Феноменологическая теория кристаллизации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Теория кристаллизации: существующие модели

1.1. Введение

1.2. Теория Ландау перехода изотропная жидкость - твердое тело

1.3. Теория слабой кристаллизации

1.4. Модель Александера и Мак-Тейга

1.5. Модели стабилизации квазикристаллического порядка

Глава 2. Феноменологическая теория сегрегации

2.1. Введение

2.2. Структура и классификация жидких кристаллов

2.2.1. Термотропные жидкие кристаллы

2.2.2. Лиотропные жидкие кристаллы

2.3. Симметрия параметра порядка сегрегации

2.4. Предельное состояние сегрегирующей системы. Нелинейная функция параметра порядка

2.5. Феноменологические фазовые диаграммы

2.6. Частично сегрегированные структуры в кристаллах

2.7. Выводы главы

Глава 3. Перекристаллизация квазикристаллов: переход в кристаллическую фазу

3.1. Введение

3.2. Кластерная модель квазикристаллов

3.3. Классическая теория упругости квазикристаллов

3.4. Линейные деформаций квазикристаллов

Введение

Помимо кристаллизации жидкостей в жидкокристаллические, кристаллические и квазикристаллические фазы, в последнее время, благодаря получению стабильных квазикристаллов, особый интерес представляет процесс перекристализации, связанный с переходом из квазикристаллического состояния в кристаллическое. И связано это с тем, что квазикристаллическая структура и соответствующая ей кристаллическая имеют схожее локальное строение, и, как следствие, появляется возможность узнать, где же в квазикристалле находятся атомы. Во многих случаях этот вопрос до сих пор остается открытым. Вследствие того, что число базисных векторов, необходимых для описания квазипериодических структур, превышает размерность реального физического пространства, в квазикристаллах возникает ряд интересных симметрийных эффектов, не свойственных кристаллической симметрии. Так, сразу же после открытия квазикристаллов в 1984 г., было показано, что в них возникают дополнительные голдстоуновские моды, названные фазонами, которые соответствуют закономерным процессам диффузии и, в отличии от фононов, являются диссипативными модами.

Классическим описанием переходов из квазикристаллического состояния в кристаллическое является фазонный механизм, при рассмотрении которого в качестве параметра порядка используются компоненты тензора фазонной деформации. Как будет показано в этой работе, наряду с фазонной деформацией, соответствующей процессам диффузии, квазикристаллическая симметрия допускает существование линейных непрерывных неоднородных деформаций, которые можно рассматривать как несобственные параметры порядка фазового перехода квазикристалл-кристалл, отвечающие за нарушения формы кластеров в структуре кристаллической аппроксиманты.

Разрешению части этих и других вопросов посвящена данная работа, и поэтому она представляется актуальной.

Цели и задачи работы. Целью работы являлось построение феноменологической теории кристаллизации и ее применение к различным системам, а именно, кристаллическим, квазикристаллическим и жидкокристаллическим. При этом решались следующие задачи: 1. Реализация полной феноменологической симметрийной схемы описания процесса сегрегации в лиотропных жидких кристаллах, приводящего к возникновению одномерно, двумерно, и трехмерно упорядоченных структур.

2. Нахождение регулярного метода введения предельного (полностью сегрегированного) состояния в феноменологическую модель кристаллизации, а также выяснение соотношения между теоретически стабильными фазами и реально наблюдаемыми состояниями твердого тела.

3. Построение модели процесса перекристаллизации квазикристаллов и, в частности, фазового перехода квазикристалл-кристалл, в которой основным параметром порядка является фазонная деформация, а несобственным параметром порядка - линейная непрерывная неоднородная деформация.

Научная новизна и практическая ценность. Впервые общий феноменологический подход, в максимальной степени использующий симметрийные свойства систем, применен для описания процессов возникновения периодического дальнего порядка в объектах с непрерывной пространственной симметрией. Путем учета предельных состояний впервые в рамках единой феноменологической теории проанализирована стабильность дву-связных и полностью сегрегированных структур и фазовые переходы между ними. Для процессов перекристаллизации п-мерно периодических систем (п>3) впервые показана определяющая роль линейных непрерывных неоднородных деформаций в общей деформации структур кристаллических аппроксимант.

