Теоретико-модельные проблемы алгебры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

МЯСНИКОВ Алексей Георгиевич

ТЕОРЕТИКО - МОДЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ АЛГЕБШ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в отделе алгебры и логики Института информационных технологий и прикладной математики СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Михалев A.B. доктор физико-математических наук Палютин Е.А. доктор физико-математических наук Хясамяев Н.Г.

Ведущая организация: Уральский государственный университет

Защита состоится "_" _._19Э2 г. в _час.

на заседают специализированного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский пр., 4.

С диссертацией мозлю ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "_" _ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 002.23.01

кандидат физико-математических наук

Б дальнейшем проблему разрешимости для класса % будем понимать з следующей постановке - охарактеризовать система из % , имесдиг разрешимую элементарную теорию, т.е. описать полные разрешимые расширения теории ТХ ЗС •

Б результате интенсивнейшего изучения проблем элементарной классификации к разрешимости ( см.обзоры и книги Г4,-« ,Ъ , 6 , 9 } 10,15 г 18, Ц , ] ) выяснилось, "•го не так ук того естественных классов с разрешимой элементарной теорией. Моено сказать, что открытие кадзого нового такого класса, да к тому не, допускающего удовлетворительную классификацию систем по элементарным свойствам, становится приятным сюрпризом.

Еччпная с середины 60-х годов, внутри теории моделей ~;зникла и оформилась в отдельное направление теория стабильности. Её развитие породило целый поток работ ( см. обмеры и 1-.:г-ги с ао, £3 , 3 9 , 4 2., «5", 5~2. , 60 1 ) -- которых опиоцзаются системы из данного класса «С , обла-наггтзе тем или иным свойством из теории стабильности. Примечательно, что, кроме построения конкретных примеров, подобные ••-.зоты отвечают и на обзде Еопросы тесрии стабильности, по-".кальку общие проблем часто сводятся к аналогичным задача;.!

- совершенно конкретных классах алгебраических систем. Наи-г.сльепй интерес исследователей привлекли задачи описания ^

- категоричных и стабильных алгебраических систем, особенно групп и колец. По теореме М.Морли l5i] счетная теория Т Л- категорична для всех кардиналов Л > тогда и только тегда, когда Т сО^- категорична. Поэтому <0^- категоричные теории называют танке несчетно категоричными теор!-ямн. Е этой ле работе 1'орли ввел понятие ^ - стабильности

и доказал, что каядая несчетно категоричная теория со - стабильна. Бри изучении категоричности Морли использовал понятие ранга теохии ( в дальнейшем известного как ранг Моржи). Позже Д.Балдвин доказал Г41] , что ранг Морли каждой несчетно категоричной теории конечен. Следовательно, теории конечного ранга Моряи в классе стабильных теорий образуют собственный подкласс, лежащий над несчетно категоричными теориями.

Интерес к изучению со- стабильных, несчетно категоричных

- 4 -

ОНЦАЯ 2АРАКТЕШСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению основных теоретико-модельных проблем для модулей, полилинейных отображений, конечномерных алгебр и унипотентных групп.

Упор сделан на проблемы: построения систем аксиом полных теорий; элементарной классификации; описания систем с разрешимой элементарной теорией; алгебраической характериза-цизт систем, теория которых со - стабильна, категорична или тлеет конечный ранг Морли. Выбор этих проблем обусловлен двумя причинами. С одной стороны, именно данные проблемы привлекали и привлекают до сих пор наибольшее внимание специалистов по теоретико-модельной алгебре, а с другой - эти задачи достаточно разноплановы, что позволяет продемонстрировать эффективность предложенной техники.

Кратко о полученных результатах можно сказать, что все указанные выше задачи в данных классах допускают удовлетворительное решение при естественных ограничениях на исследуемые объекты. Для первых трех проблем требуется наложить условие конечномерности, а для изучения вопросов теории стабильности достаточно потребовать отсутствие кручения ( т.е. характеристику нуль).

Изучение теоретико-модельных проблем алгебры началось практически одновременно с развитием абстрактной теории моделей. До сих пор эти направления взаимосвязаны и сильно влияют друг на друга. В этом содружестве алгебра-часто выступает своеобразным полигоном и источником новых идей к методов общей теории моделей. С другой стороны, изучение алгебраических объектов с логической точки зрения оказалось очень полезным и для самой алгебры: значительно расширился круг идей и понятий, возникли новые интересные направления исследований, с помощью логических методов были решены некоторые старые чисто алгебраические задачи.

Первоначально внимание специалистов привлекли ставшие теперь классическими проблемы элементарной классификации алгебраических систем из данного класса УС и алгоритмической разрешимости теории Ж .

или конечного ранга Морлп групп я колец, ломило всего прочего, вызван такае и тем обстоятельством, что эта понятия из теории стабильности являатся б некотором смысле обооцекаяхд известных алгебраических понятий. Так, например, стабильность кольца влечет условие минимальности д.тя лезых (или правых) идеалоз. л, как било показано з работах [15 > 39, 40 , 4 5 } . .многие результат!: классическси теории 2ед-дерберна-Артпна перекосятся на стаб;шьнне кольца. Условие конечности ранга ;.'орлп - зто обсбденЕО покатая раз-

мерности из алгебраической геометв::;' ( см., например, Е3.с} [23] ) .

Цель работа.Создать единые обцпе методы теоретико-мо-дзлыюго изучения модулей ( з двусортнсп языке), полилинейных отображен;'!, здгоср » нжшютгнтаых групп, удсвлетзорст-тх нехсторш е'итзстзеньпм условжш конечномерности. На основе ргзьитнх методов .для указанных Е'дсэ объектов описать их алементарнаэ ;ж;?рлакты, построить система аксиом полных теорий, дать разрзЕслосг:: этих теорий, а в случае характеристики нуль (глл отсутствия кручения)-чисто алгебраически сзараг.тэряповать об;.екты, теория которых категорична или нг.кет конечный ранг Морли.

