Иерархические модели атомного строения икосаэдрических и кубических апериодических фаз тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Ха Тхань Лам АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2008 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.07 КОД ВАК РФ
Диссертация по физике на тему «Иерархические модели атомного строения икосаэдрических и кубических апериодических фаз»
 
Автореферат диссертации на тему "Иерархические модели атомного строения икосаэдрических и кубических апериодических фаз"

На правах рукописи

Ха Тхань Лам

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АТОМНОГО СТРОЕНИЯ ИКОСАЭДРИЧЕСКИХ И КУБИЧЕСКИХ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФАЗ (КВАЗИКРИСТАЛЛОВ)

Специальность 01 04 07 -физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

аоз1бвэ15

Москва-2008

003168915

Работа выполнена на кафедре материаловедения Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана»

Научный руководитель-

доктор технических наук, профессор Крапошин Валентин Сидорович МГТУим НЭ Баумана

Официальные оппоненты.

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Хмелевская В С Обнинский Государственный технический университет атомной энергетики

кандидат физико-математических наук ЛясоцкийИВ

ФГУПЦНИИЧМ им. ИП Бардина

Государственный технологический университет «Московский государственный институт стали и сплавов»

Защита диссертации состоится «11» июня 2008 г в «16-30» часов на заседании диссертационного совета Д212141 17 при Московском Государственном Техническом Университете им. НЭ Баумана по адресу 248600, г Калуга, ул Баженова, д2 МГТУ им НЭ. Баумана, Калужский филиал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им Н Э Баумана,

Калужский филиал (г Калуга, ул Баженова, 2)

Автореферат разослан «СР>> 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета к. т н., доцент

Лоскутов С А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Икосаэдрические квазикристаллы, т е объекты с некристаллографической икосаэдрической симметрией картин точечной дифракции электронов были открыты в 1984 в сплавах системы алюминий-марганец после закалки из жидкого состояния С тех пор диапазон систем сплавов, образующих квазикристаллические фазы значительно расширился, он включает в себя сплавы на основе титана, циркония, магния, палладия и др Во всех случаях дифракционные картины свидетельствуют об отсутствии трансляционного дальнего порядка в этих фазах, поэтому их можно отнести к классу апериодических структур Однако до сих пор проблема атомного строения квазикристаллических фаз остается нерешенной проблемой физики конденсированного состояния Наиболее распространенным методом описания структур квазикристаллических фаз остается тн метод срезов и проекций (МСП) 6-мерных кубических решеток Этот чисто формальный математический прием позволяет объяснить происхождение икосаэдрической симметрии точечных картин дифракции электронов, но не дает реальных атомных позиций в структуре Кроме того, давно открытые в системах У-М-Эь Ре-КЬ-БьВ, \lg-Al, Ъ-Мп апериодические фазы с кубической симметрией картин точечной дифракции (названные "квазикристаллами без запрещенных осей симметрии") до сих пор остаются вообще без теоретического объяснения Между тем в рамках алгебраической геометрии возможен общий подход к описанию кристаллических и некристаллических структур, основанный на использовании конструкций, определяемых 8-мерной решеткой Е8, при этом широко используемые в теориях квазикристаллов 6-мерные кубические решетки являются лишь подструктурами этой решетки

Практическое значение квазикристаллов к настоящему времени сводится к двум аспектам (1) открытие объектов с некристаллографической картиной точечной дифракции указывает на ограниченность обычных методов описания структуры конденсированных фаз с помощью трехмерных периодических решеток и дефектов в решетках, а значит и на возможность получения материалов с иным, ранее неизвестным способом организации структуры, (2) в настоящее время обнаружено, что выделение наночастиц икосаэдрических квазикристаллов при распаде твердого раствора в промышленно важных сплавах - существенно улучшает их механические свойства Этими двумя обстоятельствами определяется актуальность настоящей работы, посвященной разработке структурных моделей апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметриями картин точечной дифракции с единых позиций на основе концепций алгебраической геометрии

Целью диссертационной работы является разработка в рамках концепций алгебраической геометрии структурных моделей икосаэдрических квазикристаллических фаз и кубических апериодических фаз на основе единого представления об их иерархической структуре (сборки кластеров из

кластеров), а также сопоставление параметров модели с экспериментальными данными Для достижения этой цели было необходимо решить следующие задачи.

• используя экспериментально наблюдаемые атомные кластеры построить атомарные модели строения апериодических фаз с икосаэдрической (сплавы А1-Мп, А1-Мп-81, А1-Си-Ре) и кубической (сплавы М£-А1, Бе-МЬ-БьЕ, У-М-БО симметриями как иерархические объединения 3-мерных сечений 4-мерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Е8,

• установить возможность получения строительной единицы икосаэдрического квазикристалла декорированием четырехмерного политопа, определяемого решеткой Е8,

• найти возможные варианты заполнения пространства икосаэдрического квазикристалла полученной строительной единицей и сопоставить полученную модель квазикристалла с моделью трехмерного разбиения Пенроуза, определяемого в общепринятом методе срезов и проекций,

• на основе экспериментально наблюдаемых кластеров построить иерархическую структурную модель кубической апериодической фазы, образующейся после закалки из жидкого состояния в сплавах У-№-81, Ре-№-81-В, Мё-А1,

• провести сопоставление параметров полученных моделей с экспериментальными данными

Научная новизна полученных в работе результатов заключена в следующем-

• впервые в рамках алгебраического подхода построены 3-мерные модели икосаэдрической и кубической апериодических фаз, использующие для декорирования четырехмерных политопов экспериментально наблюдаемые атомные кластеры,

• явление икосаэдрических и кубических апериодических фаз впервые объяснено с единых позиций образованием иерархических атомных кластеров (кластеров из кластеров) диаметром в несколько десятков нанометров,

» впервые построена геометрическая модель превращения икосаэдрической фазы А1-Си-Ее в кристалл с неупорядоченной ОЦК-структурой и объясняющая наблюдаемые ориентационные соотношения между икосаэдрической и кубической фазами Практическая ценность работы определяется разработкой в ней структурных моделей образующихся в технически важных сплавах апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметрией, модели превращения икосаэдрической фазы в кубическую Полученные модели указывают на возможность получения новых материалов с иерархическим

типом организации структуры и являются составной частью научных основ строения наноматериалов

Основные положения и результаты, выносимые на защиту: 1. Иерархическая структурная модель икосаэдрической фазы в сплавах А1-Мп и Al-Cu-Fe, основанная на декорации четырехмерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Eg

2 Иерархическая структурная модель кубической апериодической фазы (кубического квазикристалла) в сплавах Mg-Al, Fe-Nb-Si-B, V-Ni-Si

3 Структурная модель превращения икосаэдрической фазы Al-Cu-Fe в кубическую

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на 13 Международной конференции по жидким и аморфным металлам (LAM13) (Россия, Екатеринбург, 8-14 июля 2007 г)

Публикации. По результатам исследований опубликовано 2 печатные работы, список публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, общих выводов по работе, списка использованных читературных источников Представленная работа содержит 149 страниц машинописного текста, включая 53 рисунка, 7 таблиц и 172 наименований использованных литературных источников

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен анализ литературы, объяснено понятие квазикристаллов, кратко рассмотрены условия их образования в сплавах различных систем, особенности их физических свойств, перечислены виды симметрии квазикристаллов с запрещенной осью симметрии Описаны современные теоретические подходы к объяснению явления квазикристаллов Наиболее распространенным способом описания структуры икосаэдрических квазикристаллов является, как было указано выше в разделе "актуальность работы", метод срезов и проекций В этом методе используется математическая конструкция 6-мерной кубической решетки, из которой вырезается часть, называемая областью заселения (occupation domain) Затем эту область проектируют в 3-мерное пространство, и попавшие в проекцию этого среза узлы принимают за позиции атомов в квазикристалле Полученная проекция совпадает с другой математической конструкцией - разбиением ("паркетом") Пенроуза, в трехмерном варианте разбиение Пенроуза представляет собой объединение т н острого и тупого ромбоэдров, в первом случае это ромбоэдр с тремя острыми углами при вершине, во втором случае - ромбоэдр с тремя тупыми углами при вершине Укладка таких ромбоэдров по определенным математическим правилам стыковки (matching rules) приводит к апериодическому разбиению пространства В некоторых местах этого разбиения существуют объединения 20 острых ромбоэдров с одной общей вершиной Такое объединение

обладают полной икосаэдрической симметрией и называется додекаэдрической звездой Распределение в пространстве этих звезд апериодическое, и, как показали теоретические расчеты, обеспечивает получение точечных дифракционных картин с икосаэдрической симметрией Однако, такой подход объясняет лишь икосаэдрическую симметрию дифракционных картин, но не объясняет других видов запрещенной симметрии, наблюдаемых в эксперименте (обнаружены квазикристаллы с осями 8, 10 и 12 порядков). В конце 90-х годов были обнаружены апериодические фазы с кубической симметрией ("квазикристаллы без запрещенных осей симметрии"), для объяснения которых до сих не предложено никакой модели. Вне объяснения остается также наблюдаемая макроскопическая огранка икосаэдрических квазикристаллов - в форме додекаэдров с пентагональными гранями, в форме ромбических триаконтаэдров, или додекаэдрических звезд, но никогда в форме икосаэдров Отмечается, что толстые и тонкие ромбоэдры в структуре интерметаллидов по отдельности не встречаются, существуют лишь их объединения в триаконтаэдры (в некоторых сплавах), додекаэдры в качестве координационных полиэдров в металлических сплавах также не встречаются, поскольку имеют слишком большой объем внутренней полости Общепринятая модель срезов 6-мерного куба позволяет приписать 6-кратные индексы дифракционным пикам на рентгенограммах икосаэдрических фаз и вычислить величину т н периода квазирешетки, однако эта величина ни в одной работе не связана каким-либо образом с параметрами реальной трехмерной структуры икосаэдрических фаз

Новый подход к описанию структуры икосаэдрических квазикристаллов может быть связан с использованием особой конструкции алгебраической геометрии, именно решетки корней Ее (максимально простая алгебра Ли) Первая координационная сфера решетки Е8 содержит 240 вершин, принадлежащих двум вставленным друг в друга 4-мерным аналогам икосаэдра (политопам {3,3,5}). Согласно политопной концепции экспериментально реализуемые структуры разных фаз могут трактоваться как подструктуры (фрагменты) четырехмерных полиэдров (политопов), спроектированные в трехмерное пространство Икосаэдрические фазы в некоторых теоретических работах рассматриваются как иерархическая совокупность сферических оболочек решетки Ев

В заключительной части литературного обзора кратко отмечено практическое значение изучения структуры квазикристаллических фаз Хотя сами квазикристаллы сами по себе пока не нашли практического применения, нанорамзерные квазикристаллические частицы, выделяющиеся при распаде твердых растворов в мартенситно-стареющих сталях или в массивных металлических стеклах на основе алюминия и циркония, приводят к повышению механических свойств, особенно пластичности и прочности при повышенных температурах

На основании анализа литературы была сформулирована основная цель работы на основе предположения о структуре квазикристаллов как

трехмерной проекции подструктур решетки Е8 разработать трехмерные модели апериодических фаз с икосаздрической и кубической симметриями и сопоставить параметры полученных моделей с экспериментом

Вторая глава посвящена описанию методики проведения экспериментов, методики создания пространственных физических моделей сложных кристаллических структур и методике расчета теоретических интенсивностей рентгенограмм В частности, в этой главе показаны 3-мерные компьютерные модели некоторых известных кристаллических структур BaHgn, А1шМпз, T12N1, Al|3Cr4Si4 Особенностью методики является использование некристаллографической программы AutoCad для построения моделей кристаллических структур Кристаллографические программы типа Diamond и Atoms позволяют визуализировать известные кристаллические структуры, но не позволяют собирать новые структуры из кластеров

