Волновые процессы в нестационарных упругих системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

6 стр.

ГлаЕа I. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ДВИЖУЩИМСЯ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ."

§ I. Постановка краевых задач динамики одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками. . 31 стр. п.1. Вывод условий на движущихся границах, п.2. Примеры конкретных постановок задач.

§ 2. Струна с движущимся закреплением.43 стр. п.1. Общая постановка задачи кинематики. п.2. Качественно-различные случаи Езаимодейстеия поперечных еолн струны с движущейся границей , „ с , п. 3.Анализ решения для струны с упруго-инерци-альным закреплением.

§ 3. Балка с движущимся закреплением . 62 стр. п.1. Качественно-различные случаи ЕзаимодейстЕИя изгибных еолн с движущейся границей, « - ,, п.2. Анализ решения для случая абсолютного

Выводы.

Глава П. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗМЕНЯЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ РАЗМЕРАМИ.

§ I. Инвариантные преобразования волнового уравнения. . 73 стр п.1. Решение неоднородного еолнового уравнения с жесткого закрепления. условиями на движущихся границах, п.2. Обратная задача.Примеры ее решения.

§ 2. Методы решения прямой задачи п.1. Метод итераций. п.2. Приближенный метод для случая медленного

85 стр. движения границ. п.З. Примеры приближенных решений.

§ 3. Общие свойства. Явление резонанса.95 стр. п.1. Закон двойного эффекта Допплера. Инварианты, п.2. Резонансные свойства. Параметрический резонанс.

Выводы.

Глава Ш. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН С ПОДВИЖНЫМИ ЗАКРЕПЛЕНИЯМИ.

§ I. Постановка задачи. Нахождение точных решений. . . 108 стр п.1. Однократное взаимодействие еолн с движущимся закреплением, п.2. Решение задачи методом разделения переменных.

§ 2. Приближенные методы решения.119 стр. п.1. Метод медленно изменяющихся фаз. п.2. Инвариантные преобразования еолноеого управления в случае медленного движения границ.

§ 3. Анализ характерных еолновых явлений.125 стр. п.1. Прямоугольная мембрана с подвижным закреплением, п.2. Мембрана с движущимся угловым закреплением (диффракция на движущемся клине).

В ы е о д ы.

Глава 1У. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С КОЛЕБЛЩИ-МИСЯ ГРАНИЦАМИ.

§ I. Явление параметрической неустойчивости 2-го рода. .136 ст; п.1. Вводные замечания. Пример неустойчивости 2-го рода, п.2. Исследование процессов формирования импульсоЕ.

§ 2. Качественная теория параметрической неустойчивости .147 стр п.1.,Общие положения. Критерий неустойчивости, п.2. Периодические законы движения границ. Примеры решения конкретных задач.

§ 3. Экспериментальные исследования . 159 СТр. п.1. Обнаружение и исследование параметрического возбуждения колебаний импульсной формы, п.2. Влияние дисперсии и нелинейности. Выводы.

Глава У. СИСТЕМЫ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ СВОЙСТВАМИ ГРАНИЦ.

§ I. Однократное взаимодействие волн с параметрической границей.181 стр. п.1. Постановка задачи. Соотношения Мэнли-Рьу. п.2. Условия усиления и демпфирования колебаний.

§ 2. Собственные колебания и явление резонанса. . . .192 стр. п.1. Общая постановка задачи. Классификация систем, п.2. Собственные колебания системы с нестационарными закреплениями. п.З. Вынужденные колебания и резонанс.

§ 3. Параметрическое возбуждением колебаний. 203 стр. п.1. Аналоговое моделирование волновых процессов, п.2. Распадная неустойчивость и эффект преобразования частоты. п.З. Возбуждение колебаний импульсной формы.

§ 4. Экспериментальные исследования. 226 стр. п.1. Параметрическое возбуждение поперечных колебаний ленты с переменным упругим закреплением, п.2. Изучение режимов неустойчивости на электродинамической системе.

Выводы.

Глава У1. СИСТЕМЫ С ИЗМЕНЯЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ И ПРОСТРАНСТВЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

§ I. Параметрическая неустойчивость 2-го рода.245 стр. п.1. Разновидности параметрической неустойчивости, п.2. Пример точного решения задачи о формировании импульсов.

§ 2. Качественная теория параметрической неустойчивости 2-го рода. 255 стр. п.1. Критерий неустойчивости 2-го рода, п.2. Система с бегущей еолной параметра. п.З. Система со стоячей еолной параметра.

§ 3. Вынужденные колебания системы с медленно изменяющимися параметрами. 266 стр.

§ 4. Экспериментальные исследования. 272 стр. п.1. Эффект параметрической генерации импульсов в электродинамических системах, п.2. Параметрическое возбуждение испульсов в одномерной механической системе. п.З. Эффект модуляции частоты при однородном изменении параметров.

ВЫВОДЫ

Диссертация посвящена разработке физических и математических аспектов теории колебаний распределенных параметрических систем применительно к задачам динамики упругих элементов машин и механизмов.

Актуальность проблемы диктуется современными потребностями развития техники, которые характеризуются непрерывно растущими требованиями к быстродействию машин и механизмов. По мере возрастания скоростей работы при анализе и прогнозировании динамического поведения систем все чаще оказывается необходимым учитывать пространственную структуру колебаний, поскольку она становится сравнимой с размерами элементов машин и механизмов. Особые трудности учета пространственной неоднородности колебательных процессов возникают в тех случаях, когда силовые воздействия на систему вызывают изменение ее параметров и приводят к проявлению нелинейных свойств.

