Гидродинамика вулканических извержений сильновязких газонасыщенных магм тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ЭКСПЛОЗИВНОГО ИЗВЕРЖЕНИЯ СИЛЬНОВЯЗКИХ ГАЗОНАСЫЩЕННЫХ МАГМ.

§ 1. Физическая постановка задачи.

§ 2. Математическая формулировка модели.

§ 2.1 Гомогенная жидкость.

§2.2 Пузырьковая жидкость.

§2.3 Газовзвесь.

§2.4 Фрагментация пузырьковой жидкости, волна дробления.

§ 2.5. Граничные условия и метод расчета.

§ 3, Результаты расчетов.

§ 4. Сравнение результатов расчетов с данными наблюдений.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА ВУЛКАНИЧЕСКОГО ИЗВЕРЖЕНИЯ С УЧЕТОМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МАГМЫ И ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА ЧЕРЕЗ НЕЕ.

§ 1. Экструзивные вулканические извержения.

§ 2. Качественный учет кристаллизации магмы.

§ 3. Стационарная модель течения магмы с учетом кинетики кристаллизации магмы и оттока газа через нее.

§3.1 Кинетика кристаллизации магмы.

§ 3.2. Физические свойства магмы для вулкана СуфриерХиллз.

§ 4. Стационарная модель течения магмы в канале.

§ 5 Режимы извержения при росте лавового купола.

Выводы к главе 2.юо

ГЛАВА 3. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ПОДЪЕМА МАГМЫ С УЧЕТОМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА ЧЕРЕЗ НЕЕ.

§ 1. Нестационарная модель для кусочно-постоянной зависимости вязкости от концентрации кристаллов.

§ 1.1 Система уравнений и ее преобразование.

§ 1.2 Качественный анализ явлений в рамках простейшей модели.

§1.3 Результаты расчетов по простейшей модели.

§ 1.3.1 Случай канала постоянного сечения.

§ 1.3.2 Учет вязко-упругих деформаций стенок канала вулкана.

§ 1.3.3 Реконструкция конкретных извержений.

§ 2. Нестационарная модель подъема магмы с учетом кинетики кристаллизации, фильтрации газа через магму и вязко-упругих деформаций стенок канала вулкана.

§2.1 Система уравнений.

§ 2.2 Граничные условия.

§ 2.3 Метод решения.

§ 2.4 Результаты расчетов.

§ 2.4.1 Случай недеформируемых стенок канала, постоянной длины канала и объемной доли кристаллов в очаге.

§ 2.4.2 Влияние изменения высоты лавового купола на расход магмы.

§ 2.4.3 Влияние вариации объемной доли кристаллов на расход магмы.

§ 2.4.4 Влияние неньютоновской реологии магмы на динамику извержения.

§ 2.4.5 Влияние скрытой теплоты кристаллизации на динамику извержения.

§ 2.4.6 Моделирование извержения вулкана Сантьягито. выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ЭКСПЛОЗИВНОГО ИЗВЕРЖЕНИЯ, ВЫЗВАННОГО РАЗРУШЕНИЕМ ЛАВОВОГО КУПОЛА.

§ 4.1 Физическая модель и система уравнений.

§ 4.2 Метод решения.

§ 4.3 Результаты расчетов.

§ 4.4 Сравнение с данными полевых наблюдений вулкана Суфриер

Хиллз.

Выводы к главе 4.

Вулканическое извержение - один из наиболее разрушительных типов природных катастроф. Так извержение вулкана Везувий (79 г. нашей эры), разрушило города Помпеи и Геркуланум, Санторина (1650 г. до нашей эры) уничтожило Минойскую культуру, а при извержении Кракатау (1883 г) было Л выброшено около 50 км вещества. Самое крупное известное извержение произошло на вулкане Иелоустон (США) около 2.2 млн. лет назад. Объем извергнутого материала оценивается в 2500 км3, а его последствия сравнимы с последствиями столкновения Земли с крупным небесным телом. Современные оценки показывают, что вероятность подобного извержения в будущем на порядок больше вероятности столкновения земли с метеоритом.

Влияние вулканических извержений на окружающую среду многообразно. Это и непосредственное разрушение прилегающих областей (до 100 - 1000 км для крупных извержений), и образование газо-пепловых туч, огибающих земной шар и создающих серьезную опасность для авиации, и изменение газового состава атмосферы, приводящее к локальным или глобальным (в доисторическое время) изменениям климата (Фиг. 1).

Наибольшую опасность для населения представляют извержения газонасыщенных магм, при которых происходит взрывоподобное или непрерывное истечении газо-пепловых струй из жерла вулкана. В отличие от чисто лавовых извержений, скорость распространения их продуктов очень высока, а расход может в течение короткого времени изменяться на порядки величины.

Фиг. 1. Неизвестный автор XIX века. Извержение вулкана Везувий в 1794 году.

Важность изучения вулканических извержений методами механики сплошных сред обусловлена отсутствием прямых методов наблюдения процессов, происходящих в земной коре, редкостью крупных вулканических извержений, необходимостью прогноза и определения степени опасности конкретных вулканов. Магма представляет собой объект с уникальными физическими свойствами: аномально большой, переменной вязкостью, наличием растворенного в ней газа, выделяющимся при подъеме, сложными физико-химическими превращениями. При подъеме магмы по каналу в результате резкого падения давления происходит изменение структуры потока от гомогенной жидкости до газовзвеси, сопровождающееся нуклеацией, ростом пузырьков, их частичным слиянием и разрушением образовавшейся пены.

В диссертации будут рассмотрены модели течения магмы в канале вулкана для случая сильновязких газонасыщенных магм. Основными режимами извержения для таких магм является либо медленное выдавливание лавовых куполов, либо эксплозивное квазистационарное или взрывное истечение газо-пепловых струй. Переход между этими режимами может происходить скачкообразно.

Извержения происходят из магматических очагов, расположенных в С земной коре на глубинах 3-20 км и содержащих магматический расплав, кристаллы и растворенный газ. Равновесная растворимость газа определяется законом с = к4~р, где с - массовая доля растворенного газа,р -давление, кс -коэффициент растворимости, зависящий от химического состава магмы. При достаточно больших давлениях из очага вытекает гомогенная жидкость, либо жидкость с. небольшой объемной долей пузырьков. По мере падения давления при подъеме магмы происходит рост пузырьков как за счет диффузии растворенного газа из пересыщенной магмы, так и за счет их расширения. При некоторых условиях может произойти фрагментация пузырьковой жидкости с переходом к течению газовзвеси. В этом случае режим извержения будет эксплозивным. Если фрагментация магмы не произошла, то на поверхность выходит пузырьковая жидкость, причем выделившийся газ покидает магму через систему связанных пор. Этому соответствует режим выдавливания лавового купола. 6

Моделирование течения магмы в канале вулкана для случая эксплозивного извержения началось около 20 лет назад с работ Спаркса, Вильсона и Слезина [76, 77, 93-96], где рассматривались одномерные стационарные модели. В [76, 77] в предположении, что градиент давления в канале вулкана литостатический, то есть стенки канала абсолютно податливы, исследовалась связь между расходом магмы и содержанием растворенного в ней газа. Последующие исследования показали, что предположение об абсолютной податливости стенок канала вулкана не реализуется, а распределение давления по каналу определяется динамикой потока магмы. Этот подход впервые нашел отражение в работах Слезина.