Третья глава посвящена разработке атомарной модели икосаздрической фазы (i-фазы) в рамках концепции 8-мерной решетки Е8

Ранее была предложена модель 3-мерной структуры икосаэдрического квазикристалла В этой модели в качестве строительной единицы структуры квазикристалла используется иерархический додекаэдр, собранный из атомных кластеров двух типов, показанных на рис 1. Показанные кластеры взяты из эксперимента, поскольку являются фрагментами кристаллических структур некоторых интерметаллидов Эта модель удовлетворительно описывает происхождение запрещенной симметрии дифракционных картин, положение дифракционных максимумов и химический состав квазикристаллов без привлечения представления о шестимерной кубической решетке и проектирования ее срезов в 3-мерное пространство Однако в этой модели не была показана возможность вывода всей модели из подструктур решетки Eg, а также соответствия модели традиционным моделям срезов и проекций 6-мерной кубической решетки Dg Такого соответствия следует ожидать, поскольку б-мерная кубическая решетка Dg является подструктурой решетки Es

Оказалось, что показанные на рис 1 кластеры определяются сферическими оболочками, определяемыми различными проекциями политопа {3,3,5} в 3-мерное Евклидово пространство Единичный икосаэдр (рисЛа) представляет собой часть проекции, начатой от вершины политопа Кластер с симметрией D3h совпадает с проекцией, начатой от грани политопа (рис 16), кластер с симметрией Тд совпадает с проекцией, начатой от тетраэдрическойц ячейки (рис 1с) Для такого выпрямления субструктур политопа необходимы деформации ребер тетраэдра Необходимые деформации реализуются заселением различных вершин кластера атомами разного диаметра Объединение кластеров Dз/, и Td по общим гексациклам порождает иерархический додекаэдр с длиной ребра 0 7-0 75 нм (рис 2) Оказалось, что не только кластеры Дм и Tj, но и составленный из них додекаэдр сам может быть определен как 3-мерная проекция политопа Более

строго, этот додекаэдр может быть рассматриваться как объединение икосаэдрических оболочек, определяемых решеткой корней Е8.

Рис. 1. Единичный икосаэдр (а), пересечение трех (б) и четырех (в) икосаэдров являются фрагментами кристаллических структур многих интерметаллидов, например: А1]2\У (а), А1юМп3 (б), А113Сг4814 (в). Триплет икосаэдров имеет тригональную симметрию П311, квартет икосаэдров имеет тетраэдрическую симметрию Та

Поскольку показанные на рис.1 кластеры являются объединением сечений политопа {3,3,5}, то в пределах этого политопа они должны быть объединены без пересечения вдоль их общей тройной оси (в политопе это ось 61). Другими словами, в политопе {3,3,5} выделяется линейная подструктура, которая может быть представлена как последовательность 3 кластеров Т^В^-Т^.

Рис.2. Иерархический додекаэдр, полученный объединением кластеров с рис.1 в последовательности , совпадает с ячейкой

декорированного политопа {5,3,3^ес- Показаны проекции вдоль осей пятого и второго порядков

а)

б)

в)

Политоп {3,3,5} определяется решеткой Е8, но она определяет также и дуальный к нему политоп {5,3,3}, и их объединение - политоп {720}, В этом последнем ребро додекаэдрической ячейки политопа {5,3,3} перпендикулярно треугольной грани политопа {3,3,5} и проходит через центр этой грани Каждая из 600 тетраэдрических ячеек политопа {3,3,5} центрирована вершиной дуального к нему политопа {5,3,3}, соответственно объединение {3,3,5} и {5,3,3} имеет 720 вершин и рассматривается в как 4-мерный аналог триаконтаэдра Таким образом, ось выделенной линейной подструктуры (последовательности 3 кластеров совпадает с

ребром додекаэдра из {5 3,3}, также являющегося частью политопа {720} Учитывая, что все вершины выделенной линейной подструктуры {3,3,5} соответствуют симметрии Д^, можно утверждать, что она вкладывается в декорированный политоп {5,3,3}с)ес. Поэтому и показанный на рис 2 кластер вкладывается в декорированный политоп {5,3,3}^, соответствующий набору икосаэдрических оболочек, определяемых решеткой корней Е8 и его следует рассматривать как декорированную ячейку политопа {5,3,3} Длина ребра и диаметр декорированного политопа определяются из эксперимента, поскольку ячейка политопа составлена только из кластеров, наблюдавшихся экспериментально Следующим шагом построения модели квазикристалла является заполнение 3-мерного пространства иерархическими додекаэдрами Разбиение 3-мерного Евклидова пространства на правильные додекаэдры невозможно, поэтому здесь применяется схема выпрямления политопа, включающая введение в него дефектов (дисклинаций) и качения политопа {5,3,3} вдоль оси симметрии Ю1 по трехмерному пространству При качении вдоль одного направления порождается стержень из додекаэдров, объединенных по общим пентгагональным граням При качении додекаэдрической ячейки вдоль четырех ребер ромба в центре ромбической грани возникает дефект, а именно -27с/5-дисклинация, пронизывающая 6-членное кольцо в центре ромбической грани. Шесть граней ромба, образованных качением додекаэдрических ячеек, объединяются в 3-мерный острый ромбоэдр, при этом дисклинации, пронизывающие центры ромбических граней, пересекаются под тетраэдрическими углами в двух точках на пространственной диагонали ромба В результате полость этого ромбоэдра имеет форму двух гексакадекаэдров, объединенных по общей гексагональной 1рани центром инверсии. При сборке ромбоэдра из декорированных иерархических додекаэдров зазоры легко устраняются деформацией ребер, поскольку ребро образовано не единичной межатомной связью, а несколькими десятками связей

При объединении 20 иерархических ромбоэдров порождается 20-лучевая иерархическая звезда, показанная на рис 3 Она представляет собой объединение сечений политопов, определяемых решеткой Ея Подробности атомной структуры иерархических додекаэдров на этом рисунке не показаны, для ясности они изображены как обычные полиэдры с прямолинейными ребрами

Этот иерархический кластер является предельно возможным, т.к. при добавлении следующей оболочки из полиэдров (додекаэдров и гексакадекаэдров) вокруг выходов 5-осей симметрии формируются 12 кластеров с тем же строением. Эти новые кластеры и центральный кластер взаимно проникают друг в друга вдоль осей симметрии 5-го порядка и находятся таким образом в параллельном положении.

Конечный иерархический кластер имеет диаметр около 16 нм. Он может служить коллективным атомом для сборки модели и апериодического квазикристалла (3-мерного узора Пенроуза), и периодического кристалла.

Рис.3 Предельный икосаздрическнй кластер, полученный объединением 20 ромбоэдров, декорированных иерархическими додекаэдрами с рис.2. Впадины между лучами звезды начали заполняться полиэдрами, принадлежащими одновременно соседним кластерам

Но поскольку он содержит около 150 тысяч обычных ("химических") атомов и имеет икосаэдрическую симметрию, в обычном дифракционном эксперименте мы не сможем отличить периодическую сборку этих квазиатомов от апериодической: дифракция электронов на гигантских икосаэдрических кластерах, находящихся в параллельных положениях, даст точечную дифракционную картину, соответствующую икосаэдрической симметрии, а период иерархического кристалла, собранного из таких атомов, оказался равным около 32 нм. Поэтому собранный нами гигантский иерархический кластер просто указывает на еще одну возможность объяснения точечных дифракционных картин с некристаллографической симметрией. Для такого объяснения не требуется привлекать понятия трехмерного Пенроуза или кристаллического аппроксиманта.

Нужно указать, что существует также и метрическое соответствие между нашей моделью и 6-мерным описанием квазикристаллической структуры. Длина диагонали икосаэдра в кластерах Td и D3h (рис.1) равна т<^1=0,46 нм, поскольку длина ребра икосаэдра равна диаметру атома алюминия dAr0,286 run, а золотое число т=1,618. Но величина 0,46 нм точно равна так называемому периоду квазирешетки aR в 6-мерном описании. Кроме того, период кристаллографической упаковки иерархических

гигантских кластеров аяс = 50т3(т+2)""2 с1А! =50^, где й5 диаметр сферы, вписанной в додекаэдр с атомами алюминия в вершинах Величина с15 = 0,637 нм, что очень близко к длине ребра 6-мерного куба, полученной из дифракционных данных

Четвертая глава посвящена сопоставлению параметров полученной модели икосаэдрического квазикристалпа с экспериментальными данными, взятыми из литературы

В большинстве случаев квазикристаллы превращаются в так называемые кристаллические фазы-аппроксиманты с большим периодом решетки Фазы-аппроксиманты дают картины дифракции электронов, подобные дифракционным картинам от квазикристаллов Однако было обнаружено превращение 1-фазы А^С^ 5ре|25 в кристаллическую ОЦК-фазу При этом были определены ориентационные соотношения между кубической фазой и 1-фазой сплава А1-Си-Ре <110>, <113>||А5 и <110>,<111>, <112>\\А2 (символы А5 и А2 обозначают соответственно оси симметрии 5-го и 2-го порядков икосаэдра Ранее была предложена модель мартенситного превращения ОЦК-фазы в титане и цирконии, в настоящей работе на основе этой модели предложен механизм превращения икосаэдрического квазикристалла именно в ОЦК-фазу

Ребра иерархического додекаэдра (рис.2) образованы кластерами с симметрией Дз/,, представляющих собой, как сказано выше, объединение трех икосаэдров Общая часть трех икосаэдров (выделена пунктирной линией на рис 16) состоит из 11 вершин, принадлежащих И тетраэдрам Этот 11-вершинный кластер служит промежуточной конфигурацией при мартенситном превращении из ОЦК в ГП-фазу На рис 4 показаны два 11-вершинных кластера, первый кластер является объединением трех искаженных октаэдров вокруг общего ребра С-С и является фрагментом гексагональной кристаллической решетки со-фазы (фаза высокого давления титана и циркония) Общее ребро трех октаэдров параллельно направлении [0001] оо-фазы, соответственно направлению <111> ОЦК-фазы, в которую превращается ш-фаза

Удаление общего ребра С-С в 11-атомном октаэдрическом кластере го-фазы и введение трех новых связей между вершинами А, лежащими в горизонтальной плоскости зеркального отражения кластера порождает новый 11-атомный кластер, представляющий собой объединение 11 тетраэдров по граням, т е сечение политопа {3, 3, 5}, начатое от грани (рис 16)

Каждая вершина центрального треугольника в плоскости симметрии этого кластера служит центром икосаэдра, а икосаэдр реконструируется в кубооктаэдр ГЦК-структуры или антикубооктаэдр ГП-структуры

Таким образом, в результате деформации 11-атомного октаэдрического кластера со-фазы образуется 11-атомный тетраэдрический кластер, и наоборот Указанный переход от одного к другому кластеру достигается только деформацией, число вершин при превращении остается неизменным Другими словами, можно получить ОЦК-структуру из кластера В31, , поскольку 11-атомный тетраэдрический кластер является его частью

б)

а)

сжатием кластера в плоскости ААА (показано стрелками) На различных

Рис 4 Реконструкция 11-атомного октаэдрического кластера (а) в 11-атомный тетраэдрический кластер

гранях показаны их индексы Миллера в гексагональной и кубической установках

(б) растяжением ребра СС и

с

Исходя из такой схемы наблюдавшееся превращение 1-фазы в ОЦК-фазу, можно рассматривать как свидетельство в пользу существования в структуре 1-фазы иерархического додекаэдра, показанного на рис 2 Если это так, тройная ось симметрии £>ц-кластера, т е направление вдоль ребра иерархического додекаэдра, или, в свою очередь, направление вдоль оси второго порядка додекаэдра (ось А2), должна быть параллельна оси третьего порядка ОЦК-фазы, те направлению <111> ОЦК-фазы, что и описано в литературе На рис 5 показана стереопроекция икосаэдра, ориентированного своей осью второго порядка вдоль тройной оси кубической фазы. Легко видеть, что все ориентационные соотношения между икосаэдрическим квазикристаллом и ОЦК-фазой, наблюдавшиеся эксперименте, строго выполняются.

