Теория процессов роста и диффузии, контролируемых границами сложной формы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

рга оя

/ f) 'i7 ' Московский Государственный Университет

имени М.В-Домоносова физический факультет

На гривах рукописи Лубашевский Июрь Алексеевич

УДК 669.18

Теория процессов роста и диффузии, контролируемых границами сложной формы

01.04.07 - физика твёрдого тела

Автореферат

диссертации та соискание степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Рабата выполнена в Российском Открыл»! Университете.

Официальные огаюнешы: доктор физика - математических гаук, профессор В.В. Воронков, доктор физико - математических наук, профессор А.К. Звездин, доктор физико - математических наук, профессор

ЛЯ. Кобелев

Ведущая организация: Инсппуг металловедения и физики металлов.

Защита диссертации состоится " # " ССЛ*) ■ 1993 г. часов на заседании специализированного совета Д 053.05.40 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу. Москва 117234, Ленинские горы, МГУ, физический факулигет, криогенный корпус, аудитория 205.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва.

Автореферат разослан "/4" 1993 г.

Ученый секретарь специализированного математических наук, профессор

совета

доктор физико С А. Никитн.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы процессы диффузионного типа в средах с границами сложней формы, физические свойства которых оказывают существенное, а зачастую и акгавное влияние на протекание данных процесов, а также процессы формообразования и эволюции подвижных границ, перемещение которых контролируется диффузионными полями, привлекают пристальное внимание исследователей во многих областях физики, химии, биологии и экологии. Эш связано с тем, что в основе определенного широкою класса разнообразных эффектов, встречающихся в системах различной грироды, лежат общие закономерности динамики дис-сигатавных систем, эволюция которых контролируется их границами. Тем самым описание этого класса эффектов возможно в рамках единого подхода.

В качестве гримера этих явлений приведем образование распределения примеси или рост новой фазы со сложными пространственными структурами в поликристаллах или кристаллах с дислокациями, где границы зерен или сами дислокации образуют пути быстрой диффузии. Другим примере»! может служить рост кристалла из переохлажденного расплава, когда процесс теплопроводности, кошролирующйй перемещение границы раздела фаз, обусловливает возникновение поверхностных структур с чрезвычайно сложной геометрией (девдригов). Подобные поверхностные структуры возникают также при элекгроосаяздении, горении, взаимном движении несмешивающихся жидкостей и тл.

Формально математически списание таких эффектов сводится к уравнениям диффузионного типа с определенными траничными условиями на физических или эффективных поверхностях раздела фаз, которые также могут задавать законы движения этих поверхностей.

Важность такого тала явлений и эффекте® определяется широким иаюлыэованием процессов диффузионного типа, в том числе роста твердых тел, кей премируемого диффузионными процесами, в разнообразных технологических задачах,' начиная от классических процесс® металлургии и обработки материалов и кончая современными технологиями микроэлектроники, например получение полупроводниковых сверхрешегок.

Наличие поверхности раздела фаз со сложной геометрией, оказывающей _ активное влияние на развитие диффузионного процесса, а также изменение во времени формы такой поверхности в системах с подвижными границами составляет основную трудность при теоретическом исследовании данных процесс». Поэтому не только изучение конкретных систем и аффектов, да и разработка теоретических методов списания данного типа задач представляет собой актуальную гроблему-

Цель диссертационной работы состоит в теоретическом изучении свойств процессов диффузионного типа в системах с границами сложной формы и эволюции границ, движение которых контролируется диффузионными полями; исследование явлений самоорганизации в системах со свободными границами на примере кристаллизации твердых тел; анализ пространственного распределения атомов примеси и роста новой фазы при реакционной диффузии в системах, границы которых образуют пути быстрой диффузии; изучение влияния формы границ и их свойств та процессы диффузии в координационном и импульсном пространстве.

Научная новизна работы. В диссертации впервые:

1. Изучен прсцес автоколебаний фронта кристаллизации при направленном затвердевании биирного расплава, обусловленных неравновесной сегрегацией. В рамках квазисгационарного приближения построена нелинейная теория пичковых релаксационных автоколебаний и исследована зависимость амплитуды и периода возникающих в этом случае диссигкшшных структур в твердом теле от параметров системы.

2. Построена теория квазисгационарного роста дендрите® в рамках двумерной постановки задачи. Перемещение в пространстве границы дендрита представляется как эволюция некоторого шля, определенного в неподвижном пространстве, которое описывается замкнутой системой уравнений. Показано, что полученные уравнения обладают свойством "адаптивности", которое облегчает анализ малых областей физического пространства, содержащих резкие изменения формы границы. Когда поверхностная энергия дендрша достаточно мала, найдено точное решение формирования регулярней системы "пальцев", описывающее их рост из малых возмущений. Сформулирован вариационный принцип описания

квазисгационарного рост деедртов, а также устойчивости системы

»» II

пальцев .

3. Установлено, что описание роста дендршов при нестационарном процессе теплопроводности может быпь сведено к квазистаиионарной модели движения двух поверхностей - границы кристалла и эффективной температурной поверхности. Д вижение в пространстве данных поверхностей представлено как эволюция определенных полей. Показано, что в длинноволновом пределе описание роста дендрита может бьггь представлено в рамках локальной динамики его поверхности.

4. Сформулирован вариапронный принцип для описания образования пространственных структур при послойном росте кристаллов.

5. Развита теория роста фазы продукта реакции при реакционной диффузии в поликристаллах. Исследованы особенности формирования слоя продукта реакции на различных этапах диффузионного процесса, а также особенности пространственного распределения его сгехиометрического состава при многокомпстпной реакционной диффузии.

6. Для описания диффузии примеси в поликристаллах и кристаллах с дислокациями предложена классификация траекторий случайного блуждания диффундирующих атомов, которая позволяет представить процесс диффузии как мтрацию атомов примеси внутри зерен поликристалла или внутри дислокации. При этом, однако, время такси мшрации не совпадает с текущим физическим временем, а задается особенностями диффузии атомов примеси в регулярной решетке кристалла. Исследованы свойства распространения атомов примеси в таких твердых

. телах в различных условиях.

7. Для анализа геометрии диффузионного р-п перехода в полупроводниках со сложной формой границы предложен метод вычисления асимптотики пространственного распределения атомов примеси. Исследовано влияние граничных условий, в частности сегрегации атсаюв примеси ш границе твердого тела.

8. Для ряда гроцегсда ведаффузионшго типа, таких как гелеобраэование в радикальной разветвленной полимеризации, перенос элистротюв в улыракванговых магнитных тлях, исследование особенностей их динамики, когда нелокальное взаимодействие может бьпъ представлено в виде

б -

некоторых фаничных условий в координационном и импульсном пространстве.

Научная и практическая значимость: В диссертации разработан метод описания и анализа пространственных структур, возникающих как результат разнигшя {юустойчивосш равномерного движения плоского фронта криспаллтаапш. Данный метод может быть использован для изучения конкретных технологических процессов роста (эпигаксии) полупроводниковых пленок, окисления и т.п., а также для оптимизации технологии самоформирования сверхрешегок и изучения способов управления их параметрами, например, амплитудой модуляции и пространственным периодом.

