Разработка параметрических методов исследования нестационарных систем с медленно меняющимися параметрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

005019134

ЮШАНОВ Сергей Владимирович

РАЗРАБОТКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ

01.04.03 — радиофизика

2 6 ДПР 2012

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2012

005019134

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Никитин Андрей Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Никулин Сергей Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Канаков Олег Игоревич

Ведущая организация:

ОАО «Федеральный научно-производственный центр «Нижегородский научно-исследовательский приборостроительный институт «Кварц» имени А.П. Горшкова»

Защита состоится " 1С " мая 2012 г. в на заседании диссертационного

совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. , ауд^ОЗ .

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ННГУ Автореферат разослан « (£> » Олх^_2012 г.

Ученый секретарь ....._

диссертационного совета ^

к.ф.-м.н, доцент Черепенников В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

В настоящее время интенсивно развиваются радиофизические дистанционные методы измерений. Всё большее распространение приобретают радиоволновые методы, в которых объект наблюдения зондируется волной, а изменение динамических параметров объекта переносится на изменение частоты и огибающей отраженной волны. Радиоволновые методы обладают высокой информативностью и оперативностью в получении необходимой информации о состоянии и свойствах зондируемых объектов.

Объект наблюдения рассматривается как нестационарная система, определение параметров которой обычно производится методом замороженных коэффициентов, когда в каждый выбранный момент времени рассматриваемая система заменяется эквивалентной стационарной системой, описываемой передаточной функцией с постоянными коэффициентами, к которой применимы все известные методы исследования стационарных систем. Такой метод исследования позволяет судить лишь о некоторых средних значениях параметров на интервале измерения и дает некорректные результаты, когда необходимо определять изменение исследуемых параметров, поэтому актуальна задача разработки высокоточных и быстродействующих методов измерения динамических параметров нестационарных систем. При использовании радиоволновых методов эта задача сводится к определению изменения мгновенной частоты и огибающей волнового процесса, источником которого является исследуемая нестационарная система.

Определение динамических параметров системы по данным наблюдений является обратной задачей, в общем случае некорректной и требующей больших вычислительных затрат. Наличие дополнительной информации о наблюдаемой системе позволяет обеспечить корректность решения обратной задачи и упростить методы измерения динамических параметров. Класс решений таких задач может быть ограничен априорной информацией о медленности изменения параметров системы на квазипериоде колебаний волны, используемой для зондирования объекта, а значит - о медленности изменения огибающей и мгновенной частоты квазигармонической отраженной волны. Несмотря на медленность изменения огибающей и мгновенной частоты, исследуемый колебательный процесс может быть достаточно широкополосным, а в этом случае задача измерения этих величин осложняется вопросом об их однозначном определении.

Поскольку мгновенная частота и огибающая колебаний являются энергоопределяющими параметрами, им должны однозначно сопоставляться измеряемые физические величины. Поэтому для нестационарных систем вопрос о единственности квазигармонического представления колебания достаточно важен, и необходимы физические условия однозначного выделения огибающей и мгновенной частоты. Однако однозначное определение частоты как величины, обратно пропорциональной периоду колебаний, существует только для гармо-

нической волны. В теории сигналов используется определение мгновенной частоты как производной полной фазы аналитического сигнала, но оно неприменимо при рассмотрении конкретных физических задач, поскольку вводится с помощью неказуального преобразования Гильберта.

Цель работы

Разработка и исследование прецизионных быстродействующих методов измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем путем оценивания мгновенной частоты и огибающей их квазигармонических колебаний, а также создание аппаратно-программного измерительного комплекса, реализующего разработанные методы.

Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Определены физические условия единственности квазигармонического представления колебаний.

2. Разработаны методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических колебаний:

- основанные на модификации метода Прони;

- основанный на сопоставлении отсчетам сигнала двух временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, взаимно однозначно связанных с отсчетами огибающей и мгновенной частоты.

3. Проведен анализ точности и быстродействия разработанных методов по сравнению с существующими.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами.

5. Проведена проверка работоспособности методов на данных, полученных при проведении физического эксперимента.

Научная новизна

1. Впервые получено условие единственности квазигармонического представления колебаний с медленно меняющимися огибающей и частотой.

2. Разработаны два новых метода оценки мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанные на модификации метода Прони.

3. Разработан метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова.

4. Разработан новый метод компарирования медленно меняющихся частот.

5. Получены оценки точности и быстродействия разработанных методов при анализе частотно и амплитудно-модулированных сигналов с аддитивным и мультипликативным шумом.

Научно-практическое значение работы

1. Разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонического сигнала являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц.

2. Для разработанных методов, основанных на методе Прони, аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

3. Предложенный алгоритм сличения частот может использоваться в системах радиолокации и радионавигации, а также для модернизации стандартов частоты, которые непрерывно адаптивно корректируются по частоте государственного эталона.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами, который может использоваться при радиоволновых измерениях.

5. Создан и зарегистрирован программный продукт, в котором реализованы разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей и ряд известных методов, позволяющий обрабатывать как модельные, так и реальные сигналы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Доказательство существования и единственности квазигармонического представления сигнала с ограниченной медленно меняющейся частотой.

2. Аналитические соотношения для случайной погрешности оценивания мгновенной частоты по алгоритмам, основанным на методе Прони.

3. Метод повышения точности оценивания медленно меняющихся мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов с использованием

регуляризации Тихонова.

4. Рекуррентные алгоритмы с фиксированным количеством операций для оперативного оценивания мгновенной частоты и огибающей широкополосных сигналов.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской научно-технической конференции "Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов" (Пенза, 2004), Международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов (Волгоград, 2004), XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2007), XIII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2009) научных конференциях и семинарах ВолГУ, часть результатов получены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры

инновационной России» на 2009 - 2013 годы (проект № НК-423П/14), а также в рамках гранта РФФИ 10-07-9713 р_а.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах и 1 свидетельстве на программу для ЭВМ, включая 7 статей в научных изданиях из списка ВАК и в отчетах по государственному контракту на выполнение поисковых научно-исследовательских работ для государственных нужд.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Работа содержит 174 страницы, из которых 146 страниц занимает основной текст.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы, указаны цели и задачи исследования, отражены структура и объем работы.

Первый раздел посвящен обзору существующих подходов к оцениванию параметров нестационарных систем. В современной физике выделяются два вида математического описания сложных систем. Первый из них описывает систему извне и делает упор на совместное поведение всех элементов системы, точно указывая, как система откликается на каждое из возможных воздействий. Система рассматривается как «черный ящик», и её структура предполагается неизвестной. Задача оценивания состоит в построении аналитической зависимости, связывающей реакцию системы с входным воздействием. Примером такой зависимости является интеграл Дюамеля для линейной системы.

При втором подходе предполагается известной структура системы, то есть внутренний механизм преобразования входных процессов в выходные. Естественно, что такое внутреннее описание несет гораздо больше информации о системе, поскольку позволяет ее воспроизвести. Каждому такому внутреннему описанию соответствует внешнее. Примерами внутреннего описания могут служить система дифференциальных уравнений или схема замещения, описывающая преобразование сигнала в сложной цепи. Задача оценивания состоит в определении параметров модели (коэффициентов уравнений) по экспериментальным данным.

Рассматриваются непараметрические методы оценивания, такие как подход Н. Винера, который заключается в нахождении набора ядер Вольтерра исследуемой системы, подход Р. Калмана с использованием априорной информации для адаптивной подстройки системы измерения.

Подробно рассмотрена регуляризация А. Н. Тихонова, в которой используется априорная информация для построения решения обратной задачи в области корректности. Решение обратных задач производится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели (например, параметров дифферен-

циального уравнения) по имеющейся экспериментальной информации. Все обратные задачи могут быть сведены в общую абстрактную формулировку. Если обозначить через г неизвестную характеристику математической модели исследуемой системы, а через А - оператор, ставящий в соответствие г величину и, которая наблюдается в результате эксперимента, обратная задача состоит в решении уравнения

Аг = и, г Си С и, где оператор А и правая часть и заданы, и требуется определить ^

Математические трудности решения обратных задач связаны с тем, что обратный оператор Ал не является непрерывным. Поэтому если данные наблюдений м6(0 получены с некоторой ошибкой 5, то соответствующее приближенное решение, полученное стандартным методом,

г5 = /Г'к5,

будет сколь угодно сильно отклоняться от решения, соответствующего идеально точным входным данным м(0-

Для широкого класса обратных задач математической физики, таких как обратные задачи геофизики, распознавания образов, диагностики плазмы, астрофизики, существует априорная информация о характере искомого решения (его монотонность, выпуклость и т.п.). Используя такую информацию, можно построить эффективные алгоритмы приближенного решения некорректных задач. Априорной информацией могут служить сведения о гладкости искомого решения его монотонности, выпуклости, неотрицательности, принадлежности к конечно-параметрическому семейству и другие.

Рассматриваются параметрические методы оценивания, основанные на понятии мгновенной частоты. Мгновенная частота является универсальным определением частоты колебаний. Она вводится как производная полной фазы комплексного аналитического сигнала, построенного из исходного с помощью преобразования Гильберта

00

г{1) = *(<) + ;>(0 = - |лЧш)ехрО'<0Г)Ао,

Я о

' тс ^-"С те ^ -с

-00 О

Огибающая колебаний и их мгновенная частота определены соответственно как модуль и производная полной фазы аналитического сигнала.

Отдельно рассмотрен параметрический метод Прони, который позволяет получить дискретный набор частот экспоненциальной модели колебательного процесса, которая наилучшим в некотором смысле образом приближена к исследуемому колебанию на определенном временном интервале.

