Сужение множества Парето на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Климова Ольга Николаевна 2 7 АВ1 2009

СУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО НА ОСНОВЕ ВЗАИМНО ЗАВИСИМОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОШЕНИИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛПР

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003475864

Санкт-Петербург - 2009

003475864

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ногин Владимир Дмитриевич

доктор технических наук, старший научный сотрудник Петровский Алексей Борисович (Институт системного анализа РАН, Москва)

кандидат физико-математических наук, доцент Зенкевич Николай Анатольевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН)

Защита состоится « 23 » С&К/УМ^^Л 2009 г. в ч. РР мин. на заседании совета Д. 212.232.59 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., 41/43, ауд.^5^

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « /г » абъус/пд, 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного , /С^---Ногин В. Д.

совета, /

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Согласно принципу Эджворта-Парето «разумный» выбор наилучших решений при наличии нескольких критериев оптимальности должен осуществляться внутри множества Парето (области компромиссов). Однако это множество, как правило, является довольно широким, и лицо, принимающее решение (ЛПР), оказывается не в состоянии определить в нем свой наилучший выбор. По этой причине и возникает актуальная проблема сужения множества Парето, которая не может быть разрешена без наличия дополнительной информации о предпочтениях ЛПР,

К настоящему времени предложено большое число различных подходов к решению проблемы сужения множества Парето (10. Гермейер, А. Лотов, В. Ногин, В. Подиновский, А. Geoffrion, В. Roy, Т. Saaty, R. Steuer, Р. Yu и многие др.) которые в зависимости от используемой дополнительной информации можно разделить на несколько групп:

• методы, основанные на формировании обобщенного критерия с последующей его максимизацией;

• методы, в которых ЛПР предлагается в качестве своего отношения предпочтения выбрать уже известное заранее отношение предпочтения;

• интерактивные процедуры, в ходе которых строится последовательность точек, стремящихся к наилучшему решению;

• аксиоматический подход последовательного сужения множества Парето.

Общим недостатком упомянутых выше подходов (за исключением последнего) является отсутствие строгого обоснования их применения в том или классе задач. Они, по своей сути, носят чисто эвристический характер.

Аксиоматический подход, получивший свое развитие в основном благодаря работам В. Ногина (и некоторым работам В. Подшювского) в этом смысле является математически безупречным; он основан на принятии ряда «разумных» аксиом и использовании информации об отношении предпочтения ЛПР, за счет которой и производится обоснованное сужение множества Парето.

В данной диссертационной работе изучаются вопросы сужения множества Парето в рамках указанного аксиоматического подхода на основе так называемой взаимно зависимой информации о предпочтениях ЛПР. Подобного рода информация нередко имеется (или может быть получена) в практике решения задач многокритериального выбора и ранее исследователями не изучалась.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы состояла в получении правил сужения множества Парето в задачах

многокритериального выбора с различными наборами взаимно зависимой информации об отношения предпочтения ЛПР. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- получить критерии непротиворечивости набора взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР;

- получить формулы для вычисления нового векторного критерия, на основе которого может быть построена оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений более точная, чем множество Парето.

Методы исследования. В работе используется математический аппарат выпуклого анализа, теории бинарных отношений и линейной алгебры.

Научная новизна. Главными результатами диссертации являются новые правила сужения множества Парето за счёт различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР. Ранее подобные наборы взаимно зависимой информации никем не рассматривались.

Обоснованность и достоверность полученных результатов.

Теоретические положения и выводы сформулированы в виде лемм и теорем, и доказаны математическими средствами.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость работы заключается в получении новых правил сужения множества Парето при наличии взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов для обоснованного сужения множества Парето при решении различных многокритериальных задач из области техники и экономики.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

• Получены критерии непротиворечивости различных наборов взаимно зависимой информации;

• Сформулированы и доказаны теоремы, показывающие, каким образом следует производить сужение множества Парето на основе различной взаимно зависимой информации;

• Установлены правила, позволяющие производить учет некоторой взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношении предпочтения ЛПР.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 37-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006, 2009), на 5-й Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 2007). а также на 13-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Зеленогорск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа в 112 страниц содержит введение, три главы, заключение и список литературы из 44 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, её основная цель. Кратко излагается содержание работы.

В первой главе исследуется вопрос сужения множества Парето на основе некоторых простейших наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

Сначала формулируется задача многокритериального выбора, а затем приводятся основные определения и предположения аксиоматического подхода последовательного сужения множества Парето.

Задача многокритериального выбора включает в себя множество возможных решений X, векторный критерий / и отношение предпочтения ух . Множество X есть непустое множество элементов произвольной природы, из которых следует сделать выбор. Векторный критерий образован набором числовых функций /¡,...,/т (т>2) и

принимает свои значения в арифметическом пространстве /и-мерных векторов R". Отношение предпочтения >-х считается асимметричным бинарным отношением, заданным на множестве X . Запись вида дс, >-х х2 означает, что решение х, для ЛПР предпочтительнее, чем х2.

Множество выбираемых решений, которое должно быть найдено в результате решения задачи многокритериального выбора, обозначается через С(Х).

Основные компоненты задачи многокритериального в терминах векторных оценок: множество возможных векторов Y = f(X)cRm и

отношение предпочтения >-г, заданное на множестве У. Искомым множеством является множество выбираемых векторов С(К) = /(С(Х)).

Отношения предпочтения и >-,. естественным образом

согласованы друг с другом.

Предполагается, что выполнены следующие аксиомы, характеризующие «разумный» выбор ЛПР в ходе принятия решения.

Аксиома 1 (об исключении доминируемых векторов). Для любой пары векторов у',у" е У, удовлетворяющих соотношению выполнено у" е С(У).

Аксиома 2. Для отношения уг существует продолжение,

обозначаемое далее >-, на все критериальное пространство Я", причем отношение У является иррефлексивным и транзитивным.