Построй тая теория квазистарювдрного денАрипюго роста позволяет описать процесс формирования поверхностей сложной геометрической формы в рамках теории поля. Это дает возможность применил» к анализу детальных особенностей эволюции таких поверхностей хорошо развитые методы современной теоретической и математической физики.

Исследованые в работе эффекты самофсрмирования фазы продукта реакции три реакция я юй диффузии в поликристаллах дают возможность выбирать режимы технологического процесса таким образом, чтобы получить елей продукта реакции с требуемыми свойствами. Данные результаты особо принципиальное значение имеют при получении продукта реакции сложных) химического состава.

Результаты исследований особенностей пространственного распределения примесей в поликристаллах и кристаллах с дислокациями представляют интерес для расшифровки экспериментальных данных по диффузии т^эимеси в таких неоднородных ■ средах с целью получения экспериментальных значений их параметров.

Предложенная модель построения геометрической формы р-п перехода в полупроводниках со сложной формой границы дает возможность быстрого шлуколичесшеншго анализа технологического процесса получения диффузионных р>-п гкреходов и дает упрощенный метод анализа свойств полугцюводниковых приборов при V- или и- канальной технологии.

На защиту выкосится следующее:

1. При направленном затвердевании бинарного расплава неустойчивость равномерного движения плоского фронта кристаллизации, обусловленная неравновесной сегрегацией, триводиг к возникновению пичковых релаксационных автоколебаний скорости движения фронта кристаллизации и концентрации гфимеси на границе раздела фаз. Распределение примеси в растущем кристалле или его химического состава, иными словами амплитуда и период сверхрешетки, образующейся в твердил теле, главным образом, определяется градиентом температуры, скоростью вытягивания кристалла, величиной наклона линии ликвидуса, подвижностью границы раздела кристалл-расплав и функциональной зависимостью коэффициента сегрегации сгт скорости движения фронта кристаллизации. При развипш неустойчивости в области жесткой бифуркации относительная амплшуда химического состава возникающей сверхрешепш может составлять деапки процентов.

2. Метод описания динамики квазисгационарного дендритного роста, в рамках которого перемещение в пространстве границы рвддела фаз представляется как эволюция некоторого отображения. Достоинство данного метода состоит в понижении размерности исследуемой задачи, а также в том, «по полученные уравнения движения обладают в определенном смысле свойством "адаптивности", упрощающим анализ малых областей физического пространства, содержащих резкие изменения формы границы раздела фаз.

3. ДЕухгюверл юстная модель для описания динамики дендришого рост, контролируемого нестационарным процессом теплопроводности, в рамках которой рассматривается д вижение д вух поверхностей - физической граница кристалла и эффективной температурной поверхности, контролируемых квазисгационарным распределением температуры в области, ограниченной этими поверхностями. Меггод описания динамики двухповерхноспюй модели, в рамках которою однозначно определяются все основные характеристики, формирующихся в результате неустойчивости регулярной (плоской, цилищцэической и т.п.) границы растущего кристалла, поверхностных диссипатипных структур, т.е. их зависимость от начальных условий, кристаллографической ориентации, степени переохлаждения, поверхностной энергии и тл. В длинноволновом приближении эволюция

шлеи конформных отображений представляется в виде локальной динамики физической границ ы кристалла.

4. Вариационный принцип для описания квазисгацкаиреого дендритного роста в переохлажденном расплаве позволяющий явным образом получить уравнения движения параметров поверхностных диссипативных струюур, возникающих в резулшате неустойчивости регулярного (плоского, цилиндрического и тл.) фронта кристаллизации.

5. Особенности формирования периодической системы "гальцев" при квазистационарном дендржтном росте из малых возмущений плоской границы раздела фаз, когда ее поверхностная энергия достаточно мала. Показано, что формирование периодической системы "пальцев" из малого возмущения, устойчивость которого в литейном приближении обусловлена поверкносгной энергией фаницы ршдела фаз, рзеализуеггся по сцешрию жесткого режима возбуждения. При неизменном периоде системы растущих "пальцев" поверхностная энергия обусловливает доминирующий рюсг "пальцев" определенной формы, однако любая гкржодаческая система "пальцев" шляется абсслнэтно неустойчивой относительно увеличения их периода.

6. Описание квазисгацисх ирного формирования пространственных структур при послойном росте кристаллов в терминах динамики движения сгибающей поверхности кристалла и ее нормальней скорости перемещения, которое позволяет явным образом получить уравнение движения параметров поверхностных диссигтивных структур.

7. Теория роста слоя продукта реакции при реакционной диффузии в поликристаллах, которая описывает процесс диффузии на масштабах, превышающих размер зерен поликристалла. На начальном этапе реакционной диффузии, когда вблизи поверхности поликристалла формируется химически .гетерогенный слой продукта реакции, содержащий включения первоначальной фазы паликрисгаллического материала, толщина такого слоя растет как ^^ . С дальнейшим протеканием химической реакц ии, когд а вблизи поверхности поликристалла возникает химически гомогенный слой, общая толщина слоя продукта реакции растет как t ^ . При атом однородные фазы разделяются химически гетерогенным слоем постоянной толщины, перемещающимся вглубь поликристалла. При многокомпонентной реакционной диффузии возможно возникновение

немонотонного распределения спжиометрического состава сдоя продукта реакции, например, когда происходит последовательная замена химического состава газовой фазы, контролирующей химическую реакцию на внешней поверхности поликристалла.

8. Метод описания процесса диффузии примеси в поликристаллах и кристаллах с дислокациями. В рамках этого метода процесс диффузии атомов примеси представляется как определенные случайные блуждания ш фанигрм зерен или дислокациям, образующими пути быстрей миграции, и как случайные блуждания внутри регулярной решетки кристалла. С одной стороны время пребывания атомов примеси внутри этих неоднородносгей является, случайней величиной, статистические свойства которой определяются детальными особенностями случайных блуждании атоме» примеси в регулярной часта кристалла. С другой стороны, именно в течение этого времени атомы примеси фактически приобретают способность перемещаться на расстояния, эдачгпельда превышающие * среднюю диффузионную длину в регулярней части кристалла. Эта особенность и обусловливает все аномальные свойства эернофаничдаи даффузии.

9. На масштабах превышающих характерную длину д иффузии свойства распределения диффундирующих атомов примеси в твердом теле при различных формах его границы определяется главным образом траекториями их случайных блужданий вблизи "разрешенной оптимальной траектории". Сегрегация атомов примеси на поверхности твердого тела не оказывает существенного влияния на геометрию поверхностей равней концентрации.

10. Зарождение геля, т.е. образование шхраниченнай макромолекулы при ризаетвлеиной радикальной полимеризации, в зависимости ст соотношения параметров системы, в частности относительных конц ентрации мономеров различного типа и инициаторов реакц ии, может происходит либо при соприкосновении эффективных границ диффузионно растущих клубке» линейных макромолекул, либо при их значительном перекрытии.