Традиционно развиваемые методы решения соответствующих задач динамики упругих систем £14,175,181,185*] основывались на представлении о том, что в распределенных системах с нестационарными параметрами возможны лишь явления, присущие хорошо изученным сосредоточенным параметрическим системам [4,120,121*] . Однако, как выяснилось в последнее' время, эти методы не только ограничены, но зачастую и несостоятельны для адекватного описания реальных процессов, так как пространственная неоднородность колебаний приводит к ряду ранее не учитываемых явлений, таких, например, как, обусловленное эффектом Допплера,преобразование частоты [36,47,57, 68] и параметрическое возбуждение особо опасных при эксплуатации машин колебаний импульсной формы [34,35,43,46 ] . Вставшая в связи с этим актуальной проблема создания более адекватных методов потребовала для своего решения углубленной разработки физических к математических основ теории колебаний распределенных параметрических систем, а именно, выявления достаточно полного набора качественных особенностей их динамического поведения и определения математических подходов, учитывающих эти особенности.

Научная новизна результатов диссертационной работы видится, с одной стороны, в разработке ряда вопросов теории волновых процессов в параметрических системах, а с другой - в решении некоторых основополагающих вопросов динамики распределенных параметрических систем.

Распределенные системы, в зависимости от того как изменяются их параметры, можно условно подразделить на следующие три класса ^41,64,69] : системы с движущимися границами, системы с нестационарными свойствами границ и системы с изменявшимися во времени и пространстве распределенными паршетрами.

В основе динамических явлений в системах с подвижными границами лежит обобщенный эффект Допплера, выражающийся в изменении частоты, амплитуды волн и трансформации их формы [68,83,142^ . Ранее, в основном применительно к задачам электродинамики, достаточно пот дробно был изучен эффект однократного взаимодействия волн с движущейся границей раздела двух сред ^84,142,148,174,182,193,194] и с движущимся скачком параметров среды ^137,140-142] . Результаты этих исследований обобщены в диссертации |36,47,57,68] на случай, когда неоднородность, с которой взаимодействует волна, представляет собой движущуюся сосредоточенную систему. Именно такие задачи наиболее характерны для прикладной механики.

Взаимосогласованность динамического поведения упругой системы и движущегося вдоль нее сосредоточенного упруго-инерциального закрепления (или нагрузки) определяется условиями согласования на движущейся границе (в точке контакта). Они включают в себя условия непрерывности упругой системы и условия для сил взаимодействия. Нахождение последних ^30,48,68,72"^ позволило впервые корректно поставить задачи динамики одномерных механических систем с движущимися закреплениями и нагрузками и, в частности, задачи взаимодействия упругих волн с движущимися закреплениями.

Выявлено, что на движущееся закрепление (нагрузку) в отличие от неподвижной действуют дополнительные инерционные силы, величины которых пропорциональны скоростям движения закрепления (нагрузки) [30,48,68,72] . Их учет оказывается особенно важен при скоростях движения закрепления сравнимых со скоростями распространения упругих волн.

Понимание физической сущности явлений, лежащих в основе динамических процессов в системах с подвижными границами, позволило для некоторых подклассов задач разработать новые, более адекватные методы их решения. Так для процессов, описываемых волновыми уравнениями с условиями на движущихся границах предложены методы нахождения как точных ^8,18,19,26,28,57,63,66,68] , так и приближенных ^13,18,19,27,28,57,62,63,68] решений. Указан общий класс нелинейных преобразований независимых переменных [57,68,54] , оставляющих инвариантным волновое уравнение и позволяющих во многих случаях конструировать точные решения в форме удобной для аналитического исследования [18,29,57,63,68,70] . На основе точных решений впервые выявлены некоторые общие свойства динамического поведения соответствующих систем ^57,63,68] , а также изучены особенности проявления их резонансных свойств [57,68] .

Усиление волн в системах с движущимися границами, как правило, сопровождается их сжатием ^57,68] . При этом в режимах параметрической неустойчивости непрерывное нарастание энергии сопровоздает-ся трансформацией формы волн в последовательность импульсов [26, 57,59,68] . Впервые неустойчивость такого рода (в отличие от неустойчивости описываемой уравнениями типа Хилла, она условно названа в диссертации неустойчивостью 2-го рода) была обнаружена в характерна для случаев, когда дисперсия выражена слабо, как это, например, имеет место для продольных и крутильных волн в стержнях. Применительно к таким случаям развит метод исследования проявлении соответствующих качественных особенностей решений волновых уравнений с условиями на движущихся границах, позволяющий расчитывать зоны неустойчивости на плоскости параметров 143,57,65,68] .

Что касается других двух классов распределенных параметрических систем, то для них наиболее полно ранее были исследованы системы, параметры ( р ) которых изменяются со временем однородно во всем пространстве ( р = р^Г ) р2(1) , где Г - радиус-вектор. нерезонансных (т.е. в неограниченных, либо согласованных на концах) системах [3,142] . Поэтому основное внимание в диссертации уделено учету пространственной неоднородности изменения параметров и прежде всего, в системах резонансных.

Путем изучения особенностей проявления параметрической неустойчивости в системах с нестационарными свойствами границ на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) установлено [52,60,64,69^ , что характер возбуждаемых колебаний во многом определяется спектром собственных частот соответствующей стационарной системы. Обычная "распадная" неустойчивость в них может сопровождаться эффектом переноса энергии вверх и вниз по спектру, в результате чего оказывается возможным одновременное возбуждение нескольких квазигармонических колебаний, фазы которых связаны между собой посредством изменяющегося параметра [64,69^ . В случаях, когда спектр соответствующей стационарной системы близок к эквидистантному, в системах могут возбудиться колебания импульсной формы [43,52,67].

Теоретическими [35,47,53] и экспериментальными [35,41,56^ механических системах

34] . Указанная неустойчивость прежде всего t - время

Неоднородность же учитывалась в основном в методами выявлена возможность параметрической генерации импульсов (неустойчивость 2-го рода) в системах со стоячей и бегущей волнами параметра.

