Динамика роста кристалла в очагах и каналах вулкана тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

ГОРОХОВА Наталья Владимировна ДИНАМИКА РОСТА КРИСТАЛЛА В ОЧАГАХ И КАНАЛАХ ВУЛКАНА

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2014

ОЗАПР 2014

005546697

Работа выполнена в ФГБОУВПО «Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова» на кафедре гидромеханики механико-математического факультета и в лаборатории общей гидромеханики Института

механики.

Научный руководитель: Мельник О.Э., доктор физико-математических

наук, член-корреспондент РАН, заведующий лабораторией общей гидромеханики НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова

Консультант: Плечов П.Ю., доктор геолого-минералогических

наук, профессор кафедры петрологии геологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Гупало Ю.П., доктор физико-математических

наук, профессор МФТИ

Аранович Л.Я., доктор геолого-минералогических наук, заведующий лабораторией Института геологии рудных месторождений, петрографии, минералогии и геохимии РАН

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

(Москва)

Защита состоится 23 мая 2014 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 21 марта 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89

доктор физико-математических наук //.Л л . В.В. Измоденов

ЩУ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена математическому моделированию роста одиночного кристалла плагиоклаза из магматического расплава. Плагиоклаз -один из основных породообразующих минералов и может быть представлен в виде смеси двух компонент: анортита и альбита. Задача рассмотрена в равновесной и неравновесной постановках, с различными условиями на границе кристалл-расплав. Выявлены причины немонотонного изменения химического состава кристалла (осцилляторной зональности) и реконструированы условия подъема магмы для вулкана Безымянный.

Актуальность темы. Математическое моделирование процессов внедрения магмы в земную кору, её подъема к поверхности в процессе извержения является важным источником информации о явлении, непосредственное наблюдение которого невозможно. За счет медленной диффузии внутри кристалла плагиоклаза его состав отражает условия кристаллизации магмы. В работе исследуется рост кристаллов в магме как многокомпонентном расплаве в различных внешних условиях. Строятся модели как равновесной (характерное время протекания процесса значительно превышает характерное время диффузии компонент расплава), так и неравновесной кристаллизации. В настоящее время для интерпретации измерений обычно используются равновесные модели, хотя большой массив экспериментальных данных свидетельствует о неравновесности многих природных процессов.

Рост кристаллов в магматическом расплаве происходит под действием многокомпонентной диффузии, изучение которой началось в 40-х годах прошлого века с работ Онзагера, в которых диффузионные потоки массы были выражены в общем виде с помощью диффузионной матрицы (Onsager, 1945, Ann. N. Y. Acad. Sei., v. 46, p. 241-65.). В дальнейшем, в работах многих авторов предлагались способы экспериментального и теоретического определения диффузионной матрицы. Для магматического расплава, содержащего большое число компонент, в настоящее время эта задача не решена, поэтому на практике используются более простые выражения для определения диффузионных потоков (Oishi, 1965, J. Chem. Phys., v. 43:5, p. 1611-1620; Lasaga, 1979, Geochim. Cosmochim. Acta, v. 43, p. 455-469).

При моделировании роста кристаллов в магматических расплавах ранее использовалась только модель двухкомпонентной диффузии с учетом эмпирически полученных формул для определения температуры равновесия кристалл-расплав и скорости роста кристалла. Состав кристалла определяется коэффициентами распределения, которые могут зависеть от температуры.

При исследовании кристаллизации плагиоклаза особое внимание уделяется объяснению возникающей в кристаллах периодической (или осцилляторной) зональности по составу. Одной из причин её возникновения может являться колебания температуры системы. В ряде работ (Allegre et al, 1981, Nature, v. 294, p. 223-228; Lasaga, 1982, Amer. J. of Sei., v. 282:8, p. 1264-

1288; Tsune, Toramaru, 2007, Am. Mineral., v. 92, p. 1071-1079) показано, что колебания состава кристалла могут быть вызваны конкуренцией процессов роста и диффузии компонент при монотонном изменении температуры расплава во времени. При этом основной причиной считалась неоднозначность определения скорости роста кристалла в зависимости от состава расплава (Allegre et al, 1981; Lasaga, 1982). Такой закон роста не нашел экспериментального подтверждения. Более того, для двухкомпонентной системы в (Lasaga, 1982) получено, что если скорость роста кристалла -однозначная функция состава расплава, то концентрации компонент в кристалле изменяются монотонно. В (Tsune, Toramaru, 2007) для вычисления скорости роста предлагается формула, учитывающая влияние шероховатости растущей грани кристалла на скорость его роста. Получены периодические режимы про скачкообразном переходе от режима быстрого роста, соответствующего шероховатой стенке, к медленному, соответствующему гладкой стенке. В России кристаллизация магматических расплавов изучалась в работах Френкеля М.Я., Ярошевского A.A., Арискина A.A., Барминой Г.С., Коптева-Дворникова Е.В., Арановича Л.Я., Плечова П.Ю.

Актуальность работы состоит в необходимости интерпретации данных петрологических измерений и экспериментов для восстановления условий внедрения и подъема магмы при вулканических извержениях. Существующие модели роста кристаллов из магматического расплава не учитывали ряд важных параметров: перекрестную диффузию компонент многокомпонентного расплава, реальную зависимость состава кристалла и температуры равновесия кристалл-расплав от состава расплава, зависимость скорости роста от переохлаждения.

Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование процесса роста кристалла плагиоклаза на основе решения уравнений многокомпонентной диффузии в магматическом расплаве в процессе его кристаллизации. Были поставлены следующие задачи:

• Построение в общем виде математической модели диффузионного роста кристалла в многокомпонентном расплаве для произвольных зависимостей состава кристалла и температуры равновесия от условий кристаллизации и состава расплава. Построение математической модели равновесного роста кристалла из многокомпонентного расплава.

• Исследование кристаллизации плагиоклаза в различных условиях (при падении температуры или давления) с использованием модельных и реальных зависимостей, определяющих состав кристалла и температуру равновесия системы кристалл-расплав.

• Объяснение на основе построенной модели роста возникающей в кристаллах плагиоклаза зональности.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты,

выносимые на защиту:

• Построена модель диффузионного роста кристалла в многокомпонентном расплаве для произвольной зависимости состава кристалла от состава расплава.

• Для модельных зависимостей состава кристалла плагиоклаза и температуры равновесия кристалл-расплав от состава расплава получено аналитическое решение равновесной задачи.

• В неравновесном случае исследовано влияние граничных условий на процесс кристаллизации. Показано, что граничные условия в форме Стефана могут быть использованы при моделировании процессов, близких к равновесным. Кристалл при этом растет монотонно по времени, а его состав - монотонная функция расстояния от центра кристалла к периферии.

