Термодинамические особенности взаимодействия оптического излучения с молекулами, ориентированными во внешнем электромагнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

С ВЕЩЕСТВОМ.

1Л. Термодинамические подходы к вопросу взаимодействия электромагнитного излучения с веществом.

1.2. Теоретические возможности усиления света без инверсии населенностей.

1.3. Ориентация молекул во внешних полях. Функции распределения молекул по ориентациям. Уравнение Больцмана.

1.4. Методы построения разностных схем.

2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С АНСАМБЛЕМ МОЛЕКУЛ, ОРИЕНТИРОВАННЫХ

ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ.

2.1. Двухуровневая система в поле собственного излучения.

2.2. Поглощение и усиление.

2.3. Электрические свойства молекул.

2.4. Функция распределения молекул по ориентациям.

2.5. Оптические характеристики дихроичной молекулярной среды.

2.6. Усиление в среде дипольных молекул.

2.7. Усиление в среде недипольных молекул.

Выводы.

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА.

3.1. Система кинетических уравнений.

3.2. Решение системы для случая дипольных молекул.

3.3. Решение системы для недипольных молекул.

Выводы.

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОРИЕНТАЦИИ МОЛЕКУЛ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ.

4.1. Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем.

4.2. Решение разностных уравнений методом прогонки.

4.3. Численное моделирование уравнения Больцмана на примере стационарного случая.

4.4. Численное решение системы кинетических уравнений с учетом времени ориентации молекул.

4.5. Влияние времени ориентации молекул на процесс усиления

4.5.1. Трехуровневая схема накачки.

4.5.2. Четырехуровневая схема накачки.

4.5.3. Эквивалентная четырехуровневая схема с учетом времени ориентации молекул.

Выводы.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ.

Попытка построения теории излучения абсолютно черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии с излучением, привела к формулировке основных принципов квантовой механики. Введение понятия индуцированных переходов позволило построить стройную термодинамическую теорию излучения, описывающую основные явления в этой области науки. Это понятие легло в основу одного из значительных событий физики второй половины XX в. - создание генераторов электромагнитного излучения, работающих на принципе квантового усиления (мазеры, лазеры). Несмотря на то, что понятие индуцированного излучения было введено в физику еще в 1917 г. Эйнштейном, потребовалось несколько десятков лет для того, чтобы реализовать усиление света с использованием этого эффекта. Нетривиальным событием, определяющим возможность квантового усиления, была разработка методов создания инверсии населенностей между рабочими уровнями. Для удобства описания процессов усиления и генерации излучения в инверсных средах было введено понятие «температура перехода». Температура перехода, на котором имеет место инверсия, становится отрицательной. В термодинамически неравновесных условиях отрицательная температура перехода была реализована в различных типах усиливающих сред, на базе которых создано большое количество лазеров. Тем не менее, идея получения отрицательного поглощения в среде с положительной температурой перехода постоянно возникала. Было предложено несколько схем, основанных на термодинамических соображениях, ни одна из которых не была реализована /1,2/. Поэтому поиск таких возможностей представляет значительный как научный, так и практический интерес.

Одна из теоретических возможностей получения отрицательного поглощения в среде с положительной температурой перехода была высказана в работе /3, 4/. Идея основана на различии в термодинамически равновесных функциях распределения по ориентациям во внешнем электромагнитном поле при заданной температуре среды возбужденных и невозбужденных молекул. Это приводит, в свою очередь, к различию вероятностей вынужденного испускания и поглощения плоскополяризованного излучения. Таким образом, даже при отсутствии инверсии населенностей мощность индуцированно-испущенного излучения может превышать мощность поглощенного, приводя к усилению света в среде с заданной температурой. Отсутствие инверсии на рассматриваемом переходе означает его положительную температуру, которая определяется из распределения Больцмана для населенностей уровней частиц. Очевидно, что авторы в этом случае имеют дело с неравновесной термодинамической системой с двумя положительными температурами. Первая - это температура среды или истинная температура вещества, которая входит в выражения для функций распределения молекул по ориентациям. Вторая - это температура перехода, которая может быть определена из распределения Больцмана для населенностей уровней частиц. В работе названных авторов были рассмотрены частные случаи при фиксированных населенностях уровней частиц без учета времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле. Однако соотношение времени жизни энергетического состояния и времени ориентации молекулы во внешнем электромагнитном поле может существенно изменить характеристики протекания процесса в реальной ситуации.

