный вклад.

Все основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором.

Практическая ценность работы заключается в том, что:

— получил свое развитие метод додекаэдрического проецирования удобный для описания веществ с часто наблюдаемым в природе додекаэдрическим локальным упорядочением атомов;

— предложена модификация микроскопической теории упорядочения Гора

Зрэгга—Вильямса (ГБВ), учитывающая неажвивалеитные позиции атомов, :оторые всегда присутствуют в кристаллах с большими элементарными пейсами и квазикристаллах;

— в рамках модифицированной теории ГБВ получен ряд интересных рс-)ультатов, качественно описывающих протекание фазовых переходов упоря-10чсния в квазахристаллах и их аппроксимантах.

Полученные в диссертации результаты могут найти применение в физике сваоикристаллов и статистической теории упорядочения как для объяснения жеперименталъных фактов, тазе и в дальнейших теоретических исследова-гиях, и могут быть использованы в Московском государственном уннвер-;итете, Московском институте стали и сплавов, Ростовском государствсн-юм университете, Институте химии твердого тела и механохимии СО РАН, Воронежском государственном техническом университете, Государственном ааучном центре черной металлургии.

Автор выносит на защиту:

1. результаты классификации кубических аппроксимантов по группам тространственной симметрии, структурным особенностям и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам;

2. результаты феноменологического исследования фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах и их :вязи с переходами в кваоикристаллах;

3. результаты поиска возможных суперструктур в кубическом ашгрокси-манте со структурой В20;

4. модификация микроскопической теории упорядочения Горского—Брэгга— Вильямса для фазовых переходов в квазикристаллах и аппроксимантах;

5. результаты численного моделирования и качественного анализа возможного фазового перехода упорядочения в ромбоэдрическом АПМ.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на Международной конферендш: по апериодическим кристаллам Арепсх1к'97 (Франция, 1997г), конкурсах научных работ ИК РАН в 1998, 1999 гг.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 4 статьи в российских I зарубежных изданиях. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и о бъем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка ли тературы. Общий объем: диссертации 89 страниц, включая 2 таблицы и 11 ри сунков. Список литературы содержит 92 наименования работ отечественны: и зарубежных авторов. В работе используется сквозная нумерация форму) и рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обсуждается актуальность темы, цепь и задачи исследования научная новиона, практическая ценность и основные результаты по главам

Глава 1. Квазикристаллы и апдроксиманты.

Представлен обзор основных понятий, терминов и методов физики квази кристаллов.

В 1984 году Шехтман и его коллеги, проводя эксперимент по расссянш электронов на новом сплаве А^Мпм, полученном из расплава путем бы строго охлаждения; [1], обнаружили, что дифракционная картина, во-первьп

Рис. 1: Квазидсриодические структуры.

состоит из отдельных брэгговских пиков, нто указывает на дальний порядок в расположении атомов, и, во-вторых, обладает икосаэдрической симметрией, что несовместимо с периодичностью. Брэгговские пики дифракционной картины А]8дМп)4 оказалось возможным проиндексировать, используя шесть индексов Мпллера. Такой порядок, при котором рационально независимый базис обратной решетки содержит больше векторов, чем размерность пространства, стали называть квазипериодичностью, а вещества подобные А18бМп14 — икосаэдрическими квазикристаллами [2].

На рисунках 1а и 16 приведены графики двумерных квазипериодических функций /(/о) = Е®=1 с0К^Р) и д(р) = £¡=1 ят(ё}р), где е{, г = 1,... ,5 — единичные векторы, направленные к вершинам правильного пятиугольника. Из рисунков видно, что квазипериодичность предполагает непериодическое заполнение пространства схожими мотивами.

Рис. 2: Последовательность Фибоначчи и ее аппроксиманты.

Был предложен простой метод получения идеальных квазшсристалличе-ских структур путем проецирования узлов из решетки большей мерности [3]. На рис.2 показано, как с помощью данного метода можно получить одномерную квазипериодическую структуру. Узлы двумерной периодической решетки проецируются на прямую, называемую физическим пространством, образуя на ней цепочку уопов. При этом проецируются только те узлы, которые принадлежат выделенной полосе ("трубе"), проходящей вдоль некоторого выделенного направления, называемого параллельным пространством. Свойства полученной одномерной структуры сильно зависят от угла наклона трубы ф. Легко видеть, что если тангенс угла наклона — рациональное число ^ф = р/д, р, 5 е N3, то структура периодическая (с периодом ^р2 -Ъ у2).

Наиболее интересен случай — т, где г — ^ — золотое сечение. В этом случае структура, представляющая собой непериодическую цепочку

оротких (5) и длинных (X) отрезков, называется последоиательпостью (отрезков) Фибоначчи (ЕС).

Структуры с: икосаэдрлческой симметрией получают проецированием узлов :з шестнмерной 2эешетки. Направления параллельного и физического про-транств выбирают исходя из симметрии квазикристалла и локального по-ядка атомов в нем. Можно, однако, включить в рассмотрение структуры, оответствующие другим направлениям "трубы". Некоторые из таких струк-ур, так называемые "кристаллические аппроксиманты", обладают перио-ичиостью [4]. Так, например, на рис.2 изображено несколько аппроксиман-ов последовательности Фибоначчи, кото23ые соответствуют замене ирраци-нального наклона трубы т на близкие к нему отношения последовательных ленов целочисленпого ряда Фибоначчи.