• Если скорость роста однозначно определяется переохлаждением расплава на границе с кристаллом, то кристалл может расти как монотонно, так и со сменой режимов роста и растворения. В последнем случае состав кристалла сложнозонален. Ранее при однозначной зависимости скорости роста от переохлаждения такая зональность кристаллов не обнаружена, поскольку предыдущие модели не учитывали многокомпонентный характер диффузии в магматическом расплаве

• Процесс кристаллизации плагиоклаза, вызванный остыванием расплава, исследован для реальных зависимостей состава кристалла и температуры равновесия от состава расплава. В результате численного моделирования получена зависимость средней ширины полос от скорости остывания и критерий возникновения зональности. Эти зависимости важны для интерпретации петрологических данных при изучении изверженных пород.

• Исследован процесс роста кайм на кристаллах плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана с использованием петрологических данных вулкана Безымянный. Показана необходимость использования неравновесной модели роста кристалла. Реконструированы условия подъема магмы.

Достоверность результатов. В работе найдено аналитическое решение для модели равновесной кристаллизации в пределе, когда коэффициенты диффузии компонент стремятся к бесконечности. Результаты расчетов по неравновесной модели получены с помощью численного решения системы уравнений известным методом матричной прогонки с итерациями. Они в предельном случае дают корректное решение, полученное в рамках равновесной модели. Достоверность расчетов подтверждается сопоставлением на качественном уровне с экспериментальными и расчетными данными других авторов, а также с известными решениями уравнений диффузии.

Научная и практическая значимость. Научная значимость работы состоит в том, что построены оригинальные модели равновесного и

неравновесного (диффузионного) роста кристалла из произвольного расплава с учетом перекрестных членов. Впервые проанализировано влияние граничного условия в неравновесной модели на процесс роста кристалла из многокомпонентного магматического расплава на примере кристаллизации плагиоклаза. Результаты численного моделирования показали, что обычно используемое предположение о существовании на границе локального равновесия и по составу, и по температуре (условие Стефана) не дает объяснения явлениям, наблюдаемым при экспериментах и в реальных кристаллах. Тем не менее, это условие может применяться при моделировании процессов, близких к равновесным.

Практическая значимость работы состоит в том, что с помощью предложенных в ней моделей при использовании реальных зависимостей состава кристалла от состава расплава (и других параметров) можно реконструировать условия роста кристаллов в магматическом расплаве, тем самым получая уникальную информацию об условиях внедрения и подъема магмы.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Постановки задач, обсуждение и подготовка к публикации некоторых из представленных в диссертации результатов проводилась совместно с соавтором — научным руководителем. Аналитическое решение задачи о равновесном росте кристалла в модельном случае, а также разработка алгоритмов решения нелинейных дифференциальных уравнений и численное моделирование проводились автором единолично. Петрологические данные и модели для определения состава кристалла и равновесной температуры, используемые в работе, получены в сотрудничестве с соавторами - сотрудниками Геологического факультета МГУ.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В

соответствии с областью исследований специальности 01.02.05 - «Механика жидкости, газа и плазмы» диссертация включает в себя теоретическое и с помощью численного эксперимента изучение процесса роста кристалла из магматического расплава. Полученные результаты соответствуют пункту 15 (тепломассоперенос в газах и жидкостях) паспорта специальности.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были доложены на следующих научных конференциях: Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ (2009, 2010, 2011, 2013), Ломоносовские чтения (Москва, 2010), 16 школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Сочи,

2010), Всероссийская научная школа молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил» (Москва, 2010), X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики «Актуальные проблемы механики» (Нижний Новгород,

2011), XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых

ученых «Ломоносов» (Москва, 2012), Генеральная Ассамблея Европейского общества геологических наук (Вена, Австрия, 2012).

Результаты работы были также доложены и обсуждены на специализированном научном семинаре по механике сплошных сред под руководством академика РАН А.Г. Куликовского, проф. В.П. Карликова, члена-корреспондента РАН О.Э. Мельника (НИИ механики МГУ, Москва, 2012, 2013).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 11 научных публикациях, из которых 2 [1,10] - статьи в журналах, входящих в Перечень ВАК на момент публикации, и 5 - тезисы докладов. В работах [1,8,10], опубликованных в соавторстве с научным руководителем и сотрудниками геологического ф-та МГУ [10], автор участвовал в постановке задачи, обработке петрологических данных, данных экспериментов и результатов расчетов.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы. В работе имеется 41 рисунок и 70 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 106 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении приводится обзор литературы, обсуждается актуальность темы диссертации, основные цели и направления исследований, указана научная и практическая значимость работы.

Глава 1 посвящена постановке задачи о росте кристалла в магматическом расплаве и построению математических моделей кристаллизации в общем виде. В разделе 1.1 поставлена задача о росте кристалла в многокомпонентном магматическом расплаве. Процесс кристаллизации рассматривается в одномерной системе кристалл-расплав. Плоская граница между фазами перемещается со скоростью роста (растворения) К (рис.1). Такое представление возможно для кристаллов, имеющих плоские грани как, например, кристалл плагиоклаза.

0 Ь+сК

т тг

V

) 8 Б+С^ 1.

Рис. 1: геометрия системы

I - кристалл

II - расплав

Расплав состоит из Кт компонент, кристалл - из Кх < Кт компонент

(компоненты с номерами от (Кх +1) до Кт входят только в расплав). В начальный момент задано распределение концентраций в расплаве:

С1(х^ = 0) = С? =соШ, / = 1 ,...,Кт (1)

Приняты следующие предположения:

• Диффузия компонент в кристалле отсутствует, поскольку характерные времена диффузии в кристалле на несколько порядков превышают времена диффузии в расплаве для многих кристаллов и, в частности, для плагиоклаза.

• Выравнивание температуры внутри ячейки происходит мгновенно, т.к. коэффициент температуропроводности к ~3-Ю'1 м2/с на несколько порядков больше характерных значений коэффициентов диффузии Д, ~\0~пм2/с. Поэтому температура является внешним параметром задачи.

• Не учитываются напряжения и изменение плотности, возникающие в процессе роста кристалла. Плотности всех компонент одинаковы.

• На границе кристалл-расплав предполагается локальное равновесие по составу.

• Отсутствует макроскопическое движение в расплаве, из которого растет кристалл.