Практическая ценность разрабатываемого подхода и исследованных моделей определяется уже тем, что описываемые ими фазовые переходы определяют свойства и поведение отдельных частей биологических объектов, облегчая анализ и понимание процессов, происходящих в живом организме на клеточном уровне.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Построена феноменологическая модель молекулярной сегрегации лиотропных жидких кристаллов из изотропного раствора. Найдена симметрия параметра порядка переходов в упорядоченные мезофазы, причем амплитуды параметра порядка являются периодическими функциями вероятности нахождения молекул в сегрегированной области. Построены фазовые диаграммы переходов изотропная фаза - сегрегированная фаза, которые имеют области стабильности частично и полностью сегрегированных состояний, а также прямой и обращенной фаз.

2. Показано, что методы безмодельного решения угловой задачи теории Ландау, развитые для систем с дискретной симметрией, могут быть успешно применены к перечислению решений уравнений состояния феноменологической теории кристаллизации, соответствующих неоднородным периодическим фазам. Предложенная модификация существующих феноменологических моделей кристаллизации позволяет учесть в них не только частично упорядоченное, но и кристаллическое состояние. В рамках предложенной модели описана кристаллизация анионной подрешетки суперионного проводника СаРг, соответствующая переходу из частично упорядоченного в кристаллическое состояние.

3. Симметрия квазикристаллов допускает существование невозможных в кристаллическом состоянии линейных непрерывных неоднородных деформаций, связанных с замерзанием определенных колебательных степеней свободы квазикристаллической решетки, которые могут использоваться в качестве несобственного параметра порядка фазового перехода квазикристалл - кристалл, отвечающего за нарушения формы кластеров в структуре аппроксиманты.

4. Фазонный механизм соответствует относительной деформации средних периодических решеток, при которой они приобретают взаимную соразмерность. 8

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Международной конференции по лиотропным жидким кристаллам (г. Иваново, 1997), 5-й Всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученных (г. Екатеринбург, 1999), 18-м Международном конгрессе кристаллографов (г. Глазго, 1999), 15-й Кристаллографической компьютерной школе (Кембридж, 1999), 7-й Международной конференции по квазикристаллам (г. Штутгарт, 1999).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано в центральной печати 3 статьи и 3 тезисов.

Личный вклад автора. Выбор темы диссертационной работы, постановка задач для этой работы и их решение, а также обсуждение полученных результатов выполнены совместно с проф. B.II. Дмитриевым и с доц. С. Б. Рошалем.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения. Содержит 112 страниц, 30 рисунков, 4 таблины, библиографию из 110 наименований.

2.6. Выводы главы

Таким образом, наряду с хорошо известными линейными фазонами, симметрия квазикристаллов допускает существование линейных непрерывных неоднородных деформаций, связанных с замерзанием определенных колебательных степеней свободы квазикристаллической решетки. Линейные непрерывные неоднородные деформации могут использоваться в качестве несобственного параметра порядка фазового перехода квазикристалл - кристалл, отвечающего за нарушения формы кластеров в структуре ап-проксиманты. В обратном пространстве проявление линейных непрерывных неоднородных деформаций заключается в перераспределении интенсивности рефлексов, но положения рефлексов при этом остаются неизменными. В прямом пространстве при такой деформации сдвиги узлов всегда непрерывны и ограничены, и поэтому, в отличии от линейных фазонов, не соответствуют процессам диффузии. При выделенной величине линейной непрерывной неоднородной деформации квазикристаллические решетки превращаются в дефектные периодические решетки, которые является средними решетками квазикристаллической структуры. Классический фазонный механизм соответствует относительной деформации средних периодических решеток, при которой они приобретают взаимную соразмерность.

