Триплеты плоских волн в двухфазных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Київський університет імені Тараса Шевченка

ГГ ц од .

2 0 МАЙ 1997 На правах рукопису

ТРИПЛЕТИ ПЛОСКИХ ХВИЛЬ П ДВОФАЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.02.01* - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-штеттичних наук

Київ - 1997

Робота виконана в

Науковий керівник

Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка Національної академії наук України та Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут”

доктор фізико-математичних наук професор Рущицький Я.Я. •

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук професор Шмаков ЮЛ.

доктор фізико-математичних наук Маслов Б.П.

Провідна установа

Інститут гідромеханіки Національної академії наук України

“/{'і -

Захист дисертації відбудеться “///( “ 997 р0ІСу о'^годи

ні в аудиторії 45 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 01.0129 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою:

252022, КИЇВ - 22, проспект Глу пікова ,45, корпус механіко-математичного факультету.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці_Київського університету і.м. Тараса Шевченка. •

Автореферат розіслано .ОН-1997

року..

Ичгниіі секретар снічіііі.іігишііної вченої рані

К'аліон І5Л.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Предметом дослідженні! п дисертації є триплети плоских хвиль, нкі виникають в двофазному нелінійно пружному середошіщі. Застосовано три різні методи аналізу триплетів: графічний, метод послідовних наближень та метод повільно змінних амплітуд. Теоретично передбачено існування нових видів триплетів.

Актуальність і ступінь лослілженості тематики дисертації. Хвильові триплети як фізичне явище почали вивчатися п нелінійній акус типі ще в 60-их роках.Першою можна вважати роботу Інгарда і Прідмор-Брауна, в якій вивчалося розсіювання звуку звуком. В фізиці говорять про комбінаційне розсіювання зпуку звуком, коли дві звукові в’язки різних інтенсивності. висоти та напрямку звуку зустрічаються ( перетинаються в якійсь області ) взаємодіють і породжують за механізмом, подібним на резонансний. третю в’нзку.Ця в'язка відрізняється за всіма параметрами під ішхідшіх в'язок і відбирає, нк правило, більшу частішу їх енергії. Таким чином,проблема розсіювання звуку звуком є проблемою взаємодії звукових хвиль. Це проблема нелінійна, тому що гіперболічні хвилі не взаємодіють в лінійних середовищах. Щодо дисперсійних хвиль відомо, що дисперсійний закон завжди нелінійний. Звичайно схематично триплети зображають

Необхідно відзначити, що до загальної проблеми взаємодії хвиль у фі зіші в останні три десятиріччя виник досить тривкий інтерес і на даний час в таких розділах фізики як акустика, оптика, радіофізика та фізика плазми накопичено багато результатів, які дають у сукупності задовільне розуміння проблеми.Звичайію,модель середовища повинна бути нелінійною конкретні представления нелінійності, дисипативності та дисперсивності , надають суттєві відмінності характеру взаємодії хвиль. Тому кожна нова . модель,яка виводить за рамки традиційних електромагнітних, магнітоакти впих чи акустичних хвиль,містить в собі нові особливості і вимагає акура тпого аналізу процесу взаємодії хвиль.Виникає питання,які з цих процесів є визначаючими і вимагають першочергового розгляду. С класичній книзі Заславського і Сагдєєва резонансна взаємодія названа “першим нетривіаль

З

ним процесом взаємодії, який грає фундаментальну ролі, в нелінійній хвильовій теорії ".

Хоча в перших роботах вивчалися акустичні триплети і в термінах аку стики ( чому і говорилося про резонансне генерування звуку звуком ), однак в подальшому глибоко і новію триплети хвиль досліджувалися в інших розділах фізики. Перш за все треба відзначити теоретичний та прикладний аналіз триплетів в нелінійній оптиці. Результати цього аналізу ві дображені и багатьох фундаментальних книгах,серед яких слід виділяють ся книги московської школи Р.В.Хохлова - А.П.Сухорукова; М.Ь.Виноградової, О.В.Руденко, А.П.Сухорукова, а також книги Ш.Рабіновича, Д.1. Трубецковш М.Шуберта, Б.Вільгельмі; А.Яріва; А.Яріва, П.Юха: М.Абло віца.Х.Сігура. Триплети в магнітоактивній плазмі теж активно досліджувалися. Звернемо тут увагу на книги таких авторів: Іі.Іі.Кадомцев; В.І.Ка рпман; ВЛ.Гінзбург, А-А.Рухадзе; Х.Вільхельмсон, Я.Вейланд; В.ГІ.Г.ілін.

Треба сказати, що в теорії триплетів проявився відомий в фізиці механізм ізоморфізму закономірностей, згідііо з яким коливні та хвильові явища класифікуються не но відношенню до класичних розділів фізнки.а по спільності закономірностей. У свій час Мандельштам назвав таке явище ‘коливною взаємодопомогою". В теорії триплетів проявляється'“хвильова взаємодопомога". Досягнуте в класичних розділах фізики розуміння трип-"ртіп може бути перенесене на пекласичні випадки.

Саме одному з таких некласичних випадків присвячена дисертаційна робота. Вивчаються триплети в матеріалах з внутрішньою мікроструктурою. Некласичиість випадку полягає в тому, що мікроструктура врахову ється в моделі фізичного середовища.Мікроструктурна модель призводить до некласичних рівнянь. Одним з реальних класів матеріалів, до яких застосовується така теорія, є гранульовані композитні матеріали.

