Тензорные расслоения типа (2, 0) над группами Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ унивЕР^вддер 2007

. В. И. УЛЬЯНОВА - ЛЕН

ИНА

003052120

На правах рукописи

Опокина Надежда Анатольевна

ТЕНЗОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ТИПА (2, 0) НАД ГРУППАМИ ЛИ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2007

003052120

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова - Ленина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шапуков Борис Никитович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Беляев Павел Леонидович

Ведущая организация:

Московский государственный областной университет

Защита состоится 29 марта 2007 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета по математике Д. 212.081.10 Казанского государственного университета по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета / Казань, ул. Кремлёвская, 18 /.

Автореферат разослан 25 февраля 2007 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория групп Ли была развита Софусом Ли в связи с проблемой разрешимости дифференциальных уравнений. Теория "конечных непрерывных" групп, понимаемая как теория групп преобразований, была развита Софусом Ли в многочисленных мемуарах, начиная с 1874 г. и систематически изложена в трактате "Theorie der Transformation gruppen"(1888 — 1893 гг.), написанном в сотрудничестве с Ф.Энгелем. Ключей к их изучению послужило рассмотрение соответствующих инфинитезимальных преобразований. Ли вводит понятия подгрупп, нормальных подгрупп, гомоморфизмов, присоединенных преобразований и т.д.

В 1904 г. Э. Картан вводит уравнения, названные позднее структурными уравнениям Картана [11] и показывает, что теория конечных непрерывных групп может быть развита на основе форм и устанавливает эквивалентность этого подхода и подхода Ли.

В результате исследований Э. Картана теория групп Ли принимает более отчётливый алгебраический характер, и основное внимание концентрируется на углублённом изучении алгебр Ли. Период с 1988 по 1894 г., отмеченный работами Ф. Энгеля, В. Киллинга и Э. Картана, привело к ряду ярких результатов о структуре алгебр Ли. Первые шаги в определении и изучении глобальных групп Ли были сделаны Г. Вейлем (1924). После работ Г. Вейля Э. Картан определённо становится на глобальную точку зрения в своих исследованиях по симметрическим пространствам и группам Ли [11].

Детальное изложение теории групп Ли в книге по топологическим группам было дано Л.С. Понтрягиным (1954) [7]. Вслед за книгой Л.С. Понтрягина последовала монография К. Шевалле (1946, 1951, 1955) [12]. "Инфинитизимальные преобразования"Ли принимают здесь вид векторных полей, а алгебра Ли группы Ли отождествляется с пространством левоинвариантных векторных полей на G.

Понятие расслоения, возникшее в 30-х годах в связи с задачами топологии и геометрии многообразий, оказалось чрезвычайно плодотворным и до сих пор является одной из наиболее быстро раз-

вивающихся областей в современной математике. С развитием теории расслоенных пространств связана коренная перестройка всей структуры дифференциально-геометрических понятий, начавшаяся с 50-х годов прошлого века, новое понимание классических результатов, значительное расширение области исследований (Н. Стинрод, 1953). Теория расслоенных многообразий оказала значительно влияние и на развитие самой теории групп Ли. Методы расслоенных пространств систематически используют гамильтонова механика и теоретическая физика [1].

Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам Ш. Сасаки, Ш. Ишихара, К. Яно. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений (К. Яно, К.-П. Мок). В работе К. Яно и Ш. Ишихара были подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года [14]. В их работах для заданной связности на многообразии М постороены её полный и горизонтальный лифты в ТМ. Получены формулы для тензоров кривизны и кручения, найдены геодезические линии построенных связностей.

