Цифровой параметрический спектральный анализ широкополосных сигналов по методу Прони тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОНСТРУКТОРСКОЕ БЮРО УНИКАЛЬНОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

\ Никитин Андрей Викторович

\

\

\

ЦИФРОВОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ ПО МЕТОДУ ПРОНИ

01.04.01 - техника физического эксперимента, физика приборов, автоматизация физических исследований

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре Радиофизики Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель - кандидат технических наук

доцент Захарченко В. Д..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор, академик АИН РФ и АМТН РФ Нефедов Е. И.; кандидат технических наук доцент Латышев В. В..

тз Институт океанологии

Ведущая организация -

им. ПЛ.Ширшова РАН

Защита состоится ",¿1" 199Л г- в /2 часов на

заседании диссертационного совета Д.003.77.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Центральном конструкторском бюро уникального приборостроения Российской Академии наук по адресу:

117432, г. Москва, ул. Бутлерова, 15.

Тел. (095)-333-61-02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦКБ УП РАН по тому же адресу.

Автореферат разослан "_££_" ОФ^Л"199 <5"г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-

математических наук -Отливанчик Е.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В последнее время возрос интерес к параметрическим методам спектрального анализа, особенно в тех случаях, когда классические методы, основанные на использовании преобразования Фурье, не обеспечивают необходимой точности. Такая ситуация возникает либо при малых отношениях сигнал/шум, либо при малом интервале наблюдения исследуемого процесса. Б последнем случае для повышения точности определения спектральной плотности необходимо использовать априорную информацию о поведении исследуемого процесса вне интервала наблюдения.

Параметрические методы спектрального анализа основаны на использовании какой-либо модели для описания сигнала, то есть при их использовании делаются некоторые предположения о поведении сигнала вне интервала наблюдения. Задача спектрального оценивания при этом сводится к нахождению параметров используемой модели, которая выбирается исходя из имеющейся априорной информации об исследуемом процессе.

Одним из параметрических методов спектрального анализа является алгоритм Прони [1], использующий представление наблюдаемого процесса в виде комплексного экспоненциального ряда. Метод позволяет по отсчетам сигнала найти параметры этих комплексных экспонент, что, в свою очередь, дает возможность записать выражение для спектральной плотности исследуемого сигнала. Широкое применение метода Прони стало возможным только в последнее время, поскольку он существенно нелинеен и требует больших вычислительных затрат. В связи с этим возникла необходимость детального исследования данного метода с точки зрения оптималь-

- 3 -

ности его математической реализации, а также потенциальной устойчивости к флуктуациям отсчетов сигнала и шумов дискретизации.

Цель работы.

1. .Исследование устойчивости классического метода Прони к флуктуациям отсчетов аппроксимируемого сигнала.

2. Рассмотрение возможности применения модифицированного метода Прони [2] для спектрального оценивания периодических сигналов по короткой выборке их отсчетов.

3. Применение метода Прони и его модификаций для решения задачи калибровки гидроакустических преобразователей в бассейне малого объема. Создание экспериментальной установки.

Научная новизна.

1. В линейном приближении проанализирована устойчивость метода Прони к флуктуациям отсчетов сигнала и погрешностям оцифровки.

2. На основе модифицированного метода Прони получен оригинальный параметрический метод спектрального оценивания периодических сигналов по короткой (порядка нескольких периодов) выборке их отсчетов.

3. Показано, что при калибровке гидрофонов методом импульсного зондирования в бассейне малого объема метод наименьших квадратов Прони дает выигрыш в точности определения частотных характеристик по сравнению с классическими методами спектрального оценивания.

Практическая ценность работы.

1. Полученные соотношения для среднеквадратичных отклонений параметров экспоненциального разложения позволяют про- 4 -

анализировать зависимость точности определения этих параметров от близости полюсов сигнала и шага дискретизации (или коэффициента прореживания в модификации Битти-Джорджа-Робинсона [3]). Выбор оптимального шага дискретизации для каждой группы сигналов позволяет существенно повысить точность вычислений.

