Целочисленные решетки, связанные с исключительными алгебрами Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



^ российская академия наук

с

МАТЕМАТИЧЕСКИМ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

л

г. '■'

На правах рукописи

Буриченко Владимир Петрович

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕТКИ. СВЯЗАННЫЕ С ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМИ АЛГЕБРАМИ ЛИ

0I.0I.C6 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в лаборатории теории конечных груш Гомельского отделения Вычислительного центра Alf Беларуси

Научный руководитель - член-корреспондент РАН. профессор

А.И.Кострикин.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Струнков С.П.; кандидат физико-математических наук, с.н.с. Царанов C.B. Ведущее учреждение - Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится "J 1993 г. в часов 00 мин.

на заседании специализированного совета Д 002 . 38 . 02 при Математическом институте им. В.А.Стеклова по адресу: II7996, Москва, ул.Вавилова, 42.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан "

5" Н^Э^иХ. Х993 г. '

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

М.П.Минеев

0БИ1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Осноеным предметом настоящей диссертации являются целочисленное. еЕклидовы решетки. Изучение решеток представляет интерес с самых разных точек зрения. В геометрии решетки возникают в задаче о плотнейшей упаковке иаров в тг-мерном пространстве; в теории чисел - поскольку рзсетку мокго рассматривать как некоторую квадратичную форму; в плгебре нас интересует прежде всего, как некоторая группа мозет действовать на решетке., 3 1970 г. Кснвей, вычислив грушу автс;""рфйз:-:ов решетки Лича Л^ , открыл три новые простые группы .1, .2, .3. Еде несколько простых групп, в ..ч. спорадических, действует па . Крогсз того, группа Томпсона была построена как группа явтомсрЗЬнзмов некоторой решетки в комплексной простой алгебра Ли Ер ([26],[27]). Эти обстоятельства сделали очевидной полезность изучения взаимосвязи груш и решеток, например реализации какой-либо группы в

* •

'качестве группы изометрий подходящей решетки. Обширная коллекция таких реализаций содержится в [17], в частности для груш Срсз;, в2(2), 05(3), .1, .2, .3, Биг, Сг(4). Пг2 , 07(3)\ 14(3), Р4(2), 0в\'2), Бр6(2), ¡и. и4(3) И других. .

Плодотворный путь построения решеток, интересных с групповой точки зрения, был предложен в [9]. Он связан с понятием ортогонального разложения (ОР) алгебры Ли, т.е. разложения

Кт1

(*) * = I ; ' 71 — число Кокстера)

алгебры £ в прямую сумму картаноЕсих подалгебр, попарно ортогональных относительно формы Киллинга. Пусть 0- (х) груша автоморфизмов разложения, т.е. автоморфизмов алгебры л? , переставляющих мекду собой слагаемые в разложении (*). Мозшо подавить вопрос о исследовании решеток • Л С . инвариантных

относительно в, и вычислении их групп изометрий АиКК) (относительно формы Киллинга). Группа АиЛ(к) иногда оказывается довольно интересной; в частности, так реализуются группы ?3 (при * = Ев ,[26]), .1 ( х = А4 Л31), 02{2) ( * = а2 * [8])-В3(2) = ЩЕТ) ( х = В3 , [13]. [5]), 1)4(3) = ?НЕ8) ( х = А2 , [3], и х =Ъ4 , [13]), Ъ4(3) ( г = Р4 ,[4]).

