Теоретические исследования колебаний корональных магнитных петель тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 523.75

Михаляев Бадма Борисович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ КОРОНАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ

ПЕТЕЛЬ

01.03.03 — физика Солнца

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Элиста - 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Калмыцкого государственного университета Министерства образования и науки РФ.

Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, профессор

Соловьев Александр Анатольевич.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,' профессор

Веселовский Игорь Станиславович,

доктор физ.-мат. наук, вед. н. с. Гриб Сергей Анатольевич,

доктор физ.-мат. наук Мусцевой Виктор Васильевич.

Ведущая организация: Специальная астрофизическая обсерватория

РАН, Н. Архыз.

Защита состоится " ? " /¿^.(¿^/? ^ 2006 г. в ^'/^ч. на заседании Диссертационного Совета Д 002.120.01. по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Главной астрономической обсерватории РАН по адресу:

196140, г. Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65, корп. 1, ГАО РАН, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАО РАН (Пулковское шоссе, 65, корп. 1).

Автореферат разослан " ^ " 2006 г.

кандидат физ.-мат. наук

Секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы и предмет исследования. Корональные магнитные петли, являющиеся фундаментальным структурным элементом нижней короны, играют важную роль в активных процессах, происходящих в солнечной атмосфере, таких, например, как петельные и двуленточ-ные вспышки, корональные выбросы массы и пр. При исследовании этих процессов важно иметь информацию о параметрах корональной плазмы, величине и структуре коронального магнитного поля. Одним из источников получения подобной информации служат корональные осцилляции, наблюдаемые в различных волновых диапазонах [1, 4] и являющиеся предметом изучения корональной сейсмологии, нового направления в солнечной физике, интенсивно развивающегося в последние годы [14-16]. Второй исходной предпосылкой, определяющей интерес к колебаниям и волнам в корональ-ных петлях, является проблема нагрева солнечной короны. Одной из причин нагрева, наряду с диссипацией корональных электрических токов, в настоящее время считается поглощение в короне магнитогидродинамических волн, генерируемых конвективными движениями фотосферного вещества. Очевидно для выяснения характера распространения волн в корону необходимо исследование волн в корональных магнитных петлях.

Основная задача корональной сейсмологии принципиально аналогична обратной задаче квантовой терии рассеяния, в которой по заданному спектру гамильтониана восстанавливается его потенциал, и в своей полной формулировке должна преследовать цель восстановления точного вида корональной структуры. Для этого требуется знание всего спектра ее собственных колебаний. Такая задача далека от своего практического решения, потому что наблюдательные данные не дают сколь нибудь полную информацию о спектре отдельной выделенной корональной структуры, и многочисленные на сегодняшний день наблюдения дают отрывочные сведения о колебаниях различных структур. Недостаток информации приводит к наличию множества свободных параметров, что значительно усложняет задачи исследований. В этих условиях важное значение приобретает разработка теоретических моделей корональных структур, и в первую очередь структур, способных создавать стоячие магнитогидродинамические волны, то есть замкнутых магнитных структур. Примерами подобных структур, теоретическое исследование которых активно ведется в настоящее время, являются корональные магнитные петли и аркады корональных петель. Другими объектами изучения могут быть открытые корональные магнитные структуры, способные поддерживать бегущие волны, также наблюдав

емые в настоящее время в различных волновых диапазонах.

В теоретических исследованиях колебаний корональных петель на протяжении нескольких десятилетий используется одна и та же модель коро-нальной петли в виде круглой цилиндрической магнитной трубки с однородной плазмой и однородным продольным магнитным полем [8, 12]. Эта модель, ставшая классической, сыграла важную роль при исследовании характера распространения магнитогидродинамических волн в корональных петлях и до сих пор используется в качестве единственной модели в ко-рональной сейсмологии. Вместе с тем очевидна необходимость разработки других моделей, учитыающих внутреннююю неоднородность корональных петель. Помимо неоднородности распределения плазмы по радиусу петли нужно иметь в виду возможность существования азимутальной составляющей магнитного поля, приводящей к образованию продольного электрического тока. Наличие корональных токов служит доказательством существования азимутальной составляющей и подтверждается различными свидетельствами. Возможно, именно продольные электрические токи являются причиной петельных вспышек [23]. Косвенным подтверждением наличия азимутального поля в корональных петлях служит также высокой степени однородность диаметра петель на всем их протяжении [11].

В настоящее время всеобщее внимание привлекает наблюдаемое при помощи космического ультрафиолетового телескопа TRACE (Transition Region and Coronal Explorer) быстрое затухание поперечных смещений корональных петель, идентифицируемых как основная изгибная мода [13]. Это явление свидетельствует о быстрой диссипации энергии колебаний, что, в свою очередь, имеет значение в связи с проблемой коронального нагрева. Для его объяснения используются различные, главным образом диссипа-тивные, механизмы, в том числе вязкая диссипация [13], фазовое перемешивание [17] и резонансное поглощение [6]. Все эти подходы объединяет возможность диссипации энергии в узком слое внутри самой петли, приводящей к ее нагреву. Следует выделить особую точку зрения, согласно которой колебания корональных петель происходят в результате их резонансного раскачивания на волновых пакетах, образующихся при дисперсии ударных волн от происходящих неподалеку вспышек [3]. Отметим, что для получения подходящего времени вязкого затухания предполагается значение числа Рейнольдса, на 8-9 порядков отличающегося от классического значения, характерного для обычных корональных условий. Такое предположение, впрочем, как и предположение о возможности диссипации всей энергии движения петли в узком слое за короткое время, является довольно

сильным. По нашему мнению, прежде следовало бы использовать более слабые предположения, например, возможность затухания колебаний вследствие излучения колеблющейся петлей быстрых магнитозвуковых волн в окружающую корону. Такой подход отличается от упомянутых выше двумя обстоятельствами; во-первых, диссипация энергии петли происходит за пределами петли и не приводит к ее дополнительному нагреву; во-вторых, можно попытаться объяснить затухание, оставаясь в рамках идеальной магнитной гидродинамики. Здесь следует отметить одно важное для нового подхода обстоятельство - амплитуды колебаний петель превосходят величину радиуса петель, то есть являются относительно большими, что свидетельствует в пользу нелинейности наблюдаемых колебаний. Действительно, как показыают расчеты, в линейном приближении коэффициент затухания мал и не может обеспечить наблюдаемое время затухания [7].

В исследованиях корональных осцилляций остается ряд других нерешенных проблем, к числу которых относится возбуждение радиальных колебаний в корональных магнитных петлях, которые эффективно модулируют радиоизлучение корональной плазмы. Если источником возбуждения изгибных колебаний обычно являются внешние источники, например, ударные волны от происходящих неподалеку вспышек или взаимодействие нескольких петель, то, очевидно, причины возбуждения радиальных колебаний находятся внутри самих петель. Можно привести целый ряд возможных объяснений. Токонесущие корональные петли можно рассматривать как элементы электрических контуров, тогда появление пинчевых возмущений можно объяснить электрическими колебаниями [23]. Быстрые маг-нитозвуковые волны в корональных петлях могут возбуждаться также и вследствие развития неустойчивости на баунс-резонансе [12]. В дополнение к этим механизмам можно добавить магнитогидродинамический механизм. Торсионные альвеновские возмущения конечной амплитуды в цилиндрической магнитной трубке меняют ее радиус, поэтому естественно предположить, что взаимодействие торсионных мод в петлях может вызывать возникновение перетяжек. Строгая теория взаимодействия должна основываться на исходных нелинейных уравнениях магнитной гидродинамики, то есть с привлечением нелинейного численного моделирования. Возможен и аналитический подход на основе теории слабонелинейного резонансного взаимодействия волн. Торсионные альвеновские возмущения могут вызываться хаотическими движениями оснований корональных петель под действием конвективного движения солнечного вещества. Альвеновские возмущения легко проникают в корону и распространяются в ней практически без

поглощения. Считается, что именно альвеновские волны служат основным агентом при переносе энергии в корону, и остается неясным, как присходит их поглощение в короне. Преобразование альвеновских волн в магнитозву-ковые может быть одним из возможных каналов этого процесса.

Как уже было отмечено, другим источником образования стоячих волн в короне, кроме корональных петель, могут быть аркады корональных петель. В соответствующих теоретических исследованиях петли обычно рассматриваются как магнитные арки, их внутренняя структура при этом не учитывается. Сложность изучения магнитогидродинамических волн в корональных аркадах обусловлена принципиальной невозможностью разделения переменных в линейных уравнениях магнитной гидродинамики в подавляющем большинстве случаев, интересных с практической точки зрения. По этой причине исследование обычно производится с использованием численных методов [18-19, 22]. В связи с этим большое значение приобретает разработка новых теоретических методов в данной области корональной сейсмологии.

Альвеновские возмущения распространяются вдоль равновесного магнитного поля и в замкнутых магнитных структурах способны неоднократно отражаться от фотосферы, образуя стоячие волны - собственные моды корональной магнитной аркады [18]. Очевидно, что период колебаний в собственных модах будет определяться временем распространения альвеновских возмущений вдоль магнитных арок. Ситуация с быстрыми магнито-звуковыми (БМЗ) волнами более сложная. БМЗ-волны имеют тенденцию распространяться в область минимума альвеновской скорости, поэтому стоячие БМЗ-волны в корональной аркаде образуются только в случае, когда альвеновская скорость в короне растет с высотой. Последнее возможно, если плотность плазмы убывает с высотой достаточно быстро. Это подтверждается численными расчетами [22], В общем случае стоячие БМЗ-волны получают, вводя боковые и верхнюю границы магнитной аркады с граничными условиями закрепления, при которых плазма на границе считается неподвижной [18]. Такие условия характерны для фотосферы, и их использование на боковых границах представляется спорным. На наш взгляд, собственные БМЗ-моды корональных магнитных аркад, также, как и альвеновские моды, можно строить, используя только факт отражения волн от фотосферы.

Цель работы и задачи исследования. Основной целью реферируемой диссертации являлось теоретическое изучение корональных осцилляции аналитическими и численными методами и пополнение на его основе

теоретической базы короналыюй сейсмологии новыми методами и рабочими инструментами. Основные задачи исследования:

Построение принципиально новых моделей корональных магнитных пе-т&ть, учитывающих их внутреннюю неоднородность, в том числе неоднородность распределения плазмы и наличие азимутального магнитного поля.

Аналитическое исследование линейных колебаний неоднородных корональных петель, получение соответствующих дисперсионных уравнений с целью создания нового рабочего инструмента корональной сейсмологии.

Изучение нелинейных изгибных колебаний корональных петель с целью изучения возможности объяснения наблюдающегося явления быстрого затухания изгибных колебаний излучением колеблющейся петлей быстрых магнитозвуковых волн конечной амплитуды.

Исследование нелинейного взаимодействия магнитогидродинамических волн в корональных петлях, изучение возможности возбуждения радиальных колебаний в корональных петлях в результате резонансного взаимодействия торсионных альвеновских мод.

Построение новых моделей корональных магнитных аркад, потенциальных и бессиловых с различными распределениями электрического тока.

Изучение собственных альвеновских и быстрых магнитозвуковых мод потенциальных и бессиловых корональных магнитных аркад.

Научная новизна реферируемой работы состоит в том, что в ходе проведенных исследований были впервые получены следующие основные результаты:

разработаны две принципиально новые модели корональных магнитных петель, состоящих из центрального шнура и окружающей его оболочки; в одной из моделей учитывается радиальная неоднородность плотности плазмы, во второй учитывается еще и наличие в корональных петлях азимутального магнитного поля, то есть наличие продольного электрического тока;

впервые исследованы линейные изгибные и радиальные колебания неоднородных корональных петель;

при помощи нелинейного численного моделирования впервые исследовано влияние на корональную петлю внешнего импульса, действующего в поперечном направлении; показано, что такое воздействие приводит к возбуждению в петле колебаний двух типов, внутренних колебаний плазмы в самой петле, связанных с ее неоднородностью, а также к изгибным колебаниям всей петли как целого;

предсказано теоретически и впервые показано численным моделированием, что излучение колеблющейся корональной петлей быстрых магнито-

звуковых волн в окружающей среде приводит к быстрому затуханию колебаний самой петли, обусловленному потерями энергии на излучение;

построена теория нелинейного резонансного взаимодействия магнито-гидродинамических волн в цилиндрической геометрии; впервые получены условия, при которых взаимодействие торсионных мод магнитного цилиндра приводит к возбуждению быстрой моды типа перетяжки или происходит распад торсионной моды;

предложен новый метод построения класса бессиловых магнитных полей с плоскими интегральными поверхностями, позволяющий построить ряд новых моделей корональных магнитных аркад, в том числе биполярную аркаду с 5-образной линией раздела полярностей, а также аркаду квадро-полярного типа, представляющих интерес для теоретических исследований;

предложено коротковолновое приближение для описания собственных колебаний корональных магнитных аркад; показано, что коротковолновые магнитогидродинамические возмущения разделяются на альвеновские и маг-нитозвуковые; получены уравнения эйконала для альвеновских и магнито-звуковых волн; впервые показано, что нахождение амплитуд в нулевом приближении сводится к решению скалярного линейного уравнения в частных производных;

получены спектры собственных альвеновских мод корональных аркад потенциального типа, уточняющие известные ранее результаты; впервые получены спектры быстрых магнитозвуковых мод, являющихся результатом отражения волн от фотосферы; впервые получены спектры альвеновских и быстрых магнитозвуковых мод бессиловых магнитных аркад;

впервые показано, что характер движения плазмы в собственных модах потенциальной и бессиловой магнитных аркадах принципиально разный по направлению, что может быть использовано для диагностики магнитных структур активных областей, содержащих электрические токи.

Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что проведенный анализ колебаний корональных магнитных петель позволяет объяснить ряд явлений, наблюдаемых в солнечной атмосфере, продвинуться в решении проблемы нагрева короны, переноса энергии конвективного движения в корону. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения применений для широкого круга специалистов, занимающихся проблемами астрономии, астрофизики и магнитной гидродинамики в таких научных учреждениях как Институт астрономии РАН, Главная астрономическая обсерватория РАН, Институт земного

магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН, Институт космических исследований РАН, Государственный астрономический институт им. П. А. Штернберга, Специальная астрофизическая обсерватория РАН, Московский, Санкт-Петербургский, Ростовский госуниверситеты и т.д. Отдельные параграфы диссертации могут быть включены в учебные курсы по астрофизике, магнитной гидродинамике и теории магнитогидродинамиче-ской устойчивости. В целом полученные результаты развивают важное новое направление физики Солнца и звезд - теорию линейных и нелинейных колебаний неоднородных корональных магнитных петель, а также колебаний потенциальных и бессиловых аркад корональных петель.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Построены две модели корональных магнитных петель нового типа, учитывающие радиальную неоднородность плазмы и магнитного поля. В моделях петель присутствует оболочка, в которой магнитное поле может быть продольным или азимутальным, а плотность и температура плазмы могут резко отличаться от параметров плазмы в центральной части петли.

2. В линейном приближении аналитически исследованы волновые и колебательные свойства неоднородных петель. Влияние оболочки оказывается существенным, приводя к усилению эффекта излучения волн в окружающую среду и отсечке радиальных колебаний при больших волновых числах (во второй модели). Радиационное затухание в рамках линейной теории, однако, не объясняет наблюдаемое быстрое затухание корональных петель. Это говорит о необходимости учета нелинейных эффектов.

3. Разработан новый метод исследования нелинейных колебаний корональных магнитных петель, основанный на современных численных схемах интегрирования уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Показано, что нелинейные изгибные колебания корональных петель возбуждают в окружающей среде быстрые магнитозвуковые волны конечной амплитуды, которые распространяются от петли в окружающую корону. В рамках рассматриваемой нелинейной модели потери энергии колеблющейся петли являются эффективными, и затухание оказывается быстрым.

4. Решена задача нелинейного резонансного взаимодействия аксиально-симметричных мод магнитной трубки. Показано, что резонансное взаимодействие торсионных альвеновских волн в корональных петлях является эффективным механизмом возбуждения их радиальных колебаний в коротковолновой области. Этот эффект может служить дополнительным к существующим способам объяснения возбуждения секундных пульсаций в корональных петлях, использующихся для диагностики корональной плаз-

мы.

5. Предложен новый метод построения класса бессиловых магнитных полей с плоскими интегральными поверхностями, позволяющий строить новые равновесные модели наблюдаемых корональных магнитных структур, в том числе квадрополярной аркады или аркады с 5-образной линией раздела полярностей.

6. Разработан новый аналитический подход к исследованию коротковолновых колебаний корональных магнитных аркад, основанный на методе эйконала. Наблюдающиеся в короне колебания обусловлены не только маг-нитогидродинамическими волнами, захваченными отдельными корональ-ными петлями, но также собственными модами аркад корональных петель. Получены новые быстрые магнитозвуковые моды, которые сосредоточены вблизи поверхностей, не являющихся магнитными.

7. Показано, что движения плазмы в собственных модах потенциальных и бессиловых магнитных аркад принципиально отличаются по направлению. Даже небольшое присутствие электрических токов резко меняет направление движения плазмы. Это открывает новые возможности для диагностики корональных магнитных структур, содержащих электрические токи.