11. Теория кинетических эффектов и особенности вальоамперных характеристик электронного газа твердого тела в улвтракванговых мапигаых полях, когда диффузия электронов в области пространства квазиимпульсов контролируется их тройными соударениями, а свойства границы области диффузии определяются испусканием опгаческих фонах».

Апробация результата работы. Результаты работы докладывались на X (Новосибирск, 1980), XI (Ужгород, 1983), XII (Ташкент, 1985) Всесоюзных совещаниях по теории полупроводников; V и VI (Вильнюс, 1983, 1986) Всесоюзных симпозиумах "Плазма и неустойчивости в полупроводниках", VI Всесоюзном симпозиуме го полупроводникам с узкой запрещенной зоной и полуметаллам (Львов, 1983); III Межотраслевом совещании ' 'Автоматизация, регулирование и средства регулирования - процессы выращивания монзкристаллов" (Москва, 1986); VII конференции ш разработке и изготовлению твердотельных изделий электронной техники (Новосибирск, 1986);' I, III Всесоюзных совещаниях "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводнике«® приборах" (Паланга, 1987, 1989); Республиканском семинаре "Вопросы управления свойствами многокомпонентных материалов" (Одесса, 1987); Всесоюзной конференции "Современные проблемы статистической физики" (Львов, 1988); Всесоюзном научно - техническом совещании "Пути совершенствования технологии полупроводниковых и диэлектрических материале»" (Одесса, 1988); I Всесоюзной конференции "Физика и химико - физические основы микроэлектроники" (Вильнюс, 1987); I Симпозиуме го микроалеторонике (Минск, 1989); II Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Дрогобыч, 1989,1991); II Всесоюзной школе-совещании "Физика неравновесных процессов" (Сочи, 1991); Воесоюзной шкале-семинаре "Нелинейные проблемы матфизики и их приложения" (Самарканд, 1991); III Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Льве®, 1992); I Международная конференция "Нанотехнология, наноалегароника и криоалектроника" (Барнаул, 1992); VII Conf. "Qualitative theoty of differentatíal equations. (SamaAand, 1992); I International Stefan Banach Conf. (Lviv, 1992).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения. Объем составляет 357 страниц текста, в таи числе 40 страниц рисунков. Список литературы включает 226 наименований.

Кратное содержанке работы Во плед яда» показзт актуалыюсгь темы диссертации и сформулирована цель работы, изложеда научная новизна и практическая значимость результатов, гредставлгкы осговные положения и резулигаты, выносимые га защиту, даю крепкое изложение содержания диссертации.

В главе 1 построена нглинейная теория автоколебании плосксго фратга кристаллизации при направленном зэггвер$е8ании бинарной системы, когда неустойчивость его равномерного движения обусловлена неравновесной сегрегацией. Исследована зависимость формы и амплшуды колебаний скорости движения фронта кристаллизации, а также зависимость амплитуды и периода сверхрешетки, возникающей в растущем твердом теле от физических и технологических параметре® системы

Для этого в §11 проанализированы на основе литературных данных условия возникновения неустойчивости равномерного движения фронта кристаллизации вследствие неравновесности процесса сегрегации. Выявлена область параметров системы, где развитие неустойчивости не приводит к значительно!^ искажению плоской геометрии фронта кристаллизап.иф.е. определяет условия возможности образования сверхрешегки в растущем твердом теле. Данный параграф также содержит обоснование и формулировку математической постановки задачи и сведение ее к следующей одномерной модеум. В области расплава x > xq( t), с начальным содержанием состава (с0) (где Xg(t) - положение фронта . кристаллизации). Диффузионое перераспределение одного из химических" компонентов системы описывается уравнением:

^ = D Д. (1)

<?t акг w

Перемещение траницы кристалла, задается законом сохранения числа частиц на движущейся границе кристалла

(2)

<?с

D-

<?х

х=хо

[l - k(v)]c

lx=xO

и зависимостью скорости v движения драницы кристалла от локальной температуры Tlx=xo = Tq + g( х0 - Vt) и концапрацни примеси С|х=х0

v = /¿(10- mc|x=xo - т|х=хо) . (3)

Здесь с - коццешрация рассматриваемого химического компонента в расплаве, D - его коэффициент диффузии, Т0 - температура кристаллизации, G ' её ¡радиенг в расплаве, m - наклон линий ликвидуса, ¡л - подвижность границы раздела фаз кристалл - расплав, V - скорость вытягивания растущего кристалла. Зависимость коэффициента сегрегации k(v) от скорости v движения фрегата кристамизации является следствием неравновестности процесса сегрегации и обуслшливает возникновение рассматриваемой неустойчивости.

В §1.2 показано, что при к«1 справедливо квазилокалшое распределение, в рамках капорого задача (1)-(3) сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, для

переменнных а = {хо-х0,шшпату)/xüdaüonary ' относительного положения фронта кристаллизации и u= (v-v)/v - его опюсигельной скорости движения. Линейный анализ этих уравнений показывает, что равномерное движение фронта кристаллизации становится неустойчивым, когда

к >*[о]Ся + *) (4)

где

g = GD/[vma). Соотношение К = k(g + х) определяет кривую в плоскости параметров ср, V разделяющую области устойчивости и неусгойчи-^ vc V восш (см. рис.1).

В §13 анализируются типы режиме» спонтанного возбуждения автоколебаний фронта кристаллизац ии и показано, что при больших скоростях вышивания (V>VC) на границе области устойчивости (рис.1) реализуется мягкий режим . возбуждения автоколебаний, а при малых скоростях (V<VC) - жесткий. В последнем случае амплитуда колебаний скорости движения фронта кристаллизации, а, следовательно, и амплитуда

Рис.1

сверхрешетки, возникающей в растущем твердом теле, сразу достигают больших значений. Кроме того, в данном параграфе анализируется зависимость амплитуды колебаний скорости фронта кристаллизации, амплитуды и периода возникающей сверхрешегжи в твердом теле от физических и технологических параметров системы в области мягкого режима возбуждения автоколебаний.

В §1.4 исследованы характеристики автоколебаний скорости фронта кристаллизации, и параметры сверхрешетки, возникающей в твердом теле, в

зависимости от параметров системы, когда реализуется жесткий режим возбуждения автоколебаний.

Результаты аналитического исследования автоколебаний для стандартной зави-

симости

а

К»)'

»

вида

1+-

Ь,«-1 - определенные конствгаы) оггображены в фазовой плоскости (и, а) да рис.2.

Амплшуды колебаний скорости движения границы кристалла (11,^ -и^да) и его положения в пространстве. ^ - ) факгачески задайся видом явной зависимости скорости V движения фреша кристаллизации от величины переохлаждения и зависимостью коэффициента сегрегации от скорости V. Креме того характерные времена движения системы го траектории АВ, ВС и С'А удовлетворяют неравенству » » Хвс' что обуславливает при жестком режиме возбуждения возникновение пичковых релаксационнных автоколебаний асоросга фронта кристаллизации.