Общая теория тензорных расслоений под названием пространств тензорных опорных элементов была развита Б.Л. Лаптевым (19491956). На тотальном пространстве этих пространств им были построены операции (внешнего) ковариантного дифференцирования и дифференцирования Ли. Развивая эти результаты и существенно используя методы теории расслоенных многообразий, вопросами построения и изучения внешних и внутренних связностей как горизонтальных распределений на векторных и тензорных расслоениях занимался Б.Н. Шапуков (1976-1982) [9], [10]. В частности, им показано, что если на векторном расслоении задана внешняя связность, то при некоторых условиях в расслоении определяется некоторая внутрення связность, в общем случае нелинейная. Им были найдены также условия, при при которых внешняя линейная связность может быть редуцирована к специальной связности, введенной Б.Л. Лаптевым. "Ученик Б.Н. Шапукова, П.Л. Беляев иследовал аффинорные

расслоения как присоединённые расслоения к расслоению линейных реперов [2]. Также он изучал подрасслоение орбит этого расслоения.

Касательные расслоения над группами Ли впервые рассматривались А. Моримото (1968) [13]. В работе Е.В. Назаровой (1979) [б], ученицы А.П. Широкова, касательное расслоение групп Ли рассматривалось, как естественное продолжение группы Ли С? в алгебру дуальных чисел. Вместе с тем, большой интерес представляют тензорные расслоения произвольной валентности над группами Ли, поскольку, как выясняется в этой диссертации, они образуют особую," новую категорию групп Ли, ранее не изученную.

Целью настоящей работы является изучение тензорных расслоений типа (2,0) над группами Ли, сочетающих в себе как структуру расслоенного пространства, так и структуру группы Ли.

Научная новизна. В диссертации: доказана групповая структура тензорных расслоений С типа (2,0) над группами Ли; построена левая внешняя связность на этих расслоениях и найдена ее связь с левой связностью на базе расслоения; найдены горизонтальный и вертикальный лифты векторных полей; построена левоинвариант-ная метрика на тензорном расслоении С из левоинвариантной метрики на базе; найдено необходимое условие, при которых риманово пространство относительно построенной левоинвариантной метрики является пространством постоянной кривизны.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного анализа, теория групп Ли, теория расслоенных пространств.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение, а ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях в этом направлении, в учебном процессе.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (научный руководитель проф. Шапуков Б.Н.). Они были также доложены на четвёртой всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2005" (г. Казань, 2005 г.), на

итоговых научных конференциях КГУ (2005 - 2007гг.), на 18 международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физике "Волга - 2006й(г. Казань, 2006 г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ [1]-[6] без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя числами, где первое означает номер главы, а второе - номер формулы. Параграфы обозначаются двумя числами. Объем работы - 102 страницы машинописного текста, библиография содержит 42 наименования.

Краткое содержание диссертации.

Пусть С — группа Ли размерности п. Первая глава посвящена изучению основных свойств тензорных расслоений над группами Ли на примере расслоения Т^в. В §1.1 дано определение тензорного расслоения типа (2, 0) как расслоения, присоединённого к расслоению линейных реперов Ь(М). В дальнейшем индексы г,у, к,... являются базисными, а, /3,7,... — слоевыми, А, В, С,... — тотальными. Также использовался следующий способ индексации компонент тензоров:

Та = «/ЛТ1'?, где — некоторые константы, образующие невыро-2

жденную п -матрицу, где а означает номер строки, а совокупность индексов у, занумерованных в некотором порядке, — номер столбца. Предварительно, в §1.2 рассмотрены касательные расслоения ГС над группами Ли . Дано доказательство того, что они также являются группами Ли. Найдены левоинвариантные векторные поля на ТС, которые является проектируемыми в левоинвариантные векторные поля на (7. Показано, что эти расслоения является тривиальным. Найдены базис и структурные уравнения алгебры Ли go группы ТС. В §1.3 — §1.4 вводится операция умножения на расслоении Т$С:

(х.Т*) о {у, Ту) = (ху,Ь*(х)Ту + Я*{у)Тх),

где — дифференциалы левого и правого сдвига, соответствен-

но. Доказано, что Тд в относительно этой операции является группой Ли. Доказаны следующие теоремы:

Теорема. Если Н — подгруппа Ли в б, то Т$Н — подгруппа Ли в

По.