Достоверность результатов и выводов диссертации определяется физической обоснованностью используемых моделей и применением при решении поставленных задач строгих математических методов, проверкой согласования полученных в работе приближенных аналитических решений с точными численными решениями в широких диапазонах значений параметров, тщательным тестированием применяемых для этого моделирования конечно-разностных схем, а также совпадением в частных и предельных случаях полученных результатов с известными ранее и с данными наблюдений реальных объектов.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 25 научных публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертации докладывались на 4 Пулковской Международной конференции "Солнце в максимуме активности и солнечно-звездные аналогии"(17-22 сентября 2000 г., СПб, ГАО РАН), Всероссийской астрономической конференции (6-12 августа 2001 г., СПб, ГАО РАН), 31 и 32 Международных студенческих конференциях "Физика космоса"(28 января-1 февраля 2002 г., 3-7 февраля 2003 г., Екатеринбург, Уральский ГУ), 1-Ш Международных научных семинарах "Физи-

ка Солнца и звезд"(22-24 октября 2003 г., 18-21 февраля 2005 г., 29 мая-2 июня 2006 г., Элиста, Калмыцкий ГУ), симпозиуме Международного астрономического союза IAU Symposium 223 "Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity"(14-19 июня 2004 г., СПб, РАН), 9 Пулковской Международной конференции "Солнечная активность как фактор космической погоды"(4-9 июля 2005 г., СПб, ГАО РАН), на семинарах отдела радиоастрономии ГАО РАН, кафедры теоретической физики Калмыцкого ГУ.

Личный вклад автора. При получении основных результатов диссертационной работы предложенные идеи и постановка задачи принадлежат автору. Реализация сформулированных задач, анализ результатов, а также подготовка работ к публикации проводились вместе с соавторами. В работах [3-6] (см. список основных публикаций по теме диссертации) постановка задачи принадлежит первому автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 277 страниц машинописного текста, включая 66 рисунков, 2 таблицы и список литературы (305 наименований).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении приведен краткий критический обзор литературы по корональным осцилляциям, теории колебаний корональных магнитных петель и попыткам ее привлечения для интерпретации данных наблюдений, обосновывается актуальность темы диссертации и формулируются ее основные цели и задачи.

Глава 1. Магнитогидродинамические волны в цилиндрической геометрии. Развитие корональной сейсмологии диктует необходимость в развитии теоретических исследований корональных волновых и колебательных процессов, адекватного значительным достижениям наблюдательной солнечной физики в последние полтора десятка лет, связанных, в первую очередь, с работой орбитальных комплексов Yohkoh, SoHO (Solar and Heliospherical Observatory) и TRACE [5, 13-14].

Ряд наблюдений косвенно свидетельствует о том, что магнитное поле в корональных петлях имеет азимутальную составляющую. Отсутствие в настоящее время моделей корональных петель с азимутальным полем объясняется сложностью соответствующего математического аппарата. Все известные примеры решения линейных уравнений магнитной гидродинамики, включая широко известную работу Гроссмана и Татарониса [9] о колебаниях неоднородной лабораторной плазмы, едины в одном: радиальная зависи-

мость волновых полей определяется одним и тем же уравнением - уравнением Бесселя. В настоящей главе рассматриваются другие примеры и дается теоретическое описание магнитогидродинамических волн в конфигурации с азимутальным магнитным полем

В0(г) = е^—, ро(г) = (1)

Гаг а*т*

Описание проводится в приближении холодной плазмы, что вполне обосновано применительно к корональным условиям. Здесь главное внимание уделяется математическому аппарату: выводятся уравнения, определяющие зависимость волновых распределений от радиальной переменной, анализируются особые точки уравнений, исследуется поведение решений вблизи особых точек, строятся точные решения. Полученные результаты используются в последующей главе для описания колебаний корональных петель, содержащих азимутальное поле.

В разделе 1.1 обсуждаются наблюдательные данные, свидетельствующие о сложной магнитной структуре корональных петель. Делается заключение, что для корональных петель характерно присутствие азимутального поля. Это подтверждается однородностью петель на всем их протяжении и наличием в петлях продольных электрических токов. На основе теории равновесия цилиндрического пинча анализируется равновесное состояние различных моделей магнитных трубок, в том числе с продольными электрическими токами. Рассматриваются две принципиально новые модели, учитывающие радиальную неоднородность плазмы и магнитного поля. Они состоят из центрального плотного горячего шнура и окружающей его коаксиальной цилиндрической оболочки. В первой модели магнитное поле в оболочке является продольным, во второй - азимутальным. Первая модель призвана учесть неоднородность плазмы, вторая - типичную структуру ко-роналыюй петли, содержащей азимутальное поле. Согласно Паркеру, расширение скрученных магнитных потоковых трубок, выносимых в корону из более плотных нижележащих слоев приводит к образованию вокруг петли оболочки, в которой магнитное поле является преимущественно азимутальным (Вг/Ву ~ 0, Ву ~ 1/г), в то время как в центральной части петли оно остается преимущественно продольным [2]. Следуя Паркеру, мы выбираем в оболочке поле вида (1).

В разделе 1.2 линейные уравнения магнитной гидродинамики в цилиндрически-симметричной конфигурации записываются в цилиндрических координатах. Выписывается уравнение, определяющее зависимость волновых

полей от радиальной переменной. Затем для удобства анализа радиального уравнения делается переход к безразмерным переменным. Приводятся и обсуждаются известные ранее примеры решения радиального уравнения.

В разделе 1.3 рассматриваются магнитогидродинамические возмущения в потенциальном азимутальном магнитном поле (1). Показано, что альве-новские возмущения приводят к изгибу линий магнитного поля и движению плазмы в направлении оси симметрии конфигурации и имеют спектр, в котором частоты определяются азимутальным числом т. Для быстрых магнитозвуковых волн (БМЗ-волн) с номером тп = 0 уравнения магнитной гидродинамики сводятся к радиальному уравнению вида

где величина Р есть возмущение полного давления. Аналитические свойства решений полученного уравнения аналогичны свойствам решений уравнения Бесселя. Одно из двух линейно-независимых решений является аналитическим в нуле, второе имеет логарифмическую особенность. Для обоих решений получены явные выражения в виде степенных рядов. Оба решения осциллируют и на бесконечности стремятся к нулю согласно асимптотикам АМС) ~ Г3/2«>з(£-Ко), М2<Л) ~ Г3/2зт(£+ £о). Подобно функциям Халкеля, можно получить два решения в виде расходящейся и сходящейся цилиндрических волн. Для БМЗ-волн с номером тп — 1 аналогично получено уравнение

Здесь £ определяется так же, как и в уравнении (2). Уравнение (3), в отличие от предыдущего, имеет кроме нулевой, обусловленной геометрией задачи, еще две конечные особые точки, ±£а, = 1 — у7лк2/ш2. Та из них, что лежит на положительной полуоси, определяет поверхность альвенов-ского резонанса. Построены точные решения в окрестности нулевой особой точки в виде разложения по степеням независимой переменной.

Глава 2. Линейные колебания корональных петель. Здесь изучат ются линейные колебания трех моделей корональных магнитных петель.

В разделе 2.1 приводятся сведения о колебаниях классической модели короналыюй петли, представляющей собой однородную магнитную трубку [8, 13, 25]. В длинноволновом пределе кг —» 0 ее медленные моды имеют

(3)

дисперсионное уравнение вида (ojq — С^к2) = 0, быстрые моды - дисперсионное уравнение вида

М - vlkl) + - vlk]) = 0.

Здесь Сц есть трубочная скорость внутри петли, ргл и рое, Ум и Уле - плотности плазмы и альвеновские скорости в петле и ее внешнем окружении. Данную модель мы рассматриваем как базовую при разработке новых, более сложных моделей.

В разделе 2.2 рассматривается модель неоднородной корональной петли первого типа, в которой учитывается радиальная неоднородность плазмы. Фактически она представляет собой две однородные магнитные трубки, вложенные друг в друга. Подобная модель применялась для описания колебаний в земной магнитосфере. Изучены спектры собственных колебаний двойной трубки. Показано, что количество мод удваивается по сравнению с классической моделью. Данный результат очевиден, поскольку двойная трубка имеет две границы, отделяющие шнур от оболочки и трубку от внешней среды. Двойная трубка имеет дополнительные параметры в виде звуковой и альвеновской скоростей в оболочке, благодаря которым возникают новые физические эффекты.

Медленные моды типа перетяжки, в которых колебания плазмы имеют преимущественно радиальное направление, в пределе малых волновых чисел имеют дисперсионное уравнение вида

- С^Ы - с1тУ) = о,

где Сц и Ст-m есть трубочные скорости в шнуре и в оболочке. Очевидно моды делятся на два вида, одни из них, с фазовой скоростью, близкой к Cxi, оказываются медленными магнитозвуковыми волнами, захваченными трубкой в целом, вторые, с фазовой скоростью, близкой к Стт, - захваченными только оболочкой. Вторые характеризуются тем, что колебания плазмы в шнуре и в оболочке происходят в противофазе. Подобные колебания в двух близких областях с разной оптической плотностью действительно наблюдаются в короне [20], что служит доводом в пользу адекватности предложенной нами новой модели петли. Кроме того, одновременные наблюдения продольных волн в корональных петлях при помощи аппаратов SoHO и TRACE показывают существование в одной и той же петле двух медленных волн, распространяющихся с различными скоростями. На основании этих наблюдений был сделан вывод, что в петле имеются две четко

различимые области с различными температурами [21]. Этот вывод служит еще одним доводом в пользу рассматриваемой нами модели.

В длинноволновом пределе имеются две быстрые моды с номером т ф О с конечной фазовой скоростью. Частота колебаний таких мод мала, и период приходится в пятиминутную область, в которой находятся периоды колебаний корональных петель, наблюдаемых при помощи TRACE [5, 13]. Дисперсионное уравнение имеет вид

(°2m - - VIJW + - У1к])ГъМ - vlkl)} +

(а2- + b^)p0m^2o ~ У1Я){Р*М ~ ВД) + po^i - Vlkl)} = 0.

Здесь 6 и а есть радиусы шнура и оболочки. Поведение мод существенно зависит от соотношения альвеновских скоростей в шнуре и в оболочке. В случае Уц < У Am < Уле одна из них оказывается захваченной в трубке, вторая - захваченной в оболочке. Во второй моде колебания в шнуре и в оболочке происходят в противофазе. Если Уле < У Am, одна мода распространяется во внешнем окружении, то есть излучается трубкой, а вторая может излучаться, если отношение Ь/а достаточно мало. Коэффициент затухания излучаемой моды (ш = wo(l -f е)) определяется величиной Ime, которая находится из формулы

22т+1т\(т - 1)!V2Im«{(a2m - Ь2-")[^(2У2 - V}e - V&) + 2plm(V2 -

Vlm)\ + (a2m + b2m)[pompoe(2V2 - Vl - V\m) + p^potfV2 - Vj, -VjJ]} + п(кУГ{(а2т - Ь2т)[роеро,(У2 - Vl)(V* - - plm(V2 -

vLf] + («2m + ь'ПроЖ - VDWAV2 - vl) - №(V2 - vl)]} = 0,

где V = шо/кж, kl = (wg - VlkDi^l - ClkDIHiVl + CD - l^C**»). Очевидно наибольшее затухание имеется у изгибной моды. Условие, при котором мода излучается, выполняется для разреженной оболочки, плотность плазмы в которой меньше плотности плазмы в окружающей короне. Время затухания, совпадающее с наблюдаемым при помощи TRACE, можно получить, если только плотность плазмы в оболочке будет на порядок меньше плотности в окружающей короне, а радиус трубки - всего лишь на порядок меньше ее длины. Надо сказать, что для наблюдаемых корональных петель характерны значения радиуса, на два порядка меньшие их длины. Это показывает, что радиационное затухание в линейном приближении возможно, однако оно не обеспечивает необходимую скорость затухания при приемлемых значениях параметров трубки.

В разделе 2.3 вводится еще одна модель двойной магнитной трубки, в оболочке которой магнитное поле и распределение плазмы определяются

формулами(1). Рассмотрение ведется в приближении холодной плазмы, поэтому изучены только быстрые магнитозвуковые моды. Получены дисперсионные уравнения для мод с номерами т = 0 и тга = 1, то есть для радиальных и изгибных колебаний. Произведено сравнение собственных частот радиальных колебаний двойной трубки со спектром классической модели, что важно для корональной сейсмологии, поскольку именно радиальные колебания эффективно модулируют наблюдаемое излучение плазмы. Оказывается, что наличие оболочки приводит к понижению частот собственных колебаний, причем эффект тем больше, чем больше радиус оболочки. Коэффициент затухания моды в длинноволновой области также уменьшается с расширением оболочки. Замечательным фактом является отсечка колебаний в коротковолновой области, причем частота отсечки тоже уменьшается при расширении оболочки (рис. 1). В пределе малой толщины оболочки спектр колебаний двойной трубки переходит в спектр классической трубки, что можно рассматривать как согласование новых результатов с полученными ранее. Как и для первой модели, изучены изгибные моды,

Рис. 1: Дисперсионные кривые радиальных колебаний классической трубки (кривая 1) и двойной трубки с азимутальным полем при различных значениях отношения а/Ь.

имеющие конечную фазовую скорость в длинноволновой области. Дисперсионное уравнение и коэффициент затухания имеют следующий вид:

а2а2Ь2(а2 - Ь2)М^о - П^Р^М ~ ВД) -¿РъУ^роМ - ВД) + а2р0е(^0 - У1к1)} = О, 8шц1т<г{о4а2Ь2(а2 - - У^] - ВД) _ 2р0^т(а2а2А)е +

а^дх)} + ^аЦа^аЧЦа2 - Ь2)р0сй]1(^ - ЩЖ - -2р0У2т(а2а2р0е(ш20 - У2ек2ж) - о?Ъ2р„(а*2 - у^))} = 0.

Расчеты показывают, что наблюдаемое время затухания можно получить без предположения разреженности оболочки, однако радиус трубки для

этого должен быть так же чрезмерно большим, как и в первой модели. Отсюда мы делаем вывод, что наблюдаемое время затухания невозможно получить в рамках рассматриваемых линейных моделей. Мы предполагаем, что природа быстрого затухания связана с нелинейностью колебаний. Для проверки этой гипотезы требуется провести нелинейное численное моделирование, которое рассматривается в следующей главе.

Глава 3. Нелинейные колебания корональных петель. В этой главе при помощи нелинейного численного моделирования изучаются из-гибные колебания корональных петель конечной амплитуды под действием внешнего воздействия. В силу ограниченности вычислительных ресурсов мы используем двумерную модель петли, решая двумерные уравнения магнитной гидродинамики. Петля при таком подходе изображается плоским слоем, выделяющимся в окружающей среде повышенной плотностью плазмы. Для решения нелинейных уравнений идеальной магнитной гидродинамики используется численная схема WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory scheme), в которой уравнения записываются в форме законов сохранения [10]. Схема представляет собой комбинацию процедуры усреднения волновых распределений по каждой ячейке, то есть процедуры сглаживания, и процедуры разделения потоков Лакса-Фридрихса, которая в совокупности с условием Куранта-Фридрихса-Леви обеспечивает устойчивость схемы.

Уравнения рассматриваются в прямоугольной области, две границы которой обозначают поверхность фотосферы, где формулируются условия закрепления. Последнее означает, что нормальная составляющая магнитного поля фиксирована, а тангенциальная составляющая скорости плазмы приравнивается нулю. На двух других границах области формулируются свободные граничные условия, призванные обеспечить свободное распространение волн через границу. В начальный момент времени слой получает импульс в перпендикулярном направлении, причем здесь учитывается факт закрепления концов петли на поверхности фотосферы. В расчетах выбирается гауссова форма распределения плотности плазмы в слое. Оказывается, что именно при таком выборе внутренней структуры слой сохраняет свою форму под действием процедуры сглаживания.

Для анализа результатов моделирования строились пространственные и • временные графики волновых распределений. Для определения пространственной структуры возмущений рассматривалось распределение плотности вдоль прямой, проходящей через середину слоя в перпендикулярном ему направлении, то есть в направлении предполагаемого распространения

волны, возбуждаемой в окружающей среде. Для определения временной структуры возмущений строились графики временной зависимости плотности в некоторой точке наблюдения, находящейся на указанной прямой на некотором удалении от слоя.

Результаты моделирования состоят в следующем. Колеблющаяся петля возбуждает в окружающей среде возмущения, вид которых зависит от величины начального импульса, прикладываемого к петле. Если она велика, возмущения имеют вид двух локализованных волн конечной амплитуды, волн уплотнения и разрежения, распространяющихся в противоположных направлениях от петли. После прохождения этих волн никаких других возмущений не наблюдается, то есть система приходит в состояние равновесия. Можно сделать вывод, что в этом случае петля разом сбрасывает всю свою энергию, прекращая свое движение. При меньших значениях начального импульса в окружающей среде образуется цуг волновых пакетов, то есть в среде наблюдаются квазипериодические осцилляции. В них четко выделяются два периода, один из которых совпадает со временем распространения быстрых магнитозвуковых волн в петле в поперечном направлении, а второй - со временем распространения БМЗ-волн вдоль петли от одного конца до другого. Мы делаем вывод, что в этом случае в петле возбуждаются два типа колебаний - внутренние колебания плазмы в петле и из-гибные колебания всей петли в целом. Если первые наблюдаются в течение продолжительного промежутка времени, то вторые оказываются быстро-затухающими. Время затухания изгибных колебаний находится в точном соответствии со временами затухания поперечных смещений корональных петель, регистрируемых при помощи TRACE.

На основании проведенного численного моделирования мы делаем следующий вывод: в рамках рассматриваемой нелинейной модели результаты свидетельствуют о том, что причиной быстрого затухания изгибных колебаний корональных петель может быть излучение колеблющейся петлей быстрых магнитозвуковых волн конечной амплитуды.

Глава 4. Нелинейное взаимодействие волн в корональных петлях. Эта глава посвящена решению проблемы возбуждения радиальных колебаний в корональных петлях, природа которых остается не выясненной до конца. Мы предполагаем, что они могут появляться в результате нелинейного взаимодействия торсионных альвеновских волн в корональных петлях.