Предложенная им стационарная модель состоит из уравнений неразрывности для жидкой и газовой фаз, уравнения импульса для смеси в целом с учетом сил тяжести, сопротивления канала вулкана и инерции смеси, а также уравнения состояния. Выделены четыре зоны течения: гомогенная жидкость, пузырьковая жидкость, зона разрушающейся пены и газовзвесь. В зонах гомогенной, пузырьковой жидкости и разрушающейся пены сила сопротивления канала вычисляется по формуле Пуазейля с постоянной вязкостью, в газовзвеси по формуле для турбулентного газового потока в шероховатых трубах. Считается, что пузырьковая жидкость переходит в разрушающуюся пену когда объемная доля пузырьков достигает плотной упаковки. Далее концентрация пузырьков не увеличивается, а весь высвобождающийся газ течет между сцепленными частицами."

Предполагается, что разрушающаяся пена переходит в газовзвесь, когда объемная доля свободного газа достигает 40 процентов. Скорость относительного движения газа рассчитывается из равенства подъемной силы газового потока весу частицы как в зоне разрушающейся пены, так и в газовзвеси. Инерцией частиц пренебрегается.

Несмотря на крайне упрощенную модель, было показано, что при определенных наборах управляющих параметров возможно до трех стационарных решений краевой задачи определения расхода по заданным параметрам в очаге и условиям на выходе из канала. Расчеты позволили объяснить механизм перехода между режимом роста лавового купола и эксплозивными извержениями, связанный с перестройкой течения в канале вулкана. Режиму эксплозивного извержения соответствует сравнительно короткая зона пузырьковой жидкости и разрушающейся пены, так что средний вес смеси и интегральная сила сопротивления канала вулкана невелики. Для случая выдавливания купола на поверхность выходит разрушающаяся пена с малым расходом.

В работе Бармина и Мельника [80] модель [93, 94] была существенно уточнена и развита. В зоне пузырьковой жидкости была учтена сильная зависимость вязкости магмы от концентрации растворенного газа, диффузионная задержка роста пузырька, неизотермичность процесса. В зоне разрушающейся пены введен коэффициент сопротивления среды, зависящий * от объемной доли свободного газа, при этом относительная скорость газа стремится к нулю при уменьшении объема пор, в отличии от [93-96], где эта скорость оставалась конечной. Учтена инерция частиц газовзвеси и теплообмен между газом и частицами. Показано, в частности, что диффузионная задержка роста пузырька существенно влияет на динамику процесса. При падении давления в очаге, а следовательно, при опускании в очаг уровня появления пузырьков, возможен переход от истечения разрушающейся пены к истечению газовзвеси.

Большой круг работ посвящен отдельным процессам, сопровождающим вулканическое извержение. Отметим цикл работ по динамике роста одиночного пузырька в магме начиная с обзора [68], до законченных сложных численных моделей, учитывающих неравновесность давления в пузырьке и жидкости, конечную толщину жидкой пленки, переменность вязкости магмы и коэффициента диффузии воды [34, 52]. Полученные расчетные данные находятся в хорошем соответствии с проведенными авторами экспериментами. Показано, что при больших скоростях декомпрессии, давление в пузырьке может значительно превышать давление в окружающей жидкости за счет вязкого сопротивления росту пузырька. В работах [1, 2] экспериментально и теоретически исследуется процесс фрагментации пористой затвердевшей магмы, содержащей пузырьки газа. Следуя [97] введен разрыв, названный волной дробления, выписаны условия на нем и исследована скорость его распространения в зависимости от определяющих параметров.

Идея накопления большого избыточного давления в растущем пузырьке получила развитие применительно к сильновязким газонасыщенным магмам в работах Бармина и Мельника [46, 81, 82, 89]. Ими 9 предложен альтернативный к [80, 93, 94] механизм фрагментации магмы, а именно, считается, что пузырьковая жидкость дробится, когда избыточное давление в пузырьках превышает предел ее прочности на разрыв. Введен новый тип разрыва, названный по аналогии с [1], волной дробления, соединяющий пузырьковую жидкость с избыточным давлением в пузырьках с газовзвесью. Критерий фрагментации был применен в расчетах динамики течения сильновязких магм в канале вулкана. Было показано, что при неглубоком залегании очага извержения возможен переход от умеренного эксплозивного извержения к катастрофическому при падении давления в очаге. При этом фиксированному давлению в очаге может отвечать до пяти 4 стационарных решений краевой задачи с расходами, отличающимися на несколько порядков. Результаты расчетов хорошо совпадают с оценками для вулкана Санторин (Греция, 1650 г. до н.э.). В [82, 89] на основании модели [81] впервые в мире была реализована нестационарная модель течения магмы в канале вулкана. Было показано, что при наличии трех стационарных решений возможны периодические режимы извержения, связанные с переходами между стационарными решениями.

Работы Слезина, Бармина и Мельника до недавнего времени не были известны на Западе, где развитие моделей эксплозивного извержения в основном проводилось в работах Добрана и Папале [15, 16, 56]. В этих работах'учитывалась зависимость вязкости от температуры и химического состава магмы, инерция фаз и равновесное изменение химического состава магмы при подъеме. В работе [56] предложен альтернативный механизм

10 фрагментации магмы основанный на представлениях [14] о том, что магма при больших скоростях растяжения ведет себя как тело Максвелла. Математическая форма данного критерия фрагментации аналогична предложенному ранее в [81] с точностью до коэффициента пропорциональности, близкого к единице.

Относительное движения фаз в [15, 16, 56] не учитывалось, поэтому решения стационарной краевой задачи оказались единственными, с расходом монотонно зависящим от давления в очаге. Эти модели не давали объяснения переходу между эксплозивными и экструзивными режимами извержения. Для конкретных эксплозивных извержений, в которых относительное движение фаз невелико, оценены параметры вулканической системы по данным полевых наблюдений.

В работах [36, 79] учтен отток газа из поднимающейся магмы в окружающие горные породы. Получено, что как и в работах [93, 94] возможно до трех стационарных решений краевой задачи. В этих работах считалось, что фрагментация наступает, когда объемная концентрация пузырьков достигает критического значения. При медленном подъеме магмы отток газа из нее достаточно эффективен, поэтому условия фрагментации не реализуются. В предложенной концепции имеется серьезный недостаток. Для интенсивного оттока магмы через стенки канала проницаемость самой магмы должна быть значительно выше, чем проницаемость стенок. В противном случае только магма, находящаяся вблизи стенок потеряет свой газ. При высокой проницаемости магмы и наличии большого вертикального градиента давления отток газа будет проходить в основном через магму. Это подтверждается тем, что места выхода газа из магмы сосредоточены в основном на поверхности растущего лавового купола.

Моделированию экструзивного режима извержения посвящено небольшое количество работ. Отметим работу [39], где рассматривается течение магмы с постоянной вязкостью в канале с вязко-упругими стенками из очага, окруженного упругими породами. Показано, что при постоянном подтоке магмы в очаг извержения возможно периодическое решение, с затухающим изменением расхода магмы на поверхности за счет изменения площади поперечного сечения канала вулкана. Результаты расчета использовались для объяснения изменений расхода на вулкане Маунт Унзен (Япония, 1990-1995 гг.). Построенная модель содержит серьезное противоречие. Породы, окружающие канал считаются вязко-упругими, с постоянной вязкостью и распространяются вплоть до бесконечности. В реальности лишь тонкий слой прогретых пород вблизи стенок канала вулкана обладает относительно малой вязкостью. Кроме того, вокруг очага извержения также будет образовываться такой слой, а учет вязких деформаций стенок очага приведет в данной модели к монотонной зависимости расхода от времени.

