Целочисленный квантовый эффект Холла и циклотронный резонанс в двумерном электронном газе с разъединенными уровнями Ландау тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

ГРЕШНОВ АНДРЕИ АНАТОЛЬЕВИЧ

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА И ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ С РАЗЪЕДИНЕННЫМИ УРОВНЯМИ ЛАНДАУ

Специальность 01.04.10 - физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

003450685

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Зегря Георгий Георгиевич

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Горбацевич Александр Алексеевич, Санкт-Петербургский физико-технологический научно-образовательный центр РАН. Доктор физико-математических наук, профессор Аверкиев Никита Сергеевич, Учреждение Российской академии наук Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН.

Ведущая организация: Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН

Защита состоится " 20 " ноября 2008 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.205.02 при Учреждении Российской академии наук Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН по адресу: 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Автореферат разослан п$0п г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Сорокин Л.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Двумерные полупроводниковые гетероструктуры являются в настоящее время предметом интенсивных экспериментальных п теоретических исследований и представляют собой динамично развивающуюся область физики полупроводников [1]. Движение носителей заряда в таких системах ограничено слоями гетероструктуры, что приводит к квантованию спектра носителей вдоль оси роста (эффекту размерного квантования). Варьирование параметров гетероструктур позволяет модифицировать вид спектра носителей, и тем самым управлять их оптическими и транспортными свойствами.

Приложение к полупроводниковым материалам магнитного поля является мощным инструментом, позволяющим экспериментально определить базовые параметры полупроводника, такие как тип и концентрация носителей, их эффективную массу [2],[3]. Этим и определяется актуальность теоретических и экспериментальных исследований оптических и транспортных свойств полупроводниковых материалов и гетероструктур на их основе в магнитных полях. Поскольку движение носителей в плоскости двумерной гетероструктуры не является, строго говоря, свободным, а сопровождается рассеянием на колебаниях кристаллической решетки, примесях и дефектах, для надежного определения параметров энергетического спектра необходимы сильные магнитные поля и низкие температуры.

Теория циклотронного резонанса, эффектов Холла, Шубникова-де Гааза, де Гааза-ван Альфена, разработанная для трехмерного случая, может быть непосредственно обобщена на случай двумерных гетероструктур лишь в области достаточно высоких температур и слабых магнитных полей. При низких температурах в сильных магнитных полях в двумерных гетероструктурах наблюдается квантовый эффект Холла - принципиально новое по сравнение с трехмерным случаем явление, открытое в 1980г. Клаусом фон Клнтцингом [4]. Сутью квантового эффекта Холла является наличие серии плато на зависимостях внедиаго-нальной (холловской) компоненты тензора проводимости от магннтно-

го поля или концентрации носителей, в области которых диагональная компонента тензора проводимости обращается в нуль. Актуальность диссертации обусловлена отсутствием последовательных микроскопических теорий, описывающих поведение компонент тензора проводимости двумерного электронного газа при низких температурах в зависимости от напряженности приложенного магнитного поля.

Целью работы является теоретическое исследование спектра носителей и вида одночастичных состояний в сильных магнитных полях с учетом хаотического потенциала, создаваемого случайно расположенными примесями и дефектами, изучение влияния вида хаотического потенци-ата на зависимости компонент тензора проводимости от магнитного поля и концентрации носителей, исследование эффектов самосогласованного электростатического потенциала в двумерных гетероструктурах с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитных полях, изучение особенностей циклотронного резонанса в разъединенных гетероструктурах II типа ЬгАз/СаБЬ.

Научная новизна работы состоит в решении следующих задач:

1. Определение спектров носителей и вида одночастичных состояний в сильных магнитных полях при наличии хаотического потенциала, корреляционная длина которого сравнима с магнитной длиной. Расчет спектров носителей в одиночных и двойных квантовых ямах в наклонном магнитном поле.

2. Расчет компонент тензора проводимости двумерного электронного газа в пределе сильного магнитного поля (разъединенных уровней Ландау) и анализ их зависимостей от фактора заполнения в случае резкого и плавного хаотических потенциалов.

3. Расчет спектров циклотронного резонанса в разъединенных гетероструктурах II типа 1пАз/СаЗЬ. Анализ влияния наклона магнитного поля на форму линии циклотронного резонанса.

4. Анализ эффектов самосогласованного электростатического потенциала в квантовых ям с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитных полях.

Практическая значимость работы заключается в том, что в ней впервые комплексно исследовано влияние вида хаотического потенциала примесей и дефектов на компоненты тензора проводимости двумерного электронного газа в случае сильного магнитного поля (разъединенных уровней Ландау); впервые аналитически описано влияние самосогласованного электростатического потенциала на спектр носителей в гетероструктурах с несколькими уровнями размерного квантования в присутствии сильного магнитного поля. Показано, что анализ поведения компонент тензора проводимости в сильных магнитных полях может быть полезен для определения параметров хаотического потенциала. Теоретическое исследование спектра носителей в наклонных магнитных полях позволило объяснить эффект подавления расщепления линии циклотронного резонанса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В квантовых ямах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования уровни Ландау, относящиеся к равным уровням размерного квантования, могут быть вырожденными в определенных диапазонах концентрации носителей и магнитных полей.

2. Пиковые величины продольной проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в случае резкого хаотического потенциала возрастают с номером уровня Ландау п. Име-

.. (п)

ет место приближенная линейная зависимость ахх от п, причем a(°J = (0.5-5 ± 0.03)e2//i, = (1.08 ± 0M)e2/h.

3. Увеличение корреляционной длины хаотического потенциала по сравнению с магнитной длиной приводит к увеличению ширины плато целочисленного квантового эффекта Холла и уменьшению пиковых величин продольной проводимости.

4. Наклон магнитного поля относительно оси роста приводит к подавлению расщепления линии циклотронного резонанса в разъединенных гетероструктурах InAs/'GaSb.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, университета г.Дарем (Великобритания), на между народных конференциях "Nanostructures: Physics and Technology" (С.-Петербург, 2003; Новосибирск, 2007), "International Conference on the Physics and Application of High Magnetic Fields in Semiconductor Physics" (Вюрцбург, Германия, 2006; Сан-Педро, Бразилия, 2008), "17th International Conference on Electronic Properties of Two-dimensional Systems" (Генуя, Италия, 2007), на VI и VIII Российских Конференциях по физике полупроводников (С.-Петербург, 2003; Екатеринбург, 2007).

Публикации. По результатам исследований, проведенных в диссертации, опубликовано 7 статей в реферируемых российских и зарубежных журналах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Она содержит 110 страниц текста, включая 28 рисунков и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 93 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цель и научная новизна работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту, а также изложена структура диссертации.

В первой главе выполнен исторический обзор литературы, посвященной теоретическим и экспериментальным исследованиям двумерного электронного газа в сильных магнитных полях. Раздел 1.1 посвящен обзору экспериментальных работ по наблюдению эффекта Шубникова-де Гааза в полупроводниковых структурах с двумерным электронным газом и теоретическим работам, в которых предложено описание двумерных шубниковских осцилляций в рамках так называемого самосогласованного борцовского приближения. Раздел 1.2 посвящен обзору теоретических работ по целочисленному квантовому эффекту Холла, концепции скейлннга и описанию эффекта в рамках нелинейной а-модели. Сформулированы главЕше выводы теории, область их приме-

нимости и возможности их проверки. Раздел 1.3 посвящен обзору работ, в которых экспериментальными и численными методами изучались пиковые величины продольной проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла. Показано, что имеется большой разброс в количественных данных различных литературных источников. Раздел 1.4 посвяшен обзору работ по циклотронному резонансу в полупроводниковых структурах с двумерным электронным газом в поперечном и наклонном магнитных полях. Обсуждается проблема ширины и формы линии циклотронного резонанса в сильных магнитных полях, а также эффект наклона магнитного поля.

