Сверхпроводимость и магнетизм двумерных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОГАРКОВ Станислав Леонидович

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И МАГНЕТИЗМ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ

специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4856538

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете "МИФИ"

Научный руководитель : кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Лозовик Юрий Ефремович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Барабанов Александр Федорович (Институт физики высоких давлений им. Ф.Л. Верещагина РАН)

кандидат физико-математических наук Ключник Александр Васильевич (Московский радиотехнический институт РАН)

Ведущая организация: Национальный исследовательский

технологический университет "МИСиС"

Защита состоится 16 марта 2011 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.130.06 при Национальном исследовательском ядерном университете "МИФИ" по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан ¿р&^иЪиЯ. 2011 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью организации, по адресу НИЯУ МИФИ на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

В.П. Яковлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Формирование и структура малых ферромагнитных (ФМ) металлических капель (магнитных поляронов или ферронов) в антиферромагнитной (АФМ) изолирующей матрице обсуждались, начиная с конца шестидесятых годов. Простейшим случаем магнитного полярона является жест-кий (или хорошо определенный) магнитный полярон. В этом случае хвосты магнитных искажений вокруг него спадают экспоненциально. Размер переходной области, в которой угол подкоса (угол между соседними спинами) изменяется от нуля (ФМ домен) до 180 градусов (АФМ домен), имеет порядок межатомного расстояния, поэтому радиус магнитного полярона является хорошо определенной величиной.

Существует другой случай магнитного полярона. В этом случае хвосты магнитных искажений вокруг него спадают степенным образом, образуя, как говорят, "шубу" магнитных искажений вокруг ферромагнитной сердцевины. Такие магнитные поляроны называются "одетыми". "Одетые" магнитные поляроны исследовались в пространственно одномерной (1D) АФМ цепочке. Было показано, что характерная длина спиновых искажений вокруг ферромагнитной сердцевины много больше самой сердцевины. К сожалению, в 1D "одетые" магнитные поляроны оказываются метастабиль-ными объектами, в то время как жесткие магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины, но без "шубы" спиновых искажений) отвечают основному состоянию системы. Исследование стабильности "одетого" магнитного полярона в пространственно двумерном (2D) случае является актуальной задачей современной физики твердого тела и одной из задач настоящей диссертационной работы.

Другой задачей, рассмотренной в диссертационной работе, является изучение аналога магнитного полярона в орбитальном секторе физики манга-нитов. Появление таких "орбитальных поляронов" могло бы дать объяснение тех областей фазовой диаграммы манганитов, в которых основную роль играют орбитальные степени свободы электронов. Однако, этот вопрос не получил должного внимания на сегодняшний день. \

Еще одной задачей, рассмотренной в диссертационной работе, являет-4, ся исследование сверхпроводимости в графене и бислое графена. Как из- \ у у вестно, если в вырожденной системе фермионов существует притяжение между частицами, то при достаточно низких температурах происходит

их спаривание — то есть, переход системы в такое состояние, в котором возникают парные корреляции в движении частиц с противоположными импульсами, выражающиеся в существовании недиагонального дальнего порядка, и образуется щель в спектре одночастичных возбуждений. Микроскопическая теория такого явления впервые была построена Бардиным, Купером и Шриффером (БКШ) применительно к спариванию электронов в сверхпроводниках, вызванному обменом фононами. Индуцированное фо-нонами эффективное электрон-электронное притяжение является относительно слабым, что позволяет сверхпроводимости проявляться только при низких температурах. Гораздо более сильное притяжение, обеспечивающее спаривание при высоких температурах, может быть достигнуто за счет ку-лоновских сил между электронами и дырками. Такой тип спаривания осуществляется в полуметаллах или полупроводниках с узкой запрещенной зоной, в которых образование экситонов — связанных электрон-дырочных пар — является энергетически выгодным.

Электрон-дырочное спаривание в таких системах приводит к состоянию экситонного диэлектрика, в котором зонная структура перестраивается с образованием щели. В состоянии экситонного диэлектрика, однако, невозможна сверхпроводимость в силу электрической нейтральности системы. Кроме того, переходы между зонами спаривающихся частиц приводят к фиксации фазы параметра порядка и тем самым делают невозможной и сверхтекучесть.

Ярким примером таких систем является бислой графена. Вообще, сам графен особенно интересен как система, в которой может быть осуществлено многозонное спаривание, поскольку щель между зоной проводимости и валентной зоной в этом материале равна нулю, а химический потенциал, задающий степень удаленности поверхности Ферми от точки касания зон, может регулироваться в широких пределах. Если химический потенциал мал по сравнению с характерными частотами, на которых происходит сверхпроводящее спаривание, то оно будет затрагивать и зону проводимости, и валентную зону. В противоположном случае сильного допирования спаривание будет затрагивать только одну зону, содержащую поверхность Ферми.

Для описания бислоя можно использовать теорию БКШ, которая, однако, хорошо работает только в режиме слабой связи между электронами

и дырками. Режим сильной связи требует построения иной теории. Эта теория должна также учитывать специфику графсна (например, "ультрарелятивистскую" природу электронов и дырок). Поиски такой теории актуальны на сегодняшний день.

Поскольку спаривание эффективно ультрарелятивистских электронов в слое графене является многозонным при малом химическом потенциале, актуально исследование закономерностей многозонного спаривания электронов в графене под действием фононов на основе обобщения уравнений Элиашберга. Важно отметить, что такая теория сверхпроводимости будет учитывать эффекты запаздывания взаимодействия.

Цель диссертационной работы:

• Разработка и развитие аналитического описания состояний мелкомасштабного фазового расслоения в спиновом и орбитальном секторах физики манганитов для объяснения фазовых диаграмм этих веществ.

• Построение теории двумерного "ультрарелятивистского" электронного и электрон-дырочного газа, учитывающей влияние динамических эффектов при электрон-электронном (сверхпроводящее) и электрон-дырочном (экситонное) спариваниях.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

• Найдена структура примесных магнитных поляронов, отвечающих состоянию мелкомасштабного фазового расслоения в манганитах.

• Рассмотрена возможность медленного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом "шубы" спиновых искажений.

• Исследовано однозонное электрон-дырочное спаривание в бислое гра-фена в режиме слабой связи.

• Показано, что при увеличении силы связи в бислое графена отсутствует переход к газу локальных пар, вместо которого происходит переход к многозонному спариванию.

• Получены оценки величины щели в спектре бислоя графена в режиме сильной связи с учетом динамического экранирования потенциала спаривания.

• Исследовано сверхпроводящее спаривание электронов в графене, обусловленное плоскими оптическими фононами. Найден ряд его особенностей, связанных с "ультрарелятивистской" природой электронов.

Практическая значимость работы. Представленные в первой главе результаты — характеристики состояния мелкомасштабного фазового расслоения — могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными посредством нейтронного рассеяния. Изучение фазовых диаграмм манганитов может оказаться полезным с точки зрения инженерных приложений в области колоссального магнитосопротивления (KMC).

Рассмотренное во второй главе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально при низких температурах. Сверхтекучесть конденсата электрон-дырочных пар и сопутствующие ей эффекты Джозефсона могут быть использованы в различных наноэлектронных устройствах. С фундаментальной точки зрения представляют интерес разработка теории сверхтекучести системы с многозонным спариванием, поиск новых типов топологических возбуждений в такой системе и исследование роли корреляционных эффектов в режиме сильной связи.

Изученное в третьей главе сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством фононного механизма может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов и примыкает к явлениям сверхпроводимости в интеркалированном графите.

Таким образом, в диссертационной работе проведены теоретические исследования экситонного спаривания в бислое графена, сверхпроводимости в слое графена и состояний мелкомасштабного фазового расслоения в ман-ганитах. Результаты указывают на множество их интересных особенностей. Бурное развитие исследований манганитов и графена и перспективы их технологических применений придают особую значимость полученным результатам.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследований состояний мелкомасштабного фазового расслоения в манганитах. Утверждение о том, что на квадратной и треугольной двумерных решетках с фрустрацией "одетые" магнитные по-

ляроны отвечают основному состоянию системы, в то время как "голые" магнитные поляроны оказываются метастабильными объектами.

2. Утверждение о том, что при спаривании электронов и дырок в бислое графена (равно как и при электрон-электронном спаривании в одном листе графена) отсутствует кроссовер к газу локальных пар по мерс увеличения силы связи. Вместо этого происходит переход от однозон-ного спаривания типа БКШ к многозонному спариванию, охватывающему как зону проводимости, так и валентную зону спаривающихся частиц.

3. Теория многозонного экситонного спаривания в бислое графена при сильной связи. Оценки влияния динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели. При этом имеет место серьезная конкуренция между неэкра-. нированным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одночастич-ных возбуждений, с другой стороны.

4. Теория сверхпроводимости электронов в графене посредством плоских оптических фононных мод. Аналитические решения двухзонных уравнений Элиашберга в предельных случаях.

Степень обоснованности. С точки зрения теории степень обоснованности полученных результатов достаточно высока, так как в основу исследования положены общепризнанные методы и приближения квантовой механики, статистической физики и физики твердого тела. Достоверность теоретических результатов подтверждается тем, что они согласуются с экспериментальными данными.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории спектроскопии наноструктур ИСАИ и кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ. Ряд результатов был доложен на Научной сессии НИ-ЯУ МИФИ (2008, 2010); на международных конференциях First CoMePhS Workshop on Phase Separation in Electronic Systems (Aghia Pelagia, Crete, Greece, October 29 - November 4, 2006), The International Conference on

Strongly Correlated Electron Systems (Houston, Texas, USA, May 13 — 18. 2007), Euro-Asian Symposium "Magnetism on a Nanoscale" (Kazan, Russia, August 23 — 26, 2007), Moscow International Symposium on Magnetism (Moscow, June 20 — 25,2008), 25th International Conference on Low Temperature Physics (Amsterdam, the Netherlands, August 6 — 13, 2008).

Вклад автора. Все результаты, представленные в работе, получены автором лично, либо в соавторстве при его непосредственном участии.

Публикации по теме работы. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ в научных журналах и сборниках трудов Международных и Российских конференций, в том числе, 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Материал диссертации изложен на 142 страницах машинописного текста. Библиография включает 314 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится обоснование актуальности темы исследований и дается краткий обзор недавних работ, тематика которых примыкает к теме диссертации. Излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе представлены результаты исследований мелкомасштабных фазовых расслоений в манганитах. Мы обобщили модель, рассмотренную в работе [1], на случай (2D) фрустрированных решеток. Было рассмотрено два типа таких решеток. Первый тип — квадратная решетка с взаимодействием ближайших соседних решеточных (локальных) спинов (БС взаимодействие) и взаимодействием следующих после ближайших соседних решеточных спинов (СБС или диагональное взаимодействие). Второй тип — треугольная решетка, обладающая сильной геометрической фрустрацией даже в отсутствии СБС взаимодействия. Все эти взаимодействия носят АФМ характер. Предполагалось, что кристалл обладает одноосной магнитной анизотропией, причем ось х является легкой осью. Немагнитные донорные примеси Были размещены в центры некоторых элементарных ячеек решетки. Считалось, что концентрация допирования достаточ-

но мала, и, таким образом, можно рассмотреть изолированную примесь и ограничиться одноэлектронной задачей. Отметим, что при такой концентрации система далека от перехода изолятор — металл.

Электрон проводимости, появляющийся в результате допирования, связан с немагнитной донорной примссыо потенциалом кулоновского притяжения. Кулоновский потенциал V принят сильным в сравнении с другими, имеющими место, взаимодействиями. Именно:

V~Jи>t■»J>J> К, (1)

где — константа взаимодействия Хунда, J и J — БС и СБС АФМ обменные интегралы, t — интеграл перескока электрона проводимости, К — константа одноосной магнитной анизотропии. В такой области изменения параметров радиус локализации электрона порядка межатомного расстояния (I.

Мы нашли энергию электрона проводимости на квадратной и треугольной решетках. Эта энергия имеет минимум тогда, когда все спины в области движения электрона параллельны друг другу. Таким образом, было получено состояние примесного магнитного полярона: ферромагнитная сердцевина, внедренная в антиферромагнитную матрицу.

Благодаря геометрии задачи, в антиферромагнитной (АФМ) матрице существуют два возможных типа примесных магнитных поляронов. "Одетый" магнитный полярон (Рис. 1) состоит из ферромагнитной сердцевины, радиус которой порядка единицы (постоянной решетки), и довольно медленно спадающих искажений АФМ матрицы вокруг. "Голый" магнитный полярон состоит из ферромагнитной сердцевины с тем же радиусом, что и у "одетого" магнитного полярона, но без искажений АФМ матрицы. Оба типа отвечают минимуму полной энергии системы (которая складывается из энергии электрона проводимости и магнитной энергии).

В качестве следующего шага, была вычислена энергия магнитной структуры и, таким образом, энергия "одетого" магнитного полярона Е^еа- Эта энергия сравнивалась с энергией "голого" магнитного полярона Еьаге. Разность энергий ДЕ = Етаы — Еъаге отрицательна при малых значениях анизотропии. Это означает, что "одетый" магнитный полярон оказывается энергетически выгоднее "голого". Отметим здесь также, что магнитные искажения, создаваемые магнитным поляроном, спадают как 1 /г2 и 1/г на

II \х I

11 иг I г

1 \ / I

I \ ^ / \

■ I 7 а-Т-4 \ I >'

I I /! Л \ 1

I I 1 I

III 1 IV

Рис. 1. "Одетый" магнитный полярон на квадратной решетке.

квадратной и треугольной решетках, соответственно. На треугольной решетке магнитные искажения спадают более "мягко" (как 1 /г), благодаря сильной геометрической фрустрации. С другой стороны, дополнительная фрустрация, обусловленная СБС АФМ обменным взаимодействием, понижает характерную длину спада спиновых искажений вокруг ферромагнитной сердцевины.

Манганиты и родственные им соединения интересны своим богатством различных электронных степеней свободы. Помимо спиновых степеней, рассмотренных выше, важную роль в физике манганитов играют орбитальные степени свободы. Замечательной особенностью орбитального сектора является то, что его идеи (орбитальное упорядочение, орбитальные поля-роны и так далее) схожи с соответствующими идеями спинового сектора, да и математические аппараты, применяемые при описании этих секторов, очень близки1. В силу этой аналогии, в диссертационной работе уделяется внимание получению результатов в орбитальном секторе, идейно похожих

■0.1. КЬопикн, М.У. МозЬтоу, 3. Рпуз. А 36, 1 (2003).

на примесные магнитные поляроны с "шубой" спиновых искажений.

Прежде всего, несколько слов об орбитальных степенях свободы на примере квадратной решетки. Пятикратно вырожденные d-электронные энергетические уровни ионов марганца расщепляются в кристаллическом поле с квадратной (и кубической) симметрией на двукратно вырожденные е9-электронные энергетические уровни (орбитали 3г2 — г2 и х2 — у2) и трехкратно вырожденные ¿2э-электронные энергетические уровни (орбитали ху, xz и yz). Три электрона занимают три соответствующих ¿га-электронных энергетических уровня, что дает локальный спин 3/2. Как следствие, во многих вопросах мы можем ограничиться динамикой только оставшихся е5-электронов и рассматривать только две электронные орбитали. Дальнейшее снятие вырождения электронных энергетических уровней может происходить благодаря нескольким механизмам. Например, ионы Мп3+, окруженные ионами кислорода, испытывают расщепление ед-электронных энергетических уровней благодаря взаимодействию одного (на один ион марганца) е5-электрона с колебаниями ионов кислорода (с так-называемыми фононами Яна-Тсллера)2.

Наше исследование орбитальных степеней свободы было ограничено рассмотрением е9-электронных энергетических уровней и, как следствие, двух соответствующих орбиталей. В рамках данной модели были получены теоретические указания на возможность существования орбитального поляро-на с "шубой" орбитальных искажений. Однако, необходимо отметить, что аналогия между орбитальным и спиновым секторами не является полной. Например, в орбитальном секторе (в общем случае) не существует аналога спиновой струны, поскольку (в отличии от обычного спина) орбитальный псевдоспин не является сохраняющимся числом (возможен перескок с одного типа орбиталей на другой). Однако, если такой перескок сильно подавлен, приближенное решение струнного типа может существовать. Отметим также, что разделение спинового и орбитального секторов хорошо применимо в определенных (как часто — предельных) участках фазовых диаграмм манганитов, но следствия этого разделения для аналитических вычислений трудно переоценить.

В последнем раздело первой главы подробно обсуждались некоторые приближения, сделанные при вычислениях. Самым интересным является

2H.J. Jahn, Е. Teller, Ргос. Roy. Soc. А 161, 220 (1937).

Рис. 2. Схема реализации спаривания пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена. Справа показаны уровни химических потенциалов /¿ и — /г в верхнем и нижнем слоях графена, устанавливаемые затворными напряжениями Vg и —Vs соответственно.

то, какие возможные "сценарии" порождает отказ от того или иного приближения.

Результаты, представленные в первой главе, опубликованы в статьях [1,2,3].

Во второй главе изложены результаты исследования электрон-дырочного спаривания в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Один из возможных вариантов реализации бислоя графена изображен на Рис. 2. В таком варианте два затворных электрода позволяют независимо управлять концентрацией и типом носителей в каждом из двух слоев графена (Рис. 2). Если установить в них равные концентрации электронов и дырок, то из-за совпадения их поверхностей Ферми и кулоновского притяжения между ними система окажется неустойчивой по отношению к спариванию электронов и дырок с противоположными импульсами, которое сопровождается возникновением щели в спектре возбуждений и похоже на спаривание в сверхпроводниках3, экситонном диэлектрике4 и связанных полупроводниковых квантовых ямах5. Такая система может демонстрировать сверхтекучие свойства, связанные с появлением незатухающих токов, движущихся в противоположных направлениях по разным листам графена, и

'J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 108,1175 (1957).

4JI.B. Келдыш, Ю.В. Копаяв, Физика твердого тела 6, 2791 (1964).

5Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон, Письма в ЖЭТФ 22, 556 (1975).

эффекты, подобные эффекту Джозсфсона6.

В результате анализа свойств экранированного электрон-дырочного взаимодействия, обеспечивающего спаривание, показано, что безразмерными управляющими параметрами системы являются rs = e2/eflvp и 2.19/е и PfD/H, где pf = /V^F ~ импульс Ферми. Если rs < 1 или pfD/K » 1, то осуществляется режим слабой связи, при котором притяжение между электронами и дырками является слабым, и основное состояние системы аналогично обычному состоянию типа БКШ. Однако, экспериментально достижим и противоположный режим сильной связщ если ppD/h 1, то сила связи определяется параметром rs и не зависит от концентрации электронов и дырок (что резко контрастирует с ситуацией в обычных системах с нерелятивистским спектром, где rs растет при снижении концентрации7).

В обычных системах спаривающихся фермионов при увеличении силы связи происходит плавный переход от состояния типа БКШ к бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) в газе локальных пар, носящий название кроссовера БКШ-БЭК8. В графене же невозможно образование локализованных пар вследствие отсутствия щели в спектре, что приводит к отсутствию кроссовера БКШ-БЭК. Вместо него при увеличении силы связи происходит переход состояния типа БКШ в ультрарелятивистское состояние типа БКШ, при котором, как и в обычном состоянии типа БКШ, существуют парные корреляции в движении электронов и дырок с противоположными импульсами, но вместе с тем существенную роль играет эффективно ультрарелятивистская динамика спаривающихся частиц. Похожие состояния могут возникать при "цветной" сверхпроводимости в плотной кварковой материи9.

При слабой связи спаривание охватывает лишь небольшие окрестности поверхностей Ферми электронов и дырок (Рис. 3(a)), но при сильной связи спаривание захватывает и удаленные от поверхностей Ферми зоны: валентную зону электронного слоя и зону проводимости дырочного слоя (Рис. 3(6)). Параметр порядка (т.е. аномальная функция Грина Flll2) и щель (аномальная собственно-энергетическая часть Д7172) становятся матрицами (2 х 2), индексы которых 71,72 = ±1 соответствуют зоне проводи-

6Yu.E. Lozovik, A.V. Poushnov, Phys. Lett. A 228, 399 (1997).

7G.D. Mahan, Many-particle physics, Plenum Press, New York, 1990.

8P. Nozi&res, S. Schmitt-ffink, J. Low Temp. Phys. 59, 195 (1985).

'M.G. Alford, A. Schmitt, R. Rajagopal, T. Schäfer, Rev. Mod. Phys. 80, 1455 (2008).

(а) (б)

Рис. 3. Однозонный (а) и многотонный (6) режимы спаривания в бислое графена. Штриховкой указана область импульсного пространстве, охватываемая спариванием; К>172 — компоненты матричного по зонам параметра порядка.

мости и валентной зоне в электронном и дырочном слоях.

Многозонный режим спаривания был исследован в работе при помощи диаграммной техники, специально модифицированной для этой цели. Вводя матричные по индексам зон функции Грина и формулируя фейнма-новские правила для них, можно последовательно изучать все явления в графене, затрагивающие сразу обе зоны. Следует отметить, что при такой формулировке диаграммной техники вершинам кулоновского взаимодействия ставятся в соответствие угловые факторы, зависящие от направлений импульса и зон электрона до и после акта взаимодействия. При помощи многозонной диаграммной техники были получены уравнения Горь-кова, описывающие спаривание в приближении среднего поля и имеющие матричный характер.

Обычно, неустойчивость в межзонном канале, соответствующем антидиагональному по зонам спариванию, возникает только при превышении константой связи довольно большого порогового значения, в то время как во внутризонном канале, соответствующем диагональному по зонам спариванию, отсутствует порог для силы связи. Следовательно, реализовы-ваться будет спаривание, диагональное по зонам, при котором отличны от нуля компоненты матричной щели Д++ и Д__, соответствующие щелям в зоне проводимости и в валентной зоне (аналогично, отличны от нуля только компоненты Р++ и F__параметра порядка, изображенные на

Рис. 3(6)). При в-волновом спаривании две щели подчиняются следующей

системе уравнений самосогласования:

Д77(р,«■„) =-Т^ /

к-1 2

г <1р' 1 + 77'рр'

~ Р', Кп - ¿гО х Ауу(р',г^)

х

{еп-екУ + ЕЦр>Аеку

где введены мацубаровские фермионные частоты еп = ■лТ(2тг + 1) и энергии боголюбовских возбуждений £7(р, геп) = ^/(7^р|р| — ц)2 + Д77(р, кп)\ и/) есть динамически экранированное межслойное электрон-дырочное взаимодействие, а стоящий перед ним угловой фактор возникает в результате свертки по компонентам спинорных волновых функций электронов и зависит от направления импульса р = р/|р|- Структура уравнений (2) детально проанализирована в диссертационной работе.

Было получено приближенное решение системы (2) в статическом приближении, при котором пренебрегается зависимостью щелей и потенциала взаимодействия от частот, но при этом считается (в духе теории БКШ), что спаривание происходит в точках импульсного пространства, удаленных не более чем на некоторую энергетическую ширину и> от поверхности Ферми (см. Рис. 3). Если спаривание является однотонным (т.е. ги < ц), то для величины щели справедлива оценка типа БКШ:

где А — безразмерная константа притяжения на поверхности Ферми. В том же случае, когда спаривание является многозонным (ги > ц), имеем

где константа притяжения Л немного изменяется по сравнению с А за счет влияния валентной зоны. Как видно, оценочное выражение для щели при многозонном спаривании (4) качественно отличается от однозонного выражения (3) тем, что ширина слоя спаривания ю входит в показатель экспоненты, а не в предэкспоненциальный множитель. За счет этого щель может быть значительной при большой ширине зоны спаривания в импульсном пространстве (этот факт был отмечен и ранее при рассмотрении в рамках

(3)

(4)

более грубых моделей10,11). Кроме того, были получены решения системы уравнений для щелей (2) в статическом приближении с заменой потенциала спаривания на его сепарабельную часть, которые также указали на возможность достижения значительной величины щели в многозонном режиме.

Проделанное в диссертационной работе приближенное определение области частот, в которой экранированное взаимодействие F(q, и>) является притягивающим, может дать только порядок величины щели. Поэтому далее в работе было предпринята попытка получения более точных оценок величины щели, основывающихся на решении уравнений, подобных уравнениям Элиашберга и получающихся из (2). В отличие от усреднения уравнений по импульсу, используемого в подходе Элиашберга12, в данном случае более оправданным является переход к уравнениям на "массовой поверхности", в которых частота полагается равной энергии боголюбовских возбуждений. При помощи спектрального представления взаимодействие ш), найденное в приближении хаотических фаз, было разложено на неэкранированное кулоновское взаимодействие Vq = 2-îre2/e|q|, отталкивающий вклад виртуальных плазмонов с частотой w+(ç) и спектральным весом А(д), соответствующих верхней ветви незатухающих плазменных колебаний в системе, и отталкивающий вклад затухающих плазмонов и континуума одночастичных возбуждений. Эти три вклада разделяются в явном виде в ядре результирующего уравнения для оценки щели:

1 -_ 1 W dp А^ f . 2Л(р - pF)

2 ^ J (2тг)2 2Е1(р) ВД + w+(p - pF) +

¿Jmv( р-Р^)^} (5)

(здесь 1ш V(q, ш) < 0, что соответствует эффективному отталкиванию из-за затухающих плазмонов и континуума одночастичных возбуждений).

Численное решение уравнения (5) с использованием пробной функции для щели Д77(р) на массовой поверхности, спадающей на характерных масштабах р ~ pf, показало, что существует серьезная конкуренция между

10Т. Ohsaku, Int. J. Mod. Phys. В 18, 1771 (2004).

"N.B. Kopnin, E.B. Sonin, Phys. Rev. Lett. 100, 246808 (2008).

12Г. M. Элиашберг, ЖЭТФ 38, 966 (1960).

rs

Рис. 4. Щель на поверхности Ферми Д как функция параметра силы связи г„ вычисленная с учетом различных вкладов в эффективное взаимодействие на массовой поверхности. Сплошная линия: полное взаимодействие, штрих-пунктир: учет только неэкранированного кулоновского взаимодействия, пунктир: неэкранированное кулонов-ское взаимодействие и вклад незатухающих шазмонов, штриховая линия: статически экрапировапное взаимодействие.

прямым электрон-дырочным притяжением и эффективным отталкиванием из-за плазмонов и одночастичных возбуждений. Учет динамического экранирования дает оценки величины щели в спектре системы (Рис. 4) на несколько порядков меньшие, чем вообще без учета экранирования13,14, но в то же время на несколько порядков превышающие оценки типа БКШ15'16, сделанные с использованием статически экранированного взаимодействия. Полученные в диссертационной работе оценки максимальной величины критической температуры перехода в сверхтекучее состояние составляют порядка нескольких градусов Кельвина.

Стоит отметить также некоторые особенности сверхтекучих свойств си-

13Н. Min, R. Bistritzer, J.-J. Su, A.H. MacDonald, Phys. Rev. В 78, 121401(R) (2008).

14C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar, Phys. Rev. В 77, 233405 (2008).

I5M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov, Phys. Rev. В 78, 241401(R) (2008).

16M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov, Semicond. Sei. Tech. 25, 034004 (2008).

стемы при многозонном спаривании. Во-первых, относительная фаза щелей в зоне проводимости Д++ и в валентной зоне Д__фиксирована из-за межзонных переходов (слагаемые с 7 ^ 7' в (2)). Однако при уменьшении силы связи связи эта фиксация ослабевает, приводя к возможности образования солитоноподобных возбуждений, связанных с колебаниями относительной фазы. Во-вторых, структура параметра порядка по спинам и долинам никак не фиксирована (в отсутствие спиновых или долинных анизотропий) и задается матрицей Р типа 8и(4), которая может плавно меняться в пространстве. Это приводит к возможности образования, в дополнение к обычным вихрям и полувихрям, четверть-вихрей вида

Р = в

( 0 0 0 \

0 10 0

0 0 10

^ 0 0 0 1/

где 5 — произвольная плавно меняющаяся в пространстве унитарная матрица, 1р — угол, отсчитываемый от центра четверть-вихря. Такие четверть-вихри имеют 16 раз меньшую энергию, чем обычные вихри. В результате температура перехода Костерлица-Таулеса Ткт в сверхтекучее состояние будет определяться условием диссоциации пар противоположно ориентированных четверть-вихрей:

7Г

2 М^кт) = 16 Ткт,

где р8(Т) — фазовая жесткость (или сверхтекучая плотность) конденсата при конечной температуре.

Результаты, представленные во второй главе, опубликованы в статьях [4,6].

В третьей главе рассмотрено сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством обмена фононами. Как было показано во второй главе, спаривание эффективно "ультрарелятивистских" электронов в графене и наноструктурах на его основе имеет важную особенность: оно является многозонным при сильной связи. Поэтому мы исследовали общие закономерности многозонного спаривания электронов в графене под действием фононов. Рассмотрение проводилось при помощи формализма уравнений

Элиашберга12,17 в куперовском канале, в котором пренебрегается нормальной собственной энергией и влиянием кулоновского отталкивания на спаривание. Более того, целесообразно разделять эффективно однозонный режим спаривания в пределе сильного допирования и окрестность квантовой критический точки при малом допировании, где спаривание является существенно двухзонным. Отметим, что данная теория, будучи обобщением теории БКШ для многозонного спаривания в графене, учитывает эффекты запаздывания взаимодействия.

Графен особенно интересен как система, в которой может быть осуществлено многозонное спаривание, поскольку щель между зоной проводимости и валентной зоной в этом материале равна нулю, а химический потенциал, задающий степень удаленности поверхности Ферми от точки касания зон, может регулироваться в широких пределах — от нуля до значений порядка 0.3 эВ при электрическом допировании18 и порядка 1.5 эВ при химическом допировании19. Если химический потенциал мал по сравнению с характерными частотами, на которых происходит сверхпроводящее спаривание, то оно будет затрагивать и зону проводимости, и валентную зону. В противоположном случае сильного допирования спаривание будет затрагивать только одну зону, содержащую поверхность Ферми.

Как и во второй главе, здесь рассматривалось диагональное по зонам спаривание, при котором образуются две щели: Д+ — щель в зоне проводимости (щель для "частиц") и Д_ — щель в валентной зоне (щель для "античастиц"). При этом мы отвлекаемся от структуры конденсата по спинам и долинам, которая при s-волновом спаривании и отсутствии междолинных перебросов должна факторизоваться в виде антисимметричной спин-долинной волновой функции.

Электрон-фононное взаимодействие было выбрано в простейшем виде. Предполагалось, что что деформационный потенциал, возникающий в результате колебаний решетки, одинаково действует на обе подрешетки. В таком случае затравочные матричные элементы электрон-фононного взаимодействия просто умножаются на фактор перекрытия. Для фононного

1ГГ.М. Элиашбсрг, ЖЭТФ 39,1437 (1960).

,8K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, M.I. Katsnelson, I.V. Grigorieva, S.V. Dubonos, A.A. Firsov, Nature 438, 197 (2005).

lsJ.L. McChesney, A. Bostwick, T. Ohta, T. Seyller, K. Horn, J. Gonzalez, E. Rotenberg, Phys. Rev. Lett. 104, 136803 (2010).

спектра было использовано приближение Эйнштейна.

Решение уравнений Элиашберга может быть получено аналитически в различных предельных случаях. В случае сильного допирования, когда химический потенциал д велик по сравнению с характерными частотами фо-нонов, функции щели слабо зависят от импульса, в связи с чем уравнения могут быть усреднены по импульсу и сведены к одномерным интегральным уравнениям по частоте12,17. В противоположном случае слабого допирования, когда химический потенциал сравним с характерной частотой фононов или меньше ее, мы не можем проводить усреднение но поверхности Ферми в силу ее малости. Этот случай, соответствующий окрестности квантовой критической точки.

Для аналитического решения интегрального уравнения в первом случае мы аппроксимировали щель ступенчатой пробной функцией20,21

шириной и>о. В таком подходе частота обрезания а>о является свободным параметром, который можно полагать равным по порядку величины максимальной частоте фононов.

Для нахождения критической температуры сверхпроводящего перехода Тс, которая может служить' верхней оценкой температуры перехода Костерлица-Таулеса в квазидвумерной системе, интегральное уравнение было линеаризованно по величине щели. В результате:

Здесь Л — безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия, u>i — частота фононов, у — постоянная Эйлера.

Существование квантовой критической точки в графене при fi — 0 по отношению к константе связи является результатом обращения в нуль плотности состояний в дираковской точке11'22. Поэтому при рассмотрении квантовой критической точки и се окрестности нужно аккуратно проводить интегрирование по малым импульсам в уравнениях для щели. В то же время

20W.L. McMillan, Phys. Rev. 167, 331 (1968).

21M.B. Медведев, Э.А. Пашицкий, Ю.С. Пятилетов, ЖЭТФ 65, 1186 (1973).

"Е.С. Marino, L.H. Nunes, Nucí. Phys. В 741, 404 (2006).

= Д+6(ш0 - w)

(6)

(7)

детали зависимости функций щели от частоты не являются принципиально важными для физики квантовой критической точки. Таким образом, для рассмотрения спаривания при малом допировании можно использовать ступенчатую аппроксимацию по частоте.

Рассмотрим соотношение параметров системы, соответствующее квантовой критической точке и ее ближайшей окрестности: /х Тс и 1 ~ СЦ). В этом случае температура сверхпроводящего перехода имеет вид:

ш0\ 1

2

2/х21п 2 |

(8)

41п2 I "* V* ' в ' ^

Здесь мы перешли от константы Л к константе С такой, что Л — вц/ш^ При (1 = 0 выражение (8) дает температуру перехода в самой критической точке:

Т = с 21п2

{"КН)- <9>

причем спаривание может существовать только при

Теперь рассмотрим случай дальней окрестности квантовой критической точки, для которой Тс <С р < ~ В этом случае температура сверхпроводящего перехода имеет вид:

2е7 цых Г 1 шо + иП , .

Тс =--ехр + — 1п—--(11)

тг р + ш 1 I А ц ц + шх)

Выражения (8), (9) и (11) для температуры перехода в квантовой критической точке и ее окрестностях похожи по своей форме на выражения, полученные в работе11, но являются более точными благодаря учету динамических эффектов и фактора перекрытия, проистекающего из учета спинорной природы волновых функций электронов. Критическое значение силы электрон-фононного взаимодействия, даваемое неравенством (10), зависит от соотношения частоты обращения в нуль сверхпроводящей щели о>о и частоты фононов Ш].

Отметим некоторое сходство между результатами (7) и (11) для критической температуры, полученными при условиях Тс -С шо ~ и>\ (л и

Тс (.1 < шо ~ соответственно. Эти случаи соответствуют физическим ситуациям однозонного и многозонного спаривания; плавная интерполяция между соответствующими выражениями для Тс может дать ответ на вопрос об изменении факторов, влияющих на критическую температуру при постепенном переходе от многозонного спаривания к однозонному.

Максимальные значения критической температуры спаривания под действием плоских фононов могут быть достигнуты при сильном допировании графена (химический потенциал /х ~ 1.5 эВ, концентрация электронов п ~ 1.5 х 10й см""2), когда спаривание является однозонным. В этом случае температура перехода в сверхпроводящее состояние может достигать долей градуса Кельвина. При таком сильном допировании, которое может быть достигнуто путем напыления примесей19, нужно, однако, учитывать ряд дополнительных факторов, не рассматривавшихся в использованной модели. Среди них можно отметить влияние примесей на конденсат купе-ровских пар 23, треугольное искажение электронного спектра24, способствующее спариванию электронов с противоположными импульсами из противоположных долин, образование зон примесных атомов, как в химически расслоенном графите и в СаСб2°, и даже возможные структурные перестройки самого графена19.

