Теоретическое исследование оптических свойств металлов, взаимодействующих с фемтосекундными лазерными импульсами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская академия наук

Учреждение Российской академии нау Физический институт им. П.Н.Лебедева ]

Бежанов Станислав Георгиевич

Теоретическое исследование оптических свойств металлов, взаимодействующих с фемтосекундными лазерными импульсами

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 2011

Москва - 2011

4858986

Работа выполнена в Секторе теории плазменных явлений Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н.Лебедева РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Урюпин С.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гореславский С.П.

доктор физико-математических наук, профессор Платоненко В.Т.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии

наук Институт общей физики им. А.М.Прохорова РАН

Защита состоится 28 ноября 2011 года в 12:00 на заседании Диссертационного совета Д002.23.02 при Учреждении Российской академии наук Физическом институте им. П.Н.Лебедева РАН по адресу: 119991 Москва, Ленинский проспект, д.53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н.Лебедева РАН.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте www.lebedev.ru

Автореферат разослан « » 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д002.23.02

доктор физико-математических наук, профессор^^/^Д^томин Я.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Создание лазеров, позволяющих генерировать импульсы длительностью в несколько десятков фемтосекунд, сделало возможным изучение множества явлений, ранее недоступных для непосредственного экспериментального наблюдения. Помимо фундаментальных исследований, фемтосекунд-ные/импульсы нашли широкое применение в прикладных областях. Сюда можно отнести лазерную абляцию металлов [1] и диэлектриков [2], изменение физических характеристик поверхностей [3], формирование ультракоротких электронных пучков [4], создание наноструктур [5], термоядерный синтез [6].

Обычно линейный оптический отклик вещества описывается формулами Френеля (см., например, [7]), связывающими поле отраженной волны с полем падающей волны, которые получаются для среды с однородной диэлектрической проницаемостью. По измерению отклика металла на основной частоте можно получать информацию о таких характеристиках металла, как концентрация электронов проводимости, скорость электронов на поверхности Ферми, эффективные частоты соударений электронов. В современных экспериментах по взаимодействию фемтосекундных импульсов лазерного излучения с металлами сравнительно просто реализуются условия, в которых за время воздействия импульса решетка остается относительно холодной, а электроны нагреваются за время меньшее, чем время выноса тепла из скин-слоя. При этом изменяющаяся во времени температура электронов оказывается существенно неоднородной по скин-слою и значительно превышает температуру решетки. Такое состояние металла является сильно неравновесным, и частота электрон-электронных столкновений в нем может быть сравнима и даже превышать частоту электрон-фононных столкновений. В равновесном металле вклад электрон-электронных столкновений в оптические и электрические свойства обычно несущественен. В условиях аномального скин-эффекта это показано, например, в работе [8].

Неоднородность температуры электронов на масштабе порядка глубины скин-слоя ведет к неоднородности частоты столкновений электронов и диэлектрической проницаемости металла. Теории взаимодействия электромагнитных волн с неоднородными средами посвящено много работ (см.[9]). В них рассматривается или точное решение уравнений Максвелла в среде с модельным видом неоднородности диэлектрической проницаемости [10], или их приближенное решение [11]. Приближенные решения строятся в виде ряда по малому или большому параметру отношения длины волны к масштабу неоднородности (см., например, [12]). Возможен и иной подход, когда поле ищется в виде ряда по малому параметру отношения неоднородной частоты столкновений электронов к частоте поля [13, 14]. Таким образом, если исследуется отклик металла на воздействие фемтосекундного импульса, то неоднородность металла на масштабах скин-слоя и неравновесность его состояния приводят к необходимости пересмотра оптических свойств, описанных, например, в [15, 16].

Помимо изучения отражения волн на основной частоте, сведения о свойствах металла можно получать и исследуя его нелинейный отклик [17]. Генерация гармоник оптического излучения при облучении поверхностей твердых тел была открыта еще в начале 60-х годов, почти сразу после изобретения лазера [18, 19]. С тех пор предлагалось много различных моделей, описывающих это явление. Использовались квантовомеханический [20], кинетический [21] и гидродинамический [22] подходы к описанию нелинейного отклика вещества на воздействие внешнего излучения. Для изучения генерации гармоник, являющейся нелинейным по полю явлением, следует использовать лазерные импульсы с высокими плотностями потока энергии. Лазеры, доступные в 60-х-80-х годах позволяли генерировать мощные импульсы сравнительно большой длительности, при воздействии которых кристаллическая решетка разрушалась, и исследование неравновесного твердотельного состояния было затруднительно. С появлением фемтосекундных лазеров стало возможным экспериментальное изучение взаимодействия мощных электромагнитных импульсов с твердым телом с

хорошим временным разрешением, а также создание недоступных ранее неравновесных состояний в металлах. В связи с этим представляет интерес теоретическое изучение нелинейных оптических свойств, в том числе генерации гармоник, в металлах, состояние которых далеко от равновесного.

Характеристики металла, влияющие на упомянутые выше оптические свойства, зависят от температур электронов и решетки, эволюция которых традиционно описывается с использованием двухтемпературной модели [23, 24]. За прошедшие пятьдесят лет эта модель значительно усовершенствована и позволяет описывать термоэластичность, релаксацию нетепловых электронов, баллистический перенос энергии электронами (см. [25, 26]). Важными параметрами в уравнениях этой модели, знание которых необходимо для интерпретации, планирования и моделирования экспериментов с неравновесными металлами, являются частоты электрон-электронных столкновений. Для энергии, не слишком высокой по сравнению с энергией Ферми, квадратичная зависимость частот электрон-электронных столкновений от температуры следует из простых следствий фсрми-жидкостного рассмотрения металла (см., напр., [27]). Однако вычисление точных значений частот столкновений представляет собой значительные трудности, связанные с необходимостью учета реальной зонной структуры металла [28, 29, 30]. В связи с этим представляется важным построение теории, позволяющей указать на возможность непосредственного экспериментального определения частот столкновений электронов, как это сделано, например, в [31].

Цели диссертационной работы

Цели данной работы: теоретическое изучение отражения и поглощения электромагнитных волн металлом, быстро нагреваемым фемтосекундным лазерным импульсом и имеющим вследствие этого нагрева неоднородость диэлектрической проницаемости на масштабах скин-слоя; исследование генерации второй и третьей гармоник металлом с горячими электронами; изучение возможности определения частот электрон-электронных столк-

новений по измерениям плотностей потока излучения второй и третьей гармоник и коэффициента отражения волны на основной частоте.

Задачи диссертационной работы

1. Решить задачу о проникновении е- и р-поляризованного электромагнитного излучения в металл, имеющий неоднородность диэлектрической проницаемости на масштабе скин-слоя.

2. Дать теоретическое описание влияния столкновений электронов на генерацию второй и третьей гармоник быстро нагреваемым металлом.

3. Получить численное решение системы уравнений для полей и температур электронов и решетки при воздействии на металл греющего фем-тосекундного лазерного импульса.

4. Исследовать влияние быстрого неоднородного нагрева металла на коэффициент поглощения, сдвиг фазы отраженной волны и эффективности генерации второй и третьей гармоник.

Положения, выносимые на защиту

1. В условиях быстрого неоднородного нагрева металла лазерным импульсом фемтосекундной длительности дано количественное описание отражения и поглощения пробной электромагнитной волны. В случае частот излучения как меньших, так и больших частоты столкновений электронов, вычислены коэффициенты поглощения и сдвиг фазы отраженной волны. Тогда, когда температура электронов неоднородна по скин-слою, выявлено существенное отличие величин коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны от их значений, получаемых при использовании формул Френеля.

2. Изучена генерация второй гармоники быстро нагреваемым металлом в условиях смешения нормально падающей греющей волны и падающей

под углом к нормали з-поляризованной пробной волны. Показано, что при смешении этих волн генерируется три волны с удвоенной частотой, распространяющиеся под разными углами к поверхности. Две из генерируемых волн имеют р-поляризацию. Одна из них распространяется под углом отражения пробной волны, а другая - под углом, меньшим угла отражения. Третья волна на частоте второй гармоники имеет а-поляризацию и распространяется под углом, меньшим угла отражения. Установлено, как наличие волны накачки при учете столкновений электронов позволяет снять запрет на генерацию э-поляризованной второй гармоники при воздействии на гладкую однородную поверхность в-поляризованного излучения на основной частоте.

3. В случае, когда частота излучения много больше частоты столкновений электронов, исследована эволюция во времени эффективности генерации гармоник, генерируемых в скин-слое металла при смешении пробной и греющей волн. Показано, что эффективности генерации р-поляризованных гармоник слабо зависят от частоты столкновений электронов и незначительно уменьшаются с ростом их температуры. Напротив, эффективность генерации э-поляризованной второй гармоники пропорциональна квадрату частоты столкновений электронов и сильно изменяется при быстром нагреве электронов металла.

4. Изучена генерация третьей гармоники в скин-слое металла с горячими электронами в случае нормального скин-эффекта, когда частота столкновений электронов превышает частоту излучения. Показано, что возникающие при нагреве электронов колебания температуры с удвоенной частотой приводят к генерации третьей гармоники основной волны. Найдена плотность потока излучения на частоте третьей гармоники, которая пропорциональна квадрату частоты электрон-электронных столкновений, определяющей статическую проводимость.

5. Показано, что по измерениям коэффициента поглощения, сдвига фазы отраженной волны и плотностей потока энергии второй и третьей гар-

моник можно получать информацию о частотах электрон-электронных столкновений, определяющих теплопроводность и высокочастотную проводимость металла.

Научная и практическая ценность

Полученные в главах 3 и 4 зависимости коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны в условиях быстрого неоднородного нагрева металла представляют интерес для интерпретации и планирования экспериментов по взаимодействию фемтосекундных импульсов с металлами.

В главе 5 предсказано существование Б-поляризованной второй гармоники, возникающей при смешении пробной ¡з-волны и греющей металл волны. Установленная квадратичная зависимость эффективности генерации этой гармоники от частоты столкновений электронов позволяет использовать гармонику для изучения сильно неравновесных состояний металла.

В главе 6 получено выражение для эффективности генерации третьей гармоники горячими электронами металла, пропорциональное квадрату частоты электрон-электронных столкновений. Показано, как по измерениям плотности потока энергии на утроенной частоте можно определить частоту столкновений электронов, определяющую статическую проводимость металла.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2009), XXXVII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2010), международной конференции по когерентной и нелинейной оптике "ЮОШ/ЬАТ 2010"(Казань, 2010), Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2011), XXXVIII Международной (Звенигород-

ской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2011).

