Пространственная эволюция возмущений и динамика солитонов в стекающей пленке жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

§ од

.. - На правах рукописи

: ■ УДК 532.51+532.59

КАЛАЙДИН ЕВГЕНИЙ НИКОЛАЕВИЧ

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ В СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена в Кубанском государственном университете, Россия, г: Краснодар

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Е. А. Демехин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

С. В. Алексеенко

кандидат физико-математических наук А. В. Бойко

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный

центр МГУ им. Ломоносова

Защита состоится сю^Тл^л1996 года в 10°°часов на засе-

дании специализированного совета Д 002.65.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теплофизики СО РАН, 630090, г. Новосибирск, проспект Акад. Лаврентьева, 1 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН

Автореферат разослан " ? " 1996 года

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н.,

Р. Г. Шарафутдинов

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию волн па поверхности 'гонких пленок вязкой жидкости, стекающих по вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Основными этапами исследования являются:

• пространственная эволюция малых естественных возмущений;

• взаимодействие солитопных структур друг с другом и с малыми возмущениями плоскопараллельного потока;

• динамика возмущенного солитона;

• исследование спектра возмущений солитона.

Актуальность темы. К настоящему времени довольно подробно исследованы вопросы временной эволюции возмущений плоскопа-раллеяьного потока и поведения квазистационарных структур на поверхности пленки, но практически отсутствуют работы по исследованию пространственной эволюции возмущений вплоть до солитопных структур. Взаимодействие структур друг с другом и с малыми возмущениями плоскопараллельного потока, как и динамика возмущенных структур, до сих пор не рассматривались. Впервые рассматривается описание динамики возбужденного солитона с позиции спектральной теории.

Цель работы.

1. Исследование пространственной эволюции малых естественных возмущений до квазистационарных солитонных структур.

2. Исследование взаимодействия солитонпых структур.

3. Описание динамики возбужденного солитона. Построение модели эволюции возбужденного солитона..

4. Исследование спектра возмущений стационарных солитонов.

Научная новизна работы.

1. Впервые рассмотрено численное моделирование развития волн на поверхности по пространству от малых естественных возмущений до квазистационарных солитонных структур.

2. Приведены численные, эксперименты парного взаимодействия солитонов. Рассмотрен параметр, определяющий слияние структур. Построена расходная модель эволюции возбужденного солитона. Представлены численные эксперименты но взаимодействию солитонов с малыми возмущениями нлоскопарал-лельпого потока.

3. Рассмотрен спектр возмущений стационарных структур. Введением функционального пространства с весом выявлена роль непрерывного и дискретного спектра в динамике возбужденного солитона. Представлены коэффициенты подавления амплитуд гармоник при взаимодействии солитона. с малыми возмущениями плоскопараллельного потока.

Практическая ценность работы. Результаты проведенных исследований представляют интерес с точки зрения моделирования реальных физических экспериментов. Осуществленное в диссертации исследование взаимодействия квазистационарных структур и динамики возбужденных солитонов может быть использовано при описании поверхностной турбулентности, как стохастического взаимодействия-регулярных структур. Результаты исследования волновых пленочных течений могут использоваться при изучении гидродинамических явлений в пленочных тепло и массообменных устройствах, применяемых в различных технологиях. Предложенные методы могут быть применены для решения новых теоретических задач.

Достоверность результатов подтверждается сопоставлением результатов расчетов с имеющимися теоретическими и опытными данными. Построенные модели проверяются в соответствии друг с другом, а также с результатами численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IUTAM Symposium on Nonlinear Instability of Nonparallel Flows. Potsdam, NY, USA, July 26-31,1993; на семинаре под руководством профессора В.А. Морозова НИВЦ МГУ им.Ломоносова.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов и выводов, списка литературы. Общий объем работы 100 страниц, включая 46 рисунков, 1 таблицу и список литературы, состоящий из 53 наименований.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

(1)

Во введении представлена общая структура диссертации, изложены кратко задачи и проблемы, решаемые в работе. Представлено разбиение области развития волн по пространству на четыре качественно различные зоны и краткое описание каждой из них. В первой главе представлена плоская постановка задачи течения пленки по вертикальной поверхности под действием силы тяжести. Предложены модели граничных условий в начале и в конце канала. Рассмотрено применение метода Галеркина-Петрова к уравнениям пограничного слоя с самоиндуцированным давлением [1],[2].