2. Предложенный в работе параметрический метод спектрального оценивания периодических сигналов по короткой записи их отсчетов может применяться для динамического анализа низкочастотных процессов с медленно меняющимися параметрами (например, для обработки кардиосигналов).

3. Созданная экспериментальная установка для калибровки гидрофонов отличается от существующих меньшими габаритами, а также большей производительностью. Разработанная методика и экспериментальная установка прошли государственную метрологическую аттестацию по ГОСТ 8.326-89 в качестве нестандартизован-ных средств и методов измерений. Установка допущена к эксплуатации в ранге рабочих средств измерений.

(- Основные положения, выносимые на защиту.

О ' 1. Соотношения, связывающие среднеквадратичные отклонения параметров экспоненциальной аппроксимации со среднеквадратичным отклонением флуктуаций отсчетов обрабатываемого по алгоритму Прони сигнала.

^ 2. Алгоритм наименьших квадратов Прони, программно реализованный на основе метода сопряженных градиентов, что позволило ускорить процесс спектральной обработки сигналов при сохранении удовлетворительной точности вычислений.

3. Параметрический метод спектрального оценивания периодических сигналов по короткой записи их отсчетов, котчрый можно считать частным случаем алгоритма Прони.

4. Результаты численного моделирования процесса обработки сигналов с помощью реализованного алгоритма наименьших квадратов Прони и его модификации для периодических сигналов.

5. Результаты экспериментов, проведенных на созданной автоматизированной установке для калибровки гидрофонов методом импульсного зондирования в бассейне малого объема, принцип работы которой базируется на спектральном оценивании импульсных откликов электроакустической системы "гидрофон-среда-гидрофон" по методу наименьших квадратов Прони.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Проблемы метрологии гидрофизических измерений" (ВНИИФТРИ, 1990 г.), на XIII научно-техническом семинаре "Статистический синтез и анализ информационных систем" (Рязань, РГРТА, 1994 г.), на Всероссийской научно-технической конференции "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления" (Гурзуф, 1994 г., 1995 г.), на Научно-технической конференции молодых ученых Волгоградской области (Волгоград, 1994 г.), а также на научных семинарах ВолГУ и РРТИ. Некоторые результаты работы нашли отражение в отчетах по НИР, проводимых на кафедре Радиофизики ВолГУ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Работа содержит 107 страниц машинописного

- 6 -

текста и 24 рисунка. Список литературы включает в себя 67 наименований. Общий объем диссертации - 132 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, указаны цели и задачи исследования, отражены структура и объем работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена аналитическому обзору существующих методов цифрового спектрального оценивания с точки зрения их применимости для обработки сигналов в тех случаях, когда интервал наблюдения исследуемого процесса мал по сравнению с характерными временными параметрами сигнала. Классические методы спектрального анализа, основанные на преобразовании Фурье, в этом случае дают свертку спектральной плотности сигнала со спектральной плотностью временного окна. Попытка найти истинный спектр сигнала приводит к необходимости решения обратной задачи.

Параметрические методы спектрального оценивания основаны на использовании какой-либо модели для описания сигнала, то есть явно или неявно используют априорную информацию о поведении сигнала вне интервала наблюдения. В частности, метод Прони [1] базируется на представлении исследуемого процесса в виде комплексного экспоненциального ряда. Таким образом, для отсчетов сигнала х(Ь), взятых в моменты времени гп = пЛЬ (п = 0, ... , N-1), справедливо соотношение

м м

*(/„ =пАг) = 2 Ат ехр (пЯ тм) = (1)

м = 1 т=1

Здесь Ат и Ат - параметры модели порядка М и 2т = ехр(Лл/К). Процесс нахождения параметров экспоненциальной ап-

- 7 -

проксимации по методу Прони состоит из трех этапов. На первом этапе необходимо найти коэффициенты авторегрессии сигнала ак, решив систему линейных уравнений

м

• (2)

*=I

где I = 0, ... , М-1. Видно, что для решения системы (2) надо иметь, как минимум, 2М отсчетов сигнала. На втором этапе необходимо найти корни гт характеристического полинома вида

¿=о

которые связаны с полюсами сигнала Лщ следующим соотношением:

Ят = Ьп(гт)/А1.

