Теория ударно-волновых структур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005054034

На правах рукописи

МОСТОВЫХ Павел Сергеевич

ТЕОРИЯ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 НОЯ 2012

005054034

На правах рукописи

МОСТОВЫХ Павел Сергеевич

ТЕОРИЯ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

заслуженный деятель науки РФ УСКОВ Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ОМЕЛЬЧЕНКО Александр Владимирович (Санкт-Петербургский Академический университет — научно—образовательный центр нанотехнологий РАН, заведующий кафедрой математических и информационных технологий)

доктор физико-математических наук, профессор СОКОЛОВ Евгений Иванович (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, Центр перспективных исследований, начальник отдела вычислительной гидромеханики)

Ведущая организация: Научно-производственное объединение

"Специальные материалы"

Защита состоится Шї^'І 2012 , в К -сов „а заседа-

нии совета Д212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "2Ц-"

2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Проблема образования, распространения и взаимодействия изоэнтропических волн разрежения и сжатия, нормальных и тангенциальных разрывов, бегущих по покоящейся среде или по потоку газа, занимает важное место в газовой динамике. Эти волны и разрывы появляются при работе многих технических объектов (самолётов, ракет, насосов, артиллерийских орудий, торпедных аппаратов, электроклапанов и т.д.), протекании некоторых природных явлений (извержение вулканов, молнии). В последнее время особую актуальность приобретает задача об управлении силовым воздействием взрывной волны на различные разрушаемые технические объекты при случайных, аварийных или террористических взрывах, а также на живые организмы.

Известно, что степень тяжести фугасного воздействия взрыва на объект зависит от свойств ударно-волновых структур (УВС), которые образуются при отражении взрывной волны от поверхности и изменяются по мере ее распространения. В зависимости от исходных параметров, это может быть УВС регулярного или нерегулярного (Махов-ского) отражения. Исследования И.И. Гласса, Г. Бен-Дора, Л.Ф. Хен-дерсона, Х.Г. Хорнунга, Т.В. Баженовой и Л.Г. Гвоздевой, В.Г. Дулова, В.Н. Ускова и других авторов позволили экспериментально получить критерии перехода между различными видами УВС: регулярным отражением, простым Маховским отражением, представляющим собой тройную конфигурацию ударных волн, сложным Маховским отражением, двойным Маховским отражением, имеющим форму двух тройных конфигураций ударных волн, и т.д. Получить аналитические критерии перехода до сих пор не удалось.

Необходимым шагом на пути теоретического вывода указанных критериев является создание математических моделей всех УВС. В настоящее время построены модели для конфигураций регулярного и простого Маховского отражений в стационарных потоках газа и конфигураций, распространяющихся по покоящемуся газу, для случаев термодинамически совершенного газа и газа с известными энергиями активации колебательных степеней свободы и кратностями этих степеней. Необходимо обобщить их для газов, состояние которых описывается произвольным термодинамическим уравнением состояния. Следует рассмотреть также УВС, распространяющиеся по произволь-

но движущемуся потоку газа, каковыми являются, в частности, излом на отраженной ударной волне в сложном Маховском отражении и вторая тройная конфигурация в двойном Маховском отражении.

Для детального описания течения в окрестностях газодинамических разрывов (ГДР) требуется введение, помимо параметров потоков по сторонам разрывов, также дифференциальных характеристик течения. На основе этих характеристик течение в окрестности скачка уплотнения описывается с помощью изолиний давления, плотности, модуля и полярного угла вектора скорости.

Математические модели УВС, сформулированные для плоских течений и обобщенные на трехмерные, не могут быть применены к области фокусировки газодинамических разрывов вблизи оси симметрии в осесимметричном потоке или вблизи центра симметрии в сферически симметричном потоке. Поэтому важной проблемой исследования УВС является создание их моделей в потоках газа, обладающих осевой симметрией, вблизи оси симметрии.

Цель работы — построение математической модели тройной конфигурации стационарных ударных волн в газе с произвольными термодинамическими свойствами; построение математической модели тройной конфигурации бегущих ударных волн, распространяющейся по нестационарному потоку термодинамически совершенного газа в произвольном направлении; исследование дифференциальных характеристик скачков уплотнения и составленных из них тройных конфигураций; построение асимптотических решений для газодинамических параметров вблизи оси симметрии при фокусировке слабого газодинамического разрыва.

Научная новизна работы:

1. Представлено описание тройной конфигурации стационарных ударных волн в рамках модели термически совершенного, калориче-ски несовершенного газа. Проведено сопоставление полученных результатов с моделью термически и калорически совершенного газа.

2. Предложена математическая модель тройной конфигурации бегущих ударных волн, распространяющейся по потоку газа в произвольном направлении. В рамках этой модели проведена классификация конфигураций, определены интенсивности отраженной и главной бегущих ударных волн, числа Маха потоков за ними, скорости распространения отраженной ударной волны и контактного разрыва.

3. Построены и решены уравнения, связывающие дифференциальные характеристики течения по сторонам одиночного скачка уплотнения и в четырех областях, на которые тройная конфигурация скачков уплотнения делит поток, с кривизнами газодинамических разрывов. Исследованы условия, при которых имеет место неустойчивость конфигурации, то есть малым изменениям формы падающего скачка уплотнения соответствуют большие изменения в форме отраженного и главного скачков.

4. Построены уравнения для разностей первых производных газодинамических параметров па слабом разрыве в осесимметричном потоке. Получено асимптотическое решение в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии в стационарном осесимметричном потоке.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании уравнений газовой динамики, обеспечивается использованием точных аналитических соотношений, сопоставлением результатов в частных случаях с данными, ранее полученными другими авторами, контролируется сопоставлением с экспериментальными данными.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью использования полученных результатов для расчета сверхзвуковых течений со сложными УВС, в том числе случайных, аварийных или террористических взрывов в помещениях различной геометрии, сверхзвуковых газовых свободных и импактных струй и т.п.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на Четвертых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2006), Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения С.В.Валландера (Санкт-Петербург, 2008), XIV Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 2008), 18-м международном симпозиуме по взаимодействию ударных волн (Руан, 2008), 19-м международном симпозиуме по взаимодействию ударных волн (Москва, 2010), 28-м международном симпозиуме по ударным волнам (Манчестер, 2011), Шестых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2012), 20-м международном симпозиуме по взаимодействию ударных волн (Стокгольм, 2012).