Теорема. Пусть тт : Г02С —> <2 — каноническая проекция. Тогда верны следующие утверждения:

a) Если Н - подгруппа Ли в Гц С", то ее проекция тг(Я) есть подгруппа Ли в (У;

b) Если N — нормальный делитель в то 7г(Лг) есть нормальный делитель в (7;

c) Если 2 — центр групы ТцС?, то 7г(Я) - центр группы С?. Найдены полный лифт левоинвариантных векторных полей и ле-

воинвариантные векторные поля на Тц (3, которые являются проектируемыми в левоинвариантные векторные поля на группе Ли (7.

Далее рассматривается алгебра Ли gQ группы Ли <3. Из теорем, доказанных ранее, следует, что подалгебра, идеал и центр алгебры Ли группы Ли Т^С являются проектируемыми в подалгебру, идеал, центр алгебры Ли g группы Ли С?, соответственно. Найдены базис Ед = (Ег,Еа) и структурные уравнения этой алгебры Ли. Доказаны следующие теоремы:

Теорема. Подпространство 7) — {V | V — У1Ег} пространства go является подалгеброй Ли. Теорема. Решение системы

17*4= 0, иас1 = О,

где с^. — структурные константы алгебры Ли g, ¿¡а = с™6р), определяет центр алгебры Ли gQ.

Параграфы §1.5 — §1.6 посвящены построению гомоморфизмов тензорных расслоений типа (2, 0) и их изучению. Доказывается, что Гц С с точностью до изоморфизма расслоений является прямым произведением группы Ли б и Т02 , то есть Т^О является тривиальным расслоением. Рассматривается послойный гомоморфизм тензорных расслоений над группами Ли. Показано, что он имеет следующую

структуру: F = (/, JF), где / — гомоморфизм группы Ли G на группу G', Т — линейное отображение слоёв, перестановочное с дифференциалами левого и правого действия. Построено отображение Ф = (<р,(р*) : TqG —> TqG', где ip — гомоморфизм группы Ли G на группу G'. Доказано, что оно является гомоморфизмом. Доказана теорема, что множество гомоморфизмов {F} содержит гомоморфизмы вида {Ф}.

Доказано, что каноническая проекция 7г : TqG —+ G является гомоморфизмом групп Ли. Показано, что TqG(G, Н, 7г) является тривиальным главным расслоением, где Н = кег7г. Построен гомоморфизм главных расслоений.

В §1.7 построены подрасслоения орбит левого действия структурной группы в расслоении TqM. При dim М — 2 в §1.8 — §1.9 в явном виде найдены стационарные подгруппы тензоров Т е Т02 и уравнения орбит в тензорном расслоении TqM . А также доказало, что при отображении, порождённого левым действием на G, L = (L,L*) : TqG —» TqG орбита определённого типа переходит в орбиту этого же типа . Это верно и для отображения, порождённого правым действием на группе Ли G: R = (R,R±) : TqG —► TqG.

Глава 2 посвящена теории связностей на тензорном расслоении TqM. В §2.1 — §2.3 рассмотрены связности на группах Ли G и TqG. Здесь вводится понятия внешних и внутренних связностей на расслоении TqM. Учитывая, что тензорное расслоение TqG является присоединённым к расслоению реперов, найдена внутренняя связность как горизонтальное распределение на Tq G с помощью левой и правой связностей на базе расслоения. Показано, что внутренняя связность на TqG, построенная из правой связности на базе G является взаимной к внутренней связности, построенной из левой связности на G. Найдены коэффициенты левой внешней связности на Tq G и их выражение через коэффициенты левой связности на базе. Вычислены компоненты тензора кручения этой связности, которые выражаются через компоненты тензора кручения левой связности на G. Рассмотрены свойства левой внешней связности на тензорном расслоении TqG. Показано, что она является приводимой, проектируемой в ле-

вую связность на базе и регулярной. Доказано, что она однозначно определяет линейную внутреннюю связность этого расслоения, которая совпадает с внутренней связностью, построенной в §2.1.