Здесь же рассматривается асимптотическое решение дифференциального уравнения второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами (как имеющее большое значение в радиофизике) для последующего нахождения

связи между параметрами системы и квазигармоническим представлением исследуемого сигнала.

Во втором разделе рассматривается вопрос однозначного описания колебательного процесса с помощью двух функций - огибающей Л(1) и полной фазы 9(/). В настоящее время применяются различные определения полной фазы, из которых наиболее употребительно определение Габора, основанное на преобразовании Гильберта, но они являются формально-математическими и могут приводить к физическим противоречиям. Вопрос о единственности представления волны в виде квазигармонического колебания существенен, если огибающей и (или) мгновенной частоте сопоставляются измеряемые физические величины, например, огибающая определяет энергию процесса, а мгновенная частота связана со скоростью объекта (как в задаче доплеровской локации). В этом случае нужны физические условия однозначного определения огибающей и мгновенной частоты.

При естественных предположениях, что огибающая А(() и мгновенная частота со (с) - положительные и непрерывные функции, а ш(/) ограничена как сверху, так и снизу

О < ат < оо(/) < <ом,

одним из таких условий может быть ограниченность носителя спектра мгновенной частоты со(/).

Показано, что если для производных мгновенной частоты справедлива оценка

и „

I га(">(ф/Ч, />= /|ш(р)|ф,

-и«

то для волны существует квазигармоническое представление с медленно меняющейся частотой, и оно единственно. В общем случае это представление может не являться аналитическим сигналом [10].

Вопрос об условиях, которым должен удовлетворять процесс, чтобы для него существовало квазигармоническое представление с медленно меняющейся частотой, относится скорее не к радиофизике, а к функциональному анализу. Он сводится к задаче об условиях, которым должна удовлетворять последовательность 4 нулей функции х(1), чтобы числа в* = 0(4) = пк - тт/2 могли быть значениями функции с финитным спектром.

На практике существование решения в классе единственности обосновывается связью огибающей и частоты с медленно меняющимися параметрами породившей его физической системы. Такая связь показана на примере нестационарной системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами

х(1)+р(1)т + чШ1) = 0, 0</<г0. (1)

При условии медленности изменения параметров системы решение существует в виде квазигармонического представления с медленно меняющейся огибающей и частотой.

Таким образом, если найденная мгновенная частота обрабатываемого сигнала является медленно меняющейся функцией на квазипериоде колебаний, то она единственна, а, следовательно, алгоритмы и методы по выделению медленно меняющихся огибающей и мгновенной частоты однозначно определяют медленно меняющиеся физические параметры нестационарной системы. Поэтому далее рассмотрены именно такие методы, предполагающие медленное изменение мгновенной частоты и огибающей или как частный случай - их постоянство.

Рассмотрен метод оценивания мгновенной частоты на основе модифицированного метода Прони второго порядка [2, 3]. Уравнение линейного сглаживания для этого случая имеет вид:

atАп -1] + х[п - 2] + х[и] = 0, х[и] = х(пМ), где Д/ - шаг дискретизации, а коэффициент авторегрессии ai на и-м временном интервале обозначен как а,„. Получено выражение для оценивания мгновенной частоты

=_|я-агссо5^JJ, где =--'

которое позволяет построить достаточно простую цифровую систему, обновляющую оценку при поступлении очередного отсчета измерения. Достоинства данного метода оценивания состоят в том, что аппаратные затраты на его реализацию чрезвычайно низки, а для оценивания частоты достаточно всего трех отсчетов, то есть интервал наблюдения составляет не более одного периода колебания.

Было получено выражение для дисперсии отклонения частоты для этого метода в случае наличия аддитивного белого шума с нулевым средним и СКО

2 _ 2_2cos (соД/) + 1_

= 2A2At2 cos2(<»A/ + 0)sin2(œAi) ' Это выражение сингулярно в точках юД / = 0, со А/ = я, шД t + в = л/2. Последнее соответствует случаю, когда средний из трех рассматриваемых отсчетов равен нулю: х[п - 2] = -x[ri\, х[п~ 1] =0. Одним из возможных методов борьбы с сингулярностью в точке шД/ + 0 = л/2 является применение модели, в которой используются четыре отсчета сигнала. Также для повышения точности оценивания мгновенной частоты можно использовать большее количество отсчетов х[п\ и метод наименьших квадратов при нахождении коэффициента линейного сглаживания а\п.

Рассмотрим скользящее окно T„ = [(n-L + 1)Л/, «А/], где L > 3. При этом требования на медленность изменения A{t) и ф(/) усиливаются. Тогда получится система уравнений вида

а,Лк~ 1]+*[*-2]+х[*] = 0, k = n-L + 3,...,n,

решение которой имеет вид:

¿ (х[к-г\+х[к])х[к-ц

I Лк-1] В"

Ып-Ш

Входящие в это выражение величины А„ и В„ могут быть вычислены с помощью рекуррентных соотношений:

Ал = ЛпА -x{n-L + \]{х[п-L + 2] + х[п-L]} + х[п-1]{*[«1 + Ф»- 2]},

B„ = B^-x2[n-L + l] + x2[n]. После нахождения коэффициента линейного сглаживания аи можно найти оценку мгновенной частоты.

В рассмотренном подходе использовалась модель колебания, в которой огибающая на интервале измерения постоянна. Если же использовать модель с экспоненциальным изменением огибающей на интервале, то следует использовать классический метод Прони [4].

Следуя классическому методу Прони второго порядка, уравнения авторегрессии будут иметь вид:

(х[п -1] = -а,„х[ п - 2] - а2„х[" " 31>

[*[«] = -alnx[n -1] - а2пх[п - 2]. Решения данной системы уравнений существуют при со Ai Ф 0 (то есть при а Ф О и Аг Ф 0) и имеют вид

х[п-3]х[п]-х[п-2]х[п-1]_ с„ а x[n-\f -x[n-2]x[ri\ _ bn а'"~ x[n-2f-x[n-3]x[n-l] Vi' 2" x{n-2f-x[n-3]x[n-\-\ bn_{ ' Мгновенная частота в этом методе будет определяться по формуле:

а}0— > =—i п -arceos —,С"

{ЧЬА*

Дисперсия отклонения частоты ю от истинной при использовании предложенного метода определяется соотношением

1

со =—-¡я-arceos " Ai 1

-1 exp(6(JAí) sin2 (2со Ai + в) -

+<

4Л2Д/2 exp(6(3Aí)sin4(coAf)'

hexp(4pA/)[sin(3coAr + в) + 2sin(coAf + 6)f +

н exp(2p Ai) [2 sin(2coAí + 9) + sin(0)f + sin2 (юА t + 9)}.

Оценка методом наименьших квадратов позволяет получить следующие соотношения для коэффициентов авторегрессии:

„ С.Л-.-4А-2 я _4A-.-c.A-i

ín~ R R -А2 ' 2" В В -А2 ' а величины Ап, В„ и С„ могут быть вычислены с помощью рекуррентных соотношений:

Bn=BnA+x[nf-x[n-L + 2}\ B0= О, Сп = С„_, + х[п]х[п-2]-x[n-L + 2]х[п- L], С0 = 0.

На основании рекуррентных соотношений в работе представлена структура цифрового устройства, позволяющего получать оценки мгновенной частоты в режиме реального времени.

В этом разделе также приведены результаты численного моделирования и сравнения быстродействия и помехоустойчивости всех рассмотренных и предложенных в работе методов оценивания мгновенной частоты.

Предлагаемые методы на основе алгоритма Прони являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до десятков мегагерц. Их можно рекомендовать для оперативного оценивания мгновенной частоты широкополосных колебательных процессов с малыми уровнями шума. Несомненным достоинством данных методов является независимость количества необходимых для их реализации операций от длительности окна наблюдения L.

Однако, как и большинство методов оценивания мгновенной частоты, рассмотренных в первом разделе, предложенные оценки основаны на методе замороженных коэффициентов. Такое упрощение приводит к уменьшению случайной ошибки оценивания, но увеличивает систематическую, так как выбор точки на интервале измерения, в которой фиксируются коэффициенты, может быть неоптимальным.

В третьем разделе предложен метод определения динамики огибающей и мгновенной частоты на интервале измерения квазигармонического сигнала с применением методов регуляризации на множестве медленно меняющихся функций, и рассмотрены статистические свойства этого метода. Разработанный метод применен для определения переменных параметров нестационарной системы. Для определения параметров системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, по измеренным значениям порожденного волнового процесса x(t) решается обратная задача. Такая задача относится к типу обратных коэффициентных задач и в общем случае является некорректной, но возможно построение корректного решения в некотором классе решений. Класс априорных ограничений на решение может быть разным, но физически обоснованным является условие медленного изменения коэффициентов уравнения (1).

Для применения регуляризирующих алгоритмов получены соотношения для самих коэффициентов, для чего использовалось представление волнового процесса в виде

x{t) = a{t) sin {0(0} = b{t) exp {s(t)} sin {©(/)}, где 0(0 = м(0, s(t) = y(0 • Условия медленности изменения частоты и огибающей при этом имеют вид:

ё(0=<й(0~цга2(0, s(0 = r(0~nw(0, ¿(0 = у(0~и2м2(0, ¿(0~H«(0. 0 < ц «1,

а связь с параметрами системы p(t), q{t) задается соотношением: «?(/) = ±рг(/) + i>(0 + ®2С). Pit) = -27(0 ■

Таким образом, для нахождения /?(/) и #(/) достаточно получить выражения для £0(0 И Г(/).