Публикации по теме диссертации. Основные материалы дис-

сертационного исследования опубликованы в десяти научных работах, в том числе в четырех изданиях, рекомендованных ВАК. В совместных публикациях В.Н. Ускову принадлежит постановка задач исследования и вывод соотношений динамической совместности на одиночных ударных волнах; М.В. Чернышов параметрически исследовал тройные конфигурации скачков уплотнения в термодинамически совершенном газе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 102 наименований и двух приложений на 4 страницах. Работа содержит 149 страниц, 27 рисунков и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи работы, а также положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен обзор литературы, связанной с темой диссертации, и описано современное состояние проблемы.

Во второй главе работы рассмотрены тройные конфигурации (ТК) стационарных ударных волн (иначе называемых скачками уплотнения) и бегущих ударных волн. Под ТК всюду понимается совокупность поверхностей трех нормальных и одного контактного газодинамических разрывов, имеющих общую линию. Теория ТК скачков уплотнения в термодинамически совершенном газе развита в работах Дж. фон Неймана, Л.Ф. Хендерсона, Г.Т. Калгхатги и Б.Л. Хунта, В.Н. Ускова. Эта теория позволяет определить параметры за тремя скачками по известным параметрам невозмущенного потока и интенсивности падающего скачка.

В § 2.2 предложено обобщение этой теории для различных термодинамических моделей, описывающих свойства реальных газов. В качестве термического уравнения состояния газа используется уравнение Клапейрона

Р = рш\

где р, р и Т — давление, плотность и абсолютная температура газа, В, — газовая постоянная; в качестве калорического — полиномиальная интерполяция удельной теплоемкости при постоянном давлении

как функции температуры Ср = ср(Т). Проанализировано влияние термодинамических свойств газа на углы поворота потока /3¿ на трех скачках, на углы наклона скачков о i, а также на давления газа Pi, температуры T¿, энтальпии h(Ti), числа Маха М, за тремя скачками (г = 1 для падающего скачка, i — 2 для отраженного и г = 3 для главного). Детальные результаты анализа приведены в работе [6].

В §§ 2.3-2.8 предложено обобщение теории стационарных ТК на ТК бегущих по потоку совершенного газа ударных волн, изложенное в [1], [2], [5], [7]. В построенной в § 2.3 модели предполагается, что нестационарная ТК движется по потоку газа как целое со скоростью тройной точки W, причем эта скорость определяется в процессе решения. В качестве исходных данных, помимо параметров невозмущенного потока и интенсивности падающей ударной волны J\ = pi/po (необходимых и достаточных в стационарном случае), задаются еще две величины, определяющие движение ТК. В диссертации в качестве этих величин взяты скорости перемещения падающей и главной ударных волн.

В § 2.4 рассмотрены условия динамической совместности (УДС) на бегущих нормальных ударных волнах (Рэнкин, 1870) и на косых скачках уплотнения (Мейер, 1908) и дано их обобщение для бегущих косых ударных волн:

' p(V sin сге - D) = sin(сге — /3) — D), р + p{V sin ae-D)2 = p + p{V sin(<7e — /5) — V coscre = V cos(ae —/3), ^

h + \{V sin <je - D)2 = h+ hvsm(ae - j3) - D)2. ¿i z

Здесь V — величина скорости потока газа, ае — угол наклона ударной волны, D — проекция скорости перемещения ударной волны на нормаль к ее поверхности, значок соответствует состоянию газа за скачком, его отсутствие — состоянию газа до скачка. Нормаль к поверхности ударной волны выбирается таким образом, чтобы проекция скорости V на нее была неотрицательной.

Условия (1) для термодинамически совершенного газа с использованием безразмерных переменных Md = D/a, М = V/a, М = V/a (а — локальная скорость звука в газе, Мд — число Маха переме-

щения ударной волны) приводят к соотношениям, ранее полученным В.Н. Усковым и A.B. Омельченко как обобщение соотношений на нормальных бегущих ударных волнах:

MD = M sin сте + Х1, (2)

y(J) cos ае

tan/3 =--——-—, (3)

y(J) sin<7e + M v '

м = V J(TT7J)(M2 + 2y(J)Msin£7e + y2(J))' (4)

где

ч/атіуй+і)' уі+Є' 7+і'

7 — показатель адиабаты газа (отношение теплоємкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме)їх — показатель направления движения ударной волны. Показатель х вводится следующим образом: х = +1> если поток перед ударной волной движется от ее поверхности; Х = —1> если поток перед ударной волной движется к ее поверхности.

Возможны три вида ударных волн:

X = +1, Мр >0 — ударная волна бежит по спутному ей потоку, скорость потока за волной выше, чем до волны, угол поворота потока на волне лежит в диапазоне (З Є (ае — 7г/2; 0]; такая волна называется спутной (рисунок 1а);

X = — 1, Мо >0 — ударная волна сносится набегающим на нее потоком, скорость потока за волной ниже, чем до волны, угол поворота потока на волне лежит в диапазоне /З Є [0; сте); такая волна называется дрейфующей (рисунок 16);

X = — 1, Мо < 0 — ударная волна бежит навстречу набегающему на нее потоку, скорость потока за волной может быть как ниже (рисунок 1с), так и выше (рисунок Ы), чем до волны, угол поворота потока на волне лежит в диапазоне (5 Є [0; сге + 7г/2]; такая волна называется встречной.

В § 2.5 выведены основные соотношения, описывающие ТК бегущих ударных волн. Вводятся в рассмотрение углы между лучами,

исходящими из тройной точки и изображающими газодинамические разрывы, i = 0, 1, 2, 3; единичные вектора г,, направленные вдоль этих лучей, г = 1, 2, 3, К (г — К соответствует контактному разрыву); перпендикулярные им единичные вектора ^ и показатели направления поворота потока на г-ой ударной волне фц угол за-дающий^направлепие вектора IV относительно скорости набегающего потока 1/о; единичный вектор -ш по направлению IV (рисунок 2). Параметры фх, ф2, Фз, определяющие ориентацию ударных волн в ТК относительно набегающих на них потоков, принимают значения ±1, что позволяет подразделить нестационарные ТК на восемь возможных типов.

Скорости ударных волн .О* и контактного разрыва Ук равны проекциям скорости V/ на соответствующие направления 4 и запись этого утверждения приводит к четырем соотношениям. Непротекание потока через контактный разрыв означает, что скорость контактного разрыва Ук равна нормальным к его поверхности компонентам скоростей газа по сторонам разрыва: (У2, ук) = Ук = (У3, ук). Указанные шесть уравнений вместе с УДС (2)-(4) на каждой из ударных волн и равенством статических давлений по сторонам контактного разрыва — Зз дают систему шестнадцати уравнений для определения шестнадцати параметров ТК, если известны число Маха М0 набегающего потока, интенсивность падающей ударной волны и произведения чисел Маха перемещения падающей и главной ударных

3 т{ "з у/3=-1

Рисунок 2. Пример тройной конфигурации бегущих ударных волн.