Цель диссертационной работы - исследование влияния температуры вещества и температуры перехода на поглощение излучения в молекулярной среде с учетом времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Разработка термодинамической модели процесса взаимодействия излучения с ансамблем молекул, ориентированных во внешнем электромагнитном поле и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки.

2. Разработка методов решения полученных уравнений.

3. Исследование влияния температуры перехода и энергии взаимодействия молекул с внешним электромагнитным полем на усиление света.

Научная новизна.

1. Найдена область значений соотношения населенностей уровней частиц и параметров ориентации молекул, при которых возможно отрицательное поглощение в среде с положительной температурой перехода без учета времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле.

2. Предложена система кинетических уравнений для нахождения функций распределения по ориентациям молекул, ориентированных внешним электромагнитным полем и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки.

3. Показано, что отрицательное поглощение в среде с положительной температурой перехода возможно, когда время ориентации молекул не превышает время жизни энергетического состояния, а параметры ориентации достигают величины порядка единицы и более.

Практическая значимость.

1. Результаты исследований могут быть использованы при разработке лазерных устройств, не требующих создания инверсии населенностей.

2. Предложенный подход и использованная конечно-разностная схема могут быть применены для численного моделирования нелинейных, нестационарных процессов.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Система кинетических уравнений для нахождения функций распределения по ориентациям молекул с учетом спонтанных и вынужденных переходов между рабочими уровнями и времени установления ориен-тационного равновесия.

2. Молекулярная среда с положительной температурой перехода (без инверсии населенностей) способна усиливать излучение при достижении определенных значений населенностей уровней и величины параметров ориентации молекул.

3. Усиление света при положительной температуре перехода в молекулярной среде, селективно ориентированной по состояниям, возможно при выполнении следующих условий: параметры ориентации молекул должны достигать значений порядка единицы и более; время ориентации молекул во внешнем поле не должно превышать время жизни энергетического состояния.

Апробация работы.

Основные результаты работы были представлены на Первом Верос-сийском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (МНС-98) (Красноярск, 1998); Региональной научно-практической конференции «Ставеровские чтения» (Красноярск, 1998); VI Всероссийской конференции «Решетневские чтения» (Красноярск, 2002); Межрегиональной конференции «Высокоэнергетические процессы и наноструктуры (Ставеровские чтения)» (Красноярск, 2002); Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-9» (Екатеринбург-Красноярск, 2003).

По теме диссертации опубликовано 7 работ /39-42, 80-82/.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах, включает 25 рисунков и список литературы из 98 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Работа посвящена теоретическому исследованию оптических свойств молекул, ориентированных внешним электромагнитным полем и находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки. Актуальность работы определяется возможностью получения отрицательного поглощения в среде при положительной температуре перехода. Основные результаты работы:

1. Рассмотрено взаимодействие оптического излучения с ансамблем молекул, находящихся в термодинамическом равновесии с излучением накачки и ориентированных во внешнем поле. Показано, что в термодинамически неравновесной среде, характеризующейся двумя положительными температурами (температура среды и эффективная температура перехода), возможно усиление света в отличие от традиционных лазерных сред, для описания которых вводится понятие отрицательной температуры перехода.

2. Исследовано влияние температуры перехода и энергии взаимодействия молекул с внешним полем на усиление света в приближении малости времени ориентации молекул по сравнению со временем жизни возбужденного состояния.

3. Показано, что при положительной температуре перехода увеличение мощности внешнего воздействия (накачки) может приводить к появлению новых свойств системы (усилению излучения).