Ниже будет рассмотрен альтернативный механизм, приводящий к периодическим изменениям расхода магмы в экструзивных извержениях,

У " связанный с кинетикой кристаллизации магмы при подъеме [47, 90]. На основании распределения параметров по каналу вулкана в экструзивном режиме в [44] было рассчитано развитие эксплозивного извержения, вызванного обрушением лавового купола. С использованием нестационарной одномерной модели было показано, что сильное влияние на динамику извержения оказывают предположения о критерии фрагментации и интенсивности массообмена между магмой и растущими пузырьками.

Большой круг работ посвящен исследованию динамики выдавливания лавового купола [24-27, 33]. Построенные модели применяют общую идеологию «тонкого слоя», когда вертикальной скоростью и отличием вертикального градиента от гидростатического пренебрегается. В этом случае для осесимметричных двумерных течений были построены автомодельные решения нестационарной задачи и рассмотрено изменение формы лавового купола в зависимости от времени в различных предположениях о реологии магмы и условиях ее вытекания из канала. Расчетные значения неплохо согласуются с данными полевых наблюдений для вулканов с относительно маловязкой лавой, как например Маунт Ст. Хелене (США, 1980-1987). Однако, для широкого класса вулканов с сильно закристаллизованной магмой высота купола сопоставима с его диаметром, а свежая магма извергается с поверхности купола в области, являющейся продолжением канала вулкана. Для описания динамики таких куполов требуется применение полной двумерной системы уравнений, что в настоящее время не реализовано.

Из вышеприведенного . обзора следует, что последовательное гидродинамическое описание процесса извержения сильновязких газонасыщенных магм в настоящее время отсутствует. Актуальность математического моделирования процессов извержения связана с необходимостью понимания возможных механизмов, приводящих к смене режимов извержения, сопровождающейся резким изменением расхода магмы. Для прогноза опасности конкретных вулканов необходимо выделить определяющие параметры вулканической системы, поддающиеся непосредственному измерению, при которых возможны резкие перестройки течения магмы в канале вулкана.

В диссертации на основании единого подхода, основанного на методах механики многофазных сред, строятся гидродинамические модели течения магмы в канале вулкана для различных типов извержения. Целью исследования является выявление влияние определяющих параметров на динамику течения, механизмов неустойчивости и причин резких колебаний расхода магмы в процессе извержения. Модели учитывают современные данные о физических свойствах магмы и вулканических систем, а результаты численных экспериментов сравниваются с данными полевых наблюдений активных вулканов. Численное моделирование основано на современных численных методах решения систем уравнений в частных производных.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе рассматривается стационарная модель эксплозивного извержения сильновязких газонасыщенных магм. Учитывается скоростная неравновесность между фазами и набор избыточного давления в пузырьках

14 за счет вязкого сопротивления их росту. Сформулирован новый критерий фрагментации магмы, основанный на критическом избыточном давлении в пузырьках. Рассмотрено влияние определяющих параметров на скорость подъема магмы по каналу вулкана. Показано, что решение краевой задачи может быть не единственным, так что фиксированным условиям в очаге могут соответствовать два стационарных решения, со скоростями подъема, различающимися на порядки. Для малых скоростей подъема условия фрагментации магмы не реализуются, на поверхность вытекает пузырьковая магма. Режим с большими скоростями соответствует эксплозивному извержению. При этом за счет квазистационарного изменения давления в очаге возможны переходы между режимами. Для неглубоких очагов происходит усиление интенсивности извержения при падении давления в очаге.

Во второй главе рассматриваются стационарные модели течения магмы в канале с учетом кристаллизации и оттока газа через систему взаимосвязанных пузырьков в поднимающейся магме. Рассмотрены две модели. В первой за счет упрощающих допущений получено аналитическое решение для связи между расходом и давлением в очаге.

Продемонстрировано, что учет кристаллизации приводит к неединственности стационарного решения, а следовательно к возможности резкого изменения расхода в процессе извержения. Результаты, полученные на упрощенной модели, подтверждены расчетами по полной модели, которая учитывает реальную кинетику газоотделения и кристаллизации магмы. Дополнительно показано наличие максимума избыточного над литостатическим давления в канале вулкана. Величина и положение максимума согласуются с интерпретацией данных о деформации земной поверхности и положения эпицентров землетрясений на вулкане Суфриер Хиллз (остров Монсеррат, 1995-2002). Рассчитано распределение кристаллов по размерам на выходе из канала вулкана, согласующееся с имеющимися данными наблюдений.

В третьей главе построены нестационарные аналоги моделей течения с учетом кристаллизации и оттока газа через магму. Для упрощенной модели система уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что неединственность стационарного решения приводит к периодическим режимам извержения, если размер очага превышает критическое значение. Для случая квазистационарного изменения давления в очаге найдена аналитическая связь между периодом колебаний расхода и определяющими параметрами системы. На основе расчетов сделаны оценки параметров вулканических систем для вулканов Маунт Сент. Хелене и Сантьягуито, где имеются наиболее полные данные наблюдений. На основании полной модели изучен более широкий класс процессов, сопровождающих рост лавового купола. Оценено влияние циклического изменения объемной доли кристаллов в очаге, изменения высоты купола, сжимаемости магмы и других параметров на динамику извержения. Уточнены параметры вулканических систем для вулканов, изучавшихся ранее.

В четвертой главе рассмотрено развитие во времени вулканического взрыва, вызванного обрушением лавового купола. На основании расчетов изучено влияние интенсивности массообмена и критерия фрагментации на динамику извержения. Показано, что интенсивность массообмена сильно влияет на свойства течения в канале. В случае равновесного массообмена длительность извержения, объем извергнутого материала и скорость смеси на выходе значительно больше, чем при отсутствии массообмена. Если в качестве критерия фрагментации используется избыточное давление в растущем пузырьке, то в случае равновесного массообмена фрагментация носит ступенчатый характер - волна дробления распространяется по пузырьковой жидкости, затем фрагментация прекращается и снова возобновляется. При этом расход магмы на выходе сильно пульсирует. В случае фрагментации при критической объемной доле пузырьков расход, достигнув максимума, монотонно убывает. Результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с данными полевых наблюдений для вулкана Суфриер Хиллз.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

По теме диссертации опубликованы работы [5, 42-45, 47, 80-84, 89, 90]

Результаты работы были представлены на конференциях: Проблемы современной механики, к юбилею Л.И. Седова, Москва, 1998, Современные проблемы механики, посвященной 40-летию Института механики МГУ 22-26 ноября 1999 года, IUGG-1999, Birmingham,26-30 July, 1999, Causes and

17 consequences of eruptions of andesite volcanoes, London, 6-7 October, 1999, IAVCEI general assembly, 2000, Bali, Indonesia, 18-22 July 2000, VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2329 авг. 2001 (секционный доклад), AGU 2001, San Francisco, 10-14 December 2001 (2 доклада), Explosive volcanism in subduction zones, Martinique, 12-16 May 2002, Математика, Механика, Информатика 2002, посвященной 10-летию РФФИ, 14-18 октября 2002, а также семинарах в Институте механики МГУ.

По результатам работы прочитан курс лекций в Геологическом институте Китайского сейсмологического Бюро, Пекин, 1-5 июля 2002 г.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему учителю и коллеге А.А. Бармину, за неизменную помощь и поддержку, сопровождавшую автора со студенческих лет до настоящего времени. Я очень признателен, также, Стивену Спарксу из Бристольского университета за помощь в освоении современной геологии вулканических процессов, полезное обсуждение результатов и предоставление данных полевых наблюдений, В.Г. Громову за консультации по численным методам. И наконец благодарю мою семью, прежде всего жену Ольгу, за терпение и моральную поддержку во всех моих начинаниях. массовой концентрацией с0. Течение в канале вулкана, связывающем очаг с земной поверхностью, в общем случае можно разбить на три области .