волн на соответствующие показатели направления их распространения XIМд! и хзМ03.

В § 2.6 получена система двух уравнений для определения неизвестных интенсивности 32 и угла наклона ае2 отраженной ударной волны:

z

гр2 соэ сге2 + 5) = (г - соз(^1/01 + 5)) это-ег +

х (эт('01/31 + Ф2Р2 + <5) + Свт(-фзРз ~ Ф1Р1 ~ Ф2Р2)) = = уэт^Ч-

где

ЛТг---"М^Г-'

Мдз БШ СГе1 - М.Ш ЭИ! (Те3

5 = агс!ап

фзМо1 соэ сгез - Ф\Мт сое сте1

Мз /^2(1 + +е)

,, /(1 + £Л)(1 + еЛ) ,, /ТТТадГ

Задача сведена к решению одного трансцендентного уравнения для определения неизвестной интенсивности отраженной ударной волны

Построен численный алгоритм нахождения всех решений этого уравнения и расчета остальных параметров ТК по найденному 7г.

В § 2.7 проведен расчет ТК с бегущими волнами. При численном решении задачи о нестационарной ТК ударных волн для заданного набора исходных параметров (М0, Л, Х\мо\, ХзМдз) решение считается существующим, если найдены шестнадцать неизвестных газодинамических параметров и они находятся в области своих допустимых значений. При одних и тех же исходных данных возможно существование нескольких решений, которым соответствуют различные значения скорости тройной точки IV.

В качестве примера рассчитаны нестационарные ТК с неподвижной падающей ударной волной (т.е. падающая ударная волна является скачком уплотнения} при значениях исходных параметров Мо = 2.5, ^ = 6.865, ХгМо! = 0, ХзМдз = 4.107. Получено, что этим значениям параметров соответствует четыре ТК; в двух из них отраженная ударная волна (2) является спутной, в двух — встречной; главная ударная волна (3) является встречной во всех четырех случаях.

Рассчитаны также нестационарные ТК, в которой движутся все три ударные волны, при значениях исходных параметров Мо = 5.489, = 6.865, Х1М01 = —2.126, ХзМш = 0.016. По результатам расчета получены четыре нестационарные ТК, поле течения в одной из них графически показано на рисунке 2.

В § 2.8 рассчитаны два частных случая нестационарных ТК:

1) Конфигурация ударных волн фон Неймана (ФНК) — ТК, в которой главная ударная волна нормальна к набегающему на нее потоку (сез = 7г/2). ФНК является обобщением на случай бегущих волн стационарной Маховской конфигурации.

2) Тройная конфигурация перехода (ТКП) — тройная конфигурация, в которой отраженная ударная волна нормальна к набегающему на нее потоку (сге2 = 7г/2).

В третьей главе исследуются дифференциальные характеристики течения в окрестности одиночного скачка уплотнения (§§ 3.2-3.3) и тройной точки ТК скачков уплотнения (§ 3.4), рассмотренные в

[2], [8] и [10]. Дифференциальные условия динамической совместности (ДУДС), связывающие первые производные газодинамических параметров по сторонам разрыва, на одиночных скачках уплотнения с мало меняющейся интенсивностью были построены С.П. Дьяковым для плоского течения газа; для произвольных скачков уплотнения ДУДС исследовались в работах В.В. Русанова, В.Н. Ускова и С. Молдера. В §3.2 получены ДУДС на одиночных скачках уплотнения в произвольных плоских и осесимметричных течениях для газов с произвольными термодинамическими уравнениями состояния.

В § 3.3 проделан переход от производных по касательному к скачку направлению к характеризующим течение производным по естественным направлениям I и п касательной к линии тока и нормали к ней. С помощью системы уравнений Эйлера, описывающей поток газа до разрыва и за ним, среди дифференциальных характеристш выделена линейно независимая совокупность — а именно, предложен ные В.Н. Усковым основные неравномерности Л^ = сНпр/д£ — коэффициент неизобаричности течения вдоль линии тока, N2 = д&/д

— кривизна линии тока, N3 = д1про/дп — коэффициент завихрен ности потока; а также N7 = (ро/ро) дко/дп — коэффициент неизоэн тальпийности течения. Здесь <9 — полярный угол вектора скорости, индекс 0 соответствует параметрам торможения. ДУДС разрешень относительно неизвестных дифференциальных характеристик поток! за скачком; при этом аналогичные характеристики до скачка пред полагаются известными. В работе представлен алгоритм вычислени; основных неравномерностей потока газа за скачком уплотнения ]\Гх N2, N3, N7 через неравномерности до скачка N1, N2, N3, N7, кривиз ны поверхности скачка в двух взаимно перпендикулярных плоскостя: N4 и N5 и газодинамические параметры по его сторонам.

Как было предложено Молдером, течение газа в окрестности скач ка уплотнения описано с помощью изобар, изопикн, изотах и изокли]

— изолиний давления, плотности, модуля скорости и ее полярноп угла, соответственно. Построены зависимости углов наклона изоли ний от угла наклона скачка а для плоского и осесимметричного те чений; при этом газ предполагается термодинамически совершенны! или термически совершенным в модели § 2.2. .

В § 3.4 определены дифференциальные характеристики потоко газа в окрестности тройной точки ТК скачков уплотнения. При ре

шении этой задачи предполагаются известными основные неравномерности исходного течения TVio, ÍV20, N30, ÍV70, кривизны падающего скачка уплотнения N4 и N51 и газодинамические параметры потоков газа во всех четырех областях, составляющих ТК. Полученные в § 3.2 ДУДС выполнены на каждом из трех скачков. С помощью этих соотношений неравномерности за падающим скачком выражаются через известные величины, а неравномерности за главным скачком зависят, кроме того, от его кривизны ÍV53.

Имеют место связи, обусловленные сосуществованием трех скачков уплотнения и тангенциального разрыва в одной точке, а именно:

— частные производные газодинамических параметров по естественным направлениям (£, п) за падающим скачком и перед отраженным скачком совпадают;

— выполнены ДУДС на тангенциальном разрыве, полученные дифференцированием УДС на нем вдоль линии тока: N12 — N13, N22 = N2 3.

В результате численного решения определяются неравномерности потока за всеми тремя скачками Nij, N2j, N3j, (j = 1,2,3) и кривизны отраженного и главного скачков iV52, ÍV53. Расчет проведен для трех типов тройных конфигураций, которые реализуются в различных диапазонах значений интенсивности падающего скачка уплотнения Ji, для случая однородного набегающего потока. Представлено сравнение решений для термодинамически совершенного газа с 7 = 1.4 и кислорода в модели § 2.2.

