Волновые и гидродинамические процессы в энергетических установках, включая топливные элементы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

005012301

На правах рукописи

Гасенко Владимир Георгиевич

ВОЛНОВЫЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ, ВКЛЮЧАЯ ТОПЛИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

01.04.14 - теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

1 2 мдр Ж2

Новосибирск - 2011

005012301

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН

Научный консультант: доктор технических наук, профессор,

академик РАН

Накоряков Владимир Елиферьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кедринский Валерий Кириллович

Защита состоится 30 марта 2012 г. в 1Р часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.02 при Новосибирском государственном техническом университете Адрес: 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «27» февраля 2012 г.

доктор технических наук, профессор,

член-корр. РАН

Покусаев Борис Григорьевич

доктор технических наук, профессор, Терехов Виктор Иванович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, г. Москва

Ученый секретарь диссертационного совета: доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Значительный интерес исследователей к проблемам задачам гидродинамики и волновой динамики паро- и газожидкостных смесей бусловлен широким распространением таких сред в природе и их интенсив-ым использованием в современной технике, в частности в энергетических ус-ановках, включая паровые котлы современных ТЭЦ, активные зоны ядерных еакторов, а также низкотемпературные топливные элементы с полимерными юмбранами. Пузырьковая жидкость является распространенной рабочей средой гакже в криогенной технике, в химической, нефтегазодобывающей и других от-аслях промышленности. При этом наиболее интересными и важными являются олновые процессы в пузырьковых жидкостях, носящие нестационарный и многомерный характер, в особенности при больших амплитудах волн. Определяющим механизмом при распространении волн давления в газо- и парожидкост-ных смесях в наиболее интересных с точки зрения практики ситуациях является диссипация энергии волны из-за неравновесного теплообмена между газом в пузырьках и жидкостью, а также фазовые переходы в случае паровых пузырьков. Финитные нелинейные волны могут как затухать, так и усиливаться в процессе эволюции в результате конкуренции нелинейных, диссипативных, дисперсионных эффектов и эффектов фазовых переходов. Важно отметить, что явление усиления волны, обусловленное локальной деформационной инерцией пузырьковой смеси, как в случае расслоенных газожидкостных смесей, а также за счет полного схлопывания паровых пузырьков в случае парожидкосшых смесей, - это явления кавитации и гидроудара, которые могут вызвать эрозию и разрушение стальных конструкций паровых котлов. Знание закономерностей протекания волновых процессов позволяет конструировать элементы энергетических установок контактирующие с паро- и газожидкостными смесями, способные эффективно демпфировать динамическое воздействие ударных волн. В топливных элементах с полимерными мембранами течение двухфазных смесей в катодных газораспределительных каналах связанное с образованием жидкой воды в результате электрохимических реакций холодного «горения» водорода, дополнительно усложнено спецификой микроканальности.

К настоящему времени одномерные нелинейные волны в пузырьковых средах достаточно подробно изучены как теоретически, так и экспериментально в работах Кедринского, Накорякова, Покусаева, Нигматулина, Нордзи и др. Но большинство реальных задач на практике являются многомерными. На данный момент активно ведутся исследования по изучению двумерных волн в пузырьковых средах (Кедринский, Донцов, Ждан, Губайдуллин, Вахитова, МазаЬаги К., Ма^шш^о Y. И др.). Необходимость изучения двумерных волн возникает, например, при распространении волн давления в неоднородной жидкости при наличии в ней зоны конечных размеров с пузырьками газа или в случае несимметричного инициирования волны. В вертикальных испарительных трубах паровых котлов, в которых по мере повышения паросодержания с высотой реали-

зуются расслоенные режимы течения воды и пара, воды и парожидкостной смеси, так и крупномасштабные неоднородности распределения паросодержания, которые как в акустическом волноводе генерируют двумерные волны высоких мод.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развития теории волновой динамики и гидродинамики течения пузырьковых сред, расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в первую очередь в области больших амплитуд волн и в сложно структурированных газо- и парожидкостных смесях, реализующихся в современных конструкциях энергетических установок и требующих для их расчетов применения двух и трехмерных расчетных моделей.

Практическая значимость рассматриваемых задач связана с их возникновением при конструировании новых машин и аппаратов в энергетике, химической технологии и в новой рождающейся отрасли — водородной энергетике, а также с безопасностью эксплуатации атомных и тепловых электростанций

Целью работы является разработка и апробация по результатам экспериментальных данных расчетных теплофизических моделей волновых и гидродинамических течений в реальных конструкциях энергетических установок, включая топливные элементы с полимерными мембранами, с учетом тепломассообмена, фазовых переходов в газо- и парожидкостных смесях с пузырьковой и дисперсной структурой вещества, а также в многокомпонентных химически реагирующих газовых смесях.

В соответствии с намеченной целью были поставлены следующие задачи исследования:

1. Создать модель паро- и газожидкостной смеси как сплошной среды и исследовать ее свойства на основе гомогенного приближения и решения задач динамики и теплообмена отдельного пузырька с окружающей жидкостью.

2. Провести численные исследования структуры импульсов давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе волновой модели уравнения Бюргерса-Кортевега-де-Вриза с учетом релаксации скорости звука от адиабатической до изотермической за счет теплообмена пузырька с жидкостью, а также на основе многоволновых модельных уравнений, учитывающих нелинейное взаимодействие возмущений давления, распространяющихся с двумя и тремя разными скоростями звука.

3. Разработать модели и методы расчета волн большой амплитуды до 50 бар в паро- и газожидкостных смесях, согласующиеся с известными экспериментальными данными.

4. Создать методы расчета двумерных волн для реальных газожидкостных смесей в вертикальных трубах, позволяющих объяснять и рассчитывать новые волновые явления, наблюдаемые экспериментально: аномальное затухание в расслоенных газожидкостных смесях и многократное усиление амплитуды волны при ее взаимодействии с газожидкостным кластером.

5 Провести численные расчеты динамики нелинейных волн в полидис-1ерсных газожидкостных смесях с пузырьками нескольких размеров на основе ноговолновых модельных волновых уравнений.

6. Разработать методы расчета «ламинарных» гидродинамических течении распределения газосодержания двухфазных смесей с пузырьковой структурой вертикальных каналах на основе новых методов расчета турбулентных напря-сений.

7. Разработать инженерные методы расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокригаческими параметрами в холодный трубопровод применительно к установки аварийного газоудаления в парогенераторах тепловых и атомных электростанций.

8. Разработать методику расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами до уровня инженерных формул.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

• полным согласием полученных результатов в предельных случаях с известными и апробированными результатами в виде уравнений, численных решении, и значений эмпирических констант,

® совпадением полученных решений и качественно и во многих случаях количественных с достоверными экспериментальными данными; . использованием проверенных методик численного и аналитического решения задач тепло- массообмена и волнового течения двухфазных смесей;

• публикацией результатов в жестко рецензируемых журналах.

Научная новизна:

• Исследованы теплофизические свойства парожидкостной смеси и ее уравнение состояния в гомогенном приближении на основе ячеистой модели теплообмена отдельного пузырька с прилегающей жидкостью и на основе нового ин-тегро-дифференциальное уравнения типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей), решения которого близки к численным решениям полной системы уравнений.

• Предложен новый подход в изучении динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе известного приближения Бюргерса-Кортевега-де-Вриза и на основе новых волновых модельных уравнений, учитывающих релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической за счет теплообмена пузырька с жидкостью; от скорости звука Мэллока до скорости звука в чистой жидкости за счет полного коллапса паровых пузырьков, а также на основе многоволновых модельных уравнений, учитывающих одновременное наличие нелинейно взаимодействующих возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

• Исследована область нестационарных и стационарных волн - солитонов Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар на основе решения численными мето-

дами системы уравнений и показано полное соответствие модели имеющимся экспериментальным данным на ударных трубах.

• Исследованы двумерные линейные и нелинейные волны в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах и дано объяснение аномальному затуханию нелинейных волн в таких смесях, наблюдаемому экспериментально, уносом энергии от основной волны низкочастотными предвестниками, существующими в акустических волноводах как высшие волновые моды и распространяющимися по слою чистой жидкости.

• Предложен новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

• Исследована динамика стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения. Обнаружены новые формы стационарных волн — мультисолитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

• Разработан метод пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса, а также инженерные методы расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокришческими параметрами в холодный трубопровод.

• Разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными протонопроводящими мембранами, найдены решения и аналитически рассчитаны значения эмпирических констант, использующиеся в инженерных формулах, позволяющие минимизировать транспортные и поляризационные потери и увеличить кпд прямого преобразования энергии холодного горения водорода в электрическую энергию в топливных элементах с полимерными мембранами.

Научная ценность полученных в работе результатов состоит:

• в предложении новых моделей паро- и газожидкостных смесей как сплошных сред с уникальными свойствами своего агрегатного состояния и величиной скорости звука, которая может меняться на два-три порядка;

• в создании методов расчета волновых процессов в широком диапазоне амплитуд волн в одно- и двумерной постановках на основе известных и новых волновых моделей, максимально приближенным к реальным паро- и газожидкостным смесям в энергетических установка;

• в использовании метода Монте-Карла для расчета гидродинамических «ламинарных» течений газожидкостных смесей с пузырьковой структурой;

• в разработке методов расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод применигель-

но к установкам аварийного газоудаления;

в получении инженерных формул для расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами.

Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в озможности использовать построенные модели и развитые алгоритмы расчетов ромьшшенных процессов и технологий. Например, решенная в работе на но-ом уровне задача динамики парогазовой полости используется:

• Для разработки нового метода получения газогидратов на основе физического взрыва в воде криогенной жидкости. Явление взрывного парообразования лежит в основе расчетов тепловых взрывов барабанов и парогенераторов тепловых станций при появлении на стенке барабана трещины или отверстия.

• В технологии получения нанопорошков при взрыве проволочки соответствующего металла в воде мощным импульсом тока, где особенно важна динамика развития по времени получающейся при этом парогазовой полости.

• В теорию физического взрыва образующейся огромной кавитационной полости в водных бассейнах под ядерными реакторами при их аварии и отекании расплавленного урана в воду. Это одна из наиболее эффективных мер охлаждения активной зоны и метод предотвращения образования критической массы расплавленного урана.

• Для построения систем защиты гидротехнических агрегатов и лопаток гидротурбин при явлениях кавитации, разрушающих прилегающие поверхности.

Модели гидродинамического и волнового течения двухфазных смесей, развитые в работе, использовались для расчета конкретной системы аварийного сброса избыточного пара Бушерской АЭС с околокритическими параметрами по полученным инженерным формулам.

На защиту выносятся:

1. Результаты расчета тепло физических свойств и уравнения состояния паро- и газожидкостных смесей в гомогенном приближении на основе решенных задач динамики и теплообмена отдельной сферической и несферической парогазовых полостей.

2. Результаты численных и аналитических исследований волновой динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе известного приближения Бюргерса-Кортевега-де Вриза и на основе новых волновых модельных уравнений, учитывающих релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической за счет теплообмена пузырька с жидкостью; от скорости звука Мэллока до скорости звука в чистой жидкости за счет полного коллапса паровых пузырьков, а также на основе многоволновых модельных уравнений, учитывающих одновременное наличие нелинейно взаимодействующих возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

3. Результаты расчетов волновой модели на основе системы уравнений нестационарных и стационарных волн - солитонов Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар и сравнения расчетов с имеющимися экспериментальными данными на ударных трубах.

4. Результаты исследований двумерных линейных и нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах; объяснение аномального затухания нелинейных волн в таких смесях, наблюдаемом экспериментально как унос энергии от основной волны низкочастотными предвестниками, распространяющимися по слою чистой жидкости и существующими в акустических волноводах в виде высших волновых модх.

5. Новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

6. Результаты исследования динамики стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостнЁ1Х смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения, а также обнаруженные новые формы стационарных волн — мультисолитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

7. Разработка метода пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса;

8. Инженерный метод расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

9. Методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами и аналитический расчет значений эмпирических констант в инженерной формуле вольт-амперной характеристике, позволяющий минимизировать транспортные и поляризационные потери и увеличить кпд прямого преобразования энергии холодного горения водорода в электрическую энергию.

Личный вклад автора заключается в постановке задач математического моделирования процессов тепло- и массообмена в паро- и газожидкостных смесях и в топливных элементах с полимерными мембранами, в разработке новых теплофизических моделей волновых течений двухфазных смесей с пузырьковой структурой, в выборе методов численного и аналитического решения поставленных задач, в проведении всех численных расчетов, верификации численных методик расчета на результатах экспериментальных данных по волновым процессам на ударных трубах, в подготовке научных статей и докладов конференций.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: Международный семинар «Transaction Phenomenon in Multiphase Flow» (Dubrovnik, 1987), XI международный симпозиум «Nonlinear Acoustics» ,( Novosibirsk, 1987), Vin Всесоюзной конференции «Двухфазный поток в энергетических машинах и аппаратах» (Ленинград, ЦКТИ, 1990), международные конференции «KORUS 1-Ш» (Korea, Ulsan University, 1999, Novosibirsk, NSTU 1999), 2-nd Bi-ot conference on Poromechanics (Grenoble-France, 2002), IV Korean-Russian International Symposium (Novosibirsk, Russia, 2002), XXVI-XXVIII Сибирские Ten-лофизические Семинары (Новосибирск, ИТФ, 2002-2005), VIII Международный семинар по акустике неоднородных сред (Новосибирск, ИГД, 2004), IX Акустическая конференция (Новосибирск, ИГД, 2006), 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых (Новосибирск, ИТФ, 2008. 3-я и 4-я Всероссийские конференции «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2008, 2011), «The 10th International Conference on the Mathematical and Numerical Aspects of Waves», (Vancouver, 2011), Всесоюзной конференции «Нелинейные волны», Новосибирск 2011.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 46 работах (в автореферате приведен список 32 основных работ), в том числе 14 работ опубликовано в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации материалов докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, 7 глав, разбитых на две части, 6 первых глав отнесены к первой части, а 7 глава выделена во вторую часть, заключения и списка литературы из 218 наименований. Основной текст диссертации содержит 248 страниц, включая 129 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, ее научная новизна, цели и задачи исследований, отмечена теоретическая и практическая значимость полученных результатов, личный вклад автора, указаны положения, выносимые на защиту, рассмотрена структура диссертации и краткое содержание глав.

Современное состояние проблемы выделено во введении под своим заголовком, но для более детального анализа каждой из рассматриваемых проблем, а также четкости в формулировке задач и целей конкретных исследование обзоры современного состояния дополнены по главам.

Первая часть работы посвящена изучению волновых и гидродинамических процессов в паро- и газожидкостных смесях на основе динамики отдельных газовых и паровых полостей и уравнений движения континуальной модели двухфазных смесей.

В первой главе исследована динамика отдельных парогазовых полостей при произвольном и ступенчатом изменении внешнего давления, а также в поле давления звуковых волн.

В разделе 1.1 сформулирована в общем виде задача динамики сферической парогазовой полости, внешняя и внутренняя тепловые задачи для температуры жидкости Т{ и газа Т2, которые включают уравнение Рэлея для радиуса Я сферической полости, уравнение энергии газа внутри пузырька и уравнения теплопроводности в частных производных для газа внутри пузырька и для слоя жидкости вокруг пузырька в ячеистом приближении, а также сформулированы все граничные условия:

срхР\

ЗГ, и.К1 дТх

&

ЧО,г) = Т0, ( дТ,

дг

=\

д% | 2 87; дг2 г дг

д]\ дг

Д<г<Я + /,

= 0,

Р*Рг[

дг

+н,

дТ, дг

2. -

дХ +2дТ,

дг г дг

Ф2 А '

0 ¿г<Д

(1)

у-1

УРг 1 ¿Рг

Д__

^ дг 3(/-1) А

р2 Л 7? Л Ьр2Я 1 р^

У-

-1 ЯГ,

9»

Г Ь ,

Здесь и1-к-]т1 рх - скорость жидкости на границе пузырька, = (<?2 -<?,)/£ - массовый поток конденсата на границе пузырька.

В разделе 1.2 найдено аналитическое решение внешней тепловой задачи в ячеистом приближении и вычислен тепловой поток на границе пузырька газ-жидкость и его известные асимптотики для высоких и низких частот. Последний имеет своим пределом равновесный тепловой поток, приводящий к скорости Ландау в парожидкостных смесях.

д,

I ЬА\ *

:хр

-М-о

Ж'-.

К №

(2)

' 1+ьук-ь

■Л+Ь-'у?* 1 +

тиг{1к + \у

В разделе 1.3 найдено аналитическое нелинейное решение внутренней тепловой задачи для паровых пузырьков и соответствующий тепловой поток

ЛФз

г-1

41

-Ътг V

Ло *=1 о

кУаг

О-г)

¿Т 2

3 Л '

\аг }ф2

ат

«% ¿г

(3)

где Якр = 2жаг/фурй1 =6,15мкм - граница адиабатических и изотермических пузырьков в воде, и сделан анализ вклада и внутренней, и внешней тепловых задах в динамику паровых полостей с выводом о пренебрежимо малом вкладе внутренней задачи в динамику пузырьков.

В разделе 1.4 получено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей) для радиуса парового пузырька,

а) ... б)

Фо 1,3

м

1.0

1А'Л0 •К/Ло

К (7 ^'РуРо^

А/ V/ "Ь'

1.0

0,8

10

20

30

0,004 */ид

Рис.1. Рост парового пузырька при Ц> = -0,2, = 5 мм, /? = 0,42: а —(Нигматулин, 1986); 6—решение (4).

= ехр|_зг}^МехР[/?2(г - О]«*[ - р

<10 '

(4)

Ъу\Ш

где Р = ЗуА{Г0р20/¿ХРгоТ^М • учитывающее и тепловые, и инерциальные механизмы его роста или схлопывания, а также проведено сравнение решений парового Рэлея с известными точными численными решениями исходной задачи в полной постановке, сформулированной в п. 1.1, показанное на рис.1. Сделан вывод, что в областа больших амплитуд давлений численные решения отсутствую ввиду больших сложностей этой задачи.

В разделе 1.5 получены численные решения исходной задачи п. 1.1 по динамике паровых пузырьков при больших амплитудах внешнего давления и про-

ведено их сравнение с решениями парового Рэлея, подтвердившие уникальность этого уравнения. Пример численного решения системы (1) приведен на рис.2.

