Теория возмущений в динамике солитонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОРШКОВ Константин Александрович теория возмущений в динамике солитонов

01 04 03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ООЗОьизо1

Нижний Новгород - 2007

003060961

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН

Официальные оппоненты

академик РАН В Е Захаров

доктор физико-математических наук В В Курин

доктор физико-математических наук Г М Фрайман

Ведущая организация

Институт теоретической физики им ЛД Ландау РАН

Защита состоится 25 июня 2007 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002 069 02 в Институте прикладной физики РАН по адресу 603950 Нижний Новгород, ГСП-120, ул Ульянова, д 46

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПФ РАН Автореферат разослан « » 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета д ф -м н

ЮВ Чугунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Проблемы, связанные с изучением солитонов и их взаимодействий, представляют интерес практически во всех областях современной физики, включая фундаментальные и прикладные направления В настоящее время можно считать установленным, что солитоны и ансамбли взаимодействующих уединенных волн играют принципиальную роль при решении самых разнообразных физических проблем Так, в нелинейной теории поля классические решения, отвечающие связанным состояниям солитонов, в квантовом описании порождают существование частиц с широким спектром масс в рамках уже одного типа полевых переменных [1-3] В теории конденсированных сред прямые вычисления статистических сумм для моделей, описываемых интегрируемыми уравнениями, показывают, что учет наряду с фононными возбуждениями «нелинейных» степеней свободы в виде солитонов оказывается существенным при определении термодинамических характеристик, особенно в области низких температур [4-5] В оптике с взаимодействием солитонов и их пространственных аналогов - само-локализуюихся волноводных каналов - связаны как описание структуры и эволюции интенсивных волновых пучков, так и изучение различных режимов распространения сигналов в оптоволоконных линиях связи [6-7] В гидродинамике солитоны хорошо известны для поверхностных волн на мелкой и глубокой воде, а также для внутренних волн в стратифицированной жидкости [8] Здесь с вопросами взаимодействия солитонов непосредственно связаны такие проблемы, имеющие «общеволновое» значение, как описание эволюции цугов нелинейных модулированных волн, фронтов волновых возмущений, например, интенсивных приливных внутренних волн в шельфовой зоне океана [9], сильной волновой турбулентности [10,11] Отметим, что наличие в турбулентных процессах и других, кроме солитонов, структурных элементов требует изучения взаимодействия между всеми этими образованиями, как это сделано при описании динамических режимов сильной ленгмюровской турбулентности в физике плазмы [12]

Прогресс в изучении солитонов связан с открытием и развитием в 6080-е г г прошлого века точных методов решения нелинейных эволюционных уравнений Первый шаг в этом направлении был сделан в 1967 году, когда в работе [13] было показано, что факт сохранения параметров солитонов при взаимодействии, обнаруженный при численном решении уравнений Кортевега — де Вриза [14], является точным и связан с сохранением собственных значений оператора Шредингера Последующее развитие идей работы [13] привело к созданию нового метода решения нелинейных эволюционных уравнений - методу обратной задачи рассеяния (МОЗР) [15,

16] С помощью этого метода в принципе оказывается разрешимой задача Коши для нелинейного эволюционного уравнения, в явном виде решается задача о взаимодействии N солитонов (соответствующие решения получили название Ы-солитонных), доказывается полная интегрируемость данного эволюционного уравнения Среди других точных методов, получивших распространение, отметим здесь метод Хироты и преобразования Бэклунда и Дарбу [15, 16]

Из анализа точных решений выяснились фундаментальные свойства солитонов оказалось, что солитоны устойчивы к конечным возмущениям, восстанавливаются после взаимодействия друг с другом и во многих ситуациях в целом определяют характер эволюции волновых процессов Другими словами, частные решения полевых уравнений в виде солитонов играют в определенном смысле ту же роль в нелинейных системах, что и плоские гармонические волны - в линейных Осознание этого факта превратило солитоны в интенсивно исследуемый объект нелинейной теории волн и стимулировало исследования по выявлению роли солитонов в физических явлениях и процессах

Несмотря на впечатляющие достижения в использовании точных методов, продемонстрированные к настоящему времени на десятках уравнений, представляющих физический интерес, широкий круг волновых процессов и явлений, связанных с солитонами (в том числе и только что упоминавшиеся), описывается уравнениями, исследование которых точными методами оказывается невозможным Это обстоятельство не позволяет, как правило, использовать точные методы при решении таких типичных для радиофизики задач, как задачи о влиянии диссипации и неоднородности (нестационарности) среды на распространение уединенных волн, генерации солитонов внешними источниками Существенно, что в случае неинтегрируемых систем остается невыясненным важнейший для физических приложений вопрос о характере взаимодействия солитонов Все это делает актуальным разработку приближенных подходов в описании эволюции и взаимодействия уединенных волн

В настоящее время известно несколько вариантов методов возмущений для солитонов Одни из них принципиально пригодны лишь для систем, близких к точно интегрируемым [17, 18], другие, обладая формально достаточной общностью, требуют для своей реализации весьма обширной детальной информации об исследуемой системе [19] Вместе с тем известно, что описание волновых процессов в рамках типичного для радиофизики подхода, использующего принципы и методы исследования из самых различных областей физики и математики, оказывается наиболее универсальным и дает наглядную физическую интерпретацию исследуемых процессов Именно такой «радиофизический» подход использовался в данной работе при построении теории возмущений для солитонов, синтезирующий методы теории колебаний, геометрической оптики и сращиваемых асимптоти-

ческих разложений Одновременно и независимо близкие подходы использовались в приближенном описании эволюции солитонов в работах многих авторов - см , например, [20-25]

Важно отметить, что указанные приближенные подхода пригодны, как правило, для описания эволюции солитонов под действием заданных возмущений и непосредственное их использование в задачах о взаимодействии уединенных волн возможно лишь в тех случаях, когда известны И-солитонные решения невозмущенной задачи, т е в случае систем, близких к точно интегрируемым Однако, даже в этих ситуациях структура уравнений, описывающих эволюцию приближенных решений, оказывается сложной, непрозрачной и не позволяет выработать сколько-нибудь общих и физически наглядных критериев, определяющих характер взаимодействия солитонов, не говоря уже о возможности распространения приближенного аналитического описания на более общие модели Таким образом, разработка приближенных методов, пригодных для описания взаимодействия солитонов в системах общего положения, не обязательно близких к точно интегрируемым, представляется актуальной

Цель работы

Настоящая работа лосвящена построению наиболее универсальных приближенных методов описания эволюции солитонов с целью выяснения общих закономерностей индивидуальной динамики и коллективного поведения уединенных волн и построению обоснованной, физически наглядной теории взаимодействия солитонов

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами На защиту выносятся следующие основные положения

1. Схема метода малого параметра для уединенных волн дает описание эволюции солитонов под действием различного рода возмущений в рамках уравнений поля достаточно общего вида, не обязательно близких к точно интегрируемым

2 Алгоритм построения приближенного решения, основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений и условиях ограниченности поправок к квазистационарным солитонам, эффективен в задаче о взаимодействии уединенных волн с близкими параметрами

3 Взаимодействие солитонов в лагранжевых системах в первом нетривиальном порядке теории возмущений описывается лагранжианом для классических частиц с парным потенциалом взаимодействия

4 Структура решений, описывающих взаимодействие солитонов с близкими параметрами, близка к суперпозиции уединенных волн с пространственно-временной зависимостью их параметров в виде стационарных волн, распространяющихся со скоростью, отличной от скорости солитонов

5 Динамика сильно нелинейных квазипериодических волн, близких последовательности солитонов с экспоненциальной асимптотикой поля описывается уравнениями решетки Хода, а для систем допускающих существование составных солитонов - уравнениями Каца-Мербека

Научная и практическая значимость работы

Результаты, полученные в работах, составивших содержание диссертации, и развитые в них методы и подходы расширяют как возможности теоретического анализа, так и общие представления о характере волновых процессов в нелинейных системах и средах

Предложенная в работе схема метода возмущений для солитонов может быть использована для проведения количественных расчетов волновых полей в конкретных моделях волновых систем, учитывающих реальные особенности среды, наличие источников и т д

Выводы теории взаимодействия уединенных волн, развитой в работе, могут быть использованы при исследовании динамики столкновений солитонов в нелинейной оптике, физике плазмы и нелинейной теории поля Представление волновых процессов ансамблями взаимодействующих солитонов может быть эффективно использовано при описании эволюции сильно нелинейных квазипериодических волн и трансформации фронтов интенсивных волновых возмущений

Полученные в диссертации результаты используются и входят составной частью монографий и учебных пособий (Богатырев Ю К «Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами», М Советское радио, 1974, «Солитоны в действии» под ред Э Скотта и К Лонгрена, М Мир, 1981, Рабинович МИ, Трубецков ДИ «Введение в теорию колебаний и волн», М Наука, 1984, Островский Л А, Потапов А И Введение в теорию модулированных волн М Физматлит, 2003)

Апробация результатов работы

Диссертация выполнена в Институте прикладной физики РАН Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международном симпозиуме УРСИ по электромагнитным волнам (Тбилиси, 1971), IV Всесоюзной конференции по теории и методам расчета нелинейных электрических цепей и систем (Ташкент, 1971), VII Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Ростов на Дону, 1977), Советско-Американских симпозиумах по теории солитонов (Киев, 1979, 1983, 1989, Потсдам, 1991), Международном симпозиуме по избранным пробле-

мам статистической механики (Дубна, 1984), Всесоюзной школе «Методы гидрофизических исследований» (Светлогорск, 1989), Международной конференции «Динамические дни» (Дюссельдорф. 1989), Международной конференции «Солитоны и хаос» (Брюссель, 1990), Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Красновидово, 1996, 2000), сессиях Научного Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 1991,1998, 2002, 2004) Международной конференции «Рубежи нелинейной физики» (Н Новгород, 2001, 2004), на научных семинарах ИОФ РАН, ИКИ РАН, НИРФИ, ИПФ РАН

Публикации

Диссертация написана по материалам 34 опубликованных работ Из них 31 статья - в реферируемых журналах и изданиях и 3 работы - в трудах международных конференций

Личный вклад автора

Работы, составившие содержание диссертации, выполнены соискателем в соавторстве Автор принимал участие в выборе направлений исследований, в постановке и решении задач, а также в формулировке и обсуждении результатов При этом в получении основных результатов диссертации ему принадлежит ведущая роль Автором лично предложены идеи и выполнены разработки как общей схемы малого параметра для солитонов, так и алгоритма построения приближенного решения задачи о взаимодействии уединенных волн Ему же принадлежат идеи и реализация модернизации приближенного описания взаимодействия солитонов и моделирования сильно нелинейных волновых процессов ансамблями взаимодействующих уединенных волн Апробация этих общих схем и алгоритмов частично выполнена на паритетных началах с соавторами