В четвертой главе диссертации исследовано распространение слабых нормальных ГДР в осесимметричном сверхзвуковом потоке невязкого нетеплопроводного совершенного газа и их отражение от оси симметрии. Осесимметричное течение газа в меридиональной полуплоскости описывается гиперболической системой квазилинейных дифференциальных уравнений:

. дш дв 1 а ~Я0 - = - Sin©,

01 . дп у

дО ди) cosa sin a din pn

cota —- — +--= °»

oí dn 7 dn

dlnpo' di

Здесь ш(М) = arctan \^/е{М2 — 1)^ - aгctan \/М2 — 1 — функция

Прандтля-Мейера, а(М) = агсэт — угол Маха, у — расстояние до оси симметрии. Через каждую точку меридиональной полуплоскости проходят характеристики трех семейств: одно из них — семейство линий тока, два других — семейства линий Маха, иначе называемых акустическими характеристиками.

В § 4.2 построены уравнения акустических характеристик и условия на них. Получены уравнения для разностей первых производных газодинамических параметров по сторонам распространяющегося вдоль акустической характеристики слабого разрыва. Эти уравне ния в § 4.3 решены для слабого ГДР в однородном набегающем по токе. Показано, что при приближении к оси симметрии производим параметров и и © за разрывом неограниченно возрастают, как у-1/2.

В §§ 4.4 и 4.5 исследуется течение в малой окрестности точки О отражения слабого ГДР от оси симметрии. Решение найдено в виде:

&(г,<р) = /(<р)у/г/уА + 0(г/уА), и(г, <р) = ш0 + д(ч>)л/г/УА + 0(г/уа),

где г, (р — полярные координаты в меридиональной полуплоскост] с центром в точке О, у а — расстояние от точки А возникновение слабого ГДР до оси симметрии, шо — значение функции Прандтля-Мейера в точке О. Функции /(</?) и д(ф) непрерывны всюду и имею' производные всюду за исключением угла падающего разрыва <р = а и отраженного разрыва <р — тг — ао-

В § 4.5 проанализировано полученное в § 4.4 решение и проведен' его сравнение с известным решением плоской задачи, полученным Ку рантом и Фридрихсом. В осесимметричном случае максимум угла £ находится не на отраженном слабом ГДР, как в плоском течении, а области между падающим и отраженным разрыйами. Разница межд максимальным значением 0 и его значением на отраженном разрыв невелика, она составляет, независимо от значения числа Маха, 149? Подробно эти результаты опубликованы в [3], [4] и [9].

В заключении сформулированы основные результаты: В диссертации описана физическая модель ТК бегущих ударны волн, содержащей поверхности трех ударных волн и одного контакт ного разрыва и перемещающейся как целое с некоторой скоросты относительно системы отсчета. Приведена полная система исходны

математических соотношений для описания такой ТК. Эта система содержит условия динамической совместности на бегущих ударных волнах и на распространяющемся контактном разрыве, а также геометрические соотношения между скоростями газодинамических разрывов и их направлениями.

Проведена классификация этих конфигураций, учитывающая ори-итацию ударных волн относительно набегающих на них потоков.

Проведен анализ областей существования различных типов нестационарных ТК; получены условия, при которых конфигурации становятся экстремальными: конфигурацией ударных волн фон Неймана гли тройной конфигурацией перехода.

Построены дифференциальные условия динамической совместно-:ти на одиночных скачках уплотнения. С использованием этих условий разработан алгоритм расчета дифференциальных характеристик течения за скачком уплотнения по известным дифференциальным характеристикам до него.

Течение газа в окрестности скачка уплотнения описано с помощью изобар, изопикн, изотах и изоклин — изолиний давления, плотности, модуля скорости и ее полярного угла, соответственно, — для плоских и осесимметричных .течений термодинамически совершенного газа и реального кислорода.

С использованием дифференциальных условий динамической совместности на одиночных скачках уплотнения и на тангенциальном разрыве построена система уравнений для определения дифференциальных характеристик за всеми тремя скачками в ТК скачков уплотнения.

Построены уравнения характеристик и условия на них для сверх-^вуковых стационарных осесимметричных вихревых течений.

Получено асимптотическое решение в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии в стационарном осесимметричном потоке. Проведен анализ распределения газодинамических параметров в окрестности точки отражения.

Публикации по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Усков В.Н., Мостовых П.С. Тройные конфигурации бегущих ударных волн в потоках невязкого газа // Прикладная механика и

техническая физика, 2008, т. 49, No. 3, с. 3-10.

2. Uskov V.N., Mostovykh P.S. Interference of Stationary and Non Stationary Shock Waves // Shock Waves, 2010, vol. 20, no. 2, pp. 119-121 doi: 10.1007/s00193-009-0243-5.

3. Мостовых П.С., Усков В.Н. Условия совместности на слабо: разрыве в осесимметричном потоке невязкого газа // Вестник Санкт Петербургского государственного университета. Серия 1. Математг ка, механика, астрономия. Выпуск 4. Декабрь 2011. С. 123—133.

4. Усков В.Н., Мостовых П.С. Отражение слабого газодинамичс ского разрыва от оси симметрии в однородном потоке // Вестни Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1. Me тематика, механика, астрономия. Выпуск 1. Март 2012. С. 117-127.

Другие публикации:

5. Мостовых П.С., Усков В.Н., Чернышов М.В. Тройные конфг гурации стационарных и бегущих ударных волн // Избранные трз ды Всероссийского семинара по аэрогидродинамике, посвященног 90-летию со дня рождения С.В. Валландера, СПбГУ, 2008, с. 87-92.

6. Mostovykh P.S., Uskov V.N. Triple-shock-wave configuration: comparison of different thermodynamic models for diatomic gases / Proceedings 28th International Symposium on Shock Waves (ISSW 2i Manchester, July 17-22, 2011), Paper No 2597, pp. 1-7.

7. Усков B.H., Мостовых П.С. Тройные конфигурации бегущи ударных волн // Шестые Поляховские чтения: Избранные труды мел дународной научной конференции по механике, Санкт—Петербур 31 января - 3 февраля 2012 г. - М.: Из-ль И.В. Балабанов, 2012.

8. Uskov V.N., Mostovykh P.S. Confluence of three shock waves: non stationary case and differential characteristics in a steady flow // 14t International Conference on the Methods of Aerophysical Researcl Abstracts. Part II. Novosibirsk, Parallel, 2008. pp. 36-37.