Общая штопка нссле/овакия. В основе , предложенной схемы исследования легит прямой метод, восходоэдий к работам Г 11, 57 ] . Суть его состоит з следующем. При изучении элементарной теоряз системы 01 сначала указывается некоторая совокупность алгебраических инвариантов = { этой системы, затем показывается, что каздый инвариант 1(01) полностью описывается некоторым множеством предложений языка системы 01 , после чего, обычно в качестве следствия, решаются конкретные теоретико-модельные задачи. Принципиальным моментом является удачный выбор самого множества инвариантов Г^ (если вообще таковой возмояен). Технически наиболее трудное дело - это характеризадия выбранных инвариантов формулами, ключевую роль здесь играет метод интерпретаций, и особенно техника регулярной интерпретации, предложенная автором з главе I.

Научная новизна. Все основные результата рабстц являются новыми и обоснованы строгими доказательствам!. Новый

- 5 -

представляется само изучение основных теоретико-модельных проблем для двусортных модулей и полилинейных отображений, а такке рассмотрение с единой точки зрения логических вопросов для произвольных конечномерных алгебр ( степенных нильпотент-ных груш). Кроме того, заслуживает внимание и метод регулярной интерпретации, активно используемый в работе.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты и методы могут найти применение как в алгебре, так и в теории моделей. Полученные результаты дат решение основных теоретико-модельных проблем как для новых интересных классов алгебраических систем (дву-сортяые модули, полилинейные отображения), так и обобщает ряд ранее известных теорем для конечномерных алгебр и нильпо-тентных груш.

Апробация. Результаты работы докладывались в разное время на алгебраических и логических семинарах "ЛГУ, НГУ, УрГУ, ОмГУ, ЛСШ, ИЫСО РАН, на Всесоюзных алгебраических конференциях (1983, 1985, IS87) .Всесоюзных симпозиумах по теории групп (1982, 1984, 1986), Всесоюзных конференциях по математической логике (1984, 1906, 1988, 1990), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск 1989, Барнаул 1991) и теории моделей (Берлин 1990, Караганда 1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2.&-36].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Названия глав следующие: "Интерпретация", "Теория моделей модулей в двусортном языке", "Теория моделей полилинейных отображений", "Теория моделей алгебр и унипотентных груш". Объем работы 34о страниц, список литературы включает 95" наименований.

СОДЕРЕАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I рассматриваются различные типы интерпретаций, их общие свойства и методы применения. Систематическое изложение техники интерпретаций обусловлено её широким использованием во всех главах диссертации.

Понятие интерпретации одной системы пли теории - в другой появилось в статьях А.Тарского . Затем

получило своё развитие в работах Р.Робинсона [553 t А.И.Мальцева ['Ibl и М.Еабина Г531, ж} наконец, обрело наиболее общую формулировку в работах Ю. Л.Ершова Г4, 7J .

Интерпретация даёт возможность выявить связи между системами или теориями раз;шх сигнатур, казалось бы совершенно далекими друг от друга. Интуитивно, интерпретация - это кодировка одной системы в другой. Если система (теория)££ интерпретируема в другой системе (теории) & , то выразительные возможности ~Ъ~ заведомо не меньше, чем у СИ . Это позволяет ввести иерархию систем или теорий по их выразительным возможностям, что можно понимать как иерархию по их сложности. Первоначально метод интерпретации использовался в основном для доказательства неразрешимости теорий, а тленно в тех случаях, когда в изучаемой теории *Т удавалось интерпретировать некоторую другую неразрешимую теорию£(например, арифметику). В настоящее время метод интерпретации проник в различные области теории моделей и используется как универсальный способ сведения изучаемых объектов к более простым или ранее изученным. В основе этого метода лежит понятие трансляции формул, а тленно, по каждой формуле Y языка теории эффективно строится Форлула trt^ теотаи Т так, что ЧеТс <Н> КЧ еТ.

В §1 объясняются понятия абсолютной.(без параметров) и относительной (с .параметрами) интерпретаций. "В целом мы следуем здесь книге Ю.Л.Ершова и Е.А.Палютина Г9 1 , язляэдейся, в настоящее время, одншл из лучших введений в метод интерпретаций.

§2 является ключевым для главы I, в нем вводится понятие регулярной интерпретации (промежуточной между абсолютной и относительной) одной алгебраической системы или теории - в другой. Его удобство состоит в том, что, с одной стороны, регулярная интерпретация есть интерпретация с параметрами и) значит,позволяет многое интепретировать, а с другой стороны, она достаточно "жесткая", а по то?,ту имеет свойства, подобные интерпретации без параметров. В качестве основных результатов главы можно отметить признак абсолютной интерпретации (ТЕОРЕМА I), показывающий, в каких случаях из регулярной интерпретируемости следует абсолютная, а также общий признак

регулярной интерпретации (ТЕОРЕМА 2).

U § 3 доказывается, что регулярная интерпретация сохраняет многие логические свойстьа систем или теорий, в част- . ности: элементарную эквивалентность, алгоритмическую разрешимость, Х- стабильность, ы- категоричность, конечность ранга ^орли и др.

§ 4 играет важную роль на протяжении всей диссертации. В нем вводится общее понятие класса X . допускающего форельное разложение на компоненты. Оно даёт единый метод сведения широкого спектра теоретико-модельных проблем душ данной систеш Си из X - к компонентам Ol - К основным результатам главы I следует отнести теорем 3 и 4. Теорема 3 утверждает, что если класс УС допускает формульное разло-- -л:ие ка компоненты, то для любой систеш Dl из % теория —•>', (71- обладает свойством разрепнмости, А- стабильности

о) - патэгоричности или конечности ранга Корда тогда п только тогда, когда такова теория каждой компоненты ОЬ , причём для произвольной систеша = ^i (

где я - все компоненты OL и & в соответствующей нумерации ( при изучении ¿j - категоричности и элементарной эквивалентности требуется также замкнутость % относительно = ). Теорема 4 показывает, как выписать систему аксиом полной теории T-LOi , зная аксиомы её кошонент Ol,

( =1 , ... , } душ любой OL из аксиоматизируемого класса 'ЗС . допускающего- формульное разложение на кошоненты.

