Структура и устойчивость волн в газожидкостных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М.А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

ГАВРИЛЮК Сергей Леонтьевич

УДК 532.529

СТРУКТУРА И УСТОЙЧИВОСТЬ волн В ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СРЕДАХ

(01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1996

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И.Ш.Ахатов

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Пухначев

Ведущая организация — Институт механики многофазных систем

час. на заседании Специализированного совета Д 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. ак. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан " " __1995 Г-

академик РАН, профессор

С.К.Годунов

СО РАН, г. Тюмень. Защита состоится

Ученый секретарь Специализированного совета д.ф.-м.н.

И. В. Яков ли

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию волновых процессов в газожидкостных средах.

Актуальность темы работы обусловлена широким распространением газожидкостных сред в различных областях человеческой деятельности и природы. Математическое моделирование является одним из основных этапов любого исследования и представляет собой большой интерес не только в связи с многочисленными практическими приложениями, но и как источник новых нелинейных систем дифференциальных уравнений, часто требующих нетрадиционных методов исследования.

Целью работы является аналитическое исследование структуры и устойчивости линейных и нелинейных волн в рамках математических моделей односкоростных газожидкостных сред, в частности, модели пузырьковой жидкости, "снарядного" режима течения и др.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

1. Получена система уравнений модуляций, описывающая эволюцию медленно меняющихся параметров периодических волн в газожидкостных средах (фазовой скорости, волнового числа, частоты и др.) и предложен критерий ее гиперболичности (модуляционной устойчивости нелинейных периодических волн) в терминах выпуклости некоторых трехпараметрических термодинамических потенциалов . Последа ние получены в виде неявных формул для широкого класса физических систем, уравнения движения которых в бездиссипативном пределе допускают вариационную формулировку: пузырьковые жидкости, снарядный режим течения газожидкостной среды и др. Подробно рассмотрен один специальный случай пузырьковой жидкости, где доказана гиперболичность уравнений модуляций в окрестности резонанса.

2. Доказана неустойчивость по линейному приближению уединенных волн в пузырьковой жидкости относительно многомерных возмущений. Задача сведена к спектральной задаче для квадратичного несамосопряженного пучка операторов. Формальными асимптотическими разложениями доказано существование собственного числа задачи, соответствующего экспонециальному росту возмущений.

3. Впервые доказана теорема существования и единственности решения задачи о структуре бегущих волн в полидисперсной пузырьковой жидкости с диссипацией с любым конечным набором сортов пузырьков. Ранее эта задача была решена лишь для монодисперсной пузырьковой жидкости.

4. Получена асимптотика решения задачи Коши при больших временах для линейных уравнений пузырьковой жидкости с гладкой финитной функцией распределения пузырьков по размерам. В частности, автором доказано, что в пузырьковой жидкости невозможно распространение монохроматических волн с частотой, совпадающей с одной из резонансных частот пузырьков. Такая волна "распадается" при больших временах на низкочастотную и высокочастотную волну, если она достаточно длинная, либо трансформируется в высокочастотную волну, если эта волна достаточно короткая.

Научная и практическая значимость диссертации состоит в расширении теоретических представлений о волновых процессах в газожидкостных средах. Часть результатов была использована в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов старших курсов, стажеров и аспирантов на кафедре гидродинамики НГУ.

Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей газожидкостных сред и математических методов их исследования, а также согласований в предельных ситуациях с работами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ряде школ, конференций, семинаров и т.п., включая нижеследующие:

— XI Международный симпозиум по нелинейной акустике (Новосибирск, 1987);

— Первая Всесоюзная школа молодых ученых "Современные проблемы акустики", 24 марта 1988 г., г. Звенигород;

— Школа-семинар "Математические методы в механике" (Новосибирск, 1989, 1994);

— Международная школа-семинар "Акустика неоднородных сред" (Новосибирск, 1990, 1992, 1994);

— Забабахинские научные чтения (Челябинск, 1990);

— Международная конференция "Free-boundary problems in continuui mechanics" (Новосибирск, 1991);

— Международная конференция по многофазным течениям (Tsukuba, Japan,1991);

— IUTAM Symposium on Waves in Liquid / Gas and Liquid / Vapour Two-Phase Systems (Kyoto, Japan, 1994);

— Fifth International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (Stony Brook, USA, 1994);

— Теоретический семинар ИГИЛ CO РАН под руководством академика РАН Л.В. Овсянникова;