В §2.4 доказано, что вертикальное распределение на Тд (3 является левоинвариантным. Найдено необходимое и достаточное условие, при котором горизонтальный лифт левоинвариантных векторных полей является левоинвариантным. Доказано, что горизонтальное распределение Я (То С?), определяемое связностью, построенной из правой связности на базе <2, является левоинвариантным. Построен вертикальный лифт левоинвариантных векторных полей и доказано, что он является левоинвариантным. Таким образом, построено левоинвариантное адаптированное поле реперов на Гц (3. Найдены структурные уравнения. Доказано, что горизонтальное распределение в этом случае является вполне интегрируемым.

Глава 3 посвящена построению метрик на тензорных расслоениях типа (2,0) над группами Ли. Сначала в §3.1 —§3.2 найдены формы Киллинга на и ТрС?. Они являются вырожденными. Доказано, что алгебра Ли go группы Ли Т(7 разрешима (нильпотентна) тогда и только тогда, когда алгебра Ли g группы Ли <3 разрешима (нильпотентна). А также доказана следующая Теорема. Пусть = 0. Тогда:

1) Алгебра Ли §§ разрешима тогда и только тогда, когда алгебра Ли g разрешима;

2) Алгебра Ли gQ нильпотентна тогда и только тогда, когда алгебра Ли g нильпотентна.

В §3.3 рассматривается риманово пространство в с левоинва-риантной метрикой д. Построены горизонтальный и вертикальный лифты этой метрики на Построена левоинвариантная метрика д на ТдС? из левоинвариантной метрики на базе. Она записана в натуральном и в левоинвариантном адаптированном полях реперов. Далее в §3.4 рассматривается риманово пространство (). Найдены коэффициенты римановой связности и компоненты тензора кривизны. Доказаны следующие теоремы:

Теорема. Если ТдС — пространство постоянной кривизны К и

dim G ^ 3, mo G — пространство постоянной кривизны К. В случае dim G — 2, G является пространством постоянной кривизны К. Теорема. Для того, чтобы TqG являлось пространством постоянной кривизны К необходимо, чтобы выполнялось условие

Riajj} ~ Rif3ja-

Теорема. Пусть G — абелева группа. Тогда (T^G^g) является плоским римановым пространством.

В §3.5 рассмотрены примеры левоинвариантных метрик на тензорном расслоении типа (2, 0) над группой Ли ориентированных афинных преобразований прямой.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Введена операция на тензорном расслоении типа (2, 0) над группами Ли. Доказано, что относительно этой операции это тензорное расслоение является группой Ли.

2. Найдены коэффициенты левой внешней связности на TqG, которые выражаются через коэффициенты левой связности на базе. Найдены свойства этой связности. Доказано, что она однозначно определяет линейную внутреннюю связность этого расслоения, которая совпадает с внутренней связностью, построенной из левой связности на базе.

3. Построены вертикальный и горизонтальный лифты левоинвариантных векторных полей. Найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы горизонтальный лифт левоинвариантных векторных полей был левоинвариантным. Построены левоинвари-антные вертикальное и горизонтальное распределения.

4. Построена левоинвариантная метрика на TqG из левоинвари-антной метрики на базе. Найдено необходимое условие, при котором риманово пространство TqG относительно построенной левоинвари-антной метрики является пространством постоянной кривизны.

Список литературы

[1] Арнольд, В.И. Математические методы классической механики/ В.И. Арнольд — М.: "Наука", 1974 - 446 с.

[2] Беляев, П.Л. Аффинерные расслоения: Дне. ... кандидата физико-математических наук: 01.01.04./ П.Л. Беляев — Казанский университет, 1993

[3] Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Главы 1-3./Н. Бурбаки — М.:" "Мир", 1976 - 496 с.

[4] Мантуров, О.В. Элементы тензорного исчисления/О.В. Манту-ров — М.: "Просвещение", 1991 — 255 с.

[5] Мищенко, A.C. Векторные расслоения и их применения/A.C. Мищенко — М.: "Наука", 1984. - 208 с.