Обнаружение аппроксимантов в природе дало мощный метод в исследова-:ии структур квазикристаллов благодаря тому, что в квазикристаллах прй-утствуют те же элементарные мотивы, что и в аппроксимантах, но струж-уры последних гораздо легче определить. Был предложен целый ряд кубиче-ких аиироксимантов (кристаллов Фибоначчи), последовательно приближа->щихся структурой к икосаядрическим квазикристаллам [5]. Множество по-обных кристаллов найдено в природе. Среди них — такие широко известные груктуры, как кристаллы СяС1 и ГеБь

Альтернативный проецированию способ получения идеальной квазире-[етки связан с постулированием какого-нибудь локального порядка. Приме-ом такого порядка может служить додекаэдрическое локальное уиорядоче-ие атомов (ДЛУ), при котором ближайшие соседи каждого атома занимают есколько, максимально — восемь, из двадцати вершин додекаэдра с центром

а

в этом атоме [6]. ДЛУ часто наблюдается в кристаллических аппроксимантах квазикристаялов.

Глава 2. Пространственные группы симметрии и атомная структура кубических аппроксимантов икосаэдрических кваоикристаллов. Для описания структур икосаэдрпческих квазикристаллов и их кристаллических аппроксимантов введен метод додекаэдрического проецирования, в котором орты шестимерной гиперкубической решетки проецируются на оси симметрии третьего порядка икосаэдра в физическом пространстве. Такой способ проецирования соответствует додекаэдрическому локальному упорядочению атомов (ДЛУ). При помощи данного метода проведена классификация структур кристаллов Фибоначчи.

Координаты любого уала структуры с ДЛУ в физическом пространстве задаются формулой

/

Ерк —

1 0 -г2 1

О

(1)

0 т2 1 0 -т2 1

1 0 г2 1 0 -т-2 \ /

где N — шестимерный целочисленный вектор, задающий координаты этого узла в шестимерной гиперкубической решетке. Икосаэдрическому квазикриста соответствует множество узлов шестимерной решетки, локализованное вблиад трехмерного параллельного пространства Д.., которое задается матрицей

/

Еп =

1

О г2 1 О

О т2

\

(2)

/

-г

0 -т2 ]

1 0 -т2 1 0 г2 Локализованность узлов означает, что в дополнительном к параллельному

"перпендикулярном" пространстве Д± есть ограниченная область, такая, что

все точки шестимерной решетки, проекции которых на лежат вне ;>той области, не принадлежат структуре. Проекция узла N шестимерной решетки на Я± определяется формулой:

' 1 г2 0 -1 т2 0 ^ О 1 т2 0 -1 т2 т2 0 1 т2 0 -1

(3)

\

Кристаллы Фибоначчи можно получить, если в выражениях для Ец и Е± заменить иррациональное г2 отношением Р^/~ т2 двух членов целочисленного ряда Фибоначчи, определяемых рекурентным соотношением Рп+ч = +Гп, = = !)• Кубический аппроксимант г2 ~ имеет обще-

принятое обозначение Записи 1/ - 1 и 0/1 соответствуют кристал-

лам СяО и ГеЗь С увеличением порядка аппроксиманта п на единицу период элементарной ячейки вырастает в т раз.

Точечная группа аппроксиманта совпадает с точечной группой его проекции на а его пространственная группа зависит от положения центра этой проекции в кубической решетке Браво пространства гранецентрирован-ной, если числа Гп и — оба нечетны, и простой в остальных случаях. Возможные пространственные группы симметрии кубических аппроксиман-тов с ДЛУ атомов перечислены в таблице 1.

Результаты по группам симметрии сравнены с данными, полученными ранее Ниизеки [7]. В частности, исправлена ошибка по группе симметрии А 3.

Глава 3. Фазовые переходы без изменения трансляционной симметрии

в кубических аппроксимантах.

Проведено феноменологическое исследование возможных фазовых перехо-

сочетание решетка Бравэ цент}) проекции группы симметрии

четностей в Е± в аппр оксимантов

(Н---четное)

+/- простая (ООО) Ртп3, Р23

-/+ кубическая (?гз) РаЗ, Р2]3

г. ц. х. (ООО) (Ш) ЬпЪ, 723, РтЗ, РпЗ, Р23

(Ш) 12x3, Р2{3

дов в кристаллах Фибоначчи, происходящих без изменения числа атомов в элементарной ячейке. Установлено соответствие этих фазовых переходов переходам, происходящим в икосаэдрических квазикристаллах.

Возможные изменения точечной симметрии при фазовых переходах в икосаэдрических кваоикристаллах были исследованы ранее другими авторами [8,9]. Схожесть структур хваз икрист алло в и их аппроксимантов позволяет предположить близость их физических свойств, которая должна быть тем существеннее, чем выше порядок аппрохсиманта. Связь между фазовыми переходами в икосаэдрических квазикристаллах и их кубических аппроксиман-тах определяется связью между неприводимыми представлениями точечных групп икосаэдра У и тетраэдра Т, характеры которых приведены в таблицах 2 и 3.

Так как Г является подгруппой У, то неприводимые представления группы У распадаются на неприводимые представления группы Т: Г3, Г'3 -» Е; Г4 -» А 4-Г; Г5 —> Е + Г. Аналогичное соответствие существует между неприводи-

Ткб.тица 2; Характеры неприводимых лредсгавлений группы Т.

Е 4С;1 4С? 3 С2

А 1 1 1 1

1 ехр(27гг/3) ехр(-2тгг/3) 1

1 1 ехр(-27п/3) ехр(27гг'/3) 1

Г 3 0 0 -4

Таблица 3: Харакг^ы неприводимых представлений группы У.

Е 12Сг, 12С| 20 С3 15 С2

Г1 1 1 1 1 1

Г3 3 т -г-1 0 -1

Г'з 3 -Т-1 т 0 -1

г4 4 -1 -1 1 0

г5 о 0 0 -1 1

ыми представлениями групп У/, и Т^.

Интересен случай, когда фазовый переход II рода, проходящий в квази-ристалпе с точенной группой У по одному из трехмерных представлений Г3 Г3, вызывается теми же микросгруктурными причинами, что и фазовый ереход I рода, проходящий в кубическом аплроксиманте точечной группы Т о трехмерному представлению Г. В атом случае можно сделать заключение, то последний переход является слабым переходом I рода.