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения Объем диссертации составляет 251 страницу, включая 27 рисунков и список литературы 110 наименований (из них 34 статьи по теме диссертации)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор основных проблем, обсуждаемых в ней, формулируются цели и задачи исследования, кратко излагается содержание работы и приводятся основные положения, выносимые на защиту

Первая глава посвящена разработке метода малого параметра для со-лнтонов, дающего описание эволюции одиночного солитона под действием различного рода возмущающих факторов применительно к системе уравнений поля первого порядка достаточно общего вида

В разделе 1.1 указаны основные положения, закладыаемые при построении методов возмущений для солитонов, отмечаются различия в построении приближенных решений с помощью прямых методов возмущений и методов, использующих близость исследуемых уравнений к точно интегрируемым

В разделе 1.2 излагается общая последовательность действий при построении прямых методов возмущений следующая Рассмотривается волновая система, имеющая вид N нелинейных уравнений первого порядка

м(Ф1,Ф1,Фу,Ф„е ) = 0 (1)

где Ф = {Ф),Ф2, Фд,} - совокупность полевых переменных, М - N - компонентный столбец нелинейных функций, 8 - малый параметр Предполагается, что в отсутствие возмущений( 8 = 0) система (1) допускает устойчивое решение в виде уединенной волны > С = х-у1 , характеризуемой параметрами А = {АиАг, Ат] (амплитуда, скорость, координаты центра солитона и г п ) При наличии возмущеняй( е Ф 0), решение (1) ищется в виде ряда

ф(г,г) = Ф<0) + " Ф("] (г.Г), (2)

п

а поправки Ф^ находятся из решения линейных задач

где Ь - оператор в частных производных (по£,г), получающийся линеаризацией (1) относительно при £ = 0 Далее решения Ф(и)из(3), представляются в виде разложения

Ф<">(?,/)=Х4И)(0г(Ш)л^) <1

по полной системе собственных функций дискретного (/.,) и сплошного спектра (/¡) спектральной задачи для оператора! Типичная особенность решений в представлении (4) - это секулярная (степенная по /) расходимость коэффициентов , возникающая при наличии резонансов При

этом рост коэффициентов обычно связан с ростом размеров области,

занятой полем излучения, и не приводит к росту собственно поправок Ф*"'

8

В то же время растущие коэффициенты С^ заведомо приводят к расходимости соответствующей части решения Ф^ (4) Среди набора { fd\ всегда

есть собственные функции вида дФ^ / дЛ,, отвечающие нулевым собственным значениям спектральной задачи Когда набор собственных функций {/Л ограничивается только этими функциями, растущая часть поправки

Ф^ приводит к сдвигу волны Ф-0' как целого в пространстве пара-

метров А (например, при п = 1 Ф(0^ =

= ^A + ä tj,a,~0(s )) Отсюда следует способ подавления секу-лярной расходимости достаточно считать параметры А, медленными функциями времени Д(т ),t=e t и потребовать выполнения условий

ортогональности jfjH^dC, = 0, которые представляют собой ОДУ, определяющие зависимости А, от t Так. в первом приближении п = 1

Малые поправки, сопровождающие эволюционирующую в соответствии с (5) уединенную волну, после выполнения условий ортогональности полностью определяется интегральной частью (4)

В разделе 1.3 развивается квазистационарная теория возмущений, когда для поправок Ф(п) зависимость от t и г оказывается медленной в системе координат, движущейся со скоростью уединенной волны Рассматривается случай, когда при s = 0 система (1) допускает частное семейство решений в виде плоских стационарных волн, зависящих от одной фазовой переменной - ш t-kx При е ф 0 решение ищется в виде ряда.

Ф(х,0 = Ф(о)(4 " ф <">($ ,р ,т) . (6)

и-1

Поскольку в данном случае задача = Я("] представляет собой

систему ОДУ, ее общее решение может быть записано в квадратурах

%

Ф

(7)

где С*"* (р ,т) - постоянный (независящий от £) вектор, У - матрица фундаментальной системы решений уравнения Ь¥ = 0, ¥+ - аналогичная матрица для сопряженного уравнения Ввиду того, что при С, -> ±оо оператор

L становится автономным, асимптотики всех фундаментальных решений (как и асимптотики солитонного решения Ф^ (С^)) имеют экспоненциальный вид. Yt ±оо)~ е^, i = l, N Поэтому типичная особенность

решений (7) - либо экспоненциальная, либо секулярная расходимость при Q ±оо Если среди фундаментальных решений имеются такие Ya, которые экспоненциально растут при £ ±оо (а значит, Y* экспоненциально убывает), то ограниченность соответствующих слагаемых в (7) может быть достигнута при выполнении условия

со

р^7„+Я(л)= 0 (8)

о

Неисчезающие, но конечные при ±со фундаментальные решения Yt приводят к секулярному росту Ф(п), для устранения которого необходимо положить

hmY;H(n)= О (9)

Если условия (8)-(9) выполнены, то решения Ф(п) ограничены при всех £ Так, возмущения, отвечающие растущим Ya и стремящимся к нулю при % ±а> векторам, локализованы (исчезают при % -> +<») и описывают искажения стационарной структуры солитона вблизи его центра. Возмущения, отвечающие неисчезающим векторам Y„ оказываются крупномас-пггабными по сравнению с размерами уединенной волны и представляют

собой поле излучения солитона (т, р) = ф'"' —> ±оо, т, р) Условия (9) при каждом п представляют собой независимые уравнения для нелокализо-ванных компонент предыдущего приближения Для получения не-

прерывного при всех решения уравнения (9) должны быть дополнены условиями сшивки величин Ф^ и Ф:"-', которые следуют из анализа выражения (7) в области "К |«(е X ) 1 и имеют вид

4Q0

[фН] = фМ-ф(")=}; y;H("\ 1=1 + 1 т + \ (10)

-оо

Описанная процедура во многом аналогична той, что имеет место в методах сращиваемых асимптотических разложений общее решение содержит область быстрого изменения поля (внутренняя область) и область с медленным изменением поля (внешняя область) Наиболее трудным моментом в методе сращиваемых асимптотических разложений является процедура сшивки решений, отыскиваемых отдельно во внутренней и внешней

областях. В изложенной выше схеме сшивка выполняется тождественно, если выполнены условия ограниченности (8)-(9)

В разделе 1.4 общая схема построения приближенных решений в квазистационарном приближении иллюстрируется конкретными примерами, имеющими непосредственный прикладной интерес все примеры относятся к числу наиболее типичных волновых систем, интерес к которым не ослабевает в течении вот уже нескольких последних десятилетий Кроме того, приводимые примеры допускают простой переход на уровне окончательных формул от систем, близких к точно интегрируемым, к системам, не имеющим точных решений уже в невозмущенном (нулевом) приближении

в разделе 1.4.1 рассматривается обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза

Ф, + ФРФХ +Ф(х2?+1) = 8 Я[Ф] . (10

где Я[Ф] - некоторый оператор, на вид которого накладывается единственное ограничение Л^Ф^ ] -»■ 0 при £ —> ± оо Физические реализации

процессов, описываемых в рамках (11), весьма разнообразны ионнозвуко-вые и магнитозвуковые волны в плазме, гравитационные и гравитационно-капиллярные волны на поверхности мелкой воды, внутренние волны в стратифицированной жидкости, длинные волны в решеточных системах и т д Солитонное решение (11) при е = 0 и любых р и если оно существует, имеет следующий вид Ф^ = у1/р<р (у1/2? £ =-х-уй В случае д = 1 и любом р > 0 решение ср (С, ) известно в аналитическом виде, а при р- 1

и д = 2 найдено численно Кавахарой и было названо осциллирующим за немонотонный характер поля солитона в асимптоти-

..1/4 Л Л.1/4

Согласно изложенной в п

ках Ф^ ±оо) ~ ехр --—|£, | cos -— V ^ J ^ 2

1 3 схеме для ограниченности решений Ф^ необходимо и достаточно вы-

-ко

полнения двух условий ортогональности f Ф^Н^ - 0, km Н^ - 0, из

которых в первом приближении следуют уравнения для скорости солитона и полей излучения

dv 2е V'

,('-1 /Р)

di ( 2 _ 1_ \.Р 2Ч.

Ф

<Ф>'

3ТФ«-8Ф»=0, (12)

где()= | ск, г = , а слагаемое 8 Ф^ появляется в (12) лишь, если

-оо

[Ф] в (11) содержит линейный по полю Ф член

Из выражений (12) следует решение и для случая, когда в начальный момент времени возмущения полного поля отвечает «чистому» солитону Поле излучения в этом случае представляет собой ступеньку, непрерывно вытягивающуюся из солитона в сторону, противоположную направлению его движения Распределение поля в ступеньке в произвольный момент времени имеет вид

фГ(р ,т ) = ±Гф(,)] ехрЪ (/-/(*,)). (13)

где знаки ± относятся соответственно к случаям V < О, V > О

в разделе 1.4.2 обсуждается система уравнений Захарова

= ' (14)

где ¥ - комплексная огибающая высокочастотного поля, п, и - компоненты низкочастотного поля Система (14) описывает взаимодействие ленгмюров-ских и ионнозвуковых волн в плазме, поверхностных и внутренних волн в стратифицированной жидкости, электронные возбуждения в длинных спиральных молекулах Она удобна для изучения оптических и акустических колебаний в сложных решетках Сол итонное решение системы (14) при е=0 имеет вид

=ф<% )ехрг^ +ф ^ „(°> «(0)

ф(0) =[2я. 2 (1 -у2)]"2«*"'*. % , =х-1Л, ф и

V2

X 2=<а +й----(15)

4

Система (14) допускаег независимое существование низкочасто! ного поля {п,и} (при г -0 и ? = 0), эволюционирующего согласно волновому

уравнению При е^О предполагается, что Я = «(р ,т ), й = й(р ,т ) Из условий ограниченности поправок ^ЯеФ^.ЬпФ^^ к огибающей высокочастотного поля

+СО

ф[0) КеН1"] = 0, Ф<л !тН{п) =■ О,

-со —со

следует система уравнений для скорости v и обратной ширины (Л.) солито-на

^ (l-v2)] = /?„(*,,v,<p,A,T,p),

(16)

dñ ' Здесь значение величин X ,ñ,— берутся при р = х5 = ív(t')dt', а

Ф о

функции Fr¡ определяются возмущающими факторами (R.Q) в (14) После выполнения условий ортогональности возмущения Ф(п) оказываются локализованными и стремятся к нулю при ^ —> ±сс как \ 2 ехр(-Х || и

\ exp (-Х [) (излучение в высокочастотной компоненте отсутствует)

(и) (я)

В то же время для низкочастотных компонент поля w ' ,у> ' типично наличие крупномасштабных возмущений nj'^, , эволюция которых определяется уравнениями, следующими из алгебраических условий ортогональности

