Теория плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОД

| я И ?т

Бекурнн Дмитрий Борисович

Теория плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2000

Работа выполнена на кафедре компьютерных систем и телекоммуникацш Пермского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор М.А. Марценюк

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.К.Братухин (Пермский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент В.ИЛернатынский (Пермский государственный педагогический университет)

Ведущая организация -

Глазовский педагогический институт, г. Глазов

Защита состоится «.{£. » 2000 г. в 15.00 часов на заседании

диссертационного совета Д-063.59.03 в Пермском государственном университете (614600, г. Пермь, ул. Букирева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан «.1?» ... ИИШ^л?:. 2000 г. Ученый секретарь диссертационного совета, доце—

Г.И.Субботин

Общая характеристика работы

Актуальность. В последнее время значительно возрос интерес к задачам механики и гидродинамики живых организмов Это связано как с развитием самой гидродинамики, так и с расширением круга проблем, связанных с биотехнологией, мониторингом окружающей среды, экологией и др. В настоящей работе рассмотрена гидродинамика при малых числах Рейнольдса. Эта задача имеет приложение, как задача плавания микроорганизмов, которые, как известно, составляют основную часть мировой биомассы 2\ Задаче плавания посвящено много публикаций. Однако в большинстве из них рассматривается плавание частиц определенной формы, а для всестороннего исследования задачи нужна общая теория плавания частиц произвольной формы. Одной из первых в этом направлении является работа Шапере и Вильчека где развита калибровочная теория плавания.

В настоящей работе развита общая теория плавания тел за счет деформаций поверхности при малых числах Рейнольдса. С помощью теории рассмотрен ряд конкретных примеров плавания.

Научная новизна результатов.

1) В приближении малых чисел Рейнольдса сформулирована и в общем виде решена задача о плавании частицы произвольной формы за счет деформаций ее поверхности. Найдена связь между скоростью деформаций поверхности частицы и возникающей при этом силой на частицу со стороны жидкости.

2) В наиболее общем виде решена задача о плавании частицы, близкой по форме к сферической за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере. Получены выражения для поступательной и угловой скоростей движения частицы в зависимости от ее формы и вида деформаций. Сделаны численные оценки этих скоростей.

3) Введена модель гантелеобразной частицы, состоящей из двух деформирующихся тел, соединенных тонкой деформирующейся связью. Исследовано плавание такой частицы в некоторых частных случаях формы тел и совершаемых ими деформаций. Для этих случаев получены явные выражения скоростей гантели и сделаны их оценки.

4) Установлена связь рассмотренной в настоящей диссертации теории

Azuma A. The Biokinetics of Flying and Swimming. Springer-Verlag, 1992. Fung Y.C. Biomechanics. Motion, Flow, Stress and Growth. Springer-Verlag, 1990.

2) Pedley T.J., Kessler J.O. Hidrodynamic phenomena in suspensions of swimming microorganisms// Ännu. Rev. Fluid Mech. 1992. Vol.24. P.313-358.

Shapere A., Wilczek F. Geometry of self-propulsion at low Reynolds number// J. Fluid Meet. 1989. Vol.198. P.557-585.

плавания с калибровочной теорией плавания Шапере и Вильчека

Автор защищает.

1) Разработку общей теории плавания при малых числах Рейнольдса. Под теорией здесь подразумевается, как постановка задачи (то есть формулировка замкнутой системы уравнений) плавания тела произвольной формы, так и ее решение [1].

2) Полное решение задачи о слабо деформирующейся сфере [2].

3) Решение задачи о плавании гаятелеобразной частицы [1], [2].

4) Исследования в области калибровочной теории плавания [3].

Практическая ценность. Полученные результаты можно использовать для описания биомеханики плавания микроорганизмов, в задачах управления движением в жидкости агрегатов мелких частиц под действием внешних долей, для разработки гидродинамических насосов.

Достоверность результатов подтверждается сравнением их с известными ранее работами, внутренней самосогласованностью теории.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на 11-ой Международной зимней школе по механике сплошных сред [4], а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре (руководители Г.З.Гершуни и Д.Б.Любимов).

Публикации. Результаты опубликованы в работах [1]-[3].

Структура и объем. Диссертация состоит из Введения, 4 глав и Заключения. Объем диссертации 113 страниц. Работа содержит 19 рисунков, а список литературы 41 название.

Содержание работы

Во Введении представлен обзор литературы и дана общая характеристика работы, которая включает актуальность и апробацию работы, научную новизну, практическую ценность и достоверность результатов.

В первой главе излагается теория плавания. Здесь сформулирована задача плавания частицы произвольной формы. Предполагается, что малы поступательное Не>,у, вращательное и деформационное Яеи числа Рейнольдса

= \Vifv <С 1, Веа=Ш2/и< 1, Яеы - шР/и < 1, (1)

где И7 и П - характерные поступательная и вращательная скорости частицы; £ - характерный размер частицы; и - характерная частота деформаций поверхности; и - кинематическая вязкость жидкости. Первые два условия позволяют избавиться от нелинейных членов в уравнении Навье-Стокса, а третье условие позволяет считать задачу в каждый момент времени стационарной.

См. примечание 3.

Для описания движения частицы вводятся три системы отсчета:

- ч-система, жестко связанная с частицей, в которой задаются уравнение поверхности частицы и скорость каждой точки поверхности

дт дт дг у = у(р,9,«)= (2)

где р, д - параметры этой точки на поверхности, а р(р, д, <), д(р, д, *) -ее параметрические скорости;

- следящал система (с-система), которая неподвижна относительно жидкости на бесконечности и в каждый момент времени совпадает с ч-системой (при таком определении с-система на самом деле представляет собой бесконечный набор систем координат, неподвижных относительно жидкости и в каждый момент времени какая-то одна система из этого набора будет совпадать с ч-системой);

- лабораторная система (л-система), неподвижная относительно жидкости.