ди ди ди 1 (&ь, 1 д2и д

--1- ы--1- и— = — I--1----^ 1 I.

дг дх ду 5б\дх3 гду1 у

ди дь _ дх ду '

1 , .4 » . » ди „

у = ; и = гц 1- и/«», 7— = и.

ду

у = 0 : и = и = 0.

Предложен численный алгоритм решения поставленной задачи. Основную часть первой главы занимают результаты численных экспериментов расчета пространственной эволюции малых естественных возмущений вплоть до квазистационарных солитонных структур, мгновенная картина поверхности пленки представлена на Рис. 1.

Поскольку конкретная информация о природных возмущениях, генерируемых подающим жидкость устройством, отсутствует, используются возмущения малой амплитуды генерируемые счетчиком псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в отрезке [1-еД+б], где е ~ Ю-5. Длина канала бралась равной 2.5м (для воды). На этой длине наблюдаются все волновые режимы течения от линейного роста малых возмущений до квазистационарных сла-бовзаимодействующих солитонных структур. Приведены также результаты расчетов перехода с семейства 71 периодических волн на семейство 72. Получено хорошее совпадение осредненных по времени зависимостей длины волн от их скоростей с расчетами стационарных периодических волн этих семейств, полученных в работе [3]

для уравнений, усредненных по поперечному полупараболическому профилю скоростей. Результаты расчетов представляются в соответствии с экспериментальными работами [4-7]. Получено хорошее совпадение как качественных картин течения, так и количественное для средней скорости волн для различных расстояний от подающего устройства, расстояний от подающего устройства до видимых волн для различных чисел Рейнольдса.

И

Ь

ь

>1

Приведены осредненные по времени зависимости длин волн, скоростей волн, амплитуды волн, подслоя от координаты. На зависимости длины волны от координаты наблюдается почти постоянный участок, где длина волны для воды равна 1см Рис. 2, что хорошо согласуется результатами работы [5]. Замечено, что, начиная с некоторого достаточно, большого значения координаты (х=180см) усредненные характеристики волн становятся практически постоянными, что не соответствует выводам большинства теоретических и экспериментальных работ, где говорится об увеличении средней длины волн, уменьшении подслоя и т.д. с удалением от подающего

X

Рис. 1:

устройства. Замечено, что усредненная до времени эволюция волн по пространству соответствует движению в пространстве состояний, определенном зависимостью скорости стационарных волн от параметра задачи £ см, Рис 3,

X <ст) 7.0 • 6.5 6.0 5.5 5.0

4.3-

4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

где стрелками указаны точки по пространству, в которых получены нанесенные на график значения. На Рис.4 представлены треки волн, определяемые по их максимумам, где хорошо видны различные области взаимодействия волновых структур. Для получения хорошего соответствия численных расчетов и экспериментальных данных проводилась настройка численного алгоритма по следующим параметрам: шаг по времени выбирался таким образом, чтобы было полное соответствие развитию волн, т.е., чтобы нейтральные возмущения, полученные теоретически, оставались нейтральными и в численных расчетах, также амплитуда возмущений подбиралась таким образом, чтобы хотя бы при одном числе Рейнольдса точка

I ' I 1 I 1 I 1 I 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 11 I 1 0 20 40 60 «О 100 120 140 160 180 200 220 240

Рис. 2:

* (сш)

возникновения видимых волн соответствовала результатам экспериментов работы [5].

