Типы квазисимметричных стеллараторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ» ИНСТИТУТ ЯДЕРНОГО СИНТЕЗА

РГБ од

- ( ^ ; На правах рухописи

1 УДК 533.9.01

ИСАЕВ Максим Юрьевич

ТИПЫ КВАЗИСИММЕТРИЧНЫХ СТЕЛЛАРАТОРОВ

01.04.08 — «Физика и химия плазмы»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени' кандидата физико-математических наук

Москва—1994

Работа выполнена в Институте Ядерного Синтеза Российского научного центра "Курчатовский институт"

Научный руководитель: чл.-корр. РАН, доктор физико-

математических наук Шафранов В.Д.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.В.Немов доктор физико-математических наук А.А.Сковорода

Ведущая организация:

Институт общей физики РАН

Защита состоится "_"_1994г. в_часов на

заседании Специализированного ученого совета по физике плазмы и управляемому синтезу Российского научного центра "Курчатовский институт" по адресу: 123182. Москва, пл. академика Курчатова, РНЦ "Курчатовский институт", т.196-92-51.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ "Курчатовский институт"

Автореферат разослан "_"_;_1994г.

Ученый секретарь

Специализированного совета кандидат физ. - мат.наук

ОЕШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Интерес к стеллараторам как к стационарным, альтернативным токамакам системам связан с постепенным повышением параметров удерживаемой в них плазмы, с более полным пониманием происходящих в них явлений, что позволяет рассчитывать на реализацию тех преимуществ, которыми они обладают по сравнению с токамаками. Квазисимметричный стелларатор, модуль магнитного поля которого постоянен вдоль некоторого определенного направления на магнитной поверхности, является перспективной тороидальной замкнутой системой. Свойство квазивинтовой симметрии ставит эту систему в один ряд с токамаками з отношении переноса. Квазивинтовой замкнутый стелларатор, открытый Нюренбергом и Цилле в 1988 году, вследствие особой структуры магнитного поля обладает пониженными по сравнению с другими стеллараторными системами неоклассическими переносами, а • также большими значениями предельно допустимого по равновесию и устойчивости давления плазмы. Поэтому исследования квазисимметричных стеллараторов имеют большую актуальность. В диссертации определены возможные типы квазисимметричных стеллараторов, отличающиеся числом оборотов эллипса сечения магнитной поверхности относительно главной нормали. Взаимосвязи между параметрами квазисимметричных конфигураций рассмотрены в параксиальном приближении. Определены величины предельного по равновесию и устойчивости давления плазмы в некоторых конкретных квазисимметричных системах. Развит подход к решению задачи об оптимальном по равновесию и устойчивости квазисимметричном стеллараторе.

Цель работы. Целью диссертации является исследование свойств возможных типов квазисимметричных стеллараторов, а также развитие подхода к решению задачи об оптимальном по равновесию и устойчивости квазисимметричном стеллараторе.

Научная новизна.

1. В инвариантном виде получено условие существования квазисимметричных конфигураций, найдено выражение для вектора квазисимметрш, определяющего направление, вдоль которого должен быть постоянен модуль магнитного поля В для существования

интеграла дрейфового движения.

2. Получено явное выражение для вторичного тока в квазисимметричных конфигурациях, установлена связь между минимизацией вторичных токов и условием квазисимметрии.

3. Найдены уравнения, описывающие взаимосвязь между параметрами квазисимметричной конфигурации в первом порядке параксиального приближения - кривизну, кручение магнитной оси, вытянутость сечения магнитных поверхностей, угол между осью эллипса и главной нормалью к магнитной оси.

4. Показана возможность существования различных типов квазисимметричных систем, отличающихся числом проворотов эллипса сечения магнитных -поверхностей относительно главной нормали к магнитной оси. Рассмотрена область существования различных квазисимметричных конфигураций для случаев магнитной оси, имеющей форму винтовой линии на круглом и сплющенном опорных торах.

5. Найдены соотношения между квазисимметричными параметрами второго порядка малости по степеням расстояния от магнитной оси. Получено уравнение равновесия квазисимметричной конфигурации, определена зависимость ß от числа периодов системы, вытянутости сечения магнитных поверхностей и угла "намотки" магнитной оси на круглом опорном торе.

Практическая ценность. Разработан численный код, позволяющий исследовать различные типы квазисимметричных стелларагоров в параксиальном приближении, развит "подход к решению задачи об оптимальном • по равновесию и устойчивости квазисимметричном стеллараторе.