В разделе 1.6 на основе численных решений динамики газовых пузырьков с учетом тепловых потерь в полной постановке (1) представлена новая форма проинтегрированного уравнения пузырька в релаксационной форме,

А+3/1 +±1ПМ1=о, (5)

Рг Кг г- РЛ позволяющая за счет выбора констант у* и г" (эквивалентные показатель политропы и время выравнивания температуры в пузырьке, зависящие от его раз-

1.0

0.75

0.25

ПК

ІГЛч.

<0

1.0

0.75

0.5

0.25

О

11На

б)

т.

1(1........................¡5 20 " 5 ю 15

Рис.2. Динамика парового пузырька при Д5 = 10: а)- = 0.5мм, Р = 1,33; б)- Я„ = 5мм, /? = 0,42.

я»

мм

20

0 1

Рис.3. Тепловое затухание пульсаций воздушного пузырька при ра =1: 1 - точная модель (1); 2 - двухтемпературная модель (Нигматулин, 1986); 3 -интегральная модель (5).

мера) правильно описывать изменение радиуса пузырьков в поле волн давления большой амплитуды, что проиллюстрировано на рис. 3.

В разделе 1.7 проведено исследование устойчивости сферической формы газового пузырька при его колебаниях в звуковом поле в линейной постановке по модели (Plesset, 1954) и (Plesset & Mitchell, 1956), дополненной учетом ежи маемости жидкости и в нелинейной постанове, позволяющей проследить динамику изменения формы пузырька по связанным колебаниям первых трех сферических гармоник на основе система уравнений для амплитуд гармоник

Ajim = Bn, п,т = 1,2,3 (6)

матричные элементы Апт - это линейные по амплитудам гармоник полиномы, например, Лп = д(1/2й+109/210а2) + /з2(7?-88/35д2) и т.д., а элементы Вп -это квадратичные и линейные члены и их первые временные производные, включая члены с вязкостью. Пример численного решения (6) приведен на рис.4.

\vt=3n

wt~6n

wt =9 я

Рис.4. Изменение формы сферического пузырька со временем.

Во второй главе приведены численные решения модельных волновых уравнений в приближении БКВ в пузырьковых средах и проведено их сравнение с экспериментальными данными.

В разделе 2.1 приведен оригинальный и корректный вывод модельных волновых уравнений Буссинеска

К ~сзгР» + + ^А- = °> (7)

и уравнения Кортевега-де-Вриза-Бюргерса (КДВБ) в канонической форме 1.1

и. +UU,

Re

7 "«і

= 0, R е = ^, <г = /'"

y +1 . -coP

(8)

I-, и —

\Р 2У

Метод вьшода уравнений позволяет учесть произвольное изменение газосодержания в процессе распространения волн и приводит к новьм формам волновых уравнений, рассматриваемым далее во второй и последующих главах.

сг= ЗО

Рис.5. Решения уравнения КдВ при малых и больших параметрах подобия.

х=0

Рис.6. Численные решения уравнения Бюргерса: а) Ие=1, б) Яе =10, в) Ле-ЮО.

В разделе 2.2 приведены и проанализированы сравнением с экспериментальными данными численные решения КДВБ, сведенные в одну каргу решений во всей области параметров подобия а и чисел Рейнольдса Ые, в том числе и для стационарных ударных волн, описываемых уравнением

(9)

/

= о, у = ы/Дм, = = 2

К.е 2

Характерные решения КДВБ и его предельных случаев - уравнения КдВ при 1/11е = 0 и уравнения Бюргерса при 1/сг =0 приведены на рис.5 - рис.7.

В разделе 2.3 получено релаксационное уравнение РБКВ, учитывающее тепловую релаксацию скорости звука

д + соО- +Р)РХ- ра + Р А»=

Г-'1 Г--«-«':

У т.

(10)

и проанализированы его численные решения для «коротких» и «длинных» волн. Пример сравнения расчетного по теории РБКВ (10) и экспериментального профилей ударной волны приведен на рис.8.

В разделе 2.4 приведен вывод модельного уравнения в приближении БКВ для парожидкостных смесей с учетом произвольного изменения радиуса пузырьков и приведены его численные решения для случая малого изменения ра-

О 0.5 0.6 0,7 0.Я0-« 2 3 1 5 6 7 в 9 10'

Рис.7. Карта численных решений КДВБ в характерные моменты времени.

диуса в приближении парового уравнения БКВ с интегралом свертки Дюаме-ля с корневым ядром, справедливом для малых, но конечных амплитуд волн давления

р, + +=

г

1-1'

т = -

1ГРоР1сЛ_

(И)

I-1 Ю'3сек

Рис.8. Сравнение расчетных (точки) и экспериментальных профилей ударной волны с пузырьками СОг.

В разделе 2.5 рассмотрено приближение модельного волнового уравнения КВУ для коллапсирующей парожидкостной смеси, допускающее полное охлопывание пузырьков и переходящее в волновое уравнение для чистой жидкости . г +1 е-д ( 1 е"М. е"°(„ /е-°п ....

При учете изменения только равновесной скорости звука за счет конденсации пара в рамках модифицированного уравнения КдВ

с?еопр1+рх + ^ррх+Ррхсх= 0, С = (13)

2 У о

проведен анализ решения этого уравнения и показано, что изменение равновесной скорости звука приводит к появлению волн разрежения (см. рис.9).

В третьей главе рассмотрены «сильные» волны в пузырьковых средах в рамках полной системы гидродинамических уравнений континуальной модели.

В разделе 3.1 на проведено исследование влияния гидродинамической нелинейности на параметры стационарной уединенной волны, описываемой урав-

нением

■ 2 (

г 1 Со 1-

2 м>г0 уУ2 ч

і І£І_ V2

уУ2 и 4

V2 1 с2 1 + ер

-1/3

Г,-і

у2У[ У2(1 + ер)2_

г

р2-1 + \щ+ер)

£ Є

(14)

у-1

1-А

уУ2

1 —

1

с2 1 + єр

\

Р

У .

1-г ,

уУ1

1-

с2 1 +єр

г Р

где г = р0/с2рю - малый параметр, и сделан вывод о границе акустического

приближения уравнений движения г/ж смесей по амплитуде волны ртт~250бар.

В разделе 3.2. рассмотрены стационарные решения полной системы в виде уединенных волн неограниченной амплитуды или солитонов Рэлея, описываемых уравнением

\2уОг\ ' ~ ^

3'2=£2 1-

уо2)

у-1

1-

1-

уБ2)

+ рг+2р)

(15)

Проведено исследование свойств солитонов Рэлея и сравнение с экспериментальными данными, показавшими, что при амплитудах солитонов больше 3 бар все наблюдаемые солитоны — это солитоны Рэлея, показанные на рис. 10. 14?,,

1.0

.75

0.5

.25

та,

ч ш !»!/' Ы

&

€ §Л

ііИІ

ІІІІІГ* ІІІІЧ

іиіі ?

////;/; 7

И к

¡¡¡¡¡у

//у/Л'

д..

л'Ш'■'

%

ік 1''ч\\ с,

\>\ы

ЛИГ.

-2 -1 0 1 Рис.10. Сравнительная зависимость формы солитонов Рэлея от амплитуды: 1 - О = 1.2, рт =0.8; 2 — £» = 1.5, рт= 2.23; 3 -0 = 2, =5.23; 4 - £> = 3, Р„ =13.5; 5 д рт со; б - солитон Буссинеска.

О 8 16 24 32 Г Рис.11. Сравнение а - расчета по уравнению ДНВ и б - эксперимента по эволюции «короткого» сигнала в г/ж смеси. Расчет при <т = 0.1, сг/11е = 0.1.

В разделе 3.3 выведено двухволновое модельное уравнение ДНВ

+ С? ~РЯ + Ч2 (а, ~ <?Р.)„ + 2Кфс«2 (К - С12Р„), = о

его предельные случаи: уравнение Буссинеска на низкочастотаой ветви и уравнение Клейна-Гордона на высокочастотной ветви

"гУ " "а + «0 - у~2)+ 2Г~2"2 +1* = 0

(16)

(17)

(18)

и рассмотрены их численные решения. Пример решения уравнения ДНВ для короткого сигнала и его сравнение с экспериментом показан на рис. 11.

В разделе 3.4 рассмотрены решения модельных волновых уравнений с дисперсией высокого порядка дня одномерных волн. Обобщенное уравнение Кор-тевега-де-Вриза (ОКдВ) с пятой производной

и1+иих-8щх = 0 (19)

и уравнение для нелинейных волн на пленке жидкости

и1+иих+аихх+/3иххх + уихах=0, а,/},у>0 (20)

Пример решения уравнения (20) в виде распада начального возмущения на последовательность пленочных солитонов, отвечающий экспериментальным данным приведен на рис. 12.

5 Г У

3-

а

а-0,05 Р=у=(),01

1- О

б

х=8мм

10

60

Рис.12. Распад начального распределения на последовательность пленочных солитонов: а -расчет по уравнению (20); б - экспериментальные профили (Алексеенко и др., 1979).

В четвертой главе изучаются двумерные волны в структурированных пузырьковых средах смесях большой амплитуды на основе системы уравнений включающей неоднородное волновое уравнение в акустическом приближении, уравнение Рэлея для объема пузырьков и уравнение энергии для газа

(\прУ),+г:1\пр2у-о

(21)

дапш ,

'"шиь^. шШЁШтм

ЮТ111 . г.г

ш

ВЙЙШаШВ» ^чшшишшвшя^

Рис.13. Эволюция начального двумерного распределения.

В разделе 4.1 рассматриваются численные решения (21) в виде распространения двумерных волн в неограниченной г/ж смеси в постановке задачи Коши, показанной на рис.13 и в постановке краевой задачи, показанной на рис.14. При выделении не симметрии в направлении распространения волны в бездиссипа-тивном случае система (21) сведена к двумерному волновому уравнению

Ли + Ли2 -м„ + Дцмв = 0 (22)

Найдены двумерные солитоны в такой среде близкие, но не тождественные со-литонам уравнения Кадомцева-Петвиашвили (УПК) со знакопеременной по давлению зоной. Форма двумерного солитона показана на рис.15.

В разделе 4.2 рассмотрено распространение несимметричных двумерных импульсов давления в реальной ударной трубе. Показано, что нелинейная волна

ЛИ рр

1-3.5тз

и

И9.4пв

Рис.16. Двухмерные профили давления в ударной трубы о Ь = 1м, О = 52 мм, при рт = 2.5, Г0 = 50/и, г, = 300/ы, / = 10лш, ¿ = 10мм,1\ =0.52мм, $,=1.5%, р = 1.14.

в виде солитонов быстро становится одномерной, а волновой пакет стохастизи-руется. Пример расчета несимметричной нелинейной волны в реальном вертикальном канале в бездиссипативном случае показан на рис. 16.

5 разделе 4.3 изучается дисперсия двумерных линейных волн в расслоенных газожидкостных смесей в плоском канале и вводится понятие «узкого» и «широкого» каналов. На основе линейных волновых уравнений для потенциалов скорости в слое газожидкостной смеси и в слое чистой жидкости Ф„ - с^АФ - /^ДФ, = 0, 0 <у<к,

т, - +СоЧ2 (¿ГХ - Д*),,+а, (сГХ - Д*), = о> о > У > -а

и соответствующих граничных условий на стенках канала и на границе раздела получено дисперсионное уравнение для бегущих волн *Р = <р(у)е'""' ,

(23)

V

— „ —' ~ _

Ьоо о О ООО О о оо °°а0 о оо °°Л°о оо о О оо0°0о о О Оо °о0 О 0 о С ° ° о 0 0 0 0 о О 5 о о 0 Ч ° о Оо О О ооооооороооооо и и............................................................................. ..........................-

Рис.17. Схема расслоенной г/ж смеси.

2 х2 \-е2У2 + гЬус

Р^ак+РоЫЬЪ<1 = О, а

У2-1 + Х2(\-£2У2)-1сс0Х(\-£2У2) ъ ' а2 У2(х2-\-га0х)620/л2 '

" г/ * л-1"'0 м. г2-^

Х =-, Т= ¿>0=-> , ' е 2'

и>0 Сйк И'о й сх

8 ^ = и= 0,1,2...

Анализ (24) показывает, что в широких каналах в низкочастотной области появляется много дополнительных высокоскоростных ветвей дисперсионных кривых, как взаимодействующих, так и независимых. Пример расчета дисперсионного уравнения (24) с указанием мод волны приведен на рис.18.

Рис.18. Дисперсия в широком расслоенном канале при £„ = ^ = 0.3, ¿>¡ = 0.3, о^-се,-0.3.

./Уо

(24)

Рис.19. Модельный расчет эволюции нелинейной волны в ударной трубе с расслоенной г/ж смесью при рт =2.72, Г„ =30мкс, (, = 400мкс, Я0 = 0.53 мм, с0 = 170м/с, с, =1000 м/с.

В разделе 4.4 рассмотрено аномальное затухание двумерных нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях и проведено сравнение расчетов с экспериментальными данными, а также дается теоретическое объяснение этому явлению через унос энергии волны по чистой жидкости мощными предвестниками по обнаруженным в п.4.3 новым дисперсионным ветвям. Пример расчета и структура аномальных предвестников приведена на рис.19.

В разделе 4.5 предложена и протестирована в одномерном случае модель динамических граничных условий, где граница 5 считается подвижной, которая

р(і,я) =

1 5р(м) 1 dp.it,з) = (25)

р дп Р\ дп діг

Рис.20. Расчет прохождения ударной волны через конический газожидкостный кластер.

дает в разы отличные от акустических приближений жесткой границы коэффициенты прохождения и отражения волн. Модель позволяет рассчитывать прохождение нелинейных волн в структурированных г/ж смесях с кластерной структурой. Пример расчета прохождения ударной волны через конический кластер, согласующийся с экспериментом (Донцов, 2005), приведен на рис.20.

В пятой главе рассмотрены волны в полидисперсных г/ж смесях.

В разделе 5.1 рассмотрен гамильтониан для стационарных волн в полидисперсных г/ж смесях с неограниченным числом размеров пузырьков

+ (26) у {у -1) 2!, уО2 £ ) 2у О

В разделе 5.2 численными методами найдены мультисолитонные уединенные волны в г/ж смеси с двумя размерами пузырьков. Показано, что мультисо-литоны, показанные на рис.21, как сильно нелинейные стационарные волны, имеют дискретный спектр по скорости распространения, резонансный характер образования и характеризуются двух индексной модой. Среди мультисолитонов особо выделен слабо нелинейный мультисолиггон с модой (п, 2).

В разделе 5.3 методом сечений Пуанкаре изучаются стационарные волны в полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков. Показано, что система с ростом нелинейности проходит стадии от полной интегрируемости, до полно-

|Рис.22. Сечение Пуанкаре при Л20/Д10 = 2, у= 1.3, £> = 1.5 : а - Н = -0.001;Ъ- Я = 0.

го хаоса, а при некоторых дискретных значениях от хаоса переходит к детерминированной системе. Пример сечения Пуанкаре приведен на рис.22.

В разделе 5.4 приведены численные решения для нестационарных волн в полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков на основе системы

2

- = рг-р-1, ¿ = 1,2 (27)

(1п р2у{\ + г;11п = 0, г = 1,2

и показано, что из входного сигнала достаточно большой амплитуды выделяются мультисолитоны первых простых мод, а волновой остаток, энергии которого не хватает для образования мультасолотона, представляет собой хаотическую

нелинейную волну, как показано на рис.23

В разделе 5.5 получено трехволновое нелинейное волновое уравнение ТВУ для полидисперсных г/ж смесей с квадратичной нелинейностью не только в низкочастотной, но и в высокочастотной области

2 у

.1

2 ~ 2 + 2 ! С, ¿О С3

— -— +

Ар +

1 Ръ

2У

В =— + 2 „ ' 2

А =

л 1

2 2 :

-Р2(АР-С/Ри)4,

= 0

Рз =

3. 2

И1,

В разделе 5.6 изучаются стационарные решения ТВУ в виде уединенных волн на основе решений, полученных с использованием метода стабилизирующего множителя Петвиашвили в к пространстве дифференциального уравнения

Р17 + аР" + ЬР -Р+ Р =0,

Р =

у +1 р

а =

5-фВ2

(28)

2у В2-Г " л]И2 -1 Показано, что на низкочастотной ветви — это обычные солитоны КдВ, а с переходом в высокочастотную область окна непрозрачности с ростом скорости распространения — это связанные солигонные пары с дискретным спектром скорости, не подверженные затуханию Ландау за счет отсутствия в их спектре Фурье эквивалентной резонансной частоты поглощения. Пример решения (28) приведен на рис.24.

Рис.24. Солитонная пара решения (28) и ее Фурье спектр при а = -0.898, 6 = 1,595, В -6.2.

В шестой главе изучаются гидродинамические течения г/ж и п/ж смесей. В разделе 6.1 дана постановка задачи течения газожидкосгаых смесей с пузырьковой структурой на основе модели Ишии сохранения массы и импульса каждой фазы, энергия каждой фазы в модели считается постоянной и уравнения сохранения энергии не выписываются дсскрк

5f

- + ЧакркУк = Тк,

= -<*$рк + акрк1 + Чак (Зк + ?к)+Мк +

(29)

Для вертикального плоского канала с пузырьковым течением при учете только силы сопротивления Стокса и боковой силы Жуковского (29) преобразуется к виду

Чс1-*)^--*1-*)-0"

ау д_ ду

(1-а)г

ди ду

ду'

(30)

16лрЯ^ 21ц

О,

1 -<а>-

требующих знания величин компонент тензора турбуленгаых напряжений г^ и г либо из привлеченных гипотез замыкания, либо на основе экспериментально измеренных профилей скоростей, газосодержания, напряжения на стенке канала и законов сохранения, следующих из интегралов (30)

г П (31)

1- < с* > +|(1 - <Х)йу

1

Г>* 1 -а

ту ди

В разделе 6.2 приведена модель расчета профиля газосодержания для «ламинарных» течений в вертикальных каналах, когда компонентой туг «рди!ду можно пренебречь, а для компоненты т)у привлечена гипотеза пути смешения Прандгля

т=~р(и-у)2+кр12

ди ду

ди_ ду

(32)

В этом случае для «водосодержания» ср = \-а получено нелинейное дифференциальное уравнение

<r+

<p-2<p. <р(<р-<р.)

<P

iq>-9){<p-<p.)

3c?

aq>

схсг + a

■<<p (33)

В общем случае (33) решается численно как краевая задача с соответствующими граничными условиями, но качественный вид решения в случае подъемного

Рис.25. Фазовый портрет уравнения (33) в области особых точек - (а) и элемент кнои-дальной волны как искомое распределение газосодержания в подъемном течении - (б).