С учетом (1) уравнения гидродинамики в с-системе принимают вид

т7Дг> = Чр, (Ну V = О, (3)

где и и р- скорость и давление жидкости относительно с-системы. Эти уравнения должны быть решены при выполнении граничных условий

и|5=:У=И<г+1?хг+у, ю"|оо=0, р|оо=ро, (4)

где IV и П - поступательная и вращательная скорости ч-системы относительно с-системы.

Решая уравнения (3) с граничными условиями (4), находим тензор вязких напряжений оц., а затем гидродинамическую силу и момент сил, действующие на частицу Г-, = фа^Бк, = е,у/ $ х^а^йЗ^-

5 5

Обозначим через (? - внешнюю силу, а через Г - момент внешних сил. приложенных к частице. В безынерционном приближении (когда можно пренебречь инертностью частицы) суммарная сила и суммарный момент обращаются в нуль

Р + С = Ь+Т = 0. (5)

Из этих двух векторных уравнений и должны бнть найдены неизвестные скорости движения частицы W ж П.

Переходя к решению задачи рассмотрим отдельно два решения уравнений Стокса (3) : 1) частица движется поступательно со скоростью IV, то есть V ¡¿' = «|оо = 0 и 2) частица вращается с угловой

скоростью SI, го есть v ¡5 = Í2 х г, v I,» = 0 в покоящейся на бесконечности жидкости. В силу линейности уравнений Стокса, выражение для скорости жидкости должно быть в первом случае пропорционально W, а во втором - Si. По этой причине и тензор вязких напряжений в первом случае будет пропорционален W, а во втором - /?, что можно записать в виде

<4r(r, t) = r,riki(r, t)Wv а'?(г, t) = VAikj(r, Щ, (6)

где тензоры третьего ранта и Л,у зависят от формы поверхности частицы и вида ее деформаций. Как показал Бреннер, тензоры Г и А могут быть использованы для вычисления гидродинамической силы и момента сил при произвольных граничных условиях (4) на поверхности частицы

Fí = t]£ dSjTjíiVk, L¡ — r¡ (j) dSjAjkiVj.. (7)

s s

Переходя к определению скоростей частицы, подставим в формулы (Б) выражения (7), в которых для скорости V воспользуемся формулой (4). Тогда формулы (5) можно записать в виде

Г KikWk + NikQk -Pi + Gi, [NkiWk + Mikíl^Qt+Ti, где введены следующие обе

Kik - -Tj§ dSjTjki, Mik = т]§ dSjAjnei?kXp, s s

Nik = r]§ dSjTjileklpxp = -T]§ dSjAjH, fg\

s s y '

Pi = T}$ dSjTjki'fk, Qi = l§ dSjAjuVk. s s

Таким образом, зная тензоры Г и Л, из системы уравнений (8) с учетом (9) можно найти скорости плавания частицы W ш (2.

Так как гидродинамическая задача решается в базисе с-сисгемы (обозначим его {е;}), то скорости W и П будут также получены в этом базисе, то есть W = Wie,-, Si — П,е,, где i = х, у, z. Для вычисления величины смешения и утла поворота частицы относительно жидкости нужно перейти в л-систему, то есть найти компоненты скоростей в л-системе (обозначим их С этой целью введем матрицу поворота R,

связывающую компоненты скоростей и орты в с- и л-системах

wf] = R{jWh ilf] = ВД, е,- = R}ief\ (10)

где введены орты л-системы е-0' = = 0). Учитывая, что ё,- = Пх ег для матрицы А получаем следующее дифференциальное уравнение

Лл - = 0) = (11)

Во второй главе диссертации развитая выше теория использована для решения задачи плавания сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере.

В сферической системе координат уравнения (2) для слабо деформирующейся сферы единичного радиуса можно записать в виде

г = [1+£/(0,^,г)]ег, у = е[(и>-?)/ + /1ег + (1 + е/)ы, (12)

где ег - единичный радиус-вектор; е - малый параметр несферичности (е < 1); /(0, <р. €) - однозначная функция сферических углов и времени, а также введены следующие обозначения

= ? = + } = %. (13)

С10 БШ 9 о<р от

Таким образом, деформации поверхности частицы задаются тремя функциями:

Поскольку частила слабо отличается от сферической, то можно переформулировать граничные условия (4) и поставить их не на деформированной поверхности 5 вида (12), а на поверхности сферы 5о Для этого надо представить скорость V, давление р жидкости, скорости частицы \У, П и скорость деформаций поверхности V в выражении (12) в виде степенных рядов по параметру несферичности г:

со ОС

ос П=0 (14)

IV = £ П = £ епГ2(п\ > = +

я=0 п~0

Подставив разложения (14) в уравнения (3) и (4) после несложных преобразований в каждом приближении п получаем следующую систему уравнений

= (Ну г/п> = 0,

г>(п) 1«, = 0, р<»> и = робпо, ®<»> и = + Л™ х ег + V(»>',

5' Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейиольдса. М.: Мир. 1976. С.632.

где последнее граничное условие задано уже на поверхности сферы 5о, а функции определяются через скорости найденные в

предыдущих приближениях, по следующей формуле

V« = _ £ и + гп^ х ег + V« . (16)

Таким образом, в каждом приближении п нужно решить уравнения (15) для сферы. Поскольку тензоры Г и Л для сферы известны

ог.3

Л.чу = ^(е^хлх/ + е]к!х,х1),

то из системы уравнений (8) с учетом (17) и (9) для скоростей частицы в п-м приближении получаем следующие выражения

и*.) = 1 Г я(-) = з г ^ тм

4тг J дгг) 8ж 3 8тгт7

где ¿о = эт - элемент телесного угла; С?^ и Т*-"^ - коэффициенты разложения внешней силы (? и момента Т по параметру е. Используя для уравнений Стокса (15) общее решение Ламба в сферических координатах, для функций уМ из выражения (16) была получена рекуррентная формула (которая здесь не приводится из-за ее громоздкости).

Полученные общие формулы (18) были исследованы в следующих частных случаях.

1. Случай радиальных деформациях, при которых скорость деформаций поверхности V в ч-системе (12) имеет только радиальную компоненту, а ш = 0, то есть V = efer.