Можно построить функции следующего вида

x\t- 2Д) - - 4 Д)лг(0

, с/(0 =

jc^ (/ - А) - jc(f — 2A)JC(/)

^ (/ - 2Д) - x(t - 3Д)jc(î - Д) " ^ (f - 2Д) - х(/ - ЗД)х(/ - Д) x2(t - 2A)-x(t- 3 Д )x(t - Д) * 0, где Д - временной интервал, такой, что со(/)Д « 1, который может включать в себя несколько шагов дискретизации Ai. Применяя известные тригонометрические формулы и ограничиваясь порядком малости О(ц), можно получить следующие соотношения:

е(() « 4cos2 {ш(/ - 2Д)Д} + S,, 5j= 0(ц),

£/(0«ехр|2у(/-|д)д| + 0,, 5, = О(ц). (2)

Отсюда легко получить выражения для огибающей и частоты, считая остаточные члены bj и 5е малыми величинами:

со(0 = iarccosJ^p^l, у(0 = + 2Д)}.

Д [ 2 J 2Д

При этом выражения для коэффициентов уравнения (1) будут иметь вид:

-|2

q(t) = -p\t)+-p(t)+

I Ue(Т+2Д)

—arceos < --

Д I 2

I

, /J(0 = ~ln{rf(/ + 2A)}. (3)

Выражения для расчета e(t) и d(t) нужно записать на некотором интервале LA в виде

х10-LA-A)- x(t -LA- 3A)x(t -LA + A)

e(t-LA + A) = -

x2(/-LA-A)~x(t-LA- 2A)x(t - LA)

e«)= 2

x\t - 2Д) -x(t — 4A)x(t)

x\t - 2Д) - x(l - 3A)x(t - A)

хг(' - LA) - x(t - LA -A)x(t-LA + A)

(4)

d(t-LA + A) =

x\t -LA-A)- x(t -LA- 2A)x(t - LA) '

d{t) =

x\t-A)-x{t-2A)x{t) x2(t-2A)-x(t-3A)x(t-A)'

и регуляризировать их на множестве функций с ограниченной вариацией, а затем с помощью соотношений (3) переходить к искомым коэффициентам дифференциального уравнения [5 - 7, 9, 10].

Каждую из систем (4) можно рассматривать как операторное уравнение 1-го рода вида Av = u, причем вместо точных значений ïï = Av и А нам известны такие их приближения щ и непрерывный оператор Аг, что ||г/8 - й|| < 5, |yi,v-/4vj|<\|/(/i,||v||). Для решения уравнения при известных Ат и щ не обязательно знать величину изменения v - можно ограничиться более широким классом изменения для первого приближения, а затем решать задачу методом градиента, минимизируя функционал невязки <t>(v) = ||4.v-u5|| на множестве функций, где v не превосходит заданного приращения на рассматриваемом интервале.

Недостатком решения поставленной задачи на множестве функций ограниченной вариации, связанным с тем, что ограниченность вариации не предполагает медленного изменения функции, является ступенчатое изменение значений, что дает погрешности определения производной в выражении (3). Априорная информация о медленном изменении функций е(/) и d{t) позволяет провести дополнительную регуляризацию путем сглаживания временным окном длиной МЛ, по аналогии с методом усреднения для медленно меняющихся функций, и после этого вычислять коэффициенты p(t) и q(t). Задавшись условием минимума невязки получаемого после сглаживания решения, можно построить адаптивный алгоритм подбора оптимального значения М.

Статистические исследования предложенного метода оценивания медленно меняющихся параметров производились путём численного моделирования [9]. Исследовалась устойчивость метода при воздействии на измерения аддитивного нормального шумового процесса £(/) с нулевым средним. Моделирование проводилось на примере уравнения Матье

у + Qo (z - 2Acos(2fi0/)).y = 0,

Моделирование показало, что как систематическая, так и случайная погрешности оценки коэффициента p(t) увеличиваются с ростом Or значительно быстрее, чем для q{t). Это связано с тем, что порядок величин этих коэффициентов разный: p2(t) ~ \iq{t). Уменьшить погрешности возможно подбором интервала £Д, а также, при наличии какой-либо дополнительной априорной информации (например, об уровне шума, величине или виде самих коэффициентов), выбором алгоритма регуляризации. В погрешность оценивания p{t) значительный вклад вносят погрешности вычисления из-за малости самого коэффициента. В целом, можно сказать, что рассмотренный метод дает состоятельную оценку коэффициентов, но оценка q(t) смещена, хотя и очень незначительно.

Областью практического применения полученных результатов может стать актуальная для современной метрологии задача сличения частоты сигнала поверяемого генератора с сигналом Государственного эталона. Результаты позволяют утверждать, что предложенный метод нечувствителен к мультиплика-

тивным помехам, обладает высоким разрешением и допускает реализацию на базе современных сигнальных процессоров. Это означает, что возможно построить информационно-измерительный комплекс для анализа нестационарных систем как самостоятельный прибор, например, для компарирования частот при нестабильной амплитуде колебаний (навигационные системы типа ГЛОНАСС).

Четвертый раздел посвящен применению предложенного в третьем разделе подхода к практически важным задачам - сличению частоты с помощью квантовых эталонных сигналов частоты [8, И - 13] и определению динамических параметров нестационарной электромеханической системы [14-15].

Рассмотрим сигнал квантового эталона частоты с известной фиксированной частотой Шо:

x(t) = a(/)sin{27t/0/ + cp} = a(/)sin{9(/)} и медленно меняющейся огибающей a(t):

\m\~MOfo, a(t)> О, 0<ц«1. Пусть этот сигнал поступает на вход АЦП, частота дискретизации которого задается кварцевым резонатором, формирующим гармоническое колебание u(t)

M(/) = 6(/)sin{v|/(/)}.

В общем случае частота резонатора может изменяться при изменении внешних условий, таких как температура окружающей среды, поэтому можно считать, что частота и огибающая колебания u(t) медленно меняются: а>(») = y{t), |ш«)| ~ /«о2(0, 0 < ц «1,

6(0 >о.

В моменггы времени /„, в которые u(t) проходит через ноль, фиксируются значения сигнала В силу изменения частоты со(/) моменты времени /„ неэквидистантны

и

<„ ='„-> +Л'* =2>,> <о=0>

м

где Дt„ - значение шага дискретизации для и-го отсчета. Отсчеты сигнала эталона можно записать в виде

хп = а„ sin{2n/0/„ + ф} = я„ sin{9„}, *(/„) = *„, a{tn) = а„, 0„ = 2л/0г„ + ф. Если составить соотношение из отсчетов x(t) для момента времени t„

Сп (Хп-2 ~ХПХП-А) = Хп-2 ~ Хп-1Хп-3 '

можно получить выражение для оценивания шага дискретизации

Я-^^гагсоЦ^/г),

Определив моменты времени, в которые были получены отсчеты сигнала x(t), 7п=7„_1 + Ы„, 7a=t0=Q, получим ) = лп, тогда для частоты кварцевого резонатора справедливо выражение

ffl(C2) =-гтЧгг

arceos^ ¡2)

После применения рассмотренного подхода к сигналу x(í) получается набор значений частоты со(0 исследуемого колебания u{t) в точках Т„. Априорная информация о медленности изменения частоты позволяет провести регуляризацию полученных значений на некотором интервале, а затем аппроксимировать значения частоты ш(/) кубическими сплайнами в промежуточных точках. Численное моделирование подтвердило результаты теоретического анализа.

Рассмотрено усовершенствование предложенного в разделе 3 метода выделения огибающей и полной фазы квазигармонического процесса с медленно меняющейся частотой. Для получения одного отсчета оценок огибающей а[п] и мгновенной частоты ю[н] используется скользящее окно длиной L = 4Q + M. Здесь M - количество 5-точечных интервалов длиной 40А/, смещенных друг относительно друга на A t. Отсчеты частоты и огибающей:

1 \Ш г-1 ТУИ ■ ¿"I лг L + 1

QM [ 2 J |sm(w[;]gA/J 2 2

где

1+(М-1)/2 rt=i-(M-\)l2

Модернизация метода позволила полностью восстанавливать обрабатываемый сигнал и контролировать качество выделения огибающей и полной фазы по энергии отклонения исходного колебания от восстановленного.

Аналогичным образом бьша проведена модернизация для других оперативных методов измерения частоты. Для метода, основанного на теории «расщепления сигналов» длина окна! = 3Q + М> 4. Оценка частоты на ;-м шаге:

ct>[¿] = —-— У arccos-^7¿ j' = L-1,...,JV-1, MQát „=jf¿+1 2c[n]

где

d[n] = x[n-Q]x[n-2Q]-x[n]x[n-3Q] , c[n] = x2[n-Q}-x[n]x[n-2Q]. В модифицированном методе Прони второго порядка в пределах окна длиной L = 2Q + М> 3 ищутся величины

^{х[п-20\ + х[п]}х[п-0\ ф]=-агЬМ±1---, / = 1-1,...,ЛГ-1

Í>2[ n-Q]

n=i-M +1

и определяется значение частоты:

& w=—

QAt

ГФ']

7t- arccos —

I 2

Следуя классическому методу Прони, выражение для частоты имеет вид:

Г Л)

юГП = —— irc-arccos

г)

где

AF-CD BD-AC

°-2~C2-bf'

А= £х[п]х[п-()], 5 = ¿>2[«-S], С = Yx[n-Q]x[n-2Q], n-i-M n~i-M n=i~M

D= iTx[n]x[n-2Q], F= £x2[n-2Q].

n=i-M n-l-M

Заметим, что в рамках этой модели должно выполняться неравенство 4а2 >а? -в противном случае корни полинома не будут являться комплексно сопряженной парой, а окажутся действительными числами.