4. Построена термодинамическая модель, описывающая двухуровневую дихроичную среду ориентированных во внешнем поле молекул с учетом времени их ориентации.

5. Получено приближенное аналитическое решение для функций распределения молекул по ориентациям.

6. Получено численное решение системы кинетических уравнений. Найдены функции распределения с учетом времени ориентации молекул во внешнем поле.

7. Проведен расчет относительного показателя усиления с учетом времени ориентации молекул. Исследовано влияние времени ориентации молекул во внешнем электромагнитном поле на процесс усиления.

8. Получение отрицательного поглощения в среде при положительной температуре перехода возможно, когда время ориентации молекул не превышает время жизни энергетического состояния, а параметры ориентации достигают величины порядка единицы и более.

9. На основе проведенных исследований делается вывод о возможности наблюдения рассматриваемого эффекта при ориентации молекул полем лазерного излучения.

1. Раутиан С.Г. О некоторых особенностях газовых квантовых генераторов на смесях кислорода с благородными газами / С.Г. Раутиан, П.Л. Рубин // Оптика и спектроскопия. 1965. - Т.18. - С.326-333.

2. Сосинский M.JI. Получение отрицательного поглощения на части доплеровски уширенной линии / M.JI. Сосинский, Е.Н. Морозов // Оптика и спектроскопия. 1965. - Т. 18. - С. 510-515.

3. Попов А.К. О возможности безынверсного усиления света дихроичными молекулами: Препринт №410Ф Института физики СО АН СССР / А.К. Попов, В.В. Слабко. Красноярск, 1986.

4. Popov. А.К. On the possibility of non-inverse light amplification by dichroic molecules / A.K. Popov, V.V. Slabko // Modelling, Measument & Contol, A, AMSE Press. 1995,- vol. 61, №1. - P. 45-48.

5. Гершензон E.M., Малов H.H., Мансуров A.H. Оптика и атомная физика / Е.М. Гершензон, Н.Н. Малов, А.Н. Мансуров . М.: «Академия», 2000.-408 с.

6. Бутиков Е.Н. Оптика / Е.Н. Бутиков. М.: Высш. шк., 1986. - 512 с.

7. Ахманов С.А. Физическая оптика: Учебник / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. - 656 с.

8. Донина Н.М. Возникновение квантовой электроники / Н.М. Донина. М.: Наука, 1974.

9. Квантовая электроника маленькая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1969.

10. Ю.Тарасов Л.В. Физика процессов в генераторах оптического излучения / JI.B. Тарасов. М.: Радио и связь, 1981.

11. П.Брюннер В., Юнге К. Справочник по лазерной технике. Под ред. А.П. Напартовича / В. Брюннер, К. Юнге. М.: Энергоатомиздат, 1991.

12. Попов А.К. Когерентность, безынверсное усиление и индуцированная прозрачность на квантовых переходах /А.К. Попов // Соросовский образовательный журнал. 1999. - № 7. - С. 108-114.

13. З.Попов А.К. Интерференционные явления на доплеровски уширенных квантовых переходах: усиление сильного излучения без инверсии населенностей / А.К. Попов, В.М. Кучин, С.А. Мысливец // ЖЭТФ. 1998.-Т. 113, вып. 2.-С. 445-471.

14. Попов А.К. Усиление без инверсии и лазерно-индуцированная прозрачность на дискретных переходах и переходах в континиум / А.К.Попов // Изв. РАН. Сер. физ. 1996. - т. 60, вып. 6. - С. 9-120

15. Раутиан С.Г Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул / С.Г. Раутиан, Г.И Смирнов, К.М. Шалагин. Новосибирск, Наука, 1979.

16. Попов А.К. Введение в нелинейную спектроскопию / А.К. Попов.- Новосибирск, Наука, 1983. 274 с.

17. Мак Ан.А., Чигирь Н.А. // ЖЭТФ. 1983. -т.85, вып.2. - С.479

18. Раутиан С.Г. Форма линии и дисперсия в области полосы поглощения с учетом вынужденных переходов / С.Г. Раутиан, И.И. Собельман // ЖЭТФ. 1961. - т. 41. - С. 456-460.