дхи<"> + = е Q, дхп™ + 5р4я) = 0 (17)

В случае Q-0 естественное требование отсутствия источников на бесконечности \ ±оо позволяет сразу написать решение (17) в виде расходящихся от солитона волн-

„<">=„<">(р -т), ii«=-,¿">(p +х),

профили которых определяются из условий сшивки (10)

В разделах 1.4.3, 1.4.4 обсуждается применение развитой теории возмущений к нелинейному уравнению Шредингера и нелинейному уравнению Клейна-Гордона Приводятся уравнения, описывающие эволюцию параметров уединенных волн и делается заключение об отсутствии длинноволнового излучения в этих моделях

В разделе 1.4.5 констатируется, что предложенный подход позволяет получить описание как главного члена разложения приближенного решения - солитона с медленно меняющимися параметрами, так и наиболее значимых крупномасштабных возмущений, возникающих при эволюции уединенных волн и интерпретируемых как поля излучения Вместе с тем отмечается, что полученные решения, являясь всюду по £ ограниченными функциями, оказываются, вообще говоря, неравномерно пригодными, поскольку асимптотики поправок после выполнения условий ограниченности со-

держат слагаемые, пропорциональные^ [£; |), так что, не-

смотря на убывание поля поправок Ф(!) при|^|->ю, отношения Ф(1)/Ф(0),

итд оказываются растущими функциямипри|—>оо В задачах об эволюции одиночных уединенных волн указанная особенность не сказывается кардинальным образом на полученных результатах, поскольку область непригодности приближенных решений находится далеко от центра солитона, где поля поправок (Ф(1)) и солитона (Ф{0)) малы В то же время при изучении взаимодействия уединенных волн отмеченная особенность оказывается существенной для описания процессов столкновения

В разделе 1.5 обсуждается аналогия между динамикой солитонов и классических частиц, которая наиболее наглядно обнаруживается при рассмотрении теории возмущений для уединенных волн применительно к системе уравнений поля в лагранжевой форме

д дЬ 8 дЬ 51 „ г, . т ,,„.

--+ —----= в Л, |Ф,х,/1 , (18)

&дФи а*, дФ^ дФк п 1

где Ь - плотность функции Лагранжа, Ф(х,/)-Л' - компонентная вектор-функция {к — 1, 2, , Ы) Схема последовательных приближений Ьк1Ф^ = Н^ здесь строится на основе неодномерного (по числу переменных самосопряженного оператора Ьи,

В первом приближении по малому параметру условия ортогональное ги

могут

Г _ (о) Л

я «4 = о

Я® трансляционным модам оператора Цк с виду, представляющем

(19)

быть преобразованы к виду, представляющему собой уравнения Ньютона ¿т'

с силой = || [ф(0), х$, * ] -

д

дФ,

1Х1 у

и импульсом

р = -- с1Ё, , 1 = 1,2,3, равным полному волновому импульсу

солитона Таким образом, движение солитонов под действием возмущений эквивалентно движению классических частиц под действием соответствующих сил

В разделе 1.6 показано, что использование алгоритма построения решений в квазистационарном приближении позволяет не только описать эволюцию солитонов под действием заданных возмущений, но и сгроить

самосогласованные модели процессов и явлений, связанных с уединенными волнами Ниже обсуждается задача о долговременном описании эволюции неустойчивого квазиплоского солитона в рамках уравнения Кадомцева-Петвиашвили в средах с положительной дисперсией

(4Ф, + 12ФФХ + Фш - ЗФ^, (20)

имеющего одномерное солитонное решение , д) -х-ф-з,

для которого известен явный вид неустойчивой моды ехр(Х 1 + 1ку) с инкрементом неустойчивости

Х,Х г=кг{с[2 - к} Вблизи критического значения к-> кс=д2 рост неустойчивой моды протекает медленно, что закладывает предпосылки для приближенного описания эволюции поперечного возмущения с малым параметром задачи г ~ X

Для построения асимптотической схемы описания неустойчивости в области к кс вводятся «медленные» переменные время Т = е I, поперечная координата Г=€2 у, описывающие возникновение линейной неустойчивости, а также «медленная» продольная координата Х=г х и еще более медленное время т =е3 г, по которому происходит эволюция поля излучения

Детальный анализ показывает, что нелинейные эффекты будут проявляться в том же порядке малости, что и линейная неустойчивость, если разложение искомых решений имеет вид-

Ф = Ф(°)(^ ,?) + |> "/2ф(я/% ,Х,¥,Т,х ,), (21)

п=I

а поправки последовательно определяются из линейных задач

ЬФ ("/2)=я(л/2)

№ л0/2) лОг1^

, Ь = -4уЭ2 +125| (Ф(0) ) + - ЗЗ2.

/

В разделе 1.7 путем последовательного (по п) исключения экспоненциальной и алгебраической расходимостей поправок Ф(и/2^ выводятся уравнения для амплитуды (Ь) неустойчивой моды и поля излучения Ф", возникающего из-за развития неустойчивости

V ~ Щ*Ьу + д'ЬЩ* + 2д'ЪФ~ = 0, (22)

(4ф; +\2ФФх + Фххх )х = ЗФ„ (23)

с граничными условиями на солитоне, которые для уравнения (23) являются начальными

Ф-(ХГ,Т=0) = Ф№) =

(2£> = 2|Ь^/д + 0(е ) при Х>Х,(0) ^

[ 0 при Х<Х5(0)

Уравнения (22)~(24) приближенно описывают динамику неустойчивого поперечного возмущения от начального роста до финального насыщения

В заключительном разделе 1.8 кратко сформулированы основные результаты, полученные в первой главе, и проведено сравнение различных вариантов теории возмущений для солитонов

Вторая глава посвящена проблеме приближенного описания взаимодействия солитонов, применительно к системам достаточно общего вида, допускающим лагранжеву формулировку В разделе 2.1 обсуждаются возможные подходы к приближенному описанию взаимодействия солитонов, использующие различные варианты теории возмущений для солитонов В разделе 2.2 излагается алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов, использующий квазистационарную теорию возмущений и метод сращивания асимптотических разложений

В разделе 2.2.1 формулируются общие положения предлагаемого подхода Рассматривается достаточно разреженный ансамбль уединенных волн, имеющих близкие параметры (скорости, амплитуды и т п ) Естественным малым параметром задачи является малость относительной скорости солитонов Это позволяет считать задачу квазистационарной и использовать для ее решения метод возмущений (п 1 3) Общее решение строится следующим образом В каждом приближении решение вблизи каждого г-го солитона (внутренние области) ищется в виде разложения

п

где С,-х- VI, V и 5, (т ) — средняя по ансамблю скорость солитонов и медленно меняющаяся координата центра г-го солитона,

т = г 1,р -е х,г ~ Б, /Ы Поправки Ф^"' находятся из решения линей-

ных задач ¿,Ф(в) = ) и сращиваются в облас-

ти между солитонами (внешняя область), где решение представляется разложением Ф0 (а:,/) = р), а величины Ф^ определяются из

уравнений ¿0Ф^ = Н^ Ф^) Д и ¿0 - операторы в частных

производных, полученные линеаризацией исходных уравнений (1) относительно 1-ого солитона и однородного состояния системы соответственно В разделе 2.2.2 поставленная задача решается в первом приближении,

когда h[V) -

, - 0 Соответствующие решения имеют

дФ,

вид: Ф® = S,a ——, где ф^(^) - главная асимнто-

V а '=1

тика разложения солитонного решения Ф-01 = (С^) ПРИ

*=1

j^j -»• оо, удовлетворяющая уравнению £0<р^ = 0 Каждая асимптотика Ф^согласуется со своим 0-м) солитонным решением и ввиду

быстрого спадания поле имеет более высокий (второй по преположению) порядок малости вблизи внутренних областей соседних уединенных волн

Поправки Ф^ - локализованные функции, убывающие при |£-S,|-»oo

также быстро, как и Ф(0) ^ - 5, j, и поэтому имеют во внешней области

второй прядок малости

В разделе 2.2.3 приведено решение задачи во втором приближении, когда | дМ

/5Ф, v ' /aß

Решение, отвечающее второму слагаемому в Н^, имеет вид Ф^ = ^-Sra 5/р и является локализованной функцией, достраивающей

(Ч (С «(С -V)

солитонное решение до квазистационарного Ф1

С, -S^F + S, с точно-

стью до величин 0(езу. аналогично решение - 5;а ф^ (С, ~ ^ )' от~

1

вечающее первой сумме в Н^, перестраивает главные асимптотики ( ° ^

в <р® ^ -,К + Я, Сумме квадрагов главных асимптотик в

V /

Н^ отвечает решение Ф§* = ) > представляющее поля соли-

г

тонов во внешней области с точностью до величин ср^ Произве-

дениям главных асимптотик разных солитонов в Н^ отвечает решение, связанное с полями излучения

В разделе 2.2.4 выводятся уравнения движения для координат центров

солитонов, вытекающие из условий сшивки растущих при - Я, | <» решений из внутренних областей , обусловленных первым слагаемым в

Н^ ~ 5га Ф^ , с главными асимптотиками полей соседних уединен* ЗФ(

ных волн Задача выделения в решении Ф^ части,

имеющей такое же поведение, как и у ср® ^ , решается с помощью

замены и требования ограниченности величины

у»

Ф^, те выполнения условий ортогональности |^ - | = 0,

> которые и представляют собой искомые

з*>

уравнения

¿2 8,

т.