В § 5 обсуждаются некоторые конкретные факты о взаимной интерпретируемости полей и колец, они применяются в последующих главах. Отметим теорему 5,- которая утверждает, что ар!фглеTinea А/= абсолютно интерпретируема в кольце

многочленов Fttl над полем F . Этот факт существенно ЕС_ пользует признак абсолютной интерпретируемости (теорему I), Ранее была известна только относительная интерпретируемое}-!, М в F ГЫ Гчо 3 .

Наконец, в § 6 обсуждается понятие регулярной интерпретации с помощью типа, обобщающее регулярную интерпретацию нз § 2. Оно исключительно удобно при построении систем аксиом полных теорий и является основным инструментом при построении аксиом модулей, полилинейных отображений, конеч-

номерных алгебр я унипотентннх групп.

Елаза 2 посвящена изучении теорий моделей модулей в двусортном языке.

Теория моделей модулей берет свое начало с работы В.Шмелевой [ 571, в которой были решены проблеш элементарной классификации, элиминации кванторов и разрешимости теорий абелевых групп в сигнатуре , о>. Следуя схеме Шмелевой, каздой абелевой группе G можно сопоставить такой счетный набор инвариантов { i (G) I i £ I } , где

KG) либо натуральное число, либо символ оо , что для любых абелевых групп А ж 6 имеем:

1) АзВ f» 1(A) — Í (&) Viél ;

2) теория T-L А разрешима ФФ шоЕество инвариантов { i (А) I' ? Г 5 вычислимо ( в том смысле, что для любых if X , ке N , эффективно проверяется истинность неравенства i(A~) ) . Более того, каждый инзариант i {"А) однозначно характеризуется некоторым довольно простым мно-seciBOM предложений S- теории абелевых групп. Поэтому, ввиду I), легко выписывается система аксиом группы А :

3) иночество ,угвместе с аксиомами теории абеле-внх групп составляет систему аксиом полной теории Т-к А

■йошы образом, инварианты группы А полностью характеризуют теорию TÍ. А и являются удобным средством для её изучения. Для нас очень важна caí,а идея этого подхода (далее называем его пряшм ме тодсм)-кзучеrare теории Т-к А через описание полного мнснестза логических инвариантов группы А . Именно этот путь мы изберем в дальнейшем. Что касается вопросов теорга стабильности,отметим работу А.Ма-кинтайра [ ¿¡а].

Переход от абелевых групп к модулям над кольцом А требует расширения групповой сигнатуры. Здесь есть два пути: переход к языку А- операторных абелевых групп LA и введение двусортного языка . В первом случае ( а имен-

но так и пошю развитие теории), модуль W над ассоциативным кольцом А рассматривается как Д - операторная абе-лева группа, т.е. для какого JlG-A определена унарная

операция ^ • M 'AI } ¿-¿(-х)^ J.X. -умножение на скаляр U. • Язык Z^ получается из языка абелезых групп добавлением в сигнатуру всех унарных операций , * е /4 Первым существенным вкладом в изучение элементарных теорий модулей в языке ZA стали работы В.Еаура и Л.Мота

[50] . Баур доказал, что кавдая формула эквивалент-

на относительно полной теории Tl.A (b) языка некото-

рой булевой комбинации позитивно-примитивных формул. Результаты Монка позволяют для А - модуля M определить полное множество логических инвариантов в языке Ад ., полностью характеризующее теорлюТя^^ . ■ Вопросы, связанные с

t-à- стабильностью А - модулей были решены С.Гараваглией С 46,4*1.

В конце 70-х и в 80-х годах теоретико-модельные проблемы модулей в языке А интенсивно изучались, можно сказать, что модули стали ещё одним испытательным полигоном для абстрактной теории моделей. Среди многих работ отметим оказавшую большое влияние статью М.Циглера [60"]. Определенный итог этим исследованиям подвела монография М.Преста [52.3, библиография которой содержит более 500 работ.

В диссертации А - модуль рассматривается в

двусортном язнке Z ( один сорт - для элементов из M , а другой - для скаляров из А ). По мнению автора, такой переход от языка LA к языку ¿-mod диктуется самой логикой развития теории моделей модулей и приложениями результатов о модулях в теоретико-модельной алгебре. Так как в языке ¿А уже построена глубокая и красивая теория, то целесообразно чуть более подробно аргументировать необходимость введения языка Z^.rf . Во-первых, именно двусорткые модули возникают в теории моделей групп, колец и полилинейных отображений (см.главы 3 к 4 ). Во-вторых, двусортный язык значительно богаче языка ( в к;п;ге подробно изучались выразительные возможности языка A ncj и их сравнение с языком ), но при этом язык /fttc^ - - язык конечной сигнатуры, a Zд - монет иметь любую мощность. Конечно, увеличение выразительных возможностей языка L , по сравнению с ¿-А , делает более сложны/ изучение самих двусорт-ных модулей M , А У , поскольку требует, по крайней мере,

-Ю-

изучена» элементарной теории кольца А • Однако^результаты главы 2 как раз я показывают, что изучение двусортных модулей допускает единую содержательную теорию. Кроме того, решение отмеченных вшпе основных теоретико-модельных проблем для двусортных модулей, по сравнению с языком ZA , выглядит более "алгебраячным" как по доказательству, так и по формулировке.

Перейдем к изложении основных результатов главы 2. Заметил, что все они получены прямым методом и существенно используют технику регулярной интерпретации из глаЕЫ I.