В разделе 1.2 выписана адаптированная для решения поставленной задачи математическая модель равновесной кристаллизации. Равновесная постановка может быть использована, когда характерное время диффузии много меньше характерного времени роста. Тогда рост кристалла описывается следующей системой уравнений:

с15 — (р, С1?. ), / = 1,..., К8 Теч=Те(р,С,,...,СКт),

я

ш = С„|т, М15(*) = \lixyix, / = 1,...,^

(2)

= 1 = к5+1,...,кт

У К £ ^гп

/=1 1=1 /=1 В первых двух уравнениях задается зависимость состава кристалла (концентраций С15) и температуры равновесия кристалл-расплав Тед от состава

расплава и давления. Профиль концентрации г-й компоненты в кристалле /¡(х) и ее удельная масса определяются в 3-ем уравнении. 4-е и 5-е уравнения

системы выражают законы сохранения массы каждой компоненты, а 6-е уравнение - стехиометрические соотношения в кристалле и расплаве. В общем

виде эти уравнения были сформулированы М.Я.Френкелем (Френкель и др., Динамика внутрикамерной дифференциации базитовых магм, 1988), они широко используются в петрологических программах моделирования.

В процессе роста кристалла за счет выделения скрытой теплоты кристаллизации температура изолированной системы кристалл-расплав растет:

Тте11 =Т0+ — ,Т (3)

Су Ь

где Ьи - скрытая теплота кристаллизации, су — удельная теплоемкость. Система (2) может быть решена в явном виде. Обратная задача по определению давления и температуры по известному профилю некоторой компоненты в кристалле решается численно.

В разделе 1.3 построена математическая модель диффузионного роста кристалла (неравновесная постановка). Одномерная многокомпонентная диффузия в расплаве описывается следующими уравнениями:

ас. д^

дх

/ = 1 ,...,Кт

£с,= 1, (4)

/=1

я < х < Ь, I > О

где Ji - поток массы /-й компоненты. В работе использованы соотношения для определения потоков массы, учитывающие перекрестную диффузию компонент (О^Ы, 1965):

д С к- дС

Ji=-Di~l-C¿rJ{Di-D])—±, 1 = \,...,Кт (5) дх ~Г дх

На границе раздела фаз х = £ выполнены условия сохранения массы на

разрыве -[./,.] = О, на внешней границе ячейки х = Ь потоки массы

компонент равны нулю:

5С =0, / = 1,...,^ (6)

х = Ь:

дх

Здесь С,ц — концентрация в кристалле /-ой компоненты (С„=0 при / = Кх + \,...Кт), V - скорость роста кристалла.

Далее в разделе 1.4 проводится обезразмеривание системы (4)-(5) и переход в подвижную систему координат, связанную с границей кристалл-

расплав (раздел 1.5). В разделах 1.6 и 1.7 строится разностно-краевая задача для численного решения полученной системы, а разделы 1.8 и 1.9 посвящены её программной реализации.

В Главе 2 построенные в главе 1 модели применены для качественного исследования кристаллизации плагиоклаза в условиях линейного по времени падения температуры расплава. Плагиоклаз можно представить как смесь молекул двух типов: анортита (Ап - СаА1251208) и альбита (АЬ - №А181308). Поэтому предполагается, что К8=2, Кт= 3 (анортит - компонента 1, альбит -2 и 3 — остаточный расплав). В разделе 2.1 система уравнений многокомпонентной диффузии записывается для плагиоклаза. В этой главе давление считается постоянным, а температура расплава линейно убывает с течением времени: Тте11 = Т0 — (- начальная температура, Ут[К/ч] -скорость остывания расплава). Коэффициенты диффузии компонент предполагаются постоянными, их отношение Сд=Д/Д будет варьироваться для определения их влияния на процесс кристаллизации. Коэффициент диффузии остаточного расплава мал по сравнению с коэффициентами диффузии анортита и альбита: £>3 =10м1/с (раздел 2.2).

Предполагаются модельные соотношения для определения состава кристалла Си температуры равновесия Тщ по относительному содержанию анортита в расплаве на границе с кристаллом — Хап = С, /(С, + С2):

С15 =\-(\-Хап)2, Теч =Тея0+кг-(Хап-Хап0) (7)

Здесь Теч0 - температура равновесия, а Хап0 - доля анортита в начальный момент времени; кт — угловой коэффициент.

Для полной постановки задачи необходимо определить скорость роста кристалла, входящую в (6). Классическим считается условие Стефана -отсутствие локального переохлаждения на границе растущего кристалла. В этом случае лимитирующим фактором является диффузия компонент, как более медленный процесс. Тогда граничные условия будут иметь вид:

, (8) \т-тА =0,

а скорость роста кристалла определяется из закона сохранения массы для второй компоненты:

У= -. (9)

Если же осуществляется реакционный рост кристалла (лимитирующий фактор - скорость встраивания частиц в растущий кристалл), то состав приграничного слоя может отличаться от равновесного с кристаллом, а переохлаждение отлично от нуля. Тогда в качестве граничных условий на

подвижной границе берутся условия сохранения массы компонент, а скорость роста кристалла определяется из дополнительного соотношения (Hort, 1998, J. Petrol., v. 39:5, p. 1063-1076; Melnik, Sparks, 2005, J. Geophys. Res., v. 110:B02209, p. 1-21):

V = K

AT-(T + ATU-AT) A T-T

•exp

(ATU -AT)(T-AT) AT-T

(10)

где AT-T-Teq - переохлаждение расплава, а ДTu = const - переохлаждение, при котором скорость роста достигает максимума V0 (АТи = -62К для плагиоклаза). При этом на величину скорости роста существенно влияет только переохлаждение расплава (рис.2).

-400 -300 -200 -100 0" Рис.2: зависимость скорости роста

А Т, К от переохлаждения

Если учитывается растворение кристалла, когда температура расплава больше равновесной температуры, скорость роста полагается отрицательной при положительном переохлаждении. Т.е. при 0<АГ<|Д7^| скорость растворения по модулю равна скорости роста при таком же по модулю переохлаждении расплава. При АТ > |Л7^| скорость растворения максимальна и равна по модулю Уа. Когда кристалл растворяется, состав расплава на границе с кристаллом определяется содержанием компонент в растворившемся слое кристалла.

В разделе 2.3 проводится анализ размерностей в задаче о диффузионном росте кристалла плагиоклаза.

В разделе 2.4 в равновесной постановке получено аналитическое решение системы (2) для параметров, определяемых соотношениями (7).

В разделах 2.5 и 2.6 представлены результаты расчетов по неравновесной модели как в случае диффузионно-контролируемого (раздел 2.5), так и в случае реакционно-контролируемого (раздел 2.6) роста кристалла.

Когда используются граничные условия в форме Стефана при фиксированных коэффициентах диффузии и начальном составе кристалла, характер протекания процесса определяется единственным безразмерным

параметром

У ?