Численное моделирование показало, что модернизация методов вычисления мгновенной частоты (введение коэффициента прореживания Q) позволила получить точность вычислений на уровне метода, предложенного в разделе 3, для изменяющихся на интервале измерения величин.

Следующим этапом была разработка и схемотехническая реализация аппаратно-программного комплекса на базе сигнального процессора, работающего в широком диапазоне частот, для реализации разработанных методов измерения мгновенной частоты и огибающей. В качестве основного устройства блока обработки сигналов выбран цифровой сигнальный микропроцессор TMS320VC5509A производства фирмы Texas. В качестве АЦП в схеме анализатора используется микросхема ADS1602 производства фирмы Texas Instilments, разрядностью 16 бит. Источником высокостабильного гармонического сигнала выступал генератор рубидиевый опорный 41-1013. Были произведены серии экспериментов по сличению частот гармонических сигналов, источниками которых служили генератор АНР-1012 и низкочастотный прецизионный генератор ГЗ-122.

Проверка метрологических характеристик аппаратно-программного комплекса проводилась на примере нестационарной системы, характеристики которой заранее известны, а спектральный состав сигнала на ее выходе аналогичен спектру ЯМР. Параллельный колебательный контур с переменной емкостью включен последовательно с резистором Rq = 5,6 МОм, как показано на рис. 1. В качестве конденсатора Сь емкость которого меняется в пределах 3,1...18,35 пФ, используется механический конденсатор переменной емкости с воздушным диэлектриком, передний подшипник скольжения которого заменен

на подшипник качения. Катушка индуктивности А = 9,032 мГн содержит 1016 витков медного провода диаметром 0,6 мм, намотанного на тороидальном каркасе из стеклопластика. Пустотелый каркас имеет круглое сечение диаметром 90 мм, его внешний диаметр равен 390 мм, внутренний - 210 мм. Собственное сопротивление катушки Я = 72 Ом. Значение подстроечной емкости С0 = 260 пФ подобрано так, чтобы расчетная резонансная частота контура/0 при С\ = 10 пФ составила 100 кГц. На эту же частоту настроен внешний генератор гармонического сигнала. Емкость соединительных проводов, а также сопротивление катушки индуктивности рассчитаны через измеренную АЧХ контура и учтены в указанных параметрах системы.

Сигнал на исследуемую цепь подается через помещенный в экран трансформатор с разделительной обмоткой, которая подключена к заземленному экрану. Катушка индуктивности и емкости также помещены в экраны. Связи между элементами данной цепи обеспечиваются посредством триаксиального кабеля, внешняя оплетка которого соединена с экранами. Изменение параметров цепи во времени производится вращением оси переменного конденсатора с помощью электродвигателя, помещенного в заземленный стальной экран для минимизации создаваемых им электромагнитных помех, с частотой около 66,67 Гц. При этом соблюдено условие на медленность изменения параметров системы.

Рис. 1. Схема исследуемой системы

Вал электродвигателя соединен с осью конденсатора тросиком через втулки из непроводящего материала (стеклопластика). Тросик также соединен с заземлением с помощью опор, натягивающих его и удерживающих от колебательных движений, которые могут привести к обрыву соединения. Втулка, соединяющая тросик и переменный конденсатор, покрыта слоем медной фольги, которая припаяна к тросику для экранирования наводок на конденсатор и не соприкасается с осью конденсатора. Электродвигатель питается от источника напряжения 25 В, скорость его вращения контролируется с помощью бесконтактного цифрового тахометра/стробоскопа АКТАКОМ АТТ-6002. При вращении конденсатора С\ напряжение и(1) на нем колеблется вблизи резонанса и его можно представить в виде квазигармонического колебания. Чертеж схемы соединения емкости с электродвигателем установки приведен на рис. 2.

Исследуемый колебательный процесс «(/) подается на 16-разрядный АЦП, который осуществляет его дискретизацию с шагом Д/ = 1,6 мкс. АЦП тактируется сигналом рубидиевого генератора 41-1013, дискретная последовательность mN= 32768 отсчетов передается в компьютер.

Рис. 2. Схема соединения переменой ёмкости с электродвигателем: 1 - экран, 2 - электродвигатель, 3 - втулка (стеклопластик), 4 - тросик, 5 - станина (дерево), 6 - переменный конденсатор, 7 - экран

На рис. 3 представлена полученная зависимость емкости от угла поворота у, а точками обозначены значения переменной емкости, которые были измерены заранее с шагом в 6°. Видно, что они лежат на графике полученной зависимости, что говорит о правильности работы метода.

Рис. 3. Полученная зависимость переменной емкости от угла поворота у (точками обозначены измеренные заранее значения)

Отношение сигнал/шум для наблюдаемого сигнала составило 50 дБ, а среднеквадратичное относительное отклонение измеренной частоты от расчетной на периоде изменения емкости приблизительно 10~7, для огибающей - 10" . Относительная энергия ошибки восстановления сигнала составила 10' . Это говорит о том, что точность измерения параметров нестационарных систем предлагаемым методом не хуже точности измерения параметров стационарных систем стандартными методами.

В заключении сформулированы основные результаты и краткие выводы из представленной диссертации.

В приложениях приведены фрагменты программного обеспечения, реализующего алгоритмы методов, предложенных в представленной диссертации. Основные результаты: При выполнении диссертационной работы для измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем путем оценивания мгновенной частоты и огибающей их квазигармонических колебаний были определены физические условия единственности квазигармонического представления колебаний и разработаны три метода оценивания медленно меняющихся мгновенной частоты и огибающей: два метода, основанных на модификации метода Прони, и метод, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала двух временных рядов с медленно меняющимися членами, взаимно однозначно связанных с отсчетами огибающей и мгновенной частоты.

В диссертационной работе показано, что если найденная мгновенная частота измеренного сигнала является медленно меняющейся функцией на квазипериоде сигнала, то она единственна.

В диссертационной работе проведены исследования созданных методов оценивания мгновенной частоты и огибающей, которые показали:

- Методы измерения мгновенной частоты, основанные на методе Прони, являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц. Количество необходимых для их реализации операций не зависит от количества отсчетов сигнала на интервале измерения. Для этих методов аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии в исследуемом сигнале аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

- Метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова, дает состоятельную, хотя и немного смещенную, оценку частоты. Систематическая погрешность практически не зависит от малых уровней аддитивного и мультипликативного шумов.

- Сравнение методов показало, что для оценивания изменяющихся на интервале измерения величин лучше подходит метод с использованием регуляризации Тихонова, а, методы оценивания на основе метода Прони позволяют проводить измерения более оперативно, но с большей статистической погрешностью.

- Численное моделирование показало, что модернизация методов вычисления мгновенной частоты, основанных на методе Прони, путем введения коэффициента прореживания позволила получить точность вычислений, сравнимую с методом на основе регуляризации Тихонова, а в некоторых случаях даже выше.

-На примере восстановления закона изменения переменной емкости электромеханической системы доказано, что точность измерения параметров нестационарных систем разработанным методом с использованием регуляризации Тихонова сравнима с точностью измерения параметров стационарных систем стандартными методами.

- На примере движущегося электрического диполя показано, что разработанные методы, в отличие от основанных на понятии «мгновенная частота аналитического сигнала», приводят к физически правильному результату оценивания.

Опубликованные материалы диссертации

1. Никитин A.B., Семеняченко A.C., Юшанов C.B. Измеритель мгновенной частоты и огибающей сигналов на основе цифровых фильтров с импульсными характеристиками разной длины // Тез. докл. ВНТК "Физика и технические приложения волновых процессов", Самара: Издательство "Самарский университет", 2004. С. 169-170.

2. Никитин A.B., Юшанов C.B. Оценивание мгновенной частоты широкополосных сигналов с медленно меняющимися амплитудой и фазой на основе метода Прони // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.

2006. Т. 9. № 2. С. 57 - 62.

3. Юшанов C.B. Цифровая система оценивания мгновенной частоты широкополосных сигналов на основе метода Прони // Тез. докл. XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград,

2007. С. 237-238.

4. Никитин A.B., Юшанов C.B. Измерение мгновенной частоты широкополосных сигналов на коротком интервале наблюдения // Измерительная техника. 2008. № 2. С. 50 - 54.

5. Игнатьев В.К, Никитин A.B., Юшанов C.B. Оценивание медленно меняющихся параметров электромеханических систем // Изв. вузов. Электромеханика. 2009. № 2. С. 28-32.

6. Юшанов C.B. Оценивание медленно меняющихся параметров динамических систем // Тез. докл. XIV Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области, Волгоград, 2009. С. 216 - 218.

7. Юшанов C.B. Применение регуляризации Тихонова к методу Прони // Тез. докл. 12 Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применение». 2010. Выпуск XII-1. С. 148 - 151.

8. Юшанов C.B. Метод решения задачи сличения частот // Тез. докл. 12 Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применение». 2010. Выпуск XI1-2. С. 207 - 209.

9. Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Параметрический анализ колебаний с медленно меняющейся частотой // Известия вузов. Радиофизика. 2010. T. LIII. № 2. С. 145- 159.

Ю.Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. О единственности квазигармонического представления // Вестник ВолГУ. 2010. Серия 1. Вып. 13. С 137 -150.