Аксиома 3. Каждый из критериев /¡,/2,согласован с отношением предпочтения >-.

Аксиома 4. Отношение предпочтения > является инвариантным относительно положительного линейного преобразования.

Выполнение аксиом 1-3 гарантирует справедливость принципа Эджворта-Парето: выбираемые решения будут обязательно парето-оптимальными, т.е. С (У) с Р(У) [1], где

Р(У) = /((/'/(х)) = {у* е У \ не существует такого у е У,что у > у*} - множество парето-оптимальных векторов.

Определение 1 [1]. Пусть А,Ва1, Аг\В = 0. Говорят,

что группа критериев А важнее группы В с двумя заданными наборами положительных параметров для всех 1еА и и1* для всех у е В, если для

любой пары векторов у', у" е Ят, для которых верно

У]-У)=™] еЛ; /,=/. Vse/\{AvB},

имеет место соотношение у'уу".

Определение 2 [1]. Два сообщения об отношении предпочтения ЛПР, состоящие в том, что группа критериев А важнее группы критериев В и группа критериев А' важнее группы критериев В', называются взаимно независимыми, если ни одна пара из четырех групп критериев А, В, А', В' не имеет ни одного общего элемента.

В противном случае данные сообщения являются взаимно зависимыми.

Рассматриваются следующие две задачи многокритериального выбора с простейшими наборами взаимно зависимой информации.

Задача 1. Пусть т = 3 и имеется набор взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР: группа критериев

А = {/,,/2} важнее группы критериев В = {/ъ) с двумя заданными наборами положительных параметров м>2} и и1,, соответственно, а группа критериев В важнее группы критериев А с наборами положительных параметров и {у„у2}. Далее данный набор информации обозначается символом (И1.1).

Задача 2. Пусть т- 4 и имеются два набора взаимно зависимой информации о предпочтениях ЛПР: группа критериев А = {/¡,/2} важнее группы критериев В = {/,} с двумя заданными наборами положительных параметров {и^и^} и соответственно; а группа критериев В важнее группы критериев А с наборами положительных параметров у\ и {у[,у'г}. Группа критериев С = {/} важнее группы В = {/4} с положительными параметрами и и-", а группа критериев В важнее группы С с положительными параметрами у" и у". Далее данный набор информации обозначается символом (И1.2).

Поскольку информация, получаемая от ЛПР, чаще всего имеет желательный характер, то ЛПР, само того не желая, может выйти за рамки задач, в которых справедливы аксиомы 1-4. В связи с этим возникает необходимость в проверке имеющейся информации на непротиворечивость [1].

В [1] предложено несколько критериев непротиворечивости для общего случая. В данной работе получены критерии непротиворечивости, когда информация об отношении предпочтения носит взаимно зависимый характер.

Согласно доказанным в работе леммам, набор информации (И1.1) непротиворечив тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих неравенств

И',//! ' (О

™г/у2>щ/у3 ■ (2)

а набор информации (И1.2) непротиворечив тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств

> ^ /Гз , К /У'г > «5 //у (3)

и справедливо неравенство

<¡7X1 г: ■ (4)

Одним из основных результатов первой главы является доказательство теорем, дающих правила учета взаимно зависимой информации вида (И1.1) и (И1.2).

Теорема 1. Пусть отношение предпочтения >■ удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации вида (И1.1). Тогда для любого не пустого множества выбираемых оценок С (У) имеют место включения

ЦЛсД^сВД,

где Р(У) - подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием к

(т.е. Р(Г) = /(РЕ(*)))•

Причем, если одновременно выполняются соотношения (1) и (2), то размерность нового векторного критерия § увеличивается на единицу и его компоненты вычисляются по формулам

8х = Щ/, + Щ/). &2 = ■Ц'зЛ + Щ/з - 8з = ГзА + У1/1, 8а = ГзЛ + У2/з • Если же выполняется только (1), то размерность вектора g совпадает с размерностью вектора / и его компоненты следует вычислять по формулам

81 = ^3/1 + ^/з > 82 = Уък + Г,/з, 8з = (ГгЩ - + (ЩУз - )/г + (ГгЩ ~ ЛЩ)/,

и по формулам

g¡ = м>,/2+м'2/3, & = у,/2+?2/:;, 8з=(ЩГ3 ~У2™з)/ ,

если выполняется только (2).

Теорема 2. Пусть отногиение предпочтения у удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации вида (И1.2). Тогда для любого не пустого множества выбираемых оценок С(У) имеют место включения

С(Г)с=Р(Г)сР(Г),

где Р(У) — подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием g

(т.е. Р(Г) = /(Рг(Х))).

Причем, если выполняются соотношение (4) и оба соотношения (3), то размерность нового векторного критерия g увеличивается на два и его компоненты вычисляются по формулам

а = «А + «Ь+«и> 82 = ЦУ'аА + + <Г"/а .

&=гхл+г№а+ууа, 8, = мл+у'уа+у'уа

8ь = ЧЛ + Ч/з > 8ь = у'ут. + уга ,

по формулам

8, = ^х/1 +^'х/,» $1 = +Ч/ГЛ >

= >>1/ + у'у/3 + гхл, *« = у'УУ + у'уа + ууу , =уу3 - +(/у - уу'ма+уа - чхК/э+уу - ч/зКл > 8 б = (у>з - ^ГзИ/; + б-х - + уу - у/уу+- цго/гл,

при условии, если справедливо (4) и только первое из соотношений (3), и по формулам

81 = + «А + УХЛ> & = ЦК/; + <у1А + ^згГ/4» &=у'УУ, + у'УА+у'УА , 84 = у'УЛ + у'УА+у'УА ,

85 = (Цгз - у'УУ'У+к/.' - гУМЛ + Ну', - уУ'МА+УУ - уУ'У'А . & = У'У - у'У)у1А + Ш - у>'УА + У'У - уУ'УА+УУ - уУ'МА ,

если справедливо (4) и только второе из соотношений (3).