у I _ 'т'о

ути-

= При Ут'>0

кристалл монотонно растет с

убыванием концентраций анортита и альбита в расплаве на границе с кристаллом. Когда Ут'< 0, кристалл растворяется. При увеличении Ут' концентрации анортита и альбита убывают быстрее, в какой-то момент эти компоненты полностью вычерпываются из расплава. При уменьшении Ут' зависимость концентрации анортита в расплаве на границе от времени становится более пологой, а кристалл растет медленнее (рис. 3).

с1т

0.4

0.3

0.2

0.1

¡1

\

I *

•Л л

э/Ь 0.4

-Ут'=-2.8 .......Ут'= 2.8

— — ут'= 1.4 ----ут'= 0.7 0.3

-----0.28 0.2

* ч * N _ 0.1 0

0.4 0.8 1.2

<// . . ' У

0.4

0.8

1.2

Рис.3: зависимость концентрации анортита в расплаве (а) и размера кристалла (б) от времени

При любых значениях безразмерных параметров Сп и Сйз кристалл растет монотонно (рис. 4). Расчеты приближаются к аналитическому решению равновесной задачи с увеличением отношения Св (при фиксированном Ут') и уменьшении безразмерной скорости остывания Ут' при фиксированном Сп. Расчеты показывают возможность использования граничных условий в форме Стефана в процессах близких к равновесным.

С1

0.2

0.16

0.12

0.08

0.04

I *

V

— См=10* Уг'=2.8

- -Сю=103, Ут'=0.28

— См=104, \/т'=0.28

- ■ Сш=104, \/т-0.056 аналит. решение

0.16

0.12

0.08

0.04

0.1

\

А Д

\\\ ■ > \ч

_.Со=2 — Со=10

_аналит.

решение

0.2

0.3 а

0.4

0.5

в/ц

о1— 0.1

0.2

0.3 б

0.4

0.5 Б/!-

Рис.4: сравнение с равновесным решением а) при С0 = 0.5; б) при Сш=104, Ут' = 0.28

В отличие от условий Стефана в случае реакционно-контролируемого роста кристалла могут осуществляться различные сценарии. При одних значениях определяющих параметров кристалл растет монотонно с образованием монотонно-убывающего профиля анортита. При других - возможно чередование режимов роста и растворения (отсутствия роста) с образованием кристалла с периодической (осцилляторной) зональностью. Такой режим возможен только при С0 < 1.

Характер протекания процесса кристаллизации в случае периодического роста представлен на рис. 5 для случая без учета растворения. Рост кристалла начинается при температуре расплава ниже температуры равновесия. В процессе роста концентрации анортита и альбита в расплаве в пограничном слое убывают, причем концентрация анортита уменьшается быстрее, поскольку для данных условий в кристалл уходит преимущественно анортит. Изменение относительного содержания анортита на границе приводит к немонотонному изменению температуры равновесия и, соответственно, переохлаждения. В результате в некоторый момент температура равновесия становится ниже температуры расплава и рост кристалла прекращается. Пока кристалл не растет, анортит и альбит перераспределяются в расплаве в результате диффузии. При Св < 1 анортит диффундирует быстрее, поэтому, в то время как его концентрация в погранслое достигает практически постоянного значения, концентрация альбита продолжает расти.

Рис. 5: общий характер протекания процесса кристаллизации (а), 0 зависимость концентраций анортита С[т и альбита С2т на границе кристалла (б), безразмерного переохлаждения А7"/ |А7^| (в) и безразмерной скорости роста кристалла УЬ / Д (г) от времени.

При остывании расплава наступает момент, когда температура равновесия становится больше температуры расплава и рост кристалла возобновляется при другом составе расплава в приграничном слое. Большая продолжительность режима отсутствия роста (с положительным переохлаждением) показывает необходимость учета растворения при моделировании кристаллизации. При учете растворения кристалла перераспределение компонент происходит значительно быстрее за счет их поступления в погранслой из растворившегося кристалла. Времена протекания режимов роста и растворения практически одинаковы в отличие от случая без учета растворения.

Проведено сравнение результатов расчетов реакционно-контролируемого процесса (растворение кристалла учитывается) с аналитическим решением равновесной задачи (рис. 6). Расчеты приближаются к равновесному решению при увеличении параметров Сш, С[) и уменьшении К/. При С1)} = 105 решение близко к равновесному, приближаясь к нему с убыванием УТ' и Св. В случае сильно неравновесного решения (например Сш=104) возможен рост сложнозонального кристалла. Кристалл растет немонотонно, когда безразмерная скорость остывания Ут' меньше некоторого значения. При

дальнейшем убывании Ут' количество полос в кристалле увеличивается, а профиль анортита, в среднем, приближается к равновесному решению. При отрицательных Ут' кристалл также монотонно растет, в отличие от результатов, полученных для задачи Стефана. Влияние параметра АТи', отвечающего за величину углового коэффициента кт, менее существенно: при его росте незначительно увеличивается число полос в кристалле с сохранением профиля анортита в среднем.

С«0-8

0.6

0.4

0.2

•-Ут'=1.4, лТ, 32 > ) --Уг'=0,28, дТ„'=3.2 -- Ут'-0.28, д Ти'-8

.....Ут'=0.11, дТ;=8

_ аиалит. решение

С18°'8

0.4

0.2

0.1

0 0.1

•С„=0.1, Ут'=0.14 — С0=0.1, Уг'=0.028

.....Со=0.5, Ут'=0.028

_аналит. решение

0.2

Рис. 6: сравнение с аналитическим решением, а) при СВ}= 104, Сд = 0.1; б) при Ст= 105, ДГ„'и3.2.

При фиксированных значениях параметров Сш и С0 в плоскости (АТи',УТ') можно выделить область, соответствующую зональным кристаллам (рис.7). Существует максимальное значение параметра Ут' (при фиксированных коэффициентах диффузии), выше которого кристалл всегда растет монотонно. При увеличении Свз, т.е. при приближении к равновесному процессу, максимальное значение Ут' уменьшается. Параметр Св существенно не влияет на величину максимального Ут'. При малых значениях Сс при маленьких Ут' возможно полное растворение кристалла после первого периода роста. Такая ситуация не описывается предложенной моделью.

+ МОНОТОННЫЙ рост Рис. 7: области значений параметров с различными ♦ периодический рост сценариями процесса кристаллизации а полное растворение а) Ст —104, Св = 0.01

б) Ст = 105, Св = 0.01

В Главе 3 модели роста кристалла применены для исследования кристаллизации плагиоклаза в остывающем расплаве для реальных зависимостей состава кристалла и скорости его роста (рис. 8) от состава расплава (раздел 3.1),

Рис.8: зависимость температуры равновесия (а) и состава кристалла (б) от состава расплава на границе кристалла, коэффициентов диффузии от температуры (в).

