Экспериментальное исследование трехмерных волновых структур в пленке жидкости и математическое моделирование ее поверхностной неустойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

\1 '(Г

На правах рукописи

Селин Александр Сергеевич

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ВОЛНОВЫХ СТРУКТУР В ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ОЭ48Э512

Пермь - 2009

003489512

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Демехин Евгений Афанасьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Путин Геннадий Федорович кандидат физико-математических наук, доцент Колесов Вадим Владимирович

Ведущая организация:

Научно исследовательский институт механики МГУ (г. Москва)

Защита состоится 26 января 2010 года в 15.15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете (614990, г. Пермь, ГСП, ул. Букирева, 15; факс 3422-37-16-11).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан " декабря 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.189.06 кандидат физико-математических наук, доцент

В.Г. Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Не до конца изученные свойства поверхностной неустойчивости и возникающей эволюции волн в пленке жидкости, позволяют говорить о существенно нераскрытом потенциале технологического применения пленочных течений. На сегодняшний день классическими объектами такого применения являются химические реакторы, массообменные и выпарные аппараты, нефтеперегонные печи, ядерные реакторы и т.д. В последнее время, в связи со стремлением к уменьшению размеров технологических устройств, повышается интерес к т.н. микропленочным процессам. Эти процессы широко применяются в микрофлюидных и оптофлюидных устройствах.

И старые и новые приложения пленочных и микропленочных течений сильно тормозятся недостатком знаний об их структуре. Пленочные течения являются гидродинамически неустойчивыми, причем во многих случаях эта неустойчивость начинается с нулевых чисел Рсйнольдса, т.е. проявляется в микромасштабах.

Эталонным пленочным течением является свободное стенание вязкого слоя по вертикальной жесткой стенке под действием гравитации. Многие вопросы волновых режимов этого эталонного течения остались открытыми: вопрос об абсолютном или конвективном характере поверхностной неустойчивости, вопрос регуляризации задачи, связанной с эволюцией периодических по времени возмущений, вопрос о влиянии топографии стенки на поверхность пленки, вопрос первичной неустойчивости для турбулентных пленок.

Другая не менее важная проблема, требующая разрешения, связана с исследованием поверхностного волнового режима трехмерных солитоков. На сегодняшний день достаточно исследованными являются режимы двумерных волн, однако, во многих процессах имеет место режим трехмерных волн. Несмотря на важность этого режима, он практически не затронут ни теоретически, ни экспериментально.

Основной целью диссертации является экспериментальное исследование трехмерных волновых режимов и теоретическое исследование характера неустойчивости эволюции малых возмущений волнового стекания ламинарных и турбулентных пленок жидкости.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

3

(V

1. Теоретически исследовать — является ли характер неустойчивости поверхности пленки абсолютным или конвективным. Найти скорости распространения переднего и заднего фронтов расплывающегося волнового пакета в зависимости от физических свойств жидкости.

2. Регуляризовать задачу пространственной эволюции периодических по времени линейных возмущений. Решить регуляризованную задачу.

3. Выявить физическую природу аномально большой реакции поверхностных волн на топографию дна.

4. Теоретически исследовать изменение характеристик поверхностных волн при смене ламинарного режима течения слоя на турбулентный.

5. Разработать методику измерения характеристик двумерных и трехмерных поверхностных процессов.

6. Экспериментально изучить трехмерные волновые режимы. Определить параметры и физические механизмы возникновения трехмерных волн. Экспериментально исследовать характеристики трехмерных волн.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Регуляризация задачи о пространственной эволюции линейных возмущений в вертикально стекающей пленке жидкости.

2. Теоретическое исследование характера неустойчивости (абсолютная, конвективная) в вертикально стекающей пленке при различных числах Капицы.

3. Результаты расчета поверхностной неустойчивости при турбулентном режиме вертикально стекающего слоя жидкости. Оценки влияния поверхностного натяжения на волновые характеристики при турбулентном режиме течения.

4. Выявление физического механизма аномального влияния топографии дна на поверхностные волны, заключающегося в особом типе резонанса.

5. Экспериментальное определение характера и параметров перехода к трехмерным волнам в вертикально стекающем слое вязкой жидкости.

6. Экспериментальное исследование параметров трехмерного солитона.

Практическое значение. Полученные результаты и выводы о характере

поверхностной неустойчивости, резонансных явлениях и полученные экспериментальные данные помогут определить подходы к технологии построения пленочных аппаратов, позволят выявить те технические условия и характеристики, которые дадут возможность контролировать поверхность

пленки, сохранять ее плоской или управлять распространением областей волнообразования.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических и надежных численных методов, сопоставлением полученных результатов с экспериментами и экспериментальных с теорией, где это возможно.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференциях: IX всероссийская школа-конференция молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики1' (Новосибирск, 2006, Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе), Второй ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2006), V объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета прикладной математики "Молодые исследователи науки XXI века: прошлое, настоящее и будущее" (Краснодар, 2005), IV школе-семинаре "Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика" для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России. (Краснодар 2005), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ.

Публикации. Основное содержание и результаты изложены в семи работах в рекомендованных ВАК изданиях: "Доклады Академии Наук", "Теплофизика и аэромеханика", "Механика жидкости и газа", "Экологический вестник научных центров ЧЭС". В работе [1] автору диссертации принадлежит вывод основных соотношений и формул, построение решения рассматриваемой задачи, составление комплекса программ, интерпретация результатов. В работах [2,3,4] автору принадлежит построение алгоритма вычислений, написание основной части программы расчетов, получение и анализ результатов. В [5,0,7] автору принадлежит участие в проведении экспериментов, обработке полученных результатов, их анализе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 86 наименований. В ней всего 137 страниц и 55 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко описаны основные проблемы, обосновывается их актуальность, формулируется цель работы и научная новизна, дана информация о публикациях автора и апробации работы.

В первой главе представлено теоретическое и экспериментальное описание рассматриваемых проблем.

В п. 1.1 описана классическая постановка задачи на устойчивость плоско-параллельного течения пленки. Формулируются основные уравнения и краевые условия системы. Параметрами являются число Рейнольдса Ее = иН^/и (где V — коэффициент молекулярной вязкости, Но — толщина плоского слоя жидкости, 11 — безволновая средняя по сечению скорость), число Вебера IV = сг//з[/2/го (где а — поверхностное натяжение, р — плотность жидкости), в — угол наклона течения. Система приведена к безразмерному виду, в качестве базисных величин взяты: /го, 17, р.