П.Игнатьев В.К., Никитин A.B., Хоружий Д.Н., Юшанов C.B. Динамический метод сличения частот// Измерительная техника. 2011. № 1. С. 32-36.

12.Никитин A.B., Хоружий Д.Н., Юшанов C.B. и др. Разработка и исследование параметрического метода анализа динамических систем. Научно-технический отчет о выполнении 1 этапа Государственного контракта № П2522 от 20 ноября 2009 г. № ГР 02201058635 от 23.12.2010. Волгоград. 74 с.

13.Никитин A.B., Хоружий Д.Н., Юшанов C.B. и др. Разработка и исследование параметрического метода анализа динамических систем. Научно-технический отчет о выполнении 2 этапа Государственного контракта № П2522 от 20 ноября 2009 г. № ГР 02201058050 от 10.12.2010. Волгоград. 105 с.

Н.Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Определение электродинамических параметров нестационарных систем // Журнал радиоэлектроники. 2011. № 8. С 1 - 14. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://jre.cplire.rU/jre/augll/7/text.pdf.

15.Боровков В.И., Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Однозначное определение огибающей и мгновенной частоты электромеханических колебаний // Изв. вузов. Электромеханика. 2012. № 1. С. 16 - 20.

16.Оценивание частоты, огибающей и начальной фазы сигналов с медленно меняющимися огибающей и частотой: свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ № 2011619483 Российская Федерация / C.B. Юшанов. -№2011617734; опубл. 14.12.2011.

Оглавление диссертации

Введение 4

1. Определение параметров нестационарных систем 10

1.1. Оценивание параметров систем при отсутствии априорной информации Ю

1.2. Оценивание параметров систем при наличии априорной информации 14

1.3. Параметрический анализ и мгновенная частота 19

1.4. Методы оценивания мгновенной частоты 22

1.5. Аппроксимация сигналов по методу Прони 30

1.6. Асимптотическое решение дифференциального уравнения второго порядка 34

1.7. Постановка задачи 40

2. Измерение мгновенной частоты квазигармонических колебаний с использованием метода Прони 42

2.1. Единственность квазигармонического представления сигнала 43

2.2. Применение модифицированного метода Прони 48

2.3. Применение классического метода Прони 53

2.4. Сравнительный анализ методов оценивания мгновенной частоты

по короткой реализации сигнала 61

2.5. Анализ результатов и выводы 66

3. Решение обратной задачи определения параметров нестационарных систем 69

3.1. Параметрический метод измерения мгновенной частоты и огибающей с применением регуляризации 69

3.2. Численное моделирование статистических характеристик предложенного метода 77

3.3. Решение обратной задачи для нестационарной системы 84

3.4. Анализ результатов и выводы 88

4. Применение методов измерения параметров нестационарных систем на практике 90

4.1. Динамический метод сличения частот 90

4.2. Усовершенствование метода анализа нестационарных систем для реализации в цифровых измерительных системах 97

4.3. Сравнение методов определения мгновенной частоты и огибающей в реальном времени 106

4.4. Применение динамического метода сличения частот для определения стабильности частоты генераторов 113

4.5. Экспериментальная нестационарная система 120

4.6. Анализ результатов и выводы 129 Заключение 132 Литература 135

Подписано в печать 29.03 2012 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1121.

Волгоградское научное издательство 400011, Волгоград, ул. Электролесовская, 55.

Введение

1. Определение параметров нестационарных систем

1.1. Оценивание параметров систем при отсутствии априорной информации

1.2. Оценивание параметров систем при наличии априорной информации

1.3. Параметрический анализ и мгновенная частота

1.4. Методы оценивания мгновенной частоты

1.5. Аппроксимация сигналов по методу Прони

1.6. Асимптотическое решение дифференциального уравнения второго порядка

1.7. Постановка задачи

2. Измерение мгновенной частоты квазигармонических колебаний с использованием метода Прони

2.1. Единственность квазигармонического представления сигнала

2.2. Применение модифицированного метода Прони

2.3. Применение классического метода Прони

2.4. Сравнительный анализ методов оценивания мгновенной частоты по короткой реализации сигнала

2.5. Анализ результатов и выводы

3. Решение обратной задачи определения параметров нестационарных систем

3.1. Параметрический метод измерения мгновенной частоты и огибающей с применением регуляризации

3.2. Численное моделирование статистических характеристик предложенного метода

3.3. Решение обратной задачи для нестационарной системы

3.4. Анализ результатов и выводы

4. Применение методов измерения параметров нестационарных систем на практике

4.1. Динамический метод сличения частот

4.2. Усовершенствование метода анализа нестационарных систем для реализации в цифровых измерительных системах

4.3. Сравнение методов определения мгновенной частоты и огибающей в реальном времени

4.4. Применение динамического метода сличения частот для определения стабильности частоты генераторов

4.5. Экспериментальная нестационарная система

4.6. Анализ результатов и выводы 130 Заключение 133 Литература 136 Приложение 1. Функции для расчета оценок мгновенной частоты разными методами 148 Приложение 2. Фрагменты программ для расчета огибающей и мгновенной частоты методом с регуляризацией 154 Приложение 3. Функции оценивания частоты, огибающей и начальной фазы сигналов с медленно меняющимися огибающей и частотой методом МНК с прореживанием 169 Приложение 4. Функции для расчета оценок мгновенной частоты разными методами с применением МНК с прореживанием

Многие физические задачи сводятся к косвенному оцениванию динамических параметров физических объектов по данным измерений, например, изучение закона движения с помощью эффекта Доплера, различные дистанционные измерения (температуры, химического состава вещества) и другие. Объект наблюдения можно рассматривать как нестационарную систему, а результаты измерений представляют собой электрическую величину, зависящую от времени (процесс), которая допускает дальнейшую обработку как аналоговыми, так и цифровыми методами.

Основные результаты по оцениванию динамических параметров систем получены в теории автоматического управления и известны как теория идентификации, литература по которой со всеми её разделами весьма обширна. К теории идентификации можно отнести первые работы Найквиста [1] и Боде [2] по частотным свойствам, в которых показано, как получить частотную характеристику системы по измерениям входного и выходного сигналов, и как эта характеристика связана с характеристическим уравнением системы и его корнями. В работах Зиглера и Николса [3] рассматриваются методы идентификации с помощью ступенчатого воздействия. Н. Винер предложил при рассмотрении сложных динамических объектов, априорные сведения о которых либо отсутствуют, либо незначительны, теорию, основанную на вероятностных моделях [4]. Р. Ли рассмотрел важные вопросы последовательного оценивания состояний и параметров [5]. Стоит отметить работу Сейджа [6], посвященную важным разделам идентификации и оценивания параметров. Методы, описанные в монографиях Дойча [7] и Ван Триса [8], применимы к последовательной идентификации параметров. В работе Менделя и Фу [9] рассматривается вопрос стохастической аппроксимации и градиентной идентификации. Бокс и Дженкинс [10] рассмотрели идентификацию смешанных авторегрессионных моделей. Важное значение имеет книга Ли, Адамса и Гейнза [11], в которой обсуждаются непоследовательные регрессионные методы, а также книга Сейджа и Мелса [12].

Кашьяп и Pao [13] подчеркивают, что в их толковании теории центральное место занимают процедуры подтверждения и выбора моделей, а Седестрем и Стойка [14] особое внимание уделяют методам инструментальных переменных. Среди работ по рекуррентным методам идентификации следует отметить работы Льюнга и Седестрема [15] и Янга [16]. К предмету идентификации систем следует отнести статистические исследования моделей временных рядов, описанные в монографиях Андерсона [17], Хэннана [18] и Бриллингера [19]. Проблеме преодоления априорной неопределенности на основе адаптивной обработки сигналов посвящены работы Уидроу и Стирнза [20] и других авторов [21, 22]. По этой же тематике разрабатывал свою теорию и Р. Калман [23]. Идеи адаптации получили развитие в направлении, связанным с нейронными сетями и генетическими алгоритмами [24-26], которые оказались универсальным средством эффективного построения моделей практически любых структур. Информационную теорию идентификации рассмотрел Цыпкин [27], а Райбман [28] - дисперсионную теорию. Перечисленные теории имеют широкий спектр практического применения, но для анализа параметров нестационарных систем в режиме реального времени малоприменимы, так как требуют значительных вычислительных затрат. Поэтому параллельно перечисленным развивались методы параметрического оценивания, основанные на априорной информации о том, что структуру системы можно задать небольшим числом динамических параметров, например, переменных коэффициентов дифференциального уравнения.

Оценивание динамических параметров систем по данным наблюдений представляет собой обратную задачу, которая является некорректной в классическом смысле, но допускает построение корректного решения на некоторых компактных множествах при наличии априорной информации. В такой постановке идентификация динамической параметров системы сводится к коэффициентным обратным задачам, основы теории которых заложил А. Н. Тихонов [29, 30], с их помощью решены многие практические задачи в астрофизике, геофизике и других областях [31-34]. Однако в этих методах практически не используется параметрическое представление исследуемого процесса, поэтому построить на этой основе измерительный комплекс, работающий в режиме реального времени с высокой точностью, не удается, если процесс в сравнении с параметрами исследуемой системы является быстроменяющейся функцией.

