Цифровое управление неопределенным объектом по измерениям частотных параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ Б ОД 2 1 АВГ 1995

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА' Специализированный Совет К 003.63.01

На правах рукописи

АЛЕКСАНДРОВ Вадим Альбертович

УДК 62-50

ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ЧАСТОТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Специальность 01.01.11 - системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва' 1995

Работа выполнена в Институте системного анализа РАЛ.

Научный руководитель - член-корресцондент РАН,

профессор С.К.Коровин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А.П.Афанасьев, - доктор технических наук, профессор Н.Н.Карабутов

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН.

Защита состоится "// П(СНТ»'^Л\995г. в ¿О час. на заседании Специализированного Совета К 003.63.01 Института системного анализа РАН по адресу: 117312, Москва, пр-кт 60-летия Октября, д.9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа.

с

Автореферат разослан "У "(сЬнЩ 1995г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

д.ф.-м.н. А.П.Норостлвв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Управление неопределенным объектом при наличии ограниченного внешнего возмущения является одной из актуальных задач автоматического управления. Метод частотных параметров - один из перспективных путей ее решения. Развитие этого метода на случай дискретных систем, изложенное в диссертационной работе, представляет как теоретический так и практический интерес, что обусловлено преимущественным применением цифровых систем управления в новых разработках.

Неопределенность объекта обычно возникает при резки* изменениях режимов работы объекта, его неисправностях либо старении, а кроме того часто обусловлена сокращением сроков разработки объектов и средств управления, которое вызвано применением САПР при проектировании объектов управления, унифицированных элементов и управляющих ЭВМ для реализации управления, что приводит к ситуации, когда объект и устройства управления готовы к эксплуатации, но отсутствует математическая модель объекта, и поэтому не может быть построен алгоритм управления.

Неопределенность модели объекта сопровождается неопределенностью внешних возмущений действующа на объект.

В этих обстоятельствах управление в условиях неопределенности становится обычным, а не особым случаем, как это было 10-15 лет назад.

Можно выделить два подхода & построению управления в условиях неопределенности.

Первый подход - это -системы с большими коэффициентами усиления, системы . с переменной структурой и бинарные системы.

Второй подход связан с адаптивным управлением, в большинстве методов которого основное внимание уделяется неопределенности параметров объекта, а внешние возмущения часто |федполагаются случайными с известными статистическими свойствами. В методах рекуррентных целевых неравенств н методе частотных параметров внешние возмущения - ограниченные функции с неизвестными статистическими свойствами.

• - 2 -

Настоящая работа посвящена развитию метода частотных параметров для цифровых регуляторов, которые доминируют в практике управления.

Цель работы состоит в разработка на основа метода частотных параметров алгоритмов . цифрового управления объектом, который может быть описан линейным разностным уравнением с одним входом и одним выходом, с неопределенными параметрами в условиях неопределенных ограниченных внешних возмущений.

Методы исследования. Для решения этих задач был использован математический аппарат матричной алгебры и разностных •уравнений, приемы и понятия классической и методы современной теории регулирования, основанные на концепции пространства состояний и частотных представлений.

Научная новизна.Теоретическая ценность. В работе метод частотных параметров развит на класс дискретных систем. При этом получены следующие теоретические результаты:

1. Доказана сходимость оценок частотных параметров дискретного объекта к их истинным значениям в условиях ограниченных внешних возмущений.

2. Доказана теорема о существовании и единствености идентификации коэффициентов дискретной модели объекта по его частотным параметрам.

3. Сформулирована задача точного цифрового управления. Получены условия ее решения и построена процедура синтеза регулятора.