На устойчивость к малым возмущениям исследуется тривиальное решение системы, соответствующе случаю безволновой поверхности слоя.

В п. 1.2 рассматриваются понятия абсолютной и конвективной неустойчивости, а также вопрос пространственной эволюции возмущений.

В абсолютно неустойчивых течениях наличие кратковременных возмущений в любом месте пространства приводит к росту возмущений повсеместно. В конвективно неустойчивых течениях растущие возмущения сносятся в одном из направлений и, в конечном счете, оставляя основное течение невозмущенным.

Приведен анализ теоретической работы Ниегге и Мопкеип!;, посвященной исследованию применимости теории пространственно-временного развития возмущений для различных однофазных сдвиговых течений. Рассмотрены работы Демехина и Ченга, а также Вгеус1о и др. по исследованию проблемы распространения начального возмущения в тонком слое жидкости.

П. 1.3 посвящен проблеме влияния топографии дна на волнообразование. Приведен обзор теоретических и экспериментальных работ.

В некоторых работах отмечается существование стоячих волн с аномально большой амплитудой на поверхности пленки. Такая реакция поверхности пленки на топографию дна возникает в различных вариантах течения, горизонтального и вертикального, с внешними воздействиями и без них, однако, ни одна из работ не раскрывает физической причины этого явления.

В п. 1.4 рассмотрены экспериментальные работы по изучению как начальных этапов волнообразования, так и последующей эволюции волновых режимов. Сделан анализ используемых материалов и типов каналов в экспериментальных установках. Описаны различные виды возмущений на входе канала, а также методики измерения толщины пленки. Особое внимание уделено флуоресцентному методу измерения толщины.

Приведена таблица, описывающая фундаментальные экспериментальные работы по изучению волнового движения в жидких пленках в хронологическом порядке. В таблице даны основные результаты экспериментов и характеристики экспериментальных установок.

Вторая глава посвящена решению теоретических вопросов распространения поверхностных возмущений в пленках жидкости.

В п. 2.1 для вертикальных ламинарных течений пленки исследуется эволюция начального возмущения по времени и в пространстве.

Малые возмущения, накладываемые на тривиальиое решение, имеют вид:

и (а:, у, 0 = и0(у) + й(:г,у,£), = р0(у) + р(х,у, £), /г(гс, г) = 1 + Ь(х,(),

где и - вектор скорости, р - давление, /г - толщина слоя жидкости. Эти возмущения подставлялись в исходную систему, описывающую точение, и линеаризовывались около тривиального решения. После введения функции тока й = Ъ = исключения давления и соответствующих

алгебраических преобразований, система уравнений преобразуется в одно дифференциальное уравнение с краевыми условиями. Поток возмущается при t = 0, локализованным по времени и пространству сигналом: ■ф — ■фо(у)6(х)6(1), к = 5(х)5(С), где 5(х) и ¿(£) — дельта-функции Дирака, %М,У) ~ Функция, характеризующая начальное распределение скоростей.

Используя интегральное преобразования Фурье по пространственной переменной х и преобразование Лапласа по времени £:

00 оо

Фо(а,у,0= I 'ф(х,уЛ)е-к,Чх, Ф(а,у,а;) = ^ Ф„(а,у,

-эс О

система с начальным возмущением при / = 0 преобразуется в краевую задачу с неоднородными краевыми условиями К(1\

г' [(аи - - а2Ф) - а£/"Ф] - ¿(Ф7" ~ 2о2Ф" + а4Ф) = ¡(у), (1)

ад=7,^=1,2,3,4. (2)

Нетривиальные решения Ф этой задачи существуют только при комплексных а и и), удовлетворяющих дисперсионному соотношению 0(а,и>) = 0.

Если предположить, что найдено решение Ф(а,у,и>) задачи (1)-(2), то используя обратное преобразование Лапласа и Фурье, можно найти решение

Рис. 1. Зона неустойчивости для воды

исходной задачи ф:

(3)

Для вычисления первого интеграла в (3) использовалась теорема вычетов в сочетании с леммой Жордана. Второй интеграл в (3) асимптотически оценивался при í —» оо методом перевала.

Задача определения устойчивости сводилась к анализу контуров интегрирования в комбинации с исследованием корней дисперсионного соотношения £>(а,ы) = 0, численный алгоритм нахождения которых связан с решением задачи на собственные значения для однородной краевой задачи, соответствующей (1)-(2). Для нахождения собственных значений использовалась модификация метода Галеркина, т.н. тау-метод с последующим применением (^-алгоритма.

Результатом исследования являются пространственно-временные карты режимов устойчивости-неустойчивости (рис. 1) для различных типов жидкости. Волновой пакет сносится основным течением и расширяется в процессе движения, неустойчивость носит конвективный характер.

В п. 2.2 исследуется пространственная эволюция возмущения, периодически действующего с заданной частотой. При таком подходе задание действительной частоты и>о, как правило, приводит к счетному

множеству решений {а' }, большая часть которых не отражает физической сути. Возникает проблема выбора "правильной" ветви решений. Для описания течения используется система Капицы - Шкадова:

дц 6 5 /У\ 1„&!1 , <к дН д(/ „

здесь д — расход в направлении х, к — толщина слоя жидкости. Задача описывается одним параметром <5, который выражается через число Рейнольдса Не и число Капицы 7, 6 = 3-7^95_17'

Система имеет тривиальное решение /г = = 1. К этому решению добавляются малые возмущения: д = 1 + ед, Н = 1 + е/г, £ —» 0.

При х = 0, поток возмущается с заданной частотой и>о локализованным по пространству сигналом 6(х)е~ш°1. Применение преобразования Фурье по пространственной переменной х и преобразования Лапласа по времени t позволяет свести задачу к уравнению для образа Н{а,и>):

Б(а,ш)Н(а,и) =

где D(a, и/) = а4 — 6(5и>2 — 12аш + 6а2) + г(3а - ш). Использование обратных интегральных преобразований Лапласа и Фурье позволяет найти решение исходной задачи h. Для оценки соответствующих интегралов использовалась теорема вычетов, лемма Жордана и метод перевала. В результате для/i была получена асимптотическая оценка:

[2 _. .. e>(<»i»-"i("£)0 " e'(»iW"-4ii)

h(x, t) ~ ——--г.