Изучение резонансных свойств систем последних двух классов показало, что также как и системы с изменяющимися во времени размерами j57,63,68J , они характеризуются собственными, вообще говоря, существенно негармоническими колебаниями, вследствие чего синусоидальное внешнее воздействие возбуждает в них колебания сложной формы •

Цель работы состоит в

- постановке краевых задач динамики одномерных систем с движущимися по заданным законам закреплениями и нагрузками,

- изучении взаимодействия упругих волн с движущимися закреплениями,

- разработке методов решения волновых уравнений с условиями на движущихся границах,

- выявлении общих свойств (в том числе и резонансных) динамического поведения распределенных параметрических систем конечных раз' меров (с движущимися закреплениями, с нестационарными свойствами закреплений, с пространственно неоднородно изменяющимися во времени распределенными параметрами),

- изучении экспериментальными и теоретическими методами особенностей проявления параметрической неустойчивости в указанных выше одномерных системах,

- разработке методов прогнозирования условий параметрического возбуждения колебаний сложной формы, в том числе и колебаний импульсной формы (параметрической неустойчивости 2-го рода).

Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение и список цитируемой литературы. Общий объем составляет 342 стр., включая 219 стр. основного текста, 65 рисунков4 таблицы и

ВЫВОДЫ

1. Экспериментально впервые обнаружено и теоретически обосновано явление возбуждения колебаний импульсной формы в одномерных системах, распределенные параметры которых изменяются по законам стоячей и бегущей гармонических волн.

2. Разработана качественная теория параметрической неустойчивости П-го рода (теория возбуждения импульсов) применительно к системам, динамическое поведение которых описывается волновыми уравнениями.

3. Экспериментально исследованы возможные режимы параметрического возбуждения импульсов с учетом нелинейных и дисперсионных свойств системы.

4. Экспериментально и теоретически исследовано явление модуляции частоты и амплитуды колебаний в системах с медленно изменяющимися во времени и пространстве распределенными параметрами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе нашли свое дальнейшее развитие многие из вопросов, затронутых еще в кандидатской диссертации.

В становлении темы вцелом определяющую роль сыграл С.И.Авер-ков - основоположник Горьковской школы по теории волновых процессов в параметрических системах. На первых этапах ее разработки большую помощь обсуждениями и советами оказали руководитель по кандидатской диссертации М.А.Миллер, а также Л.А.Островский и Н.С.Степанов.

В процессе развития темы применительно к задачам механики заметное содействие оказали ученики, сегодняшние коллеги, А.И. Поталов и С.В.Крысов, совместно с которыми получены многие из вошедших в диссертацию результатов. На завершающем этапе ряд важных результатов было получено совместно с Г.А.Уткиным.

Проведенные исследования открыли возможности для успешной разработки ряда новых направлений теории колебаний распределен-л ных систем: изучение и резонанс в системах с движущимися нагрузками [ЗЗ,III—114,168J, стационарные и квазистационарные волны в нелинейных механических системах [92,23,124-127] , вариационные задачи теории динамики систем с движущимися нагрузками 31,73 и др.

М.А.Миллер и Л.А.Островский взяли на себя труд просмотреть весь материал диссертационной работы и высказали критические замечания, которые несомненно способствовали улучшению его изложения.

Автор глубоко признателен учителям и сотрудникам за помощь в работе.

1. Аверков С.И., Весницкий А.И., Степанов П.С. О волнах в систе-мах с параметрическими условиями на границах.- Изв.вузов - Радиофизика, IS74, т.17, гё I, с.68-74.

2. Аверков С.И., Островский Л.А. Распространение колебаний в системах с параметрами, зависящими от времени. Изв. вузов - Радиофизика, 1958, т.1, № 4, с.46-51.

3. Аверков С.И., Степанов Н.С. Распространение волн в системах сбегущим параметром. Изв.вузов - Радиофизика, 1959, т.2, № 2, 203-212.

4. Андронов A.A., Леонтович ГЛ.А. О колебаниях систем с периодически меняющимися параметрами. ЖРФХО, часть физич., 1927, т.59, вып.5-6, с.429-443.

5. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука, 1966 - 367 с.

6. Артоболевский И.И., Бобровшщкии 10.И., Генкин М.Д. Введение вакустическую динамику машин. М.: Наука, 1979 - 295 с.

7. Баландин А.Б., Весницкий А.И., Довбыш B.C., Крысов C.B.,

8. Потапов А.И. О некоторых особенностях неустойчивости одномерных систем с изменяющимися во времени параметрами. В кн.: Тез.докл.У1 Казахстанской межвуз.научной конф. по математике и механике. Алма-Ата, 1977, ч.2, с.4.

9. Баландин. A.B., Весницкий А.И., Уткин Г.А. О периодических решениях одномерного волнового уравнения с условиями на движущихся границах. Межвуз.сб.: Дифференц. и интегральн.уравнения, Горьк.ун-т, 1980, вып.2, с.84-90.

10. Баранов Р.И., Широков Ю.М. Электромагнитное поле в оптическомрезонаторе с подвижным зеркалом. ЖЭТФ, 1967, т.53,!,з 6(12), с.2123-2130.

11. Барсуков К.А., Григорян Г.А. К теории волновода с подвижнымиграницами. Изв.вузов - Радиофизика, 1976, т.19, № 2, с.280-287.

12. Беляев Н.ГЛ. Устойчивость призматических стержней под действиемпеременных продольных сил. сб.: Инж.сооружения и строительная механика, - Л.: Изд."Путь", 1924, с.149-167.

13. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.:

14. Высшая школа, 1972, 416 с.

15. Болдин В.П., Весницкий А.И. 0 возможности модуляции частоты вволноводе с подвижными границами. Радиотехника и электроника, 1978, т.18, $ 8, с.1657-1661.

16. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.:1. Гостехиздат, 1956, 600 с.

17. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961, - 339 с.

18. Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Современное состояние электродинамики движущихся сред (безграничные среды). В кн.: Эйнштейновский сборник 1974 - М.: Наука, 1976, с.179-275.

19. Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Усиление электромагнитных волнв присутствии движущихся сред. В кн.: Эйнштейновский сборник 1977. - М.: Наука, 1980, с.73-130.

20. Борисов Б.П., Весницкий А.И. Колебания мембраны с равномерноизменяющимися во времени размерами. Прикл.механика, 1977, т.13, № 3, с.57-62.

21. Борисов Б.П., Весницкий А.И. Поперечные колебания мембраны сравномерно движущимся угловым закреплением. Прикл.механика, 1981, т.17, гё 9, с.127-130.

22. Весницкий А.И. Волны в нестационарных механических системах.- Межвуз.сб.: Прикл.пробл.прочн. и пластичн./ Горьк.ун-т, 1979, гё 13, с.154-155,

23. Весницкий А.И. Некоторые вопросы распространения волн в параметрических системах. Дис. . канд.физ.-мат.наук - Горький, 1973. - 157 с.

24. Весницкий А.И. Некоторые вопросы распространения.волн в системах с подвижными границами. В кн.: Аннотации докладов У Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн, Л., 1970, с.24.

25. Весницкий А.И. Об одном классе нелинейных преобразований пространства и времени. Сб.: Прикл.задачи теории динамики систем, вып.2, Горький, 1978, с.1-14. - Представлено Горьк. ун-том.Деп. в ВИНИТИ 14 сент.1978, й 3023-78.

26. Весницкий А.И. Обратная задача для одномерного резонатора, изменяющего во времени свои размеры. Изв.вузов - Радиофизика, 1971, т. 14, .Б 10, с. 1538-1546.

27. Весницкий А.И. Одномерный резонатор с подвижными границами.

28. Изв.вузов Радиофизика, 1971, т.14, В 9, с.1432-1438.

29. Весницкий А.И. Распространение электромагнитных волн в волноводах с подвижными границами. Изв.вузов - Радиофизика, 1969, т.12, № 6, с.935-945.

30. Весницкий А.И. Решение одномерного неоднородного волновогоуравнения с условиями на подвижных границах. Изв.вузов -Радиофизика, 1971, т. 14, № 10, с. 1531-1538.

31. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Вывод естественныхграничных условий для одномерных задач динамики систем с движущимися закреплениями и нагрузками. Межвуз.сб.Дифеференц. и интегральн.уравнения /Горьк.ун-т, 1982, с.64-69.

32. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками. ГШ 1983,№ 5,с.871-874,

33. Весницкий А.И., Костров A.B. Об электромагнитных процессах всферическом резонаторе с подвижной границей, Изв.вузов -Радиофизика, 1971, т.14, tô 5, с.756-760.

34. Весницкий А.И., Крысов C.B. Возбуждение колебаний в движущихсяупругих элементах конструкций. Машиноведение 1983,№ I

35. Весницкий А.И., Крысов C.B. Генерация импгльсов в распределенных системах с подвижными границами. Письма в ЖТФ, 1977, т.З, të 19, с.1032-1034.

36. Весницкий А.И., Крысов C.B. 0 неустойчивости одномерных механических систем, распределенные параметры которых изменяются под действием интенсивных упругих волн. Медвуз.сб.: Динамика систем / Горьк.ун-т, 1978, вып.15, с.152-157.

37. Весницкий А.И., Крьгсов C.B. Особенности проявления эффекта

38. Допплера в одномерных упругих системах с дисперсией. В кн.: Волны и дифракция, М., АН СССР, 1981, т.З, с.291-294.

39. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Возбуждение крутильных ударов в стержне с подвижными закреплениями. В кн.: 1У Симпозиум по динамике виброударных систем. М.,1978, с.22.

40. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Неустойчивость крутильных волн в стержнях с подвижными закреплениями. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, В 6, с.128-136.

41. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потанов А.И. Параметрическая неустойчивость продольных колебаний стержней с нестационарными закреплениями. Изв.АН СССР - МТТ (1983,№ 3,0.166-179. <.

42. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Параметрические эффекты в распределенных системах и возможность Pix использования в ультразвуковой технике. В кн.: 17 Симпозиум по динамике виброударных систем, M., 1978, с.23.

43. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Экспериментальные исследования параметрического возбуждения колебаний в одномерных механических системах. Прикладная механика, 1980,т.16, të 12, с.122-125.

44. Весницкий А.И., Крысов C.B., Потапов А.И. Экспериментальные исследования параметрической неустойчивости одномерных механических систем. В кн.: Проблемы нелинейных колебаний механических систем: Тез.докл.,Всесогозн.конф., Киев,1978,с.23-24.

45. Весницкий А.И., Крысов C.B., Шохин С.Р. Параметрическое возбуждение импульсов в распределенных механических системах с нестационарными границам!. ШЛТФ, 1976, $ 4, с.145-151.

46. Весницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем, исходя из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Учебн.пособие. / Горьк.ун-т (принято к печати).

47. Весницкий А.И., Ляхов А.Ф. Возбуждение импульсных колебанийнити с переменным натяжением. Прикл.механика, 1982, т.181. Р 7,c.I2I-I24«

48. Весницкий А.И., Ляхов А.Ф. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в ветвях передачи с гибкой связью. -Машиноведение, 1981, № 5, с.34-38.

49. Весницкий А.И., Ляхов А.Ф. Параметрическая неустойчивость поперечных колебаний нити, параметры которой изменяются по закону бегущей волны. ШЛТФ, 1982, tè 3 с.163-169.

50. Весницкий А.И., Мангова В.Н. Граничные условия для изгибныхколебаний балки с движущимся упруго-инерциальным закреплением., ДАН УССР, 1982с.3i-33.

51. Весницкий А.И., Мангова В.П. Колебания одномерных систем спеременным упругим закреплением. В кн.: Тез.докл./ ГУ

52. Казахстанской конференции по математике и механике, Алма-Ата, 1977, ч.П, с.52.