Из формул (18) при V = е/ег в первых трех приближениях (п = 0,1,2) в отсутствии внешних сил получены следующие выражения для скоростей частицы в каждом приближении

и*°> = 0, л(0,=0, = ^ = 0,(19)

* х «=-1

' я— 1 у—т /—1^—771/т

о(2)_ ^ „ ТУ 1 л/7 2/2 — 31 — 2- 3£п ¿0Ы') гц

где - коэффициенты разложения функции / по сферическим гармоникам

ж^о4,?= / /ад (21)

1т

а С!?-т!т: Сш,-т1т ~ коэффициенты Клебша-Гордона.

Предполагая, что форма поверхности частицы меняется периодически, то есть функция поверхности /(<?,<£,{), а значит и коэффициент

в выражении (19) - периодические функции времени, из выражения (19) следует, что средняя за период скорость частицы в первом

т

приближении = 0. .Тогда из формул (14) с

о

учетом (19)-(20) средние скорости частицы с точностью до слагаемых порядка е2 равны

< ш >=< ^ >= £2 < >, < п >= е2 < п{2] >, (22)

п=0

а смещение и поворот частицы за период

5(Т) =<Ш>Т, Ф(Т) =< П > Т. (23)

Для дальнейших вычислений надо задать функцию ¡(в,<р, <). Рассмотрим следующие примеры.

1) = /(6,0 = Ру(0)8ш(ь;*) + ^-+1(0)со8(й/«), где и

Р,+1(0) - полиномы Лежандра, а ш - частота деформаций поверхности (не путать с угловой скоростью точек поверхности ш). Расчет по формулам (20)-(23) дает

Ф{Т}'°' <24)

1=0 Т/4 Т/2 ЗТ/4 Т Рис.1. Перемещение частицы при радиальных осе-симметричных деформациях: j = 4,е= 0.2

К примеру, при 3 = 4 и в = 0.2 перемещение частицы за период составляет 5(Г) = 0.03Й. На рис.1а изображена форма поверхности частицы при э = 4 и е = 0.2 в различные моменты времени периода деформаций и ее перемещение, которое для наглядности показано в увеличенном масштабе. Качественно движение частицы в данном случае можно объяснить следующим образом. Видно, что вначале у верхнего полюса возникает утолщение в виде тора, которое затем перемещается к противоположному полюсу (против оси г). Этим утолщением частица как-бы отталкивается от жидкости и плывет по оси г. " 2) f(в) ¿) = соэ (]В — глеу - целое число. Эта функция описывает бегущую по поверхности частицы гармоническую волну деформаций. Был выполнен расчет скоростей частицы для 3 — 4 и з = 20. Результаты расчёта таковы (при е = 0.2)

5(Г);=4 = 0.13йе„ = 1.6&Де„ Ф(Г) = 0. (25)

Форма поверхности частицы при ^ = 4,е = 0.2 в различные моменты времени и ее перемещение (в увеличенном масштабе) показано на рис. 16, а на рис.2 показана поверхность частицы при з = 20, е = 0.2, í = 0.

Рис.2. У = 20,е = 0.2

Рис.3 з = 20, то = 10, г = 0.2

3)/(6>, <р, t) = [о sin (ut)Pjm{e)+bcos(u;t)Pj+lm(9)] cos (ттр), где Pjn(B) и P;+lm(#) - обобщенные полиномы Лежандра, а а и Ь - нормировочные коэффициенты, которые выбираются из условий a(Pjm)max = 1 и b(Pj+im)maz = 1 (max - максимальное значение), чтобы максимальное значение функции / было порядка единицы и выполнялось условие е/ < 1 (см. (12)). Из формул (20)-(23) вычисляем

cm - (2/ ~ 2j - Щ + my.abRrre2 „ ^ ~ 2(2j + l)(2j + 3)(j + Щ^Т* (2б)

x^E+SS^ + SSe,, Ф(Т) = 0.

Например, при j — 20, m = 10 находим, что а = 0.38 • 10~12, Ь = 0.22 • 10 , a смещение частшш за период при е = 0.2 составляет S(T) = 0.25Р. Форма поверхности этой частицы при t = 0 показана на рис.3.

4) /(б, t) = aPjm(9) cos(m<p—ujt). Эта функция описывает бегущую по поверхности частицы вдоль ее экватора (экватор лежит в плоскости, перпендикулярной оси л) гармоническую волну деформаций, которая распространяется со скоростью ui/m. Расчет по формулам (20)-(23) показывает, что при таких деформациях частица вращается в жидкости с постоянной угловой скоростью не перемещаясь

S{T) = 0, Ф{Т) =

л 3m(j - 2)(j + та)! я 2(j + l)(2j ■+• l)(j — то)!

2 2 7ra¿e е.

(27)

Например, при з — 20, т = 10, е = 0.2, а = 0.38 ■ 10~12 (см. выше) поворот частицы за период составляет Ф(Т) — 0.41 рад. Форма поверхности этой частицы аналогична изображенной на рис.3. Горбики перемещаются по поверхности по часовой стрелке, если смотреть на частицу против оси г. Это вызывает вращение частицы в жидкости в противоположном направлении (против часовой стрелки).

2. Случай потенциальных деформаций, при которых угловая скорость точек поверхности равна градиенту некоторой функции-потенциала д(9, у, то есть ш{9, ¿) = <р, £).