Вторая глава посвящена исследованию поведения солитонов в области развитого течения. Замечено, что поведение солитонов в области развитого течения определяется их взаимодействием друг

с другом и с возмущениями плоскопараллельного потока между ними. Рассматривается только парное взаимодействие солитонов. Можно выделить два типа взаимодействий: слабое - возникающее при достаточно большом расстоянии между структурами; сильное - являющееся сильно нестационарным процессом и приводящее, в частности, к слиянию солитонов. Исследование проводится при условии, что солитон, идущий впереди, является равновесным или, что то же самое стационарным, а солитон, идущий сзади, возбужденным. Возбуждение солитона проводится дополнительной массой, что является, например, следствием слияния двух солитонов.

Отмечен ряд характерных особенностей при взаимодействии соли-тонов друг с другом:

- передний солитон практически не чувствует задний, до тех пор пока между ними не будет осцилляций заднего солито-на;

- промежуточным состояйием между слиянием и расталкиванием солитонов является двугорбый солитон, который является неустойчивой структурой и разваливается любым малым возмущением, превращаясь либо в один возбужденный солитон либо в два, которые в дальнейшем слабо взаимодействуют.

Рис. 4:

Эти особенности отмечены при численном моделировании взаимодействия солитонов. В качестве параметра слияния солитонов рассматривалось отношение амплитуды возмущенного солитона к амплитуде равновесного, рассчитанное в точке максимума равновесного солитона. Таким образом, был сделан вывод, что достаточно рассмотреть динамику возбужденного солитона, не рассматривая

равновесный, чтобы определить, на. каком расстоянии он должен находиться, чтобы произошло слияние.

Первоночально были проведены численные эксперименты по исследованию эволюции возбужденного солитона к стационарному состоянию Рис. 5. Получено, что зависимости амплитуды, ско-

20 30 40 50 60 70 80 90 х 100

Рис. 5:

рости и координаты от времени являются практически экспоненциальными с одним и тем же декрементом затухания, а зависимость амплитуды от скорости практически линейна. Исходя из этого, построена модель динамики возбужденного солитона, основанная на предположении, что его поведение как частицы определяется разницей расхода впереди сзади солитона. В качестве управляющего параметра был выбран подслой за солитоном. Считая подслой впереди солитона постоянным, уравнения были лениаризованы на нем и получен декремент затухания, а также коэффициент линейной зависимости скорости от амплитуды. Все полученные величины выражаются через зависимости параметров от 6 для стационарных солитонов, которые приведены в диссертации графически. Полу-

чено хорошее совпадение декрементов полученных в модели и при прямом численном моделировании. Проведено численное моделирование взаимодействие солитонов с малыми возмущениями плоскопараллельного потока. Получено, что амплитуда возмущения перед солитоном сильно им выглаживается, таким образом, как бы затягивая естественную эволюцию малого возмущения. Малые возмущения плоскопараллельного потока, между солитонами являются результатом взаимодействия солитонов и существуют всегда в потоке, но практически не наблюдаютя по причине указанной выше.

В третьей главе исследуется спектр возмущений стационарного солитонного решения системы уравнений, усредненных по полупараболическому профилю скоростей. Решение линеаризованного на стационарном решении уравнения имеет вид:

* Г

Г) = £ ШОеХ:Г + / А(а)ка, а)еХ(">Ча, (2)

>'=1 р

Дискретный спектр состоит из нейтральной моды А1 = 0 и собственного значения Аз < О, А2 € Ш. Интеграл по контуру Г соответствует непрерывному спектру. Представив ядро К(£,а) в виде К(£,а) = найдена численно функция /(£,£*). Обозначив

|/(£,а)| = 1 /г(а), имеем г (а, 6) коэффициент подавления амплитуд гармоник возмущения с волновым числом а солитоном. На Рис. 6 представлены линии уровня значений коэффициента подавления в зависимости от а/аа и 8, где а0 нейтральное волновое число. Для оценки интеграла, соответствующего непрерывному спектру, предложен следующий метод [8]. Рассматривалось функциональное пространство