¡\ я 11

i* У ' ЬоО ~ ОО , «аУсРо" Эо / 1 i 1

1 1 1 ¿

" ñ ? !

Í 1 Яооо с» o o ocF^ \ 1 1

¡ TJ-HOO 1 1

t 1 1 э 1 1 о

Ф \ г) 1 1 ¡ 1 d v. 1 А ¡Я

IL«. i i ! i 'Росоосяо006 1 d

-1

О р 1 -1 О Р f

Рис.26. Примеры расчета профилей газосодержания в подъемном течении при р = 1: а) -у-20, j = 0,139; б) - у = 20, s = 0,1; в)- у = 40, s = 0,24; г) - у = 40, 5 = 0,9. течения можно проследить на фазовой плоскости, приведенном на рис.25а. Траектории ABC в этом случае будет соответствовать элемент кноидальной вол-

ны,приведенный на рис.256, который и будет искомым решением для газосодержания у стенки канала.

В разделе 6.3 рассмотрен метод Монте-Карло или метод пробных пузырьков для расчета структуры течения пузырьковых жидкостей в вертикальном канале с расчетом компонент тензора турбулентных напряжений не по парамерам осредненной скорости, а по интегральным соотношениям и профилям газосодержания (31), получаемым за счет усреднения траекторий движения пробных пузырьков, выпускаемых в случайном месте по ширине канала со случайными начальными условиями. Метод пробных пузырьков позволяет рассчитывать структуру пузырьковых течений при больших числах Рейнольдса, когда компонентой г^ пренебрегать нельзя, а применение гипотез замыкания ввиду отсутствия стационарного течения поперек канала невозможно. Пример расчета профилей газосодержания, полученных методом пробных пузырьков, приведен на рис.26.

В разделе 6.4 приведена постановка задачи высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод в системах аварийного газоудаления атомных и тепловых теплостанций по схеме, приведенной на рис.26.

В разделе 6.5 изложена расчетная модель высокоскоростного истечения и проведено ее разделение на гидродинамическую и высокоэнтальпийную тепловые задачи, основанном на постоянстве скорости звука в насыщенном паре при всех давлениях. Модель включает уравнения сохранения массы, импульса и энергии

Парогенератор

Труба, 1_=50м, т= 120кг

Барботер

Рис.27. Схема типичной системы аварийного газоудаления тепловых станций.

=0,

д(ри)

дг

ди др ри— = ——-дг дг

дм 4 ри—- = --Ч дг а

1

А 2 ''

Энтальпия воды И'(Т) и пара И" (Т) и их плотности на линии насыщения опре^ делены таблично, а для смеси - через массовое паросодержание

(35).

Для определения теплового потока q{z,t) на внутренней поверхности трубы в (34) решалась тепловая задача для температуры материала трубы 3{г,г,г)

■Л

(36)

дЗ

ді

дг9 д2В )_(№ дг2 дг2 г дг

с соответствующими начальными и граничными условиями.

В разделе 6.6 приведено инженерное решение поставленной в п.6.4 ип.6.5 задачи (34)-(36) за счет оправданных и обоснованных упрощений, в первую очередь за счет выделения гидродинамической задачи как отдельной задачи. Инженерная формула для выходного паросодержания

Рис.28. Зависимость величины выходного паросодержания от времени при следующих параметрах- С = 0,02, 3 - 0,031 м, =478м/с, ц„ = 87,9 м/с, р., = 15,1МПа, рт =14,66 МПа, Т = 343,2 °С, 7; =340°С, 7-0 = 20°С, ^ = 0,101МПа, Хт= 0,9197,

= 0,405, *„,<»)-0.918.

і ^ іп"іи О J

-]ф

где входная скорость истечения найдена из решения гидродинамической задачи

И;- =

АР / ?- АР]

А. V р>Л)

—-21п .7 ( к \ і АР

(38)

РА;

а тепловой поток - из упрощенного решения тепловой задачи

до.

аі

(39)

Конкретный вариант расчета выходного паросодержания по формулам (37)-(39) приведен на рис.27. Стационарная величина выходного паросодержания здесь отлична от единицы за счет прохождения по длине трубы точки инверсии до которой происходит изоэнтальпийная конденсация, а после точки инверсии - изо-энтальпийное испарение, не компенсирующее конденсацию.

Вторая часть работы посвящена математическому моделированию низкотемпературных топливных элементов с полимерными мембранами (ТЭПМ).

В седьмой главе рассмотрена одномерная модель ТЭПМ.

В разделе 7.1 дана классификация топливных элементов всех существующих типов, объяснены принципы их работы и основные проблемы, связанные с рассматриваемы типом топливных элементов. Схема отдельной ячейки ТЭПМ приведена на рис.29. В ходе суммарной электрохимической окислительно-восстановительной реакции холодного горения кислорода в присутствии катализатора, проходящей поэтапно на аноде (водородном электроде) и на катоде (кислородном электроде) Ог + АН* + 4е~ = 2НгО, разделенных протоно-проводящей полимерной мембраной из Нафиона, генерируется ЭДС топливного элемента и1И = ШИР = 1,23В, снижающееся за счет разного рода потерь: поляризационных, транспортных, омических и др., которые требуется рассчитать.

В разделе 7.2 сформулирована постановка задачи как основная цель расчета множества эмпирических констант в широко используемой формуле

иоШ=и,к-АЫ ^^ + г,\+В\ь (40)

V 1ех / V ^тах ^

для вольт-амперной характеристики (ВАХ) ТЭПМ, величина которых А,В, /„, 7тм порой, на порядки расходится с существующими теориями.

В разделе 7.3 рассмотрена предлагаемая математическая модель, включающая гидродинамические и электрохимические уравнения в пяти зонах катодно-

го узла ТЭПМ: полимерной мембране, каталитическом слое, гидрофильных и гидрофобных порах пористого катода, вододиффузионной области и в газовой камере для плотности тока, электрического потенциала, давления, скоростей жидкости и газа, а также для концентраций компонент электрохимических реакций и дано подробное объяснение используемых кардинальных отличий от широко принятой модели Бернарди и Вербругга. Схема катодного узла с указанными областями ТЭПМ показана на рис.30. В мембране это уравнения Шлогля и Нерста-Планка для электрического потенциала и давления

йср „

" - = -J0 + IГcнu>

/л (к

к^Ор ¡л еіг

(41)

ЭШКТН»Ч£СКИЙ ток

биполярная

ОКИСЛИТЕЛЬ

«з еогдехА

ТЕПЛО №>С)

водяное или

ВОЗДУШНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ

анод, электролит II К¿11 ОД В сборке

место ПОД.ГШ водорода по ПТКФЫМ клналам анода

ПОРИСТЫ« АИОй КАТАЛИЗАТОР

ЙСДЯНОИ ПАР И ЄОЗСУЛ

ПОРИСТЫЙ квтоа

КАТАЛИЗАТОР

ШЦІШІЯрММ

ппастина

мес го подач" кислорода л

МШБРАИА ОБМЕНА ПРОТОНОВ (ЭЛЕКТРОЛИТ)

Рис.29. Схема отдельной ячейки ТЭПМ и ее общий вид.

а. м. нх)

2ч Зч 4ч *

5' 6'

Рис. 30. Схема катодного узла ТЭПМ: 1 — мембрана; 2 — активный каталитический слой; 3 — углеродный скелет пористого катода; 4 — газовая камера; 5 — несмачиваемые поры газодиффузионной области; б — смачиваемые поры катода, заполненные водой; 7 — структура вододиффузионной области.

В каталитическом слое система уравнений дополняется уравнением неразрывности для воды, уравнением диффузии кислорода и кинетическим уравнением Балтера-Волмера.

к

'Я

дер

' м " йг ~ <\Р ¿г

- іа.

~ '0 те/

Цо, ^ +

' АР ¿2 '

ДГ

<р -ехр

КГ

В газодиффузионной области пористого катода решается уравнение диффузии многокомпонентной газовой смеси

1 АсоЮіСо,.

Рис. 31. Изменение безразмерной концентрации кислорода (£) / с^ в трех областях топливного элемента: газодиффузионной, вододиффузионной и в каталитическом слое для значений плотности тока /0 = 0,1, 1,0, 8,0, 15кА/м (кривые 1-4).

Вододнфф\'Зионная область Газодиффузионная область И ' м I | І І II | І I М ........................

Каталитический слой

-о*

ЯТ

¿г е °г

к. =

ЯГ

(43)

и сп

и- С2

(44)

р ' ° р 1-е

В вододиффузионной области конвективное уравнение диффузии для концентрации кислорода сводится к уравнению Стефана для потока

- 4р- с<%

Основное отличие модели (41 >(44) от модели Бернарда и Вербруга - введение вододиффузионной области, связанной с учетом поверхностного натяжения в гидрофобных порах пористого катода через функцию Леверетта.

В разделе 7.4 приведены аналитические решения рассмотренной модели ТЭПМ, полученные при некотором упрощении модели, в том числе полученный нелинейный закон Тафеля, справедливый при больших плотностях тока

( , V

(45)

КГ,

(р =—1п

*с

4 Я^М

7о

Со,0о)

решена проблема двойного наклона ВАХ, найдены аналитические выражения для эмпирических констант в формуле (40): величина плотности тока обмена и предельного тока и эквивалентного омического сопротивления, связанного не только с проводимостью мембраны, но и с концентрацией протонов и др.

Рис. 33. ВАХ топливного элемента. 1 — расчет без учета капиллярных сил, но с заниженной проводимостью мембраны (/„ =0,х" = 7); 2 —расчет с учетом капиллярных сил и с нормальной проводимость (/„ =2.6 10"°,^ = 17); точки — экспериментальные данные.

, =___/„__(46)

0,79 Д77, ' к + кЕс2нР21/л

В разделе 7.5 приведены результаты численных расчетов по модели ТЭПМ, результаты теоретического расчета констант в формуле для ВАХ, близких к эмпирическим, а также сравнение расчетной и экспериментальной ВАХ, подгвер ждающее правомерность модели. Результаты расчетов концентрации кислорода в трех областях ТЭПМ проиллюстрировано на рис.31, изменение плотности тока в каталитическом слое - на рис.32.ВАХ ТЭПМ рассчитанная с учетом и без учета капиллярных сил, принципиально влияющих на величину предельного тока, приведена на рис.33.

Основные результаты работы: 1 Получено уравнение состояния и изучены теплофизические свойства паро-жидкостной смеси на основе решения задачи теплообмена отдельного пу-

зырька с прилегающей жидкость в ячеистой постановке и на основе нового интегро-дифференциальное уравнения типа Флоршица-Чао (паровой Рэлеи). Показано, что новое уравнение состояния парожидкостной смеси приводит к сверхнизкой скорости звука Ландау.

2 Показана на основе численных расчетов и сравнения с экспериментальными данными для волн малой и умеренной амплитуды правомерность приближения Бюргерса-Кортевега-де Вриза для двухфазных смесей с пузырьковой структурой и правомерность новых модельных волновых уравнений: . релаксационного уравнения Кортевега-де-Вриза для газожидкостных смесей, учитывающего релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической; связанную с тепловыми потерями;

• ингегро-дифференциального волнового уравнения для парожидкостных смесей, учитывающего сильное изменение паросодержания за счет фазовых переходов и конденсации пара, вплоть до полного коллапса паровых пузырьков;

• двухволнового и трехволнового уравнений, учитывающих одновременное существование и взаимодействие нелинейных возмущений, распространяющихся с двумя и тремя разными скоростями звука в полидисперсных

газожидкостных смесях.

3 Исследована структура нелинейных волн большой амплитуду 3-50 бар на основе численных решений полной системы уравнений для газожидкостных смесей с учетом тепловых потерь и проведено сравнение расчетов с экспериментальными данными. Рассчитаны в пренебрежении диссипацией параметры уединенных волн большой амплитуды — солитонов Рэлея. Выявлена граница амплитуды солитонов до 3 бар, где они совпадают с солигонами Бусси-неска и амплитуда свыше 10 бар, где относительная ширина солитонов Рэлея уменьшается вдвое, а вершина заостряется.

4 Проведены исследования структуры двумерных волн в неоднородных газо-жидкостаых смесях. Обнаружены и рассчитаны явления, наблюдаемые экспериментально в расслоенных г/ж смесях: стохастизация волновых пакетов и аномальное затухание нелинейных волн. На основе рассмотренных дисперсионных соотношений для двумерных волн найдено объяснение указанным явлениям как проявление высших волновых мод — низкочастотных предвестников, существующих в акустических волноводах.

5. Рассчитано прохождение и взаимодействие двумерной ударной волны с коническим газожидкостным кластером на основе модели динамических граничных условий. Показано, что эффект многократного усиления импульса давления, сфокусированного и переизлученного кластером, реально наблюдаемый экспериментально, объясняется большим значением коэффициента прохождения волны через границу кластера, следующий из модели динамических граничных условий.

6. Исследованы нелинейные волны в полидисперсной газожидкостной смеси на основе трехвсшнового модельного волнового уравнения и полной системы уравнений с использованием разностных методов, гамильтонового формализма и сечений Пуанкаре. Рассчитана структура и изучены свойства много-горбых стационарных уединенных волн - мультисолитонов, важнейшие из которых это дискретный спектр скорости и способность связанной пары со-литонов распространяться без затухания в окне непрозрачности.

7. Разработан метод пробных пузырьков или метод Монте-Карло для расчета стационарных гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах, позволяющий рассчитывать компоненты тензора турбулентных напряжений и объясняющий образование пиков газосодержания у стенки канала в подъемном течении в экспериментах ИТФ.

8. Предложены инженерные методы расчета нестационарного истечения и конденсации насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод в системах аварийного газоудаления атомных и тепловых электростанций, основанные на разделении и приближенном решении уравнений гидродинамики и теплообмена за счет слабой зависимости от температуры скорости звука влажного пара.

9. Разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонетных и химически реагирующих газовых смесей и предложена аналитически разрешимая математическая модель топливного элемента с полимерными мембранами с учетом капиллярных сил в не смачиваемых порах пористого катода. В рамках найденного нелинейного закона Тафеля рассчитано несколько эмпирических констант в инженерной формуле для вольт-амперной характеритики топливного элемента: объемная плотность тока обмена в каталитическом слое, предельная плотность тока и эффективная проводимость мембраны.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Iliyn V.P. Numerical analysis of the dynamics of vapor bubbles [Численный анализ динамики паровых пузырьков] Hi. Eng. Theimophys. - 2010. - Vol. 19, N. 4. P. 272-281.

2. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. Nonlinear Three-Wave Equation for a Poly-dispersiv Gas-Liquid Mixture [Трехволновое нелинейное волновое уравнение для полидисперсных газожидкостных смесей] // J. Eng. Theimophys. -2008. - Vol. 17, N. 3. - P. 158-165.

3. Gasenko V.G., Dragunov Yu.G., Nakoryakov V.E. Engineering Computation Method for the High-Velocity Flow and Condensation of Saturated Steam in a Cold Pipeline [Инженерный метод расчета высокоскоростного истечения и конденсации насыщенного пара в холодный трубопровод] II J. Eng. Thermophys. - 2008. - Vol. 17,N. 3.-P. 151-157.

4. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. The Effect of Capillary Forces in a Porous Electrode on Output Current Voltage Characteristics of Fuel Cell with Polymer Proton Exchange Membrane [Влияние капиллярных сил на вольт-амперную характеристику топливных элементов с протоно обменными полимерными мембранами] И J. Porous Media, 2007, v. 10, N8, pp. 739-750.

5. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. Модель диффузии многокомпонентного газа в пористом электроде топливного элемента. // Электрохимия. - 2006. -т. 42,-№4, с. 390-400.

6. Гасенко В .Г., Накоряков В.Е. Влиянии капиллярных сил в пористых электродах на вольт-амперную характеристику топливных элементов с полимерной мембраной // ТОХТ. - 2006. -Т.40, №2, с.1-11.

7. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. Математическая модель катодного узла топливного элемента с твердым электролитом // ПМТФ, т.46, №5,2005, с. 27-37.

8. Гасенко В .Г., Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа. // Изв. СОАН Сер. Тех. 1987, т.21,№6.

9. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Оренбах З.М., Шрейбер И.Р. Распространение возмущений в жидкости с пузырьками пара. // ПМТФ, 1983, №3, с.86-90.

10.Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Shreyber I.R. Moderate-Strength Waves in Liquid Containing Gas Bubbles [Волны умеренной интенсивности в жидкости, содержащей пузырьки газа] // J. Fluid Mechanics Soviet Research, 1981, v.10, №2.

11.Гасенко В.Г., Накоряков B.E., Шрейбер И.Р. Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа. //ДАН СССР, 1980,т.235,№6,с.1330-1332.

12.Гасенко В.Г., Накоряков В.Е, Шрейбер И.Р. Двухволновая модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа. // ПМТФ, 1979, №6, с. 119-127.

13.Гасенко В.Г., Накоряков В.Е, Шрейбер И.Р. Нелинейные возмущения в жидкости с пузырьками газа. // Акуст.ж. 1979, №5, с.681-685.

14. Гасенко В .Г, Колесников JI.E, Соболев В.В. Исследование сферической кавитационной полости в звуковом поле // ПМТФ, 1973, №6, с. 109-114.

15.Гасенко В.Г, Накоряков В.Е. Аналитически разрешимая модель модель топливного элемента с твердополимерным электролитом. // Uzbek Journal of Physics. - 2006. v.8, N4-5, pp. 185-200.

16.Гасенко В.Г, Донцов В.Е, Накоряков В.Е. Нелинейные волны в газожидкостных смесях неоднородной структуры. // Динамика сплошной среды, 2005, вып.123, с.48-55.

17. V.G.Gasenko, N.I.Gorbenko, V.P.Ilin, V.E.Nakoryakov. Numerucal analysis of integro-differential equation for modeling the dissipative wave process [Чис-

ленный анализ интегро-дифференциального уравнения, моделирующего диссипативный волновой процесс] // Proceedings of The 10th International Conference on the Mathematical and Numerical Aspects of Waves, "WAVES 2011", Vancouver, Canada, 25-29 July 2011, p.423-425.

18.Накоряков B.E., Гасенко В.Г., Донцов B.E. Двумерные волны в газожидкостных смесях с кластерной структурой // Доклад 28 Сибирского тепло-физического семинара. Новосибирск. 2005. СД.

19.Gasenko V.G., Dontsov V.E., Nakoryakov B.E. (2002). On the structure of complicated shape solitary waves in a liquid with gas bubbles due to two different bubbles' sizes [Структура уединенных волн сложной формы в жидкости с пузырьками газа двух разных размеров]// Proceedings of 2-nd Biot conference on Poromechanics, Grenoble-France, August 26-28,2002, pp.715721.