Наконец, было рассмотрено применение разработанного формализма к исследованию спаривания на акустических фононах, что может быть интересно в иных физических системах помимо графена (в контексте спаривания безмассовых фермионов при обмене скалярным бозоном). Напомним, что акустические фононы обладают линейным спектром. Мы ограничились нахождением значения щели при нулевой температуре.

Результаты, изложенные в третьей главе, опубликованы в статьях [5,6].

В заключении подводятся итоги проделанной работы, обсуждаются полученные в ходе диссертационной работы результаты. Кроме того, обсуждаются возможности практического применения полученных результатов и продолжения исследования электронных свойств графена и манга-нитов при помощи развитых в диссертационной работе методов.

«Т.О. Wehling, Н.Р. Dahal, A.I. Lichtenstein, A.V. Balatsky, Phys. Rev. В 78, 035414 (2008).

24T. Ando, T. Nakmishi, R. Saito, J. Phys. Soc. Japan 67, 2857 (1998). "M. Calandra, F. Mauri, Phys. Rev. Lett. 95, 237002 (2005).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследовано состояние мелкомасштабного фазового расслоения в ман-ганитах. Обнаружено, что в спиновом секторе физики манганитов на квадратной и треугольной двумерных решетках с фрустрацией "одетые" магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины и "шубы" спиновых искажений вокруг нее) отвечают основному состоянию системы в то время, как жесткие магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины, но без "шубы" спиновых искажений) оказываются метастабильными объектами.

2. Показано, что описание орбитального сектора физики манганитов эквивалентно описанию спинового сектора. Таким образом, представляется возможным сформулировать идею орбитальных поляронов. Обсуждена возможность степенного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом "шубы" спиновых искажений в спиновом секторе.

3. Исследовано спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Обнаружено, что при переходе от слабой связи к сильной в графене и бислое графена реализуется переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному "ультрарелятивистскому" спариванию.

4. В рамках построенной теории двумерного "ультрарелятивистского" электронного и электрон-дырочного газа вычислено значение сверхпроводящей щели. Отмечено, что многозонное рассмотрение спаривания в бислое графена при сильной связи дает значение щели большее, чем однозонное значение БКШ. Учтено влияние динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели и продемонстрирована серьезная конкуренция между неэкранированным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одноча-стичных возбуждений, с другой стороны. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы, в частности, образование четверть-вихрей при фазовом переходе Костерлица-Таулеса.

5. Исследовано Б-спаривание электронов в графене посредством плоских оптических фононных мод. Параметр порядка был выбран в виде, диагональном по валентной зоне и зоне проводимости, но имеющем произвольную структуру в пространстве долин. Получены и аналитически решены в предельных случаях двухзонные уравнения Элиашберга, описывающие спаривание посредством фононов. Рассмотрено применение разработанного формализма для случая акустических фононов.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК

1. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan, A.L. Rakhmanov, K.I. Kugel, A.O. Sboychakov, Formation of long-range spin distortions by a bound magnetic polarons // Phys. Rev. В 74, 014436, 7 pages (2006).

2. K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, A.O. Sboychakov, M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, The structure of magnetic polarons in doped antiferromagnetic insulators // Physica В 403, 1353, 3 pages (2007).

3. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan, K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, A.O. Sboychakov, The structure of the bound magnetic polarons on frustrated AFM-lattices // J. Phys. C: Condensed Matter 20, 425214, 6 pages (2008).

4. M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, Specific features of the BCS-BEC crossover and thermodynamics in the 2D resonant Fermi gas with p-vvave pairing // Laser Physics 18, 509, 13 pages (2008).

5. C.JI. Огарков, Ю.Е. Лозовик, A.A. Соколик, Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графене // ЖЭТФ 137, 57, 10 стр. (2010).

6. S.L. Ogarkov, Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, Electron-electron and electron-hole pairing in graphene structures // Phil. Trans. R. Soc. A 368, 5417, 13 pages (2010).

Печатные работы в трудах научных конференций

1. K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, А.О. Sboychakov, M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, Extended spin distortions produced by a magnetic polaron in a doped antiferromagnetic insulator // First CoMePhS Workshop on Phase Separation in Electronic Systems, Aghia Pelagia, Crete, Greece, Abstracts of Presentations (2006).

2. K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, A.O. Sboychakov, M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, The structure of magnetic polarons in doped antiferromagnetic insulators

// The International Conference on Strongly Correlated Electron Systems, Houston, Texas, USA, Program and Abstracts, p. 32 (2007).

3. K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, A.O. Sboychakov, M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, The structure of magnetic polarons in doped antiferromagnetic insulators // Euro-Asian Symposium "Magnetism on a Nanoscale", Kazan, Russia, Abstract Book, p. 100 (2007).

4. M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, K.I. Kugel, A.L. Rakhmanov, A.O. Sboychakov, Bound magnetic polarons with extended spin distortions on regular and frustrated AFM lattices // Moscow International Symposium on Magnetism, Moscow, Book of Abstracts, p. 620 (2008).

5. M.Yu. Kagan, S.L. Ogarkov, K.I. Kugel, A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, Bound magnetic polarons with long-range spin distortions on regular and frustrated AFM-lattices // 25th International Conference on Low Temperature Physics, Amsterdam, the Netherlands, Official Conference Book, p. 184 (2008).

6. М.Ю. Каган, СЛ. Огарков, К.И. Кугель, А.О. Сбойчаков, A.JI. Рахманов, Связанные ферромагнитные поляроны на фрустрированных решетках // Сборник научных трудов Научная сессия НИЯУ МИФИ 2008 4, 126 (2008).

7. СЛ. Огарков, А.А. Соколик, Ю.Е. Лозовик, Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графене // Сборник научных трудов Научная сессия НИЯУ МИФИ 2010 1, 220 (2010).

Подписано в печать:

28.01.2011

Заказ № 4911 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Манганиты.

Графен.

Краткий обзор содержания глав.

1 Магнитные и орбитальные поляроны

1 Введение.

2 Примесные магнитные поляроны.

2.1 Гамильтониан модели.

2.2 Энергия электрона проводимости.

2.3 Магнитная структура.

2.4 Энергия магнитного полярона.

4.2 Кинетическая энергия дырки .42

4.3 Энергия орбитального упорядочения.44

4.4 Полная энергия системы.-.46

4.5 Искажения орбитальной матрицы.47

4.6 Заключение.48

5 Выводы.50

2 Электрон-дырочное спаривание в бислое графена 54

1 Введение.54

2 Режим слабой связи.57

2.1 Модель спаривания.57

2.2 Управляющие параметры системы .59

2.3 Результаты и обсуждение.62

3 Многозонное спаривание при сильной связи.64

3.1 Введение.64

3.2 Описание основного состояния.66

3.3 Величина щели при нулевой температуре .71

3.4 Переход Костерлица-Таулеса.78

4 Учет динамических эффектов.80

5 Поляризационный оператор при наличии щели.87

6 Выводы.91

3 Фононный механизм сверхпроводимости в графене 95

1 Многозонные уравнения Элиашберга. 95

1.1 Введение. 95

1.2 Уравнения Элиашберга для графена. 97

1.3 Случай сильного допирования. 99

1.4 Окрестность квантовой критической точки .103

2 Акустические фононы.106

2.1 Значение щели при нулевой температуре.106

2.2 Сравнение с оптическими фононами .110

3 Выводы.111

Заключение 113

Основные результаты.113

Значение полученных результатов.114

Благодарности.115

Введение

Манганиты

В последнее десятилетие резко возрос интерес к манганитам — магнитным окислам на основе марганца, имеющим химическую формулу Ыех-яА^МпОз, где Re — редкоземельный элемент (La, Рг, Nd, Sm, и т.д.), а А — щелочноземельный элемент (Са, Sr, Ва). Хотя эти соединения известны физикам уже более пятидесяти лет [1, 2, 3], большое внимание к ним было вызвано открытием в начале 90х годов, эффекта отрицательного колоссального магнитосопротивления (KMC) [4, 5], и начиная с этого момента, количество публикаций посвященных, как теоретическим, так и экспериментальным исследованиям манганитов продолжает неуклонно расти. Эффект KMC заключается в резком падении удельного сопротивления р(Н) образца при приложении внешнего магнитного поля, и характеризуется величиной магнитосопротивления MR(H) = [р(0) — р(Н)] /р(Н).

Так, например, в первой же работе [4], посвященной эффекту KMC, величина MR(H) в тонких пленках Ьао.етСао.ззМпОз достигала значения MR = 1.27 х 106 процентов при температуре 77 К, что намного превышает значения магнитосопротивления в многослойных магнитных пленках или гранулированных системах. Такие высокие значения MR(H) делают манганиты очень перспективными для использования в качестве датчиков магнитного поля, а также в системах магнитной записи. В то же время, огромный интерес исследователей к этим материалам, объясняется не только возможностью пх практического применения. Привлекательность манганитов, как для теоретиков, так и для экспериментаторов, вызвана, в первую очередь, огромным количеством интересных физических свойств, присущих этим соединениям.

Переплетение зарядовых, орбитальных и спиновых степеней свободы в манганитах, определяет богатство их фазовой диаграммы. Исходные соединения КеМпОз и АМпОз являются антиферромагнитными диэлектриками, но с различным типом антиферромагнитного упорядочения. В зависимости от уровня легирования и типа легирующего элемента, в манганитах помимо антиферромагнитного (АФМ) диэлектрического состояния, может реализовываться также и ферромагнитное (ФМ), как диэлектрическое, так и металлическое состояние. Другой важной особенностью манганитов, имеющей непосредственное отношение к предмету диссертации, является возможность существования в этих материалах разного рода неоднородных состояний в различных частях их фазовой диаграммы. Так, в области малого допирования может реализовываться неоднородное состояние, при котором носители заряда локализуются в ферромагнитных областях малого (несколько постоянных решетки) радиуса (магнитные ноляроны или ферроны), находящихся в антиферромагнитной диэлектрической матрице. Другим примером перераспределения заряда в манганитах является состояние зарядового упорядочения — образование периодической структуры из ионов марганца с разной валентностью [6]. Состояние зарядового упорядочения может возникать в случаях, когда концентрация допирования х является рациональным числом, и может повлечь за собой также нетривиальное орбитальное и спиновое упорядочение. Так, при половинном заполнении х = 1/2 зарядовое упорядочение приводит к возникновению магнитной СЕ структуры — зигзагообразных ферромагнитных цепочек [7]. При больших концентрациях щелочноземельного элемента (например при х = 2/3, х — 3/4), становится возможным образования полосовых структур (страйпов), наблюдаемых, например, в экспериментах [8]. Заметим, что легирование зарядово упорядоченного образца может вновь приводить к возникновению магнитных иоляронов, но уже в зарядово упорядоченной матрице [9]. Ниже проводится краткий обзор основных свойств манганитов и теоретических подходов, используемых при их изучении. Более подробную информацию о манганитах можно найти, например, в обзорах [10, 11, 12, 13, 14, 15] и книгах [16, 17].

Первые систематические исследования магнитного упорядочения в Ьа1хСахМпОз относятся к началу 50х годов. Авторы работы [2] на основе анализа нейтронного рассеяния нашли различные типы магнитного порядка, которые реализуются в Ьа^^Са^МпОз, и построили первую магнитную фазовую диаграмму. Теоретическое объяснение основных типов магнитного упорядочения и связи магнитной структуры с зарядовым и орбитальным порядком в манганитах было дано в работе Гуденафа [18].

Авторы работы [1] обнаружили замечательную корреляцию между температурой Кюри Тс, намагниченностью насыщения и сопротивлением манганитов при различных значениях х: происходящий в результате легирования переход от антиферромагнитного основного состояния к ферромагнитному сопровождается изменением поведения сопротивления образца с полупроводникового на металлическое. Возникновение ферромагнитной металлической фазы манганитов Lai-zCa^MnO;} в области х — 0.2 — х — 0.4 было объяснено Зи-нером [19, 20] исходя из предположения о сильном внутриатомном обмене между локальным спином t2g — электронов и спином делокализованного ед — электрона. Он рассмотрел процесс переноса заряда от Мп3+ к Мп4+ через ион кислорода. Согласно Зинеру [19], в допированных манганитах возникают две вырожденные конфигурации: Mn*i+02-Mn4+ и Согласно Зинеру, вырождение снимается за счет процесса, получившего название двойного обмена, в котором происходит одновременно два перехода: электрона с марганца Мп3+ на кислород и электрона с кислорода на Мп4+. В результате, благодаря сильной связи между локальным спином и спином ед — электрона, минимальной энергии обладает конфигурация, при которой спины марганца выстроены параллельно. Теория двойного обмена была развита в работе Андерсона и Хасегавы [21]. Они рассматривали систему двух локализованных спинов и подвижного электрона, и нашли, что поправка к энергии, связанная с движением электрона, равна t cos i//2, где t — затравочная амплитуда перескока, а и — угол между локальными моментами атомов.

В дальнейшем, в подавляющей части работ, посвященных исследованию манганитов, для описания двойного обмена, стали использовать, т.н. s — d модель [22], в которой электроны двигаются по решетке ионов марганца, в пределе, когда величина внутриатомного обмена между спином электрона проводимости и локальным спином намного превосходит величину интеграла перескока t. Заметим, что в этой модели учитывается только одна зона проводимости для ед — электронов, т.е предполагается существование большой щели Яна-Теллера между двумя ед — орбиталями. Это, в частности, оставляет за рамками рассмотрения столь интересное явление, как орбитальное упорядочение, имеющее место в различных частях фазовой диаграммы манганитов [23, 24].

Развивая результаты Андерсона и Хасегавы, д Жен [25] первым последовательно рассмотрел реальные манганиты, добавив к модели двойного обмена слагаемое, отвечающее слабому антиферромагнитному взаимодействию между локальными спинами ионов марганца. Дополнительный член к гамильтониану стремится выстроить локальные спины антиферромагнитным образом. Это приводит к конкуренции между антиферромагнетизмом локальных спинов, который обусловлен сунеробменом, характерным для магнитных диэлектриков (механизм обмена, связанный с виртуальными перескоками электрона с одного катиона на соседний и обратно через промежуточный анион) и ферромагнетизмом, обусловленным наличием электронов проводимости (двойной обмен). Д Жен предположил, что в результате этой конкуренции реализуется однородное подкошенное состояние: угол между локальными спинами подрешеток является постоянным во всем образце и меняется монотонно от тг (коллипеарный антиферромагнетик) до 0 (коллинеарный ферромагнетик) с увеличением концентрации носителей заряда. Позже Нагаев [26] уточнил его результаты, показав, что существует пороговая концентрация носителей хс, такая, что при х < хс кристалл будет находиться в антиферромагнитном состоянии, а неколлине-ариое подкошенное состояние возникает только при х > хс. Помимо подкошенного однородного состояния (как было подмечено уже д Женом [25]) в модели двойного обмена существует возможность фазового расслоения путем автолокализации носителей заряда в ферромагнитных каплях при малом уровне легирования. Почти одновременно Нагаев [27, 28] и Касуйя [29] предложили теоретическое описание такого автолокализованного состояния носителя в антиферромагнитной матрице, получившего название феррона или магнитного полярона. В пределе бесконечного взаимодействия Хунда, электрон не может двигаться в антиферромагнитном окружении, и локализован на узле. Именно поэтому состояние мангаиитов ИеМпОз (х = 0) оказывается непроводящим, т.к. и этом случае в зоне проводимости имеется только N мест для электронов, а не 2И как в обычном металле (IV — число ионов марганца). Если же электрон создаст вокруг себя ферромагнитную область радиуса Я, в которой он может двигаться, то это даст выигрыш в кинетической энергии. Вместе с тем, возникновение ферромагнитной области ведет к проигрышу в энергии антиферромагнитного суперобмена между локальными спинами. В такой ситуации формируется некоторое равновесное значение радиуса феррона Я (получаемое из условия минимизации суммарной энергии).

Вопрос о подвижности магнитного полярона исследовался в работе Касуйи, который нашел, что эффективная масса феррона очень велика, и, следовательно, он мало подвижен. Дальнейшие исследования Кагана и др. [30] показали, что модель двойного обмена в случае малых концентраций носителей тока неустойчива по отношению к фазовому расслоению, и что энергия ферронного состояния ниже, чем энергия однородного подкошенного состояния.

В области высоких температур, в рамках модели двойного обмена, также возможно образование подобных состояний — температурных ферронов (или флуктуонов). На их существование обратили внимание Кривоглаз [31] и Касуйя с соавторами [32]. В области высоких температур, электрон может быть захвачен ферромагнитной флуктуацией намагниченности в системе локальных спинов, которую ему выгодно стабилизировать. Низкотемпературный проигрыш в антиферромагнитной энергии следует заменить в этом случае на проигрыш в энтропийном члене для локального спина. После такой замены формулы для радиуса и свободной энергии температурных ферронов оказываются похожими на аналогичные формулы для обычных ферронов. Вопросы подвижности температурных ферронов исследовались в работах [31, 33, 34], и вновь был сделан вывод об их малой подвижности.

Следует, отметить, что в большинстве работ по транспортным свойствам мангани-тов, опубликованных с середины 50х до начала 90х годов, рассматривалось однородное состояние системы и не принималась во внимание тенденция к фазовому расслоению. Открытие в начале 90х годов эффекта KMC в манганитах резко повысило интерес к этим веществам и заставило критически переосмыслить соответствие между теорией и экспериментальными данными [36]. Оказалось, что модель двойного обмена, в ее чистом виде, хорошо описывает свойства манганитов в металлической фазе и упорядоченной магнитной подрешетке вдали от перехода метал — изолятор [37, 38], однако, она не может описать диэлектрическое состояние системы [39] и объяснить возникновение неоднородных (и, в частности, орбитально упорядоченных) фаз, экспериментально наблюдаемых в манганитах в широкой области температур и концентраций допирующего элемента х.