Ортогональше разложения тесно связаны с т.наз. жордановыми подгруппами в группах Ли, классифицированными в [I]. (Если 5 -простая комплексная группа Ли присоединенного типа, то подгруппа

«7 С 5 называется кордановой, если I) ^7" — абелева подгруппа, причем 11.^ (J) конечен; 2) J — минимальная нормальная подгруппа в N и) ; 3) Если J1 аОелева, J1 > J и (J1) з №) , то Ид (J1) = N ). В частности, зачастую 4и10р и

(J) — это одна и та же груша. ' &

Б диссертации развивается еще одна тема. Как хорошо известно, характерной чертей теории конечных групп является разделение всех объектов на регулярные и особые; регулярные изучаются общими методами, в то время как особые требуют индивидуального подхода. В число таких особых объектов попадают не только спорадические простые группы, но и некоторые группы лиевского типа ( Ъ3(4) или ?4(2)' ), . нерасщёпимые расширеня, исключительные изоморфизмы типа А& ? Ъ2(9) л т.д. Возможно, большая часть литературы по конечным группам как раз таким объектам и посвящается.

Несколько лет назад было замечено, что некоторые конечные лупы, т.наз. кодовые, позволяют дать новые прозрачные конструкции некоторых из таких особых объектов. В частности, ь [18 ] была использована т.наз. лупа Паркера, чтобы дать упрощенную конструкцию Монстра. Позже Грайс систематически изучил кодовые лупы [21]-

-[23] и использовал их для построения некоторых нерасцепимых расширений, а именно групп Алперина • гЪ(3,2) , 2-локальной

подгруппы в Й1 со строением 2 3+8• БКЗ,2) , а также подгруппы вида (2 2+3+3 .Б1(3,2)) : Б3 в группе Т>4(С) (которая, кстати, является накрытием нормализатора жордановой подгруппы).

В настоящей диссертации мы используем две лупы, т.наз. лупу Холля и лупу Кэли, чтобы дать новые конструкции следующах объектов :

полилинейных Форм, группы автоморфизмов которых суть р

группы Шевалле типов Е& , , ?4 (т.наз. фермы Диксонь); исключительной йордановой алгебрч; жордановух подгрупп в О0 и ; ортогонального разложения в алгебре Ли & типа в2 , Ли^р (х) - инвариантной решетки в & и ее группы з&^окорЯкомюв, изоморфной 0^(3; х ¿2 (отметим, что в работа [8], ота решетка построена впервые, многие доказательства носили в зкзчлтель-1 ной степени вычислительный характер, и отмечалось, что желательно найти более концептуальный подход);

3

27-мерной решетки над 111,1, где С = УТ , чья группа автоморфизмов есть х (3-(1(7,3) : 2) ;

27-мерной ъ - решетки, на которой действует 14(3) ; алгебры Нортона-Смита ( [17], [25]), на которой 3-0(7,3) : 2 действует как группа автоморфизмов.

Кроме того, в работе рассматривается модуль Стейнберга для (2,ц) (над с ), классифицируются все инвариантные решетки в нем и вычисляются их группы автоморфизмов.

Цель работы. Используя лупу Холла и лупу Кэли, дать конструкции впиеогшеаннкх объектов. Вычислить группы изометрий построениях решеток. Вычислить группы изометрий инвариантных решеток в модуле

Стейнберга над

Научная новизна. Основные результаты и конструкции диссертации являются новыми. Отметим, что независимо сходная конструкция для исключительной йордановой алгебры и Е^ -формы Диксона дана в [20].

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории конечных групп, теории представлений и теории алгебраических груш.

Апробация результатов работы. Результаты работы■докладывались на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ, семинаре лаборатории алгебры Института математики АН Беларуси, семинаре лаборатории конечных групп Гомельского отделения ВЦ АН Беларуси, Международной конференции по алгебре памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989), IV школе по алгебрам Ли, IV школе "Алгебра и анализ", VI конференции математиков Беларуси.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата. Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав и изложена на 165 страницах. Список литературы содержит 81 наименование.

v

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация содержит 4 главы, а также вводную главу 0. В главе 0 собраны необходимые сведения о некоторых полилинейных ■• формах. Эти формы, были открыты в начале века Диксоном и затем изучены Ашбахером [14] - [16], обнаружившим ■ их большое значение при исследовании подгрупповой структуры

исключительных груш Шевалле.