Апробация. Результаты, работы докладывались на семинарах отдела теории плазмы Института Ядерного Синтеза .РНЦ "Курчатовский Институт", на 8 Международной конференции по стелларатороам (Харьков, 1991г.), на 3 Международной школе по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Санкт-Петербург, 1993г.) на Конференции по физике плазмы и УГС (Москва, 1994г.). Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и имеет объем 118 страниц, включая 6 рисунков. Список цитируемой литературы включает 104 работы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и объясняется место данной работы в современных исследованиях по рассматриваемому вопросу.

Перейдем теперь К краткому описанию содержания диссертации.

Б первой главе диссертации рассматриваются уравнения дрейфового движения, из которых выводится условие квазисимметрии в наиболее общем виде. Основные положения данной главы содержатся в работе 171.

В §1.1 первой главы исследование квазисимметрии начинается с анализа выражения для скорости ведущего центра ларморовской орбиты. Введение вспомогательного вектора А - вектора "эффективного" векторного потенциала, характеризующего дрейфовое движение частицы, позволяет записать условие существования янтеграла движения как требования независимости всех трех <овариантных компонент вектора А от одной из координат. Первая Еюрмулировка условия квазисиммегрии дана, таким образом, без ^чета конкретного вида магнитного поля.

Для опредения требований, накладываемых условием свазисимметрии на параметры магнитной конфигурации, в §1.2, выражения для компонент А записаны через величины, входящие в роковое и потоковое представления магнитного поля. Выражения для сомпонент А найдены в произвольной потоковой системе координат. гсловие квазисимметрии на языке потоковых переменных- теперь ¡водится к четырем уравнениям - условиям независимости от третьей юординаты вспомогательных функций, входящих в представления юля.

В §1.3 рассматривается условие квазисимметрии в некоторых легализированных потоковых системах координат. Поскольку ункции, входящие в представление поля, зависят как от параметров згнитной конфигурации, так и от выбора угловых переменных отоковой системы координат, желательно разделить условия, алагаемые требованием квазисимметрии на параметры конфигурации, т условий- на систему координат, в которой свойство вазисимметрии означает независимость компонент вектора А от ретьей (продольной) координаты.

В §1.4 показано, что условие квазисимметрии можно записать

в виде постоянства модуля магнитного поля вдоль направления, задаваемого инвариантным относительно выбора системы координат вектором квазисимметрии.

Инвариантный вывод условия существования интеграла дрейфовых уравнений (без использования потоковых координат) приведен в 81.5. Это условие сводится здесь к двум уравнениям, имеющим одинаковую структуру - условию постоянства вдоль вектора квазисимметрии двух функций - Функции РЦ, зависящей от электростатического потенциала к от модуля магнитного поля, и функции представляющей собой потенциальную часть магнитного поля в специализированных потоковых координатах, координатах ■Хамады.

Наконец, в 81.6 рассматриваются вторичные токи в квазисимметричных конфигурациях. Из инвариантного выражения для тока в квазисимметричной системе, в которое входит модуляция магнитного поля, видно, как выполнение условия квазисимметрии влияет на минимизацию вторичных токов. Здесь же показано, как из условия постоянства модуля магнитного поля вдоль вектора квазисимметрии можно получить как следствия условия на функции рц и ч-ц. Таким образом, найдена одна простая инвариантная формулировка условия существования интеграла движения в магнитной конфигурации.

Во второй главе диссертации квазисимметричные конфигурации рассматриваются в первом порядке параксиального приближения. Здесь мы следовали логике работы I21, в которой были получены уравнения, описывавшие взаимосвязь между параметрами квазисимметричной конфигурации.

Для нахождения выражения для специализированных, бузеровских угловых переменных, в которых ко- и контравариантное представления вектора магнитного поля имеют особенно простой вид, в §2.1 вводится так называемая рабочая или опорная система координат, в которой сечения магнитных поверхностей имеют форму вращавдихся вокруг магнитной оси эллипсов. Обратим внимание, что в нашем случае параметры магнитной конфигурации - кривизна и кручение магнитной оси, эллиптичность сечения поверхности, угол между осью эллипса и главной нормалью к оси, величина магнитного поля на оси, - зависят от продольной координаты.

Выражения для координат Бузера в §2.2 получены с помощью системы эллиптических уравнений второго порядка, в которых углы

А

узера представлены через угловые переменные рабочей системы оординат и параметры магнитной конфигурации. Явные выражения для оординат Бузера дают представление о форме линий постоянства на агнитной поверхности полоидальных и тороидальных бузеровских глов.

В 52.3 с помощью выражений для углов Бузегра, найдены равнения, описывающие квазисимметричные конфигурации в нулевом и первом порядке малости по р (р - расстояние от магнитной оси до очки на магнитной поверхности). В нулевом порядке условие вазисимметрии сводится к требованию постоянства модуля штатного поля на магнитной оси. Тем самым из семейства вазисимметричных систем исключаются конфигурации с гофрированным злем.