19. Бонч-Бруевич A.M. Исследование изменения спектра поглощения и дисперсии двухуровневой системы во вращающемся монохроматическом поле излучения / A.M. Бонч-Бруевич, В.А. Ходовой, Н.А. Чигирь // ЖЭТФ.- 1974. Т. 67, вып. 6. - С. 2069-2075.

20. Коноплева Н.П. Безынверсное усиление пробного поля в среде двухуровневых выроожденных атомов в присутствии магнитного поля / Н.П. Коноплева, A.M. Тумайкин // Квантовая электроника, 28. 1992. - № 2.

21. Khitrova G. Gain-Feedback approach to optical instabilities in sodium vapor / G. Khitrova, J.F. Valley, H.M. Gibbs // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60, № 12.-P. 1126-1129.

22. Lezama A. Radiative emission of driven two-level atoms into the models of an enclosing optical cavity. The transition from fluorescence to lasing // A. Lezama, Y.Zhu, M. Kanskar, T.V. Mossbeg // Phys. Rev. A. 1990. - V. 41, №3.-P. 1576 -1579.

23. Harris S.E. Lasers without inversion: Single atom transient response / S.E. Harris, J.J. Macklin // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - P. 4135-4137.

24. Kocharovskaya O.A. Amplification without inversion: The double-A scheme / O.A Kocharovskaya, P. Mandell // Phys. Rev. A. 1990. - V. 42. - P. 523-526.

25. Agarwall G.S. Origin of gain in systems without inversion in bare or dressed states / G.S. Agarwall // Phys. Rev. A. 1991. - V. 44. - P. R 28-33.

26. Agarwall G.S. Dressed state lasers and masers / G.S. Agarwall // Phys. Rev. A. 1990. - V. 42. - P. 686-690.

27. Mollow B.R. Stimulated emission and absorbtion near resonanse for driven systems / B.R. Mollow // Phys. Rev. A. 1972. - V. 5. - P. 2217-2220.

28. Коноплева Н.П. Усиление без инверсии в среде '/г '/г атомов / Н.П. Коноплева, А.М. Тумайкин // Письма в ЖЭТФ. -1998. Т. 68, вып. 5. - С. 364-369.

29. Scully М.О Lasers without inversion / М.О. Scully, М. Fleischhauer // Science.- 1994.- V. 263,- P. 337-338;

30. Scully M.O. Degenerate Quantum-Beat Laser: Lasing without inversion and inversion without lasing / O.M. Scully, Shi-Yao Zhu // Phys. Rev. Lett. 1989.-V. 62.-P. 2813-2816.

31. Harris S.E. Electromagnetically indused transparensy / S.E. Harris // Phys. Today. 1997. - V. 50, №7. - P.36-38.

32. Imamoglu A.I. Lasers without inversion: A closed life time broadended system / A.I. Imamoglu, S.E. Field, S.E. Harris // Phys. Rev. Lett. -1991.-V. 66, №9.-P. 1154-1157.

33. Basile S. Radiation amplification without population inversion in discrete three level systems / S. Bazile, P. Lambropoulos // Optics Comms. -1990. -V. 78.-P. 163-167.

34. Block V.R. Theory of lasers without inversion / V.R. Block, G. Krochik // Phys. Rev. A. 1990. - V. 41. - P. 1517-1520.

35. Agarwal G.S. Theory of the laser operating due to gain on three photon Mollow side band / G.S. Agarwal // Optics Comms. 1990. - V. 80. - P. 37-40.

36. Кочаровская O.A. Когерентное усиление ультракороткого импульса в трехуровневой среде без инверсии населенностей / О.А. Кочаровская, Я.И. Ханин // Письма в ЖЭТФ. 1988. - Т. 48. - С. 581-584.