Цель первого параграфа - показать, что теоретико-модельное изучение конечномерного модуля , АУ с локальным кольцом А при помощи интерпретаций сводятся к классического случаю, когда А - поле, а M конечномерный А - мо,дуль. Идея такой редукции заключается в переходе от кольца А к его полю вычетов fe ("А) - Оказывается, что: само поле fe (А) , его действие на Я , понятие k. (А)-базы M и даке набор структурных констант Г0 некоторых специальных è- ) - баз M - все эти объекты в определенном смысле интерпретируемы в модуле , АУ - Зто позволяет решать основные теopeтико-мсдельные задачи для

И , А У естественным путём - используя стандартный аппарат линейной алгебры. В §1 вводится набор основных инвариантов 7пъ- См гА) ~ ^ р , й/» ÇM,А,У) , модуля M , А)> , характеризуодих "базовую" часть полной теории Tti ¿.M ,АУ . Здесь р - характешстика поля k СА) , Я> itn (M, А, 1) — размерности модулей А/ и

А над k ('А) , связанные с некоторыми рядами подмодулей, а С Го) - набор числовых инвариантов, характеризую-

щий бескванторный тип. набора структурных констант Го , порождающего минимальное поле определения feQ— PClJ) модуля < M , А> над к С А") . Набор инвариантов А) однозначно характеризует некоторый конечномерный базовый fë0- подмодуль Вял0 , из которого исходный модуль ,АУ получается обычной операцией тензорного пополнения

< М,А> Ьло0 ®k k СА) .

Основным результатом §1 является основная лемма из п.2.1.4, котсрая^по существу, утверждает, что поле < к ("А), с знде-легашм набором структурных констант Г0 регулярно интер- • претнруемо в (И , А/ с помощью типа. Заметим, что^в силу конечномерности^ модуль ^ Ц , А > абсолютно интерпретируем в поле < к СА), Г0> .На этой взаимной интерпретации и • основаны все результаты главы 2. Основная лета ( в разных формулировках) является одним из главных технических результатов диссертации.

В §2 доказывается, что кагдый конечномерный модуль¿М , А)> допускает формульное разложение на компоненты, а следовательно, в салу общих результатов главы I, изучение основных теоретико-модельных вопросов для <М. , А> сразу сво -дится к случаю локального кольца А - компонентам модуля

4М ,АУ .

Ь ■ 3 в теореме II указана система аксиом полкой теории Я<« ,А У произвольного конечномерного модуля -СМ , Л> . Теорема II является одним из основных результатов диссертации. Её доказательство основано на общей теореме 4 из главы I, позволяющей автоматически выписывать аксиомы системы 01- , знак аксиомы её компонент, и теореме 10, в которой описывается система аксиом , АУ для случая, когда <А<1 , Д> прямо нсразло?"1г.1 ( что эквивалентно локальности кольца А ).

ТП0Р3.1А 10. Пусть < М , А > - произвольный конечномерный модуль с локальным комцутативнш кольцом А , I- его набор инвариантов. Тогда следующие множества предложений составляют систему аксиом полной теории и^М,А> :

А1) ¿ы - конечное множество аксиом класса всех мо-

дулей (см. А1) из п.2.3.1);

А2) скр > при р>о, или Т0 , при р — О , - аксиомы класса ТТЪр всех модулей над полем характеристики /> в клас-

се 'ЧП. (см. А2) из п.2.3.1);

АЗ) конечное множество аксиом класса Б классе ,

характеризующее размерность гх'л «= ¿"¿/,4,*) £

А4) ^0"») - аксиомы класса в классе ^ай* из

теореш 8, характеризующие диаграмм «бе/-СГо) €-1 ;

А5) S C'M,A) - аксиомы класса XC», A) в классе. из теоремы 9, характеризующие тип, который реализует набор Г0 в иоле к.СА> (т.е. теория поля kfA), Гв> ).

Заметим, что ансиош AI) - A4) характеризуют набор инвариантов С*4, А) , т.е. базовый подмодуль , определенный по C^jA) . Они составляют первую группу аксиом, которые характеризую? модуль ^ .4 , А )> относительно поля R fA) , эта группа аксиом всегда рекурсивна. Вторая группа аксиом - это А5), они характеризуют уге сложность самого поля и,более того, слоглость набора элементов Г0 из к С А) . Б конце §3 а»о4 показано, как будут выглядеть аксиомы для различных конкретных типов модулей < **, А> в частности, над полая С , ¿6 2 (Ц . Кроме того, в §4 построена редукция позволяпзая сводить основные теоретико-кодельные задач;: для модуля < M , А У с некоммутативным жольцом А к коммутативному случаю, т.е. теорема!» 10 и II. ото ваяний результат, показывающий, что во всех формулировках осношзгх результатов главы 2 условие коммутативности кольца А мокно выбросить.

В §5 доказывается теорема 12, объясняющая алгебраическое строение моделей полной теории Т& £ M }АУ ■ Как и ракь-пе,ш сформулируем её только для прямо ке разложимо го модуля, поскольку общий случай получается из этого простым при,:енэна-ем общих результатов §4 главы I.

ТЕОЕЕШ. 12. А. Пусть ^ - прямо неразложимый

конечномерный модуль. Тогда каждая модель , В > полной теории ТА. 4 W, А > ткет вид

es BflS0^feefcC5) ; k(&)?= k(A)f

где Bit60 и k-o - базовый модуль и поле определения, отвечавшие структурным константам Q из набора инвариантов 1ъь- СМ,А).

Таким образом, все модели полной теории ТА. имеют единую хзсткую основу - базовый модуль 8as0 , а варьируются в них только коэффициенты, причём само поле коэффициентов элементарно эквивалентно исходному полю k (А).

Третьим основным результатом глава 2 является критерий разрешимости теории Th < M , А > , доказанный в теореме^

- 13 -

из § 6. Как и раньше9сформулируем результат для прямо неразложимого случая, поскольку общий случай следует из него.

ТЕОРЕМА 13.А. (Критерий разрешимости). ■ Пусть ,ду -конечномерный прямо неразложимый модуль. Тогда теория А > разрешима тогда и только тогда, когда некоторая её модель <Л/ , 5> рекурсивно задана над полем к (В) .

На самой деле, как следует из леммы 2.6.I^сли теория разрешима, то каждая со - насыщенная или рекурсивно насыщенная модель , 8 У этой теории рекурсивно задана над к.(В) .

Эта теорема имеет много приложений для модулей , А)> конкретных типов и в частности, над конкретными полями <£ ,

£ 2 я .

' ~ и -

Наконец, в §7 описываются - категоричные и конечного ранга Морли модули характеристики нуль.