I п

Т.е. отклик к состоит из двух составляющих: I — реакции на малое

одиночное возмущение, II — реакции на периодически действующее

возмущение. Если найдется такой член в II, для которого 1т(а~£(и>о)) < 0, то возмущение с соответствующим волновым числом будет расти по пространству при Ь —» оо, т.е. течение будет неустойчиво. Если реакция на одиночное возмущение (I) порождает конвективную неустойчивость, то такая неустойчивость с течением времени сносится вниз по течению и наблюдается только неустойчивость, возникающая за счет периодически действующих возмущений (II). Амплитуда волн, порождаемых такими возмущениями, в начале волнообразования будет нарастать экспоненциально с показателем

перемещающийся со скоростью (х/()+

экспоненты — сцх (рис. 2). Была получена зависимость коэффициента роста от частоты подаваемых на вход возмущений. Проведено сравнение результатов теории пространственного роста с теорией временного роста. Обе теории дают схожие результаты относительно значения параметра при котором наблюдается наибольший максимальный рост.

В п. 2.3 рассматривается двумерное нестационарное течение турбулентной жидкости по вертикальной плоскости. Данное течение описывается такой же системой, как и для ламинарных пленок, но для компонент напряжений применена эмпирическая модель турбулентности Буссинеска, связывающая напряжения Рейнольдса и градиент скорости. Связь турбулентной вязкости с полем осредненных скоростей реализуется через путь перемешивания Прандтля I.

Численно было найдено тривиальное решение системы, соответствующее турбулентному профилю II(у) плоского течения. Исследована устойчивость тривиального решения к малым возмущениям. Оказалось, что при смене режима с ламинарного на турбулентный, наиболее опасные возмущения становятся на порядок длиннее. Поверхностная неустойчивость при турбулентном режиме оказывается нечувствительной к силам поверхностного натяжения (рис. 3).

П. 2.4 посвящен исследованию влияния топографии дна на поверхность пленки жидкости. В задаче учитывается наклон какала и волнистость стенки. Форма дна задается уравнением у — / = [ехр(гах), где / и а — соответственно, амплитуда и волновое число волнистости дна. Параметрами задачи являются Не, IV, 9 и а. Реакция поверхности у — 1г = к ехр(гох).

Рис. 3. Влияние поверхностного натяжения на коэффициент максимального роста волны, Яе = 1000. Сплошная линия IV 01 пунктирная линия IV -- 0

Амплитуда волнистости предполагается малой, что позволяет рассматривать линеаризованную версию задачи.

Для / = 0 система имеет тривиальное решение, соответствующее безволновому течению. Исследуется реакция поверхности на волнистость дна, которая выражается возмущениями, накладываемыми на тривиальное решение.

Для нахождения отклика на волнистость г (а) = /г// применялся метод сращиваемых асимптотических разложений. Помимо асимптотического метода задача решалась численно с помощью модифицированного метода Галеркина (тау-метода). Имеется хорошее соответствие между асимптотическими результатами и численными (рис. 4).

Для решения вопроса об аномально большом отклике была введена в рассмотрение задача линейной устойчивости тривиального решения, которая описывается краевой задачей на собственные значения для уравнения Орра -Зоммерфельда, приведенной в п.1.1. Сравнение результатов задачи линейной устойчивости и задачи о реакции г(а) позволило выявить наличие резонанса волнистости с поверхностной модой линейной устойчивости. Данная мода описывает возмущения, распространяющиеся вверх по течению и всегда устойчива.

Третья глава посвящена экспериментальному исследованию финальной стадии эволюции волновых структур в вертикально стекающей пленке:

Рис. 4. Сравнение аналитических результатов с численными, полученными методом Галеркина (пунктир), г = 0 = |

разрушению двумерных волн и реализации волнового режима трехмерных солитонов.

В п. 3.1 приведено описание экспериментальной установки (рис. 5). Рабочий участок представлял собой вертикальный канал, сделанный из отшлифованного плексигласа, шириной 15 см и длиной 25 см. Канал соединен с верхним резервуаром, который состоял из нескольких отсеков, разделенных буферными панелями, встроенными для равномерного распределения потока. Нижняя часть канала была соединена с приемной емкостью, которая соединена с нижним резервуаром. Далее располагался насос, расход которого регулировался от 0,5 до 18 см'1/с, числа Рейнольдса для воды варьировались от 4 до 1,0х 102. Два водяных фильтра, установленные на трубопроводе, предназначались для очищения от пыли и других твердых частиц. Проходя фильтры, жидкость поступала в верхний резервуар.

П. 3.2 посвящен методике измерения локальной толщины слоя жидкости. Для измерения профиля воли использовалась разновидность флуоресцентного метода. В жидкость добавлялась небольшая концентрация флуоресцентного красителя. Основная идея этого метода заключается в существовании зависимости интенсивности свечения в пленке флуоресцирующего вещества, от толщины слоя.

ПерхннЙ Пинетка речернуар

ЕаЗ3

камера

Расходомер Л кжъл

Фильтры!

Г~~1

ультра шч ртов ьа"| ., сеет

ч

_I труба

Нижний

Нижний резервуар

1

Рис. 5. Схема экспериментальной установки

В п. 3.3 уделено внимание двумерным волнам и двумерно-трехмерному переходу. Для получения искусственных двумерных волн в экспериментах на основное течение накладывались периодические пульсации расхода жидкости. Эти пульсации подавляли естественный шум и в результате реализовывалась последовательность двумерных уединенных волн. Волны образовывались почти у самого начала рабочего участка. Область их двумерности сохранялась на протяжении всего канала.

Чтобы начать процесс распада двумерных волн в трехмерные, на двумерные волны накладывались искусственные возмущения. Регулярная структура двумерных волн сразу же нарушалась. На некотором расстоянии от входа появлялись трехмерные модуляции. Эти модуляции росли вниз по течению и разрушали двумерные волны. В ходе экспериментов была получена длина наиболее опасного возмущения — около 2 см. Возмущения с длиной менее 1 см затухали и не разрушали двумерные волны.

В п. 3.4 рассмотрена методика создания уединенного трехмерного солитона. Основная идея методики заключалась в размещении только одной капли, имеющей массу трехмерного солитона, на поверхности плоского слоя течения. Капли, попадая на безволновую поверхность, вовлекались в процесс движения пленки и трансформировались в трехмерные волны (рис. 6). В этом случае, появлялась возможность обойти все промежуточные стадии эволюции волновых структур. Для реализации этой идеи необходимо

Рис. 6. Равновесный установившийся трехмерный солитоны и его профиль, полученный экспериментально, Яе = 9.