Вторая глава диссертации посвящена спектру носителей заряда и структуре электронных состояний в двумерных гетероструктурах в сильных магнитных полях. В разделе 2.1 сформулирована модель двумерного электронного газа в сильном магнитном поле, в рамках которой проводятся дальнейшие исследования (помимо раздела 2.6). Рассматривается случай строго нулевой температуры Т = 0, межэлектронным взаимодействием и спин-орбитальными эффектами пренебрегается. Взаимодействие носителей заряда со случайно расположенными примесями и дефектами считается упругим и описывается с помощью двумерного хаотического потенциала У1тр(.г,у). Рассматривается случай разъединенных уровней Ландау, Г «С Йа;с (здесь Г - ширина уровней Ландау). Сформулированы критерии резкого и плавного хаотического потенциалов в терминах корреляционной длины хаотического потенциала Л и магнитной длины ац = у/Нс/еВ: А -С а я соответствует случаю резкого хаотического потенциала, А » гс = у/2п + 1«н - случаю плавного хаотического потенциала. Случай плавного хаотического потенциала реализуется экспериментально в модуляциошю-легированных квантовых ямах на основе чистого материала (обычно ОаАя), случай резкого хаотического потенциала - в квантовых ямах на основе твердых растворов, например 1пд:Са1_.тАз. В разделе 2.2 предложен подход к вычислению плотности состояний в сильном магнитном поле, основанный на методе моментов [о]. Данный подход является строго математически обоснованным, в отличие от так называемого самосогласованного борцовского

приближения, предложенного в работе [6]. Кроме того, в разделе 2.2 рассматривается вопрос о подмешивании уровней Ландау, учет которого в главном порядке по Т/Ншс необходим для последующих расчетов компонент тензора проводимости. В разделах 2.3 и 2.4 подробно изучены случаи плавного хаотического потенциала, А > гс = \/2п + 1 ан, и резкого хаотического потенциала, А -С ая- Проанализирована структура гамильтониана, плотность состояний, вид волновых функций на последовательных уровнях Ландау, подмешивание уровней Ландау. Показано, что в случае плавного хаотического потенциала плотность состояний н вид волновых функций на последовательных уровнях Ландау повторяются (в пределе \/гс —* оо). Для случая резкого хаотического потенциала получены точные аналитическое выражения для второго £>(2) и четвертого моментов плотности состояний. Показано, что = Г2 не зависит от номера уровня Ландау п, а £>(4) при больших п>1 может быть представлено в виде

0<4'~(2 + + (1) пп

где А « 0.203, В « 0.676. В разделе 2.5 предложена модель равномерно делокализованных уровней Ландау, в рамках которой считается, что коэффициенты разложения Спак, точных волновых функций по базисным, = ^2кСпак\пк), являются случайными, некоррелированными величинами. Показано, что такая модель приводит к правильному ответу для степени подмешивания уровней Ландау, но не для плотности состояний на каждом из уровней Ландау.

Раздел 2.6 посвящен вопросу о влиянии самосогласованного электростатического потенциала Ф(г) в квантовых ямах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования на структуру уровней Ландау. Результаты расчетов энергии носителей от магнитного поля представлены на рис. 1 для поперечной и наклонной ориентаций магнитного поля на примере прямоугольной квантовой ямы СаАв шириной

200А.

Как хорошо видно из рис. 1(а), в определенной области магнитных полей В и концентраций носителей пв уровни Ландау, относящиеся к разным подзонам размерного квантования, могут быть вырожденны-

Magnetic field B(T) Magnetic field B(T)

Рис. 1: Спектр электронных состояний вблизи точки пересечения первого возбужденного уровня Ландау, относящегося к основной подзоне размерного квантования, и основного уровня Ландау, относящегося к первой возбужденной подзоне размерного квантования, для различных концентраций носителей, (а) - поперечное магнитное поле, ol — 0Э, (Ь) - наклонное магнитное поле, а = 2°.

,\ш и иметь отрицательный наклон, который может быть вычислен аналитически для прямоугольной и параболической квантовых ям,

dhu}c dhu)c ^ ° ^

Многочастичное состояние, отвечающее режиму вырожденных уровней Ландау, является энергетически выгодным благодаря перераспределению заряда между двумя уровнями размерного квантования и соответствующему уменьшению кулоновской энергии. При этом расстояние между последовательными уровнями Ландау, принадлежащими одному уровню размерного квантования, остается равным fuic, в согласии с теоремой Кона [7]. Как видно из рис. 1 (Ъ), наклон магнитного поля относительно оси роста приводит к открытию энергетической щели между ранее вырожденными уровнями, при этом величина щели остается постоянной в тех же областях концентрации/магнитного поля.

Третья глава диссертации посвящена целочисленному квантовому эффекту Холла в резком и плавном хаотическом потенциале. В раз-

деле 3.1 сформулирована модель, в рамках которой проводится расчет компонент тензора проводимости двумерного электронного газа в сильных магнитных полях, дан вывод формул линейного отклика с учетом специфики систем конечных размеров. В частности, для расчета диагональной компоненты ахх удобно использовать следующее выражение:

ахх^пе2П802(ЕР){\кх\2}, (3)

где Б(Ер) - плотность состояний на уровне Ферми, - усреднен-

ный по поверхности Ферми квадрат матричного элемента оператора скорости, отличный от нуля в меру подмешивания уровней Ландау, т.е. параметра Г//га>с. В разделе 3.2 изучено влияние асимметричности хаотического потенциала на вид квантово-холловских кривых на примере отдельных примесей с гауссовским потенциалом У (г) = 1го ехр(—г2/¿2). В зависимости от соотношения между числом притягивающих (V?) < 0) и отталкивающих (Т-о > 0) примесей факторы заполнения, соответствующие переходам между последовательными плато целочисленного квантового эффекта Холла, смешаются в левую или правую сторону относительно полуцелых значений, характерных для симметричного потенциала. Как показывает анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных, существенное (до 30-40%) отличие критических факторов заполнения от полуцелых значений действительно имеет место в реальных структурах. Кроме того, асимметричность хаотического потенциала негативно сказывается на качестве квантово-холловских кривых, наиболее четкая картина целочисленного квантового эффекта Холла получена в расчетах для симметричного плавного потенциала (бралось (I = 2а#). В разделе 3.3 выполнен анализ влияния конечных размеров образца на точность квантования холловской проводимости аху. Хорошо известно, что строгое доказательство квантования сгху опирается на усреднение результата по всевозможным (периодическим, антипериодическим и т.д.) граничным условиям [8]. В области достаточно низких температур проводимость образцов малых ("мезоскоипческих") размеров является уникальной характеристикой образца, отражающей распределение имеющихся в структуре примесей и дефектов [9], а зна-

0.8

? о,: (а) ..

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Filling factor v

Рис. 2: Зависимости продольной и холловской проводимости от фактора заполнения v для (а) ~ плавного, Л = 4йд, (Ь) - резкого, Л — 0.25ац, хаотического потенциала.

чит соответствующего усреднения не происходит. Данные численных расчетов по отклонению аху на плато от квантованного значения хорошо аппроксимируются следующей формулой:

где Ь ~ 0.7. В случае образцов больших (макроскопических) соответствующая поправка оказывается ничтожной, что согласуется с экспериментально наблюдаемой точность квантования, в то время как для образцов с размерами порядка 10 4ст 5аху может составлять 10 3 —10 2. Подобные отклонения наблюдались экспериментально в работе [10].