Треба сказати, що в такого роду теоріях не тільки триплети, а й нелі ііійні хвилі взагалі недостатньо вивчені. Це спричинене особливостями ма теріалів взагалі і .композитних матеріалів зокрема. Перш за все, в матеріалах одночасно існують поздовжні та поперечні хвилі і вони в нелінійній теорії взаємозв’язані. До того ж рівняння нелінійно! теорії значно складніші, ніж в інших фізичних середовищах. Ускладнення моделей нелінійного деформування матеріалів суттєво змінює базову систему рівнянь, збільшує кількість хвиль і тим самим ускладнює хвильову картину. В композитних матеріалах звичайно застосовуються лінійні мікроструктури! теорії. Вони мають базові системи рівнянь суттєво складніші від класичнпх.Хвильовий рух її цих теоріях вже не описується класичним хвильовим рівиянням.Пере \і.і до нелінійних моделей дає ще більш складні базові системи рівнянь.

4

Описані особливості створили відносно об'єктивні умови, при яких нелінійні хвилі в матеріалах з мікроструктурою практично не вивчалися.

В той же час проблема триплетів и таких матеріалах є дуже цікавою як з загальнотеоретичної, так і з практичної точки зору. Це підтвердив пропе деннії в дисертації аналіз триплетів, пкіііі внявіш не спостережені в інших фізичних середовищах явища і вказав на необхідність розуміння поліній ної хвильової картини н практичних задачах динамічної поведінки комнози тних матеріалів. Отже, дослідження триплетів в матеріалах з мікроструктурою є актуальним з точки зору розпитку теорії нелінійних хвиль в матеріалах.Трннлетн як періодичних.так і неперіодичних хвиль в середови іцах з мікроструктурою раніше нченимн-механіками не вивчалися.

За мету в дисертаційній роботі було вибране вивчення триплетів плоских ( періодичних - гармонічних та неперіодичних - простих ) хвиль її двофазних середовищах (композитних матеріалах), які при деформуванні виявляють нелінійно'пружні властивості.•

Основний механічний ефект, який пивчастьс.я, полягає в взаємодії трьох хвиль, яка проявляється у генеруванні двома хвилями третьої або розпаді однієї хнилі на дні подібні.Мехаїїізм взаємодії створюється нелінійностями, які в двофазних матеріалах мають дна походження - нелініііність процесу деформування фаз та дисперсійна нелінійність, породжена мікроструктурою. -

Поставлена мета включала постановку та розв'язок задачі про триплет плоских хпиль її двофазних матеріалах, яка в дисертації реалізувалася в постановку та розв’язок двох різних задач, одна з яких стосувалася триплетів класичних періодичних гармонічних хвнль.а друга - триплетів непе ріодичних простих ПООДИНОКИХ хвиль.

Наукова ішпнзіїа і значущість результатів роботи полягають в тому, що вперше: .

винчена взаємодія трьох періодичних (гармонічних) та неперіодичних простих (поодиноких) плоских хвиль в пружно нелінійних матеріалах з чітко вираженою мікрострукту|)ою; щхшедений теоретичний аналіз впливу дис-нерсиинисті середовища на еволюцію триплетугзастосовані три різні мето

• дії аналізу триплетів - графічний (для періодичних експериментально сію ‘ стережених хііидь),послідонпих наближень (дли періодичних хвиль) та повільно змінних амплітуд (для періодичних класичних та неперіодичних по одиноких хіні.іь); сиішлсні ефекти одночасного збудження в двофазному середовищі двох триплетів, відмінних тільки амплітудами, ефект залежиос ті учини просторового синхронізму від вибраних в триплеті частот, і теж явище взаємодії трьох поодиноких простих хвиль.

Лостопіі>пісті. одержаних її дисертації результатів та шісноїжів забез нечуьгься коректністю постановок задач; обгрунтованістю використовуваного .математичного апарату; зіставленнями з відповідними класичними задачами нелінійної акустики матеріалів: погодженістю результатів між со бою і несуиеречливістю встановлених закономірностей з загальними міркуваннями фізичної природи.

Теоретичне значення та практична цінність одержаних в роботі результатів полягають:

- у розвитку теорії періодичних (гармонічних) та неперіодичних (поодиноких) хвиль, які поширюються в двофазних матеріалах.а саме в теоретичному та графічному аналізі взаємодії трьох періодичних (гармонічних) та неперіодичних (поодиноких) хвиль о двофазних матеріалах в рамках неліні йної теорії суміші;

- в знаходженні нових розв’язків рівнянь хвильового руху;

- в знаходженні умови існування триплетів поодиноких хвиль;

- у виявленні декількох нових шіиіц.у тому числі явища одночасного існу вання в двофазному середовищі двох триплетів.

Реалізація та внпопадження результатів, отриманих в дисертації, Наукові дослідження виконувалися в рамках робіт, передбачених програмами та планами НДР ПАН України.Результати дисертаційної роботи уві .і...;... „j звіту теми фундаментальних робіт №1/227 “Розробка тривимірних структурних моделей механіки композитів".