Публикации

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [А1-А6], трудах [А7] и тезисах конференций [А8-А13].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 116 стр., включая 29 рисунков. Список литературы состоит из 105 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении дан обзор литературы, посвященной оптическим свойствам металлов, приведены наиболее важные результаты, используемые в диссертации. Сформулированы цели исследования и задачи, которые ставились и решались для достижения этих целей. Перечислены положения, определяющие научную новизну диссертации и выносимые на защиту.

В главе 2 представлена модель, используемая для описания оптических свойств металла.

В разделе 2.1 приведены уравнения, описывающие электромагнитное поле в металле, температуры электронов и решетки. Указаны параметры, входящие в эти уравнения, их зависимости от температур электронов и решетки.

Эволюция температуры электронов Те и решетки T¡a( описывается уравнениями двухтемпературной модели

Се^Те = -Vq + Q- G(Te - Tte), (1)

д

QatQjTiat = G(Te - Ты), (2)

где Се и - теплоемкости электронов и решетки, я - тепловой поток, (7 - константа связи электронов с решеткой, <3 - тепло, выделяющееся в единицу времени в единице объема электронной подсистемы. Важными параметрами, определяющими величины Сч, а также входящими в уравнения для поля в металле, являются частоты электронных столкновений. Для частоты электронных столкновений в чистом нормальном металле имеет место соотношение

Т. £2Т2

^ = во < Г;, Те, ТШ, Те « Ер/кВ, (3)

где - частота электрон-фононных столкновений при температуре решетки Тикв - постоянная Больцмана, Н — постоянная Планка, £р ~ энергия Ферми, а - численный коэффициент, величина которого зависит от вида зонной структуры металла, 60 - температура Дебая. Если металл взаимодействует с электромагнитным полем частотыш > и, то частота (3) входит в формулу диэлектрической проницаемости модели Друде:

ш2

Ф) =е0- . * . (4)

где изр - плазменная частота, е0 - диэлектрическая проницаемость, обусловленная связанными электронами и решеткой. Аналогичная зависимость от температур имеет место и для частоты столкновений, определяющей коэффициент теплопроводности, но с другой частотой электрон-фононных столкновений ф г/ер и другим численным коэффициентом 6 ^ о, определяющим электрон-электронные столкновения:

Такая частота входит и в формулу для диэлектрической проницаемости (4), если частота воздействующего на металл поля мала по сравнению с и и имеет место закона Видемана-Франца.

В разделе 2.2 в приближении медленной амплитуды записаны уравнения для амплитуд скоростей электронов, температур электронов и решетки, электрического и магнитного полей, изменяющихся на частотах 5ш, в = 0,1,2,3, решение которых представлено в главах 3-6.

В главе 3 изучено отражение и поглощение металлом фемтосекундного электромагнитного импульса в-поляризованной волны [А1].

В разделе 3.1 приведено решение задачи об отражении б-волны однородным металлом и записаны формулы Френеля, описывающие его оптические свойства. Указаны физические условия, в которых использование выражений, полученных в предположении об однородности среды, может привести к неверной интерпретации данных эксперимента.

В разделе 3.2 сформулирована задача о взаимодействии электромагнитной волны, падающей под углом в к нормали на металл, неоднородный на масштабах порядка глубины скин-слоя 6,. В случае, если отношение частоты столкновений и к частоте излучения и мало, то диэлектрическая проницаемость представлена в виде ряда по малому параметру этого отношения:

где £'0 и е'0' - действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости, обусловленной связанными электронами и решеткой. Показано, что в случае неоднородного металла вместо формул Френеля следует пользоваться следующими формулами:

£(г)=£1+г£2(2) + &1(г),

(6)

£1 = £о--|. Ф) = + -75-. <Mг) = -iЧ—

(7)

2соэ0 (е2)

(8)

tSíríфs =

2 сое в \Л;т2 в -

(-£1-00829)

1 Ы2

1

1 1 - £1 (бе1) ~ 2 (-6! - сж2в) (вт2 0 - е{) 1 1-ех (&} 4(-е1-соз2£>) (зт20-£1)2

(9)

8(зт20-£1)2

где

оо

оо

О

О

2 00 Е[г) = ± I йг'ф'), (Е]) = ^ йгЩ{г) ехр . (11)

о о

Для случая, когда параметр р/ш может быть как много меньше единицы, так и превышать ее, сформулирована система уравнений для температур и поля, решение которой необходимо проводить численно. Приведена интерполяционная формула для диэлектрической проницаемости, учитывающая изменение частоты столкновений и от выражения (5) в области ^Сшк выражению (3) в области

В разделе 3.3 на основании справочных данных приведены физические характеристики золота, которые использовались в последующих численных расчетах. Построены графики зависимости действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости золота, обусловленных связанными электронами и решеткой, от частоты излучения.

В разделе 3.4 для типичных условий эксперимента приведены результаты численных расчетов температур электронов и решетки в случае, когда частота столкновений электронов не превышает частоту излучения. При вычислениях использовался импульс, плотность потока излучения в котором изменялась во времени по закону /рттр(г) = ■/рцтре-'5^, где время tp связано с длительностью импульса тр, определяемой по полувысоте функции 1ритр&), соотношением тр = 2£р 1п 2. Вычисления проводились для а = 1,6 = 2, определенных в работе [31] по обработке экспериментальных данных из [32]. Эволюция температур электронов и решетки представлена на рис.1, а эволюция коэффициента поглощения и сдвига фазы - на рис.2. Приближенное аналитическое описание оптических свойств формулами (8),(9) при V < и хорошо согласуется с численным расчетом. Как видно из рис.2, формулы Френеля завышают значение коэффициента поглощения и занижают величину сдвига фазы.

В разделе 3.5 приведены результаты численных расчетов температур электронов и решетки в случае, когда характерная частота столкновений электронов может превышать частоту излучения греющего и пробного импульсов. Вычисления проведены для нескольких значений параметра

6, входящего в выражение для частоты электронных столкновений (5), и одного значения параметра а. Приняв а = 1 мы учли, что величина а определена в [31] с большей точностью, чемЬ. Эволюция температур электронов и решетки представлена на рис.3, а эволюция коэффициента поглощения и сдвига фазы - на рис.4. Из численного решения следует, что сдвиг фазы отраженной волны и коэффициент поглощения весьма существенно зависят от параметра 6, что открывает возможности для его экспериментального определения.

В главе 4 изучено отражение и поглощение металлом фемтосекундно-го электромагнитного импульса р-поляризованной волны [А2]. Структура главы 4 совпадает со структурой главы 3, а ее основные результаты качественно схожи с имеющими место для в-поляризованного излучения. Так, формулы Френеля в случае и ы заменяются на выражения

2 сое б 28т29-£1

(12)

1ап фр =

2б1 соэ в\/ эт2 0 — ех

е\ С052 9 - Бт2 в + Е\

£2 соб2 в + зт2 в-Е\ е\ сов2 в - БШ2 в + £!

<£2)2 /28Ш20-£1у 8£2 \,вт20-ех )

{бех) 2вт2в-е1

2ех вт2 в -£х

■+

(13)

+

(4>

(Н2) 2вт Ч-еу

2е\ Б1П2 в — Ех

4£! (вт в — Ех)2

Из сравнения рис.2,4 с рис.5,б видно, что зависимости, соответствующие й- и р-поляризованным волнам, качественно схожи. Однако, при одинаковых частотах, длительностях и плотностях потока энергии воздействующих на металл греющих и пробных импульсов абсолютные значения для величин, соответствующих р-поляризованному излучению, приблизительно вдвое больше величин, соответствующих Б-поляризованному излучению.

Рис. 1: Зависимость температуры электронов (сплошная кривая) и решетки (штриховая кривая) на поверхности золота при воздействии импульса от лазера ..■■. на хром-форстерите, ш = 1.5 • М^с"1. Длительность импульса тр = 25фс, плотность потока излучения в максимуме 1р1тр = 7- 1012Вт/см2. Импульс падает под углом к нормали в = 7г/4. Расчет выполнен при а = 1, 6 = 2.

Рис. 2: Зависимость коэффициента поглощения в-поляризованного излучения и сдвига фазы отраженной волны от времени в случае и < ш. Параметры излучения те же, что и в подписи к рис.1. Сплошные кривые соответствуют численному решению, штриховые - вычислениям по формулам Френеля, пунктирные - приближенным формулам (8),(9).

Рис. 3: Зависимость температур электронов (сплошные кривые) и решетки (штриховые кривые) на поверхности золота при воздействии импульса от СО2-лазера и = 1.8 • 1014с-Ч Длительность импульса гр = 140фс, плотность потока излучения в максимуме /pump = 4 • 1012Вт/см2. Импульс падает под углом к нормали Ö = тг/4. Три кривые соответствуют трем значениям параметра Ь, определяющего частоту столкновений

Рис. 4: Зависимость коэффициента поглощения Б-поляризованного излучения и сдвига фазы отраженной волны от времени в случае > и. Параметры излучения те же, что и в подписи к рис.3.

Рис. 5: Зависимость коэффициента поглощения р-поляризованного излучения и сдвига фазы отраженной волны от времени в случае и < и. Параметры излучения те же, что и в подписи к рис. 1. Сплошные кривые соответствуют численному решению, штриховые -вычислениям по формулам Френеля, пунктирные - приближенным формулам (12),(13).

Рис. 6: Зависимость коэффициента поглощения р-поляризованного излучения и сдвига фазы отраженной волны от времени в случае \fvvx > ш. Параметры излучения те же, что и в подписи к рис.3. Три кривые соответствуют трем значениям параметра Ь, определяющего частоту столкновений их.

Рис. 7: Схема взаимодействия двух импульсов с металлом при генерации гармоник.

В главе 5 изучена генерация второй гармоники металлом, быстро нагреваемым фемтосекундным лазерным импульсом [АЗ, А4, А5].

В разделе 5.1 в приближении медленной амплитуды рассмотрено взаимодействие с металлом двух импульсов, один из которых падает вдоль нормали к поверхности металла, а второй - я-поляризованный - под углом в (см.рис.7). Описаны структура электромагнитного поля и зависимость скорости направленного движения электронов на основной частоте ы. Получено выражение для к) - комплексного коэффициента проникновения поля в металл, связывающего поле на поверхности металла Е^г = 0) с амплитудой поля волны, распространяющейся в направлении вектора к:

2 к

ь/,к) = 2 (14)

кг + гя{ш, кх)

где я(ш,кх) = у/к1 — о^е^/с2, к = (кх,0,кг) = (кэтв, 0, ксояв). Диэлектрическая проницаемость е(ш) считалась при этом однородной.

