Температурные поля турбулентных потоков жидкости в скважинах

Родионов, Артем Сергеевич

Температурные поля турбулентных потоков жидкости в скважинах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Родионов, Артем Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Стерлитамак МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Температурные поля турбулентных потоков жидкости в скважинах»

Автореферат диссертации на тему "Температурные поля турбулентных потоков жидкости в скважинах"

На правах рукописи

Родионов Артем Сергеевич

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ В СКВАЖИНАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2013

2 7І:;:;І ¿т

005062310

Работа выполнена в лаборатории прикладной физики и механики Института прикладных исследований республики Башкортостан

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Филиппов Александр Иванович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук

Ахметова Оксана Валентиновна

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор,

Назаров Василий Федорович, профессор кафедры геофизики Физико-технического института Башкирского государственного университета

- кандидат физико-математических наук, доцент Михайленко Константин Иванович, старший научный сотрудник Института механики Уфимского научного центра РАН

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Уфимский государствен-

ный нефтяной технический университет»

Защита состоится «4» июля 2013 г. в И часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450076, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан « / » июня 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

Л.А. Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Температурные измерения вдоль ствола скважины широко используются в нефтепромысловом деле, геофизике, гидрогеологии и разведке для решения различных научных и геолого-промысловых задач. Поэтому развитие теории турбулентных процессов имеет большое значение для различных технических приложений. Исследование турбулентного режима при решении задач о температурных полях потока флюида в скважине также представляется весьма важным, поскольку согласно произведенным оценкам, в зависимости от вязкости и плотности нефти, турбулизация потока жидкости может наблюдаться при дебитах от 10 м3/сут. (Яе > 2000).

Проблемы теоретического исследования нестационарного теплообмена турбулентного потока с окружающей анизотропной средой связаны со сложной зависимостью коэффициента турбулентной теплопроводности и поля скорости от пространственных координат, что приводит к необходимости решения задач сопряжения, содержащих уравнения конвективной теплопроводности с переменными коэффициентами, поиск решения которых представляет существенные трудности.

Начиная с исследования турбулентности Рейнольдсом в 1883 году, изучением этого явления занимались такие ученые как Колмогоров, Ландау, Прандтль, Мартинелли и др. Решающий вклад в создание моделей турбулентности внес Сполдинг, получивший уравнения для вычисления профиля скорости и теплопроводности, как в турбулентном ядре, так и в промежуточном и ламинарном слоях.

Задачу о температурном поле в скважине без учета турбулентности решали многие авторы. В.Г. Шухов использовал формулу Ньютона для теплообмена на поверхности. Э.Б. Чекалюк применял интегральный метод для учета теплообмена потока с окружающими породами. Развитие этого подхода выполнено Э.Х. Галиным, М.А. Пудовкиным, А.Н. Саламатиным, В.А. Чугуновым и др. Однако все эти исследователи рассматривали задачу только для средней температуры в стволе скважины в случае идеального выровненного профиля скорости без учета турбулентной составляющей теплопроводности. Постановку с учетом этой составляющей теплопроводности, но для стационарного случая, рассматривал, например, В.М. Кэйс.

В работах О.В. Ахметовой1, М.А. Горюновой2 установлено, что радиальные распределения температуры определяются путем построения

1 Ахметова О.В. Применение асимптотических методов для расчета температурных полей при течении флюида в скважинах: дис...канд. ф.-м. наук. - Стерлитамак, 2005. - 133 с.

Горюнова М.А. Теоретическое исследование температурных полей в стволе действующей скважины: дис... канд. ф.-м. наук. - Стерлитамак, 2009. - 153 с.

первого коэффициента «в среднем точного» асимптотического метода [1-4]. Однако не найдены «в среднем точные» решения задачи о температурном поле для случая турбулентного потока, когда теплопроводность зависит от радиальной координаты и не произведен учет изменения радиуса сечения потока.

Целью диссертационной работы является исследование вклада турбулентности в нестационарные температурные поля в трубчатых каналах применительно к термометрии скважин с учетом теплообмена с окружающей средой и изменений радиуса сечения потока жидкости.

Основные задачи исследования:

- выбор метода решения задачи с переменными коэффициентами о нестационарном температурном поле турбулентного потока жидкости;

- получение «в среднем точного» решения задачи о температурных полях турбулентных потоков в скважине, учитывающей турбулентную составляющую теплопроводности и соответствующий профиль скорости; представление исходной задачи сопряжения в виде последовательности краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения и остаточного члена;

- решение задачи о температурном поле в трубе с изменяющимся радиусом сечения;

- анализ результатов расчетов пространственно-временных распределений температуры и изучение вклада различных физических процессов в скважине, а также сопоставление полученных результатов с результатами предыдущих исследований.

Научная новизна. Развиты основы теории нестационарных температурных полей турбулентных потоков в нулевом и первом асимптотических приближениях. Получено «в среднем точное» решение задачи о температурном поле турбулентного потока в скважине. На основе осреднения задачи для остаточного члена найдены среднеинтегральные условия, обеспечивающие единственное нетривиальное решение для первого коэффициента разложения. Построены формулы для расчета «средней по сечению» температуры в трубе с изменяющимся радиусом.

Практическая значимость. Найденные аналитические решения задач о температурном поле в стволе скважины представляют теоретическую основу термических исследований скважин и позволяют усовершенствовать методику интерпретации температурных аномалий в скважине, таких как определение интервалов заколонного движения и мест нарушения целостности обсадных колонн. В частности, эти решения позволяют учесть вклад турбулизации потока и изменение диаметра скважины.