01!

Рис 5 Стереопроекция икосаэдра, ориентированного своей осью

ои

второго порядка вдоль тройной оси

• Ось пятого порядка Ось третьего порядка

• Ось второго порядка

кубической фазы Цифры у

символов порядка оси икосаэдра соответствуют индексам Миллера

осей кубической фазы

Химический состав иерархического додекаэдра на рис 2 близок к экспериментально наблюдаемому составу икосаэдрических квазикристаллов Если центральный треугольник кластера Д^ (пустые кружки на рис 16) и центры его гексациклов, центральный тетраэдр и центры гексациклов Го-кластера на рис 1в заселены атомами марганца, а остальные вершины атомами алюминия, тогда химический состав икосаэдрического квазикристалла соответствует формуле А117Мп5 (А1773МП227) Если центральный треугольник /^-кластера и центральный тетраэдр 7>кластера заселены атомами меди, вершины типа А на рис 1 в заселены атомами железа, а остальные вершины заселены атомами алюминия, тогда состав икосаэдрического квазикристалла будет соответствовать формуле А1иСи5Рез (А1бЗбСи22 7Ее13б) Оба состава соответствуют составу 1-фаз, полученных экспериментально В группе профессора А И Зайцева (ЦНИИЧМ им ИП Бардина) были проведены измерения давления паров расплавов А1-Мп (в эффузионной ячейке Кнудсена) и масс-спектрометрически определен их химический состав Оказалось, что эти расплавы химически неоднородны, в них присутствуют кластеры разного химического состава, и при составе жидкого сплава, соответствующем при затвердевании образованию 1-фазы, в расплаве по количеству доминируют объединения, соответствующие стехиометрии А13Мп Как видно из рисунка 1в, такому соотношению соответствует Г^-кластер, содержащий 22 атома алюминия и 4 атома марганца

В пятой главе построена структурная модель, объясняющая явление тн кубических апериодических фаз в сплавах У-№-81, Ре-№>-81-В, М§-А1, Т1-Мп ("кубических квазикристаллов") С точки зрения подхода к трактовке явления апериодической фаз с икосаэдрической симметрией точечных дифракционных картин, структура апериодической фазы с кубической симметрией должна отличаться лишь тем, что вместо иерархического кластера с икосаэдрической симметрией ш53 в ней должен присутствовать иерархической кластер с симметрией 432 В настоящей работе такой кластер был построен на основе найденного нами равнореберного разбиения пространства, вершинами которого являются две правильные системы точек группы РтЗт В стартовой точке первой правильной системы 24(е) х, х, х сходятся тетраэдр, ромбододекаэдр, три тригональных призмы и три параллелепипеда В стартовой точке второй правильной системы 32(Г) 2х,0,0 сходятся октаэдр, ромбододекаэдр, четыре призмы и четыре параллелепипеда Разбиение определяется особым значением х=(4-л'б)/10 Центр ромбического додекаэдра имеет координаты (0,0,0), поэтому центры всех додекаэдров разбиения образуют ГЦК-решетку, сами ромбододекаэдры изолированы друг от друга и окружены октаэдрами тетраэдрами, тригональными призмами и параллелепипедами, образующими первую корону додекаэдра и показанную на рис 6 (первой короной данного полиэдра

называется объединение всех полиэдров, имеющих, по крайней мере, одну вершину с данным).

Апериодический характер рассматриваемой фазы в рамках нашего подхода объясняется, как и в случае икосаэдрической фазы, гигантской величиной периода решетки, выложенной иерархическим кластерами, т.е. имеется в виду, что гигантская периодичность не может быть обнаружена в обычном дифракционном эксперименте. Гигантский период получается

Рис.6. Объединение по граням октаэдров, тетраэдров, тригональных призм и параллелепипедов с одинаковыми ребрами образует первую корону ромбического додекаэдра. Эту первую корону можно рассматривать в качестве иерархического октаэдра с ромбододекаэдром в центре.

при декорировании вершин найденного разбиения. Естественно использовать для декорирования кластеры, существующие в структуре фаз данной системы. В системе М^-А1 практически все промежуточные фазы образованы сложением полиэдров Фриауфа-Лавеса (усеченными тетраэдрами). Для декорирования использовали тетраэдрический и октаэдрический комплексы из усеченных тетраэдров (рис.7). Для соединения показанных комплексов между собой использовали стержни из 14-вершинных полиэдров Франка-Каспера, являющиеся фрагментом кристаллической структуры гексагональной фазы ZцAl3. Объединение трех параллельных стержней декорировало тригональные призмы иерархического октаэдра. Полученный гигантский кластер с симметрией 432 показан на рис.8. Гигантские октаэдры объединяются в иерархическую ГЦК упаковку с периодом кубической решетки от нескольких единиц до нескольких десятков нанометров (в зависимости от числа полиэдров Лавеса в тетраэдрическом и октаэдрическом комплексах). Расчет интенсивностей дифракционных отражений для сплавов ¡У^-А1 и Ре-№>-81-В дал хорошее совпадение с экспериментом. Таким образом, и икосаэдрические фазы, и апериодические кубические фазы могут быть объяснены с единых позиций, как реализация нового принципа организации структуры конденсированных фаз-иерархического объединения атомных кластеров. При этом возможна реализация нескольких уровней иерархии.

Рис.7. Тетраэдрический (слева) и октаэдрический комплексы, сложенные из полиэдров Фриауфа-Лавеса

Рис.8. Иерархический кластер, полученный декорированием иерархического октаэдра (рис.6) октаэдрическими и тетраэдрическими комплексами (рис.7). Слева проекция вдоль тройной оси, справа вдоль

четверной оси

Основные выводы

1. Атомарные модели строения апериодических фаз с икосаэдрической (сплавы А1-Мп, А1-Мп-81, А1-Си-Ре) и кубической (сплавы М£-А1, Ре-Мэ-8ь В, У-№-80 симметриями точечных дифракционных картин впервые получены как иерархическое объединение 3-мерных сечений 4-мерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Е8. Длина ребра и диаметр политопов, использованных для построения моделей, определяются экспериментом.

2. Модель икосаэдрического квазикристалла может быть построена декорированием политопа {720}, определяемого решеткой Е8 и представляющего собой объединение политопов {3,3,5} и {5,3,3}, т.е. четырехмерный аналог ромбического триаконтаэдра. Ячейка политопа

{5,3,3}декорируется комбинацией вершин двух различных трехмерных сечений политопа {3,3,5} Сечение от треугольной грани имеет симметрию £>з/, и представляет собой взаимное пересечение трех икосаэдров, совпадающее с фрагментом гексагональной решетки фазы Р-А19Мпз811 (А1юМпз) Сечение от тетраэдрической ячейки имеет симметрию и представляет собой взаимное пересечение четырех икосаэдров, совпадающее с фрагментом кубической решетки фазы Т12№ (А^зСдЯ!^ Сложение кластеров в последовательности ДзА - - Вуп - Та - порождает ребра декорированного политопа {5,3,3}йес Додекаэдрическая ячейка этого политопа служит строительной единицей икосаэдрического квазикристалла и его аппроксимантов

3 Выпрямление декорированного политопа {5,3,3}аес в трехмерное пространство качением додекаэдрических ячеек вдоль осей симметрии 10; политопа порождает иерархический ромбоэдр, на пространственной диагонали которого располагаются два тетраэдрических узла сетки дисклинаций Двадцать иерархических ромбоэдров складываются в додекаэдрическую звезду, которая может служить элементом апериодического трехмерного разбиения Пенроуза на острые и сплющенные ромбоэдры, либо элементом трехмерного периодического (кристаллографического) разбиения Сегменты дисклинаций в пределах додекаэдрической звезды образуют двухоболочечную сетку, в которой внутренняя оболочка представляет собой додекаэдр, а внешняя -ромбиикосидодекаэдр Оболочки связаны между радиальными сегментами дисклинаций, ориентированных вдоль тройных осей симметрии кластера

4 Додекаэдрическую звезду можно рассматривать как гигантский коллективный (кооперативный) атом диаметром около 10 нм, содержащий несколько тысяч обычных "химических" атомов и имеющий икосаэдрическую симметрию Гигантские атомы объединяются при сборке вдоль осей симметрии 5-го порядка Параллельная укладка гигантских икосаэдрических атомов обеспечивает получение точечной дифракционной картины с икосаэдрической симметрией Период кристаллографической укладки таких атомов составляет около 32 нм, поэтому в обычном дифракционном эксперименте отличить апериодическую укладку этих гигантских кластеров от периодической не представляется возможным

5 Сборка модели икосаэдрического квазикристалла из иерархических кластеров позволяет объяснить некоторые экспериментальные факты превращение стабильного квазикристалла А1-Си-Ре не в аппроксимант с гигантским периодом решетки, а в обычную кристаллическую фазу с ОЦК-структурой, а также наблюдаемые при этом превращении ориентационные соотношения между исходным икосаэдрическим квазикристаллом и образующейся ОЦК-фазой Указанные факты объясняются на локальном уровне переходом от трехмерного сечения политопа {3, 3, 5} (кластера с симметрией в структуре квазикристалла) к трехмерному сечению политопа {3,4,3} (кластеру <о-фазы, образованному объединением трех искаженных октаэдров вокруг общего ребра) Общее ребро трех октаэдров

параллельно оси [0001] со-фазы, оси <111> "будущей" ОЦК-фазы и ребру иерархического додекаэдра, т е оси второго порядка исходного квазикристалла На локальном уровне эта модель полностью совпадает с недавно предложенной моделью мартенситного превращения в титане 6. Предложенная модель декорации додекаэдрической ячейки согласуется с результатами анализа термодинамических свойств расплавов А1-Мп, Al-Cu, Al-Fe-Cu методами интегральной эффузии и Кнудсеновской масс-спектрометрии Согласно этому анализу выделение икосаэдрических квазикристаллов из жидких сплавах А1-Мп и Al-Cu-Fe является следствием химического ближнего порядка в расплавах, стехиометрия атомных комплексов соответствует формулам А15Мп в расплавах А1-Мп и Al5Fe и А1Си2 в расплавах Al-Fe-Cu Согласно предлагаемой структурной модели выделение икосаэдрической фазы из расплава может быть описано как объединение кластеров с различной структурой При этом химический состав кластера с симметрией Td описывается формулой Al5,5Mn, что практически совпадает с составом областей ближнего порядка, полученным на основании термодинамического анализа Согласно структурной модели химический состав икосаэдрических квазикристаллов в двойной и тройной системах должен описываться формулами Ali7Mn5 и AlnCi^Pej, те совпадает с составами получаемых экспериментально квазикристаллических фаз

7 Модель иерархического строения икосаэдрического квазикристалла применена для объяснения т н. кубических апериодических фаз ("квазикристаллов без запрещенных осей симметрии"), наблюдавшихся в сплавах систем V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-Al В качестве структурной модели для этих фаз предлагается периодическая упаковка иерархических кластеров с симметрией 432 (иерархических октаэдров) Иерархический октаэдр образован объединением усеченных тетраэдров (полиэдров Фриауфа-Лавеса) с 16 вершинами и полиэдрами Франка-Каспера с 14 вершинами. Сами полиэдры и их объединения определяются введением в политоп {3,3,5} сетки дисклинаций, а сам политоп {3,3,5} определяется решеткой корней Е8 Гранецентрированная кубическая решетка, вершины которой заселяются иерархическими октаэдрами, также является 3-мерной подструктурой решетки Е8 Расчетные картины рентгеновской дифракции предложенной иерархической модели находятся в хорошем согласии с распределением интенсивности на экспериментальных рентгенограммах апериодических фаз в закаленных из жидкости сплавах Mg-Al и Fe-Nb-B-Si

8 Общность предложенных моделей икосаэдрического квазикристалла и кубической апериодической фазы заключается в их иерархическом строении - в первом случае периодическая структура является объединением кооперативных атомов с икосаэдрической симметрией, во втором случае объединением кооперативных атомов с симметрией октаэдра Можно высказать гипотезу, что в случае апериодических фаз мы можем говорить о новом принципе организации структуры вещества - заполнении пространства иерархическим кластерами (кластерами кластеров)

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Kraposhm V S , Talis A L , На Thanh Lam The structure model of a cubic aperiodic phase ('quasicrystal without forbidden symmetry axes')// J Phys Condens Matter -2008- V 20-P 114115 (6pp).