В нижней, где давление больше, чем давление насыщения растворенного газа при заданной начальной его концентрации (р >ро=со2/кс2), течение гомогенно и имеет место обычная модель вязкой жидкости. В средней области, где р<ро имеет место течение пузырьковой жидкости. Эти две области разделены зоной нуклеации в которой при рпис =р0 - Ар„ис образуются пузырьки, число которых в единице объема достигает п ив дальнейшем меняется слабо. При этом возможны два механизма нуклеации -гомогенный и гетерогенный. Первый . механизм реализуется в высокотемпературных, слабо вязких магмах, не содержащих кристаллов и требует большого пересыщения раствора (большого Дрпис) [28]. Для случая сильновязких, частично закристаллизованных магм реализуется рост зародышей пузырьков на имеющихся кристаллах и необходимое падение давления составляет всего -0.2-0.5 МПа [52]. После достижения критического пересыщения в узком диапазоне давлений (~ 1 МПа) происходит интенсивная нуклеация пузырьков. Далее скорость нуклеации резко падает. Длина зоны нуклеации существенно меньше длины канала и она может рассматриваться как поверхность. По мере подъема магмы в следствии ее дегазации и декомпрессии происходит рост пузырьков. За счет вязких напряжений давление в растущем пузырьке падает медленнее, чем давление в жидкости, что приводит к большим избыточным давлениям в растущем пузырьке Ар= pg-pm. Автором, совместно с Барминым, предложено считать, что когда Ар превышает критическое значение, происходит разрушение (фрагментация) пузырьковой среды [81]. Конкурирующим процессом, приводящим к падению избыточного давления является слияние пузырьков с образованием подвижной пористой среды и оттоком газа через систему взаимосвязанных пузырьков. Данный процесс нашел подтверждение в результатах измерения пористости образцов вспененной магмы [21, 37] и использовался при моделировании в упрощенной постановке в работах

Слезина [93], Бармина и Мельника [80]. При этом предполагалось равенство f давлений в пузырьках и жидкости. Далее будет рассмотрена модель пузырьковой жидкости с неравновесностью давления в системе взаимосвязанных пузырьков с опережающим движением газа, не использовавшаяся ранее.

После фрагментации магмы в третьей верхней области происходит течение газовзвеси с мелкими и более крупными частицами. Процессы, происходящие в зоне фрагментации наиболее сложны и во многом определяют характер извержения. Зона фрагментации разделяет область тяжелой, высоковязкой магмы и легкой газовзвеси, сопротивление движению которой, определяющееся турбулентной вязкостью газа, пренебрежимо мало. Поэтому суммарное сопротивление канала вулкана и средний вес смеси определяется положением уровня фрагментации в канале. В работах [78, 81, 94] было показано, что при течении магмы по каналу вулкана возможны резкие перестройки течения, связанные с изменением соотношения между длинной зон пузырьковой жидкости и газовзвеси, приводящие к скачкообразным изменениям расхода на порядки величины.

Далее будет рассмотрено влияние конкуренции процесса набора избыточного давления в пузырьках и его падения за счет оттока газа на динамику извержения.

Выводы и главе 3

Построены нестационарные модели течения магмы по каналу вулкана для случая экструзивного извержения. В первой модели с постоянной плотностью магмы, постоянной скоростью роста кристаллов и ступенчатой зависимости вязкости от объемной доли кристаллов система уравнений в частных производных была проинтегрирована и сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая модель, учитывающая кинетику кристаллизации, неравновесное выделение растворенного газа и его фильтрацию через магму решалась численно.

Для обоих моделей показано, что неединственность стационарного решения, рассмотренного в главе 2, может приводить к циклическому изменению расхода магмы, если расход подтекающей в очаг магмы соответствует промежуточному неустойчивому стационарному режиму и размер очага превышает некоторое критическое значение. Для очагов с докритическим размером происходит стабилизация извержения на неустойчивом режиме.

Для простой модели исследована зависимость периода извержения от определяющих параметров. Для случая больших объемов очага найдена аналитическая зависимость для периода колебаний, которая может использоваться для предварительных оценок параметров системы по данным полевых наблюдений.

Модель с кусочно-постоянной вязкостью была применена для реконструкции параметров двух извержений - Маунт Сент Хелене и Сантьягито. Результаты расчетов находятся в хорошем количественном соответствии с наблюдаемыми данными. Оценены размеры очагов и питающих каналов, не поддающиеся непосредственному измерению.

В случае полной модели исследовано влияние роста лавового купола, циклического изменения объемной доли кристаллов в очаге, скрытой теплоты кристаллизации и бингамовского предела текучести на расход магмы.

В рамках реологической модели бингамовской жидкости дано объяснение длительных пауз в процессе извержения. При этом период

Глава 4. Динамика эксплозивного извержения, вызванного разрушением лавового купола

§ 4.1 Физическая модель и система уравнений.

Под действием сил тяжести и внутреннего давления лавовый купол может разрушится. При этом происходит резкое падение давления на верхней кромке канала вулкана, и вглубь него будет распространяется волна разрежения. За ней происходит резкий рост пузырьков, приводящий к фрагментации магмы и эксплозивному выносу образовавшейся газовзвеси на поверхность. Переход от роста лавового купола к эксплозивному извержению наблюдался на многих* вулканах (Маунт Пеле, 1903 г., Маунт Ст. Хелене, 1980 г., Суфриер Хиллз (остров Монсеррат, 1995-2001), Шивелуч (Камчатка), многократно, начиная с 1964 г). При этом расход и скорость распространения продуктов извержения увеличиваются на несколько порядков, поэтому такие извержения представляют большую опасность для населения. Примером может служить извержение вулкана Маунт Пеле, когда в течение 10 минут погибло более 28 тыс. человек. Дальнейшее рассмотрение динамики эксплозивного извержения будет вестись на примере недавнего извержения вулкана Суфриер Хиллз, поскольку для него накоплен огромный материал полевых наблюдений, однако построенная модель может быть использована и для описания других извержений.

Схема течения в канале вулкана для развития эксплозивного извержения представлена на Фиг. 4.1. атмосфера

Очаг извержения

Фиг. 4.1 Схема течения магмы в канале вулкана в процессе эксплозивного извержения

Процесс описывается одномерной нестационарной системой уравнений. Сделаны следующие упрощающие допущения: кристаллизацией и фильтрацией газа через магму можно пренебречь из-за малости времени процесса эксплозивного извержения; течение изотермическое из-за большой теплоемкости частиц и интенсивного теплообмена с газовой фазой; частицы мелкие, так что их скоростью относительно газа можно пренебречь по сравнению со скоростью потока. Рассматриваются два предельных случая массообмена между растворенным газом и пузырьками - его отсутствие или равновесный массообмен. Первый случай соответствует малому коэффициенту диффузии, так что за характерное время процесса подтоком газа к пузырькам можно пренебречь. Во втором случае диффузия столь эффективна, что любое пресыщение магмы растворенным газом мгновенно переходит в пузырьки.

Сделаем оценки диапазонов применимости этих приближений. В работе [2] скорость волны фрагментации в магме VF была изменена экспериментально. Диапазон значений составил от десятков до сотен м/с. Передний фронт волны разрежения распространяется по смеси со скоростью

1 /О звука, С-(dp/dp) , которая находится в диапазоне от 100 до нескольких сотен м/с в зависимости от объемной доли пузырьков. Поэтому для размера области между волной разрежения и волной фрагментации, в которой происходит подток массы к пузырьку справедливо выражение Lf= (•C~VF)t, а для характерного времени фрагментации - tF=LF/(VF+ V), где V средняя скорость нераздробившейся магмы в этой области. Для определения интенсивности массообмена время tF необходимо сравнить с характерным временем диффузии tD~hs2/D (где hs - толщина жидкой пленки вокруг растущего пузырька, a D - коэффициент диффузии). Отношение этих времен приводит к безразмерному параметру PeD=h2(VF+V)/DLF, который определяет степень неравновесности массообмена, так что при Регр-> 1 массообменом можно пренебречь, а при Реи« 1 массообмен равновесный. Толщина жидкой пленки может быть выражена через объемную долю пузырьков а и количество пузырьков в единице объема N в виде: hs=(3/4 7cN) 1,3 (1-а!/3).

