Учет электромагнитных поправок высших порядков при анализе распадов пионов и процессов с участием адронов на коллайдерах средних энергий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2006-182

■ На правах рукописи

УДК 539.12.01

БЫСТРИЦКИЙ Юрий Михайлович

УЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОПРАВОК ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ПРИ АНАЛИЗЕ РАСПАДОВ ПИОНОВ И ПРОЦЕССОВ С УЧАСТИЕМ АДРОНОВ НА КОЛЛАЙДЕРАХ СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ

Специальность: 01.04.02 — «Теоретическая физика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2006

003067055

Работа выполнена в

Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

Э.А. Кураев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

А.Е. Дорохов (ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук

А.К. Лиходед (ИФВЭ, г. Протвино)

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт ядерной физики им Д.В.Скобельцына Московского государственного университета, г. Москва.

на заседании диссертационного совета К 7 _. . ри Лаборатории теоретической физики им. Н.Н Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований

Защита диссертации состоится « й %

»

2007 г. в 15SÜ

Автореферат разослан «_»_

Ученый секретарь диссертационного совета

2007 г.

Ф^

ХУ С.И. Федотов

Уровень развития современной экспериментальной физики повышается стремительными темпами: улучшается точность измерения различных наблюдаемых величин, расширяется спектр возможных для наблюдения каналов реакций, становятся доступными все большие энергии и угловые и энергетические разрешения. В связи с этим возникает необходимость в более аккуратном и полном рассмотрении предсказаний существующих теоретических моделей и построении новых моделей, которые могут предсказывать явления, выходящие за рамки Стандартной Модели (СМ). Кроме этого, необходимость в более точном вычислении некоторых каналов реакций в рамках СМ вызвано тем, что они часто используются в качестве нормировочных процессов при рассмотрении более интересных каналов реакций, а также применяются для целей мониторирования и пре-цезионного измерения светимости на установках.

В частности исключительно важной становится задача учета поправок на дополнительное излучение не только в первом порядке теории возмущений (ТВ), но и в более высоких порядках. Однако вычисление так называемых радиационных поправок (РП) порядков выше первого связано со значительными трудностями, как технического, так и физического планов. Прежде всего с ростом порядка ТВ быстро возрастает число диаграмм Фейнмана, которые необходимо вычислять. Так же быстрый рост числа диаграмм может обуславливаться сложностью модели. Например, непосредственные вычисления в рамках Стандартной Модели требуют гораздо больших усилий, не-

жели оценка РП в рамках квантовой электродинамики (КЭД).

В настоящее время существует два основных способа решения этой трудности. Во-первых, можно значительно автоматизировать процесс генерирования и вычисления диаграмм Фей-нмана [1, 2]. Во-вторых, можно разрабатывать приближенные методы вычисления РП, которые позволяют значительно упростить вычисления и получать оценки вкладов от РП путем аналитических вычислений. В данной работе мы придерживаемся второго способа.

Метод, который мы используем - метод структурных функций - возник в результате развития идей, основанных на гипотезе факторизации [3] и группе перенормировок, которые интенсивно развивались в последние десятилетия в связи с возникновением реалистической модели сильных взаимодействий - квантовой хромо динамики (КХД). Этот метод позволил проводить расчет процессов в рамках квантовой теории поля, выходящий за рамки ТВ. Аналогичный метод был разработан и в квантовой электродинамике (КЭД) и позволил значительно упростить оценку вкладов РП в большом количестве экспериментальных постановок.

Областью применимости метода являются экспериментальные ситуации, когда в процессе участвуют частицы, сильно различающиеся по массе, или же когда процесс происходит при энергии много большей, чем массы участвующих частиц. В этой ситуации основной вклад в РП дают слагаемые, усиленные «большими логарифмами» Ь. Тогда сечение представляется в

виде свертки универсальных структурных функций с сечением жесткого подпроцесса. Структурные функции сопоставляются заряженным частицам и представляют собой вероятность найти некоторую частицу (рассматриваемую как партон) в фоковском столбце волновой функции начальной частицы. Жесткий подпроцесс представляет процесс взаимодействия партонов выделенных из начальных частиц. Так например в процессе столкновения двух частиц (А и В), где часть конечных частиц регистрируется (обозначены ниже как Р), а остальные остаются незарегистрированными (обозначены как X), сечение рассеяния с учетом РП в рамках метода структурных функций записывается в виде:

йаЛ+В^+Х (в>11|...>Хп) =

1

= Е / £>а Ь) Пьв (г2, Ь) х

°А{/} о

Х<1(Та+Ь^1+Х (52^2,2/1. • • • ,Уп) X

*й/т (1)

х,

где XI,... ,хп - доли энергий наблюдаемых частиц ^,..., Т7^. Функция ИаА (гь Ь) (Бьв (гг, Ь)) - структурная функция начальной заряженной частицы А (В), определяющая вероятность обнаружения в ней партона а (Ь) (фотона, лептона) с долей энергии г\ (г2) от энергии начальной частицы. Функции О^ Ь^ - функции фрагментации, определяющие вероятность найти в партоне /г жесткого подпроцесса а + Ь —> / + X одну из конеч-

ных частиц детектируемую в инклюзивной постановке эксперимента. Структурные функции и совпадающие с ними функции фрагментации удовлетворяют некоторой системе интегро-дифференциальных уравнений [4, 5] - уравнений эволюции -определяющих их функциональную зависимость от доли энергии х и «схода» с массовой поверхности \д2\ т2 в форме «большого» логарифма Ь — 1п (|д2| /ш2), где т - масса легкой заряженной частицы. Соответствующие уравнения эволюции были детально изучены в рамках КХД, где они называются уравнениями Альтарелли-Паризи-Липатова. В рамках КЭД они были исследованы в работах 70-80-х годов.

Аналогично можно написать выражение для ширины распада тяжелой частицы Н с массой М>тс учетом РП в рамках метода структурных функций:

х<1Гн-}+х {згхг2,Ух, ...,Уп)( 1 + ^к) , (2)

где «большой» логарифм уже имеет вид Ь = 1п (М2/т2).

Структурные функции И (х, Ь) содержат вклады от всех по-рядкой ТВ в лидирующем логарифмическом приближении (т.е. РП вида (а/я-)" Ьп). Например, хорошо известная несинглетная структурная функция электрона (х, Ь), определяющая вероятность найти в электроне электрон с долей энергии х, имеет

вид:

ОО 1

И™ (х, Ь) = (гс, £) = 5 (1 - X) + X] ^ (¿ь)" (х), (3)

ОО

П=1

ры = I {у) р(п-1) ^ >

(4)

X

Р (х) = Р(1) (х) = Нш I ■(1 - X - А) +

л—о 1-Х

+ ^21пА + 05(1-х) , (5)

где Р (х) - ядро уравнения эволюции. Отдельные слагаемые в (5) можно интерпретировать как различные вклады в РП к сечению процесса с участием заряженной частицы с энергией Е: первое слагаемое отвечает за излучение дополнительных жестких фотонов, а второе дает вклад от испускания виртуальных и мягких фотонов с энергией меньшей, чем Д = АЕ/Е. Отметим, что полученные в рамках этого подхода выражения не страдают от инфракрасных расходимостей, которые взаимно сокращаются в (5) при подстановке в (1) и (2). Так же, в связи с тем, что структурные функции обладают свойством

о

выражения (1) и (2) имеют правильную зависимость от массы легких частиц т и не содержат массовых сингулярностей при

(6)

т —► О после интегрирования по долям энергии соответствующей конечной частицы, что обеспечивает выполнение теоремы Киношиты-Ли-Науенберга [б, 7].