(II1

В разделе 2.2.5 суммируются сведения о характере полученных членах в разложениях внешней и внутренних задач и приводится выражение для приближенного Л'-солитонного решения

í о

ф

+

демонстрирующего, что с учетом взаимодействия Ы-солитонное решение отличается от суперпозиции квазисолитонов поправками второго порядка

малости, часть которых ^Ф^ описывает деформацию уединенных волн

(вообще говоря, неквазистационарную), а другая часть ^ф'2^ является

крупномасштабной по сравнению с размерами уединенных волн и представляет собой поле излучения солитонов

В разделе 2.3 общий алгоритм построения решения задачи о взаимодействии солитонов применяется к уравнениям поля в лагранжевой форме В рамках этих уравнений показано, что величина силы Р определяется частью импульса поля, передаваемого от одного солитона другому, что до-

называет выполнение соотношения ^ (5, -5,) = -5, | и тем самым

устанавливает полную аналогию между взаимодействием солитонов и классических точечных частиц Кроме того, для лагранжевых систем устанавливается потенциальный характер сил взаимодействия между солитонами

дЬЕ_+дЬк ЭФ/, 9Ф,

ЗС дФ,

д " "Р у

а элементы тензора массы та9 классической частицы непосредственно связываются с компонентами Ра полного волнового импульса солитона та? =дРа/д¥р В результате динамика взаимодействия уединенных волн в

рамках второго порядка теории возмущений эквивалентна динамике классических частиц с эффективным лагранжианом Хэфф

Афф=Й>«э ¿«-¿1/(5,-Я,) (26)

Выражение (26) может быть получено и непосредственно из исходного лагранжиана системы ¿(Ф,,Ф;,Ф) после замены переменных поля на

суперпозицию полей квазистационарных уединенных волн Ф, (х, {) -

, интегрирования по С, и разложения по относи-

«-1 V

тельно малым величинам

5,

■0(в 3)

Таким образом, приведенное рассмотрение демонстрирует справедливость усредненного вариационного принципа Уизема и в задачах о взаимодействии солитонов

В разделе 2 4 дана классификация типов взаимодействия и сформулированы условия существования связанных состояний одномерных солитонов Возможность такого общего рассмотрения обусловлена тем, что зависимость парного потенциала взаимодействия {/(5) от 5 качественно повторяет зависимость главной асимптотикой поля (С,) отдельного соли-тона от^, которая в одномерном случае имеет типичный вид

При монотонной зависимости С/ (5) взаимодействие соответствуе! либо только отталкиванию, либо только притяжению, причем в последнем случае возможно существование возбужденных связанных состояний

При немонотонном потенциале взаимодействия оказываются возможными как инфинитные движения, так и стационарные связанные состояния солитонов, отвечающие экстремумам зависимости и (Б). Впервые такие

связанные состояния были найдены и описаны для солитонов обобщенного уравнения КдВ при р= 1, # = 2, имеющих осциллирующую асимптотику

Ф® (£) - ехр^-Х 1 | созХ 2 Вычисленные на основе уравнений для

классических частиц сдвиги фаз солитонов и периоды колебаний уединенных волн в возбужденных связанных состояниях согласуются с соответствующими зависимостями точных решений в области применимости приближенного описания

В разделе 2.5 приведено приближенное решение задачи о взаимодействии двумерных солитонов уравнения Кадомцева - Петвиашвили, позволившее существенно дополнить картину многосолитонной динамики, несмотря на наличие точных ЛГ-солитонных решений

Решающим моментом при исследовании уравнений для классических частиц (25) применительно к солитонам КП является переход к комплексным переменным = , преобразующим (25) в точно интегрируемую систему частиц Калоджеро - Мозера на комплексной плоскости с гамильтонианом

Координаты частиц г (/) являются собственными значениями матрицы В

начальные значения координат и скоростей частиц Из точных Ы-солитонных решений К-П обычно извлекался лишь тривиальный результат-после взаимодействия солитоны не только восстанавливали свои параметры, но, двигаясь по неизменным траекториям, не приобретали задержек и опережений Отсутствие каких-либо следов взимодействия двумерных солитонов порождало даже заключение, что такие солитоны вообще не взаимодействуют Этот же результат следует и из приближенных решений в общем случае Однако кроме ситуаций общего положения существую! и решения с совершенно отличными результатами взаимодействия

с элементами В^ =\г]()+уь^*--— ],к = 1,2, И, где 2]й,г}о

V ) 2ы

Простейшие двухчастичные решения описываются комплексными кривыми второго порядка 1 + 2Яг2, = [я + )Т» где Н - Нг+ - комплексный гамильтониан (константа), г0- действительная величина (прицельный параметр) Траектории частиц имеют характерный разворот в направлении перпендикулярном первоначальному движению частиц Наиболее отчетливо этот эффект проявляется при горизонтальном движении

Я, -0,г0 —> 0 Если же и относительная скорость сближения но л/я^)

стремится к нулю, то траектории представляют собой гиперболы При этом при / -> -оо из-за взаимного притяжения солитоны, следовавшие друг за другом, начинают сближаться (по х) и расталкиваться по оси у В результате при Г -н» образуется пара солитонов, бесконечно удаленных по у, движущихся параллельно друг другу вдоль оси V (бесконечный фазовый сдвиг) При этом расстояние между частицами изменяется как ~ , т е аномально медленно по сравнению с типичной ситуацией ( ~ 1}

Еще более существенные особенности можно выявить для многочастичных взаимодействий Здесь оказываются возможными неизвестные ранее стационарные связанные состояния с числом частиц равным N - М(М + 1)/2 = 1Д6,

Простейшей является конфигурация из трех частиц, располагающихся в углах правильного треугольника с произвольным расстоянием между частицами и углом поворота в плоскости х, у Аномально медленные варианты рассеяния здесь связаны с прохождением частиц вблизи равновесной конфигурации и происходят еще медленней (~г'/3 ) Отметим, что все стационарные связанные состояния неустойчивы

В разделе 2.6 решается задача о взаимодействии солитонов в заведомо неинтегрируемой модели, демонстрирующая возникновение хаотического рассеяния при взаимодействии всего двух уединенных волн

Термин «хаотическое рассеяние», заимствованный из классической механики, означает очень чувствительную зависимость параметров уходящих траекторий от величины параметров входящих (например, зависимость угла отклонения от прицельного расстояния) Распределенной моделью, демонстрирующей явление хаотического рассеяния, является консервативная версия уравнения Свифта - Хоэнберга

Фя+а Ф-Ф3(1 + Д)2Ф = 0 Это уравнение допускает существование устойчивых двух- и трехмерных локализованных решений Ф(0' (С1**) * 0 <]у| < 0,9 В пределе V •-•» О

решение становится аксиально (сферически) симметричным Ф(0' |j, а его асимптотика имеет осциллирующую структуру ф^' | ~ Rel0 (¿С), к2 =

= 1+1^4 ^ = )-функция Бесселя нулевого порядка

В соответствии с общими выражениями для массы и парного потенциала взаимодействия для пары уединенных волн получаются классические уравнения движения частицы в центральном поле

-p=-VU(S), s = s2-s}, £ = [s|,

а структура зависимости U(S) от 5 повторяет осциллирующую зависимость асимптотики ср® (С,) от С, Из-за угловой симметрии задача, очевидно, сводится к одномерной по S с эффективным потенциалом £/,фф= ~U(S) + M2S~2, где М- момент импульса частицы При умеренных значениях величины М потенциал ?Уэфф содержит большое, но конечное число ям и горбов, которые обуславливают существование семейств финитных по S траекторий, и, соответственно, траекторий, начинающихся и заканчивающихся в бесконечности, которые и отвечают за процесс рассеяния Эти последние траектории характеризуются углом отклонения % -2<р ,

Ф = М J (Е~иэфф (S)) 1/2 dS Расходимость интеграла при стремлении S„„„

(минимальное расстояние между частицами) к радиусу неустойчивой круговой орбиты, лежащей на горбе потенциала U (5'), вызывает резкую зависимость % от М Т1ри этом траектории имеют вид накручивающися, а после достижения Smm раскручивающихся спиралей Прямые численные расчеты в рамках исходного уравнения в целом подтверждают описанную картину

В заключении отмечается, что весьма разнообразными (из-за неодномерности) оказываются стационарные связанные состояния обсуждаемых солитонов.

В третьей главе обсуждается вопрос о модернизации приближенного описания взаимодействия солитонов с целью выявления эффектов, дополняющих концепцию взаимодействия солитонов как частиц

В разделе 3.1 приведены примеры «улучшенных» уравнений движения для координат центров взаимодействующих солитонов, относящихся к моделям КдВ и С-Г Согласно алгоритму п 2 2 учет более высоких приближений (п = 3,4) приводит к следующим поправкам к силе F (S^e^,

О 2

из (25) для этих моделей S(2-S) e~s, и l6e'2S-S«, (1 + S)e_i Отмечается,

что характер изменения движения солитонов, обусловленный поправками такого типа, связан с эффектами запаздывания и зависимостью структуры

потенциала взаимодействия от параметров задачи ^

Существенной особенностью рассмотренных примеров является ограниченная область применимости «улучшенных» уравнений движения 5 5, 5 «1 Указывается, что такого рода особенности характерны для «улучшенных» уравнений движения и не позволяют в полной мере изучать эффекты, дополняющие концепцию взаимодействия солитонов как классических частиц

В разделе 3.2 обсуждаются условия равномерной пригодности полученных приближенных решений Отмечается, что неэффективность учета высших приближений при описании динамики взаимодействующих солитонов обусловлена особенностями структуры приближенных решений Как уже отмечалось в п 1.4, типичной особенностью решений, получаемых с помощью квазистационарной теории возмущений, является их неравномерная пригодность по С, Эта особенность присуща и построенным решениям задачи о взаимодействии солитонов и проявляется вдали от центров уединенных волн, т е во внешней области

С целью устранения обсуждаемой особенности проводится замена «точечных» характеристик солитонов - координат их центров 5, (/) - на распределенные фазовые переменные 5, (х,(), медленно зависящие как от

времени, так и от координат Эта замена оставляет, очевидно, без изменений главные члены разложения решений во внутренних и внешней областях - это соответственно солитонные решения ф'0^ и супер-

порзиция главных асимптотик уединенных волн^ф® (*>')>*') ^т-

1

личия появляются в решениях первого приближения во внутренних областях и в решении второго приближения во внешней области |, когда в правых частях уравнений, определяющих эти поправки, наряду с производными 35, / возникает зависимость и от величин <35, / дха

В общем случае указанную особенность удается устранить для плоских уединенных волн, распространяющихся под произвольными углами и зависящих от одной фазовой переменной £ = каха -са г, а = 1,2,3 Для таких солитонов главные асимптотики определяются из линейных ОДУ и поэтому имеют экспоненциальный вид V") = А (\>) <?\. V = |уа = юка / к21, а

четыре параметра щ, ка , три из которых независимы, естественно связываются дисперсионным соотношением, следующим из уравнения Ь0 = 0,

гдМ, Л

дФ

+ к„

гдМ^

1> /о

дМк

эф,

(27)

/о

Дифференцирование по параметрам со, ка уравнений ¿0ф^ = 0 позво-

ляет представить искомые решения для Ф„2) в виде

Ы да К '> дх„ ^ ' а'

+ ,(28)

где точками обозначена часть решения во внешней области, отвечающая произведениям главных асимптотик в Н^ и остающаяся равномерно пригодной Неравномерная пригодность поправок Ф^ обусловлена содержащимися в выражениях <3ф(1) /да, ду® /дка слагаемыми вида £ , для выделения которых необходимо учесть неявную зависимость от со, ка в показателе экспоненты е" Из равенства двух представлений фазовой переменной X (у) (ух-^) и £=каха-со г, следует, что X (у) со _1=Цсо,ка) = 1

В результате интересующая нас часть решения принимает вид

ф:

(2)

гд8, дХ дБ, дХ Л

к д! да дха 5ка

дА дБ, | ЗА дБ, ^ дт & дка дха )

(29)

откуда следует, что поправка Ф^ будет равномернопригодной во внешней области, если фазовые переменные 5, удовлетворяют уравнениям

95, да дБ, л

--4---

Зг1 9к„ дх„

(30)

где даз/дка = ~{дХ/дка^/дХ/да

Таким образом, возмущение фаз солитонов 5, (х,е) согласно (30) переносятся со скоростью, которая по аналогии с квазигармоническими процессами может быть названа групповой скоростью солитонов

В разделе 3.3 приводится описание взаимодействия солитонов в рамках модернизированного подхода В разделе 3.3.1 выводятся уравнения движения для фаз солитонов. Отмечается, что кроме уравнений (30), вытекающих

из условий равномерной пригодности приближенных решений, для величин остаются в силе и уравнения (25), следующие из условий

сшивки решений из внутренних областей Ф^ с растущими по отношению к данному (г-ому) солитону главными асимптотиками полей соседних уединенных волн (С - ^ ) , ] * 1 После замены 5, (г) (х, г) эти последние уравнения преобразуются в систему уравнений в частных производных второго порядка В случае лагранжевых систем эти уравнения имеют вид

где постоянные коэффициенты представляют собой произ-

водные от величины исходного лагранжиана, проинтегрированного на одном солитоне.

