Тепломассоперенос в мерзлых грунтах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

* Г Б ОД

I б окт 1035

На правах рукописи

ШЕШУКОВ Алексей Евгеньевич

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС В МЕРЗЛЫХ ГРУНТАХ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1995

Работа' выполнена, в отделе механики пористых сред Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботарева при Казанском государственном университете.

Научные руководители: кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник А.Г.Егоров

доктор физико-математичеких наук, профессор

A.В.Костернн.

Официальные оппоненты: доктор физико-матемагпчеких

наук, профессор

B.А.Чугунок

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Н.Д.Якимои

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится Зо НОЯ 1995 , в 14 чнс. 30 минут I

ауд. фи'з.2 на заседании Специализированною Сонета Д 053.29.01 ш защите диссертаций на соискание ученой пет-нн доктора физики математических наук но механике при Казанском государственнох университете (420008, Казань. ул.Лепима, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н.II.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " СенГЛ^А 1995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физ.-мат. наук

А.И.Головапо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многолетнемерзлые грунты занимают более половины территории России. Тепломассоперенос в них играет существенную роль в большинстве теоретически интересных и практически важных процессов. К таким процессам можно отнести, например, морозное пучение грунтов, образование шлиров льда, закачку рассолов в мерзлый грунт с целью утилизации, создание ледопород-ных противофильтрационных завес и др. Интерес к их количественному описанию и анализу порождает широкий класс задач, которые постоянно привлекают к себе исследователей своей физической содержательностью и математической новизной.

Цели диссертационной работы.

1. Математическая постановка и решение задач о движении растворов в мерзлом грунте. Параметрическое исследование решений.

2. Математическая постановка и решение задачи о миграции частицы в неизотермическом массиве льда. Теоретическое описание экспериментальных данных по движению частицы.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации.

1. Дана математическая постановка задачи о закачке концентрированного теплого раствора в мерзлое пористое полупространство. Для случая, когда кондукцией тепла и диффузией примеси можно пренебречь по сравнению с их конвективными потоками, получено ее точное аналитическое решение. Найдены все возможные режимы процесса и условия их существования.

2. Поставлена задача о возникновении ледопородного барьера при последовательной закачке в мерзлое полупространство концентрированного раствора и пресной воды. Исследованы качественные свойства ее решения н найдены условия возникновения ус тойчивого

барьера. ,

3. Дана математическая постановка задачи о миграции твердой частицы в неизотермическом массиве льда. Получено ее решение, проведен его анализ и найдены те значения параметров задачи, при которых имеется хорошее согласование теоретических и экспериментальных значений скорости миграции.

Научное и практическоечзначение работы. Работа в целом носит теоретический характер, но ее отдельные результаты имеют и практическое значение. Так, условия возникновения ледопородных барьеров могут быть использованы для создания таких преград с целью управления потоками при закачке растворов в мерзлый грунт, а решение задачи о миграции частицы во льде позволяет оценить трудно определяемую в теории расклинивающего давления константу Гамакера.

Достоверность результатов работы в рамках принятых математических моделей обеспечивается применением строгих математических рассуждений и аналитических методов при решении задач, тестированием численных расчетов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского университета (1991-1995), на семинаре проф. Ентова В.М. в ИПМ РАН, конференции "Механика Машиностроения" в г.Набережные Челны (март 1995 г.), на семинаре кафедры прикладной математики Казанского университета под руководством проф. Саламатина А.Н. (1993-1995), на семинарах отделов теории фильтрации и механики пористых сред в НИИ математики и механики Казанского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех раз-

делов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 91 странице машинописного текста, содержит 15 рисунков: список литературы включает 56 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность темы, формулируются цели исследования и положения, выносимые на защиту. Обсуждаются физические предпосылки математической модели тепломассопере-носа в мерзлых насыщенных раствором пористых средах.

В работе рассматривается пористая среда, полностью насыщенная водным раствором соли и находящаяся при температуре ниже температуры замерзания чистой воды. Вода в таких средах может существовать в жидком и твердом (лед) состояниях. Области сосуществования льда и раствора называются двухфазными зонами. В простейшем случае температура Т среды в них связана с концентрацией с раствора условием локального термодинамического равновесия.