Ь* = {ф\е<*феЬ3(Л)}. (3)

При соответствующем значении а > 0 в этом пространстве существует еще одно собственное значение ц < 0, ^ 6 3?, называемое резонансным полюсом, а непрерывный спектр полностью смещается в устойчивую область по А в этом пространстве. Получено, что |д| < }Аа| Рис.7, оставшийся интеграл в пространстве Ьа2 оценивается методом перевала с поиском линии наискорейшего спуска. Специфика построения оценки интегралов для дисперсионных соотношений А = А(а), полиномиальных по волновому числу, но трансцендентных по А, описана в диссертации. При больших временах

оценка имеет вид:

2 I

»'=1

где ДеЛ; < 0. Следовательно, возмущения стационарного решения имеют конвективную природу неустойчивости и не могут развалить солитон, в отличие от аналогичной ситуации, например, для уравнения Курамото-Сивашинского, где возмущения стационарного солитон а абсолютно неустойчивы [9].

2 1.8 1.6 1.4 1.2

0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 5 0.095

Рис. в:

Так как

А,-

> |А2| > а действительные части всех трех чисел отрицательны, то можно считать, что

(5)

и заключить, что динамику возбужденного солитона определяет резонансный полюс. Следует заметить, что функция фц(£)е~а* экспоненциально растет при £ —* — оо, но оставшаяся часть непрерывного

спектра устроена таким образом, что в результате ф(£,т) -+ 0 при f -» — оо. Поскольку нейтральная мода, соответствующая Ai = О, является сдвиговой, отношение скорости возбужденного солитона к его амплитуде можно определить следующим образом:

С-Со = 1 (6)

А-Ао | Hp max I

i

где Ht= , a Co и Ло - скорость и амплитуда соот-

ветствующего стационарного решения. Несмотря на то, что в данной главе рассматривались уравнения, осредненные по полупараболическому профилю скоростей, наблюдается хорошее совпадение резонансного полюса, декремента затухания волновых параметров, полученных из расходной модели, и результатов численного моделирования динамики возбужденного солитона на основе системы (1).

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведен численный эксперимент по моделированию развития плоских естественных волн малой амплитуды по пространству. Результаты расчетов близки к результатам физических экспериментов в области существования двумерных волн. После осреднения по времени волновых характеристик замечено, что в области активного взаимодействия волн второго семейства и солитонов параметры ведут себя линейно в зависимости от продольной координаты, а при больших значениях этой координаты, т.е. в области слабого взаимодействия солитонов выходят на постоянное значение.

2. Подучено, что динамика солитонов, начиная с области их образования соответствует движению по кривой стационарных решений в пространстве состояний. Получено также, что и один отдельно взятый солитон, возбужденный дополнительной массой, также, движется по кривой стационарных решений в пространстве состояний.

3. Численное моделирование взаимодействия солитонов позволило заметить наличие параметра, определяющего их слияние, и возможность его определения из исследования динамики одного возбужденного солитона. Замечено, что промежуточным состоянием между слиянием и расталкиванием является неустойчивая волновая структура - двугорбый солитон. 13 результате численного моделирования взаимодействия солитона с малыми возмущениями плоскопараллельного потока получено, что амплитуда этого возмущения подавляется солитоном практически полностью, затягивая, таким образом, процесс его естественной эволюции, обусловленный неустойчивостью плоскопараллельного потока.

4. Результаты численного моделирования динамики одного возбужденного солитона позволили отметить ряд особенностей поведения параметров солитона в зависимости от времени и друг от друга. Предложена модель динамики солитона, основанная на разнице расхода впереди сзади солитона. Полученные в результате данные хорошо совпадают с результатами численных

экспериментов, что говорит о достоверности модели. Бе преимущество заключается также в том, что она зависит только от параметров стационарных решений для различных значений параметра задачи S. Получен коэффициент линейной зависимости амплитуды возбужденного солитона от его скорости.