В разделе 3.4 изучено влияние формы хаотического потенциала на зависимости продольной и холловской проводимостей от фактора заполнения. На рис. 2 представлены результаты расчетов для (а) - плавного, А = 4ан и (Ь) - резкого, А = 0.25ан, хаотического потенциалов. В случае плавного хаотического потенциала все 4 показанных на рис. 2(а)

(4)

000 0625 0 125 0 25

05 1

XI а,

н

Рис. 3: Зависимость величины первого пика, ст^-х от отношения корреляционной длины хаотического потенциала А к магнитной длине ац.

плато холловской проводимости аху ярко выражены, имеют практически максимальную ширину. Пиковые величины продольной проводимости ахх не зависят от номера уровня Ландау п, составляя около 0.35е2//г при Л = 4а# и уменьшаясь с ростом А. Слабая зависимость пиков продольной проводимости от номера уровня Ландау и величины пиков находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. В случае резкого хаотического потенциала лишь первое плато холловской проводимости аху на рис. 2(Ь) является ярко выраженным, ширина же высших плато быстро уменьшается с ростом номера уровня Ландау п, что свидетельствует о сильном подавлении локализации на возбужденных уровнях Ландау п ^ 1, также в хорошем согласии с экспериментом.

Раздел 3.5 посвящен пиковым величинам продольной проводимости для резкого и плавного хаотических потенциалов. В случае плавного хаотического потенциала имеются два вклада в пиковые величины ахх, один из которых происходит из подмешивания вышележащего уровня Ландау и пропорционален п + 1, а другой - нижележащего и пропорционален п, в результате частичного сокращения двух вкладов результат оказывается не зависящим от п. Кроме того, поскольку подмешивание уровней Ландау происходит в меру характерных волновых векторов q, присутствующих в фурье-образе хаотического потенциала, результат

0.55

0.54

0.53

0.52

051

CJ

0.50

Ь 0.49

0.48

0.47

0.46

. ........т ---1-

«О Q

'■ ■О.

0.00

0.01

0 02

0.03

an/L

0.04

0 05

Рис. 4: Зависимость величины первого пика <т>г' в пределе резкого хаотического потенциала от обратного размера образца \/Ь. Пунктирная кривая соответствует

зависимости (L)

: (Jix (СЮ) •

aL 4, где <тЮ(эо) = 0.5oe2//i, у = 0.5.

оказывается также обратно пропорциональным корреляционной длине хаотического потенциала А,

ос const ■ А-2. (о)

Независимость <ri"' от номера уровня Ландау и убывание с ростом А находятся в согласии с численными данными, представленными на рис. 2(a) и рис. 3. В случае резкого хаотического потенциала анализ пиков ахх требует нетривиальных предположений о структуре уровней Ландау. В частности, применение описанной в разделе 2.5 модели равномерно делокализованных уровней Ландау для расчета матричного элемента оператора скорости в формуле (3) и "полукруглой" плотности состояний [6] приводит к ответу

7Г П

что дает для первого пика (п = 0) значение ег£^ = 1/тг « 0.32е2/Л, существенно меньшее экспериментально наблюдаемого 0.5с2//г). Подстановка в формулу (3) точного выражения для максимума плотности состояний на основном уровне Ландау [11] приводит к значению

¿У

и 0.41е2//;. Экстраполяции численных данных к бесконечному размеру образца L -+ ос дает = (0.55 ± 0.03)е2/Л (см. рис. 4).

Таким образом, усредненный квадрат матричного элемента оператора скорости в центре основного уровня Ландау оказывается больше найденного в модели равномерно делокализованных уровней Ландау, (Kí2)exact ~ ^(M^deLo что компенсирует обращение (|?;х|2) в нуль (локализацию) на хвостах уровней Ландау. Для первого возбужденного уровня Ландау численный расчет дает значение ai1) = (1.08±0.04)e2/ft, также существенно превосходящее 0.96е2//г, рассчитанное по формуле (С).

В четвертой главе изучены особенности циклотронного резонанса в двумерном электронном газе в поперечном и наклонном магнитных полях. Раздел 4.1 посвящен спектру носителей заряда в одиночных и двойных квантовых ямах, помещенных в наклонное магнитное поле. Полное разделение переменных в такой задаче возможно лишь в специальном случае параболического потенциала конфайнмента, в случае прямоугольных квантовых ям продольная компонента магнитного поля обычно трактуется по теории возмущений либо применяются численные методы. Однако для описания основного состояния, представляющего главный интерес в сильных магнитных полях, возможно использование вариационной волновой функции

Вариационные параметры a,b = tan¡¿? и с имеют наглядный физический смысл - они описывают изменение эффективной магнитной длины, наклон циклотронной траектории относительно плоскости квантовой ямы и сжатие волновой функции вдоль оси квантовой ямы, характерное для случая продольного магнитного поля. Наиболее простая форма ответа может быть получена, если из трех вариационных параметров оставить только Ь,

/?,27Г2 1 / /22 SÍn2 (У \

Е0 =-- + -Пшс cos а 1 + -------- , (8)

2 т*12 2 V 2cosa(ß0 + ßcosa)J w

где ß = eBÍ2/(Ahe), I - ширина квантовой ямы, ßo — 37г2/[2(тг2—6)] и 3.8. В случае двойной квантовой ямы со слабопроницаемым барьером главный эффект наклонного магнитного поля сводится к сдвигу состояний в

15 20 25 30 ю 15 20 25 30 Е (теУ) Е (теУ)

Рис. 5: Спектры циклотронного резонанса в гетероструктуре 1пА8/СаЗЬ в (а) поперечном магнитном поле; (Ь) наклонном магнитном поле.

каждой из ям на расстояние ¿1аи(а)/2 вдоль проекции наклонного магнитного поля на плоскость квантовой ямы (здесь I - ширина каждой из ям). В результате зависимость энергетического расщепления между нижними уровнями от угла наклона а имеет вид:

Д_ До

: ехр

/Эйт а

соза(1 + ¡ЗсоБа/ро)

(9)

где Ад - расщепление в нулевом магнитном поле.

В разделе 4.2 изучено влияние наклона магнитного поля на циклотронный резонанс в разъединенных гетероструктурах II типа 1пАз/СаЗЬ. Экспериментальные данные по циклотронному резонансу, приведенные на рис. о, показывают, что расщепление линии циклотронного резонанса, имеющее место в поперечных магнитных полях, исчезает при повороте магнитного поля на угол а « 60°. Причиной расщепления линии служит подмешивание электронных состояний из квантовой ямы 1пАв и дырочных состояний из слоя СаБЬ на гетерогранице. Расчеты величины расщепления, проведенные в рамках восьмизонной модели Кейна, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными.

1.0

(со-сас)/(<У2(г)>)"2

Рис. 6: Форма линии циклотронного резонанса (а) и совместной плотности состояний нижних уровней Ландау (Ь) для хаотических потенциалов с разным отношением корреляционной длины А к магнитной длине «я при фиксированной амплитуде хаотического потенциала V = г))-

Поскольку экспериментально наблюдаемая величина расщепления составляет 1-2 теУ, т.е. много меньше энергий электронных и дырочных состояний самих по себе, гетерограница 1пАя/Са8Ь играет роль слабопроницаемого барьера, и для оценки влияния наклона магнитного поля может быть использована формула (9). В результате Д/До ~ 0.3, т.е. наклон магнитного поля на 00° приводит к трехкратному уменьшению величины расщепления, которое экспериментально не детектируется.