2 Thermodynamic properties of Al-Mn, Al-Cu, and Al-Fe-Cu melts and their relations to liquid and quasicrystal structure/ AI Zaitsev, V S Kraposhm , Ha Thanh Lam et al //J Phys Condens Matter -2008- V 20-P 114121 (4pp)

Xa Тхань Лам

Иерархические модели атомного строения икосаэдрических и кубических апериодических фаз (квазикристаллов)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 5" os. 2008 г Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага типографская № 2 Печать офсетная. Уел печ л 1 0 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз Заказ №

Московский государственный технический университет имени Н Э Баумана 105005, г Москва, ул 2-ая Бауманская, дом 5

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ха Тхань Лам

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

1.1. Сущность явления квазикристаллов.

1.2. Физические свойства квазикристаллов.

1.3. Влияние выделения квазикристаллических фаз на механические свойства сплавов.

1.4. Теоретическое описание атомной структуры квазикристаллов.

1.5. Политопный подход к описанию структуры квазикристаллов.

1.6. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ.

ГЛАВА 3. АТОМАРНАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ ИКОСАЭДРИЧЕСКОЙ

ФАЗЫ (1-ФАЗЫ).

ГЛАВА 4. СОПОСТАВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

4.1. Сравнение с электронномикроскопическими и рентгенографическими данными.

4.2. Модель превращения икосаэдрического квазикристалла в ОЦК-фазу.

4.3. Химический состав икосаэдрического квазикристалла.

ГЛАВА 5. МОДЕЛЬ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ КУБИЧЕСКОЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФАЗЫ (КВАЗИКРИСТАЛЛА БЕЗ ЗАПРЕЩЕННОЙ

ОСИ СИММЕТРИИ).

 
Введение диссертация по физике, на тему "Иерархические модели атомного строения икосаэдрических и кубических апериодических фаз"

Актуальность работы. Икосаэдрические квазикристаллы, т.е. объекты с некристаллографической икосаэдрической симметрией картин точечной дифракции электронов были октрыты в 1984 в сплавах системы алюминий-марганец после закалки из жидкого состояния. С тех пор диапазон систем сплавов, образующих квазикристаллические фазы, значительно расширился, он включает в себя сплавы на основе титана, циркония, магния, палладия, галлия и др. Во всех случаях дифракционные картины свидетельствуют об отсутствии трансляционного дальнего порядка в этих фазах, поэтому их можно отнести к классу апериодических структур. Однако до сих пор проблема атомного строения квазикристаллических материалов остается нерешенной проблемой физики конденсированного состояния. Наиболее распространенным методом описания структур квазикристаллических фаз остается т.н. метод срезов и проекций (МСП) 6-мерных кубических решеток. Этот чисто формальный математический прием позволяет объяснить происхождение икосаэдрической симметрии точечных картин дифракции электронов, но не дает реальных атомных позиций в структуре. Кроме того, давно открытые в системах V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-А1 апериодические фазы с кубической симметрией картин точечной дифракции (названные "квазикристаллами без запрещенных осей симметрии") до сих пор остаются вообще без теоретического объяснения. Между тем в рамках алгебраической геометрии возможен общий подход к описанию кристаллических и некристаллических структур, основанный на использовании конструкций, определяемых 8-мерной решеткой Е8, при этом широко используемые в теориях квазикристаллов 6-мерные кубические решетки являются лишь подструктурами этой решетки.

Практическое значение квазикристаллов к настоящему времени сводится к двум аспектам: (1) открытие объектов с некристаллографической картиной точечной дифракции указывает на ограниченность обычных методов описания структуры конденсированных фаз с помощью трехмерных периодических решеток и дефектов в решетках, а значит и на возможность получения материалов с иным, ранее неизвестным способом организации структуры; (2) в настоящее время обнаружено, что выделение наночастиц икосаэдрических квазикристаллов при распаде твердого раствора в промышленно важных сплавах - высокопрочных мартенситно-стареющих сталях и массивных металлических стеклах на основе циркония существенно улучшает их механические свойства; (3) сами квазикристаллы обладают необычной комбинацией физических свойств, в частности исключительно высоким удельным электросопротивлением и аномально низким поверхностным натяжением. Всеми этими обстоятельствами определяется актуальность настоящей работы, посвященной разработке структурных моделей апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметрией картин точечной дифракции с единых позиций на основе концепций алгебраической геометрии.

Целью диссертационной работы является разработка в рамках концепций алгебраической геометрии структурных моделей икосаэдрических квазикристаллических фаз и кубических апериодических фаз на основе единого представления об их иерархической структуре (сборки кластеров из кластеров), а также сопоставление параметров модели с экспериментальными данными. Для достижения этой цели было необходимо решить следующие задачи:

• используя экспериментально наблюдаемые атомные кластеры, построить атомарные модели строения апериодических фаз с икосаэдрической (сплавы Al-Mn, Al-Mn-Si, Al-Cu-Fe) и кубической (сплавы Mg-Al, Fe-Nb-Si-B, V-Ni-Si) симметрией как иерархическое объединение 3-мерных сечений 4-мерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Ех;

• установить возможность получения строительной единицы икосаэдрического квазикристалла декорированием четырехмерного политопа, определяемого решеткой Е8;

• найти возможные варианты заполнения пространства икосаэдрического квазикристалла полученной строительной единицей и сопоставить полученную модель квазикристалла с моделью трехмерного разбиения Пенроуза, определяемого в общепринятом методе срезов и проекций;

• на. основе экспериментально наблюдаемых кластеров построить иерархическую структурную модель кубической апериодической фазы, образующейся после закалки из жидкого состояния в сплавах V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-Al;

• провести сопоставление параметров полученных моделей с экспериментальными данными.

Научная новизна полученных в работе результатов заключена в следующем:

• впервые в рамках алгебраического подхода построены 3-мерные модели икосаэдрической и кубической периодических фаз, использующие для декорирования четырехмерных политопов экспериментально наблюдаемые атомные кластеры;

• явление икосаэдрических и кубических апериодических фаз впервые объяснено с единых позиций образованием иерархических атомных кластеров (кластеров из кластеров) диаметром несколько десятков нанометров;

• впервые построена геометрическая модель превращения икосаэдрической фазы Al-Cu-Fe в кристалл с неупорядоченной ОЦК-структурой, объясняющая наблюдаемые ориентационные соотношения между икосаэдрической и кубической фазами.

Практическая ценность работы определяется разработкой в ней структурных моделей образующихся в технически важных сплавах апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметрией, модели превращения икосаэдрической фазы в кубическую. Полученные модели указывают на возможность получения новых материалов с иерархическим типом организации структуры и являются составной частью научных основ строения наноматериалов.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Иерархическая структурная модель икосаэдрической фазы в сплавах А1-Мп и Al-Cu-Fe, основанная на декорации четырехмерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Eg.

2. Иерархическая структурная модель кубической апериодической фазы (кубического квазикристалла) в сплавах Mg-Al, Fe-Nb-Si-B, V-Ni-Si.

3. Структурная модель превращения икосаэдрической фазы Al-Cu-Fe в кубическую.

 
Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Выводы

1. Атомарные модели строения апериодических фаз с икосаэдрической (сплавы Al-Mn, Al-Mn-Si, Al-Cu-Fe) и, кубической (сплавы Mg-Al, Fe-Nb-Si-В, V-Ni-Si) симметрией точечных дифракционных картин впервые получены как иерархическое объединение 3-мерных сечений 4-мерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Е8. Длина ребра и диаметр политопов, использованных для построения моделей, определяются экспериментом.

2. Модель икосаэдрического квазикристалла может быть построена декорированием политопа {720}, определяемого решеткой Е8 и представляющего собой объединение политопов {3,3,5} и {5,3,3}, т.е. четырехмерный аналог ромбического триаконтаэдра. Ячейка политопа {5,3,3}, декорируется комбинацией вершин двух различных трехмерных сечений политопа {3,3,5}. Сечение от треугольной грани имеет симметрию D3h и представляет собой взаимное пересечение трех икосаэдров, совпадающее с фрагментом гексагональной решетки фазы P-Al9Mn3Si (А1юМп3). Сечение от тетраэдрической ячейки имеет симметрию Td и представляет собой взаимное пересечение четырех икосаэдров, совпадающее с фрагментом кубической решетки фаз Ti2Ni и Ali3Cr4Si4. Сложение кластеров в последовательности D3\x - Td - D3h - Td - . порождает ребра декорированного политопа {5,3,3}^. Додекаэдрическая ячейка этого политопа служит строительной единицей икосаэдрического квазикристалла .

3. Выпрямление декорированного политопа {5,3,3}jec в трехмерное пространство качением додекаэдрических ячеек вдоль осей симметрии 10] политопа порождает иерархический ромбоэдр, на пространственной диагонали которого располагаются два тетраэдрических узла сетки дисклипаций. Двадцать иерархических ромбоэдров складываются в додекаэдрическую звезду, которая может служить элементом апериодического трехмерного разбиения Пенроуза на острые и сплющенные ромбоэдры, либо элементом трехмерного1 периодического (кристаллографического) разбиения. Сегменты дисклинаций в пределах додекаэдрической звезды образуют двухоболочечную сетку, в которой внутренняя оболочка представляет собой додекаэдр, а внешняя ' -ромбоикосидодекаэдр. Оболочки, связаны* между радиальными сегментами дисклинаций; ориентированных вдоль тройных осей: симметрии кластера.

4. Додекаэдрическую звезду можно рассматривать, как гигантский коллективный (кооперативный) атом диаметром около; 15' нм, содержащий' порядка- Ю5 обычных "химических" атомов и> имеющий икосаэдрическую симметрию. Гигантские атомы объединяются; при сборке вдоль осей симметрии 5-го порядка. Параллельная укладка'гигантских икосаэдрических атомов обеспечивает получение точечной дифракционной картины с икосаэдрическош симметрией: Период кристаллографической укладки; таких, атомов» составляет около 32 нм, поэтому в обычном дифракционном эксперименте отличить апериодическую укладку этих гигантских кластеров от периодической не представляется-возможным.