9. Uskov V.N., Mostovykh P.S. Propagation of a weak gasdynam:' discontinuity in a steady axisymmetric flow // 19th International Shoe Interaction Symposium (ISIS 19, Moscow, August 31-September 3, 2010 4 p.

10. Uskov V.N., Mostovykh P.S. Differential characteristics of shoe waves and triple-shock-wave configurations // 20 th International Shoe Interaction Symposium (ISIS 20, Stockholm, August 20-24, 2012

p. 211-214. '''■'■;..г;-

Подписано к печати 21.09.12. Формат 60x84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5522.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (512) 428-4043, 428-6919

Список используемых сокращений

Введение

Глава 1. Обзор теоретических и экспериментальных исследований газодинамических разрывов

§1.1. Условия совместности на одиночных сильных газодинамических разрывах

§ 1.2. Внутренняя структура газодинамических разрывов

§ 1.3. Интерференция сильных газодинамических разрывов

§ 1.4. Слабые газодинамические разрывы и их интерференция; дифференциальные характеристики

Глава 2. Тройные конфигурации стационарных и бегущих ударных

§ 2.1. Вводные замечания

§ 2.2. Влияние калорических свойств реального газа на параметры тройной конфигурации стационарных волн

§ 2.3. Физическая модель тройной конфигурации бегущих ударных

§ 2.4. Соотношения для параметров по сторонам одиночной бегущей косой ударной волны

§ 2.5. Вывод соотношений для параметров тройных конфигураций бегущих ударных волн

§ 2.6. Общее решение задачи о тройной конфигурации бегущих ударных волн

§ 2.7. Примеры численного расчета параметров течений с тройными конфигурациями

§ 2.8. Особые тройные конфигурации с бегущими ударными волнами

§ 2.9. Выводы

Глава 3. Дифференциальные характеристики сильных стационарных газодинамических разрывов

§ 3.1. Вводные замечания

§ 3.2. Дифференциальные условия динамической совместности на скачках уплотнения

§ 3.3. Решение задачи первого порядка для одиночного сильного скачка уплотнения

§ 3.4. Решение задачи первого порядка для тройной конфигурации скачков уплотнения

§ 3.5. Выводы

Глава 4. Дифференциальные характеристики слабых стационарных газодинамических разрывов

§ 4.1. Постановка задачи о распространении слабого разрыва в осесимметричном потоке

§ 4.2. Построение характеристик и характеристических уравнений

§ 4.3. Распространение разностей значений производных вдоль слабых разрывов в однородном потоке, параллельном оси симметрии

§ 4.4. Асимптотика решения в окрестности точки отражения слабого разрыва от оси симметрии

§ 4.5. Анализ параметров течения газа в окрестности точки отражения слабого разрыва от оси симметрии

§ 4.6. Выводы

Проблема образования, взаимодействия и распространения изоэнтропи-ческих волн разрежения и сжатия, нормальных и тангенциальных разрывов, бегущих по покоящейся среде или по потоку газа, занимает важное место в газовой динамике. Эти волны и разрывы появляются при работе многих технических объектов (самолётов, ракет, насосов, артиллерийских орудий, торпедных аппаратов, электроклапанов и т.д.), протекании некоторых природных явлений (извержение вулканов, молнии). В последнее время особую актуальность приобретает задача об управлении силовым воздействием взрывной волны на различные разрушаемые технические объекты при случайных, аварийных или террористических взрывах, а также на живые организмы.

Известно, что степень тяжести фугасного воздействия взрыва на объект зависит от свойств ударно-волновых структур (УВС), которые образуются при отражении взрывной волны от поверхности и изменяются по мере ее распространения. В зависимости от исходных параметров, это может быть УВС регулярного или нерегулярного (Ма.ховского) отражения. Исследования И.И. Гласса, Г. Бен-Дора, Л.Ф. Хсндерсона, Х.Г. Хорнунга, Т.В. Баженовой и Л.Г. Гвоздевой, В.Г. Дулова, В.Н. Ускова. и других авторов позволили экспериментально получить критерии перехода между различными видами УВС: регулярным отражением, простым Маховским отражением, представляющим собой тройную конфигурацию ударных волн, сложным Маховским отражением, двойным Маховским отражением, имеющим форму двух тройных конфигураций ударных волн, и т.д. Получить аналитические критерии перехода до сих пор не удалось.

Необходимым шагом на пути теоретического вывода указанных критериев является создание математических моделей всех УВС. Для детального описания течения в окрестностях газодинамических разрывов (ГДР) требуется введение, помимо параметров потоков по сторонам разрывов, также дифференциальных характеристик течения.

В предшествующих исследованиях ударно-волновых структур были построены математические модели для конфигураций регулярного (содержащего две ударные волны) и простого Маховского (содержащего три ударные волны с гладкими фронтами) отражений в стационарных потоках газа и конфигураций, распространяющихся по покоящемуся газу, для случаев термодинамически совершенного газа и газа с известными энергиями активации колебательных степеней свободы и кратностями этих степеней.

В данной работе модель простого Маховского отражения обобщена для газов, состояние которых описывается произвольным термодинамическим уравнением состояния. Рассмотрены тройные конфигурации (ТК), распространяющиеся по произвольно движущемуся потоку газа, каковой, в частности, является вторая тройная конфигурация в двойном Маховском отражении бегущей ударной волны от стенки. Рассмотрены условия динамической совместности на косых скачках уплотнения и на бегущих нормальных ударных волнах и дано их обобщение для бегущих косых ударных волн. Описана физическая модель ТК бегущих ударных волн, приведена полная система исходных математических соотношений для описания такой ТК, после чего эти соотношения преобразованы к виду, удобному для выполнения расчетов. Разработан алгоритм определения параметров нестационарной ТК, который, в зависимости от исходных данных, дает нуль, одно или несколько решений (т.е. возможных ТК). Показаны некоторые примеры применения указанного алгоритма, т.е. для некоторых исходных данных определены интенсивности отраженной и главной бегущих ударных волн, числа Маха потоков за ними, скоростей перемещения отраженной ударной волны и контактного разрыва. Проведена классификация этих конфигураций, учитывающая ориентацию и направление движения ударных волн относительно набегающих на них потоков. Описаны некоторые экстремальные нестационарные ТК, обобщающие экстремальные стационарные ТК, подробно изученные A.B. Омельченко, В Н. Усковым и М.В Чернышовым Дифференциальные характеристики течения в окрестностях газодинамических разрывов (ГДР) в некоторых частных случаях были рассмотрены и проанализированы Дьяковым, Русановым, Молдером и Усковым. В данной работе с помощью дифференциальных характеристик описано течение в окрестности поверхности одиночного скачка уплотнения и тройной точки ТК скачков уплотнения. Построены дифференциальные условия динамической совместности на одиночных скачках уплотнения и разработан алгоритм расчета дифференциальных характеристик течения в окрестностях скачков и их ТК. Среди дифференциальных характеристик выделена линейно независимая совокупность основных неравномерностей потока, определяемых в естественной системе направлений. Течение газа в окрестности скачка уплотнения описано с помощью изобар, изопикн, изотах и изоклин — изолиний давления, плотности, модуля скорости и ее полярного угла, соответственно, — для плоских и осесимметричных течений термодинамически совершенного газа и реального кислорода Определены кривизны отраженного и главного скачков и тангенциального разрыва в ТК, и исследована их зависимость как от дифференциальных характеристик, так и от параметров ТК. Изучена проблема неустойчивости ТК, при которой малым изменениям формы падающего скачка уплотнения соответствуют большие изменения в форме отраженного и главного скачков