Раздел 4.3 посвящен вопросу о влиянии вида хаотического потенциала примесей и дефектов на форму и ширину линии циклотронного резонанса в области наиболее низких температур (в режиме целочисленного квантового эффекта Холла). В наиболее простом приближении можно пренебречь корреляциями в структуре соседних уровней Ландау, опти-

ческие переходы между которыми и определяют форму линии и воспользоваться для расчета усредненного квадрата матричного элемента моделью равномерно делокалнзованных уровней Ландау, описанной в разделе 2.5. В этом приближении коэффициент поглощения определяется сверткой плотностей состояний уровней Ландау с номерами п и п + 1,

Сравнение результатов численных расчетов формы линии циклотронного резонанса с последовательным учетом локализации носителей и по формуле (10) представлено на рис. 6 для хаотических потенциалов с различным отношением корреляционной длины к магнитной длине А/ад. Как видно из сравнения рис. 6(а) и рис. 6(Ь), соотношение (10), отождествляющее ширину линии циклотронного резонанса и ширину уровней Ландау, приближенно выполняется лишь для случая резкого хаотического потенциала, А «я- При увеличении А совместная плотность состояний несколько уширяется, в то время как ширина липни циклотронного резонанса быстро убывает, при А = ад ширины спектров отличаются уже более чем в три раза. Причиной резкого уменьшения ширины линии циклотронного резонанса с ростом параметра А/ая служит квазиклассический характер локализации в случае плавного хаотического потенциала, при этом разрешены оптические переходы лишь между состояниями, разность энергий которых мало отличается от циклотронной по сравнению с шириной уровней Ландау. Таким образом, вид хаотического потенциала примесей и дефектов существенно сказывается не только на качестве плато целочисленного квантового эффекта Холла и пиковых величинах продольной проводимости, но и на форме и ширине линии циклотронного резонанса. В Заключении обобщены основные результаты работы:

1. Аналитически и численно изучен спектр носителей заряда и структура двумерных электронных состояний в сильном магнитном поле в рамках модели невзаимодействующих носителей, находящихся в хаотическом потенциале примесей и дефектов, амплитуда которого мень-

ше циклотронной энергии. Предложен подход к вычислению плотности состояний, основанный на методе моментов.

2. Предложена модель равномерно делокализованных уровней Ландау, в рамках которой коэффициенты разложения волновых функций, отвечающих движению в магнитном поле и хаотическом потенциале, по базисным волновым функциям считаются случайными величинами, некоррелированными с конкретной реализацией хаотического потенциала. Показано, что в рамках такой модели получается правильный ответ для степени подмешивания уровней Ландау, но не для плотности состояний.

3. Изучено влияние самосогласованного электростатического потенциала на спектр двумерных электронных состояний в сильном магнитном ноле при условии заполнения более чем одной подзоны размерного квантования. Показано, что в случае строго поперечной ориентации имеются диапазоны концентраций/магнитных полей, в которых реализуется вырождение двух или более уровней Ландау, относящихся к разным подзонам размерного квантования. Наклон магнитного поля относительно оси квантовой ямы приводит к возникновению энергетической щели между этими уровнями, однако величина щели остается практически постоянной в том же диапазоне параметров.

4. Изучено влияние асимметричности хаотического потенциала на квантово-холловские кривые. Показано, что асимметрия хаотического потенциала приводит к двум эффектам: уменьшению ширины плато целочисленного квантового эффекта Холла и сдвигу факторов заполнения, соответствующих переходам между соседними плато, в сторону больших или меньших целых значений в зависимости от притягивающего или отталкивающего характера потенциала превалирующих примесей.

5. Показано, что вид хаотического потенциала примесей оказывает существенное влияние на зависимости компонент тензора проводимости от фактора заполнения. В случае плавного хаотического потенциала плато целочисленного квантового эффекта Холла ярко выражены, а их ширина практически не зависит от номера плато. Пиковые всличи-

ны продольной проводимости в этом случае также не зависят от номера уровня Ландау п, уменьшаясь с ростом корреляционной длины потенциала Л.

6. Уменьшение корреляционной длины хаотического потенциала А приводит к сужению квантово-холловских плато вследствие ухудшения условий локализации. В случае резкого хаотического потенциала ярко выраженными остаются лишь несколько первых плато, а пнковые величины продольной проводимости приобретают приближенно линейную зависимость от номера уровня Ландау п. Величина первого пика, соответствующего п = 0, составляет 0.55е2//;, второго пика, соответствующего п = 1, равна 1.08е2/Л.

7. Показано, что отличие рассчитанного пикового значения аХх ~ 0.5ое2//г от предсказываемого в рамках самосогласованного борновско-го приближения значения 0.32е2//г связано с двумя факторами - поправкой к квадрату плотности состояний, составляющей 28%, и поправкой к усредненному квадрату матричного элемента оператора скорости, составляющей 35%.

8. Изучен спектр электронных состояний в одиночной и двойной прямоугольных квантовых ямах в наклонном магнитном поле. Предложена наглядная вариационная волновая функция, с высокой точностью описывающая энергию основного состояния. Получена простая формула для оценки степени подавления расщепления симметричного и антисимметричного состояний в двойных квантовых ямах наклонным магнитным полем.

9. Показано, что наклонное магнитное поле подавляет экспериментально наблюдаемое в разъединенных гетероструктурах II типа ЬьАз/СаБЬ расщепление линии циклотронного резонанса, связанное с подмешиванием электронных и дырочных состояний.

10. Изучен циклотронный резонанс в условиях целочисленного квантового эффекта Холла. Показано, что вид хаотического потенциала примесей и дефектов существенно влияет на ширину и форму линии циклотронного резонанса.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

[Al] АА. Грешнов, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря. Пиковые величины продольной проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла для резкого и плавного хаотических потенциалов // ЖЭТФ 134, 577-586 (2008).

[А2] A. A. Greshnov, G.G. Zegrya. Theory of axx peaks in the IQHE regime with correlated disorder potential // Physica E 40, 1185-1188 (2008).

[A3] А. А. Грешнов, Г.Г. Зегря. Целочисленный квантовый эффект Холла в коррелированном хаотическом потенциале // ФТП 41, 13471352 (2007).

[А4] А.А. Грешнов, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря. Точность квантования холловской проводимости в образце конечных размеров: степенной закон // ФТП 40, 93-97 (2006).

[А5] А.А. Грешнов, Г.Г. Зегря, Ю.Б. Васильев, С.Д. Сучалкин, Б.Ю. Мельцер, С.В. Иванов, П.С. Кольев. Циклотронный резонанс в гетероструктуре InAs/GaSb в наклонном магнитном поле // Письма ЖЭТФ 76, 258-262 (2002).

[А6] A.A. Greshnov, E.N. Kolesnikova, G.G. Zegrya. Spectrum of carriers and optical properties of 2d heterostructures in tilted magnetic field // Int. J. Nanosci. 2, 401-404 (2003).

[A7] А.А. Грешнов, Г.Г. Зегря. Эффекты самосогласованного электростатического потенциала в квантовых ямах с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитным полях // ФТП 42, 994-997 (2008).

Список литературы

[1] Shik A. Quantum Wells: Physics and Electronics of Two-dimensional Systems. — World Scientific, 1997.

[2] Вонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — М. Наука, 1990.

[3] Landau Level Spectroscopy / Ed. by G. Landwehr, E. I. Rashba. — North-Holland, 1990.

[4] von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. Realization of a resistance standart based on fundamental constants // Phys. Rev. Lett. — 1980. — Vol. 45. - P. 494.