Следует отметить, что операция вычисления логарифма комплексной величины определена с точностью до 2щ, поэтому для однозначности параметров Ящ необходимо выполнение условия

Дг<Аггаах=^/|1ш(2т)|гаах, (4)

аналогичного условию Найквиста, однако, менее строгого, поскольку оно не требует ограниченности спектра сигнала половиной частоты дискретизации.

После нахождения набора

полюсов сигнала Ащ путем решения системы уравнений (1) могут быть вычислены его комплексные амплитуды Ат. Найденные

параметры Ат и Лт полностью определяют как сам сигнал, так и его спектральную плотность.

Помимо описанного классического метода Прони, использующего 2М отсчетов сигнала для его аппроксимации моделью порядка М, существует метод наименьших квадратов Прони [1], использующий N>21^1 отсчетов. В этом случае системы уравнений (1) и

- 8 -

(2) являются переопределенными и решаются методом наименьших квадратов. Известен также модифицированный метод Прони-Хильдебранта [2], использующий модель из незатухающих синусоид.

При использовании параметрических методов спектрального оценивания, и в частности метода Прони, особую проблему вызывает определение порядка модели М. В конце первой главы диссертационной работы сделан краткий обзор методов, позволяющих по имеющимся отсчетам сигнала оценить оптимальное значение М.

Вторая глава работы посвящена анализу устойчивости классического алгоритма Прони к флуктуациям отсчетов обрабатываемого сигнала. Рассмотрим аддитивную смесь сигнала с помехой, отсчеты которой имеют вид:

=*пНп> л = 0, 2М-1, причем флуктуации £п малы и являются независимыми случайными

величинами с нулевым средним и дисперсией а2. Обозначив через

еСщ и у-т флуктуации параметров Ат и Лт, перепишем уравнение (1)

для отсчетов сигнала. В линейном приближении получим: м

?\ат^ХтпЬ)+АтутпМщ{Хтп&\=!;п, п = О,..., 2М-1. №1

Решая систему уравнений (5) относительно величин ат и ут и производя усреднение, получим выражения, связывающие среднеквадратичные отклонения параметров экспоненциальной аппроксимации Ат и Лт с дисперсией шума о2:

44 =-^--а=В((м,Л„Дг,г1>...,2,и)сг, (6)

А' И'2' |П

/Л=1

т*1

4*,] = 2

т=1 т*1

(?)

Здесь - симметрический полином степени { от величин гу гт, гт (т = 1, ... , М, т & I). Из выражений (6) и (7) видно, что погрешности определения параметров экспоненциальной аппроксимации зависят от порядка модели, набора полюсов и шага дискретизации, причем эти зависимости достаточно сложны. Таким образом, полученные выражения позволяют дать рекомендации по выбору оптимального шага дискретизации (или коэффициента прореживания отсчетов) для определенных групп сигналов.

Для проверки полученных соотношений были проведены численные эксперименты по обработке нескольких модельных сигналов, которые подтверждают справедливость выражений (6) и (7).

Далее во второй главе работы описывается программная реализация метода наименьших квадратов Прони с модификацией Битти-Джорджа-Робинсона [3]. Предлагаемый вариант реализации отличается от существующих тем, что при решении переопределенных систем линейных уравнений вида (1) и (2) использован метод сопряженных градиентов, позволяющий минимизировать невязку (то есть найти решение системы) за М шагов. Применение метода сопряженных градиентов позволило увеличить скорость обработки сигнала при сохранении приемлемой точности.

Для оценки качества работы предлагаемого математического и программного обеспечения была проведена спектральная обработка модельных сигналов на фоне шума. Результаты численных экспериментов позволяют утверждать, что при малом уровне шума

(отношение сигнал/шум более 30 дБ) спектральное оценивание короткой записи данных по методу наименьших квадратов Прони дает существенный выигрыш в точности определения спектральной плотности по сравнению с классическими методами.

В третьей главе работы рассматривается проблема спектрального оценивания периодических сигналов по короткой записи их отсчетов. Для решения данной задачи предлагается параметрический алгоритм, являющийся частным случаем метода Прони-Хильдебранта [2], но требующий меньших вычислительных затрат.