было выбрать параметры течения, при которых не было бы возмущений тестируемой области. При числах Рейнольдса подслоя (Я.е) < 7 возмущения поверхности волнами не наблюдалось; волны при таких параметрах слишком малы и пленка практически плоская. При (Я.е) > 7 возникали волны, причем точки появления волн находились на некотором расстоянии от входа: (Яе) =7 — 24 см; (Яе) = 10 — 15 см; (Яе) =20 — 7 см. Солитону необходимо было от 5 до 10 см для достижения устойчивой стадии; поверхностная рябь при (Яе) < 15 слабо влияла на форму волн.

В п. 3.5 приведены результаты измерений скорости, профилей и амплитуд трехмерных солитонов. Показано, что волна имеет большую кривизну в головной части, на фронте водны возникает капиллярная рябь, жидкость концентрируется в устойчивых трехмерных солитонах. Эти волны быстро перемещаются по медленно текущему подслою. От волнового горба солитона отходят два косых ответвления, имеется впадина между двумя этими ответвлениями. С ростом числа Рейнольдса глубина впадины растет, а ответвления становятся длиннее и шире. При Яе < 6 не удалось создать устойчивый трехмерный солитон, вместо этого наблюдалось расширяющееся хаотическое пятно.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Теоретически выявлен конвективный характер первичной неустойчивости на поверхности вертикальной пленки. Исследована эволюция локализованного сигнала во времени и пространстве. Получены данные о движении фронтов образующегося волнового пакета для различных чисел Рейнольдса и различных типов жидкости. Показано, что для любого типа жидкости зона неустойчивости расширяется при увеличении числа

Рейнольдса до некоторого значения, а затем сужается. При фиксированном числе Рейнольдса и уменьшении числа Капицы зона неустойчивости уменьшается, причем смещается вниз только верхняя граница этой области, делая процесс более устойчивым.

2. В рамках уравнений Капицы - Шкадова регуляризована задача эволюции периодических во времени возмущений по пространству, вниз по потоку. Показано, что в линейном приближении при t —♦ оо возмущение растет экспоненциально, показатель экспоненты определяется из дисперсионного соотношения выбором правильной ветви решений.

3. Теоретически исследована поверхностная неустойчивость при турбулентном режиме течения. Найдено, что при смене режима с ламинарного на турбулентный, параметры неустойчивых возмущений существенно меняются. Эти возмущения становятся на порядок длиннее, а сами волны замедляются.

4. Теоретически выявлена физическая причина, приводящая к возникновению стоячих волн необычно большой амплитуды, заключающаяся в особом типе резонанса волнистости дна с поверхностными волнами.

5. Разработан флуоресцентный метод измерения характеристик двумерных и трехмерных поверхностных явлений.

6. С применением разработанного экспериментального метода выяснено, что двумерно-трехмерный переход происходит в силу неустойчивости двумерных волн и их разрушения с последующим формированием трехмерных солитонов. С применением метода наложения искусственных поперечных возмущений на двумерные волны был получен двумерно-трехмерный переход при вертикальном стекании вязкого слоя, зарегистрированы его характеристики при различных параметрах возмущений.

7. С применением флуоресцентного метода экспериментально найдены амплитуды, профили и скорости трехмерных солитонов, определяющих трехмерный режим. Проанализировано влияние числа Рейнольдса на устойчивость трехмерных солитонов и их характеристики.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Демехин Е.А., Селин A.C., Шапарь Е.М. Исследование неустойчивости в вертикальных пленках жидкости как задачи с начальными данными // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 3. С. 46-57

ь

2. Демехин Е.А., Шапарь Е.М., Селин A.C. Поверхностная неустойчивость в открытых наклонных каналах // Теплофизика и аэромеханика. 2007. Т. 14. № 2. С. 45-53.

3. Демехин Е. А., Шапарь Е.М., Селин A.C. Поверхностная неустойчивость вертикально стекающих турбулентных пленок жидкости // ДАН. 2007. Т. 415. № 3. С. 28-31.

4. Демехин Е.А., Шапарь Е.М., Селип A.C. Резонансное влияние топографии дна на поверхность наклонного слоя вязкой жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15. № 2. С. 257-267.

5. Калайдин E.H., Селип A.C., Демехин Е.А. Экспериментальное исследование лямбда-солитонов в стекающем слое вязкой жидкости // ДАН. 2009. Т. 426. №5. С. 193-197.

6. Калайдин E.H., Селин A.C., Шапарь С.М. Экспериментальное исследование трехмерных солитонов в вертикально стекающей пленке жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2008. № 14. С. 58-63.

7. Калайдин E.H., Селин A.C., Шапарь С.М. Экспериментальное исследование двумерно-трехмерного перехода волновых структур на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 1. С. 36-38.

Селин Александр Сергеевич

Экспериментальное исследование трехмерных волновых структур в пленке жидкости и математическое моделирование ее поверхностной неустойчивости

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 7.12.2009. Формат 60/84/16. Уч. изд. л. 1,04.

Тираж 100 экз. Заказ № 9369.

Тираж изготовлен в типографии ООО "Просвещение-Юг".

350059, г.Краснодар, ул. Селезнева, 2 Тел. 239-68-31.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБЗОР ПРЕДЫДУЩИХ

РАБОТ.

1.1 Классическая постановка задачи на устойчивость плоскопараллельного течения пленки.

1.2 Понятия абсолютной и конвективной неустойчивостей и регуляризация задачи о пространственной эволюции.

1.3 Влияния топографии стенки на волнообразование — обзор теории и эксперимента.

1.4 Методики предшествующих экспериментальных исследований

2 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ

ВОЗМУЩЕНИЙ.

2.1 Неустойчивость в вертикальных пленках жидкости как задача с начальными данными и конвективный характер этой неустойчивости.

2.2 Пространственное развитие возмущений в вертикально стекающих слоях вязкой жидкости.

2.3 Поверхностная неустойчивость турбулентных пленок жидкости

2.4 Резонансное влияние топографии дна на поверхность слоя вязкой жидкости.

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПАДА

ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ И РЕЖИМА ЛЯМБДА

СОЛИТОНОВ.

3.1 Описание экспериментальной установки.

3.2 Методика измерения локальной толщины слоя жидкости

3.3 Двумерные волны и двумерно-трехмерный переход.

3.4 Создание уединенного трехмерного солитона.

3.5 Результаты экспериментов

4 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность темы. Интенсивное изучение течений тонких слоев вязкой жидкости связано с их широким применением в технике и промышленности.