ТЕОРЕМА 14. (Критерий конечности ранга Морли). Модуль ^/Ц , А У характеристики нуль имеет конечный ранг Морли <£=£> < М, А У допускает разложение

О! 9

где , А - конечномерный прямо неразложимый модуль над алгебраически замкнутым полем кхарактеристики нуль.

ТЕ0Н2МА 15. Пусть <! М , А> - произвольный модуль характеристики нуль. Тогда теория Т-&, < М , катего-

рична^^ , А > - прямо неразложимый конечномерный

к - модуль над алгебраически замкнутым полем & характеристика нуль.

В третьей главе диссертации решится основные вопросы теории моделей полилинейных отображений. Систематическое теоретико-модельное изучение полилинейных отображений проводятся, по-видимому, впервые. Зто несколько странно, поскольку такие популярные объекты исследования, как кольца и нильпо-тентные группы, буквально "напичканы" интерпретируемыми в них билинейными отображениями.

Цусть ,... , М ^ , А/ у , — модули над некоторым: кольцом А , 1 ... * —* А! - А- полилинейное отображение. С точки зрения теории моделей отображение! £ - это многоосновная модель вида

-14 -

аео= <м11...) ж,- / > ,

где М1 , N _ абелевы группы, а / - операшгя на них. Заметим, что язык заранее не содержит никакой инфорг.а-цяп о кольце скаляров А .

Изучение теории ТА 01 СО проводится прямым

гжтодом, т.е. вводится некоторый набор инвариантов 1*1г (■{■) я доказывается, что каждый инвариант из этого набора описывается формулами языка А ^ модели ¿ЗГ ¿V) . Главу можно разбить на две части, в первой части (§1 - §5) изучаются различные кольца скаляров отсбраже:тя £ и показывается, что некоторые из них интерпретируемы в вместе со своим действием на модулях Мп . По существу, в этой части предложен общий метод сзеденля теории моделей отображения ^ к аналогичным задачам для двуссртных модулей. Во второй части ( §6 - §9), используя результаты главы 2 о двусорт-кых модулях, для конечномерного над полем отображения £ строится система аксиом теории дается критерий её разрешимости, описывается алгебраическое строение её моделей и для произвольного отображения ^ характеристики нуль вняс-няется}когда его теорш категорична или имеет конечный ранг Иорли. .

В §2 вводится категория ^ всех обогащений отображения ^ , позволяющая рассматривать целиком всю совокупность колец скаляров отображения {■ . Универсальные объекты категории СО приводят к принципиально важному понятию наибольшего обогащения С/, Р60) и наибольшему кольцу скаляров Р СО отображения £ . Кольцо Р(1) является наиболее естественным кольцом скаляров f и отражает многие свойства . Сама идея рассмотрения категорий обогащений f и их универсальных объектов является новой и представляется достаточно плодотворной. На этом пути вводятся также универсальные тензорные и внутренние обогащения £ и соответствующие им кольца скаляров.

В §3 изучается подкате горня СО всех полевых обогащений £ . Для прямо неразложимых конечномерных отображений 4 максимальные поля скаляров к(^) существуют, определены

однозначно с точностью до изоморфизма и допускают удобное описание.

§ 4 является ключевым для первой части главы 3, в нем доказывается интерпретируемость двусортных модулей' вида

<«i,P£V)> , < N, PC-f)> л ' в модели ВД.

ТЕОРЕМ 19. Пусть /Ut х ... < —>// _ невыронден-ное полилинейное отображение "на" конечного типа. Тогда кольцо PCO и его действие на модулях ,... ( 3 А/ абсолютно интерпретируемы в Ol (f) , причём вид интерпретирующего кода зависит только от типа £

Эта теорема является одним из основных результатов главы 3, позволяющий систематически использовать двусортные модули в теории моделей полилинейных отображений.

В §5 достаточно подробно выясняется структура формульных множеств отображения / , вводится набор инвариантов Jnv (i) и показывается, что отображения конечного типа допускают формульное разлояение на компоненты. Поэтоцу, как и в модулях, достаточно рассматривать далее только прямо не-разлокимый случай.

Во второй части главы 3 результаты главы 2 о двусортных модулях применяются, с помощью техники,развитой в первой части, к элементарным теориям полилинейных отображений. Формулировки теорем во многом похожи на соответствующие утверждения из главы 2.

В §6 доказана основная ТЕОРЕМА 23, в которой выписана система аксиом полной теории T4(f) произвольного конечномерного полилинейного отображения -f . Если £ - прямо неразложимое и некулевое, то как и в случае модулей, аксиомы теории Т{. (-f) разбиваются на две части: первая описывает набор инвариантов luv (4) .а вторая - тип кортежа структурных констант Г^ в поле kCi) .где Г^ е T*v ({)

В §7 указывается алгебраическое строение моделей теории . Подобно двусортным модулям, набор инвариантов однозначно определяет минимальное поле определения ко , порождешгое множеством структурных констант Г^ , и конечномерное к0- полилинейное отображение ßa.'.^fd) . Тогда справедлива

ТЕОга.'-А 24.А. Пусть J- - прямо неразложимое ненулевое конечномерное отображение. Тогда для любого отображения ^ , если f , то

где

и «о - базовое отображение и поле определения, отвечаодие набору Ibv- (£) .

В §8 сформулирован общий критерий разрешимости теории Tt (■$) для произвольного конечномерного отображения f -это основная ТЕОРША 25. Сформулируем её только для прямо нераЗюжкмого случая.

TE0FEMA 25.А. Пусть J - прямо неразложимое ненулевое конечномерное отображение. Теория T£,(J) разрешай тогда и только тогда, когда некоторая модель fy теории ТЧ. CJ-) рекурсивно задана над полем kCjO .

Наконец, в §9 мгасапн категоричные, конечного ран-

га Морли, а так же указано необходимое условие eà- стабильности для отображений характеристики нуль. Основными являются следующие результаты.