5. Сборка модели икосаэдрического квазикристалла из иерархических кластеров позволяет объяснить некоторые экспериментальные факты: превращение стабильного квазикристалла Al-Cu-Fe не в аппроксимант с гигантским периодом решетки, а в обычную кристаллическую фазу с ОЦК-структурой и наблюдаемые при этом превращении ориентационные соотношения между исходным икосаэдрическим квазикристаллом и образующейся ОЦК-фазой. Указанные факты объясняются на локальном уровне переходом от трехмерного сечения? политопа {Ъ, 3, 5} (кластера с симметрией D3i, в структуре: квазикристалла) к трехмерному сечению политопа {3,4,3} (кластеру со-фазы, образованному объединением трех искаженных октаэдров вокруг общего ребра). Общее, ребро трех октаэдров параллельно оси [0001] со-фазы, оси <111> "будущей" ОЦК-фазы и ребру i i иерархического додекаэдра, т.е. оси второго порядка исходного квазикристалла.

6. Предложенная модель декорации додекаэдрической ячейки согласуется с результатами анализа термодинамических свойств расплавов Al-Mn, Al-Cu, Al-Fe-Cu методами интегральной эффузии и Кнудсеновской масс-спектрометрии. Согласно этому анализу выделение икосаэдрических квазикристаллов из жидких сплавах А1-Мп и< Al-Cu-Fe является следствием химического ближнего порядка' в расплавах, стехиометрия атомных комплексов соответствует формулам А15Мп в расплавах А1-Мп и AlsFe и A1Cu2 в расплавах Al-Fe-Cu. Химический* состав кластера с симметрией Td , использованного при построении модели, описывается формулой AI5j5Mn, что, практически совпадает с составом областей ближнего порядка, полученным на основании термодинамического анализа. Согласно структурной модели химический состав икосаэдрических квазикристаллов в> двойной и тройной системах должен описываться формулами Ali7Mn5 and Ali4Cu5Fe3, т.е. совпадает с составами получаемых экспериментально квазикристаллических фаз. ^

7. Модель иерархического строения икосаэдрического квазикристалла применена для объяснения т.н. кубических апериодических фаз ("квазикристаллов без запрещенных осей симметрии"), наблюдавшихся в сплавах систем V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-Al. В качестве структурной модели для этих фаз предлагается периодическая упаковка иерархических кластеров с симметрией 432 (иерархических октаэдров). Иерархический октаэдр образован объединением усеченных„тетраэдров (полиэдров Фриауфа-Лавеса) с 16 вершинами и полиэдрами Франка-Каспера с 14 вершинами. Эти полиэдры и их объединения определяются введением в политоп {3,3,5} сетки дисклинаций, а сам политоп {3,3,5} определяется ^решеткой корней Е8. Гранецентрированная кубическая решетка, вершины которой заселяются иерархическими октаэдрами, также является 3-мерной подструктурой решетки Е8. Расчетные картины рентгеновской дифракции предложенной иерархической модели находятся в хорошем согласии с распределением интенсивности на экспериментальных рентгенограммах апериодических фаз в закаленных из жидкости сплавах Mg-Al и Fe-Nb-B-Si.

8. Общность предложенных моделей икосаэдрического квазикристалла и кубической апериодической фазы заключается в их иерархическом строении - в первом случае периодическая структура является объединением кооперативных атомов с икосаэдрической симметрией, во втором случае объединением кооперативных атомов с симметрией октаэдра. Высказана гипотеза, что апериодические фазы являются реализацией нового принципа организации структуры вещества - заполнении пространства иерархическим кластерами (кластерами кластеров).

Глава 6. Заключение и выводы

Предлагаемая модель апериодических фаз не является уточнением или расширением существующих моделей. Это- иной- подход к описанию аномалий дифракционных картин вне зависимости от их некристаллографической или кристаллографической симметрии. Эти явления объединены отсутствием видимой трансляционной симметрии. Скорее всего, эта симметрия есть, но ее наблюдение затруднено большими величинами периодов повторяемости. И квазикристаллические фазы, и апериодические фазы, подобные наблюдавшимся в системах Mg-Al и других, представляют собой объекты с иерархическим принципом организации структуры вещества, подобно тому, как это предложил Маккэй [158].

В распространенных моделях строения, квазикристаллов [7] их структура выводится- при движении сверху, из 6-мерного пространства: производится иррациональный срез 6-мерной кубической решетки D6, этот срез проектируют на 2 составляющих его 3-мерных подпространства при определенном выборе ширины полоски (occupation domain). Надо заметить, что в методе проектирования среза (СПМ) в общем случае можно получить "лишние" узлы, которые физически не могут быть заселены атомами. Как уже было сказано в литературном обзоре, используемая полоска сама является трехмерным объектом, структура которого "навязывается сверху" реальному объекту, т.е. 3-мерную структуру выкладывают из атомных кластеров, которых может и не быть в данной системе. Наш метод построения модели икосаэдрического квазикристалла представляет собой обратное движение. Он заключается в использовании известных трехмерных проекций политопов {3,3,5}, {5,3,3} и их объединения (политопа {720}) в качестве законов сборки экспериментально существующих кластеров. Соответственно, в нашей модели нет проблемы лишних узлов, поскольку два стартовых кластера взяты из эксперимента.

Вложение' политопов {3,3,5} и {5,3,3} в решетку Е8 гарантирует возможность "поднятия" трехмерных координат нашей модели в 6-мерную решетку. Подобное построение сделано в работе Le Lann [161], где в решетку D6 вложена иерархическая модель икосаэдрического квазикристалла Al-Gu-Fe, образованная концентрическими оболочками (додекаэдр-икосидодекаэдр-ромбикосидодекаэдр, икосидодекаэдр из ромбикосидодекадров и* т.д.). Автор этой работы отмечает, что некоторые узлы не могут быть заселены атомами (это упомянутые выше "лишние узлы").

Используя решетку Е8, мы используем наиболее общий подход, который дает более полное симметрийное описание возможных структур, обеспечивающих наблюдение в эксперименте картин точечной дифракции с искосаэдрическом симметрией. Нельзя по лучить-4-мерный политоп {3,3,5} из шестимерной ^решетки De, зато из решетки Е8 можно получить, и политоп {3,3,5}, и дуальный к нему политоп {5,3,3}, и их объединение (политоп {720}, и решетку D6, лежащую в основе метода проектирования срезов. При построении модели мы движемся именно к политопу, а не к решетке D6, потому что известны кластеры и структуры, вкладываемые в политоп, т.е. после небольших деформаций совпадающие с 3-мерными подструктурами политопа. При этом мы не рассматриваем экспериментально наблюдаемый продукт превращения со структурой ОЦК фазы в качестве аппроксиманта икосаэдрического квазикристалла. Понятие аппроксиманта возникает именно в методе срезов и проекций. Так как в нашем подходе мы движемся снизу вверх от экспериментального кластера в четырехмерный политоп (декорированный), понятие аппроксиманта в нашем случае вообще не возникает.

Концепция иерархической структуры,использованная в наших моделях, не нова: Lidin [162] предполагал, что квазикристаллическая структура представляет собой иерархическое разбиение с тремя разными масштабами разбиений было высказано. Позднее была предложена более подробная - модель квазикристалла как самоподобной упаковки кластеров Маккэя [163]. Экспериментальное подтверждение иерархической- упаковки кластеров было получено; с помощью сканирующей туннельной микроскопии [164]. Иерархическая модель строения; была предложена также для. стабильного бинарного квазикристалла Cd^Yb' [165]. Однако в этом последнем случае возникают, сомнения: в- отношении^ . первых иерархических, уровней: первая оболочка содержит четыре атома кадмия* в вершинах тетраэдра, тогда как вторая оболочка содержит 20 атомов кадмия в вершинах додекаэдра. Здесь, возникает неопределенность: внутри додекаэдра' остается много пустого пространствах и пять возможных, ориентировок тетраэдра относительнододекаэдра.

В нашей1 модели мы, . рассматриваем иерархический додекаэдр; изображенный на рис.3:2 в< качестве основной, строительной единицы, структуры-» квазикристалла. На самом деле наше модель ближе к иерархической упаковке кластеров Маккэя [163], чем это может показаться с первого взгляда. Если поместить атом в центр пустого додекаэдра на?рис.3.2 и по одному атому в центр пентагональной грани этого додекаэдра, мы получим кластер Маккэя внутри иерархического додекаэдра; Следует указать также, что кластер Маккэя сам является проекцией политопа {3,3,5}, начатой от вершины. Существование кластера Маккэя в. реальной кристаллической структуре кубической фазы a-AlMnSi [166] служит экспериментальным подтверждением' квазикристаллических моделей, декорированных этими кластерами. Но у этого соединения существует гексагональная модификация; p-AlMnSi [167] того же химического состава A'bMr^Si. Фаза (3-AlMnSi изоморфна фазе А15Со2, т.е. ее структура состоит из тех же икосаэдрических триплетов с симметрией D3h, показанных на рис. 1.19. В работе Le Lann [168] показана эквивалентность описаний икосаэдрических квазикристаллов в рамках метода срезов и проекций при использовании декораций 6-мерной кубической решетки с помощью структуры a-AlMnSi и с помощью структуры P-AlMnSi. Экспериментально* установлено, что икосаэдрический сплав Al73Mn2iSi6 в процессе отжига при 700°С полностью- превращается в фазу P~AlMnSi:[169]; а не в фазу a-AlMnSi. Эти факты мы рассматриваем как косвенное подтверждение; особой роли; тригональных кластеров D3h в строении квазикристаллов; Но есть и косвенные подтверждения, особой роли тетраэдрических кластеров Td в строении квазикристаллов. Эти, подтверждения содержатся в работах: [170, 171], в которых описаны экспериментальные факты,; свидетельствующие о связи структур* квазикристаллов с фазами, изоморфными у-латуни Cu5Zn8, структура которой; образована Т^кластерами, транслирующимися: по: ОЦК-рсшетке [68].

В нашей моделим квазикристалла; мы используем:4-мерную^ проекцию первой координационной- сферы* решетки» Е8, которая приводит к>: политопу {3, 3, 5}.- Затем; для построения^ модели квазикристалла мы используем проекции»субструктур {3,3; 5}. Это подобно разбиению триаконтаэдра на 10 острых и 10 вытянутых ромбоэдров. В отличие от известных разбиений: квазикристаллической структуры, мы собираем модель квавзикристалла из кластеров Td and DSh которые: (1) вкладываются в решетку Е8, т.е. Е8—>{3,3,5}—>Td и? Dj/rкластеры; (2) обнаружены экспериментально в качестве фрагментов некоторых кристаллических структур. И иерархический додекаэдр (Рис. 3.2), и гигантский икосаэдрический кластер, сложенный из этих иерархических додекаэдров, также вкладываются в решетку Е8 , поскольку иерархические додекаэдры соединяются: по общим граням, как в декорированном политопе {5,3^3 jdec •

Химический; состав иерархического додекаэдра на рис.3.2 близок к экспериментально наблюдаемому составу икосаэдрических квазикристаллов.