Построенный способ расчета «средней по сечению» температуры и ее радиального распределения позволяет осуществлять детальные расче-

ты температуры в скважинах при турбулентном, ламинарном и других аксиально-симметричных режимах течения жидкости. Полученные формулы для расчета «средней по сечению» трубы температуры при изменении радиуса потока жидкости дают возможность прогнозировать температурные аномалии, возникающие в скважине (например, при переходе потока жидкости в насосно-компрессорные трубы), и обеспечивают возможность создания новых способов исследования скважин и оптимизацию условий теплоотдачи в скважинах.

Достоверность в основу исследования положены законы сохранения и другие фундаментальные физические законы, а полученные решения задач и основные результаты согласованы с ними. Из общего решения, полученного в диссертационной работе, следуют частные случаи ламинарного режима течения и модельного режима с выровненным профилем скорости, которые сопоставлены с известными результатами других исследователей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. «В среднем точная» асимптотическая математическая модель температурного поля турбулентного потока жидкости в скважине, окруженной сплошным массивом среды, с учетом профиля скорости флюида и вклада трансцилляторной составляющей теплопроводности.

2. Асимптотические формулы для расчета полей температуры, осред-ненных по сечению турбулентного потока и их радиальных распределений, как для случая постоянных вертикальных градиентов температуры, так и для более общего случая, в котором вертикальные градиенты определяются на основе решения соответствующих краевых задач.

3. Утверждение о том, что нулевой коэффициент разложения, а, следовательно, осредненное по сечению потока значение температуры, не зависит от его структуры и применим для расчетов различных типов аксиально-симметричных течений. Для исследования турбулентности необходимо использовать первый коэффициент асимптотического разложения.

4. Формулы для расчета полей температуры при скачкообразном изменении диаметра потока, включая расчет аномалий температуры, возникающих в зоне изменения диаметра. В частности, показано, что при увеличении радиуса трубы температура нефти приближается к геотермической, диапазон глубин от точки изменения диаметра потока до границы зоны стабилизации теплообмена соответствует зоне экранирования температурного сигнала за счет изменения радиуса трубы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на XIV Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 2012 г.), Межвузовской научно-практической конференции молодых ученых «Молодежь. Прогресс. Наука» (Стерлитамак, 2010 г.);

Шестнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Всероссийской научно-практической конференции «Современная парадигма науки и образования» (Стерлитамак, 2010 г.); научных семинарах кафедры теоретической физики и методики обучения Стерлитамакского филиала БашГУ (Стерлитамак, 2009 - 2013 гг.), научных семинарах отдела физико-математических и технических наук ИПИ РБ (Стерлитамак, 2010 -2013 гг.), научном семинаре Института механики им. P.P. Мавлютова УВД РАН (Уфа, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, список которых приведен в конце автореферата, из них 5 - в журналах рекомендованных ВАК РФ. В работах [1] - [15] постановка задачи принадлежит профессору А.И. Филиппову и доценту О.В. Ахмето-вой. В остальном вклад авторов равнозначный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 106 наименований. Работа содержит 21 рисунок и изложена на 121 странице, включая приложение.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность проблемы, научная новизна и практическая значимость результатов исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава начинается с описания проблемы и краткого обзора работ других авторов по исследуемой теме. Описана математическая модель температурного поля турбулентного потока жидкости, текущего по трубе, окруженной сплошным массивом среды. На рис. 1 представлена геометрия задачи о температурном поле флюида, текущего в скважине радиуса г0.

Ось zd цилиндрической системы координат направлена вдоль оси скважистая ^ ны. Ортотропная среда, окружающая (| ' I скважину, характеризуется теплопро-р ■ I водностями 1г1 и в соответствии с направлениями осей. Поле скоростей жидкости в скважине имеет одну нену-

..........."" левую составляющую, направленную

вдоль оси zd и задано вектором V = (0,0, v0Ä(rd/r0)) .

Вследствие своего движения жидкость приобретает фиктивные орто-

Рис. 1. Геометрия задачи

тропные свойства, связанные с проявлением турбулентности (Хг и — соответствующие осям компоненты тензора теплопроводности жидкости).

В турбулентных потоках возникают флуктуации скорости и температуры, приводящие к изменению его структуры, а также увеличению эффективной вязкости и теплопроводности. В настоящее время найдены эмпирические формулы для расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в турбулентных потоках. На этом основании построены приближенные соотношения для расчетов полей скорости в трубах кругового сечения.

Для описания распределения скорости и теплопроводности при турбулентном течении в работе использованы уравнения Сполдинга

у(гй) = м(гс1) + [ехр(км(га))-ф4(м(г(,))]/£, где ф„(м)= Х(к и)" !п\, к

п=0

= 0.407, Е =10, т0 - касательное напряжение. Турбулентный профиль скорости определен по формуле Л(г6 /г0 ) = и(у(гл ))/у„ -Ло /р > гДе >'(г<1) = л/т0/рСг0 -гй)/V, и(у{г(гА))) - решение уравнения Сполдинга. Величина т0 /р получена из уравнения Кармана - Никурадзе

1/74/ =-0.8 + 0.871п(Кел/4/), где / = 2т0р/ус . Расчеты полей на основе уравнений Сполдинга осуществлены с использованием математического программного пакета МаШсас!.

Размерная постановка задачи в предположении осевой симметрии включает уравнения теплопроводности в окружающем трубу массиве (1) и конвективной теплопроводности флюида с источниками в трубе (2)

б01 С"20! 1 1 9 ( Л ^ Т»П

01 дх1 ^ ог

96 1 1 д /О59^ л 32Э /гИЗе ср — ~К —— гаА. — - —Т + сруД -А — = Яй ,

гА < г0 , х > 0 .

