Фазоны в квазикристаллах: динамика, их роль в фазовых переходах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Козинкина Елена Александровна

ФАЗОНЫ В КВАЗИКРИСТАЛЛАХ: ДИНАМИКА ИХ РОЛЬ В ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре физики кристаллов и структурного анализа Ростовского государственного университета

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук Рошаль С.Б. (Ростовский государственный университет)

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук Дмитриенко В.Е. (институт кристаллографии РАН, г. Москва);

- кандидат физико-математических наук Широков В.Б. (НИИ физики РГУ, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация:

Южнороссийский государственный технический университет (г. Новочеркасск)

Защита состоится «20» января 2006 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д.212.208.05 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344104, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 194, НИИ физики РГУ, аудитория 411

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «¿£» декабря 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д.212.208.05, кандидат физико-математических наук

ГЛ. Гегузина

200&4

г<ыы

21£ЗП5

з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Квазикристаллы были открыты сравнительно недавно в 1984 году и представляют собой новый вид материалов, которые обладают дальним квазипериодическим порядком, сочетающимся с некристаллографической поворотной симметрией. Квазикристаллическая функция плотности может был. разложена в ряд Фурье. При таком разложении число базисных векторов обратного пространства больше размерности физического пространства, в котором существует реальный квазикристалл. Этот факт является одной из основных причин, обуславливающих различие между физическими свойствами квазикристаллов и кристаллов. В частности квазикристаллы обладают дополнительными голдстоуновскими фазонными степенями свободы, отсутствующими в кристаллическом состоянии.

Интерес к исследованию квазикристаллов не ослабевает, поскольку это новый класс материалов и, несмотря на интенсивные исследования в данной области, многие вопросы, касающиеся, например, механизмов формирования квазикристаллического порядка и структурных превращений квазикристалл - кристалл остаются до конца невыясненными. Кроме того, представляет интерес исследование фонон-фазонной динамики квазикристаллов, обуславливающей их физические свойства и фазовые переходы квазикристалл - кристаллическая аппроксиманта. Важность прояснения вопросов, касающихся развития обобщенной теории упругости квазикристаллов и механизмов фазовых переходов квазикристалл - кристалл, определяет актуальность темы данной диссертационной работы.

Целью работы являлось теоретическое исследование роли фазонов в эластодинамике квазикристаллов и фазовых переходах квазикристалл -кристалл.

Для достижения цели исследования были поставлены и решены

следующие задачи:

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ »

БИБЛИОТЕКА

- исследование влияния фазонных возбуждений на динамику акустических мод и резонансное поглощение низкочастотных звуковых волн в области температур, соответствующих термической активации фазонов, в рамках минимальной модели фонон-фазонной динамики.

- построение модели бездефектного перехода квазикристалл -кристалл посредством линейной фазонноЙ деформации, исследование условий его осуществления и анализ области применимости такой модели.

Объектами исследования являлись металлические сплавы, имеющие квазикристаллическую структуру. В частности решение первой поставленной задачи проводилось на примере икосаэдрической симметрии, реализующейся в сплаве А1-Рс1-Мп. При решении второй поставленной задачи рассматривались октагональные, декагональные и икосаэдрические структуры, реализующиеся в сплавах Сг-№-81, А1-Со-М1 и А1-Мп-8!, А1-Ре-81 соответственно.

Научная новизна.

1. Впервые показано, что в икосаэдрических квазикристаллах анизотропия скорости и логарифмического декремента затухания звуковых воли с малыми волновыми векторами наиболее сильно проявляется при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

2. Впервые в уравнения минимальной модели фонон-фазонной динамики в квазикристаллах включены члены, ответственные за пиннинг фазонных мод, и исследовано влияние пиннинг эффекта на анизотропию скорости и внутреннего трения звуковых волн.

3. Впервые построена модель бездефектного перехода квазикристалл - кристалл посредством линейной фазонной деформации, проанализирована область применимости такой модели и исследованы условия осуществления такого перехода.

4. Впервые показано, что линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности.

Процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до тех пор, пока атомная поверхность остается выпуклой.

Научная и практическая значимость. Результаты, полученные на основе предложенной минимальной модели фонон-фазонной динамики в квазикристаллах, вносят вклад в развитие обобщенной теории упругости квазикристаллов. Разработанная модель бездефектного перехода квазикристалл — кристалл посредством линейной фазонной деформации проясняет механизмы фазовых переходов квазикристалл - кристалл и объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Сг-М-Б!, А1-Со-М, А1-Мп-81, АЬРе-вь Для квазикристаллов различной симметрии, реализующейся в данных сплавах, определены граничные значения компонент тензора линейных фазонных деформаций, в пределах которых процесс перехода квазикристалл — кристалл будет бездефектным. Механизм бездефектного перехода квазикристалл - кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в №мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность.

Обоснованность и достоверность результатов обусловлены использованием широко применяемых теоретических методов, а именно: методов теории групп, методов многомерной кристаллографии, в том числе проективного метода. Полученные в диссертации теоретические результаты согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Фонон-фазонное взаимодействие в икосаэдрических квазикристаллах приводит к анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания) звуковых волн с малыми волновыми векторами. Наиболее сильно эти эффекты проявляются при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

2. Линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности. Процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до тех пор, пока атомная поверхность остается выпуклой. Это условие задает ограничения на область значений компонент тензора линейной фазонной деформации.

3. Механизм бездефектного перехода квазикристалл - кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в N-мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность. Предложенная модель бездефектного перехода объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si. Образованию предельных структур соответствуют граничные значения линейных фазонных деформаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по апериодическим структурам «Aperiodic Structures - 2001» (г. Крыница, Польша, 2001), Международном симпозиуме фазовых превращений в твердых растворах и сплавах «ОМА-2003» (г. Сочи, 2003), Пятой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-5» (г.Екатеринбург, 1999), Седьмой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-7» (г. Санкт-Петербург, 2001), Девятой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-9», (г. Красноярск, 2003).

Публикации. Основные результаты диссертации полностью отражены в 12 печатных работах, из них 7 опубликовано в реферируемых журналах «Physical Review В», «Физика твердого тела», «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки»; остальные — в сборниках трудов международных и всероссийских конференций.

Личный вклад автора. Выбор темы, планирование работы, постановка задач, формулировка моделей и обсуждение полученных результатов проводились автором совместно с научным руководителем, доктором физ.-мат. наук, профессором кафедры физики кристаллов и структурного анализа С.Б. Рошалем.

Составление программ для расчетов, все вычисления, а также анализ полученных результатов и формулировка основных выводов выполнены соискателем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 118 страницах и включает 22 рисунка, 2 таблицы, библиографию из 162 наименований и список работ автора по теме диссертации -12 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель диссертационной работы и поставлены задачи исследования, представлены основные объекты исследования, указана научная новизна, приведена научная и практическая значимость работы, обусловлена достоверность результатов, сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту. А также приведены сведения о личном вкладе автора, апробации работы и публикациях по теме диссертации.

В первой главе рассмотрены современные представления о фазонах в апериодических структурах. Вначале описываются квазикристаллы и их симметрия. Далее вводится понятие фазонов в несоразмерных фазах, сравнивается природа и атомная реализация фазонных возбуждений в квазикристаллах и несоразмерных структурах, сравнение проводится в рамках многомерной кристаллографии. Подчеркивается, что в несоразмерном кристалле фазонная мода может распространяться подобно звуку, тогда как в квазикристалле данная мода соответствует дискретным атомным смещениям или перескокам, которые ассоциируются с фазонными деформациями. Далее приводятся экспериментальные данные,

подтверждающие, что длинноволновые фазонные возбуждения в квазикристаллах являются скореллированными атомными прыжками или коллективными диффузионными модами, и рассматривается влияние фазонных колебаний на физические свойства квазикристаллов. В завершение приводятся элементы теории упругости квазикристаллов, классификация кристаллических аппроксимант и данные по фазовым переходам квазикристалл - кристалл, где подчеркивается ключевая роль фазонных прыжков в процессе таких структурных преобразований.

Вторая глава посвящена исследованию фонон-фазонной эластодинамики квазикристаллов. Теория упругости квазикристаллов является обобщением классической теории упругости на Ы-мерные пространства (N>3). Ы-мерное фазовое пространство Е, в котором квазикристалл описывается периодической функцией плотности, распадается на два подпространства: физическое прямое пространство размерности И, и его ортогональное дополнение размерности N-<1. Деформация квазикристалла описывается Ы-мерным вектором смещения й = и®№, где и - вектор фононного смещения, размерности с1,у/~ вектор фазонного смещения, размерности Ы-с1. Упругая энергия рассматривается в виде суммы трех слагаемых: упругой энергии, соответствующей фононной степени свободы, упругой энергии, соответствующей фазонной степени свободы и упругой энергии фонон-фазонного взаимодействия [1].

В начале главы проводится анализ трех известных моделей фонон-фазонной динамики квазикристаллов. Каждая модель представлена системой дифференциальных уравнений. Из сравнения моделей видно, что некоторые уравнения практически эквивалентны, а другие несовместимы друг с другом. Первоначально предложенные уравнения для описания вязкоупругого поведения икосаэдрического квазикристалла [2] относятся к гидродинамическим, и как показывает анализ, скорее описывают поведение некоторого аморфного вещества с икосаэдрической симметрией, по упругим свойствам сильно отличающегося от реального

квазикристалла. Согласно последним экспериментальным данным [3], упругое поведение квазикристаллических систем схоже с упругим поведением обычных металлических сплавов вплоть до температур, близких к температуре плавления квазикристалла: малая деформация является упругой, а область пластической деформации начинается с определенной критической величины нагрузки. Подход к проблеме эластодинамики квазикристаллов, отличный от гидродинамического и удовлетворяющий квазикристаллическим упругим свойствам, был предложен в работе [4], где введены в рассмотрение фазонные напряжения и сформулирован обобщенный закон Гука для квазикристаллов, приведены условия равновесия и один из вариантов уравнений движения. Однако данные уравнения фонон-фазонной динамики записаны в общем виде и не учитывают диффузионную природу фазонной моды в квазикристаллах. Уравнения третьего подхода, удовлетворяющие квазикристаллическим упругим свойствам, и учитывающие диффузионную природу фазонов, были развиты, например, в работе [5]. Также в рамках третьего эластодинамического подхода проводилось настоящее исследование, касающееся проблемы внутреннего трения и поглощения звука в икосаэдрических квазикристаллах, которое приведено в рассматриваемой главе диссертационной работы.