20.Dontsov V.E., Gasenko V.G. Investigations on complicated shape solitary waves in a structured bubbled liquid [Исследование уединенных волн сложной формы в стуктурированных пузырьковых жидкостях] // The 6th Russian-Korean international symposium on science and technology June 24-30. Novosibirsk State Technical University, Russia. 2002,-Vol. 2.- P. 293-297.

21 .Гасенко В .Г., Донцов B.E. Уединенные волны давления в жидкости с пузырьками газа двух разных размеров // Труды 26 Сибирского теплофизи-ческого семинара. Новосибирск. 17-19 июня. 2002. С. 60-61.

22.Накоряков В.Е., Донцов В.Е., Гасенко В.Г. Двумерные волны в газожидкостных смесях// Доклад 27 Сибирского теплофизического семинара. Новосибирск. 2004. № 98

23.Gasenko, V.G. and Izergin, V.L. Nonlinear waves stochastization in a polydispersive gas - liquid mixture [Стохастизация нелинейных волн в полидисперсных газожидкостных смесях ]. In: Proc. 11th Int. Symp. on Nonlinear Acoustics, Novosibirsk, 1987, May 25-30, Russia, v2, p. 23-25.

24.Гасенко В.Г. О моделях расчета распределения газосодержания при течениях двухфазных смесей в вертикальном канапе // Газожидкостные течения: Сб. научн. трудов. - Новосибирск, ИТФ, 1990, с.3-19.

25.Гасенко В.Г., Оренбах З.М. Затухание нелинейных волн в парожидкост-ных смесях // Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах: Сб. научн. трудов - Новосибирск: ИТФ. 1983, с.21-27.

26.Гасенко В.Г., Иванский А.П. Динамика осциллирующих солитонов // Физическая гидродинамика и тепловые процессы: Сб. научн. трудов: Новосибирск, ИТФ, 1980, с.44-47.

27.Гасенко В.Г., Иванский А.П. Уединенные волны в активной среде с дисперсией и диссипацией. Волны на вертикальной пленке жидкости // Физическая гидродинамика и тепловые процессы: Сб. научн. трудов - Новосибирск ИТФ. 1980, с.95-101.

28.Гасенко В.Г. Волновая динамика газожидкостаых смесей в приближении двухскоростного нелинейного волнового уравнения // Физическая гидродинамика и теплообмен: Сб. научн. трудов - Новосибирск, ИТФ, 1978, с.22-29.

29.Гасенко В.Г. Структура стационарных ударных волн в газожидкостной среде с тепловой релаксацией. —Сб. научн. трудов « Тепло физические исследования». Новосибирск: ИТФ. 1977, с.42-46.

30.Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Приближение Бюргерса-Кортевега-де-Вриза в волновой динамике газожидкостных систем.—Сб. научн. трудов «Волновые процессы в двухфахных средах». Новосибирск:

ИТФ, 1977, с. 17-31 31 .Гасенко В.Г. Карта решений уравнений Кортевега -де-Вриза- Бюргерса.

_Сб. научн. трудов «Исследования по гидродинамике и теплообмену».

Новосибирск: ИТФ. 1976, с.81-87. 32.Гасенко В.Г., Соболев В.В. Поведение сферической кавитационной полости в звуковом поле, — Сб. научн. трудов «Волновые процессы в двухфазных системах». Новосибирск: ИТФ, 1975, с.207-258.

Подписано к печати 20 февраля 2012 г. Заказ № 17 Формат 60 х 84 /16. Объем 2 уч.-изд. л. Тираж 120 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики им С.С. Кутателадзе СО РАН 630090, Новосибирск, просп. Академика Лаврентьева,!

Список основных обозначений.

Введение

В1. Современное состояние проблемы.

В2. Краткая характеристика диссертации.

Часть I. ВОЛНОВЫЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ДВУХФАЗНЫХ СМЕСЯХ

Глава 1 Динамика одиночных парогазовых полостей.

1.1 Формулировка задачи.

1.2 Решение внешней тепловой задачи.

1.3 Решение внутренней тепловой задачи.

1.4 Уравнение динамики парового пузырька типа Флоршица-Чао.

1.5 Численный анализ динамики паровых пузырьков.

1.6 Модель тепловой релаксации газовых пузырьков.

1.7 Устойчивость сферической формы пузырьков в звуковом поле.

1.8 Выводы.

Глава 2 Нелинейные волны умеренных амплитуд в пузырьковых средах в приближении БКВ.

2.1 Приближение БКВ для газожидкостных смесей.

2.2 Карта решений уравнения БКВ.

2.3 Тепловая релаксация нелинейных волн.

2.4 Приближение БКВ для парожидкостных смесей.

2.5 Нелинейные волны разрежения в парожидкостных средах с переменным газосодержанием.

2.6 Выводы.

Глава 3 Сильные волны в пузырьковых средах.

3.1 Приближение полной системы нелинейных уравнений.

3.2 Солитоны Рэлея.Ill

3.3 Модель двухволнового уравнения для газожидкостных смесей.

3.4Нелинейные модельные волновые уравнения высокого порядка. 123 3.5 Выводы.

Глава 4 Двумерные волны в структурированных газожидкостных смесях.

4.1 Двумерные волны в неограниченной газожидкостной среде.

4.2 Стохастизация двумерных волновых пакетов ударных трубах.

4.3 Дисперсия расслоенных газожидкостных смесей.

4.4 Аномальное затухание нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях.

4.5 Нелинейные волны в неоднородных газожидкостных смесях с кластерной структурой.

4.6 Выводы.

Глава 5 Нелинейные волны в полидисперсных газожидкостных смесях.

5.1 Гамильтонов формализм описания стационарных волн в полидисперсных газожидкостных средах.

5.2Мультисолитонные уединенные волны в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков.

5.3 Сечение Пуанкаре для стационарных волн.

5.4 Нестационарная динамика нелинейных волн в полидисперсных газожидкостных смесях.

5.5 Приближение трехволнового нелинейного волнового уравнения.

5.6 Стационарные решения ТВУ.

5.7 Выводы.

Глава 6 Гидродинамические течения газо- и парожидкостных смесей.

6.1 Постановка задачи течения газожидкостных смесей с пузырьковой структурой.

6.2 Модель расчета профиля газосодержания для «ламинарных» течений пузырьковых смесей в вертикальном канале.

6.3 Метод Монте-Карло для расчета структуры течений пузырьковых смесей в вертикальном канале.

6.4 Постановка задачи высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

6.5 Модель.

6.6 Инженерное решение модели изоэнтальпийного истечения.

6.7 Выводы.

Часть II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОПЛИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОЛИМЕРНЫМ ЭЛЕКТРОЛИТОМ

Глава 7 Одномерная модель топливного элемента с полимерным электролитом.

7.1 Введение.

7.2 Постановка задачи.

7.3 Математическая модель низкотемпературного ТЭ.

7.4 Аналитические решения модели низкотемпературного ТЭ.

7.5 Результаты численных расчетов по модели ТЭПМ.

7.6 Выводы.

В1. Современное состояние проблемы

Основа современной энергетики - паротурбинные тепловые электростанции, включающие, паровой котел, (см. Рис.В.1) с рядами вертикально расположенных парогенерирующих трубок до 30 метров длиной, по высоте которых последовательно реализуются различные режимы течения двухфазной смеси: пузырьковый режим, пузырьково-снарядный, снарядный, снаряд-но-кольцевой, кольцевой, дисперсно-кольцевой и развитый дисперсный режим течения, как это показано на Рис.В.2. При больших скоростях движения двухфазных смесей, особенно в котлах с принудительной циркуляцией, вырастает роль акустических явлений. Скорость звука в газожидкостных смесях дается формулой Мэллока с0 = ур<р$ с (Бэтчелор, 1968), которая много меньше, чем скорость звука и в жидкости, и в газе, и реальных условиях может опускаться до 50м/с. Зависимость скорости звука от газосодержания показана на Рис.А.2. В парожидкостной смеси, находящейся на линии насыщения, нижний предел скорости звука - скорость звука Ландау еще на порядок меньше с\ = р0Ь / (Т^В^с) и составляет 1-2 м/с. Кроме того, двухфазная смесь с пузырьковой структурой — это сильно нелинейная среда, особенно парожидкостная смесь, в которой колебания паровых пузырьков могут закончиться их полным схлопыванием и кавитационным повышением давления в окрестности пузырька в сотни раз.

Тенденция современной энергетики — это переход на мини и микро па-рогенерирующие каналы, в которых при умеренных числах Нуссельта за счет уменьшения характерного размера можно добиться гигантских значений коэффициентов теплоотдачи, что потребует и увеличения скорости движения смеси. При сравнимых по величине скоростях течения и скоростей звука надо говорить не о гидродинамике, а о газодинамике течения. А это на порядок более трудная задача. Но без ее решения, понимания принципов и создания расчетных моделей невозможно было бы создание и конструирование ракетных двигателей, камер сгорания и сопел, паровых и газовых турбин. Аналогичные проблемы газодинамики двухфазных смесей встают и перед современной большой энергетикой.

Изучение жидкости, содержащей пузырьки газа было начато в начале нашего века Мэллоком (Mallock, 1910) и продолжено Миннаертом (Minnaert, 1933) Вторая мировая война интенсифицировала исследования в этой области. И в эти годы появились серьезные работы (Carstensen, Foldy, 1947), (Campbell, Pitcher, 1958), в которых впервые изучалось распространение звука в жидкости с пузырьками газа, и в эти годы уже были открыты основные закономерности распространения звука в таких системах. Обзор этих работ содержится в (Бэтчелор, 1968), (Венгарден, 1975), (Крайко и др., 1972). Эти исследования основаны на представлении пузырьков как отдельных источ капли дисперсно-кольцевая

- 0 о о о о t О о0 о о О о 0 в 0 Voo«1

О 0 • • в

Л" о о в О во О ООО « о о кольцевая пар ников рассеяния с последующим осреднением по ансамблю. Эта процедура формализовалась и детально изложена в (Иорданский, 1960). Однако, основные результаты в этой проблеме были получены в рамках континуальных теорий, на основе континуальных уравнений сохранения для смеси, которые в дальнейшем будем называть моделями.

Модели среды. Первые модели газожидкостной среды s\ снарядно- были созданы С.С. Кутателадзе (Кутателадзе, 1958) в fS^ 30-ые годы на основе уравнений сохранения для отдельных фаз с учетом межфазных взаимодействий. В снарядная дальнейшем. Эта модель была обобщена (Delahae, 1969) на случай сжимаемой газовой фазы. Особенность этих снарадная°" уравнений состоит в том, что они не требуют уточнения — - структуры среды. Модели пузырьков суспензий были пузырьковая созданы в работах (Zwick, 1958), (Иорданский, 1960), (Когарко, 1961), которые были обобщены в (Гарипов, 1960). В случае наличия тепломассообмена и фазовых переходов в пузырьковой смеси, необходимо пользоваться наиболее полной моделью (Нигматулин, 1970), являющейся развитием идеи взаимопроникающих сред (Рахматуллин, 1956). В этой работе строго выводятся уравнения для двухфазных систем с учетом микромасштабных течений. Достаточно пол-нойи наиболее наглядной является модель Седова-Когарко, (Седов, 1973)., где принимается, что собственными переменными давления являются плотность смеси р и вторая производная плотности по времени р. Эта модель так же определена и термодинамически. Основы построения моделей гетерогенных сред содержатся также в книге (Нигматулин, 1978).

Распространение звука в газожидкостной смеси. Кроме малости величины скорости звука, зависящей от газосодержания (см. Рис.В.2), последняя жидкость

Рис.В.2. Последовательность структур потока в вертикальной испарительной трубе. имеет дисперсию, т.е. зависит от частоты сигнала. В общем случае учета пузырьков всех размеров зависимость фазовой скорости от частоты имеет вид

Вблизи резонансной частоты в случае пузырьков одного размера (и = 1) в недиссипативной постановке = 0) имеется особенность, связанная с невозможностью возбудить прогрессивную волну на резонансной частоте. Разброс по размерам пузырьков, когда вместо суммы в (В.1) берется интеграл по всем размерам пузырьков с нормированной функцией относительного гаv3(p ) ликвидирует эту особенность. Дисперсионная кривая, описывающая зависимость фазовой скорости звука от частоты показана на Рис.2.1а с учетом (кривая 2) и без учета (кривая 1) диссипации при пульсации пузырьков. Эксперименты Фокса Керла и Ларсона (Fox et al, 1955) по определению скорости звука от частоты показали справедливость теоретической кривой (см. Рис.2.16), однако нет единой точки зрения из-за чего отсутствует «окно непрозрачности» - диссипация на пузырьках или разброс по размерам, имеющим место в реальной среде, порождающей затухание (Рютов, 1975), анало

В.1) зосодержания или учет диссипации при пульсации пузырьков

IIiIiL

О 0,1 0,5 0,7

Рис. В.З. Скорость звука в парожидкостной смеси. гичное «затуханию Ландау» (Ландау, 1946). С естественной нормальной функцией распределения a(w0) относительно некоторой средней частоты интеграл от (В. 1) не берется, искусственные же функции распределения, например, a(w0) = а / [(1 - w / wq)2 + <Sj0 ] (Изергин, 1989) дают перекрывающую окно непрозрачности дисперсионную кривую только при разбросе ширины распределения £ > w0, захватывая область отрицательных резонансных частот, что не физично. При другом распределении пузырьков по размерам -равномерном, когда в диапазоне частот wiuaH < w0/ < w0k.oh a(w0i) = const интеграл от (B.l) берется, и как будет показано далее, окно непрозрачности перекрывается полностью при вполне физических условиях наличия большого количества очень мелких пузырьков. Но такое распределение дает очень неожиданные результаты по проявлению диссипации только в селективном диапазоне частот. Частично эти эффекты рассмотрены в главе 5. В случае пузырьков одного размера картина диссипации звука на пузырьках не однозначна. Диссипативные механизмы при пульсации одиночных пузырьков детально рассмотрены в (Devin, 1959), но наиболее полные результаты по затуханию пульсирующих пузырьков получены Р.И. Нигматулиным и его школой в (Губайдуллин и др., 1976), а также в (Дынин, 1974), где показана доминирующая роль тепловой диссипации, а не диссипации за счёт движения пузырьков относительно жидкости, как предполагалось ранее (Noordzij, Van Wijngaarden, 1974). Эти результаты отражены в монографиях: (Руденко, Со-луян, 1975), (Зарембо, Красильников, 1966), (Нигматулин, 1987), (Накоряков и др., 1990).

Ударные волны в газожидкостной среде имеют свою специфику. Бездис-сипативная ударная волна в жидкости с пузырьками газа впервые была рассмотрена в (Campbell & Pitcher, 1958), где было получено соотношение типа Гюгонио. В этой работе впервые было доказано существование ударных волн в жидкости с пузырьками газа и получено выражение для скорости ударной волны с интенсивностью по давлению р без учета сжимаемости жидкости:

D = р / pep, где плотность и газосодержание в смеси берутся перед фронтом волны. Влияние сжимаемости жидкости на скорость сильной ударной волны учтено в работе (Ляхов, 1959). Расширенная формула Кэмпбела для скорости ударной волны на случай адиабатического сжатия пузырьков в волне, была получена в (Паркин, Гилмор, Броуд, 1974), где также было оценено влияние диффузии газа в жидкость в ударной волне, и ширина скачка ударного фронта в газожидкостной среде. Эксперименты Хью и Плессета, описанные в (Бэтчелор, 1968), были поставлены с целью доказать изотермичность газовых пузырьков в ударной волне, что неверно. Осциллирующая структура ударных волн в газожидкостных смесях была далеко не очевидным явлением, и в первых работах по ее структуре (Нигматулин,1970) не была обнаружена.

Структура ударных волн с учетом дисперсии впервые рассмотрена в работах (Кедринский, 1968), (Bengamin, 1966), (Wijngaarden, 1966), (Wijngaarden, 1970), (Crespo, 1969). Тщательные эксперименты и расчеты на основе модели (Иорданский, 1960) профиля давления в жидкости с пузырьками газа были сделаны Кедринским (Кедринский, 1968). Начиная с 1966 г. в указанных выше работах Бенжамином, Бэтчелором, Вингардено и Кресло был поднят вопрос о структуре ударной волны. В (Бэтчелор, 1968), исходя из общих результатов нелинейной волновой динамики, была предсказана возможность существования осцилляторной структуры у ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Существование ударных волн с осциллирующей и монотонной структурой, условия перехода одной структуры в другую, и, наконец, экспериментальное доказательство существования ударных волн с осциллирующей и монотонной структурой было сделано практически одновременно в 1971-1972 гг. в работах ИТ СО АН СССР (Накоряков и др., 1972), (Бурдуков и др., 1971), (Кутателадзе и др., 1972), (Бурдуков и др., 1973), и в Голландии - (Noordzij, 1971), (Noordzij, 1973), (Wijngaarden, 1970), (Wijngaarden, 1972). Исследования нелинейных волновых процессов далее было продолжено в целом ряде работ и в других организациях СССР, в частности новосибирской, московской, горьковской школ: (Нигматулин, Хабеев,

Шагапов, 1974), (Нигматулин, Шагапов, 1974), (Нигматулин и др., 1976), (Гельфанд и др., 1973), (Гончаров и др., 1976), (Богуславский, Григорьев, 1977), (Кузнецов и др., 1976), (Кузнецов и др., 1977), (Kuznetsov et al, 1978), (Гасенко и др., 1977), (Гасенко & Накоряков и др., 1979).

Нелинейные волны в диспергирующих средах. Жидкость с пузырьками газа является примером среды с высокой нелинейностью, диссипацией и дисперсией. Изучение нелинейной волновой динамики в диспергирующих средах началось с середины 60-х годов прошлого века, в первую очередь с изучения нелинейных волн в плазме, что существенно продвинуло развитие нелинейной волновой динамики. Со времен лорда Рассела, который скакав на лошади за солитоном (Rüssel, 1844), установил неизменность формы этого нелинейного образования, положив тем самым начало изучению нелинейных волн, прошло около века. Основы нелинейной волновой динамики с дисперсией и диссипацией, изложены в книге и обзоре (Карпман, 1973), (Карпман, Кадомцев, 1971), монографии (Уизем, 1977), лекцяхи Горьковских школ (Обзоры, 1974) и в др. работах, где представлен аппарат и методология исследования нелинейных волновых процессов в средах с дисперсией и диссипацией, которые и лежат в основе исследований волн в газожидкостных средах и парожидкостных средах с пузырьковой структурой.