Заданы условия равенства температур и тепловых потоков на границе скважины и окружающего массива

дв1

ей-,и.

дгЯ

(3)

Температура в начальный момент времени соответствует естественной невозмущенной температуре Земли, возрастающей по линейному закону с

глубиной и совпадает с температурой в удаленных от трубы точках окружающего массива

01^0=9^0 = 0О1 -ГХ,, = 601 -Ггл . (4)

В точке 0 температура потока изменяется по заданному закону

(5)

Задача также содержит некоторые дополнительные условия по однако они здесь опущены вследствие того, что вторыми производными по пренебрегается из-за малого коэффициента, равного квадрату отношения

радиуса скважины к ее глубине г02//)2 ~ 10~8.

Постановка задачи отличается от рассмотренных другими исследователями наличием двух переменных коэффициентов: турбулентной составляющей теплопроводности Цгл/г0) и профилем скорости Я(г6/г0), рассчитываемых из уравнений Сполдинга. Для решения поставленной задачи выбран «в среднем точный» асимптотический метод, поскольку он позволяет получать приближенные аналитические решения задач сопряжения с переменными коэффициентами.

С использованием соотношений

г = гА/г0 , г = 7а/£>, Бо = аг]х/г02 , V =г0 Д>, х = с^/ср,

еп = Г£>, =(9у -0О1 н-Гг^/вц , А = хг1/хг , Ре = щ/аг1 , (6)

Н =ЛРет)А9ц , ОЦг,г,¥о) = г^д/срдиа1г задача (1) — (5) приводится к безразмерному виду. В обезразмеренную таким образом задачу вводится параметр асимптотического разложения е путем формальной замены А на е • А

§-^^1 = 0,г>1,Ро>0,г>0, (7)

ото г ог\ ог)

Ж. _ А.IА(гХ(г) —1 + Я(г)уРеГ — -1 + н! = 2(г, г, Ро), г < 1, сФо еА г дг V дг) V дг ) ^

Ро > 0 , г>0.

Т\Г=1=Т,\Г=1 , (9)

8Т_ дг

ЛРо=о=0, 7-,|Ро^=0, (11)

= еА—1

г~\ дг

(Ю)

Г=1

Тх\г^= о, (12)

Лг=0=^о(Ро). (13)

При є =1 задача совпадает с исходной. Такое введение формального параметра имеет физический смысл, заключающийся в том, что устремление его к нулю є —> 0 соответствует возрастанию радиальной компоненты теплопроводности флюида до бесконечности Хг —> со, но не —»0.

Решение представляется в виде

-=Т)0) +еТ},) + ©у. (14)

Из обезразмеренной параметризованной задачи выписываются слагаемые при одинаковых степенях є . Используя процедуру «расцепления», развитую в работах А.И. Филиппова3 и др., осуществлена постановка задачи для нулевого и первого коэффициентов разложения

атГ

д¥о

ІЛ

Г дг

дТ,

(0) л

дг

дт(0) ґдтт

- + 2уРЄ| --1 + Н | ВД - 2Й (1, г, Бо) = 2х

ЗРо

дг

= 0, г >1 ,Бо >0 , г>0, дтт

дг

г=1

г < 1, Ео>0, г>0,

= 0.

Ро=0

гИ|г_=0,г(°)|г=о=7Ь(Ро).

(15)

(16)

(17)

(18)

Постановка задачи для первого коэффициента разложения имеет вид

дт<п

д¥о

ч-гуРей^і)

дТ(1) ла2(1)-1і(г) д2тт 2Лу2Ре:

х(Л4(1)-^(1)Л2(г))——

дг

52Г(0, аго, хуРе-—^- = 2%-

- +

дг X Л X

2 діч>2 х [2Л3(1) - Д2(г) + ВД -ВДВД] х

Зг <ЗРо Л 5Є2(г

5г

лаао^Ро) у аго

■2уРеЛі(1)х

(19)

іг,2,¥О) 12лрбз(і,^,Ро) | урсаед(1,г,р0)л г<1

дг у V 5Ро дг )'

Ро > 0 , г > 0 .

Филиппов А.И. Температурное поле в пласте и скважине. / А.И. Филиппов, О.В. Ахмето-ва. - Уфа: АН РБ, Гилем, 2011. - 336с.

1 д ( дТлт -!----г-

SFo г дг

= 0, г > 1, Fo > 0 , (20)

v дг j

r(1)U=7i(1)U' (21)

T,w\ -0. (23)

В задаче (19) - (23) введены следующие моментные функции переменных коэффициентов

X2(r) = jMr'Jdr', *.,(/•) = j-f-,-dr', R2(r) = J-J—R^dr', о о A(r) . 0r ■>

R3(r) = ]r'R2(r')dr', R4(r) = ]r'R(r')R2(r')dr',

о 0

^s(r) ~\^{r'yR{r')dr', fi(r,z,Fo) = ]r'Q2{r\z,¥o)dr', о 0

о r )

QR(r,z, Fo) =\ r'R(r')Q2(r', z,¥6)dr'. о

Вьфажение для первого коэффициента разложения, полученное путем двойного интегрирования «зацепленного» уравнения, дает представление о радиальном распределении температуры в скважине

Г№ = ^h^l^l + _ i + н| -Q2(r,z,Fo) j + B(z,Fo), (24)

где B(z, Fo) - функциональный коэффициент, не зависящий от г и подлежащий определению.

В главе I представлена также постановка задачи для частного случая задачи (1) — (5) в предположении постоянства градиентов при турбулентных течениях.