Существует кососимметрическая трилинейная форма на 7-мерном пространстве, группа автоморфизмов которой есть группа Шевалле типа С,, , которую toi будем называть формой Диксона для G2 .

Аналогично существует трилинейцзя симметрическая форма на 27-мерном пространстве VÄ , так называемая форма Диксона для Е6 , группа автоморфизмов которой есть односвязяая группа Е6(к). Если Е — квадратичное расширение некоторого поля й, то на Vg можно ввести также эрмитову форму В такую, что 0(7е ,/е ,В) =г гЕ6(к).

Глава I посвящена экстраспоциальным лупам. Напомним Определение. Лупа — это множество L с Соляркой операцией • , унарной операцией х —► х~1 и единичным элементом 1, для которых выполнены тождества 1-х = х-1 = х, (х'1- х, x'Uxy) = (ух) х~1 = у .

Мы будем говорить, что L — экстраспециальная лупа типа р ,+г\ если существует эпиморфизм луп L —► Z^1 .ядро которого Яег 5 Zp , причем для о е Ker, х,у е L имеем аг = ха и а(ху) = (ах)у , х(ау) - (ха)у, (ху)а = х(уа) , т.е. Кег лекит в центре и ассоциативном центре лупы L.

Для нас особенно важны два примера экстраспециал'ьных луп: лупа Холла н и лупа Кэли К .

По определению, н есть множество упорядоченных четверок (a,b,c,d), a,b,c,d £ ^ , с умножением по правилу (a,b,c,d) <а? ,Ъ1 ,c1 ,d}J = Г ша1 , Ъ+Ь1 , с+сf , <2+df + + (c-cj) (ab1 - ba?J ) . Единицей является (0,0,0,0), а обратным

- о

для (а,Ь,с,й) служит (-a,-b,~o,-d) . Гомоморфизм И —» Н = Z3 , (a,b,c,d) —► (а,Ъ,с), ядро которого есть к = ( (0,0,0,d)| d е Z3), показывает, что н — экстраспециальна типа . Если

ф 6 Aut(n), то ф сохраняет к и поэтому индуцирует ф е Aui(н) .

Легко показать, что отображение ф —► ф является эпиморфизмом

Aut(n) —► Aut(JU . ядро которого состоит из автоморфизмов вида

пА В С : (a't>,c,cU —► fa.b.c, с2 + Аа + ВЬ + Сс) .

Определим еще Aut(HJ0 = t ф 6 Aut(K) | det ф = 1). Таким образом,

Aut(H) = З3 : GL(3,3), Aut(H)0 5 З3 : SL(3,3) .

Чтобы описать лупу Кэли К, определим алгебру октав Са над

7

полем F, char F * 2, как Са = F-1 в « Fe, , умножение задается

1=1 %

2

правилами ef ■ -1, = - при I / J,

el+1 el+2 ~ е1+4 (индексы берутся по модулю 7), а все остальные следуют из альтернативности, например

2

el+1 eU4 = el+1( eU1 el+2) = ei+1 eU2 = ~ е1+2 • Тогда подмножество о - ( +1, ,...,±е7 } является экстраспециальной лупой типа 2,+3 с центром" С ±1) . По определению, К ^ о. Через Z обозначим центр К, и К = К / Z ^ Z2 . Положим G = Aut(K), и для ф EG пусть ф — образ ф в Aut(K) . Тогда G = 23'GL(3,2) (нерасцепимое расширение), и нормальная подгруппа U s 23 состоит из преобразований вида ф(х) = х, где

1 : К —► Zp — гомоморфизм.

Обе эти лупы известны довольно давно. Лупа Холла была описана Холлом в [24] как некоторая система троек Штейнера ( которая определена на н тем, что (x,y,z) — тройка, если xyz =1 .). Она же, как сообщается в [2], была построена Болом. Лупа н является наименьшей неассоциативной коммутативной лупой Муфаяг, которым посвящена глава в книге [12]. Лупа Кэли известна с [19].