Заключение

Основными результатами настоящей работы являются следующие:

1. Построена феноменологическая модель молекулярной сегрегации лиотропных жидких кристаллов из изотропного раствора. Показано, что для переходов сегрегационного типа, включающего в себя кристаллизацию, существует трансцендентная функциональная связь между величиной параметра порядка феноменологической теории и величинами микроскопических локальных варьируемых параметров, таких, как локальная заселенность сегрегированных областей или позиций.

2. Продемонстрировано, что учет трансцендентной связи между феноменологическим параметром порядка и микроскопическим параметрами позволяет описать все стадии процесса сегрегации изотропной системы, включающего как образование стабильных частично сегрегированных двусвязных периодических структур, так и образование собственно кристаллических полностью сегрегированных состояний.

3. Построены фазовые диаграммы переходов изотропная фаза - сегрегированная фаза, которые имеют области стабильности частично и полностью сегрегированных состояний, а также прямой и обращенной фаз.

4. В рамках предложенной теории сегрегации описана кристаллизация анионной подрешетки суперионного проводника структурного типа СаР2, соответствующая переходу из частично упорядоченного в кристаллическое состояние.

5. Симметрия квазикристаллов наряду с хорошо известными линейными фазонами допускает существование невозможных в кристаллическом состоянии линейных непрерывных неоднородных деформаций, связанных с замерзанием определенных колебательных степеней свободы квазикристаллической решетки.

103

6. Линейные непрерывные неоднородные деформации могут использоваться в качестве несобственного параметра порядка фазового перехода квазикристалл - кристалл, отвечающего за нарушения формы кластеров в структуре аппроксиманты.

7. При выделенной величине линейной непрерывной неоднородной деформации квазикристаллические решетки превращаются в дефектные периодические решетки, которые является средними решетками квазикристаллической структуры.

8. Показано, что классический фазонный механизм соответствует относительной деформации средних периодических решеток, при которой они приобретают взаимную соразмерность.

1. Л.Д. Ландау, К теории фазовых переходов.- Собрание трудов, Москва, Наука, 1969, т. 1, с. 234.

2. Л.Д. Ландау, К теории фазовых переходов.- Собрание трудов, Москва, Наука, 1969, т.1, с. 253.

3. А. Бразовский, И.Е. Дзялошинский, А.Р. Муратов, Теория слабой кристаллизации, ЖЭТФ, 1987, т. 93, вып. 3, с. 1110-1124.

4. Kats, V.V. Lebedev and A.R. Muratov, Weak crystallization theory, Phys. Rep. 228, (1993) 1-91.

5. Д.А. Киржниц, Ю.А. Непомнящий, ЖЭТФ, 1970, т. 59, с. 2203.

6. Э.Г. Батыев, Феноменологическая теория фазового перехода жидкость- кристалл в Не3, ЖЭТФ, 1976, т. 70, вып. 2, с. 578-585.

7. А. Бразовский, Фазовый переход изотропной системы в неоднородное состояние, ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 175-185.

8. А. Бразовский, С.Г. Дмитриев, ЖЭТФ, 1975, т. 69, с. 979.

9. В.А. Беляков, В.Е. Дмитриенко, УФН, т. 28,

10. A. Voronel, V. Steinberg and T. Sverbilova, Phys. Lett. A 79 (1980) 180.

11. Е.И. Кац и А.Р. Муратов, ЖЭТФ, 1988, т. 67, 736.

12. Y. Hendrikx and A.M. Levelut, Respective Role of Molecular Shape and Chemical Structure on Symmetries of Mesophases, Mol. Cryst. Liq. Cryst., 1988, Vol. 165, pp. 233-263.

13. G. J. T. Tiddy, Phys. Rep. 45, 1 (1980).

14. G. H. Fredrickson, and E. Helfand, J. Chem. Phys. 87,697 (1987).

15. Alexander and J. McTague, Should All Crystals Be bcc? Landau Theory of Solidification and Crystal Nucleation, Phys. Rev. Lett. 41, 702 (1978).