Во второй главе построены выражения для расчета температурных полей флюида в скважине в пространстве изображений Лапласа — Карсона. Осуществлен переход в пространство оригиналов и приведен анализ результатов расчетов. Впервые получено решение с учетом турбулентной составляющей теплопроводности и соответствующего профиля скорости.

В пространстве изображений решение общей задачи для нулевого коэффициента разложения (7) - (13) имеет вид

+ (25)

0 J0 tf,(l)vPe

(26)

Установлено, что для любого режима течения fli(l) = 0.5. Это следует из определения средней по сечению трубы скорости

Il г

v0 =2}r'v(rV' = 2v0Jr'i?(rV/ И выражения R{(r) = \r'R(r')dr . По-

о о 0

этому выражение (25) полностью совпадает с соответствующими выражениями для нулевого коэффициента разложения задачи при ламинарном режиме течения и для выровненного профиля скорости.

Вышеизложенное означает, что в нулевом приближении температурные поля для вязких турбулентных течений с ламинарным подслоем, ламинарного режима течения и модельного потока с выровненным профилем скорости совпадают, т. е. осреднешше решения температуры не зависят от характера течения в предположении аксиальной симметрии.

Решение задачи для первого коэффициента разложения отыскивается

в виде (24). Функция Bu(z,p) определяется соотношением

B4z,p)=Cu(p)e-™ +—ljfi +

+ С,"ip)]Г(0)ие-а(г-^ + JCu2 (Ç, ,

о 0

где C(p) , C"(p), C"(z,p) - функции, вид которых определен с использованием начальных и граничных условий и выражений для нулевого и первого коэффициентов.

Из (24) и (27) следует, что для учета турбулентности необходимо использовать первый коэффициент разложения, так как он зависит от турбулентной составляющей теплопроводности и турбулентного профиля скорости. В частности, для разности температур в скважине без учета источников получим

(28)

т" = — X

2 2 Ry (1)

До настоящего времени недостаточно изучены теоретически температурные аномалии, возникающие при изменении радиуса сечения (рис. 2) потока в скважине как за счет его перехода из обсадной колонны в насосно-компрессорные трубы, так и за счет деформаций, отложения парафинов и т.д. Такие температурные аномалии препятствуют успешному выявлению источников обводнения скважин, расположенных выше интервала перфорации и поэтому их исследование представляется актуальной проблемой. «В среднем точный» асимптотический метод позволил получить решение для расчета температурных полей при изменении радиуса сечения потока жидкости.

Задача в этом случае представлена в виде двух задач, для нижней и верхней трубы. При этом решение строится в виде

Рис. 2. Геометрия задачи о температурном поле в трубе с изменяющимся радиусом

где

Г;(0) = Ф| Ро -

2^1(1)Ре/у

+ Г (1 - Н)ег& .-

О 1Ре;УЛ/Ро-2-^/1(1)Ре/У

уТрсГ^/^ОУРе/У,

:, г < 1, 0 < г < Н .

ГА(0) = Ф(Ро-5/(£)-5А(2-1))Г0ег1е

Х(Б1(1) + Б11(г-1)/гы)

+ (1 - Н)|{Ф(Ро -5,(1-0- - ¿У) > о

х ег&

иТо-ЫЬ-Я-Б^г-!.)!

-(1-Н)}{Ф(Ро-5А<2-£))ет&

.у/То-Б^г-®]

с^ , г < гы,

(30)

где Б1(2) = 2/2Яп(\)?е1ч, ЗД = гм2 г/2/?Л1(гА/)РеАУ, Ф(х) - единичная

функция Хевисайда.

В третьей главе рассматриваются результаты расчетов, выполненных по полученным формулам. На рисунке 3 представлены радиальные распределения температуры нефтяного потока. Кривые рассчитаны по формуле 0 =в(г)-0(г = 1) для различных значений дебитов при

турбулентном режиме течения.

Анализ кривых показывает, что при возрастании дебита увеличивается перепад температуры между стенкой скважины и ее осью, причем, с ростом дебита прирост температуры (при равных приращениях дебита) значительно снижается. Кроме того, при увеличении дебита происходит выравнивание профиля скорости в центральной части потока, сопровождающееся заметным уменьшением пристеночной области со значительными изменениями температуры.

Перепад температуры на оси скважины при изменении дебита на 10 м3/сут. составляет величину порядка 0.1 К и пропорционально геотермическому градиенту. Представленные на рисунке 3 кривые рассчитаны для месторождений Башкортостана, где средняя величина градиента составляет 0.02 КУм. Заметим, что для месторождений Предкавказья, Западной Украины и Средней Азии, значение градиента может достигать 0.09 К/м.

Рис. 3. Радиальные распределения температуры при турбулентном режиме течения для разных значений дебита: ]-Q = 82 м3/сут. (Re = 5285), 2-72 м3/сут. (Re = 4640), 3-62 м3/сут. (Re = 3996), 4- 52 м3/сут. (Re = 3351), 5 - 42 м3/сут. (Re = 2707), б-32м3/сут. (Re = 2062)

Рис. 4. Изменение радиального перепада температуры с глубиной при турбулентном режиме течения в случае нулевого температурного сигнала для разных значений дебита: 1 - Є = 32 м3/сут. (Яе = 2062), 2 -(2 = 40 (Яе = 2578), 3 - Є = 50 (Іе = 3223)

На рисунке 4 приведено изменение температуры с глубиной гА, при различных значениях дебита: 1 - О = 32 м3/сут., 2 - <9 = 40, 3 - £ = 50. на расстоянии от оси скважины гА = 0.05 м. Из анализа рисунка 4 следует общая закономерность поведения кривых, заключающаяся в том, что перепад температуры растет при движении от забоя скважины к устью и стабилизируется, достигая определенного значения.

