Теории некоторых нелинейных процессов в оптике и физике твердого тела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ

ИНСТИТУТ СПЕКТРОСКОПИИ

РГ6 ОД

, ^ На правах рукописи

<-'■ Си!

КАМЧАТНОВ Анатолий Михайлович

ЮРИИ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОПТИКЕ И ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.04.02-теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени 4доктора физико-математических наук

Троицк - 1998

Работа выполнена в Институте спектроскопии Российской академии наук и в Троицком институте инновационных и термоядерных исслеп

Официальные оппоненты: доктор физико-математическЕ

В.В. Лих

доктор физико-математическЕ Э.А. Мг

доктор физико-математическв А.П. Сух

Ведущая организация — Физический институт им. П.Н. Лебедев

Защита состоится " " РиГл-Лл 1998г. в час.

седании диссертационного совета Д-002.28.01 при Институте си скопии РАН по адресу: 142092 г. Троицк, Московская обл., Иа спектроскопии РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института се скопии РАН.

Автореферат разослан" 3 " ¿г^Та-К^х 1998г. Ученый секретарь

диссертационного совета — л

д.ф.-м.н. А М'Н' ПопоЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Исследование нелинейных оптических свойств различных сред и происходящих в них разнообразных процессов представляет огромный интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения приложений. Это обусловлено, главным образом, быстрым прогрессом технологии создания нелинейных оптических материалов и структур (оптических волокон, органических и неорганических квантовых ям и сверхрешеток, микрорезонаторов) и их использованием или потенциальной возможностью использования в современных оптических средствах связи и других приборах. С другой стороны, нелинейные процессы зачастую принципиально отличаются от линейных и требуют разработки нового аппарата, как правило, существенно более сложного, чем аппарат, используемый при анализе линейных систем.

Наиболее общим методом теоретического анализа нелинейных волновых систем является в настоящее время так называемый метод обратной задачи рассеяния, позволивший исследовать процессы с участием пеболыпого числа солитонов. Однако распространение этого метода на важную для физики область нелинейных периодических волн оказалось недостаточно эффективным, что препятствовало его приложениям к конкретным задачам. Поэтому дальнейшее развитие периодического метода обратной задачи и превращение его в эффективный рабочий аппарат является необходимым для прогресса в этой области нелинейной физики. 4

Появление новых материалов типа органических кристаллических структур и сверхрешеток, приготовленных методом молекулярной эпитаксии, сделало весьма актуальным исследование их оптических свойств. Одним из важнейших механизмов нелинейности в таких материалах является ферми-резонанс между различными возбуждениями молекул. В частности, такое ферми-резонансное взаимодействие может осуществляться через поверхности раздела в кристаллических сверхрешетках. Поэтому вопрос о нелинейных волнах и солитонах, рас-

пространяющихся в таких сверхрешетках благодаря наличию фе] резонансного взаимодействия, представляется весьма актуальным,

Волны в ферми-резонансных кристаллических системах аналоп связанным оптическим волнам в средах с квадратичной нелинейное привлекших в последнее время большое внимание. Благодаря эф тивному увеличению нелинейности по сравнению с керровским сл ем, такие среды представляются более подходящими для использов в оптоэлектрониых приборах. Поэтому изучение свойств каскадные солитонов, недавно обнаруженных также и экспериментально, явл« важной и активно исследуемой в настоящее время проблемой.

С точки зрения приложений необходимо знать реальные парам« солитонов, распространяющихся в различных системах, в частнс в интенсивно исследуемых экспериментально микрорезонаторах с сенными в них нелинейными квантовыми ямами. Другие кошере-задачи нелинейной оптики, как, например, задача о проточном ус теле и резонаторе или о тепловом самовоздействии пучков света, т. вызывают интерес и требуют анализа.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании динамик линейных оптических систем, в первую очередь, с участием болы числа солитонов (почти периодических цепочек солитонов), что ш лило построить теорию образования солитонов на резком фронте пульса, входящего в нелинейную среду, а также нелинейных во, солитонов в ферми-резонансных сверхрешетках, микрорезонатор; других задач нелинейной оптики.

Научная новизна

1. Развит новый метод вывода периодических решений интегр! мых нелинейных уравнений, который позволяет получать эти реш в более эффективной форме, чем предлагавшиеся ранее методы, вый метод применен к таким физически важным уравнениям, как I нейное уравнение Шредингера (НУШ) и модифицированное нелине уравнение Шредингера ("с производной"), уравнениям самоиндуи

ванной прозрачности, ВКР и двухфотонного распространения света, уравнению Ландау-Лифшица для изотропного и одноосного (легкая ось) ферромагнетиков. Для некоторых систем решения в виде периодических нелинейных волн получены впервые, а для других они найдены в новой, более удобной для приложений, форме.

2. Предложен новый способ вывода уравнений Уизема, описывающих модуляции периодических решений, который чрезвычайно упростил задачу вывода этих уравнений для широкого класса задач. Получены уравнения Уизема для указанных выше систем, причем, за исключением НУШ, эти уравнения выведены впервые.

3. Развитый аппарат применен к проблеме образования солитонов на резком фронте модуляционно неустойчивой волны. Эта постановка задачи является новой и физически более естественной, чем, например, использовавшаяся в работах [1,2], где исследовалась эволюция изначально малой модуляции в интегрируемых модуляционно неустойчивых системах. Следует отметить, что аналогичный подход был предложен независимо, но несколько позже, в работе [3].

4. Впервые изучены нелинейные волны и солитоны в ферми-резонансных сверхрешетках. Получены как точные решения солитон-ного типа при некоторых специальных значениях параметров системы, так и более общее описание солитоноподобных возбуждений с помощью вариационного подхода. Аналогичный подход применен к оптическим солитонам в средах с квадратичной нелинейностью.

5. Получены решения конкретных задач о солитонах в микрорезонаторах, о проточных усилителях и резонаторах света и о тепловом самовоздействии пучков света.