Проведено подробное исследование фазовых переходов упорядочения в ап-рохснмантсО/1 со структурой В20. Его структура имеет группу симметрии 'аЗ и содержит восемь атомов в элементарной ячейке. Возможные сверх-

Рис. 3: Элементарные ячейки кубического аппрожсиманта 0/1 (а), имеющего груш симметрии РаЗ, и кристаллов, получаомых в результате его сверхструктурно] упорядочения и имеющих группы симметрии Р2i3 (б), ДЗ (в), Р2\/Ь (г), RZ (д) и Рсi (е).

структуры показаны на рис.3. Кристалл с пространственной группой сиг метрии Р2\Ъ (Рис. 86) относится к кристаллам типа FeSi, в котором каждь: атом железа окружен семью атомами кремния, а каждый атом кремния -семью атомами железа. Переход из РаЗ в Р213 является фазовым переходе II рода.

Гиава 4. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых переходов в аппроксимадтах икосаядрических квазикристаллов. Вводится модификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Виз мса [10], которая учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда пр

2.1

2.0

1тЗт

1.9-/(2у) .

1.8-

РаЗ

1.7

1.6

0

5

10

15

20

:с. 4: Зависимость температуры Тс фаповых переходов упорядочения в структурах типа 13т,—СэС1, РаЗ —К^и ЯЗ—А1Рг1 от энергий парных взаимодействий —идд, —1'вв и — идв-

тствующие в кристаллах с большими элементарными ячейками и квази-'исталлах. Данный метод был применен для описания фазового перехода [орядочения в кристалле А1Г<1. Анализ полученных данных позволил сде-ть несколько общих выводов о протекании фазовых переходов упорядоче-гя в хвазихристаллах и алпрокслмантах.

Показано, что структур}' с ДЛУ можно разбить на две подрешетки там образом, что любые два соседних в стуктуре атома относятся к разил подрешеткам. Эти подрешетки эквивалентны, если в группе симметрии руктуры присутствует злемент, переставляющий их местами. Кристалло-афически эквивалентными иодрешетками обладают квазикристалл, имею-ш простую шсстимерную гнперку биче скую решетку Бравэ, и его аппрок-манты с группами симметрии РаЗ, 1тЗ, /23, РпЗ и /213. Один из воз->жных микроскопических механизмов фазового перехода в квазикристал-х и аппрохеимантах связан с заполнением эквивалентных подрешеток ато-

1.0

0.9 0.8 0.7 { 0.6 а0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0,

2К

2а,:

2 3 4 5 кТ/(2у)

0

Рис. 5: Температурная аависимоеть вероятнос.тей /л- В^утихальная штриховая линия соответствует точке фазового перехода II рода.

мами разных элементов, что соответствует переходу икосаэдрическому квазикристаллу с гранецентрированноп гиперкубической решеткой. Этот переход является фазовым переходом II рода.

В таких сложных стукт-урах, как квазикристаллы и их аппроксиманты, различные узлы имеют разное число ближайших соседей. Узлы же с одинаковым числом ближайших соседей могут иметь окружения, отличающиеся во второй, третьей и т.д. координационных сферах. Вообще говоря, в квааи-кристалле положение каждого узла уникально. В аппроксимантах число различных типов узлов ограничено количеством атомов в элементарной ячейке.

Рассмотрим бинарный сплав равной концентрации атомов сортов А и В которые могут занимать узлы некоторой ДЛУ-решетки с двумя эквивалентными подрешетками а- и При этом а-уолы окружены /З-узлами и наоборот. Энергия сплава определяется в приближении взаимодействия ближайших соседей. Энергии взаимодействия пар АА, ВВ и АВ обозначаются

чв и -идв- Фазовый переход упорядочения возможен, если положительна ¡ргия упорядочения V = {г>Л1! - {пАА + чвв)/2). В каждой из подрешеток кно выбрать несколько типов узлов, так чтобы любые два узла, относящи-: к одному типу, были кристаллографически эквивалентны. ДЛУ-решетка >актерпзуется количеством узлгщ ¿-го типа в каждой из подрешеток ТУ,-; и :лом связей между узлами ¿-типа одной подрешетки и узлами ./-типа дру-сподрешетки Атц. Эти числа связаны соотношением ТУу - ¿¿Л7,-, где г, — зло ближайших соседей узла г-тшха. В кристалле Л^ и -ЛГу молено отнести злам одной элементарной ячейки. Состояние сплава определяется вероят-:тями, /" и //*, обнаружить атомы А на узлах г-типа подрешеток а п (3, горые определяются из условия минимума свободной энергии Р = Е - ТБ, и; условии равенства концентраций атомов А и В:

+ = № (4)

г

ергм и энтрояня определяются выражениями;

= -Е ^'ЛА /Г// + «ви//7/ + // + /?//)) (5)

Ч

= -кв £ ^(/ГЬЛ' + Л'ЬЛ (6)

¡,ре{а,/3}

Здесь / = 1 - / . Температура фазового перехода, нарушающего эквивален-ость двух подрешеток структуры, определяется равенством:

ь II - Щ + {квТ<1№))6,№Ь{р\\ = 0, (7)

' = ((№))-' + (1 - №))-<), = С/Г + /,0/2-

Рассмотрим сплав А1Рс1, в котором обнаружены три фазы вблизи точки вных концентраций атомов А1 и Р<1: кубический кристалл типа СкСЛ, имений группу симметрии РгаЗт, кубический кристалл типа ГсЯ] с группой

симметрии Р2[3 и ромбоэдрический кристалл с группой симметрии ЛЗ, им« ющий три типа узлов:

/ \ 2 6 О

(Лг1,7У2,А'3) = ( 1,6,6), = (8,7,7), =

а

е 24 12 \ 0 12 30 )