53. Весницкий А.И., Махин В.А., Потапов Л.И. Генерация импульсовв отрезке длинной линии, нагруженной на параметрическую емкость. В кн.: I регинальная школа - семинар по функциональной микроэлектронике. - Горький, 1975, с.96-100.

54. Весницкий А.И., Махин В.А., Потапов А.И. 0 волновых явленияхв одномерных системах, свойства границ которых изменяются во времени. В кн.:Тр.У Всес.межвуз.конф.по теории электрич. цепей и систем, Ташкент, 1975, ч.2, с.148.

55. Весницкий А.И., Махин В.А., Потапов А.И. 0 генерации видеоимпульсов в отрезке длинной линии, нагруженной на изменяющуюся во времени емкость. Вопросы радиоэлектроники, сер.РТ, 1975, 4, с.87-101.

56. Весницкий А.И., Машков Ю.А. Об одном качественном методе исследования волнового уравнения с переменными коэффициентами. Межвуз. сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения / Горьк.ун-т, 1978, вып.2, с.161-163.

57. Весницкий А.И., Миллер М.А. Решение одномерных волновых уравнений с условиями на движущихся границах. В кн.: Теория дифракции и распространения волн, Москва-Ереван, АН СССР, 1973, т.2, с.417.

58. Весницкий А.И., Мижюердова И.В., Потапов А.И. Вынужденные колебания и резонанс в вале с нестационарной нагрузкой. -Прикл.механика (направлена в печать).

59. Весницкий А.И., Островский Л.А., Папко В.В., Шабанов В.Н.

60. Импульсная параметрическая генерация в распределенных системах. Писька в ЮТФ, 1969, т.9, вып.5, с.274-277.

61. Весницкий А.И., Потапов А.И. Волновые явления в одномерныхсистемах с движущимися границами (обзор). Межвуз.сб.: Динамика систем / Горьк.ун-т, 1978,вып.13, с.38-88.-zm

62. Весницкий А.И., Потапов A.M. Волновые явления в резонаторахс движущимися границами. В кн.: Материалы межвузовской конференции молодых ученых Волго-Вятского решона, Саранск, 1972, с.24.

63. Весницкий А.И., Потапов А.И. Качественный метод исследованияволновых процессов в системах с изменяющимися во времени размерами. Межвуз.сб.: Динамика систем / Горьк.ун-т, 1975, & 7, с.79-83.

64. Весницкий А.И., Потапов А.И. Моделирование волновых явлений всистемах с нестационарными границами. В кн.: Теория дифракции и распространения волн, - М., АН СССР, 1977, т.З, с.329-332.

65. Весницкий А.И., Потапов А.И. Переходные процессы в одномерныхсистемах с движущимися границами. Межвуз.сб.: Динамика систем / Горьк.ун-т fi9$2 )•

66. Весницкий А.И., Потапов А.И. Одномерные механические системыс медленно изменяющимися размерами. Уч.зап.Горьк.ун-та, 1974, вып.174, сер.механика, с.41-46.

67. Весницкий А.И., Потапов А.И. 0 некоторых общих свойствах волновых процессов в одномерных механических системах переменной дайны. Прикл.механика, 1975, т.II, JS 4, с.98-103.

68. Весницкий А.И., Потапов А.И. 0 некоторых свойствах волновыхсистем с нестационарными границами. Радиотехника и электроника, 1979, т.24, № 5, с.990-999.

69. Весницкий А.И., Потапов А.И. Параметрическое возбуждение импульсов в одномерных системах с переменной длиной. В кн.: Теория дифракции и распространения волн,т.З, М., АН СССР, 1977, с.113-116.

70. Весницкий А.И., Потапов А.И. Поперечные колебания манатов вшахтных подъемниках. Межвуз. сб.: Динамика систем / Горьк. ун-т, 1975, № 7, с.84-89.-зоо

71. Весницкий А.И., Потапов А.И. Сложные режимы генерации импульсов в резонаторе о нелинейной границей» Изв.вуоов - Радаэлектроника, 1979,т.22, IS II, с.88-89.

72. Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенныхпараметрических систем, ч.1. Волновые явления в системах с изменяющимися во времени размерам!. Учебное пособие Горьк.ун-т, 1977, 68с.

73. Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенныхпараметрических систем. Учебное пособие. / Горьк.ун-т,1980, 88 с.

74. Весницкий А.И., Потапов А.И. Точное решение задачи о поперечных колебаниях струны, длина которой равномерно изменяется во времени. Уч.зап.Горьк.ун-та, 1974,вып.174, сер.механика, с.35-40.

75. Весницкий А.И., Степанов Н.С., Шабанов В.Н. О параметрическоммодуляторе частоты на распределенном диоде. Радиотехника и электроника, 1969, т. 14, 2, с.326-334.

76. Весницкий А.И., Уткин Г.А. К вопросу о граничных условиях взадачах динамики волновых систем с движущимися закреплениями и нагрузками. В кн.: Волны и дифракция, М.,АН СССР,1981. т.1. с.365-368.

77. Весницкий А.И.,Каплан Л.Э.,Крысов С.В.,Уткин Г.А. Самосогласованные задачи динамики одномерных систем с двдщщимися нагрузками и закреплениями.Препринт № 159, MB и ССО, НИНШ,г.Горький, 1982,1-25.

78. Весницкий А.И., Шабанов В.Н. Линия передачи на "распределенном"параметрическом диоде. Вопросы радиоэлектроники сер.РТ, 1968, 1Ь 4, C.II9-I2I.

79. Виницкий A.C. Модулированиее фильтры и следящий прием 4M сигналов. М.: Сов.радио, 1969. - 547 с.