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповіла лися і обговорювалися на семінарах відділу динаміки поліагрегатних сере довищ Інституту механіки НАН України (1994-1996); науковому семінарі за напрямком “Теорія коливань" при Інституті механіки НАН України (1996); науковому семінарі з теорії нелінійних хвиль при Інституті гідромеханіки НАН України (1997); 1-Й, 3-й та 4-й міжнародних наукових конференціях з математики пам’яті академіка М.Кравчука (1992,1994,1995); 2-й Всеукраїнській конференції молодих вчених (1995). Важливі результати з дисертації доповідалися на 1-й Європейській конференції з нелінійних коливань (1993, Гамбург), міжнародному науковому колоквіумі “Нели нсііная динамика твердих тел свмикрострунуроіг (1995, Нижний Новгород). 15-ому міжнародному симпозіумі "Vibrations in Physical Systems" (1995, Познань),31-и Польській конференції з механіки SolMec96(1996,Bapuiai)a).

Особистий пнссок дисертанта полягає, в отриманні нових розв’язків ріншіні. хвильового руху в двофазних середовищах, в теоретичному та графічному аналізі триплетів періодичних (гармонічних) та неперіодичних (поодиноких) хвиль.

Публікації.По результатах дисертації опубліковано 6 наукових праць Основний зміст роботи відображено и публікаціях [1-6]. В працях.нагіїїса-шіх з науковим керівником, проф. Ру ніццькому Я.Я. належить ідея досліджень, загальна постановка задач та вибір методів аналізу.

Структура пиботи. Дисертаційна робота складаються з п'ятьох глав, висновків та списку літератури. Робота викладена на 160 сторінках і включає 6 рисунків. Гіібліоірафічніпі список налі-чуєЮб назв.

КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОКОТИ

В першій глапі (вступі) подано огляд сучасного стану проблеми гармонічних нелінійних хвиль в твердих тілах взагалі і в твердих тілах з мікроструктуро») зокрема, описане місце даної роботи серед проведених раніше досліджень, єформу льована мета роботі і, обгрунтовано новизну та актуальність результатів, теоретичне значений і практичну цінність роботи, а також коротко викладені ос.ноїчіі результати і обгрунтована їх достовірнії;! і,, ('.формульовані положения, що виносяться па захист. Стисло никла іеііий зміст глав.

Друга глава місіть необхідні відомості з-клаг.ичної нелінійної фізики суцільною середовища (теорії нелінійно пружного середовниш, ліні Йної теорії івердих сумішей, теорії нелінійних хвиль в аку.ггичному та он пічному (.ері -допитах). Спочатку викладаються базові поняття з класичної механіки суцільною середониіца.Далі послідовно описуються ті поло жепнп з класичної нелінійної теорії пружності, які стосуються гіперпру-жнпх середовищ («к середовищ, для яких існує потенціал накопиченої ене ргії). Детально викладається необхідна п подальшому класична квадратично нелінійна теорія, основана на потенціалі Мернагана. Цей потенціал означає. нелінійно пружний ізотропний матеріал,який характеризується двома пружними сталими другого порядку X, р (сталими Дяче) та трьома пружними сталими третьоіі) порядку А,В,С (сталими Мерваї'апа). Записуються класичні ріїшпшш нелінійної акуспіки.дли чого вводяться тензор напружень Піоли-Ічірхгоффа /ям та створюючий з ним пару градієнт де-

* формацій, і описується проблема взасмодії гармонічних акустичних хвиль. ‘ У другому параграфі даються необхідні факти з лінійної теорії двофазної суміші, икп трактується як мікроструктурма теорія композитних матеріалів. Викладаються основні положення теорії, заиисуєьбсії базова система рівнянь і апалііуються хвилі в сумішах. Суміш с дисперсішним середовищем і тому гармонічні хвилі в суміші дисперсивні. Особлива увага прчді ієна плоским хвилям.поширення їх описується трьома невзаємозв’язаіпіми

системами рівнянь

d2uw

-аз+2(г3)^--р{и\а)-иГ)~0

дхк

я7 (а) ,2 (а) ,2 (в)

раа - /*« - .“з - іід>) - о (т - 2,3)

. <// охк охк v '

Лінійно пружна, двофазна суміш описується 9 фізичними сталими. Системи (1) описують незалежне поширення трьох видів хвиль -поздовжної (Р-хвіїлі). поперечної горизонтальної (5Н- хвилі) і поперечної вертикальної (5V-хвилі). Розв’язки системи U) мають вигляд суперпозиції двох гармонічних хвиль

«Ги, .о - И

Особливості розв’язку (2) такі : 1) одночасно існують дві моди (оптична та акустична), які відрізняються хвильовими числами к^т) (індекс а фіксує номер моди); 2) обидві моди являють собою суттєво дисиерсіївні хвилі, в яких за означенням частота є нс.’іініііііою функцією хвильового чнсдгц'З) оп тич на мода фільтрується сумішшю, вона запирається для низьких частот, починаючи з певної частоти (частоти запирання-відсіканіш): 4) в кожній фа зі поширюються обидві моди зі своїми амплітудами, матриці розподілу ам плітуд задаються залежними від частоти коефіцієнтами, наслідком чого є нерспомнувания зі зміною частоти енергії з однієї моди до іншої моди. Окремо обговорюється поняття простих хвиль. Самі прості хвилі розгляда ються в п’ятій главі.