Параметрический анализ развивается параллельно с теорией идентификации, начиная с введения Габором [35] понятия мгновенной частоты как производной полной фазы аналитического сигнала. Введенная таким образом мгновенная частота не является каузальной функцией сигнала, так как преобразование Гильберта, использующееся в определении аналитического сигнала, использует не только прошлые, но и будущие значения сигнала. Поэтому мгновенная частота по Габору не может быть точно связана с измеряемой физической величиной, например, скоростью. В дальнейшем были предложены другие определения полной фазы и методы измерения мгновенной частоты, которая понимается как производная полной фазы независимо от способа ее определения [36-39]. Существующие в настоящее время различные определения частоты колебаний построены исходя из свойств исследуемого процесса и никак не привязаны к характеристикам породившей этот процесс системы. Несмотря на это, существует множество методов оценивания частоты, которые успешно применяются для анализа параметров систем. Их недостатком, помимо отсутствия связи с физическими характеристиками системы, является то, что они основаны на принципе замороженных на интервале измерения коэффициентов, что позволяет судить лишь о некотором среднем значении параметра на интервале.

В настоящее время всё большее распространение приобретают радиоволновые методы измерений, в которых объект наблюдения зондируется волной, а изменение динамических параметров объекта переносится на изменение частоты и огибающей отраженной волны. Радиоволновые методы обладают высокой информативностью и оперативностью в получении необходимой информации о состоянии и свойствах зондируемых объектов. В этих задачах широко используется представление исследуемого процесса в виде квазигармонического колебания. В этом случае немаловажным является вопрос об однозначности определения частоты и огибающей колебаний. Вопрос о единственности представления колебания существенен, если огибающей и (или) мгновенной частоте сопоставляются измеряемые физические величины, например, огибающая определяет энергию процесса, а мгновенная частота связана со скоростью объекта, как в задаче доплеровской локации.

Цель работы

Разработка и исследование прецизионных быстродействующих методов измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем путем оценивания мгновенной частоты и огибающей их квазигармонических колебаний, а также создание аппаратно-программного измерительного комплекса, реализующего разработанные методы. Для достижения поставленной цели в работе были решены следующие задачи:

1. Определены физические условия единственности квачигармоническо-го представления колебаний.

2. Разработаны методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических колебаний:

- основанные на модификации метода Прони;

- основанный на сопоставлении отсчетам сигнала двух временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, взаимно однозначно связанных с отсчетами огибающей и мгновенной частоты.

3. Проведен анализ точности и быстродействия разработанных методов по сравнению с существующими.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами.

5. Проведена проверка работоспособности методов на данных, полученных при проведении физического эксперимента.

Предмет исследования

- Методы оценивания динамических параметров нестационарных систем.

- Условия существования и единственности квазигармонического представления колебаний.

- Метрологические характеристики параметрических методов анализа нестационарных физических систем.

Научная новизна

1. Впервые получено условие единственности квазигармонического представления колебаний с медленно меняющимися огибающей и частотой.

2. Разработаны два новых метода оценки мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанные на модификации метода Прони.

3. Разработан метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами ряда, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова.

4. Разработан новый метод компарирования медленно меняющихся частот.

5. Получены оценки точности и быстродействия разработанных методов при анализе частотно и амплитудно-модулированных сигналов с аддитивным и мультипликативным шумом.

Научно-практическое значение работы

1. Разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонического сигнала являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц.

2. Для разработанных методов, основанных на методе Прони, аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

3. Предложенный алгоритм сличения частот может использоваться в системах радиолокации и радионавигации, а также для модернизации стандартов частоты, которые непрерывно адаптивно корректируются по частоте государственного эталона.

4. Создан аппаратно-программный измерительный комплекс для анализа сигналов разработанными методами, который может использоваться при радиоволновых измерениях.

5. Создан и зарегистрирован программный продукт, в котором реализованы разработанные методы оценивания мгновенной частоты и огибающей и ряд известных методов, позволяющий обрабатывать как модельные, так и реальные сигналы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений.

Первый раздел посвящен обзору существующих подходов к оцениванию динамических параметров нестационарных систем. Рассматриваются непараметрические методы оценивания, такие как подход Н. Винера, который заключается в нахождении набора ядер Вольтерра исследуемой системы, подход Р. Калмана с использованием априорной информации для адаптивной подстройки системы измерения, а также регуляризация А. Н. Тихонова, в которой используется априорная информация для построения решения обратной задачи в области корректности. Рассматриваются параметрические методы оценивания, основанные на понятии мгновенной частоты, а также отдельно излагаются основные принципы метода Прони как одного из параметрических методов оценивания. Здесь же рассматривается асимптотическое решение дифференциального уравнения второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами для последующего нахождения связи между параметрами системы и квазигармоническим представлением исследуемого сигнала. Помимо этого описаны постановка задачи и выбор методов исследования.

Во втором разделе работы рассматривается вопрос единственности квазигармонического представления исследуемого сигнала. Предложены методы оценивания мгновенной частоты сигналов с медленно меняющимися огибающей и частотой, основанные на использовании метода Прони, а также проанализирована их устойчивость к малому аддитивному шуму. Представлена структура цифрового устройства, позволяющая получать оценки мгновенной частоты в режиме реального времени. Произведено сравнение с известными методами оценивания мгновенной частоты.

В третьем разделе предложен метод оценивания медленно меняющихся параметров нестационарных систем с применением регуляризации и рассмотрены статистические свойства этого метода. Приведены результаты численного моделирования применения разработанного методов для оценивания параметров нестационарной системы, описываемой уравнением Матье.

В четвертом разделе предложен подход для решения задач компарирова-ния частот. Усовершенствован предложенный ранее метод выделения огибающей и полной фазы квазигармонического сигнала с медленно меняющейся частотой. Произведено численное моделирование и исследование статистических свойств предлагаемого метода в рамках задачи оперативного и непрерывного оценивания частоты и огибающей сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой при наличии аддитивного шума. С помощью цифрового параметрического анализатора и метода выделения огибающей и мгновенной частоты квазигармонического сигнала произведена оценка динамики частоты нескольких лабораторных генераторов. Описана созданная нестационарная система на основе колебательного контура с емкостью, изменяемой по известному закону. По отклику данной системы на гармонический сигнал восстановлен закон изменения емкости и произведено его сравнение с заданным.

В заключении перечислены основные результаты работы и сделаны краткие выводы. Тексты программ и некоторые выкладки вынесены в приложения.

Заключение

В данной диссертационной работе предложены несколько оперативных прецизионных методов измерения медленно меняющихся параметров нестационарных систем. Эти методы сводятся к задаче измерения огибающей и мгновенной частоты колебательного процесса, источником которого является исследуемая нестационарная система. Подводя краткий итог проделанной работы, отметим ее основные результаты.

1. Показано, что если найденная мгновенная частота измеренного сигнала является медленно меняющейся функцией на квазипериоде колебаний, то она единственна, а, следовательно, алгоритмы и методы по выделению медленно меняющихся огибающей и мгновенной частоты однозначно определяют медленно меняющиеся физические параметры нестационарной системы.

2. Предложены методы оценивания мгновенной частоты сигналов с медленно меняющимися огибающей и мгновенной частотой, основанные на использовании метода Прони, а также проанализирована их устойчивость к малому аддитивному шуму. Представлена структура цифрового устройства, позволяющая получать оценки мгновенной частоты в режиме реального времени. Предлагаемые методы на основе алгоритма Прони являются оптимальными при реализации измерений в режиме реального времени, требуют сравнительно малых вычислительных затрат и позволяют реализовать цифровые системы оценивания частоты в диапазоне до сотен мегагерц. Их можно рекомендовать для оперативного оценивания мгновенной частоты широкополосных сигналов с малыми уровнями шума. Несомненным достоинством данных методов является независимость количества необходимых для их реализации операций от количества отсчетов сигнала на интервале измерения ЫЬЛ . Для этих методов аналитически получены соотношения для дисперсии отклонения частоты при наличии в исследуемом сигнале аддитивного белого шума с нулевым средним, которые подтверждены численным моделированием.

3. Предложен метод оценивания мгновенной частоты и огибающей квазигармонических сигналов, основанный на сопоставлении отсчетам сигнала временных рядов с медленно меняющимися членами, рассчитываемыми с использованием регуляризации Тихонова, и описано его применение для нахождения переменных параметров нестационарной системы. Проведено численное моделирование для проверки и оптимизации работы метода. Полученные результаты исследований позволяют говорить, что для предложенного метода систематическая погрешность практически не зависит от малых уровней аддитивного и мультипликативного шумов.

4. Разработан динамический метод сличения частот, который позволяет осуществлять сличение частот исследуемого сигнала с эталонным, а также автоматическую синхронизацию частоты кварцевых и квантовых (рубидиевых) генераторов. Это дает возможность создать новый тип стандартов частоты, которые могут непрерывно адаптивно корректироваться частотой государственного эталона, что позволит существенно снизить их нестабильность и уменьшить погрешность по частоте их выходных сигналов.

5. Усовершенствован предложенный метод выделения огибающей и полной фазы квазигармонического сигнала с медленно меняющейся частотой с использованием регуляризации Тихонова, что позволило полностью восстанавливать обрабатываемый сигнал и контролировать качество выделения огибающей и полной фазы по энергии отклонения исходного сигнала от восстановленного. Введен параметр прореживания отсчетов сигнала и количества усреднений при получении динамики частоты и огибающей. Реализована возможность цифровой фильтрации с помощью КИХ-фильтров с линейной ФЧХ как исходного сигнала, так и промежуточных последовательностей, используемых в данном методе. Произведено численное моделирование и исследование статистических свойств усовершенствованного метода в рамках задачи оперативного и непрерывного оценивания частоты и огибающей сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой при наличии аддитивного шума.