[6] Назарова, Е.В. К геометрии касательных расслоений групп Ли/ Е.В. Назарова // Тр. геометр, семин. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та. - 1979. - вып. 11. - С. 70 - 78.

[7] Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы/ Л.С. Понтрягин — М.: "Наука", 1984. - 520 с.

[8] Шапуков, Б.Н. Тензорные расслоения/Б.Н. Шапуков // Сб. "Памяти Лобачевского посвящается". — Казань: изд-во Казанск. унта. - 1992. - С. 104 - 125.

[9] Шапуков, Б.Н.Проектируемость тензорных полей и связно-стей в расслоении / Б.Н. Шапуков // Тр. геом. семинара — Казань: Уч. зап. Казанск. ун-та. — 1985. — вып.17. — С. 84-100.

[10] Шапуков, Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях /Б.Н. Шапуков // Итоги науки и техн. Современ. пробл. геометрии. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - Т. 15. - С. 61-63.

[11] Cartan, Е. Euvres completes/Е. Cartan — Paris, 1954

[12] Chevalley, С. Theory of Lie groups /С. Chevalley — Princeton University Press, 1946

[13] Morimoto, A. Prolongations of G-structures to tangent bundles/A. Morimoto// Nagoya Math. J. - 1968 — 32 — P. 67-108.

[14] Yano, K. Tangent and cotangent bundles. Differential geometry/К. Yano, Sh. Ishihara - New York, 1973

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Опокина, H.A. Касательные и тензорные расслоения типа (2,0) над группой Ли/H.A. Опокина // Уч.-зап. Казанск. гос. ун-та. Серия физикоматематической науки. — 2005. — Том 147. Книга 1. — С. 138-147

[2] Опокина, H.A. Форма Киллинга на тензорных расслоениях групп Ли/H.A. Опокина // Т. 31: Материалы IV всероссийской молодежной науч. школы-конференции «Лобачевские чтения-2005», Казань, 16 - 18 декабря 2005 г. — Казань: Каз. мат. общ-во, 2005. — С. 118-120.

[3] Опокина, H.A. Орбиты на тензорном расслоение типа (2,0)/ H.A. Опокина // Казань, 2005. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.2005, № 1759 - В2005

[4] Опокина, H.A. Левая связность на тензорном расслоении типа (2, 0) группы Ли/H.A. Опокина// Петровские чтения. Волга -2006. XVIII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физике. Материалы школы-семинара. — Казань — 2006. — С. 72

[5] Опокина, H.A. Левоинвариантная метрика на тензорном расслоении группы Ли/H.A. Опокина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета "Ли-манчик", 5 — 11 сентября 2006 года. — Ростов-на-Дону — 2006. — С. 67-70

[6] Опокина, H.A. Левая связность на тензорном расслоении типа (2,0) над группой Ли/H.A. Опокина // Известия вузов. Математика. - Казань: изд-во Казанск. ун-та. — 2006. — № 11 (534) — С. 77-82

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 2/55

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 231-53-59,292-65-60

0.1.1 Общая харакхеристика работы 4О 1.2 Краткое содержание диссертации

1 Тензорные расслоения над грунпами Л и

1.1 Тензорные расслоения над мноюобразиями

1.2 Кассиельные расслоения над груннами Ли

1.3 Г1)унновая cTpyKiypa тензорных расслоений TQG

1.4 Ал1ебра Ли 1'рунны Ли T(?G

1.5 Гомоморфизмы'хенюрных расслоений

1.6 Схруктура главного расслоения в T^G

1 Подрасслоения орбит в TQM

1 Стационарные нодгрунпы тензоров Т ЕТ^

1 Уравнения орбит в хензорных расслоениях TQG

2 Связности на расслоениях T^G

2 Внухренняя связность в T^G

2 Внешххяя левая связность на TQG

2 Свойства левой вненшей связности на хенюрном рас-слоении T^^G

2 Горизонтальный и вертикальный лифгх^1 векюрных но-лей

3 М е т р и к и на расслоениях TQG

3 Форма Киллинха на касательных расслоениях грунн Ли

3 Форма Киллинх^а на тензорных расслоениях TQG

3 Левоинварианхная метрика на тензорных расслоенияхT^G 85ОГЛ ХВЛЕНИЕ

3 Риманоио i ipocipanciHO (Tf lG,^)