37. Prassad G.B. Light amplification by coherence effects a double resonance model for lasers without inversion / G.B. Prassad, G.S. Agarwal // Opt. Comms. - 1991. - V. 86. - P. 409-413.

38. Архипкин В.Г. Усиление оптического излучения без инверсии населенностей / В.Г. Архипин, Е.Н. Минакова // Квантовая электроника. -1995.-Т. 22, № 8.

39. Лащинский В.В. Безынверсное усиление света дихроичными молекулами / В.В. Лащинский, В.В. Слабко // Тезис доклада Региональной научно-практической конференции «Ставеровские чтения». Красноярск, 1998.-С.29.

40. Раутиан С.Г. Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул / С.Г. Раутиан, Г.И. Смирнов, A.M. Шалагин. Новосибирск: Наука, 1979.

41. Heller Yu.I. Laser-indused nonlinear resonanses in continious spectrall / Yu.I. Heller, A.K. Popov. Novosibirsk: Nauka, 1981.

42. Arkhipkin V.G. Radiation amplification without population inversion at transitions to autoionizing states / V.G. Arkhipkin, Yu.I. Heller // Phys. Lett. A. 1983. - V. 98, № 12. - P. 12-16.

43. Harris S.E. Lasers without inversion: interference of Lifetime-Broadened resonances / S.E. Haris//Phys. Rev. Lett. 1989. -V. 62, № 9. -P. 1033-1039.

44. Черненко А.А. О безынверсном усилении вблизи переходов с автоионизационных уровней / А.А. Черненко // Оптика и спектроскопия. -2002. том 32. - №4. - С.596-602.

45. Layras A. Radiation amplification through autoionizing without population inversion / A. Layras, X. Tang, Z. Zhang // Phys. Rev. A. 1989. -V. 40.-P. 4131-4136.

46. Agarwall G.S. De-field-coupled autoionizing states for laser action without population inversion / G.S. Agarwall, S. Ravi // Phys. Rev. A. 1990. -V. 41.-P. 4721-4724.

47. Сипаров С.В. Безынверсное усиление света двухровневой средой в результате преобразования механической энергии атома в электромагнитную / С.В. Сипаров // Оптика и спектроскопия. 2002. - Т 93, №2. - С.281-284.

48. Kleinfeld J.A. Observation of gain due to coherence effects in a postassium-helium mixture / J.A. Kleinfeld, A.D. Streater // Phys. Rev. A.1994. V. 49, № 6. - P. R4301-4307.

49. Wang J.C. Novel Short-Pulse Photoionization Electron Sourse: Li (Is2s2p)4 pO. Deexcitation Measurments in a Plasma / J.C. Wang, R.G. Caro, S.E. Harris // Phys. Rew. Lett. 1989. -V. 51, №9. - P. 767-771.

50. Padmabandy G.G. Laser oscillation without population inversion in a sodium atomic beam / G.G. Padmabandu, G.R. Welch, I.N. Shubin, E.S. Fry, D.E. Nikonov, M.D. Lukin, O.M. Scully // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 76. - P. 2053-2057.

51. Sellin P.B. Observation of the inversionless gain and field-assisted lasing at a nearly ideal three-level cascade-type atomic system / P.B. Sellin,

52. G.A. Wilson, K.K. Meduri // Phys. Rev. A. 1996ю - V. 54. - 2402-2405.

53. Попов А.К. Когерентность, безынверсное усиление и индуцированная прозрачность на квантовых переходах / А.К. Попов // Соросовский образовательный журнал. 1999. - №7. - С. 108-114.

54. Слабко В.В. Рентгеновский лазер: Возможности реализации / В.В. Слабко // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №1. - С. 79-86.

55. Harris S.E. Electromagnetically Indused Transparency / S.E. Harris // Ibid. 1997. - July. - P. 36-42.

56. Слабко В.В. Рентгеновский лазер /В.В. Слабко // Энциклопедия современного естествознания. -М.: Магистр пресс, 2001. т. 7. - С. 168-179.