В разделе 5.2 из уравнения для скорости направленного движения электронов на удвоенной частоте и найденной ранее скорости на основной частоте вычислен нелинейный ток ¿¡уь в скин-слое при взаимодействии с

металлом двух импульсов, один из которых падает по нормали, а второй -под углом в. При записи этого тока, являющегося источником излучения на удвоенной частоте, введен тензор нелинейной восприимчивости

л 1 /п 1 1 \ еиёивтв

ХуХу(2ш,кр,кг) = . Ххуу{2ы, кр, к,,) = --------

u + w ' 16тгтсш(ш + w)2{2u 4- iv)'

(15)

связывающий нелинейную поляризацию PNL = djSL/dt с создающими ее полями в металле на основной частоте. Существенно, что компонента тен-30Ра Хуху пропорциональна частоте столкновений электронов и отвечает компоненте поляризации, параллельной поверхности металла.

В разделе 5.3 описана генерация излучения металлом, в котором присутствует наведенная поляризация, изменяющаяся с частотой П, промоду-лированная вдоль оси х с характерным масштабом l/qx и имеющая характерный размер приповерхностной локализации 1/£. После сшивки решения волнового уравнения в вакууме в виде уходящей от поверхности волны с решением уравнения для поля в металле получены комплексные коэффициенты излучения металлом s- и р-поляризованных волн

4î7T О?

«t. О = (TT—7п—ÏÏ7—Гт—ÏÏT' (16)

ж г ч 47Г П , ,

) = — "TÔT—гт-7К—V 17

с e(S2)çz + гх(П, дх) v >

определяющие связь между полем излучаемой волны и амплитудой наведенной поляризации Pst в среде: Es,rad = ФДП, qx,Ç)Pit, Ep,rad = Ф рфЛхуОР*.

В разделе 5.4 описаны поля волн с частотой 2ы, излучаемых металлом в зависимости от их поляризации и направления распространения. Показано, что при падении на металл двух волн, одна из которых - Ер -распространяется вдоль нормали, а вторая -Ei- под углом в к нормали, генерируется три волны на удвоенной частоте (см.рис.7):

ßW(2ы, 2k') = $p(2w, 2кх, 2*,))F>, к{)ххТО(2о;, к„ к,)£?, (18)

B<fX 2(j,k") = Фр(2и,кх,х{ы,кх) + я{ш,0))х

хЕ3(и,^)Р3(ш,кр)ххуу(2и},кр,кг)Е^1>8тф, (19)

Щ'\2ыУ) = Ф3{2и,кх,х{ш,кх)+я{и,{}))х

xFs(uj, к i)F3{u, кр)хуху{2и>, Ц,, к ¡)%ЕР cos ф. (20)

В направлении отражения наклонно падающей волны на основной частоте, определяемом вектором к', генерируется р-поляризованная волна второй гармоники. В направлении под углом k" = k(sm в, 0, — %/4 — sin2 в), меньшим угла отражения, распространяются две волны, появляющиеся вследствие смешения волн на основной частоте. Одна из этих волн имеет р-поляризацию, а другая - s-поляризацию. Показано, что при учете электронных столкновений имеется возможность снятия запрета на генерацию s-поляризованной второй гармоники гладкой однородной поверхностью, причем плотность потока энергии в излучаемой волне пропорциональна квадрату частоты столкновений электронов. В случае выполнения неравенств v <С ш, oj^/uj7 » h2\eo(huj)\, h = 1,2, эффективности генерации волн на удвоенной частоте определяются выражениями

H^J^^^^ecos^ (21)

НрЮ « * (22)

Яр(2к') = ~ sin2 в cos2 в, (23)

где Ss p(k) - вектор Пойнтинга в s- или р-поляризованном импульсе второй гармоники, излучаемой металлом в направления к, /, и 1Р плотности потока энергии в импульсе накачки и пробном импульсе на основной частоте. При V и, u>p/vu! h\£o(hu))\, h = 1,2, для эффективности генерации s-поляризованной гармоники имеем

а генерация р-поляризованных гармоник описываются выражениями (22),(23).

В разделе 5.5 описано влияние быстрого нагрева электронов металла на эффективность генерации гармоник. В типичных для эксперимента условиях, решены уравнения двухтемпературной модели для Те и 7]п{. Для иллюстрации зависимости эволюции температур от параметров о и Ь вычисления проведены не только для значений о = 1, Ь = 2, определенных в [31] из обработки данных по поглощению излучения в золоте [32], но и для меньших значений, а = 0.5, 6=1. Эволюция температур электронов и решетки на поверхности металла представлена на рис.8. В условиях, когда температура электронов достигает значений порядка 104К, а частота электронных столкновений в основном определяется электрон-электронными столкновениями, вычислены эффективности генерации всех трех волн на удвоенной частоте. Выявлен существенный рост эффективности генерации Б-поляризованной второй гармоники (21) при увеличении температуры электронов, в то время как для р-поляризованных гармоник (22),(23) имеет место небольшое снижение эффективности генерации при нагреве (рис.9). Для металла с холодными электронами плотность потока в—поляризованного излучения на частоте второй гармоники составляет порядка 10-2Вт/см2, а при нагреве в описанных выше условиях возрастает до 10~1Вт/см2.

Поскольку эффективность генерации б-поляризованной второй гармоники имеет резкую зависимость от частоты столкновений электронов, то ее использование для определения частот столкновений электронов в металле предпочтительнее, чем р-поляризованных гармоник. Для более точной интерпретации возможного эксперимента, в разделе 5.6 отдельно описана генерация в-поляризованной второй гармоники при учете неоднородного нагрева металла [А5]. Уравнения, описывающие поля на основной и удвоенной частоте в металле, записаны с учетом неоднородности диэлектрической проницаемости по скин-слою. Показано, что в типичных для эксперимента условиях эффективность генерации будет примерно вдвое меньшей, чем

Рис. 8: Эволюция во времени температур электронов и решетки на поверхности золота. Расчет выполнен при о = 1, 6 = 2 (сплошные кривые) и а = 0.5, Ь = 1 (штриховые кривые), для греющего импульса от лазера на хром-форстерите, ш = 1.5 ■ 1015с-1. Длительность импульса тр = 80фс, плотность потока излучения в максимуме /рттр = 3 • 1012Вт/см2.

Рис. 9: Эволюция во времени эффективностей генерации s- и р-поляризованных волн с частотой 2и, распространяющихся в направлении к", отнесенных к эффективностям #so(k") и Нро(к") при невозмущенной температуре. Параметры и условные обозначения те же, что и в подписи к рис. 8. Импульс пробной волны падает под углом к нормали в = 7г/4, aero длительность равна длительности греющего импульса. Нр(2к')/Нр0{2'к.') ~

^(к'О/адк").

без учета неоднородности. Импульс на частоте второй гармоники отстает от импульсов отраженных волн на основной частоте на 4фс, что связано с резким ростом температуры и, как следствие, эффективности генерации на начальной стадии нагрева (см. рис.10). Эта же причина приводит к эффекту небольшого нелинейного укорочения длительности импульса в-поляризованной второй гармоники, которая равна 12фс, что на 2фс меньше, чем следовало бы ожидать при пренебрежении быстрым нагревом.

Рис. 10: График функции Н„{1)/Н,(1 —► -оо) характеризующей эффективность генерации «-поляризованной второй гармоники при смешении импульсов от лазера на хром-форстерите, ш = 1.5-1015с-1. Штрих-пунктирная кривая - численный расчет, штриховая кривая - расчет, не учитывающей неоднородность нагрева электронов. Сплошная кривая соответствует функции М/^^/аДО), описывающей форму и положение импульса на частоте второй гармоники, пукктирная кривая - той же функции, но без учета неоднородности нагрева. Длительность импульсов тр = 40фс, плотность потока излучения в максимуме греющего импульса 1р,,тр = 5 • 10ПВт/см2, плотность потока излучения в максимуме пробного импульса 1рит11 = 5 ■ 10" Вт/см2. Импульс пробной волны падает под углом к нормали в = тг/4.

В главе 6 изучена генерация третьей гармоники металлом с горячими электронами [А6].

В разделе 6.1 приведены основные соотношения, на которых основывается описание генерации третьей гармоники. В условиях нормального скин-эффекта из уравнений для поля и температуры получены уравнения для поля на основной и утроенной частоте и температуры на удвоенной частоте.

В разделе 6.2 приведено решение уравнений для поля и температуры электронов в металле на основной и удвоенной частоте. Показано, что при условии

1« (25)

где I - плотность потока энергии пробного импульса, Т, - начальная температура электронов металла, поглощение пробного импульса приводит к незначительному изменению температуры электронов.

В разделе 6.3 решено уравнение для поля на утроенной частоте и вычислена эффективность генерации третьей гармоники

«M-^-jqVw

c7¿Co

2

(26)

2 + ч/З

где Со и 1>о - соответственно теплоемкость электронов и частота электронных столкновений в металле при температуре T¡,

_ 1 +1/(3 + \/3) HL) " (1 + 2L)[1 + L(1 + \/3)]' (2?)

^ 3i/\LJ<Íq ( сШр) б^хщ ^^

do - глубина скин-слоя, также при температуре 7*. Явная квадратичная зависимость от иее является указанием на удобство использования третьей гармоники в качестве инструмента для экспериментального определения этой частоты.

В разделе 6.4 проведены численные оценки эффективности генерации третьей гармоники в типичных для эксперимента условиях. Показано, что

при температуре электронов золота порядка 1эВ, плотности потока излучения СОг-лазера порядка 10иВт/см2 и длительности импульса в несколько сотен фемтосекунд, эффективность генерации 7] ~ 10~!0, что приводит к легко измеримым в эксперименте значениям плотности потока на утроенной частоте порядка ЮВт/см2.