6. Развита теория топологического солитона в магнитной гидродинамике на основе построения конфигурации магнитного поля с замкнутыми и залепленными друг с другом силовыми линиями.

Практическая ценность

Теория формирования солитонов на фронте длинного импульса может быть приложена к процессам генерации последовательностей соли-

тонов в различных системах.

Солитоны в ферми-резонансных системах, квадратичных ср в микрорезонаторах имеют потенциальные приложения в оптом нике.

Многопроходные проточные усилители и резонаторы практ используются, а теория теплового самовоздействия пучков света для разработки технологических применении лазеров и лидаров

Защищаем ые положения

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Теория формирования солитонов на фронте длинного иш основанная на методе модуляционных уравнений Уизема.

2. Теория нелинейных волн и солитонов в органических сверх ках с ферми-резонансным взаимодействием через поверхности р;

3. Теория нелинейных процессов в конкретных системах: me зонаторах, проточных усилителях и резонаторах, средах с тег самовоздействием световых пучков.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на междуна конференции "Нелинейное уравнение Шредингера-94" (Черногч 1994); Международной конференции "Сингулярный предел нелш уравнений-И" (Звенигород, 1995); Международной школе "Форы ние пучков и управление ими с помощью нелинейной оптики" (К 1997); Международной школе "Современная фотоника с оптич нелинейными процессами второго порядка" (Созопол, 1997); с pax Теоретических отделов Института спектроскопии РАН, 3 ского института им. П.Н. Лебедева РАН, ТРИНИТИ, Универ им. А. Гумбольдта (Берлин), Университета им. Ф. Шиллера (Й<

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из семи глав, приложения, списка литер и изложена на 256 страницах печатного текста, включая 44 pi Список литературы содержит 173 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ,

Глава 1. Введение , , .

Первая глава является вводной и посвящена мотивировке диссертационной работы. В ней отмечено, что для обсуждения процессов с участием так назваемых "солитонных поездов", т.е. промодулированных териодических решений, необходимо для каждого конкретного нелиней-юго уравнения решить три задачи:

(1) найти периодическое решение этого уравнения в эффективней {юрме,

(2) вывести соответствующие модуляционные уравнения Уизема,

(3) исследовать решение уравнений Уизема, описывающее тот или той конкретный процесс.

Ввиду нелинейности уравнений каждая из этих задач весьма нетри-зиальна и до последнего времени достаточно полная теория была построена лишь для уравнения Кортевега-де Фриза (см., например, [4,5]), сотя отдельные результаты имелись и для других уравнений (напри-лер, [6-8]). В качестве главной задачи указанного типа в диссертации эассматривается процесс образования солитонов на фронте импульса в лодуляционно неустойчивых системах. Эта задача была впервые сфор-дулирована (в несколько иной постановке), по-видимому, в работе [9]. 1осхольку в то время не существовало подходящего аналитического ишарата для ее решения, на первоначальном: этапе дело ограничилось 5ыявлением основных черт процесса с помощью численного моделиро-зания. Затеем в работах [1,2] была исследована нелинейная стадия раз-штия модуляционной неустойчивости для НУШ и некоторых других сравнений для простейшего варианта изначально бесконечно малой периодической модуляции плоской волны с постоянной амплитудой. И, 1аконец, в работах автора и независимо в работе [3] было предложено 1спользовать для этой цели метод Уизема. Следует отметить появление в последнее время экспериментов (например, [10,11]) с качественно близкими результатами. Все это делает весьма актуальным соответствующее развитие теории. В главе 1 объяснены недостатки стаядарт-гого метода вывода периодических решений и намечен более эффек-

тивный подход, который будет развит в последующих главах. 3 поясняется метод Уизема и его применение к указанным выше зад эволюции модуляцпонно неустойчивых систем.

Помимо интегрируемых уравнений в физических приложениях1 встречаются неиатегрируемые (в смысле теории полностью интег] емых динамических систем) уравнения, которые обладают тем не 1 решениями в виде уединенных волн, также обычно называемых ссм нами. Примером такого рода систем, рассматриваемых в диссерт; являются сверхрешетки с ферми-резонансным взаимодействием ду молекулами. Интерес к такого рода системам обусловлен быст прогрессом технологии создания тонких пленок и сверхрешеток и ганических молекул (см., например, обзор [12]).

Далее в главе 1 обсуждается несколько других задач нелине оптики, которым посвящены отдельные главы диссертации. К ни: носятся оптические солитоны в средах с квадратичной нелинейное начало теории которых было положено в работе [13], солитоны, пространяющиеся в полупроводниковых микрополостях с поиеще в них нелинейной пленкой, нелинейные процессы в проточных уси: лях и резонаторах света, самофокусировка трубчатых пучков и отк ние пучков в движущейся среде вследствие теплового самовоздейс света.

Отдельно сформулирована задача о топологическом солитоне в нитной гидродинамике, решение которой вынесено в Приложение к сертащщ.

В конце главы 1 сформулированы основные результаты исследот и положения, которые выносятся на защиту.

Глава 2. Периодические решения интегрируемых уравю нелинейной физики

Во второй главе диссертации развивается модифицированный к так называемого конечнозонного интегрирования для получения » дических решений интегрируемых уравнений. Являясь частью об метода обратной задачи рассеяния, он основан на возможности пре вления изучаемого нелинейного уравнения в виде условия совмесп

двух линейных систем. В качестве примера приведем нелинейное уравнение Шредингера (ДУШ),

+ 4- 21«|2 и = 0, (1)

описывающее эволюцию огибающей волновых пакетов в диспергирующей слабо нелинейной среде (в частности, распространение импульсов в нелинейном световоде). Если мы введем в рассмотрение две линейные системы

дфх/дх = Рфх + <7^2, (.А

дфа/8х = НфI - У '

и

дфг/дг = Аф1 + Вф2, . .