Таким образом, после проведения анализа эластодинамических уравнений вышерассмотренных подходов была сформулирована минимальная модель фонон-фазонной динамики, учитывающая диффузионную природу фазонной моды в квазикристаллах и затухание фононной моды вследствие вязкости среды. Данная модель описывается следующей системой уравнений:

д^+Р^ри,

где и Ну — компоненты тензоров обычных и обобщенных фазонных напряжений соответственно, Р' - компоненты диссипативного тензора

напряжений, учитывающего обычную вязкость, р - плотность квазикристалла, й, - компонента вектора ускорения рассматриваемой единицы объема, коэффициент В описывает объемное фазонное трение, V, - производная по времени от компоненты вектора фазонного смещения.

Система (1) решается методом Фурье. После подстановки решения в виде плоских затухающих фонон-фазонных волн, характеризующихся шестимерным вектором поляризации и и обычным трехмерным волновым вектором q, дифференциальные уравнения фонон-фазонной эластодинамики сводятся к системе алгебраических линейных уравнений:

£Ыч)+<^(Ч)][/, =«(*)[/*, (2)

где - фонон-фазонная динамическая матрица, б^/я) - матрица,

соответствующая фурье-образу тензора вязкости; а(к) - рт2 и ик~ и0к, еслик= 1,2,3; а(к) = ¡Оа> и {/* = и'ок. если к= 4,5,6, где I = V—Т; со-частота колебаний, мнимая часть которой определяет затухание волны; и0 и w0 -векторы обычной и фазонной поляризации соответственно.

Решение системы (2) проводилось на примере икосаэдрического квазикристалла А1-Рс1-Мп. Были рассмотрены три частных случая, соответствующие волновым векторам, параллельным осям пятого (направление [1,г,0]), третьего (направление [г2,1,0]) и второго (направление [1,0,0]) порядка соответственно. Для этих направлений волнового вектора возможна диагонализация динамической матрицы, и определитель системы (2) распадается на произведение трех определителей второго порядка типа:

УЧ2 ~ Р®2 ~ 'ЛсВ^Я2 ¡Я2 (3)

1цг ¡О^-Юа*

где V, I, К - эффективные константы фононной упругости, фонон-фазонного взаимодействия и фазонной упругости соответственно; 7]сП -константа эффективной вязкости, которая является изотропной в случае

икосаэдрической симметрии и принимает два независимых значения т/" и 7х дшг продольных и поперечных волн соответственно. Эффективная константа фононной упругости также изотропна и равна для продольных волн V = А + 1ц, для поперечных V = /л Коэффициенты К, I зависят от направления волнового вектора и поляризаций и0 и у/0 (см. таблицу 1). Таблица 1. Эффективные упругие константы К и / для икосаэдрической симметрии.

ч По »0 К / лг

q<\,t,Q>t л/г + 2 и<1,г,0>/ЛГ мХт,Л,0>Ш КгЮКг -2Кз 4Т+2

и<0,0,1> и><0,0,1> АГ,+2/3^2 0 1

и<-т,\,0>/И н<1,т,0>/М К1+2/ЗК2 0 47+2

?<г2Л,0>/ -УЗг + З гКТ2,1,0>/У 2/ЗЛГз л/Зт+З

и<0Д1> ч"<0,0,1> Кх-ШКг -4/3*3 1

и<- 1,т2,0>М £,-2/3*2 -4/3*з л/Зг+З

»<1,0,0> >е<1,0,0> Кх-ШКг Кз 1

?<1,0,0> «<0,1,о> ш<0,1,0> *1+(Г-1/3)*2 Кз /г 1

и<0,0,1> ш<0,0,1> АГ,+(2/3-ГЖ2 -тКз 1

Далее в минимальной модели фонон-фазонной динамики был учтен пиннинг эффект аналогично учету пиннинг эффекта в несоразмерных структурах: в упругую энергию квазикристалла был введен член При этом изменился фазонный блок динамической матрицы, и определитель (3): к элементу второй строки второго столбца добавилось слагаемое Влияние пиннинг эффекта на динамику фонон-фазонных мод в квазикристаллах ранее не исследовалось. Рассмотрение проводилось для поперечных мод, так как в случае икосаэдрической симметрии для продольных звуковых волн необходимо учитывать небольшое дополнительное затухание, связанное с возникающей при распространении звука пространственной неоднородностью температуры. Таким образом, исследовались свойства решения озркп(ч) следующего уравнения

!цс?-ртг -Щусоцг 1д2 || 0

1д2 Кд*-Ш1У + /Л

Коэффициент объемного фазонного трения Б рассматривался как убывающая функция температуры, что соответствует предположению, что

при низкой температуре £) велико, и фазоны заморожены, а при высокой температуре £> мало, и фазоны могут релаксировать. Подвижность фазонов определяется их временем жизни Тр^ « П!(Кд2 + /3), которое оценено на основании уравнения (4), пренебрегая фонон-фазонным взаимодействием.

В результате анализа предельных случаев было показано следующее. Если И —* оо, то в зависимости о)рЪп(д) отсутствует анизотропия, и нет слагаемого, ответственного за пиннинг эффект:

«рнп- 2р ■

В случае 0=0, когда время релаксации фазонов пренебрежимо мало, анизотропия 1т отсутствует, а Яе анизотропна:

-/77V +

®Phn=-

4pq

' 'У )

-WV

— (6)

При этом, если пренебречь пиннинг эффектом и при условии малости коэффициента вязкости, скорость звука выражается следующим образом:

к-1Гт^- (7>

Для поперечных волн, распространяющихся вдоль различных осей симметрии, величина ц - 12/К играет роль эффективного модуля сдвига. В длинноволновом пределе скорость звука является изотропной V = -JJTfp.

Дня оценки случаев, соответствующих промежуточной величине Д использовались следующие константы для икосаэдрического сплава Al7o3Pd2i5Mng2: р = 5100 кг/м3, // = 0.65 х ю"Н/м2, Я = 0.75 х 10иН/м2, Кх = 0.81 х 1011 Н/м2, К2 = -0.42 х 10й Н/м2, К3 = 0.1«,. Величина изотропной вязкости т}± = 670 Н-с/м2 была оценена по имеющимся данным измерений внутреннего трения Q 1 = 2 (Im (й>рь„) / Re (й>р(т)| на частоте 2000 Гц и температуре 550 К. В результате, были построены зависимости величин внутреннего трения (рис. 1) и скоростей (рис. 2) различных

поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины логарифма коэффициента фазонного трения Д где случай а соответствует /¡ = 0, случай б - /¡¡-3 х 1012 кг/м3с2. На всех зависимостях видна анизотропия внутреннего трения и скоростей. Из сравнения случаев о и б видно, что пиннинг эффект уменьшает величину анизотропии. Представленные на рис. 1 и 2 зависимости соответствуют частоте колебаний 2000 Гц и согласуются с предельными случаями £) = 0 и й = оо.

12

2 8

I

12

2 8 а

20

зо

0 10 20 30 о 10

1пГ> 1п£>

Рис. 1. Зависимость величия внутреннего трения различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины логарифма коэффициента фазонного трения О: а-без учета пиннинг эффекта, б-с учетом пиннинг эффекта 1 - поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси пятого порядка; 2 - первая поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси второго порядка (направление [100]), поляризованная вдоль направления [010]; 3 - поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси третьего порядка; 4 - вторая поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси второго порядка, поляризованная вдоль направления [001]. а б

3.58 3.563.54

3.58 3.56 3 54

ту

5Г

10

20

30

0 10 20 30 0

1п£> 1п£>

Рис 2 Зависимость величии скоростей К различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины логарифма коэффициента фазонного трения О. Обозначения как на рис. 1.

Как видно из таблицы 1, в рассматриваемой модели минимальным будет внутреннее трение, соответствующее поперечным колебаниям образца, вырезанного вдоль оси пятого порядка (для данной моды пик резонансного поглощения на рис. 1 отсутствует), т.к. поперечная мода, распространяющаяся вдоль этой оси, в гармоническом приближении не взаимодействует с соответствующей фазонной модой.

Положения максимумов пиков резонансного поглощения для акустических мод с хорошей точностью определяются условием резонанса трЬз Яе Юрьп к 1, где ®рЬп - фононная частота, а грь5 - время релаксации фазонов с тем же самым волновым вектором.

Третья глава посвящена построению теории бездефектной фазонной деформации в квазикристаллах. Большинство теоретических моделей, описывающих структурные превращения квазикристалл -кристалл, рассматривает теорию прямого превращения. Такой механизм предполагает, что изменение базисных векторов обратного пространства происходит скачком, и несоразмерные фазы с промежуточными значениями базисных векторов отсутствуют. Подобный механизм в случае двумерных и трехмерных квазикристаллов всегда приводит к образованию дефектов. Однако он не является единственно возможным. Многочисленные экспериментальные данные, собранные для нескольких систем, в том числе для сплавов А1-Со-№ и Сг-№-81, показывают значительное число промежуточных несоразмерных структур, возникающих в результате отжига при разных температурах, либо в различных областях одного и того же образца.

При превращении квазикристалла в родственную кристаллическую структуру (периодическую аппроксиманту) базисные векторы обратного пространства становятся соразмерными вследствие их неоднородной относительной деформации. При этом амплитуды соответствующих волн плотности приблизительно сохраняются. Данный процесс эквивалентен возникновению линейной зависимости фазонной степени свободы от

пространственных координат и соответствует линейной фазонной деформации (ЛФД).

Построение модели бездефектного перехода квазикристалл -кристалл посредством ЛФД проводиться в рамках многомерной кристаллографии. Структура квазикристалла моделируется точечными атомами, отстоящими друг от друга на некоторое минимальное расстояние. При этом И-мерное фазовое пространство Е периодически заполнено ограниченными поверхностями размерности ТУ-*/, называемыми атомными поверхностями. Точки пересечения атомных поверхностей с параллельным подпространством £" размерности соответствуют координатам точечных атомов.

Вначале основная идея теории непрерывной бездефектной ЛФД иллюстрируется на примере линейной квазикристаллической цепочки (рис. 3 а). Параллельные и перпендикулярные координаты узла цепочки выражаются формулами:

г)=4п(+а\п{, (8)

г^ = +Й2«2 + н>> (9)

где п{ — целые числа, отвечающие координатам узлов фазового пространства Е,м>- фазонная степень свободы, аД а} и аД аг базисные трансляции вдоль направлений $ и Е1 соответственно. Если длина атомной поверхности равна перпендикулярной проекции вектора V (см. рис. 3 а), цепочка имеет только два типа расстояний I и 5. Узел принадлежит укладке, если выполняется условие:

|гух| < (- + а^)/ 2 = (вт а + сое а)/2, (10)

где а - угол между Е11 и направлением щ.