. Практическая ценность работы. Разработанные в диссертации алгоритмы применимы при решении задач цифрового управления неопределенным объектом при воздействии внешнего возмущения, о котором известно лишь то, что' оно ограничено. Объект, должен.описываться линейным разностным уравнением с одним входом и одним выходом, и коэффициенты должны удовлетворять гипотезе квазистационарнос; в, но объект может быть неустойчивым и иметь запаздывание ло управлению. Шлучены формулы вычисления оценок частотных параметров объекта и нахождения оценок коэффициентов раг-ллного уравнэния модели объекта. Для объекта без. запаз;' : - ■■< устойчивого по

- з -

управлению решена задача точного управления при некоторых ограничениях на класс допустимых внешних возмущений.

Реализация полученных результатов. Разработан пакет программ, реализующий алгоритмы цифрового управления неопределенным объектом по измерениям частотных параметров. Разработана техническая реализация частотного адаптивного регулятора с использованием ЭВМ типа IBM PC и серийного устройства связи с объектом, содержащего аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на' Третьей научной школе "Автоматизация создания математического обеспечения и архитектуры систем реального времени" (Саратов, 1992г.), 1-ом Совещании- "Новые направления в теории систем с обратной связью" (Уфа, 1993г.), .научных семинарах Института системного анализа.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять печатных работ.

Структура к объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы из 61 наименования. Основная часть работы изложена на 95 страницах машинописного текста и содержит 21 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит общую характеристику работы и краткие аннотации глав диссертации.

В первой главе делается обзор состояния проблемы управления в условиях неопределенности, приведены. основные результата метода частотных параметров для непрерывных, систем и формулируются задачи диссертации.

Го второй главе рассматривается конечно-частотная идентификация объекта, описываемого разностным уравнением

=Ьи(Пт-1)+..+ъи(Ю+/(кт-1). (1)

• - 4 -

где коэффициенты а и Ь. п) неизвестны, а цро

возмущение / известно только то, что оно ограничено но модулю. Передаточная функция объекта (1) имеет вид:

Ъ г"~%+..+Ь • —

. *(*>= п п-« ' • (2)

г +а г +.,+а

П 1

Для объекта с передаточной функцией известно

понятие частотной характеристики которая получается

из передаточной функции заменой г на Частота й=оЛ, где ш - частота в реальном времени, измеряемая в рад/с, и Л -шаг дискретизации в секундах.

Более общая замена (где X - вещественное число,

№1) позволяет рассматривать неустойчивые объекты. Отдельные значения частотной характеристики можно определить экспериментально следующим образом: подать на вход объекта сигнал вида:

и(к)=\" -ШгЦ^к). (3)

где Я и м- заданные числа, выход объекта у(к) умножить на Л."к и пропустить через филь.тр Фурье, настроенный на частоту й.. Получаются действительная и мнимая части И(^). Значение А. выбирается в соответствии со степенью неустойчивости объекта, то есть оно должно быть больше по модулю любого из корней знаменателя' передаточной фущиии объекта.

Определение. Частотными параметрами объекта (1) называется набор 2п чисел а ■ 1=1,,.,п,

где Испытательные частоты и. ((=?,..,п) удовлетво-

ряют следуиЦим условиям: 1) СКш.ся, 2) при

' Теорема 1. Пусть на вход управления объекта (1) при ограниченном по модулю возмущении подан испытательный сигнал

и(Ю*\к 23 з(пЩЬ, (4)

I**

где - некоторые испытательные частоты, и выполняются неравенства \>1 и Л>щ1та£п(/^П, zJ - корни полинома а(г) из (2).

Тогда

-к " -

Ilm y(k)\ = 2 Casin wfe + ßicos w.W, (5)

к -»00 i я t

где OL-ißj^ - частотные параметры.

Выражения для определения значений частотных параметров получаются из формул дискретного преобразования Фурье:

р . M,-t

a.=llm jf • 2 у(1Я"1-з1п(ыЛ), i=1,..,n, . (в)

р . -юо t I =о

V

Р H.-t Р 1 1 I

ß.=ltm j, • 2 yd )К 'Соз(ыЛ),

1 Pi-KO i l»o

где p.= 1,2,3,... . При p.¡л» получаем некоторые

(JL>.