В приложении I описана генерация тока увлечения s-поляризованной волной [A3]. Получены выражения для тока увлечения и величины магнитного поля на поверхности металла в случае, когда частота столкновений электронов мала по сравнению с частотой излучения:

4е/

id ^—г sinocos2 б, (29)

тс2 4 '

Ba(z = 0) ~ га^ sin 0 cos2 е- (30)

При воздействии на золото импульса, падающего под углом в = 7г/4, плотность потока излучения в котором порядка 1013Вт/см2, скорость направленного движения электронов составляет около 8 ■ 103см/с, а магнитное поле, создаваемое этим током у поверхности, равно 80гс.

В приложении II приведен вывод приближенных аналитических формул для коэффициента поглощения (8),(12) и сдвига фазы отраженной волны (9),(13) в случае, когда частота столкновений электронов мала по сравнению с частотой воздействующего на металл излучения.

В заключении приведены основные результаты диссертации:

1. Найдены коэффициент поглощения и сдвиг фазы отраженной s- и р-поляризованной волны в условиях быстрого неоднородного нагрева металла. Получено численное решение уравнений для электромагнитного поля и температур электронов и решетки при воздействии импульса длительностью в несколько десятков фемтосекунд на мишень из золота. Показано, как следует модифицировать формулы Френеля для адекватного описания поглощения и отражения излучения фем-тосекундных импульсов металлом. Продемонстрирована возможность определения частоты электрон-электронных столкновений по измерениям коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны.

2. Построена теория генерации гармоник и тока увлечения металлом в условиях смешения падающей на металл по нормали волны и наклонно падающей s-поляризованной волны. Получены выражения для эффек-тивностей преобразования излучения на основной частоте в излучение на удвоенной частоте для трех генерируемых волн частоты 2w, две из которых имеют р-поляризацию, а одна - s-поляризацию.

3. Предсказано существование s-поляризованной второй гармоники, возникающей при смешении пробной s-волны и греющей металл волны. Показано, что генерация s-поляризованной второй гармоники возможна при воздействии на гладкую однородную поверхность металла при учете столкновений электронов. Установлено, что в случае частот излучения, высоких по сравнению с частотой столкновений электронов, имеет место квадратичная зависимость эффективности генерации этой гармоники от частоты столкновений электронов. Это делает s-поляризованнуго вторую гармонику удобной для определения частот столкновений электронов в металле ввиду существенного роста частоты электрон-электронных столкновений при быстром нагреве электронов металла.

4. В условиях нормального скин-эффекта найдена эффективность генерации третьей гармоники горячими электронами металла, пропорциональная квадрату частоты электрон-электронных столкновений. Такая зависимость эффективности генерации гармоники от частоты столкновений электронов позволяет использовать ее для экспериментального определения частоты столкновений электронов, определяющей статическую проводимость.

Список литературы

[lj ¡tina Т.Е., Vidal F., Delaporte Ph., Sentis M. Numerical study of ultra-short laser ablation of metals and of laser plume dynamics // Applied Physics A 2004, V.79, P.1089-1092.

[2] Ihlemann J., Wolff В., Simon P. Nanosecond and femtosecond excimer laser ablation of fused silica // Applied Physics A 1992, V.54, P.363-368.

|3] Vorobyev A. Y. , Guo C. Colorizing metals with femtosecond laser pulses // Appl. Phys. Lett. 2008, V.92, 041914[2 pages]

[4] Миронов B.H., Асеев C.A., Миногин В.Г., Чекалин С.В. Формирование электронного пучка длительностью менее 100 фс, образованного фотоэмиссией электронов фемтосекундными лазерными импульсами // ЖЭТФ 2008, Т.133, С.1155-1161.

[5] Costache F., Kouteva-Arguirova S., Reif J. Subdamage threshold femtosecond laser ablation from crystalline Si: surface nanostructures and phase transformation // Applied Physics A 2004, V.79, P.1429-1432.

|6] Zweiback J., Smith R.A., Cowan Т.Е., Hays G., Wharton K.B., Yanovsky V.P., Ditmire T. Nuclear fusion driven by coulomb explosions of large deuterium clusters // Phys. Rev. Lett. 2000, V.84, P.2634-2637.

[7] Борн Э., Вольф Э. Основы оптики, М.: Наука, 1973.

[8] Гинзбург B.JI., Силин В.П. О влиянии междуэлектронных столкновений на электропроводность и скин-эффект в металлах // ЖЭТФ 1955, Т.29, С.64.

|9] Lekner J., Theory of reflection of electromagnetic and particle waves, Dordrecht: Matrinus Nijhof Publishers, 1987.

[10] Epstein P.S. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc.Natl.Acad.Sci. USA 1930, V.16, P.627-637.

[11] Lekner J., Light in periodically stratified media // J.Opt.Soc.Arn. A 1994, V.ll, P.2892-2899.

[12] Fechtchenko R.M., Popov A.V., Vinogradov A.V. On reflection from surfaces with a thin overlayer // Journal of Russian Laser Research 2001, V.22, P.139-148.

[13] Канавин А.П., Мищик K.H., Урюпин C.A. Отражение и поглощение р-поляризованной волны металлом с неоднородной температурой электронов // Квантовая Электроника 2009, Т. 39, С. 839-844.

[14] Kanavin А.Р., Mishchik K.N., Uryupin S.A. Optical properties of metals with inhomogeneously heated electrons // Journal of Russian Laser Research 2008, V.29, P.123-132.

[15] Гинзбург B.JI., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов // УФН 1955, T.55, С.469-535.

[16] Строганов В.И. Нелинейная металлооптика, Новосибирск: Наука, 1977.

[17] Ахманов С.А., Хохлов P.B. Проблемы нелинейной оптики, M.: ВИНИТИ, 1964.

[18[ Franken P. A., Hill А.Е., Peters C.W., Weinreich G. Generation of optica] harmonics // Phys. Rev. Lett. 1961, V.7, P.118-119.

[19] Brown F., Parks R.E., Sleeper A.M. Nonlinear optical reflection from a metallic boundary // Phys. Rev. Lett. 1965, V.14, P.1029-1031.

[20] Armstrong J.A., Bloembergen N., Ducuing J., Pershan P.S. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric // Phys. Rev. 1962, V.127, P.1918-1939.

[21] Jha S.S. Theory of optical harmonics generation at a metal surface // Phys.Rev. 1965, V. 140, P.A2020-A2030.

[22] Sipe J.E., So V.C.Y., Fukui M., Stegeman G.I. Analysis of second-harmonic generation at metal surfaces // Phys.Rev.B. 1980, V.21, P.4389-4402.

[23] Каганов М.И., Лифшиц И.M., Танатаров Л.В. К теории радиационных изменений в металлах // Атомная Энергия 1959, Т.6, С.391-406.

[24] Анисимов С.И., Калелиович Б.Л., Перельмаи Т.Л. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов // ЖЭТФ 1974, Т.66, С.776-781.

[25] Hiittner В. The theory of laser materials processing // Springer Series in Materials Science 2009, V.119, P.315-337.

[26] Lin Zh., Zhigilei L.V., Celli V. Electron-phonon coupling and electron heat capacity of metals under conditions of strong electron-phonon nonequilibrium // Phys. Rev. В 2008, V. 77, 075113[17 pages],

[27] Абрикосов A.A Основы теории металлов, M.: Наука, 1987.

[28] Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел, М.: ИИЛ, 1956.

[29] Lawrence W.E. Electron-electron scattering in the low-temperature resistivity of the noble metals // Phys. Rev. В 1976, V.13, P.5316-5319.

[30] Иногамов H.A., Петров Ю.В. Теплопроводность металлов с горячими электронами // ЖЭТФ 2010, Т.137, С.505-529.

[31] Исаков В.А., Канавин А.П., Урюпин С.А. Поглощение фемтосекундного лазерного импульса металлами и возможность определения эффективных частот электрон-электронных столкновений // Квантовая Электроника 2006, Т.36, С.928-932.

[32] Guo С., Rodrigues G., Taylor A.J. Ultrafast dynamics of electron thermalization in gold // Phys. Rev. Lett. 2001, V. 86, P.1638-1641.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

[Al] Bezhanov S.G., Kanavin А.Р., Uryupin S.A. Influence of fast electrons heating on the optical properties of metals // Journal of Russian Laser Research 2010, V. 31, P. 501509.

[А2] Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Взаимодействие фемтосекундного импульса р-поляризованной волны с быстро нагреваемым металлом // Квантовая Электроника 2011, Т.41, С.447-452.

[A3] Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация второй гармоники и тока увлечения быстро греющей металл s-поляризованной волной // Квантовая Электроника 2010, Т. 40, С. 51-58.

[А4] Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация гармоник при смешении 5-поляризованной волны и греющей металл волны // Квантовая Электроника 2010, Т. 40, С. 495-503.

[А5] Bezhanov S.G., Kanavin А.Р., Uryupin S.A. S-polarized second harmonic generation under conditions of inhomogeneous heating of electrons in metals // Journal of Russian Laser Research 2010, V. 31, P. 443-451.

|A6] Bezhanov S.G., Kanavin A.P., Uryupin S.A. Third harmonic generation by hot electrons in metals // Journal of Russian Laser Research 2008, V. 29, P.219-226.

[A7] Bezhanov S.G., Uryupin S.A. Harmonics generation by mixing of s-wave with metal-heating wave // Proc. SPIE 7993, 79930L[9 pages], 2010.

[A8J Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Генерация третьей гармоники горячими электронами металла // Тезисы докладов XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2009, С.315.

|А9] Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация второй гармоники и тока увлечения быстро греющей металл S-поляризованной волной // Тезисы докладов XXXVII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2010, C.300.

[А10] Bezhanov S.G., Uryupin S.A. Harmonics generation by mixing of s-wave with metal-heating wave. // The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, The Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT-2010) (August 23-27, 2010, Kazan, Russia). Technical Digest. !TuQ2(2010)

[All] Bezhanov S.G., Kanavin A.P., Uryupin S.A. Transient optical response of metals irradiated by a femtosecond laser pulse // The International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, The Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT-2010) (August 23-27, 2010, Kazan, Russia). Technical Digest. ITuQ35(2010)

(A12) Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Взаимодействие фемтосекуидных импульсов с быстро нагреваемым металлом // Тезисы докладов научной сессии НИЯУ МИФИ 2011, Т.2, С.171.

[А13] Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Поглощение и отражение лазерных импульсов фемтосекундной длительности металлами // Тезисы докладов XXXVIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2011, С.326.

о

Подписано в печать 17.10.2011 г. Формат 60x84/16. Заказ №73. Тираж 100 экз. П.л 1.75. Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640

1 Введение

2 Модель металла

2.1 Основные уравнения и величины.