При однородном фазонном сдвиге (ОФС) величина н> в (9) не зависит от параллельных координат (8), и ее изменение соответствует параллельному переносу сечения Е11 в перпендикулярном направлении. При этом один из узлов (например, атомная поверхность А на рис. 3 а)

Рис. 3. а - одномерный квазикристалл;

6 - однородный фазонный сдвиг первоначальной укладки одномерного квазикристалла; в - линейная фазонная деформация укладки, изображенной на панели б, с учетом изменения длины атомной поверхности;

г - линейная фазонная деформация укладки, изображенной на панели б, без учета изменения длины атомной поверхности, дополнительный тип расстояний /) - дефект. Сопряженные концы атомных поверхностей соединены пунктирными линями.

покидает укладку, а узел, порождаемый сопряженной атомной поверхностью (например, А' на рис. 3 а) входит в укладку при том же значении w. Это обеспечивается особым выбором размера атомной поверхности и тем, что отрезки, соединяющие сопряженные концы сопряженных поверхностей, параллельны Вектор V переводит сопряженные атомные поверхности одну в другую, и его параллельная проекция определяет длину фазонного прыжка в параллельном пространстве. На рис. 3 б показан ОФС первоначальной укладки, соответствующий большему значению w.

В процессе ЛФД фазонная степень свободы w становится линейной функцией параллельных координат: w = и>0 + srj, где s - одномерный

тензор фазонной деформации. В результате изменяется размер атомной поверхности, и условие наличия узла в деформированной укладке:

< (sin а + cos а+¿(sin а - cos or))/ 2 (И).

Неравенство (11) обеспечивает сохранение первоначального локального порядка и переключение позиций при ЛФД происходит аналогично случаю ОФС (рис. 3 в). Если не принимать во внимание изменение длины атомной поверхности, деформированная цепочка будет содержать дефекты - дополнительные типы расстояний (рис. 3 г). Однако одномерная модель квазикристалла не дает представлений об ограниченности механизма бездефектной ЛФД.

В диссертационной работе механизм бездефектной ЛФД был исследован на примерах октагональных, декагональных и икосаэдрических структур, реализующихся в сплавах Сг-Ni-Si, Al-Co-Ni и Al-Mn(Fe)-Si соответственно. Получено, что в двумерных и трехмерных квазикристаллах подобный механизм бездефектного перехода действует лишь в ограниченной области малых значений компонент тензора ЛФД.

Наибольший интерес представляет рассмотрение структурных переходов декагональный квазикристалл - периодические аппроксиманты

в системе А1-Со-№. Все данные фазы имеют слоистую структуру [6], образованную пентагональными бипирамвдами, которые соединены между собой вершинами. В качестве исследуемой модели структурных превращений в первом приближении рассматривается пентагональная укладка (рис. 4 а), описывающая расположение атомов переходного металла в плоскости основания бипирамид. В таком приближении перестройка атомных слоев, содержащих вершины бипирамид, определяется перестройкой пятиугольников в плоскости их основания.

Рис 4 а - Идеальная пентагональная укладка, кружки обозначают новые позиции, возникающие в результате ОФС;

6 - структура предельного одномерного квазикристалла, соответствующая ЛФД с «22=г"7;

в - структура с ЛФД, превышающей критическое значение.

Пентагональная укладка получается проекцией четырехмерной простой кубической периодической решетки с одной атомной поверхностью на ячейку. Узел принадлежит рассматриваемой укладке, если его перпендикулярные координаты попадают в пределы декагонального проекционного окна, по форме совпадающего с атомной

поверхностью. В данном случае это десятиугольник. При малом ОФС пентагональной укладки переключение старых и новых позиций происходит внутри сплюснутого шестиугольника (рис. 4 а). Все векторы, соответствующие различным вариантам переключения позиций, принадлежат одной орбите из 10 векторов V,", являющихся параллельными проекциями целочисленных векторов V четырехмерного пространства, которые переводят рассматриваемую атомную поверхность в сопряженные с ней поверхности и определяют закономерность переключения позиций при ОФС и ЛФД. Длины перпендикулярных компонент \}х равны расстоянию между противоположными сторонами атомной поверхности. При ЛФД пентагональной укладки аналогично одномерному случаю происходит изменение длин и направлений в перпендикулярном подпространстве, что приводит к определенному изменению формы атомной поверхности (рис. 5). Однако перпендикулярные координаты центров и вершин атомных поверхностей по-прежнему являются проекциями выделенных по симметрии точек фазового пространства, поэтому ЛФД происходит таким образом, что пары атомных поверхностей, связанных векторами V,, остаются сопряженными. Перпендикулярные проекции соответствующих границ этих поверхностей совпадают, и взаимнооднозначное переключение позиций оказывается возможным не только при ОФС, но и при ЛФД. Однако если укладка имеет конечные размеры, то изложенный выше алгоритм дает сбой при переключении позиций, лежащих вблизи ее границы. Конечную ЛФД любой конечной области квазикристалла можно произвести за дискретное число шагов через последовательность промежуточных структур, соответствующих пропорциональному увеличению всех компонент тензора фазонной деформации е. Атомные позиции в промежуточных смежных структурах либо совпадают, либо отличаются на один из векторов V,". Чем больше размеры деформированной области, тем на большее количество последовательных шагов надо разбить данную ЛФД.

a t':x

Рис. 5 Десять атомных поверхностей, сопряженных рассматриваемой атомной поверхности а - стрелками показано промежуточное изменение формы атомных поверхностей, соответствующее несоразмерной фазе; б - форма атомных поверхностей, соответствующая предельной фазе одномерного квазикристалла, в - форма атомных поверхностей при ЛФД, превышающей критическое значение

Одной из предельных структур, наблюдаемой в сплаве Al-Co-Ni [7], является одномерный квазикристалл (рис. 4 6), который получается из пентагональной укладки следующей ЛФД: wi= const, м»2 = s22'"г", где Sn-r'1 — единственная ненулевая компонента тензора s, г = (л/5 + 1)/2. При данных значениях ЛФД проекции векторов V,1 на г2х становятся соразмерными, и структуры будут периодическими вдоль этого направления. Соответствующая деформация атомных поверхностей представлена на рис. 5 б. При большей величине s2г атомные поверхности становятся вогнутыми (рис. 5в), и некоторые области перекрытия соседних атомных поверхностей пропадают. В структуре исчезают межпозиционные расстояния, соответствующие векторам типа V^-Vio". На рис. 4 в видны горизонтальные полосы дефектов.

На рис. 6 а, б представлены две периодические аппроксиманты, на основе которых описывается несколько реальных структур, наблюдаемых в сплаве А1-Со-№ [6]. Отличные от нуля компоненты тензора ЛФД представлены в таблице 2 совместно с четырехмерными векторами, определяющими базисные трансляции аппроксимант 11" и

Таблица 2. Параметры периодических аппроксимант

«И ¡22 11 12

а -Т-* т-* <2,5,5,2> <3,2,-2,-3>

6 Т-* -Г* <1,ЗЗД> <5,3,-3,-2>

Рис 6. Структуры предельных периодических аппроксимант нентагональной укладки. Соответствующие деформации атомных поверхностей представлены на рис. 7 а, б. Обе периодические аппроксиманты являются предельными. При больших значения ЛФД, т. е. при нарушении хотя бы одного из неравенств -т"8<5ци -т~9<з22^в структурах аппроксимант появятся дефекты.

а Ьх б №

на рис. 6.

В заключении приведены основные результаты и выводы. полученные в диссертации:

1. Предложена минимальная модель фонон-фазонной динамики в квазикристаллах, учитывающая диффузионную природу фазонной моды в квазикристаллических системах и затухание фононной моды вследствие вязкости среды. В уравнения модели также включены члены, ответственные за пиннинг фазонных мод.

2. На примере икосаэдрического квазикристалла рассмотрено резонансное поглощение низкочастотных звуковых волн в области температур, соответствующих термической активации фазонов. Показано, что фонон-фазонное взаимодействие ведет к анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания) звуковых волн с малыми волновыми векторами. Наиболее сильно эти эффекты проявляются при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

3. Установлено, что пиннинг эффект может привести к значительному уменьшению анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания).

4. Построена модель бездефектного перехода квазикристалл -кристалл посредством линейной фазонной деформации, проанализирована область применимости такой модели и исследованы условия осуществления такого перехода.

5. Показано, что линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности.

6. Установлено, что процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до тех пор, пока атомная поверхность остается выпуклой. Это условие задает ограничения на область значений компонент тензора линейной фазонной деформации.

7. Для квазикристаллов различной симметрии, реализующейся в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si, определены граничные значения компонент тензора линейных фазонных деформации, в пределах которых процесс перехода квазикристалл - кристалл будет бездефектным.

8. Показано, что механизм бездефектного перехода квазикристалл -кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в N-мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность.

9. Предложенная модель бездефектного перехода объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, AI-Fe-Si. Образованию предельных структур соответствуют граничные значения линейных фазонных деформаций.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Levine D., Lubensky Т.С., Ostlund S., Ramaswamy S., Steinhardt P.J. Elasticity and dislocations in pentagonal and icosahedral quasiciystals // Phys. Rev. Lett. - 1985. - Vol. 54. - P. 1520 - 1523.

2. Lubensky T.C., Ramaswamy S., Toner J. Hydrodynamics of icosahedral quasiciystals // Phys. Rev. B. -1985. - Vol. 32. - P. 7444 - 7452.

3. Urban K., Feuerbacher M., Wollgarten M., Bartsch M., Messersschmidt U. Mechanical properties of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / edited by Z.M. Stadnik. - Berlin: Springer, 1999. - P. 412.

4. Ding D., Yang W., Ни C„ Wang R. Generalized elasticity theory of quasiciystals // Phys.Rev. B. - 1993. - Vol. 48. - P. 7003 - 7009.

5. Rochal S.B. Second order terms of phonon-phason dynamic matrix of an icosahedral quasicrystal: Diffuse intensity and the profile shape around the Bragg peaks // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64. - P. 144204 - 144214.