[5| Kuehnel F., Pryadko L. P., Dykman M. I. Single-electron magnetoconductivity of a nondegenerate two-dimensional electron system in a quantizing magnetic field // Phys. Rev. В.— 2001.— Vol. 63. - P. 1G5326.

[6] Ando Т., Uemura Y. Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. I. Characteristics of level broadening and transport under strong fields /'/ J. Phys. Soc. Jpn. - 1974. - Vol. 36. - P. 959.

[7] Kohn W. Cyclotron resonance and de Haas-van Alphen oscillations of an interacting electron gas // Phys. Rev. — 1961. — Vol. 123. — P. 1242.

[8] Niu Q., Thouless D. J., Wu Y.-S. Quantized Hall conductance as a topological invariant /'/ Phys. Rev. В. — 1985. — Vol. 31.— P. 3372.

[9] Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics.— Oxford University-Press, 1997.

[10] Cobden D. H., Kogan E. Measurement of the conductance distribution function at a quantum Hall transition // Phys. Rev. В. — 1996.— Vol. 54.-P. R17316.

[11] Wegner F. Exact density of states for lowest Landau level in white noise potential superfield representation for interacting systems // Z. Phys. В. — 1983.-Vol. 51.— P. 279.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 16.10.2008 Формат 60x84/16 Печать цифровая Усл. печ. л. 1,5 Уч.-изд л 1,5. Тираж 100. Заказ 3558Ь

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного составителем, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс. (812) 297-57-76

Введение

1 Исторический обзор

1.1 Эффект Шубникова-де Гааза в двумерном электронном газе, самосогласованное борновское приближение.

1.2 Целочисленный квантовый эффект Холла, скейлинг и нелинейная

7-модель

1.3 Пиковые величины продольной проводимости: эксперимент и численные расчеты

1.4 Циклотронный резонанс в двумерном электронном газе в поперечном и наклонном магнитных полях.

1.5 Выводы.

2 Спектр носителей и структура двумерных электронных состояний в сильных магнитных полях

2.1 Модель уширенных разъединенных уровней Ландау.

2.2 Плотность состояний и подмешивание уровней Ландау.

2.3 Плавный хаотический потенциал

2.4 Резкий хаотический потенциал.

2.5 Модель равномерно делокализованных уровней Ландау.

2.С Спектр носителей к магнитном ноле с учетом самосогласованного электростатического по1енциала в квантовых ямах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования.

2.7 Выводы.

Целочисленный квантовый эффект Холла в резком и плавном хаотическом потенциале

•3.1 Формулы линейного отклика для расчета компонент тензора проводимости в системе конечных размеров.

3.2 Влияние асимметричности хаотического потенциала па вид зависимости холловской проводимости от фактора заполнения.

3.3 Анализ точноеi и квантования холловской проводимости в образцах конечных размеров

3.4 Зависимое1ь продольной и холловской проводи мое:ей от корреляционной дчины хаотического потенциала.

3.5 Пиковые величины продольной проводимости для резкого и плавного хаотических по1енциалов

3.G Выводы.

Циклотронный резонанс в двумерных полупроводниковых гетероструктурах в поперечном и наклонном магнитных полях

4.1 Втияние наклонного магнитного поля на спектр носителей в одиночных и двойных квантовых ямах.

4.2 Циклотронный резонанс в разъединенных гетерострук iypax II 1ипа в наклонном магнитном иоле.

1.3 Циклотронный резонанс в режиме целочисленного квантового эффекта Холла.

4.4 Выводы.

Актуальность темы диссертации.

Двумерные полупроводниковые гетероструктуры являются в настоящее время предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований и представляют собой динамично развивающуюся область физики полупроводников [1]. Движение носителей заряда в таких системах ограничено слоями гетероструктуры, что приводит к квантованию спектра носителей вдоль оси pocia (эффекту размерного квантования). Варьирование параметров гетероструктур позволяет модифицировать вид спектра носителей, и тем самым управлять их оптическими и транспортными свойствами.

Приложение к полупроводниковым материалам магнитного поля является мощным инструментом, позволяющим экспериментально определить базовые параметры полупроводника, такие как тип и концентрация носителей, их эффективную массу l2],[3j. Этим и определяется актуальность теоретических и экспериментальных исследований оптических и транспортных свойств полупроводниковых материалов и гетероструктур на их основе в магнитных нолях. Поскольку движение носителей в плоское Iи двумерной гетероструктуры не является, строго говоря, свободным, а сопровождается рассеянием на колебаниях кристаллической решетки. примесях и дефектах, для надежного определения параметров энер1 е1ического спектра необходимы сильные магнитные поля и низкие температуры.

Теория циклотронного резонанса, эффектов Холла, Шубникова-де Гааза, де Гааза-вап Альфена, разработанная для трехмерного случая, может быть непосредственно обобщена на случай двумерных гетероструктур лишь в области достаточно высоких jемпрратур и слабых магнитных полей. При низких температурах в сильных магнитных полях в двумерных гетероструктурах наблюдается квантовый эффект Холла - принципиально новое по сравнение с трехмерным случаем явление, открыюе в 1980г. Клаусом фон К шщингом [4]. С>1ью квантовою эффекта Холла является наличие серии плато па зависимостях внедпагопалыюй (холлов-ской) компоненты тензора проводимое!и от магнитною поля или концентрации носителей. в области коюрых диагональная компонента тензора проводимое iи обращае1ся в нуль. Актуальность диссер та ни и обусловлена отсутствием последовательных микроскопических теорий, описывающих поведение компонен т тензора проводимости двумерного электронною газа при низких температурах в зависимости in напряженности приложенного магнитного поля.

Целью работы является теоретическое исследование спектра носителей и вида одночастичных состояний в сильных магнитных полях с учетом хаотическою потенциала, создаваемого случайно расположенными примесями и дефектами, изучение влияния вида хаотического потенциала на зависимости компонент ien-зора проводпмо< ш си магнитного поля и концентрации постелен, исследование эффектов самосогласованною элеклростатического потенциала в двумерных j е-тероструктурах с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитных полях, изучение особенностей циклотронного резонанса в разъединенных rejероструктурах II типа IriAs/GaSb.

Па\чпая новизна работы cocjohi в решении следующих задач:

J. Определение спектров носителей и вида одночастичных соеюяний в сильных магнитных полях при наличии хаотического потенциала, корреляционная длина которого сравнима с магнитной длиной. Расчет спектров носителей в одиночных н двойных кванювых ямах в наклонном магнитном поле.

2. Расчет компонент тензора проводимости двумерного электронного газа в пределе сильного магнитного поля (разъединенных уровней Ландау) и анализ их зависимостей от фактора заполнения в случае резкого и плавного хаотических потенциалок.

3. Расчет спектров циклотронного резонанса в разъединенных гетерострукту-рах II типа InAs/GaSb. Анализ влияния наклона магнитного поля на форму линии циклоjронного резонанса.

4. Анализ эффектов с а i о с о г; i а с о в a i п i о г о электростатического потенциала в квантовых ям с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитных полях.

Практическая значимость работы заключается в том, что в ней впервые комплексно исследовано влияние вида хаотического потенциала примесей и дефектов на компонент тензора проводимости двумерного элекiронного газа в случае сильного магнитного поля (разъединенных уровней Ландау); впервые аналитически описано влияние самосогласованного электростатическою потенциала па спектр носите тон в гетероструктурах с несколькими уровнями размерного кван-швания в прису тствии сильного магнитного поля. Показано, что анализ поведения компонент тензора проводимости в сильных магнитных нолях может быть полезен для определения параметров хаотического потенциала. Теоретическое исследование спектра носителей в наклонных магнитных полях позволило объяснить эффект подавления расщепления .линии циклотронного резонанса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В квантовых ямах с несколькими заполненными уровнями размерного квантования уровни Ландау, относящиеся к разным уровням размерного квантования, могут быть вырожденными в определенных диапазонах концентрации носителей и магнитных полей.