Аналізуються плоскі квадратично нелінійні хвилі в акустичному та.оптичному середовищах та два методи аналізу взаємодії хвиль. Метод послідовних наближень більш прийнятий в акустиці, тоді як метод повільно змінних амплітуд більш прийнятий в оптиці. Спеціально приділено увагу до взаємодії хвиль з однаковою частотою, яка є класичною, і до взаємодії

О

хвиль з підмінними частотами, яка лежить в основі задачі про триплети.

П третій главі розглядається теорія нелінійних гармонічних та простих хвиль в двофазних сумішах. Спочатку описані особливості побудови нелінійної теорії двофазної суміші взагалі і квадратично нелінійної теорії зокрема. Записані необхідні факт з квадратично нелінійної теорії поширення плоских гармонічних хвиль, вказано на пряміш зв'язок цієї теорії з кдасич іми теорією нелінійної лк\сткн. Теорія основана па узагальненні поіеп-

55

піалу Мернагана на випадок двофазних сумішей. ІІоішіі потенціал включає сім пружних сталих 2-го порядку (А*,/!*,/?), сім пружних сталих 3-іх» порядку (Л„,В,..СГІ,/3') і опису к-основні властивості нелінійного деформування і властивості деформування су міші нк мікростру ктурного середовища. Поширенні' плоских хии.іь описується такими взаємозв'язаними не-лініини-мн системами рівнянь

/і -і \ д'и\и) , ч .. \д2и}л> -/ („і (0)\

Р...-Г5----(*,. з------------(А,+2/і3)—^—Шм, '-и,

иі (/А ^ <7

(а, ^іа> <„,/лМа> Ма)~, ■ п)

<?х^ &с, ' \ дх{ дх1 Лг,

2„<а> 42„<и> (б)

<7 Нщ 0 Ч,ц О Чт

Р„„ дІ2 На дх2 /Ь дх2 ~ Ч» )

дгии„') ди\и) д2

/V'"'

дх] (?Х, Лс

'*Г <^1 /

(т-2,3), (і)

А/,"0 “ 3(А„ +2/і„) + 2(Д, + Зй„ +С„), л£а)-/*п+|л, + *« .

Отримана система рівнянь (ЗМ1) к основною для вивчення взаємодії пло ских хвиль її сумішах. Далі опікуються два основних методи розв'язування задач для рішить (3). (1). Постановка нелінійна класична, «/класичною в ній постановці с сама суміш і факт дисиерсійності та діюмодовосіі хвиль в ній.

При розв'язуванні задачі про ірпп.іегп методом послідовних наближень не обхідно дослідити загальні розіГнзки в ізотропній теорії суміші і побудувати поздовжні та поперечні аффінорні функції Ґріна.Такі функції побудовані. нони мають громіздкий вигляд і не виписуються н авторефераті.

Однак вони служать осжшою при доведенні існування триплетів гармонічних хвиль і от рима інііт умов синхронізації. .

Глана четверта присвячена безпосередньо триплетам и двофазних сумішах. Спочатку викладені результати графічного дослідження триплетів в реальних ііо.іокнистнх та шаруватих композитних матеріалах. За основу ■ взяті експериментальні дані американських вченнх.Ос.новний результат по лигас в тому, шо в таких матеріалах триплети можуть існувати, якщо в матеріалі присутній класичний механізм нелініііності деформування чи мі крострукгурімііі механізм дисиерсіншості хвиль. При цьому триплети можуть форму шлися а різних мод і суттєво відрізнитися частотами.Це видно з двох розмішених тут рисунків, з яких перший стосується волокнистого матеріалу, а іруїиіі - шаруватого.

У <

При застосуванні метолу послідовних наближень до задачі П|ю триплет її математичній постановці необхідно залігги и першому ііаГі.шжетіі лні хпи лі.кожна з яких є розв'язком лінійної системи і які відрізняються часі ота ми та напрямками поширення. Тобто. лінійний розв'язок повинен маги виг ляд ' .

- /^'"v cos[«y - к^,л,)((0,)?]+ ^

+ В^со{о)2,-к^(и,2)г] "

Представлення (Г>) допускає, по 1 різних иаріантм для кожної хвилі, то бго варіанти типу "перша чола ноздовжної хішлі л частотою ю, + друга мода поперечної хвилі з частотою а>2 “.Таких вілрі.іиимих варіантів всього И). Далі повинна Пути виконана лоснті. складна процедура перетворення нелінійної Пазової системи рівнянь.в якій враховується лише нряча взаемо дія заданих днох хвиль. Застосовується перетворення Фур'є по часу і про початкові хвилі ііринускае.ться. що вони поширюються у вигляді в’азок. які перетинаються. В такій скінченній області перетину шукається ро.ів'я зок за допомогою поПудонаних раніше матриць «юзловжних та поперечних аффінорних функиій [ ріпа. До отриманих представлень розв'язків застосовується обернене перетворення, де виникла принципова трудність, зв'язана з залежністю хвильових векторів віл параметру перетворення.якої не було в класичних задачах. Трудність була подолана завдяки безмежнііі дифере-нціношюсті пілінтім ральних виразів в таких інтегралах

* -< *(%' (с—г°г") , , —in) 1 ,

fe r ' 'д{(1)+ ft)I + Ш2 )e .