6. Steurer W. Structural relationships between decagonal Al-Co-Ni and its approximants I I Ferroelectrics. - 2001. - Vol. 250. - P. 377 - 380.

7. Kaining M., Kek S., Krane H.G., Dorna V., Press W., Steurer W. Phason-strain analysis of the twinned approximant to the decagonal quasicrystal Al7oCoi5Nii5: Evidence for a one-dimensional quasicrystal // Phys. Rev. B. -1997.-Vol. 55.-P. 187-192.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Козинкина Е.А. Модель плоской квазикристаллической структуры октагональной симметрии // Пятая Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых (ВНКСФ-5): Информ. бюл. Сб. тез. - Екатеринбург, 1999. - С. 125 - 127.

2. Rochal S.B., Lebedyuk I.V., Kozinkina Y.A. Linear continuous inhomogeneous strains in octagonal and decagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. - 1999. - Vol. 60. - № 2. - P. 865 - 873.

3. Козинкина E.A. Модель диффузного рассеяния вблизи брэгговских рефлексов октагонального квазикристалла // Седьмая Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых (ВНКСФ-7): Информ. бюл. Сб. тез. - Екатеринбург - Санкт-Петербург, 2001.-С. 94-97.

4. Kozinkina Y.A., Roshal S.B. Dynamical theory of the diffuse scattering in the vicinity of the quasicrystal Bragg peaks // Aperiodic Structures 2001. Proc. Satell. Meet. 20th Eur. Ciyst. Meet. (Krinica, 31 August - 5 September 2001).-Krakow, 2001.-P. 136.

5. Козинкина E.A. Влияние пиннинг эффекта на анизотропию фонон-фазонной динамики в икосаэдрических квазикристаллах AlPdMn // Девятая Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых (ВНКСФ-9): Информ. бюл. Сб. тез. - Екатеринбург -Красноярск, 2003. - С. 101 - 103.

6. Рошаль С.Б., Лорман В.Л., Козинкина Е.А. Анизотропия фонон-фазонной динамики и пиннинг эффект в икосаэдрических квазикристаллах AIPdMn // Физика твердого тела. - 2003. - Т. 45. -№7.-С. 1256-1262.

7. Козинкина Е.А. Анизотропия акустических мод в икосаэдрических квазикристаллах, обусловленная фонон-фазонным взаимодействием Н Международный симпозиум фазовых превращений в твердых растворах и сплавах. ОМА-2003: Сб. трудов (Сочи, 2-5 сентября 2003 г.). - Ростов-на-Дону, 2003. - С. 166 - 169.

8. Мощенко И.Н., Яценко В.К., Козинкина Е.А. Статистическая модель периодического упорядочения в декагональных AlCuCo сплавах // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. - 2004. - № 1. - С. 23 - 26.

9. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Непрерывное бездефектное структурное превращение квазикристалл-кристалл на примере октагональной и тетрагональной фаз сплава CrNiSi // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2005. - № 2. - С. 55 - 59.

10. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Предельная одномерная квазикристаллическая структура в сплаве AlCoNi // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2005. - № 3. - С. 39 -42.

И. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Предельные кубические кристаллические структуры для икосаэдрической укладки Аммана // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2005. - № 4. - С. 35 -37.

12. Rochal S.B., Kozinkina Y.A. Theory of the defect-free phason strain in quasicrystals // Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 72. - № 2. - P. 024210-1 -024210-12.

Сдано в набор 14.12 2005 г. Подписано в печать 16.12.2005 г Бумага офсетная. Ротапринт. Гарнитура Times News Romans Формат 60 x 84 1/16 Объем 1,0 п. л. Тираж 120 экз. Заказ № 4268

Отпечатано в типографии «АртИкс», г Ростов-на-Дону, пр. Ворошиловский, 'i 8, тел. 290-46-42

5 - -^ 2 3 î

РНБ Русский фонд

2006-4 29767

i

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ФАЗОНАХ В АПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

1.1. Открытие квазикристаллов, их симметрия.

1.2. Фазоны в несоразмерных структурах.

1.3. Фазоны в квазикристаллах, отличие от фазонов в несоразмерных структурах.

1.4. Влияние фазонных колебаний на физические свойства квазикристаллов.

1.5. Элементы теории упругости квазикристаллов.

1.6. Кристаллические аппроксиманты, их классификация и примеры.

1.7. Фазовые переходы квазикристалл - периодическая аппроксиманта, роль фазонов в процессе данных структурных преобразований.

ГЛАВА 2. ФОНОН-ФАЗОННАЯ ЭЛАСТОДИНАМИКА КВАЗИКРИСТАЛЛОВ

2.1. Введение.

2.2. Развитие эластодинамической теории квазикристаллов.

2.3. Диагонализация минимальной модели для выделенных направлений волнового вектора в случае икосаэдрической симметрии.

2.4. Область применения минимальной модели и ее некоторые обобщения

2.5. Влияние фазонных возбуждений на динамику акустических мод.

2.6. Результаты и выводы.

ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ БЕЗДЕФЕКТНОЙ ФАЗОННОЙ ДЕФОРМАЦИИ В КВАЗИКРИСТАЛЛАХ

3.1. Введение.

3.2. Непрерывная бездефектная линейная фазонная деформация в одномерном случае.

3.3. Превращение в октагональном случае.

3.4. Предельные пентагональные структуры.

3.5. Предельные кубические периодические аппроксиманты укладки Аммана.

3.6. Результаты и выводы.

Актуальность темы исследования. К ваз и кристаллы были открыты сравнительно недавно в 1984 году и представляют собой новый вид материалов, которые обладают дальним квазипериодическим порядком, сочетающимся с некристаллографической поворотной симметрией. Квазикристаллическая функция плотности может быть разложена в ряд Фурье. При таком разложении число базисных векторов обратного пространства больше размерности физического пространства, в котором существует реальный квазикристалл. Этот факт является одной из основных причин, обуславливающих различие между физическими свойствами квазикристаллов и кристаллов. В частности квазикристаллы обладают дополнительными голдстоуновскими фазонными степенями свободы, отсутствующими в кристаллическом состоянии.

Интерес к исследованию квазикристаллов не ослабевает, поскольку это новый класс материалов и, несмотря на интенсивные исследования в данной области, многие вопросы, касающиеся, например, механизмов формирования квазикристаллического порядка и структурных превращений квазикристалл -кристалл остаются до конца невыясненными. Кроме того, представляет интерес исследование фонон-фазонной динамики квазикристаллов, обуславливающей физические свойства данных объектов и фазовые переходы квазикристалл - кристаллическая аппроксиманта. Важность прояснения вопросов, касающихся развития обобщенной теории упругости квазикристаллов и механизмов фазовых переходов квазикристалл - кристалл, определяет актуальность темы данной диссертационной работы.

Целью работы являлось теоретическое исследование роли фазонов в эластодинамике квазикристаллов и фазовых переходах квазикристалл -кристалл.

Для достижения цели исследования были поставлены и решены следующие задачи:

- исследование влияния фазонных возбуждений на динамику акустических мод и резонансное поглощение низкочастотных звуковых волн в области температур, соответствующих термической активации фазонов, в рамках минимальной модели фонон-фазонной динамики.

- построение модели бездефектного перехода квазикристалл -кристалл посредством линейной фазонной деформации, исследование условий его осуществления и анализ области применимости такой модели.

Объектами исследования являлись металлические сплавы, имеющие квазикристаллическую структуру. В частности решение первой поставленной задачи проводилось на примере икосаэдрической симметрии, реализующейся в сплаве Al-Pd-Mn. При решении второй поставленной задачи рассматривались октагональные, декагональные и икосаэдрические структуры, реализующиеся в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni и Al-Mn-Si, Al-Fe-Si соответственно.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые показано, что в икосаэдрических квазикристаллах анизотропия скорости и логарифмического декремента затухания звуковых волн с малыми волновыми векторами наиболее сильно проявляется при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

2. Впервые в уравнения мишшальной модели фонон-фазонной динамики в квазикристаллах включены члены, ответственные за пиннинг фазонных мод, и исследовано влияние пиннинг эффекта на анизотропию скорости и внутреннего трения звуковых волн.

3. Впервые построена модель бездефектного перехода квазикристалл - кристалл посредством линейной фазонной деформации, проанализирована область применимости такой модели и исследованы условия осуществления такого перехода.

4. Впервые показано, что линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности. Процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до тех пор, пока атомная поверхность остается выпуклой.

Научная и практическая значимость.

Результаты, полученные на основе предложенной минимальной модели фонон-фазонной динамики в квазикристаллах, вносят вклад в развитие обобщенной теории упругости квазикристаллов. Разработанная модель бездефектного перехода квазикристалл - кристалл посредством линейной фазонной деформации проясняет механизмы фазовых переходов квазикристалл - кристалл и объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si. Для квазикристаллов различной симметрии, реализующейся в данных сплавах, определены граничные значения компонент тензора линейных фазонных деформаций, в пределах которых процесс перехода квазикристалл - кристалл будет бездефектным. Механизм бездефектного перехода квазикристалл - кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в N-мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность.

Обоснованность и достоверность результатов обусловлены использованием широко применяемых теоретических методов, а именно: методов теории групп, методов многомерной кристаллографии, в том числе проективного метода. Полученные в диссертации теоретические результаты согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Фонон-фазонное взаимодействие в икосаэдрических квазикристаллах приводит к анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания) звуковых волн с малыми волновыми векторами. Наиболее сильно эти эффекты проявляются при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

2. Линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности. Процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до тех пор, пока атомная поверхность остается выпуклой. Это условие задает ограничения на область значений компонент тензора линейной фазонной деформации.

3. Механизм бездефектного перехода квазикристалл - кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в N-мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность. Предложенная модель бездефектного перехода объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si. Образованию предельных структур соответствуют граничные значения линейных фазонных деформаций.

Личный вклад автора.

Выбор темы, планирование работы, постановка задач, формулировка моделей и обсуждение полученных результатов проводились автором совместно с научным руководителем, доктором физ.-мат. наук, профессором кафедры физики кристаллов и структурного анализа С.Б. Рошалем.

Составление программ для расчетов, все вычисления, а также анализ полученных результатов и формулировка основных выводов выполнены соискателем.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции по апериодическим структурам «Aperiodic Structures - 2001» (г. Крыница, Польша, 2001), Международном симпозиуме фазовых превращений в твердых растворах и сплавах «ОМА-2003» (г. Сочи, 2003), Пятой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-5» (г. Екатеринбург, 1999), Седьмой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-7» (г. Санкт-Петербург, 2001), Девятой Всероссийской Научной Конференции Студентов-Физиков и молодых ученых «ВНКСФ-9», (г. Красноярск, 2003).