Таким образом, для величин 5, (х,/) имеется две системы уравнений Переопределенность задачи накладывает ограничения на зависимость искомых величин (х, ?) от координат и времени Эти ограничения состоят в

редукции исходной системы координат (х,?)к характеристической Г|а -ха -дф/дке(, а =1,2,3 (на единицу меньшей размерности), задаваемой уравнением (30) В результате зависимости фаз Я, от г|а , отвечающие взаимодействию солитонов, находятся из решения системы уравнений (31), которая после перехода к переменным г)а приобретает вид

(32)

. да дсо г 9й , лг

гДе кг -ТГ^К / = !-2' а 1'2'3 - постоянные ко-

дка дку ЭАр р

эффициенты

В разделе 3.3.2 приводятся примеры решения задачи о взаимодействии солитонов в рамках модернизированного подхода Рассмотрены одномерные модели, описываемые уравнениями КдВ, МКдВ и расширенным уравнением КдВ (уравнение Гарднера) Примечательно, что в одномерном случае имеется всего одна характеристическая координата т) = х-(<Зсо/5к.) г

и уравнение (32) для фаз солитонов становится ОДУ и имеет этот же вид, что и в обычном варианте приближенного подхода Однако теперь решение этих уравнений определяет не только временную, но и пространственную эволюцию параметров солитонов и позволяет трактовать взаимодействие уединенных волн как столкновение частиц, вообще говоря, протяженных и деформируемых волновым же образом

25

В разделе 3.3.3 показывается, что точные ЛГ-солитонные решения рассмотренных в п 3 3 2 моделей допускают представление в виде суперпозиции солитонов с переменными параметрами Структура поля, описываемая точнми и модеринизрованными приближенными решениями, полностью совпадает Отмечается, что в случае модели КдВ кроме солитонных компонент в точных и приближенных решениях присутствуют и поля излучения, сосредоточенные в областях между уединенными волнами и исчезающие при / —> ±со Отличие приближенных решений от точных заключается

лишь в точности определения фазовых переменных 5,(г|) и ©Дт|,б2г) При этом точные выражения для фаз ©, (т|,е2г) допускают разложение вида

__со

©,=5,(т!+£2г,Л), причем такие, что 5, при

»=1

всех х,1 и е<1 (е =1-отвечает бесконечном большому отношению амплитуд (скоростей) сталкивающихся солитонов) Отмечается, что найденное представление точных А^-солитонных решений и полученные модернизированные приближенные решения впервые позволили провести оценку приближенных решений на аналитическом уровне, а задачу о взаимодействии солитонов рассматривать как квазистационарную задачу теории возмущений В заключительном разделе 3.4 обсуждается универсальный характер предложенного описания взаимодействия уединенных волн, отмечаются примеры его использования в описании взаимодействия вихревых структур в гидродинамике и локализованных образований в неравновесных системах

В четвертой главе обсуждаются вопросы описания эволюции волновых полей, которые могут быть представлены и эффективно описаны совокупностями взаимодействующих солитонов

В разделе 4.2 отмечаются недостатки метода усреднения, обычно используемого при при описании модулированных нелинейных волн Показано, что значительно более эффективное описание получается, если волновое движение рассматривать как последовательность отдельных «частиц» -солитонов, взаимодействующих между собой При этом эквивалентом уравнений для огибающей периодической волны выступают уравнения простейшей цепочки связанных нелинейных осцилляторов

= (33)

Отмечается, что в рамках уравнений (33) просто и нагядно решается вопрос об устойчивости нелинейных периодических волн

В типичных для одномерных волновых процессов случаях, когда соли-тоны имеют экспоненциальную асимптотику и и (5) ~ ехр (-Х Б), уравнения (33) являются известными интегрируемыми уравнениями решетки То-

да Среди решений (33) хорошо известны решения в виде уединенных и периодических волн, которые по отношению к исходной периодической волне естественно назвать стационарными волнами огибающей Ввиду интегрируемости уравнения (33) взаимодействие солитонов огибающей не меняет их числа и сохраняет параметры сталкивающихся уединенных волн Существование же периодических волн огибающей позволяет представить их в виде последовательности солитонов огибающей, динамика которых описывается, очевидно, снова уравнением решетки Тода (33) В результате можно построить решения в виде иерархии волн огибающей, представляющие собой многопериодическую волну с некратными, вообще говоря, периодами Такие решения, по всей видимости, соответствуют так называемым /\/-зонным решениям, известным для интегрируемых моделей

Значительно разнообразнее динамика квазипериодических волн в случае, когда солитоны, представляющие такую волну, имеют немонотонную асимптотику, например, как у осциллирующего солитона В этом случае (7(5) ~ е"Х] 5 со.чк2$ (см п 1 4, п2 4) При изменении среднего расстояния

между солитонами решетка, а, следовательно, и исходная периодическая волна последовательно попадает в устойчивые и неустойчивые зоны. Отмечается, что динамика волновых процессов в устойчивых зонах близка к только что описанной (для О (Б) ~ ехр^—ХБ^), а в неустойчивых зонах

можно ожидать стохастизацию движения солитонов

В разделе 4.3 приведены результаты экспериментов по наблюдению колебаний солитонных решеток в цепочках связанных нелинейных электромагнитных осцилляторов Экспериментально исследовались решетки, составленные из солитонов как с монотонными, так и осциллирующими асимптотиками Констатируется, что в целом имеется весьма полное качественное соответствие предсказанных в п 4 2 процессов и данных экспериментальных наблюдений

В разделе 4.4 обсуждается динамика квазипериодических волн, близких к последовательности составных солитонов, описываемых уравнением Гарднера Поскольку взаимодействие солитонов уравнения Гарднера описывается системой уравнений Каца - Мербеке для координат кинков, формирующих солитоны

то это же уравнение является эквивалентом уравнений для огибающей квазипериодических волн уравнения Гарднера Общее решение исследуемой решетки (34) имеет композиционную структуру и составляется из решений уравнений решетки Тоды (33), отвечающих фронтам и спадам уединенных волн при условии, что эти решения связаны преобразованием Бэклунда Как и в случае колебаний решеток «простых» солитонов, здесь может быть по-

(34)

строена иерархия волн огибающей. Наиболее существенным отличием от п 4 2 является наличие на каждом иерархическом уровне не одного, а двух типов локализованных образований - кинков и солитонов огибающей В отличие от солитонов кинки огибающей при распространении вдоль решетки меняют структуру поля предыдущего иерархического уровня, а два последовательно расположенных кинка разных полярностей формируют со-литон, т е качественно воспроизводится ситуация, имеющая место для солитонов и кинков исходного волнового поля, описываемого уравнением Гарднера.

В разделе 4.5 приводятся результаты моделирования эволюции фронта интенсивных приливных внутренних волн, наблюдавшейся в ходе эксперимента СОРЕ на северо-западном шельфе США в 1995 году Собственно моделирование заключалось в расчете распространения и взаимодействия группы из 9 импульсов-солитонов (формирующих фронт волны) между двумя станциями наблюдения внутренних волн (расстояние ~ 20 км) Для описания внутренних волн использовалась модель Гарднера, а для расчета эволюции группы импульсов - уравнение (34) Констатируется удовлетворительное соответствие результатов расчетов экспериментальным данным как по временам распространения импульсов (испытавших в среднем одно-два столкновения), так и то их расположению в группе, характеризующему структуру фронта приливной волны

В разделе 4.6 представление эволюционирующего поля ансамблем взаимодействующих локализованных структур используется для выяснения механизма трансформации гладкой и регулярной в начальный момент времени картины нелинейного поля в пространственно неупорядоченную при Г оо в рамках градиентой модели, описываемой обобщенным уравнением Свифта - Хоэнберга Прямое численное моделирование уравнения Свифта-Хоэнберга с начальным распределением поля близким к гармоническому и расчет движения координат центров локализованных структур в рамках приближенных уравнений

М^^и^-Б^уи^-Б,), и(Я)~е-х'3созХ28 (35)

показывает, что установление пространственного беспорядка происходит на этапе движения локализованных структур к устойчивому аттрактору, отвечающему их случайному распложению Таким образом, показано, что для модели Свифта - Хоэнберга реализуется эволюционная последовательность гладкое регулярное распределение поля с малой начальной нерегулярностью —» решетка локализованных состояний -» пространственный хаос

В заключительном разделе 4.7 изучается эволюция квазиплоских уединенных волн под действием поперечных возмущений в рамках модели Ка-домцева-Петвиашвили для волновых сред с положительной дисперсией Обсуждение решений этой задачи проводится в рамках уравнений (22)-(24)

для амплитуды неустойчивой моды (А) и поля излучения (Ф_), полученных в первой главе Отмечается, что уравнение для амплитуды (£>) является известным интегрируемым уравнением Экхауса, для которого может быть получено общее решение в явном виде, а с помощью уравнения (24) в явном же виде записывается и решение, описывающее поле излучения

В разделах 4.7.1, 4.7.2 обсуждаются частные решения задачи о развитии неустойчивого гармонического возмущения на фоне плоского и у-периодического стационарного солитона Показано, что развитие неустойчивости приводит к образованию стационарного у-солитона с большим значением периода по поперечной координате Этот процесс сопровождается излучением в виде плоского или ^-периодического солитона малой амплитуды. В общем случае (разделы 4.7.3, 4.7.4) показано, что развитие неустойчивости имеет вид последовательной деградации исходного квазиплоского солитона к длинноволновой двумерной структуре с возрастающей амплитудой модуляции и уменьшением поперечного волнового числа В разделе 4.7.5 проведено обобщение задачи на случай взаимодействия квазиплоского солитона большой амплитуды с относительно малыми и плавными волновыми полями произвольного вида