L АЛ

оценки частотных параметров а и

Коэффициенты a и b. {1=1,..,n) получаем, ' используя частотные параметры а и {1=1,..,п), решая систему 2п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными. Уравнения формируются из соотношения (2), приведенного к виду

« + ..+bt ~(z" +anz"" * + ..+at )W(z)=0. (7)

Это уравнение записывается для различных значений испытательных частот ш. и вместо 14(z) подставляется а.-»^». а вместо z - cosfüJ+J-sinfw.,). Таким образом, получаем систему 2п уравнений:

2 C\V lcosi fv- / Jw Ж.- (a \v"cos((v-1 )-v** 1

-ßi\v~,sln((v-1Jü>i))av)=a\"cos щ-ßjfsln nö ,

2 aV~'sln.((V-l )ü)bv-(0L\V l0in((V-1)WL) + V=t 1

1=1,..,п. ■ (8)

Теорет 2. Если объект полностью управляем, то решение системы (8) существует и единственно.

Третья глава посвящена синтезу, регулятора и построению адаптивного управления. Задача модального управления состоит в том, чтобы для объекта порядка п, коэффициенты которого . известны:

a(z)y=b(z)u+f, (9)

где a(z)=zn+anzn'1+..*at, Ъ(г)=Ъпг"~*+ , синтезировать . обратную связь вида

c(z)u^ü(z)y, (10)

где c(z)=c^¿^+..tct, aiz)=á^tz^+..+üt, обеспечивающую заданное размещение полюсов в замкнутой системе i описываемое .характеристическим полиномом:

(11)

Выбор полинома 6(z) определяет устойчивость замкнутой системы и вид переходных процессов. Решение этой задачи при f-О хорошо известно.

Полиномы cCz) и d(z) .определяются из модального тоздества:

* a(z)c(z) - b(z)d(z) = 6(zJ. (12)

Если объект (9) минимально-фазовый (все корни полинома ■ Ъ(г) по модулю меньше 1). то можно задать следующую структуру желаемого характеристического полинома:

, b(z)=b(z)ty(z). (13)

где ф(гJ~zr'-npnz"'1+. - устойчивый ионический (в котором коэффициент при старшей степени равен 1) полином. Тогда определить c(z) и d(z) можно как:

c(z) = Ъ(г), d(z) = a(z) - ф(z). (14)

Задача обеспечения требуемой точности управления при . внешнем возмущении состоит в том, чтобы при наличии внешнего возмущения /(fe), которое по модулю не превышает .некоторое известное значение /*, ошибка выхода замкнутой системы после • окончания переходных процессов не превышала некоторого заданного значения у*.

Для ее решения необходимо'выбрать такой характеристический полином замкнутой системы 0(z), что синтезировав

регулятор (10), получим передаточную функцию замкнутой системы относительно возмущения '»7Г(г), удовлетворяющую условию:

Ж

1№/2Л < ^ для всех ш е [0.1С]. (15)

Из (9), (10) и (12) получаем, что

• (16)

Для минимально-фазовых объектов, используя (13) и (14), получаем:

" • • <17>

где монический полином ф(г) выбирается проектировщиком системы.

Известно, что в непрерывных системах аналогично выполняется

• ' (18)

и предлагается формировать полином ф(з) следующим образом:

<1)(8)=(8+8*Г, где . (19)

У

что обеспечивает устойчивость системы (все корни в отрицательной полуплоскости) и заданную точность при наличии возмущения для всех значений со, так как

Ф^Н^о^и0^3*)"^ (20)

и очевидно, что

1Ф(в)Мью > |ФС/0)|. (21)

Для дискретных систем полная аналогия невозможна, так как выбирая <р(г)=(г+В)п, необходимо . учитывать, что для устойчивой системы должно выполняться |0|<1. что не позволит выбор е=(/*/уА)1'п для случая /*>у*. Кроме того в дискретном случае не выполняется (21).