[С7/С~

Амплитуда сверхрешгтки, возникающей в растущем твердом теле, в процессе кристаллизации мсекет быть оценена как [С„»-С.*] * С«[в™,-а*.], и ее пространственный период составляет

величину порядка . В частности, трй'тапкчньк значениях пара-

метров системы величина - с„)/со ~ ри^-3 показан характер-

ный вид соответствующего распред еления концентрации с в твердом теле.

Глава 2 посвящена построению метода списания КБазистационарного дендритного роста. Основной идеей этого метода является представление движения граница раздела фаз, геометрия которой может приобретать чрезвычайно сложные формы, как эволюция нешторого шля конформного отображения, определенного на неподвижной оси. По данному шлю однозначно восстанавливается транищ растущего дендрита.

Сначала, в §2.1 дан краткий обзор физических систем со свободными границами, где возможно образование девдртйых структур, эволюция которых описывается. в рамках квазистационарного приближения. В качестве примера рассматривается квазисгапионарный дендритный рост в переохлажденном расплаве, когда скрытая теплота крзисталлиэапии I.» С©= , где с - теплоемность расплава а 0С - величина переохлаждения. В этом случае распределение тсмпершуры в расплаве может быть описано уравнением

V2? = 0 , (5)

где <р = (Т, - Т)/Т„. Полагаем, что значение температур»! на тюверхтюсти кристалла определяется соотношением Гиббса-Томсона, а теплоотвод осуществляется преимущественно в области расплава. В атом случае на границе Г выполнены условия

<?\т = <10к-,ьп=рЧ.<р\г, (6)

а в точке расплава, уд аленной от границ ы кристалла Г

= (о»е0) , (7)

Здесь х, г скорость перемещения фронта кристаллизации р ~ кТ^/Ь, Д -капиллярная длина , зависимость которой от утла ориентации кристалла учитываетэффекты анизотропии, . (-Т»£о) - величина градиента температурь! в ютке расплава удаленней от границы кристалла и к -кривизна фротгга кристаллизации.

В данном параграфе также кратко изложены результаты линейной теории неустойчивости регулярной (плоской, цилиндрической и т.п.) форм границы раздела фаз при квазистационарном росте.

В §§2.2 - 2.4 сформулирован метод описшия движения границ раздела фаз Г как эволюции конформного отображения некоторой

канонической области 0,т комплексной плоскости и<=и+гу на область- <2 физического пространства (рис.4).

При этом оказываеггся, что перемещение границы раздела фаз Г полностью определено, если известен закон изменения во времени шля л;): • ч-1

\

df

d <о

\ ® = Те> J

В частности для задачи (5)-(7) уравнение движения поля^ (иД.), имеет

>1

Рис. -4

а,

I ъ

!5> -1

вид:

= Й7(и.Ь)1р7 Чи- (ц>>1:) + - •

б*. Й я ¿и'-и

+ и, г) ^(и, Ъ) 4г ^ Р [ 1п и', t)

да я ■ ' и - и

(8)

да я д, и' - и

где взаимосвязь нормальной скорости движения уа границу Г и шля конформюго отображения ^ задается формулой:

£о + ¿о -

ди2

(9)

В §25 свойство полученного уравнения движения поля конформного отображения ^ исследовалось численными методами на примерах фор?,дарования развитых поверхностных структур из малых возмущений регулярной геометрии границы раздела фаз, в частности, см.( рис5,6)

/1 2 Г

* Чл / и

Рис.5

Из анализа решений следует, «по полученное уравнение обладав.т свойствами "адаптивности", т.е. малые области физического пространства, содержащие резкие изменения формы поверхности растущего дендрита, а тем самым и большие значения градиентов температуры при конформном отображении { существенно "растягиваются". И наоборот, относительно плавные участки границы растущего дендрита, где градиент ср не достигает экстремальных значений, при конформном отображении значительно "сжимается". п

2Х

В §2.6 в

рамках модели

(5)-(7) построено точное решение задачи о формировании периодической структуры "пальцев" при их ква-

зисгационарном росте из

малых возмущении плоской границы раздела фаз, когда величина ее поверхностной энергии достаточно мала и можно пренебречь влиянием капиллярной длины. При конформном отображении { области на

и

Рис.7

верхнюю полуплоскоспь, процесс формирования периодической системы "пальцев" представляется как движение шиз прямой у ■ сок%{ ( рис. 7).

В §2.7 сформулирован вариационный принцип, который позволяет представить уравнение движения границы раздела фаз при квазистационарном дендритном росте как уравнение экстремали некоторого диссигитивного функционала Б {Г, V}. Независимыми переменными этого функционала являются положения границы раздела фаз Г в пространстве и нормальная скорость V ее движения. Уравнения квазисгационарного девдршного роста следуют га условия

<50{Г,у}/ЛГ = 0 . (10)

В частности для модели (5)-(7) этот диссигштивный функционал имеет

вид:

О(и) = — || ¿5 Л' С,,««. </<т| -1 (11)

2 Р г г г г

где с„- - функция Грина уравнения (5) щ- некоторая граница удаленная от поверхности кристалла. На основе развитого вариац ионного принц ипа прюанализировано влияние поверхностной энергии границы раздела фаз на зарождение и формирование периодической системы "пальцев". В частности, показано, что зарождение системы "пальцев", период которых а меньше некоторого критического ас(а<вс), т.е. их зарождение из малых возмущений плоской границы раздела фаз, устойчивость которых в линейном приближении обусловлена ее повержоаюй энергией, реализуется по сценарию жесткого режима возбуждения (рис.8). При фиксированном периоде системы растущих "пальцев" поверхностная энергия обусловливает доминирующий рост- "пальцев" определенной формы, однако, любая

Н !' е __о о

периодическая система пальцев является абсолютно неустойчивом относительно увеличения их периода.

7 А Глава 3 посвящена построению

' ^ \ метода описания формирования повер-

Ч „

\ НгустойчиШть хностиых СТруюур сложно! формы При

\ росте дендригов в переохлажденном

А устаачиноеть \ расплаве, контролируемого несгациокарн / J \ Рис.8, ным процессом теплопроводности.

¿X-,-,-,—1__ В §3.1 сформултована рассматрнва-

ОЛ и И6 0 и иш1а< „

емая проблема и на основе литератур-

ных данных приведен краткий анализ условий реализации деедртного роста в переохлажденном расплаве и сопутствующих эффектов. В частности, в простейшем виде задача о кристаллизации переохлажденного расплава может быть сформулирована следующим образом: в области расплава <3, изображенной на рис.4, раафедйление температуры Т удовлетворяет уравнению теплопроводности;

^ = 02)

и граничным условиям на поверхности раздела фаз Г и в бесконечно уд аленной точке

= (13)

р1.

Т\,=Т,<Т,=Т, + в.. (14)

Здесь т0 и тс - начальная температура раотлава и температура кристаллизации, сир- теплоемкость и теплопроводность расплава, ¿о - . капиллярная длина, к - средняя кривизна поверхности раздела фаз, - ее нормальная скорость перемещения, Ь - скрытая теплота кристаллизации.