2. Пиковые величины продольной проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в случае резкого хаотического потенциала возрастают с номером уровня Ландау п. Имеел место приближенная линейная зависимость <т£) от л, причем <т£} = (0.55±0.03)с:2/h, <7$ = (1-08±0.04)е2/Л

3. Увеличение корреляционной длины хаотического потенциала по сравнению с магнитной длиной приводит к увеличению ширины плато целочисленного квантового эффекта Холла и уменьшению пиковых величин продольной проводимости.

4. Наклон магнитного поля относительно оси роста приводит к подавлению расщепления линии циклотронного резонанса в разъединенных гетерострук-турах InAs/GaSb.

Апробация работы. Результаты работы докладывались па научных семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, университета г.Дарем (Великобритания), на международных конференциях "Nanostructures: Physics and Technology" (С.-Петербург, 2003; Новосибирск, 2007), ''International Conference on the Physics and Application of High Magnetic Fields in Semiconductor Physics" (Вюрцб.ург, Германия, 200G; Сан-Педро. Бразилия, 2008), "17th International Conference on Electronic Properties of Two-dimensional Systems" (Генуя, Италия, 2007), на VI и VIII Российских Конференциях по физике полупроводников (С.-Петербург, 2003; Екатеринбург, 2007).

Публикации. По результатам исследований, проведенных в диссертации, опубликовано 7 статей в реферируемых российских и международных журналах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка литературы. Она содержит 110 страниц текста, включая 28 рисунков и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 93 наименования.

4.4 Выводы

• Изучен спектр электронных состояний в одиночной и двойной прямоугольных квантовых ямах в наклонном магнитном поле. Предложена наглядная вариационная волновая функция, с высокой точностью описывающая энергию основного состояния. Получена простая формула для оценки степени подавления расщепления симметричного и антисимметричного состояний в двойных кванювых ямах наклонным магнитным полем.

• Показано, что наклонное магнитное поле подавляет экспериментально наблюдаемое в разъединенных гетероетруктурах II типа InAs/GaSb расщепление линии циклотронного резонанса, связанное с подмешиванием электронных и дырочных состояний.

• Изучен циклотронный резонанс в условиях целочисленного квантового эффекта Холла. Показано, что вид хаотического потенциала примесей и дефектов существенно влияет на ширину и форму линии циклотронного резонанса. Сильный рост отношения ширины уровней Ландау к ширине линии циклотронного резонанса обнаружен уже при значении параметра А/га# > 0.5.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Аналитически и численно изучен спектр носителей заряда и структура двумерных электронных состояний в сильном магнитном поле в рамках модели невзаимодействующих носителей, находящихся в хаотическом потенциале примесей и дефектов, амплитуда которого меньше циклотронной энергии. Предложен подход к вычислению плотности состояний, основанный на методе моментов.

• Показано, что в случае плавного хаотического потенциала имеется сильная корреляция в структуре последовательных уровней Ландау, которая связана с квазиклассическим характером движения в плавном потенциале и может быть использована в аналитических расчетах. В случае резкого хаотического потенциала такого рода корреляции отсутствуют.

• Предложена модель равномерно делокализованных уровней Ландау, в рамках которой коэффициенты разложения волновых функций, отвечающих движению в магнитном поле и хаотическом потенциале, по базисным волновым функциям считаются случайными величинами, некоррелированными с конкретной реализацией хаотического потенциала. Показано, что в рамках такой модели получается правильный ответ для степени подмешивания уровней Ландау, но не для плотности состояний.

• Изучено влияние самосогласованного электростатического потенциала на спсктр двумерных электронных состояний в сильном магнитном поле при условии заполнения более чем одной подзоны размерного квантования. Показано, что в случае строго поперечной ориентации имеются диапазоны концентраций/магнитных полей, в которых реализуется вырождение двух или более уровней Ландау, относящихся к разным подзонам размерного квантования. Наклон магнитного поля относительно оси квантовой ямы приводит к возникновению энергетической щели между этими уровнями, однако величина щели остается практически постоянной в том же диапазоне параметров.

• Изучено влияние асимметричности хаотического ио1енциала па кваптово-холловс кие кривые. Показано, что асимметрия хаотического потенциала приводит к двум эффектам: уменьшению ширины плато целочисленного квантового эффекта Холла и сдвигу факторов заполнения, соответствующих переходам между соседними плато, в сторону больших или меньших целых значений в зависимости от притягивающего или отталкивающего характера потенциала превалирующих примесей.

• Показано, что вид хаотического потенциала примесей оказывает существенное влияние па зависимости компонент тензора проводимости от фактора заполнения. В стучае плавного хаотического потенциала плато целочисленного квантового эффекта Холла ярко выражены, а их ширина практически не зависит от номера плато. Пиковые величины продольной проводимости в этом случае также не зависят1 от номера уровня Ландау л, уменьшаясь с ростом корреляционной длины потенциала А.

• Уменьшение корреляционной длины хаотического потенциала А приводит' к сужению квантово-холловских плато вследствие ухудшения условий локализации. В случае резкого хаотического потенциала ярко выраженными остаются лишь несколько первых плато, а пиковые величины продольной проводимости приобретают приближенно линейную зависимость от номера уровня Ландау п. Величина первого пика, соответствующею л = 0, составляет 0.55e2//i. второго пика, соответствующего n = 1, — 1.08е2//г.

• Показано, что отличие рассчитанного пикового значения a^J ~ 0.55е2//г от предсказываемого в рамках самосогласованного борновского приближения значения 0.32е2 jh связано с двумя факторами - поправкой к квадрату плотное i и состояний, составляющей 28%, и поправкой к усредненному квадрату матричного элемента оператора скорости, составляющей 35%.

• Изучен спектр электронных состояний в одиночной и двойной прямоугольных квантовых ямах в наклонном магнитном поле. Предложена наглядная вариационная волновая функция, с высокой точностью описывающая энергию основного состояния. Получена простая формула для оценки степени подавления расщепления симметричного и антисимметричного состояний в двойных квантовых ямах наклонным магнитным полем.

• Показано, что наклонное магнитное поле подавляет экспериментально наблюдаемое в разьединенных гетероструктурах II тина InAs/GaSb расщепление липни циклотронного резонанса, связанное с подмешиванием электронных и дырочных состояний.

• Изучен циклотронный резонанс в условиях целочисленного квантового эффекта Холла. Показано, что вид хаотического потенциала примесей и дефектов существенно влияет на ширину и форму линии циклотронного резонанса. Сильный рост отношения ширины уровней Ландау к ширине линии цикло-тронпою резонанса обнаружен уже при значении параметра А/ан> 0.5.

Публикации автора по теме диссертации

А1] А.А. Грешной, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря. Пиковые величины продольной проводимости в режиме целочисленного квантового эффекта Холла для резкого и плавного хаошческих потенциалов // ЖЭТФ 134, 577-586 (2008).

А2] A.A. Greshnov, G.G. Zegrya. Theory of aXT peaks in the IQHE regime with correlated disorder potential // Physica E 40, 1185-1188 (2008).

A3] А.А. Грешное, Г.Г. Зегря. Целочисленный квантовый эффект Холла в коррелированном хаотическом потенциале // ФТП 41, 1347-1352 (2007).