Наиболее интенсивно экспериментальные исследования в манганитах велись в области, так называемого, оптимального допирования х = 0.2 — х = 0.3, в которой наблюдались максимальные значения магнитосопротивления. Многие исследователи пытались улучшить теоретическое описание манганитов в этой области, дополняя картину двойного обмена каким-либо механизмом, ведущим к локализации носителей заряда. В частности, предпринимались попытки описать переход металл — диэлектрик как андерсоновский переход [40, 41], вызванный разупорядочением спинов. В работах [42, 43] была предложена теория, согласно которой переход металл — диэлектрик в манганитах вызван изменением порога подвижности носителей вследствие разупорядочения спиновой подсистемы с ростом температуры. Миллис и др. [44, 45] рассматривали расширенный вариант модели двойного обмена, в котором учитывалось наличие двух зон проводимости для е^-электронов, а также взаимодействие электронов с решеткой. Ими было показано, что электроп-фононное взаимодействие способствует локализации электронов в парамагнитной фазе и приводит к усилению эффекта колоссального магнитосопротивления.

Хотя природа КМ С в маиганитах до конца не ясна, многие исследователи полагают, что причина этого явления тесно связана с существованием неоднородных состояний в манганитах, и в частности, с разделением на ферромагнитные и антиферромагнитные фазы. Следует отметить, что хотя модель двойного обмена явно недостаточна для описания физических свойств манганитов, однако многочисленные аналитические [10| и численные расчеты [46] показывают, что возникновение фазово расслоенного состояния (в частности, ферронов) характерно для этой модели в широкой области параметров даже без включения каких-либо дополнительных механизмов.

Существует большое количество экспериментальных свидетельств возникновения неоднородного состояния в манганитах. В области малых концентраций, эксперименты [47, 48] по упругому и неупругому рассеянию нейтронов в Ьах-^Зг^МпОз показали наличие небольших ферромагнитных капель в антиферромагнитной матрице. ЯМР исследования Аллоди и соавторов также свидетельствуют в пользу этой картины: авторы работы [49] наблюдали два резонансных пика в манганитах, один из которых соответствовал ферромагнитной, а другой — антиферромагпитпой фазе; следов наличия подкошенного состояния обнаружено не было. О наличии ферромагнитных металлических капель свидетельствуют также эксперименты [50] по малоугловому нейтронному рассеянию. Следует отметить, что в простой картине фазового расслоения в модели двойного обмена на ферроны в АФМ матрице количество ферромагнитной и металлической фазы совпадают. В то же время, как свидетельствуют недавние экспериментальные исследования [51] систем Ьах-^Са^МпОз и Ьа1хЗгхМпОз, лишь малая часть ферромагнитной фазы может обладать металлической проводимостью.

Рассмотренное выше микроскопическое разделение на фазы (ферромагнитные капли в антиферромагнитной матрице) не является чем-то исключительным и характерным только для манганитов. Скорее наоборот, значительное количество теоретических и экспериментальных работ, появившихся в последние 5 — 10 лет, указывают на то, что фазовое расслоение является неотъемлемой чертой магнитных полупроводников, ВТСП и других систем с преобладанием потенциальной энергии над кинетической (см., например, работы [52, 53]). В настоящее время большое внимание уделяется исследованию разного типа неоднородных зарядовых и спиновых состояний таких, как решеточные и магнитные по-ляроны, капельные и страйповые структуры и т.д. Перечисленные примеры относятся к случаю, так называемого, электронного фазового расслоения, обусловленного тем, что отдельные носители заряда изменяют вокруг себя локальное окружение. Помимо мелкомасштабного фазового расслоения, в манганитах может наблюдаться крупномасштабное расслоение, отвечающее сосуществованию различных фаз, характерное для фазовых переходов первого рода (например, между АФМ и ФМ состояниями). При таком крупномасштабном расслоении, области одной фазы внутри другой могут достигать размеров в десятые доли микрона. Кроме того, сосуществование ФМ и АФМ фаз в манганитах может иметь и более сложный характер. Так в экспериментах по малоугловому нейтронному рассеянию в системе Рго.б7Сао.ззМпОз Симон с соавторами [54] обнаружили магнитную структуру, при которой ФМ фаза существует в виде тонких слоев в АФМ матрице ("red cabbage"). Имеются также четкие экспериментальные указания, что фазовое расслоение характерно не только для магнитоупорядоченных фаз, но и для парамагнитной области [55]. Таким образом, образование неоднородных состояний оказывается характерным для различных областей фазовой диаграммы манганитов.

Другим примером систем, в которых наличие ферромагнитных металлических включений в диэлектрической среде определяет их магнитные и транспортные характеристики, являются магнитные нанокомпозиты. Композитные материалы, состоящие из наногранул железа, кобальта или никеля, находящихся в немагнитной полупроводниковой или диэлектрической матрице, проявляют необычные магнитные и магнитотранспортные свойства, такие как суперпарамагнетизм, гигантское магнитосопротивление, магниторефрактивный эффект и т.д. [57, 58, 59, 60, 61]. Физические свойства магнитных нанокомпозитов изучаются в настоящее время весьма интенсивно не только в связи с фундаментальными свойствами этих систем, но и с возможностью их практического использования в датчиках магнитного поля, в системах магнитной записи, а также в высокочастотных приложениях. Высокие значения магнитной проницаемости тонких пленок с частицами кобальта были продемонстрированы в [62, 63, 64]. Наногранулярная структура пленок представляет собой довольно регулярно расположенные неоксидированные частицы кобальта в диэлек-1 трической матрице, например, окиси циркония. Частицы размерами в несколько нанометров имеют форму близкую к сферической и довольно узкое распределение по размерам. Достижение хороших высокочастотных свойств обусловлено также большим магнитным моментом кобальта, высоким полем магнитной анизотропии [65, 66, 67] и высоким электрическим сопротивлением в области выше порога перколяции. В этой области высокие значения магнитной проницаемости пленок с наночастицами кобальта были измерены в [62, 63, 64] в интервале частот до 1 ГГц. Были сделаны очень интересные предположения о магнитной структуре таких нанокомпозитов [62, 67, 68, 69, 70]. Однако до настоящего времени влияние магнитной структуры на высокочастотную магнитную проницаемость не было подробно изучено.

Графен

Графен представляет собой двумерную структуру, составленную из атомов углерода, которые расположены в узлах кристаллической решетки типа "пчелиные соты" и соединены друг с другом ковалентными связями. Наиболее распространенная форма углерода — графит — может рассматриваться как стопка листов графена, относительно слабо связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса. Широко известные углеродные наноструктуры — ианотрубки и фуллерены [103, 104] — можно рассматривать как свернутый в трубку лист графена или, соответственно, как замощение сферы решеткой графена. Таким образом, графен является ключевой квазидвумерной системой, с точки зрения классификации дающей начало трехмерному графиту, квазиодномерным нанотрубкам и квазинульмерным фуллеренам.

Изучение свойств графита и углеродных наноструктур всегда отправлялось от рассмотрения их элементарного блока — изолированного листа графена. Каждый атом углерода в графене окружен тремя ближайшими соседями и обладает четырьмя валентными электронами, три из которых образуют sp2 — гибридизованные орбитали, расположенные в одной плоскости под углами 120 градусов и формирующие ковалентные связи с соседними атомами. Четвертый электрон, представленный ориентированной перпендикулярно плоскости графена 2pz — орбиталью, может перескакивать с одного атома на другой и отвечает за низкоэнергетические электронные свойства графена. Квазиимпульс электрона, находящегося в поле кристаллической решетки графена, заключен в пределах первой зоны Бриллюэна, которая имеет форму шестиугольника.

Первым к теоретическому изучению электронных свойств графена и графита обратился Уоллес в 1947 г. [105]. В простом приближении сильной связи с учетом взаимодействия ближайших соседей он показал, что углы первой зоны Бриллюэна графена являются точками, в которых происходит касание валентной зоны и зоны проводимости 2р. — электрона и вблизи которых дисперсия электронов является линейной. Уровень Ферми химически чистого графена находится в точке касания зон, в связи с чем графен может быть назван квазидвумерным полупроводником с нулевой щелью.

Поскольку кристаллическая решетка графена не является решеткой Бравэ, но может рассматриваться как совокупность двух взаимопроникающих треугольных подрешеток, то эффективная волновая функция электрона в графене может быть представлена двумя огибающими блоховских волн, построенных на этих подрешетках. Низкоэнергетическая динамика электронов графена определяется их поведением вблизи двух точек касания зон в импульсном пространстве К и К' (в окрестности дираковских точек, или в двух долинах зоны проводимости), входящих в первую зону Бриллюэна [106]. Особенность зонной структуры графена, кардинально отличающая его от обычных металлов и полупроводников, заключается в том, что эффективное уравнение для огибающих вблизи точек К и К' имеет вид двумерного аналога релятивистского уравнения Дирака-Вейля для частиц с нулевой массой [107], в котором роль скорости света играет фермиевская скорость г>р ~ Ю6 м/с [108].

Позднее было показано, что вышеописанное поведение электронов вытекает из характера группы симметрии кристаллической решетки графена вне зависимости от используемого приближения [106]. Впоследствии не только развивалась и уточнялась зонная теория графена и графита [109, 110], но и, в связи с экспериментальным изучением интеркали-рованного графита [111], появился интерес к некоторым многочастичным аспектам электронных свойств графена (например, экранирование примесей [112], свойства плазмонов [113], время жизни квазичастиц [114], влияние беспорядка [115]).

Слабое сцепление и относительная независимость слоев графена в кристалле графита уже давно наталкивали исследователей на мысль о том, что графен может быть получен как изолированный объект, двумерная мембрана толщиной в один атом [116]. Но, помимо связанных с этим технических сложностей, существовали сомнения в том, что графен будет механически стабильным. Из аргументов Ландау и Пайерлса [117] следовало, что в чисто двумерной системе не может быть дальнего кристаллического порядка вследствие логарифмической расходимости длинноволновых флуктуаций двумерных смещений атомов из узлов решетки (хотя после классических работ Березинского [118], Костерлица и

Таулесса [119] стало ясно, что хотя дальний кристаллический порядок в двумерной системе отсутствует, в низкотемпературной фазе существует квазидальний степенной порядок, сохраняющий основное свойство кристалла — наличие длинноволнового модуля сдвига). Кроме того, существовало сомнение в том, устойчив ли графен как двумерная мембрана, помещенная в трехмерное пространство — иными словами, не приводят ли флуктуации смещений атомов перпендикулярно листу к превращению графена в смятый комок.

Новая эпоха для графена началась в 2004 году, когда он был получен группой Новоселова и Гейма при помощи метода микромеханического расщепления графита [120, 121]. В этом методе поверхность графита плотно трется о ровную поверхность кремния, покрытого слоем оксида, и оставляет множество чешуек различной толщины. На поверхности двуокиси кремния чешуйки графена даже атомарной толщины можно было увидеть в оптический микроскоп. В первых экспериментах были получены образцы однослойного, а также двухслойного и многослойного графена и исследованы их транспортные свойства [120, 122]. Графен оказался устойчивым в воздухе при комнатной температуре. Находясь на подложке, он механически стабилен, но на нем образуются небольшие локальные искривления нанометровых размеров — "рипплы" [123]. Оказалось, что ангармоническая связь между колебаниями атомов в плоскости графена и изгибными колебаниями смягчает дисперсию последних и в каком-то смысле стабилизирует графеновую мембрану [124].

Первые же экспериментальные исследования графена дали подтверждение того, что его электроны ведут себя как безмассовые дираковские частицы [122]. Обработка данных по осцилляциям Шубникова-де Гааза показала, что дисперсия электронов действительно является линейной, а измеренное значение скорости электронов Vр согласуется с результатами вычислений в рамках зонной модели. Более яркой особенностью графена явился аномальный целочисленный квантовый эффект Холла. Энергии релятивистских уровней Ландау графена в сильном магнитном поле Н равны Е±п = \/2пе11/с (см. напр. [125, 126, 127, 128]). Важным является наличие уровня нулевой энергии п = 0, который можно считать принадлежащим наполовину валентной зоне, а наполовину — зоне проводимости. Вследствие такой особенности уровня п — 0 удельная холловская проводимость листа графена в режиме квантового эффекта Холла принимает полуцелые значения в единицах кванта удельной проводимости [126, 127, 128] аху — (Ае2/Ь)(п + 1/2), где п — целое число, а множитель 4 отвечает вырождению по спину и долинам. Такая последовательность холловских плато, обнаруженная в эксперименте [122], явилась убедительным подтверждением "ультрарелятивистской" природы электронов в графене.

При изучении графена очень удобной оказалась возможность управления концентрацией носителей заряда при помощи электрического поля [120]. Графен, полученный механическим расщеплением графита, находится па кремниевой подложке, покрытой слоем БЮо толщиной 300 нм. Прикладывая затворное напряжение между листом графена и подложкой, можно создать плоский конденсатор, причем поверхностная плотность заряда на одной из его обкладок — листе графена — будет пропорциональна затворному напряжению. В недопированном химически чистом графене химический потенциал находится в дираковской точке, а прикладывание напряжения различной полярности позволяет до-пировать его как электронами, так и дырками. Концентрация носителей заряда может регулироваться таким способом от нуля до максимальных значений порядка 1013 см , ограниченных электрическим пробоем слоя ЭЮг

Изготовление графена микромеханическим методом оказалось довольно трудоемким, поэтому большую популярность в последнее время приобретает альтернативный способ получения графена — эпитаксиальное выращивание [129], при котором слои графена образуются на поверхности кристалла ЭЮ, нагреваемого до высокой температуры в вакууме.

С точки зрения приложений графен перспективен в первую очередь как материал для создания принципиально новых наноэлектронных, наномеханических и нанохимиче-ских устройств. Будучи системой атомарной толщины, графен обеспечивает абсолютный предел миниатюризации по крайней мере в одном измерении и хороню подходит к современным планарным технологиям создания интегральных схем. При помощи нанолито-графии из графена можно вырезать куски произвольной формы и устанавливать на них контактные и бесконтактные электроды [130]. Подвижность носителей заряда в чистых образцах графена достигает рекордных значений (см. [131, 132]) и почти не зависит от концентрации, что также является очень ценным для возможных приложений (в частности, для баллистической электроники, принципиально отличающейся от традиционной транзисторной). Отметим также, что щель между уровнями Ландау графена в типичных лабораторных магнитных полях 10 — 20 Тл достигает тысяч градусов, а это позволяет наблюдать квантовый эффект Холла и использовать его для создания эталонов сопротивления даже при комнатной температуре [133].

Интерес к исследованию графена с фундаментальной точки зрения вызван возможностью изучать в такой системе поведение безмассовых заряженных частиц, и особенно их коллективное поведение, в двумерной твердотельной системе ("на лабораторном столе") [134]. Эффективно ультрарелятивистская динамика электронов в графене приводит к ряду электронных явлений, не имеющих аналогов в других физических системах (например, полуцелый квантовый эффект Холла, абсолютная прозрачность потенциальных барьеров при нормальном падении и т.н.) и позволяют надеяться на возможность достижения новых режимов поведения квантовых многочастичных систем в наноструктурах на его основе (см. обзорные статьи [135, 136, 137, 138]). Ряд электронных явлений, возможных в графене, имеет аналоги в релятивистской физике элементарных частиц и кварковой материи. Таким образом, можно сказать, что исследования графена находятся на стыке физики конденсированных сред и физики высоких энергий.

Коллективными электронными явлениями называют явления, в которых согласованно участвует макроскопическая доля электронов и которые несводимы к поведению отдельных электронов. В качестве примеров таких явлений можно назвать сверхпроводимость, образование экситоиного диэлектрика, бозе-конденсацию экситонов и магнитоэк-ситонов, плазменные колебания, вигнеровскую кристаллизацию, ферромагнетизм. Особенности коллективных электронных явлений в графене непосредственно вытекают из особенностей эффективно релятивистской динамики электронов, таких как двумерность системы, линейная дисперсия энергии электронов, близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости, спинорная природа эффективной волновой функции, заселение электронами двух долин в окрестностях дираковских точек.

Двумерность графена делает некоторые свойства электронного газа в нем похожими на свойства квазидвумерных электронных систем на основе полупроводниковых квантовых ям [139]. Проявлением двумерности является, в частности, то, что фазовые переходы графена в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния (в том числе, рассмотренные в данной диссертационной работе) будут иметь характер перехода Костерлица-Таулеса [119].

Линейная дисперсия электронов приводит к ряду последствий, самым ярким из которых является маргинальность кулоновского взаимодействия. Безразмерный параметр 7\з, характеризующий отношение характерных величин кулоновской и кинетической энергий квантовой системы, в случае графена равен е2/ehvp ~ 2.19/е, где е — диэлектрическая проницаемость окружающей графен среды. Как видно, этот параметр не зависит от концентрации электронного газа, и может быть изменен только в довольно ограниченных пределах помещением графена в различные среды (максимальное значение rs составляет около 2.19, если графен подвешен в вакууме). Это резко контрастирует с обычным (трехмерным или квазидвумерным) электронным газом, в котором гк растет с уменьшением концентрации [140]. Недостижимость больших значений г8 в графене приводит, в частности, к невозможности существования в графене сильпокоррелированных фаз, таких как вигнеровский кристалл [141].

Похожим проявлением линейной дисперсии является то, что отношение характерного расстояния между уровнями Ландау в графене, помещенном во внешнее магнитное поле, к характерной величине кулоновского взаимодействия между электронами не зависит от напряженности поля. Магнитное поле напряженностью Н задает "магнитную длину" 1н = у/с/еН — параметр размерности длины, соответствующий радиусу циклотронных орбит электронов. Расстояние между уровнями Ландау имеет порядок Ур/1н [126, 127], а характерная величина кулоповской энергии есть е2/е1н- Отношение этих величин не зависит от Н и сводится к параметру гв, который, как было сказано, может регулироваться только посредством изменения диэлектрической проницаемости окружающей среды е. В обычном квазидвумерном электронном газе ситуация иная: в сильных магнитных полях расстояние между уровнями Ландау всегда доминирует над кулоновской энергией.