80. Гавриленко В.Г., Лупанов Г.А., Степанов Н.С. К вопросу об отражении электромагнитных волн в неоднородной движущейся плазме. ЖТФ, 1971, т.41, }Ь 3, с.534-538.

81. Гавриленко В.Г., Лупанов Г.А., Степанов Н.С. 0 генерации электромагнитных волн струйными течениями в плазме. Изв.вузов - Радиофизика, 1970, т.13, ß 5, с.700 - 705.

82. Гапонов A.B., Островский Л.А., Фрейдман Г.И. Ударные электромагнитные волны. Изв.вузов - Радиофизика, 1967, т.10, J& 9-10, с.1376-1413.

83. Гаршин А.Ф. Квантовая механика. М. : Просвещение, 1974, - 207с.

84. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. Li.: Физматгиз, 1961, 228 с.

85. Гинзбург В.Л.¿"Франк И.М. Об эффекте Допплера при сверхзвуковой скорости. ДАН СССР, 1947, т.56, të 6, с.583-586.

86. Глюцук A.M. Указатель литературы по электродинамике движущихсясред. М.: ИРЭ АН СССР, 1967, - 113с.

87. Голоскоков Е.Г., Филиппов А.П. Нестационарные колебания механических систем. Киев: Наукова дут,оса, 1968.86. Горелик Г.С. Колебания и волны. - М. : Физматгиз, 1959. - 572с.

88. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически изменяющимися параметрами. ЛГГФ, 1934, т.10, с.1783-1817; 1935, т.5, tè 2, с. 195-215; 1935, т.5, J5 3, с.489-517.

89. Горелик Г.С., Витт A.A. Колебания упругого маятника как примердвух параметрически связанных систем. ЕТФ, 1933, т.З, J2 2, с.294-303.«

90. Горошко O.A., Савин Г.H. Введение в механику деформируемыходномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. - 224 с.

91. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ОГИЗ,1941, 308 с.

92. Ерофеев В.И., Кажаев А.И., Потапов А.И. Параметрическая трансформация продольных волн в изгибные в тонких стержнях. -В кн.: Дифракция и волны, М., АН СССР, 1981,т.2,с.82-85.

93. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Параметрические эффекты в системахс нестационарными границами. Меявуз. сб. : Динамика систем/ Горьк.ун-т, 1981, Устойчивость,автоколебания,стохастичность, с.109-118.

94. Загороднов О.Г., Файнберг Я.В., Егоров A.M. Об отражении электромагнитных волн от плазмы, движущейся в волноводе медленных волн. ЖЭТФ, I960, т.38, В I, с.7-9.

95. Зоммерфельд А. Оптика. М. :■ ИЛ, 1953. - 487 с.

96. Ишлинский АЛО. Об одном интегро-дифференциальном соотношениив теории упругой нити (каната) переменной длины УГЛИ, 1953, т.5, !Ь 4, с.370-374.

97. Ишлинский А. 10. Об уравнении продольных движений каната (упругой нити) переменной длины. ДАН СССР, 1954, т.95, Jü 5, с.939-941.

98. Кабанов Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.: Сов.радио, 1979. - 335с.

99. Кабанов Д.А., Никулин С.М. Генерация импульсов в линии передачи с параметрическими диодами. Радйотехника и электроника, 1972, т. 17, Л» 8, с.1756-1758.

100. Каплан А.Е., Кравцов Ю.А., Рылов В.А. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Сов.радио, 1966. - 334с.

101. Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Вывод граничных условий для одномерных задач динамики систем с движущимися нагрузками и закреплениями при наличии конечных связей. Межвуз.сб.: Динамика систем / Гррьк.ун-т, (Направлена в печать).

102. Класс В.А., Красильников В.Н. Коротковолновая асимптотика поля »отраженного от сферы или цилиндра с изменяющимися.радиусами. Изв.вузов - Радиофизика, 1976, т. 19, К? 2, с.244--255. '

103. Класс В.А., Красильников В.Н. К формальному решению задач дифракции на сферах и цилиндрах с меняющимися во времени радиусами. Изв.вузов - Радиофизика, 1975, т.18, № 12, с.1855-1864.

104. Кожешник Я. Поперечные колебания напряженных гибких звеньевпередач. В кн.: Теория машин и механизмов, М.: Наука, 1976.

105. Конторович В.И. Отражение и переломление звука на ударныхволнах. Акуст.ж., 1959, т.5, JS 3, с.314-323.

106. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970.- 720 с.

107. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформированных тел при импульсивных и подвижных нагрузках. -Киев: Наукова думка, 1980. 260 с.

108. Красильников В.Н., Магомедова Г.А. 0 параметрической генерации электромагнитных колебаний в сферическом резонаторе с меняющимся во времени радиусом. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн / Ленинград.ун-т, 1974,вып.13, с.155-162.

109. Красильников В.H., Панкратов A.M. Электромагнитные поля врезонаторах с колеблющимися границами. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн / Ленинград.ун-т,1968, № 8, с.59-83.

110. НО. Крысов C.B. Параметрическое возбуждение колебаний импульсной формы в гибких элементах машин и механизмов. Дисс. . канд.физ.-мат.наук. - Горький,1979. - 177 с.

111. Крысов C.B., Сьянов С.А. Воздействие подвижной нагрузки наупругие направляющие. Машиноведение (в печати).

112. Крысов C.B.', Сьянов O.k. Волновые явления в балке Тимошенкос движущейся силой. Прикладная механика (в печати).

113. Крысов C.B., Сьянов С.А. Излучение упругих волн движущимсяисточником. ПМТФ 1983,Р I,с.149-153----------*

114. Крысов C.B., Устинова Т.А., Уткин Г.А. Тормозные усилия придвижении нагрузок вдоль упругих конструкций. сб. Проблемы Машиностроения, АН УССР (в печати).

115. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., Наука,1967.- 460с.