Результаты расчетов обсуждаются в разделе 3.2 для случая без учета растворения и в разделе 3.3 для случая с учетом растворения. Получено, что в широком диапазоне параметров в обоих случаях происходит смена режимов роста и растворения и образуются периодически-зональные кристаллы. В результате периодического роста в кристаллах образуются полосы, которые имеют примерно равную ширину. Зависимость средней ширины полос от скорости остывания (рис. 9 для случая с учетом растворения) хорошо

аппроксимируется полиномом 4-й степени (сплошная линия). Здесь АТт -характерный диапазон изменения температур (разница между начальной и конечной температурами расплава).

<с1>

0.03

0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0

У = 0.0003 + 0.117-Х -

- 0.254-Х2 + 0.347 Х3-

- 0.196-Х4

УТЬ

У,АТт

и т

0.2

0.4

0.6

Рис.9: зависимость средней толщины полос от скорости остывания расплава для £>0 = 10~'4л*2 / с (£0/К01 = 0.01).

В результате расчетов с разными значениями безразмерных параметров, определяющими процесс кристаллизации, получена (рис. 10) область значений параметров, в которой кристалл растет со сменой режимов роста и растворения (образуются зональные кристаллы). При быстрой диффузии (характерное значение О0 велико) процесс кристаллизации приближается к равновесному и кристалл растет монотонно. Существуют максимальные характерное значение коэффициентов диффузии (около 6.5'Ю"14 м2/с) и безразмерная скорость остывания, выше которых не могут образовываться зональные кристаллы. Максимальному значению безразмерного параметра, равному примерно 3.1, соответствует скорость остывания 130 К/ч (при выбранных значениях параметров задачи). При переходе границы области происходит качественное изменение характера протекания процесса, особенно существенно проявляющееся при малых Б0: кристалл начинает расти монотонно. Этот результат, а также существование максимальной скорости остывания, соответствует результатам, полученным в главе 2.

Dn 0.08

V„L

0.06

0.04

у

♦ +

♦ 4r+ +

/

+ +

■ + +* ♦ ♦

+ + ♦ +

Рис.10: зональность в кристаллах. + — смена режимов роста и растворения (периодическая зональность)

♦ — монотонный рост кристалла

/

/

0.02-Н+ + ■•++ +

+ +

+ + +И ♦

0' ft1^ *_L

♦ ♦,

♦ ♦

VTL

ЧАТ,

12 3 4

В процессе роста состав кристалла существенно зависит от условий, в которых происходит кристаллизация. В фенокристаллах плагиоклаза выделяют 2 зоны: ядро (основная часть кристалла, вырастающая в очаге вулкана) и кайма, которая нарастает в процессе подъема по каналу вулкана. В Главе 4 моделируется рост кристалла плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана и по изменению концентрации анортита в каймах кристаллов плагиоклаза реконструируются условия подъема магмы при извержениях вулкана Безымянный (Камчатка).

Для исследования были выбраны извержения вулкана Безымянный 2000, 2006, 2007 годов как наиболее типичные для последнего цикла активности вулкана (Shcherbakov et al, 2011, Contrib. Mineral. Petr., v. 162, p. 83-99). Предполагается, что в процессе подъема давление падает линейно от 100 МПа до атмосферного (0.1 МПа), скорость падения давления может меняться в процессе подъема. Размер ячейки, в которой происходит рост плагиоклаза, определяется средним расстоянием между фенокристами и в расчетах берется равным 0.35 мм (раздел 4.1). Температура равновесия плагиоклаза описывается функцией состава расплава, давления и содержания воды. Состав плагиоклаза в равновесии с расплавом определяется теми же параметрами и равновесной температурой. Эти зависимости являются интерполяцией расчетных данных, полученных с помощью пакета PETROLOG-3 (Danyushevsky, Plechov, 2011, Geochemistry, Geophysics, Geosystems, v. 12., Q07021) и представлены на рис. 11. Коэффициенты диффузии анортита и альбита предполагаются постоянными, поскольку изменение температуры в процессе подъема невелико.

АПд 1

Т ,°С1400

ер'

0.6

0.4

0.5

0.7

0.8

0.9

т Р 1

1000

1200

800

0.3

-,-,---,-,-,-1-. 600'-------'-----

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.3 0.4

Ап,

'т

Ставится задача определения условий подъема магмы по каналу вулкана по измеренным профилям анортита в каймах кристаллов. В разделе 4.2 показано, что равновесная модель не дает физически адекватные результаты: вычисленное по системе (2) давление достигает минимума в средней части профиля, а потом начинает расти, а температура магмы резко увеличивается по мере ее подъема. Такое увеличение нельзя объяснить выделением скрытой теплоты кристаллизации или влиянием вязкой диссипации.

В разделе 4.3 в рамках неравновесной модели диффузионного роста кристалла проводится исследование влияния условий подъема магмы, коэффициента диффузии анортита и отношения С0=0АЬ/0Ап на процесс кристаллизации. В результате найдены условия подъема магмы, при которых результаты расчетов совпадают с измеренными профилями анортита (рис. 12). Наилучшее соответствие на первом этапе роста (я < 0.02 мм) получено при Ц =10~|3л<2/с и С0=0АЬ/0Ап- 0.3 для времени подъёма 15-20 дней, что соответствует оценкам времени подъёма магмы для извержений такого типа. На втором этапе роста для извержения 2007-го года скорость падения давления должна стать меньше, по крайней мере, в 2 раза (не меньше 30 дней). При этом кристаллизация близка к равновесной. Для образца 2006-го года быстрое убывание концентрации анортита на второй стадии может быть вызвано быстрым (менее, чем за 1 день) подъемом магмы (и, соответственно, быстрым падением давления) или получено в результате комбинации относительно медленного подъёма магмы и быстрого охлаждения. Первый сценарий кажется более реалистичным. Профиль анортита образца 2000-го года не может быть получен при использовании предложенной модели. В этом случае могли играть роль другие процессы, помимо охлаждения и падения давления, например, кристаллизация других минералов.

Ап3

0.7

— 15/30 дней, Ут=5 К/ч

♦ Март 2000 в Декабрь 2006

0.6

0.5

♦ Рис.

Рис.12: реконструкция условий подъема магмы в сравнении с петрологическими данными (ЗЬсЬегЬакоу й а1,2011)

0.4

0

0.02 0.04 0.06

в, ММ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Построена модель неравновесной кристаллизации произвольного многокомпонентного расплава, вызванной изменением внешних условий. Предложен метод решения разностно-краевой задачи для параболической системы уравнений, связанный с переходом в подвижную систему координат, движущуюся вместе с гранью растущего кристалла.