Математические модели УВС, сформулированные для плоских течений и обобщенные на трехмерные, не могут быть применены к области фокусировки газодинамических разрывов вблизи оси симметрии в осесимметрич-ном потоке или вблизи центра симметрии в сферически симметричном потоке. Поэтому важной проблемой исследования УВС является создание их моделей в потоках газа, обладающих осевой симметрией, вблизи этой оси. Отражение сильного ГДР от оси симметрии было рассмотрено Д А Мельниковым (1962), который показал, что регулярное отражение скачка уплотнения от оси симметрии невозможно (по крайней мере, его невозможно описать в рамках уравнений Эйлера). В диссертации Е.И. Соколова (1993) изучалось отражение различных видов возмущений от оси симметрии. В диссертации показано, что регулярное отражение слабого разрыва, в отличие от сильного, может быть описано в невязкой осесимметричной постановке. Поскольку сверхзвуковые стационарные течения невязкого нетеплопроводного газа описываются гиперболической системой уравнений, в работе построены характеристики и условия на них. На их основе выводятся линейные алгебраические и линейные обыкновенные дифференциальные уравнения для разностей производных газодинамических параметров на слабом разрыве в осесимметричном потоке. Для частного случая распространения слабого разрыва в однородном потоке эти уравнения проинтегрированы в замкнутом виде. Получено асимптотическое решение в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии в стационарном осесимметричном потоке. Проведен анализ распределения газодинамических параметров в окрестности точки отражения.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании уравнений газовой динамики, обеспечивается использованием точных аналитических соотношений, сопоставлением результатов в частных случаях с данными, ранее полученными другими авторами, контролируется сопоставлением с экспериментальными данными.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью использования полученных результатов для расчета сверхзвуковых течений со сложными У ВС, в том числе случайных, аварийных или террористических взрывов в помещениях различной геометрии, сверхзвуковых газовых свободных и импактных струй и т.п.

Положения, выносимые на защиту.

1. Решение задачи о тройной конфигурации скачков уплотнения в термически совершенном, калорически несовершенном газе.

2. Решение задачи о тройной конфигурации бегущих ударных волн, распространяющейся по потоку газа в произвольном направлении.

3. Определение кривизн исходящих разрывов и дифференциальных характеристик потоков за ними в тройной конфигурации скачков уплотнения для произвольных плоских и осесимметричных течений газа с произвольными термодинамическими свойствами.

4. Асимптотическое решение в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии в стационарном осесиммет-ричном потоке.

§ 4.6. Выводы

В главе построены уравнения характеристик и условия на них для сверхзвуковых стационарных осесимметричных вихревых течений. Выведены линейные алгебраические и линейные обыкновенные дифференциальные уравнения для разностей производных газодинамических параметров на слабом разрыве в осесимметричном потоке.

Для частного случая распространения слабого разрыва в однородном потоке эти уравнения проинтегрированы в замкнутом виде; две полученные при интегрировании произвольные константы определяются интенсивностью слабого разрыва и соотношением масштабов на характеристических координатах по сторонам слабого разрыва, соответственно. Показано, что

136 при приближении слабого разрыва к оси симметрии разности производных газодинамических параметров по его сторонам возрастают обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до оси симметрии.

Разложением газодинамических параметров в ряд в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии получено асимптотическое решение в ее окрестности в стационарном осесиммет-ричном потоке. Решение показывает, что слабый разрыв отражается от оси симметрии также в виде слабого разрыва. Проведен анализ распределения газодинамических параметров в окрестности точки отражения. Получено, что в осесимметричном случае, в отличие от плоского, наибольший угол отклонения линии тока от осевого направления наблюдается в области между падающим и отраженным слабыми разрывами.

Заключение

1. В диссертации описана физическая модель ТК бегущих ударных волн, содержащей поверхности трех ударных волн и одного контактного разрыва и перемещающейся как целое с некоторой скоростью относительно системы отсчета. Приведена полная система исходных математических соотношений для описания такой ТК. Эта система содержит условия динамической совместности на бегущих ударных волнах и на распространяющемся контактном разрыве, а также геометрические соотношения между скоростями газодинамических разрывов и их направлениями.

Проведена классификация этих конфигураций, учитывающая ориентацию ударных волн относительно набегающих на них потоков.

Проведен анализ областей существования различных типов нестационарных ТК; получены условия, при которых конфигурации становятся экстремальными: конфигурацией ударных волн фон Неймана или тройной конфигурацией перехода.

2. Построены дифференциальные условия динамической совместности на одиночных скачках уплотнения. С использованием этих условий разработан алгоритм расчета дифференциальных характеристик течения за скачком уплотнения по известным дифференциальным характеристикам до него.

Течение газа в окрестности скачка уплотнения описано с помощью изобар, изопикн, изотах и изоклин — изолиний давления, плотности, модуля скорости и ее полярного угла, соответственно, — для плоских и осесиммет-ричных течений термодинамически совершенного газа и реального кислорода.

3. С использованием дифференциальных условий динамической совместности на одиночных скачках уплотнения и на тангенциальном разрыве построена система уравнений для определения дифференциальных характеристик за всеми тремя скачками в ТК скачков уплотнения.

Построены уравнения характеристик и условия на них для сверхзвуковых стационарных осесимметричных вихревых течений.

4. Получено асимптотическое решение в окрестности точки фокусировки слабого газодинамического разрыва на оси симметрии в стационарном осесимметричном потоке. Проведен анализ распределения газодинамических параметров в окрестности точки отражения.