57. Бахшиев Н.Г. Спектроскопия межмолекулярных взаимодействий /

58. H.Г. Бахшиев. Ленинград: Наука, 1972. — 263 с.

59. Келих С. Молекулярная нелинейная оптика / С. Келих. М.: Наука, 1981,- 671с.

60. Дебай П. Полярные молекулы: Пер. с нем. / П. Дебай M.-jl: ГТТИ, 1931.

61. Дебай П. Теория электрических свойств молекул / П. Дебай, Г. Закк. М.: Главная редакция общетехнической литературы, 1936.

62. Peterlin A., Stuart H. Doppelbrechung, insbesondere kunstliche. Doppelbrechung.-Leipzig, 1943.

63. Карлов H.B. Лекции по квантовой электронике / H.B. Карлов. -М.: Наука, 1983,320 с.

64. Самарекий А.А. Лекции по теории разностных схем / А.А. Самарский. М.: ВЦ АН СССР, 1969.

65. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. М.: Наука, 1977.

66. Марчук Г.И. Метотды вычислительной математики / Г.И. Марчук -М.: Наука, 1989.

67. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений / В.П. Ильин. Новосибирск: Наука, 1974.

68. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений / В.П. Ильин. Новосибирск: Иэд-во Ин-та математики, 2000. - 345 с.

69. Лебедев Ф.В. Основы физики лазеров /учебное пособие/ / Ф.В. Лебедев. -М.: МВТУ им. Баумана, 1985.76.3велто О. Принципы лазеров / О. Звелто. М.: Мир, 1984.

70. Ярив А. Квантовая электроника / А. Ярив. М.: Сов. Радио, 1980.

71. Пестов Э.Г. Квантовая электроника / Э.Г. Пестов, Г.М. Лапшин. -М.: Военное изд-во Министерства Обороны СССР, 1972.

72. Тарасов Л.В. Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения / Л.В. Тарасов. М.: Радио и связь, 1981.

73. Лащинский В.В. Моделирование уравнения Больцмана интегро-интерполяционным методом с использованием экспоненциальной подгонки

74. В.В. Лащинский, И.А. Кузоватов // Тезис доклада VI Всероссийской конференции «Решетневские чтения». Красноярск, 2002. - С. 15.

75. Лащинский В.В. О безынверсном усилении света /В.В. Лащинский, В.В. Слабко // Тезис доклада Межрегиональной конференции «Высокоэнергетические процессы и наноструктуры». Красноярск, 2002. - С. 74.

76. Ашкрофт Н. Физика твердого тела: перевод с английского / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. -М., 1979.

77. Бломберген Н. Нелинейная оптика: перевод с английского / Н. Бломберген. -М., 1966

78. Ландау Л.Д. Теория поля, 6 изд. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.,- 1973

79. Тамм И.Е. Основы теории электричества / И.Е. Тамм. М., 1976.

80. Теренин А.Н. Фотоника молекул красителей / А.Н. Теренин. -Ленинград, Наука, 1967. с. 616.

81. Таблицы физических величин. Справочник под ред. Кикоина И.К / И.К. Кикоин. М.: Атомиздат, 1976

82. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. М.: Наука, 1973.-576 с.

83. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. М.: Наука, 1973. - 408 с.

84. Годунов С.К. Введение в теорию разностных схем / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. Физматгиз, 1962.

85. Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов / Г.И. Марчук. М.: Атомиздат, 1958.

86. Рихтмайер Р.Д. Численные методы решения краевых задач / Р.Д. Рихтмайер. ИЛ, 1960.

87. Сканави Г.И. Физика диэлектриков / Г.И. Сканави. М.- Л., 1949.

88. Фрелих Г. теория диэлектриков, пер. с англ. / Г. Фрелих. -М., 1960.

89. Киттель Ч. введение в физику твердого тела, пер. с англ. / Ч. Киттель. М., 1978.

90. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М., 1960.

91. Физическая энциклопедия. -М.: Советская энциклопедия, 1968.россшкж/ ггосудагс. библиотходlOG О