-ae

-"і>(r-f~°)<. ^

— e , I ^ )

Отриманий розв'язок буде мати таку властивість, іцо він буде періодично змінюватися з часом.і лише н одному випадку Суде не таким. Це випадок, коли вибраний напрямок г°. для якого будуть виконуватися такі умови

кіР)„г(<)(-<*>. ^ш2)г°-кІ“^)(а)1)-к^я7г)(ш2)-0 . (6)

У цьому окремому випадку амплітуда нової третьої хвилі, породженої нза єчодією днох первинних хпиль.буде прямо пропорційно залежати піл області взаємодії. Така ситуація нагадує резонанс і тому гаку умову можна назвати резонансною. Ції умова фактично доводить існувавші такого папрн мку поширення третьої хвилі, коли ця хвиля буде збільшувані свою енер гію за рахунок первинних хвиль. Отже, триплет існує. Нова хвиля матиме

II '

або сумарну, або різницеву частоту.

Далі ця ж калача досліджувалася метолом повільно зчіпних амплітуд, ('початку вивчалося класичне акустичне середовище (тому що и літературі не описане), будувалися вкорочені та еволюніііні рівняння. Оіримапі системи ріипннь є стандартними ,чля всіх класичних середовищ,відрізняються нони .піше змістом і записом позначені.. Умови повного синхронізму трьох хвиль теж стандартні . '

— 6^2 " ■ 0 “ 0 • (і) При цих умовах дві взаємодіючі між собою хшілі ік>|к)дж\ють третю та не репомшшу ють до неї свою енергію. Записані теж умови Менлі-Рова, закон збереження енергії трьох хвиль та прокоментовані фазові портрети. Далі отримані результати узагальнені па випадок значно більш складного сере довита - двофазної суміші. Тут теж отримані вкорочені та еволюційні рівняння і вивчена взаємодія трьох хішль.Олмак суміш як середовище містить

0 варіантів вибору трьох мні.ть.Дстальїіо вивчалися декілька варіантів. Ос повна <и.об.ишість поліпні, н тому, шо взаємодій в першій і другій фазах відбувається по-різному. Вкорочені іа еволюційні рівняння в різних фазах иідрізннються коефіцієнтами, імова частотного синхронізму не змііікмті.єіі ш3 -а>! - о)-, - 0 (!$)

а просторовою ускладнюється

к™(ш3)-к.(2\а>г)-к['\іо,)~Ь . (9)

Тобто, тут повторився результат попереднього аналізу. !і суміші енергія в триплеті буде перепоміїовушгпіся двома шляхами - переходом від однієї хвилі-учасниці до іншої в конкретному триплеті та переходим вії однієї моди до іншої при зміні частоти,на якій збуджена міиа.іі суміші в різних фазах амплітуда нової хвилі зростає неоднаково

Д<*> X г І?Ч2а>)ІЇп+1*ї" /'.0>ҐЛ])2( .

4:*2»>(*і) - *і + 2(м3) + (^2+2ц2)і,12)(2шГ ' (ш)) И” ) ’

А«> (х)тх_____________(к<'><ш))2(л">)2 (9,

^2»>№>-хі(я2 + гяі) + (Аз + 2/і3)/'ї>(2ш)^1 ' и»

Отже, застосований Метод ван дер Поля дав можливість отримати і зрозуміти нові особливості утворення триплетів.

Отримані еволюційні рівняння також дозволили проаналізувати відомі з ін шнх розділів фізики явища рознадної нестійкості та параметричного пі її и ления. Якщо виконуються умови повного синхронізму ШМ9), ю еволюційні рішїяіїня приймають класичний вш ляд (запишемо тут одне і шести)

{A\?j -ЛІГА'?') ■ MO)

Для рішить типу (10) .чітко записати три інтеграли ( .та незалежних та третій як наслідок двох перших )

a^U.ba./V,^uUi)-С2 ;

; (^'(дг.)- уСЧ'Г - Kf) - ПІ)

II нелінійній оішші формули пил пі.v (І І) часто називають формулами Me нлі-Рова ( Manley-Rowc ). Па осноиі них с|юрму.ч розглянемо лші конкретних вііші.іки. Почнемо з нинадку, коли ііа вході до середовища задані дні хвилі і перекажім кількість енергіТ містиіі.сн н однііі з них. Нехай не першії, толі N', і’(0) » jV'V(0); Л/f V(0) - 0. (Скільки

o^/Vj'^.r, )-alNl<l?'(x,) - ст^Л^ЧО) -- С, . то (-гі) може збільшу на тися лише за рахунок jV/J1 (х,). Однак згідно з сніїїідношенніїм CTj/Vjj*(лГ|)-CT|/V|2 (JC| ) С| таке збільшення може відбуватися лише зі зменшенням Sfjj (ДГ|). (' ІНШОГО боку. (-*1 ) - (-^І ) ”

“ 0$ІЇІІ2 (0) “ С2 і С2 • Є МИЛОЮ ВСЛИЧІИЮЮ н ііорішишні з С\ . Отже. Л^Ч-Г,) може збільшитися не більше, ніж на С2Ш 0). Якщо пна

жати першу і другу хвилі н триплеті низькочастотними. а третю високочастотною. то зі сказаного випливає, відомий в нелінійній фінті наслідок. Нін полягає н чому.що в даних обставинах не можна суттєво передні і сне ргію низькочастотних хвиль до високочастотної. Так ніби явище нідніїїнеп нн частоти сигналу сностерігаєтьсн. тобто низькочастотна сигнальна хвиля (перша), взаємодіючи з потужною холостою хвилею (другою), утворює нону високочастотну хвилю помпування (третю). Ллє потужність попої хни лі буде малою.