— Семинар ИГИЛ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.Н. Монахова;

— Семинар ИГИЛ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова;

— Семинар ИГИЛ СО РАН под руководством д.ф.-м.н. Б.А. Лугов-цова и д.ф.-м.н. P.M. Гарипова;

— Семинар кафедры гидродинамики НГУ под руководством профессоров В.Ю. Ляпидевского и В.М. Тешукова;

— Семинар ИГИЛ СО РАН под руководством д.ф.-м.н., профессора

B.В. Пухначева;

— Семинар ИМ СО РАН под руководством академика РАН

C.К. Годунова;

— Семинар ИТПМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.М. Фомина.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 13 работ (без тезисов докладов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа содержит 136 страниц, включая 8 рисунков.

Список литературы состоит из 106 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении излагаются современное состояние исследований и дается краткое описание работы.

I. Среды со "сложным" уравнением состояния.

В первой главе дан подробный вывод моделей газожидкостных сред ("снарядный" режим течения газожидкостной среды, жидкость с внутренней капиллярностью, пузырьковая жидкость), основанный на использовании принципа минимального действия Гамильтона - Остроградского. Этот принцип хорошо известен в аналитической механике и состоит в следующем. Если система с конечным числом степеней свободы q = {qk}, к = I,..., N характеризуется кинетической энергией К = K(q, q) (точка означает производную по времени) и потенциальной энергией U = U(q), то истинная траектория является экстремалью функционала действия

<2

1 = J (К — U)dt.

<1

Вариационный принцип Гамильтона получил большое распространение в бездиссипативной механике сплошной среды, где роль кинетической и потенциальной энергии играют уже функционалы от искомых функций. Особенностью рассматриваемых газожидкостных сред является тот факт, что их энергия зависит не только от термодинамических параметров среды, но и их производных по независимым переменным. Так зависимость энергии от дополнительного аргумента — модуля градиента плотности среды — описывает среды с внутренней капиллярностью (Л.И. Седов, М.Э. Эглит, Р. Casal, Н. Gouin, L. Truskinovsky и др. ) и "снарядный" режим течения газожидкостной среды, а зависимость энергии от субстанциональной производной плотности по времени описывает односкоростную модель пузырьковой жидкости (С.В.Иорданский, Б.С.Когарко, L. van Wijngaarden).

Такие среды названы в работе "сложными", имея в виду наличие зависимости внутренней энергии от производных искомых функций. Подробно рассмотрен одномерный случай, где введение массовой ла-гранжевой координаты чрезвычайно упрощает уравнения движения. Так среды с внутренней капиллярностью и "снарядный режим" течения газожидкостной среды в этих координатах в баротропном случае описываются при помощи уравнений:

vt — úq = 0, (1)

ut+pq=0, (2)

где

бе (де д (де

Здесь t — время, q — массовая лагранжева координата, v — удельный объем среды, и — скорость, р — давление, е — внутренняя энергия среды.

Уравнения (1-3) допускают закон сохранения энергии

lu2 + e)t + {PU-U^-°- (4)

Для среды с внутренней капиллярностью энергия е имеет вид (Ван-дер-Ваальс, Кортевег, M.Slemrod, P.Casal, Н. Gouin и др.)

t \ л. де° - f ^ RT а

е = e0(v) + \ ~— = po(v) =-¡"--о-

2 ov v — b v

Здесь C{v) — некоторая положительная функция, po(v) — уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, R — газовая постоянная, Т — температура, а > О, Ь > 0 — некоторые постоянные.

Для "снарядного" режима течения газожидкостной среды при предположении, что газ находится вблизи термодинамической критической точки, энергия e(v,vq) в безразмерных переменных имеет вид:

V4 0v2vI

е =--иг—-,

4 Р 8 '

где [1 — малый параметр, соответствующий длинноволновому приближению в модели.

Уравнения движения пузырьковой жидкости, записанные в массовых лагранжевых координатах, являются частным случаем общей модели движения вида:

vt - щ = 0, (1')

Щ+Р„ = 0, (2')

где

-£=-(£-£(£)). (з')

Р 5v Vdv dt \dvt)) '

Уравнения (1' — 3') допускают закон сохранения энергии вида

то уравнения (1'—4') совпадают с уравнениями Иорданского - Когарко - Wijngaarden'a. Здесь R — радиус пузырька, п = const — число пузырьков в единице массы смеси, р\ = const — плотность несущей фазы, с/ = const — массовая концентрация жидкости, j — показатель политропы газа, индекс "О" означает некоторое равновесное состояние.