= Сф1 - Аф2. { >

то условие их совместности д2ф1^/дхд1 = ЕРф^/дЬдх превращается в уравнение (1), если в качестве коэффициентов в системах (2, 3) взять

^ = -¿А, в = ш, Н = »V, А = г !«!2 - 2»А3, В = ~их + 2:Аи, С = и'х + 2гАы% 1'

где Л — постоянный (спектральный) параметр. Большое число представляющих интерес для физики нелинейных уравнений может быть представлено в виде условия совместности систем (2, 3) с помощью подходящего подбора коэффициентов в этих системах.

В методе конечнозонвого интегрирования (см., например, [4]) для уравнений рассматриваемого типа важную роль играет многочлен

Р (А) = П (Л - А,-) = А4 - л А3 + З2А2 - з3А + (5)

1=1

нули которого А{ являются параметрами, через которые выражаются все характеристики решения (т.е., например, его амплитуда, длина волны, фазовая скорость и т.д.). Не вдаваясь в детали метода, укажем, что нахождение периодического решения НУШ сводится к решению системы

(т.е. параметр ц зависит лишь от фазы У/ — х + где и( огибающая ы(я, *) связана с новой переменной ц(х, уравнениям

ди ( зЛ ди ( , ди

Поскольку решение уравнений (6) легко выражается через аш ческие функции, то простое интегрирование уравнений (7) щ>г к замкнутым выражениям для решения и(х, Ь). Эта процедура развита и для многофазных периодических решений, которым со ствуют полиномы Р(А) более высоких степеней. Единственный статком метода является то, что начальные условия для диффе] альных уравнений (6) и (7) связаны довольно сложным алгебраи1 соотношением

(А2 - м + /2)2 + М2(Х - я) (А - Л = Р(А), на важность которого впервые было указано в работе [14]. Имена этого условия получаемые решения оказываются недостаточно уз ыи и положение еще более усугубляется при рассмотрении слабо ] дулированных решений, когда А{ медленно меняются вдоль волн что соотношение (8) приобретает локальный характер.

Развиваемая в главе 2 модификация метода основала на след} простом замечании. Представим себе, что периодическая волна эволюционирует согласно уравнению (1). Тогда каждое ее сос: может служить начальным значением для (7) и соответствуют ченне ц, получаемое из (8) — начальным значением для (6). Поэ1 процессе эволюции волны значения р описывают на комплексно! кости некоторую кривую, котораяв силу периодичности и(г, £) яв замкнутой. Эта кривая однозначно определяется нулями А,- мноп Р{А), и если мы сможем перейти с комплексной плоскости ц з кривую, соответствующим образом параметризованную, то услст будет удовлетворяться автоматически. В простейшем случае од ных решений это действительно можно сделать, и если в случае в качестве параметра вдоль кривой принять интенсивность

I = м2,

то уравнение (8) дает

где s = ai, q = si(s2 — sj/4)/2 — 33, и нули многочлена Т1(1) связаны с нулями (А,) симметричными формулами

Л = -НЛ1-Л2 + Аз-А4)2, /2=4(А1-А2-АЗ + А4)^ (11)

/з = —| (Ai 4- А2 — As — А4) ,

т.е. Щ1) является известной из алгебры резольвентой многочлена Р(А). Величина I = |и|2 но определению является вещественной, так что она может колебаться только между двумя положительными нулями резольвенты Щ1). Поэтому нули многочлена Р(А) должны состоять из двух комплексно сопряженных пар

Ах = а + »7, А2 = /3 + i<5, А3 = а - *ч, А4 = {3 - i6, (12)

так что формулы (11) дают

Ii~ — {a — /?)2, /2 = ( 7-Í)2, /З = (7 + 5)2. (13)

Существенно, что уравнение движения для такой физически важной величины как интенсивность I также определяется через резольвенту

Щ1)

¿L = 2y/-n(l)t W = « + **. (14)

Теперь начальное значение интенсивности I может быть выбрано произвольно из интервала h < I < интегрирование (14) приводит к выражению вида

1 = \и (*, t) I2 = h + íh ~ h) sn2 {\fh^hW, m), (15)

где

m = --(16)

•«3 — h

и последующее использование уравнений (10) и (7) позволяет найи только интенсивность, но и полное решение уравнения (1).

Описанный выше подход является достаточно общим и применим ко многим уравнениям, допускающим представление в виде уело совместности линейных систем (2,3), причем вид резольвенты ос деляется системой (2), а фазовая скорость V волны, входящая в зу ~ х — VI, системой (3). Помимо НУШ в диссертации выводя периодические решения следующих уравнений:

• уравнений самоиндудированной прозрачности (СИП)

Щ = <<0д, ¿т + 21 Д<* = Еп, пг = -\{Е<Г + ЯМ),

где Е — напряженность электрического поля волны, распростран: щейся по резонансной среде двухуровневых молекул вдоль оси 1 I — Д— параметр отстройки частоты переходов молекул от часто колебаний электромагнитного поля волны, <1и п — дипольный мом< переходов (поляризация) и заселенность уровней, соответственно. Уг вые скобки < ... >д означают усреднение во параметру Д.

• .АЗ-система

я« = ад 5х =

возникающая в различных приложениях и, в частности, как предел р кой линии в теории СИП.

• уравнение Ландау-Лифшица для магнетика с одноосной анизот; нией

дБ

дЬ

+ ,/(8,п)[8,пЬ

где Б (ж, ¿) — локальная намагниченность, нормированная на един) ыую длину (Б2 = 1), .7 > 0 — постоянная анизотропии, п — едшя ный вектор вдоль оси легкого намагничения х. Сюда же может бк включен как частный случай J — 0 изотропный магнетик (модель Г> зенберга).

