Теория расширений и спектральный анализ модельных задач резонансного рассеивания тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ I. Модель диссшштжвного оператора о одномерным дефектом несамосопряженности.

§2. Спектральный анализ унитарных возмущений сжатий.

§ 3. Асимптотика функции Грина задачи Неймана вблизи точки границы.

§ 4. О рассеянии на.долом резонаторе с малым отверстием

§ 5. Модель свободных электронов и задача рассеяния.

§ 6. Построение самосопряженной дилатации для задачи с импедансным граничным условием.

Советские математики Дцамян и Аров [8] обнаружили фунда ментальный факт, устанавливающий связь меаду теорией резонансного рассеяния Лакса-Филлипса и развитой Надем и Фойашем [9] примерно в то же время (1962-1966г.г.) теорией абстрактных диссипативннх операторов. Этот факт состоит в совпа.цении характеристической функции диосипативного оператора с матрицей рассеяния самосопряженной задачи и означает, что в абстрактной части обе указанные теории изоморфны.Однако в части спектрального анализа конкретных диссипативных операторов, возникащих в задачах резонансного рассеяния, продвижения до сих пор незначительны. Так, о спектре резонаноов акустической задачи лишь известно, что при звезднш препятствии каждая полоса в нижней полуплоскости, параллельная вещественной оси, содержит лишь конечное число резонансов, и по крайней мере на отрицательной мнимой оси они имеются в счвтн(Я1 числе. Шеются лишь гипотезы, касащиеся области, где расположены резонансы: (В.М.Бабич, В.С.Буслаев). Нет никакой информации об оценке роста кратности акустических резонансов, не доказаны соответствующие теоремы разложения и не изучена полнота.Одвой из самых интересных задач является исследование акустических резонаноов для области типа ловушки. Арсеньев [ю] - 7 доказал, что при замыкании ловзгшки происходит "спектральная" концентрация разложения единицы в окрестности собственных чисел предельной "внутренней" за,цачи. Это означает, что некоторые резонансы приблшсаются при замыкании ловушки к собственным числам внутренней задачи. В таком виде этот $акт был доказан Еетрасом [II] . Однако ему не удалось дать эффективных количественных оценок времени жизни резонансов и отклонения резонансных состояний от собственных фуншщй. По-вщимовау, в общем случае эти задачи очень трудны.В целом трудность рассмотренных к настоящему моменту трехмерных задач резонансного рассеяния столь значительна, что ни в одной из них не удалось выполнить полного спектрального анализа. Хорошо изучены лишь одномерные задачи (см., например, Павлов [l2] ). Поэтому большой интерес представляют различные модельные задачи резонансного рассеяния, в которых возможен детальный спектральный анализ. В первую очередь, это те задачи, в которых возможно вычисление в явном вцце матрицы рассеяния характеристической функции дисоипативного оператора, описывающего состояние "внутренней" части рассматриваемой динамической системы.В предлагаемой работе методом теории расширений построены несколько моделей резонансного рассеяния: абстрактная модель, допускавшая наличие как дискретного, так и нецрерывного спектра резонансов (§ 2); модель резонатора о малым отверстием (§ 4); модель молекулы, являющаяся модификацией, с целью учета эффектов рассеяния, некогда популярной модели свобо.цных электронов (§ 5). В каадой из этих моделей удается явно вычислить' - 8 соответствущую матрицу рассеяния и проследить за движением ее корней (резонансов) при изменении параметров модели. Удается также оценить времена жизни резонансов к скорость приближения резонансншс состояний к собственным ф|ункцшш внутренней задачи. Наконец, в последнем параграфе (§ 6) проанализирована задача с импедансным граничным условием в ограниченной области и показано, что она также допускает трактовку в терминах резонансного рассеяния.Диссертация состоит из шести пара1^афов.В первом параграфе, носящем вспомогательный характер, описывается функциональная модель диосипативного оператора, который лишь одномерным отличается от самосопряженного. Здесь, опираясь на известные результаты Адамяна-Арова [в] (Теорема I.I) и теорему разложения для диосипативных операторов Павлова [ 13] (Теорема 1.3) мы готовим базу для осуществления спектрального анализа конкретных дифференциальных операторов, изучаемых в основном тексте работы. Главным вспомогательным результатом, который будет использоваться в дальнейшем, является несложная (в нашем случае) Теорема 1.4, сводящая разыскание характеристичеокЕК функций рассматриваемых в §§ 3, 4, 5 операторов к вычислению асимптотики на бесконечности во "внешнем" пространстве так навиваемых рассеянных волн - собственных функций абсолютно непрерывного спектра соответствущих самосопряженных операторов. Эта теорема, в сущности, сводит спектральный анаЛИЗ диссипа^гавного оператора к построению решений coorBeTCTJ^Dщей самосопрякенной задачи рассеяния. Затем уже, на основании Теоремы 1.3, могут быть посгроенн собственные функции абсолют- 9 но непрерывного спектра соответстврщего диссипативного оператора.Здесь же, кроме того, показано, как трансформируется спектральные свойства оператора Ту в случав, когда возмущение стремится к нулю. Шенно, справедлива ТЕОРЕМА 2.6. При размыкании канала связи собственные функции абсолютно непрерывного спектра сжатий Ту стремятся в слабом смысле (как функционалы на и ) к собственным функциям унитарного оператора U .Описанную в § 2 схему можно использовать следущим образом.Далее, в § 4 определяются резонансы акустического уравнения в , связанного с каким-либо из операторов А , входящих в число построенных расширений. Действуя в духе теории рассеяния Лакоа-Филлипса, мы (Теорема 4.4) отроим матрицу рассеяния для оператора Л , Резонансы - собственные числа диссипативных операторов Б , отвечакщих в схеме Лакса-Филлипса задаче рассеяния для расшЕфения А , совпадают с корнями субоператора рассеяния 8д . Можно выписать в явном виде уравнение для разыскания резонансов и исследовать их поведение при размыкании канала связи между внутренней и внешней задачами. Шенно, справедлива ТЕОРЕМА 4.5. В кавдой конечной подобласти верхней полуплоскости резонансы при вяалых значениях параметра связи расположены в окрестности собственных частот >/ЛТ внутренней задачи и вблизи резонансов внешней задачи.В § 5 предлагается мо,ди|[Е1кацш1 модели свобо,дных электронов, в рамках которой можно описать взаимодействие молекулы о окружащей средой. Одва из самых простых моделей молекулы - модель свободных электронов - дается обыкновенным дифференциальным оператором X на графе Г , изображающем молекулу, с какими-плибо самосоцряженными условиями в центрах Хр - верши- 14 нах и згзлах зтрафа. Описанная модель привлекательна тем, что позволяет просто вычислить энергетические зфовни молекулы (см. [14] ). Дия того, чтобы молекула могла взаимодействовать с окружающей средой,^ поступим оледущим образом. Рассмотрим в