16. P. Bak, Phenomenological theory of icosahedral incommensurate («quasiperiodic») order in Mn-Al alloys, Phys. Rev. Lett. 54, 1517 (1985).

17. P. Bak, Symmetry, stability, and elastic properties of icosahedral incommensurate crystals, Phys. Rev. В 32, 5764 (1985).

18. П.А. Калугин, А.Ю. Китаев, JT.C. Левитов, А1о,8бМпо,14 шестимерный кристалл, Письма в ЖЭТФ, т. 41, вып. 3,стр. 119-121.

19. N.D. Mermin and S.M. Troian, Mean-Field Theory of Quasicrystalline Order, Phys. Rev. Lett. 54, 1524(1985).

20. S.M. Troian and N.D. Mermin, Mean Field Theories of Quasicrystalline Order, Fer-roelectrics 66, 127(1986).

21. S. Narasimhan and T.L. Ho, Mean-field-theory study of the energetics of icosahedral, decagonal and dodecagonal quasicrystals, Phys. Rev. В 37, 800 (1988).

22. L. Gronlund and N.D. Mermin, Instability of quasicrystalline order in the local Kalugin-Kitaev-Levitov model, Phys. Rev. В 38, 3699 (1988).

23. V. Dvorak and J. Holakovsky, A machanism for stabilisation of the icosahedral quasicrystalline structure, J. Phys. C: Solid State Phys. 19 (1986) 5289-5294.

24. M.V. Jaric, Long-Range Icosahedral Orientational Order and Quasicrystals, Phys. Rev. Lett. 55, 607 (1985).

25. C. Henley, Quasicrystal Order, Its Origin and Its Consequences. A Survey of Current Models., Comments Cond. Mat. Phys. 1987, Vol. 13, No. 2, pp. 59-117.

26. V. Dmitriev, S. Rochal, Yu. Gufan, P. Toledano, Definition of a transcendental order parameter for reconstructive phase transitions, Phys. Rev. Lett. 60, 1958 (1988).

27. Ю.М. Гуфан, В.П. Дмитриев, П. Толедано, ФТТ 30, 1057 (1988).

28. P. Toledano, V. Dmitriev, Reconstructive Phase Transitions in Crystals and Quasicrystals , World Scientific, Singapore (1996).

29. Ю.М. Гуфан, Структурные Фазовые Переходы, Наука, Москва (1982).

30. П. де Жен, Физика жидких кристаллов, Мир, Москва, 1977.

31. С. Чандрасекар, Жидкие кристаллы, Мир, Москва, 1980.

32. А. С. Сонин, Введение в физику жидких кристаллов, Наука, Москва, 1983.

33. С. А. Пикин, Структурные превращения в жидких кристаллах, Наука, Москва, 1981.

34. Америк, Б. А. Кренцель, Химия жидких кристаллов и мезоморфных полимерных систем, Наука, Москва, 1981.

35. Ж.-К. Толедано, П. Толедано, Теория Ландау фазовых переходов, Мир, Москва (1994).

36. J. Charvolin, Films of amphiphiles, structural description, in: Liquids at interfaces, eds. J. Charvolin, J.F. Joanny, and J. Zinn-Justin, Elseveir Science Publisher B.V., 1989.

37. H. Wennerstrom and B. Lindman, Mecelles. Physical chemistry of surfactant association, Phys. Rep. 52, No. 1 (1979) 1-86.

38. Physics of Amphiphiles: Micelles, Vesicles and Microemulsions, eds. V. Degiorgio and M. Corti, North-Holland, Amsterdam, 1985.

39. R. R. Balmbra, J. S. Clunie and J. F. Goodman, Nature 222 (1969) 1159.

40. V. Luzzati, in: Biological Membranes Vol.1, ed. D. Chapman, Academic Press, 1968, p. 71.

41. J. Charvolin, A. M. Levelut, and L. Liebert, J. Chem. Phys. (Paris), Lett. 40, L587 (1979).

42. L. J. Yu and A. Saupe, Phys. Rev. Lett. 45, 1000 (1980).

43. Y. Henderikx and J. Charvolin, Structural relations between lyotropic phases in the vicinity of the nematic phases, J. Physique 42 (1981) 1427-1440.