1.grange J.L. (1788) Mécanique analytique. In: Œuvres de Lagrange. Tome douzième. Paris, 1889.

2. Poisson S.D. (1808) Mémoire sur la théorie du son // Journal de l'École Polytechnique, t. VII, cahier 14, p. 319-392.

3. Stokes G.G. (1848) On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine, Series 3, Vol. 33, November, LIV, p. 349-356.

4. Challis J. (1848) Theoretical determination of the velocity of sound // Philosophical Magazine, Series 3, Vol. 32, No XL, p. 276-284; No LXV, p. 494-499.

5. Earnshaw S. (1858) On the Mathematical Theory of Sound // Proceedings of the Royal Society of London, III, p. 590-591.

6. Earnshaw S. (1860) On the mathematical theory of sound // Philosophical Transactions, Vol. 150, VIII, p. 133-148.

7. Rarikine W.J.M. (1869) On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Proceedings of the Royal Society of London, Vol. XVIII, No 115, III, p. 80-84.

8. Rankine W.J.M. (1870a) On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Philosophical Magazine, Series 4, Vol. 39, No CCLXI, p. 306-309.

9. Rankine W.J.M. (1870b) On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbance // Philosophical Transactions. Vol. 160, Part II, XV, p. 277-288.

10. Mach E. (1878) Liber den verlauf von funkenwellen in der ebene und im räume. Sitzungsbr. Akad. Wiss. Wien, Bd. 78, S. 819-838.

11. Hugoniot H. (1889) Propagation du mouvement dans les corps. Chapitre V. Sur les discontinuités qui se manifestent dans la propagation du mouvement // Journal de l'École Polytechnique, cahier LVIII, p. 68-125.

12. Vieille P. (1899) Sur les discontinuitiés produites par la det.énte brusque de gaz comprimés // Comptes Rendus, t. CXXIX, p. 1228-1230.

13. Stodola A. (1903) Beitrag zur Strömung von Gasen und Dämpfen durch Rohre mit veränderlichem Querschnitt // Zeitschrift des Vereins deutcher Ingenieure, Bd. 47, Nr. 49, 5. Dezember, S. 1787-1788.

14. Zemplén M.G. (1905) Sur l'impossibilité des ondes de choc negatives dans les gaz // Comptes Rendus, t. CXLI, p. 710-712.

15. Meyer Th. (1908) Ueber zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, dasmit Ue-berschallgeschwindigkeit strömt // Forschungsheft des Vereins deutcher Ingenieure, Bd. 62, S. 31-67.

16. Schardin H. (1932) Physik. Zeits. 33, 60.von Neumann J. (1943) Oblique reflection of shocks. In: Collected Works, Pergamon, Vol. 6, 1963.

17. Smith L.G. (1945) Photographic investigations of the reflection of plane shocks in air. Office of Scientific Research and Development No. 6271.

18. Bargmann V. (1945) On nearly glancing reflection of shocks. AMP Report 108.2R NDRC.

19. Guderley K.G. (1947) Considerations of the structures of mixed subsonic-supersonic flow patterns. Wright Field Report F-TR-2168-ND.

20. Taub A.H. (1947) Refraction of Plane Shock Waves. Physical Review. Vol. 72. No 1. July 1.

21. Taub A.H. (1948) Relativistic Rankine-Hugoniot Equations. Physical Review. Vol. 74. No 3. August 1.

22. Courant R., Friedrichs К.О. (1948) Supersonic flow and shock waves. New York. (Имеется русский перевод: Курант Р. Фридрихе К. (1950) Сверхзвуковое течение и ударные волны. М., изд-во иностранной литературы.

23. Bleakney W., Fletcher С.Н., Weimer D.K. (1949) The Density Field in Mach Reflection of Shock Waves. Physical Review. Vol. 76. P. 323-324.

24. Bleakney W., Taub A.H. (1949) Interaction of Shock Waves. Reviews of Modern Physics. Vol. 21. P. 584-605.1.ghthill M.J. (1949) Proc. Roy. Soc. (London). Series A. Vol. 198. P. 454-470.

25. Bitondo D., Glass I.I., Patterson G.N. (1950) One Dimensional Theory of Absorption and Amplification of a Plane Shock Wave by a Gaseous Layer. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) Report No. 5.

26. Bitondo D. (1950) Experiments on the Amplification of a Plane Shock Wave. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) Report No. 7.

27. White D.R. (1951) An experimental survey of the Mach reflection of shock waves. Princeton University, Department of Physics, Technical Report 11-10, Princeton, N.J., USA.

28. Ting L., Ludloff H.F. (1951) J. Aeronaut. Sei. Vol. 18. P. 143.

29. Fletcher C.H., Taub A.H., Bleakney W. (1951) The Mach Reflection of Shock Waves at Nearly Glancing Incidence. Rev. Mod. Phys. Vol. 23. P. 271-286.

30. Nicholl C.I.H. (1951) The Head-On Collision of Shock and Rarefaction Waves. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) Report No. 10.

31. Gould D.G. (1952) The Head-On Collision of Two Shock Waves and a Shock and Rarefaction Wave in One-Dimensional Flow. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) Report No. 17.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1953) Механика сплошных сред. См.: Гидродинамика. Физматлит, Москва. 2003. 736 с.

33. Billington I.I., Glass I.I. (1955) On the One-Dimensional Refraction of a Rarefaction Wave at a Contact Surface. University of Toronto Institute of Aerophysics (UTIA) Report No. 31.

34. Billington I.I. (1955) An Experimental Study of One-Dimensional Refraction of a Rarefaction Wave at a Contact Surface. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS) Report No. 32.

35. KawamuraR., Saito H. (1956) Reflection of Shock waves-1 Pseudo-Stationary Case. Journal of the Physical Society of Japan. Vol. 11, No. 5, May, p. 584-592.

36. Ford C.A., Glass I.I. (1956) An Experimental Study of One-Dimensional Shock Wave Refraction. J. Aero. Sci. Vol. 23, No 2, pp. 189-191.

37. Дьяков С.П. (1957) Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. I, II. Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 33, Вып. 4(10). С. 948-973.

38. Sternberg J. (1959) Triple-Shock-Wave Intersections. Physics of Fluids. Vol. 2. P. 179-206.

39. Molder S. (1960) Head-on interaction of oblique shock waves. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS) Technical Note No. 38. September.

40. Мельников Д.A. (1962) Отражение скачков уплотнения от оси симметрии. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. No 3, С. 24-30.

41. McBride B.J., Heimel S. Ehlers J.G., Gordon S. (1963) Thermodynamic Properties to 6000°К for 210 Substances Involving the First 18 Elements. NASA SP-3001.