Теперь опишем вкратце те конструкции из работы, которые связаны с лупой н и группой Е&(к) .

Лупа Кэли образует двойной базис е Са ; аналогично этому в § 1.2. мы строим алгебру, для которой н является тройным

о "

базисом. Пусть к — поле, к э С С- 1- Положим А = Ш (моноидальная алгебра), и А — факторалгебра А по главному идеалу ((0,0,0,0) - £.). Тогда (а,Ъ,с,й) = (а,Ъ,с,0} как элементы из А .

На а определим трилинейную форму }, полагая для х,у,г б н / (х.у.г) = е(х,у,г) (ху)г. где для а.Ь.с 6 н е(а,Ь,о) ~ О при а + Ь + с * О, = 1 при а + Ь + с = О, а * Ь , и = -2 при а = Ъ = с .

Теорема 1.10. •/ изолетричш 9/ , г<Эе / - <рср«а Диксона Оля над к .

Кроме того, на А легко определить пару из трилше.Ялой и

* о

эрмитовой форм, чья группа изометрий есть "^(к) (точнйэ, квазипростая группа с фактором 2Е&(к) ). Пусть С Е к и -К = к(Г3), ЗаХ(Е/к) = (1, о), и 2 — эрмитова (откоснтодьзо о) фсрмз на Ар для которой В(х,х) =1 и В(х,у) =0 ¡три X * у.

Теорема 1.15. Пара форл .3) изолетринха паре форл ,3В),

р

где (/,В) - пара форл из [16], чья группа изолтрий есть Е^(к) .

В заключение § 1.2. мы также строим с пс:.:озц>ю ¡1 исключительную 27-мерную йорданову алгебру над с.

В § 1.3 мы описываем некоторую подгруппу в ОСА, }). Рассмотрим группу (7 перестановок на н,. порожденную АШ(Я)0 и сдвигами Г„ , Тх(у) =ху. Действие этой группы продолжается на пространство А . Имеется нормальней ряд в в

Г С г С С Э С О с факторами г3 , 233, 233, 31(3,3). Здесь Z состоит из сдвигов на Ю,0.0,с1) (которые действуют на а как скалярные матрицы я = п х г и 2 = <тх | х е н >.

1'н показываем, что С сохраняет / и В . В конце § 1.3 мл доказываем, что N = N / 2 является жордановой подгрушсй в

0(А, f) /Z ( которая является присоединенной группой Е6(к) ).

В главе II мы исследуем решетки в пространстве А^ .

.Пусть Л — аддитивная подгруппа в Ас , порожденная элемзн-

таш Зх, где х 6 н, и

L(x.y.z) = х ( У уа zh, е z3

где x,y,z е н и у, z независимы в н .

Лемма 2.1. Л Шляется Zf £ J - решеткой в А , т.е. существуют . е1.....е2у тате, что < еу...,е27 >с = А и ( е1.....е27 ) -

базис Л над Zi£].

Лемма 2.2. Если g £ G, то gA = А .

Теперь мы переходим к исследованию изоматрий решетки Л. Для ы'ого мы сначала строим некоторую изометрии Ф, которая, как оказывается позднее, вместе с G порождает почти всю группу Aut(A).

Определим Ф 6 Епй(к), полагал Ф Са,Ъ,0,0) = (-а,-Ь,0,0) и Ф (а.Ь.с.О) = з {а,Ъ,с,0) jj^ (а,р,0,0) при с хО .

Лемма 2.3. Ф £ О ("А, В) А Теорема 2.9. ФЛ = Л .

Таким образом, мы построили элемент Ф £ 0(А, В), не лежащий в G .