А4] А.А. Грешное, Э.Н. Колесникова, Г.Г. Зегря. Точность квантования холловской проводимости в образце конечных размеров: степенной закон // ФТП 40. 93-97 (2006).

А5] А.А. Грешной, Г.Г. Зегря, Ю.Б. Васильев, С.Д. Сучалкин, Б.Ю. Мель-цер, С.В. Иванов, II.С. Копьев. Циклотронный резонанс в гетерост рукту-ре InAs/GaSb в наклонном магнитном поле // Письма ЖЭТФ 76, 258-262 (2002).

А6] A.A. Greshnov, E.N. Kolesnikova, G.G. Zegrya. Spectrum of carriers and optical properties of 2d heterostructures in tilted magnetic field // Int. J. Nanosci. 2, 401-404 (2003).

A7| А.А. Грешпов. Г.Г. Зегря. Эффекты самосогласованного электростатического потенциала в квантовых ямах с несколькими уровнями размерного квантования в сильных магнитным полях // ФТП 42, 994- 997 (2008).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Г.Г. Зегря. Работа под его руководством, его внимание и постоянная поддержка были для меня очень важны. Большое влияние на работу в секторе теоретических основ микроэлектроники всегда оказывало общение с его сотрудниками и участие в семинарах.

Также я признателен участникам Низкоразмерного и Чайного семинаров ФТИ. Обсуждение на этих семинарах работ, вошедших в диссертацию, принесло мне большую пользу.

Я блат одарен М.М. Глазову, Р.А. Су рису, Н.С. Аверкиеву, П.С. Шлерни-п\. В.Ю. Качороискому. А.11. Дмитриеву, М.А. Семиной, И.С. Бурмистрову. А Д. Мир in ну и В.А. Зюзииу за полезные обсуждения и ценные замечания.

1. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — М. Наука, 1990.

2. Landau Level Spectroscopy / Ed. by G. Landwehr, E. I. Rashba. -- North-Holland, 1990.4. von Klitzmy K. Dorda G., Pepper M. Realization of a resistance standarl based on fundamental constants j j Phys. Rev. Lett. — 1980,— Vol. 45.— P. 491.

3. Горькое Л. П., Лиркин А. И., Хмельницкий Д. Е. Проводимость частицы в двумерном случайном нотеициале // Письма ЖЭТФ.— 1979.— Vol. 30.— Р. 248.

4. Kubo R., Miyake S. J., Hashitsume N. // Solid State Physics. — Academic Press, New York, 1965. Vol. 17. - P. 269.

5. Ando Т., JJemura Y. Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. I. Characteristics of level broadening and transport under strong fields // J. Phys. Soc. Jpn. — 1974. — Vol. 36. — P. 959.

6. Ando T. Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. II. Single-site approximation under strong fields // J. Phys. Soc. Jpn. 1974. - Vol. 36. - P. 1521.

7. Ando T. Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system undei magnetic fields. III. Many-site approximation // J. Phys. Sue. Jpn. — 1974. — Vol. 37. P. 622.

8. Dmitriev I. A., Mirlin A. D., Polyakov D. G. Cyclotron-resonance hamonics in the ac response of a 2d electron gas with smooth disorder // Phys. Rev. Lett. — 2003.— Vol. 91. — P. 226802.

9. Theory of magneto-oscillation effects in quasi-two-dimensional semiconductor .structures / N. S. Averkiev, L. E. Golub. S. A. Tarasenko, M. Willander // J. Phys.: Condens. Matter. — 2001. — Vol. 13.—P. 2517.

10. Lakh mi i A. A., Stiles P. J. Critical tests of the theory of magiietoconductance in two dimensions // Phys. Rev. В.— 1.976.— Vol. 13, no. 12. Pp. 5386 -5391.

11. Tsukuda M. On the tail states of the Landau subbands in MOS structures under strong magnetic field // J. Phys. Soc. Jpn.— 1976.— Vol. 41, — P. 1466.

12. Aoki H. Transport properties of two-dimensional disordered electron systems in strong magnetic fields // J. Phys. C: Solid Stale Phys.— 1978. — Vol. 11.— P. 3823.

13. Electron localization in silicon inversion layers under strong magnetic fields / S. Kawaji, J. Wakabayashi, M. Namiki, K. Kusuda // Surface Sci. — 1978.— Vol. 73.-- P. 121.

14. Scaling theory of localization: Absence of quantum diffusion in two dimensions / E. Abrahams. P. W. Anderson, D. C. Licciardello. Т. V. Ramakrishnan // Phys. Rev. Lett.- 1979, — Vol. 42, no. 10. — Pp. 673-676.

15. Jerkelmann П. Jeanneret B. The quantum Hall effect as an electrical resistance standart // Rep. Prog. Phys. — Vol. 64. P. 1603.

16. Квантовый эффект Холла / Под ред. Р. Пренджа, С. Гириина. — М. Мир, 1989.

17. Niu Q., Thouless D. J., Wu Y.-S. Quantized Hall conductance as a topological invariant // Phys. Rev. B. — 1985. — Vol. 31, no. 6.- Pp. 3372 3377.

18. Iluckestein B. Scaling theory of the integer quantum Hall effect // Rev. Mod. Phys. — 1995. — Vol. 67, no. 2. — Pp. 357- 396.

19. Kramer В. Ohtsuk.x Т., Kettemann S. Random network models and quantum phase transitions in two dimensions // Phys. Rep. — 2005.— Vol. 417. P. 211.

20. Experimental studies of the localization transition in the quantum Hall regime / S. Koch, R. J. Hang, K. v. Klitzing, K. Ploog // Phys. Rev. В.- 1992.- Vol. 46, no. 3. Hp. 1596-1602.

21. Kivelson S., Lee D.-H. Zhang S.-C. Global phase diagram in the quantum Hall effect // Phys. Rev. 5. — 1992. — Vol. 46, no. 4,- Pp. 2223-2238.

22. Lee D.-H. Wang Z. Kivelson S. Quantum percolation and plateau transitions in I he quantum Hall effect // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 26. — Pp. 4130 4133.

23. Pruisken A. M. M. On localization in the theory of llie quantized Hall effect: A two-dimensional realization of the vacuum // Nuel. Phys. — 1984. — Vol. B235. P. 277.

24. Levine H., Libby S. В., Pruisken A. M. M. Theory of the quantized Hall effect (I) // Nuel. Phys. — 1984. — Vol. B240. — P. 30.

25. Levine H., Libby S. В. Pruisken A. M. M. Theory of the quantized Hall effect (H) // Nuel. Phys. 1984.- Vol. B240. - P. 49.

26. Levine H., Libby S. В., Pruisken A. M. M. Theory of the quantized Hall effect (III) // Nuel. Phys. 1984,-Vol. B240. — P. 71.

27. Хмельницкий Д. E. О квантовании холловской проводимости // Письма ЖЭТФ. 1983. - Vol. 38. - Р. 454.

28. Pruisken А. М. М., Burmistrov I. S. The instanton vacuum of generalized CP'4""1 model /7 Annals of Physics.— 2005. — Vol. 316.- P. 285.

29. Universal conductivity at the quantum Hall liquid to insulator transition / D. Shahar, D. C. Tsui, M. Shayegan et al. j j Phys. Rev. Lett. — 1995.— Vol. 74, no. 22.- Pp. 4511-4514.

30. Quantum Hall liquid-to-insulator transition in In^yGajAs/InP heterostructurcs / W. Pan, D. Shahar, D. C. Tsui et al. // Phys. Rev. B. 1997. — Vol. 55, no. 23. -Pp. 15431-15433.