Аномалии физических свойств квази кристаллов - высокое удельное сопротивление и гигантский магнитный момент квазикристаллических фаз в системе Al-Mn, (см. Главу Г) также качественно согласуются с предлагаемой моделью неоднородного заполнения' пространства стержнями из иерархических додекаэдров. Диаметр стержней, образующих ребра этого додекаэдра, имеют порядок длины свободного' пробега электронов в металлах, полость между ними4 имеет диаметр около^ 1 нм, т.е. такой же порядок величины. Возможно, в случае квазикристаллов мы имеем дело с электропереносом в среде,с пониженной размерностью, чем и объясняется их

3 j высокое удельное электросопротивление в 10*-10 мкОмсм. В, металлических стеклах, не дающих дифракционной картины с острыми пиками, а только диффузное гало, электросопротивление при комнатной температуре О составляет лишь (1-3)-10" мкОсм. Появление гигантского- магнитного момента в-икосаэдрическом и декагональном квазикристаллах системы Al-Mn также может быть связано с особенностями- предлагаемой' "модели: Прямое или косвенное обменное взаимодействие спиновых моментов марганца в пределах иерархического додекаэдра (все атомы в этой структуре плотно упакованы в тетраэдры) представляется вероятным, что и проявляется в форме гигантского момента в 12,6 и 17,4 магнетонов Бора [29].'Авторы этой работы, обнаружив поведение спинового стекла с указанными величинами гигантского магнитного - момента, высказали предположение о существовании в икосаэдрической и декагональной фазах Al-Mn магнитных кластеров в 126 или 116 атомов. Легко убедиться, что иерархический додекаэдр с 20 вершинами и 30 ребрами содержит 20-4+30-3=170 атомов. Разумеется, эти предположения должны быть подтверждены соответствующими теоретическими расчетами. Но следует указать, что у-латунь Cu5Zn8 со структурой, собранной из 7>кластеров, имеет аномально высокую диамагнитную восприимчивость (около -1,1-10"6 против 0,08-10"6 у меди и-0,1-10"6 у цинка)[172]' .

1 В этой работе имеются ссылки на оригинальные экспериментальные работы, где были получены указанные значения диамагнитной восприимчивости: l)Endo: Sci. Rep. Imp. Univ. Tokyo.-1925. -V.14.-P.479; 2)BernaI: Trans. Faraday Soc.-1929.-V.25.-P.367.

В качестве последнего замечания укажем, что внешняя морфология икосаэдрических квазикристаллов бывает додекаэдрической [71,72], бывает триаконтаэдрической [75], иногда даже в виде додекаэдрической звезды [73,74], но никогда не наблюдалась икосаэдрическая морфология роста икосаэдрических квазикристаллов. В нашей модели икосаэдрического квазикристалла основной строительной единицей является именно додекаэдр, а при объединении додекаэдров получается и триаконтаэдр, и 20-лучевая додекаэдрическая звезда (см. рисунки в главе 3). Согласно известному принципу Гаюи [173] внешняя огранка кристалла является отражением его внутреннего строения.

 
Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Ха Тхань Лам, Москва

1. Metallic phase with long range orientational order and no translational symmetry/ D. Shechtman, 1. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn//Phys.Rev.Lett. -1984.-V. 53.- P.1951-1953.

2. Bendersky L. Quasicrystal with One-Dimensional Translational Symmetry and a Tenfold Rotation Axis//Phys. Rev. Letters.- 1985.-V.55. P. 1461 -1463.

3. Ranganathan S., Chattopadhyay K. Quasicrystals //Annu. Rev. Mater. Sci. -1991,- V.21.-P. 437-462.

4. Steurer W. Twenty years of structure research on quasicrystals. Part I. Pentagonal, octagonal, decagonal and dodecagonal quasicrystals // Zeitschrift fur Kristallographie. -2004. Bd.219. - S. 391- 446.

5. Steurer W. Present state of knowledge on quasicrystals// Applied Crystallography. -2004,- V.19.- P.-254-259.

6. Schaefer R.J., Bendersky L.A. Metallurgy of Quasicrystals// Academic Press,Inc., Boston. -1988- V.l.- P.l 11-139.

7. Janot C. Quasicrystals, 2nd edition.- New York: Cambridge University Press, 1994-423p.

8. The phase diagrams and structures of the ternary AlCuFe system in the vicinity of the icosahedral region/ D. Gratias, Y. Calvayrac, J. D. Rzepski и et all// J. Non-Cryst. Solids.- 1993.-V.153. -P.82-88.

9. Production of single Al64Cu23Fei3 icosahedral quasicrystal with the Czochralski method/ Y. Yokoyama, K. Fukaura, H. Sunada et all // Mater. Sci. Eng. 2000.- V.294.- P. 68-73.

10. A stable binary quasicrystal/ A. P.Tsai, J. Q. Guo, E.Abe et all// Nature. 2000. -V.408.- P.537-538.

11. Evidence of a stable binary CdCa quasicrystalline phase/ Z. Jiang, С. H. Jensen, A. R. Rasmussen, L. Gerward // Appl. Phys. Lett. -2001.-V.78.- P.1856-1857.

12. Gregson P.J., Court S.A. Grain boundary precipitation of I-phase in 8090 alloy sheet// Scripta Metallurgica et Materialia. -1994.- Bd.30.-S.1359 -1363.

13. Cassada W.A., Shiflet G.J., Starke E.A. Grain boundary precipitates with five-fold diffractionsymmetry in an Al-Li-Cu alloy//Scripta metallurgica. -1986.- Bd.20.- S.751-756.

14. Bogdanowicz W. Defectiveness of two-subgrain Al-Cu-Co single quasicrystals in vicinity of subgrain boundary// Materials Science & Engineering. -2004.- V.372.-P.91-97.

15. Kelton K. F. Crystallization of liquids and glasses to quasicrystals// Journal of Non-Crystalline Solids. -2004.- V.334. P.253-258.

16. Edagawa K. Mechanical properties of quasicrystals// Material. -2000. -V.39.-P. 658-663.

17. Semadeni F., Baluc N., Bonneville J. Mechanical properties of Al-Li-Cu icosahedral quasicrystals// Mater. Sci. Eng., A. -1997.- V.234.- P.291-294.

18. Yan Y. High-resolution electron microscopy of pressurized Al68Pd23Mn9 icosahedral phase // Philosophical Magazine Letters.- 1995.- V.72.- P.331 -335.

19. Pressure-induced transformations in icosahedral Al-Pd-Мп/ Y. Yan , N. Baluc , J. Peyronneau , M. Kleman // Proc. 5th Intern. Conf. -1995.- V.22- P.668-671.

20. Urban K., Moser N., Kronmuller H. Phase Transitions between the Quasicrystalline, Crystalline, and Amorphous Phases in Al-14 at.%Mn // Phys.stat.sol. (a). -1985.- V.91.-P.411-422.

21. Irradiation-induced growth of nanoquasicrystals from amorphous matrix in the equilibrium immiscible Fe-Cu system/ G.W.Yang, W.S.Lai, C.Lin, B.X. Liu //Appl.Phys.Letters. -1999.- V.74.- P. 3305-3307.

22. Poon S.J., Drehman A.J., Lawless K.R. Glassy to Icosahedral Phase Transformation in Pd-U-Si Alloys//Phys. Rev. Letters. -1985.- V.55.- P.2324-2327.

23. Transformation of Amorphous Al-Cu-V alloys into a new icosahedral phase / J.-M. Dubois, M.de Boissieu, A. Pianelli et all// Scripta Metallurgies -1989.-Bd.23.- S. 1069-1074.

24. Chen L.C., Spaepen F. Calorimetric evidence for the microquasicrystalline structure of "amorphous" A1 transition metal alloys // Nature. -1988.- V.336.- P.366-368.

25. Icosahedral Phase Formation by the Primary Crystallization of a Zr-Cu-Pd Metallic Glass/ B.S. Murty, D.H. Ping, K. Hono, A. Inoue// Scripta mater. -2000.- V.43.- P.103-107.

26. High Resistivity and Diamagnetism in AlPdMn Icosahedral Phase /Р. Lanco, T. Klein, C. Berger et all // -Europhys. Lett. -1992.- V.18. -P.227-232.

27. Fukamichi K. Magnetic properties of quasicrystals// Springer Ser. Solid -State Sci. -1999.- V.126.- P. 295-326.

28. Vedmedenko E.Y. Magnetic ordering in quasicrystals// Modern Physics Letters B. -2005.- V.19.- P. 1367-1385.

29. Magnetization study of the I-Al80Mn20 and T-Al78Mn22 quasicrystalline phases/ D.P. Yang, W.A. Hines, W.G. Clark et all// -Journal of Magnetism and Magnetic Materials. -1992.- V.109.- P.l-6.

30. Liu .P, Stigenberg A.H., Nilsson J.-O. Isothermally formed quasicrystalline precipitates used for strengthening in a new maraging stainless steel // Scripta Metallurgica et Materialia. -1994. -Bd.31.-S. 249-254.

31. Nilsson J.-O, Stigenberg A. H., Liu P. Isothermal formation of quasicrystalline precipitates and their effect on strength in a 12Cr-9Ni-4Mo maraging stainless steel// Metall. and Mater. Trans. A. -1994.- V.25. -P.2225-2233.

32. Liu P., Stigenberg A. H., Nilsson J.-O. Quasicrystalline and cystalline precipitation during isothermal tempering in a 12Cr-9Ni-4Mo maraging stainless steel// Acta Metall. Mater. -1995.- V.43. -P. 2881-2890.

33. Schneider S. Bulk metallic glasses// J. Phys.: Condens. Matter. -2001.-V. 13,- P.7723-7736.

34. Inoue A., Takeuchi A. Recent progress in bulk glassy alloys //Mater. Transactions. -2002.- V.43.- P. 1892-1906.

35. Loffler J. F. Bulk metallic glasses//Intermetallics. -2003.- V.ll.- P.529 -540.

36. Wang W.H., Dong C., Shek C.H. Bulk metallic glasses// Materials Science and Engineering. -2004,- V.44.- P.45-89.

37. Inoue A., Takeuchi A. Recent progress in bulk glassy, nanoquasicrystalline and nanocrystalline alloys// Materials Science and Engineering A. 2004. - V.375.- P. 16-30.

38. High Strength and Good Ductility of Bulk Quasicrystalline Base Alloys in Zr65Al7j5Ni1oCu7 5.xPdx System/ A. Inoue, T. Zhang, J. Saida et all // Material Transactions, JIM. -1999.- V.40.- P.l 137-1143.

39. Role of nanometer-scale quasicrystals in improving the mechanical behavior of Ti-based bulk metallic glasses/ Ch. Kim Yu, J.H. Na, J.M. Park et all //Appl. Phys. Lett. -2003.- V.- 83.- P.3093-3095.

40. Inoue A., Kimura H.M. High Strength Al- and Mg-based Alloys with Nanocrystalline of Nanoquasicrystalline Phase// Journal of Metastable and Nanocrystalline Materials. -2001.-V. 9.- P.41-55.

41. Dubois J. M. New prospects from potential applications of quasicrystalline materials// Mater. Sci. Eng., A. -2000.- V.294.- P.4-9.

42. Cyrot-Lackmann F. Quasicrystals as potential candidates for thermoelectric materials// Mater. Sci. Eng., A. -2000. V.294. - P.611- 612.

43. Macia E. Theoretical prospective of quasicrystals as thermoelectric materials// Phys. Rev. B: Condens. Matter Mater. Phys. -2001.- V.64.- P.1-8.

44. Yoshimura M., Tsai A.P. Quasicrystal application on catalyst// Journal of Alloys and Compounds. -2002.- V.342.- P.451 454.

45. Reimann, Lugscheider E. HVOF-sprayed quasicrystal composite coatings for bearing applications// Proc. Int. Therm. Spray Conf. -2001- V.5 -P.33 -39.

46. Quasicrystalline coatings: thermal evolution of structure and properties/ C. I. Lang, D. J. Sordelet, M. F. Besser et all// J. Mater. Res. -2000.- V.15. -P. 1894-1904.

47. Kimura H., Inoue A., Sasamori K. Microstructure and wear properties of Al-7.8%V-4%Fe P/M alloy containing quasicrystalline phase// Keikinzoku. -1998.- Bd.48.- S.127-131.