2.2 Уравнения для поля, скорости и температуры в приближении медленной амплитуды.

3 Поглощение и отражение фемтосекундного импульса эполяризованной волны

3.1 Отражение и поглощение импульса Б-поляризованной волны однородным металлом.

3.2 Отражение и поглощение импульса в-поляризованной волны неоднородным металлом.

3.3 Параметры численного решения уравнений для поля и температуры

3.4 Результаты численных расчетов в случае использования лазера на хром-форстерите

3.5 Результаты численных расчетов в случае использования С(?2-лазера.

4 Поглощение и отражение фемтосекундного импульса рполяризованной волны

4.1 Отражение и поглощение импульса р-поляризованной волны однородным металлом.

4.2 Отражение и поглощение импульса р-поляризованной волны неоднородным металлом.

4.3 Результаты численных расчетов в случае использования лазера на хром-форстерите.

4.4 Результаты численных расчетов в случае использования

СОг-лазера.

5 Генерация второй гармоники фемтосекундными импульсами

5.1 Поле в металле на основной частоте.

5.2 Нелинейный ток в металле и восприимчивость.

5.3 Поле излучения, создаваемое наведенной поляризацией.

5.4 Излучение на частоте второй гармоники.

5.5 Влияние нагрева электронов на генерацию гармоник.

5.6 Генерация 5-поляризованной второй гармоники в условиях сильно неоднородного нагрева металла.

6 Генерация третьей гармоники горячими электронами металла

6.1 Основные соотношения

6.2 Поле и температура в металле на основной и удвоенной частоте

6.3 Генерация третьей гармоники.

6.4 Обсуждение и количественные оценки.

Создание лазеров, позволяющих генерировать импульсы длительностью в несколько десятков фемтосекунд, сделало возможным изучение множества явлений, ранее недоступных для непосредственного экспериментального наблюдения. Помимо фундаментальных исследований, фемтосекунд-ные импульсы нашли широкое применение в прикладных областях. Сюда можно отнести лазерную абляцию металлов [1, 2, 3] и диэлектриков [4, 5, 6]; изменение физических характеристик поверхностей, такое как окрашивание [7] и широкодиапазонное поглощение [8, 9, 10]; формирование ультракоротких электронных пучков [11]; создание наноструктур [12, 13, 14]; термоядерный синтез [15, 16].

Как правило (см., например, [17, 18, 19]), при теоретическом и экспериментальном изучении взаимодействия фемтосекундных импульсов рассматривается падение импульса из полупространства 2 < 0 на металл, расположенный в области 2 > 0 (рис.1). При такой схеме линейный

Рис. 1: Типичная схема взаимодействия фемтосекундных импульсов с металлом, занимающим полупространство.

Наблю/:

Волна накачга

Пр во. или нелинейный отклик металла ищется по измерению сигнала, отраженного от границы г — 0 в область 2 < 0. Кроме того также часто изучают взаимодействие фемтосекундных импульсов с тонкой металлической пленкой [20, 21, 22]. При этом под тонкой пленкой имеется в виду такая, толщина которой & меньше глубины скин-слоя или сравнима с ней. В такой постановке задачи также может измеряться коэффициент прохождения в область г > (I. При использовании тонких пленок теоретическое рассмотрение иногда упрощается за счет пренебрежения теплопереносом [23, 24, 25], поскольку градиент температуры может быть недостаточен для создания существенного теплового потока.

Линейный оптический отклик вещества традиционно описывается формулами Френеля (см., например, [26]), связывающими амплитуду поля отраженной волны с амплитудой поля падающей волны: где - нормальная к поверхности компонента комплексного волнового вектора, е - диэлектрическая проницаемость среды, считающаяся однородной, индексы 5 и р определяют поляризацию излучения соответственно перпендикулярно и в плоскости падения, индексы 1 и 2 соответствуют вакууму и среде (см. рис.1). Соотношения (1.1) следуют из сшивки решения уравнений Максвелла в среде с их решениями в вакууме для для полей падающей и отраженной волны, причем в случае в-поляризации удобно решать уравнение для электрического поля:

Я3 = Я

- К2г €Ки + Кчг

1.1) г<0 г>0

1.2) а в случае р-поляризации - для магнитного (** - фВ,д = 0 г<0

1.3)

0, г>0 где к - волновое число в вакууме, кх - проекция волнового вектора на ось, параллельную поверхности металла.

В современных экспериментах по взаимодействию фемтосекундных импульсов лазерного излучения с металлами сравнительно просто реализуются условия, в которых за время воздействия импульса решетка остается относительно холодной, а электроны нагреваются за время меньшее, чем время выноса тепла из скин-слоя (см., например, [27]-[29]). В этих условиях изменяющаяся во времени температура электронов Те оказывается существенно неоднородной по скин-слою и значительно превышает температуру решетки Ты. Неоднородность температуры электронов ведет к неоднородности диэлектрической проницаемости металла, которую можно аппроксимировать выражением [30] и)2 = - / г . v (1-4)

Неоднородность е является следствием координатной зависимости входящей в (1.4) частоты столкновений электронов, в случае нормального скин-эффекта равной т. , .

Р = иер + Рее = ует>ъ,\— + (1.5) где кв - постоянная Больцмана, Н - постоянная Планка, - энергия Ферми, Ъ - численный коэффициент, во диэлектрическая проницаемость, обусловленная связанными электронами и решеткой, и - частота излучения, шр - плазменная частота, - температура решетки, при которой электрон-фононная частота столкновений равна г/ерО,А- Следует отметить, что в случае высокочастотного скин-эффекта также можно использовать выражение вида (1.4), однако тогда вместо (1.5) следует использовать выражение для частоты, определяющей высокочастотную проводимость металла с иными значениями электрон-фононной частоты столкновений ^ерО Ф ^ер0,х и коэффициента а ф Ь, определяющей частоту электронэлектронных столкновений:

Ты . ^Б-^е /Л С\

V = иер + уее = 1Уеро-^г + аи—' V1-6)

1г П£р

В любом из этих случаев зависимость е от координаты, возникающая вследствие неоднородности частоты столкновений, приводит к необходимости пересмотра оптических свойств металла в условиях нормального и высокочастотного скин-эффектов, описанных, например, в [31].

Существует множество работ, в которых рассматривается взаимодействие электромагнитных волн с неоднородными средами (см.[32, 33]).

В [34] приведены точные решения уравнений Максвелла в случае взаимодействия в-поляризованной волны со средой, свойства которой описываются диэлектрической проницаемостью с простым модельным видом неоднородности, соответствующим плавному переходу между двумя постоянными значениями. Получены аналоги формул Френеля для поглощающей и непоглощающей сред.

Широко использовался подход, в котором неоднородная среда рассматривалась как слоистая, с изменяющимися от слоя к слою параметрами. Например, в [35],[36] показано, как по эллипсометрическим экспериментальным данным можно восстановить оптические параметры неоднородной среды. Используя подход [37], где уравнения Максвелла в среде представлены в виде матрицы 4x4, в работе [38] проводились вычисления оптических свойств неоднородной среды, представленной как набор однородных слоев с плавно изменяющимися от слоя к слою заданными характеристиками.

В работах [39, 40] исследовано отражение высокочастотного излучения от полупространства с тонким поверхностным слоем толщины а, причем а <С А, где А - длина волны. Полученные результаты, описывающие отражение волн разных поляризаций, зависят от разности диэлектрических проницаемостей в глубине среды и в приповерхностном слое. Показано, как можно обнаружить отклонения от формул Френеля при наличии на поверхности однородного полупространства тонкой пленки путем анализа непосредственно измеряемых в эксперименте величин.

В отличие от [34]-[40], в работах [41, 42] использовался иной подход -разложение диэлектрической проницаемости в ряд по малому параметру отношения частоты электронных столкновений к частоте излучения, и поиск поля в металле в виде ряда по этому малому параметру.

Таким образом, можно сказать, что задача об отражении и поглощении электромагнитного излучения неоднородными средами активно исследуется в литературе, являясь важной и актуальной частью современных исследований в области оптики металлов и ее приложений к созданию на-номатериалов и их обработке.

Электродинамическая задача об отражении волны средой обычно решается в линейном по полю приближении. В металлах наблюдаются и нелинейные по полю явления, такие как генерация гармоник. Генерация второй гармоники в диэлектриках была открыта еще в 1962 году [43], почти сразу после изобретения лазера. Вскоре это явление было обнаружено и при воздействии электромагнитного излучения на поверхность металлов [44]. С тех пор предлагалось много различных моделей, описывающих это явление. В [45] использовалась квантовомеханическая теория возмущений для изучения генерации гармоник твердыми телами при одновременном облучении вещества несколькими волнами. В работе [46] описана генерация второй гармоники металлом, динамика электронов которого рассматривалась с привлечением кинетического уравнения с граничными условиями зеркального отражения электронов от поверхности. Получены выражения для эффективности генерации гармоники в зависимости от угла падения и частоты волны. Было показано, что для описания генерации второй гармоники р-поляризованной волной основной частоты необходим учет тока, возникающего в тонком поверхностном слое толщины порядка 10-7см, в то время как в случае б-волны он отсутствует. Частота столкновений электронов в металле принималась равной нулю. Подобное приближение было оправдано, поскольку в типичных для того времени условиях эксперимента в оптическом диапазоне частота электронных столкновений была меньше частоты излучения, а ее увеличение за счет нагрева было невозможно из-за разрушения образца длинным импульсом. Подобные [46] соотношения для плазмы были получены в [47]. Результаты [46] были обобщены в [48], где было учтено влияние вклада в диэлектрическую проницаемость межзонных переходов, описываемых с привлечением квантовомеханических расчетов.

В [49] исследованы различные механизмы генерации второй гармоники металлами. Указано, что существует объемный вклад в нелинейную восприимчивость, происходящий из локализованного в скин-слое продольного тока, создаваемого силой Лоренца, и поверхностный вклад, существенно зависящий от модели, описывающей тонкий слой толщиной в несколько ангстремов. В работе [50] сформулирована система гидродинамических уравнений для описания генерации второй гармоники, вычислены вклады поверхностного и объемного токов в эффективность генерации при частотах, близких к плазменной. Пригодность подхода [50] была подтверждена экспериментом [51]. Гидродинамический подход к описанию динамики электронов также использовался в [52], где поверхность металла представлялась как набор слоев с различной плотностью электронов, связанных граничными условиями. Результаты были параметризованы одним комплексным параметром, описывающим свойства поверхности. В [53] с помощью функционала плотности вычислялось влияние поверхностных эффектов на генерацию гармоник при частотах излучения, сравнимых с плазменной частотой.