Жидкость, содержащая газовые включения, является уникальной средой. Обладающей высокой нелинейностью; диссипацией, величину которой можно широко варьировать, изменяя тип газа в пузырьках и, наконец, обладает дисперсией. Высокая нелинейность смеси обеспечивает практически мгновенное проявление всех эффектов. Это важное обстоятельство для постановки экспериментов - на установках небольшой протяженности можно наблюдать эффекты нелинейной среды с дисперсией и диссипацией.

Динамика волн в газожидкостной смеси описывается в общем виде системой, состоящей из четырнадцати уравнений (Крайко и др., 1972), (Нигматулин, 1970). В этой наиболее общей модели используются законы сохранения массы, импульса и энергии, уравнение движения пузырька, учитывающее не только объемные пульсации, но относительное движение пузырьков в жидкости, уравнение сохранения количества пузырьков в смеси. Подобная модель, но в более упрощенном виде предложена в (Рахматулин, 1956), (Нигматулин, 1987).

В литературе не встречается непосредственное решение всех четырнадцати уравнений по причине их громоздкости. В ряде работ, например, (Иорданский, 1960), (Седов, 1973) предложена более простая модель, в которой уравнения сохранения массы и импульса линеаризованы и из них выводится линейное волновое уравнение. Система уравнений замыкается соотношением гомогенности и уравнением Рэлея. В этой модели из всех видов нелинейности, перечисленных выше, учитывается только один - нелинейность объемных пульсаций пузырьков.

Дальнейшее упрощение модели представляет собой сведение системы, описывающей динамику волн в газожидкостной смеси, к одному нелинейному уравнению. Из таких моделей наиболее известны уравнение КдВБ, (Нако-ряков и др., 1972, 1975, 1990), записанные в канонической форме

Щ + с0их + иих - Уэфихх + Риххх = 0 (В-2) двухволновое уравнение (Гасенко, 1978), (Гасенко и др, 1979) ихх + °{)и1 XX - со\ + 2уэ ф(ихх - с\\) + Щ2(ихх - СГ2%)« = 0 (В-3) уравнение Буссинеска, следующее из (В.2) в пренебрежении сжимаемости жидкости С] ->оо и уравнение Кляйна-Гордона (Малых, Огородников, 1977), справедливое на высокочастотной ветви дисперсионной кривой ии -с\ихх + со(и-и2 /с0) = О (В.4)

Эти уравнения в настоящее время подробно изучены. На основе их численных решений было показано, что в газожидкостной смеси могут возникать структуры вида волновых пакетов, солитонов, ударных волн с осциллирующим и монотонным профилем (Кузнецов и др., 1976), а в случае крутых фронтов начального входного сигнала из основного сигнала выделяется высокочастотный предвестник, распространяющийся со скоростью звука ы чистой дижкости и описывающийся уравнением (В.4). Получено качественное соответствие численных решений и экспериментальных данных (Кузнецови др., 1977). Область определения указанных простейших моделей сильно ограничена по амплитуде волн. Так, уравнение Буссинеска можно применять для расчета эволюции волны с амплитудой, не превышающей 0.3 МПа, а во многих случаях и с меньшей амплитудой (Кутателадзе и др., 1972).

Из всех диссипативных механизмов в газожидкостной смеси перечисленные выше модели нелинейных волновых уравнений (В.2) и (В.З) через коэффициент эффективной вязкости Уэф = {чг + \ак) / 2 учитывают только гидродинамическую вязкость Уг = 4//!/З^оА и акустические потери о уак =яосо Iс1 в волне- Однако в (Кутателадзе и др., 1972), (Бурдуков и др., 1971, 1973) экспериментально доказано, что в большинстве случаев основным механизмом затухания волн в газожидкостных смесях является тепловая релаксация, т.е. снижение скорости звука от адиабатической до изотермической. Следовательно, кроме ограничения по амплитуде волн, существенным недостатком указанных моделей является неучет тепловой релаксации. Общий подход к учету релаксационных явлений в волновой динамике заложен в (Руденко, Солуян, 1975). Суть ее в том, что на временах меньших времени выравнивания температуры t «т волновые процессы, описываемые волновым оператором Ьад протекают с замороженной скоростью звука, в нашем случае с адиабатической, а при г»т - с изотермической скоростью звука с волновым оператором Ьиз. Тогда результирующим волновым уравнением будет (Ьади)( + т~х1ши = 0. Для расчетов эволюции волн в газожидкостных смесях с учетом тепловой релаксации необходимо решать в общем случае полную систему уравнений теплообмена пузырька с жидкостью. Задача в такой постановке даже в случае радиальной симметрии тепловых полей внутри и вне каждого пузырька является двумерной. В литературе не встречается решение задачи в такой постановке. Задача теплообмена газовых пузырьков существенно упрощается, если учесть, что во многих случаях температура жидкости меняется незначительно, что позволяет решать только внутреннюю тепловую задачу (Chapman, Plesset, 1971), (Дынин, 1974).

Аналитические модели роста и схлопывания паровых пузырьков в перегретой либо недогретой жидкости, рассмотренные в (Forster, Zuber, 1954), (Plesset, Zwick, 1954), (Zuber, 1961) на основе энергетической тепловой схемы, дают корневую зависимость роста радиуса пузырька от времени R(t) = m^ja^t с константой роста т = 2Ja%/3 / ж , полученная, например, Плессетом и Цвигом в предположении, что пузырек растет только за счет испарения межфазной поверхности и теплопередачи от жидкости при температуре пара, равной температуре насыщения в целом, подтверждается экспериментально (McCann et al, 1982), (Shepherd, Strutevant, 1982), (Лесин и др., 1993). Усложнение модели как за счет учета нелинейностей разного рода, сделанное Зубером, либо кинетики фазовых переходов (Авдеев, Зудин, 2002) меняет величину константы роста, но принципиально не меняет корневую зависимость от времени. Учет инерции присоединенной массы жидкости, сделанный (Флоршютц, Чао, 1965) и (Накоряков и др., 1990) в рамках близких моделей, оказывается существенным только на стадии схлопывания пузырька, а в остальных случаях давал, как и в ранних моделях, монотонные зависимости радиуса пузырька от времени при ступенчатом изменении внешнего давления. В то же время, численные решения полной системы уравнений, проведенные в (Хабеев, 1975), (Lee, Merte, 1996), показали, что при ступенчатом изменении внешнего давления паровой пузырек вначале совершает несколько пульсаций как чисто газовый пузырек с декрементом затухания, существенно зависящим от амплитуды пульсаций, и только затем динамика изменения его радиуса начинает подчиняться корневой зависимости. Очевидно, что пульсации связаны со сжимаемостью пара, которая в указанных моделях не учитывалась. Сжимаемость пара принципиально важна при построении волновых моделей парожидкостных сред с пузырьковой структурой. Именно поэтому в существующих волновых моделях (Nigmatukin, Khabeev, 1988), (Nakoryakov et al, 1989) паровой пузырек рассматривается как чисто газовый, а фазовые переходы только как диссипативный механизм. Модель роста и схлопывания паровых пузырьков типа модели Флоршица-Чао, пригодная для построения волновой модели парожидкостных сред, допускающей полное схлопывание паровых пузырьков и учитывающей не только инерционно-тепловые механизмы, но и сжимаемость пара рассмотрена в первой главе, а волновые модели на ее основе - во второй главе.

Методы интегрирования нелинейных волновых уравнений проанализируем вначале на примере КдВ, которое вместо (В.2) при \эф - 0 запишем в традиционной для такого анализа форме щ + 6иих + иххх = 0, (В.5)

У решений КдВ с нулевыми граничными условиями на бесконечности существует бесконечное число законов сохранения, следующие при его представлении в дивергентной форме Р{+()х = 0. Вывод всех законов сохранения, найденный в (Мшга, 1968), следует из замены

2 2 и = М> + 1£М>х+ Б Ж , (В.6) приводящей к уравнению для также с нулевыми граничными условиями щ +6(Ы + £2М>2)М?х+™ххх=0 (А. 7) и очевидным законом сохранения Р = м?. Выражая м>(и) по степеням е, о

М?ц(и) + £М>Х (и) + Б М>2(и) + . (В.8) приходим к системе с общим законом сохранения Рп = м>п. При четных индексах получаем бесконечное число законов сохранения для КдВ: ~ихх ~ и 2

В.9)

2 2W2 P0=U, P2=U2, P4=up6 = u4-2иих+-^,

2 45 (B.10)

PR=u5 + 5u2u2 + uu2 - ^^

О А ЛЛ ^ J и т.д., причем только первые два закона имеют очевидный физический смысл сохранения импульса и энергии. Наличие бесконечного числа законов сохранения в гамильтоновой системе, к которым относится и уравнение КдВ, означает, что эта система интегрируема. Интеграл КдВ, найденный в работе (Gardner et al, 1967), имеет квантомеханическую интерпретацию. Заменой в

А. 7) w = щ/х / еу/ -1 / 2s последнее приводится к виду, хх+{и + Е)у/ = 0 , (В.11) в котором время входит как параметр, а само уравнение совпадает со стационарным уравнением Шредингера с потенциалом V = -u{x,t) и энергией 2

Е = 1 / 4s . Оператор Шредингера является эрмитовым, поэтому собственные 2 значения Еп = кп непрерывного (Е > 0 ) и дискретного (Еп < 0) спектра задачи (А. 10) не зависят от времени, и, найденные при t = 0 на потенциале V0 = -и(х,0), позволяют записать асимптотическое решение для (B.l 1) в виде падающей, прошедшей и отраженной сквозь потенциал волны i//~e~ikx+R(k,t)eikx, x —» оо; р ~ T(k,t)e~ihc, х^-оо, (В. 12) где R,T соответственно коэффициенты отражения и прохождения. По найденному виду (В. 12) восстанавливается рассеивающий волну потенциал u(x,t), поэтому сам метод получил название метод ОЗТР (обратной задачи теории рассеяния). Собственные значения и само решение для безотражательного (R = 0) потенциала и(х,0) = Л cosh" (х/ L) находятся аналитически

2 2 2 кп = [s{A,L)-n\ /L , n<s и представляют собой п-солитонный распад начального распределения без образования волнового пакета. Обычный соли-тон получается при 5 = 1,^ = 0, двухсолитонное решение - при s = 2, п = 0,1.

Например, распад начального распределения и(х, 0) = сЬ х на два солитона с амплитудами 4=1/3 и = 4/3 дается аналитической формулой u(x,t) = 2

3 + 4ch(2x-2^/9) + ch(4x -\6t/9)

3ch(x -7t /9) + ch(3x - t)f

B.13)

Средствами компьютерной символьной математики Maple можно найти аналитические, но очень громоздкие п -солитонные решения для любого п.

Обобщение метода ОЗТР найдено в (Lax, 1968). Если исходное нелинейное волновое уравнение можно представить в виде коммутатора двух операторов, названного уравнением Лакса: Lt = [A,L], как функций и и оператора D = d / дх, где L - эрмитов оператор, то исходное нелинейное уравнение эквивалентно системе двух линейных уравнений на собственные значения Я Lif/= Яцу, y/t = Ay/ (В.14)

Поскольку Я не зависит от времени, решение линейной задачи (В. 14) решает исходную нелинейную задачу. В общем случае задача (В. 14) не имеет никакого отношения к квантовой механике, за исключением частного случая КдВ, для которого пара Лакса имеет вид

Лаксом найден целый класс операторов А,Ь и соответствующий им класс нелинейных волновых уравнений. Вот одно из них, следующее в ряду за КдВ

Уравнение (В. 16) и более сложные, в принципе, разрешаются аналитически, но ввиду сложности отвечающей им задачи на собственные значения (В. 14), уравнения более высоких, чем КдВ порядков из ряда Лакса так никогда и не были разрешены. Поэтому КдВ долгое время считалось курьезом, исключением, пока (Захаров, Шабат, 1971) не нашли свою пару Лакса и не решили

Л ¡|( задачу на собственные значения для оператора Ь = -Б +и и, и соответствующего оператора А, записанных в матричном виде, для которых уравне

L = -D - и, А = -4D - Зих - 6uD + Const

В. 15)

1 О 1

Ut Л--iuxxxx + $их + Юиихх + Юи )х = 0

В. 16) ниее Лакса - это нелинейне уравнение Шредингера (НУШ) для комплексной функции и

1 | |2 щ + —ихх±]и| и = О (В. 17)

Работа Захарова и Шабата явилась мощным стимулом развития методов решения нелинейных волновых уравнений. Вершиной в методах интегрирования нелинейных уравнений является работа (АЬ1о\укг е1 а1, 1974), где рас— —2 смотрен наиболее общий матричный 2x2 эрмитов оператор Ь = -£) + щ, который в паре с оператором (), как функции д(х^),г(х^) и их производных по х в матричной форме записи задачи (В. 13) на собственные значения приводил к обобщенному волновому уравнению на функции д, г

Рщ = у/Х, = ъ ^ Ц-йх+[Р,0\ = О (В-18) где Р - производный от Ь оператор, включающий г,д,Л. Бесконечная последовательность интегрируемых уравнений, как частных случаев уравнения (В. 18), включает известные уравнения КдВ, НУШ, 8т-Гордона их{=$лпи, (В. 19) модифицированного уравнению КдВ (мКдВ) с кубической нелинейностью

Щ±ви2их+иххх=0, (В.20) и уравнения Буссинеска.

Более общим методом поиска п -солитонных решений, чем ОЗТР, является метод (№го1а, 1972), аналогичный методу Коула-Хопфа для уравнения Бюргерса. Используя замену и = 2(1п/)хх и вводя оператор Хироты х/8 = /хё-/§х, (В.21)

Уравнение КдВ и его п -солитонное решение принимают вид

ДД +44)/2 = 1 + 2У* + £ а^, в^х-кЬ (В.22)

1 ¿=п+1 где к{, г = \,.,п определяют производный набор солитонов, а коэффициенты а{ находятся из достаточно громоздких, но все же на порядок более простых, чем в ОЗТР процедур. Двухсолитонное решение (В.22) имеет простой вид = 1 + S + е^ + а^, а3=(к}- к2)2 / {кх +к2)2, (В.23) и определяет динамику двух произвольных по амплитуде солитонов (к12 > О

- произвольные величины), а не привязанных к собственным значениям начального распределения, как в ОЗТР, т.е. (В. 14) является частным случаем (В.23).

Методом Хироты находятся солитонные решения и других интегрируемых уравнений. Например, для уравнения мКдВ (Хирота, 1983) замена и = g / / с тем же оператором Хироты дает односолитонное решение и = &sech(#) и двухсолитонное решение с той же величиной как и в (В.23)

Решение (В.24) гораздо более многообразно, чем (В.23), поскольку солитоны мКдВ не только могут иметь разную полярность, при этом к\ 2 вещественны и разного знака, но и комплексно сопряженными. В этом случае решение (А. 24) представляет собой бризер (от английского breath - дышать) - нестационарное волновое образование со взаимодействующими разнополярным солитонами, распространяющийся с постоянной скоростью. Бризеры, открытые цепочках молекул и в кристаллах, (Sievers &Takeno, 1988) в настоящее время интенсивно изучаются (Aurby, 2006). Бризерные решения имеют уравнения НУШ, и Sin-Гордона, где существуют разнополярные солитоны.

Еще один способ нахождения многосолитонных решений дает преобразование Бэклунда (Lamb, 1974). Для уравнения Sin-Гордона преобразование Бэклунда - это соотношения между двумя солитонными решениями и и й уравнения (В. 19), позволяющее по известному решению находить новое и + и)с . (и-йЛ (и-г7)т 1 . (и + и

---C-L. —с it —sin 2 к

В.25)

Здесь к - параметр. Пусть, например, й = 0 - тривиальное решение, тогда интегрируя (В.25) получаем односолитонное решение (В.23) и = 4ак^(ехр ,9), 3 = к% + т1 к (В.26)

Положительные к отвечают кинкам, отрицательные - антикинкам. Последующее решение (В.25) описывающее взаимодействие двух солитонов щ = 4аг^

В.27) к1-к25Ъ[^+32)/2]

Если кх 2 - одного знака, это взаимодействие двух кинков или двух антикинков, разного знака - взаимодействие кинка и антикинка. Решение (В.27) допускает комплексные значения собственных значений к\2 =кг± гк1, тогда

В.27) представляет собой бризер и = 4агх^ кг ^[к^-^т 1{к2г + к2)+

В.28) к{ сЬ[кг£ + кгт/(к2 + к?) + 5г] где 6Г г - произвольные константы. Применение преобразования Бэклунда к уравнениям КдВ и мКдВ рассмотрено в ^аЫцшБ! & ЕБ1аЬгоок, 1975).

Разнополярные солитоны или бризеры, как новый тип нелинейных волн, имеют прямое отношение к газо- и парожидкостным смесям. Разнополярные нелинейные волновые образования в виде пары солитонов, связанных отчетливой волной разрежения, наблюдались в г/ж смесях экспериментально (Донцов и др., 2002) и долго не находили объяснения. Поскольку ни одно из уравнений мКдВ, НУШ и Бт-Гордона к г/ж смесям отношения не имеет, в главе 2 рассмотрена модель образования разнополярных волновых структур в рамках паро- и газожидкостных смесей с переменных газосодержанием, но эти структуры, как следует из численных расчетов нестационарных волн приведенных в этой главе, свойством бризеров «дышать» не обладают.

Одно из рассмотренных выше условий образования бризеров - существование разнополярных солитонов, в газожидкостных смесях из известных моделей возможно в рамках уравнения регуляризованных длинных волн

РДВ), рассмотренного в (Benjamin et al, 1972), а применительно к г/ж смесям в (Накоряков и др., 1990) ut + с0их + шх ~ auxxt = а = с0 1 2w0 ' —? S = 2^a(3c0/A + l), 0<А<-Зс0

В.29) сЬ ^ / 5

В отношении бризерных решений уравнение РДВ не изучено, но ввиду разнонаправленного распространения разнополярных солитонов, бризеры в рамках РДВ образовываться не должны.