• уравнения вынужденного комбинационного рассеяния 811+18г = г (ДД+Яз + , дЯз/дт = ~ - ,

= I-(Д5+Лз + 5зД+)," = | - ,

описывающие распространение двух волн с частотами изг и и огибающими электрического поля Е1ЖЕ2 через среду с резонансным переходом на разности частот —шг", А — параметр, характеризующий динамический эффект Штарка. Уравнения записаны через компоненты вектора

_ тр 7?+ | 77* ТГ* С _ -! Гу гч* 77» 771* \ с _ XV 17* Г7 С1*

1 — -П>1-Ь2 + &2&11 ¿>2 — 11-0-1^2 — ~

(5± = ± ¿5г) и вектор Блоха Я, описывающий состояние среды, причем

• уравнения двухфотонного распространения имеют аналогичный вид, отличаясь лишь некоторыми знаками и условием нормировки

которое в вырожденном случае двух идентичных пучков света = ш2) заменяется на

— 5| + = 0.

• нелинейное уравнение Шредингера с производной

»«* + ихх ± 2* (|и|2 м)г = О,

играющее важную роль в теории распространения ультракоротких импульсов вдоль световодов, волновых движений в плазме в магнитном поле и т.д.

• классическая модель Тирринга

¡дП+/дт + 5+ + |5+5_Я+ = О -гдв+/д£ + Я+ + = О,

к которым сводятся уравнения ВКР и двухфотонного раслростран света в пределе сильного динамического эффекта Штарка Д> 1.

Во всех этих случаях получены периодические решения уравнен исследованы их солитонные пределы.

Глава 3. Модуляции периодических решений: теория У

ма

Во многих физических задачах нелинейная волна является пр .аудированной. Типичным примером может служить процесс об] вания цепочки солитонов на фронте импульса. В связи с такого задачами возникает проблема описания эволюции промодулирова периодической волны. Если параметры волны (например, введена главе 2 величины А,) относительно мало меняются на протяжени ной длины волны и за время одного периода, то уравнения движ для таких медленных и плавных изменений параметров можно у< нить по быстрым пространственным колебаниям волны. Впервые подход был применен в теории нелинейных волн Уиземом для сл КдФ (см. [15]), и соответствующие усредненные уравнения полу название уравнений Уизема. В общем случае уравнения Уизема и вид

где п — число параметров, задающих решение (в однофазном о » равнд^шш 4). Однако для случая КдФ Уизем смог перейти к т параметрам А,- (римановым инвариантам), что матрица "скоросте приобрела диагональную форму

д\{ .с?А,- .

Позже выяснилось, что римановы инварианты А,- совпадают с ну многочлена Р{А), который определяет периодические решения в : де конечнозонного интегрирования. Этот же метод позволяет пров< процедуру усреднения, в результате чего были выведены уравнени зема для НУШ и уравнения синус-Гордон.

В главе 3 диссертации предложен новый способ вывода уравнений Уизема, основанный на удобной форме производящей функции законов сохранения для интегрируемых уравнений, подпадающих под схему (2,3). Эти линейные системы имеют по два линейно независимых базисных решения ф — (фг, ф2) и ф — {ф\, фъ), из которых можно построить (как из "спиноров") "вектор" со сферическими компонентами

/ = + 9 = ФхФи Ь~-ф2ф2.

Из (2,3) легко получить линейную систему, которой удовлетворяют /,д,/1, из которой следуют тождества

_ д_В _ 0 -о (18)

91 д дхд ~ ' к дх Л ~ 1 '

Поскольку в эти тождества входит произвольный спектральный параметр А, то коэффициенты их разложений по степеням 1/А оказываются бесконечной последовательностью законов сохранения для рассматриваемого интегрируемого уравнения. Усреднив эти законы сохранения по быстрым колебаниям волны и устремив А А;,» = 1,... ,п, получаем уравнения Уизема для А,- в диагональной форме (17). В главе 3 диссертации указанные вычисления проделаны для периодических решений уравнений, изученных в главе 2, причем за исключением НУП1, уравнения Уизема были выведены впервые. Скорости »¡(А), входящие в (17), для всех случаев можно написать в единообразной форме

где к = 2ж/Ь — волновое число нелинейной волны, д; — З/ЗА,-, и фазовая скорость V выражена через римановы инварианты А,-. (Для случая КдФ эта форма была подмечена в работах [16,17].) Поскольку выражения для V = У(\{) получаются естественным путем в методе конеч-нозонного интегрирования, то равенство (19) быстро приводит к явной форме уравнений Уизема. Однако можно избежать использования метода конечнозонного интегрирования, если воспользоваться доказанной

в главе 3 теоремой, что фазовая скорость V равна

V = Q/^/РЩ, (2

где Q — некая постоянная, а Р(Д) — значение полинома (5), задаюп го периодическое решение, в точке Л = А, где коэффициенты А, В, системы (3) имеют полюсную особенность.

Таким образом, полученные в главе 3 диссертации результаты реш ют проблему вывода уравнений Уизема для большого числа физичеа интересных интегрируемых уравнений.

Глава 4. Нелинейная теория модуляционной неустойчивое! и образование солитонов на резком фронте волны

Уже давно известно, что решение в виде плоской волны с пост янной амплитудой для НУШ (1) и многих других нелинейных ура нений является модуляционно неустойчивым: слабая периодическая : пространству модуляция с достаточно большой длиной волны эксе ненциально нарастает со временем. В работах [1,2] было показан что в НУШ и некоторых других интегрируемых уравнениях нараст ние волны модуляции сменяется ее спаданием. Однако этот подход единственной волной модуляции неприменим, если возмущение плс кой волны локализовано в окресности некоторой точки, как это име место, например, вблизи фронта длинного импульса. Такое возмуп ние имеет фурье-гармоники со всеми волновыми числами, в том чис и модуляционно неустойчивые. Рост этих гармоник приводит к обра; ванию неоднородной нестационарной области, распространяющейся ■ начального возмущения по невозмущенной плоской волне. Эта облас наблюдалась еще в первых численных экспериментах [9], а также физических экспериментах [10,11]. В главе 4 диссертации предполш ется, что такая неоднородная область может быть описана как прок дулированная нелинейная периодическая волна, в которой некотор: из параметров А,- являются медленными функциями пространственн л: и временной t переменных. (Независимо этот подход был предлож для случая НУШ в работе [3].) Поскольку рассматривается асимш тическая стадия возмущения при достаточно больших временах, ког

еоднородная область много больше размеров начального возмущения, о задача не имеет характерного размера длины и параметры А; мо-ут зависеть лишь от автомодельной переменной С — х/1- Поскольку А5, то достаточно использовать только два уравнения

AJ и А4

'изема (17), которые в нашем автомодельном случае приобретают вид

d\i

(tn -С) = о,

d\i

(v2 - С) = 0.

