Учет нелокальности вакуумных конденсатов в правилах сумм КХД для легких мезонов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Пимиков, Александр Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Иркутск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
I/
На правах рукописи УДК 539.12.01; 539.126.3
пимиков
Александр Владимирович
УЧЕТ НЕЛОКАЛЬНОСТИ ВАКУУМНЫХ КОНДЕНСАТОВ В ПРАВИЛАХ СУММ КХД ДЛЯ ЛЕГКИХ МЕЗОНОВ
Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
г»
О 4 !>
Иркутск 2009
003471410
Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук
А. П. Бакулев
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
кандидат физико-математических наук
А. Е. Дорохов А. Е. Раджабов
Ведущая организация:
Томский государственный университет,
г. Томск.
Защита состоится "18" июня 2009 г. в И ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.074.04 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 20.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета.
Автореферат разослан "15" мая 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,
доцент Б. В. Мангазеев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Объект исследования и актуальность темы.
Описание пиона как связанного состояния кварка и антикварка с момента создания кварковой модели (Гелл-Ман и Цвейг, 1964), а особенно после создания КХД (1972) является актуальной задачей теории физики элементарных частиц. И вот почему: с одной стороны, пион является простейшей кварк-антикварковой системой, на которой можно проверить предсказательную способность теории, а с другой стороны, его свойства чрезвычайно важны для описания результатов эксперимента, поскольку пионы — основные частицы, образуемые в адронных процессах. Тема пиона и его свойств интенсивно обсуждается на международных конференциях и в печатных изданиях.
Целью работы является:
1. Построение модели нелокальных вакуумных средних, описывающих непертурбативный КХД-вакуум, согласованной с уравнением движения КХД и калибровочной инвариантностью. Это позволит корректно учитывать непертурбативный вклад в правилах сумм КХД для легких мезонов.
2. Изучение электромагнитного формфактора и амплитуды распределения пиона.
Научные положения, выносимые на защиту:
1. Показано, что минимальная гауссова модель не удовлетворяет уравнениям движения безмассовой КХД и приводит к непоперечности непертурбативного вклада в коррелятор векторных токов.
2. Построена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов, согласованная как с уравнениями движения, так и с поперечностью коррелятора векторных токов.
3. Произведен расчет области допустимых значений коэффициентов по и а.| гегенбауэровского разложения амплитуды распределения пиона в улучшенной модели.
4. Вычислен электромагнитный формфактор пиона в пространственно-подобной области квадрата передачи импульса 1 — 10 ГэВ2 в минимальной и улучшенной моделях.
Научная новизна
Все результаты, перечисленные в разделе "Научные положения, выносимые на защиту" являются новыми.
Научная и практическая ценность
Полученные результаты позволяют изучать легкие мезоны в рамках подхода правил сумм КХД с нелокальными конденсатами, не нарушая при этом уравнений движения кваркового поля и минимизируя нарушение калибровочной инвариантности.
Апробация работы:
Результаты представленные в диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова (ОИЯИ, Дубна), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (ИГУ, Иркутск), на семинаре Европейского центра теоретической физики (ЕСТ*, Трен-то, Италия, декабрь 2006), в Мюнхенском университете им. Людвига и Максимилиана (LMU, Мюнхен, март 2008) и на Международных конференциях: "Рождение, свойства и взаимодействие мезонов" (Краков, Польша, июнь 2006), "Новые направления в физики высоких энергий" (Ялта, Украина, июнь 2006), "Структура адронов" (Модра-Гармония, Словакия, сентябрь 2007), "Структура адронов и КХД" (Гатчина, Россия, июнь 2008), "Возбужденная КХД" (Закопане, Польша, февраль 2009).
Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 работ /1, 2, 3, 4, 5, б/ в отечественных и зарубежных изданиях.
Личный вклад автора:
Исследования, составляющие основу диссертационной работы, выполнены в соавторстве с А. П. Бакулевым, С. М. Михайловым и Н. Г. Стефанисом. Получение и интерпретация результатов и соответствующих защищаемых положений в существенной мере сделаны лично соискателем.
Структура и объём диссертации:
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Общий объём диссертации 101 страница машинописного текста, включая 30 рисунков, 5 таблиц и списка литературы из 99 наименований.
Краткое содержание работы:
Во Введении обсуждается современное состояние проблемы, отражена актуальность исследуемой темы, сформулированы цели и методы решения поставленных задач, излагается краткое содержание работы.
В первой главе подробно рассматривается подход правил сумм (ПС) КХД предложенный в цикле работ /7/. Этот подход позволяет рассчитывать характеристики адронных состояний (массы, распадные константы, магнитные моменты), ничего не говоря о самом процессе связывания кварков в адрон, т. е. обходя проблему конфайнмента, что было продемонстрировано в /7/ для ж-, р-, ш-, J/ф- и г/с-мезонов. Одна из главных идей подхода основана на том, что физический вакуум не совпадает с основным состоянием теории свободных полей, поэтому было предложено ввести ненулевую константу (0| : q{0)q(z) : | 0) « (qq) = const, называемую кварковым конденсатом. При этом нелокальностью, т.е. зависимостью вакуумных средних от координат полей, пренебрегали и ис-
^тг(Р)
"(0)
Рис. 1. Физический смысл пионной АР.
пользовали (как мы их называем) локальные конденсаты.
Одним из недостатков в использовании локальных конденсатов при построении ПС КХД /8/ для амплитуды распределения (АР) пиона следует признать плохую сбалансированность получающегося ПС (см. /9/ и ссылки в ней). Пионная АР является амплитудой перехода тт(Р) —> и(Рх) + ¿{Р{ 1 — х)) физического пиона с импульсом Р в йй-пару с импульсами хР и (1—х)Р (здесь х — доля импульса, х е [0,1]), в которой кварк и антикварк находятся на световом конусе, как показано на рис. 1. Она определяется согласно
где ц2 фиксирует точку нормировки. Пертурбативный вклад в ПС КХД в ведущем порядке описывается спектральной плотностью типа ~ я(1 — х), является гладкой функцией и имеет максимум в центральной точке х = 0.5, в то время как непертурбативные вклады, определяемые локальными конденсатами, дают вклады типа
где х = 1 - х, сосредоточенные в концевых точках х = 0 и х = 1. Такое поведение непертурбативных вкладов объясняется тем, что локальный конденсат не «пропускает» через себя импульс, по этой причине весь импульс пиона должен нести один из его кварков, что не представляется достаточно реалистичным приближением. Напомним, что локальный конденсат в координатном представлении постоянен, что в импульс-
(0 | ф)Гъи(0) | тг(Р)) = г/„Р" [ йхе^ ^{х^2)
* -0 Jo
О
С1 5 (х) + (с2 + с3 х) 6' (х) + (х х)
ном представлении отвечает дельта-функции 6А(р), т.е. через конденсат проходит нулевой импульс. В результате, в теоретической части правил сумм, определяемой операторным разложением, для моментов пион-ной АР появляются как убывающие с ростом номера момента N члены ~ 1/((ЛГ -ь 2)(Л/" + 3)) (пертурбативный вклад), так и постоянный (от ¿(1 — х)) и растущий ~ N (от ¿'(1 — л;)) вклады глюонного и кваркового конденсатов. Поэтому ПС оказываются устойчивыми и хорошо сбалансированными только для случая нулевого момента N = 0, а уже для N = 2 они становятся разбалансированными и генерируют завышенное значение второго момента (^2)7Г = 0.66, полученное в работе /8/.
Отметим, что ПС с локальными конденсатами для формфактора (ФФ) пиона также обладают плохой стабильностью и устойчивы лишь при евклидовых квадратах передачи импульса 1 ГэВ2 < (¿2 < 3 ГэВ2. Причина здесь та же, что и в случае ПС для АР мезонов: разногласие в поведениях пертурбативного вклада, падающего с ростом С}2, и непер-турбативных вкладов, которые либо постоянны, либо линейно растут с
Я1 /10,11/.