ТЕОРЕМА 27. Пусть i • * ... * цт ^ ~ полилинейное отображение характеристики нульЛ^Шимеет конечный ранг Морли тогда и только тогда, когда / допускает раз-ложвние на компоненты

I - i, Но ,

где 41 - конечномерное прямо неразложимое kc- полилинейное отображение над алгебраически замкнутым полем k ,

О , a io - тождественно нулевое - полилинейное отображение.

ТЕОРША 28. Ненулевое полилинейное отображение i' М^г ... * M „ —> /V характеристики нуль гадает Ц,-

категоричную теорию 74 (■f) тогда и только тогда, когда ■f -прямо неразложимое конечномерное отображение над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

В главе 4 решаются основные теоретико-модельные вопросы для произвольных конечнрчегхих алгебр и ушпотентных к- групп-(в случае групп cnaitk=c). Все алгебры в диссертации рассматриваются только в кольцевой сигнатуре, а группы - в групповой.

Среди всех колец наиболее изученными с логической точки зрения. являются поля. Изучение вопросов разрешимости в полях началось с результатов А.Тарского Г5"? ] о разрешимости элементарных теорий алгебраически е вещественно замкнутых полей. Отметим также, сказавпие большое влияние, теоремы Ю.Л.Ершова Г 5 ] и Д.Акса и С.Кочена Гз*] о разрешимости элементарной теории поля р- адических чисел С?р . а также теорему Д.Акса Пт 1 о разрепимости элементарной теории класса всех конечных полей. В дальнейшем каждый из этих результатов получил существенное расширение (см.обзор [41]). В указанных работах строятся системы аксиом изучаемых полей. С другой стороны, Д.Робинсон доказала, что элементарная теорм поля (£> рациональных чисел алгоритмически неразрешима. Она же распространила - ;от результат на произвольное поле алгебраических чисел р*].

этих работах существенно использовался метод интерпретаций, • именно, в изучаемом поле интерпретировалась арифметика.

Что касается элементарных теорий колец, не являющихся полями, то в целом можно сказать, что существует много отдельных результатов по проблеме разрешимости (см.обзор Г9}), сравнительно мало результатов по проблеме элементарной классификации и почти кет работ, в которых описывались бы системы аксиом полных теорий. Было замечено, что в некоторых ^ - алгебрах Е удается интерпретировать основное поле к , для ко-нечномергшх алгебр верно и обратное (но интерпретация обычно использует параметры).. Такшл способом, путём сведения теории Т4 К- к теории Ь, основного поля^были частно решены теоретико-моделы.-ые вопросы для некоторых специальных классов конечномерных алгебр: коммутативных с I (Г.Черлин и Д.Вайнеке [443), центральных простых (Р.Брюс Г5£] ), строго верхнетреугольных матриц ( В.Виллер [591) к некоторых других. В частности, для полной матричной алгебры Ма^ А и алгебры строго верхнетреугольных матриц над полем к. были выписаны системы аксиом. Впервые общий метод такого сведения был предложен А.Г.Мясниковым и В.Н.Ремесленниковым в Г-^.гг}, где с его помощью удалось классифицировать по элементарным свойствам конечномерные - определенные алгебры над- выделяемыми полями характеристики нуль.

С другой стороны, также к конечномерным алгебрам во мно-

-18 -

гих случаях приводило описание колец, теория которых ¿01-категорична. Г.Черлик и Е.Рейнеки доказали, что з классе колец характеристики нуль коммутативное кольцо с ' и не-' нулевым умножением О. - категорично тогда и только тогда, когда оно является конечномерной прямо неразложимой алгеброй над алгебраически замкнутым полем, Б.И.Зильбер [>3 получил в точности такую яе характеризациэ категоричных ассоциативных сГ и лиевых колец. В диссертации показано, как в общем случае при теоретико-модельном изучении произвольней конечномерной алгебры й провести редукщто к ее основному поли. На основе этой редукции получено решение основных теоретико-модельных вопросов в классе всех конечномерных алгебр . '.'олаш сказать, что вслед за поляг,к класс А ^ составляет е настоящее время самый широкий класс колец, допускающих удовлетворительное теоретико-модельное изучение.

Кроме того, доказано, что указанная выше характериза-ция иЗ^ - категоричных колец, справедлива для произвольных колец характеристики нуль.

Поскольку гру™^ в диссертации уделен только один, последний параграф, то обзор теоретико-модельных результатов в группах будет тота очень коротки;.!, хотя в этой области есть много красивых и глубоких результатов.

АбелеЕы группы занимают з теории моделей групп особое место. Это наиболее изученный с логической точки зрения класс групп. Этот факт объясняется ке только историческими причинам:. Ю.Л.Ершов и Л.Тарский высказали гипотезу, что любое неабелево многообразие групп тлеет неразрешимую теорию (теория зсех абелевых групп разрешима по теореме В.Шмелевой). Ю.Л.Ершов Гю] к А.П. Замятин Г1- 1 полностью подтвердили эту гипотезу. Следуюшая серия результатов опять подчеркивает сложность теорий з некоммутативном случае. Сначала А.И.Мальцев Г1£] показал, что теория конечнопороэденной (.далее к.п.) нильпотектной неабелевой группы неразрешима,. Затем Ю.Л.Еппсз С 2 1 существенно обобщил этот результат, доказав, что теория Т-А. О, .к.п. иильпотентной группы С разрешила тогда к только тогда, когда С почти абелева. Наконец , этот результат в точности переносится Н.С.Романовским Г32] на пешицикли-ческие и Г.А.Песковым Г 1 - на разрешимые группы. Во всех

случаях в группе G интерпретируется арифметика. С другой стороны, А.И.Мальцев Си} решил задачи элементарной классификации и разрешимости полных теорий для классических линейных групп, показав,что основное поле коэффициентов интерпретируемо в исходной группе. Если учесть, что к.п. нильпотентные группы являются к.п. Z- группами (в смысле Ф.Холла ), то упомянутые выше результаты о нильпотентных группах укладываются в общую схему - сведение к кольцу коэффициентов. А.Г.Мясников и В. Н. Реме еле шик ов в работе Zif ] предложили общий метод такого сведения для Q - определенных унипотент-ных групп над выделяемыми поляш характеристики нуль. В диссертации, в качестве следствия результатов о конечномерных алгеброй изоморфизма категорий нильпотентных 4- алгебр Ли и унипотентных к. - груш^ решены основные теоретико-модель ные вопросы для произвольных унипотентных групп над полем характеристики нуль.