¿С ' dC

)ни имеют решение вида

Aj = const, г*г(А) = С, (21)

\це выражения для скорости v2(X) известны из главы 3. В результате мы получаем зависимость А2 от ( в неявной форме, что позволяет описать аналитически процесс эволюции неоднородной области. Не приводя достаточно громоздких формул, проиллюстрируем полученные результаты графиком зависимости интенсивности поля в случае волны СИП от координаты. Как видно из рисунка, на заднем фронте импульса эбразуются колебания, которые трансформируются вдоль неоднородной эбласти в солитоны СИП.

во 100 £

Рис. 1. Формирование солитонов на резком фронте импульса СИП

Полученная картина имеет сходство с распавшимся на солитош пульсом СИП, наблюдавшимся на эксперименте [10]. В главе 4 анализирован процесс такого формирования солитонов на разли примерах, в частности, для уравнения Ландау-Лифшица, урав! АВ-системы, СИП и ВКР. Получены выражения для скоростей жения обеих границ неоднородной области, выведены формуль зависимости характерных физических величин от автомодель но ременной и построены соответствующие графики. В целом раз] теория удовлетворительно описывает процесс формирования соли' в модуляционно неустойчивых системах и дает пример нетривиал: применения теории Уизема к таким системам.

Глава 5. Ферми-резонансные нелинейные волны и солот в органических решетках

В этой главе рассматриваются нелинейные волны и солитоны в 1 куяярных сверхрешетках для случаев, когда имеется резонанс Ф между возбуждениями, находящимися по разные стороны от по ностей раздела, то есть энергия колебаний ?шь по одну сторот поверхности раздела приблизительно равна удвоенной энергии в ждений по другую сторону от поверхностей раздела. В кач возбуждений рассматриваются внутримолекулярные колебания ] кул, образующих кристалл. Если обозначить через Ат и Вт коми ные амплитуды колебаний, то для них нетрудно получить классич уравнения движения при любом заданном типе сверхрешетки. II; мер, если мы рассматриваем сверхрешетку с чередующимися ело; и 6 молекул

... Ап-1Вп-1АлВпАп+1Вп+1...,

и волна распространяется поперек слоев, то уравнения движения и вид

ЯА

" ■шаАп~2ТА*п(Вп.1 + Вп) = 0,

дг

где п — номер элементарной ячейки и Г — постоянная нелинейного ферми-резоналсного взаимодействия. Если искать решение этих уравнений в виде плоской волны

Ап = ехр [-{(Ш - Кп)/2] А, Вп = ехр [-«(Ш - Кп)] В, то нетрудно получить закон дисперсии

П = wa + ^ ± - + 8Г21(1 + cos if). (23)

Как и следовало ожидать, спектр разрешенных частот состоит из двух зон, разделенных запрещенной зоной, однако в отличие от линейных цепочек ширина запрещенной зоны зависит от интенсивности колебания I = | А|2. Аналогичным путем найдены законы дисперсии для волн, распространяющихся в сверхрешетках с элементарными ячейками, состоящими из произвольного числа аиЬ молекул. Кроме того, произведено обобщение на волны, имеющие компоненту волнового числа вдоль поверхностей раздела, и изучены волны в двуслойных и трехслойных системах.

Зависимость закона дисперсии от интенсивности колебаний I приводит к естественному предположению, что дисперсия волнового пакета может быть компенсирована нелинейностью. Например, если имеется сверхрешетка, состоящая из чередующихся слоев а и Ь молекул, и мы рассматриваем волновой пакет с размерами много больше постоянной решетки, распространяющийся вдоль поверхностей раздела (ось х), то его эволюция описывается уравнениями

idA/dt = й?аА Уад2А/дхг + 4ТА*В, , .

idB/dt = йьВ + Vbd2B/дх2 + 2ГА2, { )

где Va и Vj, — постоянные взаимодействия одинаковых соседних молекул в каждом из слоев, а>а = wa + 4Va,u>}, = wj -f 4Vj. В главе 5 изучены точпые солитонпые решения этих уравнений. Решение для покоящегося солигона

А = а8еп(м)ехр(-{Ш/2) в _ а|д| ехр(-Шр ^

ch2 кх ' ch2 кх '

где

а

4л/2Г Ц М = ±

2К'

к = —

2ша —щ

Ц-2 Уа'

Л

2 (ад-ад

2У6' Ц- 2Уа '

по сути воспроизводит найденное еще в [13] решение для двух от ских волн (основной и второй гармоник), распространяющихся в ср квадратичной нелинейностью. Как мы видим, оно не зависит от кг либо свободных параметров. Кроме того, получено точное решенш Уа = 2Ц, описывающее движущийся солитон

а/хехр[->(Ш - Кх)/2] сЬ2[к(ж-«г)]

_ а ехР [-»'(^ ~ Кх) сЬ2[/с(®-^)] '

где

а =

йь — 2а>а 4Г '

к ■

\и?ь — 2шс

ц = ±1, V- -УаК = -2УЬК,

6 V.

П = - (2с^ - £0)

^АГ2.

Оно зависит от одного свободного параметра К.

Для исследования солитонов, зависящих от максимального числа бодных параметров и не подверженных каким-либо ограничения! па У0 = 2И в главе 5 диссертации использован вариационный по; Найдено выражение для частоты колебаний О, зависящее от двух г ментов — волнового числа К и обратной ширины солитона л. В ( ветствукицих предельных случаях это выражение переходит в то1 решения и может служить весьма точным интерполяционным выр нием между ними.