Розілянемо тепер інший випадок, коли на вході до середовища переважна КІЛЬКІСТЬ енергії МІСТИТЬСЯ II високочастотній хвилі, тобто Л^д(О)» >>^п*(0) ,jV|(2 (0). Тоді з снінвіднопіень Менді-Рона випливає, шо як ЛпЧ-Хі) так і ^!2(х,) можуть одночасно суттєво збільшу ватпс.я. Отже, енергія високочастотної хвилі може бути "нереномнонанн' чо двох низькочастотних хвиль. Це теж відоме в нелінійній фізиці явище параметричних осішлшіііі ще називанім, розна июю нестійкістю іриплечи. тому шо ноно відображає факт розпаду инсокочасіочної хвилі на дві низькочасюіні. Назначимо ніс раз.шо оєновппмп опогдережепичії новими явищами для ірії Іі.н-іііі в суміші є учасп. рішіїх фаі іа п блювання іриилеіа н ф.иах.

І.’!

В м’ятій глапі описані триплети простих хвиль з формою профілн ) вигляді функцій Чебишопа-ГСрчіта. Цс специфічні прості хіиі.іі. які існують саме її ліюфа.ших сумішах. Оскільки прості хвилі не е широко иідомим ішіііітінм, ю спочатку даються означення таких хвиль (піт класичного а гідродинаміки до сучасного а загальної теорії хвиль). Потому описуютьсн функції Чебинюва Г.рміта і їх специфічні властивості. Пас цікавить перш за все іг. іікі :іа їх допомогою можна описувати поодинокі сигнали, як і Г> могли далі поширюватися и матеріалах як поодинокі просіі хвилі. Повий результат полягак н тому,що доказано існування її сумішах таких простих хвиль. профілі, яких описусії.сн функиісю Чебиш'іпа-І'.рчіта доцільною індекси ірп(:). ТоСіо, ріиннння лінійної суміші (І) доиускас наближений

|к).ш'язок такого вигляду

и{',\х,і)-А{и)ір„(:<“') + т(г{а>)Л^іі>п(:.ій)) : (12)

С(м) фаза:

-(-1)"- К2 - фазова швидкість;

К _ «І , й2 РіІ +Р22 Р

' Р\\ Рг 2 РиРг 2 І+З/г-С1"1)1

а, а2 а\ а,+а2 + 2аі

Р\ І Р22 ЯііР22 РчР22 І+2//-(С< ^

Р/ іМ,,‘

а'+Л + 2 »-<=«">>=

а“ + /{+ 2/і - (с(г0)2

маїрппн розподілу

амплітуд. .

Цей [нии’изок ^ наближеним, ній вірний лише нрп чііко заданих обмежен 11 н \ па час ношпреїшн хиплі. Ністав леннн гармонічного ро.ш'їнку (2) та роз-іГн.іку (12) показує.,що основні властивості класичного розв'язку зберігаю-'іьс.н і в іншому. Дисперсиїшість трапс(|юрмусп,ся п нелінійну залежність фазової швидкості від фази. Ноні хвилі мають псі ознаки просіич хни її,: фазові швидкості нелінійно залежам, від фази та характерні тиками туї і прямі лінії, нзлонж яких амн іііуд.і хнпль іюсііііїш.

Однак розбіжності між класичним та новим розв'язками досить важливі. Перш за псе, перший - це класичні гармонічні лиснерспіпіі хвилі,а друїпії це неперіодичні прості хііилі.Особлииість функції! Чебппііша-І'.рміта с та кою, то їх графіки описуині, декілька “кі мішань" і далі і;,>ни зникоіюсті йно практично збігаються з віссю 02. Це означак. пю (12) описус ііооди

1 І

ІІОКІ г.олітопмі хвилі. Зокрема, лля нульового індексу /1-0 V' „(с) ІНШ-

сує ВІДОМИЙ ДЗВІНОПОДІбіШЙ ПООДИНОКИЙ сигнал - ХВИЛЮ З ОДНИМ ГО|іГІОМ. Далі вивчалися триплети отриманих поодиноких хвиль за допомогою иже опрацьованого раніше для гармонічних хвиль методу попільно змінних амп літуд. Отже, будемо, як і раніше, розглядати плоску гюздовжну хвилю, яка поширюється в напрямку координатної осі Ох . Повторимо тут,то рух цієї хвилі описується нелінійною системою двох диференціальних рівнянь

^"(и> „ , „ ^дЧ6)

Раа ~ ( « ^М(і) ^2 ~ (^3 + 2/1^ ) ^2 —

з2 „(о) •),.(«)

-Р(іі(а)-і/Л))-М°,^г- — . (ІЗ)

дх дх

Основне припущення методу стосується нелініґіності: вона повинна бути слабкою, так щоб при русі хвилі на відстань, рівну довжині хвилі (або за час, рівниіі одному періоду), амплітуда та фаза хан лі змінювалися мало. Також суттєвим моментом в методі попільно змін них амплітуд є знання розв’язку лінійної системи, яка отримана з нелініп ної нехтуванням нелінійності.