Согласно теоремам 1 и 2, для того чтобы произвести учёт взаимно зависимой информации (И1.1) и (И1.2) соответственно, на множестве X необходимо решить задачу многокритериального выбора с новым векторным критерием g. Множество Парето Р(У), найденное в новой задаче, будет давать более точную оценку сверху для неизвестного множества выбираемых векторов, чем множество Парето р(у).

Полученные результаты были распространены на случай нечеткого отношения предпочтения ЛПР.

Основными компонентами задачи многокритериального выбора с нечетким отношением предпочтения являются: множество возможных решений X , векторный критерий / и нечеткого отношения предпочтения с функцией принадлежности /их{-,-), заданной на декартовом произведении ХхХ и принимающей значения из отрезка [о, 1]. Если х' предпочтительнее со степенью уверенности ц * е [о, 1], то ¡лх (У,У) = ц *.

В этом случае также предполагаются выполненными четыре аксиомы «разумного» выбора, переформулированные для нечеткого отношения предпочтения.

На языке функций принадлежностей включение с(у)ср(у) может быть записано как $(•)<<%(■), гДе ) - функция принадлежности нечеткого множества выбираемых векторов, Лу(-) - функция принадлежности множества Парето.

Определение 3 [2]. Пусть А,Вс1,А*0,В*0,Аг\В = 0. Говорят, что группа критериев А важнее группы В с двумя заданными наборами положительных параметров для всех ¿еА и н-' для всех у е В и

степенью уверенности ц* е (о, 1], если для любой пары векторов у', у" е ¡Г, для которых верно

У,-у:=Щ V/ е Л; Vy•EВ; Х =

имеет место равенство ц(у', }•") = /л *.

Задачи 1 и 2 для случая нечеткого отношения предпочтения примут

вид

Задача 3. Пусть выполняется условие задачи 1.1 и известно, что группа критериев А важнее группы критериев В со степенью уверенности , а группа критериев В важнее группы критериев А со степенью уверенности /а, .

Задача 4. Пусть выполняется условие задачи 1.2 и известно, что группа критериев А важнее группы критериев В со степенью уверенности д, а группа критериев В важнее группы критериев А со

степенью уверенности ¡л2. Группа критериев С важнее группы О со

степенью уверенности //3, а группа критериев В важнее группы С со

степенью уверенности //4.

В работе были получены теоремы, позволяющие на основе взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения ЛПР вида, указанного в задачах 3 и 4, построить функцию принадлежности нечеткого множества, представляющего собой оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений.

Вторая глава посвящена вопросам сужения множества Парето при наличии наборов взаимно зависимой информации общего вида.

Задача 5. Пусть т>3 и даны две группы критериев Л и В,

состоящие из г и I критериев соответственно. Причем г + 1£т и АпВ = 0. Не теряя общности, мы можем перенумеровать критерии таким образом, что в группу А будут входить вектора /, /2,..., /г, а в группу В - /г+1, /г+,. Известно, что группа критериев А важнее группы В с

двумя заданными наборами положительных параметров ж для всех е А и wJ для всех /еБ. С другой стороны, группа критериев В важнее

группы критериев А с заданными двумя наборами положительных параметров У] для всех ] е В и у, для всех / е А. Обозначим данный

набор информации через (И2.1).

Задача 6. Рассмотрим задачу многокритериального выбора с критериями /,...,/„, где т>3. Пусть даны три группы критериев А, В и

С, состоящие из г, / и $ критериев соответственно. Причем г + / + .$2 т, группы критериев А, В,С не пустые и попарно не пересекаются. Не теряя общности, мы можем перенумеровать критерии таким образом, что в группу А будут входить вектора /,/2,...,/,, в группу В -

/п\ 5 /г+2 >••■' /г+1 ' группу С - /Г+П1 , Уг+н2 V • -1 /гп*з •

Пусть имеется дополнительная информация, состоящая из двух наборов взаимно зависимой информации (И2.2) вида: 1) группа критериев А важнее группы критериев В с заданными положительными параметрами и', для всех /6 А, для всех у еВ и группа критериев В важнее группы

критериев А с заданными положительными параметрами у^ для всех у ей, у\ для всех ¡е А; 2) группа А важнее группы критериев С с положительными параметрами гс* для всех /еА и ^ для всех кеС и группа С важнее группы критериев А с положительными параметрами у\ для всех кеС, у" для всех ¡еА.

Для наборов взаимно зависимой информации (Й2.1) и (И2.2) были получены следующие критерии непротиворечивости

Лемма 1. Набор информации (И2.1) непротиворечив тогда и только тогда, когда существуют такие номера ; е А и у е й, что выполняется неравенство

(5)

Лемма 2. Набор информации (И2.2) непротиворечив тогда и только тогда, когда существуют номера 1 е А и у еВ, для которых выполняется неравенство

>«•;/>-; (6)

и существуют номера е А и к еС, для которых выполняется неравенство

<!г><1г1 • (7)

Введем следующие обозначения

Р = {г<^А\'Л]еВ\\\>1/у1 >IV,.¡у1} - множество всех номеров г из А, для

каждого из которых существует хотя бы один номер у из В такой, что выполняется соотношение (5);

L = {]gBßieA-.wJy^wJyj} - множество всех номеров j из В, для

каждого из которых существует хотя бы один номер i из А такой, что выполняется соотношение (5);

Р, = {р е Р | для выбранного ЫЬ выполняется wpjyp>M>Jyl}',

Lp = {I eL\ для выбранного реР выполняется >м'/М) >

Р( = {/ е /I | для выбранного I е L выполняется w, J у, <w,j у,}; Lp - {J е В | для выбранного ре Р выполняется wpjyp< ™ ¡¡У¡\ ■

Основные результаты второй главы составляют теоремы, позволяющие производить сужение множества Парето на основе взаимно зависимой информации (И2.1) и (И2.2)