В первом разделе выводится уравнение притока тепла и формулируется математическая модель процессов тепломассопереноса в насыщенных раствором пористых средах (п.1.1). Система уравнений имеет вид

, .3« 91' . .

т (рш - + Р„,—= 0 (1)

дцс дсУ д Ос

тЖ-+ аГ = {2)

(Т - 7» +роп Ь,1) + <Ъг^(Г(Г - 7») = (3)

' ' «>

ц е Н(Т - То(с-)), т0(с) = Т/ — 7 г (о)

а = а (/<) = (1 - т)г*„, + т( 1 - /<)аг- + т^ <*„„ А = А(/«), к = к(/0

Здесь Ь - напор, /г - влажность (доля пор, занятых раствором), т - пористость, р - плотность, о: - объемная теплоемкость, Ь - скрьпая теплота плавления, Б - коэффициент диффузии, Л - коэффициент теплопроводности, 7 - криоскопичеекая постоянная. Т) - температура замерзания чистой воды, Н - функция Хевисайда. индексы гг. ¡.п отвечают воде, льду и скелету грунта соответственно.

Первые три уравнения представляют собой чаконы сохрннежп массы, количества примеси и энтальпии, четвертое - чакон Дарен Коэффициент фильтрации к полагается монотонно возрастающем функцией влажности, к(0) = 0. Уравнение (5) определяет в двух фазной зоне условие локального термодинамического равновесия. I талой (/( = 1) и мерзлой (//. = 0) зонах температура соотвотгпкчш больше или меньше Ти.

В двухфазной зоне уравнения (1)-(5) представляют собой систем квазилинейных уравнений, допускающую в качестве решения к лас разрывных функций /л, V, дс/дх,дТ/дх. Условия на разрывах имею вид

mvf(pw-p¡)[^l] = pw[V] (С

а/г!

-Ш V; (Рг Ь + («,- - - Т))[ м ] = [ А — ] (Ь

р1п ох

Помимо балансовых соотношений (С)-(8) разрывы удовлетворяю условиям устойчивости.

В н.1.2 формулируется задача об интенсивной закачке рапт>| концентрации с~ > 0 и температуры Т~ > Т) в мерзлое норнеи ш>лу пространство температуры Т+ <Т/ и влажности с заданны расходом У~.

В силу высокого темпа закачки кондукцией и диффузией в (2). '3) пренебрегается по сраииению с конвективными потоками тепла и фнмеси. Тогда сформулированная задача носит автомодельный характер. Соответствующая переменная £ = тх/У~{ имеет смысл Зезразмерной скорости переноса. Безразмерные температура в и концентрация С. фигурирующие ниже, введены таким образом, что ? = (Т/ - Г)/Г\ С = с/Т*. Т* = рцпЬ/а{ 1).

Аналитическое исследование задачи проводится в п. 1.3. Приведем >десь основные результаты решения только для случая неизменно-ти плотностных и теплофизических характеристик среды до и после 1лавления льда в ней (р„. — р-,. о„, = а,).

В силу сделанного упрощения скорость фильтрации постоянна, а область £ > 0 решения разделяется на две части: талую (// = 1). филегающую к £ = 0. и дву хфазную зоны. В последней в = С. /<. ^ связаны из решения соответствующей системы уравнений соотноше-шями

0 = *(„) = «+ + (1 + — = 1 (1"Зи)2

а/о + 1//-»

•де ¡3 = та№/(\{ 1).

Решение (10) сращивается с граничными условиями при ^ = 0 ш>-редством балансовых соотношений на разрывах. В общем случае аких разрывов два. Им соответствуют точки концентрационного (С) и температурного {в) фронтов < В зависимости 01 ого, какой из фронтов разделяет указанные зоны, выделяются 4 •ежима реализации процесса.