Модели равновесной и неравновесной кристаллизации применены для качественного и количественного исследования кристаллизации плагиоклаза при использовании модельных функций, определяющих состав кристалла и температуру равновесия в зависимости от относительного содержания анортита в расплаве, и постоянных коэффициентов диффузии. Найдено аналитическое решение равновесной задачи.

Проанализировано влияние граничных условий на границе кристалл-расплав на динамику кристаллизации. Показано, что при использовании граничных условий в форме Стефана (условие локального равновесия по температуре) процесс кристаллизации зависит только от двух безразмерных параметров. Состав кристалла меняется монотонно при монотонном падении температуры. Показано, что граничные условия в форме Стефана могут использоваться при моделировании процессов, близких к равновесным. Применение этого условия не позволяет объяснить зональность химического состава плагиоклазов, наблюдаемую как в природных, так и экспериментально выращенных кристаллах.

В случае реакционно-контролируемого роста кристалла скорость роста определяется локальным переохлаждением расплава на его границе. В зависимости от значений определяющих параметров задачи кристалл может

расти как монотонно, так и со сменой режимов роста и растворения. При этом образуются сложнозональные по составу кристаллы. Для заданных значений коэффициентов диффузии существует максимальное значение безразмерного параметра (определяемого отношением скорости остывания и углового коэффициента температуры равновесия), выше которого кристалл растет монотонно.

• Процесс кристаллизации плагиоклаза, вызванный остыванием расплава (при постоянном давлении) исследован для реальных зависимостей состава кристалла и температуры равновесия от состава расплава. Как и для модельных зависимостей, реакционо-контролируемый рост при линейном падении температуры приводит к образованию кристаллов с осцилляторной зональностью (сложнозональных). Получена зависимость средней ширины полос от скорости остывания. Получена область значений параметров, при которых возникает такая зональность. Существуют максимальная скорость остывания и максимальная скорость диффузии (характерное значение коэффициентов диффузии), выше которых кристаллы растут монотонно.

• Исследован процесс роста кайм на кристаллах плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана - в условиях линейного падения давления. Использовались реальные зависимости состава кристалла и температуры равновесия от состава расплава и давления, основанные на петрологических данных магмы вулкана Безымянный. Проводилось сравнение результатов расчетов при различных значениях параметров задачи с профилями плагиоклазов, образованных при извержениях этого вулкана в 2000, 2006 и 2007 годах. Показана необходимость использования неравновесной модели роста кристалла. Реконструированы условия подъема магмы в процессе этих извержений. Это позволило независимо оценить параметры магматической системы вулкана Безымянный.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Горохова Н.В., Мельник О.Э. Моделирование динамики диффузионного роста кристалла из остывающего магматического расплава // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 5.

2 Горохова Н.В. Моделирование диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 14-16 октября 2009 г. 2010. С. 120-132.

3 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла: механизм образования зональности в кристалле плагиоклаза// М.: Изд-во Московского Университета, тезисы докладов 16 школы-семинара «Современные проблемы аэрогидродинамики». 2010, 06-16 сентября 2010 г., Сочи. С. 38-39.

4 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Сборник тезисов докладов Всероссийской научной школы молодых ученых «Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил». 2010, 30 ноября

- 2 декабря 2010 г., Москва. С. 41-43.

5 Горохова Н.В. Модель Диффузионного роста кристалла // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 13-15 октября 2010. 2011. С.117-123.

6 Горохова Н.В. Модель диффузионного роста кристалла плагиоклаза // Изд-во Нижегородского госуниверситета, тезисы докладов X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики «Актуальные проблемы механики». 2011, 24-30 августа, Нижний Новгород.

7 Горохова Н.В. Модель роста кристалла плагиоклаза при подъеме магмы по каналу вулкана. XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, 9-13 апреля 2012, http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov 2012/1796/28416 810a.pdf.

8 N. Gorokhova and О. Melnik. Numerical simulation of plagioclase rim growth during magma ascent at Bezymianny volcano, Kamchatka. European Geosciences Union. General Assembly 2012. Austria, Vienna, 22-27 April 2012, http://meetingorganizer.copernicus.org/EGU2012/EGU2012-14435.pdf.

9 Горохова Н.В. Модель роста кристалла плагиоклаза при его подъеме по каналу вулкана // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 12-14 октября 2011. 2013. С. 101-108.

10 N.V. Gorokhova, О.Е. Melnik, P.Yu. Plechov, V.D. Shcherbakov. Numerical simulation of plagioclase rim growth during magma ascent at Bezymianny Volcano, Kamchatka // Journal of Volcanology and Geothermal Research. 2013. V. 263. P. 172-181.

11 Горохова Н.В. Исследование влияния параметров модели диффузионного роста кристалла на процесс кристаллизации плагиоклаза // Труды конференции-конкурса молодых ученых НИИ механики МГУ 8-9 октября 2013 (в печати).

Подписано в печать: 21.03.2014 Объем: 1,5 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 183 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра гидромеханики

На правах рукописи

04201457734 удк 532.2:536.421.4

Горохова Наталья Владимировна ДИНАМИКА РОСТА КРИСТАЛЛА В ОЧАГАХ И КАНАЛАХ ВУЛКАНА

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член корреспондент РАН О.Э. Мельник

Научный консультант:

доктор геолого-минералогических наук,

П.Ю. Плечов

Москва, 2014

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Математическая модель роста кристалла и её

реализация 16

1.1 Основные предположения.................................16

1.2 Равновесная модель роста кристалла........................18

1.3 Неравновесная модель диффузионного роста кристалла........21

1.4 Обезразмеривание системы уравнений диффузии.............24

1.5 Переход в подвижную систему координат................... 25

1.6 Аппроксимация уравнений................................26

1.7 Линеаризация уравнений.................................30

1.8 Программная реализация..................................30

1.9 Сеточная независимость.................................. 32

1.10 Выводы к главе 1 .........................................33

Глава 2. Качественный анализ кристаллизации плагиоклаза 34

2.1 Постановка задачи о росте кристалла плагиоклаза.............35

2.2 Параметры модели........................................36

2.3 Анализ размерностей ....................................41

2.4 Равновесная кристаллизация плагиоклаза.

Аналитическое решение.................................. 44

2.5 Задача Стефана (диффузионный рост кристалла).