44. D. Chapman, Lyotropic Mesophases in Biological Systems, in: Liquid Crystals -Applications and Uses (World Scientific, Singapore, 1992).

45. А. Ю. Гросберг, A. P. Хохлов, Физика в мире полимеров, Наука, Москва, 1989.

46. W. Helfrich, Z. Naturforsch 28, 683 (1973).

47. Statistical Mechanics of Membranes and Surfaces, eds. D. R. Nelson, T. Piran and S. Weinberg (World Scientific, Singapore, 1989).

48. B. Widom, J. Chem. Phys. 84,6943 (1986).

49. Phase Transition and Critical Phenomena, eds. C. Domb and J. L. Lebowitz (Academic Press, New York, 1994), vol. 16.

50. И.Я. Ерухимович, Симметрия гироида и фазовая диаграмма слабой кристаллизации, Письма в ЖЭТФ, т. 63, вып. 6, стр. 436-440 (1996).

51. V. Е. Podneks, I. W. Hamley, Landau-Brazovskii theory for the Ia3d structure, Pi'sma v ZhETF, v. 64, iss. 8, pp. 564-569 (1996).

52. Wu-Ki Tung, Group Theory in Physics, World Scientific, Singapore (1985).

53. Дж. Эллиот, П. Добер, Симметрия в физике, т. 2, Москва, Мир, 1983.

54. L. Michel, Symmetry defects and broken symmetry, Rev. Mod. Phys., v. 52, No. 3,617 (1980).

55. В. Гинзбург, Нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения, Москва, Наука, 1978.

56. М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, Москва, Наука, 1969.

57. G. Porte, J. Phys. Condens. Matter 4, 8649 (1992).

58. M. Magalhaes, D. Pusiol, M. E. Rania and A. M. Figueiredo Neto, J. Chem. Phys. 108, 3835(1998).

59. W. Helfrich, J. Phys. Condens. Matter 6, A79 (1994).

60. В.И. Марченко, ЖЭТФ 100, 1370 (1991).

61. Ю. Я. Гуревич, Ю. И. Харкац, Суперионная проводимость твердых тел. «Химия твердого тела» (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), 1987, т. 4, с. 3-157.

62. Е.А. Укше, Н.Г. Букун, Твердые электролиты, Москва, Наука, 1977.

63. В. Н. Чеботин, М. В. Перфильев, Электрохимия твердых электролитов, Москва, Химия, 1978.

64. Физика суперионных проводников, под. ред. М. Б. Саламона, Рига, Зинатне, 1982.

65. A.V. Chadvik, Solid State Ionics 8, 209 (1983).

66. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W., Mettalic phase with long range orien-tational order and no translational symmetry, Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984).

67. P.A. Bancel, P.A. Heiney, P.N. Stephens et al., Structure of Rapidly Quenched Al-Mn, Phys. Rev. Lett. 54,2422 (1985).

68. N. Wang, H. Chen, and К. H. Kuo, Two-Dimensional Quasicrystal with Eightfold Rotational Symmetry, Phys. Rev. Lett. 59, 1010 (1987).

69. L. Bendersky, Quasicrystal with one-dimensional translational symmetry and a tenfold rotation axis, Phys. Rev. Lett. 55, 1461 (1985).

70. L. Bendersky, Decagonal phase, J. de Physique C3, Tome 47, 457 (1986).

71. К. K. Fung, C. Y. Yang, Y. Q. Zhou, J. G. Zhao, W. S. Zhan, and B. G. Shen, Icosa-hedrally Related Decagonal Quasicrystal in Rapidly Cooled Al-14-at.%-Fe Alloy, Phys. Rev. Lett. 56,2060(1986).