Из формул (18) в нулевом приближении (га = 0) получены следующие выражения для скоростей частицы

W«» = -

(28)

где Сц - коэффициент из разложения потенциала д по сферическим гармоникам

9(0, = £ 01т{Щт{в, <р), в1т = [ дГ^о. (29)

¿т ^

Рассмотрим пример. Пусть частица является сферой (е = 0), а потенциал = д(9, ¿) = Тогда угловая скорость точек поверхности а> = Уд = ае^, а полная скорость точек поверхности частицы V при е = 0в соответствии с формулой (12) равна ш или в размерном виде V = Яи>. Подставляя функцию д = а9 в интеграл (29), находим коэффициент С 1т — —ал/Зтгл5тео/4. Подставляя его в формулу (28), находим скорость сферы

УГ = = -¿гае, = -V«,. (30)

4 4

В первом приближении (п = 1) для скоростей частицы получены следующие выражения

= -7&Г Е [2(I2 +1 - 6п)уГы

У12х,=_1 1,1т у47Г

(31)

В первом приближении были рассмотрены два примера: 1) д — ав, / = бши 2) д = аР[, / = сов(]в — для которых по формулам (31) были вычислены скорости

ТУ«, Л«

и сделаны их оценки.

В третьей главе диссертации исследовано плавание гантелеобра-зной частицы, состоящей из двух деформируемых тел а и Ь, соединенных тонкой деформируемой связью I (рис.4).

Рассмотрим плавание бисферической гантели, у которой тела а и Ь являются сферами (рис.4). Длина связи и радиусы сфер могут меняться за счет внутренних сил в результате чего сферы имеют возможность перемещаться в жидкости. Получим выражения для смещения сфер в предположении, что длина связи и радиусы сфер меняются по произвольному закону. Введем с-систему, с центром в центре сферы а, а ось г с-системы направим вдоль оси связи £ от сферы а к сфере Ь (рис.4). Обозначим скорости центров сфер а и Ь в момент времени t по отношению к с-системе через а и а радиусы сфер в этот момент

времени - через Ra и /?(,• Если длина связи £, равная расстоянию между центрами сфер, много больше радиусов сфер I Ra,( Rh, то гидродинамическим взаимодействием сфер можно пренебречь и считать, что при движении сфер в жидкости на каждую из них действует сила сопротивления, определяемая формулой Стокса: Fa = -6Trr)RaWa, Fb = -Q-KTfRbWb.

Суммарная гидродинамическая сила, действующая на частицу в безынерционном приближении, равна нулю Fa + Fi, = 0, откуда RaWa ---RbWb- Если I - скорость изменения длины связи, то (е2 = Wt - Wa. Из последних двух выражений находим скорости, а затем смещения сфер в жидкости в момент времени t

t t t i . J Wadr = -ezj Sb = J Wbdr = e;J —j, (32)

0 0 0 0

где к = Rb/Ra. Для дальнейших вычислений по формулам (32) необходимо сделать предположение о законе изменения со временем длины связи I и радиусов сфер Ra,Rb■ В качестве примера рассмотрим цикл ступенчатых деформаций гантели, состоящий из четырех шагов и приводящий к смещению гантели в жидкости (рис.4).

1-й шаг. Обозначим радиус сферы а на первом шаге через Ra = R, а радиус сферы Ь через i?j = r(R > г). Пусть связь I укорачивается на некоторую величину А£. Тогда смещения сфер а и Ь на первом шаге относительно жидкости с учетом (32) равны S^ = кА£е~/(к + 1), Sj1' = —А£ег/(к + 1), где учтено, что при укорачивании связи £ < 0, а к = r/R.

2-й шаг. Радиус сферы а уменьшается от R до г, а радиус сферы b увеличивается от г до R. при этом длина связи не меняется (£ — 0) и 5?> =0,5^ = 0.

3-й шаг. Ra = г, Rb = R, а связь f. удлиняется на величину Из формул (32) 5?> = ¿Д sf> = S?K "

4-й шаг. Радиус сферы а увеличивается от г до Л, а радиус сферы Ь уменьшается от R до г, при этом £ = 0 и S'y = 0, S[4' = 0.

Итак, на 4-м шаге цикла гантель возвратилась в исходное состояние. При этом сферы а и b совершили одинаковое перемещение

s = —г^-6-- = (TT^5l234e- (33)

где 5j234 _ площадь контура 12341 (рис:.4), представляющего собой график зависимости к[£) для цикла ступенчатых деформаций гантели.

Пространство, по осям которого отложены зависящие от времени параметры деформаций частицы (в данном случае I и к), в литературе называется пространством форм. Как показано в калибровочной теории самодвижения, смещение (и поворот) частицы за период деформаций отлично от нуля только в том случае, если отлична от нуля площадь контура в пространстве форм (в данном случае площадь 51234)-

8?

<й

-о

о

43^

Рис.4. Смещение гантели в жидкости за цикл ступенчатых деформаций и контур этого цикла в пространстве форм

Далее в диссертации исследовано плавание гантели, у которой тело Ь является сферой, а тело а несферично. Особое внимание уделено случаю, когда тело а представляет собой слабо деформированную сферу. В качестве конкретного примера рассмотрено твердое тело а, у которого функция / в уравнения поверхности (12) не зависит от времени и имеет вид

/(0, ф) - аР]т{9) эш(т<р) + 6Р;+1т(0) соз(т^),

(34)

где х > 2, то > 0. Эга функция описывает хиральную винтообразную поверхность (см. примеры на рис.5). Гантель в данном случае может перемещаться в жидкости за счет вращения винтообразного тела а вокруг оси связи гантели (ось г - см. рис.4).

1) ;=т=4, £ =0.2 2) ;=20, т=10, 5=0.2 Рис.5. Хиральные частицы, рассмотренные в качестве тела а гантели

I шаг

На рис.5 изображены тела я, форма поверхности которых описывается функцией (34) для двух случаев: 1) } = т = 4,£ = 0.2 и 2) ] — 20, т = 10, с = 0.2. В результате громоздких расчетов для скоростей гантели в первом и втором случаях получены следующие выражения .

___ 1.08Яп«/с!£2 тт. 2.99ДяакУ

^ = (!+«)(!^ = (1 + ,с)<1+ (30)

где Да - радиус недеформированной сферы о; а - угловая скорость вращения тел а и Ь относительно друг друга вокруг оси связи гантели; к = Иь/Яя - отношение радиусов сфер.