Чтобы получить правильные зависимости от N (<32 для ФФ), необходимо вычислять вклады от операторов высшей размерности типа (q(0)D2q(0)}, (q(0)(D2)2q(0)} и т.п., получаемых как тейлоровское разложение изначально нелокальных конденсатов (напр. (д(О)д(-г))). Полный конденсатный вклад убывает с ростом N (<Э2 для ФФ), в то время как каждый по отдельности вклад стандартного операторного разложения имеет структуру Аг" (<22п для ФФ). Это означает, что для получение осмысленного результата необходимо отсуммировать весь тейлоровский ряд, что выполнить точно не представляется возможным.
Во второй главе рассмотрен и улучшен метод, предложенный в работе /12/ для анализа мезонных АР и в работе /13/ для анализа мезонных ФФ. В этом методе предлагается отказаться от разложения изначально нелокальных конденсатов по расстояниям между операторами кварковых и глюонных полей и использовать некоторую модельную
зависимость от расстояний. При этом выбор модели, параметризующей нелокальные вакуумные конденсаты (НВК), может играть важную роль.
Основными вакуумными конденсатами нижайшей размерности, необходимыми для наших исследований, являются: кварковый билокаль-ный (<]л(0)дьв(х)), кварк-глюон-кварковый ((/в(0)(—уА"(у) четы-
рехкварковый (<7д(0)'/¡¡{у) <]'с{~)'¡о^)) и глюонный (•4"1(.т)Л('(у)) конденсаты. Мы работаем в калибровке Фока-Швингера х,,Аа{х) = 0, поэтому струнные факторы, необходимые для калибровочной инвариантности нелокальных объектов, обращаются в единицы при выборе пути интегрирования в виде прямой.
Вакуумное среднее билокального по кварковым полям оператора можно представить в общем виде
ос ^
<Й(0)<&(*)> = ~ / |~ № /*И - ^ ¿А» Ма)} е-2/4 <Ь, (1) о
где А0 = 2а57г(г7<7)2/81, /5(0) и /у (а) - функции, параметризующие скалярный и векторный конденсаты, соответственно. Трилокальные вакуумные средние антикваркового, глюонного и кварковых полей удобно выразить через три скалярные функции /¿(0:1,0:2,0:3) (см. /12/):
1 3
ШвШ-дАЦу) ПЧА(х)) = - £ (Г° у))АВ М,(х2, у2, (х - у)2),
г—1
где
М1(х2,у2,(х-у)2) = (2)
оо оо
А, и^ъ Ла2 Ау./Дгуь «2, «з) е^^«»'*^-»)')/« ;
ООО
3
Л1 = --Л0; у)
А2 = 2А„; ГЦх, у)
3
А3 = +-А0\ Г Цх,у)
= ух„ - 7ЛхУ) ; = ууV - 1»у2; = 1уаХ1)Е„оав1Ы" ■
Вакуумные конденсаты четырехкварковых операторов в предположении гипотезы о вакуумной доминантности /7/ преобразуются в произведения двух билокальных кварковых конденсатов (1). В нашей работе мы не проводим трудоемких вычислений /14/ с нелокальным глюонным конденсатом, а используем модельные приближения вклада этого конденсата, основанные на расчете с локальным конденсатом, что оправдывается малостью глюонного вклада, а также анализом проведенным в /14/.
Таким образом для определения модели нелокальных конденсатов, учитывая лишь тензорные структуры, отвечающие размерностям конденсатов не выше 6, необходимо ввести 5 функций /V, /,: (г = 1,2,3). Явный вид этих функций должен браться, вообще говоря, из конкретной модели непертурбативного вакуума КХД, например из инстантонной модели, либо из моделирования на решетке. В отсутствии информации о координатных зависимостях конденсатов было предложено /12/ пользоваться первым нетривиальным приближением, учитывающим лишь конечную ширину пространственного распределения кварков в вакууме:
ш =5 (а- Д2/2) ; /у (а) = 5'{а- А2/2) ; (За) ь«2, <*з) = 6 («, - А^/2) 5 (а2 - А^/2) <5 (а3 - А^/2) . (ЗЬ)
В этой модели, так называемом «дельта-анзаце», в качестве параметра используется средняя виртуальность кварков в вакууме: (к2) = А2 = (<7£>2д)/(й), оцененная в ПС КХД и на решетке. Остальные параметры нелокальности не определены. Такой модели отвечает гауссова форма НВК в координатном представлении, поэтому в дальнейшем мы будем называть его гауссовой моделью нелокальных вакуумных конденсатов.
В первых работах по ПС с нелокальными конденсатами предполагалось, что параметры нелокальности разных конденсатов (А(/, Лу и А,у,4?) могут различаться /13, 12/. В дальнейшем, для упрощения модели и уменьшения числа параметров была предложена минимальная модель в которой введен единый параметр нелокальности А(/— как для скалярно-
го и векторного кваркового (см. (За)), так и для кварк-глюон-кваркового (см. (ЗЬ)) конденсатов /15/: Ау = А,д? = Ач. Во второй главе показано, что эта модель, также как и ее обобщение (3), приводит к нарушению условия поперечности коррелятора векторных токов и не согласуется с уравнениями движения безмассовой КХД.
Уравнение Дирака для кваркового поля д{х) имеет вид (Ш,^'' - т) д(х) = 0, где £),, = - гдАа^а — ковариантная производная, отсюда получаем уравнение движения для раздвинутого кваркового тока 9(0)7;,<7(ж) в следующем виде:
(Ц£ - т) ф)ъФ) = -яч(РШх)*аъя(х) ■
Если произвести усреднение этого операторного уравнения по физическому вакууму КХД, то мы получим такое уравнение для конденсатов
£>м<0| 9(0)7, Ф)\0) = 1{0\д(0)ЪдА>Чх)д(х)\0). (4)
Нетрудно убедиться, что минимальная модель (3) не удовлетворяет этому уравнению. Чтобы исправить этот недостаток, мы предлагаем использовать улучшенный дельта-анзац для кварк-глюонного конденсата:
/¡К,«2,(1з) = (5)
(1 + + шм + ^¿У 5 («1 - Х^у) 5 (а2 - уМ) 5 {а3 - ,
где К.у = А^/2. Тогда для выполнения (4) необходимо наложить следующие условия на параметры:
12(Х2 + У2)-9(Х1 + У1) = 1; (6а)
Х1 + гл = 1. (6Ь)
Исходя из предположения, что кварк и антикварк в вакуумном конденсате в определенном смысле взаимозаменяемы, поскольку взаимодействуют с глюоном одинаково, мы получаем дополнительные условия:
У = ; Ух-^г. (7)
Но полученного условия (6) и предположения (7) явно не достаточно для фиксирования введенных в этой модели параметров. Дополнительные ограничения могут быть получены из условия поперечности коррелятора:
п;1 = г |Л:е"'<(0|Т [^(0)Л+(а:)] |0), (8)
двух векторных токов
3+(х) = й(1)7„й(а;); ,/,,(0) = <1(0)у„и(0),
отвечающих заряженному р-мезону, с обобщенным первым током
^(0) = ЩЪ (-гп"В,)Л м(0),
где п - произвольный светоподобный вектор, п2 = 0, удовлетворяющий щ ф 0. Этот коррелятор используется при изучении амплитуды распределения р-мезона и его константы распада. Операторное разложение коррелятора двух аксиально-векторных токов, используемого при построении ПС КХД для пиона, тесно связано с операторным разложением этого коррелятора. Очевидно, что коррелятор (8) должен обладать поперечно-стыо по отношению к току 3+{х)\ = 0, что является следствием
калибровочной инвариантности. Нами было показано, что для минимальной модели это не так и проекция п^п^, использовавшаяся в ряде работ (например /12/) при изучении пиона, имеет вклад от непоперечной структуры.
Также как и при анализе ПС КХД для АР пиона мы интересуемся конформными моментами после борелевского преобразования лр, выделяя непоперечную структуру проектором
где — биномиальные коэффициенты. Для поперечного коррелятора величина (£2Л')ь = 0 для всех целых неотрицательных N. В улучшенной модели (5) после учета указанных условий (6) и (7) у нас остаются
П
к ЩЛу
пд
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Рис. 2. Конформные моменты ({"Л)[.(Д) непоперечного вклада в коррелятор векторных токов как функции от Д = А^/(2Д/-) при Л' = 0.2,5 для улучшенной модели (сплошная линия) в сравнении с получаемыми для минимальной модели (штриховая линия).