Отмечается, что уравнениями типа (1 - 4) или (1' —4') описываются также волновые процессы в гранулированных средах и дисперсионные волны на "мелкой" воде.

II. Уравнения модуляций.

Уравнения типа (1 - 4) или (1' — 4') имеют частные решения типа периодических бегущих волн. Большой интерес представляет исследование устойчивости таких решений.

Наряду с классическими определениями устойчивости (устойчивость по Ляпунову, орбитальная устойчивость и др.), часто используется понятие модуляционной устойчивости (M.J. Lighthill, G.B. VVhitham, T.B. Benjamin, B.M. Бабич, B.C. Булдырев, И.А. Молотков, В.П.Маслов и др.).

Уравнения модуляций (уравнения, осредненные по периоду колебаний) представляют собой в первом приближении квазилинейную систему уравнений в частных производных первого порядка для медленно меняющихся параметров среды. В зависимости от того, является ли соответствующая система гиперболической или нет, говорят о модуляционной устойчивости периодических волн, либо об их неустойчивости.

В частности, если

e(v,vt) — eg(v) — 2itnpiRiR\

>3 d2

Одним из интереснейших свойств уравнений модуляций, полученных в этой главе, является ее псевдотермодинамика, т.е. наличие связи между медленно менящимися параметрами задачи, которая напоминает термодинамическое тождество. Оказывается, что свойство гиперболичности системы уравнений модуляций формулируется в терминах выпуклости соответствующих термодинамических потенциалов. Последнее хорошо известно для классических уравнений газовой динамики (С.К.Годунов, Е.И.Роменский, A.M. Блохин).

Отдельно выводятся уравнения модуляций для системы типа (1 -4) или (1' — 4'). Вводятся трехпараметрические термодинамические потенциалы( внутренняя энергия для системы (1 - 4) и аналог термодинамического потенциала Гиббса для системы (1' — 4')), при помощи которых системы уравнений модуляций записываются в симметрическом виде. Условие выпуклости соответствующих потенциалов влечет гиперболичность уравнений модуляций. Для термодинамических потенциалов найдены неявные выражения.

Подробно изучены пузырьковые жидкости при колебаниях вблизи резонанса (в этом случае, среда становится двухпараметрической). Показано, что тогда уравнения модуляций совпадают с уравнениями газовой динамики со вполне определенным эффективным уравнением состояния, где роль энтропии играет некоторая величина, характеризующая амплитуду колебаний. Такая аналогия позволяет перенести известные результаты из газовой динамики на случай пузырьковых жидкостей. В модельном случае (газ в пузырьках политропный с показателем политропы 7 = 2) показано, что при интенсивных колебаниях пузырьковая среда ведет себя эффективно так же, как и политропный газ, но с более высоким показателем политропы 7 = 8/3. В частности, факт увеличения эффективного показателя политропы означает, что скорость распространения малых возмущений в "возбужденной" пузырьковой жидкости выше соответствующей "равновесной" скорости звука.

Для классических уравнений сплошной среды (газовая динамика, магнитная гидродинамика и др.) также возможно строить "быстроос-циллирующие" решения и исследовать эволюцию их огибающей (В.П. Маслов, 1986). Как показано в диссертации, основное отличие "слож-

ных" сред от классических состоит в том, что в первых, в отличие от последних, давление "осциллирует" (зависит от быстрой переменной) уже в нулевом приближении.