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1 Построена схема малого параметра для уединенных волн, дающая описание эволюции солиюнов под действием различного рода возмущений в рамках уравнений поля достаточно общего вида, не обязательно близких к точно интегрируемым Алгоритм построения приближенных решений включает условия ограниченности поправок к квазистационарному солитону, которые представляют собой уравнения для параметров уединенных волн и крупномасштабных возмущений, возникающих при эволюции солитона

2 Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов с близкими параметрами, основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений и условиях ограниченности поправок к квазистационарным солитонам Применение этого алгоритма к уравнениям поля в лагранжевой форме показывает, что взаимодействие солитонов в первом нетривиальном порядке теории возмущений описывается лагранжианом для классических частиц с парным потенциалом взаимодействия При этом масса классической частицы выражается через полный волновой импульс солитона, а парный потенциал взаимодействия определяется структурой поля отдельного солитона вдали от его центра

3 Сформулированы необходимые критерии существования связанных состояний солитонов Обнаружены связанные состояния, обусловленные осцилляторной структурой поля отдельного солитона, найдено множество стационарных уединенных волн-мультисолнтонов (плоских, двумер-

ных, трехмерных) Установлено существование неизвестных ранее стационарных связанных состояний двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили

4 Приведена классификация типов взаимодействия одномерных уединенных волн, зависящих от одной быстрой фазовой переменной Найдены и описаны неизвестные ранее режимы «аномального» рассеяния двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили, отвечающие бесконечным фазовым сдвигам Обнаружено явление хаотического рассеяния двумерных солитонов, выяснена его природа, обусловленная расходимостью зависимости угла отклонения от прицельного расстояния сталкивающихся уединенных волн

5 Показано, что дополнение общего алгоритма построения приближенных решений задачи о взаимодействии уединенных волн условиями равномерной пригодности поправок к квазистационарным солитонам позволяет учесть волновую природу солитонов и существенно улучшить аналитические свойства получаемых решений, при этом улучшенные решения остаются близкими к суперпозиции уединенных волн с пространственно-временной зависимостью их параметров в виде стационарных волн, распространяющихся с «групповой» скоростью, отличной от скорости солитонов

6 Для ряда одномерных интегрируемых моделей найдено новое представление тбчных N -солитонных решений в виде суперпозиции солитонов с относительно медленно меняющимися параметрами, в этом представлении точные решения имеют ту же структуру, что и улучшенные приближенные, и отличаются лишь точностью описания фазовых переменных, разложение точных решений по малому параметру, используемому в приближенном описании, оказывается сходящимся при любых параметрах сталкивающихся уединенных волн, что позволяет рассматривать задачу о взаимодействии как квазистационарную задачу теории возмущений

7 Исследована динамика квазипериодических волн, близких к последовательности одномерных солитонов (решетки солитонов) Показано, что движение солитонов с экспоненциальной асимптотикой поля описывается уравнениями решетки Тода, а для систем, допускающих существование уединенных волн с предельными амплитудами и скоростями, - уравнениями Каца - Мербеке (или «ленгаюровской» цепочки) Построены периодические и условно-периодические решения, соответствующие волнам огибающей для исходной последовательности солитонов

Для неравновесной градиентной модели, описываемой уравнением Свифта - Хоэнберга, предложен и подтвержден механизм эволюции регулярного пространственного распределения поля к устойчивому беспорядку путем следующей эволюционной последовательности гладкое регулярное поле с малой начальной нерегулярностью —» решетка локализованных структур —> пространственный хаос

8 С помощью метода малого параметра для уединенных волн получена приближенная система уравнений, описывающая долговременную эволюцию солитонов под действием поперечных возмущений в рамках модели Кадомцева-Петвиашвили для сред с положительной дисперсией Найдено общее решение задачи Показано, что в неустойчивой области развитие модуляции на фоне плоского солитона приводит к насыщению ее амплитуды и образованию поперечно модулированной стационарной волны, этот процесс сопровождается излучением плоского солитона малой амплитуды

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Г Горшков К А, Островский Л А, Папко В В Параметрическое усиление и генерация импульсов в нелинейных распределенных системах // Изв ВУЗов. Радиофизика, 1973, Т 16, вып8 С 1195-1204

2* Горшков КА, Петтовский Е Н, Островский Л А Вопросы асимптотической теории нелинейных волн//ТИИЭР, 1974 Т 62, выпН.С 113-120.

3* Горшков К А, Островский Л А, Папко В В Взаимодействие и связанные состояния солитонов как классических частиц // ЖЭТФ, 1976 Т. 71, вып 2 С 585-593.

4 Горшков К А, Островский Л А, Папко В В Турбулентность солитонов в системе со слабой дисперсией//ДАН СССР, 1977 Т 235, вып 1 С 70-74

5* Горшков К А, Папко В В Динамические и стохастические колебания решеток солитонов//ЖЭТФ, 1977 Т. 73, вып 7 С 178-187

6 Горшков К А, Папко В В Неадиабатическая стадия затухания солитонов и промежуточные асимптотики // Изв ВУЗов. Радиофизика, 1977. Т 20,, вып 7 С 360-365

7 Горшков К А, Пелиновский Е Н, Шаврацкий С X. Анализ затухания 2 я-импульсов в двухуровневой среде // Изв ВУЗов Радиофизика, 1977. Т 20 С 1109-1112

8* Gorshkov К А, Ostrovsky LA, Papko V V, Pikovsky A S On the existence of stationary multisolitons // Phys Lett A 1977 V 74, № 3,4. P 177-179

9* Gorshkov KA, Ostrovsky LA, Papko VV Sohtons m radiophysics // Physica Scripta 1979 V 20, № 3,4. P 357-363

10 Gorshkov KA, Ostrovsky LA Interaction of sohtons m nonmtegrable systems//PhysicaD 1981 V.3,N],2 P 428-438

11* Арансон ПС, Горшков К А, Рабинович МИ Возникновение сто-хастичности при взаимодействии солитона модуляции с низкочастотными волнами//ЖЭТФ 1984 Т 84, вып 3 С 929-936

12* Горшков К А, Островский Л А Взаимодействие солитонов с собственными полями излучения // III Международный симпозиум по избранным проблемам статистической механики Дубна, 1984 Т 2 С 222-226

13* Gorshkov К А , Lomov A S, Rabmovich MI Three-dimensions particlelike solutions of coupled nonlinear fields // Phys Lett A 1989 V. 139, p

14* AransonIS, Gorshkov K.A, Rabmovich MI Stochastization and spreading of wave trams in oscillation potential //Phys Lett A 1989. V 139, N1,2 P 65-70

15* AransonIS, Gonhkav К A, LomovAS, RabinovichMI Stable particle-like solutions of multidimensional nonlinear fields //PhysicaD 1990 V 43 P 435-453

16* Горшков К A , Островский Jl А Теория возмущений для солитонов и вихрей // В сб «Методы гидрофизических исследований Турбулентность и микроструктуры» Н Новгород, 1990

17* Aranson IS, Gaponov-Grekhov А V, Gorshkov К A, Rabinovich MI Models of turbulence Chaotic dynamics of structures Chaos / Хаос Soviet-Americal perspectives of Nonlinear Science Ed by D К Campbell AIP, NY, 1990 P 183-196.

18* Gorshkov К A, Lomov A S, Rabinovich MI Chaotic scattering of two-dimensional soitons//Nonlmearity 1992 V 5 P 1343-1353

19* Арансон ИС, Горшков К A, Ломов AC, Рабинович МИ Нелинейная динамика локализованных состояний многомерных шлей // УФН 1990 Т 160,вып4 С 79-82

20 Горшков КА, Пелиповский ДЕ, Степанянц ЮА Нормальное и аномальное рассеяние, образование и распад связанных состояний двумерных солитонов в рамках уравнения Кадомцева-Петвиашвили // ЖЭТФ 1993 Т 104, вып 8 С 2704-2720

21 Gorshkov К A, KorzmavLN, RabinovichMI, TsimnngLS Random pining of localized states and birth of deterministic disorded within gradient models^// J of Stat Phys 1994 V 74, N5,6 P 1033-1045

22*. Gorshkov KA, Pelinovsky DE On a wave field transformation described by the two-dimensional Kadomtsev-Petviashvih equation // Inverse Problems. 1995 V11P 603-610

23* Gorshkov К A , Pelinovsky D E Asymptotic theory of plane soliton self-focusmg in two-dimensional wave media // Physica D 1995 V 85 P 468-484

24* Баженов M, Бор T, Горшков К, Рабинович M Стационарные и квазистационарные решения комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау /7 Нелинейные волны Изд ННГУ, Н Новгород 1995 Т 2 С 9-14

25* Bazhenov V, Bohr Т, Gorshkov К, Rabinovich М. The diversity of stady state solutions of the complex Gmzburh-Landau equation // Phys Lett A 1996 y. 217. P 104-110

26* Ostrovsky L A , Gorshkov К A Perturbation theories for nonlinear waves / Nonlear science at the down at the XXI century / eds P Christiansen, M Soerensen Amsterdam Elsevier 2000

27* Gorshkov KA, Ostrovsky LF, Soustova IA Perturbation theory for Rankine vortices //J Fluid Mech 2000 V 404 P 1-25

28* Горшков К A, Coycmoea И А Взаимодействие солитонов как составных структур в модели Гарднера//Изв ВУЗов Радиофизика 2001 Т 44, №5-6 С 502

29 Горшков К А Теория возмущений для солитонов Лагранжево описание взаимодействия солитонов Разделы 13 4, 13 5// Островский Л А, Потапов А И Введете в теорию модулированных волн М Физматлит, 2003 400 с

30* Горшков К А Дочина И С, Coycmoea И А, Троицкая Ю И Модуляция коротких ветровых волн в присутствии интенсивных внутренних волн //Изв РАН ФАО 2003 Т 39, № 5 С 661-672

ЗГ Gorshkov КА, Ostrovsky LA, SoustovalA, Irisov VG Perturbation theory for kmks and application for multisohton interactions m hydrodynamics // Physical Review E 2004 V 69 P 1-10

32 Горшков К, A, Долина И С, Соустова И А Трансформация коротких волн в поле неоднородных течений на поверхности океана. Влияние модуляции ветрового инкремента // Изв ВУЗов Радиоф шика 2003 Т XLVI, № 7 С 513-537

33* Gorshkov К A, Soustova LA N-soliton solutions as a superposition of quasisohtons//Progress in nonlinear science Proc ofthelnt Conf dedicated to the 100th Anniversary of AAAndronov Frontiers of Nonlinear Physics N Novgorod, 2002. P 46-50

34 Gorshkov К A, Soustova IA Dynamics of vortex in shear flows vortex stability in jet stream Потоки и структуры в вдцкости Институт проблем механики РАН Москва, 2004 С 80-84

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

] Раджараман Р Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля М Мир, 1985 416 с

2 Daschen R F, Hasslacher D, Neveu A Particle spectrum m midel field theories from semiclassical functional intergral techniques И Phys Rev 1975 V ll.P 3424-3450

3 Фаддеев JIД Адроны из лептонов? // Письма в ЖЭТФ 1975 'Г 22, вып2 С 141-143

4 Bishop A R Soliton in condensed matter physics 11 Physica Scnpta 1979 V 20, № 3,4 P 409-423

5 Bishop A R, Schneider T Solitons and condensed matter physics / Springer Series in Solid State Sciences V 8, Springer-Verlag 1978

6 Власов С H, Таланов В И Самофокусировка волн / ИПФ РАН, Нижний Новгород 1997 220 с

7 Кившарь ЮС, Агравал ГП Оптические солитоны От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Пер с англ М Физматлит, 2005 648 с

8 Ильичев А Т Уединенные волны в моделях гидромеханики М Физматлит, 2003 246 с

9 Stanton Т, Ostrovsky L A Observations of highly nonlinear internal solitons over the continental shelf//Geophys Res 1998 V25 P2695

10 Захаров BE Кинетическое уравнение для солитонов II ЖЭТФ 1971 T 60, вып 3 С 993-1000.