Глава 6. Оптические солитоны в средах с квадратично» линейностью и в микрополостях

Рассмотренные в главе 5 уравнения (24) аналогичны системе с ческих уравнений, описывающих распространение основной и вт

армопик в среде с дисперсией и квадратичной нелинейностью

'Ц-7*0 + 2547 = 0,

+ = 0. (27)

де В и С являются медленными огибающими этих двух гармоник, £

— координата вдоль оси распространения волны, /3 — нормированная разовая расстройка. Координата л может рассматриваться или как вре-геыная координата в задаче о распространении в среде с дисперсией, ели как поперечная координата в задаче о дифракции волны в планар-гам волноводе. Коэффициенты уь, Ъ и 6 характеризуют свойства среды например, во временной задаче 5 является разностью групповых ско-юстей импульсов для обеих гармоник, а 7& и уе характеризуют диспепсии групповых скоростей). Впервые эти уравнения рассматривались . [13]. Ввиду указанной выше аналогии с ферми-резонансными систе-гами часть полученных в главе 5 результатов может быть перенесена [ на оптический случай. В главе 6 дан обзор некоторых точных решений системы (27), которые могут быть получены при частном выборе [араметров системы. Кроме того, хорошо известно, что при больших >азовых расстройках р |7е| система (27) может быть сведена к НУШ известным солитонным решением. Поэтому вариационный подход раз-ивается в главе 6 в двух вариантах на основе двух различных наборов [робных функций. По-видимому, эти решения отвечают одному и тому <е типу солитонных возбуждений в существенно различных областях [араметров системы. В главе б выведены выражения для основных ветчин, характеризующих солитон (т.е. для амплитуд обоих волновых [акетов, волнового числа, скорости) как функций от двух параметров

- ширины солитона и частоты колебаний поля.

Во втором параграфе главы 6 рассчитаны основные параметры со-гитонов, которые могут распространяться в конкретной физической истеме — микрополости с внесенной в нее тонкой нелинейной пленой (квантовой ямой). Такого рода системы привлекают в последнее |ремя большое внимание в связи с возможностью их применений в штоэлектронике (см., например, [19]). Помещение квантовой ямы в по-

лупроводниковую микрополость позволяет осуществить эффект! взаимодействие электромагнитных мод полости с малоразмерным ситонными возбуждениями квантовой ямы, так что интенсивност: пульса может быть понижена по сравнению с объемным случаем 6 чем на два порядка. Кроме того, экситоны в квантовых ямах и большее время жизни, чем экситоны в объемных кристаллах, чт зволяет надеяться на более благоприятные условия их наблюде! использования. В главе 6 получены оценки для напряженности ш солитоне для двух, типичных механизмов нелинейности — нелин сти насыщения переходов в системе двухуровневых атомов (коре импульс, тр — 5нс) и нелинейности керровского типа (длинный имп тр = 1нс): £0 — 8 ■ 103В/си в нервом случае и £о = 1500В/см во вт< Эти оценки показывают, что наблюдение солитонов в микрополос квантовыми ямами в принципе возможно на эксперименте.

Глава 7. Теория проточных усилителей и резонаторов, пловое самовоздействие пучков света

В этой главе рассмотрено несколько задач нелинейной оптик относящихся к физике солитонов.

В первом параграфе решена задача о проточном усилителе или наторе, где два пучка света с интенсивностями ^ и J- распро няются навстречу друг другу вдоль оси х, а усиливающая ср< коэффициентом усиления К движется в перпендикулярном к ни: правлении вдоль оси у. Получена общее выражение соответству] нелинейной системы уравнений

содержащее три произвольных функции, которые затем конкрети ются согласно граничным условиям задачи. Найдено распределен] ля в двухпроходном усилителе, когда свет, пройдя через усиливал среду, отражается от зеркала и проходит через нее второй раз. Пс но, что в пределе сильного усиления расстояние, на котором проис

эффективное использование усиливающей среды, уменьшается по сравнению с однопроходным усилителем в два раза. Для задачи о резонаторе с двумя зеркалами, находящимися на расстоянии Ь друг от друга, получено пороговое условие на входной коэффициент усиления

КЬ> 1п(1/а), калах,а 1п(1/а)

где а характеризует потери на зеркалах, а также вычислен к.п.д. резонатора

4 = 1-

кь

Во втором параграфе главы 7 рассмотрены две задачи о тепловом самовоздействии пучков света. Физическая причина такого самовоздействия очевидна: поглощение света приводит к нагреву среды и тем самым к изменению ее показателя преломления, что в свою очередь оказывает воздействие на распространение света.

Сначала решается задача о тепловой самофокусировке трубчатого пучка света, интенсивность в котором растет от центра к краям. Качественная сторона явления была указана уже давно [20] и состоит в том, что на оси пучка, где интенсивность меньше, показатель преломления больше, так что лучи отклоняются к оси. Ранее эта задача решалась в рамках теории возмущений, т.е. при достаточно малых значениях координаты вдоль оси распространения г. Здесь же показано, что при параболическом начальном (на высоте г = 0) профиле интенсивности

' /о (г)=А + Яг2,

г — радиальная координата пучка, уравнения геометрической оптики допускают точное решение. А именно, интенсивность на высоте г в момент времени т (обезразмеренное согласно соотношению г = %(к, где к = \(с1е/с1Т)а/срр\, с — диэлектрическая проницаемость среды, зависящая от температуры Т, а — коэффициент поглощения, ср — теплоемкость, р — плотность среды) определяется выражением

где функция F зависит лишь от автомодельной переменной у = z и равна

Это выражение показывает, что пучок с параболическим профиле] тенсивности фокусируется в результате теплового самовоздейст! точку, причем эта точка фокуса приближается к источнику по за!

z; =

Зк 2 Bt'

Во второй задаче рассматривается тепловое самовоздействие ка в движугцеся среде, когда его основным следствием является ] бание пучка в направлении, противоположном направлению движ среды: лучи изгибаются в сторону оптически более плотной холе среды. Если среда движется со скоростью v{z) в направлении оси х пендикулярно направлению распространения света г, то нагрев с определяется уравнением конвективного тешхопереноса

а т Г I

ог срр

откуда интегрированием находится распределение температуры и, довательно, изменение диэлектрической проницаемости среды, скольку теперь интерес представляет изгибание пучка света как це то вводится средняя координата пучка

^--¡¡х |Я|2 йхйу, Р - / \Е\2 с2хс?у.