Каждый из этих кристаллов имеет ДЛУ и две симметричные подрешетк] одна из которых занята атомами А1, а другая — атомами Рс1. Для эти кристаллов были вычислены зависимости температуры фазового перехор от анергий парных взаимодействий ближайших атомов в кристалле (рис.4)

Для ДЗ-А1РЙ была также вычислена температурная зависимость вероя-ностей /¡. Характерная зависимость, рассчитанная для параметра (г^д "вв)/(2и) =5.0 приведена на рис.5.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведена классификация кубических апнроксимантов (кристаллов Ф боначчи) по группам симметрии, некоторым особенностям структуры и и рядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам с использованием м тода додекаэдричесжого проецирования. Результаты по группам симметр! сравнены с данными, полученными ранее другими методами. В частност исправлена ошибка по группе симметрии 1213. Впервые в рамках проект вного метода учтены часто наблюдаемые в квазикристаллических систем; кристаллы со структурой типа СяС1.

2. Проведено теоретико-групповое исследование фазовых переходов б изменения трансляционной симметрии в кубических ашроксимантах, и уст новлена их связь с фазовыми переходами в квазикрпсталлах. Эта связь вир деляется соответствием между неприводимыми представлениями Г>, Гд, Г^

; группы У и неприводимыми представлениями А, Е и Г группы Т, которое ажио выразить следующим образом: Гз, Г'5 —> Б'; Г 4 -+ А 4- Р; Г5 -» Е + Р.

3. Показано, что фазовый переход I рода, проходящий в кубическом ап-роксиманте по трехмерному представлению Г точечной группы Т и соот-;тствующий фазовому переходу II рода, проходящему в квазикриеталле по щому из трехмерных представлений Г3 л Г^ точечной группы У, является габым переходом I рода.

4. Рассмотрены фазовые переходы упорядочения без изменения числа ато-ов в элементарной ячейке в аппроксиманте со структурой В20 (кристаллы та РеБ1), часто наблюдаемом в квазшристаллических системах. Найдены тможные сверхструктуры.

5. Показано, что любую структуру с додекаэдрическим локальным упоря-ггением атомов можно разбить на две подрешетки, атомы каждой из кото-ых окружены атомами другой. Эти подрешетки могут быть кристадлогра-ически эквивалентными, что имеет место в примитивном икосаэдрическом »азикристалпе и его нппроксимантах с группами симметрии РаЗ, 1гнЗ, 723, пЗ и 121З.

6. Для структур с двумя эквивалентными подрешетками рассмотрен фа->вый переход II рода, связанный со сверхструктуриым упорядочением на эдрешетках атомов двух разных элементов. С этой цепью была предложена одификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Вильямса, кото-зя учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда присутствующие в эисталпах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах.

7. Модифицированный метод Горского - Врнгга - Вильямса применен для шсания фазового перехода упорядочения в кристалле А1Р<1. Обнаружено,

что следствием учета неэквивалентных позиции атомов является понижени температуры перехода.

Цитированная литература.

1. Shecbtman D.. Blech I, Gratias D., Ciihn J.W. Metallic phase with loaj. range orientational order and no traiislatiorial symmetry. - Phys. Rev. Lett 1984, v.53, p.1951-1953.

2. Levine D., Steinhnrdt P.J. QuasicrysfcaLs: a new class of ordered structure:

- Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.2477-2480.

3. Калугин ПЛ., Катаев А.Ю., Левитов Л. С. Alo,8sMno,i4 — шестимерны христалл. - Письма б ЖЭТФ, 1985, т.41, с.119 -121.

4. Mackay A.L. The symmetry of icosahedral tilings. - Scr. Metall, 198( v.20, p.1205-1210.

5. Dmitrieuko V.E. Cubic approxiruants in quasicrystal structures. - J. Phy France, 1990, v.51, p.2717-2732.

6. Dmitrieuko V.E. Quasicrystals and their approximaats: dodecahedral loc ordering versus canonical-cell description. - Acta. Cryst. A, 1994, v.50, p.51£ 526.

7. Niizuki K. The space groups of ortkorhombic approximants to the icosah dral quasicrystal. - J. Phys. A: Math.Gen., 1992, v.25, p.1843-1854.

8. Ishii Y. Mode lokiug in quasicrystals. - Phys. Rev. В., 1989, v.39, p.11862 11871.

9. Фрадкин M.A. Фаэовая диаграмма упругой нестабильности икосаэдр ческих квазикристаллов. - Письма в ЖЭТФ, 1990, т.51, с.28-31.

10. Кривоглаз М.А., Смирнов А.А. Теория упорядочивающихся сплаво

- М: Гос. изд. фио.-мат. пи т., 1958, 388с.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих: работах:

1. Chizhikov V.A., Dwitrienko V.E. Superstructural ordering and defects in the proximants of quasicrystals. - Proceedings of Apcriodic'97 - World Scientific Wishing, 1998, p.581-585.

2. Чижиков В.А. Пространственные группы симметрии и атомная струк-ракубических аппроксимантов икоснпдрических квазикристаллов. - Кристал-"рафия, 1999, т.44, н.5, с.814-822.

3. Чижиков В.А. Фазовые переходы без изменения трансляционной спм-трии в кубических алпроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. -»исталлография, 1999, т.44, н.б, с. 1094 -1099.

4. Чижиков В.А. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых пере-}овв апнроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. - Кристаллогра-я, 2000, т.45, н.1.

Введение.

Пгава1. Квазикристаллы и аппроксиманты.

1.1 Открытие квазикристаллов. Квазикристаллы и несоизмеримые кристаллические фазы.

1.2 Проективный метод. Последовательность Фибоначчи.

1.3 Мозаики Пенроуза.

1.4 Атомная структура квазикристаллов. Аппроксиманты.

Гиава2. Пространственные группы симметрии и атомная структура кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов.