Решить задачу обеспечение требуемой точности управления при наличии внешнего возмущения для дискретных систем здесь предлагается путем увеличения порядка регулятора и сужения класса допустимых возмущений. Для увеличения порядка регулятора принимаем:

- в -

О(г)=Ь(гЩг). где + ., (22)

й строим регулятор:

с(г)и^(г)у , (23)

.в котором '

с(г)=р(г)Ъ(г), где и (24)

й(г)=а(г)р(г)-$(2). (25)

' Легко видеть, что модальное тождество

аСг)с(г) - Ъ(гЖг) = Ь(г) (26)

выполняется, и реализуемость регулятора (с2^ 'с(г) = deg й(г)) сохраняется. При этом

9,(г) = (27)

• ФШ

Полиномы р(2) и 4>(г) определяются из требований задач точности и устойчивости.

Сужение класса допустимых возмущений, заключается в том, что здесь допускается только возмущение, не имеющее высокочастотных составляхида. Возможен другой выбор ограничений на частотные составляющие возмущения.

Определение. Допустимым возмущением называется

!(юЛ Г/^з 1п ¡¿к + ¡1соз ЙЬ), (28)

где (1=?....£) - неизвестные амплитуды и частоты,

но предполагается, что значения.£,/!" и ограничены и

Теорема 3. Пусть объект (9) является минимально-фазовым и на него действует возмущение (28). Тогда для любых заданных -значений у* и /* существуют такие полиномы ф(2) и р(2), что дл^ системы, представляющей собой объект (9), замкнутый регулятором с(г)и=й(г)у, выполняется следующее требование к точности: \у(к)1<у* после окончания переходных процессов. Доказательством . являются полиномы и

. фгде 0<6<» и .

21п(Г*/у*) _-п " (29)

1п(вг+1)

- 9 -

если 7<0, то принимается 7-0.

Известно, что выбор

рГгМг-П7, (30)

дает астатическую систему: , а если известны

частоты й в (28), то принимается

рГ-2^-. В, (31)

что обеспечивает для ВС0Х Ч»

Далее в третьей главе рассматривается задача адаптивного управления объектом с неопределенными и медленно меняющимися во времени параметрами (выполняется гипотеза о квазистационарности объекта). Суть решения этой задачи заключается в том, что во время функционирования системы необходимо периодически повторять процедуру идентификации для коррекции значений параметров объекта, и при их заметном изменении синтезировать новый регулятор. Поэтому рассмотрим получение частотных параметров объекта в замкнутой системе. ..

Итак, рассмотрим объект, замкнутый регулятором

+г1]ии1 Оит\-1)+..+г1и1 (к), (32)

где и- это испытательный сигнал (4).

По формулам (6) получаются оценки частотных параметров замкнутой системы >Уа<7ы) ■ (1=1,...п). Вычислить значения частотных параметров объекта можно следующим образом:

ШЯ)=---— , 1=1,..,п. (33)

1 1 <1(

Алгоритм адаптивного управления:

Шаг 1. Подать на вход объекта испытательный сигнал вида (4) и по окончании фильтрации получить оценки частотных параметров объекта по формулам (6).

Шаг 3. Получить оценки коэффициентов объекта, решая

- 10 -

систему (в) и синтезировать регулятор (32).

Шаг 3. Вычислять на каждом шаге квантования управляющий сигнал и(Ю в соответствии с формулой регулятора (32).

Шаг 4. По окончании фильтрации получить оценки частотных параметров замкнутой системы.

Шаг 5. По формуле (33) вычислить частотные параметры объекта и перейти к шагу 2.

В четвертой главе рассматривается объект с запаздыванием. При наличии запаздывания в управлении объект описываем уравнением:

zm(z"+anz"-'f.-ta )y=rbzn~* + .(34) где m - величина запаздывания.