В §32 сформулирована двухгюаерхностная модель для дендритного роста в переохлажденном расплаве. В рамках этой модели рассматривается движение двух поверхностей - физической границы раздела фаз кристалл-расплав Г и эффективной поверхности Г^, а рааределение температуры в области пространства между этими двумя поверхностями предполагается квазисгацнонарным. Иными словами, в рамках двухповерхдастшй. модели

. между поверхностями Г н Гт температура Т удовлетворяет уравнению Лапласа

Дт = 0, (15)

а на эффективной температурной поверхности Гт

•*=^НгЯт1гг='; , (16)

где vт - нормальная скорость движения поверхности Гт.

В §33 в рамках двумерной постановки задачи, развит метод конформных палей для описания роста децоригов в переохлажденном расплаве, контролируемого нестационарным процессом теплопроводности. Используется двухповерхностная модель, сформулированная в §3.2, и

отиатающая перемещения ,в пространстве физической границы растущего дендрита Г и эффективной температурной поверхности Пр.

В §3.4 исследован предельный случай формирования поверхностных структур при развитии неустойчивости регулярной (плоской, цилиндрической) границы растущего дендрита в переохлажденном расплаве, когда отношение [ L - с (тс - т0) ]Д, «1, а капиллярная длина dQ, т.е. величина поверхностной энергии границы раздела фаз кристалл-расплав достаточно велика. В данном случае характерный радиус R кривизны границы растущего дендрита оказывается гораздо больше толщины Н области, прилегающей к границе раздела фаз, в которой происходит существенное изменение температуры расплава, что позволяет рассматривать отношение H/R как малый параметр. Показано, что в этом пределе движение палеи конформных отображений Т), vy описывается уравнениями лекальной динамики, т.е. уравнениями в частных производных. Характерный вид решения этих уравнений и соответствующих пространственных cipyiciyp, полученных численным моделированием показан на рис.9.

Глава 4 посвящена построению вариационного принципа для описания послойного роста кристаллов, который позволяет непосредственным

образом получить уравнения движения геометрических параметре® формы растущего кристалла Для этого в §§4.1 и 42 на основе литературных данных в рамках двумерной постановки задачи сформулирована котинуальная модель послойного роста, которая принимает во внимание как эффекты анизотропии роста кристаллов, так и наличие адсорбционного слоя, непосредственно контролирующего процесс роста кристаллов. Кране того, сформулировано и обоснованно квазистационарное приближение.

В §43 в рамках квазисгациогарного приближения построен диссипативный функционал б{Г, v }, независимыми переменными которого являются положение в пространстве кошура Г, сгибающего поверхность кристалла, и нормальная скорость движения V этого кошура.

Глава 5 посвящена теоретическому анализу особенностей формирования продукта твердотельной химическом реакции в поликристаллах, когда процесс роста новой фазы контролируется реакционной (химической) диффузией, которая в свою очередь, определяется, главным образом, диффузией химически активных атомов ш границам зерен поликристалла. Для этого в §5.1 на основе литературных данных изложены основные оообендасги химической диффузии в твердом теле и зернограничной диффузии в поликристаллах, которые следует принимать во внимание. В данном параграфе также сформулирована рассматриваемая модель формирования слоя продукта реакции при химической зернотраничной диффузии в поликристалле. В рамках данной модели предполагается, что химический состав диффуттдирующих атомов определяется поверхностной химической реакцией на внешней границе поликристалла, формирующийся слой продукта реакции наследует имеющуюся таликрисгаллическую структуру и диффундирующие химически активные атомы (возможно различней природы) образуют единую кристаллическую подрешетку в фазе продукта реакции. Рассматривается образование фазы продукта реакции со стехиометрическим составом типа где А - атомы первона-

чального материала поликристалла, а и - атомы, поставляемые поверхностней химической реакц ией. Кроме того, полагается, что атомарятые концентрации с, и ^ атомов веществ В, и В2 могут изменяться в пределах с, 2 с, + с2 <, с0 + Д, гд е Д « с0

В §5.2 рассматривается случай, когда толщина L слоя продукта реакции

значительно превышает сред-, ний размер R зерен поликристалла (L»R) и слой Q продукта реакц ии приобретает структуру типа изображенной га рис.10. Методом усреднения детальных уравнений химической диффузии в поликристалле на масштабе порядка среднего размера его зерен выведены макроскопические уравнения, которые в качестве переменных содержат концентрации {Ct } диффундирующих атомов внутри границ зерен поликристалла й средние глубины {I} их проникновения внутрь зерен, расположенных на одинаковом расстоянии z

от внешней границы поликристалла. При этом распределения {Cfc(z),/.(z)}

рассматриваются как непрерывные поля, определенные в каждой точке пространства поликристалла. В простейшем случае, когда в процессе диффузии принимают участие атомы только одного химического состава, данныё уравнения выгладят следующим образом:

Рис.10

■ tjDVv|:b + \к{сь,1} = 0 , о

(17)

R{cb,l} =;

Ml"

, ¿fcy

Л

(18)

где 77, г/ « 1 - некоторые консгаты, Ц, и О,- коэффициента диффузии по фамщам зерен поликристалла и в их объеме, 5-толщииа этих границ, с,-кснцешрация атомов внутри зерен поликристалла и (...) обозначает усреднение по данному зерну

В §53 на оаюве полученных усредненных уравнений исследуется кинетика формирования структур»! слоя продукта реакции на примере

сдаюкомпсненгюй химической диффузии. Показано, что на первом этапе реакции вблизи поверхности поликристалла формируется химически гетерогенный слой, который образован зернами поликристалла, в ц ентре состоящими из первоначального материала поликристалла, а по периметру уже содержащими слои продукта реакции. Толщина' такого слоя увеличивается во времени как Л »(М.

С дальнейшим грогеканием реакц ии вблизи повфхности поликристалла формируется химически гомогенный слой, образованный зернами, состоящими целиком из продукта реакции. При этом толщина этого слоя растет как ь « ъ^2, а химически гетерогенный слои перемещается вглубь поликристалла, разделяя химически гомогенные области продукта реакции и первоначального материала поликристалла В этом случае толщина химически гетерогенного слоя от времени фактически не зависит. Л

В §5.4 исследованы особенности распределения гю толщине слоя продукта реакции его стехиомегрического состава при многокомпонентной химической- диффузии. В частности, гкжазано, что при последовательной замене химического состава газовой этмосферы, контролирующей повериностую реакцию на внешней границе поликристалла, сгсхиомегрический состав слоя продукта реакции может приобретать

I

- <42

Со

с.