48. Quasicrystalline coatings with reduced adhesion for cookware/ J. M. Dubois, A. Proner, B. Bucaille et all //Ann. Chim. Materiaux. 1994.- Bd.19.- S. 3-25.

49. Preparation and properties of solar selective absorbers based on AlCuFe and AlCuFeCr thin films: industrial aspects/ T. Eisenhammer, H. Nolte, W. Assmann, J. M. Dubois// Mater. Res. Soc. Symp. Proc. -1999.- V.553- P.435-446.

50. Dubois J.M. A Survey of the Potential Applications of Quasicrystals in Proceedings of the Conference "New Horizons in Quasicrystals"// World Scientific. -1997.- V.41- P.203-208.

51. Yamamoto A. Crystallography of Quasiperiodic Crystals// Acta Cryst. -1996. V.52. - P.509-560.

52. Penrose R. Pentaplexity: a class of non-periodic tilings of the plane // Eureka. -1978.- V.39.- P. 16-22.

53. Socolar J.E.S., Steinhardt P.J. Quasicrystals II. Unit-cell configurations // Phys. Rev.B. -1986.- V.34.- P.617 647.

54. Danzer L., Papadopolos Z., Talis A. Full equivalence between Socolar's tilings and the (A,B,C,K)-tilings leading to a rather natural decoration // J. Modern Phys. B. -1993.-V.7.-P.1379-1386.

55. Yamamoto A., Takakura H., Tsai P. Six-dimensional model of icosahedral Al-Pd-Mn quasicrystals// Phys. Rev. B. -2003.- V.68.- P. 1-13.

56. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere-Packings, Lattices and-Groups//Berlin: Springer. -1988.- Рус. перевод: Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990. — Т. 1,2. — 791 с.

57. An electron microscopic study of quasicrystals in a quaternary alloy: Mg32(Al,Zn,Cu)49/ N.K. Mukhopadhyay, G.N. Subbana, S. Ranganathan, K. Chattopadhyay // Scripta Metallurgies -1986.- Bd.20.- S.525-528.

58. Robinson A.L. Where Are the Atoms in the Icosahedral Phase?//Science. -1986.- V.233.- P.1260-1262.

59. An approach to the structure of quasicrystals: a single crystal X-ray and neutron diffraction study of the R-Al5CuLi3 phase/ M. Audier, J. Pannetier, M. Leblanc et all//Physica B.-1988. V. 153. - P.136-142.

60. Tamura N., Guyot P., Verger-Gaugry J.L. High resolution Electron Microscopy Image simulation on the R-Al5CuLi3 icosahedral approximant phase//Phil. Mag. -1992.- V.65.- P.311-319.

61. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. -M.: Наука, 1992.- 220 с.

62. Dmitrienko V. E. Cubic approximants in quasicrystal structures//.!. Phys. France. -1990. V.51.- P.2717 - 2732.

63. Dmitrienko V.E. New approaches to the construction of quasicrystals and their cubic approximants//J. Non-Crystalline Solids. -1993. V.153.- P.150-154.

64. Niizeki K. Theory of 'self-similarity' of periodic approximants to a quasilattice//J. Phys. A: Math. Gen.-1991.- V. 24.- P.4873 4887.

65. Niizeki K. The space groups of orthorhombic approximants to the icosahedral quasilattice// J. Phys. A: Math. Gen. -1992. V. 25. - P. 1843 -1854.

66. Pearson W.B. The crystal chemistry and physics of metals and alloys// New York- London-Sydney-Toronto, Wiley Interscience. -1972.- Рус. перевод: Пирсон У. Кристаллохимия и физика металлов и сплавов.- М.: Мир, 1977.- 420 c.(T.l), 472 с. (Т.2).

67. Schubert К., Kristal 1 strukturen Zweikomponentiger Phasen// Springer Verlag, Berlin. -1964.- Рус. перевод: Шуберт К. Кристаллические структуры двухкомпонентных фаз.- М.: Металлургия, 1971. -563 с.

68. Shoemaker D.P., Shoemaker С.В. Icosahedral Coordination in metallic crystals// Academic Press, Inc., Boston. -1988.- V.l. -P. 1- 57.

69. Frank F.C. Supercooling of liquids// Proc.Roy.Soc.London Ser.A. -1952. -V.215.-P.43 -46.

70. Fisher I. R., Canfield P. Growth of large-grain R Mg - Zn quasicrystals from the ternary melt (R = Y, Er, Ho, Dy and Tb) // Phil. Mag. B. -1998.- V.77.- P.1601 1615.

71. Ohashi W., Spaepen F. Stable Ga-Mg-Zn quasi-periodic crystals with pentagonal dodecahedral solidification morphology// Nature. -1987. -V.330.- P. 555-556.

72. AIMn quasi-crystal aggregates with icosahedral morphology symmetry / H.U. Nissen, R. Wessicken, C. Beeli, A. Csanady// Phil. Mag. B. -1988.- V. 57.- P.87 97.

73. Abe E., Yan Y. Quasicrystals as cluster aggregates//Nature Materials. -2004.- V.3.- P.759 767.

74. Large AlCuLi single quasicrystals with triacontahedral solidification morphology/ B. Dubost, J.M. Lang, M. Tanaka et all// Nature. -1986- V.324.-P. 48 -50.

75. Quasicrystal with inflation symmetry and no forbidden symmetry axes in a rapidly solidified Mg-Al alloy/ P. Donnadieu, M. Harmelin, H.-L. Su et all// Metallkunde. -1997.- Bd.88. S. 33 - 37.

76. An aperiodical cubic phase in the V-Ni-Si system/ Y.C. Feng, D.S. Zhou, D. Li et all //Phil. Mag. Lett.-1987,- V. 55.- P.221 223.

77. Feng Y.C., Lu G., Withers R.L. An incommensurate structure with cubic point group symmetry in rapidly solidified V-Ni-Si alloy//J. Phys.: Condens. Matter. -1989.- V.I.- P.3695 3700.

78. Experimental evidence for and a projection model of a cubic quasi-crystal / Y.C. Feng, G. Lu, H.Q. Ye et all //J. Phys.: Condens. Matter. -1990-V.2. -P. 9749 9755.

79. Metastable and quasiperiodic phases in rapidly quenched Fe-B-S-Nb(Cu) alloys/ I. V. Lyasotskii, N. B. Dyakonova, E. N. Vlasova et all //Phys. stat. sol(a). -2006.- V.203. P. 259 - 270.

80. Кубические квазикристаллы в сплавах на основе железа/ Н.Б. Дьяконова, И.В. Лясоцкий, Е.Н. Власова, Д.Л. Дьяконов //Изв. РАН. Сер. физ. 2001.- Т.65.- С.1436-1443.

81. Образование апериодической фазы с кубической симметрией в быстрозакаленных сплавах Fe-Co-Nb-Si-В/ И.В. Лясоцкий, Н.Б. Дьяконова, Д.Л. Дьяконов и др.// Металлы. -2005.- №1.- С.65-74.

82. Несоразмерные и квазикристаллические структуры в быстрозакаленных сплавах титана с марганцем, железом и кремнием /И.В. Лясоцкий, Н.Б. Дьяконова, Д.Л. Дьяконов, Г.И. Носова // Металлы. -2005.- №2.- С.69-77.

83. Coxeter H.S. М. Regular polytopes// New York: -1983.- V.84. P. 466 -470.

84. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. М.:Наука, 1984. - 465с.

85. Coxeter Н. S. М. Introduction to geometry// N.-Y., London. -1961. -Рус. перевод: Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию.- М.: Наука, 1966.- 648 с.

86. Kleman М., Sadoc J.F. A tentative description of the crystallography of amorphous solids//J. Physique Lett. -1979. -Bd.40. S.569 - 574.

87. Kleman M. Curved crystals, defects and disorder//Advances in Physics. -1989.-V.38.-P.605 -667.

88. Sadoc J. F., Mosseri R. Aperiodicity and Order// Boston: Academic Press. -1988.- V.1.-P.163 189.

89. Sadoc J.F., Charvolin J. Crystal structures built from highly symmetrical units // J.Phys.I.France. -1992.- Bd.2.- S. 845 859.

90. Синтез, кристаллическая структура и свойства CsBi2F7:Nd3+/ Р.К. Расцветаева, А.В. Буташин, Б.А. Максимов и др// Кристаллография. -1996. -Т.41.- С.444 449.

91. Крапошин B.C. Сборка икосаэдрического квазикристалла из иерархических атомных кластеров/Жристаллография. -1996. -Т.41.- С.395 404.

92. Крапошин B.C. Сборка икосаэдрического квазикристалла из иерархических атомных кластеров. Декагональная симметрия//Кристаллография. -1999. -Т.44. -№ 6.- С.995 1006.

93. Elser V., Sloane N. J. A. A highly symmetric four dimensional quasicrystal// J.Phys. A: Math. Gen. 1987. - V.20.- P. 6161 - 6168.

94. Sadoc J. F., Mosseri R. The E8 lattice and quasicrystals: geometry, number theory and quasicrystals //J.Phys. A: Math. Gen.- 1993.- V.26.- P. 1789- 1809.

95. Sadoc J. F. , Mosseri R. The E8 lattice and quasicrystals// J. Non-Crystalline Solids.- 1993.- V.153.- P. 247 252.

96. Moody R. V., Patera J. Quasicrystals and icosians//J.Phys. A: Math.Gen. -1993.- V. 26.- P. 2829 2853.

97. Щербак О.П. Волновые фронты и группы отражений//Успехи Математических Наук.- 1988.- Т.43.- С.125 160.

98. Талис A.JI. Обобщенная кристаллография алмазоподобных структур.

99. Конечные проективные плоскости и определяемые ими особые кластеры алмазоподобных структур//Кристаллография.- 2002. Т.47. -С.583 - 593.

100. Талис A.JI. Закономерности строения газогидратов и конструкции, определяемые решеткой Е8//Доклады РАН.- 2003.- Т.390.- С.172-177.

101. Structures of the cubic and rhombohedral high-pressure modifications of silicon as packing of the rod-like substructures determined by the algebraic geometry/ V. S. Kraposhin, A. L. Talis, V. G. Kosushkin et all //Acta Cryst. -2008.- V.64.- P.26 33.

102. Крапошин B.C. Золотое сечение в структуре металлов// МиТОМ. -2005. -№ 8. -С.3-10.

103. Крапошин B.C., Талис A.JI. Возможности обобщенной кристаллографии: Описание полиморфных преврашений и новыхдефектов в структуре алмаза // Материалы электронной техники. -2006. №2. - С.45-53.

104. Крапошин B.C., Талис А.Д., Панкова М.Н. " Политопный топологический подход к описанию мартенситного превращения//МиТОМ. -1999. -№ 8. -С.23-28.

105. Kraposhin V.S., Talis A.L., Dubois J.-M. Structural realization of the polytope approach for the geometrical description of the transition of a quasicrystal into a crystalline phase// J. Phys.: Condens. Matter.-2002. V.14.- P.8987- 8996.

106. An application of a polytope (4D-polyhedron) concept for the description of polymorphic transitions: iron martensite and solid oxygen// V.S. Kraposhin, M.N. Pankova, A.L. Talis, Yu.A Freiman // J.Phys. IY France. -2003. Bd.l 12.- S.l 19-122.

107. Kraposhin V.S, Talis A.L, Wang Y.J. Description of polymorphic transformations of Ti and Zr in the framework of the algebraic geometry // Materials Science and Engineering A. -2006.- V.438.- P. 85-89.

108. Крапошин B.C., Талис A.Jl., Ван Яньцзин. Геометрическая модель полиморфных превращений в титане и цирконии // МиТОМ. 2005. -№9. - С.8-16.