Общие закономерности процесса кристаллизации............ 50

2.6 Закономерности процесса кристаллизации в реакционно-контролируемых процессах................................56

2.7 Выводы к главе 2.........................................68

Глава 3. Рост кристалла плагиоклаза в остывающем

магматическом расплаве 69

3.1 Постановка задачи и основные предположения...............69

3.2 Результаты в случае отсутствия растворения кристалла.........72

3.3 Результаты в случае с учетом растворения кристалла...........74

3.4 Выводы к главе 3.........................................77

Глава 4. Рост кристалла плагиоклаза при подъёме магмы по

каналу вулкана 79

4.1 Постановка задачи и основные предположения...............79

4.2 Результаты расчетов по равновесной модели.................84

4.3 Результаты расчетов по неравновесной модели...............88

4.4 Выводы к главе 4.........................................94

Заключение 96

Введение

В недрах Земли при определённых условиях может образоваться силикатный расплав - магма. За счет сил плавучести магма начинает подниматься к земной поверхности и обычно скапливается перед извержением в приповерхностных коровых очагах, хотя возможен и непосредственный подъем из зоны магмогенерации. В коровых очагах часто происходит тепловое и механическое взаимодействие магм различного состава. В дальнейшем, в процессе извержения, магма поднимается из очага к поверхности. Различный состав первоначальных пород, процессы, протекающие внутри самой магмы, и внешние условия (например, изменение давления) могут значительно изменить химический состав магмы и её физические свойства.

Процессы смешения магм, кристаллизацию минералов из расплава и их растворение непосредственно в магматическом очаге или канале вулкана наблюдать невозможно. Это во многом понижает достоверность теорий, построенных на изучении природного и экспериментального материала, и делает их в первую очередь качественными, а не количественными. Поэтому становится необходимым использование математических методов моделирования как инструмента для изучения процессов, происходящих в вулканических системах.

Магма - сложная смесь большого числа компонент (отдельных атомов и стабильных комплексов), которые перераспределяются между различными минералами, образующимися при кристаллизации, или остаются в расплавной фазе. В работе изучаются процессы кристаллизации, происходящие в магме в условиях падения температуры (в очаге вулкана) или давления (при подъеме магмы по каналу). Динамика роста кристалла во многом определяется диффузией соответствующих компонент из расплава к его границе: кристалл не может расти, если в пограничном слое отсутствуют в достаточном количестве составляющие его компоненты.

Впервые законы, описывающие диффузию, были сформулированы А. Фиком в 1855 году [16]. Первый закон Фика устанавливает связь между потоком массы диффундирующего вещества и градиентом его концентрации в расплаве J = -D-gradC, где D - коэффициент диффузии компоненты. Второй закон Фика есть следствие закона сохранения массы. Он определяет изменение концентрации во времени:

дС

— = -di vJ = div(D • gradC). dt

В случае постоянного коэффициента диффузии уравнение имеет вид:

dt

Это уравнение имеет аналитические решения при нескольких типах граничных условий. В многокомпонентном расплаве диффузия одних компонент зависит от градиентов концентраций других, поэтому для описания многокомпонентной диффузии вводится диффузионная матрица D [42]:

7=1

где N - число компонент (концентрация N-ой компоненты является зависимой переменной). Подтверждением этого является существование возвратной диффузии или диффузии вверх по потоку (градиенту концентрации, uphill diffusion), наблюдаемой как в экспериментах [8,14,15,52], так и при исследовании петрологических данных [24].

Определение полной диффузионной матрицы для конкретной среды, содержащей большое число компонент, представляется весьма сложным. Для многокомпонентной диффузии ионов в кристаллах выведены формулы, определяющие коэффициенты диффузионной матрицы в зависимости от концентраций и зарядов ионов [29]. В [53] коэффициенты диффузионной матрицы записаны с использованием атомной мобильности компонент и скорости решетки («lattice velocity»). В магматических расплавах диффундирующими единицами

являются оксиды. Для некоторых многокомпонентных расплавов коэффициенты диффузионной матрицы измерены экспериментально [6,8,9,50,51]. В [33] модели многокомпонентной диффузии, использующие полную диффузионную матрицу (как, например, выведенную в [29]), протестированы с использованием экспериментальных данных. Экспериментально показано, что они могут зависеть от концентраций компонент, температуры и давления системы, а также от вязкости расплава [3,9,50,51]. Такие эксперименты весьма сложны и позволяют определить диффузионную матрицу только для конкретного состава смеси компонент. В связи с этим предпринимаются попытки определять диффузионные потоки более простым образом.

Наиболее простая модель многокомпонентной диффузии основана на предположении двухкомпонентности расплава. В этом случае диффузионная матрица имеет единственный коэффициент, называемый эффективным бинарным коэффициентом диффузии. Это предположение используют многие авторы как при моделировании диффузии (например [30]) так и в экспериментах. Эффективный коэффициент диффузии каждой компоненты в предположении о том, что диффузия этой компоненты определяется её собственным потоком массы, экспериментально может быть определен и для систем с большим количеством компонент [32,51]. Однако этот подход невозможно использовать для компонент, которые диффундируют вверх по потоку.

Для систем, состоящих из большего числа компонент, многие авторы предполагают диагонализируемость диффузионной матрицы или изначально используют диагональную матрицу [8,18]. Собственные векторы диффузионной матрицы определяют собственные компоненты, объединяющие исходные компоненты системы в соответствующих пропорциях. Собственные компоненты диффундируют независимо, их коэффициенты диффузии - собственные значения диффузионной матрицы. Это позволяет рассматривать диффузионный процесс в многокомпонентной системе как объединение независимых обменных процессов, описываемых уравнением Фика. Недостатком такого рассмотрения является то,

что описываемое объединение компонент в группы - лишь способ интерпретации и визуализации измерений, но не имеет под собой физической основы [8].

Для описания многокомпонентной диффузии с возможной возвратной диффузией У-СНбЫ для трехкомпонентной смеси предложена система уравнений, учитывающая перекрестную диффузию компонент [41]. Перекрестные члены в выражениях потоков массы возникают в случае различных скоростей диффузии компонент. В [41] проводится анализ решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов диффузии компонент. В [40] проводится анализ модели У.СНзЫ, получены критерии возникновения возвратной диффузии на примере конкретного расплава.

Проблема выбора диффузионной матрицы в настоящее время не решена. В диссертации модель [41] адаптирована для моделирования многокомпонентной диффузии в системе, состоящей из произвольного числа компонент.