Теорема 3. Пусть выполнены аксиомы 1-4 и задана непротиворечивая информация (И2.1) об отношении предпочтения ЛПР. Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов C(F) имеют место включения

C(Y)aP(Y)czP(Y), где P(Y)= f(Pg(X)), а векторный критерий g размерности

реР IzL ръР

имеет компоненты

8Р1 = Щ/Р + wpfi VpeP и VleL, для которых выполняется (5), Sip -Yifp + Ypfi Vpe? и VleL, для которых выполняется (5),

8 pi, = (r,wi - Y/w, )fP + - 7PW, )f, + (r,wP ~ )f,, V/ei, V p e P,, VieP,,

8pi=(Y,wj-Yj"'i)fP+(Yi"'p~YP"'l)fi+(YpWj-YjWp)f,> VpeP, V/e, V/eZ,, 8,-f, длявсех s в I \ {A<uВ}.

Теорема 4. Пусть отношение предпочтения у удовлетворяет аксиомам 1-4 и задана непротиворечивая информация об отношении предпочтения ЛПР (И2.2), причем неравенства вида (6), (7) выполняются для всех ie А, всех j е В и всех кеС.

Тогда для любого непустого множества выбираемых векторов С(У) имеют место включения

C(Y)cP(Y)cP(Y),

где P(Y) = f(Pg(X)), а векторный критерий g размерности d = т - (|А\ + |ß|+|С|) + 4|л|в||с| имеет компоненты

*#(*) = •*•>;/,(*) + »Х/А*) + V/ е Л, V/ е Я, V* е С,

&гМ = гХ/М + /УМ + МШ У/еД, ЧкеС,

g*^x) = W]fJ¿x) + v/,ylfJ^x) + ^¿Jr:Ш ^¡еЛ, У/'еВ, УкеС

= У>:/М) + гХ;//*) + />,*.№) V/еВ, УАеС, = /д*) для всех

Для теорем 3 и 4 доказывается инвариантность включений С (У)сР(У)сДУ) относительно линейного положительного преобразования компонент векторного критерия §, что позволяет применять данные теоремы к любым критериям, значения которых вычисляются в количественных шкалах.

Установлены теоремы, позволяющие получить оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений, при помощи нового векторного критерия со специальными компонентами нелинейного вида.

Теорема 5. Пусть отношение предпочтения у удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации (И2.1), причем неравенства (5) выполняются для всех ¡е А и всех _/е В. Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок С(У) имеют место включения

С(У)сР{У)пР( У),

где Р(У) = /{РЛ(Х)) — подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием 1п размерности (1 = т-][А\~\В\ + 1 с компонентами

Г Г г Г

16.1 Щ ^ ¡бЛ у у

Теорема 6. Пусть отношение предпочтения >■ удовлетворяет аксиомам 1-4 и задан непротиворечивый набор информации (И2.2), причем неравенства (6), (7) выполняются для всех ¡еА, всех у е5 и всех кеС. Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок С(У) имеют место включения

С(У)сР(У)пР(У),

где Р(У) = /(ЯДА")) - подмножество возможных векторов, отвечающих множеству парето-оптимальных решений в многокритериальной задаче с

исходным множеством возможных решений X и новым векторным критерием Л размерности (I = т-|л|- |в|-|С| + 4 с компонентами

Преимущество теорем 5 и 6 перед теоремами 3 и 4 заключается в том, что размерность новой векторной функция й значительно меньше, чем размерность векторной функции g , что облегчает поиск множества Р(У). Но наряду с этим теоремы 5 и 6 обладают рядом существенных недостатков. Один из них состоит в том, что найденное множество Р(У) ~ /(РЛ(Х)) в общем случае не является подмножеством множества Р(У). Это означает, что для решения задачи необходимо знать множество парето-оптималышх векторов относительно функции /. Второй недостаток заключается в том, что нелинейные функции минимума не могут быть использованы, если значения хотя бы одного из критериев измеряются в шкале разностей или шкале интервалов.

В третьей главе, в качестве иллюстрации того, как могут быть использованы полученные результаты, решается научно-производственная задача по выбору оптимального химического состава судостроительной стали.

В заключении приводится перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту

Список литературы

1. Ногин, В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход / В. Д. Ногин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005 (2-е изд., испр. и доп.). -176 с.

2. Ногин, В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2003. - Т. 43, № 11. - С. 1676-1686.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Климова, О. Н. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решения / В. Д. Ногин, О. Н. Климова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 12. - С.2178-2190 (личный вклад Климовой - 70%).

2. Климова, О. Н. Задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали / О. Н. Климова // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2007. - № 6. - С. 66-70.

3. Климова, О. Н. Учет двух наборов взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в задачах многокритериального выбора / О. К Климова II Математические методы распознавания образов: 13-я Всероссийская конф. Ленинградская обл. г. Зеленогорск, 30 сентября - 6 октября 2007 г.: Сборник докладов. - М.: МАКС Пресс. - 2007. - С. 40-42 .

4. Климова, О. Н. Многокритериальный выбор на основе некоторых наборов взаимно зависимой информации об относительной важности критериев / О. Н. Климова // Процессы управления и устойчивость: Тр. 37-й международной научной конф. аспирантов и студентов / Под ред. А.В. Платонова, Н.В. Смирнова - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. -2006. -С. 555-558.

5. Климова, О. Н. Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения / О. Н. Климова // Искусственный интеллект и принятие решений. - 2009. -№ 2. - С. 34-44.

Подписано в печать 19.06.2009. Бумага офсетная. Объём 1,0 п.л., Тираж 100 экз. Заказ №01-06-2009

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

в типографии ООО «Политон» 198096, Санкт-Петербург, пр. Стачек, 82 тел: 784-13-35

Введение.

Глава 1. Сужение множества Парето на основе простейшего набора взаимно зависимой информации.

1.1. Основные понятия теории многокритериального выбора и относительной важности критериев.