Остановимся очень бегло на основных результатах главы 4 Окончательные формулировки основных результатов дая алгебр получаются из соответствующих теорем для полилинейных отобра кений заменой слова "отображение" на слово "алгебра", поэтому сами формулировки теорем приводить во введении не будем, отсылая при необходимости в основной текст.

Но при этом отметим некоторые специфические моменты,характерные именно для алгебр и унипотентных групп.

Основными результатами главы можно считать Т Е О Р Е-ИЬ 32, 33, 34, а также 36 и 37, в котррых, соответственно: стрс ится система аксиом полной теории ТА, Я произвольной коне* номерной алгебры Я , даётся^ описание алгебраического строения моделей, теории TL £L ,'^критерий её разрешимости, а также описываются кольца характеристики нуль, теория которых имеет конечный ранг Морли или <J±- категорична.

По сути дела, элементарная теория алгебры й полности определяется билинейным отображением : И * & —' Я умножением в R- . Поэтому неудивительно, что полученные р зультатн для алгебр являются переформулировкой аналогичных результатов для полилинейных отображений. Но тут есть свои проблемы, обусловленные в конечном счете тем, что у отобра-

-20 -

жения вре участвующие модула одинаковы. В частности, не так просто, как в случае полилинейных отображений, перейти от алгебры к алгебре с невырожденным умножением (переход к ^/АикЯ недостаточен), вследствии чего максимальное кольцо "скаляров" А(И) действует, вообще говоря, не на всей алгебре Я , а только на й /уЬя и (2г . Другим существенным затруднением является то обстоятельство, чтол вообще говоря, компоненты алгебры й определяются по £ не однозначно ( их может быть бесконечно много), хотя все разложения Я на компоненты изоморфны между собой.

В §8 главк 4 все результаты о конечномерных алгебрах автоматически переносятся на унлпотентше & - группы над полем 1г. характеристики нуль. Делается это на основе изоморфизма а : ^о С? между категориями нильпотентных к -алгебр Ли и нильпотентных к,- групп . Ключевым мо-

ментом здесь сказывается теорема, согласно которой нильпо-тектная алгебра Ли А и нильпотентная группа ^ (¿) взаимно абсолютно интерпретируемы друг в друге.

Литература

I- Адян С.И., Маканин Г. С. Исследования по алгоритмическим вопросам алгебр// Тр.матем.ин-та АН СССР им.В.А.Стекло-ва.- 1984.- Т.168, - С.197-217.

2. Бокуть Л.А., Кукин Г.П. Неразрешимые алгоритмические проблемы для полугрупп, групп и колец // Итоги науки и техники .ВИНИТИ.Алгебра.Топология. ометрия. Т.25.- 1987.- С.З-66.

3. Еаженин Ю.1.1. Разрешимость теорий первого порядка классов полугрупп // алгебраические системы и их многообразия.-Сб.каучн.трудов. Свердловск.- 1988.- С.23-40.

4. Ершов Ю.Л. Неразрешимость некоторых полей // ДАН СССР,- 1965.- Т. 161,И.-С.27-29.

5. Ериов Ю.Л. Об .• эдаментарных теориях локальных полей// Алгебра и лог.- 1965.-4, Л2.~ С.5-30.

6. Ершов Ю.Л., Лавров И.А., Тайманов А.Д., Тайцлин М.А. алементарнпе теории // УМН.- 1965.Т.20Д4.- С.37-108.

7. Ершов Ю.Л. Ноше примеры неразрешимости теорий // Алг. и лог.- 1966.- Т.5, Ш.- С.37-47.

8. Ершов В.Л. Об элементарных теориях групп // Докл.АН СССР.- 1972.- Т.203, Л5.- С.1240-1243.

9. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика// М.: Наука.- 1973.

10. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели // М. .-Наука.- 1980.

11. Ершов Ю.Л. Алгоритмические проблемы в теории полей// В кн.:Справочная книга по математической логике т.З. Теория рекурсии // М.-.Наука.- 1982.-С.269-353.

12. Замятин А.П. Неабелево многообразие групп тлеет неразрешимую элементарную теорию// Алгебра и логика.- 1978.-Т.17.Ш.- С.20-27.

13. Зильбер Б.й. Кольца, теория которых и- категорична// Алг. и лог.- 1974.- Т.13.Я1.- С.168-187.

14. Зильбер Б.И. Несчетно категоричные нильпотентные группы и алгебры Ли // Изв.вузов.мат.- 1982.-$5.-С.75.

15. Кокорин А.И., Пинус А.Г. Вопросы разрешимости расши-реиных теорий // Успехи мат.наук.- 1978.- Т.33, Х2.~ С.49-84.

IS. Мальцев А.И. Об одном соответствии между кольцами и группами// Мат.сб.-I960.- 50, .',"3.- С.257-266.

17. Мальцев А.И. Об элементарных свойствах линейных групп // В кн.:Некоторые проблемы математики и механики. Новоси--бирок.- 1961.- C.II0-I32.

18. Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики // Международный конгресс матека-тиков.м.: - 1966.- С.217-231.

19.Носков Г.А. Об элементарней теории конечнопорожценной почти разрешимой группы/У Изв.. Alt СССР, сер.мат.- 1983.- Т.47, ЯЗ.-С.498-517.

20. Палютин S.A. Спектр и структура моделей полных теорий// В кн.:Справочная книга по математической логике. Теория моделей.чЛ.Перев. с англ. М.: Наука.- 1982.

21. Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Теоретике- модельные и алгоритмические вопросы теории групп // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Алгебра.Топология.Геометрия. T.2I.M.- 1983.-С.3-79.