42. Лебедев H.H. (1963) Специальные функции и их приложения. М.-Л., Физматгиз.

43. Sakurai А. (1964) On the problem of weak Mach reflection. Journal of the Physical Society of Japan. Vol. 19, No. 8, August, p. 1440-1450.

44. Henderson L.F. (1964) On the confluence of the three shock waves in a perfect gas. The Aeronautical Quarterly, Vol. XV. No 2, P. 181-197.

45. Гинзбург И.П. (1966) Аэрогазодинамика. Высшая школа, Москва.

46. Dulov V.G. (1973) Motion of triple configuration of shock waves with formation of wake behind branching point. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, Vol. 14, No. 6, P. 791-797.

47. Русанов В.В. (1973) Производные газодинамических функций за искривленной ударной волной. Москва, препринт Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР, № 18.

48. Brown G.L., Roshko А. (1974) On density effects and large structure in turbulent mixing layers. J. Fluid Mech. Vol. 64. Is. 4. July. P. 775-816.

49. Henderson L.F. Lozzi A. (1975) Experiments on transition of Mach reflexion. J. Fluid Mech. Vol. 68. P. 139-155.

50. Kalghat.gi G.T. Hunt B.L. (1975) The three-shock confluence problem for normally impinging overexpanded jets. The Aeronautical Quarterly. Vol. XXVI. P. 117-132.

51. Сивухин Д.В. (1975) Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. Москва: „Наука". 552 с.

52. Hornung H.G., Kychakoff G. (1977) Proceedings 11th International Symposium on Shock Tubes and Waves (Seattle). P. 296-302.

53. Ben-Dor G. (1978) Regions and transitions of nonstationary oblique shock-waves diffractions in perfect and imperfect gases. University of Toronto Institute for Aerospace Studies (UTIAS) Report No. 232.

54. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. (1978) Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Наука, Москва.

55. Molder S (1979) Flow behind curved shock waves University of Toionto Institute foi Aeio-space Studies (UTIAS) Report No 217 Septembei

56. Баранцев P Г , Эт ены api В H (1987) Ас ими i oi ичес кие Meiоды в механике газа и жидкости Изд-во ПГУ

57. Черный Г Г (1988) Газовая динамика Наука, Москва 424 с

58. Ragab S А , Wu J L (1989) Lineai instabilities m two-dimensional compressible mixing layers Physics of Fluids A 1 957

59. McBnde В J , Gordon S , Reno M A (1993) Thermodynamic Data foi Fifty Reference Elements NASA TP-3287

60. Соколов E И (1993) Взаимодействие сверхзвуковой струи с поверхностью (приближенные математические модели течения и их приложения) Дисс на соиск уч ст д ф -м н , СПб 247 с

61. Адрианов А Л , Старых А Л Усков В Н (1995) Интерференция стационарных газодинамических разрывов Новосибирск ВО „Наука" Сибирс кая 1нда1ечьская фирма -180 с

62. Усков В H (2000) Бегущие одномерные вопны Изд-во БГТУ ВОЕНМЕХ, Санкт-Петербург

63. Handbook of Shock Waves, Volumes 1-3 (2001) Academic Press

64. Rikanati A., Sadot O., Ben-Dor G., Shvarts D., Kuribayashi Т., Takayama K. (2006) Shockwave Mach-reflection slip-stream instability: a secondary small-scale turbulent mixing phenomenon. Phys. Rev. Let., 96, 174503, 1-4.

65. Dewey J.M. (2006) Continuing studies of weak Mach reflection in the velocity plane. 17 International Shock Interaction Symposium, Rome, Italy.

66. Усков B.H , Чернышов M.B. (2006) Особые и экстремальные тройные конфигурации скачков уплотнения. Прикладная механика и техническая физика. Т. 47. No 4. С. 3953.

67. Ben-Dor G. (2007) Shock wave reflection phenomena. Springer.

68. Dewey J.M. (2008) An analytical solution of weak (1.1 < M, < 1.5) Mach reflection. 18 International Shock Interaction Symposium, CORIA. Rouen, France, P. 35-38.

69. Усков B.H., Мостовых П.С. (2008) Тройные конфигурации бегущих ударных волн в потоках невязкого газа // Прикладная механика и техническая физика. Т. 49. No. 3. С. 3-10.

70. Мостовых П.С., Усков В.Н., Чернышов М.В. (2008) Тройные конфигурации стационарных и бегущих ударных волн // Избранные труды Всероссийского семинара по аэрогидродинамике, посвященного 90-летию со дня рождения С.В. Валландера. Изд-во СПбГУ. С. 87-92.

71. Uskov V.N., Mostovykh P.S., Chernyshov M.V. (2008) Special and Extreme Structures of Stationary and Non-Stationary Shocks // Proceedings 18t.h International Shock Interaction Symposium (ISIS 18, Rouen, July 15-18, 2008). P. 71-74.

72. Uskov V.N., Mostovykh P.S. (2010a) Propagation of a weak gasdynamic discontinuity in a steady axisymmetric flow // Proceedings 19th International Shock Interaction Symposium (ISIS 19, Moscow, August 31-September 3, 2010). 4 p.

73. Uskov V.N., Mostovykh P.S. (2010b) Interference of Stationary and Non-Stationary Shock Waves // Shock Waves. Vol. 20. No. 2. P. 119-129. Doi: 10.1007/s00193-009-0243-5.

74. Molder S., Timofeev E., Emanuel G. (2011) Flow behind a concave hyperbolic shock // Proceedings 28th International Symposium on Shock Waves (ISSW 28, Manchester, July 17-22, 2011), Paper No 2740, pp. 1-6.

75. Мостовых П.С., Усков B.H. (2011) Условия совместности на слабом разрыве в осесим-метричном потоке невязкого газа // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1. Математика, механика, астрономия. Выпуск 4. Декабрь. С. 123133.

76. Усков В.Н., Мостовых П.С. (2012а) Отражение слабого газодинамического разрыва от оси симметрии в однородном потоке // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1. Математика, механика, астрономия. Выпуск 1. Март. С. 117127.

77. Усков В.Н. Мостовых П.С. (2012b) Тройные конфигурации бегущих ударных волн // Шестые Поляховские чтения: Избранные труды международной научной конференциипо механике, Санкт-Петербург, 31 января 3 февраля 2012 г. - М.: Из-ль И.В. Балабанов, 2012.

78. Uskov V.N., Mostovykh P.S. (2012) Differential characteristics of shock waves and triple-shock-wave configurations // 20th International Shock Interaction Symposium (ISIS 20, Stockholm, August 20-24, 2012). p. 211-214.