В первом порядке параксиального приближения получены два злинейных уравнения, связывающие кривизну, кручение магнитной :и с эллиптичностью сечения и углом 5 между осью эллипса и тавной нормалью к оси. В качестве параметров в уравнения входят сальные значения (значения в точке начала отсчета тороидальной эординаты) эллиптичности и угла б. Предельный переход между зямой и замкнутой квазисимметричными системами можно проследить, штая изменения кривизны, кручения, вытянутости и угла 6 малыми, ходить квазисимметричные параметры первого приближения можно, 1давая, например, магнитную ось в виде замкнутой юстранственной кривой, определяя ^ем самым кривизну и кручение, решая затем численно систему уравнений для эллиптичности и угла

Полученные уравнения позволяют представить область шествования и "облик" квазисимметричных конфигураций. В данной .боте при численном исследовании квазисимметрии в первом порядке лости параксиального приближения магнитная ось задавалась в 'рме винтовой линии на круглом или сплющенном опорных торах.

В §2.4 рассмотрены квазисимметричные конфигураций с круглым орным тором большого-радиуса малого радиуса г и с числом риодов системы N. Был проведен численный расчет для случаев с зличными значениями углов "намотки" м-//?0 и начальных тянутостей (отношение полуосей эллипса сечения магнитных верхностей в точке максимальной кривизны), найдены два основных па квазисимметричных конфигураций. • Первый тип объединяет шения, в которых эллипс сечения слабо отклоняется от главной

нормали и на периоде системы, как и нормаль, совершает полный оборот относительно экваториальной плоскости тора. Эллипс сечения второго типа решений "отстает" от нормали и на периоде совершает лишь пол-оборота. Тип решения определяется величиной модуляции, кривизны и кручения, а также значением начальной вытянутости сечения магнитных поверхностей. Решения существуют.в достаточно широком диапазоне изменения параметров конфигурации. В параграфе рассмотрена также зона перехода от первого типа ко второму.

Квазисимметричные конфигурации со сплющенным опорным тором, а также некоторые конфигурации с более сложной формой оси изучены в 5 2.5. Винтовая линия на сплющенном опорном торе имеет двойную модуляцию кривизны и кручения. В ре^дътаге образуется новый, третий тип квазисимметричных конфигураций, эллипс сечения которых отстает на периоде от главной нормали на целый оборот. Поскольку главная нормаль совершает на'периоде также полный оборот, эллипс сечения при движении вдоль тороидальной координаты сохраняет в среднем ориентацию относительно экваториальной плоскости, лишь слегка качаясь, как маятник, в разные стороны.

В S2.5 рассмотрены квазисимметричные системы с осью, близкой к оси стелларагора U-7X. Форма этой оси имеет более сложный вид, чем винтовая линия на сплющенном опорном торе í 6J. Как уже было сказано, в W-7X реализуется второй тип квазисимметрии (эллипс сечения магнитной поверхности на периоде отстает на лол-оборога от вращающейся главной нормали к магнитной оси). Рассмотрение другого примера - оси, близкой к оси системы HHHS (Не U as-He Нас Hybrid Stellarator, 161), - показывает, что незначительным изменением формы сечения и уменьшением гофрировки поля можно получить в HHHS квазисимметрию первого типа. Аналогичный вывод относится и к стелларатору TJ-II 161, который также рассматривается в $2.5.

Таким образом, параксиальное приближение позволяет получить информацию о квазисимметричных конфигурациях. Оценить влияние квазисимметрии на равновесие и устойчивость стеллараторных систем можно, рассмотрев второй порядок разложения по степеням расстояния от магнитной оси. Этому посвящена третья глава данной диссертации. Основные положения третьей главы содержатся в работе 151.

Выражения для координат Бузера во втором порядке малости по Р найдены в 53.1. Для этого вначале приведены необходимые члены

б

метрики рабочей системы координат, в которые входят параметры, описывающие Б-образную форму смененных относительно магнитной оси сечений магнитных поверхностей. Эти параметры - треугольности и смещения (по двум осям) - зависят от продольной координаты, а также от давления плазмы.

Соотношения между параметрами квазисимметричной конфигурации во втором порядке параксиального приближения получены в 53.2. В выборе формы сечения магнитных поверхностей в общем случае имеется произвол. Учет условия квазисимметрии во втором порядке параксиального приближения приводит к простой линейной зависимости смещений от треугольностей. Подставляя эти зависимости в уравнения равновесия, мы получаем два дифференциальных уравнения первого порядка для двух треугольностей в зависимости от давления плазмы и ряда других параметров. Найти аналитические решения полученных уравнений пока ие удается, однако можно решать их численно. Результаты некоторых расчетов обсуждаются в конце §3.2.