Таким образом метод структурных функций позволяет достаточно быстро вычислять вклады в РП от любого порядка ТВ, содержащие лидирующие «большие» логарифмы Ь. И следовательно точность теоретических расчетов с использованием этого метода определяется на уровне нелидирующих логарифмических поправок (т.е. РП вида (а/тг)п Ьп~1) и степенных поправок, или вкладов «высших твистов» (т.е. РП вида (т2 / в) ({а/к) Ь)п). В случае, когда требуемый уровень точности обеспечивается учетом высших порядков ТВ, становится особенно важной оценка указанных выше нелидирующих вкладов, которые обычно учитываются в форме К-фактора в низшем (однопетлевом) порядке ТВ. Вычисление А'-фактора уже необходимо проводить для каждого процесса независимо.

Основной целью данной диссертации является рассмотрение процессов, идущих на электрон-позитронных коллайдерах, интерес к которым в силу сказанного выше очень велик в последнее время, в рамках однопетлевого приближения с последующим обобщением полученных выражений на высшие порядки ТВ в лидирующем логарифмическом приближении (с использованием метода структурных функций) и выделением нелидирующих вкладов в виде К-факторов.

Научная новизна и практическая ценность. В работе вычислены радиационные поправки к ряду процессов во всех

порядках в лидирующем логарифмическом приближении, а также учтены нелидирующие вклады в первом порядке теории возмущений. Вычислены поправки к радиационному распаду заряженного пиона, в котором были найдены указания на возможное отклонение от предсказаний Стандартной Модели. Была сделана попытка объяснения этого отклонения за счет учета радиационных поправок электромагнитной природы. Результаты этих вычислений были использованы при обработке экспериментальных данных в коллаборации PIBETA (PSI, Швейцария).

Также было уделено внимание задаче вычисления адронной части аномального магнитного момента мюона (g — 2)ц, который является удобной лабораторией для поиска новой физики. Предложена новая формулировка этого вклада, позволяющая повысить точность вычисления его значения. Проведена ревизия радиационных поправок к ряду каналов е+е~-анигиляции, в том числе к процессу образования лептонных пар, пар мезонов с сопровождающим их тормозным излучением. Вычисления были проведены в однопетлевом приближении и полностью согласуются с опубликованными прежде результатами. Кроме того был получен явный вид структурной функции заряженного пиона.

Получены выражения для зарядово-нечетных асимметрий и односпиновых асимметрий в е/х-рассеянии и в е+е~-аннигиля-ции в /1+/х~-пару. Также рассмотрены радиационные поправки к ер-рассеянию, включая вклады двухфотонного обмена. Проана-

лизировано влияние этих радиационных поправок на измеряемое на эксперименте отношение электромагнитных формфак-торов протона в пространственноподобной области. Показано, что учет этих поправок вполне может объяснить наблюдаемое на опыте расхождение в этой величине, полученной в разных экспериментальных постановках.

Апробация работы. Результаты, представленные в данной диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна) и Института ядерной физики им. Г. И. Будкера (г. Новосибирск), а также представлялись и докладывались на международной зимней школе ПИЯФ по физике ядра и частиц (Репино-2005, Репино-2006).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ в отечественных и зарубежных журналах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и восьми приложений, общим объемом 101 страниц, включая 3 таблицы, 34 рисунка и список цитированной литературы из 112 наименования.

Во Введении обсуждаются причины, по которым вычисление РП в высших порядках ТВ имеет большое значение для современной экспериментальной физики, кратко описывается используемый метод вычисления РП в данной работе и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются процессы распада пио-

нов (нейтрального и заряженного). Распады нейтральных пионов 7Г° —> 27 и 7Г° —> 47 (как возможный фон к запрещенному распаду 7г° —> З7) расмотренны в рамках кварковой модели с конституэнтным кварком в петле. Используя разложение амплитуды процесса по отношению М/тч (М - масса пиона, тч -масса конституэнтного кварка) вплоть до четвертого порядка, было получено качественное и количественное согласие с расчетами, выполненными в других подходах (в частности в рамках модели векторной доминантности с использованием гипотезы о частичном сохранении аксиально-векторного тока (ЧСАТ)). Распад заряженного пиона 7Г~ —► рассмотрен в связи

с возможным проявлением в нем тензорных взаимодействий. С этой целью были рассмотрены РП в лидирующем логарифмическом приближении и было показано, что они согласуются с представлением ширины распада пиона в факторизованной форме (2) и следовательно полученный результат можно обобщить на все порядки ТВ в лидирующем логарифмическом приближении используя структурную функцию электрона. Также был получен явный вид вкладов РП не содержащих большие логарифмы в первом порядке ТВ, т.е. был получен явный вид /("-фактора.

Во второй главе рассматривается проблема учета адрон-ного вклада в аномальный магнитный момент мюона (д — 2)р. Поскольку этот вклад (большой сам по себе) вносит значительную неопределенность в полную величину аномального магнитного момента в настоящее время, требуется особенно акку-

ратное рассмотрение всех ингредиентов процедуры его учета. В диссертации предложена модификация способа учета адрон-ного вклада, исходящая из принятого на опыте соглашения о включении событий с лептонными и адронными вакуумными возбуждениями в промежуточном виртуальном фотоне в сечение образования адронов в процессе е+е~-аннигиляции. В результате искомый вклад в (д — записывается в форме свертки сечения образования адронов в процессе е+е~~-аннигиляции с некоторым ядром электромагнитной природы. Этот новый вид ядра, предложенный в диссертации, позволяет значительно упростить процедуру учета адронных вкладов, увеличивая при этом точность. Рассмотрены также несколько каналов е+е~-аннигиляции, дающих существенный вклад в адронную часть (д — 2)^ - а именно е+е~-аннигиляция с образованием двух и трех пионов с учетом РП в первом порядке ТВ. Также были рассмотрены процессы е+е~ —» 7) с РП в первом поряд-

ке ТВ, которые необходимы для корректного учета адронно-го вклада в (д — 2)м, а также могут быть полезны для целей калибровки е+е--коллайдеров. Также было показано, что полученные в этой главе выражения для РП согласуются с результатами, которые можно было бы получить с использованием метода структурных функций. Это позволило обобщить полученный результат для РП на все порядки ТВ с большими логарифмами. Также это позволило получить выражение для структурной функции заряженного пиона.

В третьей главе рассматриваются РП к упругому е — ¡1

и е — р рассеянию. Получены сечения указанных процессов в зарядово-нечетной постановке эксперимента. Основной вклад в них дают РП с обменом двумя виртуальными фотонами - диграммы типа «ящик». Эффективно это приводит к тому, что борновское сечение можно параметризовать тремя лоренц-инвариантными функциями (вместо двух, в случае без РП). Приведен явный вид вкладов РП во все три функции. Также рассмотрены указанные процессы с участием поляризованной мю-онной (протонной) мишени и получено явное аналитическое выражение для односпиновой ассиметрии. Показана инфракрасная стабильность полученных выражений. Отдельно изучена задача влияния РП на измерение электромагнитных формфак-торов протона в пространственно-подобной области в процессе е—р рассеяния. Качественно показано, что учет радиационных поправок на излучение дополнительного фотона из начального электрона способен решить существующую в настоящее время проблему с разными величинами формфакторов, извлекаемых в разных экспериментальных постановках. Лидирующие вклады в РП к данному процессу вычислялись в рамках метода структурных функций.