Аномальные электронные свойства недопированного графена, в котором химический потенциал, отсчитываемый от дираковской точки, равен нулю, также являются следствием линейной дисперсии. Из-за нее плотность состояний электронов ведет себя как А/" ос [1 и обращается в нуль в дираковской точке Е = 0, что приводит, в частности, к отсутствию существенного экранирования кулоновского взаимодействия на больших расстояниях в недопированном графене; экранирование при этом является нелинейным [112, 142]. В недопированпом графене отсутствуют характерные параметры размерности длины (за исключением периода решетки, играющего роль только в высокоэнергетической динамике), поэтому сила кулоновского взаимодействия, не меняясь при масштабных преобразованиях, является маргинальной переменной [143, 144]. Более того, в недопированном графене отсутствуют хорошо определенные квазичастицы, поскольку скорости распада квазичастиц растут линейно с ростом их энергии [145].

Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости проявляется в свойствах квазичастичных возбуждений электронного газа в графене. В частности, обменное кулоновское взаимодействие приводит к логарифмической перенормировке скорости Ферми в области малых импульсов [143], а межзонные электронные переходы открывают соответствующий канал затухания плазменных колебаний [114, 146, 147).

Кроме того, отсутствие щели между валентной зоной и зоной проводимости наводит на мысль о возможности перестройки основного состояния электронной системы в результате спонтанного образования конденсата электрон-дырочных пар, сходного с состоянием экситонного диэлектрика [148, 149, 150]. В работах [151, 152, 153] была рассмотрена возможность такой неустойчивости основного состояния графена в зависимости от параметра N — числа спиновых компонент электронов. Недавние результаты численного моделирования [154] показали, что графен, помещенный в вакуум, действительно может перейти в состояние экситонного диэлектрика.

Спинорная природа эффективной волновой функции неразрывно связана с сосуществованием валентной зоны и зоны проводимости: состояния электрона в этих зонах отличаются друг от друга только различными соотношениями амплитуд спинорных компонент [138]. Следствием спинорной природы волновой функции является наличие у электронов фазы Берри, равной 7г: при обходе электрона в импульсном пространстве по замкнутому контуру вокруг одной из двух дираковских точек его волновая функция меняет знак [155].

Заселение электронами двух долин является аналогом киральности безмассовых частиц [156] — состояниям электронов в двух долинах соответствуют значения киральности +1 и —1. Дополнительная долинная степень свободы электронов может проявляться в ряде эффектов, например, в возможности образования параметров порядка с различными долинными структурами при спаривании в графене [157].

Краткий обзор содержания глав

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию состояний мелкомасштабного фазового расслоения манганитов и ряда коллективных электронных явлений в графене. Все особенности поведения электронов, перечисленные выше, находят свое отражение в полученных в работе результатах, которые опубликованы в статьях [75, 100, 101, 102, 163, 165].

Большое внимание в диссертационной работе уделено коллективным явлениям в бис-лое графена — системе, состоящей из двух параллельных слоев графена, разделенных диэлектриком. Пространственное разделение слоев графена допускает существование долгоживущих нар, состоящих из электронов и дырок, находящихся в разных слоях. В таком электрон-дырочном бислое можно ожидать появления различных сильно коррелированных фаз благодаря кулоновскому притяжению электронов и дырок. Вислой графена может оказаться более подходящей системой для изучения коллективных явлений, чем связанные полупроводниковые квантовые ямы, благодаря атомарной толщине слоев графена, позволяющей сблизить электроны и дырки на очень малые расстояния. В образцах бис-лоя графена, которые были изготовлены и изучены в недавних экспериментах [166, 167], расстояние между слоями составляет несколько ангстрем.

В первой главе представлены результаты исследования мелкомасштабных фазовых расслоений в манганитах. Мы обобщаем модель, рассмотренную в работе [75], на случай (2D) фрустрированных решеток. Мы рассматриваем два типа таких решеток. Первый тип — квадратная решетка с взаимодействием ближайших соседних решеточных (локальных) спинов (ВС взаимодействие) и взаимодействием следующих после ближайших соседних решеточных спинов (СБС или диагональное взаимодействие). Второй тип — треугольная решетка, обладающая сильной геометрической фрустрацией даже в отсутствии СБС взаимодействия. Все эти взаимодействия носят АФМ характер. Далее мы коротко рассматриваем свободные магнитные ноляроны на треугольной решетке с учетом СБС взаимодействия. Эти результаты важны не только сами по себе, но и для последующего сравнения со свободными орбитальными поляронами, которыми мы также уделяем внимание в диссертационной работе.

Дальнейшее исследование посвящено орбитальному сектору в физике манганитов и родственных им соединений [76]. Мы покажем, что описание этого сектора очень похоже на описание спинового сектора, и, таким образом, представляется возможным сформулировать идею орбитальных поляроиов [77]. Мы также обсуждаем возможность медленного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом "шубы" спиновых искажений в спиновом секторе.

Наконец, в завершении главы мы более подробно обсуждаем некоторые приближения, такие как пренебрежение диагональным перескоком на квадратной решетке, пренебрежение спиновыми квантовыми флуктуациями, приближение классической матрицы перескока, влияние температуры и приближение невзаимодействующих магнитных поляроиов, сделанные в процессе работы, и их следствия.

Во второй главе представлены результаты исследования электрон-дырочного спаривания в бислое графена в режиме слабой и сильной связи. При помощи затворных электродов можно независимо управлять типом и носителей в каждом из двух слоев графена, и если установить в них равные концентрации электронов и дырок, то из-за совпадения поверхностей Ферми и кулоновского притяжения между ними система окажется неустойчивой по отношению к спариванию электронов и дырок с противоположными импульсами (аналоги — спаривание электронов в сверхпроводниках [175], и электронов и дырок в экситонном диэлектрике [148, 149] и в связанных полупроводниковых квантовых ямах [176, 177]). Такое спаривание сопровождается появлением параметра порядка в системе и щели в спектре ее одночастичных возбуждений, а также сверхтекучими свойствами, связанными с появлением незатухающих токов, движущихся в противоположных направлениях по разным листам графена, и эффектами, подобными эффекту Джозефсона.

В диссертационной работе найдены параметры системы, задающие величину безразмерного параметра, характеризующего относительную силу экранированного электрон-дырочного притяжения — силу связи. Мы показали, что при достаточно малых межслой-ных расстояниях сила связи не зависит от концентрации электронов и дырок и определяется параметром rs, который зависит только от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Это резко контрастирует с экситонным спариванием в связанных квантовых ямах, при котором сила связи возрастает при снижении концентрации [176].

Далее, мы показали, что в режиме слабой связи основное состояние электрон-дырочного бислоя графена аналогично обычному состоянию спаривания, описываемому теорией Бардина-Купера-Шиффера (БКШ) [175]. Для этого случая получены выражения для щели в спектре при нулевой температуре. При увеличении силы связи в обычных системах спаривающихся фермионов происходит плавный переход от состояния типа БКШ к бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) в газе локальных пар, носящий название кроссовера БКШ-БЭК [178]. В графене же невозможно образование локализованных пар, что приводит к отсутствию кроссовера БКШ-БЭК. Вместо него при увеличении силы связи состояние типа БКШ переходит в ультрарелятивистское состояние типа БКШ, при котором существуют парные корреляции электронов и дырок с противоположными импульсами, но вместе с тем существенную роль играет играет эффективно ультрарелятивистская динамика спаривающихся частиц. В то время как при слабой связи спаривание охватывает лишь небольшие окрестности поверхностей Ферми электронов и дырок, находящиеся в зоне проводимости электронного слоя и валентной зоне дырочного слоя, при сильной связи снаривание захватывает и удаленные от поверхностей Ферми зоны: валентную зону электронного слоя и зону проводимости дырочного слоя. Похожие состояния могут возникать при "цветной" сверхпроводимости в плотной кварковой материи [179].

При помощи построенной в работе многозонной диаграммной техники рассмотрено ультрарелятивистское БКШ-состояние в бислое графена, описываемое системой уравнений самосогласования для двух щелей: в зоне проводимости и в валентной зоне. Путем решения этих уравнений получены оценки величины щели в спектре возбуждений системы. Показано, что величина щели при сильной связи отличается от оценок, даваемых теорией БКШ, и может превышать их на несколько порядков при большой ширине области спаривания в импульсном пространстве. Спаривание в бислое графена в режиме сильной связи рассмотрено также с учетом динамических эффектов в духе подхода Элиашберга [180, 181], т.е. с учетом частотной зависимости собственно-энергетических частей и динамически экранированного электрон-дырочного взаимодействия. Последнее в таком подходе может быть разделено на прямое кулоновское притяжение и отталкивающий вклад виртуальных плазмонов и одночастичпых возбуждений, между которыми существует серьезная конкуренция. Оценки величины щели, полученные при таком рассмотрении, составляют несколько градусов Кельвина при максимальном значении гь. Соответствующие результаты опубликованы в статьях [165].

В третьей главе рассмотрено сверхпроводящее спаривание электронов в графене, вызванное обменом фононами. В качестве возможных источников собственной сверхпроводимости графена различными авторами были предложены фононный механизм [182, 183], плазмонный механизм в графене, покрытом слоем металла [182], электронные корреляции [184, 185] и существенно анизотропное электрон-электронное взаимодействие вблизи сингулярностей Ван-Хова электронной подсистемы [186]. Фононный механизм сверхпроводимости может осуществляться посредством плоских фононов, соответствующих колебаниям атомов в плоскости графена, и изгибных фононов, соответствующих изгибу листа графена (если графен свободно подвешен). Среди плоских фононов наиболее сильное взаимодействие с электронами демонстрируют 4 оптические моды, наблюдающиеся в спектрах комбинационного рассеяния [187, 188]. Взаимодействие электронов с изгпбными фононами, представленными двумя модами, имеет необычный вид — оно квадратично по операторам фононов [189, 190, 183].

Снаривание электронов в графене посредством плоских фононных мод описано в диссертационной работе при помощи диаграммной техники, оперирующей с матричными функциями Грина, строки и столбцы которых соответствуют состояниям электронов на двух подрешетках кристаллической решетки графена и в двух долинах К и К'. Выражения для гамильтониана электрон-фононного взаимодействия в графене отражают тот факт, что волновые функции электронов распределены по двум подрешеткам, в то время как разные фонопные моды соответствуют различным совместным и относительным колебаниям двух подрешеток. Как следствие, аппарат матричных функций Грина необходим для корректного описания электрон-фононного взаимодействия в графене, разрешенного по подрешеткам и долинам электронов.

Полученные в работе матричные уравнения Горькова, описывающие спаривание в графене, допускают, в принципе, различные виды параметра порядка. В данном случае исследовалось такое спаривание, которое диагонально по зонам (и, как в случае электрон-дырочного спаривания в бислое графена, характеризуется двумя щелями — в зоне проводимости и в валентной зоне), но при этом может иметь произвольную структуру вида SU(2) в пространстве долин К и К'. Решение уравнений Горькова приводит к системе двух уравнений самосогласования для щелей, похожих на уравнения Элиашберга [180, 181]. Были найдены аналитические решения такой системы в приближении эйнштейновского спектра фононов как в пределе сильного допирования графена, когда спаривание, фактически, существует только в одной из зон, так и при малом допировании — в квантовой критической точке недопированного графена по константе связи и в ее окрестности. Оценки константы связи, отвечающей плоским оптическим фононам, показывают, что при сильном химическом допировании графена температура перехода в сверхпроводящее состояние может достигать долей градуса Кельвина.

Разработанный формализм применен к исследованию спаривания на акустических фо-нонах, что может быть интересно в иных физических системах помимо графена (в контексте спаривания безмассовых фермионов при обмене скалярным бозоном). Соответствующие результаты опубликованы в статьях [163].

Все выкладки is диссертационной работе представлены в гауссовой системе единиц и в соглашении h = 1.

Основные результаты

Перечислим вкратце основные результаты, представленные в диссертации:

1. Исследовано состояние мелкомасштабного фазового расслоения в манганитах. Обнаружено, что в спиновом секторе физики манганитов на квадратной и треугольной двумерных решетках с фрустрацией "одетые" магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины и "шубы" спиновых искажений вокруг нее) отвечают основному состоянию системы в то время, как жесткие магнитные поляроны (состоящие из ферромагнитной сердцевины, но без "шубы" спиновых искажений) оказываются метастабильными объектами.

2. Показано, что описание орбитального сектора физики манганитов эквивалентно описанию спинового сектора. Таким образом, представляется возможным сформулировать идею орбитальных поляронов. Обсуждена возможность степенного спада искажений орбитального порядка, являющегося аналогом "шубы" спиновых искажений в спиновом секторе.

3. Исследовано спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Обнаружено, что при переходе от слабой связи к сильной в графене и бислое графена реализуется переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному "ультрарелятивистскому" спариванию.

4. В рамках построенной теории двумерного "ультрарелятивистского" электронного и электрон-дырочного газа вычислено значение сверхпроводящей щели. Отмечено, что многозонное рассмотрение спаривания в бислое графена при сильной связи дает значение щели большее, чем одпозонное значение БКШ. Учтено влияние динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели и продемонстрирована серьезная конкуренция между неэкранирован-ным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одночастичных возбуждений, с другой стороны. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы, в частности, образование четверть-вихрей при фазовом переходе Костерлица-Таулеса.

5. Исследовано s-спаривание электронов в графене посредством плоских оптических фонониых мод. Параметр порядка был выбран в виде, диагональном по валентной зоне и зоне проводимости, но имеющем произвольную структуру в пространстве долин. Получены и аналитически решены в предельных случаях двухзонные уравнения Элиашберга, описывающие спаривание посредством фононов. Рассмотрено применение разработанного формализма для случая акустических фононов.

Значение полученных результатов

Обсудим теперь практическую значимость полученных результатов и возможные направления дальнейших исследований электронных свойств манганитов и графена при помощи развитых в диссертационной работе методов. Представленные в первой главе результаты — характеристики состояния мелкомасштабного фазового расслоения — могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными посредством нейтронного рассеяния. Изучение фазовых диаграмм манганитов может оказаться полезным с точки зрения инженерных приложений в области колоссального магнитосопротивления (KMC).

Рассмотренное во второй главе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально при низких температурах. Сверхтекучесть конденсата электрон-дырочных пар и сопутствующие ей эффекты Джозефсона могут быть использованы в различных напоэлектронных устройствах. С фундаментальной точки зрения представляют интерес разработка теории сверхтекучести системы с многозонным спариванием, поиск новых типов топологических возбуждений в такой системе и исследование роли корреляционных эффектов в режиме сильной связи.

Изученное в третьей главе сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством фононного механизма может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов и примыкает к явлениям сверхпроводимости в интеркалированном графите.

Таким образом, в диссертационной работе проведены теоретические исследования ряда коллективных электронных явлений в манганитах и графене. Результаты указывают на множество их интересных особенностей. Бурное развитие исследований манганитов и графена и перспективы их технологических применений придают особую значимость полученным результатам.

Благодарности

В заключение автору хочется выразить особую благодарность своему научному руководителю Юрию Ефремовичу Лозовику за постановку задач в области графена, научное руководство и постоянную поддержку на всех этапах исследования графена. Работа выполнена в НИЯУ МИФИ. Часть работы (по графену) выполнена в сотрудничестве с A.A. Соколиком (Институт спектроскопии РАН). Автор глубоко обязан К.И. Кугелю и А.О. Сбойчако-ву за совместное решение задач в области манганитов. Мы все благодарны М.Ю. Кагану, Д.И. Хомскому и А.Л. Рахманову за обсуждение основных результатов по манганитам, A.B. Клапцову и И. Гонзалезу за помощь на ранних стадиях исследований манганитов.

Заключение

1. G.H. Jonker and J.H. Van Santen. Ferromagnetic compounds of manganese with perovskite structure // Physica (Utrecht) 16, 337 (1950).

2. E.O. Wollan and W.C. Koehler. Neutron diffraction study of the magnetic properties of the series of perovskite-type compounds Ьа1жСахМпОз // Phys. Rev. 100, 545 (1955).

3. Дж.Б. Гуденаф, Магнетизм и химическая связь, Москва, Металлургия, 1968.

4. S. Jin, Т.Н. Tiefel, М. McCormack, R.A. Fastnacht, R. Ramesh, and L.H. Chen. Thousandfold change in resistivity in magnetoresistive La-Ca-Mn-0 films // Science 264, 413 (1994).

5. R. von Helmolt, J. Wecker, B. Holzapfel, L. Schultz, and K. Samwer. Giant negative magnetoresistance in perovskitelike Ьаг/зВах/зМпОз ferromagnetic films // Phys. Rev. lett. 71, 2331 (1993).

6. C.N.R. Rao, A. Arulraj, A.K. Cheetham, and B. Raveau. Charge ordering in rare earth manganites: The experimental situation //J. Phys: Condens. Matter. 12, R83 (2000).

7. P.G. Radaelli, D.E. Cox, M. Marezio, and S.-W. Cheong. Charge, orbital, and magnetic ordering in Ьа,).5Сао.5МпОз // Phys. Rev. В 55, 3015 (1997).

8. S. Mori, C.H. Chen, and S-W. Cheong. Pairing of charge-ordered stripes in (La, Ca)Mn03 // Nature 392, 473 (1998).

9. М.Ю. Каган, К.И. Кугель, Д.И. Хомский. Фазовое расслоение в системах с зарядовым упорядочением // ЖЭТФ 120, 470 (2001).

10. М.Ю. Каган, К.И. Кугель. Неоднородные зарядовые состояния и фазовое расслоение в манганитах // УФН 171, 577 (2001).116

11. Е. Dagotto, Т. Ilotta, and A. Moreo. Colossal magnetoresistant materials: the key role of phase separation // Physics Reports 344, 1 (2001).

12. B.M. Локтев, Ю.Г. Погорелов. Особенности физических свойств и колоссальное маг-нитосопротивление манганитов // ФНТ 26, 231 (2000).