В разделе 4.1 дается краткое изложение теории нелинейного резонансного взаимодействия волн. В разделе 4.2 она применяется к взаимодействию

аксиально-симметричных мод однородного магнитного цилиндра. Выписаны исходные слабонелинейные уравнения магнитной гидродинамики в цилиндрических координатах, выводятся уравнения резонансного трехволно-вого взаимодействия, получены выражения для коэффициентов взаимодействия. Полученные первые интегралы позволяют сделать вывод, что возможны два сценария взаимодействия волн с участием двух торсионных мод (рис. 2). В одном случае происходит распад торсионной моды на быструю моду типа перетяжки и вторую торсионную моду. В другом случае взаимодействие двух торсионных мод приводит к появлению быстрой моды типа перетяжки. Реализация того или иного сценария определяется соотношением знаков коэффициентов взаимодействия.

Ие шЬ ■ 10-в (сш • е-1)

к,Ь

Рис. 2: Резонансное взаимодействие быстрой моды типа перетяжки (1) и двух торсионных альвеновских мод (2 и 3) в классической трубке.

В разделе 4.3 полученные уравнения применяются для описания взаимодействия волн в корональных магнитных петлях. При этом используется классическая модель петли. Рассматриваются различные формы распределений торсионных возмущений по радиусу петли, когда зависимость азимутальной скорости от радиуса имеет вид и, (г) ~ г", где а принимает значения 0.5,1.0 и 2.0. В первом случае в торсионные движения вовлечена плазма практически по всему объему петли, в третьем - преимущественно вблизи ее границы, второй случай играет роль промежуточного. Показано, что для различных распределений выполняются условия второго из описанных выше сценариев взаимодействия. Можно сказать, что независимо от формы радиального распределения торсионных мод их взаимодействие может приводить к появлению быстрой моды типа перетяжки. Форма распределения торсионных возмущений, оказывается, влияет на скорость роста возбуждаемой моды. В длинноволновой области более эффективным оказывается взаимодействие мод третьей формы, в коротковолновой области - первой

формы. Около границы затухания быстрой моды наблюдается резкое падение скорости роста. Очевидно рассматриваемый механизм возбуждения моды типа перетяжки эффективен только в коротковолновой области. В области волновых чисел (—кго, о), где быстрая моды является затухающей, рассматриваемая теория неприменима, поскольку она имеет слабонелинейный характер, а затухание отмечается большим коэффициентом затухания. Для анализа процессов в этой области необходимо проведение нелинейного численного моделирования.

В разделе 4.4 рассматривается нелинейное взаимодействие торсионных мод двойных магнитных трубок. При этом торсионные возмущения имеют место только в центральной части двойной трубки, в шнуре. Иначе говоря, рассматривается влияние оболочки на процесс возбуждения моды типа перетяжки. Общий результат таков: наличие оболочки снижает эффективность возбуждения моды типа перетяжки или вовсе ее исключает. Для первой модели с продольным полем в оболочке мы получаем снижение скорости роста возбуждаемой моды, причем в коротковолновой области это снижение более заметно, чем в длинноволновой. В случае Уд; < < Уде условия возбуждения перестают выполняться в длинноволновой области при достаточно больших значениях радиуса оболочки. Причина видится в том, что мода типа перетяжки возникает в результате отражения быстрой магнитозвуковой волны на границе трубки, причем эффективность ее возбуждения тем выше, чем более резкий скачок имеет на границе альвенов-ская скорость. Оболочка "смазывает"данный эффект, а при ее расширении эффект и вовсе пропадает. Для второй модели с азимутальным полем в оболочке ситуация более критическая с точки зрения возбуждения. Здесь эффект возбуждения имеет место только в области значений фазовой скорости, превышающей альвеновскую скорость в оболочке, причем только если распределение торсионных возмущений имеет форму третьего типа, то есть в торсионных возмущениях участвуют только приграничные слои плазмы. Это приходится на область больших длин волн, прилегающей к области затухания моды. Ситуацию можно объяснить тем, что направление поля в оболочке совпадает с ориентацией перетяжек в шнуре, и в таком случае оболочка не может эффективно отражать быстрые магнитозвуковые волны.

Глава 5. Колебания аркады корональных петель. В настоящей главе предлагаются новые модели корональных магнитных аркад и изучаются их коротковолновые собственные колебания. В разделе 5.1 излагается новый метод построения класса бессиловых магнитных полей с плоскими

интегральными поверхностями. Метод позволяет строить новые модели ко-рональных магнитных аркад, в том числе аркаду с 5-образной линией раздела полярностей (рис. 3). Реальное существование подобных аркад подтверждается наблюдениями сигмоидальных магнитных структур. Строго говоря, форма линии раздела полярностей может быть какой угодно, и в месте ее наибольшего изгиба имеется максимум плотности электрического тока. В отличие от широко использующейся в настоящее время модели линейной бессиловой аркады с продольной составляющей магнитного поля, в которой плотность тока равномерно распределена по всей длине аркады, здесь можно локализовать токи в любой малой области. Тем самым мы получаем возможность создания локальных условий для вспышечных процессов. Построенная модель может быть использована при теоретических исследованиях вспышечных корональных магнитных структур.

Исследование колебаний бессиловых магнитных аркад в общем случае невозможно аналитическими методами в силу невозможности разделения переменных в исходных уравнениях, поэтому мы рассматриваем коротковолновые колебания. В разделе 5.2 излагаются основные положения метода геометрической акустики применительно к уравнениям идеальной магнитной гидродинамики. Выводятся уравнения эйконала для альвеновских и магнитозвуковых волн, обсуждается характер их распространения во внешнем магнитном поле. Показано, что направления фазовой и групповой скоростей для альвеновских волн могут не совпадать. Поток энергии альвеновских волн совпадает по направлению с равновесным магнитным полем, то есть альвеновские волны распространяются вдоль линий равновесного поля, а фаза волны может распространяться в ином направлении. Лучи альвеновских волн совпадают с линиями равновесного поля, но фронт волны может быть неортогональным по отношению к ним. В приближении холодной плазмы, применимом к корональным условиям, направления фазовой и групповой скоростей быстрых магнитозвуковых волн совпадают

между собой, но могут не совпадать с направлением равновесного поля. Лучи БМЗ-волн ортогональны фронту волны.

В разделе 5.3 формулируется метод эйконала для уравнений идеальной магнитной гидродинамики, в котором строятся волновые поля в пространственной области. Этим он отличается от лучевого метода, задачей которого является нахождение лучей для определения характера распространения волн. В основе построения волновых полей лежит эйконал, с помощью которого находятся амплитуды волновых полей в нулевом приближении геометрической акустики. Линейные уравнения магнитной гидродинамики при этом сводятся к одному скалярному линейному уравнению в частных производных, которое решается методом характеристик. Получены явные выражения через эйконал для амплитуд альвеновских и магнитозвуковых волн. Показано, что волновые распределения для альвеновских и магнитозвуковых волн выражаются через взаимно ортогональные составляющие, и поэтому альвеновские и магнитозвуковые волны являются несвязанными.

В разделе 5.4 исследуются собственные колебания потенциальной магнитной аркады. Его результаты уточняют и дополняют результаты, полученные ранее численными методами [18-19, 22]. Показано, что не только альвеновские, но и БМЗ-моды могут быть образованы в результате отражения волн от фотосферы. Колебания альвеновских мод определенной частоты происходят на магнитных поверхностях, состоящих из анфилады магнитных арок. Колебания БМЗ-мод также происходят на поверхностях, состоящих из анфилады лучей арочного вида, однако лучи БМЗ-волн не совпадают с магнитными арками, следовательно, колебания БМЗ-мод происходят не на магнитных поверхностях. Изучен харатер собственных мод при различных законах вертикальной стратификации плазмы. Для альвеновских мод она проявляется в пространственной локализации колебаний. Если плотность убывает с высотой достаточно быстро, колебания локализованы вблизи оснований магнитных арок, в противном случае - вблизи их вершин. Для БМЗ-волн ситуация более сложная. Если альвеновская скорость возрастает с высотой достаточно быстро, собственные колебания наблюдаются на всех высотах, если альвеновская скорость растет медленно, колебания наблюдаются только до определенной высоты. Если же альвеновская скорость с высотой убывает, собственных БМЗ-мод нет вообще. Последнее очевидно, поскольку БМЗ-волны стремятся в область меньших альвеновских скоростей, то есть вверх в корону, и не создают стоячих волн. Спектры собственных мод явно выражаются через соответствующие эйконалы. Каждая из подобных поверхностей характеризуется дискретным

набором собственных частот. При переходе от одной поверхности к другой частоты непрерывно меняются, и в этом смысле спектры альвеновских и БМЗ-мод являются непрерывными. Построение волновых полей показывает, что плазма в БМЗ-модах движется в плоскостях магнитных арок, а в альвеновских - перпендикулярно им, то есть горизонтально.

В разделе 5.5 исследуются колебания бессиловых магнитных аркад, линейной бессиловой аркады и бессиловой аркады с ^образной линией раздела полярностей. Получены спектры собственных колебаний. Показано, что собственные частоты бессиловых аркад выше собственных частот потенциальной аркады. Рассматривая бессиловые аркады как результат деформации потенциальной аркады фотосферными движениями, можно сделать вывод, что в результате этих движений возрастают собственные частоты системы, то есть возрастает ее жесткость. Второе наблюдение связано с характером движения плазмы. По сравнению с потенциальной аркадой здесь ситуация в определенном смысле обратная. В вершинах арок плазма движется в вертикальном направлении в альвеновских модах и горизонтально -в БМЗ-модах. Последнее обстоятельство может быть использовано для диагностики корональных магнитных структур, содержащих электрические токи.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

В приложении даются краткие сведения из аналитической теории дифференциальных уравнений, некоторые результаты расчетов и иллюстрации.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Зайцев В. В., Кисляков А. Г., Степанов А. В., Урпо С., Шкелев Е. И. Низкочастотные пульсации корональных магнитных петель // Изв. ВУЗов. Радиофизика. -2001. -Т. 44. №1-2. -С. 38-56.

2. Паркер Е. Космические магнитные поля. М.: Мир, 1982.

3. Уралов А. М. Резонансное возбуждение поперечных колебаний корональных петель // Письма в Астрон. журн. -2003. -Т. 29. №7. -С. 552-559.

4. Aschwanden M. J. Theory of radio pulsations in coronal loops // Solar Phys. -1987. -V. 111. -P, 113-136.

5. Aschwanden M. J. Coronal magnetohydrodynamic waves and oscillations: observations and quests // Roy. Soc. London Trans. Ser. A. -2006. V. 364. -P. 417-432.

6. Aschwanden M. J., Nightingale R. W., Andries J., Goossens M., Van

Doorsselaere T. Observational tests of damping by resonant absorption in coronal loop oscillations // Astrophys. J. -2003. -V. 598. -P. 1375-1386.

7. Cally P. S. Coronal leaky tube waves and oscillations observed with TRACE // Solar Phys. -2003. -V. 217. -P. 95-108.

8. Edwin P. M., Roberts B. Wave propagation in a magnetic cylinder // Solar Phys. -1983. -V. 88. -P. 179-191.

9. Grossmann W., Tataronis J. Decay of MHD waves by phase mixing. II. The theta-pinch in cylindrical geometry // Z. Physik. -1973. -V. 261. -P. 217-236.

10. Jiang G.-S., Wu C.-C. A high-order WENO finite difference scheme for the equations of ideal magnetohydrodynamics // J. Comput. Phys. -1999. -V. 150. -P. 561-594.

11. Klimchuk J. A., Antiochos S. K., Norton D. Twisted coronal magnetic loops // Astrophys. J. -2000. -V. 542. -P. 504-512.

12. Meerson B. I., Sasorov P. V., Stepanov A. V. Pulsations of type IV solar radio emission: The bounce-resonance effects // Solar Phys. -1978. -V. 58. -P. 165-179.

13. Nakariakov V. M., Ofman L., Deluca E. E., Roberts B., Davila J. M. TRACE observation of damped coronal loop oscillations: Implications for coronal heating // Science. -1999. -V. 285. -P. 862-864.

14. Nakariakov V. M., Ofman L. Determination of the coronal magnetic field by coronal loop oscillations // Astron. Astrophys. -2001. -V. 372. -P. L53-L56.

15. Nakariakov V. M., Stepanov A. V. Quasi-periodic pulsations as a diagnostic tool for coronal plasma parameters // Lecture Notes in Phys. Springer. -2006 (in press).

16. Nakariakov V. M., Verwichte E. Coronal waves and oscillations, http:// solarphysics.livingreviews.org/Irsp-2005-3.

17. Ofman L., Aschwanden M. J. Damping time scaling of coronal loop oscillations deduced from Transition Region and Coronal Explorer observations // Astrophys. J. -2002. -V. 576. -P. L153-L156.

18. Oliver R., Ballester J. L., Hood A. W., Priest E. R. Magnetohydrodynamic waves in a potential coronal arcade // Astron. Astrophys. -1993. -V. 273. -P. 647-658.

19. Oliver R., Hood A. W., Priest E. R. Magnetohydrodynamic waves in solar coronal arcades // Astrophys. J. -1996. -V. 461. -P. 424-444.

20. Qin Z., Li C., Pu Q., Gao Z. Dual pulsations in solar radio bursts at short centimeter wavelengths // Solar Phys. -1996. -V. 163. -P. 383-396.

21. Robbrecht E., Verwichte E., Berghmans D., Hochedez J. F., Poedts S., Nakariakov V. M. Slow magnetoacoustic waves in coronal loops: EIT and

TRACE // Astron. Astrophys. -2001. -V. 370. -P. 591-601.

22. Terradas J., Oliver R., Ballester J. L. Magnetohydrodynamic waves in coronal magnetostatic arcades // Astrophys. J. -1999. -V, 517. -P. 488-496.

23. Zaitsev V. V., Stepanov A. V., Urpo S., Pohjolainen S. LRC-circuit analog of current-carrying magnetic loop: diagnostics of electric parameters // Astron. Astrophys. -1998. -V. 337. -P. 887-896.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А., Шаповалов В. Н. Бессиловые магнитные поля в плоской геометрии // Солнечные данные. -1985. №7. -С. 73-78.

2. Михаляев Б. Б. Об одной потенциальной модели магнитной аркады // Письма в Астрон. журн. 1986. Т. 12. №7. С. 546-550.

3. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Природа корональных ос-цилляций: радиационное затухание. Труды XXXI Межд. конф. "Физика космоса", 28 января-1 февраля 2002 г. Екатеринбург. Уральский университет. 2002. С. 100-110.

4. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Радиационное затухание колебаний корональных петель // Физика плазмы. -2002. -Т. 28. №8. -С. 758-764.

5. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли, касповый резонанс. Труды XXXII Межд. конф. "Физика космоса", 3-7 февраля 2003 г. Екатеринбург. Уральский ун-т. 2003. С. 140.

6. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли // Физика плазмы. -2003. -Т. 29. №12. -С. 1130-1136.

7. Михаляев Б. Б. Колебания корональных петель с азимутальным полем в оболочке. "Физика Солнца и звезд". Сб. трудов науч. сем., 22-24 октября 2003 г., Элиста. Калмыцкий ун-т. 2003. С. 90-102.

8. Михаляев Б. Б. , Соловьев А. А. Собственные колебания двойных магнитных трубок. Там же. С. 77-89.

9. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. МГД-волны в корональных петлях с оболочкой // Письма в Астрон. журн. -2004. -Т. 30. JÎ&4. -С. 307-314.

10. Mikhalyaev В. В., Solov'ev A. A. The double magnetic tube as a model of coronal loop oscillations. Proc. IAU Symposium №223 "Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity", 2004. A. V. Stepanov, E. E. Benevolenskaya, A. G. Kosovichev, eds. Cambridge Univ. Press, Cambridge. 2004. P. 287-288.

11. Михаяяев Б. Б. Собственные колебания активных областей // Науч. мысль Кавказа. -2005. Спецвыпуск. -С. 124-127.

12. Михаляев В. Б. Нелинейное взаимодействие аксиальных мод магнитного цилиндра. "Физика Солнца и звезд". Сб. трудов 2-го науч. сем., 16-18 февраля 2005 г., Элиста. Калмыцкий ун-т. 2005. С. 53-58.

13. Михаляев Б. Б. Численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в магнитном слое. I. Постановка задачи. Там же. С. 76-80.

14. Алексейчук Р. А., Бадмаев В. С., Михаляев Б. Б. Численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в магнитном слое. И. Описание численной схемы. Там же. С. 142-147.

15. Михаляев Б. Б. Метод эйконала в магнитной гидродинамике. Там же. С. 148-158.

16. Mikhalyaev В.В., Solov'ev А.А. The oscillations of coronal loops including the shell // Solar Phys. -2005. -V. 227. №2. -P. 249-263.

17. Михаляев Б. Б. Быстрое затухание колебаний корональных петель с азимутальным полем // Письма в Астрон. журн. -2005. -Т. 31. №6. -С. 456-464.

18. Михаляев Б. Б. Колебания неоднородных корональных петель. Солнечная активность как фактор космической погоды. Труды 9 Пулковской межд. конф. по физике Солнца. 4-9 июля 2005 г. - С-Пб.: ВВМ. 2005. С. 557-560.

19. Михаляев Б. Б. Колебания солнечных активных областей. Там же. С. 561-564.

20. Михаляев Б. Б. Нелинейное резонансное взаимодействие волн в цилиндрическом плазменном волноводе // Изв. ВУЗов. Физика. -2006. -Т. 49. №6. -С. 92-94.

21. Михаляев Б. Б. МГД-волны в корональных магнитных аркадах // Письма в Астрон. журн. -2006. -Т. 32. №9. -С. 703-711.

22. Mikhalyaev В. В. Short-wave oscillations of coronal magnetic arcades // Solar Phys. -2006. -V. 237. -P. 123-142.

23. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. Нелинейные колебания солнечных корональных петель // Изв. РАН. Сер. физ. -2006. -Т. 70. №10. -С. 14841487.

24. Михаляев Б. Б. Влияние оболочки на спектр радиальных колебаний корональных петель // Науч. мысль Кавказа. -2006. -№4. -С. 112-114.