22. Романовский Н.С. Об элементарной теории почти полициклической группы /./ Мат.сб.- 1980,- Т.Ш, »1.- С.135-143.

23. Сакс Д.Е. Теория насыщенных моделей // Мир.- 1975.

24. Мяснкков А.Г, Ремесленников В.Н. Оормульность множества мальцевских баз и элементарные теорш! конечномерных атгебр.1 // Сиб.мат.жур.- 1982.- Т.23, JS5.- С.152-167.

25. Мясников А.Г., Ремесленников В.Н. Формульность шо-жества мальцевских баз и элементарные теории конечномерных алгебр.П // Сиб.мат.журн.-1983.- Т.24,Ж,- С.97-113.

26. Мясников А.Г. Полные теории нильпотентных групп// В кн.: 7Ш Всес.кснф.по теории групп: Тезисы докл., Сумы.- 1982.

27". I4yasniJcov A.G., Remeslennikov 7.Ы. Finite-dimensional algebras and 1c - groups of finite rank // Contemporary Math.- 198Фг v-33.

28.Мясников А.Г. Элементарная эквивалентность конечно породденннх нильпотентных групп// В кн.:.IX Всес. симп.по ' теории групп. Тез.докл. М.- 1984.

29. Мясников А.Г. ы- стабильные кольца и группы без кру-

чения// В кн.: УП Всес.конф.по шт.логике: Тез.докл..Новосибирск.- 1984.

30. Мясников А.Г. Элементарные теории и абстрактные изоморфизмы конечномерных алгебр и унштотентннх групп// Докл. АН СССР.- 1987.- Т.297, Л2.- С.2Э0-293.

31. Мясников А.Г. Стрсеш:е моделей и критерий разрешимости полных теорий конечномерных алгебр // Изв.АН СССР, сер мат.- 1Э8Э.-Т.53, >52.- С.379-397.

32. Мясников А.Г. Элементарная теория модуля над локаль-нш колыдац// Сий.-ыат.яурн.- 1989.- Т.30,.'S3.-С.72■-83.

33. Мясников А.Г. Теоретико-модельныз вопроси теории групп// В кн.:Вопросы алгебры.- 1989.- Гад.4.- Минск.- из-во Университетское.

34. Мясников А.Г. Определимые инварианта билинейных отображений// Сиб.мат.яурк. - 1990.- T.3I. Ш.- С.Ю4-1Г5.

35. Г;!ясников А.Г. Теория моделей билинейных отображений// Сш5.ыат.журн-- 1990.- T.3I, ЕЗ, С.94-108.

3S. Мясников А.Г. Об элементарной эквивалентности модула; в даусортнш языке // в кн.: Десятая Всес.конф- по мат.логике.

37. Ax.J. The elementary theojy of finita fields/tan. Math.- 1963.- v.Sd.-pp.239-271.

34- Ax J, Kocfaea 2. Diophantine prcblaos over local: fields // Aaa.Jiath.- 1966,- 83.- pp. 437-456.

39. Baldwin J. Stability theory and algebra // Symb. log.- 1979»- v.44,Ш4.-pp.599-608.

40. Baldwin J., fiose B. So- categoricitу and stability of rings // J.of Algebra.- 1977.- v.45.~ pp.1-16.

m. Baldwin J. «¿T is finite for categorical 2 //

Irans. Amer.toth. Soc.- 1973»- v.181.- pp.37-51.

2» Baldarin J. Fundamentals of stability theory // Berlin, Springer.- 1983.

43» Baur W. Elimination of quantifiers for nodules // Isarael J.liatfcu- 1976,- 25.- pp.64r70.

44. Cherlin G., HeiaeUe D. Catesoricity and stability of consultative rings // Ann. Uath.Log.- 1976.-10,- pp.367-399.

45. Feigner 0. Kategorizitat // Jahresber. Dtsch. LLath.-19cS0.- v.32,111.- pp. 12-32-!-

6. Gar&vaglia S. Direct product decomposition of theories of modules // Л. Symb. Log.- "1979.-v.-44, H1.- pp.77-83.

47. Garavaglia S. Decomposition of totally transcendental nodules // J.Symb.Log.- 1980,- v.45.- pp.155-164.

48. Jensen C.V., Lenzing H. Model Theoretic Algebra// Gordon A Breach, Ueu-York.- 1989.- 430 pp.

49. Liacintyre A. On -categorical theories of аЪе-lian qroups // Fund.Math.-1970.-v.70.- pp.253-270.

50. Monk L. Slementary recursive procedures// Doktoral Thesis, Univ. of California, Berkeley.- 197551. Ыог1еу M. Categoricity in power // Trans. Amer.

¡¿ath.Soc.- 1965.- v.114.— pp.514-538.

52. Prest K. Model Theory and Modules // Cambridge Univ. Press, London llath.Soc.lecture Hote Series 130.- 1988.388 pp.

53. Habin li.O. A simple method for imdecidability proojs and some applications //- In.: Logis, Method- ology and Philosophy of Science, II / Ed. Y.Bar- Hillel, Amsterdam: Hoth-Holl.- 1965.pp.53-6<3. . ..

54. Eobinson J. The undecidability of algebraic rings aad fields // Proo.Amer. Math.Soc.- 1959.- v.10.-pp.950-957.

55- Bobincon B.K. Undecidable rings // 5Jrans.Amer.Kath. Soc.-195&.- v.70.- ppr 137-159.

56. Rose B. On the model theorv of finitedimensional algebras // Proс.Iondon. Math. Soc.- 1980.-v.4o.-pp.21-39

57- Szmielev W. Elementary properties of Abelian groups // Fund. Kath.- 1955.-v.41-pp. 203-271.

53. Tarski A., liostoviski A., Hobinson B.K. Undecidablc Theories // Amsterdam: liorth-Holland Publishing Co.- 195359« Wheeler W. Model theory of stictly upper triangular matrix rings //-J.S7mb.L0g.- 1980._v.45.- pp.4-55-466.

60. Ziegler li. Model theory of modules // Ann.Pure Appl. Log.- 1984.-v.26, 112.- pp.149-213-