1.2. Учёт непротиворечивости простейшего набора взаимно зависимой информации.

1.3. Сужение множества Парето на основе взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

1.4. Учёт взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношения предпочтения.

Глава 2. Сужение множества Парето с использованием различных наборов взаимно зависимой информации.

2.1. Учёт непротиворечивости различных наборов взаимно зависимой информации.

2.2. Сужение множества Парето на основе различных наборов взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

2.3. Инвариантность результатов теоремы 2.1 и теоремы 2.4 относительно линейного положительного преобразования.

2.4. Учёт взаимно зависимой информации с использованием нелинейных функций минимума.

Глава 3. Задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали.

Задачи выбора наилучшего решения широко представлены в различных областях техники и экономики.

В тех случаях, когда решения оцениваются по одному критерию, наилучшим считается то, которому соответствует максимальное значение данного критерия. Но, как правило, задачи выбора являются многокритериальными, т.е. имеющиеся альтернативы оцениваются сразу по нескольким критериям. Сложность подобных задач заключается в невозможности достижения наилучших значений по всем критериям одновременно.

Многокритериальные задачи выбора являются предметом изучения теории принятия решения, призванной помочь лицу, принимающему решение (ЛПР) выбрать наилучшее решение из множества имеющихся альтернатив.

В настоящее время не существует единого подхода к решению многокритериальных задач. Но какой бы метод не применялся, как правило, на первом этапе происходит выделение множества Парето из множества всех вариантов. Используемый при этом принцип Парето заключается в том, чтобы исключить из множества возможных решений те варианты, которые могут быть улучшены по всем параметрам.

К сожалению, выделенное множество Парето оказывается достаточно широким, тогда как перед лицом, принимающим решение, стоит задача выбрать одну наилучшую или сравнительное небольшое множество наилучших альтернатив. В связи с этим и возникает так называемая «проблема сужения множества Парето».

К настоящему времени разработано множество различных эвристических подходов к решению данной проблемы. Формально данные подходы можно разделить на несколько групп.

Первую группу составляют методы, основанные на формировании обобщенного критерия с последующей его максимизацией [21].

Наиболее распространенный и самый простой обобщенный критерий - это т линейная свертка Ф(х) = ^^/Дх), где /,(*),.,/т(Х) набор критериев, а 1 некоторые положительные числа, характеризующие важность критериев.

Принимается, что чем большее значение принимает целевая функция Ф(х), тем лучше решение, соответствующее ей.

Автором, впервые предложившим использовать линейную свертку для решения задач многокритериального выбора, считается французский ученый XVII века Ж. ИГ Борда [1]. В России же одним из первых, кто применил линейную свертку, был инженер-корабел А.Н. Крылов [33].

Одним из недостатков данного подхода является то, что веса Aj не имеют точного определения. Поэтому каждое лицо, которое назначает их, будет вкладывать в них свое собственное понимание, возможно, отличное от представления других. Другой недостаток состоит в следующем. Согласно принципу Эджворта-Парето, выбранным может быть любое парето-оптимальное решение, тогда как при максимизации линейной свертки может быть получено не каждое парето-оптимальное решение. Это означает, что какие-то решения, имеющие основания быть выбранными, в силу использования данного подхода, никогда не будут выбраны. К тому же не для любого класса многокритериальных задач допустимо использование обобщенного критерия [9, 17].

Вообще говоря, на основе каждого из существующих необходимых и достаточных условий парето-оптимальности можно построить обобщенный критерий определенного вида. Наилучшим решением обычно считается то, которому соответствует максимальное значение этого критерия.

К известным методам, основанным на применении обобщенного критерия можно причислить метод анализа иерархий (Т.Л. Саати [30, 43]), процедуры теории полезности Multi-Attribute Utility Theory (P.JI. Кини и X. Райфа [3], О.И. Ларичев [4]), методы целевого программирования [34, 35, 36,44].

В следующей группе подходов ЛПР предлагается в качестве своего отношения предпочтения выбрать уже известное заранее отношение предпочтения ь v. После чего поиск наилучшего решения производиться во множестве доминируемых

D(X) = {х* | V .г е Х,х Ф х*: х >-х х*} или недоминируемых вариантов

N(X) = {** \ЗхсХ:х >-х .г*}.

Одним из ранних примеров использования этого подхода является правило голосования Кондорсе [1]. Также к данной группе можно отнести известные методы ELECTRE (Б. Рой), MACBETH (Дж. Бранс) и другие [4, 36].

Положительной стороной данного подхода является изученность свойств используемого отношения предпочтения. Однако, большинство из существующих в настоящее время «искусственных» отношений достаточно сложны в своем задании, что делает затруднительным для ЛПР выбор того отношения предпочтения, которое ему наиболее подходит. Кроме того, множество доминируемых вариантов, внутри которого следует искать наилучшее решение, зачастую оказывается пустым, а множество недоминируемых вариантов едва отличающимся от исходного множества возможных решений. Еще одним существенным недостатком является то, что данные процедуры эвристичны и, используя различные отношения предпочтения при решении одной и той же задачи, будут получаться различные оптимальные решения.

Другую группу составляют так называемые интерактивные (человеко-машинные) процедуры, впервые предложенные в работе [37].

На каждом шаге такой процедуры ЛПР должен предоставить определенную информацию, на основе которой строится последовательность точек. Если данная последовательность сходится, то ее предел считается наилучшим решением [34, 36]. В настоящее время разработано множество интерактивных методов, основанных на визуализации множества Парето и приближении к наилучшему вектору при помощи информации, выявляемой у ЛПР (Лотов А.В. [39]).

Одной из главной проблем описанного подхода является многократное в ходе решения задачи использование информации, получить которую от ЛПР сложно, а порой и невозможно.

Общим признаком для всех упомянутых выше подходов является отсутствие возможности описать тот класс задач, в которых использование данных подходов гарантированно приведет к выбору наилучшего решения. Вследствие чего, теоретическая ценность данных подходов снижается и проблема сужения множества Парето по-прежнему остается актуальной.