25. Михаляев Б. Б. Нелинейное возбуждение радиальных колебаний в корональных петлях // Изв. ВУЗов. СКР. Есгеств. науки. Прил. -2006. №9. -С. 36-38.

Подписано в печать 20.09.2006 г. Формат 60 х 84/16. Бумага типографская N 1. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1.63. Тираж 100 экз. Заказ №572.

Издательство Калмыцкого государственного университета. 358000, Элиста, ул. Пушкина, 11.

Введение

Глава 1. МВД-волны в цилиндрической геометрии

1.1. Магнитная структура корональных петель

1.1.1. Наблюдательные данные о структуре корональных магнитных петель

1.1.2. Магнитостатическое равновесие корональных магнитных петель

1.2. Уравнения для МГД-волн в цилиндрически-симметричной равновесной конфигурации

1.2.1. Радиальное уравнение

1.2.2. Примеры решения радиального уравнения

1.3. МГД-волны в потенциальном азимутальном равновесном магнитном поле

1.3.1. Цилиндрические моды ш=

1.3.2. Цилиндрические моды ш=

Глава 2. Линейные колебания корональных петель

2.1. Наблюдения колебаний и волн в корональных магнитных петлях

2.2. Колебания однородной магнитной трубки

2.2.1. Дисперсионное уравнение

2.2.2. Радиальные и изгибные собственные моды

2.3. Колебания двойной магнитной трубки с продольным полем в оболочке

2.3.1. Собственные моды двойной магнитной трубки

2.3.2. Излучение быстрых магнитозвуковых волн

2.4. Колебания двойной магнитной трубки с азимутальным полем в оболочке

2.4.1. Дисперсионное уравнение

2.4.2. Радиальные и изгибные собственные моды

2.5. Влияние оболочки на спектр радиальных колебаний

2.6. Влияние оболочки на излучение быстрых магнитозвуковых волн

Глава 3. Нелинейные колебания корональных петель

3.1. Затухание изгибных колебаний корональных магнитных петель

3.1.1. Наблюдение изгибных колебаний

3.1.2. Механизм радиационного затухания изгибных колебаний

3.2. Постановка задачи о нелинейных колебаниях корональных магнитных петель

3.3. Нелинейное численное моделирование

3.4. Быстрое затухание нелинейных изгибных колебаний корональных магнитных петель

Глава 4. Взаимодействие волн в корональных петлях

4.1. Нелинейное резонансное взаимодействие волн

4.2. Взаимодействие аксиально-симметричных МГД-волн

4.2.1. Слабонелинейные уравнения магнитной гидродинамики для аксиально-симметричных волн

4.2.2. Уравнения трехволнового взаимодействия

4.3. Взаимодействие волн в корональных магнитных петлях 172 4.3.1. Нелинейное взаимодействие МГД-волн в короне

4.3.2. Возбуждение радиальной моды в корональных магнитных петлях 176 4.4. Влияние оболочки на процесс возбуждения радиальной моды

Глава 5. Колебания аркады корональных петель

5.1. Магнитные поля биполярных активных областей

5.1.1. Модели корональных магнитных аркад

5.1.2. Бессиловые магнитные поля с плоскими интегральными поверхностями

5.2. Приближение геометрической акустики в магнитной гидродинамике

5.2.1. МГД-волны в корональных магнитных полях

5.2.2. Уравнения эйконала для МГД-волн

5.3. Метод эйконала для уравнений идеальной магнитной гидродинамики

5.4. Колебания потенциальной магнитной аркады

5.4.1. Собственные моды аркады

5.4.2. Альвеновские моды

5.4.3. Быстрые магнитозвуковые моды

5.5. Колебания бессиловой магнитной аркады 232 Заключение 241 Литература 245 Приложение

Актуальность проблемы и предмет исследования. Корональ-ные осцилляции с периодами от нескольких секунд до нескольких минут, согласно общепринятой сегодня точке зрения, обусловлены МГД-волнами. Секундные периоды наблюдаются на протяжении нескольких десятилетий в пульсациях интенсивности излучения в радио- и рентгеновском диапазонах и обычно связываются с быстрыми магнитозвуковыми волнами, захваченными корональными петлями [10, 47, 77, 234]. В последние годы такие периоды наблюдаются и в оптическом диапазоне во время затмений [108, 247, 294-295]. Считается, что осцилляции с периодами в десятки секунд создаются медленными магнитозвуковыми волнами [79, 80, 207, 208, 231], однако, есть мнение, что они могут создаваться и альвеновскими волнами [5, 161]. Происхождение осцилляций с минутными периодами более запутанно, так как, помимо собственных мод корональных магнитных структур, к ним могут быть причастны глобальные моды Солнца, проникающие в корону [183].

Rosenberg [234] первый попытался объяснить секундные пульсации радиоизлучения радиальными быстрыми магнитозвуковыми модами корональных магнитных петель, a Uchida [268] впервые сформулировал задачу нахождения параметров корональных магнитных структур по наблюдениям МГД-волн. Их работы легли в основу корональной сейсмологии, нового направления в физике Солнца, которое получило широкое развитие в последние несколько лет.

Запуск на орбиту в 1990-х гг. рентгеновского телескопа Yohkoh, ультрафиолетового телескопа TRACE (Transition Region and Coronal Explorer) и многодиапазонного наблюдательного комплекса SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) позволил значительно продвинуться в понимании структуры нижней короны и происходящих в ней процессов. Оказалось, что корональные петли, наблюдавшиеся ранее отдельными группами во время затмений, заполняют практически всю нижнюю корону [242, 267] и являются, таким образом, ее основным структурным элементом. Очевидно, что при решении задач корональной сейсмологии в первую очередь необходимо учитывать колебания корональных петель. При изучении процессов распространения и затухания МГД-волн в короне, процессов коронально-го нагрева также не обойтись без учета процессов распространения волн в корональных петлях. Это объясняет то повышенное внимание, которое уделяется корональным петлям в теоретических исследованиях корональных осцилляций.

Основная задача корональной сейсмологии принципиально аналогична обратной задаче квантовой теории рассеяния, в которой по заданному спектру гамильтониана восстанавливается его потенциал. В своей полной формулировке она должна преследовать цель восстановления точного вида корональной структуры по ее спектру. Такая задача, однако, далека от своего практического решения, поскольку наблюдательные данные, несмотря на их обилие, не дают сколь нибудь полную информацию о спектре отдельной выделенной корональной структуры. Многочисленные на сегодняшний день наблюдения дают лишь отрывочные сведения о различных структурах. Наблюдаются главным образом крупномасштабные собственные моды корональных структур, поскольку мелкомасштабные моды, отвечающие высшим частотам, трудно поддаются наблюдению вследствие ограничений по пространственному и временному разрешению. Недостаток информации приводит к наличию множества свободных параметров, что значительно усложняет задачу исследования корональных структур. В этих условиях важное значение приобретает разработка теоретических моделей, в первую очередь моделей таких структур, которые способны создавать стоячие МГД-волны, то есть моделей замкнутых структур. Примерами являются корональные магнитные петли и аркады корональных петель. Другие примеры более сложны из-за чрезвычайно запутанного вида комплексов корональных петель. Следует отметить, что открытые структуры способны поддерживать бегущие волны, которые тоже наблюдаются в различных волновых диапазонах.

В теоретических исследованиях волн в корональных петлях на протяжении нескольких десятилетий используется практически одна и та же модель корональной петли в виде круглой цилиндрической магнитной трубки с однородной плазмой и однородным продольным магнитным полем [124, 187, 250]. Эта модель, ставшая уже классической, сыграла важную роль при исследовании характера распространения МГД-волн в корональных петлях и до сих пор используется в качестве единственной модели корональной сейсмологии [204, 207-208]. Вместе с тем очевидна необходимость разработки новых моделей, учитывающих такие свойства корональных петель, как поперечная неоднородность и кривизна, присутствие в корональных петлях продольных электрических токов.

Известно, что корональные петли, выделяющиеся на фоне остальной короны более плотной плазмой и повышенным излучением, образуются благодаря корональному магнитному полю и фактически состоят из магнитных силовых трубок. Наблюдающаяся однородность поперечного размера корональных петель на протяжении всей их длины наводит на мысль, что эти магнитные трубки являются скрученными [155-157, 291]. Следовательно, при моделировании корональных петель цилиндрическими магнитными трубками необходимо вводить поперечную, или азимутальную, составляющую магнитного поля. Наличие поперечной составляющей подтверждается также присутствием продольных электрических токов в корональных петлях. Последние регистрируются именно по азимутальной составляющей фотосферного магнитного поля вблизи пятен [50, 246]. Появление скрученных магнитных трубок в короне объясняют разными причинами. Скручивание магнитных трубок в короне может производиться, например, в результате вращения пятен [166]. Другое объяснение - это вынос в атмосферу магнитных потоков из подфотосферных слоев под действием эффекта плавучести, в процессе которого конвекция дробит магнитные потоки на отдельные скрученные магнитные трубки [17, 65]. Согласно Паркеру [42], в атмосфере они испытывают расширение, в результате которого азимутальная составляющая концентрируется во внешней части петли, образуя оболочку с преимущественно азимутальным полем (Дг/Др ~ 0, Др ~ 1/г). В центральной части петли поле остается преимущественно продольным (Bz «const, Др « 0). Теоретические расчеты Паркера показывают, что для корональных магнитных трубок характерным должна быть двойная структура.

Таким образом, более реалистичными, по сравнению с классической, были бы модели, учитывающие как поперечную неоднородность корональных петель, так и наличие в петлях поперечной составляющей магнитного поля. С точки зрения корональной сейсмологии представляет интерес сравнение собственных мод неоднородных магнитных трубок с модами классической трубки. Получение спектров собственных колебаний неоднородных магнитных трубок дало бы новые возможности для корональной сейсмологии, фактически вооружив ее новыми рабочими инструментами. Изучение волн в магнитных трубках с неоднородным полем важно также и для решения проблемы коронального нагрева, потому-что альвеновские волны, распространяясь в неоднородных магнитных трубках, должны испытывать трансформацию в магнитозвуковые волны. Этот процесс может объяснить, как происходит в короне диссипация альвеновских волн, генерируемых конвективными движениями оснований корональных петель. Отсюда следует, что изучение моделей неоднородных корональных петель с продольными электрическими токами представляет интерес и для решения проблемы коронального нагрева.

Наблюдения при помощи TRACE выявили волны интенсивности, бегущие вдоль корональных петель со скоростями порядка звуковой скорости в короне [88, 112,114]. Они интерпретируются как бегущие медленные магнитозвуковые волны. Robbrecht и др. [230] при помощи двух аппаратов, SoHO и TRACE, наблюдали одновременно в одной и той же петле две медленные магнитозвуковые волны, распространяющиеся с разными скоростями [197]. Авторы сделали вывод, что в петле есть две четко различимые области с резко отличающимися значениями температуры. Возможно, по мнению авторов, что петля состоит из центрального шнура и оболочки, температуры в которых резко отличаются. Данное свойство было характерным не для отдельной петли, а для многих петель в рассматривавшейся активной области. Оно подтверждает теоретические выводы Паркера о возможной двойной структуре корональных магнитных петель, о которой говорилось выше.

Приведенные наблюдательные и теоретические данные позволяют утверждать, что необходимы новые модели корональных петель. На наш взгляд, что в области теоретической корональной сейсмологии в настоящее время наметилось отставание от наблюдательной солнечной физики. Множество наблюдательных данных не подкреплены разработкой адекватных теоретических моделей корональных осцилляций. Этот пробел может частично восполнить разработка моделей корональных петель, учитывающих поперечную неоднородность плазмы и наличие в них продольных электрических токов.

В течение последних нескольких лет всеобщее внимание привлекает наблюдаемое при помощи TRACE быстрое затухание поперечных смещений корональных петель, идентифицируемых как основная изгибная мода [81, 203]. Это явление свидетельствует о быстрой диссипации энергии колебаний, что, в свою очередь, имеет значение из-за возможной связи с процессами коронального нагрева. Для его объяснения чаще всего используются различные диссипативные механизмы, в том числе вязкая диссипация [203], фазовое перемешивание [215] и резонансное поглощение волн [83, 235, 274]. Все эти подходы объединяет возможность диссипации энергии в узком слое внутри самой петли, приводящей к ее нагреву. Для получения подходящего времени затухания предполагается значение числа Рейнольд-са, на 8-9 порядков отличающегося от классического значения, характерного для обычных корональных условий. Такое предположение, впрочем, как и предположение о возможности диссипации всей энергии колебаний петли в узком слое за короткое время, является довольно сильным. Среди других объяснений явления быстрого затухания отметим проникновение волн через основания петель в хромосферу [214], колебания нескольких петель в противофазе [241]. Отметим особую точку зрения Уралова [62], согласно которой ударные волны от вспышки в результате дисперсии преобразуются в волновые пакеты, приводящие к резонансному раскачиванию корональных петель.

По нашему мнению, прежде, чем прибегать к диссипативным механизмам, которые требуют существования особых условий, следовало бы использовать более слабые предположения, например, возможность затухания колебаний вследствие излучения колеблющейся петлей быстрых маг-нитозвуковых волн в окружающую корону. Такой подход отличается от диссипативных двумя обстоятельствами; во-первых, диссипация энергии петли происходит за пределами петли и не приводит к ее дополнительному нагреву; во-вторых, можно попытаться объяснить затухание, оставаясь в рамках идеальной магнитной гидродинамики, то есть используя обычные корональные условия. Диссипация волновой энергии здесь все же происходит, но уже за пределами петли в окружающей короне и в течение продолжительного промежутка времени, пока не образуются и не диссипируют ударные фронты у распространяющихся волн. Здесь следует отметить еще одно важное для нового подхода обстоятельство - амплитуды наблюдаемых колебаний петель превосходят поперечные размеры петель, что свидетельствует в пользу нелинейности наблюдаемых колебаний. Нелинейность колебаний подтверждают также результаты их вейвлет-анализа [113,145]. К тому же расчеты показывают, что в линейном приближении коэффициент затухания мал и не может обеспечить наблюдаемое время затухания [101].

В исследованиях корональных осцилляций остается ряд других нерешенных проблем, к числу которых относится возбуждение радиальных колебаний в корональных магнитных петлях, возникающих в быстрых модах типа перетяжки. Эти моды эффективно модулируют радиоизлучение, создавая периодические и квазипериодические пульсации. Они наблюдаются настолько часто, что являются почти характерным свойством радиоизлучения IV типа [47]. Повсеместность этих колебаний делают их универсальным инструментом сейсмологии корональных петель. Если источником возбуждения изгибных колебаний являются внешние источники, например, ударные волны от происходящих неподалеку вспышек или взаимодействие нескольких петель, то, очевидно, причины возбуждения радиальных колебаний следует искать внутри самих петель. Теоретически возможным механизмом появления перетяжек в петлях могут быть пульсации продольного электрического тока, которые создают пинчевый эффект. Токонесущие корональные петли можно рассматривать как элементы электрических контуров, тогда появление пинчевых возмущений можно объяснить соответствующими электрическими колебаниями [И, 300, 301]. Такое объяснение, однако, не является единственно возможным. Продольные быстрые магнитозвуковые волны могут генерироваться в результате развития черенковской неустойчивости или неустойчивости на баунс-резонансе, вызванные пучками быстрых частиц в корональных петлях [47].

Известно, что торсионные возмущения конечной амплитуды в цилиндрической магнитной трубке меняют ее радиус. В качестве наглядного примера такой трубки можно привести форму радио- и телетрансляционной башни на Шаболовке. Естественно предположить, что взаимодействие торсионных мод в петлях могут вызывать возникновение перетяжек. Строгая теория взаимодействия должна основываться на исходных нелинейных уравнениях магнитной гидродинамики, то есть с привлечением нелинейного численного моделирования. Возможен и аналитический подход на основе теории слабонелинейного резонансного взаимодействия волн. Торсионные альвеновские возмущения могут вызываться хаотическими движениями оснований корональных петель вследствие фотосфер-ного конвективного движения. Альвеновские возмущения легко проникают в корону и распространяются в ней практически без поглощения. Преобразование альвеновских волн в магнитозвуковые в корональных петлях может быть одним из возможных каналов их поглощения и диссипации волновой энергии в короне.

Как уже было отмечено, еще одним, кроме корональных петель, источником образования стоячих волн в короне могут быть аркады корональных петель. Сложность теоретического исследования магнитогидро-динамических волн в корональных магнитных аркадах обусловлена принципиальной невозможностью разделения переменных в линейных уравнениях магнитной гидродинамики в подавляющем большинстве случаев, интересных с практической точки зрения. По этой причине исследование МГД-волн в корональных магнитных аркадах обычно проводится с использованием численных методов [91-93, 190-191, 221, 231].

Альвеновские возмущения распространяются вдоль равновесного магнитного поля и в замкнутых магнитных структурах способны, неоднократно отражаясь от фотосферы, образовывать стоячие волны или иначе -собственные моды корональной магнитной аркады. Очевидно, что период колебаний в собственных модах будет определяться временем распространения альвеновских возмущений вдоль магнитных арок. Если учесть, что длина корональных петель может достигать значений в несколько сот тысяч километров, а альвеновская скорость в короне порядка 1000 км/с, то можно прогнозировать периоды собственных колебаний до нескольких минут. Этот диапазон перекрывается с диапазоном периодов глобальных р-мод Солнца, что может привести к затруднениям при наблюдении собственных мод корональных аркад. Следует отметить, что наряду с основными модами, которым будут соответствовать периоды в несколько минут, возможно существование высших мод, периоды которых имеют значения в десятки секунд. Такие альвеновские волны действительно регистрируются в активных областях [5, 161].