Четвертая глава диссертации досвящена приложению калибровочной теории плавания Шапере и Вильчека 6> к некоторым задачам, рассмотренным в диссертации. Согласно этой теории для определения: смещения и угла поворота частицы в жидкости за период деформаций достаточно найти матрицу .4, компоненты которой выражаются через компоненты скоростей частицы в базисе с-системы 1¥х, \Уу. П. (определяемые из уравнений (8)). Эта матрица называется калибровочным потенциалом. Он возникает в задаче плавания при малых числах Рейнояьдса вследствие неоднозначности выбора связанной с частицей системы координат. Калибровочные потенциалы А найдены для слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы.

Заключение

Таким образом, в данной диссертации получены следующие результаты.

1) Развита общая теория плавания частицы при малых числах Рейнояьдса. то есть сформулирована и и в общем виде решена задача движения частицы в жидкости за счет деформаций ее поверхности.

2) В наиболее общем виде решена задача о плавании сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере. Выражения для скоростей частицы имеют вид разложения по малому параметру г, определяющему несферичность частицы

ОО 'XI

IV = Л = 22 епп{п)-

п=О л=0

Получены рекуррентные формулы для определения величин /2'"' при произвольных деформациях поверхности частицы. В качестве примеров рассмотрены следующие частные случаи деформаций поверхности.

См. примечание

а) Радиальные деформации, при которых скорость любой точки поверхности V направлена вдоль радиус-вектора этой точки, то есть имеет вид <р. г) = v'(£, ¡р,

б) Потенциальные деформации, при которых угловая скорость точек поверхности равна градиенту некоторой функции-потенциала д(в, ¡р, £),

то есть ш(9, ¡р, = д(9, р, ¿).

Для этих случаев в явном виде найдены скорости частицы и 17 и сделаны численные оценки этих скоростей.

3) Введена модель гантелеобразной частицы, состоящей из двух деформируемых тел, соединенных тонкой деформируемой связью. Исследовано плавание такой частицы в следующих частных случаях.

а) Оба тела гантели являются сферами.

б) Одно из тел является сферой, а другое - изотропным геликоидом.

в) Одно из тел - сфера, а другое представляет собой слабо деформированную сферу хиральной винтообразной формы.

В явном виде получены выражения для скоростей гантели и сделаны их численные оценки.

4) Установлена связь рассмотренной в настоящей диссертации теории плавания с калибровочной теорией плавания Шапере и Вильчека. В качестве примеров в терминах калибровочной теории сформулированы рассмотренные в диссертации задачи о плавании слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы.

Список публикаций

1. Бекурин ДЛх7Шфцент1й7А~ Теоргогтамодвижения-деформи^-руюшейся частиды при малых числах Рейпольдса// Гидродинамика. Сб.статей. Пермь:Перм.ун-т.,1998. Вып.11. С.7-44.

2. Бекурин Д.Б. Плавание самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 1999. Вып.5. С.154-174.

3.Бекурин Д.Б. Калибровочная теория в задаче плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 2000. Вып.б. С.103-109.

4. Бекурин Д.Б.. Марценюк М.А. Теория самодвижения микроорганизмов в сильно вязкой жидкости// 11-ая Междуна]). зимняя школа по мех. спл. сред. Тез. докл. Пермь. 1997.

Подписано в печать ¿-1-.

Формат 60x84'/ к;. Печать офсетная. Усл.печ.л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 6-2.

Отпечатано на ризографе ООО "Мегатрон Плюс". 614600, г.Пермь. ГСП, ул.Героев Хагана. 9а. корпус 2.

Введение

1. Теория плавания частицы произвольной формы

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Ч-система.

1.1.2. С-система.

1.-2. Решение задачи.

1.2.1. Тензоры Г и А.

1.2.2. Обобщенные коэффициенты трения и обобщенные силы.

1.2.3. Уравнения для скоростей плавания частицы

1.2.4. JI-система.

1.2.5. Уравнение для матрицы поворота R.

1.3. Выводы.

2. Плавание слабо деформирующейся сферы

2.1. Уравнение поверхности частицы и скорость ее точек

2.2. Решение Ламба.

2.3. Переформулировка граничных условий.

2.4. Решение задачи о слабо деформирующейся сфере

2.4.1. Вычисление коэффициентов v^

2.4.2. Формулы для скоростей частицы

2.5. Радиальные деформации.

2.6. Потенциальные деформации.

2.7. Выводы.

3. Гантелеобразная частица 62 3.1. Поступательное движение гантели.

3.1.1. Ступенчатые деформации.

3.1.2. Малые плавные деформации.

3.2. Вращательное движение гантели.

3.2.1. Ступенчатые деформации.

3.3. Комбинация поступательного и вращательного движения гантели

3.3.1. Плавание гантели, состоящей из слабо деформированной сферы а и сферы b.

3.4. Выводы.

4. Калибровочная теория

4.1. Матрица поворота-смещения.

4.2. Калибровочный потенциал

4.3. Пространство форм

4.4. Примеры.

4.4.1. Слабо деформирующаяся сфера.

4.4.2. Поступательное движение гантели.

4.4.3. Вращательное движение гантели.

4.5. Выводы

Актуальность. Теория плавания частицы за счет деформаций ее поверхности при малых числах Рейнольдса представляет интерес по крайней мере для двух типов задач. Прежде всего она касается биомеханики плавания микроорганизмов. Второй круг задач, для которых эта теория также представляет интерес, относится к движению агрегатов мелких частиц, форма которых может управляться внешними полями.

Эти задачи интересны и актуальны по нескольким причинам.

Во-первых, они привлекательны сами по себе, как новое, еще сравнительно мало исследованное приложение, а возможно даже направление гидр одинамики.

Во-вторых, эти задачи приближают нас к пониманию механизмов плавания тел за счет деформаций формы, что особенно важно для практических приложений. Таковыми являются, например: 1) создание гидродинамического насоса, нагнетающего жидкость за счет движения в ней микроорганизмов или специальных искусственных частиц, управляемых внешними воздействиями, 2) создание новых типов гидродинамических движителей, 3) создание управляемых жидкостей, которые под действием внешних полей должны перемещаться в заданном направлении за счет перемещения содержащихся в них агрегатов мелких частиц.