Двуполярные солитоны существуют и в рамках нелинейного уравнения Кляйна -Гордона, но в газожидкостных смесях нелинейный член в (В.4) ничтожно мал и, следовательно, солитоны на высокочастотной ветви в г/ж смеси не существуют, что хорошо согласуется с экспериментом. Уравнение типа КдВ для п/ж смесей (Накоряков и др., 1990) ut + п lf ut'dt' с0их + иих + ßuxxx = -т

В.30) т27Г \т2л w(k) = cQk - увк? - i—---im-jffj—---icQk - ißk3

2 V 4 имеет вначале положительную «паровую» дисперсию, а затем с ростом к отрицательную, «газожидкостную» (см. Рис.В.4). Это обстоятельство послужило основанием для построения первой волновой модели КдВ для парожидко-стной смеси (Накоряков, Шрейбер, 1979) с положительной дисперсией, ос-2 2=5 ? нованной на скорости звука Ландау, в

Рис.В.4. Реальная (кривая 1) и мнимая (кривая 2) части фазовой скорости (В.30) и уравнения КдВ (кривая 3) при с0 =1, р = .01, т = .05 которой солитоны были отрицательными. Непосредственно уравнение (В.30) своим пределом при к —> 0 имеет нулевую скорость, а не сА. К тому же, при к-*0 в рамках (В.ЗО) очень велики диссипативные потери. Волновое уравнение типа (В.ЗО), но с более сложным интегралом Дюамеля, основанное на ячеистой модели теплообмена отдельного пузырька, имеющая своим пределом скорость звука Ландау при к -> 0, рассмотрена в главе 2, но ввиду его сложности стационарные решения и условия одновременного существования разнополярных солитонов не изучались. Вариант учета более сильной, чем квадратичная нелинейности в г/ж смесях рассмотрен в главе 3, где наряду с квадратичной нелинейностью учтен следующий, кубический член разложения пузырьковой нелинейности и получено уравнение типа мКдВ (В.20), в котором, квадратичный член нельзя исключать принципиально. Солитонные решения такого уравнения КдВ с добавленной кубической нелинейностью ближе отвечают солитонам Рэлея, но разнополярных солитонов, как в чистом мКдВ (В.20) оно не имеет.

Тем не менее, «дышащие» волновые структуры обнаружены в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на год ранее, чем классические бризеры и были названы в работах (Гасенко, 1987) и (Га-сенко, Изергин, 1987) динамическими мультисолитонами. Подробно это явление изложено в главе 5. Суть обнаруженного явления заключается в следующем. Дисперсионному уравнению (В.1) соответствует полная система уравнений (2.5), (2.6) для давления в полидисперсной г/ж смеси и объема пузырьков каждого размера (Кедринский, 1968). Поиск стационарных солитон-ных решений этой системы показал, что они представляют собой многогор-бые структуры, названные мультисолитонами с модой (т,п), в которых большой пузырек совершает т, а маленький п колебаний. Причем, значения скорости их распространения V, при которой существовали мультисолито-ны, были дискретными. Поиск нестационарных решений этой системы показал, что начальный сигнал всегда распадается на последовательность мульти-солитонов очень похожих на стационарные, но все его вершины колеблются, «дышат», а сам мультисолитон может распространяться с произвольной скоростью. Но если скорость приближается к найденной дискретной в стационарной постановке, то колебания прекращаются, и сама волновая структура становится чисто стационарной. Такие «дышащие» мультисолитоны, были названые динамическими мультисолитонами. По своей сути это и есть бри-зеры, «дышалки», но однополярные. При больших амплитудах образование мультисолитонов носило резонансный характер, т.е. мода (т,п) означала, что резонансные частоты пузырьков относятся близко к т/ п. Но при малых амплитудах единственной существовали только моды (3,2) или (2,1), представляющая собой два связанных солитона (см. Рис.5.3) при любом соотношения резонансных частот.

Анализ стационарных и нестационарных мультисолитонов в полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков проводился также в рамках трехволнового уравнения ТНВ, учитывающего только квадратичную нелинейность (Накоряков, Гасенко, 2007). Если учесть только квадратичную нелинейность по давлению в линеаризованных уравнениях Рэлея

У ^ Л;

Сп ¿Я и; (В.31) д V,- ^ м/, ( у + \ Л

2 гу 1 + ;=--

Эг2 7 ] у р V

2Г

2 2 2 где □= А -Су д - волновой оператор для чистой жидкости, то уравнения Рэлея элементарно разрешаются относительно V,- как неоднородные и дают интегральную форму нелинейного волнового уравнения п 1 1 пи= Р = -ии-Аи2, и = ^—р (В.32)

0У=1 со 2У

Исключением интегральных членов последовательным дифференцированием правой части (В.32) приходим от интегральной к дифференциальной форме гс + 2-го порядка. При п = 0 получаем чистую жидкость без пузырьков пи = 0, при п = 1 - двухволновое уравнение пи - ^ + м\2иии = 0, при п = 2 -трехволновое пи - ^ + (Д пи - ¿>]Р)([ + р2иим = коэффициенты которого в точности совпадают с приведенными в главе 5, и т.д. При нормальном распределении пузырьков по размерам а(ч>) = ехф[-(м>-м>{))2/81]/54л: с шириной 8 относительно и>0, интегрируя вместо суммы в (В.32), получаем 8гГ пи 1 о

У0 БШ +-СОБ

В.ЗЗ)

Дисперсионное уравнение для (В.34) принимает вид Г 1 А + Л у/я

7 2 2 к с\ с0

В = —

А ■^/Л

А = I-XV

28 2 м'+и'о ^

5 >

28 Ч? + И>0 Л г л2 и^+н'о

Г Л2

М>0, и>0е \2 \V-Wq е erf

Г \2

В.34) а(ы) =

Табулирование (В.34), для фазовой скорости приведенное на Рис.В.5, показывает перекрытие окна непрозрачности при физических значениях <5 = 0,7. При прямоугольной функции распределения пузырьков по размерам г\/28, <м><м?2

0, > М? > М>2 совпадающий конечный результат для дисперсионного уравнения можно получить интегрированием и (В.1), и (В.32), но в последнем случае мы получаем и нелинейное интегральное волновое уравнение, учитывающее прямоугольное распределение пузырьков по резонансным частотам пи I о зт иу - Бт м?^ соб И^ - СОБ Ш2 2д>?

В.36) и отвечающее ему дисперсионное уравнение ЧрЪ 1

В.37) л

И I С] ^ 1п(м; +^1X^-^2) с^ 48 ("ил-м^Х™-^)

Табулирование (В.37) приведено на Рис.В.6. Здесь те же параметры дисперсии распределения, что и в случае нормального распределения окно непрозрачности не перекрывают.

Аналогичное интегральное представление на основе системы (В.31) запишется и для полидисперсного уравнения КдВ,

N х /=1 О

В.38) со V Акоторое в Фурье представлении и{х) = принимает самый общий и простой вид

1 п а;

В.39)

1=1 со ~р1к где фазовая скорость может быть выражена как суммой, так и интегралом аналогично представленному в (В.34) и в (В.37). Для стационарных решений 2

2. 2

В.39) принимает вид V = V / 2{У - с обязательным полюсом на кгех, который исключается при V {кгез) = 0, что возможно только для некоторого дискретного ряда У1. Причем в этом случае у(кгез) может принимать конечную, причем значительную величину. Отметим также, что дифференциаль

1 Щ 2

1 Щ 2

Рис.В.5 Вещественная (слева) и мнимая (справа) части фазовой скорости (В.34) при

1.5, с,2 / со = 0.6 : кривые: 1-£ = 0.2,2-£ = 0.7,3-£ = 1,4-£ = 0. Пунктирная кривая - нормальное распределение при 8 = 0.2 . ная форма полидисперсного КдВ (В.39) при п = 2 имеет вид близкий к (В. 16) щ + с^их + иих + (Д + /?2КХ + + + М.„5х = О, (В.40) с0

2 2 пределенияпри м^д =1.5, с^ /с0 = 0.6,кривые: 1 - <5 = 0.2,2 - 3 = 0.7 ,3-5 = 1, 4-5 = 0. Пунктирная кривая - прямоугольное распределение при 6 = 0.2 .

В2. Краткая характеристика диссертации

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развития теории волновой динамики и гидродинамики течения пузырьковых сред, расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в первую очередь в области больших амплитуд волн и в сложно структурированных газо- и парожидкостных смесях, реализующихся в современных конструкциях энергетических установок и требующих для их расчетов применения двух и трехмерных расчетных моделей.

Целью работы является разработка и апробация по результатам экспериментальных данных расчетных теплофизических моделей волновых и гидродинамических течений в реальных конструкциях энергетических установок, включая топливные элементы с полимерными мембранами, с учетом тепломассообмена, фазовых переходов и химических реакций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: • полным согласием полученных результатов в предельных случаях с известными и апробированными результатами в виде уравнений и их решений;

• совпадением полученных решений и качественно и во многих случаях количественных с достоверными экспериментальными данными;

• использованием проверенных методик численного и аналитического решения задач тепло- массообмена и волнового течения двухфазных смесей;

• публикацией результатов в жестко рецензируемых журналах.

Научная новизна:

• Исследованы теплофизические свойства парожидкостной смеси и ее уравнение состояния в гомогенном приближении на основе ячеистой модели теплообмена отдельного пузырька с прилегающей жидкостью и на основе нового интегро-дифференциальное уравнения типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей).

• Предложен новый подход в изучении динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе известного приближения Бюргерса-Кортевега-де-Вриза и на основе новых многоволновых модельных уравнений, учитывающих как тепловую релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической, так и существование нелинейных возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

• Численными методами исследованы солитоны Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар и показано соответствие расчетной модели экспериментам.

• Исследованы двумерные линейные и нелинейные волны в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах и дано объяснение аномальному затуханию волн, наблюдаемому экспериментально, уносом энергии от основной волны высокоскоростными, но низкочастотными предвестниками, существующими в акустических волноводах как высшие волновые моды.

• Предложен новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

• Исследована динамика стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения. Обнаружены новые формы стационарных волн — мультисолитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

• Разработан метод пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса, а также инженерные методы расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

• Разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами, найдены решения и аналитически рассчитаны значения эмпирических констант, использующиеся в инженерных формулах, позволяющие минимизировать транспортные и поляризационные потери.

Практическая ценность полученных в работе результатов заключается в возможности использовать построенные модели и развитые алгоритмы расчетов промышленных процессов и технологий. В частности, решенная в работе на новом уровне задача динамики парогазовой полости используется:

• Для разработки нового метода получения газогидратов на основе физического взрыва в воде криогенной жидкости.

• В технологии получения нанопорошков при взрыве проволочки соответствующего металла в воде мощным импульсом тока, где особенно важна динамика развития по времени получающейся при этом парогазовой полости.

• В теории физического взрыва образующейся огромной кавитационной полости в водных бассейнах под ядерными реакторами при их аварии и сте-кании расплавленного урана в воду.

• Для построения систем защиты гидротехнических агрегатов и лопаток гидротурбин при явлениях кавитации, разрушающих прилегающие поверхности.

Модели гидродинамического и волнового течения двухфазных смесей, развитые в работе, использовались для расчета конкретной системы аварийного сброса избыточного пара Бушерской АЭС с околокритическими параметрами по полученным инженерным формулам.

На защиту выносятся:

1. Результаты расчета теплофизических свойств и уравнения состояния паро-и газожидкостных смесей в гомогенном приближении на основе решенных задач динамики и теплообмена отдельной парогазовой полости.

2. Результаты численных и аналитических исследований волновой динамики возмущений давления малых и умеренных амплитуд в паро- и газожидкостных смесях на основе приближения Бюргерса-Кортевега-де Вриза и на основе новых многоволновых модельных уравнений, учитывающих как тепловую релаксацию скорости звука от адиабатической до изотермической, так и наличие нелинейных возмущений с двумя и тремя разными скоростями звука.

3. Результаты расчетов волновой модели на основе системы уравнений нестационарных и стационарных волн - солитонов Рэлея большой амплитуды от 3 до 50 бар и сравнения расчетов с экспериментальными данными.

4. Результаты исследований двумерных линейных и нелинейных волн в расслоенных газожидкостных смесях в вертикальных трубах; объяснение аномального затухания нелинейных волн в таких смесях, наблюдаемом экспериментально как унос энергии от основной волны низкочастотными предвестниками, распространяющимися по слою чистой жидкости и существующими в акустических волноводах в виде высших волновых модх.

5. Новый метод расчета прохождения ударной волны через газожидкостный кластер на основе модели динамических граничных условий и образования переизлученного и многократно усиленного вторичного импульса давления, реально наблюдаемого экспериментально.

6. Результаты исследования динамики стационарных и нестационарных волн в полидисперсных газожидкостных смесях с двумя размерами пузырьков на основе полной системы уравнений и на основе трехволнового уравнения, а также обнаруженные новые формы стационарных волн — мульти-солитоны, обладающие свойством распространяться в области окна непрозрачности.

7. Разработка метода пробных пузырьков для расчета гидродинамических течений пузырьковых смесей в вертикальных каналах в области умеренных чисел Рейнольдса;

8. Инженерный метод расчета высокоскоростного истечения насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод.

9. Методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей в топливных элементах с полимерными мембранами и аналитический расчет значений эмпирических констант в инженерной формуле вольт-амперной характеристике, позволяющий минимизировать транспортные и поляризационные потери и увеличить кпд прямого преобразования энергии холодного горения водорода в электрическую энергию.

Личный вклад автора заключается в постановке задач математического моделирования процессов тепло- и массообмена в паро- и газожидкостных смесях и в топливных элементах с полимерными мембранами, в разработке новых теплофизических моделей волновых течений двухфазных смесей с пузырьковой структурой, в выборе методов численного и аналитического решения поставленных задач, в проведении всех численных расчетов, верификации численных методик расчета на результатах экспериментальных данных по волновым процессам на ударных трубах, в подготовке научных статей и докладов конференций.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: Международный семинар «Transaction Phenomenon in Multiphase Flow» (Du-brovnik, 1987), XI международный симпозиум «Nonlinear Acoustics» ,( Novosibirsk, 1987), VIII Всесоюзной конференции «Двухфазный поток в энергетических машинах и аппаратах» (Ленинград, ЦКТИ, 1990), международные конференции «KORUS I—III» (Korea, Ulsan University, 1999, Novosibirsk, NSTU 1999), 2-nd Biot conference on Poromechanics (Grenoble-France, 2002), IV Korean-Russian International Symposium (Novosibirsk, Russia, 2002), XXVI-XXVIII Сибирские Теплофизические Семинары (Новосибирск, ИТФ, 20022005), VIII Международный семинар по акустике неоднородных сред (Новосибирск, ИГД, 2004), IX Акустическая конференция (Новосибирск, ИГД, 2006), 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых (Новосибирск, ИТФ, 2008. 3-я и 4-я Всероссийские конференции «Задачи со свободными границами» (Бийск, 2008, 2011), «The 10th International Conference on the Mathematical and Numerical Aspects of Waves», (Vancouver, 2011), Всесоюзной конференции «Нелинейные волны», Новосибирск 2011.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 46 работах (в автореферате приведен список 32 основных работ), в том числе 14 работ опубликовано в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации материалов докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, 7 глав, разбитых на две части, 6 первых глав отнесены к первой части, а 7 глава выделена во вторую часть, заключения и списка литературы из 218 наименований. Основной текст диссертации содержит 248 страниц, включая 129 рисунков и 3 таблицы.

7.6. Выводы

1. Предложена аналитически разрешимая модель ТЭПМ с учетом капиллярных сил в не смачиваемых порах пористого катода, заполненных жидкостью на глубину, найденную через функцию Леверетта и представляющую дополнительную вододиффузионную преграду при диффузии кислорода к месту реакции.

2. Выяснено, что вододиффузионная область определяет главные транспортные потери и завал ВАХ ТЭПМ при больших плотностях тока.

3. Найдена величина активационных потерь в форме нелинейного закона Тафеля и величины эмпирических констант А, В, jmax и jex в инженерной формуле для ВАХ.

4. Найдено объяснение экспериментально наблюдаемому двойному наклону ВАХ в логарифмическом масштабе, названной "double slope" проблемой, не дефицитом протонов в каталитической области, а дефицитом кислорода.

5. Найдено объяснение высокой величины плотности тока обмена, который в рамках линейного закона Тафеля, который оказывается на несколько порядков ниже наблюдаемого в эксперименте.

Заключение

Выделим в приведенной работе основные новые результаты и сделаем на их основе выводы, частично приведенные в конце каждой главы.

В части I, относящейся к волновой динамике паро- и газожидкостных смесей, исследованы теплофизические свойства парожидкостной смеси и ее уравнение состояния в гомогенном приближении на основе решения сопряженной тепловой задачи для сферического парового пузырька в ячеистой постановке. Показано, что в пределе низких частот равновесный тепловой поток в ячейке, приводит к появлению в парожидкостной смеси сверхнизкой скорости звука Ландау. Получено новое нелинейное интегро-дифференциальное уравнение типа Флоршица-Чао (паровой Рэлей), протестированное точными численными решениями динамики парового пузырька.

Получено уравнение энергии для газа в пузырьке в новой релаксационной форме для логарифмов предельных состояний газа, скорректированное константами интегрирования по конечной величине радиуса пузырька и протестированное точными численными решениями.

Решена задача устойчивости сферической формы пузырька в звуковом поле для сжимаемой жидкости в линейной и в нелинейной постановке, позволяющая оценить гантелеобразное изменение формы пузырька и тенденцию его распада на два пузырька.

На основе большого числа численных решений модельных волновых уравнений БКВ и РБКВ для газожидкостных смесей с учетом тепловой релаксации показано их полное соответствие экспериментальным данным для «коротких» и «длинных» волн, включая явление «выполаживания» ударных волн.

Построена модель уравнения КВУ для парожидкостных смесей, согласующаяся с известным уравнением «парового» БКВ с интегралом Дюамеля, но допускающее произвольное изменение радиуса пузырьков при фазовых переходах, вплоть до полного коллапса пузырьков и перехода КВУ в волновое уравнение для чистой жидкости. Показано, что при учете эффекта сильного изменения равновесной скорости звука, уравнение КВУ описывает образование сложных волновых структур в виде связанных волной разрежения солитонных пар, реально наблюдаемых экспериментально.

На основе анализа полной системы гидродинамических уравнений в ла-гранжевых координатах показано, что учет гидродинамической нелинейности для газожидкостных сред проявляется в форме существования предельной амплитуды солитонов только при амлитудах волн давления свыше нескольких сотен бар, и для описания реальных волн достаточно акустического приближения.

Рассчитаны и проанализированы стационарные решения полной системы уравнений для г/ж смесей в акустическом приближении в виде солитонов Рэлея, которые принципиально отличаются от солитонов КдВ вдвое меньшей шириной и острой вершиной. Показано, что солитоны Рэлея отвечают экспериментально наблюдаемым волнам с амплитудой больше 5-ти бар.