13. J.M.D. Соеу, М. Viret, and S. von Molndr. Mixed valence manganites // Adv. Phys. 48, 167 (1999).

14. Э.Л. Нагаев. Манганиты лантана и другие магнитные проводники с гигантским магнитным сопротивлением // УФН 166, 833 (1996).

15. М.В. Salamon and М. Jaime. The physics of manganites: stincture and transport // Rev. Mod. Phys. 73, 583 (2001).

16. E.L. Nagaev, Colossal-magnetoresistance and phase separation in magnetic semiconductors, London, Imperial College Press, 2002.

17. E. Dagotto, Nanoscale phase separation and colossal magnetoresistance: the physics of manganites and related compounds, Berlin, Springer-Verlag, 2003.

18. J. Goodenough. Theory of the role of covalence in the perovskite-type manganites LaMn03 // Phys. Rev. 100, 564 (1955).

19. C. Zener. Interaction between the d-shells in the transition metals, Phys. Rev. 81, 440 (1951).

20. C. Zener. Interaction between the d-shells in the transition metals. II. Ferromagnetic compounds of manganese with perovskite structure, Phys. Rev. 82, 403 (1951).

21. P.W. Anderson and II. Hasegawa. Considerations on double exchange // Phys. Rev. 100, 675 (1955).

22. C.B. Вонсовский, Магнетизм, Москва, Паука, 1971.

23. D.I. Khomskii. Orbital effects in manganites // Int. J. Mod. Phys. В 15, 2665 (2001).

24. K.I. Kugel and D.I. Khomskii. Elastic interactions and superstructures in manganites and other Jahn-Teller systems // Phys. Rev. В 67, 134401 (2003).

25. P.-G, de Gennes. Effects of double exchange in magnetic crystals // Phys. Rev. 118, 141 (I960).

26. Э.Л. Нагаев. Концентрационный фазовый переход в неколлинеарное магнитное состояние // ЖЭТФ 57, 1274 (1969).

27. Э.Л. Нагаев. Основное состояние и аномальный магнитный момент электронов проводимости в антиферромагнитном полупроводнике // Письма в ЖЭТФ 6, 484 (1967).

28. Э.Л. Нагаев. Ферромагнитные микрообласти в полупроводниковом антиферромагнетике // ЖЭТФ 54, 228 (1968).

29. Т. Kasuya. Mobility of the antiferromagnetic large polaron // Solid State Commun. 8, 1635 (1970).

30. M.Y. Kagan, D.I. Khoinskii, and M.V. Mostovoy. Double exchange model: phase separation versus canted spins // Eur. Phys. J. В 12, 217 (1999).

31. M.A. Кривоглаз. Подвижность и эффективная масса флуктуонов // УФН 12, 3496 (1970).

32. Т. Kasuya, A. Yanase, and Т. Takeda. Stability conditions for the paramagnetic polaron in a magnetic semiconductor // Solid State Commun. 8, 1543 (1970).

33. T. Kasuya, A. Yanase, and T. Takeda. Mobililty of large paramagnetic polaron // Solid State Commun. 8, 1551 (1970).

34. D.T. Virgen. Mobihlty of self-trapped paramagnetic spin polaron //J. Phys. C: Solid State Phys. 6, 967 (1973).

35. K. Kubo and N. Ohata. Quantum theory of double exchange //J. Phys. Soc. Jpn. 33, 21 (1972).

36. A.J. Millis, P.B. Littlewood, and B.I. Shraiman. Double exchange alone does not explain the resistivity of Ьа^^г^МпОз // Phys. Rev. Lett. 74, 5144 (1995).

37. N. Furukawa. Anomalous shift of chemical potential in the double-exchange systems // J. Phys. Soc. Jpn. 66, 2523 (1997)

38. N. Furukawa, Thermodynamics of the double exchange systems, in Physics of manganites, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1999; cond-mat/9812066.

39. P. Schiffer, A.P. Ramirez, W. Bao, and S-W. Cheong. Low temperature magnetoresistance and the magnetic phase diagram of Ьа1хСаа;МпОз // Phys. Rev. lett. 75, 3336 (1995).

40. C.M. Varma. Electronic and magnetic states in the giant magnetoresistive compounds // Phys. Rev. В 54, 7328 (1996).

41. Qiming Li, Jun Zang, A.R. Bishop, and C.M. Soukoulls. Charge localization in disordered colossal-magnetoresistance manganites // Phys. Rev. В 56, 4541 (1997).

42. N.G. Bebenin and V.V. Ustinov. Conduction and disorder in LaMnOa-based materials // J. Magn. Magn. Mater. 196-197, 451 (1999).

43. N.G. Bebenin and V.V. Ustinov. Shift of mobility edge as an origin of colossal magnetoresistance in heavily doped lanthanum manganites //J. Phys.: Condens. Matter 10, 6301 (1998).

44. A.J. Millis, R. Mueller, and B.I. Shraiman. Fermi-liquid-to-polaron crossover. II. Double exchange and the physics of colossal magnetoresistance // Phys. Rev. В 54, 5405 (1996).

45. A.J. Millis, B.I. Shraiman, and R. Mueller. Dynamic Jahn-Teller effect and colossal magnetoresistance // Phys. Rev. Lett. 77, 175 (1996).

46. A. Moreo, S. Yunoki, and E. Dagotto. Phase separation scenario for manganese oxides and related materials // Science 283, 2034 (1999).

47. M. Hennion, F. Moussa, G. Biotteau, J. Rodriguez-Carvajal, L. Pinsard, and A. Revcolevschi. Liquidlike spatial distribution of magnetic droplets revealed by neutron scattering in Ьа^СаяМпОз // Phys. Rev. Lett. 81, 1957 (1998).

48. M. Hennion, F. Moussa, G. Biotteau, J. Rodriguez-Carvajal, L. Pinsard, and A. Revcolevschi. Evidence of anisotropic magnetic polarons in Lao.giSro.oeMnOa by neutron scattering and comparison with Ca-doped manganites // Phys. Rev. В 61, 9513 (2000).

49. G. Allodi, R. De Renzi, G. Guidi, F. Licci, and M.W. Pieper. Electronic phase separation in lanthanum manganites: Evidence from Mn NMR // Phys. Rev. В 56, 6036 (1997).

50. J.M. De Teresa, M.R. Ibarra, P. A. Algarabel, C. Ritter, С Marquina, J. Blasco, J. GarcHa, A. del Moral, arid Z. Arnold. Evidence for magnetic polarons in the magnetoresistive perovskites // Nature 386, 256 (1997).

51. E.V. Mostovshchikova, N.G. Bebenin, and N.N. Loshkareva. Volume of metallic phase in lightly doped lanthanum manganite single crystals // Phys. Rev. В 70, 012406 (2004).

52. A. Mauger and D.L. Mills. Role of conduction-electron-local-moment exchange in antiferromagnetic semiconductors: Perrons and bound magnetic polarons // Phys. Rev. В 31, 8024 (1985).

53. M. Umehara. Possible self-trapped magnetic polaron in EuSe // Phys. Rev. В 54, 5523 (1996).

54. Ch. Simon, S. Mercone, N. Guiblin, C. Martin, A. Brulet, and G. Andre. Microphase separation in Рг0.б7Сао.ззМпОз by small-angle neutron scattering // Phys. Rev. Lett. 89, 207202 (2002).

55. Н.И. Солин, Б.Б. Машкауцан, А.В. Королев, Н.Н. Лошкарева, JI. Пинсард. Магнитные поляроны, кластеры и их влияние на электрические свойства слаболегированных манганитов лантана // Письма в ЖЭТФ 77, 275 (2003).

56. J.P. Perez, V. Dupuis, J. Tuaillon, et al. Magnetic properties of nanostructured iron films obtained by low energy neutral cluster beam deposition //J. Magn. Magn. Mater. 145, 74 (1995).

57. Zhengang Zhang, Chengxian Li, Chao Li, and Shihui Ge. Giant magnetoresistance of Co-Al-0 insulating granular films depositee at various substrate temperatures //J. Magn. Magn. Mater. 198, 30 (1999).

58. B.B. Рыльков, Б.А. Аронзон, А.В. Давыдов, Д.Ю. Ковалев, Е.З. Мейлихов. Долговременная релаксация магнитосопротивления в гранулярном ферромагнетике // ЖЭТФ 121, 908 (2002).

59. S.P. Gubin, Yu.I. Spichkin, Yu.A. Koksharov, et al. Magnetic and structural properties of Co nanoparticles in a polymeric matrix // J. Magn. Magn. Mater. 265, 234 (2003).

60. Е. Ganshina, К. Aimuta, A. Granovsky, et al. Optical and magneto-optical properties of magnetic nanocomposites //J- Appl. Phys. 95, 6882 (2004).

61. A.B. Granovsky and M. Inoue. Spin-dependent tunnelling at infrared frequencies: magnetorefractive effect in magnetic nanocomposites //J. Magn. Magn. Mater. 272, E1601 (2004).

62. S. Ohnuma, H. Fujimori, S. Mitani, and T. Masumoto. High-frequency magnetic properties in metal-nonmetal granular films //J. Appl. Phys. 79, 5130 (1996).

63. Y. Hayakawa, A. Makino, H. Fujimori, and A. Inoue. High resistive nanocrystalline Fe-M-O (M=Hf, Zr, rare-earth metals) soft magnetic films for high-frequency applications // J. Appl. Phys. 81, 3747 (1997).

64. S. Ohnuma, H.J. Lee, N. Kobayashi, H. Fujimori, and T. Masumoto. Co-Zr-0 nanogranular thin films with improved high frequency soft magnetic properties // IEEE Trans. Magn. 37, 2251 (2001).

65. S. Asakura, S. Ishio, A. Okada, and H. Saito. Magnetic domain percolation of granular films // J. Magn. Magn. Mater. 240, 485 (2002).

66. J.M. Torres, F. Luis, L.M. Garcia, et al. Magnetic characterization of granular Со/А12Оз multilayers // J. Magn. Magn. Mater. 242, 575 (2002).

67. A.M. Brandl, J.C. Denardin, M. Knobel, et al. Study of interactions in Co — Si02 granular films by means of MEM and magnetization measurements // Physica В 320, 213 (2002).

68. S. Sankar, A.E. Berkowitz, D. Dender, et al. Magnetic correlations in non-percolated Co Si02 granular films // J. Magn. Magn. Mater. 221, 1 (2000).

69. D. Kechrakos and K.N. Trohidou. Magnetic properties of dipolar interacting singledomain particles // Phys. Rev. В 58, 12169 (1998).

70. J.J. Blackweel, M.P. Morales, К. О Grady, et al. Interactions and hysteresis behavior of Fe/Si02 nanocomposites //J. Magn. Magn. Mater. 242, 1103 (2002).

71. M.Yu. Kagan, A.V. Klaptsov, I.V. Brodsky, K.I. Kugel, A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov. Nanoscale phase separation in manganiles //J. Phys. A 36, 9155 (2003).

72. E.L. Nagaev. Magnetic polarons of complicated structure // JETP Lett 74, 431 (2001).

73. J. Castro, I. Gonzalez, D. Baldomir. Stabilization of magnetic polarons in antiferromagnetic semiconductors by extended spin distortions // Eur. Phys. J. В 39, 447 (2004).

74. I. Gonzalez, J. Castro, D. Baldomir, A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, K.I. Kugel. Magnetic polarons in a doped one-dimensional antiferromagnetic chain // Phys. Rev. В 69, 224409 (2004).

75. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan, A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, K.I. Kugel. Formation of long-range spin distortions by a bound magnetic polaron // Phys. Rev. В 74, 014436 (2006).

76. Y. Tokura, N. Nagaosa. Orbital physics in transition-metal oxides // Science 288, 462 (2000).

77. R. Kilian, G. Khaliullin. Orbital polarons in the metal-insulator transition of manganites // Phys. Rev. В 60, 13458 (1999).

78. M. Hennion, F. Moussa. The precursor phase of the CMR metallic state probed by spin and lattice dynamics // New J. Phys. 7, 84 (2005).

79. M. Hennion, F. Moussa, P. Lehouelleur, F. Wang, A. Ivanov, Ya.M. Mukovskii, D. Shulyatev. Confined spin waves reveal an assembly of nanosize domains in ferromagnetic Lai^Ca^MnOs // Phys. Rev. Lett 94, 057006 (2005).

80. P. Chandra, P. Coleman, A.I. Larkin. Ising transition in frustrated Heisenberg models // Phys. Rev. Lett 64, 88 (1990).

81. M.V. Berry. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 392, 45 (1984).

82. E. Müller-Hartmann, E. Dagotto. Electronic Hamiltonian for transition-metal oxide compounds // Phys. Rev. В 54, R6819 (1996).

83. D.I. Khomskii, M.V. Mostovoy. Orbital ordering and frustrations //J. Phys. A 36, 1 (2003).

84. H.J. Jahn, E. Teller. Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic States. I. Orbital degeneracy // Proc. Roy. Soc. A 161, 220 (1937).

85. J. van den Brink, D. Khomskii. Orbital ordering of complex orbitals in doped Mott insulators // Phys. Rev. В 63, R1401416 (2001).

86. R. Maezono, N. Nagaosa. Complex orbital state in manganites // Phys. Rev. В 62, 11576 (2000).

87. K.I. Kugel, D.I. Khomskii. // JETP Lett 15, 446 (1972).

88. L.F. Feiner, A.M. Oles, J. Zaanen. Quantum melting of magnetic order due to orbital fluctuations // Phys. Rev. Lett 78, 2799 (1997).

89. G. Khaliullin, V. Oudovenko. Spin and orbital excitation spectrum in the Kugel-Khomskii model // Phys. Rev. В 56, R14243 (1997).

90. L.E. Gontchar, A.E. Nikiforov, S.E. Popov. Interplay between orbital, charge and magnetic orderings // J. Magn. Mater. 223, 175 (2001).

91. L. Capriotti, S. Sorella. Spontaneous plaquette dimerization in the J1-J2 Heisenberg model // Phys. Rev. Lett 84, 3173 (2000).

92. V.N. Kotov, J. Oitmaa, O. Sushkov, Z. Weihong. Low-energy singlet and triplet excitations in the spin-liquid phase of the two-dimensional J1-J2 model // Phil. Mag. В 80, 1483 (2000).

93. F. Figueirido, A. Karlhede, S. Kivelson, S. Sondhi, M. Rocek, D.S. Rokhsar. Exact diagonalization of finite frustrated spin 1/2 Heisenberg models // Phys. Rev. В 41, 4619 (1989).

94. E. Dagotto, A. Moreo. Phase diagram of the frustrated spin 1/2 Heisenberg antiferromagnet in 2 dimensions // Phys. Rev. Lett 63, 2148 (1989).

95. M.P. Gelfand, R.R.P. Singh, D.A. Huse. Zero-temperature ordering in two-dimensional frustrated quantum Heisenberg antiferromagnets // Phys. Rev. В 40, 10801 (1989).

96. N. Read, S. Sachdev. Large-N expansion for frustrated quantum antiferromagnets // Phys. Rev. Lett 66, 1773 (1991).

97. М. Zithomirski, К. Ueda. Valence-bond crystal phase of a frustrated spin 1/2 squarelattice antiferromagnet // Phys. Rev. В 54, 9007 (1996).

98. С. Kittel, Quantum Theory of Solids, New York, Wiley, 1963.

99. E.JI. Нагаев, Физика Магнитных Полупроводников, Москва, Наука, 1979.

100. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan, А.О. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, K.I. Kugel. The structure of magnetic polarons in doped antiferromagnetic insulators // Phys. Rev. В 403, 1353 (2008).

101. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan. Specific features of the BCS-BEC crossover and thermodynamics in the 2D resonant Fermi gas with p-wave pairing // Laser Physics 18, 509 (2008).

102. S.L. Ogarkov, M.Yu. Kagan, A.O. Sboychakov, A.L. Rakhmanov, K.I. Kugel. The structure of the bound magnetic polarons on frustrated AFM-lattices //J. Phys. Cond. Mat. 20, 425214 (2008).

103. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, Ph. Avouris (eds.), Carbon nanotubes, Berlin, Springer, 2000.

104. H.O. Pierson, Handbook of carbon, graphite, diamond and fullerenes, New Jersey, Noyes Publications, 1993.

105. P.R. Wallace. The band theory of graphte // Phys. Rev. 71, No. 9, pp. 622-634 (1947).

106. J.C. Slonczewski, P.R. Weiss. Band structure of graphite // Phys. Rev. 109, No. 2, pp. 272-279 (1958).

107. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Москва, Наука, 1984, стр. 80.

108. G.W. Semenoff. Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly // Phys. Rev. Lett. 53, No. 26, pp. 2449-2452 (1984).

109. J.W. McClure. Band structure of graphite and de Haas-van Alphen effect // Phys. Rev. 108, No. 3, pp. 612-618 (1957).

110. G.S. Painter, D.E. Ellis. Electronic band structure and optical properties of graphite from a variational approach // Phys. Rev. В 1, No. 12, pp. 4747-4752 (1970).

111. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Intercalation compounds of graphite // Adv. in Phys. 30, No. 2, pp. 139-326 (1981).

112. D.P. DiVincenzo, E.J. Mele. Self-consistent effective-mass theory of intralayer screening in graphite intercalation compounds // Phys. Rev. В 29, No. 4, pp. 1685-1694 (1984).

113. K.W.-K. Shung. Dielectric function and plasmon structure of stage-1 intercalated graphite // Phys. Rev. В 34, No. 2, pp. 979-993 (1986).

114. K.W.-K. Shung. Lifetime effects in low-stage intercalated graphite systems // Phys. Rev. В 34, No. 2, pp. 1264-1273 (1986).

115. E. Fradkin. Critical behavior of disordered degenerate semiconductors. I. Models, symmetries and formalism // Phys. Rev. В 33, No. 5, pp. 3257-3262 (1986).

116. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Intercalation compounds of graphite // Adv. in Phys. 51, No. 1, pp. 1-186 (2002).

117. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика. Часть 1, Москва, Наука, 1976, стр. 471.

118. В.Л. Березинский, Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии, Москва, Физматлит, 2007.

119. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless. Ordering, metastability and phase transitiona in two-dimensional systrms // J. Phys. C: Solid State Phys. 6, No. 7, pp. 1181-1203 (1973).

120. K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films // Science 306, No. 5696, pp. 666-669 (2004).

121. K.S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T.J. Booth, V.V. Khotkevich, S.V. Morozov, A.K. Geim. Two-dimensional atomic crystals // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102, No. 30, pp. 10451-10453 (2005).

122. K.S. Novoselov, А.К. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, M.I. Katsnelson, I.V. Grigorieva, S.V. Dubonos, A.A. Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene // Nature 438, No. 7065, pp. 197-200 (2005).

123. J.C. Meyer, A.K. Geim, M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, T.J. Booth, S. Roth. The structure of suspended graphene sheets // Nature 446, No. 7131, pp. 60-63 (2007).

124. P.L. Doussal, L. Radzihovsky. Self-consistent theory of polymerized membranes // Phys. Rev. Lett. 69, No. 8, pp. 1209-1212 (1992).

125. F.D.M. Haldane. Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensedmatter realization of the KParity anomalytb // Phys. Rev. Lett. 61, No. 18, pp. 2015-2018 (1988).

126. E.V. Gorbar, V.P. Gusynin, V.A. Miransky, I.A. Shovkovy. Magnetic field driven metal-insulator phase transition in planar systems // Phys. Rev. В 66, No. 4, 045108(22pp) (2002).

127. Y. Zheng, T. Ando. Hall conductivity of a two-dimensional graphite system // Phys. Rev. В 65, No. 24, 245420(llpp) (2002).

128. V.P. Gusynin, S.G. Sharapov. Unconventional integer quantum Hall effect in graphene // Phys. Rev. Lett. 95, No. 14, 146801(4pp) (2005).

129. W.A. de Heer, C. Berger, X. Wu, P.N. First, E.H. Conrad, X. Li, T. Li, M. Sprinkle, J. Hass, M.L. Sadowski, M. Potemski, G. Martinez. Epitaxial graphene // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 92-100 (2007).

130. B. Ozyilmaz, P. Jarillo-Herrero, D. Efetov, P. Kim. Electronic transport in locally gated graphene nanoconstrictions // Appl. Phys. Lett. 91, No. 19, 192107(3pp) (2007).

131. S.V. Morozov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson. Giant intrinsic carrier mobilities in graphene and its bilayer // Phys. Rev. Lett. 100, No. 1, 016602(4pp) (2008).

132. K.I. Bolotin, K.J. Sikes, Z. Jiang, M. Klima, G. Fudenberg, J. Ilone, P. Kim, II.L. Stormer. Ultrahigh electron mobility in suspended graphene // Solid State Commun. 146, No. 910, pp. 351-355 (2008).

133. K.S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S.V. Morozov, H.L. Stormer, U. Zeitler, J.C. Maan, G.S. Boebinger, P. Kim, A.K. Geim. Room-temperature quantum Hall effect in graphene // Science 315, No. 5817, pp. 1379-1379 (2007).

134. M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov. Graphene: New bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 3-13 (2007).

135. M.I. Katsnelson. Graphene: carbon in two dimensions // Materials Today 10, No. 1-2, pp. 20-27 (2007).

136. A.K. Geim, K.S. Novoselov. The rise of graphene // Nature Materials 6, No. 3, pp. 183-191 (2007).

137. A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, A.K. Geim. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 80, No. 1, pp. 109-162 (2009).

138. Ю.Е. Лозовик, С.П. Меркулова, А.А. Соколик. Коллективные электронные явления в графеие // УФН 178, No. 7, сс. 757-776 (2008).

139. Т. Ando, А.В. Fowler, F. Stern. Electronic properties of two-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. 54, No. 2, pp. 437-672 (1981).

140. G.D. Mahan, Many-particle physics, New York, Plenum Press, 1990.

141. H. Dahal, Y.N. Joglekar, K. Bedell, A.V. Balatsky. Absence of Wigner crystallization in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 23, 233405(3pp) (2006).

142. M.I. Katsnelson. Nonlinear screening of charge impurities in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 20, 201401 (R)(3pp) (2006).

143. J. González, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Non-Fermi liquid behavior of electrons in the half-filled honeycomb lattice (A renormalization group approach) // Nucl. Phys. В 424, No. 3, pp. 595-618 (1994).

144. J. González, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Marginal-Fermi-liquid behavior from two-dimensional Coulomb interaction // Phys. Rev. В 59, No. 4, pp. R2474-R2477 (1999).

145. J. Gonzalez, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Unconventional quasiparticle lifetime in graphite // Phys. Rev. Lett. 77, No. 17, pp. 3589-3592 (1996).

146. В. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, F. Guinea. Dynamical polarization of graphene at finite doping // New J. Phys. 8, No. 12, 318(15pp) (2006).

147. E.H. Hwang, S. Das Sarina. Dielectric function, screening, and plasmons in two-dimensional graphene // Phys. Rev. В 75, No. 20, 205418(6pp) (2007).

148. Jl.B. Келдыш, Ю.В. Копаев. Возможная неустойчивость полуметаллического состояния относительно кулоновского взаимодействия // Физ. твердого тела 6, No. 9, сс. 2791-2798 (1964).

149. P.P. Гусейнов, JI.B. Келдыш. О характере фазового перхода в условиях кэкситон-нойн> неустойчивости электронного спектра кристалла // ЖЭТФ 63, No. 6(12), сс. 2255-2263 (1972).

150. D. Jérôme, Т.М. Rice, W. Kohn. Excitonic insulator // Phys. Rev. 158, No. 2, pp. 462475 (1967).

151. D.V. Khveshchenko. Ghost excitonic insulator transition in layered graphite // Phys. Rev. Lett. 87, No. 24, 246802(4pp) (2001).

152. I.F. Herbut. Interactions and phase transitions on grapheneYs honeycomb lattice // Phys. Rev. Lett. 97, No. 14, 146401 (4pp) (2006).

153. D.T. Son. Quantum critical point in graphene approached in the limit of infinitely strong Coulomb interaction // Phys. Rev. В 75, No. 23, 235423(7pp) (2007).

154. J.E. Drut, T.A. Lahde. Is graphene in vacuum an insulator? // Phys. Rev. Lett. 102, No. 2, 026802(4pp) (2009).

155. T. Ando, T. Nakanishi, R. Saito. Berry's phase and absence of back scattering in carbon nanotubes // J. Phys. Soc. Japan 67, No. 8, pp. 2857-2862 (1998).

156. R. Jackiw, S.-Y. Pi. Chiral gauge theory for graphene // Phys. Rev. Lett. 98, No. 26, 266402(4pp) (2007).

157. I.L. Aleiner, D.E. Kharzeev, A.M. Tsvelik. Spontaneous symmetry breaking in graphene subjected to an in-plane magnetic field // Phys. Rev. В 76, No. 19, 195415(27pp) (2007).

158. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Electron-hole pair condensation in graphene bilayer // Письма в ЖЭТФ 87, No. 1, cc. 61-65 (2008).

159. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Coherent phases and collective electron phenomena in graphene // J. Phys.: Conf. Ser. 129, 012003(8pp) (2008).

160. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, M. Willander. Coherent phases and magnetoexcitons in graphene // Phys. Stat. Sol. A 206, No. 5, pp. 927-930 (2009).

161. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Multi-band pairing of ultrarelativistic electrons and holes in graphene bilayer // Phys. Lett. A 374, No. 2, pp. 326-330 (2009).

162. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Ultratrelativistic electron-hole pairing in graphene bilayer // Eur. Phys. J. В 73, No. 2, pp. 195-206 (2009).

163. Ю.Е. Лозовик, СЛ. Огарков, А.А. Соколик. Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графене // ЖЭТФ 137, No. 1, сс. 57-66 (2010).

164. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Phonon-mediated electron pairing in graphene // Phys. Lett. A 374, No. 27, pp. 2785-2791 (2010).

165. Yu.E. Lozovik, S.L. Ogarkov, A.A. Sokolik. Electron-electron and electron-hole pairing in graphene structures // Philos. Trans. Roy. Soc. А (в печати).

166. H. Schmidt, Т. Ludtke, P. Barthold, E. McCann, V.I. Falko, R.J. Haug. Tunable graphene system with two decoupled monolayers // Appl. Phys. Lett'. 93, No. 17, 172108(3pp) (2008).

167. H. Schmidt, T. Ludtke, P. Barthold, R.J. Haug. Mobilities and scattering times in decoupled graphene monolayers // Phys. Rev. В 81, No. 12, 121403(R)(4pp) (2010).

168. Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. К теории экситона Мотта в сильном магнитном поле // ЖЭТФ 53, No. 2, сс. 717-722 (1967).

169. И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик. Экситон Мотта в квазидвумерных полупроводниках в сильном магнитном поле // ЖЭТФ 78, No. 3, сс. 1167-1175 (1980).

170. И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик. Двумерные электронно-дырочные системы в сильном магнитном поле как почти идеальный газ экситонов // ЖЭТФ 80, No. 4, сс. 14881503 (1981).

171. И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик. Влияние корреляционных эффектов на фазовые переходы в квазидвумерных полуметаллах в сильном магнитном поле // ЖЭТФ 82, No. 4, сс. 1188-1203 (1982).

172. I.V. Lerner, Yu.E. Lozovik. Phase transitions in two-dimensional electron-hole systems in the high magnetic fields // J. Low Temp. Phys. 38, No. 3-4, pp. 333-352 (1980).

173. O.L. Berman, Yu.E. Lozovik, G. Gumbs. Bose-Einstein condensation and superfluidity of inagnetoexcitons in bilayer graphene // Phys. Rev. В 77, No. 15, 155433(10pp) (2008).

174. C. Kallin, B.I. Halperin. Excitations from a filled Landau level in the two-dimensional electron gas // Phys. Rev. В 30, No. 10, pp. 5655-5668 (1984).

175. J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer. Theory of superconductivity // Phys. Rev. 108, No. 5, pp. 1175-1204 (1957).

176. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. О возможности сверхтекучести разделенных в пространстве электронов и дырок при их спаривании: новый механизм сверхпроводимости // Письма в ЖЭТФ 22, No. 11, сс. 556-559 (1975).

177. С.И. Шевченко. Теория сверхпроводимости систем со спариванием пространственно разделенных электронов и дырок // Физ. низк. темп. 2, No. 4, сс. 505-516 (1976).

178. P. Nozieres, S. Schmitt-Rink. Bose condensation in an attractive electron gas: From weak to strong coupling superconductivity // J. Low Temp. Phys. 59, No. 3-4, pp. 195-211 (1985).

179. M.G. Alford, A. Schmitt, R. Rajagopal, T. Schäfer. Color superconductivity in dense quark matter // Rev. Mod. Phys. 80, No. 4, pp. 1455-1515 (2008).

180. Г.М. Элиашберг. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в сверхпроводнике // ЖЭТФ 38, No. 3, сс. 966-976 (1960).

181. Г.М. Элиашберг. Температурные функции Грина электронов в сверхпроводнике // ЖЭТФ 39, No. 5(11), сс. 1437-1441 (1960).

182. В. Uchoa, А.Н. Castro Neto. Superconducting states of pure and doped graphene // Phys. Rev. Lett. 98, No. 14, 146801 (4pp) (2007).

183. D.V. Khveshchenko. Massive Dirac fermions in single-layer graphene //J. Phys.: Condens. Matter 21, No. 7, 07533(7pp) (2009).

184. A.M. Black-Schaffer, S. Doniach. Resonating valence bonds and mean-field d-wave superconductivity in graphite // Phys. Rev. В 75, No. 13, 134512(10pp) (2007).

185. C. Honerkamp. Density waves and Cooper pairing on the honeycomb lattice // Phys. Rev. Lett. 100, No. 14, 164404(4pp) (2008).

186. J. González. Kohn-Luttinger superconductivity in graphene // Phys. Rev. В 78, No. 20, 205431 (6pp) (2008).

187. S. Piscanec, M. Lazzeri, F. Mauri, A.C. Ferrari, J. Robertson. Kohn anomalies and electron-phonon interactions in graphite // Phys. Rev. Lett. 93, No. 18, 185503(4pp) (2004).

188. D.M. Basko, I.L. Aleiner. Interplay of Coulomb and electron-phonon interactions in graphene // Phys. Rev. В 77, No. 4, 041409(R)(4pp) (2008).

189. E. Mariani, F. von Oppen. Flexural phonons in free-standing graphene // Phys. Rev. Lett. 100, No. 7, 076801 (4pp) (2008).

190. E. Mariani, F. von Oppen. Erratum: Flexural phonons in free-standing graphene Phys. Rev. Lett. 100, 076801 (2008)] // Phys. Rev. Lett. 100, No. 24, 249901 (lp) (2008).

191. A. Karlhede, S.A. Kivelson, S.L. Sondhi, The quantum Hall effect, Jerusalem 2002 winter school, University of California, 2002.

192. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, Наука, 1989.

193. K.W. Chiu, J.J. Quinn. Plasma oscillations of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field // Phys. Rev. В 9, No. 11, pp. 4724-4732 (1974).

194. Ю.Е. Лозовик, A.M. Рувинский. Магнитоэкситонное поглощение в связанных квантовых ямах // ЖЭТФ 112, No. 5, сс. 1791-1808 (1997).

195. J.P. Eisenstein, A.H. MacDonald. BoselJEinstein condensation of excitons in bilayer electron systems // Nature 432, No. 7018, pp. 691-694 (2004).

196. L.V. Butov, A.V. Mintsev, Yu.E. Lozovik, K.L. Campman, A.C. Gossard. From spatially indirect excitons to momentum-space indirect excitons by an in-plane magnetic field // Phys. Rev. В 62, No. 3, pp. 1548-1551 (2000).

197. L.V. Butov, C.W. Lai, D.S. Chemla, Yu.E. Lozovik, K.L. Campman, A.C. Gossard. Observation of magnetically induced effective-mass enhancement of quasi-2D excitons // Phys. Rev. Lett. 87, No. 21, 216804(4pp) (2001).

198. Yu.E. Lozovik, I.V. Ovchinnikov, S.Yu. Volkov, L.V. Butov, D.S. Chemla. Quasi-two-dimensional excitons in finite magnetic fields // Phys. Rev. В 65, No. 23, 235304(llpp) (2002).

199. А.Б. Дзюбенко,Ю.Е. Лозовик. Квазидвумерный конденсат электронно-дырочных пар в сильных магнитных полях // Физ. твердого тела 26, No. 5, сс. 1540-1541 (1984).

200. А.В. Dzuybenko, Yu.E. Lozovik. Symmetry of Hamiltonians of quantum two-component systems: condensate of composite particles as an exast eigenstate //J. Phys. A 24, No. 2, pp. 415-424 (1991).

201. С.Д. Дикман, С.В. Иорданский. Спиновая релаксация в условиях КЭХ при нечетном заполнении // Письма в ЖЭТФ 63, No. 1, сс. 43-48 (1996).

202. D. Paquet, Т.М. Rice, К. Ueda. Two-dimensional electron-hole fluid in a strong perpendicular magnetic field: Exciton Bose condensate or maximum density two-dimensional droplet // Phys. Rev. В 32, No. 8, pp. 5208-5221 (1985).

203. A. Iyengar, J. Wang, H.A. Fertig, L. Brey. Excitations from filled Landau levels in graphene // Phys. Rev. В 75, No. 12, 125430(14pp) (2007).

204. Yu.A. Bychkov, G. Martinez. Magnetoplasmon excitations in graphene for filling factors v < 6 // Phys. Rev. В 77, No. 12, 125417(14pp) (2008).

205. Z.G. Koinov. Magnetoexciton dispersion in graphene bilayers embedded in a dielectric // Phys. Rev. В 79, No. 7, 073409(4pp) (2009).

206. D.V. Fil, L.Yu. Kravchenko. Superfluid state of magnetoexcitons in double layer graphene structures // AIP Conf. Proc. 1198, pp. 34-41 (2009).

207. C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar. Influence of Landau-level mixing on Wigner crystallization in graphene // Phys. Rev. В 77, No. 20, 205426(5pp) (2008).

208. X. Хакен, Квантовополевая теория твердого тела, Москва, Наука, 1980, стр. 161.

209. Yu.E. Lozovik, I.V. Yudson. On the ground state of the two-dimensional non-ideal Bose gas // Physica A 93, No. 3-4, pp. 439-502 (1978).

210. O.L. Berman, R.Ya. Kezerashvili, Yu.E. Lozovik. Collective properties of magnetobiexcitons in quantum wells and graphene superlattices // Phys. Rev. В 78, No. 3, 035135(9pp) (2008).

211. O.L. Berman, R.Ya. Kezerashvili, Yu.E. Lozovik. Bose-Einstein condensation of trapped polaritons in two-dimensional electron-hole systems in a high magnetic field // Phys. Rev. В 80, No. 11, 115302(llpp) (2009).

212. A.A. Абрикосов, JI.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Москва, Добросвет, 2006.

213. V.P. Gusynin, V.A. Miransky, S.G. Sharapov, LA. Shovkovy. Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 19, 195429(10pp) (2006).

214. К. Shizuya. Electromagnetic response and effective gauge theory of graphene in a magnetic field // Phys. Rev. В 75, No. 24, 245417(9pp) (2007).

215. O.L. Berman, G. Gumbs, Yu.E. Lozovik. Magnetoplasmons in layered graphene structures // Phys. Rev. В 78, No. 8, 085401 (5pp) (2008).

216. R. Roldân, J.-N. Fuchs, M.O. Goerbig. Collective modes of doped graphene and a standard two-dimensional electron gas in a strong magnetic field: Linear magnetoplasmons versus magnetoexcitons // Phys. Rev. В 80, No. 8, 085408(6pp) (2009).