2.1 Введение: атомная структура аппроксимантов.

2.2 Кристаллы Фибоначчи.

2.3 Точечные группы кристаллов Фибоначчи.

2.4 Пространственные группы симметрии кристаллов Фибоначчи.

2.5 Примеры кристаллов Фибоначчи.

2.6 Обсуждение результатов.

ПгаваЗ. Фазовые переходы без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах. 49 3.1 Введение.

3.2 Феноменология фазовых переходов.

3.3 Соответствие переходов в икосаэдрической и кубической фазах.

3.4 Примеры: переходы в аппроксиманте 0/1.

Ггава4. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых переходов в аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов.

4.1 Введение: переходы, нарушающие симметрию между четной и нечетной подрешетками.

4.1. А Феноменология.

4.1.В Приближение Горского—Брэгга—Вильямса (ГБВ).

4.2 Модификация ГБВ.

4.3 Вычисление температуры перехода.

4.4 Обсуждение результатов.

Физика квазикристаллов - молодая и быстро развивающаяся область знания. Специфика квазикристаллов - их необычная симметрия, и поэтому основные экспериментальные и теоретические исследования в этой области направлены на поиск ответов на вопросы о том, каким образом природе удается создавать столь удивительные типы веществ, и как странная симметрия влияет на их физические свойства. В частности, к таким свойствам относятся фазовые переходы, одним из важнейших следствий которых является изменение группы симметрии. Еще одним объектом для исследований стали кристаллы с большими элементарными ячейками, часто наблюдающиеся в квазикристаллических системах. Эти вещества, называемые кристаллическими аппрок-симантами, имеют близкие с квазикристаллами структуры и физические свойства. Большое количество экспериментальных данных о фазовых переходах в квазикристаллах и аппроксимантах вызывает интерес к их теоретическому описанию.

Основной цепью представленной работы является теоретическое исследование фазовых переходов в кристаллических аппроксимантах ико-саэдрических квазикристаллов в рамках термодинамической и статистической теорий.

Степень достоверности результатов работы достаточно высока; это подтверждается тем, что они получены на основе широко применяемых теоретических методов, а именно: проективного метода, используемого для описания структур квазикристаллов и их аппроксимантов, а также термодинамической и статистической теорий упорядочения. Полученные данные согласуются с ранее известными результатами.

Научная новизна работы состоит в том, что: проведена классификация кубических аппроксимантов (кристаллов Фибоначчи) по группам симметрии, некоторым стуктурным особенностям и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам; проведено феноменологическое исследование фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксиман-тах, и установлена их связь с фазовыми переходами в икосаэдрических квазикристаллах; показано, что в любой структуре с додекаэдрическим локальным упорядочением (ДЛУ) атомов можно выделить две подрешетки таким образом, чтобы узлы каждой из них были окружены узлами другой; исследован возможный фазовый переход упорядочения в ромбоэдрическом А1Рс1, связанный с заполнением атомами разных элементов двух эквивалентных подрешеток его структуры с ДЛУ атомов.

Практическая ценность работы заключается в том, что получил свое развитие метод додекаэдрического проецирования удобный для описания веществ с часто наблюдаемым в природе додекаэдрическим локальным упорядочением атомов; предложена модификация микроскопической теории упорядочения Горского—Брэгга—Вильямса (ГБВ), учитывающая неэквивалентные позиции атомов, которые всегда присутствуют в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах; в рамках модифицированной теории ГБВ получен ряд интересных результатов, качественно описывающих протекание фазовых переходов упорядочения в квазикристаллах и их аппроксимантах.

Автор выносит на защиту: результаты классификации кубических аппроксимантов по группам пространственной симметрии, структурным особенностям и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам; результаты феноменологического исследования фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах и их связи с переходами в квазикристаллах; результаты поиска возможных супер структур в кубическом ап-проксиманте со структурой В20; модификация микроскопической теории упорядочения Горского— Брэгга—Вильямса для фазовых переходов в квазикристаллах и аппроксимантах; результаты численного моделирования и качественного анализа возможного фазового перехода упорядочения в ромбоэдрическом А1Рс1.

Работа разделена на главы и параграфы. В главе 1 настоящей диссертации представлен обзор основных понятий, терминов и методов физики квазикристаллов.

В главе 2 для описания структур икосаэдрических квазикристаллов и их кристаллических аппроксимантов введен метод додекаэдри-ческого проецирования, в котором орты шестимерной гиперкубической решетки проецируются на оси симметрии третьего порядка икосаэдра в физическом пространстве. Такой способ проецирования соответствует часто наблюдаемому в квазикристаллах и аппроксиман-тах додекаэдрическому локальному упорядочению атомов, при котором ближайшие соседи каждого атома расположены в вершинах додекаэдра с центром в этом атоме. При помощи данного метода проведена классификация структур кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов (кристаллов Фибоначчи). Результаты по группам симметрии сравниваются с данными Ниизеки [53], полученными ранее методом икосаэдрического проецирования.

В главе 3 проведено феноменологическое исследование возможных фазовых переходов в кристаллах Фибоначчи, происходящих без изменения числа атомов в элементарной ячейке. Установлено соответствие этих фазовых переходов переходам, происходящим в икосаэдрических квазикристаллах. Проведено подробное исследование фазовых переходов замещения в кристаллах типа ГеЯь

В главе 4 вводится модификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Вильямса, которая учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда присутствующие в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах. Данный метод был применен для описания фазового перехода упорядочения в кристалле А1Рс1. Анализ полученных данных позволил сделать несколько общих выводов о протекании фазовых переходов упорядочения в квазикристаллах и аппро-ксимантах.

В заключительной части резюмируются основные итоги диссертации. По результатам диссертации был сделан доклад на Международной конференции Арепос11с'97 (Франция), опубликовано четыре статьи [89, 90, 91, 92].