В Приложениях приведены некоторые детали вычисления упрощенных выражений для РП для случая распада заряженного пиона, список петлевых интегралов, использовавшийся при вычислении РП в главе 1 и 3, а также показана процедура оценки интеграла для диаграммы типа «ящик», использовавшаяся в главе 3.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Проведена ревизия прежних вычислений вклада адронно-го механизма в распаде 7г° —> 47. Также сделана оценка в рамках кварковой модели и получено качественное и количественное согласие с предыдущими работами. Сделан ряд указаний на возможные ошибки в нескольких прежних работах по рассмотрению этой моды распада.

2. Вычислены электромагнитные поправки к радиационному распаду заряженного пиона 7Г~ —> е~Ре7 в первом порядке теории возмущений. Проведено обобщение полученных выражений на все порядки теории возмущений в лидирующем логарифмическом приближении с использованием формализма структурных функций. Результаты вычислений были использованы при анализе данных, полученных на эксперименте в коллаборации PIBETA (PSI, Швейцария).

3. Предложена модифицированная формулировка адронно-го вклада в аномальный магнитный момент мюона (д—2)м, позволяющая упростить процедуру вычисления данного вклада на опыте и избавиться от одного из источников систематической ошибки.

4. Рассмотрены электромагнитные поправки в первом порядке теории возмущений к ряду каналов е+е~-анниги-ляции, используемые при экспериментальной оценке ад-ронного вклада в аномальный магнитный момент мюона

(9 ~ 2)м, а именно е+е~ —> 7Г+7Г~(7), 7г+7г~7г°(7).

Показано, что полученные выражения согласуются с предсказаниями формализма структурных функций и могут быть записаны в виде, согласующимся с гипотезой факторизации.

5. Получено явное выражение для структурной функции заряженного пиона, что важно в задаче описания процессов рождения с большой множественностью.

6. Рассмотрены радиационные поправки двухфотонного обмена к упругому е — /х рассеянию и его кросс-канальному процессу (е+е~ —>• т+т~), которые имеют ключевое значение для измерения зарядово-нечетных асимметрий и односпиновых корреляций в данных процессах. Данные результаты представляют интерес в ввиду готовящихся к вводу в строй С — т фабрик.

7. Рассмотрены радиационные поправки к упругому е — р рассеянию как в постановке с неполяризованными частицами, так и в постановке с передачей поляризации от начального электрона конечному протону отдачи. Рассмотрены поправки на излучение дополнительных мягких и жестких фотонов из начального электрона с помощью метода структурных функций, также оценены поправки на двухфотонный обмен. Проведен анализ влияния указанных поправок на измеряемое на эксперименте отношение пространственноподобных элетромагнитных формфакто-

ров протона Ge/Gm-Список публикаций:

1. Е. A. Kuraev, Y. М. Bystritsky, Е. V. Velicheva, Phys. Rev. D 69, 114004 (2004) [arXiv:hep-ph/0310275],

2. E. A. Kuraev, V. V. Bytev and Y. M. Bystritsky, Phys. Rev. D 73, 054021 (2006) [arXiv:hep-ph/0311086],

3. Y. M. Bystritskiy, E. A. Kuraev, G. V. Fedotovich and

F. V. Ignatov, Phys. Rev. D 72, 114019 (2005) [arXiv:hep-ph/0505236],

4. S. Bakmaev, Y. M. Bystritskiy and E. A. Kuraev, Phys. Rev. D 73, 034010 (2006) [arXiv:hep-ph/0507219].

5. Ю. M. Быстрицкий, Э. А. Кураев, А. В. Богдан, Ф. В. Игнатов, Г. В. Федотович, Письма в ЖЭТФ, 83 (2006) 57-59.

6. Э. А. Кураев, Ю. М. Быстрицкий, Письма в ЖЭТФ, 83 (2006) 510-512.

Список литературы

[1] A. Pukhov et al., "CompHEP: A package for evaluation of Feynman diagrams and integration over arXiv:hep-ph/9908288.

[2] A. Andonov et al., arXiv:hep-ph/0411186.

[3] J. C. Collins, D. E. Soper and G. Sterman, Phys. Lett. B 134, 263 (1984).

14] L. N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 20, 94 (1975) [Yad. Fiz. 20, 181 (1974)].

[5] G. Altarelli and G. Parisi, Nucl. Phys. B 126, 298 (1977).

[6] T. Kinoshita, J. Math. Phys. 3, 650 (1962).

[7] T. D. Lee and M. Nauenberg, Phys. Rev. 133, B1549 (1964).

no/iyseno 26 ,qeKa6pfl 2006 r.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 27.12.2006. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,88. Тираж 100 экз. Заказ № 55613.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Принятые в работе обозначения и сокращения i

Введение И

1 Распады пионов

1 1 Распады нейтральных пионов

111 Подход основанный на i ипотезе ЧСАТ и модели векюрной доминашно( 1и

112 Вычисление адронною вклада в процесс 7Г° —► 47 в кварковой модели

1 2 Распады наряженных пионов

12 1 Процесс 7Г" —> е~Рь7 в борновском приближении

1.2 2 РП от учета испускания вирхуальных и реальных мягких фотонов

123 РП на испускание дополни!ельного жесткою фотона

2 Аномальный магнитный момент мюона

2 1 Модифицированная формулировка адронно1 о вклада в аномальный магнитный момент мюона . . . . . . 20 2 2 Рождение 27г(7) (2ц('у)) в е+е-аннигиляции

2 2 1 Излучение в конечном состоянии в процессах рождения мюонной пары 26 2 2 2 Излучение в начальном состоянии в процессах рождения мюонной

2 2 3 И ^лучение в конечном состоянии в процессах рождения пионной пары

2 2 4 Излучение в начальном состоянии в процессах рождения пионной пары

2 2 5 Оценка точности полученных выражений

2 3 Рождение 37г(7) в e+f "-аннигиляции

2 3 1 Излучение вирхуального фошна

2 3 2 Излучение дополнительных мя1 ких фотонов

2 3 3 Излучение дополнительного ж< сткого фотона

2 3 4 Полное выражение для РП и ei о анализ

2 4 Обобщение на высшие порядки теории возмущений

3 Поправки к е - ц и ( — р рассеянию

3 1 Радиационные поправки к спиновым и зарядовым асимметриям в -шектронмюонном рассеянии . 50 3 11 Введение . . 50 3 12 Процесс е+е~ —> /i+//"(7) . . 51 3 13 Процесс efx —> e/i(7) . 54 3 14 Излучение mhi ких фотонов . 55 3 15 Кроссинг симметрия . . . . 57 3.16 Вклады в дополнительную струк1уру канал аннш иляции . . .59 3 17 Односпиновые асимметрии . . . .60 3 2 Применение метода структурных функций к вычислению РП к поляризованному и неполяризованному электрон-протонному рассеянию . 63 3 2 1 Выражения для поляризованного и неполяризовашкм о сечения ироцесса ер-рассеяния в факторизованном виде