свободными следующие параметры: х, Хи Х2, Хл, Кь У3 и X,, = А2/Ау, в предположении XI = х2 = хл = х. Минимизация первых 6 моментов (£2ДГ)ь(А) для N = 0,1.2.3,4,5 дает нам следующий набор параметров:
х„ = 1.00; (9)
Хг = +0.082; у1 = г: = -2.243; Х\ = х2 = Х3 = I = 0.788;
х2 = -1.298; У2 = z2 = -0.239; У1 = У2 = Уз = 1 _ х = 0.212 ;
х3 = +1.775; Уз = г3 = -3.166; 21 = = г3 = 1-х = 0.212.
Для обсуждения качества улучшенного анзаца мы приводим на рис.2 графики зависимостей конформных моментов (£2ЛГ)ЦД) непоперечных вкладов от борелевского параметра Д = А2/(2М2) для N = 0, 2,5 в улучшенной модели (5) со значениями параметров (9) в сравнении с минимальной моделью (3), где все параметры нелокальностей равны (Ау = \~iAq = Как видно из приведенных графиков, улучшенная модель (5) значительно уменьшает абсолютную величину непоперечных конформных моментов (£2ЛГ)ь т.е. лучше учитывает поперечность векторного коррелятора. Ожидать точного выполнения условия поперечно-сти непертурбативного вклада в коррелятор векторных токов не приходится, поскольку это связано с выходом за рамки гауссова приближения, которым мы пользуемся.
В третьей главе мы приводим результаты анализа правила сумм КХД для пионной АР в улучшенной модели в сравнении с минимальной
моделью. Полученная во второй главе модель позволяет более точно рассчитать конформные моменты (£2Л% АР пиона <рп(х, д2) для N < 5. На основе результатов анализа первых пяти (ЛГ = 1,2,3,4,5) конформных моментов (£2Л'}- в правилах сумм КХД /15/ мы извлекаем область допустимых коэффициентов Гегенбауэра а2 и «4 (см. рис.3), задающих АР пиона в виде разложения по полиномам Гегенбауэра СЦ'(х), являющимся собственными функциями 1-петлевого ядра эволюции:
<Рх{х, /г) = 6 ./*.г 1 + а2(д2) С%2(2х - 1) + a4(/i2) C'l'2{2x - 1 )
(10)
Проведено сравнение (см. рис. 3) областей допустимых значений параметров (а2, яд) Для улучшенной модели и минимальной модели с результатами анализа (см. /16, 17/ и ссылки в них) экспериментальных данных /18/ группы CLEO по электромагнитному формфактору F7r^r~l(Q2) пион-фотонного перехода и результатами решеточных вычислений вто-
сц (а)
к а-2
a.i (Ь)
' d ц.
гК
Lj
"2
Рис. 3. Результаты анализа /16, 17/, основанного на ПС на световом конусе, данных CLEO по в сравнении с решеточными результатами /20/, показанными заштрихованной
вертикальной областью. Эллипс 1<т-ограничений /16/ окружен сплошной линией (с центральным значением +), а ограничения основанные на ренормалонах /17/ — пунктирной линией (с центральным значением О). Левый рисунок (а) показывает сравнение с предсказаниями в минимальной модели /15/ (К), а правый рисунок (Ь) показывает то же сравнение, но для улучшенной модели НВК /2/ (♦). Ограничения в обоих случаях показаны наклоненными затемненными огурсчноподобными четырехугольниками. Также отмечены асимптотическая АР (♦) и модель /8/ (И). Все результаты приведены на масштабе Шмеддинга-Яковлева = 5.76 ГэВ2 после ЕРБЛ-эволюции в следующем за ведущим порядке.
poro момента АР пиона, опубликованными двумя различными группами /19, 20/.
В четвертой главе обсуждается построение ПС КХД для пи-онного формфактора на основе коррелятора трех токов: электромагнитного тока J''(x) — сий(х)^'и(х) + eí¡d(x)'y,td(x), соответствующего взаимодействию фотона с кварками пиона, и двух аксиальных токов: •ha{x) = (1{х)Ъ1аи(х) и Jb¡}(x) = ü(x)l5led(x), представляющих заряженный пион. Здесь еи = 2/3 ие^= -1/3 — электрические заряды и- и rf-кварков. Новыми элементами нашего подхода являются использование нелокальных конденсатов при вычислении непертурбативных вкладов и применение спектральной плотности в 0(as)-порядке /21/, а также аналитической константы связи Ширкова-Соловцова /22/. В методе нелокальных конденсатов самый простой из кварковых вкладов, возникающий за счет векторной части кваркового конденсата (1), имеет следующую (^-зависимость:
и в локальном пределе \ч —> 0 растет с ростом ф2. Как и ожидалось, нелокальный вклад исчезает при больших значениях импульса О*2. Более того, чем больше значения параметра нелокальности А2, тем быстрее этот вклад уменьшается с ростом <52.
К сожалению, первая попытка обобщить подход ПС КХД /13/, используя нелокальные вакуумные конденсаты, неполна, поскольку все еще содержит вклады локального типа. Источником таких вкладов является использовавшаяся специфическая модель для трехточечного кварк-глюон-кваркового нелокального конденсата. В этой модели нелокальный конденсат, описываемый функцией М*(х2,у2, (х — у)2) (см. (2)), является нелокальным лишь по отношению к двум из трех расстояний х2 (между кварком и антикварком), у2 (между антикварком и глюоном) и (х — у)2 (между кварком и глюоном). Например, скалярная функция М\, описывающая тензорную структуру г = 1, в этой модели не зависит от квад-
0.8
C?2iv(Q2) [GeV2]
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
Рис. 4. Формфактор пиона Q2F,(Q2) в минимальной (штрихованная линия) и улучшенной (сплошная линия) моделях при значении А2 = 0.-1 ГэВ2 в сравнении с экспериментальными данными: Cornell /23/ (А) и JLab /24/ (♦). Затененная область, ограниченная штриховкой, соответствует минимальной модели, а область, ограниченная сплошной, представляет ошибки определения ФФ пиона в улучшенной модели. Последние решеточные результаты /25/ показаны как монопольный фит с ошибками (сильное затемнение ограниченное тонкими линиями) при значениях Q2 < 4.5 ГэВ2. Левая вертикальная штрихованная линия ограничивает область применения использованных ПС КХД Q2 > 1 ГэВ2, а правая вертикальная штрихованная линия ограничивает область где влияние выбора модели нелокальных конденсатов мало Q2 < 7 ГэВ2.
рата расстояния между кварком и антикварком х2. Поэтому, полученные в /13/ ПС также обладают недостатками стандартных ПС КХД.
Несмотря на этот крупный недостаток, полученные в рамках этого подхода непертурбативные вклады от нелокальных конденсатов имеют модельно-независимый вид, т.е. полученные выражения для непертурба-тивных вкладов представлены для произвольных параметрических функций fs, fv, fi, (см. (1) и (2)). Это позволило нам использовать полученные в /13/ выражения, но уже с применением более точных моделей для нелокального кварк-глюонного конденсата.
Сравнения полученных нами результатов с экспериментальными данными /23, 24/ и решеточными вычислениями /25/ показаны на рис. 4. Наши главные предсказания для значения нелокальности А2 = 0.4 ГэВ2 представлены в виде двух полос с центральными линиями (штриховая —
минимальная, сплошная — улучшенная модели), каждая из полос соответствует минимальной и улучшенной моделям НВК, а ширина полосы показывает теоретические неопределенности метода ПС КХД. Полоса, ограниченная штрихованными линиями, отвечает предсказаниям минимальной модели, а полоса, ограниченная сплошными линиями, — улучшенной модели.
В заключении сформулированы основные результаты работы,
полученные в диссертации:
1. В минимальной гауссовой модели вакуума КХД, использовавшейся в ряде работ (напр. /12, 15/), непертурбативный вклад в коррелятор векторных токов непоперечен и нелокальные конденсаты не согласованы с уравнениями движения КХД.
2. Предложена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов (5), согласованная с уравнениями движения КХД, в которой указанное нарушение калибровочной инвариантности минимизировано специальным выбором параметров (9).