Классическими объектами такого применения являются химические реакторы, массообменные и выпарные аппараты, кристаллизаторы, электролизеры, нефтеперегонные печи, ядерные реакторы, ожижители природного газа и т.д. В промышленности широко распространены так называемые кожухотрубчатые и роторные пленочные аппараты. В кожухотрубчатых пленочных аппаратах поток газа и пленка жидкости могут двигаться как в одном, так и в противоположном направлениях, они используются в качестве конденсаторов, десорберов, адсорберов, ректификационных колонн, лабораторных колонн с орошаемыми стенками. Роторные пленочные аппараты используют в основном высоковязкие жидкости, их работа связана с действием центробежной силы. Их применяют для производства капролактама, формальдегида, мочевины, силиконовых масел, жирных кислот и спиртов, вазелина, полимеров [1, 26].

В последнее время, в связи со стремлением к уменьшению размеров технологических устройств, повышается интерес к пленочным и т.н. микропленочным процессам, в ведущем международном журнале "Physics of Fluids" даже создается новый раздел — микрофлюидика, значительную часть которого занимают статьи по микропленкам.

О повышенном интересе к микропленкам говорит большое количество статей о них в таких журналах, как "Electrophoresis", "Analytical Chemistry", "Analyst", "Biosensors and Bioelectronics", "Sensors and Actuators", "Journal of

Micromechanics and Microengineering", "Clinical Chemistry", "Luminescence", "Lab on a Chip Miniaturisation for Chemistry and Biology" и т.д.

Новые применения пленок впечатляют (см. главу 1). Одним из таких перспективных применений является оптофлюидика [43], основанная на взаимодействии света и потоков жидкости. С помощью света можно управлять микропотоками жидкости. Так, например, с помощью лазерного луча можно менять поверхностные силы на границе раздела двух жидкостей различной плотности. С помощью потока жидкости можно фокусировать лазерный луч различными способами.

Другим интересным продуктом микрофлюидной технологии является миниатюрный микроскоп, технология которого была предложена исследователями из Калифорнийского технологического университета [85]. Одним из важных элементов этого устройства является наличие направленного потока тонкого слоя жидкости. Эта пленка растекается по матрице светочувствительных элементов и просвечивается, а исследуемые объекты закрывают датчики на матрице. Далее происходит преобразование информации от матрицы в цифровой вид и последующая ее обработка с помощью информационных технологий.

Действие тепловых, химических и электрических факторов на пленку позволяет выявлять в ней необычные свойства [21, 29, 30, 31, 77]. Особо интересным фактом является возможность управления движением пленки под действием электрического поля. Это позволит в дальнейшем создавать устройства, которые могут применяться в жидкостных центрифугах, смешивающих приспособлениях и т.д.

Другим новым применением пленок является охлаждение микрочипов [11, 21].

Микротечения пленок жидкости также являются составной частью многих микрофлюидных чипов [22, 28, 71]. Такие чипы, как правило, содержат разветвленную систему каналов и сосудов, по которым возможны различные манипуляции с газами и жидкостями.

Это может быть, например, синтез органических или неорганических веществ, многоэтапный биологический и химический анализ. Причем, управление этими процессами возложено на микропроцессорные устройства. Особенностями таких систем являются: малые размеры, малое энергопотребление, низкая стоимость, безопасность, возможности интегрирования с другими системами, новые возможности исследований, доступные только в микрообъемах, эффективное воздействие на биологические объекты, возможность точного анализа реакций на такое воздействие.

И старые и новые приложения пленочных и микропленочных течений сильно тормозятся недостатком знаний о структуре пленочных течений. Пленочные течения являются гидродинамически неустойчивыми, причем во многих случаях эта неустойчивость начинается с нулевых чисел Рейнольдса, т.е. проявляется в микромасштабах.

Развитие гидродинамической неустойчивости приводит к установлению того или иного волнового режима. Разнообразие этих режимов [32] (периодические, солитонные, двумерные, трехмерные, режимы бегущих и стоячих волн и т.д.) сильно затрудняет как теоретическое, так и экспериментальное изучение течения.

Базовым или эталонным пленочным течением является свободное стекание вязкого слоя по вертикальной жесткой стенке под действием гравитации. Многие типы волн, встречающиеся в более сложных пленочных течениях, имеют место в свободном стекании» вязкой пленки. Несмотря на интенсивное исследование проблемы как теоретически, так и экспериментально в течение нескольких десятков лет и сотни написанных статей, многие вопросы волновых режимов этого эталонного течения остались открытыми.

Один из таких вопросов связан с эволюцией возмущений. В так называемых открытых системах, к которым принадлежат и движущиеся пленки жидкости, с точки зрения эксперимента возмущения, будучи периодическими по времени, экспоненциально (во время линейной стадии) растут по пространственной переменной. С теоретической же точки зрения такая постановка является некорректной, так как задача Коши ставится для системы эллиптического типа. Вопрос регуляризации такой задачи является важным для всех открытых течений, но для стекающей пленки он может быть решен более просто.

Другим важным моментом, связанным с первым, является вопрос о характере проявляющейся неустойчивости: является ли неустойчивость абсолютной или конвективной [7, 57]? Это два принципиально разных характера неустойчивости. При абсолютной неустойчивости возмущения поверхности пленки нарастают во времени и постепенно охватывают всю систему, в то время, как при конвективной неустойчивости возмущения нарастают в пространстве и сносятся к выходу из системы, при этом они могут покинуть систему, не достигнув заметной величины. Однако возможен случай, когда эти возмущения будут достигать более чем заметной величины значительно раньше, чем покинут систему.

Многие микрочипы, где в качестве рабочей жидкости применяются пленочные течения, в силу технологических причин имеют сложную топографию стенки. В настоящее время известен [51, 79, 82] факт аномально сильной реакции межфазной поверхности на неоднородности стенки: слабые неоднородности резко усиливаются на поверхности раздела. Физический механизм этого явления остается непонятым. Вопрос не только является интересным с теоретической точки зрения, это непонимание также тормозит технологические приложения пленок в течениях со сложной топографией.

В ряде технологических процессов течение пленки является турбулентным. При этом на поверхности слоя имеют место волны большой амплитуды с длиной волны намного большей толщины слоя [49]. Для турбулентных пленок жидкости даже исследование первичной неустойчивости представляет собой не решенную задачу.