Работы [54] и [55] посвящены генерации гармоник на неровной поверхности металла. Приведены значения относительной эффективности генерации е- и р-поляризованных второй и третьей гармоники в зависимости от длины волны. Показана зависимость эффективности генерации в-волн от структуры рельефа поверхности.

Для эффективного изучения генерации гармоник, являющейся нелинейным по полю явлением, следует использовать лазерные импульсы с высокими плотностями потока энергии. Лазеры, доступные в 60-х-80-х годах позволяли генерировать мощные импульсы сравнительно большой длительности, при воздействии которых кристаллическая решетка разрушалась, и исследование неравновесного твердотельного состояния было затруднительно. С появлением фемтосекундных лазеров стало возможным экспериментальное изучение взаимодействия электромагнитных импульсов с твердым телом с хорошим временным разрешением, а также создание принципиально новых, недоступных ранее, состояний. В частности, оказалось возможным изучение неравновесного состояния, когда температура электронов проводимости значительно превышает температуру решетки, Те >> Ты- При таком соотношении температур частота электрон-электронных столкновений иее в металлах может быть сравнима и даже превышать частоту электрон-фононных столкновений иер. В равновесной среде вклад уее в оптические и электрические свойства обычно несущественен. Например, для аномального скин-эффекта это показано в работе [56].

Наличие фемтосекундных импульсов позволяет наблюдать большое количество эффектов. Опишем для примера некоторые из них.

В [57] с помощью термоэлектронной эмиссии изучалась температура металла после облучения 120фс импульсами интенсивности порядка 1012Вт/см2. Показано, что для описания эксперимента с электронами, нагретыми до температур, превышающих 1-1.5эВ, может оказаться необходимым пересмотр формул для таких физических характеристик металла, как теплоемкость или константа связи электронов с решеткой, получаемых из теории в пределе низких температур.

В [58] изучено плавление алюминия при воздействии фемтосекундного импульса по измерениям зависимости коэффициента отражения во времени. Экспериментально наблюдаемое время плавления измерялось путем сравнения наблюдаемого значения диэлектрической проницаемости с ее известным значением, соответствующим жидкой фазе. Диэлектрическая проницаемость определялась по коэффициенту отражения пробного фем-тосекундного импульса. Обнаружено, что необходимые для осуществления фазового перехода времена и интенсивности менее тех, которые следовало бы ожидать из тепловых соображений, что объяснялось разрушением решетки вследствие сильного возбуждения электронов.

Авторы работы [59] на временных масштабах в десятки пикосекунд наблюдали осцилляции эффективности генерации третьей гармоники пробных импульсов, отсутствовавшие в отраженном сигнале на основной и удвоенной частоте при облучении пленки из золота греющим импульсом длительности порядка ЮОфс. Показано, что эффект может быть объяснен ос-цилляциями поверхности Ферми, вызываемыми возбуждением акустических фононов.

В [60] исследовано отражение и генерация второй гармоники золотом при воздействии 110фс импульса от титан-сапфирового лазера интенсивности порядка 1012Вт/см2. По особенностям профиля относительного изменения эффективности генерации второй гармоники в течение короткого времени после воздействия импульса сделано заключение о влиянии динамики релаксации электронов из неравновесного состояния на нелинейную восприимчивость.

В работе [61] исследовалось отражение 120фс импульса от мишени из золота, нагреваемой ЗООфс импульсом интенсивности порядка 1013Вт/см2. Приведены зависимости коэффициента отражения для различных поляризаций пробного излучения от времени на временах до двух пикосекунд.

Приведенные выше и множество других экспериментов для своего описания требуют сведений об эволюции температур в металле при воздействии коротких импульсов, так как характеристики металла, влияющие на его тепловые и оптические свойства, зависят от температур электронов и решетки. Традиционно эволюция этих величин описывается с использованием двухтемпературной модели [62], согласно которой температуры подчиняются уравнениям се^-те = -Уя + я - 0(Те - Ты) Сы-^Ты = С?(Те — Т^),

1.7)

1.8) где Се и Сы ~ теплоемкости соответственно электронов и решетки, q -плотность теплового потока, С - константа связи электронов с решеткой, Я - тепло, выделяющееся в единицу времени в единице объема электронной подсистемы. Уравнение (1.8) приведено в форме без решеточной теплопроводности (см., например, [63]), которая для типичных металлов на несколько порядков меньше электронной [64]. Появление фемтосекундных лазеров позволило изучать широкий спектр явлений и более детально учитывать процессы, происходящие в металлах при их быстром нагреве [65]. Со времени написания уравнений (1.7), (1.8) они были модифицированы для учета эффектов термоэластичности [66], динамики нетепловых электронов и их релаксации [67], баллистический перенос энергии электронами

Важным параметром для интерпретации, планирования и моделирования экспериментов с неравновесными металлами при использовании системы (1.7), (1.8) являются частоты электронных столкновений, определяющие величины Ц и q. В то время как зависимость иее ~ Тс2 для не слишком высоких по сравнению с ер/кв температур электронов следует из простого ферми-жидкостного рассмотрения металла [64], значения коэффициентов пропорциональности а и 6 в (1.6),(1.5) определены недостаточно точно. Например, для коэффициента 6, определяющего теплопроводность золота, использовались значения Ь = 1.4 [69], Ь = 2.2 [70], Ь = 6.5 [57]. Теоретическое вычисление а и Ь вызывает значительные трудности, связанные с необходимостью учета реальной зонной структуры металла. Примеры таких расчетов приведены для частот, определяющих проводимость, в [71], и теплопроводность - в [70, 72]. В связи с этим представляется важной задача построения теории, позволяющей указать на возможность непосред

68]. ственного экспериментального определения этих величин, как это сделано, например, в [73].

Принимая во внимание изложенное выше, сформулируем цели диссертации:

Изучить отражение и поглощение электромагнитных волн металлом, быстро нагреваемым фемтосекундным лазерным импульсом. Исследовать влияние быстрого нагрева металла на его нелинейно-оптические свойства, такие как генерация второй и третьей гармоники. Рассмотреть возможность определения частот электрон-электронных столкновений по измерениям плотностей потока на частотах гармоник и коэффициента отражения. Для достижения целей ставились задачи:

1. Решить задачу о проникновении э- и р-поляризованного электромагнитного излучения в металл, имеющий неоднородность диэлектрической проницаемости на масштабе скин-слоя.

2. Дать теоретическое описание влияния столкновений электронов на генерацию второй и третьей гармоник быстро нагреваемым металлом.

3. Получить численное решение системы уравнений для полей и температур электронов и решетки при воздействии на металл греющего фем-тосекундного лазерного импульса.

4. Исследовать влияние быстрого неоднородного нагрева металла на коэффициент поглощения, сдвиг фазы отраженной волны и эффективности генерации второй и третьей гармоник.

Положения, определяющие научную новизну работы и выносимые на защиту:

1. В условиях быстрого неоднородного нагрева металла лазерным импульсом фемтосекундной длительности дано количественное описание отражения и поглощения пробной электромагнитной волны. В случае частот излучения как меньших, так и больших частоты столкновений электронов, вычислены коэффициенты поглощения и сдвиг фазы отраженной волны. Тогда, когда температура электронов неоднородна по скин-слою, выявлено существенное отличие величин коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны от их значений, получаемых при использовании формул Френеля.

2. Изучена генерация второй гармоники быстро нагреваемым металлом в условиях смешения нормально падающей греющей волны и падающей под углом к нормали Б-поляризованной пробной волны. Показано, что при смешении этих волн генерируется три волны с удвоенной частотой, распространяющиеся под разными углами к поверхности. Две из генерируемых волн имеют р-поляризацию. Одна из них распространяется под углом отражения пробной волны, а другая - под углом, меньшим угла отражения. Третья волна на частоте второй гармоники имеет в-поляризацию и распространяется под углом, меньшим угла отражения. Установлено, как наличие волны накачки при учете столкновений электронов позволяет снять запрет на генерацию э-поляризованной второй гармоники при воздействии на гладкую однородную поверхность в-поляризованного излучения на основной частоте.

3. В случае, когда частота излучения много больше частоты столкновений электронов, исследована эволюция во времени эффективности генерации гармоник, генерируемых в скин-слое металла при смешении пробной и греющей волн. Показано, что эффективности генерации р-поляризованных гармоник слабо зависят от частоты столкновений электронов и незначительно уменьшаются с ростом их температуры. Напротив, эффективность генерации в-поляризованной второй гармоники пропорциональна квадрату частоты столкновений электронов и сильно изменяется при быстром нагреве электронов металла.

4. Изучена генерация третьей гармоники в скин-слое металла с горячими электронами в случае нормального скин-эффекта, когда частота столкновений электронов превышает частоту излучения. Показано, что возникающие при нагреве электронов колебания температуры с удвоенной частотой приводят к генерации третьей гармоники основной волны. Найдена плотность потока излучения на частоте третьей гармоники, которая пропорциональна квадрату частоты электрон-электронных столкновений, определяющей статическую проводимость.

5. Показано, что по измерениям коэффициента поглощения, сдвига фазы отраженной волны и плотностей потока энергии второй и третьей гармоник можно получать информацию о частотах электрон-электронных столкновений, определяющих высокочастотную проводимость и теплопроводность металла.

Научная и практическая ценность диссертации. Полученные в главах 3 и 4 зависимости коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны в условиях быстрого неоднородного нагрева металла представляют интерес для интерпретации и планирования экспериментов по взаимодействию фемтосекундных импульсов с металлами.

В главе 5 предсказано существование в-поляризованной второй гармоники, возникающей при смешении пробной э-волны и греющей металл волны. Установленная квадратичная зависимость эффективности генерации этой гармоники от частоты столкновений электронов позволяет использовать ее для изучения сильно неравновесных состояний металла.

В главе 6 получено выражение для эффективности генерации третьей гармоники горячими электронами металла, пропорциональное квадрату частоты электрон-электронных столкновений. Показано, как по измерениям плотности потока энергии на утроенной частоте можно определить частоту столкновений электронов, определяющую статическую проводимость металла.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2009), XXXVII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2010), международной конференции по когерентной и нелинейной оптике "ЮОШ/ЬАТ 2010"(Казань, 2010), Научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва, 2011), XXXVIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2011).