72. T. L. Daulton and K. F. Kelton, The decagonal phase in (Al,Si)65Co20Cu 15 alloys, Phil. Mag. В 66, 37-61 (1992).

73. Т. Ishimasa, H. U. Nissen, and Y. Fukano, New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles, Phys. Rev. Lett. 55, 511 (1985).

74. Chen H., Li D., Kuo К. H., New type of two-dimensional quasicrystal with twelvefold rotation symmetry, Phys. Rev. Lett. 60, 4526 (1988).

75. Wolff P.M., Acta Cryst. A30, 777 (1974).

76. T. Janssen, Acta Cryst. A42, 261-271 (1986).

77. Penrose R., The role aesthetics in pure and applied mathimatical research, J. Inst. Math. Its Appl. 10,266 (1974).

78. Duneau M., Katz A., Quasiperiodic patterns, Phys. Rev. Lett. 54, 2688 (1985).

79. Katz A., Duneau M., Quasiperiodic patterns and icosahedral symmetry, J. Physique 47 (1986) 181 -196.

80. Ishihara K.N., Shingu P.H., J. Phys. Soc. Jpn. 55, 1795 (1986).

81. S. E. Burkov, Structure Model of the Al-Cu-Co Decagonal Quasicrystal, Phys.Rev.Lett. 67,614(1991).

82. T. Tei-Ohkawa, K. Edagawa and S. Takeuchi, Model structures of decagonal quasicrys-tals and comparison with experiments, Mater. Sci. Forum vols. 150-151 (1994) pp. 287296.

83. A. Yamamoto, Crystallography of quasiperiodic crystals, Acta Cryst. A52, 509 (1996).

84. Hiraga K., Lincoln F.J., and Sun W., Mater. Trans. Jpn. Inst. Met. 32, 308 (1991).

85. Hiraga K„ Sun W., Lincoln F. J., Matsuo Y„ Phase Transit. 44, 163 (1993).

86. W. Steurer and K. H. Kuo, Five-Dimensional Structure Analysis of Decagonal Al65Cu2oCoi5, Acta Cryst.(1990), B46, 703-712.

87. K. Tsuda, Y. Nishida, K. Saiton, M. Tanaka, Structure of Al-Ni-Co decagonal quasi-crystals, Phil. Mag. A, 1996, vol. 74, No 3,697-708.

88. A. Baumgarte, J. Schreuer, M. A. Estermann and W. Steurer, X-ray diffraction study of decaprismatic Al-Co-Ni crystals as a function of composition and temperature, Phil. Mag. A, 1997, Vol. 75, No 6, 1665-1675.

89. X. Z. Li, W. Steurer, and F. Frey, Structural model of Al-Pd decagonal quasicrystal, Phyl. Mag. A, 1996, Vol. 74, No. 1,299-305.

90. A. Yamamoto and S. Weber, Five-Dimensional Superstructural Model of Decagonal Al-Ni-Co Quasicrystals, Phys. Rev. Lett. 78, 4430 (1997).

91. E. Cockayne, M. Widom, Ternary Model of an Al-Cu-Co Decagonal Quasicrystal, Phys. Rev. Lett. 81, 598 (1998).

92. K. Saiton, K. Tsuda, and M. Tanaka, Structural models of decagonal quasicrystals with pentagonal atom-cluster columns, Phil. Mag. A, 1996, vol. 76, No 1, 135-150.

93. К. Hiraga, W. Sun, and A. Yamamoto, Structure of Two Type of Al-Ni-Co Decagonal Quasicrystals, Studied by High-Resolution Electron Microscopy, Mater. Trans. JIM 35, 657(1994).

94. A. M. Братковский, Ю. А. Данилов, Г. И. Кузнецов, Квазикристаллы, ФММ, 1989, т. 68, вып. 6, с. 1045-1095.

95. D. Levine, Т. С. Lubensky, S. Ostlund, S. Ramaswamy, and P. J. Steinhardt, Elasticity and Dislocations in Pentagonal and Icosahedral Quasicrystals, Phys. Rev. Lett. 54, 1520 (1985).