На рисунках 5, 6 представлены радиальные распределения и временные зависимости температуры нефтяного потока для случая постоянных градиентов. Кривые рассчитаны по формуле 9 =0(г)-0(> = 1) для различных значений дебитов при ламинарном (штриховые линии) и турбулентном (сплошные линии) режиме течения.

в, к 0.6

0.2

-- """""""

1/ ■1

$ У 1/ --у / _----

!/ 1 ^ "" 1/ 6

Рис. 5. Радиальные распределения температуры при ламинарном (штриховые линии) и турбулентном (сплошные линии) режимах течения для разных значений дебита: 1,4 - 6 = 32 м /сут. (Яе = 2062), 2-6 = 20 (Яе = 1289), 3-2= 10(Яе = 645)

10*с

Рис. 6. Установление температуры вблизи стенки при ламинарном (штриховые линии) и турбулентном (сплошные линии) режимах течения для разных значений дебита: 1 — 6 = 50 м3/сут. (Яе = 3223), 2-<2 = 40 (Яе = 2578), 3,4-<2 = 32 (Яе = 2062), 5-6 = 20 (Яе = 1289), 5 — 6= 10 (Яе = 645)

При дебите 32 м /сут., соответствующему критическому значению числа Рейнольдса, возможен как ламинарный (кривая /) так и турбулентный (кривая 4) режимы течения. При этом в ламинарном подслое вблизи стенки скважины кривые 7 и б совпадают. Турбулизация потока приводит к уменьшению температурного перепада на 5 градусов, а дальнейшее возрастание дебита также приводит к незначительному его увеличению.

Анализ графических зависимостей, построенных по формуле (29) позволяет оценить температурные аномалии, возникающие при изменении диаметра потока.

На рисунке 1а представлены кривые, демонстрирующие зависимость средней температуры нефти в скважине от вертикальной координаты гА для различных значений отношения радиуса верхнего участка трубы к радиусу нижнего гм = гг{. 1 - 0.7, 2 - 0.9, 3 - 1, 4 - 1.5, 5 - 2, 6 - 5. Сплошные линии соответствуют сигналу пласта в 1 К, штриховые - нулевому. Из рисунка видно, что при увеличении радиуса трубы температура нефти приближается к геотермической, зона установления температуры уменьшается, это объясняется уменьшением скорости движения нефти при возрастании диаметра скважины. Рисунок 16 иллюстрирует зависимость разности средней и геотермической температуры нефти в скважине от вертикальной координаты. Анализ кривых показывает, что наряду с зоной конвективного влияния (ЗКВ) пласта, верхняя граница которой определяется соотношением

существует зона влияния температурных сигналов пласта (ЗВТСП). Точка I соответствует верхней границе ЗВТСП, при этом учитывается вклад изменения диаметра сечения потока. Из рисунка 16 следует, что положение этой границы смещается вверх с уменьшением радиуса нижней трубы. Кривые, приведенные на рисунке 7, соответствуют случаю, когда точка изменения радиуса расположена в ЗВТСП. Точка II является границей двух зон: зоны стабилизации теплообмена 0<г<2 и зоны постоянных градиентов 2 < г < Б с учетом изменения радиуса трубы. Диапазон глубин от точки изменения диаметра потока до точки II соответствует зоне экранирования температурного сигнала за счет изменения радиуса трубы. Наличие зоны экранирования необходимо учитывать при выявлении интервалов заколонного движения жидкости. Отметим, что наличие зоны от точки / до точки II объясняется только влиянием изменения диаметра потока. Действительно, на кривой 3, где не происходит изменения радиуса, точки I и II совпадают. Отличительной особенностью поведения температурных кривых в зоне / - II является выпуклость при уменьшении диаметра потока и вогнутость при его уменьшении, что объясняется изменением условий теплообмена при увеличении или уменьшении скорости.

Рисунок 8 иллюстрирует аналогичные зависимости при тех же расчетных параметрах для случая положения точки изменения диаметра потока вне ЗВТСП. В отличие от кривых, приведенных на предыдущем рисунке, положение точки / предшествует точке Я.

На рисунке 8 показаны зависимость средней (а) и разности средней и геотермической (б) температуры нефти в скважине при дебите 50 м /сут. от вертикальной координаты для различных значений отношения радиуса верхнего участка трубы к радиусу нижнего гм = гА/ г, I - 0.7, 2 -

0.9, 3 - 1, 4 - 1.5, 5 - 2, 6 - 5, 7 - геотерма. Сплошные линии соответствуют температурному сигналу пласта 1 К, штриховые - нулевому.

При расчетах использованы те же параметры, что и на рис. 7. Заметим, что только одна точка изменения диаметра потока Н= 160 м располагается вне ЗВТСП.

Рис. 7. Зависимость средней (а) и разности средней и геотермической (б) температуры нефти в скважине при дебите 50 м3/сут. от вертикальной координаты для различных значений отношения радиуса верхнего участка трубы к радиусу нижнего 1 -гы = о/ г, = 0.7, 2 - 0.9, 3 - 1, 4 - 1.5, 5 - 2, б - 5, 7 - геотерма. Координата изменения радиуса = Н = 40 м

Анализ кривых показывает, что при удалении точки изменения диаметра потока от забоя увеличивается диапазон глубин между точками I и II, это связано с тем, что влияние нижней части трубы на температуру в

Рис. 8. Зависимость средней (а) и разности средней и геотермической (б) температуры нефти в скважине при дебите 50 м3/сут. от вертикальной координаты іл для различных значений отношения радиуса верхнего участка трубы к радиусу нижнего гт = гь/ п: I - 0.7,2 - 0.9,3-1, 4-І. 5,5-2, 6-5, 7- геотерма. Координата изменения радиуса г,) = Н = 200 м

Итак, использование «в среднем точной» модификации асимптотического метода позволяет аналитически исследовать температурные поля потоков переменного сечения в скважинах, что представляет основу интерпретации скважинных термограмм и позволяет существенно увеличить достоверность выявления интервалов заколонного движения жидкости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Разработана математическая модель температурного поля турбулентного потока жидкости в скважине, окруженной сплошным массивом, с учетом турбулентной составляющей теплопроводности и соответствующего профиля скорости потока флюида.