Синтезируем регулятор степени (п+я-1):

fe .. *cz*c )w=(á: zn,n-V.. +dz+d )y. (35)

П+И 2 1 n»m Z »

Принимая степень характеристического полинома 6(z) равной (2n+2m-l) и решая модальное тождество (12), получим коэффициенты регулятора (35). Это решение существует, единственно и реализуемо.

Для минимально-фазового объекта зададим структуру характеристического полинома замкнутой системы:

&(z)=z'"b(zWz). (3G)

где ty(z)=zn*m+tynt¿in*m~í - заданный устойчивый полином (г" включается в структуру желаемого характеристического полинома, так как передаточная функция замкнутой системы должна иметь ту же разность степеней числителя и знаменателя, что и передаточная функция объекта), и структуру полинома с(z) регулятора:

с(z)=b(z)x(z), (37)

где жГ2;=ж1т1<1гт+..+зегг+эе1 есть полином, который нужно определить. Тогда полином á(z) можно найти как

di■z)=¿"(a(zmz)-q>(z)). (38)

Так как здесь степень правой части равна (п+2т), а степень полинома й(г) должна быть не больше, чем (п+т-1), то полином 8e(z) должен быть таким, чтобы разность в (38) имела степень

(пт-1), то есть коэффициенты выражения (30) при степенях старше , чем (пт-1), должны обращаться в 0. Для этого коэффициенты эе(г) должны быть решением системы т линейных алгебраических уравнений:

эе =/,

го»1 *

ж -<]> -а

т тп+т п ,

О Ж +Х -<]> . -О

п т т-1 * П1Ш-1 п-1.

(39)

а х +а ж +..+ах+х=4> -а ,

п-т+2 т г»-т*а т-1 п 2 1 'п*1 п-т+»

где о=0, если КО.

Таким образом, хотя для объекта с запаздыванием нельзя строить регулятор по формулам (14), но аналогичным путем можно снизить порядок решаемой системы уравнений с (2п+2т) до т.

Построение точного управления для объекта с запаздыванием не возможно, так как если строить регулятор (23), то

у/ (2)ЛЩР-(г± , ,.• (до)

где полином ж[г) заранее неизвестен и зависит от выбора р(г) и (|>(2). Тем не менее добавление р(г)=г-1 позволяет получить астатическую систему, а при известном возмущении выбор р{г) в виде (31) сводит ошибку к 0.

При введении р(г) полиномы регулятора с(г) и й(г) находятся следующим образом:

с(г)=Ъ(г)ж(г)р(2). (41)

а(г)=гт(а(г)х(г)р(г)-$(г)). (42)

При неопределенном запаздывании предложен следующий алгоритм идентификации запаздывания для неопределенного дискретного объекта (34) известного порядка п, если известно, что Ь(г) - устойчивый полином:

Шаг 1. Полагаем т=0.

Шаг 2. Проведем идентификацию объекта ,(34), полагая, что его порядок равен п+1. Для этого получаем экспериментально частотные параметры объекта по формулам (6) и идент^-

- 12 -

фицируем коэффициенты модели объекта, решая систему (8).

Шаг 3. Проверим наличие корней, по модулю больших 1, в Идентифицированном полиноме b(z). Если таких корней нет, то идентификация закончена, а если есть и они не сокращаются с корнями полинома afzj.* то переходим к следующему шагу.

Шаг 4. Увеличиваем предполагаемое запаздывание на 1 и взвращаемся к шагу 2.

В пятой главе описан пакет программ, реализующий алгоритмы цифрового управления неопределенным объектом по измерениям частотных параметров. Программное обеспечение, реализующее алгоритм цифрового частотного адаптивного управления разработано на языке Паскаль и отлажено на ЭВМ типа IBM PC, используя среду Turbo-Pascal. Исследование работы алгоритма проводится с использованием математической модели дискретного или непрерывного объекта.