31. Observation of a quantized Hall resistivity in the presence of mesoscopic fluctuations / E. Peled. D. Shahar, Y. Chen et al. // Phys. Rev. Lett.— 2003.— Vol. 90. no. 24. P. 246802.

32. Effect of long-range potential fluctuations on scaling in the integer quantum Hall effect / H. P. Wei, S. Y. Lin, D. C. Tsui, A. M. M. Pruisken // Phys. Rev. B. -1992. Vol. 45, no. 7. — Pp. 3926-3928.

33. Size-dependent analysis of the metal-insulator transition in the integral quantum Hall effect / S. Koch, R. J. Haug, K. v. Klitzing, K. Ploog // Phys. Rev. Lett. -1991. Vol. 67, no. 7. — Pp. 883-886.

34. High frequency conductivity in the quantum Hall effect / F. Hols, U. Zeitlei, R. J. Haug, K. Pierz // Physica B. 2001.- Vol. 298. —- P. 88.

35. Мильников Г. В., Соколов И. М. О "квазиклассической" локализации в магнитном поле // Письма ЖЭТФ.~ 1988. — Vol. 48. — Р. 494.

36. Нио Y., Hetzel 11. Е., Bhatt R. N. Universal conductance in the lowest Landau level // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 4. — Pp. 481-484.

37. Yang S.-R. E. MacDonald A. H., Huckestein B. Interactions, localization, and the integer quantum Hall effect j j Phys. Rev. Lett.— 1995.— Vol. 74, no. 16.— Pp. 3229-3232.

38. Gammel В. M., Breriig W. Scaling of the static conductivity in the quantum Hall effect I j Phys. Rev. Lett. — 1994. Vol. 73, no. 24. - Pp. 3286-3289.

39. Gammel В. M., Evera F. Universal scaling and diagonal conductivity in the integral quantum Hall effect // Phys. Rev. В.— 1998.— Vol. 57, no. 23.— Pp. 14829-14832.

40. Smova J., Meden V'., Girvin S. M. Liouvillian approach to the integer quantum Hall effect transition j j Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 62, no. 3. Pp. 2008 -2015.

41. Schweitzer L. Markos P. Universal conductance and conductivity at critical points in integer quantum Hall systems // Phys. Rev. Lett. — 2005.— Vol. 95. -P. 256805.

42. Fogler M. M., Shklovskii В. I. Cyclotron lesonance in a two-dimensional electron gas with long-range randomness j j Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80, no. 21. — Pp. 4749-4752.

43. Иоффе Л. Б., Ларкии А. И. Флуктуационные уровни и циклотронный резонанс в с гучайном потенциале j j ЖЭТФ. — 1981. Т. 81. -- С. 1048.

44. АпАо Т. Theory of cyclotron resonance lineshape in a two-dimensional electron system // J. Phys. Soc. Jpn. — 1975. —Vol. 38. P. 989.

45. Suppression of chaotic dynamics and localization of two-dimensional electrons by a weak magnetic field / M. M. Foglei, A. Y. Dobin. V. I. Perel, В. I. Shklovskii // Phys. Rev. B. — 1997. Vol. 56. - P. 6823.

46. Scaling iu spin-degenerate landau levels in the integer quantum hall effect / S. \Y. Hwang, H. P. Wei, L. W. Engcl et al. // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 48, no. 15. -- Pp. 11416 11419.

47. Энергетический спектр двумерных электронов в наклонном магнитном поле / В. Е. Кирпичев. И. В. Кукушкин, В. Б. Тимофеев, В. И. Фалько // Письма ЖЭТФ.- 1990. Vol. 51. - Р. 383.

48. Mitrmovic D. М. Milanovic V., Ikonie Z. Electronic structuie of semiconductoi quantum wells in a tilted magnetic field // Phys. Rev. B.— 1996.— Vol. 54, no. 11.- Pp. 7666-7669.

49. Halvorseu E. Galperiri Y. Chao K. A. Optical transitions in broken gap heterostrucfures 11 Phys. Rev. В.- 2000, — Vol. 61, no. 24. — Pp. 16743 1G749.

50. Kuehnel F., Pryadko L. P., Dykman M. I. Single-electron magnetoconduclivity of a nondegenerate two-dimensional electron system in a quantizing magnetic field // Phys. Rev. B. — 2001. Vol. 63, no. 16. - P. 165326.

51. Truqman S. A. Localization, percolation, and the quantum Hall effecf 1 j Phys. Rev. B. 1983. - Vol. 27, no. 12. - Pp. 7539-7546.

52. The effect of carrier density gradients on inagnetotransport data measured in Hall bar geometry / L. A. Ponomarenko, D. T. N. de Lang, A. de Visser et al. j j Solid Slate Commun. — 2004, — Vol. 130. — P. 705.

53. New insights into the plateau-insulator transition in the quantum Hall iegirne / L. A. Ponomarenko, D. T. N. de Lang, A. de Visser et al. // Physiea E. — 2004. — Vol. 22. P. 236.

54. Observation of the quantized Hall insulator in the quantum critical regime of the two-dimensional electron gas / D. T. N. de Lang, L. A. Ponomarenko, A. de Visser, A. M. M. Pruisken // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75.- P. 035313.

55. Электронная теория неупорядоченных полупроводников / В. J1. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, Р. Кайнер и др.- М. Мир, 1981.73| Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М. Физматгиз, 1963.

56. Magnetization of a two-dimensional electron gas with a second filled subband / M. R. Schaapman, U. Zeitler, P. С. M. Christianen et al. // Phys. Rev. В.— 2003. — Vol. 68, no. 19. — P. 193308.

57. Kuhn W. Cyclotron resonance and de Haas-van Alphen oscillations of an interacting electron gas // Phys. Rev. — 1961.— Vol. 123, no. 4.— Pp. 1242— 1244.

58. Experimental evidence for a two-dimensional quantized Hall insulator / M. Hilke, D. Shahar, S. II. Song et al. // Nature (London). 1998. Vol. .395. — P. 675.30J Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. — Oxford University Press, 1997.

59. Cobdeu D. H., Kogan E. Measurement of the conductance distribution function at a quantum Hall transition // Phys. Rev. B. 1996.— Vol. 54, no. 24.— Pp. R17316-R] 7319.

60. Wegner F. Exact density of states for lowest Landau level in white noise potential superfield representation for interacting systems j j Z. Phys. B. — 1983. — Vol. 51.- P. 279.

61. Fang F. F., Stiles P. J. Effects of a tilted magnetic field on a two-dimensional electron gas // Phys. Rev. 1968. - Vol. 174, no. 3. - Pp. 823-828.

62. Altarclli М. Electronic structure and semicondnctor-semimetal transition in InAs-GaSb superlattices // Phys. Rev. B. 1983. - Vol. 28, no. 2. Pp. 842-845.

63. Heitman D., Ziesrnann M. Chang L. L. Cyclotron-resonance oscillations in InAs quantum wells // Phys. Rev. B. — 1986. Vol. 34, no. 10. — Pp. 7463-7466.

64. Cyclotron-resonance oscillations in a two-dimensional electron-hole system ' J. Kono, B. D. McCombe, J.-P. Cheng et al. // Phys. Rev. B.~~ 1994. Vol. 50, но. 16. Pp. 12242-12245.

65. Cyclotron resonance of electron-hole systems in InAs/GaSb/AlSb

66. Samsonidze G. G. Zeyrya G. G. Auger recombination in semiconductor quantum wells in a magnetic field // Phys. Rev. B. 2001. — Vol. 63, no. 7. — P. 075317.