В §3.3 рассматривается критерий устойчивости Мерсье для свазисимметричных конфигураций. Полученные соотношения между свазисимметричными параметрами первого и второго порядков гараксиального приближения .позволяют значительно упростить этот :ритерий и определить численно предельно допустимое по гстойчивости значение /3.

Меняя исходные параметры, можно найти оптимальную по «авновесию и устойчивости квазисимметричную конфигурацию. Такие >птимальные квазисимметричные конфигурации для случая магнитной си в виде винтовой линии на круглом опорном торе представлены в онце §3.3. Изучены зависимости предельно допустимого 3 от числа ериодов системы N. начальной эллиптичности и параметра оси (угла намотки") гИ/Я0.

Наконец, §3.4 посвящен обсуждению возможности существования вазисимметрии в третьем порядке малости по степеням р. Как мы видели, число неизвестных функций и число уравнений в первом и гором порядках совпадали. В третьем порядке с учетом условия зазисимметрии число уравнений оказывается больше, чем число ^известных функций. Следовательно, вообще говоря не существует шкнутых стационарных .магнитных конфигураций, в которых можно сбиться полного сохранения инварианта движения. Можно говорить ппь о приближенном (вплоть до второго порядка малости по р)

выполнении условия квазисимметрш. Основные выводы диссертации

1. В инвариантном виде получено условие существование квазисимметричных конфигурация, найдено выражение для векторг квазисимметрии, определяющего направление, вдоль которого долже! быть постоянен модуль магнитного поля В для существовани) интеграла дрейфового движения.

2. Получено явное выражение для вторичного тока i квазисимметричных конфигурациях, установлена связь междз минимизацией вторичных токов и условием квазисимметрии.

3. Найдены уравнения, описывающие взаимосвязь между параметрами квазисимметричной конфигурации в первом порядке параксиальногс приближения - кривизну, кручение магнитной оси, вытянутост! сечения магнитных поверхностей, угол между осью эллипса и главно® нормалью к магнитной оси.

4. Показана возможность существования различных типое квазисимметричных систем, отличающихся числом проворотов эллипса сечения магнитных поверхностей относительно главной нормали к магнитной оси. Рассмотрена область существования различных квазисимметричных конфигураций для случаев магнитной оси, имеющей форму винтовой линии на круглом и стшаценном опорных торах.

5. Найдены соотношения между кьазисимметричными параметрами второго"порядка малости по степеням расстояния от магнитной оси. Получено уравнение равновесия квазисимметричной конфигурации, развит подход к решению задачи об оптимальном по равновесию и устойчивости квазисимметричном стеллараторе. Определена зависимость ß .от числа периодов системы, вытянутости сечения магнитных поверхностей и угла "намотки" магнитной оси на круглом опорном торе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Drozdov V. V., Isaev H.Yu., Mikhailov и. I., Pustovltov V.D., Shafranov V.D. "Plasea equilibrium and stability in stellarators." Proc. of 12 Int. Conf. on Plasna Physics and Contr. Nucl. Fus. Res., v.2, p.611, 1988.

2. Исаев М.Ю., Шафранов В.Д. "Квазисиметричные стеллараторные системы в параксиальном приближении". Физика плазмы, т. 16

s

вып.6, стр.723, 1990.

3. Исаев М.Ю. "Влияние сильной вытянутости сечения магнитной поверхности на равновесие и устойчивость плазмы в обычном стеллараторе". Вопросы атомной науки и техники, сер. Термояд, синтез, вып.4, стр.36, 1990.

4. Isaev M.Yu. "Quasisymmetrical stellarators in paraxial approximation". Proc.of 8 Stellarator Workshop at Kharkov, p,297, 1991.

5. Исаев М.Ю. "Проблема квазивинтовой симметрии в параксиальном приближении". Физика плазмы, т.18, вып.7, стр.831, 1992.

6. Исаев М.Ю., Михаилов М.И., Субботин A.A. "Исследование параметров квазисимметричных тороидальных конфигураций в параксиальном приближении". Препринт ИАЭ-5706/6. Москва, 1994.

7. Исаев М.Ю., Михайлов М.И., Шафранов В.Д. "Квазисимметричные тороидальные магнитные системы". Физика плазмы, т.20, вып.4, 1994.

Технический редлкгир О.П Громова

Подписано в ucm.ii!, 22 08.94. Формат 60x84/16 Печать о]н'1Г1м;1м. Ун.-изд. л. 0,5 Тираж. 60. Заказ 126

Отпечатано а РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Мискна, пл. Академика Курчатова