В-третьих, изучение биомеханики плавания микроорганизмов представляет интерес для таких наук, как, например, биология, бактериология, медицина (известно, что некоторые микроорганизмы обитают в пищеварительных, кровеносных, половых каналах человека и животных).

Микроорганизмы. Здесь, пожалуй, будет вполне уместно привести некоторые известные из биологии сведения о микроорганизмах, представляющие интерес для дальнейшего изложения.

Как известно [1], микроорганизмы являются самыми распространенными обитателями нашей планеты, так как они составляют основную часть мировой биомассы. Из всего впечатляющего многообразия микроорганизмов рассмотрим только те из них, которые могут самостоятельно плавать и обладают достаточно малыми размерами, чтобы можно было пренебречь инерционными эффектами при их плавании. Это бактерии, сперматозоиды, одноклеточные водоросли и простейшие. Они имеют средние диаметры от 1 до 200 мкм [1]. По типу передвижения большинство перечисленных микроорганизмов можно разделить на три основных класса - саркодовые, инфузории и жгутиковые. Рассмотрим эти классы более подробно.

Саркодовые. Типичным представителем этого класса является пресноводная амеба (Amoeba proteus) (рис:.1). Передвижение амебы осуществляется с помощью псевдоподий (ложноножек), или выростов, образуемых эктоплазмой вследствие перехода ее из состояния геля в золь. Если амеба перемещается в одном направлении, то постепенно в сторону образовавшейся псевдоподии перемещается вся цитоплазма.

Рис.1 .Амеба пресноводная

Инфузории. Органоидами движения инфузорий являются реснички -тонкие волосовидные выросты цитоплазмы, которые густо покрывают всю наружную поверхность инфузории. Например, туфелька, или парамеция (рис.2), имеет постоянную форму тела и движется в жидкости только за счет колебаний ресничек. Каждая ресничка состоит из нескольких (до 11) волоконец. В основе каждой реснички лежит базальное тельце, расположенное в прозрачной эктоплазме. Между основаниями ресничек находятся маленькие веретеновидные тельца - трихоцисты, которые при раздражении выбрасываются наружу и используются как для защиты, так и для нападения. Длина тела парамеции составляет порядка 200 мкм, а скорость ее движения в воде - около 1000 мкм/с [5].

Рис.2 .Инфузория туфелька, или парамеция

Чтобы понять механизм плавания парамеции, рассмотрим движение ее отдельной реснички [4] (рис. 3). Условно его можно разбить на два этапа. На первом этапе (1-2-3) парамеция вытягивает ресничку и, как веслом, отталкивается ею от жидкости. В результате совместного аналогичного действия и других ресничек это приводит к смещению парамеции вправо (см. рис. 3). На втором этапе (4-5-6-7) ресничка возвращается в исходное положение. При этом она складывается, а затем медленно вытягивается таким образом, чтобы сопротивление жидкости, действующее на нее было минимально.

Рис.3 .Движение реснички парамеции

Жгутиковые. На рис. 4 изображена эвглена зеленая - типичный представитель класса жгутиковых. Она перемещается с помощью жгутика, расположенного на переднем конце тела и совершающего вращательное движение, в результате которого эвглена как бы ввинчивается в окружающую среду.

Аналогичным образом перемещаются в жидкости сперматозоиды и некоторые бактерии. Например, бактерия под названием Bdellovibrio bacteriovorans, имеющая тело длиной 1.5 мкм и диаметром 0.3 мкм, за счет вращения жгутиковидного хвостика (длиной 4 мкм) в одну секунду способна проплыть расстояние, равное 100 длинам ее тела [1]. Эта хищная бактерия может ввинчиваться внутрь тела более крупных бактерий, вращаясь при этом со скоростью около 100 об/с.

Более исчерпывающую информацию о микроорганизмах можно найти в специальной литературе (см., например, [2], [3]).

Обзор литературы. Перейдем к обзору литературы, посвященной изучению плавания тел при малых числах Рейнольдса.

Среди наиболее известных ранних работ на эту тему можно выделить, статьи [6], [7], в которых авторы исследовали плавание сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере. Так, например, в статье [7] были получены выражения и сделаны численные оценки для скорости плавания слабо деформирующейся сферы в частном случае цилиндрически

Рис.4 .Эвглена зеленая симметричных деформаций ее поверхности, то есть деформаций, симметричных относительно оси движения частицы.

Хорошо известна приближенная теория плавания жгутиковых (см., например, [8], [9]). Согласно этой теории жгутик моделируется в виде гибкого цилиндра. Используя известные формулы вязкого обтекания прямого цилиндра, можно приближенно найти силу и момент сил, действующие со стороны жидкости на движущийся изогнутый цилиндр, играющий роль жгутика, а затем определить скорость плавания частицы.

Особого внимания заслуживает калибровочная теория самодвижения, развитая А. Шапере и Ф. Вильчеком в работе [10] (см. также [12]), позволяющая по новому взглянуть на эту проблему. В этой теории для вычисления смещения и поворота частицы вводится калибровочный потенциал. Он возникает в задаче самодвижения, как следствие существующего произвола в выборе связанной с частицей системы координат. В работе [10] изложена калибровочная теория и указан принципиальный метод определения калибровочного потенциала применительно к задаче плавания при малых числах Рейнольдса. Теория продемонстрирована на двух примерах - плавания бесконечного цилиндра перпендикулярно его оси за счет изменения формы его поперечного сечения и поступательного движения слабо деформирующейся сферы. Кроме этого, в работе [11] авторы применили результаты калибровочной теории для исследования эффективности плавания бесконечного цилиндра и слабо деформирующейся сферы.