5. Рассмотрение динамики возбужденного солитона с точки зрения спектральной теории линейных операторов позволило найти собственное значение соответствующего линейного оператора в функциональном пространстве La2, которое называется резонансным полюсом и фактически управляет динамикой возбужденного солитона. Соответствующая резонансному полюсу собственная функция позволила найти коэффициент линейной зависимости между амплитудой и скоростью возбужденного солитона. Замечено хорошее совпадение этого коэффициента с аналогичным, полученным в расходной модели и в численных экспериментах. Оценка интеграла, соответствующего непрерывному спектру, позволила определить природу неустойчивости возмущений стационарного решения, как конвективную. А также, исследование ядра этого интеграла, дало возможность получить коэффициент подавления амплитуд гармоник возмущения солитона в зависимости от волнового числа и параметра задачи S. Получено,что эти амплитуды подавляются в сотни раз.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1014].

4 ЛИТЕРАТУРА

[1] Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, N1, с.43-51.

[2] Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, N2, с.20-25.

[3] Н.-С. Chang, Е.А. Demekhin, and D.I. Kopelevich, Nonlinear evolution of waves on a vertically falling film. - J. Fluid Mech., 1993, v.250, p. 433-480.

[4] Portalski S., Glegg A.J. An experimental study of falling liquid films. - CES, 1972, v. 27, p. 1257-1265.

[5] Stainthorp F.P., Allen J.M. The development of ripples on the surface of a liquid film flowing inside a vertical tube. - Trans. Inst. Chem. Engrs., 1965, v. 43, p. 85-91.

[6] Tailby S.R., Portalski S. The hydrodynamics of liquid films flowing on vertical surface. Trans.Inst. Chem. Engrs., 1960, v. 38, p. 324-330.

[7] Алексеенко C.B., Накоряков B.E., Покусаев Б.Г. Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости. ИТФ СО АН СССР. - Новосибирск: 1979 , Препринт , N 36-79. 52с.

[8] R.L. Pego, M.I. Weinstein, Asymptotic stability of solitary waves, Commun.Math.Phys., 164, Springer-Verlag 1994, p. 305-349.

[9] H.-C. Chang, E.A. Demekhin, and D.I. Kopelevich, Stability of a Solitary Pulse against Wave Packet Disturbances in an Active Medium. Phys. Rev. Lett.,v. 75, N 9, 1995, p. 1747-1750

[10] H.-C. Chang, E.A. Demekhin, and E. Kalaidin, Interaction dynamics of solitary waves on a falling film - J. Fluid Mech.,,1995, v.294, p. 123-154.

[11] Калайдин E.H., Чен Ч.-Ш., Демехин E.A. Развитие и взаимодействие волн на поверхности вертикально стекающих пленок жидкости. Численные методы анализа: Сборник /Под ред. Н.С.Вахвалова, В.В.Воеводина,В.А.Морозова.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. - с. 23-42.

[12] Н.С. Chang, М. Cheng, Е. Demekhin and E.N. Kalaidin Quasi-stationary wave evolution on a falling film, Proc. IUTAM Symposium on Nonlinear Instability of Nonparallel Flows. Potsdam, NY, USA, SpringerVerlag, 1993.

[13] H.C. Chang, E. Demekhin, E.N. Kalaidin and Ye Coarsening dynamics of falling-film solitary waves, (in press) Physical Review Letter. Am. Phys. Soc. 1996.

[14]-Chang, .i^-C., Demekhin, E. A. and Kalaidin, E., Simulation of Noise-Driven Wave Dynamics on a Falling Film, preprint of University of Notre Dame , IN, USA, 1995 p. 45 .