Предложена модель двухволнового уравнений ДНВ, и на основе сравнения расчетов с экспериментальными данными показана его эффективность для описания волн умеренных амплитуд в г/ж смесях.

Рассмотрены численные решения обобщенных моделей волновых уравнений типа ОКдВ, учитывающие дисперсию и диссипацию высоких порядков. Показано, что ОКдВ в общем случае описывают распад начальных сигналов на последовательность разных типов солитонов, в том числе пленочных солитонов и «горбатых» солитонов.

Проведены расчеты двумерных волн в безграничной г/ж смеси на основе полной системы уравнений. Для пространственно-неоднородной г/ж смеси получено уравнение близкое к уравнению УПК и найдены численно его решения в виде двумерных солитонов, содержащих знакопеременную по давлению область.

При расчетах двумерных волн в ударной трубе обнаружена стохастиза-ция волновых пакетов.

Рассчитана дисперсия двумерных волн в расслоенных г/ж смесях. Показано, что в широких каналах в низкочастотной области появляются новые высокоскоростные дисперсионные ветви, ответственные за стохастизацию волновых пакетов и появление мощных предвестников.

Объяснено и рассчитано аномальное затухание нелинейных волн в расслоенных г/ж смесях.

Предложена и протестирована модель динамических граничных условий, и на ее основе рассчитано прохождение ударной волны через конический г/ж кластер, качественно и количественно совпадающее с экспериментальными данными.

Найден гамильтониан системы стационарных волн в полидисперсной г/ж смеси с произвольным числом размеров пузырьков.

Найдены стационарные мультисолитонные решения полной системы уравнений при учете двух размеров пузырьков, имеющие дискретный спектр скорости и характеризующиеся двухиндексной модой.

Проведены численные расчеты по динамике мультисолитонов. Показано полное соответствие расчетных и экспериментальных данных по эволюции нелинейных волн в полидисперсной г/ж смеси.

Методом сечений Пуанкаре проведен анализ гамильтоновой системы в 4-х мерном фазовом пространстве. Показано, что г/ж смесь, эквивалентная системе двух связанных нелинейных осцилляторов, и с ростом нелинейности проходит стадии от полной интегрируемости, до полного хаоса, а при некоторых дискретных значениях параметров (дискретном спектре солитонов) от хаоса переходит к детерминированной системе.

Построена модель трехволнового уравнения ТНУ с квадратичной нелинейностью для полидисперсной г/ж смеси с двумя размерами пузырьков. Показано, что в низкочастотной области вне окна непрозрачности ТНУ имеет стационарные решения в виде обычных солитонов, а в области окна непрозрачности - с олитонные пары с дискретным спектром скорости. Найдено объяснение дискретности спектра и механизма преодоления затухания Ландау связанной солитонной парой при их распространении в пределах окна непрозрачности.

В части I, относящейся к гидродинамике течения двухфазных смесей, решена задача о стационарном распределении газосодержания при течениях газожидкостных смесей с пузырьковой структурой в вертикальном канале с использованием модели пути смешения Прандтля для тензора турбулентных напряжений в осредненных уравнениях сохранения импульса для газожидкостных смесей, объясняющая образование пиков газосодержания у стенки канала в подъемном течении.

Предложен и протестирован аналог метода Монте-Карло или метод пробных пузырьков для описания стационарных течений пузырьковых смесей, в котором осреднённые характеристики двухфазного потока получаются из траекторий движения отдельных пробных пузырьков, а две компоненты тензора турбулентных напряжений вычисляются в процессе итераций по величине газосодержания через балансные интегралы.

Решена задача нестационарного истечения и конденсации насыщенного пара с околокритическими параметрами в холодный трубопровод в системах аварийного газоудаления атомных и тепловых электростанций, сведенная к простым инженерным формулам. Расчетная модель основана на приближенных методах решения точных уравнений гидродинамики и теплообмена, основанных на слабой зависимости скорости звука в парожидкостной смеси на линии насыщения от температуры при весовых паросодержаниях, близких к единице.

В части II, относящейся к моделированию топливных элементов с полимерными мембранами (ТЭПМ), разработана методика расчета процессов массопереноса многокомпонентных и химически реагирующих газовых смесей, на основе которой предложена аналитически разрешимая модель ТЭПМ с учетом капиллярных сил в не смачиваемых порах пористого катода, заполненных жидкостью на глубину, найденную через функцию Леверетта и представляющую дополнительную вододиффузионную преграду при диффузии кислорода к месту реакции.

Выяснено, что вододиффузионная область определяет главные транспортные потери и завал ВАХ ТЭПМ при больших плотностях тока.

Найдена величина активационных потерь в форме нелинейного закона Тафеля и величины эмпирических констант A,B,jmax и jex в инженерной формуле для ВАХ.

Найдено объяснение экспериментально наблюдаемому наклону ВАХ как "double slope" проблеме не дефицитом протонов в каталитической области, а дефицитом кислорода.

В рамках полученного нелинейного закона Тафеля найдено объяснение высокой величины плотности тока обмена, который в рамках линейного закона Тафеля оказывается на несколько порядков ниже наблюдаемого в эксперименте.

1. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. (1974). The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Stud. Appl. Math. 1974. Vol. 53. P. 249-315.

2. Archard J.L., Cartellier A. (1985). Local characteristics of upward laminar bubbly flow. // Int. J. Phys. Chem. Ну dr. V.6. P. 841-846.

3. Aurby S. (2006). Discrete Breathers: localization and transfer of energy in discrete Hamiltonian nonlinear systems // PhysicaD. 2006. V.216. P.l.

4. Benjamin T.B. (1966). Proc. 6th Symp. Naval Hydrodyn. (ed R.D. Cooper & S.W. Doroff). P. 121. Washington: Office Naval Res.

5. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. (1972). Model equation for long waves in nonlinear dispersive systems // Phyl. Trans. Roy. Soc., 1972, A272, 47.

6. Benton K.E. (1967). Solution illustrating the decay of dissipation layer in Burger's nonlinear diffusion equation. // Phys. Fluids. 1967. V.10. № 10.

7. Bernardi D.M., Verbrugge M.W. (1991). Mathematical model of gas diffusion electrode bonded to a polymer electrode // AIChE Journal. 1991. V.37. N8. P.l 151-1163.

8. Beyerlein S.W., Cossnann R.K., Richter H.J. (1985). Prediction of bubble concentration profiles in vertical turbulent two-phase flow. // Int. J. Multiphase Flow. V.ll.P. 625-632.

9. Campbell I.J., Pitcher A.S. (1958). Shock waves in a liquid containing gas bubbles // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. Vol. 243. P. 534-545.

10. Carstensen E.L., Foldy L.L (1947). Propagation of sound through a liquid containing bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1947. N0 19. P. 481-501.

11. Chapman R.B., Plesset M.S. (1971). Thermal effects in the free oscillations of gas bubbles // Trans ASME, Ser. D. J. Basic Eng. V. 93. N.3.

12. Constamagna P., Srinivasan S. (2000).Quantum jump in PENFC science and technology from 1960s to the year 2000 // J. Power Sci. P I, II. 2001. V. 102. P.242-269.

13. Crespo A. (1969). Sound and shock waves in liquids containings bubbles // "Phys. Fluids".V.12. № 12. C.

14. Delahae T.M. (1969). Application de la thermodynamique des systems en non-equilibre aux ecoulemets diphasiques liquide vaper avec changement de phase. - Rapport CEA-R-3903, CEN Sacley. France. 1969.

15. Derzho O.G., Malykh N.V. (1990). Formation of strong pressure pulses reflected from water-bubbles layers // Arch. Mech. 1990. V.42. P.463-479.

16. Devin Ch. (1959). Survey of thermal radiation and viscous damping of pulsating air bubbles in water // J. Acoust. Soc. Amer. V. 31. N. 12.

17. Dontsov V.E., Nakoryakov V.E. (2000). Solitary waves in a liquid with gas bubbles of two different sizes // Russian J. Eng. Thermophysics. 2000. V.10. N4. P.263-276.

18. Dontsov V.E., Nakoryakov V.E. (2007). The pressure wave propagation in three-phase medium of cluster structure // J. Eng. Thermophysics.-2007.-V. 16, N1. P. 26-35.

19. Drew D.A., Lahey R.T. (1982). Phase distribution mechanisms in turbulent low-quality two-phase flow in circular pipe. // J. Fluid Mech. V.117. P. 91-107. (Drew, Lahey, 1982)

20. Eikerling M., Kornyshev A. A. (1990). Modelling the performance of the cathode catalyst layer of polymer electrolyte fuel cells //J. of Electroanalitical Chemistry. 1998. V.453.P.89-106.

21. Finch R.D., Neppiras E.A. (1975). Vapour bubbles dynamics // J. Acoust. Soc. America. V.53. № 5. P. 1169-1175.

22. Flynn H.G. (1964). Physics of acoustic cavitarion in liquids. // Physical Acoustics. New-York-London. Ser. B. V. 1. Pt. 13.

23. Forster H.K., Zuber N. (1954). Growth of a vapor bubble in a superheated liquid // Journal of Applied Physics. 1954. V. 25. P. 474.

24. Fox F., Curley S., Larson G. (1955). Phase velocity and absorption measurement in a water, containing air bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1955. Vol. 27. N. 3. P.534.

25. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. (1967). Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19, № 19. P. 1095-1097. (Gardner et al, 1967)

26. Gardner C.S., Greene J.K., Kruskal M.D., Niura R.M. (1967). Method for solving the Korteveg-Vries equation. // Phys. Rev. Letters. 1967. V. 19. № 19. P. 10951097.

27. Gasenko V.G. (1987). Multisolitons in polydispersive gas-liquid mixture // Proceedings of International Conference «Transaction Phenomenon in Multiphase Flow», Dubrovnik, Yugoslavia, May 24-30, 1987.

28. Gasenko V.G., Dragunov Yu.G., Nakoryakov V.E. (2008). Engineering Computation Method for the High-Velocity Flow and Condensation of Saturated Steam in a Cold Pipeline // J. Eng. Thermophys. 2008. - Vol. 17, N. 3. - P. 151-157.

29. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. (2007). The Effect of Capillary Forces in a Porous Electrode on Output Current Voltage Characteristics of Fuel Cell with Polymer Proton Exchange Membrane. // J. Porous Media, 2007, v. 10, N8, pp. 739-750.

30. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E. (2008). Nonlinear Three-Wave Equation for a Polydispersiv Gas-Liquid Mixture // J. Eng. Thermophys. 2008. - Vol. 17, N. 3.-P. 158- 165.

31. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Iliyn V.P. (2010). Numerical analysis of the dynamics of vapor bubbles // J. Eng. Thermophys. 2010. - Vol. 19, N. 4

32. Gasenko V.G., Nakoryakov V.E., Shreyber I.R. (1981). Moderate-Strength Waves in Liquid Containing Gas Bubbles. // J. Fluid Mechanics Soviet Research, 1981, v.10, №2, p.

33. Gasenko, V.G. and Izergin, V.L. (1987). Nonlinear waves stochastization in a polydispersive gas liquid mixture. In: Proc. 11th Int. Symp. on Nonlinear Acoustics, Novosibirsk, Russia, v2, p. 23-25.

34. Grad H., Ku P.N. (1967). Unified shock profile in a plasma. // Phys. Fluids. 1967. V.10. № 12.

35. Hirota R. (1972). Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 27. P. 1192-1194.

36. Ho B.P., Leal L.G. (1974). Inertial migration of rigid spheres in two-dimentional unidirectional flows. // J. Fluid Mech. V.65. P. 365-380.

37. Hopf E. (1950). Communs Pure. Appl. Math. 1950. V. 3. P. 201.1.hii M. (1975). Thermo-fluid dynamic theory two-phase flow. // Paris: Fyrolles. 320 p.

38. Kakutani T., Ono H. (1969). Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision free plasma. // J. Phys. Sos. Japan. V. 26. P. 1305.

39. Kawahara T. (1972). Oscillatory solitary waves in dispersive media. // // J. Phys. Sos. Japan. V. 33. P. 260.

40. Kedrinsky V.K. (2008). Dynamics and radiation of single cavity in an abnormal compressible bubbly media // Proceedings of "Acoustics'08 Paris, June 29 -July 4, 2008. P.3573- 3577.

41. Korteveg D.J., G. de Vries. (1895). // Phil. Mag. 1895. V.39. P.442.

42. Kuramoto Y., Tsuzuki T. (1976). Persistent propogation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium. // Prog. Theor. Phys. 1976. V. 55. № 2 P. 570-583.

43. Mallock A. (1910). The damping of sound by frothy liquids // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. Vol. 84. P. 391-395.

44. Malykh N.V. (1994). Wave form of short shock wave reflected from bubble layers in water//J. de Physique. 1994. V.4. P. C5.1121-C5.1124.

45. Malykh N.V., Ogorodnikov J. A. (1979). Structure of pressure pulses in liquid with gas bubbles // J. de Physique. 1979. V.40. P.8.300-8.305.

46. McCann H., Clarke L.J., Masters A.P. (1989). An experimental study of vapor growth at the superheat limit temperature // Int. J. Heat Mass Transfer. 1989. V. 32. P. 1077-1093.

47. Minnaert M. (1933). On Musical air bubbler and the soundof running water // Phil. Mag/ 1933. Vol. 16. N. 7.

48. Miura R.M. (1968). Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9, № 8. P. 1202-1204.

49. Najjari M., Nasrallah S.B. (2005). Numerical study of the effects of Geometric dimension on liquid-vapor phase change and free convection in a rectangular porous cavity, J. Porous Media, vol.8, pp.1-12, 2005.

50. Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G., Pribaturin N.A., Leznin S.I., Vasserman E.S. (1989). Nonstationary wave processes in boiling media // In: Adiabatic waves in liquid-vapor media, Gottingen, Germany. 1989, P. 381-391.

51. Newman J. (1973). Electrochemical systems. Englewood Cliffs (NJ): Prentice-Hall, 1973.

52. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S., Zuong Ngok Hai. (1988). Waves in liquids with vapor bubbles // J. Fluid Mech. 1988. V. 186. N. 3. P. 523-530.

53. Noordzij L. (1971). Shock waves in bubble-liquids and bubbles. // Communs. 1971. V. 3.№ 1.

54. Noordzij L. (1973). Shock waves in bubble-liquid mixture. Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. М.: Наука, 1973, с.369.

55. Noordzij L., Wijngaarden L. (1974). Relaxation effects coused by relative motion on shock waves in gas-bubble liquid mixtures. // J. Fluid Mech. 1974. V. 66. No. 1.

56. Ott E., Sudan R.N. (1970). Damping of solitary waves. // Phys. Fluids. 1970. V.13. №6.

57. Plesset M.S. (1954). On the stability of flows with spherical symmetry. // J. Appl. Phys. V. 25. № 1

58. Plesset M.S., Mitchell T.P. (1956). On the stability of the spherical shape of a vapor cavity in a sound field // Quart. Appl. Mathem. V. 13. No.4.

59. Plesset M.S., Zwick S.A. (1954). The growth of vapor bubble in superheated liquids // Journal of Applied Physics. 1954. V. 25. P. 493.

60. Russel J. Scott (1844). Report on waves. Rept. Fourteenth Meeting of the British Association for the Advanced of Science. John Murray, London, р.311-390.

61. Sato Т., Honda Т., Sarunatary S., Sekoguchi K. (1973). Air bubble velocity in wathter streams in a vertical duct. // Preprint. 10 Symp. Heat Transfer Society of. Japan. V.5-8.

62. Sekoguchi K., Sato Т., Honda T. (1974). Two-phase bubble flow. // Trans. Japan. Soc. Mech. Engin. V. 40. P. 1395-1402.

63. Serizava A. (1974a). Fluid-dynamic characteristics of two-phase flow. // Ph. D. Thesis. Kyoto University. Japan.

64. Serizava A. (1974b) Turbulent structure of air-water flow 2. local properties. // Int. J. Multiphase. V. 2. P. 235-246.

65. Serizava A., Kataoka I. (1987). Phase distribution in two-phase flow. Invited lecture. // Int. seminar on transient phenomena in multiphase flow. Dubrovnik. Yugoslavia. May 24-30.

66. Shepherd J.E., Strutevant B. (1982). Rapid evaporation at the superheat limit // J/ Fluid Mech. 1982. V. 121. P. 379-402

67. Sievers A.J., Takeno S. (1988). Intrinsic localized models in anharmonic crytals // Phys. Lett. 1988. V.61. P.970.

68. Ticianelli E.A., Derouin C.R., Srinivasan S. (1988). Localization of platinum in low catalyst loading electrodes to attain high power densities in SPE fuel cells // J. Electroanal. Chem. 1988. V.251. N.2. P.275-295.

69. Verbrugge M.W., Hill R.F. (1990). Ion and solvent transport in ion-exchange membrane // J.Electrochem. Soc. 1990. Vol.137. P.886

70. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. (1975). Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16, № 1. P. 1-7.

71. Wijngaarden L. (1968). On the equation of motion for mixtures of liquid and gas bubbles. // J. Fluid Mech. 1968. V.33. P. 3. P. 465-474.

72. Wijngaarden L. (1970). On the structure of shock waves in liquid-bubble mixtures // Appl. Sci. Res. 1970. N.5. P.336-381.

73. Wijngaarden L. (1972). Propagation of shock waves in bubble-liquid mixtures // Progress in Heat and Mass Transfer. 1972. Vol. 6. P. 834.

74. Zabusky H.J. (1968). Solution and bound states of the time-independent Schrod-inger equation. // Phys. Rev. 1968. V. 168. P. 124.

75. Zuber N. (1961). The dynamics of vapor bubbles in nonuniform temperature field // Int. J. Heat Mass Transfer. 1961, V. 2. P. 83.

76. Zwicks A. (1958). Behaviour of small permanent gas bubbles in a liquid // J. Math. And Phys. 1958. Vol. 37. N. 3.

77. Авдеев A.A., Зудин Ю.Б. (2002). Рост парового пузыря в околоспинодальной области в рамках обобщенной инерционно-тепловой схемы // ТВТ. 2002. Т. 40. С. 971-978.

78. Александров А.А., Григорьев Б.А. (1999). Таблицы теплофизических свойств воды и водяного пара, — М.: Издательство МЭИ. 1999, 168с.

79. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. (1979). Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости. // Препринт ИТ АН СССР . Новосибирск. № 36-79. 51 с.

80. Балдина О.М., Локшин В.А., Петерсон Д.Ф. (1978). В кн. Гидравлический расчет котельных агрегатов: (Нормативный метод) под ред. В.А.Локшина и др. — М.: Энергия, 1978,-256с.