2. Показано, что в нулевом приближении температурные поля для вязких турбулентных течений с ламинарным подслоем, ламинарного режима течения и выровненного профиля скорости совпадают, т. е. осредненные решения температуры не зависят от характера течения в предположении аксиальной симметрии. Отсюда следует, что для учета вклада турбулентности потока жидкости на температурные поля в скважине необходим расчет первого коэффициента асимптотического разложения.

3.На основании анализа расчетов подтверждено, что и с учетом радиальной зависимости теплопроводности нестационарный перепад температуры для турбулентных потоков жидкости внутри скважины значительно меньше перепада температуры при ламинарном режиме течения.

4. Установлены размеры зоны температурного экранирования, обусловленной изменением диаметра потока, как в зоне влияния температурного сигнала пласта, так и вне этой зоны. Полученные формулы для расчета «средней по сечению» температуры в трубе с изменяющимся радиусом позволили установить, что увеличение радиуса верхнего участка трубы, несмотря на уменьшение коэффициента теплообмена, рассчитанного на единицу длины, приводит к сближению температуры нефти с геотермической и уменьшению зоны установления температуры. При уменьшении радиуса сечения верхнего участка трубы наблюдается обратное явление.

5. Полученные формулы для расчета «средней по сечению» трубы температуры при изменении радиуса потока жидкости дают возможность прогнозировать температурные аномалии, возникающие в скважине (например, при переходе потока жидкости в насосно-компрессорные тру-

бы), и обеспечивают оптимизацию условий теплоотдачи и возможность создания новых способов исследования скважин.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Родионов А. С. Температурное поле турбулентного потока в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов // Теплофизика высоких температур. —2013. - Т. 51. —№ 2 - С. 277-286.

Rodionov A.S. Temperature Field of Turbulent Flow in a Well. / A.I. Filippov, O.V. Akhmetova, A.S. Rodionov. // High Temperature. - 2013. -Vol. 51. - № 2. - pp. 246 - 255.

2. Родионов А. С. Исследование температурных полей в трубах переменного радиуса / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.А. Горюнова, A.C. Родионов // Вестник Воронежского государственного технического университета.-2010.-Т. 6.-№ 10.-С. 171-178.

3. Родионов A.C. Асимптотическое осреднение температуры турбулентного потока в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов // Вестник Тюменского государственного университета. - 2012. -№4.-С. 6-13.

4. Rodionov A.S. Quasi-One-Dimensional Nonstationary Temperature Field of a Turbulent Flow in a Well / A.I. Filippov, O.V. Akhmetova, A.S. Rodionov // Journal of Engineering Thermophysics. - 2012. - Vol. 21. -No. 3. — pp. 167-180.

5. Rodionov A.S. Thermologging problem with a given radial oil-velocity profile in the well shaft. / A.I. Filippov, O.V. Akhmetova, M.A. Ze-lenova, A.S. Rodionov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -2013.-Vol. 86. — Issue l.-pp. 183-204.

Родионов A.C. Задача термокаротажа с заданным радиальным профилем скорости нефтяного потока в стволе скважины. / А. И. Филиппов, О.В. Ахметова, М. А. Зеленова, А. С. Родионов. // Инженерно-физический журнал. - 2013. - Т. 86. - № 1. - С. 172 - 190.

В других изданиях:

6. Родионов A.C. Теплообмен турбулентного потока в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов //XIV Минский международный форум по тепло- и массообмену. Тезисы докладов и сообщений. - 2012. - Т. 1.-Часть 1.-С. 322-326.

7. Родионов A.C. Учет источников в задаче о температурном поле в вертикальном потоке жидкости в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.А. Горюнова, A.C. Родионов // Физико - математические и технические науки. Труды Стерлитамакского филиала АН РБ. -Стерлитамак: Гилем - 2009. - В №6 - С. 182-196.

8. Родионов A.C. Температурное поле в скважине с учетом тепловых источников / А.И. Филиппов, М.А. Горюнова, A.C. Родионов // Молодежь. Прогресс. Наука. Межвуз. науч.-практ. конференция молодых ученых. Сборник трудов. - Стерлитамак: СГПА им. Зайнаб Биишевой. -

2009.-С. 219.

9. Родионов A.C. Учет турбулентности при решении задач о температурном поле в трубе / A.C. Родионов // Молодежь. Прогресс. Наука. Межвуз. науч - практ. конференция молодых ученых. Сборник трудов. -Стерлитамак: СГПА им. Зайнаб Биишевой. - 2010. - С. 60.

10. Родионов A.C. Исследование температурного поля действующей скважины с учетом фазовых переходов / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов // Актуальные проблемы современной науки и образования. Естественные науки: Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Уфа: РИЦ БашГУ. - 2010. - Т. I.-336 с.

11. Родионов A.C. Температурные поля в трубах переменного радиуса / О.В. Ахметова, A.C. Родионов // Мавлютовские чтения: Всероссийская молодежная научная конференция: сб. тр. в 5 т. - Уфа: УГАТУ -

2010.-Т. 5.-292 с.