217. S. Das Sanna, A. Madhukar. Collective modes of spatially separated, two-component, two-dimensional plasma in solids // Phys. Rev. В 23, No. 2, pp. 805-815 (1981).

218. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции, Москва, Наука, 1983, стр. 478.

219. M.L. Sadowski, G. Martinez, М. Potemski, С. Berger, W.A. de Heer. Magnetospectroscopy of epitaxial few-layer graphene // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 123-125 (2007).

220. O. Kashuba, V.I. FalYko. Signature of electronic excitations in the Raman spectrum of graphene // Phys. Rev. В 80, No. 24, 241404(4pp) (2009).

221. M.O. Goerbig, J.-N. Fuchs, K. Kechedzhi, V.I. Fal'ko. Filling-factor-dependent magnetophonon resonance in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 8, 087402(4pp) (2007).

222. Z. Jiang, Y. Zhang, H.L. Stormer, P. Kim. The nature of quantum Hall states near the charge neutral Dirac point in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 10, 106802(4pp) (2007).

223. N. Shibata, K. Nomura. Coupled charge and valley excitations in graphene quantum Hall ferromagnets // Phys. Rev. В 77, No. 23, 235426(5pp) (2008).

224. Yu.E. Lozovik, V.I. Yudson. Superconductivity at dielectric pairing of spatially separated quasiparticles // Solid State Commun. 19, No. 4, pp. 391-393 (1976).

225. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. Новый механизм сверхпроводимости: спаривание между пространственно разделенными электронами и дырками // ЖЭТФ 71, No. 2(8), сс. 738-753 (1976).

226. А.В. Ключник, Ю.Е. Лозовик. Влияние межзонных переходов на токовые состояния в системах со спариванием электронов и дырок // ЖЭТФ 76, No. 2, сс. 670-686 (1979).

227. Yu.E. Lozovik, A.V. Poushnov. Magnetism and Josephson effect in a coupled quantum well electron-hole system // Phys. Lett. A 228, No. 6, pp. 399-407 (1997).

228. S.A. Moskalenko, D.W. Snoke. Bose-Einstein condensation of excitons and biexcitons and coherent nonlinear optics with excitons, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2000.

229. В.Б. Тимофеев. Коллективные экситонные явления в пространственно разделенных электрон-дырочных слоях в полупроводниках // УФН 175, No. 3, сс. 315-327 (2005).

230. L.V. Butov. Condensation and pattern formation in cold exciton gases in coupled quantum wells // J. Phys.: Condens. Matter 16, No. 50, pp. R1577-R1613 (2004).

231. Ю.Е. Лозовик, И.Л. Курбаков, Г.Е. Астрахарчик, М. Виллаидер. Бозе-конденсация двумерных дипольных экситонов: моделирование квантовым методом Монте-Карло // ЖЭТФ 133, No. 2, сс. 348-369 (2008).

232. Yu.E. Lozovik, I.L. Kurbakov, M. Willander. Superfluidity of two-dimensional excitons in flat and harmonic traps // Phys. Lett. A 366, No. 4-5, pp. 487-492 (2007).

233. J.L. McChesney, A. Bostwick, T. Ohta, T. Seyller, K. Horn, J. Gonzalez, E. Rotenberg. Extended van Hove singularity and superconducting instability in doped graphene // Phys. Rev. Lett. 104, No. 13, 136803(4pp) (2010).

234. U. Sivan, P.M. Solomon, H. Shtrikman. Coupled electron-hole transport // Phys. Rev. Lett. 68, No. 8, pp. 1196-1200 (1992).

235. S. Conti, G. Vignale, A.H. MacDonald. Engineering superfluidity in electron-hole double layers // Phys. Rev. В 57, No. 12, pp. R6846-R6849 (1998).

236. Ю.Е. Лозовик, M.B. Никитков. Кинетические свойства системы пространственно-разделенных экситонов и электронов при наличии бозе-конденсата экситонов // ЖЭТФ 116, No. 4(10), сс. 1440-1449 (1999).

237. B.Y.-K. Ни. Prospecting for the superfluid transition in electron-hole coupled quantum wells using Coulomb drag // Phys. Rev. Lett. 85, No. 4, pp. 820-823 (2000).

238. A.V. Balatsky, Y.N. Joglekar, P.B. Littlewood. Dipolar superfluidity in electron-hole bilayer systems 11 Phys. Rev. Lett. 93, No. 26, 266801(4pp) (2004).

239. S. De Palo, F. Rapisarda, G. Senatore. Excitonic condensation in a symmetric electron-hole bilayer // Phys. Rev. Lett. 88, No. 20, 206401 (4pp) (2002).

240. Y.N. Joglekar, A.V. Balatsky, S. Das Sarma. Wigner supersolid of excitons in electron-hole bilayers // Phys. Rev. В 74, No. 23, 233302(4pp) (2006).

241. Yu.E. Lozovik, V.I. Yudson. Electron-hole superconductivity. Influence of structure defects // Solid State Commun. 21, No. 2, pp. 211-215 (1977).

242. S. Adam, E.H. Hwang, V.M. Galitski, S. Das Sarma. A self-consistent theory for graphene transport // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 104, No. 47, pp. 18392-18397 (2007).

243. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. Фазовый переход полуметалла в состояние с резко анизотропным спариванием электронов и дырок // Физ. твердого тела 17, No. 6, сс. 1613-1616 (1975).

244. D.M. Eagles. Possible pairing without superconductivity at low carrier concentrations in bulk and thin-film superconducting semiconductors // Phys. Rev. 186, No. 2, pp. 456-463 (1969).

245. A.J. Leggett. Cooper pairing in spin-polarized Fermi systems // Journal de Physique Colloque (Paris) 41, No. 7, pp. C7-19-C7-26.

246. H. Abuki, T. Hatsuda, K. Itakura. Structural change of Cooper pairs and momentum-dependent gap in color superconductivity // Phys. Rev. D 65, No. 7, 074014(14pp).

247. Y. Nishida, H. Abuki. BCS-BEC crossover in a relativistic superfluid and its significance to quark matter // Phys. Rev. D 72, No. 9, 096004(5pp) (2005).

248. L. He, P. Zhuang. Relativistic BCS-BEC crossover at zero temperature // Phys. Rev. D 75, No. 9, 096003(8pp) (2007).

249. L. He, P. Zhuang. Relativistic BCS-BEC crossover at finite temperature and its application to color superconductivity // Phys. Rev. D 76, No. 5, 056003(13pp) (2007).

250. J. Sabio, F. Sols, F. Guinea. Two-body problem in graphene // Phys. Rev. В 81, No. 4, 045428(12pp) (2010).

251. B.B. Балашов, В.К. Долинов, Курс квантовой механики, Ижевск, НИЦ кРегулярная и хаотическая динамикан., 2001, стр. 172.

252. V.M. Pereira, J. Nilsson, А.Н. Castro Neto. Coulomb impurity problem in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 16, 166802(4pp) (2007).

253. A.V. Shytov, M.I. Katsnelson, L.S. Levitov. Vacuum polarization and screening of supercritical impurities in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 23, 236801(4pp) (2007).

254. P. Van Alstine, H. Crater. Exact parapositroniumlike solution to two-body Dirac equations // Phys. Rev. D 34, No. 6, pp. 1932-1935 (1986).

255. D. Alba, H.W. Crater, L. Lusanna. Hamiltonian relativistic two-body problem: center of mass and orbit reconstruction //J. Phys. A: Math. Theor. 40, pp. 9585-9607 (2007).

256. K. Kawamura, R.A. Brown. Borgmann's theorem and position-dependent effective mass // Phys. Rev. В 37, No. 8, pp. 3932-3939 (1988).

257. E. Zhao, A. Paramekanti. BCS-BEC crossover on the two-dimensional honeycomb lattice // Phys. Rev. Lett. 97, No. 23, 230404(4pp) (2006).

258. H. Min, R. Bistritzer, J.-J. Su, A.H. MacDonald. Room-temperature superfluidity in graphene bilayers // Phys. Rev. В 78, No. 12, 121401 (R)(4pp) (2008).

259. C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar. Excitonic condensation of massless fermions in graphene bilayers // Phys. Rev. В 77, No. 23, 233405(4pp) (2008).

260. R. Bistritzer, A.H. MacDonald. Influence of disorder on electron-hole pair condensation in graphene bilayers // Phys. Rev. Lett. 101, No. 25, 256406(4pp) (2008).

261. B. Seradjeh, H. Weber, M. Franz. Vortices, zero modes, and fractionalization in the , bilayer-graphene cxciton condensate // Phys. Rev. Lett. 101, No. 24, 264404(4pp) (2008).

262. M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov. Electron screening and excitonic condensation in double-layer graphene systems // Phys. Rev. В 78, No. 24, 241401 (R)(4pp) (2008).

263. R. Bistritzer, H. Min, J.-Л. Su, A.H. MacDonald. Comment 011 i-cElectron screening and excitonic condensation in double-layer graphene systemsib / / http://arxiv.org/abs/0810.0331vl.

264. M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov. Excitonic condensation in a double-layer graphene system // Semicond. Sci. Tech. 25, No. 3, 034004(llpp) (2010).

265. M. Alford, K. Rajagopal, F. Wilczek. QCD at finite baryon density: nucleon droplets and color superconductivity // Phys. Lett. В 422, No. 1-4, pp. 247-256 (1998).

266. R.D. Pisarski, D.H. Rischke. Superfluidity in a model of massless fermions coupled to scalar bosons // Phys. Rev. D 60, No. 9, 094013(19pp) (1999).

267. T. Ohsaku. BCS and generalized BCS superconductivity in relativistic quantum field theory: Formulation // Phys. Rev. В 65, No. 2, 024512(13pp) (2001).

268. T. Ohsaku. BCS and generalized BCS superconductivity in relativistic quantum field theory. II. Numerical calculations // Phys. Rev. В 66, No. 5, 054518(13pp) (2002).

269. T. Ohsaku. Relativistic model of two-band superconductivity in (2+l)-dimension // Int. J. Mod. Phys. В 18, No. 12, pp. 1771-1794 (2004).

270. N.B. Kopnin, E.B. Sonin. BCS superconductivity of Dirac electrons in graphene layers // Phys. Rev. Lett. 100, No. 24, 246808(4pp) (2008).

271. Л.П. Горьков. Об энергетическом спектре сверхпроводников // ЖЭТФ 34, No. 3, pp. 735-739 (1958).

272. М. Sigrist, К. Ueda. Phenomenological theory of unconventional superconductivity // Rev. Mod. Phys. 63, No. 2, pp. 239-311 (1991).

273. S.M. Apenko, D.A. Kirzhnits, Y.E. Lozovik. On the validity of the 1/N-expansion // Phys. Lett. A 92, No. 3, pp. 107-109 (1982).

274. M.V. Milovanovic. Fractionalization in dimerized graphene and graphene bilayer // Phys. Rev. В 78, No. 24, 245424(7pp) (2008).

275. I.M. Khaymovich, N.B. Kopnin, A.S. Mel'nikov, I.A. Shereshevskii. Vortex core states in superconducting graphene // Phys. Rev. В 79, No. 22, 224506(7pp) (2009).

276. V.A. Khodel, V.V. Khodel, J.W. Clark. Solution of the gap equation in neutron matter // Nucl. Phys. A 598, No. 3, pp. 390-417 (1996).

277. N.B. Kopnin, E.B. Sonin. Supercurrent in superconducting graphene // http://arxiv.org/abs/1001.1048vl.

278. Y.M. Malozovsky, S.M. Bose, P. Longe, J.D. Fan. Eliashberg equations and superconductivity in a layered two-dimensional metal // Phys. Rev. В 48, No. 14, pp. 10504-10513 (1993).

279. H. Suhl, B.T. Matthias, L.R. Walker. Bardeen-Cooper-Schrieffer theory of superconductivity in the case of overlapping bands // Phys. Rev. Lett. 3, No. 12, pp. 552-554 (1959).

280. H. Schmidt, J.F. Zasadzinski, K.E. Gray, D.G. Hinks. Evidence for two-band superconductivity from break-junction tunneling on MgB2 // Phys. Rev. Lett. 88, No. 12, 127002(4pp) (2000).

281. V. Barzykin, L.P. Gor'kov. On superconducting and magnetic properties of iron-oxypnictides // Письма в ЖЭТФ 88, No. 2, сс. 142-146 (2008).

282. M.B. Садовский. Высокотемпературная сверхпроводимость в слоистых соединениях на основе железа // УФН 178, No. 12, сс. 1243-1271 (2008).

283. II.В. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J.В. Oostinga, L.M.K. Vandersypen, A.F. Morpurgo. Bipolar supercurrent in graphene // Nature 446, No. 7131, pp. 56-59 (2007).

284. C.W.J. Beenakker. Colloquium: Andreev reflection and Klein tunneling in graphene // Rev. Mod. Phys. 80, No. 4, pp. 1337-1354 (2008).

285. E.C. Marino, L.H. Nunes. Quantum criticality and superconductivity in quasi-two-dimensional Dirac electronic systems // Nucl. Phys. В 741, No. 3, pp. 404-420 (2006).

286. O.V. Dolgov, I.I. Mazin, D. Parker, A.A. Golubov. Interband superconductivity: Contrasts between Bardeen-Cooper-Schrieffer and Eliashberg theories // Phys. Rev. В 79, No. 6, 060502(R)(4pp) (2009).

287. M. Calandra, F. Mauri. Theoretical explanation of superconductivity in CeCa j/ Phys. Rev. Lett. 95, No. 23, 237002(4pp) (2005).

288. G.A. Ummarino, M. Tortello, D. Daghero, R.S. Gonnelli. Three-band s± Eliashberg theory and the superconducting gaps of iron pnictides // Phys. Rev. В 80, No. 17, 172503 (2009).

289. D.T. Son. Superconductivity by long-range color magnetic interaction in high-density quark matter // Phys. Rev. D 59, No. 9, 094019(8pp) (1999).

290. T. Schäfer, F. Wilczek. Superconductivity from perturbative one-gluon exchange in high density quark matter // Phys. Rev. D 60, No. 11, 114033(7pp) (1999).

291. D.J. Scalapino, Y. Wada, J.C. Swihart. Strong-coupling superconductor at nonzero temperature // Phys. Rev. Lett. 14, No. 4, pp. 102-105 (1965).

292. W.L. McMillan. Transition temperature of strong-coupled superconductors // Phys. Rev. 167, No. 2, pp. 331-344 (1968).

293. C.B. Вонсовский, Ю.А. Изюмов, Э.З. Курмаев, Сверхпроводимость переходных металлов, их сплавов и соедининий, Москва, Наука, 1977, стр. 44.

294. М.В. Медведев, Э.А. Пашицкий, Ю.С. Пятилетов. Влияние низкочастотных пиков фононной плотности состояний на критическую температуру сверхпроводников // ЖЭТФ 65, No. 1, сс. 1186-1197 (1973).

295. A.B. Мигдал. Взаимодействие электронов с колебаниями решч,тки в нормальном металле // ЖЭТФ 34, No. 6, сс. 1438-1446 (1958).

296. S. Pisana, М. Lazzeri, С. Casiraghi, K.S. Novoselov, A.K. Geim, A.C. Ferrari, F. Mauri. Breakdown of the adiabatic BornlJOppenheimer approximation in graphene // Nature Materials 6, No. 3, pp. 198-201 (2007).

297. O.B. Долгов, Е.Г. Максимов. Критическая температура сверхпроводников с сильной связью // УФН 138, No. 1, сс. 95-128 (1982).

298. Е. МсСапп, К. Kechedzhi, V.l. Fal'ko, Н. Suzuura, Т. Ando, B.L. Altshuler. Weak-localization magnetoresistance and valley symmetry in graphene // Phys. Rev. Lett. 97, No. 14, 146805(4pp) (2006).

299. V.P. Gusynin, S.G. Sharapov, J.P. Carbottc. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. В 21, No. 27, pp. 4611-4658 (2007).

300. H. Suzuura, T. Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes // Phys. Rev. В 65, No. 23, 235412(15pp) (2002).

301. D.M. Basko. Theory of resonant multiphonon Raman scattering in graphene // Phys. Rev. В 78, No. 12, 125418(42pp) (2008). '

302. M. Calandra, F. Mauri. Electron-phonon coupling and electron self-energy in electron-doped graphene: Calculation of angular-resolved photoemission spectra // Phys. Rev. В 76, No. 20, 20541 l(9pp) (2007).

303. V. Perebeinos, J. Tersoff. Valence force model for phonons in graphene and carbon nanotubes // Phys. Rev. В 79, No. 24, 241409(R)(4pp) (2009).

304. S.V. Kusminskiy, D.K. Campbell, A.H. Castro Neto. Lenosky's energy and the phonon dispersion of graphene // Phys. Rev. В 80, No. 3, 035401(5pp) (2009).

305. L. Wirtz, A. Rubio. The phonon dispersion of graphite revisited // Solid State Commun. 131, No. 3-4, pp. 141-152 (2004).

306. K. Capelle, E.K.U. Gross. Relativistic framework for microscopic theories of superconductivity. I. The Dirac equation for superconductors // Phys. Rev. В 59, No. 10, pp. 7140-7154 (1999).

307. H. Ryu, C. Mudry, C.-Y. Hou, C. Chamon. Masses in graphenelike two-dimensional electronic systems: Topological defects in order parameters and their fractional exchange statistics // Phys. Rev. В 80, No. 20, 205319(32pp) (2009).

308. Т.О. Wehling, II.P. Dahal, A.I. Lichtenstein, A.V. Balatsky. Local impurity effects in superconducting graphene // Phys. Rev. В 78, No. 3, 035414(5pp) (2008).

309. R. Al-Jishi. Model for superconductivity in graphite intercalation compounds // Phys. Rev. В 28, No. 1, pp. 112-116 (1983).

310. Т.Е. Weiler, M. Ellerby, S.S. Saxena, R.P. Smith, N.T. Skipper. Superconductivity in the intercalated graphite compounds CöYb and C6Ca // Nature Phys. 1, No. 1, pp. 39-41 (2005).