116. Лебедев П.Н. Силы волнового давления. Собр.соч. М.,изд. АН

117. СССР, 1963, с.252-259; Давление света. там же, с.368-390; Максвелло-Бартолиевы силы лучистой энергии. - там же, с.178-184.

118. Лежнева A.A. Изгибные колебания балки переменной длины.

119. Изв. АН СССР 'МТТ, 1970, & I, с.159-162.

120. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. М.: ИЛ, 1963. - 351 с. IIS. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. - М. : Наука, 1972. - 470 с.

121. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. 0 возбуждении колебаний в электрической колебательной системе при помощи периодически изменяющейся емкости. ЛТФ, 1933, т.З, № 7,c.II-4I.

122. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов A.A., Витт A.A.,

123. Горелик Г.С. Новые исследования нелинейных колебаний. -В кн.: Л.И.Мандельштам. Полное собр.трудов. М.: АН СССР, 1950, т.З, с.89-130.

124. Мергелян О.С. Отражение и переломление электромагнитных волнв случае движущейся среды. ДАН Арм.ССР, 1962, т.34, № 2, с.65-69.

125. Мигулкн В.В., Медведев В.И. и др. Основы теории колебаний.1. М.,Наука, 1978. 392 с.

126. Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами. В.кн.: Дифракция и волны. - М.: АН СССР, 1981, т.2, с.82-85.

127. Милосердова И.В., Потапов А.И. Вибрации в нелинейных стержняхпри наличии внутренних резонансов. Машиноведение1983,® 4,0.18-24,

128. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно-упругим закреплением. Изв. АН СССР -МТТ, 1980, В 6, с. 178-183,

129. Моут С. (мл.), Неполсуорен И. Теоретическое и экспериментальное исследование вибраций ленточных пил. Сб.: Конструирование и технология машиностроения. - М.: Мир, 1966, 1Ь 2, с. 27-32.

130. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейныхколебаний. М.: Наука, 1972. - 472 с.

131. Неронов H.A. Об упругих деформациях в подъемном канате.

132. ПММ, 1937, т.I, Гр- I, с.91-96.

133. Неронов Н.П. О границах области изменения напряжений в подъемном канате. ДАН СССР, 1946, т.54, Аз 4, с.303-306.

134. Неронов Н.П. 0 некоторых вопросах, связанных с определениемнапряжений в подъемных канатах, ПШ, 1940, т.4, 2, с.59-74.

135. Неронов Н.П. Определение наибольших натяжений в подъемномшахтном канате при нормальном режиме подъема. Изв.АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, i960, № 3, с.17-23.

136. Неронов Н.П. Определение напряжений в подъемном канате.

137. ДАН СССР, 1947, т.57, № 8, с.765-768.

138. Николаи Е.Л. К вопросу о давлении вибраций. Изв.С.-Петерб.политехи.ин-та, 1912, т.18,Ii I, с.49

139. Островский Л.А. 0 взаимодействии слабых сигналов с ударнымиэлектромагнитным волнами. Изв.вузов - Радиофизика, 1959, т.2, № 5, с.833-834.

140. Островский Л.А. Модулированные волны в нелинейных и нестационарных средах. Дисс. . доктора физ-мат.наук. -Москва, 1973. - 300 с.

141. Островский Л.А. Некоторые общие соотношения для волн надвижущейся границе раздела двух сред. ЖЭТФ, 1971, т.61, 2 (8), с.551-561.

142. Островский Л.А. О некоторых "парадоксах" движущейся границыв электродинамике. УФН, 1975, т. 116, (I 2, с.315-326.

143. Островский Л.А., Соломин В.А. Корректность задач о взаимодействии волн с движущимся скачком параметров. Изв.вузов - Радиофизика, 1967, т.8, № 8, с.1183-1186.

144. Островский Л.А., Степанов Н.С. Нерезонансные параметрическиеявления в распределенных системах. Изв.вузов - Радиофизика, 1971, т. 14, гё 4, с.489-529.

145. Отчет по НИР: Динамика машин и механизмов заданных систем.

146. Горьк.ун-т, 1976, per. Ш 30056-76.

147. Отчет по НИР: Исследование условий параметрической генерации пикосекундных видеоимпульсов в распределенных системах. Горьк.ун-т, 1974, per.tè 25666-74.

148. Отчет по НИР: Теоретическое и экспериментальное исследованиевозможностей создания пикосекундных видеоимпульсов. -Горьк.ун-т, 1976, per. tô 29678-76.

149. Отчет по НИР: Электромагнитные колебания и волны в некоторыхсистемах. Горьк.ун-т, 1969, per.JÊ 9338-69.

150. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругихсистем. М.: Наука, 1979. - 384 с.

151. Паули В. Теория относительности. M.-JI. : Гостехиздат,1947,- 300с.

152. Пелюх Г.П., Шарковский А.Н. Введение в теорию функциональныхуравнений. Киев.: Наукова думка, 1974. - 119с.

153. Пилипенко В.А. Пневматические механизмы протяжки нити. М. :

154. Легкая индустрия, 1977. 143 с.

155. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев.: Наукова думка, 1975 - 704 с.

156. Питаевский Л.П., Кресин В.З. К вопросу о возмущениях, возникающих при движении тела в плазме. ЖЭТФ / 1961, т.40, ю В I, с.271-281.

157. Потапов А.И. Волновые явления в одномерных механических сис- темах с нестационарными границами. Дисс. ,,, канд.физ.--мат.наук. - Горький, 1976, - 196 с.

158. Рагульскис К.II. и др. Вопросы динамики прицизионных лентопротяжных механизмов. Сб.: Динамика машин. - М., Наука, 1974, с.169-175.

159. Савин Г.Н. Динамическая теория шахтных подъемных канатов.

160. Киев, изд. АН УССР, 1949, 104 с.

161. Савин Г.Н., Горошко O.A. Динамика нити переменной длины.- Киев.: изд. АН УССР, 1962. 200 с.

162. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М., Машиностроение, 1978. 222 с.

163. Сорокин Ю.М., Степанов Н.С. Применение вариационных методовк исследованию распространения волн в системах с бегущими параметрами. ПМТФ, 1972, I, с.31-39.

164. Сорокин Ю.М., Степанов Н.С. Отражение и переломление электромагнитных волн движущейся областью ионизации. Изв.вузов- Радиофизика, 1971, т.14, té 5, с.686-689.

165. Стальные канаты, т.т. I -г II. Киев.: Техн1ка, 1964-1974г.г.

166. Степанов Н.С. Волновые процессы в средах с переменными параметрами. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. - Ленинград, 1978. - 291 с.

167. Степанов Н.С. 0 параметрически связанных колебаниях в системе с большим числом степеней свободы. Радиотехника и электроника, 1970, т.15, № 9, с.1885-1890.

168. Степанов Н.С.Распространение волн в недиспергирующей системе с переменными параметрами. Изв.вузов - Радиофизика, i960, т.З, tè 4, с.672-682.

169. Стеценко O.A. Нестационарный процесс в волноводных резонаторах с движущейся стенкой. Изв.вузов - Радиотехника, 1964, т.7, .£ I, с.71-80.

170. Столяров С.Н. Отражение и переломление электромагнитныхволн на движущихся границах ращдела двух сред. ЖТФ, 1963, т.33, 5, с.565-570.

171. Сьянов С.А. Выпущенные колебания экипажа, движущегося вдольупругой направляющей. Сб.: Проблемы машиностроения, АН УССР (в печати).

172. Та мм И.Е. Собр.научных трудов, т.1. ГЛ.: Наука, 1975,с.19-67.

173. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Наука,1967, 444 с.

174. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972. - 735 с.

175. Уиттекер Е., Ватсон Г. Курс современного анализа, ч.П Л.:1. ГТТИ, 1934, 711 с.

176. Файнберг Я.Б. Ускорение частиц в плазме. Атомная энергия,1959, т.6, & 4, с.431-436.

177. Фомин В.Н. Математическая теория параметрического резонансав линейных распределенных системах. Ленинград.ун-т, 1972, - 240 с.

178. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.: ОНТИздат, 1937. - 732 с. 177.Франкфурт У.И., Френк А.Н. Оптика движущихся тел. - М.:Наука, 1972. - 212 с.

179. Фролов K.B. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов машин. В кн.: Колебания и устойч.приборов,машин и элементов систем управления. - М.: Наука, 1968,с.5 -20.

180. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов. М., Мир,1965. 220 с.

181. Шабанов В.Н., Толомасов В.А. Нелинейная линия передачи сраспределенными параметрами на основе р-п перехода. -Радиотехника и электроника, 1966, т.II, Ii? 4, с.772-773.

182. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. - 336с.

183. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел. Сб.научн.трудов,, т.1. М.: Наука, 1965, с.7-35.

184. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1972 - 330 с.

185. Эткин B.C., Гергаензон Е.М. Параметрические системы на полупроводниковых диодах. М.: Сов.радио, 1964. - 351 с.

186. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальныеуравнения в периодическими коэффициентами и их приложения.-- М. : Наука, 1972. 718 с.

187. Якубовский Ю.В., Живов B.C., Коритысский Я.И., Мкгушов И.И.

188. Основы механики нити. М.: Машиностроение, 1973. - 231 с.

189. Abragam M. Zuv treorie der stranlung und der stran-lungsdruckes. Ann. der Phus, 1904 Bd 14.

190. Balazs N.L. On the solution of the ware equation with moring boundaries, T.Mathem. Analys Appe. 1961,3,Nr.3, 472-482.

191. Cassedy E.S. The parametrie coupling of modes of propagation in nonlienear media Electromagnetic wave theory (Proc. of URSI Symposeum, 1965) Pergamon Press, 1967, part 2, p. 543-562.

192. Faraday M. Ona peculiar class of acoustical Figures, and on certain Forms assum ed by group of particles upon vibrating elastic surfaces, Phil, Trans.Roy Soc-London, 1831, v.121, p.299-318.

193. Kotera T. Longitudinal vibration of an elastic bar with time vorying length. - Proc. of the Tapan National cong. For Appe.Mech. - Tokyo, 1974, p.245-253.

194. Kuczma M. Functional equations in a singl variable -Warszawa, PWN, 1968.

195. Lampert M.A. Reflection of electromagnetic waves by Cerenkov electron gas, Phys.Rev, 1956, 104, p.299-302.

196. Landecker K. Possibility of frenquency multiplication and wave amplication by means of some relativistic effects. Phys.Rev, 1952, 86, Nr.6, p.852-855.

197. Larmar T. On the dynamical of radiation, Proc. of the V Intern, congr. of Mathem., 1902, Cambridge, p.197-202.

198. Manly T.M. Rowe H.E. Some general rpoperties of n Nonlinear Elements. Part 1, General energy Relations, -Proc. JRE, 1956, 44, p.904-903.

199. Melde Ft Über errequng stehender wellen eines Fadin Förigen Körpers. Ann. Physik, und Chemie, ser.2,1859, 109, p. 193-215.-MZ

200. Nicolai E.L. Oh dynamical illustration of the pressure of radiation. Phil. Mag., 1925, ser 6, v.49,1. Nr. 289, p. 171-175.

201. Rayeigh (Strutt T.W. ). On the pressure of vibrations. Phil. Mag., 1902, ser 6, v.3, Nr. 15, p.338-356.

202. Tien P.K. Suhl H. A traveling wave ferromagnetic amplifier. Proc. JRE., 1958, v. 46, Nr.4,p.700-706.

203. Jch Ch. Reflection and transmission of electromagnetic wave by a moving plasma medium T. Appl.Phys., 1966, v. 37, Nr. 8, p.3079-3082.