Публикации.

Основные результаты диссертации полностью отражены в 12 печатных работах, из них 7 опубликовано в реферируемых журналах «Physical Review В», «Физика твердого тела», «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки»; остальные - в сборниках трудов международных и всероссийских конференций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 118 страницах и включает 22 рисунка, 2 таблицы, библиографию из 162 наименований и список работ автора по теме диссертации - 12 наименований.

Результаты исследования внутреннего трения в образце обычно приводят в виде зависимости 0~\Т). Так как с одной стороны в предлагаемой модели от температуры наиболее сильно зависит величина D, а с другой стороны эта величина изменяется в очень широком диапазоне, то разумно привести зависимость 0~'(ln(D)). Зависимости Q~x{\n{D)) представлены на рис. 2.1. На этом и последующих рисунках случай а

1 з о соответствует fs = 0, а случай б - fs — 3 х 10 " кг/м с". При построении рисунков была выбрана следующая константа фонон-фазонного взаимодействия К3 = 0ЛК\. Внутреннее трение часто измеряется при фиксированной частоте. Т.к. зависимость между частотой колебаний и волновым вектором почти линейная Re <г>рЬп « /// р , то отличия между графиками, построенными при постоянной частоте колебаний и постоянном волновом векторе, очень малы по сравнению со шкалой рис. 2.1. То же относится и к рис. 2.2. Поэтому данные рисунки построены при фиксированном волновом векторе, приблизительно соответствующем частоте колебаний 2000 Гц.

В рассматриваемой модели положения максимумов пиков резонансного поглощения для акустических мод с хорошей точностью определяются условием резонанса rphs Re « 1, где <5^hn - фононная частота, a rpi,s - время релаксации фазонов с тем же самым волновым вектором. Откуда максимум затухания звука соответствует таким значениям D, для которых выполняется соотношение D f f.\\p KpRsco Dhn f Kq + — l^x—-B^ + ^i—? (2.33)

4 . ju // Re<yphn

Из выражения (2.33) и путем непосредственного сравнения случаев а и б на рис. 2.1 легко видеть, что учет пиннинг эффекта сильно сближает по температуре максимумы пиков резонансного поглощения, соответствующие различным поляризациям акустических мод, кроме того, максимумы сдвигаются в область большего D, т.е. в область меньших температур. Также пиннинг эффект ведет к уменьшению высот максимумов поглощения над уровнем изотропного фона. Используя соотношение (2.33), можно а

12

2 8 ГЧ а 4 о ю 20 30 0 10 20 30

InD InZ)

Рис. 2.1. а — зависимость величин внутреннего трения Q'x различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины логарифма коэффициента фазонного трения D без учета пиннинг эффекта. Частота колебаний 2000 Гц. 1 (прямая линия) - поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси пятого порядка; 2 - первая поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси второго порядка (направление [100]), поляризованная вдоль направления [010]; 3 — поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси третьего порядка; 4 — вторая поперечная мода, распространяющаяся вдоль оси второго порядка, поляризованная вдоль направления [001]. б — то же с учетом пиннинг эффекта. аналитически оценить высоту пика поглощения относительно уровня "фонового" внутреннего трения как ~ 2М{Кр(Ке«рЫУ+л4 1

На рис. 2.1 величина "фонового" внутреннего трения, обусловленного коэффициентом qL (уровень кривой /) определяется выражением Re cOy\mrjL//.и Это следует из выражений (2.30), (2.31) и приближенного соотношения между Re cq,hn и q. Из таблицы 2.1 видно, что в рассматриваемой простейшей модели минимальным будет внутреннее трение, соответствующие поперечным колебаниям образца, вырезанного вдоль оси пятого порядка. Поперечная мода, распространяющаяся вдоль этой оси, не взаимодействует с соответствующей фазонной модой в гармоническом приближении (в случае малых колебаний), и в рассматриваемой модели для подобных колебаний пик резонансного поглощения отсутствует. Данный пик может появиться в модели, учитывающей ангармоническое фонон-фазонного взаимодействие.

Если положить К3~0ЛК{ то при достаточно больших частотах (в области, где применима оценка (2.32) скорость поперечных волн, распространяющихся вдоль оси пятого порядка (/" /К = 0) будет превышать скорость поперечных волн вдоль оси третьего порядка на величину порядка одного процента: I2/К = 16К2 /(9(АГ,-1/ЗК2)) (см. таблицу 2.1). Необходимо отметить, что оценка скоростей (2.32) применима только к зависимостям, представленным на рис. 2.2 а в области, где D < ехр( 15) кг/м3с. При выбранной величине/^ расщепление скоростей на рис. 2.2 6 оказывается меньшим, достигая оценки (2.32) при частоте порядка 80х 103 с"1 (сравните с рис. 2А 6). Если станет меньше других констант на два порядка, то есть К}= 0.01 А',, то рис.2 изменятся так, что максимальная разница между скоростью I и скоростью 4 уменьшится в 100 раз и будет составлять всего о о О

3.58 3.56 3.54

2 3 т ю

20

In D

30

10

20

30

In D

Рис. 2.2. а - зависимость величин скоростей различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины логарифма коэффициента фазонного трения D без учета пиннинг эффекта. Частота колебаний 2000 Гц. Обозначение мод как на рис. 2.1. б - то же с учетом пиннинг эффекта.

0.4 м/с. Видимо обнаружить экспериментально такую анизотропию скорости звука будет невозможно. Также в 100 раз уменьшится и высота пиков поглощения над уровнем фона (рис. 2.1). Однако фоновый уровень О 1 можно уменьшить за счет перехода к более низким частотам и обнаружить анизотропию резонансного поглощения низкочастотных звуковых волн за счет фонон-фазонного взаимодействия будет еще, по-видимому, возможно. Следует отметить, что зависимости на рис. 2.1 и рис. 2.2 согласуются с предельными случаями D = 0 и D = оо.

Для проверки предложенной модели представляет интерес измерение зависимости внутреннего трения и скорости звука от частоты звуковых колебаний (рис. 2.3, рис. 2.4) при постоянной температуре (фиксированном D) порядка 800-900 К. При низких частотах относительный вклад изотропного члена iDco+Jl в элемент (2,2) определителя (2.29) наиболее существенен. Следовательно, анизотропия скорости звука исчезает, и внутреннее трение стремится к нулю. В пределе q —» 0 фазонная часть шестимерной поляризации волн акустического типа стремится к нулю. Действительно, в окрестности любой фиксированной точки среды акустическая волна с данной амплитудой и волновым вектором q вызывает локальную деформацию, пропорциональную величине q. Следовательно, индуцированная фазонная деформация в окрестности той же самой точки, будучи пропорциональной обычной деформации, стремится к нулю в длинноволновом пределе. Поэтому фазонное влияние на дисперсию фононов незначительно. Тем не менее, тангенс угла наклона зависимости 0"'(Re в случае /s = 0 остается анизотропным (см. рис. 2.3 а).

Если Re гц,|Ш » D/лЦКр) (60х 103 с-1 для рис. 2.3 а, 2.4а и 90 х 103 с-1 для рис. 2.3о, 2 А 6), то дисперсия звука соответствует выражению (2.31) (подобно случаю 0 = 0). В этом пределе значение Im является изотропным. Поэтому анизотропия значения 0~1 вызвана анизотропией

Рис. 23. а — зависимость величин внутреннего трения Q'x различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины вещественной части частоты фононных колебаний без учета пиннинг эффекта. Коэффициент фазонного трения D = ехр( 17.85) кг/м3с. Обозначение мод как на рис. 2.1. б - то же с учетом пиннинг эффекта. о f—н а 1

3.56

О 40 80

Recop(m, 103с1

120 0

40 80

Recoplm, loV

120

Рис. 2.4. а — зависимость величин скоростей различных поперечных мод икосаэдрического квазикристалла от величины вещественной части частоты фононных колебаний без учета пиннинг эффекта. Коэффициент фазонного трения D = ехр( 17.85) кг/м3с. Обозначение мод как на рис. 2.1. • б - то же с учетом пиннинг эффекта. реальной части частоты. Соответственно, фазонное влияние выражено в основном в слабом анизотропном уменьшении скоростей звука. Это уменьшение происходит в окрестности области резонансного фонон-фазонного взаимодействия. Сама точка резонанса для случая0 (рис. 2.3 а) соответствует максимуму зависимости 0~'(Re Оценка максимальной величины внутреннего трения относительно изотропного фонового уровня

I -) имеет вид: Ошач ~ I~l{2KjLi). В случае включения пиннинг эффекта максимум на частотной зависимости О-1 может исчезнуть. Близка к исчезновению максимума поглощения зависимость 2, приведенная на рис. 2.3 б.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе проведено теоретическое исследование роли фазонов в эластодинамике квазикристаллов и фазовых переходах квазикристалл - кристалл.

Основными результатами и выводами являются:

1. Предложена минимальная модель фонон-фазонной динамики в квазикристаллах, учитывающая диффузионную природу фазонной моды в квазикристаллических системах и затухание фононной моды вследствие вязкости среды. В уравнения модели также включены члены, ответственные за пиннинг фазонных мод.

2. На примере икосаэдрического квазикристалла рассмотрено резонансное поглощение низкочастотных звуковых волн в области температур, соответствующих термической активации фазонов. Показано, что фонон-фазонное взаимодействие ведет к анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания) звуковых волн с малыми волновыми векторами. Наиболее сильно эти эффекты проявляются при частоте звуковых колебаний близкой к величине, обратной времени релаксации фазонных возбуждений с тем же самым волновым вектором.

3. Установлено, что пиннинг эффект может привести к значительному уменьшению анизотропии скорости и внутреннего трения (логарифмического декремента затухания).

4. Построена модель бездефектного перехода квазикристалл -кристалл посредством линейной фазонной деформации, проанализирована область применимости такой модели и исследованы условия осуществления такого перехода.

5. Показано, что линейная фазонная деформация индуцирует определенное изменение формы атомной поверхности.

6. Установлено, что процесс линейной фазонной деформации будет бездефектным до rex пор, пока атомная поверхность остается выпуклой. Это условие задает ограничения на область значений компонент тензора линейной фазонной деформации.