3 2 2 Вычисление А'-факюра для двухфоюнного обмена

3 23 Результаты численных оценок

Уровень развития современной экспериментальной физики повышается стремительными темпами увеличивается точность измерения различных наблюдаемых величин, расширяется спектр возможных для наблюдения каналов реакций, становякя доступными все большие энергии и угловые и энер1етические разрешения. В связи с этим возникает необходимость в более аккуратном и полном рассмотрении предсказаний существующих теоретических моделей и построении новых моделей, которые могут предсказывать явления, выходящие за рамки Стандартной Модели (СМ) Кроме этого, необходимое i ь в более Iочном вычислении некоторых каналов реакций в рамках СМ вызвано тем, что они часто используются в качестве нормировочных процессов при рассмотрении более интересных каналов реакций, а также применяюкя для целей мониторирования и ирецезионного измерения светимости на установках

В частности исключительно важной становится задача учета поправок на дополнительное излучение не только в первом порядке теории возмущений (ТВ), но и в более высоких порядках. Однако вычисление так называемых радиационных поправок (РП) порядков выше первою связано со значительными трудностями, как техническою, так и физического планов Прежде всего с ростом порядка ТВ быс ipo возрастает число диаграмм Фейнмана, которые необходимо вычислять Так же быстрый рост числа диаграмм может обуславливаться сложностью модели Например, непосредственные вычисления в рамках Стандаршои Модели требуют гораздо больших усилий, нежели оценка РП в рамках квантовой электродинамики (КЭД)

В насюящее время существует два основных способа решения этой трудности Во-первых, можно значительно автоматизировать процесс генерирования и вычисления диа-I рамм Фейнмана [1, 2] Во-вторых, можно разрабатывать приближенные меч оды вычисления РП, которые позволяюI значительно упростить вычисления и получать оценки вкладов от РП путем аналитичес ких вычислений В данной работе мы придерживаемся второт о с пос оба

Метод, который мы используем - метод структурных функций - возник в результате развития идей, основанных на гипотезе факторизации [3] и труппе перенормировок,

Внедениг in коюрые ишенсивно развивались в последние десятилетия в связи с возникновением реалистической модели сильных взаимодействий квантовой хромодинамики (КХД) Этсм метод позволил проводить расчсч процессов в рамках квантовой теории поля, выходящий за рамки ТВ Аналогичный меюд был разработан и в квантовой электродинамике (КЭД) и позволил значительно упростить оценку вкладов РП в большом количестве экспериментальных nociaiiOBOK

Облаиыо применимости метода являются экспериментальные ситуации, когда в процессе учаспзуюг частицы, сильно различающиеся по массе, или же ко1да процесс происходи! при энергии много большей, чем массы участвующих частиц В этой ситуации основной вклад в РП дают слагаемые, усиленные «большими логарифмами» L. Тогда сечение представляется в виде свертки универсальных структурных функций с сечением жесткого подпроцесса Структурные функции сопоставляются заряженным частицам и представляют собой вероятность найги некоюрую частицу (рассматриваемую как пар-тон) в фоковском столбце волновой функции начальной часхицы. Жесткий подпроцесс представляет процесс взаимодействия партонов выделенных из начальных частиц Так например в процессе столкновения двух час гиц (Л и В), где часть конечных частиц ре 1истрируется (обозначены ниже как F), а остальные остаются незарегистрированными (обозначены как X), сечение рассеяния с учетом РП в рамках меч ода структурных функций записываеня в виде 1 daA+B-F+x(s,xu ,хп) = £ [dzldz2DaA(zuL)DbB(z2,L)x ab{f}{ х daa+b~J+x (sziz2,yu .,уп)х х + (1) п/МИК*)' где Ж], ,хп доли энергий наблюдаемых частиц Fb Fn. Функция DaA (21, L) (DbB (z2, L)) - струкхурная функция начальной заряженной частицы А (В), определяющая вероях-nocib обнаружения в ней партона а (b) (фотона, лептона) с долей энертии z\ (z2) от энергии начальной частицы Функции Dj' L^j - функции фра1 меныции, определяющие вероятность наиш в пархоне /, жесткого подпроцесса а + b —» / + X одну из конечных частиц Fu детектируемую в инклюзивной постановке эксперимента Структурные функции и совпадающие с ними функции фрахментации удовлетворяют некоторой системе интегро-дифференциальных уравнений [4, 5] уравнении эволюции - определяющих их функциональную зависимое ib 01 доли энергии х и «схода» с массовой поверхности \q2\ m2 в форме «большою» логарифма L — In (|с/2| /т2), где т масса легкой заряженной частицы Cooibcmc твующие уравнения эволюции были детально изучены в рамках

КХД, где они называние я уравнениями Альтарелли-Пари ^и-Липатова В рамках КЭД они были исследованы в работах 70-80-х годов

Анало1ично можно написап» выражение для ширины распада тяжелой час1ицы Я с массой М » m с учетом РП в рамках метода струюурных функций. dTH-F+x [ь,хъ ,тп) = ЕП /dfD):(^L)dY»^{sZlZ2^ + (2) 1-1 г, 4 7 где «большой» лоырифм уже имеет вид L = In (M2/m2)

Структурные функции D (х, L) содержат вклады от всех порядкой ТВ в лидирующем ло1 арифмическом приближении (те РП вида (а/я)" Ln) Например, хорошо извесх-ная несинглетная структурная функция электрона Dee (х, L), определяющая вероятность найти в электроне электрон с долей энерши х, имесч вид

ОС 1

D»* (X, L) = Di: (х, L) = 5 (1 - х) + £ -I ь)" Р<"> (х), (3)

П=1 1

1*")(Т) = (4)

Р(х) = Р(1) (ж) = hm

1+x2Q{l-x- Д)+ (^2 In A + ^ J(1 -x)

5)

1-х v 'V 2 где P (x) - ядро уравнения эволюции Отдельные cjiai аемые в (5) можно интерпре!иро-Baib как различные вклады в РП к сечению процесса с участием заряженной чаешцы с энергией Е первое слаигемое отвечает за излучение дополнительных жеиких фотонов, а вюрое даст вклад от испускания виртуальных и мягких фотонов с энергией меньшей, чем А = АЕ/Е Отметим, что полученные в рамках эюю подхода выражения не С1радают от инфракрасных расходимостеи, которые взаимно сокращакнся в (5) при подстановке в (1) и (2) Так же, в связи с тем, что струк1урные функции обладают свойством 1

JdxD{x,L) = 1, (6) о выражения (1) и (2) имеют правильную зависимое хь от массы легких частиц m и не содержат массовых сишулярносп'и при m —* О после интегрирования но долям энергии соответс!вующей конечной частицы, что обеспечиваем выполнение теоремы Киношиты-Ли-Науенбер1а [6, 7]

Таким образом метод структурных функций позволяв достаточно быстро вычисляп> вклады в РП 01 любою порядка ТВ, содержащие лидирующие «большие» лснарифмы L И следовательно ючиос1ь технических расчетов с использованием эюю меч ода определяется на уровне нелидирующих логарифмических поправок (те РП вида (а/7г)п Ln~x) и сичкчшых поправок, или вкладов «высших твисюв» (i е вида (т2/s) ((а/ж) L)n) В случае, когда требуемый уровень точности обеспечиваехся учечом высших порядков ТВ, сыновигся особенно важной оценка указанных выше нелидирующих вкладов, которые обычно учитываются в форме /f-факюра в низшем (однопетлевом) порядке ТВ Вычисление А"-фактора уже необходимо проводихь для каждою процесса независимо