3. Используя предложенную модель, построена область допустимых значений коэффициентов а2 и а4 при /¿2 = 1.35 ГэВ2 гегенбауэ-ровского разложения (10) АР пиона. Особо хотим подчеркнуть тот факт, что результат в улучшенной модели имеет согласие в пределах ошибок метода ПС с результатом полученным ранее в минимальной модели. Это говорит, с одной стороны, о преемственности обоих подходов, а с другой - о том, что все характерные черты АР в минимальной модели присущи и АР в улучшенной модели.
4. Полученный 2-параметрический "пучок" допустимых моделей для пионной АР находятся в хорошем согласии как с последними решеточными вычислениями /19, 20/, так и с результатом анализа /16/ данных CLEO по формфактору
5. В минимальной и улучшенной моделях вычислен ФФ пиона при ев-
клидовых значениях импульса передачи 1-10 ГэВ2. При этом учитывалась (9(а,)-поправка, вклад которой в пионный ФФ оказался равным примерно 20%. Следует отметить, что центральная линия предсказаний в улучшенной модели находится при Q2 < 7 ГэВ2 в пределах ошибки результата минимальной модели , что указывает на достоверность получаемых результатов в этой области независимо от используемой модели непертурбативного вакуума КХД. В области Q2 > 7 ГэВ2 становиться важной используемая модель НВК. Полученный результат имеет хорошее согласие с решеточными предсказаниями /25/, экспериментальными данными групп Cornell /23/ и JLab /24/) и с некоторыми из результатов гологра-фической КХД.
Литература
1. Bakulev А. П., Пимиков А. В., Самосогласованная Гауссова модель непертурбативного КХД вакуума// Письма в ЭЧАЯ, 2007, Т. 4. С. 637-653.
2. Bakulev А. P., Pimikov А. V., Self-consistent Gaussian model of nonperturbative QCD vacuum// Acta Phys. Polon., 2006, B37, Pp. 3627-3634.
3. Bakulev A. P., Pimikov A. V. Pion quark structure in QCD// Int. J. Mod. Phys., 2007, A22, Pp. 654-658.
4. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Pimikov A. V., Stefanis N. G. Pion structure in QCD: From theory to lattice to experimental data // Fizika, 2008, B17, Pp. 217-230.
5. Hakiilev A. P., Pimikov A. V., Stefanis N. G. , Pion Form Factor in the NLC QCD SR approach// ArXiv:0903.1994 [hep-ph], 2009.
6. Bakulev A. P., Pimikov A. V., Stefanis, N. G., QCD sum rules
with nonlocal condensates and the spacelike pion form factor// ArXiv:0904.2304 [hep-ph], 2009.
7. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Sum rules// Nucl. Phys., 1979, B147, Pp. 385-447.
8. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Exclusive decays of heavy mesons// Nucl. Phys., 1982, B201, P. 492.
9. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. QCD sum rules for pion wave function revisited// Z. Phys., 1995, C68, Pp. 451-458.
10. Nesterenko V. A., Radyushkin A. V. Sum rules and pion form-factor in QCD// Phys. Lett., 1982, B115, Pp. 410-413.
11. Ioffe, B. L., Smilga, A. V. Pion form-factor at intermediate momentum transfer in QCD// Phys. Lett., 1982, B114, Pp. 353-358.
12. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. The pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates// Phys. Rev., 1992, D45, Pp. 17541759.
13. Bakulev A. P., Radyushkin A. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for the pion form-factor// Phys. Lett., 1991, B271, Pp. 223-230.
14. Mikhailov S. V. Nonlocal gluonic condensate in QCD sum rules for the meson wave functions// Phys. Atom. Nucl., 1993, 56, Pp. 650-657.
15. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. QCD-based pion distribution amplitudes confronting experimental data// Phys. Lett., 2001, B508, Pp. 279-289.
16. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Unbiased analysis of CLEO data beyond LO and pion distribution amplitude// Phys. Rev., 2003, D67, P. 074012.
17. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Tagging the pion quark structure in QCD// Phys. Rev., 2006, D73, P. 056002.
18. Gronberg J. et al. Measurements of the meson photon transition form factors of light pseudoscalar mesons at large momentum transfer// Phys. Rev., 1998, D57, Pp. 33-54.
19. Del Debbio L. Pion distribution amplitude from the lattice// Few Body Syst., 2005, 36, Pp. 77-82.
20. Donnellan M. A. et al. Lattice Results for Vector Meson Couplings and Parton Distribution Amplitudes// PoS, 2007, LAT2007, P. 369.
21. Braguta V. V., Onishchenko A. I. Pion form factor and QCD sum rules: Case of axial current// Phys. Lett., 2004, B591, Pp. 267-276.
22. Shirkov D. V., Solovtsov 1. L. Analytic model for the QCD running coupling with universal <3S(0) value// Phys. Rev. Lett., 1997, V.79, Pp. 1209-1212.
23. Bebek C. J. et al. Electroproduction of single pions at low e and a measurement of the pion form-factor up to Q2 = 10 GeV2// Phys. Rev., 1978, D17, Pp. 1693-1705.
24. Huber G. M. et al. Charged pion form factor between Q2 = 0.60 and 2.45 GeV2. II. Determination of, and results for, the pion form factor// Phys. Rev., 2008, C78, Pp. 045203.
25. Brommel D. et al. The pion form factor from lattice QCD with two dynamical flavours// Eur. Phys. J., 2007, C51, Pp. 335-345.
nojiynciio 8 mux 2009 r.
Yi
Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.
Подписано в печать 08.05.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,37. Уч.-изд. л. 1,17. Тираж 100 экз. Заказ № 56592.
Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/
Введение
1 Метод правил сумм КХД
1.1 Теоретическая часть правил сумм.
1.2 Феноменологическая часть правил сумм
1.3 Анализ правил сумм КХД.
1.4 Правила сумм КХД для константы распада и амплитуды распределения пиона.
Выводы.
2 Метод правил сумм КХД с нелокальными конденсатами
2.1 Нелокальные конденсаты.
2.1.1 Скалярный и векторный кварковые конденсаты
2.1.2 Кварк-глюонный конденсат.
2.1.3 Четырехкварковый конденсат.
2.1.4 Глюонный конденсат.
2.2 Уравнения движения КХД и ограничение на конденсаты
2.3 Операторное разложение коррелятора двух векторных токов
2.4 Анализ гауссовых моделей.
Выводы.
3 Амплитуда распределения пиона
3.1 Уравнение эволюции АР пиона.
3.2 Правила сумм КХД с нелокальными конденсатами для АР пиона.
3.3 Данные CLEO и решеточная КХД.
Выводы.
4 Электромагнитная структура пиона
4.1 Асимптотическое поведение формфактора пиона.
4.2 Построение правил сумм КХД.
4.3 Анализ правил сумм КХД
Выводы.
Квантовая хромодинамика (КХД) зародилась в 1973 г. как калибровочная теория кварковых полей с неабелевой SU(3)-группой локальной калибровочной симметрии. Именно, в работах /1, 2/ было показано, что КХД с лагранжианом
Cqcd = Y, MiD-mq),pqq=u,d,b d.Al-dvAl + gf^Ai-, D^ = dp-igPAl, (0.1) где fabc — структурные константы группы SU(3), ta = \\a, Xa — матрицы Гелл-Мана, обладает свойством асимптотической свободы, т. е. ее эффективный заряд ("бегущая константа связи"), a.b{Q2), при больших передачах импульса Q2 1 ГэВ2 логарифмически спадает:
Лтг ab{Q2) «-=-т. (0.2)
Ь0 In qcd
Асимптотическая свобода означает, что однопетлевой коэффициент /3функции, 60 = (lliVc — 2iY/)/3, положителен при iVc = 3 и Nj = 3, а именно bo = 9. Триумф и признание КХД в качестве теории сильного взаимодействия были связаны в первую очередь с работами /3, 4, 5/, в которых на основе КХД-теории возмущений были объяснены резуль
Г ТУ таты по логарифмическому \uQ2/AqCD ) нарушению скейлинга по переменной Бьеркена xbj в структурных функциях глубоко неупругого ер-рассеяния, полученные в SLAC.