Ситуация с быстрыми магнитозвуковыми (БМЗ) волнами более сложная. БМЗ-волны имеют тенденцию распространяться в область минимума альвеновской скорости в среде, поэтому стоячие БМЗ-волны в короне образуются только в том случае, когда альвеновская скорость в короне растет с высотой. Последнее возможно, если плотность плазмы убывает с высотой достаточно быстро. Это подтверждается численными расчетами [231]. В общем случае стоячие БМЗ-волны в корональных аркадах получают, вводя боковые и верхнюю границы магнитной аркады с граничными условиями закрепления, при которых плазма на границе считается неподвижной [190]. Такие условия, называемые также условиями инертной пограничной плазмы ("large-inertia conditions"), характерны для фотосферы, и их использование на боковых границах представляется спорным. На наш взгляд, собственные БМЗ-моды корональных магнитных аркад, также, как и аль-веновские моды, необходимо строить, используя факт отражения волн от фотосферы.

Оливер и др. [91-93, 190-191, 221, 231] рассмотрели распространение МГД-волн в корональных аркадах различного вида, в том числе в аркаде с потенциальным полем, в аркаде со значительным газовым давлением, а также в аркаде с учетом и без учета продольной вдоль аркады составляющей магнитного поля. Показано, что в аркаде без продольной составляющей МГД-возмущения разделяются на альвеновские и магнитозвуко-вые волны, а при наличии продольной составляющей они носят характер смешанных волн, проявляющих свойства и тех, и других волн [71-72]. Подробно исследованы спектры альвеновских и быстрых магнитозвуковых волн потенциальной магнитной аркады [220], в остальных примерах исследовалось только распространение волн. На наш взгляд, представляет интерес изучение спектров собственных колебаний бессиловых магнитных аркад и их сравнение со спектром потенциальной аркады. Помимо нужд корональной сейсмологии, это может оказаться полезным при диагностике корональных магнитных структур, содержащих электрические токи. Данная задача может решаться как численными, так и приближенными аналитическими методами.

Цель работы и задачи исследования. На основании изложенного выше обзора по исследованиям корональных осцилляций можно сформулировать ряд актуальных проблем корональной сейсмологии, требующих своего решения. Основной целью диссертационной работы является теоретическое изучение корональных осцилляций для расширения теоретической базы корональной сейсмологии, в связи с чем мы формулируем следующие основные задачи работы: построение для потребностей теоретической корональной сейсмологии новых моделей корональных магнитных петель, учитывающих их внутреннюю поперечную неоднородность, в том числе неоднородность распределения плазмы и наличие азимутального магнитного поля; аналитическое исследование линейных колебаний неоднородных корональных петель, получение соответствующих дисперсионных уравнений с целью создания рабочего инструмента корональной сейсмологии; изучение нелинейных изгибных колебаний корональных петель с целью изучения возможности объяснения явления быстрого затухания наблюдающихся изгибных колебаний из-за излучения колеблющейся петлей быстрых магнитозвуковых волн конечной амплитуды; исследование нелинейного взаимодействия магнитогидродинамических волн в корональных петлях, изучение возможности возбуждения быстрых мод корональных петель типа перетяжек в результате резонансного взаимодействия торсионных мод; построение новых моделей корональных магнитных аркад, потенциальных и бессиловых; изучение собственных альвеновских и быстрых магнитозвуковых мод потенциальных и бессиловых корональных магнитных аркад.

Научная новизна представленной работы состоит в том, что в ходе проведенных исследований были впервые получены следующие основные результаты: разработаны две принципиально новые модели корональных магнитных петель, состоящих из центрального шнура и окружающей его оболочки; в одной из моделей учитывается радиальная неоднородность плотности плазмы, во второй учитывается еще и наличие в корональных петлях азимутального магнитного поля, то есть наличие продольного электрического тока; впервые исследованы линейные изгибные и радиальные колебания неоднородных корональных петель; при помощи нелинейного численного моделирования впервые исследовано влияние на корональную петлю внешнего импульса, действующего в поперечном направлении; показано, что такое воздействие приводит к возбуждению в петле колебаний двух типов, внутренних колебаний плазмы в самой петле, а также к изгибным колебаниям всей петли как целого; предсказано теоретически и впервые показано численным моделированием, что излучение колеблющейся корональной петлей быстрых маг-нитозвуковых волн в окружающей среде приводит к быстрому затуханию колебаний самой петли, обусловленному потерями энергии на излучение; построена теория нелинейного резонансного взаимодействия магни-тогидродинамических волн в цилиндрической геометрии; впервые получены условия, при которых взаимодействие торсионных мод магнитного цилиндра приводит к возбуждению быстрой моды типа перетяжки или происходит распад торсионной моды; предложен новый метод построения класса бессиловых магнитных полей с плоскими интегральными поверхностями, позволяющий построить ряд новых моделей корональных магнитных аркад, в том числе биполярную аркаду с 5-образной линией раздела полярностей, а также аркаду квадрополярного типа, представляющих интерес для теоретических исследований; предложено коротковолновое приближение для описания собственных колебаний корональных магнитных аркад; показано, что коротковолновые магнитогидродинамические возмущения разделяются на альвенов-ские и магнитозвуковые; получены уравнения эйконала для альвеновских и магнитозвуковых волн; впервые показано, что нахождение амплитуд в нулевом приближении сводится к решению скалярного линейного уравнения в частных производных; получены спектры собственных альвеновских мод корональных аркад потенциального типа, уточняющие известные ранее результаты; впервые получены спектры быстрых магнитозвуковых мод, являющихся результатом отражения волн от фотосферы; впервые получены спектры собственных альвеновских и быстрых магнитозвуковых мод бессиловых аркад; впервые показано, что характер движения плазмы в собственных модах потенциальной и бессиловой магнитных аркадах принципиально разный по направлению, что может быть использовано для диагностики магнитных структур активных областей.

Краткое содержание работы. В главе 1 приведены различные наблюдательные данные, свидетельствующие о том, что корональные магнитные петли являются скрученными, то есть содержат продольные электрические токи. Введены две новые модели корональных магнитных петель в виде двойных магнитных трубок, учитывающие их сильную поперечную неоднородность и присутствие поперечного магнитного поля. Линейные уравнения идеальной магнитной гидродинамики сформулированы в цилиндрических координатах для цилиндрически-симметричных равновесных конфигураций. Сформулировано радиальное уравнение, определяющее зависимость волновых распределений от радиальной переменной, приведены имеющиеся на сегодня примеры его решений. Выведены новые радиальные уравнения для равновесной конфигурации с азимутальным магнитным полем, исследованы аналитические свойства его решений в случае цилиндрических мод т = 0 и т = 1. Построены точные решения уравнений при помощи разложений.

В главе 2 полученные в первой главе результаты использованы при построении собственных мод двойных магнитных трубок. Дается обзор литературы по наблюдениям и теоретической интерпретации колебаний и волн в корональных магнитных петлях. Выводятся дисперсионные уравнения линейных собственных мод двойных магнитных трубок, дающих новые модели корональных петель. Исследованы спектры радиальных колебаний двойных магнитных трубок, произведено их сравнение со спектром аналогичных колебаний однородной магнитной трубки. Исследована возможность излучения магнитными трубками быстрых магнитозвуковых волн, получены коэффициенты затухания изгибных колебаний, обсуждается их применение к наблюдающимся при помощи TRACE поперечным колебаниям корональных петель.

В главе 3 изучаются нелинейные изгибные колебания корональных магнитных петель и их возможная связь с явлением быстрого затухания поперечных колебаний корональных петель, регистрируемых при помощи TRACE. Формулируется механизм радиационного затухания, дается краткий обзор работ по изучению нелинейных явлений в корональных магнитных петлях. Формулируется двумерная модель нелинейных колебаний корональной петли в приближении холодной плазмы. Нелинейные уравнения идеальной магнитной гидродинамики решаются с использованием численной схемы WENO (Weighted Essentially NonOscillatory scheme) [146,168-169]. Результаты численного моделирования интерпретируются с точки зрения проблемы быстрого затухания.

Глава 4 посвящена решению проблемы возбуждения в корональных магнитных петлях быстрых магнитозвуковых мод типа перетяжки. Используется предположение, что они могут появляться в результате резонансного взаимодействия торсионных альвеновских волн. Сформулированы слабонелинейные уравнения идеальной магнитной гидродинамики, учитывающие квадратичные нелинейные члены. Выводятся уравнения резонансного трехволнового взаимодействия аксиально-симметричных МГД-волн. Полученные уравнения применяются при описании взаимодействия торсионных мод цилиндрических магнитных трубок. Изучается, каким образом наличие оболочки влияет на процесс возбуждения быстрой магни-тозвуковой моды.

В главе 5 изучаются собственные моды аркад корональных магнитных петель. Приводятся примеры моделирования корональных магнитных аркад. Сформулирован новый метод построения бессиловых магнитных полей с плоскими интегральными поверхностями, который затем использован для построения корональных магнитных аркад. Формулируются основные положения геометрической оптики применительно к уравнениям идеальной магнитной гидродинамики. Выводятся уравнения эйконала для альвеновских и магнитозвуковых волн. Сформулирован метод эйконала, позволяющий строить волновые поля во всей рассматриваемой области, получены соответствующие уравнения для амплитуд волновых распределений как для альвеновских, так и для магнитозвуковых волн. Изучаются коротковолновые собственные колебания потенциальной и бессиловой магнитных аркад, выводятся выражения для спектров собственных альвеновских и магнитозвуковых мод. Изучается зависимость спектра и вида собственных мод от вертикальной стратификации плазмы. Сравниваются колебания плазмы и возмущения магнитного поля в потенциальной и в бессиловой аркадах.

В конце каждой главы кратко излагаются ее основные результаты и выводы, указывается личный вклад автора.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, выносимые за защиту, и список основных работ соискателя по теме диссертации. В приложении даются краткие сведения из аналитической теории дифференциальных уравнений, результаты некоторых расчетов.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

1. Построены две модели корональных магнитных петель нового типа, учитывающие радиальную неоднородность плазмы и магнитного поля. В моделях петель присутствует оболочка, в которой магнитное поле может быть продольным или азимутальным, а плотность и температура плазмы могут резко отличаться от параметров плазмы в центральной части петли.

2. В линейном приближении аналитически исследованы волновые и колебательные свойства неоднородных петель. Влияние оболочки оказывается существенным, приводя к усилению эффекта излучения волн в окружающую среду и отсечке радиальных колебаний при больших волновых числах (во второй модели). Радиационное затухание в рамках линейной теории, однако, не объясняет наблюдаемое быстрое затухание поперечных колебаний корональных петель. Это говорит о необходимости учета нелинейных эффектов.

3. Разработан новый метод исследования нелинейных колебаний корональных магнитных петель, основанный на современных численных схемах интегрирования уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Показано, что нелинейные изгибные колебания корональных петель возбуждают в окружающей среде быстрые магнитозвуковые волны конечной амплитуды, которые распространяются от петли в окружающую корону. В рамках рассматриваемой нелинейной модели потери энергии являются эффективными, и затухание оказывается быстрым.

4. Решена задача нелинейного резонансного взаимодействия аксиально-симметричных мод магнитной трубки. Показано, что резонансное взаимодействие торсионных альвеновских волн в корональных петлях является эффективным механизмом возбуждения их радиальных колебаний в коротковолновой области. Этот эффект может служить дополнительным к существующим способам объяснения возбуждения секундных пульсаций в корональных петлях, использующихся для диагностики корональ-ной плазмы.

5. Предложен новый метод построения класса бессиловых магнитных полей с плоскими интегральными поверхностями, позволяющий строить новые равновесные модели наблюдаемых корональных магнитных структур, в том числе квадрополярной аркады или аркады с ¿"-образной линией раздела полярностей.

6. Разработан новый аналитический подход к исследованию коротковолновых колебаний корональных магнитных аркад, основанный на методе эйконала. Наблюдающиеся в короне колебания обусловлены не только магнитогидродинамическими волнами, захваченными отдельными коро-нальными петлями, но также собственными модами аркад корональных петель. Получены новые быстрые магнитозвуковые моды, которые сосредоточены вблизи поверхностей, не являющихся магнитными.

7. Показано, что движения плазмы в собственных модах потенциальных и бессиловых магнитных аркад принципиально отличаются по направлению. Даже небольшое присутствие электрических токов резко меняет направление движения плазмы. Это открывает новые возможности для диагностики корональных магнитных структур, содержащих электрические токи.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А., Шаповалов В. Н. Бессиловые магнитные поля в плоской геометрии // Солнечные данные. -1985. №7. -С. 73-78.

2. Михаляев Б. Б. Об одной потенциальной модели магнитной аркады // Письма в Астрон. журн. 1986. Т. 12. т. С. 546-550.

3. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Природа корональных осцилляций: радиационное затухание. Труды XXXI Междун. конф.

Физика космоса", 28 января-1 февраля 2002 г. Екатеринбург. Уральский университет. 2002. С. 100-110.

4. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Радиационное затухание колебаний корональных петель // Физика плазмы. -2002. -Т. 28. №8. -С. 758-764.

5. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли, касповый резонанс. Труды XXXII Междун. конф. "Физика космоса", 3-7 февраля 2003 г. Екатеринбург. Уральский ун-т. 2003. С. 140.

6. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли // Физика плазмы. -2003. -Т. 29. №12. -С. 1130-1136.

7. Михаляев Б. Б. Колебания корональных петель с азимутальным полем в оболочке. "Физика Солнца и звезд". Сб. трудов науч. сем., 22-24 октября 2003 г., Элиста. Калмыцкий ун-т. 2003. С. 90-102.

8. Михаляев Б. Б. , Соловьев А. А. Собственные колебания двойных магнитных трубок. Там же. С. 77-89.

9. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. МГД-волны в корональных петлях с оболочкой // Письма в Астрон. журн. -2004. -Т. 30. №. -С. 307-314.

10. Mikhalyaev В. В., Solov'ev A. A. The double magnetic tube as a model of coronal loop oscillations. Proc. IAU Symposium №223 "Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity", 2004. A. V. Stepanov, E. E. Benevolenskaya, A. G. Kosovichev, eds. Cam- bridge Univ. Press, Cambridge. 2004. P. 287-288.

11. Михаляев Б. Б. Собственные колебания активных областей // Научная мысль Кавказа. -2005. Спецвыпуск. -С. 124-127.

12. Михаляев Б. Б. Нелинейное взаимодействие аксиальных мод магнитного цилиндра. "Физика Солнца и звезд". Сб. трудов 2-го науч. сем., 16-18 февраля 2005 г., Элиста. Калмыцкий ун-т. 2005. С. 53-58.

13. Михаляев Б. Б. Численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в магнитном слое. I. Постановка задачи. Там же. С. 76-80.

14. Алексейчук Р. А., Бадмаев В. С., Михаляев Б. Б. Численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в магнитном слое. II. Описание численной схемы. Там же. С. 142-147.

15. Михаляев Б. Б. Метод эйконала в магнитной гидродинамике. Там же. С. 148-158.

16. Mikhalyaev В.В., Solov'ev A.A. The oscillations of coronal loops including the shell // Solar Phys. -2005. -V. 227. №2. -P. 249-263.

17. Михаляев Б. Б. Быстрое затухание колебаний корональных петель с азимутальным полем // Письма в Астрон. журн. -2005. -Т. 31. №6. -С. 456-464.

18. Михаляев Б. Б. Колебания неоднородных корональных петель. Солнечная активность как фактор космической погоды. Тр. 9 Пулковской конф. по физике Солнца. 4-9 июля 2005 г. -С-Пб.: ВВМ. 2005. С. 557-560.

19. Михаляев Б. Б. Колебания солнечных активных областей. Там же. С. 561-564.

20. Михаляев Б. Б. Нелинейное резонансное взаимодействие волн в цилиндрическом плазменном волноводе // Изв. ВУЗов. Физика. -2006. -Т. 49. №. -С. 92-94.

21. Михаляев Б. Б. МГД-волны в корональных магнитных аркадах // Письма в Астрон. журн. -2006. -Т. 32. №9. -С. 703-711.

22. Mikhalyaev В. В. Short-wave oscillations of coronal magnetic arcades // Solar Phys. -2006. -V. 237. -P. 123-142.

23. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. Нелинейные колебания солнечных корональных петель // Изв. РАН. Сер. физ. -2006. -Т. 70. №10. -С. 1484-1487.

24. Михаляев Б. Б. Влияние оболочки на спектр радиальных колебаний корональных петель // Научная мысль Кавказа. -2006. №4. -С. 112114.

25. Михаляев Б. Б. Нелинейное возбуждение радиальных колебаний в корональных петлях // Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. Приложение. -2006. №9. -С. 36-38.

Заключение

1. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в терии дифрак- • ции коротких волн. -М.: Наука, 1972. -249 с.

2. Вильхельмсон X., Вейланд Л. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. -М.: Энергоиздат, 1981. -230 с.

3. Гельфрейх Г. Б., Деревянко О. Г., Коржавин А. Н., Стасюк Н. П. Периодические флуктуации потоков локальных источников радиоизлучения Солнца // Солнечные данные. -1969. №9. -С. 88-94.

4. Гельфрейх Г. Б., Цап Ю. Т., Копылова Ю. Г., Гольдварг Т. Б., Наговицын Ю. А., Цветков Л. И. О вариациях микроволнового излучения активных областей солнечной атмосферы // Письма в Астрон. журн. -2004. -Т. 30. №7. -С. 540-547.

5. Гуссенс М. Магнитогидродинамические волны и волновой нагрев неоднородной плазмы / Космическая магнитогидродинамика. Под ред. Э. Приста и А. Худа. -М.: Мир, 1995. -С. 144-178.

6. Дворяковский В. П., Файнштейн С. М. О параметрической неустойчивости магнитозвуковых волн в плоском плазменном волноводе // Известия ВУЗов. Радиофизика. -1981. -Т. 24. №5. -С. 533-538.

7. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Выпуск 3. -М.: Мир, 1970. -344 с.

8. Зайцев В. В., Степанов А. В. Проблемы физики солнечной активности // УФН. -2006. -Т. 176. №3. -С. 325-333.