12. Родионов A.C. Решение задачи о температурном поле в скважине для различных режимов течения / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов // ВНКСФ-16: Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, г. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г.: материалы конф., информ. бюл.: в 1 т. - Екатеринбург; Волгоград: Изд-во АСФ России. - 2010. - Т. 1. - 836 с.

13. Родионов А. С. Расчеты радиальных распределений температуры турбулентного потока в вертикальной трубе / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов, Л.Л. Дудина // Современная парадигма науки и образования: Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции (28-29 октября 2010 года): - Уфа: РИЦ БашГУ.-2010.-416 с.

14. Родионов A.C. Расчеты температурных полей при течении флюида в трубах переменного радиуса / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, М.А. Зеленова, A.C. Родионов, З.Р. Давлетчурина // Роль ВУЗа в формировании социокультурного пространства: сб. науч. трудов и материалов Всерос. науч.-практ. конф. с международным участием. - Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад. им. Зайнаб Биишевой. - 2010. - Ч.З. - 227 с.

15. Родионов A.C. Задача о теплообмене в турбулентных потоках жидкости / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов, Л.Л. Дудина // Научные труды Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой.-№1 -2011.-Т. 1.-170 с.

Родионов Артем Сергеевич

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ В СКВАЖИНАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 30.05.2013 г. Гарнитура «Times». Бумага ксероксная. Формат 60><80мб. Печать оперативная. Усл. печ.л. 1,0. Заказ № 283 / 13. Тираж 100 экз.

Отпечатано в полиграфическом участке Стерлитамакского филиала БашГУ, 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Родионов, Артем Сергеевич, Стерлитамак

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Академия Наук Республики Башкортостан Государственное автономное научное учреждение «ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ»

04201360505

РОДИОНОВ АРТЕМ СЕРГЕЕВИЧ

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ В СКВАЖИНАХ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Филиппов А.И. Научный консультант - кандидат физико-математических наук, доцент

Ахметова О.В.

на правах рукописи

Стерлитамак -2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................5

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ..................................................................................13

ГЛАВА I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕПЛООБМЕНА В ПРИМЕНЕНИИ К ЗАДАЧАМ ТЕРМОКАРОТАЖА .... 15

1.1. Описание проблемы и математическая постановка задачи....................15

1.1.1. Обзор литературы по турбулентному теплообмену......................15

1.1.2. Исследование температурных полей в скважине............................18

1.1.3. Описание процессов..............................................................................20

1.1.4. Основные уравнения.............................................................................24

1.1.5. Математическая постановка задачи................................................26

1.2. Представление задачи в виде асимптотических формул........................29

1.2.1. Постановка задачи для нулевого коэффициента разложения.......31

1.2.2. Задача для первого коэффициента разложения...............................34

1.3. Случай турбулентного потока жидкости и постоянных градиентов ....38

1.3.1. Постановка задачи для нулевого коэффициента разложения.......40

1.3.2. Постановка задачи для первого коэффициента разложения.........42

1.4. Выводы.........................................................................................................43

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ «В СРЕДНЕМ ТОЧНЫХ» АНАЛИТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ..........................................................................................................45

2.1. Решение общей задачи для турбулентного потока жидкости................45

2.1.1. Аналитическое решение общей задачи для турбулентного потока жидкости в нулевом приближении..............................................................45

2.1.2. Постановка задачи для остаточного члена и вывод дополнительных условий................................................................................48

2.1.3. «В среднем точное» решение задачи в первом приближении.........51

2.1.4. Решение задачи в пространстве оригиналов....................................56

2.2. Решение задачи для турбулентного потока жидкости и постоянного вертикального градиента температуры...........................................................58

2.2.1. Решение задачи для случая постоянных градиентов в нулевом приближении...................................................................................................59

2.2.2. Задача для остаточного члена...........................................................60

2.2.3. «В среднем точное» решение задачи для первого коэффициента разложения......................................................................................................61

2.2.4. Нахождение оригиналов......................................................................64

2.3. Температурные поля в трубах с изменяющимся радиусом....................66

2.3.1. Математическая постановка задачи о температурном поле в трубе с изменяющимся радиусом.................................................................67

2.3.2. Асимптотическое разложение задачи..............................................70

2.3.3. Решение задачи для нижнего участка трубы в нулевом приближении...................................................................................................75

2.3.4. Решение задачи для верхнего участка трубы в нулевом приближении...................................................................................................77

2.5. Выводы.........................................................................................................80

ГЛАВА III. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВКЛАДА ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ В СКВАЖИНЕ.......................................................................................................82

3.1. Учет турбулентности при построении радиального распределения

температуры........................................................................................................82

3.2. Графические зависимости для случая постоянного градиента

температур с учетом режима течения..............................................................86

3.3. Графические зависимости для трубы с изменяющимся радиусом.......89

3.4. Расчет температурных меток.....................................................................94

3.5. Выводы.........................................................................................................97

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................98

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................100

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.................................................................................................111

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ «В СРЕДНЕМ ТОЧНОГО» АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО И

ЛАМИНАРНОГО ПОТОКОВ В КВАЗИСТАЦИОНАРНОМ

ПРИБЛИЖЕНИИ.................................................................................................111

§1. Постановка задачи о температурном поле турбулентного потока в

квазистационарном приближении..................................................................111

§2. Температурное поле турбулентного потока в асимптотическом представлении..................................................................................................113

2.1. Разложение по асимптотическому параметру.......................................113

2.2. Нулевое приближение..............................................................................114

2.4. Первый коэффициент разложения..........................................................115

2.3. Остаточный член.......................................................................................115

§3. Точное решение задачи.............................................................................116

§4. Сопоставление точного и приближенного асимптотического

представления температурных полей жидкости в трубах...........................117

§5. Некоторые особенности асимптотического и интегрально осредненного описания температурного поля для квазистационарного случая...............119

ВВЕДЕНИЕ

В работе предпринята попытка на основе «в среднем точного» асимптотического решения задачи построить теорию нестационарных тепловых процессов в скважинах для турбулентного потока жидкости. Искомое решение представляется в виде асимптотических формул. Исходная задача преобразуется в последовательность краевых задач для коэффициентов разложения и остаточного члена. Также' возникает необходимость использования известной процедуры расцепления, поскольку в конвективное уравнение теплопроводности, полученное после подстановки ряда, при соответствующей степени параметра разложения входят соседние коэффициенты.