Гйава 1. Квазикристаллы и аппроксиманты.

Основные результаты и выводы.

1. Проведена классификация кубических аппроксимантов (кристаллов Фибоначчи) по группам симметрии, некоторым особенностям структуры и порядку их близости к икосаэдрическим квазикристаллам с использованием метода додекаэдрического проецирования. Результаты по группам симметрии сравнены с данными, полученными ранее другими методами. В частности, исправлена ошибка по группе симметрии 12 1З. Впервые в рамках проективного метода учтены часто наблюдаемые в квазикристаллических системах кристаллы со структурой типа С8С1.

2. Проведено теоретико-групповое исследование фазовых переходов без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксиман-тах, и установлена их связь с фазовыми переходами в квазикристаллах. Эта связь определяется соответствием между неприводимыми представлениями Г3, Г'3, Г4 и Г5 группы У и неприводимыми представлениями А, Е и Р группы Т, которое можно выразить следующим образом:

Г37 Г'3 Б; Г4 А + Б; Г5-Е + Р.

3. Показано, что фазовый переход I рода, проходящий в кубическом аппроксиманте по трехмерному представлению Р точечной группы Т и соответствующий фазовому переходу II рода, проходящему в квазикристалле по одному из трехмерных представлений Г3 и Г3 точечной группы У, является слабым переходом I рода.

4. Рассмотрены фазовые переходы упорядочения без изменения чиела атомов в элементарной ячейке в аппроксиманте со структурой В20 (кристаллы типа Бе81), часто наблюдаемом в квазикристаллических системах. Найдены возможные сверхструктуры.

5. Показано, что любую структуру с додекаэдрическим локальным упорядочением атомов можно разбить на две подрешетки, атомы каждой из которых окружены атомами другой. Эти подрешетки могут быть кристаллографически эквивалентными, что имеет место в примитивном икосаэдрическом квазикристалле и его аппроксимантах с группами симметрии РаЗ, /тЗ, /23, РпЗ и 12\3.

6. Для структур с двумя эквивалентными подрешетками рассмотрен фазовый переход II рода, связанный со сверхструктурным упорядочением на подрешетках атомов двух разных элементов. С этой целью была предложена модификация микроскопической теории Горского - Брэгга - Вильямса, которая учитывает неэквивалентные позиции атомов, всегда присутствующие в кристаллах с большими элементарными ячейками и квазикристаллах.

7. Модифицированный метод Еорского - Брэгга - Вильямса применен для описания фазового перехода упорядочения в кристалле А1Рс1. Обнаружено, что следствием учета неэквивалентных позиций атомов является понижение температуры перехода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук В.Е.Дмитриенко за постановку задач и помощь в поисках наиболее эффективных путей их решения.

1. Shechtman В., Blech 1., Gratias В., Cahn J.W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.1951-1953.

2. Ланцау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. Часть 1. М.: Наука, 1976, 584 с.

3. Henley C.L. Quasicrystal order, its origins and its consequences a survey of current models. Comments Cond. Mat. Phys., 1987, v.13, 1Ю.2, p.59-117.

4. Janot C. Quasicrystals: a primer. Oxford Science Publication, 1992, 150 p.

5. Lectures on quasicrystals. ed. by Hippert F., Gratias D. France: Les editions de physique, 1994, 565 p.

6. Levine В., Steinhardt P.J. Quasicrystals: a new class of ordered structures. Phys. Rev. Lett., 1984, v.53, p.2477-2480.

7. Janssen T. Crystallography of quasicrystals. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.261-271.

8. Лифшиц E.M. К теории фазовых переходов второго рода. -ЖЭТФ, 1941, т.11, с.255-268.

9. Toledano J.-С., Toledano P. The Landau Theory of Phase Transition. World Scientific Publishing, 1987. - перевод: Толедано Ж.-К., To-ледано П. Теория Ландау фазовых переходов. - М.: Мир, 1994, 461с.

10. Wang N., Chen Н., Кио К.Н. Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry. Phys. Rev. Lett., 1987, v.59, p.1010-1013.

11. Bendersky L. Quasicrystal with one-dimensional translational symmetry and a tenfold rotational axis. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.1461-1463.

12. Fung KG., Yang C.Y., Zhou Y.Q., Zhao J.G., Zhan W.S., Shen B.G. Icosahedrally related decagonal quasicrystal in rapidly cooled Al-14-at%-Fe alloy. Phys. Rev. Lett., 1986, v.56, p.2060-2063.

13. Ishimasa Т., Nissen H.-U., Fukano Y. New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.511 513.

14. Калугин П.А., Китаев А.Ю., Левитов JI.С. А10;8бМпод4 — шестимерный кристалл. Письма в ЖЭТФ, 1985, т.41, с.119-121.

15. Elser V. Comment on "Quasicrystals: a new class of ordered structures." Phys. Rev. Lett., 1985, v.54, p.1730.

16. Dune au M., Katz A. Quasiperiodic patterns. Phys. Rev. Lett., 1985, v.54, p.2688 2691.

17. Bale P. Icosahedral crystals: where are the atoms? Phys. Rev. Lett., 1986, v.56, p.861-864.

18. Bak P. Icosahedral crystals from cuts in six-dimensional space. Scr. Metall, 1986, v.20, p.1199-1204.

19. Wolff P.M. de The pseudo-symmetry of modulated crystal structures. Acta Cryst. A, 1974, v.30, p.777-785.

20. Wolff P.M. de Symmetry operations for displacively modulated structures. Acta Cryst. A, 1977, v.33, p.493-497.

21. Janner A., Janssen T. Symmetry of periodically distorted crystals. -Phys. Rev. B, 1977, v.15, p.643-658.

22. Janner A., Janssen T. Superspace groups. Physica A, 1979, v.99, p.47-76.

23. Janner AJanssen T. Symmetry of incommensurate crystal phases.I. Commensurate basic structures. Acta Cryst. A, 1980, v.36, p.399-408.