Еще одну группу составляют методы, в основе которых лежит использование свойств отношения предпочтения. Среди таких свойств выделяются асимметричность, транзитивность, различные типы инвариантности отношения предпочтения [5, 11, 20, 32].

Когда значения критериев измеряются в качественных шкалах, то для сужения области поиска наилучшего решения может оказаться полезным использование свойства независимости критериев по предпочтению [4]. Два критерия j\ и /2 независимы по предпочтению от других критериев /3,.,/„,, если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по первому и второму критериям, не зависят от фиксированных значений по другим критериям.

Часто для сужения множества Парето используется дополнительная информация о важности критериев для ЛПР [21]. В ряде случаев вводится понятие качественной важности критериев [22-27]. Она заключается в следующем. Пусть имеется набор критериев fx,.fm и две векторные оценки у' = {у[,.,у'т), у" = (у?,.,у",), которые отличаются лишь /-ой и у-ой компонентами, причем у! = у" > у" = у) • Если при выборе между векторами у' и у" ЛПР предпочтет первый вектор, то говорят, что /'-й критерий важнее у-го критерия. Недостатком использования данной информации является то, что она позволяет лишь незначительно сузить множество Парето. В то время как введение понятия количественной информации об относительной важности критериев [16, 19, 40, 41] дает возможность более существенно сужать множество Парето. Пусть у' = (у[,.>у'т) и у" = (у",.,у"т) - два парето-оптимальных вектора. Причем первый вектор превосходит второй по всем компонентам, соответствующим группе критериев А, а второй превосходит первый по всем компонентам, соответствующим группе критериев В, т.е. имеет место y;-y?=w;>0 Vi еЛ; у] - у) = w] > Q> VjeB; VszJ\{AvB}.

В этом случае выбор первого вектора в пользу второго, означает, что ЛПР готово пойти на потери по каждому менее важному критерию /] (j е В ) в размере

Wj, ради получения прибавки в размере w* по каждому более важному критерию fi е А ). Данная информация выражает готовность ЛПР идти на компромисс в ходе принятия решения, в результате которого и становится возможным сужение множества Парето.

Использование описанной выше информации об отношении предпочтения ЛПР лежит в основе аксиоматического подхода, в рамках которого предполагаются выполненными несколько аксиом, характеризующих «разумный» выбор ЛПР [10, 12-15, 18]. В частности, в них накладываются следующие требования на отношение предпочтения: вариант, не выбираемый из пары вариантов, не выбирается и из всего множества выбираемых решений; отношение предпочтения транзитивно, отношение предпочтения согласовано с критериями; отношение предпочтения инвариантно относительно линейного положительного преобразования.

Введение данных аксиом, во-первых, гарантирует правомерность использования принципа Эджворта-Парето; во-вторых, позволяет производить более значимое, а главное - обоснованное сужение множества Парето.

Согласно аксиоматическому подходу, процесс сужения происходит в несколько этапов. Сначала выявляется информация об отношении предпочтения в форме относительной важности критериев. Следующим этапом менее важный критерий заменяется новым, вычисленным по определенным формулам. На третьем этапе решается задача многокритериального выбора с исходным множеством возможных решений, но уже с новым векторным критерием. Полученное в результате решения этой задачи новое множество Парето оказывается уже первоначального множества Парето, и тем самым представляет собой более точную оценку сверху для неизвестного множества выбираемых решений. Следует отметить, что в рамках данного аксиоматического направления не накладывается никаких ограничений на множество выбираемых решений и векторный критерий.

Данная диссертационная работа лежит в русле описанного выше аксиоматического подхода и представляет собой его дальнейшее развитие.

Объектом исследования являются задачи многокритериального выбора, включающие в себя множество возможных решений, числовой векторный критерий и бинарное отношение предпочтения. Предметом исследования является процесс учета взаимно зависимой информации [8, 16] об отношении предпочтения ЛПР в задачах многокритериального выбора.

Простейшим примером взаимно зависимой информации является случай, когда один критерий важнее другого, а тот, в свою очередь важнее первого. Информация подобного рода на практике возникает довольно часто, поэтому представляет собой не только теоретический, но практический интерес.

Цель данной работы заключается в получении правил сужения множества Парето в задачах многокритериального выбора при наличии набора взаимно зависимой информации об отношения предпочтения ЛПР. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- получить критерии непротиворечивости набора взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР;

- получить формулы для вычисления нового векторного критерия, на основе которого может быть построена оценка сверху для неизвестного множества выбираемых решений более точная, чем множество Парето.

В качестве теоретических методов исследования был использован аппарат выпуклого анализа [28, 31], теории бинарных отношений и линейной алгебры [2]. Теоретические положения и выводы сформулированы в виде лемм и теорем, и доказаны математическими средствами.

Теоретическая значимость работы заключается в получении новых правил сужения множества Парето при наличии взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования полученных результатов для обоснованного сужения множества Парето при решении различных многокритериальных задач из области техники и экономики.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 37-й и 40-й международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006, 2009), на 5-й Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 2007), а также на 13-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Зеленогорск, 2007).

Первая глава посвящена проблеме сужения множества Парето на основе простейшего типа взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР.

В начале главы приводятся основные понятия задачи многокритериального выбора. Предполагаются выполненными четыре аксиомы «разумного» выбора.

Затем последовательно формулируются две задачи многокритериального выбора с различными наборами взаимно зависимой информации.