Детально розглядалися два випадки задания нершшних хвиль: перша мода + друга мода та перша мода + перша мода.Третьою хвилею може бути як перша, так і друга моди. Для цих випадків були побудовані вкорочені та еволюційні рівняння. Зазначимо,що знайдена для гармонічних хвиль особ.чи вість триплетів о двофазному середовищі - одночасне існування в обох фазах 2 подібних триплетів - виявилася і для триплетів поодиноких хвиль. Однак еволюція кожної хвилі-учасниці в різних фазах відбувається по-різному. Запишемо тут еволюційне рівняння для третьої хвилі першого типу триплету в першій та другій фазах

тП . Ао>А(У ехпі--Га(І)2 + д<2>2 - а(3)2Ц (11)

Л у<3)(а<3>) Н^3) Р1 21 Л* ' ’

. п /(<т<1>) л(1)Д(2)схп[ Чсг(1)2 + сг(2)2 - о?Ч

л 2у<Я)(а(3>)я*, Р1 гГ Я’

N1“* - . «

п„ --------; Я(Ы) - н(1)н{т) + Н{т)Н{к) ; //„(г)-многочлен Чебшшжа.

гаа

гі‘ІІ)-пНн.1(о<к))-Ня.1(а11)У. Н” -[(о(і))2 -2п-і]нп(оік)).

Надалі з таких еволюційних рівнянь треба ще отримати тільки умову просторового синхронізму. Ця умова для гармонічних хвиль в сумішах отримувалася при розгляді задачі про генерацію двома гармонічними хвилями тре тьої. Прості хвилі з ({юрмою профіля у вигляді функцій Чебишова-І'.рміга вже не є періодичними, частота як поняття тут відсутня. Тому і поняття синхронізму для простих хвиль не мак фізичного сенсу.Але тут можна говорити про резонансні умови як про умови, при яких дві прості хвилі гене рують третю.Така задача про генерацію ноиої простої хвилі спеціально ро зглядалася. Отже, розглянемо задачу: нехай початкова амплітуда третьої хвилі дорівнює нулені,тобто 3-я хвиля початково ш; збуджена - Л<3а> - 0 Для визначеності почнемо з випадку,коли взаємодіють перша та друга мо-ди.Також зазначимо, що відсутність в початковий момент часу 3-ої хвилі відповідає фізичній ситуації про генерацію двома хвилями третьої. Отже, гака постановка задачі не є теоретично абстрактною. Другим важливим моментом в процедурі є те, що внаслідок припущення про повільність зміни амплітуди А<І),А<2> в рівнянні систем (М) є посіпшими. Також зго дичося з тим,що на малому проміжку часу.за який амплітуди змінюють ся повільно, таким же чином змінюються і інші нарамеїри початково зада них хвиль: фазова швидкість У,,„(с7<3)) та коефіцієнт /(ст'"*). При таких умовах рівняння (14) може бути нроінтегровапе

ДГ<1> Н 1

‘\0 )ЛЦ)Л(2)„. ,_4 А 0)"2р^2^]А А {Ыг)е сіт <Іо)

Інтегрування в (15) дає вираз.подібний до підінш радыюш - добуток дро бово-раціональної функції на є**1 . Такий вираз ( добутки многочленів Че бишоиа-1'',рміта на присутні там експоненти лають функції Чебинюиа-Крч; та ) завжди є спадною функцією, починаючи з деякою і . Отже, в цьому випадку третя хвиля фактично не збуджується. Амплітуда хвилі в початковим момент відсутня і має аналітичний вираз у вигляді спадної з часом функції. Однак, якщо виконується умова

Дст(т)-(ста))2+(ст(2))2-(ст(3>)2-0 . (10)

то вираз (15) отримає дешо інший вигляд - інтеграл можна нирачувати.ш; буде поліном від часу, а внаслідок цього сама амплітуда ніби резонансно починає зростати з часом.Тоді в умовах записаної в (15) узгодженості між фазами дві прості хвилі породжують третю і вона забирає під них енергію .Особливістю отриманої умови (16) є нетривіальна незалежність фазового узгодження від індексу функції Чебйшова-Ерміта.Тобто.хнпли з будь-яким профілем з родини Чебишова-Ерміта утворить триплет за умови (16).

Заключна частіша (Висновки) містить и першій своїй частині розширене формулювання основних результатів,отриманих в дисертації.!} другій частині систематизовані висновки, які виплітають з аналізу результа тів дисертації.

A. Таким чином, в поданій на захист дисертаційній роботі досліджені три плети плоских періодичних (гармонічних) та неперіодичних (поодиноких) хвиль.які поширюються в нелінійних двофазних середовищах (композитних матеріалах). Такі триплети раніше не вивчалися, дисертація започатковує новий напрямок в дослідженні хвиль' в матеріалах з мікроструктурою. Проведене дослідження включає:

1. Постановки задачі про триплети плоских періодичних (гармонічних)

та неперіодичних (поодиноких) хвиль,які поширюються в нелінійних

двофазних середовищах (композитних матеріалах).

2. Отримання аналітичних розв'язків поставлених задач математичної те

орії двофазної суміші.

3. Теоретичне виявлення нових хвильових ефектів, пов’язаних з існуван-

ням та еволюцією хвиль-учасниць триплетів.