24. Janner A., Janssen T. Symmetry of incommensurate crystal phases.I. Incommensurate basic structures. Acta Cryst. A, 1980, v.36, p.408-415.

25. Wolff P.M. de, Janssen Т., Janner A. The space groups for in-comennsurate crystal structures with a one-dimensional modulation.- Acta Cryst. A, 1981, v.37, p.625-636.

26. Levine D., Steinhardt P.J. Quasicrystals I. Definition of structure. -Phys. Rev. В., 1986, v.34, p.596-616.

27. Bruijn N.G. de Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. A, 1981, v.43, p.39.

28. Kramer P. Non-periodic central space filling with icosahedral symmetry using copies of seven elementary cells. Acta Cryst. A, 1982, v.38, p.257-264.

29. Kramer P., Neri R. On periodic and non-periodic space filling of Em obtained as projection. Acta Cryst. A, 1984, v.40, p.580-587.

30. Katz A., Duneau M. Quasiperiodic pattern and icosahedral symmetry.- J. Physique, 1986, v.47, p.181-196.

31. Penrose R. Pentaplexity: a class of nonperiodic tilings of the plane. -Math. Intelligencer, 1979, v.2. p.32-37.

32. Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers. NY: W.H. Freeman and Company, 1989. перевод: Гарднер M. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.: Мир, 1993, 416 с.

33. Mackay A.L. Crystallography and the Penrose pattern. Physica A, 1982, v.114,^p.609-613.

34. Маккей А.Л. De nive quinquangula — о пятиугольных снежинках. Кристаллография, 1981, т.26, с.910-919.

35. Mosseri R., Sadoc J.F. in Structure of noncrystalline materials 1982.1.ndon: Taylor and Francis, 1983.

36. Cornier-Quiquandon M., Quivy A., Lefebvre S., Elkaim E., Heger G., Katz A., Gratias D. Neutron-diffraction study of icosahedral Al-Cu-Fe quasicrystals. Phys. Rev. В., 1991, v.44, p.2071-2084.

37. Cockayne E., Phillips R., Кап X.B., Moss S.C., Robertson J.L., Ishi-masa Т., Mori M. Use of periodic approximants in the structure refinement of icosahedral AlCuFe. J. Non-Cryst. Solids, 1993, v.153-154, p.140-144.

38. Katz A., Gratias D. A geometrical approach to chemical ordering of icosahedral structures. J. Non-Cryst. Solids, 1993, v.153-154, p.187-195.

39. Cockayne E. Nonconnected atomic surfaces for quasicrystalline spere packings. Phys. Rev. B, 1994, v.49, p.5896-5910.

40. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B. Atomic model for the growth of icosahedral quasicrystals. Письма в ЖЭТФ, 1995, т.61, с.316-320.

41. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B. Oscillating interatomic potentials and growth of icosahedral quasicrystals. Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, p.1538-1541.

42. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B., Kleman M. Friedel oscillations and atomic growth of quasicrystals. Proceedings of Aperiodic'97 - World Scientific Publishing, Singapore, 1998, p.493-497.

43. Dmitrienko V.E., Astaf'ev S.B., Kleman M. Monte Carlo simulations of icosahedral quasicrystal growth and melting. Physical Review B, 1999, v.59, p.286-293.

44. Budai J.D., Tischler J.Z., Habenschuss A., Ice G.E., Elser V. X-ray diffraction study of phason strain field in oriented icosahedral Al-Mn.

45. Phys. Rev. Lett., 1987, v.58, p.2304-2307.

46. Chen H.S., Kortan A.B., Parsey J.M. Growth-induced phason strains in icosahedral quasicrystals of Al-Li-Cu. Phys. Rev. B., 1988, v.38, p.1654-1658.

47. Mackay A.L. The symmetry of icosahedral tilings. Scr. Metall., 1986, v.20, p.1205-1210.

48. Kuriyama M., Long G.G. Single crystal structure of rapidly cooled alloys with icosahedral symmetry. I. Experimental analysis. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.156-164.

49. Kuriyama M., Long G.G. Single crystal structure of rapidly cooled alloys with icosahedral symmetry. I. Theoretical analysis — internal modulations. Acta Cryst. A, 1986, v.42, p.164-172.

50. Gratias D., Cahn J.W. Periodic and quasiperiodic crystals. Scr. Metall., 1986, v.20, p.1193-1197.

51. Дмитриенко B.E. Al86Mni4 — квазикристалл или кубический кристалл? Письма в ЖЭТФ, 1987, т.45, с.31-34.

52. Abe Е., Tsai А.P. Quasicrystal-crystal transformation in Zn-Mg-rare-earth alloys. Phys. Rev. Lett., 1999, v.83, p.753-756.

53. Dmitrienko V.E. Cubic approximants in quasicrystal structures. J. Phys. France, 1990, v.51, p.2717-2732.

54. Niizelci K. The space groups of orthorhombic approximants to the icosahedral quasicrystal. J. Phys. A: Math.Gen., 1992, v.25, p.1843-1854.

55. Drager J., Lifshitz R., Mermin N.D. Tetrahedral quasicrystals. Proc. of the 5th International Conference on Quasicrystals - World Scientific Publishing, 1995, p.72-75.

56. Rokhsar D.S., Mermin N.D., Wright D.C. Rudimentary quasicrystal-lography: the icosahedral and decagonal reciprocal lattices. Phys. Rev. B, 1987, v.35, p.5487-5495.

57. Levitov L.S., Rhyner J. Crystallography of quasycrystals; application to icosahedral symmetry. J, Phys. France, 1988, v.49, p.1835-1849.

58. Devaud-Rzepski J., Quivy A., Calvayrac Y., Cornier-Quiquandon M., Gratias D. Antiphase domains in icosahedral Al-Cu-Fe alloy Phil. Mag. B, 1989, v.60, p.855-869.