7. Для квазикристаллов различной симметрии, реализующейся в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si, определены граничные значения компонент тензора линейных фазонных деформации, в пределах которых процесс перехода квазикристалл - кристалл будет бездефектньш.

8. Показано, что механизм бездефектного перехода квазикристалл -кристалл применим к квазикристаллическим структурам, при описании которых в N-мерном фазовом пространстве атомные поверхности являются сопряженными и на ячейку данного пространства приходиться одна атомная поверхность.

9. Предложенная модель бездефектного перехода объясняет существование предельных кристаллических аппроксимант, экспериментально наблюдаемых в сплавах Cr-Ni-Si, Al-Co-Ni, Al-Mn-Si, Al-Fe-Si. Образованию предельных структур соответствуют граничные значения линейных фазонных деформаций.

1. Shechtman D., Blech 1., Gratias D., Cahn J.W. Mettalic phase with long range orientational order and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. - 1984. -Vol. 53.-P. 1951 - 1954.

2. Bale P. Phenomenological theory of icosahedral incommensurate ("quasiperiodic") order in Mn-Al alloys // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54. -P. 1517- 1519.

3. Шаскольская М.П. Кристаллография: Учеб. Пособие для втузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1984. - 376 с.

4. Bancel P.A., Heiney Р.А., Stephens P.W, Goldman A.I., Horn P.M. Structure of rapidly quenched Al-Mn // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54. - P. 2422 -2425.

5. Dunlap R.A., Dini K. Formation, structure, and crystallization of metastable quasi-crystalline Al-transition metal alloys prepared by rapid solidification // Can. J. Phys. 1985. - Vol. 63. - P. 1267.

6. Dunlap R.A., Dini K. Structure and stability of quasicrystalline aluminium transition-metal alloys // J. Phys. F: Met. Phys. 1986. - Vol. 16. - P. 11-16.

7. Levine D., Steinhardt P.J. Quasicrystals: a new class of ordered structures // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 53. - P. 2477 - 2480.

8. Levine D., Steinhardt P.J. Quasicrystals. I. Definition and structure // Phys. Rev. В. 1986.-Vol. 34. - P. 596-616.

9. Dunlap R.A., Stroink G., Dini K., Jones D.F. Structural, electrical and magnetic properties of icosahedral Al-Co alloys // J. Phys. F: Met. Phys. -1986.-Vol. 16.- P. 1247- 1254.

10. Nissen H.U., Wessicken R., Beeli C., Csanady A. AIMn quasicrystal aggregates with icosahedral morphology symmetry // Phil. Mag. B. 1988. -Vol. 57.-P. 587- 597.

11. Wang N., Chen H., Kuo K.H. Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. - P. 1010-1013.

12. Bendersky L. Quasicrystal with one-dimensional translational symmetry and a tenfold rotation axis // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. - P. 1461 - 1463.

13. Bendersky L. Decagonal phase // J. Phys. C3. 1986. - Vol. 47. - P. 457 -461.

14. Fung K.K., Yang C.Y., Zhou Y.Q., Zhao J.G., Zhan W.S., Shen B.G. Icosahedrally related decagonal quasicrystal in rapidly cooled Al-Fe alloy // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56. - P. 2060 - 2063.

15. Daulton T.L., Kelton K.F. The decagonal phase in (Al,Si)65Co2()Cui3 alloys // Phil. Mag. В. 1992.-Vol. 66.-P. 37-61.

16. Ishimasa Т., Nissen H.U., Fukano Y. New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 55. - P. 511-513.

17. Chen H. Li D., Kuo K.H. New type of two-dimensional quasicrystal with twelvefold rotation symmetry // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 60. - P. 1645 -1648.

18. Dubost В., Lang J-M., Tanaka M., Sainfort P., Audier M. Large AlCuLi single quasicrystals with triacontahedral solidification morphology // Nature. 1986. -Vol. 324.-P. 48 - 50.

19. Ohashi W., Spaepen F. Stable Ga-Mg-Zn quasi-periodic crystals with pentagonal dodecahedral solidification morphology // Nature. 1987. - Vol. 330. - P. 555 - 556.

20. Tsai A.P., Inoue A., Masumoto T. A stable quasicrystals in Al-Cu-Fe system // Japan J. Appl. Phys. 1987.-Vol. 26. - P. L1505 -L1507.

21. Tsai A.P., Inoue A., Masumoto T. New stable icosahadral Al-Cu-Ru and Al-Cu-Os alloys // Japan J. Appl. Phys. 1988. - Vol. 27. - P. LI587 - L1590.

22. Tsai Л.P., Inoue Л., Yokoyama Y., Masumoto T. New icosahadral alloys with superlattice order in the AlPdMn system prepared by rapid solidification // Phil. Mag. Let. 1990. - Vol. 61. - P. 9 - 14.

23. He L.X., Wu Y.K., Meng X.M., Kuo K.N. Stable AlCuCo decagonal quasicrystals with deca-prism solidification morphology // Phil. Mag. Let. -1990.-Vol. 61.-P. 15-20.

24. Tsai A.P., Inoue A., Masumoto T. Icosahadral, decagonal and amorphous phases in AlCuM (M = transition metal) systems //Mater. Trans. JIM. 1989. -Vol. 30,- P. 666-676.

25. Kortan A. R., Thiel F. A., Chen H. S., Tsai A. P., Inoue A., Masumoto T. Stable tenfold faceted single-grain decagonal quasicrystals of Al65Cui5Co2() // Phys. Rev. B. 1989. - Vol. 40. - P. 9397 - 9399.

26. Zumldey Th., Mehrer H., Freitag K., Wollgarten M., Tamura N., Urban K. Diffusion of " *Mn and 54Fe in icosahedral Al-Pd-Mn single quasicrystals // Phys. Rev. В. 1996,-Vol. 54. - P. R6815-R6818.

27. Fisher I.R., Islam Z., Panchula A.F., Cheon K.O., Kramer M.J., Canfield P.C., Goldman A.I. Growth of large-grain R-Mg-Zn quasicrystals from the ternary melt (R=Y, Er, Ho, Dy and Tb) // Phil. Mag. B. 1998 - Vol. 77. - P. 1601 - 1615.

28. Langsdorf A., Assmus W. Growth of large single grains of the icosahedral quasicrystal ZnMgY // J. Crystal Growth. 1998. - Vol. 192. - P. 152 - 156.

29. Fisher I.R., Kramer M.J., Islam Z., Kracher A., Wiener Т., Sailer M.J., Goldman A.I., Canfield P.C. On the growth of decagonal AI-Ni-Co quasicrystals from the ternary melt // Philos. Mag. B. 1999. - Vol. 79. - P. 425 -434.

30. CJille P., Dreier P., Graber M., Scholpp T. Large single-grain AlCoNi quasicrystals grown by the Czochralski method // J. Crystal Growth. 1999. -Vol. 207.-P. 95-101.

31. Jeong H.T., Kim S.H., Kim W.T., Kim D.H., Inkson B.J. Growth of a decagonal Al^Ni^Co^ single quasicrystal by the Czochralski method // J. Crystal Growth. 2000. - Vol. 217. - P. 217 - 221.

32. Schall P., Feuerbacher M., Urban K. Plastic deformation of decagonal Al7;,NiinCoi7 single quasicrystals // Philos. Mag. 2004. - Vol. 84. - P. 705 -718.

33. Overhauser A. \V. Observability of charge-density waves by neutron diffraction // Phvs. Rev. B. 1971. - Vol. 3. - P. 3173 - 3182.

34. Гриднев С.А. Сегнетоэлектрические кристаллы с несоразмерными фазами // Соросовский образовательный журнал. Физика. 1997. -№ 9. -С. 109- 115.

35. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах. М.: Ыаука, 1983. - 240 с.

36. Janssen Т., Radulescu О., Rubtsov A.N. Phasons, sliding modes and friction // Eur. Phys. J. B. 2002. - Vol. 29. - P. 85 - 95.

37. Janssen Т., Radulescu O. Theory of phasons in aperiodic crystals // Ferroelectrics. 2004. - Vol. 305. - P. 179 - 184.

38. Lubensky T.C., Ramaswamy S., Toner J. Hydrodynamics of icosahedral quasicrystals // Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 32. - P. 7444 - 7452.

39. Janner A., Janssen T. Symmetry of periodically distorted crystals // Phys. Rev. В. 1977. - Vol. 15.-P. 643 -658.

40. Janner A., Janssen T. Superspace groups // Physica A. 1979. - Vol. 99. - P. 47-76.

41. Duneau M., Katz A. Quasiperiodic patterns // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54,- P. 2688 -2691.

42. Katz Д., Duneau M. Quasiperiodic patterns and icosahedral symmetry // J. Phys. (Paris). 1986. - Vol. 47. - P. 181 - 196.

43. Elser V. The diffraction pattern of projected structures // Acta Cryst. A. -1986.-Vol. 42.-P. 36-43.

44. Калугин П.А., Китаев А.Ю., Левитов Л.С. А10.86Мпо.|4 шестимерный кристалл//Письма в ЖЭТФ. - 1985. - Т. 41. - Вып. 3. - С. 119-121.

45. Frenkel D.M., Henley C.L., Siggia E.D. Topological constraints on quasicrystal transformations // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 34. - P. 3649 -3669.

46. Levitov L.S. Continuous atomic surfaces // Quasicrystals: The state of the art / edited by D.P. DiVincengo, P.J. Steinhard. Singapore: World Scientific, 1991. - Direction in condensed matter physics. - 1991. - Vol. 11. - P. 239 -274.

47. Currat R., Janssen T. Excitations in incommensurate crystal phases // Solid State Phys. 1988. - Vol. 41. - P. 201 - 302.

48. Kalugin P.Д., Kitaev A.Y., Levitov L.S. Six-dimensional properties of Л1(Ш,Мп(,ц alloy // J. Phys. Lett. (Paris). 1985. - Vol. 46. - P. L601 - L607.

49. Levine D., Lubensky T.C., Ostlund S., Ramasvvamy S., Steinhardt P.J. Elasticity and dislocations in pentagonal and icosahedral quasicrystals // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54. - P. 1520 - 1523.

50. Zeyher R., Finger W. Phason dynamics of incommensurate crystals // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 49. - P. 1833 - 1837.

51. Axe J.D., Bak P. Long-wavelength excitations in incommensurate intergrovvth compounds with application to Hg3. jela AsF6 // Phys. Rev. B. 1982. - Vol. 26.- P. 4963 -4973.