Первая трехкритериальная задача содержит информацию вида: группа критериев {/15/2} важнее критерия f3 с наборами положительных параметров и w3, а критерий /3, в свою очередь, важнее группы критериев {fx,f2} с наборами положительных параметров уъ и {/!,//2}. Во второй задаче векторный критерий содержит четыре элемента и взаимно зависимая информация представлена уже двумя наборами: группа критериев {/1з/2} важнее критерия /3 с наборами положительных параметров {w[,w'2} и w3, а критерий /3, в свою очередь, важнее группы критериев {/,,/2} с наборами положительных параметров у'3 и I У\■> У'2 / j критерий fx важнее критерия /4 с наборами положительных параметров w", w", а критерий /л важнее критерия fx с наборами положительных параметров rU rl

Информация, полученная от ЛПР, может быть в некотором смысле не согласованной, т.е. содержать противоречивые сведения о предпочтениях ЛПР. В связи с этим, проводится подробный анализ взаимно зависимой информации на непротиворечивость и доказываются критерии, выполнение которых гарантирует непротиворечивость взаимно зависимой информации.

В доказанных теоремах для каждой из рассматриваемых задач приводятся правила того, как следует производить учет набора взаимно зависимой информации с целью сужения множества Парето. Для этого необходимо решить новую задачу многокритериального выбора на прежнем множестве выбираемых решений, но уже с новой векторной функцией. Множество Парето, полученное в новой задаче, и будет представлять собой оценку сверху для множества выбираемых решений более точную, чем множество Парето исходной задачи.

На практике предпочтения ЛПР нередко имеют расплывчатый, нечеткий характер. ЛПР может лишь с определенной степенью уверенности заявить, что одно решение для него предпочтительнее другого и что одна группа критериев важнее другой. Поэтому практический интерес представляет то, каким образом учитывается набор взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношения предпочтения. Задачи, описанные выше, решаются в случае нечеткого отношения предпочтения.

Вторая глава посвящена учёту взаимно зависимой информации в общих случаях.

Здесь рассматриваются следующие две задачи, содержащие определенные сообщения о предпочтениях ЛПР.

В первой задаче имеется набор взаимно зависимой информации вида: группа критериев А важнее группы критериев В с наборами положительных параметров w, для всех i е А и w, для всех j е В; а группа критериев В важнее группы критериев А с наборами положительных параметров yJ для всех / е В и у1 для всех г е А. Во второй задаче представлены два набора взаимно зависимой информации: группа критериев А важнее группы критериев В с наборами положительных параметров w\ для всех / е А и и/ для всех j е В, а группа критериев В важнее группы критериев А с наборами положительных параметров y'j для всех j е В и у] для всех / е А; группа критериев А важнее группы критериев

С с наборами положительных параметров w" для всех i е А и w"k для всех & е С; а группа критериев С важнее группы критериев А с наборами положительных параметров у[ для всех к е С и у" для всех i е А.

Для каждого типа взаимно зависимой информации исследуется вопрос ее непротиворечивости.

Как и первой главе формулируются и доказываются теоремы, позволяющие производить учёт взаимно зависимой информации. Причем формулы, по которым происходит построение нового векторного критерия, могут иметь вид, как линейных функций, так и нелинейных функций. Доказывается инвариантность полученных результатов относительно линейного положительного преобразования в случае линейных функций и преобразования вида ау (а > 0) в случае использования нелинейных функций.

В третьей главе решается научно-производственная задача выбора оптимального химического состава свариваемой судостроительной стали повышенной прочности, имеющая практическую значимость. Полученные результаты хорошо согласуются с реальными данными.

Основные результаты работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

Получены критерии, позволяющие производить проверку всевозможных наборов взаимно зависимой информации на непротиворечивость;

Сформулированы и доказаны теоремы, показывающие, каким образом следует производить сужение множества Парето на основе различного рода взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР, а также доказана инвариантность установленных результатов относительно линейного положительного преобразования, что позволяет применять их к любым критериям, значения которых вычисляются в количественных шкалах; Получены результаты, позволяющие производить сужение множества I

Парето при наличии некоторой взаимно зависимой информации в случае нечеткого отношения предпочтения ЛПР.

Результаты данной работы могут быть использованы для решения различного рода прикладных задач многокритериального выбора из области техники и экономики, в которых поведение ЛПР согласуется с аксиомами 1-4, а его предпочтения носят взаимно зависимый характер.

Заключение

В работе рассмотрена модель многокритериального выбора, включающая в себя множество возможных решений, числовой векторный критерий и отношение предпочтения ЛПР. Предполагается выполненным ряд аксиом, характеризующий «разумное» поведение ЛПР. Принятие данных аксиом позволяет использовать аппарат теории выпуклого анализа. Считается, что имеется дополнительная взаимно зависимая информация об отношении предпочтения ЛПР.

Основная цель диссертационной работы состояла в получении новых правил для сужения множества Парето с использованием различного рода взаимно зависимой информации.

Были рассмотрены следующие наборы взаимно зависимой информации об отношении предпочтения ЛПР:

- Группа критериев {fx,f2} важнее критерия /3, а критерий /3 важнее группы

- Группа критериев {/,,/2} важнее критерия /3, а критерий /3 важнее группы {fx,f2}', критерий /j важнее критерия /4, а критерий /4 важнее критерия j\.

- Группа критериев {/^/^-./J важнее группы {/Л,Д,./Л}, а группа критериев {fA,fjl,.fJ} важнее группы {fhJ^.fir}.

- Группа критериев важнее двух групп критериев {fA,fh,---fj} и {Д, Д,. Д}, а те, в свою очередь, важнее группы {Д,Д ,.Д}.

1. Айзерман, М. А. Выбор вариантов: Основы теории / М. А. Айзерман, Ф. Т. Алескеров. - М. : Наука, 1990. - 236 с.

2. Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. М.: Наука, 1983. - 336 с.

3. Кини, Р. Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Р. Л. Кини, X. Райфа. М. : Радио и связь, 1981.

4. Ларичев, О. И. Теория и методы принятия решений / О. И. Ларичев. — М.: Логос, 2000. 296 с.

5. Многокритериальная оптимизация: математические аспекты / Ю. М. Барышников и др.. М. : Наука, 1989. - 128 с.