Известно [1], что микроорганизмы в процессе плавания реагируют на различные внешние раздражители, под действием которых они меняют свою ориентацию и направление движения в жидкости. Наиболее существенными внешними факторами, влияющими на траекторию их движения, являются гравитация, свет, химическая неоднородность окружающей жидкости, сдвиговые течения в ней. Некоторые бактерии содержат магнитные частицы (магнитосомы), которые заставляют их плыть вдоль силовых линий магнитного поля. Кроме этого, при достаточно высокой концентрации микроорганизмов в жидкости на движение отдельного индивидуума могут существенное влияние оказывать соседние микроорганизмы, что необходимо учитывать при изучении процесса плавания их популяций.

Исследования плавания отдельных микроорганизмов и особенно их популяций при наличии внешних факторов имеют большую практическую ценность, так как решают задачу управления коллективным движением микроорганизмов с помощью внешних воздействий. В качестве примеров подобных исследований можно указать работы [1], [13], [14].

В заключении литературного обзора следует отметить значительный интерес ученых разных стран к проблеме плавания при малых числах-Рейнольдса, о чем свидетельствует огромное число давно существующих и постоянно появляющихся новых публикаций на эту тему (см.,например, некоторые работы последних лет [15] - [22]).

Цели работы. Основные цели данной работы заключались в попытке разработать общую теорию плавания самодеформирующейся частицы произвольной формы при малых числах Рейнольдса, а также применить эту теорию для исследования конкретных примеров плавания.

Основные результаты работы и их научная новизна. Кратко изложим содержание, основные результаты диссертации и их научную новизну. Она состоит из введения, четырех глав и заключения.

4.5. Выводы

В четвертой главе изложена основная суть калибровочной теории плавания, развитой Шапере и Вильчеком в работе [10]. В этой работе показано, что для определения смещения и угла поворота частицы в жидкости за период деформаций достаточно найти матрицу А

0 Qy Wx \ а 0 fiX Wy fly fix 0 wz

V 0 0 0 0 /

4.348) где Wx, Wy, Wz, Qx, Qy, ftz - компоненты скоростей частицы в базисе с-системы. Матрица А является калибровочным потенциалом. Действительно, если переопределить центр и ориентацию осей с-системы, то изменятся проекции скоростей частицы на оси с-системы W{ —> W-, Ог- —> Q'i, а значит согласно (4.348) изменится матрица А : А —А'. С другой стороны поворот и смещение с-системы относительно своего начального положения за полный период деформаций Т не должны зависеть от выбора с-системы. Но, как было сказано выше, поворот и смещение частицы за период деформаций однозначно определяется матрицей А. Таким образом, существует некий произвол при определении матрицы

А, который тем не менее не влияет на конечный результат (поворот и смещение частицы). Это значит, что А - калибровочный потенциал. Как известно, калибровочный потенциал появляется в задачах, где есть неоднозначность в описании физической системы. В задаче плавания при малых числах Рейнольдса эта неоднозначность связана с выбором с-системы координат.

Сравнивая калибровочную теорию плавания с теорией плавания, представленной в данной диссертации следует сказать, что в последней разработан метод решения гидродинамической задачи и определения компонент скоростей частицы в базисе с-системы Wx, Wy, Wz, Qx, Qy, fiz, что позволяет в соответствии с (4.348) найти калибровочный потенциал А. Таким образом, на языке калибровочной теории рассмотренная теория плавания дает метод определения калибровочного потенциала А.

В данной главе введено еще одно важное понятие - пространство форм. Это нефизическое пространство, по осям которого отложены зависящие от времени параметры, входящие в уравнение формы поверхности частицы. Совокупность значений этих параметров в данный момент времени будет определять точку в указанном пространстве. С течением времени значения параметров меняются и точка перемещается. Будем считать, что деформации поверхности частицы периодичны и параметры формы тоже являются периодическими функциями времени, а за период деформаций точка опишет в пространстве форм замкнутый контур. Как показано в работе [12], смещение и поворот частицы за период деформаций пропорциональны площади этого контура. В частности, если его площадь равна нулю, то равны нулю смещение и поворот частицы за период.

В качестве примеров в данной главе на языке калибровочной теории сформулированы задачи плавания слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы, исследованные в предыдущих главах.

Заключение

Таким образом, в данной диссертации получены следующие результаты.

1) Развита общая теория плавания частицы при малых числах Рей-нольдса, то есть сформулирована и решена замкнутая система уравнений, описывающих движение частицы в жидкости за счет деформаций ее поверхности (первая глава). Предполагается, что форма и деформации частицы произвольны, а инерционные силы малы по сравнению с вязкими (безынерционное приближение). Также считаются малыми поступательное Rew и вращательное Req числа Рейнольдса s

Rew = Wijv < 1, Ren = Ш2/гу < 1, где W и Q - характерные поступательная и вращательная скорости частицы; t - характерный размер частицы; v - кинематическая вязкость жидкости.

Кроме этого, считается малой скорость деформаций поверхности частицы, что можно записать в виде ограничения, накладываемого на величину характерной частоты деформаций со <С г//12.

2) В наиболее общем виде решена задача о плавании сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере (вторая глава). Выражения для скоростей частицы имеют вид разложения по малому параметру е, определяющему несферичность частицы оо оо

W = Y^£nW(n\ ft = п=0 п=0

Получены рекуррентные формулы для определения величин при произвольных деформациях поверхности частицы.

В качестве примеров рассмотрены следующие частные случаи деформаций поверхности. а) Радиальные деформации, при которых скорость любой точки поверхности v направлена вдоль радиус-вектора этой точки, то есть имеет вид v(0, (р, i) = v(0, ср, t)er(6, ср). б) Потенциальные деформации, при которых угловая скорость точек поверхности равна градиенту некоторой функции-потенциала д(в, <£>, t), то есть ш(6, </?, t) = yVg(6, ip, t).

Для этих случаев в явном виде найдены скорости частицы W и J? и сделаны численные оценки этих скоростей.

3) Введена модель гантелеобразной частицы, состоящей из двух деформируемых тел, соединенных тонкой деформируемой связью (третья глава). Исследовано плавание такой частицы в следующих частных случаях. а) Оба тела гантели являются сферами. б) Одно из тел является сферой, а другое - изотропным геликоидом. в) Одно из тел - сфера, а другое представляет собой слабо деформированную сферу хиральной винтообразной формы.