И, наконец, упомянем о последнем важном вопросе, требующем разрешения. Достаточно исследованными являются режимы двумерных волн, однако во многих процессах имеет место режим трехмерных волн. Несмотря на важность этого режима, он практически не затронут ни теоретически, ни экспериментально. Теоретическое исследование режимов трехмерных локализованных структур, их взаимодействий и трехмерных переходов в настоящее время отражено только в работах [4, 5, 52, 53]. Автору известны только три работы количественного экспериментального изучения трехмерных волновых структур в свободно падающих слоях [1, 37, 66]. Данная работа восполняет этот пробел в экспериментальных исследованиях.

Краткая характеристика диссертации.

Основной целью диссертации является экспериментальное и теоретическое исследование некоторых оставшихся открытыми вопросов волнового стекания ламинарных и турбулентных пленок жидкости.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Теоретически исследовать — является ли характер неустойчивости абсолютным или конвективным. Найти скорости распространения переднего и заднего фронтов расплывающегося волнового пакета в зависимости от физических свойств жидкости.

2. Регуляризовать некорректную постановку пространственной эволюции линейных возмущений. Решить регуляризованную задачу.

3. Выявить важный с точки зрения процессов переноса вопрос: физическую природу аномально большой реакции поверхностных волн на топографию дна.

4. Теоретически исследовать изменение характеристик поверхностных волн при смене ламинарного режима течения слоя на турбулентный.

5. Разработать и применить экспериментальную методику измерения характеристик двумерных и трехмерных поверхностных процессов.

6. Экспериментально изучить трехмерные волновые режимы. Определить параметры и физические механизмы возникновения трехмерных волн. Экспериментально исследовать характеристики трехмерных волн.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов и надежных численных, сопоставлением полученных результатов с экспериментами, и экспериментальных с теорией, где это возможно.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Регуляризация задачи о пространственной эволюции линейных возмущений в вертикально стекающей пленке жидкости.

2. Теоретическое исследование характера неустойчивости (абсолютная, конвективная) в вертикально стекающей пленке при различных числах Капицы.

3. Результаты расчета поверхностной неустойчивости при турбулентном режиме вертикально стекающего слоя жидкости. Оценки влияния поверхностного натяжения на волновые характеристики при турбулентном режиме течения.

4. Выявление физического механизма аномального влияния топографии дна на поверхностные волны, заключающегося в особом типе резонанса.

5. Экспериментальное определение характера и параметров перехода к трехмерным волнам в вертикально стекающем слое вязкой жидкости.

6. Экспериментальное исследование параметров трехмерного солитона.

Основное содержание и результаты изложены в семи работах [7, 8, 9, 10, 12, 13, 14] в рекомендованных ВАК изданиях: "Доклады Академии Наук", "Теплофизика и аэромеханика", "Механика жидкости и газа", "Экологический вестник научных центров ЧЭС". В работе [7] автору диссертации принадлежит вывод основных соотношений и формул, построение решения рассматриваемой задачи, составление комплекса программ, интерпретация результатов. В работах [8, 9, 10] автору принадлежит построение алгоритма вычислений, написание основной части программы расчетов, получение и анализ результатов. В [12, 13, 14] автору принадлежит участие в проведении экспериментов, обработке полученных результатов, их анализе. Постановку основных задач, общее направление исследований осуществлял научный руководитель профессор Е.А. Демехин. Материалы диссертации докладывались на конференциях: IX всероссийская школа-конференция молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2006, Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе), Второй ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2006), V объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета прикладной математики "Молодые исследователи науки XXI века: прошлое, настоящее и будущее" (Краснодар, 2005), IV школе-семипаре "Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика" для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России. (Краснодар 2005), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ.

4. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Теоретически выявлен конвективный характер первичной неустойчивости на поверхности вертикальной пленки. Исследована эволюция локализованного сигнала во времени и пространстве. Получены данные о движении фронтов образующегося волнового пакета для различных чисел Рейнольдса и различных типов жидкости. Показано, что для любого типа жидкости зона неустойчивости расширяется при увеличении числа Рейнольдса до некоторого значения, а затем сужается. При фиксированном числе Рейнольдса и уменьшении числа Капицы зона неустойчивости уменьшается, причем смещается вниз только верхняя граница этой области, делая процесс более устойчивым.

2. В рамках уравнений Капицы-Шкадова регуляризована некорректная задача эволюции периодических во времени возмущений по пространству, вниз по потоку. Показано, что в линейном приближении при t со возмущение растет экспоненциально, причем, показатель экспоненты определяется из дисперсионного соотношения выбором правильной ветви решений.

3. Теоретически исследована поверхностная неустойчивость при турбулентном режиме течения. Найдено, что при смене режима с ламинарного на турбулентный, параметры неустойчивых возмущений существенно меняются. Эти возмущения становятся на порядок длиннее, а сами волны замедляются.

4. Теоретически выявлена физическая причина, приводящая к возникновению стоячих волн необычно большой амплитуды, заключающаяся в особом типе резонанса волнистости дна с поверхностными волнами. Показано, что условием резонанса является равенство волнового числа неподвижного волнистого дна и волнового числа некоторой собственной моды с частотой равной нулю.

5. Разработан флуоресцентный метод измерения характеристик двумерных и трехмерных поверхностных явлений.

6. С применением разработанного экспериментального метода выяснено, что двумерно-трехмерный переход происходит в силу неустойчивости двумерных волн и их разрушения с последующим формированием лямбда-солитонов. С применением метода наложения искусственных поперечных возмущений па двумерные волны был получен двумерно-трехмерный переход при вертикальном стекании вязкого слоя, зарегистрированы его характеристики при различных параметрах возмущений. Получена длина наиболее опасного возмущения — около 2 см. Возмущения с длиной менее 1 см затухали. Все эксперименты были проведены для воды.

7. С применением флуоресцентного метода экспериментально найдены амплитуды, профили и скорости лямбда-солитонов, определяющих трехмерный режим. Проанализировано влияние числа Рейнольдса на устойчивость лямбда-солитонов и их характеристики.

Таким образом, выводы о характере поверхностной неустойчивости, резонансных явлениях и полученные экспериментальные данные помогут определить подходы к технологии построения пленочных аппаратов, позволят выявить те технические условия и характеристики, которые дадут возможность контролировать поверхность пленки, сохранять ее плоской или управлять распространением областей волнообразования.

1. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение 1992.

2. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волнообразование при течении пленки жидкости на вертикальной стенке // ПМТФ. 1979. №6. С. 77-87.