Приложим наши оценки к двум случаям, первому, когда волна фрагментации распространяется по неразрушенной магме, и второму, когда фрагментация магмы прекратилась. В первом случае скоростью подъема магмы можно пренебречь по сравнению со скоростью волны разрежения (Vf»V), тогда PeD= hs(D (C/Vp-Щ-1. Величина N находится в пределах 10 -10й м"3 [52], а объемная доля пузырьков при фрагментации составляет от 0.3 до 0.6 [46]. Сделаем оценку для времени, при котором массообмен можно считать равновесным. Для набора параметров (iV=1014 m"3, D=10"u m2 s"1, a=0.6 и C/VF= 1.5) условие PeD < 0.1 требует времен более t > 40 с, при других параметров это время еще больше. Эта оценка показывает, что на начальном этапе фрагментации магмы массообмен существенно неравновесный. Если же характерное время эксплозивного извержения много больше, чем время установления равновесного массообмена, то это предположение применимо для описание динамики извержения.

Во втором случае, если фрагментация магмы прекратилась, или извержение вышло на стационарный режим PeD=hs2V/(DCt). Средняя скорость смеси может быть оценена из уравнения Пуазейля для движения вязкой жидкости в трубе: V= Apd2/32jllLf, где Ар - перепад давления в волне разрежения, , d - диаметр канала вулкана, /л - вязкость магмы. После подстановки выражений V и hs имеем: Ре и= (3/4 TiN)2/3 (1- a1'3)2 Apd2/32 pD (Ct)2. При оттоке растворенного газа из магмы ее вязкость увеличивается, а коэффициент диффузии уменьшается, так что произведение juD остается примерно постоянным. Типичные значения для fjD ~ 10"4 Н для //= 107 Па с и

11 2

D=10' м /с для магмы вулкана типа Суфриер Хиллз при температуре 850 °С, содержащего 5 % по массе растворенной воды [4]. Верхняя оценка для PeD при 7V=1010 м"3 и а = 0.3 дает PeD= 11.7/t2. Следовательно массообмен становится равновесным при t >10 с. Нижняя оценка для PeD (jV=1014 м"3 nd а 0.6) показывает, что равновесность массообмена достигается при t > 0.23 с. Таким образом массообмен становится равновесным достаточно быстро после того, как процесс фрагментации магмы прекращается. Учет конечности коэффициента диффузии требует решения уравнения диффузии в окрестности растущего пузырька, что делает задачу существенно двумерной.

Система уравнений, описывающая течение в канале, в приведенных выше предположениях имеет общий вид как для пузырьковой жидкости, так и для газовзвеси:

Ф,+ Ф/ =о, dt дх dt дх dpV ( д(рУ2+я)^ f [ 32цУ dt d х da тг da а ( \

Р, = riRTа

4 тс а3п. дп dnV л +-= 0, dt дх а,Ь,с) Ф e) f)

4.1)

Здесь а - радиус пузырька, pt - давление в конденсированной фазе. Уравнение (е) получается из уравнения Рэлея-Ламба без учета инерционных членов [81]. Фрагментация магмы происходит в волне дробления, перед которой избыточное давление в растущем пузырьке достигает критического значения [81]. После фрагментации сила сопротивления канала определяется турбулентным движением газовой фазы, при этом ее вклад в уравнение импульса пренебрежимо мал. Уравнение Рэлея-Ламба с учетом уравнений неразрывности и сохранения числа пузырьков может быть приведено к виду: где коэффициент rj, порядка единицы, зависит от интенсивности массообмена между расплавом и пузырьками. Таким образом фрагментация происходит, когда произведение вязкости расплава на градиент скорости превышает критическое значение Др*, определяемое прочностью магмы на разрыв. Экспериментальные исследования [41] показали, что в зависимости от объемной концентрации кристаллов значение Ар* меняется в пределах от 10 до более чем 50 атмосфер.

При отсутствии массообмена выражения для плотностей конденсированной фазы pi и газовой фазы pg могут быть записаны в виде

При равновесном массообмене плотность смеси р = pi + pg выражается через давление в газовой фазе pg, и система (4.1) приводится к системе уравнений изотермической газовой динамики со сложным уравнением состояния pg(p), получающимся при интегрировании уравнений неразрывности:

4.39)

4.3)

Ря р°аа + ря(1^а){1-р)с = рт(\-р)сй pg0

Pi (1 -a){pcp + pm(\-p)(\-c)) pJ + pm{\-(3)(\-c,) Pm p = (l-a)((l-P)pm+Ppc) + apl-, c = k^pl=b.

В качестве начальных условий используется стационарное решение системы задачи о подъеме магмы в канале при росте лавового купола без учета кристаллизации, а для равновесного случая - также и без учета фильтрации (см. фиг. 4.2). Граничные условия в очаге - задание постоянного давление и других параметров, характеризующих магму. На выходе из канала, если поток сверхзвуковой, условия не выставляются, в противном случае либо задается давление, равное атмосферному, либо, если оно выше атмосферного, скорость полагается равной скорости звука. Подобные граничные условия позволяют исключить рассмотрение внешней задачи течения струи в атмосфере и обеспечивают плавный переход от сверхзвукового течения к дозвуковому. величин очень велики. Перечисленные выше особенности течения предъявляют повышенные требования к численному методу решения.

Были испробованы различные методы решения (метод крупных частиц [85] и метод Лакса-Вендроффа со сглаживанием решения [58], однако удовлетворительная устойчивость и точность решения была достигнута только для небольших перепадов давления на выходе из канала вулкана и при использовании критической объемной концентрации в качестве критерия фрагментации. Итоговым выбором стала схема с разделением потоков в варианте [17]. Кратко опишем идею численного метода. Система (4.1) может быть приведена к виду: u+~f(u) = — у/—u + G(u); u = ot ox ox ox f pv ' а ; f(u) = ccV

P + Pv2,

4.4)

Член со вторыми производными возникает при подстановке давления в газовой фазе вместо давления в жидкости в (4.Id) пользуясь (4.2). Рассмотрим способ нахождения потоков в системе (4.4). Положим \|/ и G(u) равным нулю. Значение зависимых переменных и определяются в центрах ячеек расчетной сетки, и/ и иг представляют собой их значения на левой и правой границах ячейки. При этом характеристические переменные и потоки на границах в виде:

F(u,)-u;; ^=l"(ol).f(nI); <=1'КК; df=I'(ur).f(ur) Индекс р= 1,2, ., т, где т порядок системы уравнений, 1р (ui), lp(ur), нормализованные левые собственные вектора матрицы якобиана A(uj), A(ur)

A(u) = %,). Пусть Л](и,), ., Am(u/) and ., Am(ur) их соответствующие собственные значения. Тогда алгоритм вычисления потоков следующий:

Для каждого к = 1,т,

Если Ajt(u) не меняет знак на интервале [u/( ur], то Если /t*(u/) > 0 то

Ф+к = 4>i\ Ф^ - о

Если А,к{U/) < 0 то ф+ = 0; ф.к = фгк

Если Л*(и) меняет знак на интервале [u/; ur], то ф+к = ф!=0.5(фк-(/й)к) где а* = max(|X,k(u)|)

Формула для потока запишется следующим образом: т

Н^г)=Т{ф:ГрМ+фрг"{Мг)) Р=1

Здесь rp(u/), rp(ur) правые нормализованные собственные вектора матрицы якобиана A(u{), A(ur).