3.5 Примеры- ле1зоипвариан1ные метрики на кмиориомрасслоении гииа (2, 0) группы Л и ориентироваппыха ф и п п ы х npeo6pajoBannft прямой. 93Сиисок лигера1урр>1 98ОГЛАВЛЕНИЕ

0.1.1 Общая характеристика работы Каса1ельныс расслоения над груннами Ли BiiepHi>ie рассма1ривались А.Моримою (1968) |33) В pa6oie Е В.Назаровой (1979) |11|,ученицы А Н Широкова, касаиин^ное расслоение" грунн Ли paccMaiривалось, как ecjeciBCHHoe нродолжение грунны Ли G в алк'брудуальных чисел. Вместе с тем, большой HHic^ j)ec нредс1авля101 и'нjcjpHbie расслоения нроизвольной валеникхми над груннами Ли, носкольку, как выясняеи-я в эюй диссершции, они образуют особую,новую каюгорию груин Ли, ранее не изученнуюЦелью настоящей работы являе1ся изучение 1ензорных ра(СЛ0СМ1ИЙ 1ина (2,0) над груннами Ли, сочешющих в сс^ бе как С11)укlypy расслоенного нространс1ва, так и c'lpyKiypy грунны ЛиН а у ч н а я новизна. В дисссфшции: доказана Г1)униовая cipyKгура 1ензор1нлх расслоений TQG 1ииа (2,0) над груннами Ли, носфоена левая вненшяя связное!ь на -)1их расслоениях и найдена еесвязь с левой связнос1ью на базе расслоения; найдены IopиюнlaJH)ный и вер1икальный лис})1ы векторных 1юлей; нос троена левоинвариантная ме1рика на тензоррюм расслоении T^G из лсчзои1нзариан1ной метрики на базе, найдено необходимое условие, ири коюрыхримаиоР5О пространство T^G OTHOcHicvibHo искчроеннои левоинвариантной ме1рики являекя иространспзом носюянной кривизны.Методика исследования. В работе иснользуспся классическийаннарат тензорного анализа, грунп Ли, 1еория расслоенных нространствП р а к т и ч е с к а я и теоретическая значимость. Рабош имеемтеоре1ическое значение, а ее pe3yjH>iaibi могут бьпь использованы вдальнейншх исследованиях в этом нанравлении, в учебном нроцесчеАнробация результатов работы. Основные результа1ы диссертации неоднократно докладывались и обсуждалис1> на гсч)ме1рическом семинаре Казанскою юсударс 1венно1о унивс'рси1е1а (научный руководи1ель щю(\) Шануков В Н ) Они бр>1ли 1акж(> доОГЛАВЛЕНИЕ 7ложены на чс'гвёрюй и(ороссийской молодежной научной школеконференцин "Лобачевские Ч1ения — 2()()5"(Казань, 2005 i') на иююиых научных кон(}л'рен11,иях КГУ (2005 - 2006 и"), на 18 международной ле1ней 111коле-(емина{)е но (овременн1)1М нроблемам leope1ической и ма1ема1нческой фншке "BojHa- 200G" (Казань, 200G i ),на мс'ждународной Н1коле-семинаре но и'омехрии и анализу памятиН В Е(})имова (Абрау-Дюрсо, 200G г.)Публикации. По 1еме дисссркщии опубликовано Hiecib pa6oi|37| [42] 6ej соавторовСтруктура и объем работы. Диссс'ртация COCIOHI И 5 введения,ipex глав, разби1ых па параг{)афы, п списка ли]ературы. Форму;нлобозначаются двумя числами, где нервое означает номер главы, авюрое — помер формулы. Парагра(})ы обо5нача101ся двумя числами Обьем работы 102 С1ранип,ы Mainnnonncnoio i('K(ia, библиоIрафия (одержит 42 наименования.Основные результаты, выносимые на защиту.1. Введена операция на 1ензорпом расслоении 1ина (2, 0) надгрупнами Ли Доказано, чю относи 1ельпо эюй онсфации ^ю KMIОГЛАВ ПЕНИЕ 12'зорноо расслоение является ipyiiiioH Ли2. Найд(М1ы ко^ффициешы лсмюй впсмипой ([«иное 1и ил TfjG, коюрыо иыражаю]ся чере5 к()-з4)фиционгы логзой (•вяик)(1и иа базеНайд(Ч1ы свойсчна этой связности. Доказано, то она однозначноонрсдрлжм линейную BuyipeiHHOio связнопь эюю расслоения, коюрая совнадает с вну1ренней связное 1ыо, нос l роенной из левойсвязное 1 и на базе3. Построены вер1икальный и юризонгальный лис|)ты левоинвариантных векторных нолей. Найдено необходимое и достаточноеусловие для того, ч'юбы шризоншльный лифт ловоинвариантныхвекюрных нолей был левоинвариантным. Построены левоинвариан1ные вер]икальнс)е и горизонтальное распределения4. Пос 1 роена левоинвариантная ме1рика на T^G из левоинва1)иашной ме1рики на базе. Пайдено необходимое условие, ири коюромриманово нросгранство TQG О1носи1ельно нос iроенной левоинвариангной метрики являе1ся ирос 1ран( IBOM НОСЮЯННОЙ кривизны.Выражаю блаюдарнскчь и искреннюю нризнагсинлюсхь научному руководи 1 ejHO нрос})ессору, докгору с|)изико-математических наук Б П Шанукову за носюянное внимание и всесюроннюю номощьнри вынoJHleнии диссертационной работы