Рассмотрим короткую (от двух до пяти периодов) выборку произвольного периодического сигнала с ограниченным спектром, то есть состоящего из конечного числа гармоник Ь. Предположение об ограниченности спектра сигнала является разумным, поскольку при его дискретизации перед цифровой обработкой неизбежно ограничение количества гармоник для избежания эффекта наложения спектров. Для N отсчетов сигнала, взятых с шагом дискретизации ЛЬ, можно записать соотношение, соответствующее разложению сигнала в ряд Фурье:

Е Лехр(2яу7/0 пМ) = £

/=-£ /=1

где г = exp(2яjAtfo), п = 0, ... , N-1. При записи выражения (8) полагалось, что постоянная составляющая сигнала равна нулю.

Спектральные коэффициенты А\ могут быть найдены, если известен период сигнала То = l/fo', однако оценка периода на коротком интервале наблюдения представляет собой серьезную проблему. Как измерение временного интервала между двумя пересечениями сигналом порогового уровня, так и корреляционные методы

- И -

А,2п1+А]2

-п1

(8)

оценивания периода [4], во-первых, требуют значительного количества отсчетов, а во-вторых, весьма неустойчивы, если амплитуда первой гармоники сигнала мала по сравнению с остальными.

Видно, что форма (8) соответствует описанной ранее комплексной экспоненциальной модели, используемой в модифицированном методе Прони. Разница состоит лишь в том, что все полюса сигнала кратны его основной частоте /<?. Это дает возможность уйти от традиционной схемы Прони и упростить поиск полюсов сигнала. В работе показано, что оценку основной частоты исследуемого сигнала можно получить, минимизируя суммарную ошибку линейного сглаживания

по частоте / на интервале [0, l/(2LAt)]. Коэффициенты линейного сглаживания а/, являются симметрическими полиномами степени к величин zl и z'1 (I — 1, ... , L). Заметим, что флуктуирующий вектор отсчетов сигнала входит в выражение (9) как параметр. Выражение, аналогичное (9), для сигнала с постоянной составляющей легко получить, увеличив порядок модели на единицу.

В третьей главе работы описывается также математическая и программная реализация предлагаемого метода и обсуждаются результаты численных экспериментов по исследованию его устойчивости к флуктуациям отсчетов сигнала.

Четвертая глава посвящена описанию автоматизированного комплекса для калибровки гидрофонов методом импульсного зондирования в бассейне малого объема, состоящего из ЭВМ типа IBM PC со встроенным адаптером приборной шины GPIB, цифрового осциллографа С9-8, бассейна для гидрофонов, а

2

(9)

также оригинального блока формирования и усиления импульсов. Структурная схема экспериментальной установки приведена на рис. 1. Спектральная обработка импульсных откликов электроакустической системы "гидрофон-среда-гидрофон" производится по методу наименьших квадратов Прони с прореживанием отсчетов по модификации Битти-Джорджа-Робинсона [3]. Предварительная оценка порядка модели М и коэффициента прореживания q производится по величине суммарной ошибки линейного предсказания.

В конце главы приводятся результаты спектральной обработки полученных на данной установке сигналов гидроакустической системы в сравнении с классическими методами спектрального оценивания.

В заключении сформулированы основные результаты работы, а также приведены некоторые соображения о перспективах дальнейшего исследования описанных методов параметрического спектрального оценивания.

бассейн с гидрофонами

Рис. 1. - 13 -

Тексты программ, электрические принципиальные схемы узлов установки и некоторые выкладки отнесены в приложения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены аналитические соотношения, связывающие среднеквадратичные отклонения параметров экспоненциальной аппроксимации со среднеквадратичным отклонением флуктуа-ций отсчетов обрабатываемого по алгоритму Прони сигнала. Полученные формулы позволяют теоретически обосновать выбор шага дискретизации при оцифровке сигналов и прореживание их отсчетов в случае, когда шаг дискретизации много меньше оптимального, а количество отсчетов намного превышает минимально необходимое. Справедливость полученных соотношений подтверждена результатами численных экспериментов. Проведенные исследования позволяют утверждать, что в случаях, когда вне интервала наблюдения оказывается более 20% энергии сигнала и отношение сигнал/шум более ЗОдБ, точность определения спектральной плотности сигналов по методу Прони превосходит точность, обеспечиваемую классическими методами. Сказанное относится к сигналам, аналогичным импульсным откликам линейных систем, то есть представимым в виде ряда (1).