ка

Рис. II

сложную пространственную структуру. Например, распределение по толщине этсго слоя концентрации ¡-той компоненты ((с^)), усредненной на масштабе размера зерен поликристалла, может приобретать немонотонный вид (кривая 1 на рис.11)

Данный эффект объясняется тем, что диффундирующие атомы, вновь попадающие в приповерхностный слой поликристалла, фактически не проникают вглубь зерен поликристалла, прилегающих к его поверхности вследствие насыщения их сгехиомеприческаго состава. Диффундируя ш

2

границам зерен, эти атомы достигают цешральные области слоя продукта реакции, содержащие зерна с ненасыщенным сгехиометрическим составом. Именно в этих зернах диффундирующие атомы фактически равномерно распределяются по их объему. Данные особенности отображены на рис.11 кривыми 2 и 3, гоказывающими распределения концентрации таких атомов, расположенных внутри границ зерен, по толщинг слоя и глубины их проникновения /, внутри зерен. В силу такого поведения и / усреднешия концентрация (с,) я сы 1/Н приобретает немонотонный вид (кривая 1).

Глава 6 посвящена построению методов описания процесса диффузии атомов примеси в неоднородных твердых телах типа поликристаллов или кристаллов с дислокациями, которые содержат систему кизидвумерных (граница- зерен поликристалла) или квазиодномермых (дислокации) неоднородносгей, образующих пути быстрей диффузии. Быстрый транспорт мигрирующих атомов вдаль таких неодт юродностсй может приводить к возникновению распределемтй примеси с весьма сложной пространственной структурой.

В начале в §6.1 на основе литературных данных сформулирована в общем виде модель, обычно используемая д\я описания процесса диффузии в таких гетерогенных средах. В рамках даннси модели процесс диффузии атомов гримеси гредставлен как их случайные блуждания с мределенными свойствами, задаваемыми пространственней структурой гетерогенной среды.

В §6.2 развит метод классификации траектории случайного блуждания

атомов примеси в поликристаллах. В основе этого метода лея«(т представление траектории случайного блуждания атома примеси в ввде последовательных участков ^двух тагов: его блужданий исКлю-■ чигельда внутри объема какого-либо зерна поликристалла вплоть до первого пересечения границ этого зерна и блуждания атома примеси внутри некоторой малой окрестности границ зерен поликристалла. Дания классификация и общие свойства марковских случайных блужданий позволяют использовать эквивалентное описание траекторий движения

атомов гримеси, изображенное на рис 12. В рамках данного описания траектория состоит из последовательных участков блуждания атоме® примеси внутри объема зерен и внутри их границ. При этом перемещение атомов примеси в пространстве поликристалла глазным образом определяется их случайными блужданиями внутри границ зерен, однако время ^ нахождения атомов примеси внутри этих границ не совпадает с текущим физическим временем и в общем случае является случайней величиной, статистические свойства которой задаются свойствами случайных блужданий в объеме эерзен поликристалла.

В §63 исследованы свойства траекторий случайных блужданий атомов примеси в поликристалле, когда их средняя глубина проникновения Ь(1) вглубь поликристалла значительно превышает средний размер И его зерен. В этом случае с помощью усреднения детальных уравнений эернофаничной диффузии на масштабах порядка И. вычисление обрвда Лапласа функции Грина С(г^) сводится к ранению диффузионного уравнения для некоторой эффективной однородгеи среды

= (19)

Ль г (Б)

здесь ^ - как и в §6.2 время пребывания атомов примеси внутри границ зерен поликристалла, Т^)- некоторое характерное время их жизни внутри этих границ, а плотность потока

3 = -?70ьу[(1 + п(е))ф] + г}ръЕ ф , (20)

где -некоторая. постоянная, Ц, и (4 - коэффинреты диффузии и подвижности атомов примеси внутри границ зерен поликристалла, е - пале, вызывающее дрейф примеси, и Х2 (Е) - определенная функция, причем п(е) ~ е2 при малых Е и п(е) л- е при больших Е. Блуждания, списываемые уравнением (19), названы эернограничнкми случайными блужданиями.

В §6.4 на основе- полученных в §63 резулшагов исследованы особенности пространственного распределения атомов примеси в объеме поликристаллов. В частности, из развитой теории в щзеделе слабых полей Е, вызывающих дрейф атомов примеси, следуют классические выражения для эффективного коэффициента диффузии д ,, и подвижности м^ в поликристаллах, когда время 1 диффузии достаточно велико и выполнено

гь -

условие JdTt» R, где D^,- коэффициент диффузии примеси внутри зерен. Однако, как это показано в данном параграфе, в сильных гюлях Е в этом пределе возникает зависимость эффективного коэффициента диффузии D^ от поля Е вида: Dtll ~ fi(£).

В обратном пределе вид возможных распределений примеси сильно зависит от величины поля Е, причем, когда Е достаточно мало, глубина проникновения L атомов примеси в объем поликристалла факпиески задается классическим вь^ажением Фишера L ~ lF(t) - При больших полях, когда }Е >> т, однако ER«T (Т-температур») может возникать силыю анизспрюпное распределение примеси, которое по направлению поля Е, тем не менее, может быть описано как диффузия в однородней среде в отсутствии шля Е с некоторым коэффициентом диффузии Цд. При еще больших палях Е, когда ER»T (однако по-прежнему^1 глубина

проникновения атомов примеси в объем поликристалла перестает зависеть от времени t

В данном параграфе исследовано также влияние быстрой диффузии адсорбированных атомов примеси на внешней поверхности поликристалла на их распределение в его объеме. В частности, показано, что средняя длина 1, миграции атомов примеси вдоль внешней поверхности поликристалла в определенных условиях зависит от времени t как \ я t'4, когда (Djt)'^ «йи)»{" при (Dut)'/~ »R.

В §§6.5 и 6.6 исследованы аналогичным образом особенности пространстве! иых распределений в кристалле с дислокациями. Для этого в §65 вначале в рамках модели дислокационной трубки сформулирована классификация траекторий случайного блуждания атоме® примеси как последовательность их случайных блужданий исключительно по регулярной решетке кристалла и блужданий внутри дислокационной трубки.

В §6.6 на основе полученных результатов исследованы особенности распределения атомов примеси вблизи изолированней дислокации. В частности, из развитой теории следует классический резучяат Смолуховского для длины L диффузии вдоль дислокации в отсутствие поля Е, вызывающего дрейф томов примеси: L ~ ( (л t)\Влияние продольного паля Е, как это показано в данном параграфе, может изменить эту зависимость, и при сильных полях l ~е¿it.Кроме того, выяснено, почему результаты, полученные Смолуховским, несмотря на грубость

использованных им приближений, достаточно правильно описывают рааределение тршеси вблизи дислокации.

Глава 7 посвящена построению аналитического метода анализа тространственного распределения примеси в твердых телах со сложной гесметрией границы. В основе этого метод а лежит непосредственный анализ влияния геометрии границ твердого тела и ее свойства на траектории случайного блуждания атоме» примеси, определяющих асимггютику их пространственного распределамя,

В §7.1 приведен краткий Обзор физических задач, для которых исследование особенностей асимптотического поведения распределения атомов примеси, диффундирующей в твердом теле, позволяет тлучшь полезную информацию. Примером таких задач является построение формы границы диффузионного р-n перехода в V-кагавсчной технологии. В данном параграфе также обсуждены основные допущения, используемые в • дальнейших исследованиях.