Для определения независимых величин используется формула:

Формула (4.5)получена без учета правых частей уравнения импульса (силы тяжести,-^у/^ и силы сопротивления). Поскольку вязкость магмы сильно меняется с высотой, то члены пропорциональные вязкости требуют отдельного рассмотрения. Предложено следующее разделение уравнений. На первом шаге определяются предварительные значения uj без учета вязких членов, но с учетом силы тяжести. На втором этапе из аппроксимации уравнения импульса записывается трехточечное неявное уравнение для скорости смеси, причем коэффициенты при соответствующих значениях скорости вычисляются по предварительному решению. Уравнение для скорости решается методом прогонки.

Система уравнений решается на сетке с постоянным шагом, условие Куранта-Фридрихса служит для определения шага по времени. Метод решения был опробован на аналитическом решении о распаде произвольного разрыва для совершенного газа (без учета вязких сил и силы тяжести). Отклонение посчитанного решения от точного составило 2% на 500 расчетных точках. Для расчетов процесса извержения использовалась сетка с 2500 точками. Расчет полной задачи с 500 точками давал 5% отклонение по величине вычисленного расхода газовзвеси на поверхности и 15 % ошибку в вычислении положения волны дробления. Разница между результатами расчетов с 2500 и 5000 точек.пренебрежимо мала.

§ 4.3 Результаты расчетов

На рис. 4.3 приведены рассчитанные профили расхода, объемной доли пузырьков и давления вдоль канала вулкана (началу канала соответствует х = 0) для случая равновесного массообмена и критической объемной концентрации пузырьков (а) в качестве критерия фрагментации. Поскольку в этом случае давление однозначно определяется величиной а, фрагментация происходит при постоянном давлении. Поскольку градиент давления в неразрушенной магме перед фрагментацией велик за счет действия силы сопротивления канала вулкана, после разрушения магмы (вязкость остановке процесса фрагментации (критерий фрагментации перестает выполняться). В область газовзвеси при этом распространяется волна разрежения (фиг.4.5). При остановке волны дробления давление в разрушенной газовзвеси падает, что приводит к падению давления в нераздробившейся магме. При этом ее вязкость увеличивается за счет оттока

1 /О растворенного газа (с ~ р ), давление в пузырьках не успевает отслеживать изменение давления в жидкости, и перепад давлений снова достигает критического значения. Происходит новая фрагментация, в результате которой вещество впрыскивается в зону газовзвеси, вверх по каналу распространяется волна сжатия, что вызывает увеличение расхода на выходе из канала вулкана. Этот процесс повторяется, и волна дробления практически достигает кромки очага.

Если фрагментация происходит за счет достижения пузырьками плотной упаковки, подобного явления не наблюдается, поскольку разрушение магмы происходит при постоянном давлении, а, следовательно, при постоянной вязкости.

§ 4.4 Сравнение с данными полевых наблюдений вулкана Суфриер Хиллз

Эксплозивные извержения на вулкане Суфриер Хиллз представлены двумя эпизодами. Плинианским извержением 17 сентября 1996 г. продолжительностью около 40 минут [60] и серией короткоживущих вулканических извержений с продолжительностью порядка 1 минуты в августе и октябре 1997 г. [20]. Расчеты по нестационарной модели показывают хорошее количественное соответствие с этими данными по продолжительности извержения, максимальному расходу и скорости потока, полученными из анализа кинограмм извержений. Модель с равновесным массообменом воспроизводит характеристики плинианского извержения, модель при отсутствии массообмена - кратковременные вулканически взрывы. В таблице 4.1 приведено сравнение результатов расчетов с наблюдениями.

Равновесный массообмен

Параметр Расчет Наблюдения

Продолжительность 32 -67 мин 40 мин

Максимальная скорость 275-280 м/с 180-230 м/с

Глубина опустошения канала 3500-5000 м 4500 м

Масса извергнутого материала 1.7-5.2 109 кг 3.5 109 кг

При отсутствии массообмена.

Параметр Расчет Наблюдения

Продолжительность 100 -600 с 60-300 с

Максимальная скорость 118-142 м/с 120-130 м/с

Глубина опустошения канала 200-1400 м 200-1000 м

Объем материала 105-1.2 106 м3 2 105- 106 м3

Заключение

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Построены гидродинамические модели течения магмы в канале вулкана для различных режимов извержения.

2. Развита теория течений многофазных сред для описания нового класса течений среды с аномальными свойствами: аномальной большой вязкостью, сложными физико-химическими превращениями, большими перепадами давлений.

3. Предложен механизм фрагментации сильновязких пузырьковых жидкостей за счет набора* избыточного давления в растущих пузырьках. Для описания этого процесса введен новый тип разрыва -волна дробления.

4. Решены стационарные краевые и нестационарные задачи определения расхода магмы при заданных параметрах в очаге и на выходе из канала вулкана.

5. Показано, что при определенных условиях решения стационарных задач могут быть неединственными, что может приводить к скачкообразному изменению расхода магмы при плавном изменении параметров системы. Вскрыты механизмы, отвечающие за подобную неединственность решения.

6. Исследованы переходные процессы между стационарными режимами, показана возможность циклических колебаний расхода магмы во времени, наблюдаемая на многих извержениях.

7. Исследовано влияние определяющих параметров на динамику извержения. Для конкретных вулканических извержений сделаны оценки параметров вулканических систем, не поддающихся непосредственному измерению.

8. В результате параметрического исследования впервые даны объяснения ряду наблюдаемых явлений, включая: механизм переходов между эксплозивными и экструзивными режимами извержения, причину приповерхностных землетрясений и деформаций земной поверхности при экструзивных извержениях, циклический характер извержений.

9. Оценены параметры вулканических взрывов, возникающих за счет обрушения лавового купола. Показано сильное влияние интенсивности массообмена и механизма фрагментации на динамику потока на выходе из канала.

10. Созданы программные продукты, которые в настоящее время используются для анализа динамики конкретных вулканических извержений.

1. М.А. Alidibirov, Physical nature and mechanism of volcanic explosions. Abstract of thesis in Russian., Institute of Volcanology DVO, Russian Academy of Sciences, Petropavlovsk-Kamchatskii, 1988.

2. M.A. Alidibirov, D.B. Dingwell, Magma fragmentation by rapid decompression. Nature, 1996, v. 380, p. 146-148.

3. N.J. Balmforth, A.S. Burbidge, R.V. Craster, J. Salzig, A. Shen, Viscoplastic models of isothermal lava domes. Journal of Fluid Mechanics, 2000, v. 403, p. 37-65.

4. J. Barclay, M.R. Carroll, et al., Experimental phase equilibria: constraints on pre-eruptive storage conditions of the Soufriere Hills magma. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3437-3440.

5. A. Barmin, O. Melnik, R.S.J. Sparks, Periodic behaviour in lava dome eruptions. Earth and Planetary Science Letters, 2002, v. 199, p. 173-184.

6. M. Bursik, S. Carey, R.S.J. Sparks, A gravity current model for the May 18, 1980 Mount St. Helens plume. Geophysical Research Letters, 1992, v. 19, p. 1663-1666.

7. S.N. Carey, J. Gardner, H. Sigurdsson, W. Criswell, Variations in column height and magma discharge during the May 18, 1980 eruption of Mount St. Helens. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 1990, v. 43, p. 99-112.