Однако описание адронов как связанных состояний кварков осложнялось тем обстоятельством, что кварки в свободном состоянии экспериментально не наблюдались. Это в конце концов привело к представлению о пленении (конфайнменте) кварков и глюонов внутри адропов, что для взаимодействия кварка и антикварка означало бесконечное возрастание gg-потенциала на больших расстояниях. Такая картина качественно согласуется с ростом эффективной константы связи as(Q2) при малых Q2: при Q2 —> AqCD эффективный заряд КХД неограниченно растет (полюс Ландау), как видно из (0.2).
Однако из-за такого роста теория возмущений в области больших расстояний (малых Q2) становится неприменимой и для понимания спектроскопии адронов необходимо использовать непертурбативные методы или адекватные модели. В качестве таковых применялись модели мешков, различные составные кварковые модели (нерелятивистские и релятивистские) и эффективные киральные модели. Роль же КХД в анализе адронного спектра сводилась только к определению приближенных флей-ворных симметрий спектра.
Ситуация существенно изменилась в 1979 г. после опубликования цикла работ Шифмана, Вайнштейна и Захарова (ИТЭФ) /6, 7, 8/ по правилам сумм (ПС) КХД и их применению в спектроскопии мезонов. Предложенный ими метод ПС КХД позволял рассчитывать характеристики адронных состояний (массы, распадные константы, магнитные моменты), ничего не говоря о самом процессе связывания кварков в адрон, т. е. обходя проблему конфайнмента, что было продемонстрировано в /7/ для 7г-, р-, и-, J/ф- и ?7с-мезонов.
Основная идея метода проста: интересующая нас проекция коррелятора двух или более адронных токов определяется двумя способами, а ПС КХД получается в результате их согласования. В первом случае строится операторное разложения коррелятора Поре, а во втором он определяется модельной спектральной плотностью через спектральное представление этого коррелятора Hhadi^h, fh)- Эта спектральная плотность содержит искомые параметры адронного спектра. Для корреляторов двух токов такими параметрами будут: массы (т^) и константы распадов (Д) нижайших состояний (как правило учитывается одно-два состояния), а также параметр порога (s0) с которого начинается описание высших состояний пертурбативной спектральной плотностью ^pert(s) согласно гипотезе о локальной дуальности кварк-адронного описания:
Ohad(s) = fh 6 (s - m2h) + ppCTi{s) в {s - s0) .
Из равенства результатов двух подходов получаем ПС КХД
Ilhad(тол, fh) = Поре , анализируя которое можно извлекать искомые величины тЛ и /Л, что подробно рассмотрено в первой главе диссертации.
В 1980-ые годы метод ПС КХД был успешно применен практически для всех известных радиально-невозбужденных мезонов. Для работы с барионами потребовалось научиться строить соответствующие токи для барионов. Оказалось возможным рассчитывать магнитные моменты ад-ронов. Обзор различных приложений метода см. в /9/.
Примерно в то же время метод был применен для анализа мезонных амплитуд распределения (АР) /10, 11/. В стандартных ПС КХД вычисление теоретической части Поре осуществляется с использованием локальных конденсатов, получаемых тейлоровским разложением нелокальных конденсатов по координатам полей. При этом ряд обрывается, т. е. пре-небрегается локальными конденсатами высшей размерности d > 6. В результате непертурбативные вклады операторного разложения при изучении АР мезонов tp(x) имеют поведение: с\ 5 {х) + (с2 + сз х) 5' (х) + (ж —> х) , значительно отличающиеся от поведения пертурбативного вклада: х{\ — х). Непертурбативные вклады сосредоточены в концевых точках х = 0 и х — 1 из-за того, что локальный конденсат не пропускает через себя импульс и как следствие импульс исследуемого мезона будет нести один из его кварков. Одним из недостатков в использовании локальных конденсатов при вычислении вкладов в ПС КХД для АР мезонов следует признать плохую сбалансированность получающегося ПС /12, 13, 14, 15, 16, 17/.
Рассматриваемая в нашей работе пионная АР является амплитудой перехода тт(Р) —у и{Рх) + d{P{ 1 — х)) физического пиона с импульсом Р в йс^-пару с импульсами хР и (1 — х)Р (здесь х — доля импульса, х е [0,1]), в которой кварк и антикварк находятся на световом конусе, как показано на рис. 0.1. Она определяется согласно
0 | Ф)7"75и(0) | тг(Р)> - UnP" Г dx </?7f (х, д2), (0.3) г2=0 J о где /i2 фиксирует точку нормировки. Из-за рассогласованности вкладов
7Г (Р)
Рис. 0.1. Физический смысл пионной АР.
ПС для АР пиона оказываются устойчивыми и хорошо сбалансированными только для случая нулевого момента (что соответствует изучению константы распада), а уже для первого нетривиального конформного момента они становятся разбалансированными и генерируют завышенное значение второго момента (£,2)п = 0.66, полученное в работе /10/. Для получения реалистической ^-зависимости непертурбативных вкладов необходимо отсуммировать вклады операторов высшей размерности типа (q(0)D2q(0)), (q(0)(D2)2q(0)) и т.п., получаемых как тейлоровское разложение (1.10) изначально нелокального конденсата (напр. (g(O)g(z))).
Предложенный в работах /12, 13, 15, 18/ для анализа мезонных АР и в1 работе /14/ для анализа мезонных ФФ метод избегает тейлоровского разложения и оперирует непосредственно с нелокальными конденсатами. Это приводит к модифицированной диаграммной технике, включающей в себя новые линии и вершины отвечающие нелокальным конденсатам, что детально рассмотрено во второй главе диссертации. Координатные зависимости нелокальных конденсатов в этом подходе выражаются через изначально неизвестные функции fs, fs, Л (см- (2.2), (2.3) и (2.10)) с помощью ^-представления. Нелокальные конденсаты в локальном пределе должны совпадать с локальным конденсатом, откуда получают единственные достоверные сведения (2.5 и 2.13) об этих функциях. Этих сведений явно недостаточно для определения функции /s> Л- Явный вид этих функций должен браться, вообще говоря, из конкретной модели непертурбативного вакуума КХД, например из ин-стантонной модели, либо из моделирования на решетке. В отсутствии информации о координатных зависимостях кварковых конденсатов было предложено /12, 13, 15, 18/ пользоваться первым нетривиальным приближением, учитывающим лишь конечную ширину пространственного распределения кварков и глюонов в вакууме (2.4), (2.15).
Важно то, что несогласованный выбор этих функций может привести к тому, что будут нарушены такие важные принципы как калибровочная инвариантность и уравнения движения. По этой причине мы исследовали наиболее популярную минимальную модель /19, 20, 21/ (2.43), основанную на предположении о гауссовой зависимости конденсатов от ^ координат полей, и показали /22/, что она приводит к нарушению указанных принципов: нарушены уравнения движения для кварковых полей (2.19) безмассовой КХД и непертурбативная часть коррелятора векторных токов (2.27) непоперечена. Важно отметить, что поскольку мы рассматриваем случай легких мезонов, а именно пионов, мы можем работать в киральном пределе, положив массы кварков равными нулю. Предложенная в диссертационной работе улучшенная модель (2.21) /23/ также основана на гауссовых распределениях, но за счет обобщения модели позволяет точно удовлетворить уравнения движения и минимизировать непоперечные вклады в коррелятор векторных токов, что продемонстрировано во второй главе. Эта модель была применена для изучения АР пиона в третьей главе, где были получены уточненные конформные моменты гшонной амплитуды распределения в новой модели и допустимая область значений гегенбауеровских коэффициентов а-2 и а4 пиопной амплитуды распределения.
В четвертой главе мы рассматриваем электромагнитный форм-фактор (ФФ) пиона в евклидовой области значений квадратов передач импульса (q2 = —Q2 < 0, где q — 4-импульс фотона), который, в однопетлевом приближении при асимптотически больших Q2, имеет вид F~ert(Q2) = 87Гa^(Q2) f2/Q2. Значение импульса Q'2, при котором этот режим должен преобладать, не может быть определено точно. Выполненные оценки показали, что этот переходный масштаб порядка 100 ГэВ2 /26, 29, 25/, а-возможно и ниже - 20 ГэВ2 /24, 75, 76/. Но даже такие малые квадраты передач импульса далеки от возможностей действующих и планируемых экспериментальных установок.