В работе исследуется рост одиночного кристалла плагиоклаза - одного из основных породообразующих минералов. Плагиоклаз состоит из молекул двух типов: анортита (Ап - СаА1281208) и альбита (АЬ - ЫаА^зОв). При понижении температуры или давления кристалл начинает расти за счет диффузии своих компонент (альбита и анортита) из расплава к границе кристалла. При этом другие компоненты расплава, наоборот, диффундируют от границы кристалла. Этот минерал был выбран по той причине, что диффузия компонент внутри кристалла на несколько порядков медленнее, чем в расплаве. Поэтому распределение компонент внутри кристалла сохраняется на значительных временах после окончания кристаллизации, а анортитовый номер плагиоклаза -величина Ап=Са/(Са+Ыа) (содержание анортита в кристалле) - важный индикатор условий кристаллизации магмы. Для многих изверженных пород существуют детальные измерения этого параметра.

Моделирование неравновесной кристаллизации магматических расплавов (когда скорость диффузии компонент в расплаве оказывает существенное влияние на процесс роста кристалла) началось в 70-х годах прошлого века. Наиболее

простая модель, описывающая диффузионный рост кристалла в двухкомпонентной системе, предложена в [30]. Предполагается простая линейная зависимость концентрации компоненты в кристалле от ее концентрации в расплаве (их отношение называется коэффициентом распределения). Важность этой работы в том, что в ней предложены основанные на экспериментальных данных формулы для вычисления температуры равновесия кристалл-расплав и скорости роста кристалла. Температура равновесия и скорость роста определены в зависимости от состава расплава в пограничном слое и температуры системы. В работах [37,38] проводится исследование применимости предложенной в [30] формулы для вычисления скорости роста в сравнении с экспериментами.

Большой интерес представляет наблюдаемая в изверженных породах и при проведении экспериментов осцилляторная зональность (немонотонное изменение состава концентрации анортита в кристалле) химического состава ([27], рис.1), в кристаллах плагиоклаза. Существуют различные точки зрения на происхождение этой зональности. Классическим является представление, связанное с колебаниями температуры, вызванными магматической конвекцией в очаге извержения [22]. В [46] в двухкомпонентной системе моделируется кристаллизация, вызванная скачком температуры на границе кристалл-расплав. Решаются одновременно уравнения теплопроводности и диффузии, из решения которых при этом находится состав кристалла. Процесс контролируется диффузией компонент и выделением скрытой теплоты кристаллизации. Показано, что в такой системе возможно возникновение периодически-зональных кристаллов. Проведено исследование в зависимости от безразмерных параметров (определяемых коэффициентами диффузии компонент и скрытой теплотой кристаллизации). В результате определены области параметров, в которых образуются кристаллы разных типов зональности. Недостатком работы является то, что при моделировании не учитывается зависимость состава кристалла и скорости роста от состава расплава и других параметров. Кроме того, как будет показано ниже, для характерных значений размеров ячеек магматического

расплава, из которых растут кристаллы плагиоклаза, коэффициент температуропроводности на шесть порядков больше коэффициента диффузии, поэтому выравнивание температуры внутри ячейки на временах роста кристалла происходит мгновенно. Предложенный в [46] механизм не может объяснить зональности природных плагиоклазов.

Ниже, как и в ряде других работ, показано, что колебания состава кристалла могут быть вызваны конкуренцией процессов роста и диффузии компонент, тогда как температура системы меняется во времени монотонно. При моделировании зональности авторами рассматривается только двухкомпонентная система.

в, мкм

Рис.1: зональность в кристалле плагиоклаза [45], а - срез зонального кристалла плагиоклаза, б - зависимость состава кристалла (концентрации анортита, С]5 ) от расстояния от границы кристалла.

В работах [1,25,26,30,48] предложены различные объяснения возникновения периодической зональности в кристалле плагиоклаза. В [1] предполагается, что такая зональность в кристалле возникает в результате того, что зависимость скорости роста от концентрации альбита в приграничном слое расплава имеет вид трехзначной функции. В результате, может происходить переход с одного режима на другой. Такой закон роста не нашел

экспериментального подтверждения. Эксперименты Kirkpatrick et al. [23], Hammer and Rutherford [19], Couch et al. [12] и других исследователей показывают, что зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения расплава имеет куполообразную форму.

В [30] показано, что если скорость роста кристалла - однозначная функция состава расплава, то концентрации компонент в кристалле изменяются монотонно. Предполагается, что осциллирующее зонирование в кристалле может возникнуть, если для одного и того же состава расплава при постоянной температуре скорость роста кристалла может иметь несколько различных значений, в результате чего возможны переходы между режимами быстрого и медленного роста кристалла. Также было получено немонотонное изменение состава кристалла в случае, когда скорость роста - монотонно убывающая ступенчатая функция времени. Такой закон роста в статье предполагается более вероятной причиной возникновения сложной зональности, чем многозначность функции скорости роста, однако экспериментального подтверждения данный закон роста также не нашел.

В [48] для вычисления скорости роста предлагается формула, учитывающая влияние шероховатости растущей грани кристалла на скорость его роста. При росте кристалла грань заполняется, и скорость роста скачком изменяется от режима, соответствующего шероховатой стенке, к более медленному режиму, соответствующему гладкой стенке. Далее в режиме гладкого роста из-за обогащения расплава скорость роста начинает увеличиваться и скачком переходит на режим шероховатого роста. Модель объясняет колебания состава кристалла, однако период колебаний определяется положением точек перехода между режимами, физическая обоснованность которых не ясна.

В [25,26] на основе модели роста кристалла [30] проводится исследование устойчивости решения линеаризованного в окрестности стационарного решения уравнения диффузии. При анализе получено, что периодическая зональность возможна только при значениях коэффициента распределения компоненты между

кристаллом и расплавом (отношения концентраций компоненты в кристалле и расплаве) меньших единицы. Такие значения коэффициента распределения не являются типичными для роста кристалла плагиоклаза из магматического расплава, поэтому предложенный механизм не объясняет наблюдаемой зональности.

Считается, что коэффициенты диффузии анортита и альбита определяются коэффициентами диффузии Са и Na в расплаве. В [69] по результатам экспериментов с образцами изверженных пород были оценены коэффициенты диффузии основных элементов, составляющих магматический расплав. На основе этих оценок определены элементы, определяющие диффузию анортита и альбита. Подобный подход существенно упрощает реальную диффузию в магматическом расплаве, где основные диффундирующие единицы - оксиды соответствующих элементов. В [31,32] предлагается последовательное термодинамическое описание многокомпонентной диффузии в модельных магматических расплавах, однако, в настоящее время отсутствует необходимый экспериментальный материал для описания системы плагиоклаз-расплав.

Из анализа опубликованных моделей можно заключить, что моделирование многокомпонентной диффузии (в системах, состоящих больше, чем из двух компонент) проводилось многими авторами для задач, не связанных с исследованием роста кристаллов из многокомпонентных расплавов. В тех работах, где проводится моделирование диффузионного роста кристалла, рассматривается только двухкомпон