Основной целью данной диссертации является рассмслрение процессов, идущих на элекгрон-позитронных коллайдерах, интерес к которым в силу сказанного выше очень велик в последнее время, в рамках однопетлевого приближения с последующим обобщением полученных выражений на высшие порядки ТВ в лидирующем логарифмическом приближении (с использованием метода структурных функций) и выделением нелидирующих вкладов в виде /("-факторов

Научная новизна и практическая ценность. В pa6oie вычислены радиационные поправки к ряду процессов во всех порядках в лидирующем леи арис|)мическом приближении, а также учтены нелидирующие вклады в первом порядке теории возмущений Вычислены поправки к радиационному распаду заряженного пиона, в котором были найдены указания на возможное отклонение oi предсказаний Стандартной Модели Была сделана попытка объяснения -шн о oi клонения за счет учета радиационных поправок электромагнитной природы Резулыаш них вычислений были использованы при обработке экспериментальных данных в коллаборации PIBETA (PSI, Швейцария)

Также было уделено внимание задаче вычисления адронной части аномальною магнитного момента мюона (д — 2)^, коюрыи является удобной лабораторией для поиска новой физики Предложена новая формулировка этого вклада, позволяющая новые ить точность вычисления ei о значения Проведена ревизия радиационных поправок к ряду каналов е{ е~-анигиляции, в том числе к процессу образования лептонных пар, нар мезонов с сопровождающим их тормозным излучением Вычисления были проведены в однопетлевом приближении и полностью согласуются с опубликованными прежде результатами Кроме ioi о был получен явный вид структурной функции заряженного пиона

Получены выражения для зарядово-нечетых асиммсчрии и односпиновых асиммех-рий в (//-рассеянии и в е+е~-аннигиляции в пару Также рассмотрены радиахщонные поправки к ер-рассеянию, включая вклады двухфотонного обмена Проанализировано вчияние этих радиационных поправок на измеряемое на эксперименте отношение элекфомагнитных формфакторов протона в просхранс iвенноподобнои области Показано, чю учет этих поправок вполне может обьяснить наблюдаемое на опыте расхождение в эюй величине, полученной в разных экспериментальных постановках

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им Н Н Бою-любова Обьединенного инс 1итута ядерных исследований (г Дубна) и Инс гитута ядерной физики им Г И Будкера (г Новосибирск), а 1акже представлялись и докладывались на международной зимнеи школе ПИЯФ по фишке ядра и частиц (Репино-2005, Репино-2006)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ в отечественных и зарубежных журналах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и восьми приложений, общим объемом 101 страниц, включая 3 таблицы, 34 рисунка и список цитированной литературы из 112 наименования

Во Введении обсуждаются причины, по которым вычисление РП в высших порядках ТВ имеет большое значение для современной экспериментальной физики, кратко описывается используемый меюд вычисления РП в данной работе и приводится краткое содержание диссертации

В первой главе рассматриваются процессы распада пионов (нейтральною и заряженного) Распады нейтральных пионов 7Г° —*• и 7Г° —> 47 (как возможный фон к запрещенному распаду я-0 —> З7) расмотренны в рамках кварковой модели с конституэнтным кварком в петле Используя разложение амплитуды процесса по отношению M/mq (М -масса пиона, mq - масса конституэнтного кварка) вплоть до четвертого порядка, было получено качественное и количественное согласие с расчетами, выполненными в других подходах (в частности в рамках модели векторной доминанiности с использованием гипотезы о частичном сохранении аксиально-векюрного тока (ЧСАТ)) Распад заряженною пиона я-- —► е~Ре7 рассмотрен в связи с возможным проявлением в нем тензорных взаимодействии С этой целью были рассмотрены РП в лидирующем логарифмическом приближении и было показано, чю они согласуются с представлением ширины рас пада пиона в факторизованнои форме (2) и следовательно полученный результат можно обобщить на все порядки ТВ в лидирующем логарифмическом приближении используя структурную функцию электрона Также был получен явный вид вкладов РП не содержащих большие логарифмы в первом порядке ТВ, т е был получен явный вид /С-факгора

Во второй главе рассматривается проблема учета адронного вклада в аномальный магнитный момент мтоона (д - 2)/( Поскольку этот вклад (большой сам по себе) вносит значительную неопределенность в полную величину аномального магнитного момента в настоящее время, требуется особенно аккуратное рассмотрение всех ингредиентов ггроцедуры ет о учета В диссертации предложена модификация способа учета адронного вклада, исходящая из принятою на опыте соглашения о включении собьпий с лептонными и ад-ронными вакуумными возбуждениями в промежуточном виртуальном фотоне в сечение образования адронов в процессе е+е~-аннш иляции В резулыате искомый вклад в (g — 2)tl записывается в форме свертки сечения образования адронов в процессе е+е~-аннигиляции с некоторым ядром электромапшпюи природы Энн новый вид ядра, предложенный в диссертации, позволяет значительно упростить процедуру учета адронных вкладов, увеличивая при этом точность Рассмотрены также несколько каналов е+р~-аннигиляции, дающих существенный вклад в адронную часть (g — 2)^ - а именно е+е~-аннигиляция с образованием двух и трех пионов с учетом РП в первом порядке ТВ. Также были рассмотрены процессы е+е~ —> 7) с РП в первом порядке ТВ, которые необходимы для корректного учета адронною вклада в (g — 2)/м а также могут быть полезны для целей калибровки е+е~-коллайдеров Также было показано, что полученные в этой главе выражения для РП согласуются с результатами, коюрые можно было бы получить с использованием метода структурных функций Это позволило обобщить полученный результат для РП на все порядки ТВ с большими логарифмами Также эю позволило получить выражение для структурной функции заряженного пиона

В третьей главе рассматриваются РП к упруюму е — ц и е — р рассеянию Получены сечения указанных процессов в зарядово-нечетной постановке эксперимента Основной вклад в них дают РП с обменом двумя виртуальными фотонами - диграммы тина «ящик» Эффективно это приводит к тому, чю борновское сечение можно параметризовать гремя лоренц-инвариангными функциями (вместо двух, в случае без РП) Приведен явный вид вкладов РП во все три функции Также рассмотрены указанные процессы с участием поляризованной мюонной (протонной) мишени и получено явное аналитическое выражение для односпиновои ассиметрии Показана инфракрасная стабильность полученных выражений Отдельно изучена задача влияния РП на измерение электромагнитных формфакторов протона в пространственно-подобной области в процессе е — р рассеяния Качественно показано, что учет радиационных поправок на излучение дополнительного фотона из начального электрона способен решить существующую в настоящее время проблему с разными величинами формфакторов, извлекаемых в разных экспериментальных постановках Лидирующие вклады в РП к данному процес су вычислялись в рамках метода структурных функций

В Приложениях приведены некоторые детали вычисления упрощенных выражений для PII для случая распада заряженного пиона, список петлевых ишегралов, использо-вавшиис я при вычислении РГ1 в главе 1 и 3, а также показана процедура оценки интеграла для диат раммы типа «ящик», ис пользовавшаяся в главе 3

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1 Проведена ревизия прежних вычислений вклада адронного механизма в распаде 7Г° —* 47 Также сделана оценка в рамках кварковой модели и получено качеывенное и количественное согласие с предыдущими работами Сделан ряд указании на возможные ошибки в нескольких прежних работах но рассмотрению этой моды распада