11 Горев В Г, Кингсегиг А С., Рудаков ЛИ Сильная ленгмюровская турбулентность плазмы // Изв вузов «Радиофизика» 1976 Т 19, вып. 5,6. С 691-703

12 Курин В В, Фрайман ГМ Взаимодействие ленгмюровских солитонов со звуком Об одной модели динамического режима сильной ленгмю-ровской турбулентности // Физика плазмы 1981 Т7 С.1121-1129

13 Gardner С S, Green J М, Krushal MD, Miura R M Method for solving the Korteweg-de Vnes equation//Phys Rev Lett 1967 ¥ 19 P 1095-1098

14 Zabusky NJ, Kruskal MD Interaction of sohtons in a colhsionless plasma and the recurrence of initial states //Phys. Rev Lett 1965 V 15, P 240-243

15 Захаров BE. Манаков CB, Новиков СП, Питаевский JIП Теория солито-нов метод обратной задачи/Под ред СП Новикова, М Наука, 1980 319 с

16 Абловиц М, СигурХ Солитоны и метод обратной задачи М Мир, 1987 479 с

17 Карпман В И, Маслое ЕМ Теория возмущений для солитонов //ЖЭТФ 1977 Т 73 С 532

18 Каир DJ, Newell А С Soliton as particles, oscillator and in slowly changing media a singular perturbation theory // Proc Roy Soc London A 1978 V 301, № 1701 P 413-446

19 Keener JR, McLaughlin D W Soliton under perturbation // Phys Rev A 1977 V 16 P 777-790

20 Jonson RS On an asymptotic solution of the Korteweg-de Vries equation with slowly varying coefficients // J of Fluid Mech 1973 V 60 P 813-824

21 Grtmshaw R Slowly varying solitary waves m Korteweg-de Vries equation //Proc Roy Soc 1979 A368 P 359-375

22 Kodama Y, Ablowitz M Perturbations of solitons and solitary waves // SIAM 1981 V 64 P 225-245

23 Маслов В П Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях М Наука, 1977 384 с

24 Молотков И А, Вакуленко С А Сосредоточенные нелинейные волны Л ЛГУ, 1988 240 с

25 Bondeson А, Lisak М, Anderson D Soliton perturbations A variational principle for the sohton parameters//PhysicaScnpta. 1979 V 20, №3,4 P 479-485

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I Теория возмущений для солитонов 1 1 Введение

1 2 Схема метода малого параметра 1 3 Квазистационарное приближение

1 4 Теория возмущений для солитонов в типичных моделях волновых систем

1 4 1 Обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза

14 2 Система уравнений Захарова и нелинейное уравнение Шредингера

1.4.3 Нелинейное уравнение Киейна - Гордона

14 4 Выводы Неравномерная пригодность приближенных решений

1 5 Динамика солитонов как классических частиц

1 6 Асимптотическое описание эволюции квазиплоского солитона уравнения Кадомцева - Петвиашвили

1 6 1 Схема асимптотического разложения приближенного решения 1 7 Приближенное уравнение для амплитуды поперечной модуляции квазиплоского солитона

1 8 Заключение

ГЛАВА II Взаимодействие солитонов как классических частиц

2 1 Введение

2 2 Алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов 2 2 1 Общие положения 2 2 2 Первое приближение 2 2 3 Второе приближение

2 2 4 Уравнение движения для координат центров солитонов 2 2 5 Структура приближенного А'-солитонного решения 2 3 Лагравжево описание взаимодействия солитонов как классических частиц 2 4 Типы взаимодействий и связанные состояния одномерных уединенных волн 2 5 Рассеяние и связанные состояния двумерных солитонов уравнения Кадомцева - Петвиашвили

2 6 Хаотическое рассеяние двумерных солитонов

ГЛАВА III Модернизация описания взаимодействия солитонов

3 1 Неэффективность учета высших приближений в описании взаимодействия солитонов как классических частиц

3.2 Условия равномерной пригодности приближенных решений (переход от координат центров солитонов к распределенным фазам уединенных волн) 3 3 Взаимодействие солитонов в рамках модернизированного описания 3 3 1 Уравнения движения для фаз солитонов 3 3 2 Примеры построения приближенных решений 3 3 3 Точные Л'-солитонкые решения как суперпозиция квазисолитонов

3 4 Заключение

ГЛАВА IV Моделирование волновых процессов ансамблями взаимодействующих солитонов

4 1 Введение

4 2 Колебания решеток солитонов 4 3 Колебания решеток солитонов (эксперимент) 4 4 Колебания решеток составных солитонов (модель Гарднера) 4 5 Моделирование эволюции цугов интенсивных внутренних волн последовательностью солитонов

4 6 Возникновение пространственного беспорядка в градиентных моделях 4 7 Асимптотическое описание самофокусировки квазигохоских солитонов 4 71 Динамика плоского солитона под действием периодического возмущения 4 7 2 Неустойчивость и распад двумерной слабомодулированной волны 4 7 3 Общее решение асимптотического уравнения для амплитуды поперечной модуляции квазиплоского солитона

4 7 4 Общие закономерности неустойчивости квазиплоского солитона

4 7 5 О взаимодействии квазишюскич солитотонов уравнения К-П

4 8 Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цитируемая литература

Список работ по теме диссертации

ГОРШКОВ Константин Александрович ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДИНАМИКЕ СОЛИТОНОВ

Автореферат

Подписано к печати 23 04 07 Формат 60 х 90 '/.<; Бумага офсетная № 1 Печать офсетная Уел печ л 1,0 Тираж 120 экз Заказ № 63(2007)

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950, г Н Новгород, ул Ульянова, 46

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I Теория возмущений для солитонов.

1.1. Введение.

1.2. Схема метода малого параметра.

1.3. Квазистационарное приближение.

1.4. Теория возмущений для солитонов в типичных моделях волновых систем.

1.4.1. Обобщенное уравнение Кортевега-де Вриза.

1.4.2. Система уравнений Захарова и нелинейное уравнение Шредингера.

1.4.3. Нелинейное уравнение Клейна-Гордона.

1.4.4. Выводы. Неравномерная пригодность приближенных решений.

1.5. Динамика солитонов как классических частиц.

1.6. Асимптотическое описание эволюции квазиплоского солитона уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

1.6.1. Схема асимптотического разложения приближенного решения

1.7. Приближенное уравнение для амплитуды поперечной модуляции квазиплоского солитона.

2.2. Алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов.91

2.2.1. Общие положения.91

2.2.2. Первое приближение.96

2.2.3. Второе приближение.97

2.2.4. Уравнение движения для координат центров солитонов.100

2.2.5. Структура приближенного N-солитонного решения.103

2.3. Лагранжево описание взаимодействия солитонов как классических частиц.105

2.4. Типы взаимодействий и связанные состояния одномерных уединенных волн.114

2.5. Рассеяние и связанные состояния двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили.122

2.6. Хаотическое рассеяние двумерных солитонов.133

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Построена схема малого параметра для уединенных волн, дающая описание эволюции солитонов под действием различного рода возмущений в рамках уравнений поля достаточно общего вида, не обязательно близких к точно интегрируемым. Алгоритм построения приближенных решений включает условия ограниченности поправок к квазистационарному солитону, которые представляют собой уравнения для параметров уединенных волн и крупномасштабных возмущений, возникающих при эволюции солитона.

2. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи о взаимодействии солитонов с близкими параметрами, основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений и условиях ограниченности поправок к квазистационарным солитонам. Применение этого алгоритма к уравнениям поля в лагранжевой форме показывает, что взаимодействие солитонов в первом нетривиальном порядке теории возмущений описывается лагранжианом для классических частиц с парным потенциалом взаимодействия. При этом масса классической частицы выражается через полный волновой импульс солитона, а парный потенциал взаимодействия определяется структурой поля отдельного солитона вдали от его центра.

3. Сформулированы необходимые критерии существования связанных состояний солитонов. Обнаружены связанные состояния, обусловленные осцилляторной структурой поля отдельного солитона, найдено множество стационарных уединенных волн-мультисолитонов (плоских, двумерных, трехмерных). Установлено существование неизвестных ранее стационарных связанных состояний двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

4. Приведена классификация типов взаимодействия одномерных уединенных волн, зависящих от одной быстрой фазовой переменной. Найдены и описаны неизвестные ранее режимы «аномального» рассеяния двумерных солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили, отвечающие бесконечным фазовым сдвигам. Обнаружено явление хаотического рассеяния двумерных солитонов; выяснена его природа, обусловленная расходимостью зависимости угла отклонения от прицельного расстояния сталкивающихся уединенных волн.

5. Показано, что дополнение общего алгоритма построения приближенных решений задачи о взаимодействии уединенных волн условиями равномерной пригодности поправок к квазистационарным солитонам и заменой координат центров уединенных волн на распределенные фазовые переменные позволяет учесть волновую природу солитонов и существенно улучшить аналитические свойства получаемых решений; при этом улучшенные решения остаются близкими к суперпозиции уединенных волн с пространственно-временной зависимостью их параметров в виде стационарных волн, распространяющихся с «групповой» скоростью, отличной от скорости солитонов.

6. Для ряда одномерных интегрируемых моделей найдено новое представление точных N - солитонных решений в виде суперпозиции солитонов с относительно медленно меняющимися параметрами; в этом представлении точные решения имеют ту же структуру, что и улучшенные приближенные, и отличаются лишь точностью описания фазовых переменных, разложение точных решений по малому параметру, используемому в приближенном описании, оказывается сходящимся при любых параметрах сталкивающихся уединенных волн, что позволяет рассматривать задачу о взаимодействии как квазистационарную задачу теории возмущений.