Первые два режима объединены тем. что весь лед плавится на С фонте, и процесс таяния не зависит от температуры . Отличаются ни друт от друга тем. что в одном случае часть льда плавится еще ,о прихода, С -фронта (режим 2). а в другом плавление осущестлятся исключительно С фронтом (режим 1). Распределения //.с.в см

£ для данных режимов схематично представлено на фиг.1.а,б. Условия реализации в терминах /г+ для режимов 1 и 2 соответственно имеют вид

1И = 1 - (1 - /?) —

0+(с" -0+)

/*2</*'<14, = 1 — (1 — /5)

с-+/3(в+У с~ -в+

1+06+

е

с

в

Ш"

в

Фиг. 1

Два других режима характеризуются тем, что процесс плавления льда зависит от в~ и полное плавление льда осуществляется на в-фронте. Их отличие состоит в том, что в одном случае между С- и 0-фронтами происходит неполное плавление (режим 3), а в другом - неполное промерзание грунта (режим 4). Схематично вид искомых функций изображен на фиг.1.в,г. Условия реализации режимов 3 и 4 соответственно имеют вид

Мз < < М2, с--6>-

_ С - в~ - ц«{\ + рв+){в+ - в~) Мз_ с -в- ~(1 + (Зв+){в+ -в~)

—— <»+< 0(0) = - (1 +

(1+/?0+)(0(О)--0-)

В п. 1.4 на основе вышеуказанных критериев достроена карта режимов в плоскости (/1+,в+) (фиг.2). Цифры 1-4 указывают на режим процесса. Сплошными линиями границы режима 4 изображены дл$

случая 9~ = 0, а пунктирными - для в~ = -с». Промежуточным значениям в~ соответствуют подобные кривые.

При достаточно больших 9+ имеет место область 0, в которой отсутствует решение исходной задачи. С физической точки зрения это означает, что "низкотемпературный" грунт полностью промораживается при закачке в него "слабоконцентрированного" рассола. Это, в свою очередь, делает принципиально возможным создание на любом расстоянии от точки закачки противофильтрационной ледо-породной завесы. ^

Г

о

Во втором разделе ищутся условия образования такой завесы. Пусть в частично промороженный грунт поочередно закачивается концентрированный раствор и пресная вода. Вплоть до начала закачки пресной воды в чисто конвективной постановке решение соответствующей задачи получено в Разделе 1. С началом закачки пресной воды образуется движущийся по талой зоне позади 0-фронта фронт пресной воды. Скорость его больше скорости температурной волны, поэтому в некоторый момент времени он догонит 9-фронт, и пресная вода начнет "проталкиваться" в низкотемпературную область. При определенных условиях это вызывает промораживание грунта - возникает противофильтрацнонная завеса (ле-цопородный барьер).

Примем за пулевые момент времени и точку пространства, при которых фронт пресной воды догоняет температурный фронт. При t = 0 поля температуры, концентрации и влажности имеют вблизи х — 0 ступенчатый вид. Значения Т+ < Г/, с+, ц+ при х > О сформированы первой концентрационной волной. При х < 0 льда в порах нет (/«" = 1), температура Т~ совпадает с температурой закачки концентрированного раствора, концентрация с" = 0.

С течением времени вблизи х = 0 появляется и растет зона промерзания (область локального понижения влажности). Этот процесс нельзя рассматривать в чисто конвективной постановке, поскольку структура указанной зоны определяется балансом конвективных и кондуктивных потоков тепла и примеси в ней. Рост зоны промерзания продолжается до тех пор, пока конвекция, вызывающая промораживание, не станет соизмеримой с кондукцией, ему препятствующей. Предполагается, что основное фильтрационное сопротивление сосредоточено в узкой по сравнению с внешним размером задачи зоне промерзания, коэффициент фильтрации, а значит и влажность в которой близки к нулю.

Образно говоря, зона частичного промерзания выполняет роль самонастраивающегося клапан;г, обеспечивая за счет изменения значения ро << 1 влажности в ней необходимый банане конвективных и кондуктивных потоков тепла и примеси. Наиболее существенное влияние вариация //о вблизи нуля оказывает на расход жидкости через такой клапан. Рассматривается предельная ситуация, когда произвольная константа, с точностью до которой уравнение неразрывности определяет в каждый момент времени скорость фильтрации, фиксируется требованием /<ц = 0 (критическое решение). Формально ••»то означает выполнение следующего условия

7 с > Ту — Т, пин //(.г, О = 0 (9)

К)

Заметим, что укачанную проичво. и.пую константу н исходной постановке фиксировал чакон Дарен. Теперь же его роль сводится к определению степени отклонения решения исходной ¡плачи в режиме заданных напоров от критического решения (по существу отклонения //() от нуля).