6. Сравнение разработанных методов показало, что для оценивания изменяющихся на интервале измерения величин лучше подходит метод с использованием регуляризации Тихонова, а, методы оценивания на основе метода Про-ни позволяют проводить измерения более оперативно, но с большей статистической погрешностью. Численное моделирование показало, что модернизация методов вычисления мгновенной частоты, основанных на методе Прони, путем введения коэффициента прореживания позволила получить точность вычислений, сравнимую с методом на основе регуляризации Тихонова, а в некоторых случаях даже выше.

7. С помощью созданного аппаратно-программного измерительного комплекса и разработанного метода сличения частот произведена оценка динамики частоты нескольких лабораторных генераторов и созданного генератора стабильной частоты 100 кГц. Проведен анализ полученных зависимостей.

8. Создана реальная нестационарная система на основе колебательного контура с емкостью, изменяемой по известному закону, сигнал которой аналогичен сигналам ЯМР-спектроанализаторов. С помощью цифрового параметрического анализатора динамических систем, генератора стабильной частоты 100 кГц и разработанного метода выделения огибающей и полной фазы по отклику данной системы на гармонический сигнал восстановлен ее динамический параметр. Произведено сравнение заданного и восстановленного законов, которое принципиально доказало правильность работы метода и его точность.

Часть результатов работы получены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (проект № НК-423П/14), а также в рамках гранта РФФИ 10-07-9713 ра.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю к.ф.-м.н., доценту A.B. Никитину за постоянное и внимательное руководство и д.ф.-м.н., профессору В.К. Игнатьеву за помощь в работе и критические замечания.

1. Nyquist Н. Regeneration Theory // Bell System Technical J. 1932. V. 11. P. 126-147.

2. Bode H.W. Network Analysis and Feedback Amplifier Design. New York: Van Nostrand Reinhold. 1945. 551 p.

3. Ziegler J.G., Nichols N.B. Process Lags in Automatic Control Circuits // Transactions of the ASME. 1943. V. 65. P. 433 444.

4. Винер H. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М.: ИЛ. 1961. 158 с.

5. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Мир. 1963. 176 с.

6. Sage А.Р. Optimum Systems Control. N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs. 1968. 562 p.

7. Deutsch R. Estimation Theory. N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs. 1965.269 p.

8. Ван Трис Теория обнаружения оценок и модуляции. М.: Советское радио. 1972.

9. Mendel J.M., Fu K.S. (editors) Adaptive, Learning and Pattern Recognition Systems. New York: Academic Press, 1970. 444 p.

10. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир. 1974. 405 с.

11. Lee Т.Н., Adams G.E., Gaines W.M. Computer Process Control Modeling and Optimization. New York: Willey. 1968. 368 p.

12. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем. М.: Наука. 1974. 248 с.

13. Kashyap R.L., Rao A.R. Dynamic Stochastic Models from Empirical Data. New York: Academic Press. 1976. 334 p.

14. Soderstrom Т., Stoica P. Instrumental variable methods for system identification. New-York: Springer-Verlag. 1983. 243 p.

15. Ljung L., Soderstrom T. Theory and Practice of recursive identification. Mass: MIT Press. 1983. 529 p.

16. Young P.C. Parameter estimation for continuous-time models A survey // Automatica. 1981. V. 17. P. 23 - 39.

17. Anderson T.W. The Statistical Analysis of time series. New York: Wiley-Interscience. 1994. 720 p.

18. Hannan E.J. The identification of vector mixed autoregressive moving average systems // Biometrica. 1969. V. 56. № 1. P. 223 225.

19. Brillinger D.R. Time series: data analysis and theory. San Francisco: Hol-den-Day. 1981. 540 p.

20. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь. 1989. 440 с.

21. Адаптивные фильтры: Пер. с англ./ Под. ред. К.Ф. Коуэна и П.М. Гранта. М.: Мир. 1988. 392 с.

22. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука. 1984. 288 с.

23. Kalman R. Е. A new approach to linear filtering and prediction problems // Transaction of the ASME, Ser. D, Journal of Basic Engineering. 1960. V. 82. P. 34 -45.

24. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. М.: ООО «И.Д. Вильяме». 2006. 1104 с.

25. Haykin S. Kalman Filtering and Neural Networks. New York: Wiley. 2001.284 р.

26. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor: MIT Press. 1992. 228 p.

27. Цыпкин Я.З. Информационная теории идентификации. М.: Наука. 1995. 336 с.

28. Райбман Н.С. и др. Дисперсионная идентификация. М.: Наука. 1981.320 с.

29. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 286 с.

30. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ. 1994. 208 с.

31. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука. 1987. 160 с.

32. Гончарский А.В., Черепашук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука. 1978. 336 с.

33. Яновская Т.Б., Порохова JI.H. Обратные задачи геофизики. Л.: ЛГУ. 1983.210 с.

34. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

35. Gabor D. Theory of communication // ЛЕЕ. 1946. V. 93. P. 429 457.

36. Вакман Д.Е. Измерение частоты аналитического сигнала // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24. № 5. С. 982 989.

37. Boashash В. Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal part 1: Fundamentals // Proc. IEEE. 1992. V. 80. № 4. P. 520 - 538.

38. Boashash B. Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal part 2: Algorithms and applications // Proc. IEEE. 1992. V. 80. № 4. P. 539 -568.

39. Saliu S. Definition of instantaneous frequency on real signals // Proceedings of the X European Signal Processing Conference, EUSIPCO. Tampere. Finland. 2000.

40. Музыкин C.H., Родионова Ю.М. Моделирование динамических систем. Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд-во. 1984. 304 с.

41. Volterra V. Theory of Functionals and Integral and Integro-Differential Equations. Dover Publications. New York, 1959. 280 p.

42. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. т. И:-584 с.

43. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 320 с.

44. Mehra R.K. On-line identification of linear dynamic systems with applications to Kalman filtering // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. V. 16. № 1. P. 12 -21.

45. Вайнштейн JI.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука. 1983. 288 с.

46. Финк JI. М. Сигналы, помехи, ошибки. М.: Связь. 1978. 256 с.

47. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио. 1971. 672 с.

48. Ye N. The handbook of data mining. New Jersey: LEA. 2003. 704 p.

49. Cohen L. Time-frequency distributions a review // Proc. IEEE. 1989. V. 77. №7. P. 941 -981.

50. Марпл-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1990. 584 с.

51. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1978. 848 с.

52. Уэбстер Р.Дж. Регулирование просачивания спектральных составляющих ДПФ // ТИИЭР. 1980. Т. 68. № 10. С. 203 205.

53. Картер Дж.К., Наттол А.Х. О методе взвешенного усреднения перекрывающихся сегментов для оценивания спектра // ТИИЭР. 1980. Т. 68. № 10. С. 216 218.

54. Xia X.-G., Cohen L. On analytic signals with nonnegative instantaneous frequency // Proceedings of the ICASSP-99. 1999. P. 1483.

55. Мирский Г.Я. Электронные измерения. M.: Радио и связь. 1986. 440с.

56. Kootsookos P.J. A Review of the Frequency Estimation and Tracking Problems // Technical Report by Cooperative Research Centre for Robust and Adaptive Systems. Salisbury. Australia. 1999. P. 38.

57. Лабутин C.A., Пугин M.B. Помехоустойчивость и быстродействие методов измерения частоты по короткой реализации гармонического сигнала // Измерительная техника. 1998. № 9. С. 34 36.

58. Lovell В., Williamson R. The statistical performance of some instantaneous frequency estimators. // Proc. IEEE. 1992. V. 40. № 7. P. 1708 1722.

59. Минц М.Я., Чинков B.H. Оптимальный по помехозащищенности метод измерения частоты гармонических сигналов // Измерительная техника. 1992. №4. С. 50-52.

60. Starer D., Nehorai A. Newton Algorithms for Conditional and Unconditional Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of Exponential Signals in Noise // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1992. V. 40. №6. P. 1528- 1534.

61. Quinn B.G. Some New High-Accuracy Frequency Estimators // Proceedings of ISSPA. Gold Coast. 1992. P. 323 326.

62. Djurovic I., Katkovnik V., Stankovic L. Instantaneous frequency estimation based on the robust spectrogram // Proceedings of ICASSP. Salt Lake City. USA. 2001. V. 6. P. 3517 3520.

63. Borda M., Nafornita I., Isar D., Isar A. New instantaneous frequency estimation method based on image processing techniques // Journal of Electronic Imaging. 2005. V. 14. № 1. P. 000-1 -000-11.

64. Katkovnik V., Egiazarian K., Shmulevich I. Adaptive varying window size selection based on intersection of confidence intervals rule // Abstracts of IEEE -EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing. Baltimore. USA. 2001.

65. Emtiyaz Khan Md., Narayana Dutt D. Expectation-maximization algorithm for instantaneous frequency estimation with Kalman smoother // Proceedings of the XII European Signal Processing Conference, EUSIPCO. Vienna. Austria. 2004. P. 1797- 1800.

66. Li Y., Papandreou-Suppappola A., Morrell D. Instantaneous frequency estimation using sequential Bayesian techniques // Proceedings of Asilomar Conference on Signal, System, and Computers. Pacific Grove. 2006. P. 569 573.

67. Chandra Sekhar S., Sreenivas T.V. Adaptive Window Zero-Crossing-Based Instantaneous Frequency Estimation // EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2004. V. 12. P. 1791 1806.

68. Hermanowicz Е., Rojewski М. On digital estimation of the instantaneous frequency beyond the folding frequency // Proceedings of the X European Signal Processing Conference, EUSIPCO. Tampere. Finland. 2000.