Публикации

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [77]-[82], трудах [83] и тезисах конференций [84]-[89].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 116 стр., включая 29 рисунков. Список литературы состоит из 106 наименований.

9 Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

Найдены коэффициент поглощения и сдвиг фазы отраженной б- и р-поляризованной волны в условиях быстрого неоднородного нагрева металла. Получено численное решение уравнений для электромагнитного поля и температур электронов и решетки при воздействии импульса длительностью в несколько десятков фемтосекунд на мишень из золота. Показано, как следует модифицировать формулы Френеля для адекватного описания поглощения и отражения излучения фемтосекундных импульсов металлом. Продемонстрирована возможность определения частоты электрон-электронных столкновений по измерениям коэффициента поглощения и сдвига фазы отраженной волны.

Построена теория генерации гармоник и тока увлечения металлом в условиях смешения падающей на металл по нормали волны и наклонно падающей Б-поляризованной волны. Получены выражения для эффектив-ностей преобразования излучения на основной частоте в излучение на удвоенной частоте для трех генерируемых волн частоты 2си, две из которых имеют р-поляризацию, а одна - э-поляризацию.

Предсказано существование я-поляризованной второй гармоники, возникающей при смешении пробной э-волны и греющей металл волны. Показано, что генерация Б-поляризованной второй гармоники возможна при воздействии на гладкую однородную поверхность металла при учете столкновений электронов. Установлено, что в случае частот излучения, высоких по сравнению с частотой столкновений электронов, имеет место квадратичная зависимость эффективности генерации этой гармоники от частоты столкновений электронов. Это делает Б-поляризованную вторую гармонику удобной для определения частот столкновений электронов в металле ввиду существенного роста частоты электрон-электронных столкновений при быстром нагреве электронов металла.

В условиях нормального скин-эффекта найдена эффективность генерации третьей гармоники горячими электронами металла, пропорциональная квадрату частоты электрон-электронных столкновений. Такая зависимость эффективности генерации гармоники от частоты столкновений электронов позволяет использовать ее для экспериментального определения частоты столкновений электронов, определяющей статическую проводимость.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С.А.Урюпину, соавтору большинства работ А.П.Канавину, руководителю научного семинара по физике плазмы и физике твердого тела чл.-корр. РАН В.П.Силину, а также сотрудникам СТПЯ.

1. Itina T.E., Vidal F., Delaporte Ph., Sentis M. Numerical study of ultrashort laser ablation of metals and of laser plume dynamics // Applied Physics A 2004, V.79, P.1089-1092.

2. Chichkov B.N., Momma C., Nolte S., von Alvensleben F., Tuiinermann A. Femtosecond, picosecond and nanosecond laser ablation of solids // Applied Physics A: Materials Science & Processing V.63, P.109-115.

3. Hashida M., Semerok A., Gobert 0., Petite G., Wagner J-F. Femtosecond laser ablation of metals. // Papers of Technical Meeting on Optical and Quantum Devices, IEE Japan 2000, V.OQD-OO, P.13.

4. Ihlemann J., Wolff B., Simon P. Nanosecond and femtosecond excimer laser ablation of fused silica // Applied Physics A 1992, V.54, P.363-368.

5. Bonse J., Baudach S., Kriiger J., Kautek W., Lenzner M. Femtosecond laser ablation of silicon-modification thresholds and morphology // Applied Physics A 2002, V.74, P.19-25.

6. Taylor R.S., Hnatovsky C., Simova E., Rayner D.M., Bhardwaj V.R., Gorkum P.B. Femtosecond laser fabrication of nanostructures in silica glass // Optics Letters 2003, V.28, P.1043-1045.

7. Vorobyev A. Y., Guo C. Colorizing metals with femtosecond laser pulses // Appl. Phys. Lett. 2008, V.92, 041914(2 pages]

8. Vorobyev A.Y., Guo, C. Metallic light absorbers produced by femtosecond laser pulses // Advances in Mechanical Engineering, V.2010, 452749 4 pages].

9. Vorobyev A. Y., Topkov A. N., Gurin O. V., Svich V. A., Guo C., Enhanced absorption of metals over ultrabroad electromagnetic spectrum // Appl. Phys. Lett. 2009, V.95, 121106(3 pages].

10. Yang Y., Yang J., Liang C., Wang H. Ultra-broadband enhanced absorption of metal surfaces structured by femtosecond laser pulses // Opt Express. 2008, V.21, P.11259-11265.

11. Миронов Б.Н., Асеев С.А., Миногин В.Г., Чекалин С.В. Формирование электронного пучка длительностью менее 100 фс, образованного фотоэмиссией электронов фемтосекундными лазерными импульсами // ЖЭТФ 2008, Т.133, С.1155-1161.

12. Costache F., Kouteva-Arguirova S., Reif J. Subdamage threshold femtosecond laser ablation from crystalline Si: surface nanostructures and phase transformation// Applied Physics A 2004, V.79, P.1429-1432.

13. He X. K., Zhang J., Kuroda H., Qiu J. R., Li R. X., Xu Z. Z.,Chen H. X., Huang M., Zhao F. L., Jia T. Q. Formation of nanogratings on the surface of a ZnSe crystal irradiated by femtosecond laser pulses // Phys. Rev. В 2005, V.72, 1254294 pages].

14. Korte F., Koch J., Chichkov B.N. Formation of microbumps and nanojets on gold targets by femtosecond laser pulses // Applied Physics A 2004, V.79, P.879-881.

15. Zweiback J., Smith R.A., Cowan Т.Е., Hays G. Wharton K.B., Yanovsky V.P., Ditmire T. Nuclear fusion driven by coulomb explosions of large deuterium clusters // Phys. Rev. Lett. 2000, V.84, P.2634-2637.

16. Ангелуц А.А., Коротеев Н.И., Ожередов И.А., Шкуринов А.П. Генерация второй гармоники фемтосекундных импульсов при отражении от металлической поверхности: усиление за счет периодической модуляции рельефа // Письма в ЖЭТФ 1993, Т.63, С.155-159.

17. Vorobyev A.Y., Guo С. Enhanced absorptance of gold following multipulse femtosecond laser ablation // Phys. Rev. В 2005, V.72, 1954225 pages].

18. Kim J., Na S. Metal thin film ablation with femtosecond pulsed laser // Optics & Laser Technology 2007, V.39, P.1443-1448.

19. Tan В., Sivakumar N.R., K. Venkatakrishnan Sub-micron ablation of metallic thin film by femtosecond pulse laser // Optics & Laser Technology 2002, V.34, P.575-578.

20. Chen J.K., Beraun J.E., Grimesa L.E., Tzou D.Y. Modeling of femtosecond laser-induced non-equilibrium deformation in metal films // International Journal of Solids and Structures 2002, V.39, P.3199-3216.

21. Elsayed-Ali H.E., Juhasz Т., Smith G.O., Bron W.E. Femtosecond thermoreflectivity and thermotransmissivity of polycrystalline and single-crystalline gold films // Phys. Rev. В 1991, V.43, P.4488-4491.

22. Mazevet S., Clarouin J., Recoules V., Anglade P.M., Zerah G. Ab-initio simulations of the optical properties of warm dense gold // Phys. Rev. Lett. 2005, V.95, 0850024 pages].

23. Kruglyak V.V., Hicken R.J., Matousek P., Towrie M. Spectroscopic study of optically induced ultrafast electron dynamics in gold // Phys. Rev. В 2007, V.75, 0354106 pages],

24. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Курс теоретической физики, Т.8, М.: МА-ИК, 2001.

25. Papadogiannis N.A., Moustaizis S.D. Nonlinear enhancement of the efficiency of the second harmonic radiation produced by ultrashort laser pulses on a gold surface // Optics Communications 1997, V.137, P.174-180.

26. Guo C., Taylor A.J. Nonthermal component in heat-induced structural deformation and phase transition in gold // Phys. Rev. В 2000, V.62, P.R11921-R11924.

27. Fisher D., Fraenkel M./ Henis Z., Moshe E., Elieser S. Interband and intraband (Drude) contributions to femtosecond laser absorption in aluminum // Phys. Rev. E 2001, V.65, 016409(8 pages],

28. Ашкрофт H., Мермин H. Физика твердого тела, M.: Мир, 1979.

29. Гинзбург В.Л., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов // УФН 1955, Т.55, С.469-535.

30. Lekner J., Theory of reflection of electromagnetic and particle waves, Dordrecht: Matrinus Nijhof Publishers, 1987.

31. Строганов В.И. Нелинейная металлооптика, Новосибирск: Наука, 1977.

32. Epstein P.S. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc.Natl.Acad.Sci. USA 1930, V.16, P.627-637.

33. Lekner J., Light in periodically stratified media // J.Opt.Soc.Am. A 1994,V1. V.ll, P.2892-2899.

34. Lekner J. Determination of complex refractive index and thickness of a homogeneous layer by combined reflection and transmission ellipsometry // J.Opt.Soc.Am. A 1994, V.ll, P.2156-2158.

35. Berreman D.W. Optics in stratified and anisotropic media: 4x4-matrix formulation // J.Opt.Soc.Am. 1972, V.62, P.502-510.

36. Lu Zh. Accurate and efficient calculation of light propagation in one-dimensional inhomogeneous anisotropic media through extrapolation // J.Opt.Soc.Am. A 2007, V.24, P.236-242.

37. Fechtchenko R.M., Vinogradov A.V. Reflection from surfaces with a thin overlayer // Optics Letters 2000, V.25, R998-1000.

38. Fechtchenko R.M., Popov A.V., Vinogradov A.V. On reflection from surfaces with a thin overlayer // Journal of Russian Laser Research 2001, V.22, P.139-148.

39. Канавин А.П., Мищик K.H., Урюпин С.А. Отражение и поглощение р-поляризованной волны металлом с неоднородной температурой электронов // Квантовая Электроника 2009, Т. 39, С. 839-844.

40. Kanavin А.Р., Mishchik K.N., Uryupin S.A. Optical properties of metals with inhomogeneously heated electrons // Journal of Russian Laser Research 2008, V. 29, P. 123-132.

41. Franken P.A., Hill A.E., Peters C.W., Weinreich G. Generation of optical harmonics // Phys. Rev. Lett. 1961, V.7, P.118-119.

42. Brown F., Parks R.E., Sleeper A.M. Nonlinear oOptical reflection from a metallic boundary // Phys. Rev. Lett. 1965, V.14, P.1029-1031.