6. Морской Регистр судоходства. Правила классификации и постройки морских судов. СПб. : Издательство Морского Регистра судоходства, 1999.

7. Ногин, В. Д. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решения / В. Д. Ногин, О. Н. Климова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. — Т. 46, № 12.-С. 2178-2190.

8. Ногин, В. Д. Логическое обоснование принципа Эджворта-Парето / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2002. -Т. 42,№7.-С. 950-956.

9. Ногин, В. Д. Новый способ сужения области компромиссов / В. Д. Ногин // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. — № 5. - С. 10-14.

10. Ногин, В. Д. Обобщенны^ принцип Эджворта-Парето в терминах функций выбора / В. Д. Ногин // Методы поддержки принятия решений: Сб. трудов ИСА РАН / под ред. С. В. Емельянова, А. Б. Петровского. М. : Едиториал УРСС, 2005. - С. 43-53.

11. Ногин, В. Д. Обобщенный принцип Эджворта-Парето и границы его применимости / В. Д. Ногин // Экономика и математические методы. — 2005. — Т. 41, № 3. С. 128-134.

12. Ногин, В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43, № 11. -С.1676-1686.

13. Ногин, В. Д. Принцип Эджворта-Парето в терминах нечеткой функции выбора / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. - Т. 46, № 4. - С. 582-591.

14. Ногин, В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход / В. Д. Ногин. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005 (2-е изд., испр. и доп.). - 176 с.

15. Ногин, В. Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев / В. Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. - Т. 44, № 7. - С. 1259-1268.

16. Ногин, В. Д. Эволюция принципа Эджворта-Парето / В. Д. Ногин, Н. А. Волкова // Таврический вестник информатики и математики. 2006. - № 1. — С. 2333.

17. Ногин, В. Д. Использование набора количественной информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений / В. Д. Ногин, И.

18. B. Толстых // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2000. -Т.40,№ 11.-С. 1593-1601.

19. Основы теории оптимизации / В. Д. Ногин и др.. М. : Высшая школа, 1986.-384 с.

20. Петровский, А. Б. Теория принятия решений / А. Б. Петровский. М., 2009. (в печати)

21. Подиновский, В. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений / В. В. Подиновский // Многокритериальные задачи принятия решений. М. : Машиностроение. - 1978.1. C. 48-82.

22. Подиновский, В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 64 с.

23. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с однородными и равноценными критериями / В. В. Подиновский // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1975. Т. 15, № 2. - С. 330-334.

24. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериями / В. В. Подиновский // Методы оптимизации в экономико-математическом моделировании. М. : Наука, 1991. - С. 308-323.

25. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериями / В. В. Подиновский // Автоматика и телемеханика. 1976. -№2.-С. 118-127.

26. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982, 2007 (2-е изд., испр. и доп.). - 255 с.

27. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. М. : Мир, 1973. -368 с.

28. Российский Морской Регистр судоходства. Правила классификации, постройки и оборудования плавучих буровых установок и морских стационарных платформ. СПб., 2001. - 423 с.

29. Саати, Т. J1. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. М. : Издательство ЛКИ, 2008. - 360 с.

30. Схрейвер, Ф. Теория линейного и целочисленного программирования. Т.1.-М. :Мир, 1991.-368 с.

31. Теория выбора и принятия решений / И. М. Макаров и др.. М. : Наука, 1982. - 328 с.

32. Хованов, Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб: Изд-во СПбГУ, 1996. - 196 с.

33. Штоейер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения / Р. Штоейер ; пер. с англ. под ред. А. В. Лотова. — М. : Радио и связь, 1992.-504 с.

34. Charns, A. Optimal estimation of execute compensation by linear programming / A. Charns, W. W. Cooper, R. O. Ferguson // Management Science, 1 (2). 1955.

35. Figueira, J. Multiple criteria decision analysis: State of the art surveys / J. Figueira, S. Greco, M. Ehrgott. Springer, 2005.

36. Geoffrion, A. M. An interactive approach for multi-criterion optimization, with an application to the operation of an academic department / A. M. Geoffrion, J. S. Dyer, A. Fienberg // Management Science. 1972. - V. 19, No. 4, Part 1.

37. Goodwin, P. Decision analysis for management judgment (3rd Edition) / P. Goodwin, G. Wright. John Wiley and Sons, 2004.

38. Lotov A. V. Interactive decision maps, Approximation and visualization of Pareto frontier / A. V. Lotov, V. A. Bushenkov, G. K. Kamenev. — Boston, Kluver, 2004.

39. Noghin, V. D. Estimation of the set of nondominated solutions / V. D. Noghin // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1991. - Vol.5&6, № 12. -P. 507-515.

40. Noghin, V. D. Relative importance of criteria: a quantitative approach / V. D. Noghin // Multi-Criteria Decision Analysis. 1997. - Vol. 6. - P. 355-363.

41. Noghin, V. D. Upper estimate for a fuzzy set of nondominated solutions / V. D. Noghin // Fuzzy Sets and Systems. 1994. - Vol. 67. - P. 303-315.

42. Saaty, T. L. Multicriteria decision making. The analytic hierarchy process / T. L. Saaty. Pittsburgh RWS Publications, 1990. - 287 p.

43. Yu, P. L. Multiple-criteria decision making: concepts, techniques and extensions / P. L. Yu. New-York — London: Plenum Press, 1985. - 388 p.

44. Список публикаций автора по теме диссертации:

45. Климова, О. Н. Учет взаимно зависимой информации об относительной важности критериев в процессе принятия решения / В. Д. Ногин, О. Н. Климова // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2006. Т. 46, № 12. - С. 2178-2190.

46. Климова, О. Н. Задача выбора оптимального химического состава судостроительной стали / О. Н. Климова // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. - № 6. - С. 66-70.

47. Климова, О. Н. Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения / Климова О. Н. // Искусственный интеллект и принятие решений. 2009. - № 2. - С. 34-44.