Группа изомзтрий Aut(A) найдена в § 2.3 и § 2.5. В § 2.5 доказана

Теорема 2Л5. Пустъ Min — множество линшшъных векторов в А '. Тогда Ыin состоит из векторов ±3х , х 6 н , и

± L(x, у, z) , й1т7 <у, z> = 2 .

j

В § 2.3 мы, для нахождения группы Aut(A) строим, исходя из множества минимальных векторов в Л, некоторый граф. Затем мы показываем, что он изоморфен другому графу, связанному с группой

00(7,3), находим его группу автоморфизмов и доказываем следующую теорему.

Предложение 2.18. АМ(к) ^ 3-80(7,3) х . Подгруппа линейных преобразований илеет индекс 2 в АиКК) и совпадает с «7, Ф> х (±1) . Кроле того, <0, Ф> = 3-П(7,3) . Здесь 3>П(7,3), 3-80(7,3) — нерссщепихые расшрения (из них первое — централь-ное, а второе нет).

В § 2.2 дается новый взгляд на известное вложение

о ~

П(7,3) д Е&(2). Именно, редукция форм f(¡ я Вс по модулю 2

даэт пару форм (/, В) на Л / 2А; последнее является пространством над / 2г[С,1 5 0?(4). Оказывается, (/,В) изометрична паре форм из вышеупомянутой т.1.15; кроме того, <в, Ф> сохраняет (/, В), что дае? вложение <в, Ф> с 0(/, В) г 3* 2Е^(2) .

В § 2.4 мы строим некоторую 27-мерную г-решетку X, вкладывающуюся в Л, показываем, что Ф сохраняет I и ее группа изометрий есть < АиЛ(Я)0 , Ф > х (±1) 5 К?(6.3) х • Редукция /с и Вс на 1/21 приводит к вложению 1>4(3) С Т4(2) .

В [17] описано некоторое 27-мерное представление для (Э.Щ7.3)) : 2. Именно, определено пространство (V, *) со структурой антилинейной алгебры (т.е. \х * цу = ЯД х*у, А., ц. 6 с) и с эрмитовой формой < , >. Кроме того, определены 3 х 376 "корневых" векторов г, так что антилинейные "отражения" по правилу х —-» зГ = х * г - <г, х>г порождавт группу унитарных преобразований, изоморфную (3-Щ7.3)) : 2 . Подгруппа линейных преобразований в ней есть 3-0(7,3) .

Вышеупомянутые конструкции легко описать на основе лупы н.

Для х.у £ н положим х*у = ((1/3) + б _ ) (ху)~1

Хку

(где х, у - образ в Н ), и <х,у> = (1/3) В(х,у) . Предложение. Если, г — шнилсиьный ветор из А. то преобразова-

ние х —► зГ = х * г - <г,х>г лежит 6 Аи.г(к) и я&ляется авто-лорфизлол антиинейной алгебры (к, *).

В главе III мы, используя лупу Кзли, даем новую конструкцию для решетки с группой автоморфизмов в2(3).

Прежде всего, й=АМ(К) действует на Са как группа автоморфизмов и поэтому вкладывается в 5 - АиКСа) = в2(с) ( при Р=с). Далее, 5 сохраняет V = <е1 ,...,е7>с . Пусть х = Т)ег(Са) . Тогда = О, «V с V.

Определим * ; V ® V —»7 и р: V ® V —> с тем, что ии = - р(и^) ( ии — произведение в Са). Тогда рСе( = 6^J . Кроме того, * кососимметрично и может рассматриваться как отображение из V а у в V.

Отождествим Епй(7) с V ® V так, что (и ® V)® = р(и,и>№. Тогда х отождествляется с подпространством в 7 л у ,

X = С X е V Л V I *х =о; . Подруппа Жв индуцирует градуировку на х :

* * • * На а е Я* а

где На — собственное подпространство в х, отвечающее характеру а б Наа(Н. с*). Оказывается, это есть в точности мультипликативное ОР для х. В § 1.5. мы доказываем, что АМ01?(х) = О .