III. Линейная неустойчивость уединенных волн в пузырьковой жидкости относительно многомерных возмущений.

В третьей главе исследуется устойчивость уединенных волн в рамках нелинейных многомерных уравнений Иорданского-Когарко-Wijn-gaarden'a, в которых отброшены конвективные члены в операторе субстанциональной производной. Несущая фаза предполагается несжимаемой, поверхностное натяжение и эффекты диссипации не учитываются. Соответствующую систему уравнений (обычно с учетом сжимаемости несущей фазы) часто называют уравнениями R.E. Caflisch'a, M.J. Miksis'a, G.S. Papanicolaou к, L. Ting'a (1985). Хорошо известно, что эти уравнения допускают одномерные решения типа уединенных волн (солитонов), распространяющихся со скоростью, большей чем "равновесная" скорость звука. Являются ли они устойчивыми? По-видимому, они устойчивы по отношению к одномерным же возмущениям.- Одной из причин такой уверенности является тот факт, что хорошим одномерным приближением искомых уравнений является уравнение Кортевега-де Вриза (L. van Wijngaarden, В.Е. Накоряков, Б.Г. Покусаев, И.Р. Шрейбер и др.). A. Jeffrey & Т. Kakutani (1970) доказали линейную устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза, а Т.В. Benjamin (1972) доказал их нелинейную устойчивость. Если мы верим, что решения уравнений пузырьковой жидкости для волн малой амплитуды близки к решениям уравнения КдВ (до сих пор. это еще не доказано), то отсюда вытекает (в нестрогом смысле) устойчивость уединенных волн в пузырьковой жидкости относительно одномерных возмущений. Попытка доказательства устойчивости уединенных волн в пузырьковой жидкости предпринималась B.JI. Изерги-ным (1988). Им рассмотрен одномерный случай со сжимаемой несущей фазой и показано, что гамильтониан системы устроен достаточно "плохо" - его вторая вариация не является положительно определенной, поскольку солитон движется со сверхзвуковой по отношению к "равновесной" скорости звука скоростью. Однако, как показывают простые примеры, отсутствие знакооопределенности второй вариации

не влечет, вообще говоря, неустойчивость. Это лишь означает, что задача не является такой простой. Экспериментально уединенные волны наблюдаются, как правило, в трубах с малым сечением, что позволяет ограничиться рассмотрением только одномерных возмущений. Однако, многомерные возмущения можно создать пскуственно, используя, например, эластичные трубы. Кроме того, многомерные возмущения возникают в "естественных" пузырьковых жидкостях. Примером такой жидкости является верхний слой океана, где пузырьки образуются вследствие обрушения волн (А. РгоэрегеШ а1., 1993). Таким образом, мы приходим к вопросу, часто возникающему и в других областях физики (Б.Б. Кадомцев, В.И. Петвиашвили, 1970, В.Е. Захаров, А.Е. Рубенчик, 1973 и др.): "Являются ли одномерные уединенные волны устойчивыми по отношению к многомерным возмущениям?" Вообще говоря, ответ на него совсем не очевиден и может отличаться от соответствующего одномерного случая.

Рассматриваемая система уравнений линеаризуется на решении типа уединенной волны и стандартным образом сводится к спектральной задаче для квадратичного пучка интегро-дифференциальных операторов с переменными коэффициентами вида

А2Л/ + А£/ + С/ = 0, (5)

где А - спектральный параметр, / - искомая функция, А - положительный симметрический оператор, В - антисимметрический оператор, С - симметрический оператор. Операторы А, В, С зависят также от параметра /? - модуля волнового числа поперечного монохроматического возмущения. Предполагая, что поперечная монохроматическая волна является достаточно длинной (/3 является малым параметром), получены асимптотические формулы для собственной функции / и собственного числа А задачи (5), близкого к нулю. Показано, что соответствующее собственное число положительно. Последнее означает, что возмущения растут экспоненциально с ростом времени и, следовательно, уединенные волны неустойчивы по отношению к многомерным возмущениям.

IV. Структура бегущих волн в полидисперсной пузырьковой среде с диссипацией.

Одной из распространенных моделей пузырьковых жидкостей, учитывающей распределение пузырьков по размерам, является модель для конечного числа фракций пузырьков (для каждого сорта пузырьков рассматривается свое уравнение Рэлея-Ламба). Эта модель имелась еще в работе C.B. Иорданского (1960) и использовалась В.Ш. Шагапо-вым (1976), Y. Matsumoto et al. (1985) (двухскоростной вариант), V.G. Gasenko, V.L. Izergin'biM (1987) (односкоростной вариант) для численного исследования распространения волн в пузырьковых средах.

Экспериментальное исследование распространения волн в среде с пузырьками двух размеров проводилось Гасенко В.Г., Донцовым В.Е., Кузнецовым В.В., Накоряковым В.Е. (1987), Донцовым В.Е., Кузнецовым В.В., Марковым П.Г., Накоряковым В.Е. (1989). В частности, в этих экспериментах обнаружены "многогорбые" солитоны, полученные ранее численно V.G. Gasenko, V.L. Izergin'biM (1987).