Использование вместо закона Дарен условия критичности (9) делает исходную задачу автомодельной. В качестве переменной выбирается £ = а-^/о*/2А,/, где п*.А, - характерные значения коэффициентов теплоемкости и теплопроводности, а скорость фильтрации представляется в виде V =

Качественный анализ поставленной задачи, проведенный и п.2.2. выявил наличие двух типов критического решения (5 н Л'Ифнг.З).

Фиг. 3

Решения типа 5 характеризуются тем. что функция влажтнти принимает нулевое значение в одной точке При £ < £, нмее г мес m талая зона (fi = 1) с пресной водой. При £ > пахо инея либо (5i) чисто двухфазная зона, либо - (So.S;j) двухфазная, содержащая на отрезке талую зону. Разделяются последние решения тем. чю

для £>2 в происходит непрерывный переход в талую зону, а для 5: - скачкообразный.

В решениях типа N существует интервал [£*, £*], на котором влаж ность равна нулю. Поведение соответствующего решения вне дан ного интервала совпадает качественно с распределением влажнот для 5-решений. Д^, А^- решения аналогичны решениям типа ^, 5г Аналог решения 5з здесь не реализуется.

Знание качественного поведения функции влажности позволяе' построить в п.2.4 зависимость п(0+) при фиксированных значени ях в~ (фиг.4). Верхняя ветвь кривой образована N -решениями нижняя - 5 -решениями. Правее данной кривой решение всегд; содержит мерзлую зону, левее ее - оно отделено по ц от нуля.

При в\. < в+ < в™ имеют место два критических значения о соответственно два критических решения задачи. Выбор физическ. реализуемого из них опирается на условия устойчивости критичг ского решения. Последнее сводится к тому, чтобы над точками крн

м

о $ е® вР+ е+ Фиг. А

вой ABC имела место область М, а под ними - область Т. Поэтому 5-решения устойчивы, а iV-решения нет.

Проведенный в пп.2.2, 2.3 численный анализ позволил для широкого круга параметров( построить области, в которых возможно создание устойчивого ледопородного барьера.

Третий раздел посвящен исследованию явления миграции твердой сферической частицы в неизотермическом массиве льда.

В экспериментальных работах R.D.Miller'a показано, что при температуре — 1 °С, градиенте температуры 100°С/м во льде и диаметре частицы Ю-4 м скорость движения частицы достигает Ю-8 м/сек. Это явление связано с наличием тонкой жидкой незамерзающей прослойки между льдом и частицей. Движение вызвано плавлением льда у более теплой части поверхности частицы, переносом жидкости по пленке к холодной части и кристаллизацией там воды.

Причинами понижения температуры замерзания прослойки являются, в первую очередь, перекрытие радиусов действия поверхностных сил льда и частицы и наличие малого количества вымороженной изо льда примеси.

В предположении малости толщины h прослойки по сравнению

t

: радиусом R частицы полагается, что поперек пленки мгновенно устанавливается термодинамически равновесное состояние. Гидропатическое давление р, температура Т и концентрация с примеси в гленке зависят только от угловой координаты -р. отсчитываемой от шза частицы. Тогда температура на поверхности включения находится из решения внешней тепловой задачи

Т(<р) = Т0 - al Reos ¿ (10)

■де То - фоновая температура в плоскости, связанной с центром частицы (<р = 7г/2), I - градиент температуры на бесконечности, направленный вверх, а а определяется по коэффициентам теплопроводно-

сти льда Л,- и частицы Ар формулой а = ЗА,-/(2А,- 4- Ар).