В предположении, что перестройка интенсивности в поперечном нии пучка вследствие теплового самовоздействия слабо влияет н изгибание как целого, в случае сфокусированного пучка

(1 - z/fY

для средней координаты И{х) получено выражение

При постоянной по высоте скорости ветра v = const это выражение дает

•«-^(у+ьИ)).

а при сканировании пучка с постоянной угловой скоростью v = Slz находим

гм- кАы z!a г(2)" Q 1 - z//'

а — радиус пучка, удаляющий нефизическую расходимость интеграла при z ~ а.

Приложение. Топологический солитон в магнитной гидродинамике

В приложение к диссертации вынесена теория топологического соли-тона в магнитной гидродинамике, которая не имеет связи с нелинейной оптикой, чему посвящен основной текст диссертации, но тем не менее представляет самостоятельный физический интерес.

Уже давно (см., например, [21]) в магнитной гидродинамике идеально проводящей жидкости известен интеграл движения

N I- /А rot Ad3® (29)

(А — векторный потенциал), называемый спиральностью магнитного поля и характеризующий зацепление его силовых линий. На основе связи спиральности с топологическим инвариантом Хопфа, характеризующим топологически различные отображения трехмерной сферы в двумерную, построена топологически нетривиальная конфигурация магнитного поля, в которой силовые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими на вложенных друг в друга тороидальных

поверхностях, и все они залеплены друг с другом. Напряженность 1 нитного поля в такой конфигурации описывается простыми выраж ями (в безразмерных единицах)

_ 2(ж1ж3 - ж2) „ _ 2(а:2«з + а;1) 2ж1+1-х2

(1 + х')3 ' Нз" (1 + х*)5 ' Яз~ (1 + х^ и по абсолютной величине сферически симметрична

' я- 1 '

(1 + *2)4'

Уравнения магнитной гидродинамики удовлетворяются простым р< нием

л. Н v — гЬ

д/Зтгр'

р — плотность жидкости, которое описывает локализованный трехь ный топологический солитон. Помимо спиральности I этот солитов рактеризуется еще сохраняющимся моментом импульса М, так что пряженность поля и радиус солитона полностью определяются дв сохраняющимися величинами

1/4

\4тг р1} »7Г М

Подучена оценка времени жизни солитона вследствие конечной пр| димости среды.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Развитый в диссертации новый вариант метода конечнозош интегрирования позволил получить периодические решения больп числа физически интересных уравнений в эффективной форме, удоб для приложений.

2. Выведены модуляционные уравнения Уизема для таких вам случаев, как нелинейное уравнение Шредингера с производной, ура] ние Ландау-Лифшица для магнетика с одноосной анизотропией, у] нений самоиндуцированной прозрачности, вынужденного комбината ного рассеяния и двухфотонного распространения света.

3. В рамках модуляционной теории Уизема исследовал процесс формирования солитонов на резком фронте длинного импульса. Найдены основные соотношения, описывающие эволюцию нестационарной неоднородной области, распадающейся на солитоны.

4. Изучены нелинейные волны и солитоны в ферми-резонансных сверхрешетках, а также предложен новый вариационный подход к аналогичным оптическим солитонам, распространяющимся в квадратичных средах.

5. Получены оценки для параметров солитонов, которые могут распространяться в микрорезонаторах с внесенной в них нелинейной квантовой ямой.

6. Решены задачи о проточных усилителях и резонаторах света и о тепловом самовоздействии пучков света.

7. Развита теория топологического солитона в магнитной гидродинамике.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. II.II. Ахмедиев, В.М. Елеонский, Н.У. Кулагин, ЖЭТФ, 1985,Т.89, С.1542.

2. H. Steudel, R. Meinet, Physica, 1986, V.D21, Р.155.

3. G.A. El, A.V. Gurevich, V.V. Khodorovsky, A.L. Krylov, Phys. Lett., 1993, V.Al 77, P.357.

4. B.E. Захаров, C.B. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, Теория солитонов: метод обратной задачи рассеяния, М.: Наука, 1980.

5. А.В. Гуревич, АЛ. Крылов, Г.А. Эль, ЖЭТФ, 1992, Т.101, С.1797.

6. М.В. Павлов, ТМФ, 1987, Т.71, С.351.

7. A.B. Гуревич, А.Л. Крылов, ЖЭТФ, 1987, Т.92, С.1684.

8. G.A. El, A.L. Krylov, Phys. Lett. 1995, V.A203, P.77.

9. В.И. Карпмал, Письма в ЖЭТФ, 1967, Т.6, С.829.

10. P.N. Breaux and G.J. Salamo, in Proceedings of the Lasers 1980 Conference, p. 108; D. Ramer and G.J. Salamo, in Coherence and Quantum Optics, Plenum Press, New York, 1984, p. 361 ; J.L. Shut,7, and G.J. Salamo, Phys. Rev. Lett., 1997, V.78, P.855.

11. В.A. Kalinikos, N.G. Kovshikov, and C.E. Patton, Phys. Rev. 1997, V.78, P.2827.

12. S.R. Forrest, Chem.Phys. 1997, V.97, P.1793.

13. Ю.Н. Карамзин, А.П. Сухорукое, ЖЭТФ, 1975, T.68, C.83*

14. A.P. Иге, В.П. Котляров, ДАН УкрССР, 1976, T.ll, С.965.

15. Дж. Уизем, Линейные и нелинейные волны, М.: Мир, 1977,

16. А.В. Гуревич, A.JI. Крылов, Г.А. Эль, Письма в ЖЭТФ, Т.54, С.104.