В §72 сформулирован и обоснован метод "ошимальгюй разрешенной траектории" для. построения асимптотики пространственного распределения примеси, диффундирующей в твердом теле, границ которого либо непроницаема для атомов примеси, либо способна к их сегрегации. Как пример, вычислит асимгпшика гространственного распределения от мгновенного точечного источника (функция Грина) G(}V0,t), где отношение а = (Dt)'7' / L рассматривается как малый параметр. Здесь D -характерное значение коэффициента диффузии, а L-расстояние от рассматриваемой точки до источника: ь - |r - rjJ. Показано, что в первом приближении го атому малому гарвметру аргумент F^r^t) акстжхешиального асимптотического множителя

С(г,г„0~«р{-£(г.гв.')} (21)

задастся огаимальнои разрешении» траекторией,'' т.е. такой траекторией случайного блуждания атомов примесей, которая, во-первых, целиком расположена в твердом Теле, иньтми словами является разрешенной, и, во-вторых, соспвегппвуег максимуму вероятности реализации этих траекторий. Сформулирован также метод построения отимальнои траектории'^ метод построения асимптотической noeepixHocm ' равной концгнграции для начальных распределений более общей формы.

В §73 более детально проанализировано влияние формы границы твердого тела и эффекта сегрегации на асимптотику функции Грига С(г,г0,1). Показано, что ¡«прямолинейность 'оптимальной разрешенной траектории" приводит к появлению в выражении для ариумеша экспоненциального множителя (21) добавочного члена Р,(т/0Д), т.е. Р=Р0+Р,, который, однако мал по сравнению с первым слагаемым Р0 в меру малости отношения &>. Эффект сегрегации приводит только к возникновению множителя порядка единицы в выражении для Р/гд^).

Глава 8 посвящена исследованию ряда процессов, динамика которых контролируется как диффузионным, так и недиффузионным транспортом, выделенных тем, что влияние I ^диффузионного транспорта может быть представлено в ввде некоторых условии, заданных та границе области диффузии в импульсном или координационном пространстве.

В §8.1 исследован процесс гелеобразования при разветвленной радикальной постполимеризации смеси би- и татра - функциональных мономеров. Показано, что в зависимости от соошошения концентрации Ьи - тетра - функциональных мономеров и инициатора, гель образуется либо при соприкосновении эффективных границ растущих по диффузионному закону клубке® линейных макромолекул, либо грг значительном взаимном перекрывании растущих макромолекул. Обнаружено, что в рамках данной модели существуют два различных режима образования геля.

В §8.2 построена теория кинетических эффектов алектронного газа твердого тела в улыракванговых магнитных шлях, когда диффузия алемронов в пассивной области пространства квазиимпульсов контролируется тройными столкновениями алекгрон-элеюрон-примесь, а значительному проникновению алеетроюв в активную область импульсного пространства препятствует испускание аттических фоне»«®, обусловливающее недиффузионный перенос электроне® в область малых энергий. Влияние оптических фононов представлено в виде определенного условия на функцию распределения алеотронов, заданного на границе пассивной области пространства импульсов. На основе квантового кинетического уравнения показана возможность возникновения немонотонных распределений фотоэлектронов, а также исследованы неравновесные кинетические свойства алектронного газа в продольных и поперэечных ультраквантовом магнитном и электрических полях.

В заключении в краткой форме сформулированы следующие основные результаты и выводы диссертации.

1. Изучены автоколебания плоского фронта кристаллизации при направленном затвердевании бинарного расплава, которые обусловлены неравновесной сегрегацией. Выяснена зависимость от значений гирамеггров системы реализации мягкого и жесткого режимов возбуждения автоколебаний скорости д вижения фронта кристаллизац ии в точке потери устойчивости его равномерного движения. Проанализирована зависимость амплшудьт и периода автоколебаний err параметров системы, а также исследованы свойства сверхрешетки, возникающей в твердом теле в процессе его роста.

2. Разработан метод описания квазистационарного роста дендригов, в рамках которого перемещение в пространстве границы растущего дендрита представляется как эволюция некоторого шля конформного отображения.

На основе полученного уравнения движения этого паля численными методами проанализированы простейшие диссигативные структуры, реализующиеся в результате потери устойчивости регулярной (плоской, цилиндрической) геометрии границы раздела фаз. Показано, что предложенное уравнение квазиешционарнэго дендритного роста обладает свойством "адаптивности". Найдено точное рхшение, описывающее возникновение системы "пальцев", когда поверхностная энергия границы раздела фаз достаточно мала. Сформулирован вариационный принцип описания квазисгационарного роста дендригов, на основе которого показано, что возникновение пространственных структур с характерным размером меньше критического отвечает жесткому режиму бифуркации. Д ля

и и

конкурентного роста пальцев с различными параметрами их геометрической формы найден функционал, позволяющий исследовать их устойчивость.

3. Показано, что рост деедригов, контролируемый нестационарным процессом теплопроводности, мажет, быть описан в рамках квазистау^онарнаго приближения для распределения темпершуры в области, ограниченной двумя подвижными поверхностями: физической границей кристалла и эффективной температурной поверхностью. Сформулирован вариационный принцип описания дендритного роста, контролируемого теплопрхжодностыо в рамках как строгой постановки

задачи, тек и в двухповерхностой модели. На основе теории функций комплексного переменного движение данных двух поверхностей представлено как эволюция шлей их конформных отображений. Детально рассмотрено длинноволновое приближение, в рамках которого уравнения движения палей конформных отображений сведены к системе уравнений в частных производных. Численными методами проанализированы простейшие типы поверкносшых диссипативных структур, реализующихся в результате неустойчивости плоской и цилиндрической границы раздела фаз. Показано, что и в атом случае полученные уравнения эволюции шлей конформных отображений обладают свойством "адаптивности".

4. Для послойного роста кристаллов сформулирован вариационный метод списания роста пространственных струюур, который позволяет непосредственным образом получить уравнения движения основных геометрических параметре« этих струюур.

5. Построена теория рюста фазы продукта твердотельной химической реакции в поликристаллах, контролируемой зернограничной Химической диффузией. В рамках этой теории пространственное распределение диффундирующих атомов и формирующаяся структура фазы продукта реакции описывается величинами, усредненными на масштабах, превышающих средний размер зерен поликристалла. Показано, что вначале вблизи поверхности поликристалла формируется химически гетерогенный слои, содержащий как первоначальную фазу поликристалла, так и продукт реакции. При этом толщина химически гетерогенного слоя растет как . С д альнейшим протеканием химической реакции, вблизи поверхности поликристалла формируется химически однородный слон продукта реакции, толщина которого увеличивается во времени как €2. В этом случае химически гетерогенный слой перемещается вглубь поликристалла, ризделяя химически однородные фазы, причем его толыртна не зависит от времени. Показано также, что в результате химической диффузии атомов различных

О • I

элементов может возникать слои продукта реакции, имеющии немонотонное ш глубине распределение его стехиометрического состава.