Теперь приведем конструкцию вышеупомянутой решетки, которая содержится в § 3.2. Нам будет удобно обозначать порождающие для

К как я=е} , у=е2 . г=е3 .(¡ответственно ху=е4 , хг=еч и т.д. Пусть Т = <х + у + ху , х + х + хг, у + г + уг, х + ... + (ху)г ; 2х,..., 2(ху)г >г .

Тогда Г оказывается в -инвариантной решеткой в V. Мы положим Л = (Г а Г.) п х . Мы довольно подробно исследуем Л применитель-

но к базису л ер пространства У л у . Форма на V л V, для которой этот базис является ортонормирозанным, при ограничении на

& дает форму, пропорциональную форме Киллинга. О действует в этом базисе мономиально. В частности, мы показываем, что произведение любых двух векторов из Л делится на 4, квадрат любого вектора - на 8, минимальные векторы имеют квадрат 16 и одну из форм (±21, ±112, (?) или (±24 О17).

Предложение 3.16. Ышилалъкие векторы в А илект квадрат 16. Они образуют две О - орбит с представителей и и v длин 84 и 672 соответственно, где

и=2(х*г+уКг-х* ху'г + у * ху>г ) ; V = ху * у + ху-г * уг + х * ху + хг * ху-г + х л у + хг * уг + у л х 'х+хулуг-ху^хг-х* ху-г + х * уг - у * хг + 2 ху * 2

Теперь приведем краткое описание для изометрии Ф е АиЛ(К), не лежащей в 0 . Она построена в § 3.3. Рассмотрим разложения

(1) У = У0о7. .

(2) V л у = у0 Л у0 . у, л у, в Тх в Ту о Т.^

где У0 = < х, у, ху >с , 71 = < г, хг, уг, ху-г >с , Тх = х л у,

Ту = у* .7,.

тху = *УЛ71

Рассмотрим преобразование ф на Vj , действующее в базисе г, хг,

уг, ху-г с матрицей 1 1 1

Ф

1

Г

1

11-11 1-1 11 1 -1 -1 -1

Следующая теорема - видоизменение предложения 3.23 из работы.

Предложение. ф продолжается, причел однозначно, до преобразования

i

Ф 6 GL(V) х GL(7 * V) , так что выполнены следующие условия:

I) Ф сохраняет все члены в разлохелиях (I) и (2);

II) Ограничение Ф на и * — естественное. Ш) » : V л V —► 7 коллутрует с Ф .

<

Оказывается, что Ф сохраняет • л? и Л С и является изоме-трией на о.. В § 3.3 доказана Теорема 3.25. Ф 6 АМ (А) .

В § 3.4 мы вычисляем группу Аиг(А). Превде всего, Лиг(К) сохраняет подрешетку Л' = (х б Л| (х\А) с 31) и поэтому действует на пространстве № = Л' / ЗЛ , которое семимерно над Z3 . Оказывается, что в и Ф сохраняют некоторую кососимметрическую трилинейную форму на (У. Эта форма изометрична форме Диксона для в2 над полем- , и мы можем показать, используя [15], что «3, Ф> индуцирует на Щ группу преобразований, изоморфную 02(3). Отсюда следует, что |4иилл > 2\в2(3)\ . С помощью компьютера несложно проверить обратное неравенство; таким образом доказывается

Теорема 3.31. АМ (А) = «?, Ф> х ( ±1 ) , и «7, Ф> г 02(3) А

В главе IV исследуются решетки в модуле Стейнберга. Напомним, что модуль Стейнберга над группой Шевалле — это некоторый неприводимый 'комплексный модуль размерности |У| ( и - максимальная унипотентная подгруппа). Представление на модуле Стейнберга всегда рационально, и поэтому было бы естественно классифицировать С -инвариантные решетки в нем. В случае 0 = БК2,д) можно дать полную классификацию таких решеток и вычислить их группы изометрий. Это - один из немногих случаев, когда имеется полная классификация решеток.