Доказательство существования солитонных решений в бездиссипа-тивной полидисперсной пузырьковой смеси равносильно построению гомоклинической траектории некоторой гамильтоновой системы уравнений с многими степенями свободы (число степеней свободы определяется количеством различных сортов пузырьков). К сожалению, решение такой внешне простой задачи наталкивается на непреодолимые трудности, не решенные и в общей теории, поскольку эта система является неинтегрируемой.

В этой главе в уравнениях колебаний пузырьков учтена "эффективная" физическая вязкость, связанная, главным образом, с тепловой диссипацией (Р.И. Нигматулин). Учет вязкости приводит к тому, что гамильтониан бездиссипативной системы является функцией Ляпунова для системы с диссипацией. Более точно, введение обобщенных координат {</,} и обобщенных импульсов {р,}, i = 1 ,...,М позволяет переписать уравнения бегущих волн в виде системы из IM уравнений (М - число пузырьков различных размеров) вида:

• дН га\

« = flfc ' (6)

дН .

Pi = -77— + Ji, dqi

где точка означает производную вдоль координаты бегущей волны, Н — H(q\, •■-, <1м ,Р\) ■■■■¡Рм) - гамильтониан бездиссипативной системы, а Мя\,...,Чм,Р\,-,Рм) таковы, что

(IH м

Изучены свойства гамильтониана Н, позволяющие доказать теорему существования и единственности соответствующей гетероклинической траектории (траектории, соединяющей различные особые точки динамической системы (6)) для любого конечного числа различных сортов пузырьков. В частности, показано, что имеется аналогия с монодисперсным случаем: передний фронт бегущей волны монотонен при любых значениях коэффициентов "эффективной" вязкости, а задний фронт осциллирует либо монотонен в зависимости от того, малы или велики эти коэффициенты.

V. Линейные волны в пузырьковой жидкости с непрерывным распределением пузырьков по размерам.

В этой главе изучена структура линейных волн в бездиссипативной пузырьковой жидкости со сжимаемой несущей фазой при наличии непрерывного распределения пузырьков по размерам. В той или иной степени эти уравнения возникали в работах В.К. Кедринского (1968), Д.Д. Рютова (1975), K.W. Commander & А. Prosperetti (1989), H.A. Гумерова (1989) и др.

Система уравнений сводится к одному интегро-дифференциальному уравнению для давления. Предполагается, что функция распределения пузырьков по размерам (плотность числа пузырьков в единице объема смеси как функция от равновесного радиуса пузырька) обладает следующими свойствами: в начальный момент времени она однородна по пространству и является достаточно гладкой финитной функцией, определенной на положительной полуоси. Финитность, в частности, означает, что в распределении отсутствуют пузырьки очень маленьких и очень больших размеров. При некотором дополнительном предположении на функцию распределения (по существу оно означает, что объемная концентрация пузырьков газа не очень мала) получено дисперсионное соотношение, качественный вид которого показан

на рис.1. Здесь - модуль волнового числа, т] - частота, [о^шг] - интервал резонансных частот, соответствующий непрерывному спектру пузырьков. Жирными линиями изображены "низкочастотная" и "высокочастотная" ветви дисперсионного соотношения. Интервал [ш?, соответствует классическому "окну непрозрачности" , существующему в случае монодисперсной пузырьковой жидкости. "Низкочастотная" ветвь волновых чисел является выпуклой функцией частоты, а "высокочастотная" - вогнутой. Как доказано в диссертации, условие выпуклости-вогнутости не зависит от поведения функции распределения - она может быть и "многогорбой". В качестве асимптот "низкочастотная" и "высокочастотная" ветви имеют прямые, соответствующие "равновесной" и "замороженной" скоростям звука. Финитность и гладкость функции распределения приводит к тому, что вдоль "низкочастотной" ветви модуль волнового числа ограничен некоторым значением кст.