6. Для описания диффузии атоме» примеси в поликристаллах и кристаллах с дислокациями предложена огределенная классификация траектории их случайного блуждания. Даншя классификация позволяет предстаапь га масштабах, значительно превышающих размер зерен

поликристалла (И) или среднее расстояние между дислокациями (И) просфанственное перемещение атомов примеси как их диффузию исключительно внутри границ зерен поликристалла или внутри дислокаций. При этом, однако, время ^ диффузии внутри этих неоднородностей не совпадает с текущим физическим временем I и, кроме того, в общем случае является случайной величиной, статистические свойства которой определяются случайными блужданиями атомов примеси по регулярной решетке твердого тела.

7. Предложен метод анализа асимптотики пространственного распределения диффундирующих атомов примеси в твердом теле с границей сложной формы. В основе этого метода лежит классификация траекторий случайного блуждания атомов примеси вблизи "разрешенной оптимальной траектории". Выяснено влияние граничных условий на асимптотику пространственного распределения примеси.

8. Исследовано влияние степени перекрытая эффективных границ растущих клубков линейных макромолекул на формирование геля в процессе разветвленной радикальней постшлимеризации.

9. Исследованы особенности неравновесных кинетических эффектов в улшракванговых магниптых полях электронного газа твердого тела, обусловленные процессом диффузии электронов в области пространства их квазиимпульсов, свойства границы которой определяются испусканием оптических фононов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. П.ВДомнин, ИАЛубашевский-Неравнсиесное распределение фотоэлектронов в улыракванговых магнитных шлях //М. Труды МФТИ, сер. Общая и молекулярная физика -1979.

2. ИААубашеваай, В.И.Рыжий. Влияние тройных электронных столкновений на распределение фогоалегаронов в .улшракванговых магншных шлях в условиях фононной рекомбинации //Лиг. ({из. сб. -1983- т.23 №2, с25-31.

3. ИАЛубашевскии, МТ.Кузнецов. Особенности валит-амперных характеристик в скрещеных улшракванговом магнитном и электрическом полях, обусловленые тройными алегаронными столкновениями // Лиг.

фиа сб. -1983- т23 №5, с. 35-39.

4. И ААубашевский, В.И.Рыжин. Влияние тройных электронных столкновений на гальваномапшные свойства электронного газа в продольных улшракванговом магнитом и электрическом полях / / Журнал экспериментальной и теоретической физики -1986- т.90,№5,с.1719-1733.

5. ИААубашевский, Н.Ю.Мизерена. Высокочастотные и релаксационные колебания в разогретой О же - рекомбинац ией алектронно дырочной

плазме. Ф7П, -1984- т.18, В.2, с.238-244.

6. ИААубашевский, ВААлаторцев. Асимготика распределения кон-устраняй дифундирующих атомов в структурах со сложной пространственной геометрией три наличии пограничного слоя с большим коэффициента« диффузии / / Разработка и изготовление твердотельных изделий алеетронной техники, серЗ - Микроэлектроника. М.,-1986- пып.2(229), с.41-42

7. ИААубашеваой,ВААлаторцев. Влияние анизотропии коэффициента диффузии та асимптотические свойства функции Грина в структурах со сложной пространственной геометрией // Труды МФ ГИ, Современные проблемы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики -1986..

8. ИААубашевсжий,С.П.Обухов. возможные режимы гелеобразования в радикальной разветвленной постполимеризации // Высокомолекулярные соединения. СерЛ-1986- т.28, №12, с.2525-25231.

9. ВААлаторцев, ИА-Лубашевский, В.НА\феев, ВАБражник, В.ПАаврищев. Приближенный метод рассчета профиля диффузионного р-п перехода со сложной пространственной геометрией / / Микроэлектроника

-1986- т.15, №2, с.163-167.

10. ВААлаторцев, ИАЛубашевашйАсимттгогаческое поведение про-стршгстиеннопо распределения ди<|§вдир>ующих атомов примеси в структурах со сложней пространствен! юй геометрией // Микрюалектроника

-1987- т.16, в5, с.414-421.

11. ВААлаторцев, ИААубашевский. Асимптотика распределения диффундирующих атомов в анизотропных средах // Микроэлектроника -

1987- т.16, в3, с.422-426. 1

12. ВААлаторцев, ИААубашевский. Влияние анизотропии коэффициента диффузии на асимптотическое поведение прюстрансгвеного распределения атомов в структурах со сложной гространсгвеняюй геометрией // Известия вузов. Физика -1987- №5, с9-12.

13. ИАЛубашевааиДЛАлатсрцев. Влияние пограничного слоя с большим коэффициентом диффузии на прюстранственое расределение примеси в структурах со сложной пространственней геометрией // Меггал-

лофизка -1988- т.10, №3, с.64-71.

14. ИАЛубашевский,ВЛЛлатор>цеБ. Особенности • пространсгееного распределения диффундирующих атоме® в регулярных поликристалла^/ Физика металлов и металловедение -1988- т.65, №5, с.858-867.

15. ИАЛубашевский,ВЛАлагорцев. К теории эернограничной диффузии под действием внешнего поля //Мета$5физка -1989- т.И, №5, с.63-71.

16. В.В.Гафийчук, ИАЛубашевский. Нелокальная динамика' формирования дендритных структур // Химическая физика -1988- т.7, №9, с.1274-1281.

17. В.В.Гафийчук, ИАЛубашевский. Анализ динамики говеркносгей раздела фаз в квазиепщионарной задаче Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики -1989- т.29, №9, с131-1345.

18. И АЛубашевский. К теории диффузии вблизи изолированной дислокации / /Химическая физика -1990- т.9, №2, с.272-286.

19.В.В.Гафийчук, ИАЛубашевский. Градиентный поляризаццонш-деформационный эффект // ДАН УССР, сер А, 1992, вып.2, с. 28-31.

20. ИААубшцеваашДЛАлаггорцев, К-П.Гуров. Особенности реакционной диффузии в поликристаллах / / Физика металле» и металловедение -1991- т., №12, с.15-23.

21. ИАЛубашевский, ВААлагорцев, АХАхриев. Асимптотика распределения диффундирующих атомов в структурах с шглощающей границей // Математическое моделирование -1991- т3, №1, с.72'78.

22. ВАГончаров, И.В-Аубашевская, ИАЛубашевский. Математическое моделирешание процесса выращиватия монокристаллов соединений аивухиз паровой фазы / / тесршические основы химической технологии -

1992- т26, №2, с201-211.

23. В.В.Гафийчук, ИАЛубашевский, В.В.Осипов. Теория автоколебаний фронта направленной кристаллизац ии // Кристаллография -1992-т37, №4, с.845-851.

24. В.В.Гафийчук, И-АЛубашевский, Вариционные приняты диссига-тавных шстем // Математические менады и физикомехашческие паля -1992- вып.35, с.131-137.

25. В.В.Гафийчук, ИА-Дубшпевский. Анализ диссипативных структур на основе варкциошюго припципа Гаусса// Украинский математический

журнал -1992- вып.7, с.1186-1192

26. Книга: В.В.Гафийчук, ИАЛубашевскии,В.В.Осигкв. Динамика формирования поверхностных струюур в системах со свободной границей / /(Киев, Наукова думка -1990., 212 с.