2 Вычислены электромаг нитные поправки к радиационному распаду заряженного пиона 7Г~ —* р~г>е7 в первом порядке теории возмущений Проведено обобщение полученных выражений на все порядки теории возмущений в лидирующем логарифмическом приближении с использованием формализма структурных функций Резуль-ыты этих вычислений были использованы при анализе экспериментальных данных в группе PIBETA (PSI, Швейцария)

3 Предложена модифицированная формулировка адронного вклада в аномалы пли магнитный момент мюона (<у-2)й, позволяющая ynpociHib процедуру вычисления данного вклада на опыте и и збавиться oi одного из иыочников систематической ошибки

4 Рассмотрены электромагнитные поправки в первом порядке теории возмущений к ряду каналов е+е~-аннигиляции, используемые при экспериментальной оценке ад-ронною вклада в аномальный мапштный момент мюона (q — 2);i, а именно е+е~ —» /i+/i-(7), 7г+7г-(7), 7г+7г"7г°(7) Показано, чю полученные выражения согласуются с предсказаниями формализма сфуктурных функций и могут быть записаны в виде, со1ласующимся с гипотезой факторизации

5 Получено явное выражение для структурной функции заряженною пиона, что важно в задаче описания процессов рождения с большой множественное 1ью

О Рассмотрены радиационные поправки двухфотонно! о обмена к упругому е — ц рассеянию и его кросс-канальному процессу (е+е~ —* fi+ц~,т+т~), коюрые имеют ключевое значение для измерения зарядово-нечетных асимметрий и односпиновых корреляций в данных процессах Данные резулыаш представляют интерес в ввиду готовящихся к вводу в с трои С — т фабрик

7 Рассмсмрены радиационные поправки к упруюму е —р рассеянию как в постановке с неполяризованными частицами, 1ак и в пехлановке с передачей поляризации oi начального электрона конечному протону оiдачи Рассмсмрены поправки на излучение дополнительных мягких и жестких фоюнов из начального элекфона с помощью метода струк!урных функций, также оценены поправки на двухфотонныи

Висдепис ix обм( и Проведен анализ влияния указанных поправок на измеряемое на эксперименте 01 ношение ирос iрапс тчшоподобных элетромаг нитных формфакторов протона OrJ См

Список публикаций:

1 Е A Kuraev, Y М Bystritsky, Е V Velicheva, Phys Rev D 69, 114004 (2004) [arXiv hep-ph/0310275]

2 Е A Kuraev, V. V Bytev and Y M Bystritsky, РЬуь Rev D 73, 054021 (2006) [arXiv hep-ph/0311086]

3 Y M Bystritskiy, E. A. Kuraev, G V. Fedotovich and F V Ignatov, Phys Rev D 72, 114019 (2005) [arXiv hep-ph/0505236].

4 S Bakmaev, Y. M Bystritskiy and E A Kuraev, Phys Rev D 73, 034010 (2006) [arXiv hep-ph/0507219]

5 Ю M Быстрицкий, Э А Кураев, А В Богдан, Ф В Шнаюв, Г В Федотович, Письма в ЖЭТФ, 83 (2006) 57-59

Ь Э А Кураев, Ю М Быстрицкий, Письма в ЖЭТФ, 83 (2006) 510-512

Заключение

Сформулируем основные научные результаты и выводы

1 Вычислен адронный вклад в полную ширину распада нейтрального пиона 7Г° —> 47 в рамках подхода с кварковой петлей Показано согласие с некоторыми прежними результатами оценки этою вклада, полученными в других моделях (в частности, с привлечением 1ипо1езы векторной доминанпкхли и мезон-барионного подхода к вычислению вероя iностей процессов с участ ием сильно1 о взаимодействия) В резуль-ыте, получена оценка для адронного вклада на уровне B\^dr ~ Ю-16, что позволяем сделать вывод о том, что основной вклад определяемся чисю электродинамическим механизмом с поддиаграммой рассеяния света на свеме ~ 2 G • Ю-11) 1

2 Вычислены радиационные поправки к процессу радиационного распада заряженною пиона 7Г~ —* [i~&cl Вычисления проведены в первом порядке теории возмущении Результаты приведены в виде выражения для дифференциальной ширины распада с учсмом радиационных поправок, а также в виде таблиц, иллюстрирующих далитц-рас пределение вкладов Показано, что в полученных выражениях слагаемые с массовыми сиш улярностями имеекм правильную зависимость, coi ласующуюся с предсказаниями метода ренормгруппы Это позволяет обобщшь полученные выражения для радиационных поправок на все порядки теории возмущении в лидирующем логарис|> мичес ком приближении Показано, чхо значение радиационных поправок наиболее значимо в области, где проявляемся структурная часть матричною элемента распада 7г~ —» (Гйе7, и дает деструктивный вклад порядка 4 - 6% в дифс})еренциальную ширину распада в этой области

3 Предложена измененная формулировка адронного вклада в аномальный маптит-ный момеш мюона (д — 2);1, которая выражает этот вклад через сечение электрон-позитроннои аннигиляции в адроны, включающее все возможные вакуумные возбуждения в промежуточной фотонной линии Традиционная формулировка адронного вклада в (д — 2)/( требует предварительною выделения вклада вакуумной поляризации из сечения электрон-позитронной аннигиляции в адроны, чю приводит к внесению дополнительных неопределенностей в это сечение, а значит и в саму оценку вклада в (д — 2),, В нашей формулировке подобная процедура извлечения поляризации вакуума уже не нужна, чю позволяет утверждать, чю в новой формулировке исючников сис тематических ошибок стало меньше

4 Вычислены радиационные поправки к процессам рождения (п+п~) пар и системы 7г+7г~7г° в реакции электрон-позитронпой аннигиляции в первом порядке теории возмущений В тех выражениях, которые уже были вычислены ранее, получено совпадение с опубликованными результатами Также показано, что во всех результирующих выражениях наблюдается поведение сишулярных слагаемых, следующее из ренормгруппово1 о анализа, чю также позволяет обобщить полученные выражения на высшие порядки теории возмущений в лидирующем логарифмическом приближении Из рассмотрения поправок к реакции е+е~ —> 7Г+7Г~ удалось выделить вклад от с груктурнои функции заряженного пиогга, выписан ее явный вид, что является важнейшим результатом для задачи учета радиационных поправок в процессах с большой множес гвенностыо, где участвуют заряженные пионы

5 Рассмотрены сечения процессов е^-рассеяния и е+е~ —> в зарядово-нечетной пос гагговке При этом основной вклад в сечение будет даваться амплитудои с двух-фотонным обменом. Получены выражения для зарядовых асимметрий и приведены численные оценки этих величин для типичных экспериментальных постановок и энерг ий Также вычислены одггоспиновьте корреляции для данных реакций и приведены результаты численных оценок в виде г рафиков Полученные значения позволяют сделать вывод, что в настоящее время экспериментальный уровень точности вполне позволяет наблюдать эффекты такого рода и следовательно получеггггьге выражения представляют интерес для обоснования готовящихся экспериментов в Новосибирске, JLab, Frascati и Bejmg