Пусть я=Рд и (а>) — проективная прямая над полем Р^ .

в дважды транзитивна на^. Пусть V. = е се„ — соответствующий

' х е р х

перестановочный модуль. Тогда модуль Стейнберга есть

V = <" E Vi I =0 } •

Рассмотрим также перестановочный Z0G -модуль V0 = e Z3e„ .

* x e j> c

Если q=±i (mod 8), то пусть , <S2 — квадратичные коды длины

q+1 , которые являются G -инвариантными подпространствами в V2

размерности (q+1)/2 . Определим решетки

Vi,г = { - Ххех I ^ 6 z. 2 ^ =0. \г г \/ ;

для г 6 N , г | q+1 .Кроме того, для q=±1 (mod 8) , г | 2+.L

можно определить решетки ?

A(j+J, 2r, J "

( Е \jsT I е z, Е Л,_ =0, 3 \ 6 z такое, что Х_ = Л, ("mod г;

w U* bv X w

V х £ я, причем те х, для которых = A.+r (mod 2г), образуют кодовое слово С £ (Sj } .

Сформулируем основные результаты главы rv\ Теорема 4.1. Решетки г , r j образуют. полное лнохес-

тЗо представителей классов подобия G - инвариантных решеток в V. G - инвариантное скалярное произведение на V дается формулой ( Е Mr I Е IMV > Е ^

М/ bC* kV IV *Д»

Теорема 4.2. Если fq,rj * СГ,2), (7,л), (8,3) то

Aut(Aq+1 г ) = Z2 х , причел действует как группа

всех перестановок элелентов из р . Если qx7 , q~±1. (mod 8) , то Aut( r_ j ) = Z2* Aut( (Sj ) ,где Aut(<Sj ) Q Sq+1 — группа

а&толорфизлов кода.

В перечисленных быке иаиючительных случаях илеел:

В7.' V • Л9,3* Е8 • A8.2J * A8,8,J % D 7 •

ЗЗесь % -- подобие в летрическол слысле.

По, модулю классификации конечных простых групп (и, в частности, 2-транзитивных групп, см. [6]) легко доказать, что Aut(<Sj ) = 23 : 13(2) при q=7, U24 при q=23 и PZL(2,q) =

PSL(2,q)\Aut(Fq) в остальных случаях (так что в этом случае груша Aut(A) не очень интересна).

В заключение автор хотел бы выразить глубокую благодарность А.И.Кострикину за научное руководство, помощь и поддержку. Я также признателен за многочисленные полезные беседы А.В.Боровику, Фам Хыу Тьепу, С.В.Царанову и И.А.Чубарову.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адексеевский A.B. О жордановых конечных коммутативных под-грушах простых комплексных груш Ли //Функцион. анал. и его прил. - 1974.-Т.8.- N 4.-C.I-4.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигруш и луп. М.: "Наука", 1967.

3. Бондал А.И., Кострикин А.И., Фам Хыу Тьеп. Инвариантные решетки, реиетка Лича и ее четные унимодулярные аналоги в алгебрах Ар_1 // Матем. сб. - 1986. - Т.130(172).. - С. 435-464.

4. Буриченко В.П. • Инвариантные решетки тша F4 и их группы азометрий. / Дипломная работа, МГУ, 1988.

5. Буриченко В.П. Об инвариантных решетках тшов Вп и Dn / Курсовая работа, МГУ, 1987.

6. Камерон П. Дж. Конечные группы подстановок и конечные простые группы // УМН. - 1983. - Т.38. Вып. 3. - С. 135-158.

7. Конвей Дк., Слоэн Н. Упаковки шаров; решетки и группы. М.: Мир. 1989.