59. Ebalard S., Spaepen F. The body-centered-cubic-type icosahedral reciprocal lattice of the Al-Cu-Fe quasi-periodic: crystal. J. Mater. Res., 1989, v.4, p.39-43.

60. Tsai A.P., Inoue A., Masumoto T. Chemical order in an Al-Pd-Mn icosahedral quasycrystals. Phil. Mag. Lett., 1990, v.62, p.95-102.

61. Hiraga K., Hirabayashi M., Tsai A.P. et a 1. Mater. Trans. Japan Inst. Metals, 1991, v.32, p.308.

62. Waseda A., Kimura K., Ino H. Mater. Trans. Japan Inst. Metals, 1993, v.34, p.169.

63. Dmitrienko V.E. Quasicrystals and their approximants: dodecahedral local ordering versus canonical-cell description. Acta. Cryst. A, 1994, v.50, p.515-526.

64. Dmitrienko V.E. Dodecahedral local ordering in quasicrystals and in approximants. Mater. Sei. Forum, 1994, v.150-151, p.199 210.

65. Koptsik V.A. Generalized symmetry in crystal physics. Comput. Math. Appl., 1988, v.16, p.407-424.

66. Koptsik V.A. Crystallography of quasicrystals: the problem of restoration of broken symmetry. Lecture notes in Physics - Berlin, 1991, v.382. p.588-600.

67. Беляев О.А., Копцик В.А. Теория нелинейных акустических эффектов в слоистых квазикристаллах. Кристаллография, 1997, т.42, в.2, с.225-232.

68. Беляев О.А. К теории несоразмерно модулированных квазикристаллов: модель типа Френкеля—Конторовой для квазирешетки Фибоначчи. Кристаллография, 1998, т.43, в.4, с.398.

69. Галиулин Р.В. Идеальные кристаллы в пространствах постоянной кривизны. Кристаллография, 1994, т.39, в.4, с.581-585.

70. Воробьев ЯЛ. Числа Фибоначчи. М: Наука, 1969, 112с.

71. Elser V., Henley C.L. Crystal and quasicrystal structures in Al-Mn-Si alloys. Phys. Rev. Lett., 1985, v.55, p.2883-2886.

72. Dmitriev V.P., Rochal S.B., Lorman V.L., Toledano P. Density-wave theory of the crystal-to-quasicrystal phase transition in FeTi2 alloys. Phys. Rev. B, 1994, v.49, p.838-843.

73. Rochal S.B., Dmitriev V.P., Lorman V.L., Toledano P. Local mechanism for crystal-quasicrystal transformation. Physics Lett. A, 1996, v.220, p.111-115.

74. Рошаль С.Б. Теория фазового перехода кристалл—квазикристапл и ее приложения к конкретным структурам. Кристаллография, 1997, т.42, н.5, е.780-790.

75. Рошаль С.Б., Дмитриев В.П., Лорман B.JI., Толедано П. Механизм фазового перехода кристалл—квазикристалл и особенности окта-гонального квазикристаллического порядка в сплавах Mni2Si2- -ФТТ, 1995, т.37, н.1, с.237-248.

76. Ishii Y. Mode loking in quasicrystals. Plays. Rev. В., 1989, v.39, p.11862-11871.

77. Фрадкин M.A. Фазовая диаграмма упругой нестабильности ико-саэдрических квазикристаллов. Письма в ЖЭТФ, 1990, т.51, с.28-31.

78. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989, 752 с.

79. Инденбом В.Л. Фазовые переходы без изменения числа атомов в элементарной ячейке кристалла. Кристаллография, 1960, т.5, с.115-125.

80. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. ЖЭТФ, 1937, т.7, с.19-32.

81. Gorsky W. Rontgenographische Untersuchung von Umwandlungen in der legierung CuAu Z. Phys., 1928, v.50, p.64.

82. Bragg W.L., Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-I. Proc. Roy. Soc. A, 1934, v.145, p.699.

83. Bragg W.L., Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-II. Proc. Roy. Soc. A, 1935, v.151, p.540.

84. Williams E.J. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys-Ill. Proc. Roy. Soc. A, 1935, v.152, p.231.

85. Кривоглаз M.A., Смирнов А.А. Теория упорядочивающихся сплавов. M: Гос. иод. физ.-мат. лит., 1958, 388с.

86. Смирнов А.А. Теория сплавов внедрения. М: Наука, 1979, 368с.

87. Heychenko V.V., Smirnov А.А. The theory of order—disorder transformations in alloys with several phase-transition points. Proc. Inter. Symp. Order-Disorder Transform, in Alloys NY: Springer, 1974, p.80-85.

88. Канюка А.К., Смирнов А.А. Теория влияния давления на упорядочение сплавов, учитывающая зависимость объема от степени дальнего порядка. ФММ, 1967, т.24, с.989-999.

89. Dotera Т., Steinhardt P.J. Ising-like transition and phason unlocking in icosahedrak quasicrystal. Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, p.1670-1673.

90. Chizhikov V.A., Dmitrienko V.E. Superstructural ordering and defects in the approximants of quasicrystals. Proceedings of Aperiodic'97 -World Scientific Publishing, 1998, p.581-585.

91. Чижиков В.А. Пространственные группы симметрии и атомная структура кубических аппроксимантов икосаэдрических квазикристаллов. Кристаллография, 1999, т.44, с.814-822.

92. Чижиков В.А. Фазовые переходы без изменения трансляционной симметрии в кубических аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. Кристаллография, 1999, т.44, н.6, с.1094-1099.

93. Чижиков В.А. Теория Горского—Брэгга—Вильямса для фазовых переходовв аппроксимантах икосаэдрических квазикристаллов. -Кристаллография, 2000, т.45, н.1, c.1ZS~ /33.