69. Riedel K.S. Kernel estimation of the instantaneous frequency // IEEE Transactions on Signal Processing. 1994. V. 42. Issue 10. P. 2644 2649.

70. O'Shea P., Boashash B. Instantaneous frequency estimation using the cross Wigner-Ville distribution with application to non-stationary transient detection // IEEE. 1990. V. 2. P. 2887 2890.

71. Odegard J.E., Baraniuk R.G., Oehler K.L. Instantaneous frequency estimation using the reassignment method // Proceedings of Society of Exploration Geophysics 67th Annual Meeting. Dallas. US. 1997.

72. Ghofrani S., McLernon D.C., Ayatollahi A. Weighted average instantaneous frequency based on adaptive signal decomposition // Proceedings of the XIII European Signal Processing Conference, EUSIPCO. Antalya. Turkey. 2005.

73. Georgakis A., Stergioulas L.K. An automatic time-frequency algorithm for accurate recovery of signals with nonstationarities in noise // 3rd International Symposium on Communications and Digital Signal Processing, CSNDSP. Staffordshire. 2002.

74. Blaska J., Sedlacek M. Use of the integral transforms for estimation of instantaneous frequency // Measurement science review. 2001. V. 1. № 1. P. 169- 172.

75. Katkovnik V., Stankovic L. Instantaneous frequency estimation using the Wigner distribution with varying and data driven window length // Proc. IEEE. 1998. V. 46. №9. P. 2315-2325.

76. Игнатьев B.K., Гринев C.H., Никитин A.B. Оценивание мгновенной частоты радиосигналов по текущему спектру // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. Т. 6. № 4. С. 63 72.

77. Игнатьев В.К., Гринев С.Н., Никитин А.В. Спектральное оценивание мгновенной частоты сигналов с медленно меняющейся амплитудой // Метрология. 2001. №8. С. 34-45.

78. Вакман Д.Е. Асимптотические методы в линейной радиотехнике. М.: Советское радио. 1962. 247 с.

79. Минц М.Я., Чинков В.Н. Оперативный метод измерения частоты гармонического сигнала при наличии помех // Измерительная техника. 1993. № 1.С. 49-51.

80. Katkovnik V. Discrete-time local polynomial approximation of instantaneous frequency // Proc. IEEE. 1998. V. 46. № 10. P. 2626 2637.

81. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1971. Т.1. 316 с.

82. Егоров Е.А., Лабутин С.А. Расщепление класса сигналов с помощью линий задержки // Электронное моделирование. 1984. № 4. С. 113-116.

83. Лабутин С.А. Синтез широкополосных преобразователей гармонических сигналов на основе перемножителей и линий задержки // Теоретическая радиотехника. 1987. Вып. 42. С. 56 62.

84. Лабутин С.А., Пугин М.В. Статистические модели и методы в измерительных задачах. Нижний Новгород: НГТУ. 2000. 158 с.

85. Белодедов М.В., Игнатьев В.К., Никитин А.В. Точность аппроксимации сигналов по алгоритму Прони // Электронное моделирование. 1992. Т. 14. № 5. С. 43-48.

86. Никитин A.B. Спектральное оценивание периодических сигналов на основе алгоритма Прони // Сборник трудов молодых ученых и студентов ВолГУ. Волгоград: Издательство ВолГУ. 1995. С. 231 233.

87. Beatty L.G., George J.D., Robinson A.Z. Use of the complex exponential expansion as a signal presentation for univerwater acoustic calibration // J. Acoust. Soc. Am. 1978. V. 63. № 6. P. 1782 1794.

88. Гринев C.H., Никитин A.B. Цифровой параметрический спектроана-лизатор периодических сигналов по короткой выборке // Измерительная техника. 1996. №2. С. 16-18.

89. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука. 1964. 432 с.

90. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. М.: Гос. издат. ф.-м. лит-ры. 1959. 572 с.

91. Квантовая радиофизика / под ред. В.И. Чижика. СПб.: Изд-во СПбГУ. 2004. 689 с.

92. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. 456 с.

93. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1968. 464 с.

94. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны: Учеб. пособие. М.: Изд. физ.-мат. лит. 2001. 416 с.

95. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Гос. издательство по технике и связи. 1935. 40 с.

96. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИИЛ. 1953. 256 с.

97. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 408 с.

98. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит. 2003. 400 с.

99. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1983. 352 с.

100. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука. 1981.400 с.

101. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматлит. 2004. 800 с.

102. Никитин A.B., Юшанов C.B. Оценивание мгновенной частоты широкополосных сигналов с медленно меняющимися амплитудой и фазой на основе метода Прони // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.2006. Т. 9. № 2. С. 57 62.

103. Юшанов C.B. Цифровая система оценивания мгновенной частоты широкополосных сигналов на основе метода Прони // Тез. докл. XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград.2007. С. 237-238.

104. Никитин A.B., Юшанов C.B. Измерение мгновенной частоты широкополосных сигналов на коротком интервале наблюдения // Измерительная техника. 2008. № 2. С. 50 54.

105. Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. О единственности квазигармонического представления // Вестник ВолГУ. 2010. Серия 1. Вып. 13. С. 137- 150.

106. Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Параметрический анализ колебаний с медленно меняющейся частотой // Изв. вузов. Радиофизика. 2010. Том LUI. №2. С. 149- 159.

107. Игнатьев В.К., Никитин A.B. Метод медленно меняющейся частоты в радиоволновых измерениях // Журнал радиоэлектроники. 2011. № И. С 1 -20. Электронный ресурс. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/nov 11/17/text.pdf

108. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. М.: Физматлит. 1985. 400 с.

109. Ш.Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматгиз. 1959.212 с.

110. Хургин Я.И, Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука. 1971.408 с.

111. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции.и действия над ними. М.: Физматгиз. 1958. 276 с.

112. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983. 176с.

113. Polya G. On an Integral Function of an Integral Function // J. London Math. Soc. 1926. V. 1. P. 12 15.

114. Евграфов M.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979. 320 с.

115. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехтеориз-дат. 1956. 632 с.

116. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990. 232 с.

117. Игнатьев В.К, Никитин A.B., Юшанов C.B. Оценивание медленно меняющихся параметров электромеханических систем // Изв. вузов. Электромеханика. 2009. № 2. С. 28 32.

118. Юшанов C.B. Оценивание медленно меняющихся параметров динамических систем // Тез. докл. XIV Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. Волгоград. 2009. С. 216 218.

119. Юшанов C.B. Применение регуляризации Тихонова к методу Прони // Тез. докл. 12 Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применение». Москва. 2010. Выпуск XII-1. С. 148 151.

120. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. 480 с.

121. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука. 1979. 832 с.

122. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 320 с.

123. Юшанов C.B. Метод решения задачи сличения частот // Тез. докл. 12 Международной конференции «Цифровая обработка сигналов и её применение». Москва. 2010. Выпуск XII-2. С. 207 209.

124. Игнатьев В.К., Никитин A.B., Хоружий Д.Н., Юшанов C.B. Динамический метод сличения частот // Измерительная техника. 2011. № 1. С. 32 36.

125. Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Определение электродинамических параметров нестационарных систем // Журнал радиоэлектроники. 2011. № 8. С. 1 14. Электронный ресурс. - Режим доступа: http://jre.cplire.ni/jre/augll/7/text.pdf.

126. Боровков В.И., Игнатьев В.К., Никитин A.B., Юшанов C.B. Однозначное определение огибающей и мгновенной частоты электромеханических колебаний // Изв. вузов. Электромеханика. 2012. № 1. С. 16 20.

127. ГОСТ 8-129-99. Государственная система обеспечения единства измерений. Государственная поверочная схема для средств измерений времени и частоты.

128. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. Пер. с англ. М.: Мир, 1970.

129. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989.

130. Техническое описание ADS5485 Электрон. ресурс. http://focus.ti.com/docs/prod/folders/print/ads5485.html.

131. Техническая документация процессора TMS320VC5509A Электронный ресурс. Режим доступа: http://focus.ti.com/lit/an/spraa37/spraa37.pdf.

132. Технические описания интерфейсов процессора TMS320VC5509A Электронный ресурс. Режим доступа: http://focus.ti.com/docs/prod/folders/print/tms320vc5509.html.

133. Техническое описание микросхемы ADS 1602 Электронный ресурс. Режим доступа: http://focus.ti.com/lit/ds/symlink/adsl602.pdf.

134. Стандарт частоты рубидиевый 41-1013. Руководство по эксплуатации. РУГА.411653.005 РЭ. ЗАО «Рукнар». -2010.-22 с.

135. Техническое описание генератора АНР-1012 Электронный ресурс.- Режим доступа: http://zrk.ru/generator/ahpl012.htm.

136. Техническое описание генератора ГЗ-122 Электронный ресурс. -Режим доступа: http://www.priborelektro.ru/price/G3-122.php4?deviceid=164.

137. Техническое описание тахометра АТТ-6002 Электронный ресурс. -Режим доступа:http://www.aktakom.ru/kio/index.php?SECTIONID=504&ELEMENTID=7241.

138. Техническое описание RLC измерителя Е7-8 Электронный ресурс.- Режим доступа: http://www.priborelektro.ru/price/E7-8.php4?deviceid=514.

139. Риле Ф. Стандарты частоты. Принципы и приложения / Пер. с англ. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009. - 512 с.

140. Оценивание частоты, огибающей и начальной фазы сигналов с медленно меняющимися огибающей и частотой: свидетельство об офиц. регистрации программы для ЭВМ № 2011619483 Российская Федерация / C.B. Юшанов. -№2011617734; опубл. 14.12.2011.