96. J. E. S. Socolar, T. C. Lubensky, P. J. Steinhardt, Phonons, phasons, and dislocations in quasicrystals, Phys. Rev. В 34, 3345 (1986).

97. Т. С. Lubensky, J. E. S. Socolar, P. J. Steinhardt, P. A. Bancel, and P. A. Heiney, Distortion and peak broadening in quasicrystal diffraction patterns, Phys. Pev. Lett. 57, 1440(1986).

98. Horn P. M., Malzfedt W., DiVincenzo D. P., et. al., Explanation of peak shapes observed in diffraction from icosahedral quasicrystal, Phys. Rev. Lett. 57, 1444 (1986).

99. J. E. S. Socolar, D. C. Wright, Explanation of peak shapes observed in diffraction from icosahedral quasicrystal, Phys. Rev. Lett. 59, 221 (1987).

100. A. Gomez, J. G. Perez-Ramirez, V. M. Castano and M. Jose-Yacaman, Phonon and phason strain in decagonal quasicrystals, Inter. Jour, of Mod. Phys. B, vol. 1, No 5 & 6 (1987) 1351-1359.

101. J. E. S. Socolar, Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals, Phys. Rev. В 39, 10519(1989).

102. D.H. Ding, W. Yang, C. Hu, and R. Wang, Generalized elasticity theory of quasicrystals, Phys. Rev. В 48,7003 (1993).

103. С. Hu, R. Wang, D.H. Ding, and W. Yang, Piezoelectric effect in quasicrystals, Phys. Rev. В 56, 2463 (1997).

104. V. Elser, Acta Crystal. A42 (1986).

105. Любарский, Теория групп и ее применение в физике, Москва, Наука, 1969.

106. Т. Janssen, in «Materials of the International Workshop on Methods of Structure Analysis of Modulated Structures and Quasicrystals» (Lekeitio, 29 April 1991), p. 17.

107. M. Duneau, in «Materials of the International Workshop on Methods of Structure Analysis of Modulated Structures and Quasicrystals» (Lekeitio, 29 April 1991), p. 185.

108. Д. Най, Физические свойства кристаллов, Москва, Наука.

109. Т. Janssen, in «Materials of the International Workshop on Methods of Structure Analysis of Modulated Structures and Quasicrystals» (Lekeitio, 29 April 1991), p.79.

110. Z. H. Mai, L. Xu, N. Wang, К. H. Kuo, Z. C. Jin, G. Cheng, Effect of phason stain on a b-Mn-type structure, Phys. Rev. В 40, 12183 (1989).1. Публикации автора

111. V. P. Dmitriev, I. V. Lebedyuk, P. Toiedano, A. M. Figueiredo Neto, Phenomenological Theory of Segregation in Liotropic Complex Fluids // Abstracts of III International Meeting on Liotropic Liquid Crystals, Ivanovo, Russia, Dec. 1997, p. 32.

112. V. P. Dmitriev, P. Toiedano, A. M. Figueiredo Neto, and I. V. Lebedyuk, Molecular Segregation in Liotropic Complex Fluids: A Phenomenological Approach H Phys. Rev. E, v. 59, Nl,pp. 771-777(1999).

113. Лебедюк И. В., Линейные деформации квазикристаллов // Сборник тезисов 5-й Всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученных (г. Екатеринбург, 1999).

114. S. Rochal, I. Lebedyuk, Linear continuous inhomogeneous strains in quasicrystals // Abstracts of XVIIIth IUCr Congress & General Assembly, Glasgow, Scotland, Aug. 1999, p. 563.

115. S. B. Rochal, I. V. Lebedyuk, Linear continuous inhomogeneous strains in quasicrystals //Phys. Lett. A, v. 250,pp. 153-157 (1998).112

116. S. B. Rochal, I. V. Lebedyuk, and Y. A. Kozinkina, Linear continuous inhomogeneous strains in octagonal and decagonal quasicrystals // Phys. Rev. B, v. 60, N 2, pp. 865-8731999).