Условие фазового равновесия на границе лед-прослойка записывается в виде

~(Tf -Т) = С - ±oK{h) (11

/ Pw Pi

где 1Z - газовая постоянная, <т, К. - поверхностное натяжение и кри визна границы раздела лед-прослойка, />,-, pw - плотности льда и про слойки, соответственно.

i

Принимается, что перенос ж'идкости по пленке осуществляете: вязким стоксовским течением. Средняя скорость такого потока pai на

I h2sm<p , ,lf

<V>=-^RP (Ь

где т] - динамическая вязкость жидкости. Помимо этого соотношени при моделировании движения частицы необходимо учесть уравнени баланса массы жидкости и массы примеси в пленке. Изменение ма сы жидкости может происходить за счет перетоков, миграции част: цы и изменения со временем толщины пленки, поэтому

1 -(/,<„>)'= _ уcosp) (1

i? sin у? dt

Перенос примеси подчиняется уравнению конвективной диффузш

Л) -I -|

^ + -fí^-(А < V > с)' - ——-(hDc' siny>)' = 0 (1

dt R sin tp ' H?sm<pK YJ v

В условии баланса сил, действующих на частицу, учитывается у. полнительное к гидростатическому расклинивающее давление, сь зывающееся при перекрытии поверхностных сил граничащих с щ слойкой фаз.

jT(nsin2р - р hin2 tp)thp = 0 (]

Изотерма расклинивающего давления П(/г) выбирается в ви Щ/i) = Ад/(б7Г/г3), где А3 - константа Гамакера.

В итоге система уравнений (10)-(15) после соответствующей нор-ировки входящих в уравнения неизвестных величин приводится к тстеме нелинейного дифференциального уравнения четвертого гю-ядка для нахождения распределения h(^) и интегрального соот-ошения для скорости миграции V частицы. Отметим, что средня толщина прослойки h0 при фиксированном числе молей Л прп-еси в ней определяется по средней концентрации (о формулой о = Л'/(4 Tri?'2 со).

В п.3.4 приводится числепныП метод решения системы урлвне-ий и дается анализ полученных результатов. При выборе а = , 1 Н/м. Ад = Ю-18 Дж и количества вымороженной примеси 4 • 10"" юль, что соответствует hо ~ 10~6 м. теоретические зависимости "(То) хорошо согласуются с экспериментальными кривыми.

В заключении подводятся итоги и намечаются наиболее перепек-инные направления развития проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Аналитическое решение задачи о закачке концентрированного еплого раствора в первоначально мерзлое пористое полунростран-тво.

2. Получение условий возникновения устойчивого ледопородього >арьерл при последовательной закачке в мерзлый грунт кони.ентри-юваниого раствора и пресной воды.

3. Математическая постановка и решение задачи о миграции твердой частицы в неизотермическом массиве льда.

Основные результаты диссертации опубликованиы в следующих >аботах:

1.Егоров А.Г.. Костерин A.B.. Шешуков А.Е. Математическое мо-

датирование движения твердого включения в пеичотермнческом .мае енве .и,да// Коллоидный журнал. 1993. Т.55. Л'З. С.30-39.

2.Егоров А.Г.. Костернн A.B.. Шешуков А.Е. Одномерные чада чн проганнанпя мерзлого грунта фильтрующимся рас гво])ом//Пчн РАН. МЖГ. 1995. -V4. С.149-160.

3.Егоров А.Г.. Шешуков А.Е. Одномерная задача создания ледо породной попгвофпльтрициоиной завесы в мерзлом грунте// Течпсд докладов Межд. Научно-Техн. Конф. "Механика Машшюстрое нпя". 2S-30 марта 1995 г. г.Набережные Челны. С.37-38.

4. Egorov A.G.. Kosterin A.V.. Shesliukov А.Е. 1-D Problems oi Interactions beetween Partially Frozen Soil and Moving Solute. - ii; Advanced Mathematics. Computations and Applications. Int. conf Novosibirsk. June 1995. v.l. p. 94.

5.Егоров А.Г.. Шешуков А.Е. Промораживание пористой сред! фильтрующимся раствором. Леи. в ВИНИТИ 30.08.95. Л 2513

В95. 35 С.

Сдано в набор 08.09.95 г. Подписано в печать 11.09.95 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л. 1. Тираж 100. Заказ 349.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5