1. Арнольд, В И Математические методы класс ической мел ани-ки/ В.И. Арнольд М "Наука", 1974

2. Беляев, П.Л. AcfiffmuopHue расслоения: Диг. ... кандидаха физико-математических наук: 01 01.04./ П.Л. Беляев - Казан-ский университет, 1993

3. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Главы 1-Я./Н. Бурбаки М.: "Мир", 1976 - 49бс

4. Винберг, Э.В.Строение групп и алгебр Ли /Э.Б Винберг , В В Горбацевич , АЛ. Онин1,ик // Итоги науки и чехн ВИНИТИСовремен нробл маг, 1990 — Т.41. — 254 с

5. Кобаяси, Ш. Оеновы дифференциальной геометрии / Кобаяси Ш., Номидзу К. - М "Паука", 1987 - Т. 1.- 344 с

6. Лихнерович, А. Теория связностей в целом и группы голоно- мий/А. Лихнерович М • Изд-во иностранной ли1ерагуры,1960- 216 с.

7. Мантуров, О.В. Элементы тензорного иечисления/0 В Ман- iypoB - М "Просвещение", 1991 — 255 с98ЛИТЕРАТУРА 99

8. Мищсико, АС Векторные paecAotHun и их применения/АС Мищенко - М.- "Наука", 1984. 208 с.И. На-зарова, Е.В. К геометрии касательньп расслоений группЛи/ ЕВ Назарова // Тр. 1еометр сомин. — Казань Изд-воКазанск ун-та. - 1979. - вын 11. С 70 - 78.

9. Нобедря, Б Е Лекции по тензорному анализу/В.Е Пободря М изд-во Московскою университета, 198G — 263 г.

10. Нонтрягин, Л Непрерывные группы/ Л Нонтрягин М "Наука", 1984 520 с14[ Нос'тников, М М. Лекции по геометрии. Семестр 4 Диффе-ренциальная геометрия/мм. Ностннков — М "Наука", 1988- 4 9 0 г

11. Нос'тников, М М. Лекции по геометрии. Семестр 5 Риманова геометрия/М М. Нос1ников - М.: "Факториал", 1998 496 с

12. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр 5. Грг/ппы и алгебры Ди/М.М.Постников — М.: "Наука", 1982 447 с

13. Ран1евский, П К Риманова геометрия и ттнзорный ана- лиз/П.К. Ран1евскнй - М. "Едиюриал УРРС", 2003 - 664 с.