81. Баттерворс Д., Хьитт Г. (1974). Теплопередача в двухфазном потоке, М.: Энергия, 1974.

82. Березин Ю.А. (1973). О численных решениях уравнения Кортевега-де-Вриза. // В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. Т.4. № 2. С. 20-31.

83. Березин Ю.А. (1974). О численных методах уравнения Кортевега-де-Вриза. // Тем. сб. Численные методы механики сплошной среды. № 5.

84. Боголюбский И.Л. (1976). Модифицированное уравнение нелинейной струны и неупругое взаимодействие солитонов. // Письма в ЖЭТФ. Т. 23. № 4. С.

85. Богуславский Ю.Я. (1977). О поглощении и дисперсии звуковых волн в двухфазной среде. // В кн.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, ИТ СО АН СССР. С. 54-61.

86. Богуславский Ю.Я., Григорьев С.Б. (1977). Ударная волна в жидкости с пузырьками // Акуст. Журн. 1977. Т.23 №4. С.636.

87. Бурдуков А.П., В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1971). Некоторые вопросы газодинамики гомогенной модели двухфазной среды // Численные методы механики сплошной среды. 1971. Т.2. №5.

88. Бурдуков А.П., Кузнецов В.В., Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1973). Ударная волна в газожидкостной среде. // ПМТФ. № 3. С. 65-69. 1973.

89. Бэтчелор Г.К. (1968). Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости. // Механика. 1968. № 3. С. 109.

90. Ван Вейнгарден Л. (1975). Одномерные течения жидкости с пузырьками газа. // В сб.: реология суспензий. М.: Мир. С. 68-103.

91. Воротников М.И., Солоухин Р.И. (1964). Расчет пульсаций газовых пузырьков в несжимаемой жидкости под действием периодически меняющегося давления. // Акустический журнал. Т. 10. Вып.1. С.34.

92. Вукалович М.П. (1967). Теплофизические свойства воды и водяного пара. — М.: Машиностроение, 1967, -160с

93. Гарипов P.M. (1960). Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками//ПМТФ. 1960. №3.

94. Гасенко В.Г. (1976). Карта решений уравнений Кортевега -де-Вриза- Бюр-герса. — «Исследования по гидродинамике и теплообмену». Новосибирск. ИТФ. 1976, с.81-87.

95. Гасенко В.Г. (1977). Структура стационарных ударных волн в газожидкостной среде с тепловой релаксацией. — « Теплофизические исследования». Новосибирск. ИТФ. 1977, с.42-46.

96. Гасенко В.Г. (1978). Волновая динамика газожидкостных смесей в приближении двухскоростного нелинейного волнового уравнения. — «Физическая гидродинамика и теплообмен». Новосибирск. ИТФ, 1978, с.22-29.

97. Гасенко В.Г. (1990). О моделях расчета распределения газосодержания при течениях двухфазных смесей в вертикальном канале. — «Газожидкостные течения». Новосибирск. ИТФ, 1990, с.3-19.

98. Гасенко В.Г., Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. (1987). Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа. // Изв. СОАН Сер. Тех. 1987, т.21,№6.

99. Гасенко В.Г., Донцов В.Е., Накоряков В.Е. (2005). Нелинейные волны в газожидкостных смесях неоднородной структуры. // Динамика сплошной среды, 2005, вып. 123, с.48-55.

100. Гасенко В.Г., Иванский А.П. (1979). Динамика осциллирующих солитонов. — «Физическая гидродинамика и тепловые процессы». ИТФ, 1979, с.44-47.

101. Гасенко В.Г., Иванский А.П. (1980). Уединенные волны в активной среде с дисперсией и диссипацией. Волны на вертикальной пленке жидкости. — «Физическая гидродинамика и тепловые процессы». Новосибирск. ИТФ. 1980, с.95-101.

102. Гасенко В.Г., Колесников JI.E., Соболев В.В. (1973). Исследование устойчивости сферической кавитационной полости в звуковом поле // ПМТФ, №6 , с. 109-114.

103. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2005). Математическая модель катодного узла топливного элемента с твердым электролитом // ПМТФ, т.46, №5, 2005, с. 27-37.

104. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006а). Аналитически разрешимая модель модель топливного элемента с твердополимерным электролитом. // Uzbek Journal of Physics. 2006. v.8, N4-5, pp. 185-200.

105. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006b). Влиянии капиллярных сил в пористых электродах на вольт-амперную характеристику топливных элементов с полимерной мембраной // ТОХТ. 2006. -Т.40, №2, с. 1—11.

106. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е. (2006с). Модель диффузии многокомпонентного газа в пористом электроде топливного элемента. // Электрохимия. -2006. т. 42, - №4, с. 390-400.

107. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Оренбах З.М., Шрейбер И.Р. (1983). Распространение возмущений в жидкости с пузырьками пара. // ПМТФ, 1983, №3, с.86-90.

108. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1977). Приближение Бюргерса-Кортевега-де-Вриза в волновой динамике газожидкостных систем. — «Волновые процессы в двухфахных средах». Новосибирск. ИТФ, 1977, с. 17-31.

109. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979а). Нелинейные волны в жидкости с пузырьками // Акустический журнал. 1979. № 5. С. 681-686.

110. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979b). Двухволновая модель распространения возмущений в жидкости с пузырьками газа. // ПМТФ, 1979, №6, с.119-127.

111. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1980). Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа. // ДАН СССР, 1980, т.235, №6, с.1330-1332.

112. Гасенко В.Г., Оренбах З.М. (1983). Затухание нелинейных волн в парожидко-стных смесях. — «Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах». Новосибирск. ИТФ. 1983, с.21-27.

113. Гасенко В.Г., Соболев B.B. (1975). Поведение сферической кавитационной полости в звуковом поле, — «Волновые процессы в двухфазных системах». Новосибирск. ИТФ, 1975, с.207-258.

114. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко Б.С., Когарко С.М. (1973). Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1973. Т.213. №5. С.1043-1046.

115. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко С.М., Тимофеев Е.И. (1974). Прохождение ударных волн через границу раздела в даухфазных газожидкостных средах. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, №6, с.58-65.

116. Гончаров В.В„ Наугольных К.А., Рыбак С.А. (1976). Стационарные возмущения в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1976. №6. С.90-95.

117. Горшков К.А., Островский JT.A., Папко В.В. (1976). Взаимодействие солито-нов, как классических частиц. // ЖЭТФ. Т. 71. С.585.

118. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И (1976). Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1976. Т. 226. №6. С. 1299-1302.

119. Держо О.Г., Малых Н.В. (1988). Влияние динамики пузырьков и локальных характеристик пузырькового слоя на структуру отраженного от него слоя. — Новосибирск. 1988. С.83-97.

120. Диткин В.А., Прудников А.П. (1965). Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. -466с.

121. Донцов В.Е. (2005). Распространение волн давления в газожидкостной среде кластерной структуры // ЖПМТФ. 2005. Т. 46. № 3. С. 50-60.

122. Донцов В.Е., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е. (1985). Ударные волны умеренной амплитуды в двухфазной среде // Акуст. журн. 1985. Т.31. № 2. С. 193196.

123. Донцов В.Е., Накоряков В.Е. (2003). Волны давления в газожидкостной среде с расслоенной структурой жидкость — пузырьковая смесь // ПМТФ. 2003. Т.44, № 4. -С. 102-108.

124. Зарембо JI.K., Красильников В.А. (1966). Введение в нелинейную акустику, -М.: Наука, 1966.

125. Заславский Г.М. (1984). Стохастичность динамических систем.— М.: Наука, 1984. 272с.

126. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. (1989). Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентного хаоса. — М.: Наука. 1989. 768с.

127. Захаров В.Е., Шабат А.Б. (1971). Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61, № 1. С. 118-134. (Захаров, Шабат, 1971)

128. Иорданский C.B. (1960). Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа. . // ПМТФ. № 3.

129. Исаченко В.П. (1977). Теплообмен при конденсации. М.: Энергия, 1977, -240с.

130. Карпман В.И. (1973). Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Мир, 1973, 176 с.

131. Карпман В.И., Кадомцев Б.Б. (1971). Нелинейные волны. // УФН. 1971. Т. 103. Вып. 2. С. 193-232.

132. Кашинский О.Н., Горелик P.C., Рандин В.В. (1975). Скорости фаз в пузырьковом газожидкостном течении. // Инж.-физ. журнал. № 1. С. 12-15.

133. Кедринский В.К. (1967). Особенности динамики сферического газового пузырька в жидкости // ЖПМТФ, 1967. №3. С.27-29.

134. Кедринский В.К. (1968). Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа. // ПМТФ, № 4.

135. Кедринский В.К. (2000). Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000, -435с.

136. Кедринский В.К., Шокин Ю.И., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Лазарева Г.Г. (2001). Генерация ударных волн в жидкости сферическим пузырьковыми кластерами // Докл. РАН, 2001, т. 381, №6, с.773-776.

137. Когарко Б.С. (1961). Об одной модели кавитирующей жидкости. // ДАН СССР Т.137.

138. Коллинз P.E. (1964).Течения жидкостей через пористые материалы, М.: Мир, 1964.

139. Корабельников A.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1981). Динамика паровых пузырьков в поле волны давления. // ТВТ. № 4.4. 1. С. 887-890.

140. Коул Р. (1950). Подводные взрывы. М.: Иностр. лит., 1950.

141. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин JI.E. (1972). Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Сер. Гидромеханика. 1972. Т. 6.

142. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1976). Жидкость с пузырьками газа, как пример среды Кортевега-де-Вриза- Бюргерса // Письма ЖЭТФ. 1976. Т.23. С. 14.

143. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1977). Распространение возмущений в газожидкостных смесях. // Акустический журнал. 1977. Т. 23. Вып.2. С.273.

144. Кунин И.А. (1975). Теория сред с микроструктурой. М.: Наука.

145. Кутателадзе С.С. (1979). Основы теории теплообмена. — М.: Атомиздат, 1979, -46с.

146. Кутателадзе С.С., Бурдуков А.П., Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Шрейбер И.Р. (1972). О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде. // ДАН СССР. Т.207. № 2.

147. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. (1984). Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. —Новосибирск: Наука. 1984. -217с.

148. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е., Соболев В.В. Шрейбер И.Р. (1974). Динамика ударных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа. // ПМТФ. 1974. № 5.

149. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. (1958). Гидравлика газожидкостных систем. Энергия. М. 1958.

150. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. (1976). Гидродинамика газожидкостных систем. — М.: Энергия, 1976, -296с

151. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В.(1973). Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. -736с

152. Ландау Л.Д. (1946). О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. В. 9. С. 574.

153. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1953). Механика сплошных сред. М.: Гостехиз-дат. 765 с.

154. Лежнин С.И. (1979). Эволюционное уравнение для возмущений при расслоенном режиме течения // Гидродинамика и теплообмен в одно- и двухфазных средах: Сб. научн. тр. Новосибирск, 1979, с. 102-107.

155. Лежнин С.И. (1980). Волны конечной амплитуды при расслоенном режиме течения парожидкостной среды // Изв. СО АН СССР, 1980. №3. Сер. Техн. Наук. Вып. 1. С. 30-34.

156. Лежнин С.И. (1985). Волновая динамика жидкости, содержащей газожидкостные кластеры // Материалы Всесоюз. конф. молодых исследователей, март 1985. Новосибирск, 1985. С.87-93.

157. Лесин С., Барон А., Брановер Г., Мерчук И. (1993). Экспериментальное исследование кипения при прямом контакте сред в случае предельного перегрева//ТВТ. 1993. Т.31. С. 941-961

158. Ляхов Г.М. (1959). Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук. 1959. №1. С.46-49.

159. Малых Н.В. (1990). Нелинейное отражение сильных импульсов давления от пузырьковых слоев,— Лабораторное моделирование динамических процессов в океане: Новосибирск, ИТ СО АН, 1990. С. 46-54.

160. Накоряков В.Е., Горин A.B. (1994). Тепломассоперенос в двухфазных системах,— Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН, 1994, -431с.

161. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2001). Мультисолитоны в жидкости с пузырьками газа двух разных размеров // ДАН. Т.378. №4. С. 1-4.

162. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2002). Волны давления в расслоенной среде жидкость- газожидкостная смесь //ДАН. 2002. Т. 386. № 1. С. 48-50.

163. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2003). Взаимодействие ударной волны со сферическим пузырьковым кластером в жидкости// ДАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 199- 202.

164. Накоряков В.Е., Донцов В.Е. (2004). Эволюция ударной волны в газожидкостной среде кластерной структуры // ДАН. Т.394. N4. 2004. С. 480- 483.

165. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р (1990). Волновая динамика газо- и парожидкостных сред, М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с.

166. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1972). Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 5. С.71-76.

167. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. (1975). Волны конечной амплитуды в двухфазных системах. // В сб. Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, 1975.

168. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1974). Распространение малых возмущений в парожидкостной смеси. // В кн.: Проблемы теплофизики и физической гидродинамики. Новосибирск: Наука. С. 161-166.

169. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. (1979). Модель распространения возмущений в парожидкостной смеси. // ТВТ. Т. 17. № 4. С. 798-803.

170. Немищенко Ю.Л., Суворов Л.Я. (1976). Скачок плотности и термическая релаксация на фронте ударной волны в воде спузырьками газа. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, №4, с.146-149.

171. Нигматулин Р.И. (1970). Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей //ПММ. 1970. Т. 34. №3.

172. Нигматулин Р.И. (1978). Основы динамики гетерогенных сред. М.: Наука,1973.

173. Нигматулин Р.И. (1987). Динамика многофазных сред. 4.1 и Ч. II, М.: Наука, 1987. 464 с. и 360с.

174. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин A.A. (1976). Численное моделирование нестационарных волновых процессов в двухфазных дисперсных средах. // Труды III Всесоюзного семинара по моделям механики сплошной среды. Новосибирск. С. 140-146.

175. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С., Шагапов В.Ш. (1974). Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа // ДАН СССР. 1974. Т.214. №4. С.779-782.

176. Нигматулин Р.И., Шагапов В.Ш. (1974). Структура ударных волн в жидкости с пузырьками газа. // Изв. АН СССР, МЖГ. № 6.

177. Обзоры и тематические статьи Горьковской школы по нелинейным колебаниям. (1974). // Известия Вузов. Радиофизика. T.XVII, №4.

178. Огородников И.А. (1983). Резонансное формирование уединенных волн в среде со структурой.— Новосибирск, 1983. С.25. Препринт ИТ СО АН СССР №90-83.

179. Паркин Б.Р., Гилмор Ф.Р. Броуд X.JI. (1974). Ударные волны в воде с пузырьками воздуха. В кн. Подводные и подземные взрывы, М.: Наука,1974. С.152-258.

180. Пелиновский E.H. (1971). О поглощении нелинейных волн в диспергирующих средах. // ПМТФ. № 2. 1971.

181. Пелиновский E.H. (1976). Некоторые точные методы нелинейных волн. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. Т. 19. № 6. 1976.

182. Петвиашвили В.И. (1976). Об уравнении необыкновенного солитона // Физика плазмы. — 1976. Т.2. №3. С.469-472

183. Рабинович М.И., Фабрикант A.JI. (1976). Нелинейные волны в неравновесных средах. // Изв. Вузов. Радиофизика. Т. 19. № 5-6. С. 720-765.

184. Рахматуллин Х.А. (1956). Основы газодинамики взаимно проникающих движений сжимаемых сред // ПММ. 1956. Т. 20. №3.

185. Ривкин C.JL, Александров А.А„ Кременевская A.A. (1977). Термодинамические производные для воды и водяного пара. — М.: Энергия, 1977, -264с.

186. Руденко О.В., Солуян С.Н. (1975). Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975.

187. Рютов Д.Д. (1975). Аналог затухания Ландау в задаче о распространении звуковой волны в жидкости с пузырьками газа // Письма в ЖЭТФ, 1975, Т. 22, вып.9, С.446-449.

188. Сагдеев Р.З. (1964). Коллективные процессы и ударные волны в разрешенной плазме. // В кн. Вопросы теории плазмы. Вып. 4. М.: Атомиздат. 1964.

189. Седов Л.И. (1973). Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973.

190. Сиротюк М.Г. (1962). Экспериментальное исследование процесса развития ультразвуковой кавитации на частоте 500 кГц. // Акустический журнал. Т. 8. Вып.2. С.216.

191. Сиротюк М.Г. (1967). Об энергетике в кавитационной области. // Акустический журнал. Т. 13. Вып.2. С.265.

192. Сычев В.В. (1961). Скорость звука в воде и водяном паре на линии насыщения // ИФЖ, 1961. Т.4. №6. С.64-69.

193. Tay С.А. (1977). Линейные волны в средах с дисперсией // В кн.: Нелинейные волны, под ред. С. Лейбовича и А. Сибаса. М.: Мир.

194. Уизем Дж. (1977). Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. (Уизем, 1977).

195. Уоллис Г. (1972). Одномерные двухфазные течения. —М.: Мир, 1972, -440с.

196. Флоршютц Л., Чао Б. (1965). Механизм разрушения пузырьков пара // Теплопередача, 1965. Т. 87. №3. С. 353-356

197. Франк-Каменецкий Д.А. (1967). Диффузия и теплопередача в химической кинетике. —М.: Наука, 1967.

198. Хабеев Н.С. (1975). Эффекты теплообмена и фазовых переходов при колебаниях паровых пузырьков // Акуст. журн. 1975. Т. 21. №5. С. 815-821.

199. Хапель Дж., Бреннер Г. (1976). Гидродинамика при малых числах Рейнольд-са. М.: Мир. 630 с.

200. Хирота Р. (1983). Прямые методы в теории солитонов. В кн.: «Солитоны» / Под ред. Р. Буллафа и П. Кодри. М.: Мир, 1983. С. 175-192.

201. Хьюитт Д., Холл-Тейлор Н. (1974). Кольцевые двухфазные потоки, — М.: Энергия, 1974.

202. Цвелодуб О.Ю. (1977). Стационарные плоские волны на стекающей пленке жидкости. // В кн.: Теплофизические исследования. Новосибирск. ИТ АН СССР. С.20-22.

203. Черных Е.М. (1967). О неустойчивости сферического газового пузыря в поле переменного давления. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. №1.

204. Шрейбер И.Р., Штивельман Б.Я. (1975). Структура и динамика сигнала в гидравлической линии. // В кн.: Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1975, с. 259-269.

205. Штивельман Б.Я. (1978). Задача Холмбоу-Руло и теория гидравлического удара. // В кн.: теплофизика и физическая гидродинамика. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1978, с. 108-118

206. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. (1964). Специальные функции. —М.: Наука, 1964. -344 с.