2. На основе метода сопряженных градиентов программно реализован алгоритм наименьших квадратов Прони с прореживанием отсчетов по модификации Битти-Джорджа-Робинсона. Исследования показали, что применение метода сопряженных градиентов для решения переопределенных систем линейных уравнений (1) и (2) позволяет ускорить процесс спектральной обработки сигналов при сохранении приемлемой точности вычислений.

3. Предложен параметрический метод спектрального оценивания периодических сигналов по короткой записи их отсчетов, позволяющий в реальном времени наблюдать изменения текущего спектра низкочастотных периодических колебаний с медленно меняющимися параметрами. Предлагаемый метод может рассматриваться как частный случай модифицированного метода Прони. Разработан математический аппарат для реализации данного метода и проведены численные эксперименты по оценке качества его работы.

4. Создан автоматизированный измерительный комплекс для калибровки гидрофонов методом импульсного зондирования в бассейне малого объема, принцип работы которого базируется на спектральном оценивании импульсных откликов электроакустической системы по методу наименьших квадратов Прони. Проведены эксперименты по спектральному оцениванию реальных откликов, полученных на построенной установке, которые позволяют отметить преимущества метода Прони для решения данной задачи по сравнению с классическими методами.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Захарченко В.Д., Игнатьев BJC, Никитин A3. Имитатор гидроакустического преобразователя // Электромеханика. - 1989. -№8. - С. 108-110.

2. Захарченко В.Д., Никитин A.B. Электронное моделирование гидрофонов по результатам измерения амплитудно-частотных характеристик // Проблемы метрологии гидрофизических измерений: Тез. докл. Всесоюзной конференции. - М., 1990. - С. 79.

3. Игнатьев В.К., Никитин A.B. Источник опорного напряжения // Приборы и техника эксперимента. - 1990. - №4. - С. 214-215.

4. Белодедов М.В., Игнатьев В.К., Никитин A.B. Точность аппроксимации сигналов по алгоритму Прони // Электронное моделирование. - 1992. - Т. 14. - №5. - С.43-48.

5. Никитин A.B. Анализ устойчивости алгоритма Прони к флуктуациям отсчетов сигнала // Статистический синтез и анализ информационных систем: Тез. докл. XIII научно-технического семинара. - Рязань, 1994. - С..21-22.

6. Захарченко В.Д., Климов A.B., Никитин A.B. Автоматизированный комплекс для калибровки гидроакустических преобразователей в бассейне малого объема // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления (Датчик-94): Тез. докл. Всероссийской научно-технической конференции. - Гурзуф, 1994. - С. 338-339.

7. Никитин A.B. Метод цифрового спектрального анализа периодических сигналов по короткой записи данных // Гуманитарные и естественные науки в Нижневолжском регионе: Тезисы докладов Межвузовской научно-практической конференции молодых ученых,-Волгоград: ВолГУ, 1995. - С. 119-120.

8. Гринев С.Н., Никитин A.B. Цифровой параметрический спектроанализатор периодических сигналов по короткой выборке // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления (Датчик-95): Тез. докл. Всероссийской научно-технической конференции. - Крым, 1995. - С. 85-86.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Марпл С. JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 548с.

2. Кей С. М., Марпл С. JI. Современные методы спектрального анализа: Обзор // ТИИЭР. - 1981. - Т.69. - №11. - С.5-51.

3. Beatty L. G., George J. D., Robinson A. Z. Use of the complex exponential expansion as a signal presentation for univerwater acoustic calibration //J. Acoust. Soc. Am. - V.63. - №6. -P. 1782-1794, 1978.

4. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных/ Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 540 с.