B. Основні результати роботи такі:

1. Вивчена взаємодія трьох плоских хвиль (триплету хвиль) при їх поширенні в двофазному середовищі; 2. Проведений за допомогою графічно го методу теоретичний аналіз існування триплетів для періодичних хвиль, експериментально спостережених в волокнистих та шаруватих композитних матеріалах ; 3. Проведений теоретичний аналіз існування та еполюції триплетів за традиційним в нелінійній акустиці методом послідовних наближень для періодичних класичних (гармонічних) хвиль. 4. Провслснпіі те оретичний аналіз існування та еволюції триплетів за традиційним п нелінійній оптиці методом методом повільно змінних амплітуд для періодичних класичних та неперіодичних поодиноких хвиль; !3. Вивчені особливості взаємодії хвиль-учасниць у триплеті, де звернено основну увагу на взаємодію різних мод і спостережено нові хвильові особливості; 6. Побудовані вкорочені, еволюційні рівняння та енергетичні співвідношення дали можли вість проаналізувати переномпуваннл енергії між хвилями приїх взаємодії.

C. З отриманих результатів можна зробити такі виснопкп:

1. В двофазних нелінійних середовищах (сумішах) існують утворення з трьох відмінних між собою хвиль (триплетів), коли між фазами цих хвиль існує цепна узгодженість, яку можна назвати фазовим синхронізмом.

2. В реальних композитних матеріалах існує такого ролу нелінійна їй

17

снерсіи гармонічних хвиль, яка сприяє утворенню триплетів цих хвиль.

. 3. Н двофазних середовищах підсувається еволюція триплетів, нона спричинена двома механізмами: класичним механізмом неліііійноегі деформування фаз суміші та дисперсійним механізмом, породженим врахуванням мікроструктури в моделі суміші.

І. 11 диофазних сумішах триплет запасли існує в обох фазах суміші одночасно, однак його еволюція в кожній фазі відбувається по-своєму. Тому ефект исреіюмішпувашія енергії всередині триплета в різних фазах буде різним. ■

5. Дпсиерсіішісті. суміші як фізичного середовища має наслідком для гармонічних хвиль взаємозв’язок між умовами частотного та просторового синхронізму, а для простих поодиноких хвиль саме існування цих хвиль, їх взаємодію в триплеті та нерозиадність умови фазового синхронізму на дві класичні умови.

Ос.ііонмиіі зміст лпсергаціііш>ї роботи шік.і,їдено в таких праних:

1. Про існування одного типу комбінаційного розсіювання звуку на звуці в двофазному твердому тілі // Доповіді ІІЛІІ України.- 1901. .Vі 10,- 11.56-02. ‘ (Співавтор Руїшшький Я.Я.).

2. Про розпадну нестійкість триплетів в гіпернружночу двофазному середовищі // Доповіді ІІЛІІ України,- 1996, №11.- <1.75 -79. (Співавтор Рущицький Я.Я.К

3. On longitudinal and transverse affinor Green’s functions and existence of wave triplets in multi-phase media // Abstracts of Intern.Mathtm.Coriference Acad.M.Kravchuk in Memoriam. Ukraine, Kyiv-Lutsk, 1992. - P. 184. (Співантор Рушиш,кий Я.Я.).

4. Анализ распространения гнперуирупи волн с учетом третьем) приближении //Тезисы докладов 4-й между народ, конференции памяти акад.11. Крапчука.-Кмев: Нац. техн. унинерс. Украины "Киевский политех, институт", 1995.-С. 214.

5. Условия существования волновых триплетов в двухфазной среде / /Тези сы докладов 3-й междунар. конференции памяти акад.11. Кравчука.-Киев: Нац. техн. универс. Украины “Киевский политех, институт", 1994.-С. HI.

6. До теорії триплетів в гіііерцружнпх середовищах //Тези доповідей 4-ої міжнарод. конференції памяті акад.П. Кранчука.-Київ: Нац. техн. універс. України “Київський політех. інститут", 1995.-С. 39.

Bilyi V.O. Triplets of plane naves in two-phase media. Dissertation for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences in Spe ciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid, Kyiv University named after Taras Shevchenko, Kyiv, 1997.

Six papers containing results of theoretical investigations of the interaction of three plane waves (wave triplet), which propagate through elastic nonlinear multi-phase media (composite materials). Three methods are used: graphic method, method of sequential approximations and slowly changing amplitude method. New wave effects which are generated both a deformations nonlinearity and dispersivity of media are studied. The special attention is given to new third wave3 which are generated in mixtures as a result of different modes interaction. ■

Белый В.А. Триплеты плоских волн в двухфазных средах.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес ких наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого тпердого тела. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997. Защищается 6 научных работ, которые содержат результаты теоретических исследований взаимодействия трех плоских волн (триплета волн), распространяющихся в нелинейно упругих многофазных средах (композитных материалах).Применено три метода исследования триплетов: графический, метод последовательных приближений и метод медленно изменяющихся амплитуд. Изучены новые волновые аффекты, порожденные как не.лні'''й-ностью деформирования, так и дисперсивностыо среды. Особое внимание уделено новым (третьим) волнам, которые генерируются в смесях вследствие взаимодействия различных мод.

Ключові слона: плоска періодична (гармонічна) та неперіодична (поодино-

ка) хвилі, триплет хвиль, нслінінність деформування,композитний матеріал, мікроструктурадеорія суміші.

Підп. до друку f.OV.97p. Формат 60x84/16. Друк офс. Папір друк. Друк. арк. 1,5. Тираж 100 екз. Зам.(7^3* Друкарня Південно-ЇЗахідноі залізшіці, мКиїв, вул. Лисрнкп, 6.