14. XejH'accoH, Дифференциальная геометрия и симметриче- ские пространства/С. Хел1ассон — М "Мир", 1964 - 534 с

15. Хыозмоллор, Д. Рас слоенные пространства/Д. Хыозмоллрр М.: "Мир", 1979 - 442 с

16. Шануков, Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям/В Н Шануков М.: НИЦ "РХД", 2002. - 256 с21[ Шаиуков, Б.Н. Тензорные расслоения/Б Н Шануков // Сб."Намяш Лобачевского иосвян1,артгя". Казань* нзд-во Kaum-ск. ун-ia - 1992 - С 104- 125ЛИТЕРАТУРА 100

17. Шапуков, Б.Н Проектируемость тегиориыт полей и связио- гтей в расслоении / Б.Н Шапуков // Тр. геом семинараКазань. Уч, зап. Казанск ун-ia — 1985. — выи 17 — С 84-100

18. Шапуков, Б Н Подрасслоспис орбит в тепзорпыт расслоени- ят/В Н Шапуков// Труды гсомотричсч-кою семппара Ка-запь. изд-во Казапгк ун-id 1991 — вып.21 С 104-118

19. Шапуков, Б.Н. Структура тензорных расслоений, 1/В Н. Ша- пуков// И'шсчтия ву^ов. Ма1ема'1пка. Казапь. пзд-во Ка-запск yn-^ia. - 1979. Х" 5 - 63 - 73.

20. Шапуков, Б.Н. Структура тензорныг расслоений, 2/В Н Ша- пуков// Извес1ия вузов. Математика Казань* И5д-во Ка-запгк. yn-ia. 1981 - «^ 9 - С 5 6 - 6 328[ Широков, П.А. Тензорное исчисление/И.А Широков Казапь-изд-во Казапск. yn-ia, 1961 447 с 21. Непрерывные группы преобразовстий/Я Н Эйзепхар! М "Еди'шриал УРРС", 2004 362 с.

22. Cartan, Е. Euvres completeb/E. Cartan — Pans, 1954

23. Chcvdlky, Theory of Lie groups /C. Chevalley Princc^ton Univerbity Press, 1946

24. Lie, S. Thcone dei Tranbfounation gruppen/S. Lie uiid F Engel Tenbner, Leipzig, 1930ЛИТЕРАТУРА 101

25. Monmoto, А Pfolongahoni of G-structure, to tangent hundleh/A Morimoto// Nagoya Math. J. - 1968 - 32 - P 67-108.

26. YaiK), К Prolongation', of tenbor fichh and connection', to tangent bimdhs 1 General theojij/К Yano, Sh Kobayshi//J Math So(Japan - 1966 vol 18, № 2 P. 67-108.

27. Yano, K. Horisontal lifts of temor fields and eonnectums to tangent hundles/K. Yano, Sh. Ishihara // J. Math and Mech 1967 vol16, J(» 9 P. 1015 - 1029

28. Онокина, Н.А. Форма Киллипга на тензорныг раеслоепиял групп Ли/Н.А. Онокина // Т. 31- Материалы IV всероссийскоймолодежной науч. школы-конференции «Лобачевские чтении2005», Казань, 16 18 декабря 2005 г. — Казань. Каз мат. O6HI,-BO,2005. - 118-120.

29. Онокина, Н А. Орбиты на тепзорпом раеелоение типа (2, 0)/\{А Опокина // Казань, 2005 11 с - Деп в ВИНИТИ29 12.2005, № 1759 В2005

30. Опокипа, Н.А. Левая связность на тензорном расслоении типа (2, 0) над группой Ли/Н.А Опокина // ИЯВРС1ИЯ вузов Маю-ма1ика Казань* изд-во KajaiKK ун-та — 200G --JV» И (534)- 77-82