3. Бахвалов H.G., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Физматлит. 2002.

4. Демехин Е. А., Калайдин Е. Н., Шапаръ С. М., Шелистов В. С. К теории трехмерных многогорбых солитонов в активно-диссипативных средах // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 2. С. 186-192.

5. Демехин Е.А., Калайдин E.H., Шапаръ С.Ы., Шелистов B.C. Устойчивость трехмерных солитонов в вертикально стекающих пленках жидкости // ДАН. 2007. Т. 413. №2. С. 193-197

6. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 6. С. 73-81

7. Демехин Е.А., Селин A.C., Шапаръ Е.М. Исследование неустойчивости в вертикальных пленках жидкости как задачи с начальными данными // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 3. С. 47-57

8. Демехин Е.А., Шапарь Е.М., Селин A.C. Поверхностная неустойчивость турбулентных течений жидкости в открытых наклонных каналах // Теплофизика и аэромеханика. 2007. Т. 14. № 2. С. 231-238.

9. Демехин Е. А.,Шапарь Е.М., Селин A.C. Поверхностная неустойчивость вертикально стекающих турбулентных пленок жидкости // ДАН. 2007. Т. 415. № 3. С. 334-337.

10. Демехин Е.А., Шапарь Е.М., Селин A.C. Резонансное влияние топографии дна на поверхность наклонного слоя вязкой жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15. № 2. С. 257-266.

11. Зайцев Д.ВЧинное Е.А., Кабов O.A., Марчук И. В. Экспериментальное исследование волнового течения пленки жидкости по нагреваемой поверхности // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 6. С. 31.

12. Калайдин E.H., Селин A.C., Демехин Е.А. Экспериментальное исследование лямбда-солитонов в стекающем слое вязкой жидкости // ДАН. 2009. Т. 427. №4. С. 486-488.

13. Калайдин E.H., Селин A.C., Шапарь С.М. Экспериментальное исследование трехмерных солитонов в вертикально стекающей пленке жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2008. № 4. С. 58-63.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнения. М.: Наука. 1976.

15. Капица П. Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. Вып. 1. С. 3-28.

16. Капица П.Л., Капица С.П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. Вып. 2. С. 105-120.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Москва. 1973.

18. Ландау Л., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Физматгиз. 1954.

19. Линь Ц-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ. 1958.

20. Мацех A.M., Павленко А.Н. Особенности теплообмена и кризисных явлений в стекающих пленках криогенной жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2005. Т. 12. № 1. С. 105-119.

21. Момыналиев К.Т., Лазарев В.Н., Кострюкова Е.С., Челышева В.В., Селезнева О.В., Кравченко Е.В., Говорун В.М. Микрофлюидные технологии для детекции внутриклеточных процессов в бактериальной клетке // Российские нанотехнологии. 2007. Т.2. №6. С.126-132

22. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко C.B. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости // ИФЖ. 1976. Т. 30. № 5. С.780-785.

23. Овчарова A.C. Управление формой свободной поверхности пленки, стекающей по сложному рельефу // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 4. С. 79-84.

24. Олевский В.М. Пленочная тепло- и массообменная аппаратура М.: Химия. 1988.

25. Трифонов Ю.Я. Отекание вязких пленок по волнистым поверхностям // ПМТФ. 2004. Т.45. №3. С. 97-110.

26. Чинное Е.А., Кабов О.А. Режимы двухфазного течения в плоском микроканале // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 16. С. 41-47.

27. Чинное Е.А. Деформация подковообразных волн при нагреве пленки жидкости // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 14. С. 40-47.

28. Шарыпов О. В., Медведко К.А. К вопросу о структуре неизотермических пленочных течений // Вестник НГУ. Физика. 2006. Т. 1. № 2. С. 48-53.

29. Шарыпов О.М., Куйбин П.А. Вихрь в пленке жидкости, вызванный тепловой волной // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. Вып. 19. С. 67-72.

30. Шкадов В.Я., Демехин Е.А. Волновые движения пленок жидкости на вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов) // Успехи механики. 2006. Т. 4. № 2. С. 3-65.

31. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости // Научные труды института механики МГУ. 1973 №25. С. 192

32. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43-51.

33. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974.

34. Adomeit F. and Renz U. Hydrodynamics of three-dimensional waves in laminar falling films // Int. J. Multiphase Flow 26. 2000. P. 1183-1208.

35. Alekseenko S. V., Antipin V.A., Guzanov V. V., Kharlamov S.M., Markovich V.M. Three-dimensional solitary waves on falling liquid filmat low Reynolds numbers // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17. P. 121704121708.

36. Alekseenko S.V., Nakoryakov V.E., Pokusaev B.G. Wave flow of liquid films. New York: Begel House. 1994.

37. Argyriadi K., Vlachogiannis M., Bontozoglou V. Experimental study of inclined film flow along periodic corrugations: The effect of wall steepness // Phys. Fluids. 2006. Vol. 17. P. 012102-012117.

38. Benjamin T.B. Wave formation in laminar flow down on inclined plane // J. Fluid Mech. 1957. Vol. 2. P. 554-574.

39. Binnie A.M. Experiments on the onset of wave formation on a film of water flowing down a vertical plate //J. Fluid Mech. 1957. №2. P. 551-553.

40. Bontozoglou V., Papapolymerou G. Laminar film flow down a wavy incline // International Journal of Multiphase Flow. 1997. №23. P. 69-79.

41. Brasselet E., Wunenburger R., Delville J.-P. Liquid Optical Fibers with a Multistable Core Actuated by Light Radiation Pressure // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 705-709.

42. Brauer Ii., Maron D.M. Modeling of wavy flow inclined thin films // Chem. Eng. Sei. 1983. Vol. 38. № 5. P. 775-788.

43. Brevdo L., Laure P., Dias F., Bridges T. Linear pulse structure and signaling in a film flow on an inclined plane //J. Fluid Mech. 1999. Vol. 396. P. 37-71.

44. Brock R. R. Development of roll-wave trains in open channels // J. of Hydraul. Div. Am. Soc. Civ. Eng. 1969. Vol. 95. № HY4. P. 1401-1427.

45. Chang H.-C., Demekhin E.A. and Saprikin S.S. Noise-driven wave transitions on a vertically falling film // J.Fluid Mech. 2002. Vol. 462, P. 255-283.

46. Chang ff.-C., Demekhin E.A. Complex Wave Dynamics on Thin Films // Studies in Interface Science. Elsevier. Amsterdam 2002.