52. Strandburg K.J., Tang L.-H., Jaric M.V. Phason elasticity in entropic quasicrystals // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 63. - P. 314 - 317.

53. Jeong H.-C., Steinhardt P.J. Finite-temperature elasticity phase transition in decagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 48. - P. 9394 - 9403.

54. Coddens G., Bellissent R., Calvayrac Y., Ambroise J.P. Evidence for phason hopping in icosahedral AlFeCu quasi-crystals // Europhys. Lett. 1991. - Vol. 16.-P. 271 -276.

55. Lvonnard S., Coddens G., CalvayracY., Gratias D. Atomic (phason) hopping in perfect icosahedral quasicrystals AbojPdTi.jMnsj by time-of-flight quasielastic neutron scattering // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 53. - P. 3150 -3160.

56. Coddens G., Lvonnard S., Calvayrac Y. Time scales and atomic species in the phason dynamics of AlCuFe quasicrystals // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78.-P. 4209-4212.

57. Abe 1:., Pennycook S.J., Tsai A.P. Direct observation of a local thermal vibration anomaly in a quasicrystal // Nature. 2003. - Vol. 421. - P. 347 -350.

58. Edagawa K., Suzuki K., Takeuchi S. High resolution transmission electron microscopy observation of thermally fluctuating phasons in decagonal Al-Cu-Co // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1674 - 1677.

59. Lubensky T.C. Symmetry, elasticity, and hydrodynamics in quasiperiodic structures // Introduction to quasicrystals / edited by M.V. Jaric. Boston: Academic Press, 1988. - P. 199 - 280.

60. Coddens G., Lyonnard S., Hennion В., Calvayrac Y. Correlated simultaneous phason jumps in an icosahedral Al-Mn-Pd quasicrystal // Phys. Rev. Lett. -1999. Vol. 83. - P. 3226 - 3229.

61. Coddens G., Lyonnard S., Hennion В., Calvayrac Y. Triple-axis neutron-scattering study of phason dynamics in Al-Mn-Pd quasicrystals // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 62. - P. 6268 - 6295.

62. Francoual S., Livet F., de Boissieu M., Yakhou F., Bley F., Letoublon A., Caudron R., Gastaldi J. Dynamics of phason fluctuations in the i-AlPdMn quasicrystal // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 225501-1-225501-4.

63. Elser V. Indexing problems in quasicrystal diffraction// Phys. Rev. B. 1985. -Vol. 32.-P. 4892 -4898.

64. Lubensky T.C., Socolar J.E.S., Steinhardt P.J., Bancel P.A., Heiney P.A. Distortion and peak broadening in quasicrystal diffraction patterns // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57. - P. 1440 - 1443.

65. Morn P.M., Malzfedt W., DiVincenzo D.P., Toner J., Gambino R. Systematics of disorder in quasiperiodic material // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 57. - P.1444- 1447.

66. Socolar J.E.S., Lubensky T.C., Steinhardt P.J. Phonons, phasons, and dislocations in quasicrystals // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 34. - P. 3345 -3360.

67. Socolar J.E.S., Wright D.C. Explanation of peak shapes observed in diffraction from icosahedral quasicrystal // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. - P. 221 -224.

68. Boudard M., de Boissieu M., Letoublon Л., Hennion В., Bellisent R., Janot C. Phason softening in AlPdMn icosahedral phase // Europhys. Lett. 1999. -Vol. 33. - P. 199-200.

69. Capitan M. J., Calvayrac Y., Quivy A., Joulaud J.L., Lefebre S., Gratias D. X-ray diffuse scattering from icosahedral Al-Pd-Mn quasicrystals // Phys. Rev. B.- 1999. Vol. 60. - P. 6398 - 6404.

70. He Y„ Yan X., Egami Т., Poon S.J., Shiflet G.J. Synchrotron X-ray studies of diffuse scattering in an Al-Cu-Co two-dimensional decagonal quasicrystal // Philos. Mag. Lett. 1992. - Vol. 66. - P. 241 -251.

71. He Y., Hu R.Z., Egami Т., Poon S.J., Shiflet G.J. Two-dimensional pair distribution functions from synchrotron x-ray data: Application to an Al-Cu-Co decagonal quasicrystal // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 70. - P. 2411 -2414.

72. Jane M.V., Nelson D.R. Diffuse scattering from quasicrystals // Phys. Rev. B.- 1988. Vol. 37. - P. 4458 - 4472.

73. Wang R., Hu C., Lei J., Ding D. Theoretical aspects of thermal diffuse scattering from quasicrystals // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 61. P. 5843 -5845.

74. Wang R., 11li C, Lei J. Theory of diffuse scattering of quasicrystals due to fluctuations of thermalised phonons and phasons // Phys. Status Solidi B. -2001.-Vol. 225.-P. 21 -34.

75. Lei J., Wang R., Hu C., Ding D. Diffuse scattering from pentagonal quasicrystals // Phys. Lett. A. 1998. - Vol. 247. - P. 343 - 352.

76. Lei J., Hu C., Wang R., Ding D. Diffuse scattering from octagonal quasicrystals // J. Phys.: Condens. Matter. 1999. - Vol. 11. - P. 1211 - 1223.

77. Lei J., Wang R., Hu C., Ding D. Diffuse scattering from decagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. - P. 822 - 828.

78. Ishii Y. Anisotropic phasonic diffuse scattering from decagonal quasicrystals // Mater. Sci. Eng. A. 2000. - Vol. 294-296. - P. 377 - 380.

79. Lei J., Wang R., Ни C., Ding D. Diffuse scattering from dodecagonal quasicrystals // Eur. Phys. J. B. 2000. - Vol. 13. - P. 21 - 30.

80. Rochal S.B. Second order terms of phonon-phason dynamic matrix of an icosahedral quasicrystal: Diffuse intensity and the profile shape around the Bragg peaks // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. - P. 144204 - 144214.

81. Feuerbacher M., Weller M., Urban K. Mechanical spectroscopy of Al-Pd-Mn single quasicrystal // Quasicrystals. Proc. 6th Int. Conf. / edited by S.F. Takeuchi. Singapore: World Scientific, 1998. - P.521 - 524.

82. Rochal S.B., Lorman V.L. Anisotropy of acoustic-phonon properties of an icosahedral quasicrystal at high temperature due to phonon-phason coupling // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 62. - P. 874 - 879.

83. De P., Pelcovitz R.A. Linear elasticity theory of pentagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 1987. - Vol. 35. - P. 8609 - 8620.

84. Ding D., Yang W., Ни C., Wang R. Generalized elasticity theory of quasicrystals // Phys.Rev. B. 1993. - Vol. 48. - P. 7003 - 7009.

85. Yang W., Wang R., Ding D., Ни C. Linear elasticity theory of cubic quasicrystals // Phys.Rev. B. 1993. - Vol. 48. - P. 6999 - 7002.

86. Socolar J.E.S. Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 1989.-Vol. 39.-P. 10519- 10551.

87. Беляев О.А., Конник В.А. Гидродинамика слоистых и кубических квачикрисгаллов // Кристаллография. 1999. - Т. 45. - С. 213 - 217.

88. Feuerbacher М., Weller М., Diehl J., Urban К. Mechanical spectroscopy of AlPdMn single quasicrystal // Philos. Mag. Lett. 1996. - Vol. 74. - P. 81 -85.

89. Feuerbacher M., Metzmacher C., Wollgarten M., Urban K., Baufeld В., Bartsch M., Messerschinidt U. Dislocations and plastic deformation of quasicrystals // Mater. Sci. Eng. A. 1997. - Vol. 233. - P. 103 - 110.

90. Urban К., Feuerbacher M., Wollgarten M., Bartsch M., Messersschmidt U. Mechanical properties of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / edited by Z.M. Stadnik. Berlin: Springer, 1999. - P. 412.

91. Takeuchi S. Bulk mechanical properties of quasicrystals // Quasicrystals. Mat. Res. Soc. Symp. Proc. / edited by J.-M. Dubois, P.A. Thiel, A.P. Tsai, Is. Urban. Pittsburgh: Mat. Res. Soc., 1999. - Vol. 553. - P. 283 - 294.

92. Ни C., Wang R., Ding D. Symmetry groups, physical property tensors, elasticity and dislocations in quasicrystals // Rep. Prog. Phys. 2000. - Vol. 63. - P. 1 - 39.

93. Li C., Liu Y. Low-temperature lattice excitation of icosahedral Al-Mn-Pd quasicrystals // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 63. - P. 064203-1 - 064203-8.

94. Shi W. Conservation laws of a decagonal quasicrystal in elastodynamics // Eur. J. Mech. A. 2005 - Vol. 24. - P. 217 - 226.

95. Рошаль С.В. Члены второго порядка фонон-фазонной динамической матрицы икосаэдрического квазикристалла // ФТТ. 2001. - Т. 43. - С. 1884- 1889.

96. Rochal S.B., Lorman V.L. Minimal model of the phonon-phason dynamics in icosahedral quasicrystals and its application to the problem of internal friction in the i-AlPdMn alloy // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66. P. 144204-1 -144204-9.

97. Козинкина E.A., Лорман В.Л., Рошаль С.Б. Анизотропия фонон-фазонной динамики и пиннинг эффект в икосаэдрических квазикристаллах AlPdMn // ФТТ. 2003. - Т. 45. - С. 1256 - 1262.

98. Zhou X., Ни С., Gong P., Qiu S. Nonlinear elastic properties of decagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 2004. - Vol. 70. - P. 094202-1 - 094202-5.

99. Нелинейные свойства твердых тел: Сб. статей / Под ред. В.М. Файна. -М: Мир, 1978.- 226 с.

100. Duquesne J.-Y., Perrin B. Anisotropic nonlinear elastic properties of an icosahedral quasicrystal // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 4301 -4304.

101. Truell R., Elbaum C\, Chick В. B. Ultrasonic methods in solid state physics. -New York: Academic Press, 1969. 514 p.

102. Беляев О.А., Копцик В.А. К теории нелинейных акустических эффектов в слоистых квази кристаллах // Кристаллография. 1997. - Т. 42. - С. 225- 232.

103. Беляев О.А. Вопросы теории упругости квазикристаллов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1999. - 17 с.

104. Goldman A.I., Kelton R.F. Quasicrystals and crystalline approximants // Rev. Mod. Phys. 1993. - Vol. 65. - P. 213 -230.