9. Кобрин М. М., Коршунов А. И., Пахомов В. В. О квазипериодических компонентах во флуктуациях солнечного радиоизлучения // УФН. -1973. -Т. 109. №4. -С. 773-774.

10. Копылова Ю. Г., Степанов А. В., Цап Ю. Т. Радиальные колебания корональных петель и микроволновое излучение солнечных вспышек // Письма в Астрон. журн. -2002. -Т. 28. №11. -С. 870-879.

11. Копылова Ю. Г., Мельников А. В. Излучательные моды колебаний ко-рональной арки // Известия ГАО РАН. -2004. -Т. 217. -С. 95-106.

12. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М.: Наука, 1980.

13. Кузнецов В. Д. Гелиофизика: от наблюдений к моделям // УФН. -2006. -Т. 176. №3. -С. 319-325.

14. Кузнецов Д. С. Специальные функции. -М.: Высшая школа, 1965. С. 49.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. С. 365.

16. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Том 2. Неоднородная плазма. -М.: Атомиздат, 1985.

17. Михаляев Б. Б. Об одной потенциальной модели магнитной аркады // Письма в Астрон. журн. -1986. -Т. 12. №7. -С. -46-550.

18. Михаляев Б. Б. Колебания корональных петель с азимутальным полем в оболочке. Физика Солнца и звезд: Сб. трудов науч. сем., 22-24 октября 2003 г., -Элиста: Калмыцкий университет. 2003. -С. 90-101.

19. Михаляев Б. Б. Быстрое затухание колебаний корональных петель с азимутальным полем // Письма в Астрон. журн. -2005. -Т. 31. №6. -С. 456-464.

20. Михаляев Б. Б. Колебания активных областей // Научная мысль Кавказа. -2005. Спецвыпуск. -С. 124-127.

21. Михаляев Б. Б. Колебания неоднородных корональных петель. Солнечная активность как фактор космической погоды: Сб. трудов 9 Пулковской межд. конф. по физике Солнца. 4-9 июля 2005 г. -С-Пб.: ВВМ, 2005. -С. 557-560.

22. Михаляев Б. Б. Колебания солнечных активных областей. Там же. -С. 561-564.

23. Михаляев Б. Б. Нелинейное взаимодействие аксиальных мод магнитного цилиндра. Физика Солнца и звезд: Сб. трудов науч. сем., 16-18 февраля 2005 г., -Элиста: Калмыцкий университет. 2005. -С. 53-58.

24. Михаляев Б. Б. Численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в магнитном поле. I. Постановка задачи. Там же. -С. 76-80.

25. Михаляев Б. Б. Метод эйконала в магнитное гидродинамике. Там же. -С. 148-158.

26. Михаляев Б. Б. МГД-волны в корональных магнитных аркадах // Письма в Астрон. журн. -2006. -Т. 32. №9. -С. 703-711.

27. Михаляев Б. Б. Нелинейное резонансное взаимодействие волн в цилиндрическом плазменном волноводе // Известия ВУЗов. Физика. -2006. -Т. 49. №6. -С. 92-94.

28. Михаляев Б. Б. Влияние оболочки на спектр радиальных колебаний корональных петель // Научная мысль Кавказа. -2006. №4. -С. 112-114.

29. Михаляев Б. Б. Нелинейное возбуждение радиальных колебаний в корональных петлях // Известия ВУЗов. Сев.-Кав. per. Естеств. науки. Приложение. -2006. №. -С. 36-38.

30. Михаляев Б. Б. , Соловьев А. А. Собственные колебания двойных магнитных трубок. Физика Солнца и звезд: Сб. трудов науч. сем., 22-24 октября 2003 г., Элиста. Калмыцкий университет. 2003. -С. 77-89.

31. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. МГД-волны в корональных петлях с оболочкой // Письма в Астрон. журн. -2004. -Т. 30. №4. -С. 307-314.

32. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А. Нелинейные колебания солнечных корональных петель // Известия РАН. Серия физическая. -2006. -Т. 70. №10. -С. 1484-1487.

33. Михаляев Б. Б., Соловьев А. А., Шаповалов В. Н. Бессиловые магнитные поля в плоской геометрии. Общее решение // Солнечные данные. -1985. №7. -С. 73-78.

34. Могилевский Э. И. Энергетика и феноменология больших солнечных вспышек / Физика солнечной активности. М: ИЗМИРАН. 1980. С. 3-47.

35. Накаряков В. М., Петрухин Н. С., Файнштейн С. М. О генерации низкочастотных пульсаций в магнитных волноводах в атмосфере Солнца // Письма в Астрон. журн. -1991. -Т. 17. №11. -С. 1008-1012.

36. Паркер Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. Часть 1. -М.: Мир, 1982. -608 с.

37. Прист Э. Р. Солнечная магнитогидродинамика. -М.: Мир, 1985. -592 с.

38. Прист Э. Р. Магнитное пересоединение. Магнитогидродинамическая теория и приложения. -М.: Физматлит, 2005. -592 с.

39. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. -С. 350.

40. Роберте Б. Магнитогидродинамические волны на Солнце / Космическая магнитогидродинамика. Под ред. Э. Приста и А. Худа. -М.: Мир. 1995. С. 112-143.

41. Розенкраух Ю. М., Степанов А. В. О модуляции плазменного радиоизлучения корональных арок // Астрон. журн. -1988. -Т. 65. №2. -С. 300-308.

42. Руденчик Е. А. Перенос массы, энергии и импульса цугами МГД волн через двумерно неоднородную среду / Физика солнечной активности. Под ред Э. И. Могилевского. -М: ИЗМИРАН. 1983. СС. 12-29.

43. Руденчик Е. А. Распространение быстрых магнитозвуковых волн через солнечную атмосферу с арками магнитного поля (коротковолновое приближение) / Физика солнечной активности. Под ред Э. И. Могилевского. -М: ИЗМИРАН. 1983. СС. 30-50.

44. Северный А. Б. Солнечные магнитные поля // Известия КрАО. -1965. №33. -С. 3-33.

45. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том. 3. Часть 2. -М: Наука, 1974.

46. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Природа корональных осцилляций: радиационное затухание. Труды XXXI Межд. конф. "Физика космоса", 28 января-1 февраля 2002 г. Екатеринбург. Уральский университет. 2002. С. 100-110.

47. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Радиационное затухание колебаний корональных петель // Физика плазмы. -2002. -Т. 28. №8. -С. 758-764.

48. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли, касповый резонанс. Труды XXXII Межд. конф. "Физика космоса", 3-7 февраля 2003 г. Екатеринбург. Уральский университет. 2003. С. 140.

49. Соловьев А. А., Михаляев Б. Б., Киричек Е. А. Корональные осцилляции: внутренняя структура петли // Физика плазмы. -2003. -Т. 29. №12. -С. 1130-1136.

50. Сомов Б. В. Солнечные вспышки / Астрономия. Т. 34. Итоги науки и техники. М. ВИНИТИ АН СССР. 1987. -С. 97.

51. Степанов А. В., Копылова Ю. Г., Цап Ю. Т., Шибасаки К., Мельников В. Ф., Гольдварг Т. Б. Пульсации микроволнового излучения и диагностика вспышечной плазмы // Письма в Астрон. журн. -2004. -Т. 30. №7. -С. 530-539.

52. Степанов А. В., Копылова Ю. Г., Цап Ю. Т., Куприянова Е. Г. Осцилляции оптического излучения вспыхивающих звезд и диагностика корональных петель // Письма в Астрон. журн. -2005. -Т. 31. №9. -С. 684-692.

53. Тамойкин В. В., Файнштейн С. М., Цыганов П. В. Параметрическая неустойчивость МГД-волн в рефракционном плазменном волноводе с экспоненциальным профилем плотности и наклонным магнитным полем // Физика плазмы. -1996. -Т. 22. №6. -С. 572-577.

54. Тамойкин В. В., Файнштейн С. М., Цыганов П. В. Параметрическая неустойчивость МГД-волн в рефракционном плазменном волноводе с профилем плотности Эпштейна и наклонным магнитным полем // Физика плазмы. -1996. -Т. 22. №6. -С. 578-581.

55. Тамойкин В. В., Файнштейн С. М., Цыганов П. В. Нелинейное резонансное взаимодействие магнитозвуковых и альфвеновских волн в рефракционном плазменном волноводе с наклонным магнитным полем // Физика плазмы. -1997. -Т. 23. №2. -С. 161-168.

56. Уралов А. М. Резонансное возбуждение поперечных колебаний корональных петель // Письма в Астрон. журн. -2003. -Т. 29. №7. -С. 552-559.

57. Филлипс О. М. Взаимодействия волн / Нелинейные волны. Под ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. -М: Мир, 1977. -С. 197.

58. Хьюз Д. В. Магнитная плавучесть / Космическая магнитогидродинамика. Под ред. Э. Приста и А. Худа. -М.: Мир, 1995. -С. 82.

59. Цап Ю. Т., Копылова Ю. Г. Механизм акустического затухания быстрых изгибных колебаний корональных петель // Письма в Астрон. журн. -2001. -Т. 27. №11. -С. 859-866.

60. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле / Вопросы теории плазмы. Под ред М. А. Леонтовича. Выпуск 2. -М: Госатомиздат, 1963. -С. 92.

61. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. -М: Наука, 1972.

62. Abrami A. Pulsation radio emissins from the solar corona // Solar Phys. -1970. -V. 11. -P. 104-116.

63. Altyntsev А. Т., Grechnev V. V., Hanaoka Y. et al. //On the microwave spike emission of the September 6,1992 flare. Solar Phys. -1998. -V. 178. -P. 137-151.

64. Arregui I., Oliver R., Ballester J.L. Coupling of fast and Alfven waves in a straight bounded magnetic field with density stratification // Astron. Astrophys. -2003. -V. 402. -P. 1129-1143.

65. Arregui I., Oliver R., Ballester J.L. Magnetohydrodynamic waves in sheared coronal arcades // Astrophys. J. -2004. -V. 602. -P. 1006-1020.

66. Arregui I., Van Doorsselaere Т., Andries J., Goossens M., Kimpe D. Resonantly damped fast MHD kink modes in longitudinally stratified tubes with thick nonuniform transitional layers // Astron. Astrophys. -2005. -V. 441. -P. 361-370.

67. Arregui I., Oliver R., Ballester J.L. Magnetohydrodynamic waves in sheared potential coronal arcade // Astron. Astrophys. -2004. -V. 425. -P. 729-739.

68. Appert K., Gruber R., Vaclavik. Continuous spectra of a cylindrical magnetohydrodynamic equilibrium // Phys. Fluids. -1974. -V. 17. №7. -P. 14711472.

69. Asai A., Shimojo M., Isobe H., Morimoto Т., Yokoyama Т., Shibasaki K., Nakajima H. Periodic acceleration of electrons in the 1998 November 10 solarflare // Astrophys. J. -2001. -V. 562. -P. L103-106.

70. Aschwanden M. J. Theory of radio pulsations in coronal loops // Solar Phys. -1987. -V. 111. -P. 113-136.

71. Aschwanden M. J. An evaluation of coronal heating models for active regions based on Yohkoh, SoHO, and TRACE observations // Astrophys. J. -2001. -V. 560. -P. 1035-1044.

72. Aschwanden M. J. Physics of the solar corona. Chichester, UK: Praxis Publishing Ltd. 2004.

73. Aschwanden M. J. Coronal MHD waves and oscillations: observations and quests // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. -2006. -V. 364. -P. 417-432.

74. Aschwanden M. J., Fletcher L., Schrijver C. J., Alexander D. Coronal loop oscillations observed with the Transition Region and Coronal Explorer // Astrophys. J. -1999. -V. 520. -P. 880-894.

75. Aschwanden M. J., De Pontieu B., Schrijver C. J., Title A. M. Transverse oscillations in coronal loops observed with TRACE. II. Measurements of geometric and physical properties // Solar Phys. -2002. -V. 206. -P. 99-132.

76. Aschwanden M. J., Nightingale R. W., Andries J., Goossens M., Van Doorsse-laere T. Observational tests of damping by resonant absorption in coronal loop oscillations // Astrophys. J. -2003. -V. 598. -P. 1375-1386.

77. Aschwanden J. M., Nakariakov V. M., Melnikov V. F. Magnetohydrodynamic sausage-mode oscillations in coronal loops // Astrophys. J. -2004. -V. 600. -P. 458-463.

78. Aurass H., Vrsnak B., Hofmann A., Rudzjak V. Flares in sigmoidal coronal structures a case study // Solar Phys. -1999. -V. 190. -P. 267-293.

79. Bao S. D., Sakurai T., Suematsu Y. The sources of magnetic twist in solar active regions // Astrophys. J. -2002. -V. 573. -P. 445-453.

80. Bennett K., Roberts B., Narain U. Waves in twisted magnetic flux tubes // Solar Phys. -1999. -V. 185. -P. 41-59.

81. Berghmans D., Clette F. Active region EUV transient brightenings first results by EIT of SOHO JOP 80 // Solar Phys. -1999. -V. 186. -P. 207-229.

82. Bernstein I. B. Geometric optics in an ideal magnetohydrodynamic fluid //

83. J. Plasma Phys. -1971. -V. 5. -P. 303-313.

84. Beveridge C., Longcope D. W., Priest E. R. A model for elemental coronal flux loops // Solar Phys. -2003. -V. 216. -P. 27-40.

85. Bogdan T. J. Effect of thermal conduction on acoustic waves in coronal loops // Astrophys. J. -2006. -V. 643. -P. 532-539.

86. Brady C. S., Arber T. D. Damping of vertical coronal loop kink oscillations through wave tunneling // Astron, Astrophys. -2005. -V. 438. -P. 733-740.

87. Brady C. S., Verwichte E., Arber T. D. Leakage of waves from coronal loops by wave tunneling // Astron Astrophys. -2006. -V. 449. -P. 389-399.

88. Bray R. J., Cram L. E., Durrant C J., Loughhead R. E. Plasma loops in the solar corona // Cambridge University Press. Cambridge. 1991.

89. Browning P. R., Priest E. R. The magnetic non-equilibrium of buoyant flux tubes in the solar corona // Solar Phys. -1984. -V. 92. -P. 173-188.

90. Burnette A. B., Canfleld R. C., Pevtsov A. A. Photospheric and coronal currents in solar active regions // Astrophys. J. -2004. -V. 606. -P. 565-570.

91. Cadez V.M., Ballester J.L. Resonant absorption of MHD surface waves in a arcade with a continuous boundary // Astron. Astrophys. -1996. -V. 305. -P. 977-983.

92. Cadez V.M., Oliver R., Ballester J.L. Quasiperpendicular wave propagation in coronal magnetostatic arcades // Astron. Astrophys. -1996. -V. 307. -P. 947954.

93. Cadez V.M., Oliver R., Ballester J.L. Propagation of fast MHD perturbations in coronal potential arcades // Astron. Astrophys. -1996. -V. 314. -P. 636642.

94. Cally P. S. Leaky and non-leaky oscillations in magnetic flux tubes // Solar Phys. -1986. -V. 103. -P. 277-298.

95. Cally P. S. Coronal leaky tube waves and oscillations observed with TRACE // Solar Phys. -2003. -V. 217. -P. 95-108.

96. Cally P. S. Note on the initial value problem for coronal loop kink waves // Solar Phys. -2006. -V. 233. -P. 79-87.

97. Cargill P. J., Spicer D. S., Zalesak T. Magnetihydrodynamic simulationsof Alfvenic pulse propagation in solar magnetic flux tubes: two-dimensional slab geometries 11 Astrophys. J. -1997. -V. 488. -P. 854.

98. Chin Y.-C., Wentzel D. G. Nonlinear dissipation of Alfven waves // Astrophys. Space Sci. -1972. -V. 16. -P. 465-477.

99. Cooper F. C., Nakariakov V. M., Tsiklauri D. Line-of-sight effects on observability of kink and sausage modes in coronal structures with imaging telescopes // Astron. Astrophys. -2003. -V. 397. -P. 765-770.

100. Cooper F. C., Nakariakov V. M., Williams D. R. Short period fast waves in solar coronal loops // Astron. Astrophys. -2003. -V. 409. -P. 325-330.

101. Costa A., Stenborg G. Characterization of intensity variations along Fe XIV coronal loops a case study // Solar Phys. -2004. -V. 222. -P. 229-245.

102. Cowsik R., Singh J., Saxena A. K., Srinivasan R., Raveendran A. V. Short period intensity oscillations in the solar corona observed during the total solar eclipse of 26 February 1998 // Solar Phys. -1999. -V. 188. -PP. 89-98.V

103. Cslk A., Erdelyi R., Cadez V. Effect of flow on resonsnt absorption of slow MHD waves in coronal arcades // Solar Phys. -1997. -V. 172. -P. 61-68.

104. De Forest C. E., Gurman J. B. Observation of quasi-periodic compressive waves in solar polar plumes // Astrophys. J. -1998. -V. 501. -P. L217-L220.

105. De Moortel I. An overview of coronal seismology. Roy. Soc. London. Trans. Ser. A. -2005. -V. 363. -P. 2743-2760.

106. De Moortel I., Ireland J., Walsh R. W. Observation of oscillations in coronal loops // Astron. Astrophys. -2000. -V. 355. -P. L23-L26.

107. De Moortel I., Hood A. W., Ireland J. Coronal seismology through wavelet analysis // Astron. Astrophys. -2002. -V. 381. -P. 311-323.

108. De Moortel I., Ireland J., Hood A. W., Walsh R. W. The detection of 3 and 5 min period oscillations in coronal loops // Astron. Astrophys. -2002. -V. 387. -P. L13-L16.

109. De Moortel I., Ireland J., Walsh R. W., Hood A. W. Longitudinal intensity oscillations in coronal loops observed with TRACE. I. Overview of measured parameters // Solar Phys. 2002. -V. 209. -P. 61-88.