Ситуация на промежуточных значениях передачи импульса 20 ГэВ'2 > Q2 > 1 ГэВ2 осложняется тем, что факторизация здесь частично нарушена из-за значительного, так называемого мягкого вклада, который нефакторизуем. Поэтому, необходимо вычислять эту часть пи-онного формфактора используя либо феноменологические модели /26, 27, 28, 29/, либо непертурбативные подходы: метод ПС КХД /33, 34, 14/ или подход локальной кварк-адронной дуальности /30, 31, 32/. Одно из преимуществ подхода трехточечных ПС КХД для формфактора пиона /34, 33/ то, что оно не как не связано с АР пиона, в отличие от подхода факторизации, сокращая таким образом теоретическую неопределенность.
Однако, стандартные ПС имеют серьезный недостаток из-за использования локальных конденсатов: они нестабильны при Q2 > 3 ГэВ2. Причиной тому служит наличие в операторном разложении вкладов, одни и из которых постоянны, а другие растут линейно с увеличением Q2 (Таб. 4.2). Такие вклады неверно описывают непертурбативную составляющую правил сумм. Для более правильного учета непертурбативных вкладов мы использовали минимальную и улучшенную модель нелокальных конденсатов.
К сожалению, первая попытка обобщить подход ПС КХД /14/, используя нелокальные вакуумные конденсаты, неполна, поскольку все еще содержит вклады локального типа. Источником таких вкладов является использовавшаяся специфическая модель для трехточечного кварк-глюон-кваркового нелокального конденсата. В этой модели нелокальный конденсат, описываемый функцией МДх2, у2, (х — у)'2) (см. (2.10)), является нелокальным лишь по отношению к двум из трех расстояний х2 (между кварком и антикварком), у2 (между антикварком и глюоном) и (.х — у)2 (между кварком и глюоном). Например, скалярная функция Мь описывающая тензорную структуру г — 1, в этой модели не зависит от квадрата расстояния между кварком и антикварком х2. Поэтому, полученные в /14/ ПС также обладают недостатками стандартных ПС КХД.
Несмотря на этот недостаток, полученные в рамках этого подхода вклады от нелокальных конденсатов имеют модельно-независимый вид, т.е. полученные выражения для непертурбативных вкладов представлены для произвольных параметрических функций fs, fv и /,• (см. (2.7) и (2.10)). Это позволяет нам использовать полученные в /14/ выражения, но уже с применением более точных моделей для кварк-глюонного нелокального конденсата. В четвертой главе получены оценки для пионного формфактора в минимальной и улучшенной моделях, которые представлены в сравнении с экспериментальными данными /35, 36/, решеточными вычислениями /37/, методом голографической КХД /38, 39, 40, 41/ и другими подходами.
Научные положения, выносимые на защиту:
1. Показано, что минимальная гауссова модель не удовлетворяет уравнениям движения безмассовой КХД и приводит к непоперечности непертурбативного вклада в коррелятор векторных токов.
2. Построена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов, ч согласованная как с уравнениями движения, так и с поперечностыо коррелятора векторных токов.
3. Произведен расчет области допустимых значений коэффициентов а-2 и а4 гегенбауэровского разложения амплитуды распределения пиона в улучшенной модели.
4. Вычислен электромагнитный формфактор пиона в пространственно-подобной области квадрата передачи импульса 1 — 10 ГэВ2 в минимальной и улучшенной моделях.
Апробация работы:
Результаты представленные в диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова (ОИЯИ, Дубна), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (ИГУ, Иркутск), на семинаре Европейского центра теоретической физики (ЕСТ*, Трен-то, Италия, декабрь 2006), в Мюнхенском университете им. Людвига и Максимилиана (LMU, Мюнхен, март 2008) и на Международных конференциях: "Рождение, свойства и взаимодействие мезонов" (Краков, Польша,- июнь 2006), "Новые направления в физики высоких энергий" (Ялта,
Украина, июнь 2006), "Структура адронов" (Модра-Гармония, Словакия, сентябрь 2007), "Структура адронов и КХД" (Гатчина, Россия, июнь 2008), "Возбужденная КХД" (Закопапе, Польша, февраль 2009). Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 работ /22, 23, 42, 43, 44, 45/ в отечественных и зарубежных изданиях.
Выводы
Эта глава диссертации посвящена вычислению формфактора пиона в рамках подхода ПС КХД с нелокальными конденсатами /12, 13, 15, 14/, для которых применяется минимальная и улучшенная модели, подробно рассмотренные во второй главе диссертации. При этом, используется значение параметра нелокальности А2 = 0.4 ГэВ2 и пертурбативная спектральная плотность О(а5)-порядка, полученная в работе /88/. Мы обнаружили, что 0(а5)-часть спектральной плотности дает 20-процентный вклад в изучаемый формфактор, что немного меньше чем оценки полученные в /88, 25/. Применяемое значение параметра А2 поддерживается недавним анализом /56, 96, 98/ данных CLEO по пион-фотонному переходу. Использование больших значений этого параметра влечет за собой уменьшение пионного формфактора благодаря сильному влиянию эффектов нелокальности, в то время как использование меньших значений приведет к увеличению результатов по той же причине. Проведенное варьирование этого параметра А2 = 0.4 ±0.05 ГэВ2 показало, что неопределенность его значения сказывается лишь при больших значениях передаваемого фотоном импульса Q2 > 6 ГэВ2 и при Q2 = 10 ГэВ2 достигает 10% в улучшенной и 14% в минимальной моделях, т.е. имеет порядок величины ошибки, заложенной в методе ПС КХД. Использование нелокальных конденсатов позволяет расширить область применимости ПС КХД до значения квадрата переданного фотоном импульса 10 ГэВ2. Для сравнения напомним, что стандартные ПС КХД с локальными конденсатами /30, 63, 34/ применимы лишь в области Q2 < 3 ГэВ2.
Мы обнаружили, что центральная линия предсказания в улучшенной модели нелокальных конденсатов находится в пределах ошибки результата минимальной модели вплоть до значений Q2 = 6 ГэВ2. Поэтому мы делаем вывод, что обе модели одинаково хороши в области 1 ^ Q2 ^ 6 ГэВ2. В силу отсутствия более точных экспериментальных данных, мы не можем отдать предпочтение одной из двух рассмотренных моделей и не можем наложить каких либо ограничений на модельные параметры. Необходимо ждать планируемое обновление установки JLab, которое позволит получить достаточно точные данные на интервале значений Q2 = 1-6 ГэВ2.
Наш результат /44, 45, 99/ имеет отличное согласие с решеточными вычислениями /37/, моделью, основанной на уравнении Бете-Солпитера /95/, а также в пределах ошибки согласуется с вычислениями в рамках голографической КХД /38, 40/. Обе гауссовы модели нелокальных вакуумных конденсатов, как минимальная, так и улучшенная, дают пионный формфактор, который хорошо согласуется в пределах ошибок с доступными на сегодняшний день экспериментальными данными.
Заключение
Диссертация посвящена анализу модели нелокальных конденсатов, описывающих непертурбативный КХД-вакуум, и построению модели, согласованной с важными физическими принципами теории поля, такими как калибровочная инвариантность и уравнения движения КХД.
В первой главе, была продемонстрирована необходимость использования нелокальных конденсатов на примере ПС для амплитуды распределения пиона. Использование локальных конденсатов из-за несогласованности пертурбативного и непертурбативного вкладов позволяет исследовать лишь константу распада, а второй момент АР пиона оказывается сильно (более чем в два раза) завышенным /12, 13, 14, 15, 16, 17/. Также имеются ограничения при исследовании формфакторов: для ФФ пиона это Q2 < 3 ГэВ2. Введение нелокальных конденсатов является необходимым условием для построения стабильных правил сумм и извлечения из них реалистических АР и ФФ.
Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению модели нелокальных конденсатов: билокального кваркового, кварк-глюон-кваркового, четырехкваркового и глюонного конденсатов. Рассмотрен ряд основных приближений используемых при построении этой модели. В данной главе мы проанализировали лоренцеву структуру коррелятора двух векторных кварковых токов. Оказалось, что в минимальной гауссовой модели вакуума КХД, использовавшейся в работах /15, 19, 20, 21/, поперечность этого коррелятора нарушена и нелокальные конденсаты не согласованы с уравнениями движения КХД. Для исправления этой ситуации была предложена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов (2.24), согласованная с уравнениями движения КХД, в которой указанное нарушение калибровочной инвариантности минимизировано специальным выбором (2.45) параметров модели. Следует отметить, что полное устранение непоперечности нереализуемо, поскольку это связано с выходом за рамки гауссова приближения. Полученная модель может быть использована для уточнения моментов амплитуд распределения (N < 10) и формфакторов (Q2 < 10 ГэВ2) мезонов.
В третьей главе, используя предложенную модель нелокального вакуума КХД, мы проанализировали правила сумм КХД для пионной АР и показали, что правила сумм КХД приводят к 2-параметрическому "пучку" допустимых моделей для пионной АР с параметрами а2 и а4 (коэффициентами гегенбауэровского разложения (3.8)). Особо хотим подчеркнуть тот факт, что результат в улучшенной модели имеет согласие на уровне ошибок метода ПС с результатом полученным ранее в минимальной модели. Это говорит, с одной стороны, о преемственности обоих подходов, а с другой - о том, что все характерные черты старого "пучка" минимальной модели присущи и новому "пучку". Полученный 2-параметрический "пучок" допустимых моделей для пионной АР находятся в хорошем согласии как с последними решеточными вычислениями /80, 79, 81/, так и с результатом анализа /56, 78/ данных CLEO по формфактору F-^YyiQ2)■
В четвертой главе мы вычислили формфактор пиона при евклидовых значениях передачи импульса 1-10 ГэВ2 в рамках подхода ПС КХД t с нелокальными конденсатами /12, 13, 15, 14/, для которых применялась минимальная и улучшенная модель. Следует отметить, что центральная линия предсказания в улучшенной модели находиться в пределах ошибки результата минимальной модели вплоть до значений Q2 = 6 ГэВ2. При больших Q2 > 7 ГэВ2 разница в моделях превышает ошибку, заложенную в методе ПС КХД, т.е. необходимо учитывать ошибку моделирования, что приведет к увеличению погрешности результата. Поэтому, для получения результата при Q2 > 7 ГэВ2 с ошибкой заложенной в ПС необходимо более точно зафиксировать модель НВК исходя из сравнения с экспериментальными данными, либо из теоретических ограничений, таких как калибровочная инвариантность. Но, несмотря на это, полученные при Q2 > 7 ГэВ2 предсказания представляют интерес. Полученный результат имеет хорошее согласие с решеточными предсказаниями /37/, экспериментальными данными группы Cornell /91, 92, 35/ и JLab /36/, гологра-фической моделью КХД, основанной на AdS/QCD-дуальности /38, 40/ и моделью /95/, основанной на уравнении Бете-Солпитера.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Бакулеву Александру Петровичу за многочисленные обсуждения, постоянную поддержку и помощь в работе.
Хотелось бы выразить благодарность сотрудникам кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета и отдельно заведующему кафедрой А. Н. Баллу. Я глубоко признателен С. В. Михайлову и Н. Г. Стефанису за внимание и неоценимую помощь.
1. Politzer Н. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett., 1973, Vol. 30, Pp. 1346-1349.
2. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of nonabelian gauge theories // Phys. Rev. Lett., 1973, Vol. 30, Pp. 1343-1346.
3. Georgi H., Politzer H. D. Electroproduction scaling in an asymptotically free theory of strong interactions // Phys. Rev. —1974, Vol. D9, Pp. 416-420.
4. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 1 // Phys. Rev., 1973, Vol. D8, Pp. 3633-3652.
5. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 2 // Phys. Rev., 1974, Vol. D9, Pp. 980-993.
6. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Sum rules // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 385-447.
7. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics: Applications // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 448-518.
8. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. The p-u mixing // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 519.
9. Reinders L. J., Rubinstein H., Yazaki S. Hadron properties from QCD sum rules // Phys. Rept., 1985, Vol. 127, Pp. 1.
10. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Exclusive decays of heavy mesons // Nucl. Phys., 1982, Vol. B201, Pp. 492.
11. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Asymptotic behavior of exclusive processes in QCD // Phys. Rept., 1984, Vol. 112, Pp. 173.
12. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for pion wave function // JETP Lett., 1986, Vol. 43, Pp. 712-715.
13. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Quark condensate nonlocality and pion wave function in QCD // Sov. J. Nucl. Phys., 1989, Vol. 49, Pp. 494-503.
14. Bakulev A. P., Radyushkin A. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for the pion form-factor // Phys. Lett., 1991, Vol. B271, Pp. 223230.
15. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. The pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates // Phys. Rev., 1992, Vol. D45, Pp. 1754-1759.
16. Radyushkin A. V. Pion wave function from QCD sum rules with nonlocal condensates // River Edge, N.J. World Scientific, 1994, Pp. 238-248.
17. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. QCD sum rules for pion wave function revisited // Z. Phys., 1995, Vol. C68, Pp. 451-458.
18. Mikhailov S. V. Nonlocal gluonic condensate in QCD sum rules for the meson wave functions // Phys. Atom. Nucl., 1993, Vol. 56, Pp. 650657.
19. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. The /з-meson and related meson wave functions in QCD sum rules with nonlocal condensates // Phys. Lett., 1998, Vol. B436, Pp. 351.
20. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. QCD-based pion distribution amplitudes confronting experimental data // Phys. Lett., 2001, Vol. B508, Pp. 279-289.
21. Бакулев А. П., Пимиков А. В. Самосогласованная Гауссова модель непертурбативного КХД вакуума // Письма в ЭЧАЯ, 2007, Т. 4, С. 637-653.
22. Bakulev А. P., Pimikov А. V. Self-consistent Gaussian model of nonperturbative QCD vacuum // Acta Phys. Polon., 2006, Vol. B37, Pp. 3627-3634.
23. A. P. Bakulev, K. Passek-Kumericki, W. Schroers, N. G. Stefanis Pion form factor in QCD: From nonlocal condensates to NLO analytic perturbation theory // Phys. Rev., 2004, Vol. D70, Pp. 033014.
24. Braguta V., Lucha W., Melikhov D. Pion form factor at spacelike momentum transfers from local-duality QCD sum rule // Phys. Lett. — 2008, Vol. B661, Pp. 354-359.
25. Isgur N., Llewellyn Smith С. H. Asymptopia in high Q2 exclusive processes in QCD // Phys. Rev. Lett., 1984, Vol. 52, Pp. 1080.
26. Jacob О. C., Kisslinger L. S. Applicability of asymptotic QCD for exclusive processes // Phys. Rev. Lett., 1986, Vol. 56, Pp. 225.
27. Isgur N., Llewellyn Smith С. H. The applicability of perturbative QCD to exclusive processes // Nucl. Phys., 1989, Vol. B317, Pp. 526-572.
28. Jakob R., Kroll P. The pion form-factor: Sudakov suppressions and intrinsic transverse momentum // Phys. Lett., 1993, Vol. B315, Pp. 463-470.
29. Nesterenko V. A., Radyushkin A. V. Sum rules and pion form-factor in QCD // Phys. Lett., 1982, Vol. B115, Pp. 410-413.
30. Radyushkin A. V. Quark-hadron duality and intrinsic transverse momentum // Acta Phys. Polon., 1995, Vol. B26, Pp. 2067-2096.
31. Bakulev A. P., Radyushkin A. V., Stefanis N. G. Form factors and QCD in spacelike and timelike regions // Phys. Rev., 2000, Vol. D62, Pp. 113001.
32. Nesterenko V. A., Radyushkin A. V. QCD sum rule analysis of the pion form-factor behavior in small Q2 region // JETP Lett., 1984, Vol. 39, Pp. 707.
33. Ioffe B. L., Smilga A. V. Meson widths and form-factors at intermediate momentum transfer in nonperturbative QCD // Nucl. Phys., 1983, Vol. B216, Pp. 373.
34. Bebek C. J. et al. Electroproduction of single pions at low e and a measurement of the pion form-factor up to Q2 = 10 GeV2 // Phys. Rev., 1978, Vol. D17, Pp. 1693-1705.