G Рассмотрены радиационные поправки к упругому элетрон-протонному рассеянию как в неполяризованной постановке, так и в постановке, когда начальный электрон поляри зован и, расс еиваясь на неполяризованном начальном протоне, передает с вою поляризацию конечному ггротону отдачи Вычислены поправки на и злучение дополнительных фоюнов из внешних заряженных линии в реакции, а также поправки на двухфотонный обмен Рассмотрено влияггие этих поправок на измеряемое на эксперименте отношение элекгромагнитных формфакторов протона цСр/См, которое в настоящее время измеряется двумя независимыми меч одами Показано, что в случае метода Розенблюта (пеиоляризованное электрон-протонное рассеяние), тормозное излучение из начальною электрона дос таточно сильно влияет на измеряемое сечение и приводиi к уменьшению наклона редуцированного (ечения в е- зависимой и ( увеличением переданного импульса, тогда, как в методе с передачей поляризации от поляризованного электрона конечному протону радиационные поправки имеют примерно одинаковое значение для разных поляризации и в результирующем отношении формфакторов взаимно сокращаются Остальные поправки (включая поправки на двухфотонный обмен) дают незначительный вклад в обоих постановках эксперимента, а именно на уровне меньшем 1 % Полученные численные оценки позволяют сделать заключение, что правильный учет радиационных поправок на юрмозное излучение из начального электрона можег решшь проблему расхождения результатов разных методов измерения отношения электромагнитных формфакторов протона hGe/GM

1.1| A Pukhov et al, "CompHEP A package for evaluation of Feynmari diagrams and integration over arXiv hep-ph/9908288

2. A Andonov et al, arXiv hep-ph/0411186.

3. J С Collins, D E Soper and G Sterman, РЬуь Lett В 134, 263 (1984)

4. L N Lipatov, Sov J Nucl Phys 20, 94 (1975) Yad Fiz 20, 181 (1974)]

5. G Altarelli and G Parisi, Nucl РЬуь В 126, 298 (1977)

6. T Kinoshita, J Math Phys 3, 650 (1962)

7. T D Lee and M Naueriberg, Phys Rev 133, B1549 (1964)

8. J McDonough et al, Phys Rev D 38, 2121 (1988)

9. E Frlez, D Mzavia, D Pocarnc с t al, "A new search for the C-noninvariant decay n° —> З7" PSI R-03-02 0 Letter of Intent (Paul Scherrer Institute, Vilhgen, 2003)

10. R L Schult and В L Young, Phys Rev D 6, 1988 (1972)

11. E L Bratkovskaya, E A Kuraev and Z К Silagadze, Phys Lett В 359, 217 (1995) JETP Lett 62, 198 (1995)] [arXiv hep-ph/9506310]

12. D Parashar and P N Dobson, Phys Rev D 12, 77 (1975)

13. Y Liao, Phys Rev D 57, 1573 (1998)

14. M Gell-Mann, D Sharp and W G Wagner, Phys Rev Lett 8, 261 (1962)

15. T Das, V S MathurandS Okubo, Phys Rev Lett 19,470 (1967)

16. R J Oakes, J Л Sakurai, Phys Rev Lett 19, 1266 (1967).

17. M К Volkov, E A Kuraev, D Blase like, G Ropke and S M Schmidt, Phys Lett В 424, 235 (1998) arXiv hep-ph/9706350]

18. Z К Silagadze, Phys Scripta 70, 280 (2004) arXiv hep-ph/0311089]

19. A V Tarasov, Yad Fiz , 5, 626 (1967), Sov J Nucl Phys 5, 445 (1967)[

20. D A Bryman, P. Depominier and С Leroy, Phys Rept 88, 151 (1982),

21. M В Voloshin, Phys Lett В 283, 120 (1992),

22. A A Poblagnev, Phys Lett В 238, 108 (1990),

23. A A Poblaguev, Phys Lett В 286, 169 (1992),

24. V N Bolotov et al, Phys Lett В 243 (1990) 308,

25. V N Bolotov et al, Sov Л Nucl Phys 51, 455 (1990) Yad Fiz 51, 717 (1990)], [26| E Gabnelli, Phys Lett В 301, 409 (1993).

26. D Pocanic PIBETA Collaboration], arXiv hep-ph/0307258

27. D Y Baidin and S M Bilenky, Yad Fiz. 16, 557 (1972)

28. I N Nikitin, Preprint IFVE-90-176, Protvino (1990), I N Nikitm, Sov. J Nucl Phy-54, 621 (1991) Yad Fiz 54, 1029 (1991)]

29. Y Y Komachenko and R N Rogalev, Phys Lett В 334, 132 (1994)

30. V M Belyaev and I. I Kogan, Phys Lett В 280, 238 (1992)

31. A A Poblaguev, Phys Rev D 68, 054020 (2003) arXiv hep-ph/0307166],

32. M V Chizhov, arXiv hep-ph/0310203

33. M V Chizhov, Phys Part Nucl Lett 2, 193 (2005) Pisma Fiz Elein Chast Atom Yadra 2N4, 7 (2005)] [arXiv hep-ph/0402105]

34. D R Yennie, S С Frautschi and II Suura, Annals Phys 13, 379 (1961)

35. V Bytev, E Kuraev, A Baratt and J Thompson, Eur Phys J С 27, 57 (2003) arXiv hep-ph/0210049]

36. V N Baier, E A Kuraev, V S Fadin and V A Khoze, Phys Rept 78, 293 (1981)

37. A Sirlm, Phys Rev D 5, 436 (1972),

38. Nucl Phys В 196, 83 (1982),

39. Rev Mod Phys 50, 573 (1978) Erratum-ibid 50, 905 (1978)]

40. В R Holstein, РЬуь Lett В 244, 83 (1990)42J A Nyffeler, Nucl Phys Proc Suppl 131, 162 (2004)

41. A A Pivovarov, "Muon anomalous magnetic moment A consistency (heck for the Phys Atom Nucl 66, 902 (2003) Yad. Fiz 66, 934 (2003)] [arXiv hep-ph/0110248]

42. A. Czarnecki and W J Marciano, Phys Rev D 64, 013014 (2001) arXiv hep-ph/0102122]

43. T Kinoshita, В Nizic and Y Okamoto, "Eighth order QED contribution to the anomalous magnetic moment of the Phys Rev. D 41, 593 (1990)

44. P J Mohr and В N Taylor, Rev. Mod Phys 72, 351 (2000)47| S J Brodsky and E De Rafael, "Suggested Boson Lepton Pair Couplings And The Anomalous Magnetic Moment Phys Rev 168, 1620 (1968)

45. В Krause, Phys L<tt В 390, 392 (1997) arXiv hcp-ph/9607259j

46. S Eidelrnan and F Jegerlehner, Z Phys С 67, 585 (1995) arXiv hep-ph/9502298],

47. M Davier, S Eidelrnan, A Hocker and Z Zhang, Eur Phys J С 27, 497 (2003) arXiv hep-ph/0208177],

48. M Davier, Nucl Phys Proc. Suppl 131, 192 (2004) arXiv hep-ex/0312065],

49. T Teubner, Nucl Phys Proc Suppl 131, 201 (2004),

50. M Davier, S Eidehnan, A Hocker and Z Zhang, Eur Phys J С 31, 503 (2003) arXiv hep-ph/0308213]

51. R Barbieri and E Remiddi, Nucl Phys В 90, 233 (1975)

52. E Bartos, A Z Dubmckova, S Dubnicka, E A Kuraev and E Zemlyanaya, "S(alar and pseudoscalar meson pole ternib in the hadromc light-by-light Nucl РЬуь В 632, 330 (2002) arXiv hep-ph/0106084]