109. Humphreys J. Е. Linear Algebraic Groups// New York: Springer Verlag. -1975.- V.35.- P.16-21.

110. Pauling L. Apparent icosahedral symmetry is due to directed multiple twinning of cubic crystals//Nature. -1985.- V.317.- P.512-514.

111. Pauling L. Additional evidence from X-ray powder diffraction patterns that icosahedral quasi-crystals of intermetallic compounds are twinned cubic crystals//Proc. National Acad. Sci. USA. -1988.- V.85.-P. 4587-4590.

112. Pauling L. Interpretation of so-called icosahedral and decagonal quasicrystals of alloys showing apparent icosahedral symmetry elements as twins of an 820-atom cubic crystal//Computers Mathem. Applications. -1989.-V.17.- P.337-339.

113. Pauling L. Icosahedral and Decagonal Quasicrystals// Academic Press.- 1989. V.3.- P.137-162.

114. Anantharaman T.R. Atomic arrangements in Al-Mn and Al-Li-Cu icosahedral crystals//Scripta Metallurgica. -1988.- V.22.- P.981-984.

115. Anantharaman T.R. Structure of the "icosahedral" phase in rapidly solidified aluminium-manganese alloys//Current Science. -1988.-V.57.- P. 578-586.

116. Anantharaman T.R. A unified approach to complex crystalline and so-called quasicrystalline phases in aluminium alloys//Bull. Mater. Sci.- 1994.- V.17.- P.717-732.

117. Robinson K. The Structure of (3(AlMnSi)-Mn3SiAl9 // Acta Cryst.- 1952. -V.5.-P. 397-403.

118. Bernal J.D. A geometrical approach to the structure of monatomic liquids//Nature.- 1959.- V.183.- P. 141-147.

119. Bemal J.D. geometry of the structure of monatomic liquids//Nature.- 1960.- V.185.- P.68-70.

120. Nelson D.R. Order, frustration, and defects in liquids and glasses//Phys. Rev. В.- 1983.- V.28.- P. 5515-5535.

121. Mosseri R., Sadoc J. F. Hierarchical structure of defects in non-crystalline sphere packings// J.Physique Lett. -1984. -Bd.45.- S.827-832.

122. Mosseri R., Sadoc J. F. Polytopes and projection method: an approach to complex structures// Journal de Physique, Colloque C3, suppl. to No.7.- 1986. Bd. 47,- S.3-281 -297.

123. Ishii I. Propagating Local Positional Order in Tetrahedrally Bonded Systems// Acta Cryst. -1988.- V.44.- P. 987-998.

124. Дядин Ю.А. Супрамолекулярная химия: Клатратные соединения//Соросовский Образовательный журнал.- 1998.- № 2.- С.79-88.

125. Sloan E.D. Clathrate Hydrates of Natural Gases//N.-Y.; Basel: Marcel Dekker, Inc. -1990.-Bd.25.- S.619-641.

126. Frank F.C., Kasper J.S. Complex alloy structures regarded as sphere packing. I. Definitions and basic principles//Acta Crystallographia. -1958.- V.11.-P.184-190.

127. Lord E. A., Mackay A. L., Ranganathan S. New Geometries for New Materials. Cambridge University Press, New York, 2006,- 235p.

128. Mackay A. L. Icosahedra in aluminium manganese alloy//Nature.- 1985. -V.315. P. 636-636.

129. Гратиа Д. Квазикристаллы//Успехи Физических Наук. -1988. Т. 156.- С.348-364.

130. HREM image of А18бМп14 i-quasicrystal/ К. Hiraga, М. Hirabayashi, А. Inoue, Т. Masumoto //Sci. Rep. Res. Inst. Tohoku Univ.A. -1985.- Bd.32. -S.309-313.

131. Highly Ordered Icosahedral Quasicrystal of Al-Cu-Fe Alloy Studied by Electron Diffraction and High-Resolution Electron Microscopy/ K. Hiraga, B.-P. Zhang, M. Hirabayashi et all //Jpn. J. Appl. Phys. -1988.- V.27.- P.951-953.

132. Hartman P., Perdok W.G. On the relations between structure and morphology of crystals.I.II.III.//Acta Cryst. 1955.- V.8. - P.49-52; 521 -524; 525-529.

133. Rajasekharan Т., Sekhar J.A. Two types of icosahedral phases in the Al-Mn system//Scripta Metallurgica.- 1986,- Bd.20.- S.235-238.

134. Goldman A. I., Kelton K. F. Quasicrystals and crystalline approximants // Reviews of Modern Physics. -1993.- V.65.- P.213-230.

135. Steurer W. The quasicrystal-to-crystal transformation. I. Geometrical principles//Z. Kristallogr. -2000.- Bd.215.- S.323-334.

136. Steurer W. Geometry of quasicrystal-to-crystal transformations// Mater. Sci. Eng., A. -2000.- V.294.- P.268-271.

137. Electron microscopy study of scratch-induced surface microstructures in an Al-Cu-Fe icosahedral quasicrystal / J.S. Wu, V. Brien, P. Brunet et all //Phil. Mag. -2000.- V.800.- P. 1645-55.

138. Носова Г.И. Фазовые превращения в сплавах титана. -М.: Металлургия, 1968. -181 с.

139. McQuillan М. К. Phase Transformations in Titanium and its Alloys // Metallurgical Reviews. -1993.- V.8.- P. 10- 29.

140. Polytope model and the electronic and structural properties of amorphous semiconductors/ R. Mosseri, D.P. DiVincenzo, J.F. Sadoc, M.H. Brodsky // Phys. Rev.- 1985.- V.32.- P.3974-4000.

141. Shalaeva E.V., Prekul A.F. Structure state of P-solid solution in quenched quasicrystal-forming alloys of Al6iCu26Fei3 // Phys. stat. sol.(a). -2000.- V.180.-P.411-25.

142. Shalaeva E.V. On mutual transformations of icosahedral phase and P-solid solution with participation of ordered co-like displacements in quenched alloysof Al6iCu26Fei3//Journal of alloys and compounds.-2002.-V.342.- P.134-138.

143. Production of single Al64Cu23Fei3 icosahedral quasicrystal with the Czochralski method / Y. Yokoyama, K. Fukaura, H. Sunada et all //Mater. Sci. Eng. -2000- V.294.- P. 68-73.

144. An investigation on the transformation of the decagonal phase to a B2 phase in Al-Cu-Co alloy during mechanical milling/ N. K. Mukhopadhyay, G. V. S. Murthy, B. S. Murty, G. С. Фт Weatherly // Journal of alloys and compounds.- 2002.- V.342.- P.38-4.

145. Zhang H., Urban K. Quasicrystals// Phil. Mag. Lett. -1992.-V.66.-P.209.

146. Chemical-twinning mode of the B2 structure in relation to Al-Cu approximants/ C. Dong, Q. Zhang, D. Wang, Y. Wang// Philos. Mag. A. -1999.- V.79.- P.501-510.

147. BCC derivative structures and their relation to rational approximants to quasicrystals/ S. Ranganathan, A. Subramaniam, A. P. Tsai, C. Dong // Ferroelectrics. -2001.- V.250.- P.201-206.

148. Investigation of i-AlCuFe quasicrystals and their omega and beta approximants as thermoelectric materials/ P. N. Alboni, A. L. Pope, Т. M. Tritt et all //Materials Research Society Symposium Proceedings. -2002.- V.691.- P.233-237.

149. Icosahedral and Decagonal Phase Formation in Al-Mn Alloys/ R.J. Schaffer, L. A. Bendersky, D. Shechtman et all //Metallurgical Transactions A.- 1986.- V.17.- P. 2117-2125.

150. Thermodynamic properties of Al-Mn, Al-Cu, and Al-Fe-Cu melts and their relations to liquid and quasicrystal structure/ A.I. Zaitsev, N. E. Zaitseva, R. Yu. Shimko et all //J. Phys.: Condens. Matter.-2008.- V.20.- P.l 14-121.

151. Knapp J. A., Follstaedt D. M. Measurements of melting temperatures of quasicrystalline Al-Mn phases //Phys. Rev. Lett. -1987. V. 58. - P. 2454 -2457.

152. Follstaedt D. M., Knapp J. A. Metastable Phase Boundaries of Quasicrystalline Phases/ZMaterial Science and Engineering.- 1988,- V.99.- P.367-375.

153. Elcoro L., Perez-Mato J.M. Cubic superspace symmetry and inflation rules in metestable MgAl alloy// Eur. Phys. J.- 1999.- V.7.- P.85-89.

154. Icosahedral packing of B12 icosahedra in boron suboxide (B60)/ H. Hubert, B. Devouard, L.A.J. Garvie et all //Nature.- 1998.- V.391.- P.376-378.

155. Mackay A. Some are more equal than others// Nature. -1998.-V.391. -P.334-335.

156. Systematic enumeration of crystalline networks/ O. Delgado-Friedrichs, A.W.M. Dress, D.H. Huson et all //Nature.- 1999.- V.400. P.644-647.

157. Samson S. Structure of Complex Intermetallic Compounds// Structural Chemistry and Molecular Biology Freeman, San Francisco. -1968.- V.25.- P.687-717.

158. Lann A. Three-dimensional F quasilatice model of decoration for Al-Cu-Fe icosahedral alloys// Phil. Magazine. -1992.- V.66.- P.53-65.

159. Lidin S. Quasicrystals: local structure versus global structure// Material Science and Engineering.- 1991. -V.134.-P.93-95.

160. Janot C., De Boissieu M. Quasicrystals as a hierarchy of clusters// Phys. Rev. Lett. -1994.- V.72 .- P. 1674-1677.

161. Evidence for a Cluster- Based Structure of AlPdMn Single Quasicrystals /Ph. Ebert, M. Feuerbacher, N. Tamura et all //Phys. Rev. Letters.- 1996.- V.77.- P.3827-3830.

162. Pressure-Induced Phase Transitions in the Cd-Yb Periodic Approximant to a Quasicrystal/ T. Watanuki, A. Machida, T. Ikeda et all // Physical Review Letters. -2006. V.96. - P. 105-107.

163. Cooper M., Robinson K. The Crystal Structure of the Ternary Alloy a(AlMnSi)//Acta Cryst.- 1966.-V. 20.- P.614-617.

164. Robinson К. The Structure of p(AlMnSi)-Mn3SiAl9 // Acta Cryst. -1952.- V.5.- P.397-403.

165. Le Lann A. Structure of the icosahedral Al-Mn-Si alloys: decoration in three 1-dimensional space of a six-dimensional cubic I lattice//Philosophical Magazine.- 1990.-V.62.- P.577-587.

166. The nature of the topological disorder in the rapidly quenched Al73Mn2iSi6 icosahedral phase/ Y. Calvayrac, J. Devaud-Rzepski, M. Bessiere et all //Phil. Mag. -1989.- V.59.- P.439 450.

167. About y-brass phases in the Al-Cr-Fe system and their relationships to quasicrystals and approximants/ S. V. Demange, J. Ghanbaja, F. Machizaud, J. -M. Dubois // Philosophical Magazine.- 2005.- V.85.- P.1261-1272.

168. Ge P., Kuo К. H. Ordered gamma-brass structures coexisting with the decagonal quasicrystal in a Ga46Fe23Cu23Si8 alloy//J. Mater. Res.- 1999. -V. 14.-P. 2799-2805.

169. Jones H. The theory of Alloys in the y-Phase//Proc. Roy. Soc.London. -1934.-V.144.-P.225-234.

170. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. -М.: Наука, 1979.- 383 с.