Главная программа пакета программ для исследования цифрового частотного управления содержит три основных модуля: "НАЧАЛО". "ШАГ" И "НАСТРОЙКА".

В модуле "НАЧАЛО" осуществляется ввод необходимых данных и установка начальных значений переменных.

Модуль "ШАГ" выполняется на каздом шаге квантования и включает в себя процедуры расчета управляющего воздействия и(к) (СОЛГИ), вычисления сумм в формулах фильтра Фурье (SJT) и получения значения y(k) (MOYK).

Модуль "НАСТРОЙКА" выполняется после накопления данных для расчета оценок частототных параметров и состоит из следующих процедур: расчет оценок частотных параметров системы (CPAR). вычисление частотных параметров объекта (РАО), идентификация объекта (GID), синтез регулятора (SINTREG).

Выполнена техническая реализация частотного адаптивного регулятора с использованием ЭВМ типа IBM PC/XT и серийного устройства связи с объектом, содержащего аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи. Схема стенда для испытания регулятора:

В система реального времени учитывается быстродействие ЭВМ. Так время, необходимое для работы программного модуля, выполняемого на кавдом шаге квантования, на ЭВМ типа IBM PC/XT составляет 0,1 с для объекта 3-го порядка, использованного в экспериментах. Рассмотрен выбор амплитуда испытательного воздействия в связи с дискретностью по уровню в НАЛ и АЦП.

Для испытания регулятора использовалась модель объекта, технически представляющая собой ЭВМ типа IBM PC/AT с интересной платой с АЦП и ЦАЛ. Программное обеспечение этой модели - это процедура численного решения дифференциального уравнения в реальном времени и процедуры ввода значения и(Ю с АЦП и вывода значения t/(к) на ЦАП. Использовался метод Эйлера, простота которого позволила получить быстродействие, необходимое для моделирования в реальном времени.

В работе исследуется система "непрерывный объект -дискретный регулятор". Чтобы при моделировании соблюдалась "кваэинещчфывность" объекта но отношению к регулятору, величина шага дискретизации при моделировании объекта выбрана в 10 раз меньше (0.01 с), чем шаг регулятора.

В Приложении приведены тексты программ.

- 14 -

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВИВОДН.

1. Доказана сходимость оценок частотных параметров дискретного объекта к их истинным значениям в условиях произвольных ограниченных внешних возмущений.

2. Доказана теорема о существовании и единственности идентификации коэффициентов дискретного объекта по его частотным параметрам.

3. Сформулирована задача точного цифрового управления. Получены условия существования ее решения и построена процедура синтеза регулятора.

4. Предложен алгоритм идентификации запаздывания дискретного объекта.

5. Разработано программное обеспечение цифрового управления по частотным параметрам.

6. Осуществлена техническая реализация частотного адаптивного регулятора и проведены его испытания с модельным объектом.

Основные результаты были изложены в следующих публикациях:

1. Александров В,А. Метод частотных параметров для дискретных систем. / Научные труды. Частотное управление. МИСИС . 1994, С. 56-70.

2. Александров В.А.. орлов Ю.Ф. Проблемы реализации частотного адаптивного регулятора. / Научные труды. Частотное управление. МИСИС . 1994, с. 123-134.

3. Александров В.А., Орлов Ю.Ф. Частотный адаптивный регулятор ЧАР-6 // Третья научная школа "Автоматизация создания математического обеспечения и архитектуры систем реального времени": Тез. докл. - Саратов. 1992.-е.111.

4. Александров В,А. Метод частотных параметров для дискретных систем с запаздыванием // 1 Совещание "Новые направления в теории систем с обратной связью": Тез. докл. -Уфа, 1993.-е.133-134.

5. Orlov Yu.F., Alexandrov V.A. Prequency adaptlve controller CHAR-6. Preprlnts oi 2nct IPAC symposium on Intelligent Components and Instruments ior Control Application. Himgary. 1994, p. 311-315.