8. К. Cashman, J. Blundy, Degassing and crystallization of ascending andesite and dacite, in Causes and consequences of eruptions of andesite volcanoes, P. Francis, J. Neuberg, and R.S.J. Sparks, Editors. 2000, Royal Society, p. 1487-1513.

9. K.V. Cashman, Groundmass Crystallization of Mount St Helens Dacite, 1980-1986 a Tool For Interpreting Shallow Magmatic Processes. Contributions to Mineralogy and Petrology, 1992, v. 109, 4, p. 431-449.

10. P.C. Cole, E.S. Calder, et al., Pyroclastic flows generated by the eruption of the Soufriere Hills Volcano, Montserrat. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3425-3428.

11. S. Couch, R.S.J. Sparks, C.M. R.,, Mineral disequilibrium in lavas explained by convective self-mixing in open magma chambers. Nature, 2001, v. 411, p. 1037-1039.

12. J.D. Devine, M.J. Rutherford, J.C. Gardner, Petrologic determination of ascent rates for the 1995-1997 Soufriere Hills Volcano andesite magma. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3673-3676.

13. D.B. Dingwell, S.L. Webb, Relaxation in silicate melts. European Journal of Mineralogy, 1990, v. 2, p. 427-449.

14. J.C. Eichelberger, C.R. Carrigan, H.R. Westrich, R.H. Price, Non-explosive silicic volcanism. Nature, 1986, v. 323, p. 598-602.

15. S. Ergun, Fluid flow through packed columns. Chemical Engineering Progress, 1952, v. 48, p. 89-104.

16. J.H. Fink, S.W. Anderson, C.R. Manley, Textural constraints on effusive silicic volcanism. Journal of Geophysical Research, 1992, v. 97, p. 90739083.

17. J.H. Fink, N.T. Bridges, Effects of eruption history and cooling rate on lava dome growth. Bulletin of Volcanology, 1995, v. 57, 4, p. 229.

18. J.H. Fink, R.W. Griffiths, Morphology, eruption rates, and theology of lava domes: Insights from laboratory models. Journal of Geophysical Research, 1998, v. 103, В1, p. 527-545.

19. R.W. Griffiths, J.H. Fink, Effects of surface cooling on the spreading of lava flows and domes. Journal of Fluid Mechanics, 1993, v. 252, p. 667.

20. R.W. Griffiths, J.H. Fink, Solidifying Bingham extrusions: a model for the growth of silicic lava domes. Journal of Fluid Mechanics, 1997, v. 347, p. 13-36.

21. J.E. Hammer, M. Manga, K.V. Cashman, Nonequilibrium and unsteady fluid degassing during slow decompression. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, 24, p. 4565-4568.

22. A.J.L. Harris, W.I. Rose, L.P. Flynn, Temporal trends in Lava Dome extrusion at Santiaguito, 1922-2000. Bulletin of Volcanology, 2002, v. in review.

23. K.U. Hess, D.B. Dingwell, Viscosities of hydrous leucogranite melts: a non-Arrhenian model. American Mineralogist, 1996, v. 81, p. 1297-1300.

24. M. Hort, Abrupt change in magma liquidus temperature because of volatile loss or magma mixing: effects of Nucleation, crystal growth and thermal history of the magma. Journal of petrology, 1998, v. 39, p. 1063-1076.

25. H.E. Huppert, J.B. Shepherd, H. Sigardsson, R.S.J. Sparks, On lava dome growth. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 1982, v. 14, p. 199-222.

26. S. Hurwitz, O. Navon, Bubble nucleation in rhyolitic melts: experiments at high pressure, temperature and water content. Earth Planetary Science Letters, 1994, v. 122, p. 267-280.

27. P. Jackson, J.B. Shepherd, R.E.A. Robertson, G. Skerrit, Ground deformation studies at the Soufriere Hills Volcano, Montserrat I: Electronic distance meter studies. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 34093412.

28. C. Jaupart, Gas loss from magmas through conduit walls during eruption. In "The Physics of Explosive Volcanic Eruptions." Geological Society of London Special Publication, 1998, v. 145, p. 73-90.

29. С. Klug, K.V. Cashman, Permeability development in vesiculating magmas: implications for fragmentation. Bulletin of Volcanology,, 1996, v. 58, p. 87100.

30. A.M. Lejeune, P. Richet, Rheology of crystal-bearing melts: an experimental study at high viscosities. Journal of Geophysical Research, 1995, v. 100, p. 4215-4229.

31. I. Maeda, Non-linear visco-elastic volcanic model and its application to the recent eruption of Mt. Unzen. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 2000, v. 95, p. 35-47.

32. B.D. Marsh, On the interpretation of crystal size distributions in magmatic systems. Journal of Petrology, 1998, v. 39, 4, p. 553-599.

33. C. Martel, D.B. Dingwell, O. Spieler, M. Pichavant, M. Wilke, Experimental fragmentation of crystal- and vesicle-bearing silicic melts. Bulletin of Volcanology, 2001, v. 63, p. 398-405.

34. O. Melnik, Dynamics of two-phase conduit flow of high-viscosity gas-saturated magma: large variations of sustained explosive eruption intensity. Bulletin of Volcanology, 2000, v. 62, 3, p. 153-170.

35. O. Melnik, R.S.J. Sparks, Modelling of conduit flow dynamics duringexplosive activity at Soufriere Hills Volcano, Montserrat, in The eruption of185

36. Soufriere Hills Volcano, Montserrat, from 1995 to 1999, Т.Н. Druitt and B.P. Kokelaar, Editors. 2001b, Geological Society, London, Memoir.

37. O.E. Melnik, Volcanology: Fragmenting magma. Nature, 1999, v. 397, p. 394-395.

38. O.E. Melnik, Dynamics of two- phase conduit flow of high-viscosity gas-saturated magma: Large variations of Sustained Explosive eruption intensity. Bulletin of Volcanology, 2000, v. 62, p. 153-170.

39. O.E. Melnik, R.S.J. Sparks, Non-linear dynamics of lava dome extrusion. Nature, 1999, v. 402, p. 37-41.

40. M.D. Murphy, R.S.J. Sparks, et al., The role of magma mixing in triggering the current eruption at the Soufriere Hills Volcano, Montserrat, West Indies. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3433-3436.

41. S. Nakada, Y. Motomura, Petrology of the 1991-1995 eruption at Unzen: effusion pulsation and groundmass crystallization. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 1999, v. 89, 1-4, p. 173-196.

42. K. Nakamura, C.E. Capes, Vertical pneumatic conveying of binary particle mixtures, in Fluidization technology, D.L. Keairns, Editor. 1976, Hemisphere: Washington D.C. p. 159-184.

43. О. Navon, V. Lyakhovski, Vesiculation processes in silisic magmas, in Physics of explosive eruptions, J.S. Gilbert and R.S.J. Sparks, Editors. 1998, The Geological Society: London, p. 27-50.

44. A. Neri, G. Macedonio, Numerical simulation of collapsing volcanic columns with particles of two sizes. Journal of Geophysical Research-Solid Earth, 1996, v. 101, B4, p. 8153-8174.

45. G.E. Norton, G.E. Young, et al., Residual Activity at the Soufriere Hills Volcano Montserrat: March 1998 November 1999. EOS, Transactions of the American Geophysical Union, 2001, v. 81, p. F1333.

46. J.S. Pallister, R.P. Hoblitt, D.R. Crandell, D.R. Mullineaux, Mount St Helens a decade after the 1980 eruptions magmatic models, chemical-cycles, and a revised hazards assessment. Bulletin of volcanology, 1992, v. 54, p. 126-146.