В явном виде получены выражения для скоростей гантели и сделаны их численные оценки.

4) Установлена связь рассмотренной в настоящей диссертации теории плавания с калибровочной теорией плавания Шапере и Вильчека [10]. В качестве примеров в терминах калибровочной теории сформулированы рассмотренные в диссертации задачи о плавании слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы.

1. Pedley T.J., Kessler J.O. Hidrodynamic phenomena in suspensions of swimming microorganisms// Armu. Rev. Fluid Mech. 1992. Vol.24. P.313-358.

2. Слюсарев А.К.Биология с общей генетикой. Изд.2-е. М.: Медицина, 1978. С.472.

3. Серавин J1.H. Двигательные системы простейших. Строение, механохимия и физиология. JL: Медицина, 1967.4

4. Кокшайский Н.В. Очерк биологической аэро- и гидродинамики. М.: Наука, 1974. С.255.

5. Глазер Р. Очерк основ биомеханики. М.: Мир, 1988.

6. Lighthill J. On the squirming motion of nearly spherical deformablre bodies through liquids at very small Reynolds number// Commun. Pure. Appl. Maths. 1952. Vol.5. P.109-118.

7. Blake J.R. A spherical envelope approach to ciliary propulsion// J. Fluid Mech. 1971. Vol.46. P.199-208.

8. Azuma A. The Biokinetics of Flying and Swimming. Springer-Verlag, 1992.

9. Fung Y.C. Biomechanics. Motion, Flow, Stress and Growth. Springer-Verlag, 1990.

10. Shapere A., Wilczek F. Geometry of self-propulsion at low Reynolds number// J. Fluid Mech. 1989. Vol.198. P.557-585.

11. Shapere A., Wilczek F. Efficiencies of self-propulsion at low Reynolds number// Ibid. P.587-599.

12. Littlejohn R.G., Reinsch M. Gauge fields in the separation of rotations and internal motions in the n-body problem// Rev. Mod. Phys. 1997. Vol.69. P.213-275.

13. Kessler J.O., Strittmatter R.P., Swartz D.L., Wiseley D.A., Wo-jciechowski M.F. Paths and patterns : the biology and physics of swimming bacterial populations// The Sosiety for Experimental Biology, 1995.

14. Nojiri S.I., Kawamura M., Sugamoto A. Collective motion of microorganisms from field theoretical viewpoint// Mod. Phys. Lett. A. 1996. Vol.11. P.915-920.

15. Camalet S.,Julicher F.,Prost J. Self-organized beating and swimming of internally driven filaments// Phys. Rev. Lett. 1999. Vol.82. P.1590-1593.

16. Stone H.A., Samuel A.D.T. Propulsion of microorganisms by surface distortions// Ibid. 1996. Vol.77. P.4102-4104.

17. Elizalde E., Kawamura M., Sugamoto A. Quantum effects of stringy and membranic nature for the swimming of micro-organisms in a fluid// Int. J. Mod. Phys. A. 1996. Vol.11. P.5569-5585.

18. Kawamura M. Efficiency of swimming of micro-organism and singularity in shape space// Mod. Phys. Lett. A. 1996. Vol.11. P. 19611969.

19. Philip D.,Chandra P. Self-propulsion of spermatozoa in microconti-nua-effect of transverse-wave motion of channel walls// Arch. Appl. Mech. 1995. Vol.66. P.90-99.

20. Filderhof B.U., Jones R.B. Inertial effects in small-amplitude swimming of a finite body// Physica A. 1994. Vol.202. P.94-118.

21. Koehl M.A.R. Fluid flow through hair-bearing appendages : feeding, smelling and swimming at low and intermidiate Reynolds numbers/ / The Sosiety for Experimental Biology, 1995.

22. Filderhof B.U., Jones R.B. Small-amplitude swimming of a sphere// Ibid. 1994. Vol.202. P.119-144.

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Гидродинамика. М.: Наука, 1986. G.736.

24. Бекурин Д.Б.,Марценюк М.А. Теория самодвижения деформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Пермский сборник гидродинамика. 1998. Вып. 11. С.7-44.

25. Бекурин Д.Б. Плавание самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 1999. Вып.5. С.154-174.

26. Бекурин Д.Б. Калибровочная теория в задаче плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 2000. Вып.6. С. ВО-86 .

27. Бекурин Д.Б., Марценюк М.А. Теория самодвижения микроорганизмов в сильно вязкой жидкости// 11-ая Междунар. зимняя школа по мех. спл. сред. Тез. докл. Пермь. 1997.

28. Brenner Н. The Stokes resistence of an arbitrary particle 1// Chem.Eng. Sci. 1963. Vol. 18. P. 1-25.

29. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 2. An Extention// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 599-629.

30. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 3. Shear fields// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 631-651.

31. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 4- Arbitrary fields of flow// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 703-727.

32. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 5. Symbolic operator representation of intrinsic resistance// Chem.Eng. Sci. 1966. Vol. 21. P. 97-109.

33. Brenner H. The Stokes resistance of a slightly deformed sphere// Chem.Eng. Sci. 1964. 19. P. 519-539.

34. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976. С.632.

35. Марценюк М.А. Вязкость суспензии эллипсоидальных ферромагнитных частиц// Журн. прикладной механики и технической физики. 1973. С.75-82.

36. Марценюк М.А. О магнитной вязкости суспензии ферромагнитных частиц// ЖЭТФ. 1974. 66. Вып.6. С.2279-2289.

37. Марценюк М. А. Объемная вязкость ферромагнитной суспензии// ЖЭТФ. 1977. 73. Вып.2. С.597-607.

38. Варшалович Д.А. и др. Квантовая теория углового момента. Аппарат неприводимых тензоров. Сферические функции. 3nj-символы. JL: Наука, 1975. С.473.

39. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ОГИЗ, 1947. С.744.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Ш. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. С.767.

41. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. Изд.5. С.1108.