105. Tainura N. The concept of crystalline approximants for decagonal and icosahedral quasicristals // Phil. Mag. A. 1997. - Vol. 76. - P. 337 - 346.1 12. Mackay A.L. A dense non crystallographic packing of equal spheres // Acta

106. Dmitrienko V.E., Kleman M., Mauri F. Quasicrystal-related phases in tetrahedral semiconductors: Structure, disorder, and ab initi calculations // Phys. Rev. 13. 1999. - Vol. 60. - P. 9383 - 9389.

107. Duneau M., Oguey C. Displacive transformations and quasicrystalline symmetries // J. Phys. (France). 1990. - Vol. 51. - P. 5 - 19.

108. Hiraga K., Sun W., Lincoln F.J. Structural change of Al-Cu-Co decagonal quasicrystal studied by high-resolution electron microscopy // Jpn. J. Appl. Phys. 1991. - Vol. 30. - P. L302 - L305.

109. Zhang H., Urban K. Radiation-induced transformation from the decagonal quasicrystalline phase to a cscl-type phase in Al-Cu-Co-(Si) // Philos. Mag. Lett. 1992. - Vol. 66. - P. 209-215.

110. Qin Y., Wang R., Wang Q., Zhang Y., Pan C. Arp-ion-irradiation-induced phase transformations in an AboCoisNiis decagonal quasicrystal // Philos. Mag. Lett. 1995. - Vol. 71. - P. 83 - 90.

111. Dong C., Dubois J.-M., de Boissieu M., Janot C. Phase transformations and structure characteristics of the Al65Cui7.5Co17.5 decagonal phase // J. Phys.: Condens. Matter. 1991. - Vol. 3. - P. 1665 - 1673.

112. Fettweis M., Launois P., Reich R., Wittmann R., Denoyer F. Evidence of a reversible microcrystai-quasicrystal phase transition in decagonal Al-Cu-Co-(Si) // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51. P. 6700-6703.

113. Baumgarte A., Schreuer J., Estermann M. A., Steurer W. X-ray diffraction study of decaprismatic Al-Co-Ni crystals as a function of composition and temperature // Phil. Mag. A. 1997. - Vol. 75. - P. 1665 - 1675.

114. Kalning M., Kek S., Krane H.G., Dorna V., Press W., Steurer W. Phason-strain analysis of the. twinned approximant to the decagonal quasicrystal Al7()Co|sNi|5: Evidence for a one-dimensional quasicrystal // Phys. Rev. B. -1997.- Vol. 55.- P. 187- 192.

115. Zhang П., Клю К.Н. Transformation of the two-dimensional decagonal quasicrystal to one-dimensional quasicrystals: A phason strain analysis // Phys. Rev. В. 1990. - Vol. 41. - P. 3482 - 3487.

116. Zhang 11., Li H.Z., Kuo K.H. // Crystal-quasicrystal transitions / edited by M.J. Yacaman, M. Torres. Amsterdam: Elsevier Science, 1993. - P. 1 - 12.

117. Ыи C., Wang R., Ding D., Yang W. Structural transitions in octagonal, decagonal, and dodecagonal quasicrystals // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 53. - P. 12031 - 12034.

118. Rochal S.B., Dmitriev V.P., Lorman V.L., Toledano P. Local mechanism for crystal-to-quasicrystal transformation // Phys. Lett. A. 1996. - Vol. 220. -P. 111-116.

119. Rochal S.B. Symmetry of the atomic displacement field at the quasicrystal-to-crvstal phase transition // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 60. - P. 12687 -12691.

120. Steurer W., Haibach T. The periodic average structure of particular quasicrystals // Acta Cryst. A. 1999. - Vol. 55. - P. 48 - 57.

121. Steurer W. Structural phase transitions of decagonal quasicrystals // Quasicrystals. Mater. Res. Soc. Symp. Proc. / edited by J.-M. Dubois, P.A. Thiel, A.P. Tsai, Iv. Urban. Pittsburgh: Mat. Res. Soc., 1999. - Vol. 553.-P. 159- 170.

122. Monal M., Haibach Т., Steurer W. Geometrical model of the phase transformation of decagonal Al-Co-Ni to its periodic approximant // Acta Cryst. A. 1998. - Vol. 54. - P. 374 - 387.

123. Steurer W. The quasicrystal-to-crystal transformation. I. Geometrical principles // Z. Kristallogr. 2000. - Vol. 215, P. 323 - 334.

124. Steurer W. Geometry of quasicrystal-to-crystal transformations // Mater. Sci. Eng. A. 2000. - Vol. 294-296. - 268 - 271.

125. Coddens G., Launois P. A model for a transition from a quasicrystalline to a mierocrystalline state // J. Phys. I. 1991. - Vol. 41. - P. 3482 - 3487.

126. Klein П., Audier M., Boudard M., De Boissieu M., Beraha L., Duneau M. Phason defects in Al-Pd-Mn approximant phases // Philos. Mag. A. 1996. -Vol. 73.-P. 309 - 331.

127. Klein II., Boudard M., Audier M., De Boissieu M., Vincent H., Beraha L., Duneau M. The T-A13(Mn,Pd) quasicrystalline approximant: chemical order and phason defects // Philos. Mag. Lett. 1997. - Vol. 75. - P. 197 - 208.

128. Beraha L., Duneau M., Klein H., Audier M. Phason defects in Al-Pd-Mn approximant phases: another example // Philos. Mag. A. 1998. - Vol. 78. -P. 345 -372.

129. Doblinger M., Wittmann R., Gerthsen D., Grushko B. Continuous transition between decagonal quasicrystal and approximant by formation and ordering of out-of-phase domains // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 224201-1 -224201-9.

130. Mai X.I L Xu L., Wang N., Kuo K.H., Jin Z.C., Cheng G. Effect of phason strain on the transition of an octagonal quasicrystal to a 6t?ta-Mn-type structure//Phys. Rev. В.- 1989. Vol. 40. P. 12183-12186.

131. Rochal S.B., Lorman V.L. Continuous defect-free structural transformation of long-range order from quasiperiodic to translational // Phys. Rev. B. 2003. -Vol. 68. - P. 144203-1 - 144203-6.

132. Рошаль С.В., Козинкина Е.А. Непрерывное бездефектное структурное превращение квазикристалл-кристалл на примере октагональной и тетрагональной фаз сплава CrNiSi // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - № 2. - С. 55 - 59.

133. Рошаль С.Н., Ко:шнкина Е.А. Предельная одномерная квазикристаллическая структура в сплаве AlCoNi // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - № 3. - С. 39 -42.

134. Рошаль С.В., Козинкина Е.А. Предельные кубические кристаллические структуры для икосаэдрической укладки Аммана // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - № 4. - С. 35 -37.

135. Rochal S.B., Kozinkina Y.A. Theory of the defect-free phason strain in quasicrystals // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - P. 024210-1 - 024210-12.

136. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

137. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теории упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

138. Papavassiliou G., Anagnostopoulos A., Milia F., Blinc R., Kotsios S. Discrete lattice effects and the phason gap of incommensurate systems // Phys. Rev. B. 1991. - Vol. 44. - P. 7283 - 7288.

139. Chernikov M.A., Bianchi A., Ott H.R. Low-temperature thermal conductivity of icosahedral Al7„Mn.,Pd2, // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51, 153 - 158.

140. Amazit Y., de Boissieu M., Zarembowitch A. Evidences for elastic isotropy and ultrasonic-attenuation anisotropy in Al-Mn-Pd quasi-crystals // Europhys. Lett. 1992. - Vol. 20. - P. 703 - 706.

141. Newman M.E.J., Henley C.L. Phason elasticity of a three-dimensional quasicrystal: A transfer-matrix method // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 52. - P. 6386 - 6399.

142. Zhu W.-J., Henley C.L. Phonon-phason coupling in icosahedral quasicrystals

143. Europhys. Lett. 1999. - Vol. 46. - P. 748 - 754.

144. Damson В., Weller M., Feuerbacher M., Grushko В., Urban К. Mechanical spectroscopy of i-Al-Pd-Mn and d-Al-Ni-Co // Mater. Sci. Eng. A. 2000. -Vol. 294-296. - P. 806 - 809.

145. Shaw L.J., Elser V., Henley C.L. Long-range order in a three-dimensional random-tiling quasicrystal // Phys. Rev. В 1991. - Vol. 43. - P. 3423j4J J.

146. Steurer W. Structural relationships between decagonal Al-Co-Ni and its approximants // Ferroelectrics. 2001. - Vol. 250. - P. 377 - 380.

147. Cockayne E., Widom M. Structure and phason energetics of Al-Co decagonal phases // Philos. Mag. A. 1998. - Vol. 77. - P. 593 - 619.

148. Steurer W., Haibach T. Crystallography of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / edited by Z.M. Stadnik. Berlin: Springer, 1999. - P. 5 1 - 89.

149. Cooper M. The crystal structure of the ternary alloy a-AlFeSi // Acta Cryst. -1967.-Vol. 23.-P. 1106-1107.

150. СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

151. Козинкина Е.А. Модель плоской квазикристаллической структуры октагональной симметрии // Пятая Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых (ВНКСФ-5): Информ. бюл. Сб. тез. Екатеринбург, 1999. - С. 125 - 127.

152. Rochal S.B., Lebedyuk I.V., Kozinkina Y.A. Linear continuous inhomogeneous strains in octagonal and decagonal quasicrystals // Phys. Rev. В. 1999. - Vol. 60. - № 2. - P. 865 - 873.

153. Рошаль С.Б., Лорман В.Л., Козинкина Е.А. Анизотропия фонон-фазонной динамики и пиннинг эффект в икосаэдрических квазикристаллах AlPdMn // Физика твердого тела. 2003. - Т. 45. - № 7. - С. 1256 - 1262.

154. Мощенко И.П., Мценко В.К., Козинкина Е.Л. Статистическая модель периодического упорядочения в декагональных AlCuCo сплавах // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. 2004. - JST» 1. - С. 23 - 26.

155. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Непрерывное бездефектное структурное превращение квазикристалл-кристалл на примере октагональной и тетрагональной фаз сплава CrNiSi // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. -№ 2. - С. 55 - 59.

156. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Предельная одномерная квазикристаллическая структура в сплаве AlCoNi // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - № 3. - С. 39 -42.

157. Рошаль С.Б., Козинкина Е.А. Предельные кубические кристаллические структуры для икосаэдрической укладки Аммана // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2005. - № 4. - С. 35 -37.

158. Rochal S.B., Kozinkina Y.A. Theory of the defect-free phason strain in quasicrystals // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - № 2. - P. 024210-1