47. Chu K. J., Dukler A. E. Statistical characteristics of thin, wavy films. Part 2 // AIChE J. 1974. Vol. 20. №4 P. 695-705.

48. Dassori, C. G., Deiber, J. A. and Cassano, A. E. Slow two-phase flow through a sinusoidal channel // Int. J. Multiphase Flow. 1984. Vol. 10 P. 181-193.

49. Deere M.M.J., Baret J.-C. Gravity-driven flows of viscous liquids over two-dimensional topographies //J. Fluid. Mech. 2003. Vol. 487. P. 147-166.

50. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S. Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. I. Scenarios of two-dimensional-three-dimensional transition // Physics of fluids 2006. Vol. 19. P. 114103-114118

51. Demekhin E.A., Kalaidin E.N., Kalliadasis S., Vlaskin S. Yu. Three-dimensional localized coherent structures of surface turbulence. II. Lambda solitons // Physics of fluids. 2007. Vol. 19. P. 114104-114119

52. Dressier P.S. Mathematical solution of the problem of roll-waves in inclined open channels // Communs Pure Appl. Math. 1949. Vol. 2. P. 140-194.

53. Dukler A.E., Bergelin O.P. Characteristics of flow in falling liquid films // Chem. Eng. Prog. 1952. Vol. 48. P. 557.

54. Gaskell, P.B., Jimack, P.K., Sellier, M., Thompson, H.M. Wilson M.C.T. Gravity-driven flow of continuous thin liquid films on non-porous substrates with topography // Journal of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 509. P. 253-280.

55. Huerre P., Monkewitz P.A. Local and global instabilities in spatially developing flows 11 Annu. Rev. Fluid Mech. 1990. Vol. 22. P. 473-537.

56. Ishigai S., Nakanisi S., Koizumi T., Oyabi Z. Hydrodynamics and heat transfer of vertical falling liquid films // Bull. JSME. 1972. Vol. 15 №83. P. 594-602.

57. Jackson M.L. Liquid film in viscous flow // AIChE J. 1955. Vol. 1. №1. P. 231.

58. Jones L.O., Whitaker S. Experimental study of falling liquid films // AIChE Journal. 1966. Vol. 12. P. 525-529.

59. Karimi G., Kawaji M. A study of hydrodynamic characteristics of noncon-ductive falling films in counter-current annula flow // Proc. National Heat Transfer Conference. Houston. Texas. 1996. Vol. 326. P. 205-221.

60. Krantz W.B., Goren S.L. Finite-amplitude, long waves on liquid films flowing down a plane // Ind. Engng. Chem. Fungan. 1970. Vol. 9. №1. P. 107113.

61. Liu J., Paul J.D., Gollub J.P. Measurements of the primary instabilities of film flows // J. Fluid Mech. 1993. Vol. 220. P. 69-101.

62. Nemet L, Sher V. Hydrodynamics of thin liquid films flowing down a vertical plane // Acta. Chim Acad. Sei Hung. 1969. Vol. 60. P.103-121.

63. Orzsag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 50. №4. P. 689-704.

64. Park C.D., Nosoko T. Three-dimensional dynamics of waves on a falling film and associated mass transfer // AIChE J. 2003. Vol. 49. №11. P. 27152727.

65. Portalski S. Studies of falling liquid film flow: film thikness on smooth vertical plate // Chem. Eng. Seien. 1963. Vol. 18. P. 787-804.

66. Portalsky S., Clegg A.J. An experimental study of falling liquid films // Chem. Eng. Seien. 1972. Vol. 27. P. 1257-1265.

67. Pozrikidis C. The flow of a liquid film along a periodic wall // J. Fluid Mech. 1988. Vol. 188. P. 275-300.

68. Salazar R.P., Marschall E. Time-average local thickness measurement in falling liquid film flow // Int. J. Multiphase Flow. 1978. P. 405-412.

69. Sengupta Shramik, Battigellib David A., Chang Hsueh-Chia A micro-scale multi-frequency reactance measurement technique to detect bacterial growth at low bio-particle concentrations // Lab Chip. 2006. №6. P. 682 -692

70. Shetty S., Cerro R. L. Flow of a thin film over a periodic surface // Int. J. Multiphase Flow 1993. Vol. 19. P. 1013-1027.

71. Stainthorp F.P., Allen J.M. The development of ripples on the surface of liquid film flowing inside a vertical tube // Trans. Inst. Chem. Engrs. 1965. Vol. 43. P. 85-91.

72. Tailby S. R., Portalski S. The hydrodynamics of liquids films flowing on vertical surface // Trans. Inst. Chem. Eng. 1960. Vol. 38. P. 324-330.

73. Takahama H., Kato S. Longitudinal flow characteristics of vertically falling liquid films without concurrent gas flow// Int. J. Multiphase Flow. 1980. Vol. 6. P. 203-215.

74. Teiles A.S., Dukler A.E. Statistical characteristics thin vertical wavy liquid films // Ind. Engng. Chem. Fundam, 1970. Vol. 9. №3. P. 412-421.

75. Tseluiko D., Papageorgiou D. T. Wave evolution on electrified falling films // J. Fluid. Mech. 2006. Vol. 556. P. 361-386.

76. Van Driest E.R. On turbulent flow near a wall // JAS. 1956. Vol. 23. № 2. P. 1007-1011.

77. Vlachogiannis M., Bontozoglou V. Experiments on laminar film flow along a periodic wall //J. Fluid Mech. 2002. Vol. 457. P. 133-156.137 ¿¿S

78. M. Vlachogiannis and V. Bontozoglou Observation of solitary wave dynamics of film flows // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 435. P. 191-215.

79. Wang C.-Y. Liquid film flowing slowly down a wavy incline// AlChE J. 1981. Vol. 27. P. 207-212.

80. Wierschem A., Aksel N. Instability of a liquid film flowing down an inclined wavy plane // Physica. 2003. Vol. 186 P. 221-237.

81. Wierschem A., Bontozoglou V., Heining C, Uecker H., Aksel N. Linear resonance in viscous films on inclined wavy planes / / International journal of multiphase flow. 2008. Vol. 34. №6. P. 580-589.

82. Wilkes J.O., Nedderman P. The measurement of velocities in thin films of liquid // GES. 1962. Vol. 17. P. 177-187.

83. Zhao L., Cerro R. L. Experimental characterization of viscous film flows over complex surfaces // Intern. J. Multiphase Flow. 1992. Vol. 6. P. 495516.