110. De Moortel I., Hood A. W., Ireland J., Walsh R. W. Longitudinal intensityoscillations in coronal loops observed with TRACE. II. Discussion of measured parameters // Solar Phys. 2002. -V. 209. -P. 89-108.

111. De Moortel I., Parnell C. E., Hood A. W. Determination of coronal loop properties from TRACE observations // Solar Phys. 2003. -V. 215. -P. 69-86.

112. De Moortel I., Hood A. W. The damping of slow MHD waves in solar coronal magnetic fields // Astron. Astrophys. -2003. -V. 408. -P. 755-765.

113. De Moortel I., Hood A. W. The damping of slow MHD waves in solar coronal magnetic fields. II. The effect of gravitational stratification and field line divergence // Astron. Astrophys. -2004. -V. 415. -P. 705-715.

114. De Moortel I., Hood A. W., Gerrard C. L., Brooks S. J. The damping of slow MHD waves in solar coronal magnetic fields III. The effect of mode coupling // Astron. Astrophys. -2004. -V. 425. -P. 741-752.

115. Diaz A. J., Oliver R., Ballester J. L., Roberts B. Fast MHD oscillations in line-tied homogeneous coronal loops // Astron. Astrophys. -2004. -V. 424. -P. 1055-1064.

116. Diaz A. J., Oliver R., Ballester J. L. Fast magnetohydrodynamic oscillations in coronal loops with heating profiles // Astrophys. J. -2006. -V. 645. -P. 766-775.

117. Dungey J. W., Loughhead R. E. Twisted magnetic fields in conducting fluids // Austral. J. Phys. -1953. -V. 7. №5. -P. 5-13.

118. Edwin P. M., Roberts B. Wave propagation in a magnetic cylinder // Solar Phys. -1983. -V. 88. -P. 179-191.

119. Erdélyi R., Carter B. K. Wave propagation in incompressible MHD wave guides: the twisted magnetic Annulus // Astron. Astrophys. 2006. -V. 455. -P. 361-370.

120. Falconer D. F., Moore R. L., Porter J. G., Gary G. A., Shimuzu T. Neutralline magnetic shear and enhanced coronal heating in solar active regions // Astrophys. J. -1997. -V. 482. -P. 519-534.

121. Fârnik F., Karlicky M., Svestka Z. Hard X-ray pulsations in the initial phase of flares // Solar Phys. -2003. -V. 218. -P. 183-195.

122. Foullon C., Verwichte E., Nakariakov V. M., Fletcher L. X-ray quasiperiodic pulsations in solar flares as a magnetohydrodynamic oscillations 11 Astron Astrophys. -2005. -V. 440. -P. L59-L62.

123. Gelfreikh G. B., Grechnev V. V., Rosugi T., Shibasaki K. Detection of periodic oscillations in sunspot-assosiated radio sources // Solar Phys. -1999. -V. 185. -P. 177-191.

124. Gelfreikh G. B., Nagovitsyn Yu. A., Nagovitsyna E. Yu. Quasi-periodic oscillations of microwave emission in solar active regions // Publ. Astron. Soc. Japan. -2006. -V. 58. -P. 29-35.

125. Gizon L., Hanasoge S. M., Birch A. C. Scattering of acoustic waves by a magnetic cylinder: accuracy of the Born approximation // Astrophys. J. -2006. -V. 643. -P. 549-555.

126. Goossens M., Andries J., Aschwanden M. J. Coronal loops oscillations. An interpretation in terms of resonant absorption of quasi-mode kink oscillations // Astron. Astrophys. -2002. -V. 394. -P. L39-L42.

127. Grad H. Magnetofluid-dynamic spectrum and low shear stability // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. -1973. -V. 70. -P. 3277-3281.

128. Grechnev V. V., White S. M., Kundu M. R. Quasi-periodic pulsations in a solar microwave burst // Astrophys. J. -2003. -V. 588. -P. 1163-1175.

129. Grossmann W., Tataronis J. Decay of MHD waves by phase mixing. II. The theta-pinch in cylindrical geometry // Z. Physik. -1973. -V. 261. -P. 217-236.

130. Golub L., Nystom G., Herant M., Kalata K., Lovas I. Sub-arcsecond observations of the solar X-ray corona // Nature. -1990. -V. 344. -P. 842-844.

131. Goossens M., Andries J., Aschwanden M. J. Coronal loop oscillations. An interpretation in terms of resonant absorption of quasi-mode kink oscillations // Astron. Astrophys. -2002. -V. 394. -P. L39-L42.

132. Habbal S.R., Leer E., Holzer T.E. Heating of coronal loops by fast mode MHD waves // Solar Phys. -1979. -V. 64. -P. 287-301.

133. Holder Z. A., Canfield R. C., McMullen R. A., Nandy D. On the tilt and twist of solar active regions // Astrophys. J. -2004. -V. 611. -P. 1149-1155.

134. Hoyng P., Brown J. C., Van Beek H. F. High time resolution analysis ofsolar hard X-ray flares observed on board the ESRO TD-1A satellite // Solar Phys. -1976. -V. 48. -P. 197-254.

135. Hoyng P., Mochado M. E., Duijvenan A., et al. Hard X-ray imaging of two flares in active region 2372 // Astrophys. J. -1981. -V. 244. -P. L153-L156.

136. Huang P., Musielak Z. E., Uimschneider P. Numerical simulation of nonlinear MHD body and surface waves in magnetic slabs // Astron. Astrophys. -1999. -V. 342. -P. 300-310.

137. Ireland J., Walsh R. W., Harrison R. A., Priest E. R. A wavelet analysis of active region oscillations // Astron. Astrophys. -1999. -V. 347. -P. 355-365.

138. Ireland J., De Moortel I. Application of wavelet analysis to transversal coronal loop oscillations // Astron. Astrophys. -2002. -V. 391. -P. 339-351.

139. Jiang G.-S., Wu C. A high order WENO finite difference scheme for the equations of ideal magnerohydrodynamics //J. Coput. Phys. -1999. -V. 150. -P. 561-594.

140. Jiao L., McClymont A. N., Mikic Z. Reconstruction of the three-dimensional coronal magnetic field // Solar Phys. -1997. -V. 174. -P. 311-327.

141. Katsiyannis A. C., Williams D. R., Mc Ateer R. T. J., Gallagher P. T., Keenan F. P., Murtagh F. Eclipse observations of high-frequency oscillations in active region coronal loops // Astron. Astrophys. -2003. -V. 406. -P. 709714.

142. Khodachenko M., Haerendel G., Rucker H. O. Inductive electomagnetic effects in solar current-carrying magnetic loops // Astron. Astrophys. -2003. -V. 401. -P. 721-732.

143. King D. B., Nakariakov V. M., Deluca E. E., Golub L., McClements K. G. Propagating EUV disturbances in the Solar corona: Two-wavelength observations // Astron. Astrophys. -2003. -V. 404. -P. L1-L4.

144. Kislyakov A. G., Zaitsev V. V., Stepanov A. V., Urpo S. On the possibleconnection berween photospheric 5-min oscillation and solar flare microwave emission // Solar Phys. -2006. -V. 233. -P. 89-106.

145. Kjeldseth-Moe 0., Brekke P. Time variability of active region loops observed with the Coronal Diagnostic Spectrometer (CDS) on SoHO // Solar Phys. -1998. -V. 182. -P. 73-95.

146. Kliem B., Dammasch I. E., Curdt W., Wilhelm K. Correlated dynamics of hot and cool plasmas in the main phase of a solar flare // Astrophys. J. -2002. -V. 568. -P. L61-L65.

147. Klimchuk J. A. Cross-sectional properties of coronal loops // Solar Phys. -2000. -V. 193. -P. 53-70.

148. Klimchuk J. A., Antiochos S. K., Norton D. Twisted coronal magnetic loops // Astrophys. J. -2000. -V. 542. -P. 504-512.

149. Klimchuk J. A., Lemen J. R., Feld man U., Tsuneta S., Uchida Y. Thickness variations along coronal loops observed by the soft X-ray telescope on Yohkoh // Publ. Astron. Soc. Jap. -1992. -V. 44. -P. L181-L185.

150. Klimchuk J. A., Porter L. J. Scaling of heating rates in solar coronal loops // Nature. -1995. -V. 377. -P. 131-133.

151. Klimchuk J. A., Tanner S. E. M., De Moortel I. Coronal seismology and the propagation of acoustic waves along coronal loops // Astrophys. J. -2004. -V. 616. -P. 1232-1241.

152. Kobrin M. M., Korshunov A. I. On quasi-periodic components with periods from 30 to 60 min of amplitude fluctuations of X-band solar radio emission // Solar Phys. -1972. -V. 25. -P. 339-342.

153. Kouchmy S., Zhugzhda Y. D., Locans V. Short period coronal oscillations: observation and interpretation // Astron. Astrophys. -1983. -V. 120. -P. 185191.

154. Kryshtal A. N., Gerasimenko S. V. Slow magnetoacoustic-like waves in post-flare loops // Astron. Astrophys. -2004. -V. 420. -P. 1107-1115.

155. Kuzanyan K. M., Pipin V. V., Seehafer N. The alpha effect and observed twist and current helicity of solar magnetic fields // Solar Phys. -2006. -V. 233. -P. 185-204.

156. Lee J., White S. M., Gopalswamy N., Kundu M. R. Signatures of coronal currents in micriwave images // Solar Phys. -1997. -V. 174. -P. 175-190.

157. Lee J., McClymont A. N., Mikic Z., White S. M., Kundu M. R. Coronal currents, magnetic fields, and heating in a solar active region // Astrophys. J. -1998. -V. 501. -P. 853.

158. Leka K. D., Canfield R. C., McClymont A. N., Van Driel-Gerztelyi L. Evidence for current-carrying emerging flux // Astrophys. J. -1996. -V. 462. -P. 547-560.

159. Lenz D. D., DeLuca E. E., Golub L., Rosner R., Bookbinder J. A., Litwin C., Reale F., Peres G. Long-lived coronal loop profiles from TRACE // Solar Phys. -1999. -V. 190. -P. 131-138.

160. Levy D., Puppo G., Russo G. A third order central WENO scheme for 2D conservation laws // Appl. Numer. Math. -2000. -V. 33. -P. 415-421.

161. Levy D., Puppo G., Russo G. Compact central WENO schemes for multidimensional conservation laws // SIAM J. Sci. Comput. -2000. -V. 22. -P. 656672.

162. Litwin C., Rosner R. Alfven wave transmission and heating of solar coronal loops // Astrophys. J. -1998. -V. 499. -P. 945-951.

163. Longcope D. W., Welsch B. T. A model for the emergence of a twisted magnetic flux tube // Astrophys. J. -2000. -V. 545. -P. 1089-1100.

164. Longcope D. W., Fisher G. H., Pevtsov A. A. Flux-tube twist resulting from helical turbulence: the E-effect // Astrophys. J. -1998. -V. 507. -P. 417-432.

165. Lopez Fuentes M. S., Demoulin P., Mandrini C., Pevtsov A. A., Van Driel-Gesztelyi L. Magnetic twist and writhe of active regions. On the origin of deformed flux tubes // Astron. Astrophys. -2003. -V. 397. -P. 305-318.

166. Lopez Fuentes M. C., Klimchuk J. A., Demoulin P. The magnetic structure of coronal loops observed by TRACE // Astrophys. J. -2006. -V. 639. -P. 459-474.

167. Luo Q. Y., Feng X. S., Wei F. S. The role of nonlinear coupling in wave heating of coronal loop // Astrophys. J. -2004. -V. 603. -P. 753-759.

168. Malara F., De Franceschis M. F., Veltri P. Alfv?n wave propagation and dissipation in a 3D-structured compressible plasma // Astron. Astrophys. -2003. -V. 412. -P. 529-539.

169. Makhmutov V. S., Costa J. E. R., Raulin J.-P., Kaufmann P., Lagrotta P. R., Gimenez de Castro C. G., Magun A., Arzner K. Pulsations at the onset of the great solar burst of 22 October 1989 // Solar Phys. -1998. -V. 178. -P. 393-403.

170. Makhmutov V. S., Raulin J.-P., Gimenez de Castro C. G. et al. Wavelet decomposition of submillimeter solar radio bursts // Solar Phys. -2003. -V. 218. -P. 211-220.

171. Mandrini C. H., Demoulin P., Klimchuk J. A. Magnetic field and plasma scaling lows: their implications for coronal heating models // Astrophys. J. -2000. -V. 530. -P. 999-1015.

172. Mariska J. T. Observations of solar flare Doppler-shift oscillations with the Bragg Crystal Spectrometer on Yohkoh // Astrophys. J. -2005. -V. 620. -P. L67-L70.

173. Marsh M. S., Walsh R. W., De Moortel I. et al. Joint observations of propagating oscillations with SOHO/CDS and TRACE // Astron. Astrophys. -2003. -V. 404. -P. L37-L41.

174. McClymont A. N., Mikic Z. Thickness variations along coronal loops inferred from vector magnetograph data // Astrophys. J. -1994. -V. 422. -P. 899-905.

175. McEvan M. P., De Moortel I. Longitudinal intensity oscillations observed with TRACE: evidence of fine-scale structure // Astron Astrophys. -2006. -V. 448. -P. 763-770.

176. McKenzie D. E., Mullan D. J. Periodic modulation of X-ray intensity from coronal loops. Heating by resonant absorption? // Solar Phys. -1997. -V. 176. -P. 127-145.

177. McLean D. J., Sheridan K. W., Stewart R. T., Wild J. P. Regular pulses from the sun and a possible clue to the origin of solar cosmic rays // Nature. -1971. -V. 234. -P. 140.

178. McLean D. J., Sheridan K. W. A damped train of regular metre-wave pulses from the sun // Solar Phys. -1973. -V. 32. -P. 485-489.

179. Meerson В. I., Sasorov P. V., Stepanov A. V. Pulsations of type IV solar radio emission: The bounce-resonance effects // Solar Phys. -1978. -V. 58. -P. 165-179.

180. Melnikov V. F., Reznikova V. E., Shibasaki K., Nakariakov V. M. Spatially resolved microwave pulsations of a flare loop // Astron. Astrophys. -2005. -V. 439. -P. 727-736.

181. Melrose D. B. Neutralized and unneutralized current patterns in the solar corona // Astrophys. J. -1991. -V. 381. -P. 306-312.

182. Mendoza-Briceno C. A., Erdelyi R., Di G., Sigalotti L. The effects of stratification on oscillating coronal loops // Astrophys. J. -2004. -V. 605. -P. 493-502.

183. Mikhalyaev В. B. Short-wave oscillations of coronal magnetic arcades // Solar Phys. -2006. -237. -P. 123-142.

184. Mikhalyaev В. В., Kiritchek E. A. The model of sigmoidal flare structure. Межд. конф. "Солнце в максимуме активности и солнечно-звездные аналогии", 17-22 сентября 2000 г., ГАО РАН, СП-б. Сб. тезисов докл. ГАО РАН. -2000. С. 90-91.

185. Mikhalyaev В. В., Solov'ev A. A. The oscillations of coronal loops including the shell // Solar Physics. -2005. -V. 227. -P. 249-263.

186. Minarovjech M., Rusin V., Rybansky M., Sakurai T., Ichimoto K. Oscillations in the coronal green-line intensity observed at Lominicky Stit and Norikura nearly simultaneously // Solar Phys. -2003. -V. 213. -PP. 269-290.

187. Muravski K., Aschwanden M. J., Smith J. M. Impulsively generated MHD waves and their detectability in solar coronal loops // Solar Phys. -1998. -V. 179. -P. 313-326.

188. Murawski K., Selwa M., Nocera L. Numerical simulations of fast magnetosonic waves in a curved coronal loop // Astron. Astrophys. -2005. -V. 437. -P. 687-690.

189. Murawski K., Selwa M., Rossmanith J. A. Numerical simulations of vertical oscillations of a curved coronal loop // Solar Phys. -2005. -V. 231. -P. 87-94.

190. Nakariakov V. M., Arber T. D., Ault C. E., Katsiyannis A.C., Williams D. R., Keenan F. P. Time signatures of impulsively generated coronal fast wave trains // Mon. Not. Royal Astron. Soc. -2004. -V. 349. -P. 705-709.

191. Nakariakov V. M., Foullon C., Verwichte E., Young N. P. Quasi-periodic modulation of solar and stellar flaring emission by magnetohydrodynamic oscillations in a nearby loop // Astron. Astrophys. -2006. -V. 452. -P. 343346.

192. Nakariakov V. M., Melnikov V. F., Reznikova V. E. Global sausage modes of coronal loops // Astron. Astrophys. -2003. -V. 412. -P. L7-L10.

193. Nakariakov V. M., Ofman L., Deluca E. E., Roberts B., Davila J. M. TRACE observation of damped coronal loop oscillations: Implications for coronal heating // Science. -1999. V. 285. -P. 862-864.

194. Nakariakov V. M., Ofman L. Determination of the coronal magnetic field by coronal loop oscillations // Astron. Astrophys. -2001. -V. 372. -P. L53-L56.

195. Nakariakov V. M., Roberts B., Murawski K. Alfvén wave phase mixing asa source of fast magnetosonic waves // Solar Phys. -1997. -V. 175. -P. 93-105.

196. Nakariakov V. M., Tsiklauri D., Kelly A., Arber T. D., Aschwanden M. J. Acoustic oscillations in solar and stellar flaring loops // Astron. Astrophys. -2004. -V. 414. -P. L25-L28.

197. Nakariakov V.M., Stepanov A.V. Quasi-periodic pulsations as a diagnostictool for coronal plasma parameters // Lecture Notes in Phys. Springer. -2006 (in press).

198. Nakariakov V.M., Verwichte E. Coronal Waves and Oscillations, http: //solarphysics.livingreviews.org/Irsp-2005-3.

199. Nakariakov V. M., Verwichte E., Berghmans D., Robbrecht E. Slow magne-toacoustic waves in coronal loops // Astron. Astrophys. -2000. -V. 362. -P. 1151-1157.