17. В.Р. Кудашев, Письма в ЖЭТФ, 1991, Т.54, С.179.

18. V.M. Agranovich, Nonlinear Optics, 1995, V.9, Р.87.

19. Confined Electrons and Photons. New Physics and Application! E. Burstein and C. Weisbuch, Plenum, N.Y., 1995.

20. Г.А. Аскарьян, В.Б. Студенов, Письма в ЖЭТФ, 1969, С.113.

21. Б.Б. Кадомцев, Коллективные явления в плазме, М.: Наука,

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА

1. A.M. Камчатнов, Топологический солитон в магнитной гш намике// ЖЭТФ, 1982, Т.82, С.117-124.

2. A.M. Камчатнов, АЛ. Черняков, К теории проточных усили и резонаторов// КЭ, 1982, Т.9, С.947-952.

3. А.А. Веденов, А.В. Губарев, A.M. Камчатнов, Л.П. Феоктие тепловом самовоздействии пучков света// КЭ, 1987, Т.14, С.1427

4. А.М. Камчатнов, О распространении длинных световых ик сов в двухуровневой резонансной среде// ЖЭТФ, 1988, Т.94, С.15

5. A.M. Kamchatnov, Periodical problem for nonlinear Schroe equation. One-phase solutions, Preprint IAE-4747/1, Moscow, 1988.

6. A.M. Kamchatnov, Periodical problem for derivative nor Schroedinger equation. One-phase solutions, Preprint IAE-4999/1, M< 1990.

7. A.M. Kamchatnov, Periodical problem for Heisenberg conti classical spin model. One-phase solutions, Preprint IAE-5283/1, M< 1990.

8. A.M. Камчатнов, О распространении ультракоротких периодических импульсов в нелинейных волоконных световодах// ЖЭТФ, 1990, Г.97, В.1, С.144-153.

9. A.M. Kamchatnov, On improving the effectiveness of periodic solutions of the NLS and DNLS equations// J. Phys. 1990, V.A23, P.2945->960.

10. A.M. Kamchatnov, Periodic solutions and Whitham equations for ;he Heisenberg continuous classical spin model // Phys. Lett. 1992, V.A162, ^.389-396.

11. A.M. Камчатнов, О периодических нелинейных волнах в сздноос-юм ферромагнетике// ЖЭТФ, Т.102, 0.1606-1614^3^.

12. V.M. Agranovich, A.M. Kamchatnov, Fermi resonance interface ralitons // Письма в ЖЭТФ, 1994, T.59, C.397-401.

13. A.M. Kamchatnov, Whitham equations in the AKNS scheme // Phys. L*ett. 1994, V.A186, P.387-390.

14. V.M. Agranovich, O.A. Dubovsky, A.M. Kamchatnov, Fermi resonance interface modes: Propagation along the interfaces // J. Phys. 2hem. 1994, V.98, C.13607.

15. A.M. Камчатнов, M.B. Павлов, О периодических волнах в теории :амоиндуцированнои прозрачности // ЖЭТФ, Т.107, С.44-54,

16. A.M. Kamchatnov, M.V. Pavlov, Periodic solutions and Whitham equations for the AB system // J. Phys. V.A28, P.3279-3288, f^'S".

17. A.M. Kamchatnov, Creation of solitons from a long SIT pulse// Phys. Lett, 1995, V.A202, P.54-66.

18. V.M. Agranovich, O.A. Dubovsky, A.M. Kamchatnov, Nonlinear jpticai vibrations in organic superlattices with interface Fermi resonance Dhem. Phys. 1995, V.198, P.245.

19. A.M. Камчатнов, Нелинейные периодические волны в вынужденном комбинационном рассеянии света и рождение солитонов на фронте шпульса// ЖЭТФ, Т.109, С.786-804> Мй,

20. A.M. Kamchatnov, F. Ginovart, Periodic waves and solitons of two-photon propagation// J. Phys. 1996, V.A29, P.4127-4139.

21. A.M. Камчатнов, A.JT. Крылов, Г.А. Эль, Об асимптотической

эволюции локализованного возмущения в случае одномерного урав ния Ландау-Лифншца с одноосной анизотропией// ТМФ, 1996, Т.1 С.128-136.

22. V.M. Agranovich, S.A. Darmanyan, О.А. Dubovsky, A.M. Kamcli nov, Б.1. Ogievetsky, P. Reineker, Th. Neidlinger, Fermi resonance solit wave on the interface between two layers of organic semiconductors //Pi Rev. 1996, V.B53, P.15451.

23. V.M. Agranovich, S.A. Darmanyan, A.M. Kamchatnov, T Leskova, A.D. Boardman, Variational approach to solitons in systems vi cascaded x(2) nonlinearity // Phys. Rev. 1997, V.E55, P.1894-1898.

24. A.M. Kamchatnov, H. Steudel, Nonlinear periodic waves г Whitham modulation theory for degenerate two-photon propagatior Phys. Lett. 1997, V.A226, P.355-364.

25. A.M. Kamchatnov, H. Steudel, A.A. Zabolotkii, TheThirring mo as an approximation to the theory of two-photon propagation// J. Pb 1997, V.A3Q, 7485-7499.

26. A.M. Kamchatnov, New approach to periodic solutions of integra equations and nonlinear theory of modulational instability// Phys. R 1997, V.286, P. 199-270.

27. V.M. Agranovich, S.A. Darmanyan, K.I. Grigorishin, A.M. Kamch nov, Th. Neidlinger, P. Reineker, Dynamics of Fermi resonance solit; waves propagating along two interfaces // Phys. Rev. 1998, V.B57, P.24i 2467.

28. V.M. Agranovich, A.M. Kamchatnov, H. Benisty, C. Weisbu Nonlinear pulse propagation along quantum well in a semiconduc microcavity, in Beam Shaping and Control with Nonlinear Optics, E F. Kajzar and R. Reinisch, NATO ASI Series, Series B: Physics, Vol. 3 Plenum Press, New York and London, 1998, P.133-147.