43. Armstrong J.A., Bloembergen N., Ducuing J., Pershan P.S. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric // Phys. Rev. 1962, V.127, P.1918-1939.

44. Jha S.S. Theory of optical harmonics generation at a metal surface // Phys.Rev. 1965, V. 140, P.A2020-A2030.

45. Аланакян Ю.Р. Удвоение частоты при отражении волны от границы плазмы // ЖТФ 1965, Т.35, С.1552-1557.

46. Jha S.S., Warke S.S. Interband contributions to optical harmonic generation at a metal surface // Phys. Rev. 1967, V.153, P.751-759.

47. Rudnick J., Stern E.A. Second-harmonic radiation from metal surfaces // Phys. Rev. B. 1971, V.4, P.4274-4290.

48. Sipe J.E., So V.C.Y., Fukui M., Stegeman G.I. Analysis of second-harmonic generation at metal surfaces // Phys.Rev.B. 1980, V.21, P.4389-4402.

49. Quail J.C., Simon H.J. Second-harmonic generation from silver and aluminum films in total internal reflection // Phys. Rev. В 1985, V.31, P.4900-4905.

50. Corvi M., Schaich W.L., Hydrodynamic-model calculation of second-harmonic generation at a metal surface // Phys. Rev. В 1986, V.33, P.3688-3695.

51. Schaich W.L., Liebsch A. Second-harmonic generation at simple metal surfaces // Phys. Rev. В 1989, V.40, P.5401-5410.

52. Poliakov E.Y., Markel V.A., Shalaev V.M., Botet R. Nonlinear optical phenomena on rough surfaces of metal thin films // Phys. Rev. В 1998, V.57, P.14901-14913.

53. Smolyaninov I.I., Zayats A.V., Davis C.C. Near-field second harmonic generation from a rough metal surface // Phys. Rev. В 1997, V.56, P.9290-9293.

54. Гинзбург В.Jl., Силин В.П. О влиянии междуэлектронных столкновений на электропроводность и скин-эффект в металлах // ЖЭТФ 1955, Т.29, С.64-91.

55. Wang X.Y., Riffe D.M., Lee Y.S., Downer M.C. Time-resolved electron-temperature measurement in a highly excited gold target using femtosecond thermionic emission // Phys. Rev. В 1994, V.50, P. 8016-8019.

56. Guo С., Rodriguez G., Lobad A., Taylor A.J. Structural phase transition of aluminum induced by electronic excitation // Phys. Rev. Lett. 2000, V.84, P.4493-4496.

57. Guo C., Taylor A.J. Nonlinear optical study of the Fermi-surface oscillation in gold induced by acoustic-phonon excitation // Phys. Rev. В 2001, V.64, 245106(4 pages],

58. Guo C., Rodrigues G., Taylor A.J. Ultrafast dynamics of electron thermalization in gold // Phys. Rev. Lett. 2001, V. 86, P. 1638-1641.

59. Yoneda H., Morikami H., TJeda K., More R.M. Ultrashort-pulse laser ellipsometric pump-probe experiments on gold targets // Phys. Rev. Lett. 2003, V.91, 0750044 pages].

60. Каганов М.И., Лифшнц И.М., Танатаров Л.В. К теории радиационных изменений в металлах // Атомная Энергия 1959, Т.6, С.391-406.

61. Анисимов С.И., Капелиович Б.Л., Перельман Т.Л. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов // ЖЭТФ 1974, Т.66, С.776-781.

62. Абрикосов А.А Основы теории металлов, М.: Наука, 1987.

63. Hüttner В. The theory of laser materials processing // Springer Series in Materials Science 2009, V.119, P.315-337.

64. Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves // Reviews of Modern Physics 1989, V.61, P.41-73.

65. Carpene E. Ultrafast laser irradiation of metals: Beyond the two-temperature model // Phys. Rev. В 2006, V. 74, 024301 6 pages].

66. Hohlfeld J., Wellershoff S.-S., Güdde J., Conrad U., Jáhnke V., Matthias E. Electron and lattice dynamics following optical excitation of metals // Chemical Physics 2000, V.251, P.237-258.

67. Colombier J.P., Combis P., Audouard E., Stoian R. Transient optical response of ultrafast nonequilibrium excited metals: Effects of electron-electron contribution to collisional absorption // Phys. Rev. E 2008, V.77, 036409(12 pages].

68. Иногамов H.A., Петров Ю.В. Теплопроводность металлов с горячими электронами // ЖЭТФ 2010, Т.137, С.509-529.

69. Lawrence W.E. Electron-electron scattering in the low-temperature resistivity of the noble metals // Phys. Rev. В 1976, V.13, P. 5316-5319.

70. Lugovskoy A.V., Bray I. Ultrafast electron dynamics in metals under laser irradiation // Phys. Rev. В 1999, V.60, P.3279-3288.

71. Исаков В.А., Канавин А.П., Урюпин С.А. Поглощение фемтосекунд-ного лазерного импульса металлами и возможность определения эффективных частот электрон-электронных столкновений // Квантовая Электроника 2006,Т.36,С. 928-932.

72. Каганов М.И., Лифшиц И.М., Танатаров J1.B. Релаксация между электронами и решеткой // ЖЭТФ 1956, Т.31, С.232-237.

73. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики, М.: ВИНИТИ, 1964.

74. Guyot-Sionnest P., Chen W., Shen Y. R. General considerations on optical second-harmonic generation from surfaces and interfaces // Phys.Rev.B 1986, V.33, P.8254-8263.

75. Bezhanov S.G., Kanavin A.P., Uryupin S.A. Third harmonic generation by hot electrons in metals // Journal of Russian Laser Research 2008, V. 29, P.219-226.

76. Bezhanov S.G., Kanavin A.P., Uryupin S.A. Influence of fast heating of electrons on the optical properties of metals // Journal of Russian Laser Research 2010, V. 31, P. 554-562.

77. Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация второй гармоники и тока увлечения быстро греющей металл s-поляризованной волной // Квантовая Электроника 2010, Т. 40, С. 51-58.

78. Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация гармоник при смешении s-поляризованной волны и греющей металл волны // Квантовая Электроника 2010, Т. 40, С. 495-503.

79. Bezhanov S.G., Kanavin А.P., Uryupin S.A. S-polarized second-harmonic generation under conditions of inhomogeneous heating of electrons in metals // Journal of Russian Laser Research 2010, V. 31, P.443-451.

80. Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Взаимодействие фемтосе-кундного импульса р-поляризованной волны с быстро нагреваемым металлом // Квантовая Электроника 2011, Т.41, С.447-452.

81. Bezhanov S.G., Uryupin S.A. Harmonics generation by mixing of s-wave with metal-heating wave // Proc. SPIE 7993, 2010, 79930L9 pages].

82. Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Генерация третьей гармоники горячими электронами металла // Тезисы докладов XXXVI Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2009, С.315.

83. Бежанов С.Г., Урюпин С.А. Генерация второй гармоники и тока увлечения быстро греющей металл s-поляризованной волной // Тезисы докладов XXXVII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2010, С.300.

84. Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Поглощение и отражение лазерных импульсов фемтосекундной длительности металлами // Тезисы докладов XXXVIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС 2011, С.326.

85. Bezhanov S.G., Kanavin А.Р., Uryupin S.A. Transient optical response of metals irradiated by a femtosecond laser pulse // ICONO/LAT-2010 (August 23-27, 2010, Kazan, Russia). Technical Digest. ITuQ35(2010).

86. Bezhanov S.G., Uryupin S.A. Harmonics generation by mixing of s-wave with metal-heating wave. // ICONO/LAT-2010 (August 23-27, 2010, Kazan, Russia). Technical Digest. ITuQ2(2010).

87. Бежанов С.Г., Канавин А.П., Урюпин С.А. Взаимодействие фемтосе-кундных импульсов с быстро нагреваемым металлом // Сборник тезисов научной сессии НИЯУ МИФИ 2011, Т.2, С.171.

88. Johnson Р.В., Christy R.W. Optical constants of the noble metals // Phys. Rev. В 1972, V.6, P.4370-4379.

89. Beach R.T., Christy R.W. Electron-electron scattering in the intraband optical conductivity of Cu, Ag, and Au // Phys. Rev. В 1977, V.16, P.5277-5284.

90. Гуржи P.H. О взаимной корреляции электронов в металлооптике // ЖЭТФ 1958, Т.35, С.965-969.

91. Гинзбург B.JI., Шабанский В.П. Кинетическая температура электронов в металлах и аномальная электронная эмиссия // ДАН СССР 1955, Т.100, С.445-449.

92. Allen Р.В. Theory of thermal relaxation in metals // Phys. Rev. Lett. 1987, V.59, P.1460-1463.

93. Lin Zh., Zhigilei L.V., Celli V. Electron-phonon coupling and electron heat capacity of metals under conditions of strong electron-phonon nonequilibrium // Phys. Rev. В 2008, V. 77, 075113(17 pages],

94. Anisimov S.I., Rethfeld B. Theory of ultrashort laser pulse interaction with a metal // Proc. SPIE 3093, 1992, P.192-203.

95. Shen Y.R. Principles of nonlinear optics, New York: J.Wiley, 1984.

96. Силин В.П. Об оптических свойствах металлов в инфракрасной области // ЖЭТФ 1958, Т.34, С.707.

97. Ворн Э., Вольф Э. Основы оптики, М.: Наука, 1973.

98. McKay J.A., Rayne J.A. Temperature dependence of the infrared absorptivity of the noble metals // Phys. Rev. B. 1976, V. 13, P.673-685.

99. Физические величины, справочник, ' под ред. И.С.Григорьева, Е.З.Мейлихова, М.: Энергоатомиздат, 1991.

100. Физическая энциклопедия, Т.2, под ред. А.М.Прохорова, М.: Советская энциклопедия, 1990.

101. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела, М.: Наука, 1978.

102. Groeneveld R.H.M., Sprik R., Lagendijk A. Effect of a nonthermal electron distribution on the electron-phonon energy relaxation process in noble metals // Phys. Rev. B. 1992, V.45, P.5079-5082.

103. Акципетров О.А. Нелинейная оптика поверхности металлов и полупроводников // Соросовский образовательный журнал 2000, Т. 12, С.71-78.

104. Канавин А.П., Мищик К.Н., Урюпин С.А. // Препринт ФИАН N19, М., 2008