53. V N Baier and V A Khoze, Sov Phys JETP 21, 629 (1965) Zh Eksp Teor Fiz 48, 946 (1965)|

54. V N Baier and V A Khoze, Sov Phys JETP 21, 1145 (1965)

55. A A Akhundov, D Y Bardm, 0 M Fedorenko and T Ricmann, Sov J Nucl Phys 42, 762 (1985) Yad Fiz 42, 1204 (1985)]59 6061 62 [636465 66 [6768170 71 [72 [7374

56. E A Kuraev and G V Meledin, Nucl. Phys В 122, 485 (1977) Yad. Fiz 13, 757 (1972).

57. A I Akhiezer, V В Berestet&ki, "Quantum Electrodinamics", Nauka, Moscow (1981) J S Schwmger, "Particles, Sources, And Fields Vol 2"

58. В H Smith and M B. Voloshin, Phys Lett В 324, 117 (1994) Erratum-ibid В 333, 564 (1994). [arXiv hep-ph/9312358]

59. А В Arbuzov, V A Astakhov, A V Fedorov, G V Fedotovich, E A Kuraev and N P Merenkov, "Radiative correc tions for pion and kaon production at e { e- colliders of JHEP 9710, 006 (1997) arXiv hep-ph/9703456.

60. J S Schwmger, "Particles, Sources, And Fields Vol 3," p 99

61. M Drees and К i Hikasa, Phys Lett В 252, 127 (1990)

62. A Hoefer, J Gluza and F Jegerlehner, Eur Phys J С 24, 51 (2002) arXiv hep-ph/0107154.

63. E A Kuraev and V S Fadm, Sov J Nucl Phys 41, 466 (1985) Yad Fiz 41, 733 (1985).

64. А В Arbuzov, V A Astakhov, A V. Fedorov, G V Fedotovich, E A Kuraev and N P Merenkov, JHEP 9710, 006 (1997) arXiv hep-ph/9703456.

65. J S Schwmger, "Particles, Sources, And Fields Vol 2", p 397.

66. A Sommerfeld, Atombau und Spektralhrnen, vol II (Vieweg, Braunschweig, 1939)

67. A D Sakharov, Zh Eksp Teor Fiz 18, 631 (1948) Sov Phys Usp 34, 375 (1991).

68. К A Milton and I L Solovtsov, Mod Phys Lett A 16, 2213 (2001) arXiv hep-ph'0005175.

69. V S Fadin and V A Kho/e, Sov J Nucl Phys 53, 692 (1991) Yad Fiz 53, 1118 (1991))

70. I Y Bigi, V S Fachn and V A Khoze, Nucl Phys В 377, 461 (1992)

71. R R Akhmetshnif tal CMD-2 Collaboration], Phys Lett В 527,161 (2002) [arXiv hep-ex/0112031]77 78 [7980 818283 84 [85 [86 [8788

72. E Witten, Nucl Phys В 223, 433 (1983) J Wess and В Zumino, Phys Lett В 37 (1971) 95

73. E A Kuraev and Z K. Silagadze, Phys Atom Nucl 58, 1589 (1995) Yad Fiz 58N9, 1687 (1995). [arXiv hep-ph/9502406]

74. Ngee-Pong Chang, Phys Rev 131 (1963) 1272

75. M I Golberger, Y Nambu and R Oehme, Ann Phys (N Y ) 2, 226 (1957) S D. Drell and J D Sullivan, "Axial Meson Exchange And The Relation Of Hydrogen Hyperfine Splitting To Phys Lett 19, 516 (1965)

76. P Van Nieuwenhuizen, Nucl Phys В 28, 429 (1971), I В Khriplovich, Sov J Nucl Phys 17, 298 (1973)

77. E A Kuraev and G Meledin, Preprint 76-91 (197o), Novosibirsk

78. M N Rosenbluth, Phys Rev 79, 615 (1950)

79. С Maximon and J A. Tjon, Phys Rev С 62, 054320 (2000) arXiv nucl-th/0002058j

80. G 4 Hooft and M J. G Veltinan, Nucl Phys В 153, 365 (1979)

81. M P Rekalo, E Tomasi-Gustafsson and D Prout, "Search for evidence of two photon exchange in new experimental high Phys Rev С 60, 042202 (1999)

82. M P Rekalo and E Tomasi-Gustafsson, "Model independent properties of two-photon exchange in elastic electron Eur Phys J A 22, 331 (2004) arXiv nucl-th/0307066.

83. В L Ioffe, L N Lipatov, V A Khoze, 'Deep mdastic processes' (in russian), Moscow, Energoatom Izdat, 1983

84. D Nikolenko, private communication, J Arrmgton et al, Nucl-ex/0408020

85. Jefferson Laboratory proposal PR-04-019, (R Suleiman, L Penchev, R Gilman, and С Perdrisat spokepersons) 'Measurement of the Two-Photon Exchange Contribution in tp Elastic Scattering Using Rccoil Polarization'

86. M Mirazita et al, Letter of Intent, Frascati, 2005

87. VV G Li BES Collaboration], Prepared for 32nd International Confcreru( on Hiqh-Emrqy Physics (ICHEP 04), Bujing, China, 16-22 Aug 2004

88. L С Maxnnon and J A Tjon, Phys Rev С 62, 054320 (2000) [arXiv nucl-th/0002058.

89. E A Kuraev, N P Merenkov and V S Fadin, Sov J Nucl Phys 47, 1009 (1988) Yad Fiz 47, 1593 (1988)]

90. A Afanasev, I Akushevich and N Merenkov, Phys Rev D 64, 113009 (2001)

91. S Dubnicka, E Kuraev, M Secansky and A Vinnikov, "Polarization transfer measurements of proton form factors Deformation by arXiv hep-ph/0507242

92. R Blankenbecler and J F Gunion, Phys Rev D 4, 718 (1971)

93. A Akhiezer and M P Rekalo, Dokl Akad Nauk USSR, 180, 1081 (1968), A I Akhiezer and M P Rekalo, Sov J Part Nucl 4, 277 (1974) Fiz Elem Chast Atom Yadra 4, 662 (1973)1

94. I A Qattan et al, Phys Rev Lett 94, 142301 (2005)

95. E Tomasi-Gustafsson and G I Gakh, Phys Rev С 72, 015209 (2005)

96. S Kondratyuk, P G Blunden, W Melmtchouk and J A Tjon, Phys. Rev Lett 95, 172503 (2005)

97. E A Kuraev and V S Fadin, Sov J Nucl Phys 41, 466 (1985) Yad Fiz 41, 733 (1985)]

98. E A Kuraev, V V Bytev, Y M Bystritskiy and E Tomasi-Gustafsson, Phys Rev D 74, 013003 (2006)

99. A I Akhiezer and М Р Rekalo "Electrodynamics of Hadrons Kiev, Naukova Dumka, 1977

100. L Andivahis et al, Phys Rev D 50, 5491 (1994)

101. M E Christy et al E94110 Collaboration], Phys Rev С 70, 015206 (2004)

102. T Janssens, R Hofstadter, E В Hughes and M R Yerian, Phys Rev 142,922 (1966)

103. E A Kuraev, M Secansky and E Tomasi-Gustafsson, Phys Rev D 73, 125016 (2006)

104. E Tomasi-Gustafsson, arXiv hep-ph/0412216