200. Narain U., Agarwal P., Sharma R. K. et al. On coronal loop heating by torsional waves // Solar Phys. -2001. -V. 199. -P. 307-315.

201. Nightingale R. W., Aschwanden M. J., Hurlburt N.E. Time variability of EUV brightenings in coronal loops observed with TRACE // Solar Phys. -1999. -V. 190. -P. 249-265.

202. Newcomb W. A. Hydromagnetic stability of a diffusive linear pinch // Annals of Physics. -1960. -V. 10. -P. 232-267.

203. Ofman L., Nakariakov V. M., De Forest C. E. Slow magnetosonic waves in coronal plumes // Astrophys. J. -1999. -V. 514. -P. 441-447.

204. Ofman L. Chromospheric leakage of Alfven waves in coronal loops // Astrophys. J. -2002. -V. 568. -P. L135-L138.

205. Ofman L., Aschwanden M. J. Damping time scaling of coronal loop oscillations deduced from Transition Region and Coronal Explorer observations // Astrophys. J. -2002. -V. 576. -P. L153-L156.

206. Ofman L., Wang T. J. Hot coronal loops observed by SUMER: slow magnetosonic wave damping by thermal conducting // Astrophys. J. -2002. -V. 580. -P. L85-L88.

207. Ofman L. MHD waves and heating in coronal holes // Space Sci. Rev. -2005. -V. 120. -P. 67-94.

208. Ofman L., Romoli M., Noci G. et al. SoHO observations of density fluctuations in coronal holes // Space Sci. Rev. -2005. -V. 120. -P. 287-290.

209. Ogrodowczyk R., Murawski K. Numerical simulation of impulsively generated magnetosonic waves in a coronal loop // Solar Phys. -2006. -V. 236. -P. 273-283.

210. Oliver R., Ballester J.L., Hood A.W., Priest E.R. Magnetohydrodynamic waves in a potential coronal arcade // Astron. Astrophys. -1993. -V. 273. -P. 647-658.

211. Oliver R., Hood A.W., Priest E.R. Magnetohydrodynamic waves in solar coronal arcades // Astrophys. J. -1996. -V. 461. -P. 424-444.

212. Pandey V. S., Dwivedi B. N. Strong and weak damping of slow MHD standing waves in hot coronal loops // Solar Phys. -2006. -V. 236. -P. 127136.

213. Pasachoff J. M., Babcock B. A., Russell K. D., McConnochie T. H., Diaz J. S. A search at two eclipses for short-period waves that heat the corona // Solar Phys. -2000. -V. 195. -P. 281-298.

214. Pasachoff J. M., Babcock B. A., Russell K. D., Seaton D. B. Short-period waves that heat the corona detected at the 1999 eclipse // Solar Phys. -2002. -V. 207. -P. 241-257.

215. Pevtsov A. A., Canfield R. C. On the subphotospheric origin of coronal rlectric currents // Astrophys. J. -1997. -V. 481. -P. 973-977.

216. Qin Z., Li C., Fu Q. et al. Dual pulsations in solar radio bursts at short centimeter wavelengths // Solar Phys. -1996. -V. 163. -P. 383-396.

217. Raadu M. A. Suppression of the kink instability for magnetic flux ropes in the chromosphere // Solar Phys. -1972. -V. 22. -P. 425-433.

218. Ramesh R., Kathiravan C., Satya Narayanan A., Ebenezer E. Metric observations of transient, quasi-periodic radio emission from the solar corona in association with a "halo"CME and an "EIT wave"event // Astron. Astrophys. -2003. -V. 400. -P. 753-758.

219. Robbrecht E., Verwichte E., Berghmans D., Hochedez J. F., Poedts S., Nakariakov V. M. Slow magnetoacoustic waves in coronal loops: EIT and TRACE // Astron. Astrophys. -2001. -V. 370. -P. 591-601.

220. Roberts B. Waves and oscillations in the corona // Solar Phys. -2000. -V. 193. -P. 139-152.

221. Roberts B., Edwin P. M., Benz A. 0. On coronal oscillations // Astrophys. J. -1984. -V. 279. -P. 857-865.

222. Roberts B. Slow MHD waves in the solar atmosphere // Roy. Soc. London. Trans. Ser. A. -2006. -V. 364. -P. 447-460.

223. Rosenberg H. Evidence for MHD pulsations in the solar corona // Astron. Astrophys. -1970. -V. 9. -P. 159-162.

224. Ruderman M. S., Roberts B. The damping of coronal loop oscillations // Astrophys. J. -2002. -V. 577. -P. 475-486.

225. Ruderman M. S., Roberts B. Leaky and non-leaky kink-oscillations of magnetic flux tubes //J. Plasma Phys. -2006. -V. 72. -P. 285-308.

226. Ruderman M. S., Roberts B. Comments on "Note on the initial value problem for coronal loop kink waves"by P. S. Cally // Solar Phys. -2006. -V. 237. -P. 119-121.

227. Sakai J. I., Kawata T., Yoshida K., Furusawa K., Cramer N. F. Simulation of a collision berween shock waves and a magnetic flux tube: excitation of surface Alfven waves and body Alfven waves // Astrophys. J. -2000. -V. 537. -P. 1063-1072.

228. Sakurai T., Ichimoto K., Raju K. P., Singh J. Spectroscopic observation of coronal waves // Solar Phys. -2002. -V. 209. -P. 265-286.

229. Schrijver C. J., Aschwanden M. J., Title A. M. Transverse oscillations in coronal loops observed with TRACE. I. An overview of events, movies and a discussion of common properties and required conditions // Solar Phys. -2002. -V. 206. -P. 69-98.

230. Schrijver C. J., Brown D. S. Oscillations in the magnetic field of the solar corona in response to flares near the photosphere // Astrophys J. -2000. -V. 537. -P. L69-L72.

231. Schrijver C.J., Title A. M., Berger T. E., et al. A new view of the solar outer atmosphere by the Transition Region and Coronal Explorer // Solar Phys. -1999. -V. 187. -P. 261-302.

232. Selwa M., Murawski К. Numerical simulations of impulsively generated mass density perturbations in a solar coronal loop // Astron. Astrophys. -2004. -V. 425. -P. 719-724.

233. Selwa M., Murawski K., Kowal G. Three-dimensional numerical simulations of impulsively generated MHD waves in solar coronal loops // Astron. Astrophys. -2004. -V. 422. -P. 1067-1072.

234. Selwa M., Murawski K., Solanki S. K., Wang T. J., Toth J. Numerical simulations of vertical oscillations of a solar coronal loop // Astron. Astrophys. -2005. -V. 440. -P. 385-390.

235. Seyerny A. Solar magnetic fields // Space Sci. Rev. -1964. -V. 3. -P. 451486.

236. Singh J., Cowsik R., Raveendran A. V., Bagare S. P., Saxena A. K., Sundararaman K., Krishan V., Naidu N. Detection of short-period coronal oscillations during the total solar eclipse of 24 october, 1995 // Solar Phys. -1997. -V. 170. -P. 235-252.

237. Smith J.M., Roberts В., Oliver R. Ducted fast waves in coronal loops: curvature effects // Astron. Astrophys. -1997. -V. 317. -P. 752-760.

238. Solov'ev A. A., Mikhalyaev В. В., Kirichek E. A. The oscillations of coronal loops: the radiative damping effects. VI съезд Евраз. Астрон. общества. 2531 мая 2002 г., Москва, МГУ, ГАИШ. Тезисы докл. МГУ. -2002. -С. 96.

239. Spruit H. S. Propagation speeds and acoustic damping of waves in magnetic flux tubes // Solar Phys. -1982. -V. 75. -P. 3-17.

240. Stenuit H., Tirry W. J., Keppens R., Goossens M. Leaky and resonantly damped flux tube modes reconsidered // Astron. Astrophys. -1999. -V. 342. -P. 863-866.

241. Stepanov A. V., Urpo S., Zaitsev V. V. Diagnostics of solar-flare and evaporated plasma using mm-wave emission // Solar Phys. -1992. -V. 140. -P. 139-148.

242. Stix M. Tube waves: Exact and approximate // Astron. Astrophys. -2004. -V. 415. -P. 751-754.

243. Subramanian K. R., Ebenezer E. Post-flare pulsations in the 54-78 MHzfrequency band // Solar Phys. -2003. -V. 218. -P. 221-226.

244. Tapping K. F. Meter wavelength pulsating bursts during the May 21,1972, solar noise storm // Solar Phys. -1978. -V. 59. -P. 145-158.

245. Tapping K. F. A torsional wave model for solar radio pulsations // Solar Phys. -1983. -V. 83. -P. 177-186.

246. Terradas J., Ofman L. Loop density enhancement by nonlinear magnetohy-drodynamic waves // Astrophys. J. -2004. -V. 610. -P. 523-531.

247. Terradas J., Oliver R., Ballester J.L. Magnetohydrodynamic waves in coronal magnetostatic arcades // Astrophys. J. -1999. -V. 517. -P. 488-496.

248. Terradas J., Oliver R., Ballester J. L. On the excitation of trapped and leaky modes in coronal slabs // Astron. Astrophys. -2005. -V. 441. -P. 371378.

249. Terradas J., Oliver R., Ballester J. L. The excitation and damping of transversal coronal loop oscillations // Astrophys. J. -2005. -V. 618. -P. L149-L152.

250. Terradas J., Oliver R., Ballester J. L. Damped coronal loop oscillations: time-dependent results // Astrophys. J. -2006. -V. 642. -P. 533-540.

251. Terra-Homem M., Erdelyi R., Ballai I. Linear and nonlinear MHD wave propagation in steady-state magnetic cylinder // Solar Phys. -2003. -V. 217. -P. 199-223.

252. Tsiklauri D., Arber T., Nakariakov V. M. A weakly nonlinear Alfvén pulse in a transversely inhomogeneous medium // Astron. Astrophys. -2001. -V. 379. -P. 1098-1105.

253. Tsiklauri D., Nakariakov V. M. Wide-spectrum slow magnetoacoustic waves in coronal loops // Astron. Astrophys. -2001. -V. 379. -P. 1106-1112.

254. Tsiklauri D., Nakariakov V. M. A three dimensional magnetohydrodynamic pulse in a transversely inhomogeneous medium // Astron. Astrophys. -2002. -V. 393. -P. 321-329.

255. Tsiklauri D., Nakariakov V. M., Arber T. D., Aschwanden M. J. Flare-generated acoustic oscillations in solar and stellar coronal loops // Astron. Astrophys. -2004. -V. 422. -P. 351-355.

256. Tsuneta S., Acton L., Bruner M., et al. The soft X-ray telescope for the SOLAR-A mission // Solar Phys. -1991. -V. 136. -P. 37-67.

257. Uchida Y. Diagnostics of coronal magnetic structure by flare-associated hydromagnetic disturbances // Publ. Astron. Soc. Japan. -1970. -V. 22. -P. 341-364.

258. Uchida Y., Kaburaki 0. Excess heating of corona and chromosphere above magnetic regions by non-linear Alfven waves // Solar Phys. -1974. -V. 35. -P. 451-466.

259. Uchida Y., Title A., Kubo M., Tanaka T., Morita S., Hirose S. TRACE observation of an arcade flare showing evidence supporting quadruple magnetic source model for arcade flares // Publ. Astron. Soc. Japan. -2003. -V. 55. -P. 305-312.

260. Uralov A. M., Rudenko G. V., Rudenko I. G. 17 GHz neutral line associated sources: birth, motion, and projection effect // Publ. Astron. Soc. Japan. -2006. -V. 58. -P. 21-28.

261. Valori G., Kliem B., Keppens R. Extrapolation of a nonlinear force-free field containing a highly twisted magnetic loop // Astron. Asrtophys. -2005. -V. 433. -P. 335-347.

262. Van der Linden R. A. M., Hood A. W., Goedbloed, J. P. The influence of line-tying on coronal perturbations in a gravitationally stratified equilibrium // Solar Phys. -1994. -V. 154. -P. 69-96.

263. Van Doorsselaere T. , Andries J., Poedts S., Goossens M. Damping of coronal loop oscillations: calculation of resonantly damped kink oscillations of one-dimensional nonuniform loops // Astrophys. J. -2004. -V. 606. -P. 1223-1232.

264. Van Doorsselaere T., Arregui I., Andries J., Goossens M., Poedts S. Dynamics of coronal loop oscillations recent impruvements and computational aspects // Space Sci. Rev. -2006. -V. 121. -P. 79-89.

265. Veinberg S. Eikonal method in magnetohydrodynamic // Phys. Rev. -1962. -V. 126. -P. 1899-1909.

266. Verwichte E., Foullon C., Nakariakov V. M. Fast magnetoacoustic waves incurved coronal loops. I. A trapped and leaky modes // Astron. Astrophys. -2006. -V. 446. -P. 1139-1149.

267. Verwichte E., Foullon C., Nakariakov V. M. Fast magnetoacoustic waves in curved coronal loops. II. Tunneling modes // Astron. Astrophys. -2006. -V. 449. -P. 769-779.

268. Verwichte E., Foullon C., Nakariakov V. M. Seismology of curved coronal loops with vertically polarised transverse oscillations // Astron. Astrophys. -2006. -V. 452. -P. 615-622.

269. Verwichte E., Nakariakov V. M., Cooper F. C. Transverse waves in a post-flare supre-arcade // Astron. Astrophys. -2005. -V. 430. -P. L65-L68.

270. Verwichte E., Nakariakov V. M., Ofman L., DeLuca E. E. Characteristics of transverse oscillations in a coronal loop arcade // Solar Phys. -2004. -V. 223. -P. 77-94.

271. Wang H. Analyses of vector magnetograms in flare-productive active regions // Solar Phys. -1997. -V. 174. -P. 163-173.

272. Wang J. Development of magnetic shear // Solar Phys. -1994. -V. 155. -P. 285-300.

273. Wang J. A note on the evolution of magnetic helicity in active regions // Solar Phys. -1996. -V. 163. -P. 319-325.

274. Wang T. J., Solanki S. K. Vertical oscillations of a coronal loop observed by TRACE // Astron. Astrophys. -2004. -V. 421. -P. L33-L36.

275. Wang T. J., Solanki S. K., Curdt W. et al. Doppler shift oscillations of hot solar coronal plasma seen by SUMER: a signature of loop oscillations? // Astrophys. J. -2002. -V. 574. -P. L101-104.

276. Wang T. J., Solanki S. K., Curdt W., Innés D. E., Dammasch I. E., Kliem B. Hot coronal loop oscillations observed with SUMER: Examples and statistics // Astron. Astrophys. -2003. -V. 406. -P. 1105-1121.

277. Wang T. J., Solanki S. K., Innés D. E., Curdt W. Initiation of hot coronal loop oscillations: Spectral features // Astron. Astrophys. -2005. -V. 435. -P. 753-764.

278. Wang T. J., Solanki S. K., Innés D. E., Curdt W., Marsh E. Slow-modestanding waves observed by SUMER in hot coronal loops // Astron. Astrophys. -2003. -V. 402. -P. L17-L20.

279. Wang M., Xie R. X. Quasi-periodic long-term solar radio pulsations during a decimetric type IV burst // Solar Phys. -1997. -V. 176. -P. 171-179.

280. Watko J. A., Klimchuk J. A. Width variations along coronal loops observed by TRACE // Solar Phys. -2000. -V. 193. -P. 77-92.

281. Wentzel D. G. Coronal heating by Alfven waves // Solar Phys. -1974. -V. 39. -P. 129-140.

282. Wheatland M. S. Are electric currents in solar active regions neutralized? // Astrophys. J. -2000. -V. 532. -P. 616-621.

283. Williams D. R., Phillips K. J. H., Rudawy P., et al. High-frequency oscillations in a solar active region coronal loop // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. -2001. -V. 326. -P. 428-436.

284. Williams D. R., Mathioudakis M., Gallagher P. T., et al. An observational study of a magneto-acoustic wave in the solar corona // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. -2002. -V. 336. -P. 747-752.

285. Wills-Davey M. J., Thompson B. J. Observations of a propagating disturbance in TRACE // Solar Phys. -1999. -V. 190. -P. 467-483.

286. Wilson P. R. The general disprsion relation for the vibration modes of magnetic flux tubes // Astron Astrophys. -1980. -V. 87. -P. 121-125.

287. Wu S. T., Xiao Y. C., Musielak Z. E., Suess S. T. Propagation of MHD bogy and surface waves in magnetically structured regions of the solar atmosphere // Solar Phys. -1996. -V. 163. -P. 291-307.

288. Yan Y., Sakurai T. Analysis of Yohkoh SXT coronal loops and calculated force-free magnetic field lines from vector magnetograms // Solar Phys. -1997. -V. 174. -P. 65-71.

289. Zaitsev V. V., Stepanov A. V. Towards the circuit theory of solar flares // Solar Phys. -1992. -V. 139. -P. 343-356.

290. Zaitsev V. V., Stepanov A. V., Urpo S., Pohjolainen S. LRC-circuit analog of current-carrying magnetic loop: diagnostics of electric parameters // Astron. Astrophys. -1998. -V. 337. -P. 887-896.

291. Zaitsev V. V., Urpo S., Stepanov A. V. Temporal dynamics of Joule heating and DC-electric field acceleration in single flare loop // Astron. Astrophys. -2000. -V. 357. -P. 1105-1114.

292. Zhugzhda Y. D. Force-free thin flux tubes: basic equations and stability // Phys. Plasmas. -1996. -V. 3. -P. 10-21.

293. Zhugzhda Y. D., Goossens M. Hidden problems of thin-flux-tube approximation // Astron. Astrophys. -2001. -V. 377. -P. 330-342.

294. Zhugzhda Y. D., Nakariakov V.M. Latent heating of coronal loops // Solar Phys. -1997. -V. 175. -P. 107-121.