Используя преобразование Фурье-Лапласа, получена асимптотика решения задачи Коши для соответствующего интегро-дифференциального уравнения. В частности, показано, что монохроматическая волна, имеющая частоту, совпадающую с одной из собственных частот колебаний пузырьков, не распространяется в пузырьковой жидкости. При больших временах оца распадается на две монохроматические волны (низкочастотную с частотой и>+ и высокочастотную с частотой и>-), либо редуцируется в высокочастотную монохроматическую волну в зависимости от того, является ли она достаточно длинной или короткой (\к\ < ксг или \к\ > ксг). Также обнаружен эффект Ландау, полученный Д.Д. Рютовым (1975) в пузырьковых жидкостях для аналитических функций распределения пузырьков по размерам: при достаточно малых концентрациях пузырьков "окно непрозрачности" [ш2, ал] может исчезнуть и "высокочастотная" ветвь смещается вверх, так что может возникнуть некоторый диапазон волновых чисел, при которых волна давления может полностью затухнуть, передав свою энергию в энергию свободных колебаний пузырьков. В монодисперсном случае такая возможность, очевидно, не реализуется.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 13 работ (без учета тезисов докладов на конференциях), приведенных ниже.

1. Гаврилюк С.JI. (1989) Уравнения модуляций для пузырьковой смеси с несжимаемой несущей фазой // ПМТФ. 1989. № 3. С. 86 -92.

2. Гаврилюк С.Л. (1989) Одно замечание к работам В.П.Маслова по асимптотическим решениям уравнений вязкой жидкости и вязкого баротропного газа // Теор. и мат. физ. 1989. Т. 81, № 1. С. 158 - 160.

3. Гаврилюк С.Л. (1989) Существование, единственность и устойчивость по Лаксу бегущих волн в полидисперсной пузырьковой среде с диссипацией // Тр. сем. С.Л.Соболева. Дифференциальные уравнения в частных производных. Сб. науч. тр. 1989. Новосибирск, йн-т математики. С. 33 - 53.

4. Гаврилюк С.Л., Филько С.А. (1991) Ударные волны в полидисперсных пузырьковых средах с диссипацией // ПМТФ. 1991. № 5. С. 26 - 34.

5. Гаврилюк С.Л. (1991) Асимптотика решения задачи Коши для уравнений распространения линейных волн в пузырьковой жидкости с непрерывным распределением пузырьков по размерам // Препринт № 1. 1991. Академия наук СССР, Сиб. от-ние, Ин-т гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.

6. Gavrilyuk S.L. (1991) Nonlinear modulation of multi-dimensional high-frequency waves in monodisperse bubbly liquid // Proceedings of the Int. Conf, on Multiphase Flow's 91 — Tsukuba. Tsukuba, 1991, Japan. P. 169 - 171.

7. Gavrilyuk S.L. (1991) The structure of travelling waves in polydisperse bubbly liquid with dissipation // Proceedings of the Int. Conf. on Multiphase Flow's 91 — Tsukuba. Tsukuba, 1991, Japan. P. 165 - 167.

8. Gavrilyuk S.L. (1994) Linear wave propagation in bubbly liquid with a continuous bubble size distribution // Bubble Dynamics and Interface Phenomena (ed. J.R.Blake et al.). Kluwer Academic Publihers. P. 141 -149.

9. Gavrilyuk S.L. (1994) Large amplitude oscillations and their 'thermodynamics' for continua with 'memory' // Eur. J. Mech. В / Fluids. 1994. Vol. 13, № 6. P. 753 - 764.

10. Gavrilyuk S.L., Serre D. (1995) A model of a plug-chain system near the thermodynamic critical point: connection with the Korteweg theory of

capillarity and modulation equations // IUTAM Symp. Waves in Liquid / Gas and Liquid / Vapour Two-Phase Systems (eds. S.Morioka and L. van Wijngaarden). Kluwer Academic Publishers. 1995. P. 419 - 428.

11. Gavrilyuk S.L. (1995) Large - time asymptotics of solution of the Cauchy problem for equations of linear wave propagation in bubbly liquid with continuous bubble size distribution // Siberian J. Differ. Equat. 1995. Vol. 1, № 1. P. 69 - 87.

11. Gavrilyuk S.L. (1996) Solitary waves in bubbly liquids are linearly unstable // Eur. J. Mech. В / Fluids. 1996. Vol. 15, № 1.

13. Гаврилюк C.JI., Шугрин C.M. (1996) Среды с уравнениями состояния, зависящими от производных // ПМТФ. 1996. № 2. С. 35 -49.

Рис.1 Дисперсионное соотношение

У.-"

с

Подписано к печати 12.03.1996 Формат бумаги 60 х 84/16. Уч.-изд. л. 1,1

Тираж 100 экз., заказ N 19 Отпечатано на ротапринте ИГИЛ СО РАН 630090, Новосибирск - 90, пр. Лаврентьева, 15.