7. Исследована динамика квазипериодических волн, близких к последовательности одномерных солитонов (решетки солитонов). Показано, что движение солитонов с экспоненциальной асимптотикой поля описывается уравнениями решетки Тода, а для систем, допускающих существование уединенных волн с предельными амплитудами и скоростями, -уравнениями Каца-Мербеке (или «ленгмюровской» цепочки). Построены периодические и условно-периодические решения, соответствующие волнам огибающей для исходной последовательности солитонов.

Для неравновесной градиентной модели, описываемой уравнением Свифта-Хоэнберга, предложен и подтвержден механизм эволюции регулярного пространственного распределения поля к устойчивому беспорядку путем следующей эволюционной последовательности: гладкое регулярное поле с малой начальной нерегулярностью -> решетка локализованных структур -» пространственный хаос.

8. С помощью метода малого параметра для уединенных волн получена приближенная система уравнений, описывающая долговременную эволюцию солитонов под действием поперечных возмущений в рамках модели Кадомцева-Петвиашвили для сред с положительной дисперсией. Найдено общее решение задачи. Показано, что в неустойчивой области развитие модуляции на фоне плоского солитона приводит к насыщению ее амплитуды и образованию поперечно модулированной стационарной волны; этот процесс сопровождается излучением плоского солитона малой амплитуды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир, 1985.416 с.

2. Daschen R.F., Hasslacher D., Neveu A. Particle spectrum in midel field theories from semiclassical functional intergral techniques // Phys. Rev. 1975. V. 11. P. 3424-3450.

3. Фаддеев Л.Д. Адроны из лептонов? // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22, вып.2. С. 141-143.

4. Bishop A.R. Soliton in condensed matter physics // Physica Scripta. 1979. V. 20, № 3,4. P. 409-423.

5. Bishop A.R., Schneider T. Solitons and condensed matter physics / Springer Series in Solid State Sciences. V.8, Springer-Verlag. 1978

6. Власов C.H., Таланов В.И. Самофокусировка волн / ИПФ РАН. Нижний Новгород. 1997. 220 с.

7. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Пер. с англ. М.: Физматлит, 2005. 648 с.

8. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. 246 с.

9. Stanton Т., Ostrovsky L.A. Observations of highly nonlinear internal soli-tons over the continental shelf// Geophys. Res. 1998. V.25. P.2695.

10. Захаров B.E. Кинетическое уравнение для солитонов // ЖЭТФ. 1971. Т.60, вып. 3. С.993-1000.

11. Горев В.Г., Кингсепп А.С., Рудаков Л.И. Сильная ленгмюровская турбулентность плазмы // Изв. Высш. уч. зав. «Радиофизика». 1976. Т. 19, вып. 5,6. С. 691-703.

12. Курин В.В., Фрайман Г.М. Взаимодействие ленгмюровских солитонов со звуком. Об одной модели динамического режима сильнойленгмюровской турбулентности // Физика плазмы. 1981. Т.7. С.1121-1129.

13. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 10951098.

14. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15, P. 240-243.

15. Захаров B.E. Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский JI.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. Под ред. С.П. Новикова. М.: Наука, 1980.319 с.

16. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.

17. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 532.

18. Каир D.J., Newell А.С. Soliton as particles, oscillator and in slowly changing media: a singular perturbation theory // Proc. Roy.Soc. London A. 1978. V.301, № 1701. P. 413-446.

19. Keener J.R., McLaughlin D.W. Soliton under perturbation // Phys. Rev. A. 1977.V.16. P.777-790.

20. Jonson R.S. On an asymptotic solution of the Korteweg-de Vries equation with slowly varying coefficients // J. of Fluid Mech. 1973. V. 60. P. 813824.

21. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves in Korteweg-de Vries equation // Proc. Roy. Soc. 1979. A368. P. 359-375.

22. Kodama Y., Ablowitz M. Perturbations of solitons and solitary waves // SIAM. 1981. V. 64: P. 225-245.

23. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.384 с.

24. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. Л.: ЛГУ, 1988. 240 с.

25. Bondeson A., Lisak М., Anderson D. Soliton perturbations. A variational principle for the soliton parameters // Physica Scripta. 1979. V. 20, № 3,4. P. 479-485.

26. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., ФМ, 1958.

27. Кадомцев Б.В., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией. ДАН СССР. 1970. Т. 192, С. 753756.

28. Ablowitz M.J., Segur Н. On the evolution of packets of water waves. J. Fluid Mech. 1979. V. 92. P. 691-715.

29. Ablowitz M.J., Segur H. Long internal waves in fluids of great depth. Stud. Appl. Math. 1980. V. 62. P. 249-262.

30. Pesenson M.Z. Nonlinear waves traveling upon a front of solitons. Phys. Fluids A3. 1991. P. 3001-3006.

31. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусировочная неустойчивость плоских нелинейных волн в сдвиговых потоках. ЖЭТФ. 1994. Т. 105, вып. 6.

32. Infeld Е., Rowlands G. Nonlinear waves, solitons and chaos (Cambridge University Press, 1990), ch.6.

33. Laedke E.W., Spatscher K.H., Zocha K.B. Bifurcation analysis of the transversal drift-wave-envelope instability. Phys. Fluids. 1986. V. 29. P. 1127-1131.

34. Allen M.A., Rowlands G. Determination of the growth rate for the linearized Zakharov Kuznetsov equation. J. Plasma Phys. 1993. V. 50. P. 413-424.

35. Захаров B.E., Рубенчик A.M. Неустойчивость волноводов и солитонов в нелинейных средах. ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 997-1011.

36. Кузнецов Е.А., Турицын С.К. Неустойчивость и коллапс солитонов в средах с дефокусирующей нелинейностью. ЖЭТФ. 1989. Т. 94. С. 119-129.

37. Trubnikov В.А., Zhdanov S.K. Unstable quasi-gaseous media. Phys. Rep. 1987. V. 155. P. 137-230.

38. Infeld E., Rowlands G. Theory of soliton transition from lower to higher dimension. Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 4537-4539.

39. Murakami Y., Tajiri M. Resonant interaction between line soliton and y-periodic soliton: Solutions to the Kadomtsev-Petviashvili equation with positive dispersion. J.Phys.Soc.Japan. 1992. V. 61. P. 791-805.

40. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Самофокусировочная неустойчивость плоских солитонов и цепочек двумерных солитонов в средах с положительной дисперсией. ЖЭТФ. 1993. Т. 104. С. 3387-3400.

41. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Неустойчивость уединенных волн в средах с положительной дисперсией, описываемых двумерными уравнениями Буссинеска. ЖЭТФ. 1994. Т. 106, № 1.

42. Infeld Е., Senatorsky A., Skorupski А.А. Decay of Kadomtsev-Petviahvili solitons. Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1345-1347.

43. Frycz P., Infeld E. Spontaneous transition from flat to cylindrical solitons. Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 384-385.

44. Захаров B.E. Неустойчивость и нелинейные колебания солитонов. Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 364-367.

45. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. Усредненное описание волновых пучков в линейных и нелинейных средах. Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1971. Т. 14, № 9. С.1453.

46. Manakov S.V., Zakharov V.E., Bordg L.A., It's a.R., Matveev V.B. Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction. Phys. Lett. A. 1977. V. 63, N 3. P. 205-206.

47. Calogero F. Lett. Nuovo Cimento. 1976. V. 16, N 2. P. 35-38.

48. Adler M., Moser J. Comm. Math. Phys. 1978. V. 61, N 1. P. 1-30.

49. Пелиновский Д.Е., Степанянц Ю.А. Письма в ЖЭТФ. 1993. Т. 57, вып. 1.

50. Eckhardt Н. Ieergular scattering. Physica D. V.33. P. 89-95.

51. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system. J. Fluid Mech. 1999. V. 396. P. 1-36.

52. Ostrovsky L.A., Grue J. Evolution equations for strongly nonlinear internal waves. Phys. Fluids. 2003. V.15. P. 2934-2948.

53. Zakharov V.E. and Kuznetsov E.A. 1986. Multiscale expansions in the theory of systems integrable by the inverse scattering transform. Physica D. V. 18. P. 455-463.

54. Calogero F. and Eckhaus W. Nonlinear evolution equations, rescalings, model PDEs and their integrability. 1987. I Inverse Problems 3. P. 22962: II Inverse Problems. P. 11-33.

55. Whitham G.B. Nonlinear disperaive waves. Proc. Roy. Soc. A. 1965. V. 283. P. 238.

56. Островский JI.A., Пелиновский E.H. Методы усреднения для несинусоидальных волн. ДАН СССР, 1979. Т. 195. С. 804.

57. Toda М. Waves in nonlinear lattice. Prog, theor. Phys. Suppl. 1979. V.45. P. 174.

58. Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ. 1974. Т. 67. С. 543.

59. Кузнецов Е.А., Михайлов А.В. Устойчивость стационарных волн в нелинейных средах со слабой дисперсией. ЖЭТФ. 1974. Т.67. С.1717.

60. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.Н. Нелинейные уравнения типа КдВ. Конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН. 1971. Т. 31. С. 55.

61. Boccchieri P., Scotti A., Beaszi В., Loinger A. An harmonic chain with Lennard-Jones interaction. Phys. Rev. A. 1970. V. 2. P. 2013.

62. Захаров B.E. Кинетическое уравнение для солитонов. ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 993.

63. Заславский Г.М. О рассеянии и трансформации нелинейных периодических волн в неоднородной среде. ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С. 2129.

64. Боголюбский И.Л. Модифицированное уравнение нелинейной струны и неупругое взаимодействие солитонов. Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24. С. 184.

65. Grimshaw R., Pelinovsky E.N., Talipova T.G. // The modified Korteweg-de Vries equation in the theory of large-amplitude internal waves. Nonlinear processes in Geophysics. 1997. V. 4. P. 237-250.

66. Coullet R., Lega J. Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1353.

67. Grassberger P., Procassia I. Physica 9D. 1983. P. 189-208.

68. Займан Д. Модели беспорядка». М.: Мир, 1985.

69. Ablowits M.J., Segur Н. Asymptotic solutions of the Korteweg-de Vries equation. Stud. Appl. Math. 1977. V. 57. P. 13-44.

70. Herman R.L. Evolution of a modulated RP soliton. J. Phys. A: Math. Gon. 1991. V. 24. P. 1161-1184.

71. Calogero F., de Lillo S. The Eckhaus PDE. Inverse Problems. 1987. V. 3. P. 633-681.

72. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformations and Solitons. Berlin: Springer. 1992.

73. Карпман В.И. Система солитонов под действием возмущений. Ос-цилляторные ударные волны. ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 114.

74. Gerdjikov V.S., Каир D.J., Uzinov I.M. Evstatiev E.G. Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3943.

75. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems. Rev. Modern ofPhysics. 1989. V.61, № 4. P. 763-915.

76. СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