1. Regge Т. Analytic properties of the scattering matrix. -Nuovo Cimento, 1958, v.8, N 5, p.671-679 . (ПереВОД!об. перев. "Математика", т.7, Л 4, 1963, с.165-177.)

2. Regge Т. Construction of potentials from resonsnee parameters. Nuovo Cimento, 1958, v. 9, N 3, p. 491-503.Перевод: сб. перев. "Математика", т.7, № 4, 1963, с.177-190.)

3. Коган Б.Л. 0 двукратной полноте системы собственных и присоединенных функций задачи Редже. Функциональный анализ и его приложения., 1971, т.5, вып.З, с.70-74.

4. Кравицкий А.О. 0 двукратном разложении в ряд по собственным и присоединенным функциям одной несамосопряженной задачи. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, № I, с.165-177.

5. Павлов B.C. Теория рассеяния и нефизический лист для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1970, т.193, с.36-39.

6. Зак М.В. Теорема разложения для трансляционно-инвариантного подцространства одномерного волнового уравнения. Вестник ЛГУ, т.19, сер. матем., мех., астр., Jfe 4, 1969, с.25-34.

7. Лаке П., Филлипс P.C. Теория рассеяния. Мир, M., 1971, 310 с.

8. Адамян В.М., Аров 0.3. Об унитарных сцеплениях полуунитарных операторов. В сб.: "Математические исследования", —1966, T.I, вып.2, с.3-64.

9. С.Надь Б., Фонаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. Мир, M., 1970, 431 с.

10. Арсеньев A.A. Асимптотика спектральной функции уравнения Шредингера. Журнал вычисл. математики и матем. физики,1967, т.7, të 6, с.1298-1319.

11. Петрас C.B. О расщеплении серий резонансов при неограниченном росте барьера "ловушечного" типа. В сб.: "Проблемы математической физики", Изд.-во ЛГУ, 1976, № 8, с. 138-154.

12. Павлов Б. С. Теория дилатаций и спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов. В сб.: Труды 7-ой зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам. М., ЦШИ АН СССР, 1976, т.2, с.3-49.

13. Павлов Б.С. О разложении по собственным функциям непрерывного спектра диссипативного оператора. Вестник ЛГУ, 1975, сер. матем., мех., астр., вып.1, с.130-137.

14. Ребане Т.К. Простая модель для вращательного магнитного момента молекул.- Вестник ЛГУ, 1965, сер. физика, химия, вып.1-2, о.30-35.

15. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. Труды Моск. матем. общества, 1962, т.II, с.3-35.

16. Павлов Б.С. Функциональная модель и спектральные особенности. В сб.: Проблемы математической физики, изд-во ЛГУ, 1979, № 6, C.II3-I28.

17. Clark D. One dimensional perturbation of restrictedshifts.- J.Anal.Math., 1972, v.25, p.169-191.

18. Войтович H.H., Каценэленбаум Б.С, Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М., 1977, 381 с.

19. Ахиезер Н.И., Глазиан Й.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Т.П, Харьков, "Вшца школа", 1978, 288 с.

20. Попов И.Ю. О серийной структуре резонансов для рассеяния на потенциалах нулевого радиуса. В сб.: Проблемы математической физики, изд-во ЖУ, вып.10, 1982, с.241-252.

21. Ени В.М. Об устойчивости корневого числа аналитической оператор-функции и о возмущениях ее характеристических чисел и собственных векторов. ДАН СССР, 1967, т.176, № 6, с.1251-1254.

22. Lax P.D., Phillips R.S. Scattering theory for dissipative hyperbolic systems.- J.Functional Analysis, 1973, v.14, p.172-235.

23. Павлов B.C., Фадцеев М.Д. Построение самосопряженной дила-тации для задачи о импедансным граничным условием. В сб.: Зап.научн.оемин.ЛОМИ, т.73, Ленинград, Наука, 1977.

24. Павлов Б.С., Фадцеев М.Д. Спектральный анализ унитарных возмущений сжатий. В сб.: Зап.научн.оемин.ЛОМИ, т.115, Ленинград, Наука, 1982.

25. Павлов Б.С., Фадцеев М.Д. О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием. В сб.: Зап.научн.оемин.ЛОМИ, т.126, Ленинграц, Наука, 1983.

26. Павлов B.C., Фаддеев М.Д. Модель свободных электронов и задача рассеяния. Теоретическая и математическая физика, том 55, » 2, 1983.

27. Фаддеев М.Д. Асимптотика функции Грина вблизи границы.В сб.: Зап.научн.семин.ЛОМИ, т.131, Ленинград, Наука, 1983.