8. Кострикин А.И., Кострикин И.А., Уфнаровский В.А. Инвариантные решетки тша С2 и их группы автоморфизмов. // Труда МИАН. - 1984. - Т.165. - С.79-97.

9. Кострикин А.И., Кострикин И.А., Уфнаровский В.А.

Ортогональные разложения простых алгебр Ли (тип Ап) // Тр.МИАН -1981. - Т.158. - С.105-120. .

10.-Кострикин А.И., Кострикин И.А., Уфнаровский В.А.

О разложениях классических алгебр Ли // Труды МИАН. - 1984.-T.I66.- С.107-120.

11. Кострикин А.И., Кострикин И.А., Уфнаровский В.А. Разложения в простых алгебрах Ли / Препринт уйститута математики с ВЦ АН МССР : Кишинев, 1983.

12. Манин Ю.И. Кубические формы. М.: Наука, 1972.

13. Фам Хыу Тьеп. Решетки некорневого типа в алгебрах Ли В3 И D4 // УШ - 1989. - Т.44, N.I. - C.2I7-2I8.

14. Aschbacher М. Some multilinear forras with large isometry groups // Geom. dedic. - 1988.- Y.25. -P.417-465.

15. Aschbacher M. Chevalley groups of type G^ as the group or trilinear form // J.Algebra - 1987.- V.109, N.1.- P.193-259.

16. Aschbacher M. The 27-dimensional modulo ior Eg. I // Invent.Math. - 1987. - V.89, N.I. - P.159-195.

17. Conway J.K. et al. An ATMS of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

18. Conway J.H. A simple construction for the Fisher - Griess Monster group // Invent.Math. - 1985.- V.79-- P.513-540.

19. Coxeter H.S.M. Integral Cayley numbers // Duke Math. J. -1946.- V.13.- P.561-578.

20. Griess R.L. A IJoufang loop, tha exceptional Jordan algebra and a cubic form in £7 variables // J.Algebra - 1990.- V.I31.

К 1.- P.28I-293.

21. Griess R.L. Sporadic groups, code loops and nonvanishing cohomology // J. Pure and Appl. Alg. - 1987.- V.44, N 1-3. -

P.191-214.

22. Griess R.L. Code loops// J. Algebra -1986.-V.100.-P.224-234.

23. Griess R.L. Code loops and a large finite group containing triality for D4 // Rend. Circ. Mat. Palermo.- 1988.- V.37.-

P.79-98.

24. Hall M. Automorphisms of Steiner triple systems// Proc. Symp.Pure Math. - 1962.- V.6. - P.47-66.

25. Smith S.D., Nonassociative coiKT.utative algebras for triple covers of 3-transposition groups // Mich. Math.J. - 1977.- V.24, Н.Э.- P.273-287.

26. Thompson J.G. A simple subgroup of Eq(3) . In: Finite groups.' Simposium: Japan Society for Promotion of Science, 1976. P. 113-116.

27. Thompson J.O. A conjugacy theorem for EQ //J.Algebra -1976,- V.38.- N2,- P.525-530.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буриченко В.П. Транзитивные ортогональные разложения простых комплексных алгебр Ли типов F4 и Eg // Вестн. Моск. унив. Сер.1. Мат.мэх. - 1988.- N 4.- С. 78-80.

2. Буриченко В.П. Об одной специальной лупе, форме Диксона и решетке, связаной с 07(3) // Мат. сборник.- 1991. - Т.182, N 10.

- C.I408-I429.

3. Буриченко В.П. О решетке, связаной с. 27-мернкм модулем для Е6 / Кекд.конференция по алгебре, тез.докл., Новосибирск, 1989..

4. Буриченко В.П. Инвариантные решетки в модуле Стейнберга для SL(2,q) и их группы автоморфизмов // Мат.сборник - 1993. -Т. .- N. .-С.

5. Буриченко В.П. Об инвариантной реиетке тлла С2 // УМН -

1993. - Т.

- К. .- С.