47. P. Papale, Strain-induced magma fragmentation in explosive eruptions. Nature, 1999, v. 397, p. 425-428.

48. A.A. Proussevitch, D.L. Sahagian, A.T. Anderson, Dynamics of diffusive bubble growth in magmas: isothermal case. Journal of Geophysical Research, 1993, v. 98, p. 22283-22308.

49. I.J. Ramos, One-dimensional, time-dependent, homogeneous, 2-phase flow in volcanic conduits . International journal for numerical methods in fluids, 1995, v. 21, p. 253-278.

50. C.N.R. Rao, K.J. Rao, Phase transition in solids. 1978, New York: McGraw-Hill.

51. R.E.A. Robertson, P. Cole, et al., The explosive eruption of Soufriere Hills Volcano, Montserrat 17 September, 1996. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3429-3432.

52. R. Roscoe, The viscosity of suspensions of rigid spheres. Br. Journal of Applied Physics, 1952, v. 3, p. 267-269.

53. W.I. Rose, Pattern and mechanism of volcanic activity at the Santiaguito volcanic dome, Guatemala. Bulletin of Volcanology, 1972, v. 36, p. 73-94.

54. W.I. Rose, Pattern and mechanism of volcanic activity at Santiaguito Volcanic dome, Guatemala. Bulletin of Volcanology,, 1973, v. 37, p. 73-94.

55. W.I. Rose, Volcanic activity at Santiaguito volcano, 1976-1984. Geol Soc Am, 1987, v. 212, p. 17-27.

56. M.O. Saar, M. Manga, K.V. Cashman, S. Fremouw, Numerical models of the onset of yield strength in crystal-melt suspensions. Earth and Planetary Science Letters, 2001, v. 187, p. 367-379.

57. J. Shepherd, R.A. Herd, P. Jackson, R. Watts, Ground deformation measurements at the Soufriere Hills Volcano, Montserrat, 2, Rapid static GPS measurements, June 1996-June 1997. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3413-3416.

58. A.G. Simakin, P. Armienti, M.B. Epelbaum, Coupled degassing and crystallization: experimental study at continuous pressure drop, with application to volcanic bombs. Bulletin of Volcanology, 1999, v. 61, 5, p. 275-287.

59. R.S.J. Sparks, The dynamics of bubble formation and growth in magmas a review and analysis. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 1978, v. 3, p. 1-37.

60. R.S.J. Sparks, S.R. Young, et al., Magma production and growth of the lava dome of the Soufriere Hills volcano, Montserrat: November 1995 to December 1997. Geophysical Research Letters, 1998, v. 25, p. 3421-3424.

61. F. Spera, A. Borgia, J. Strimple, Rheology of melts and magmatic suspensions 1. design and calibration of concentric cylinder viscometer with application to rhyolitic magma. Journal of Geophysical Research, 1988, v. 93, p. 10273-10294.

62. D.A. Swanson, R.T. Holcomb, Regularities in growth of the Mount St. Helens dacite dome 1980-1986, in Lava flows and domes; emplacement mechanisms and hazard implications, J.H. Fink, Editor. 1990, Springer Verlag: Berlin, p. 3-24.

63. G. Valentine, K.H. Wohletz, Numerical models of plinian eruption columns and pyroclastic flows. Journal of Geophysical Research, 1989, v. 94, p. 1867-1887.

64. В. Voight, R.S J. Sparks, et al., Magma flow instability and cyclic activity at Soufriere Hills Volcano, Montserrat. B.W.I. Science,, 1999, v. 283, p. 11381142.

65. S.L. Webb, D.B. Dingwell, NonNewtonian rheology of igneous melts at high stress and strain rates: experimental results for rhyolite, andesite, basalt and nephelinite. Journal of Geophysical Research, 1990, v. 95, p. 1569515701.

66. L. Wilson, Relationships between pressure, volatile content and ejecta velocity in three types of volcanic explosion. Journal of Volcanology and Geothermal Research, 1980, v. 8, p. 297-313.

67. L. Wilson, R.S.J. Sparks, G.P.L. Walker, Explosive volcanic eruptions-IV. The control of magma properties and conduit geometry on eruption column behaviour. Geophysical Journal of the Royal Astronomy Society, 1980, v. 63, p. 117-148.

68. A.W. Woods, T. Koyaguchi, Transitions between explosive and effusive eruption of silicic magmas. Nature, 1994, v. 370, p. 641-645.

69. A.W. Woods, T. Koyaguchi, Transitions between explosive and effusive volcanic eruptions. Nature, 1994, v. 370, p. 641-644.

70. A.A. Бармин, О.Э. Мельник, Течение загазованной магмы в канале вулкана. Изв. РАН, сер. МЖГ, 1990, №. 5, с. 35-43.

71. А.А. Бармин, О.Э. Мельник, Об особенностях динамики извержения сильновязких газонасыщенных магм. Известия РАН, серия МЖГ, 1993, №. 2, с. 49-60.

72. А.А. Бармин, О.Э. Мельник, Моделирование нестационарных процессов при вулканическом извержениях сильновязких газонасыщенных магм. Вестник Московского Университета. Сер. 1 Математика и Механика, 1996, № 4, с. 91-98.

73. А.А. Бармин, О.Э. Мельник, Математическое моделирование процесса извержения вулкана в случае загазованных магм. Вестник РАЕН, Секция Физика, 1999, №. 5, с. 78-90.

74. А.А. Бармин, О.Э. Мельник, Гидродинамика вулканических извержений. Успехи механики, 2002, № 1, с.32-60.

75. О.М. Белоцерковский, М. Давыдов, Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. 1982: М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 392 с.

76. А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А. Семенов, Математические вопросы, численного решения гиперболических систем уравнений. 2001: М.Физматлит, 607 с.

77. Е.Б. Лебедев, Н.И. Хитаров, Физические свойства магматического расплава. 1979, Москва: Наука., 152 с.

78. Л.Г. Лойцянский Механика жидкости и газа. 1973, Москва: Наука, 847с

79. О.Э. Мельник, Моделирование переходных процессов при вулканических извержениях сильновязких газонасыщенных магм. Изв. РАН, сер. МЖГ, 1996, №. 4, с. 78-85.

80. О.Э. Мельник, Нестационарная модель динамики вулканического извержения с учетом кристаллизации и фильтрации газа через магму. Доклады Академии Наук, 2001, том. 377, № 5, с 629-633.

81. Р.И. Нигмагулин, Механика многофазных сред. 1992, Москва: Наука. 464 с.

82. Э.С. Персиков, Вязкость магматических расплавов. 1984: М.: Наука, 159 с.

83. Ю.Б. Слезин, Динамика дисперсионного режима вулканических извержений: 1. Теоретическое описание движения магмы в канале вулкана. Вулканология и Сейсмология, 1983, № 5, с. 9-17.

84. Ю.Б. Слезин, Динамика дисперсионного режима вулканических извержений: 2. Условие неустойчивости расхода и природа катастрофических эксплозивных извержений. Вулканология и Сейсмология, 1984, № 1, с. 23-35.

85. Ю.Б. Слезин, Изменение расхода вещества в процессе крупного эксплозивного извержения. Вулканология и Сейсмология, 1991, № 1, р. 35-45.

86. Ю.Б. Слезин, Механизм вулканических извержений (стационарная модель). 1998: Ин-т вулканологической геологии и геохимии М.: Науч. мир. 127 с.

87. С.А. Христьянович, Свободное течение грунтовых масс, вызванное расширением содержащегося в порах газа высокого давления. Волна дробления. 1979, ИПМ АН СССР: Москва. 62 с.