Целью диссертационной работы является исследование вклада турбулентности в нестационарные температурные поля в трубчатых каналах

применительно к термометрии скважин с учетом теплообмена с окружающей средой и изменений радиуса сечения потока жидкости.

Основные задачи исследования:

- получение «в среднем точного» решения задачи о температурных полях турбулентных потоков в • скважине, учитывающей турбулентную составляющую теплопроводности и соответствующий профиль скорости; представление исходной задачи сопряжения в виде последовательности краевых задач для коэффициентов асимптотического разложения и остаточного члена;

- решение задачи о температурном поле в трубе с изменяющимся радиусом сечения;

лонн. В частности, эти решения позволяют учесть вклад турбулизации потока и изменение диаметра скважины.

Построенный способ расчета «средней по сечению» температуры и ее радиального распределения позволяет осуществлять детальные расчеты температуры в скважинах при турбулентном, ламинарном и других аксиально-симметричных режимах течения жидкости. Полученные формулы для расчета «средней по сечению» трубы температуры при изменении радиуса потока жидкости дают возможность прогнозировать температурные аномалии, возникающие в скважине (например, при переходе потока жидкости в насосно-компрессорные трубы), и обеспечивают возможность создания новых способов исследования скважин и оптимизацию условий теплоотдачи в скважинах.

Достоверность в основу исследования положены законы сохранения и другие фундаментальные физические законы, а полученные решения задач и основные результаты согласованы с ними. Из общего решения, полученного в диссертационной работе, следуют частные случаи ламинарного режима течения и модельного режима с выровненным профилем скорости, которые сопоставлены с известными.результатами других исследователей.

Основные положения, выносимые на защиту:

симметричных течений. Для исследования турбулентности необходимо использовать первый коэффициент асимптотического разложения.

Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

В первой главе рассмотрена математическая модель температурного поля жидкости, текущей по трубе при турбулентном режиме течения, окруженной сплошным массивом среды. Исходная задача преобразуется в последовательность краевых задач для коэффициентов разложения. При этом возникает необходимость использования специальной процедуры расцепления, поскольку в уравнение конвективной теплопроводности, полученное после подстановки ряда, при соответствующей степени параметра разложения входят соседние коэффициенты.

Рассмотрена общая задача термокаротажа учитывающая турбулентность потока жидкости, а также частный случай этой задачи, в котором постулируется постоянство вертикального градиента температуры. Во всех этих случаях для нулевых и первых коэффициентов разложения сформулированы в асимптотическом представлении смешанные краевые задачи для уравнений гиперболического типа со следами производных из внешних областей.

Во второй главе получены «в среднем точные» аналитические решения задач. Сформулирована задача для остаточного члена, возникающего после первого коэффициента разложения. Решена задача для трубы с изменяющимся радиусом. Найдены среднеинтегральные условия, обеспечивающие построение «в среднем точного» асимптотического решения. Сформулирована и решена в нулевом приближении задача для трубы с изменяющимся радиусом. Построены выражения для расчета нестационарных температурных полей турбулентного потока жидкости в скважине в пространстве изображений Лапласа - Карсона. Выполнен переход в пространство оригиналов. Показано, что нулевое приближение позволяет построить новый способ расчета средней по сечению температуры, а первое приближение - учесть вклад турбулентности в температурное поле в скважине. Также первое приближение позволяет рассчитать радиальное распределение температуры в турбулентном потоке жидкости.

В третьей главе обсуждаются результаты расчетов, выполненных по полученным формулам. Проанализировано влияние турбулизации потока флюида в скважине, изменения диаметра потока сечения, температурного сигнала пласта при турбулентном режиме течения, теплофизических параметров наполняющего флюида и окружающих пород на температурное поле в скважине.

В заключении подводятся итоги проведенного исследования.

В процессе выполнения работы были использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием графического редактора CorelDraw.

сийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Всероссийской научно-практической конференции «Современная парадигма науки и образования» (Стерлитамак, 2010 г.); научных семинарах кафедры теоретической физики и методики обучения Стерлитамакского филиала БашГУ (Стерлитамак, 2009 - 2013 гг.), научных семинарах отдела физико-математических и технических наук ИЛИ РБ (Стерлитамак, 2010-2013 гг.), научном семинаре Института механики им. P.P. Мавлютова УНЦ РАН (Уфа, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, из них 5 - в журналах ВАК РФ.

Работы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Родионов А. С. Температурное поле турбулентного потока в скважине / А.И. Филиппов, О.В. Ахметова, A.C. Родионов // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51. - № 2 - С. 277-286.

Rodionov A.S. Temperature Field of Turbulent Flow in a Well. / A.I. Filippov, O.V. Akhmetova, A.S. Rodionov. // High Temperature. - 2013. - Vol. 51. - № 2. -pp. 246-255.

5. Rodionov A.S. Thermologging problem with a given radial oil-velocity profile in the well shaft. / A.I. Filippov, O.V. Akhmetova, M.A. Zelenova, A.S