35. Huber G. M. et al. Charged pion form factor between Q2 = 0 60 and 2.45 GeV2. II. Determination of, and results for, the pion form factor // Phys. Rev., 2008, Vol. C78, Pp. 045203.
36. Brommel D. et al. The pion form factor from lattice QCD with two dynamical flavours // Eur. Phys. J., 2007, Vol. C51, Pp. 335-345.
37. Brodsky S. J., de Teramond G. F. Light-Front Dynamics and AdS/QCD Correspondence: The Pion Form Factor in the Space- and Time-Like
38. Regions // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 056007.i
39. Agaev S. S., Gomshi Nobary M. A. Pion distribution amplitude from holographic QCD and the electromagnetic form factor F7V(Q2) // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 074014.
40. Grigoryan H. R., Radyushkin A. V. Pion in the Holographic Model with 5D Yang-Mills Fields // Phys. Rev., 2008, Vol. D78, Pp. 115008.
41. Kwee H. J., Lebed R. F. Pion Form Factor in Improved Holographic QCD Backgrounds // Phys. Rev., 2008, Vol. D77, Pp. 115007.
42. Bakulev A. P., Pimikov A. V. Pion quark structure in QCD // Int. J. Mod. Phys., 2007, Vol. A22, Pp. 654-658.
43. A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, A. V. Pimikov, N. G. Stefanis Pion structure in QCD: From theory to lattice to experimental data// Fizika, 2008, Vol. B17, Pp. 217-230.
44. Bakulev A. P., Pimikov A. V., Stefanis N. G. , Pion Form Factor in the NLC QCD SR approach// ArXiv:0903.1994 hep-ph., 2009.
45. Bakulev, A. P. and Pimikov, A. V. and Stefanis, N. G., QCD sum rules with nonlocal condensates and the spacelike pion form factor// Phys. Rev. D, 2009, Vol. 79, Pp. 093010.
46. Wilson K. G. Nonlagrangian models of current algebra // Phys. Rev., 1969, Vol. 179, Pp. 1499-1512.
47. Grozin A. G. Methods of calculation of higher power corrections in QCD // Int. J. Mod. Phys., 1995, Vol. A10, Pp. 3497-3529.
48. Belyaev V. M., Ioffe B. L. Determination of baryon and baryonic masses from QCD sum rules. Strange baryons // Sov. Phys. JETP—1983, Vol. 57, Pp. 716-721.
49. Ovchinnikov A. A., Pivovarov A. A. QCD sum rule calculation of the quark gluon condensate // Sov. J. Nucl. Phys., 1988, Vol. 48, Pp. 721723.
50. D'Elia M., Di Giacomo A., Meggiolaro E. Gauge-invariant quark antiquark nonlocal condensates in lattice QCD // Phys. Rev., 1999, Vol. D59, Pp. 054503.
51. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. Lattice measurements of nonlocal quark condensates, vacuum correlation length, and pion distribution amplitude in QCD // Phys. Rev., 2002, Vol. D65, Pp. 114511.
52. Dorokhov A. E., Esaibegian S. V., Mikhailov S. V. Virtualities of quarks and gluons in QCD vacuum and nonlocal condensates within single instanton approximation // Phys. Rev., 1997, Vol. D56, Pp. 4062-4068.
53. Polyakov M. V., Weiss C. Mixed quark-gluon condensate from instantons // Phys. Lett., 1996, Vol. B387, Pp. 841-847.
54. Bakulev A. P. QCD sum rules: From quantum-mechanical oscillator to pion structure in QCD // Acta Phys. Polon., 2006, Vol. B37, Pp. 36033626.
55. Schael S. et al. Branching ratios and spectral functions of tau decays: Final ALEPH measurements and physics implications // Phys. Rept., 2005, Vol. 421, Pp. 191-284.
56. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Unbiased analysis of CLEO data beyond LO and pion distribution amplitude // Phys. Rev., 2003, Vol. D67, Pp. 074012. .
57. Bakulev A. P., Mikhailov S. V., Stefanis N. G. Tagging the pion quark structure in QCD // Phys. Rev., 2006, Vol. D73, Pp. 056002.
58. Gronberg J. et al. Measurements of the meson photon transition form factors of light pseudoscalar mesons at large'momentum transfer // Phys. Rev., 1998, Vol. D57, Pp. 33-54.
59. Baier V. K., Pinelis Y. F. Effect of vacuum'fluctuations on cross-sections of hard processes in QCD, IYF preprint 81-141, Novosibirsk, 1981.
60. Gromes D. Space-time dependence of the gluon condensate correlation function and quarkonium spectra // Phys. Lett., 1982, Vol. B115, Pp. 482-486.
61. Shuryak Е. V. The role of instantons in quantum chromodynamics. 3. quark-gluon plasma // Nucl. Phys., 1982, Vol. B203, Pp. 140-156.
62. Stefanis N. G. Gauge invariant quark two-point Green's function through connector insertion to 0(as) // Nuovo Cim., 1984, Vol. A83, Pp. 205.
63. Ioffe B. L., Smilga A. V. Pion form-factor at intermediate momentum transfer in QCD // Phys. Lett., 1982, Vol. B114, Pp. 353-358.
64. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. The process 7*7* —»• 7т0 and the nonlocality of condensates // Sov. J. Nucl. Phys. — 1990, Vol. 52, Pp. 697-703.
65. Dosch H. G., Simonov Y. A. The Area Law of the Wilson Loop and-Vacuum Field Correlators // Phys. Lett., 1988, Vol. B205, Pp. 339.
66. Simonov Y. A. Cluster expansion, nonabelian stokes theorem and magnetic monopoles // Sov. J. Nucl. Phys., 1989, Vol. 50, Pp. 134.
67. Radyushkin A. V. Deep elastic processes of composite particles in field theory and asymptotic freedom, Dubna preprint P2-10717, 1977, hep-ph/0410276.
68. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Factorization and asymptotic behaviour of pion form factor in QCD // Phys. Lett., 1980, Vol. B94, Pp. 245-250.
69. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in quantum chromodynamics: Evolution equations for hadronic wave functions and the form-factors of mesons // Phys. Lett., 1979, Vol. B87, Pp. 359-365.
70. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form factor in QCD // Theor. Math. Phys., 1980, Vol. 42, Pp. 97-110.
71. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynamics // Phys. Rev., 1980, Vol. D22, Pp. 2157.
72. Bakulev A. P., Mikhailov S. V. QCD vacuum tensor susceptibility and properties of transversely polarized mesons // Eur. Phys. J., 2000, Vol. C17, Pp. 129-135.
73. Khodjamirian A. Form factors of 7* p —> ix and 7*7 —»7r° transitions and light-cone sum rules // Eur. Phys. J., 1999, Vol. C6, Pp. 477-484.
74. Schmedding A., Yakovlev O. Perturbative effects in the form factor 77* —> 7T° and extraction of the pion wave function from CLEO data // Phys. Rev., 2000, Vol. D62, Pp. 116002.
75. Stefanis N. G., Schroers W., Kim H.-C. Pion form factors with improved infrared factorization // Phys. Lett., 1999, Vol. B449, Pp. 299.
76. Stefanis N. G., Schroers W., Kim H.-C. Analytic coupling and Sudakov effects in exclusive processes: Pion and 7*7 —» 7r° form factors// Eur. Phys. J., 2000, Vol. C18, Pp. 137-156.
77. Ruiz Arriola E., Broniowski W. Pion light-cone wave function and pion distribution amplitude in the Nambu-Jona-Lasinio model // Phys. Rev., 2002, Vol. D66, Pp. 094016.
78. Agaev S. S. Impact of the higher twist effects on the 77* —» 7Г° transition form factor // Phys. Rev., 2005, Vol. D72, Pp. 114010, hep-ph/0511192.
79. Gockeler M. et al. Second moment of the pion's distribution amplitude // Nucl. Phys. Proc. Suppl., 2006, Vol. 161, Pp. 69-74.
80. Del Debbio L. Pion distribution amplitude from the lattice // Few Body Syst., 2005, Vol. 36, Pp. 77-82.
81. Donnellan M. A. et al. Lattice Results for Vector Meson Couplings and Parton Distribution Amplitudes // PoS, 2007, Vol. LAT2007, Pp. 369.
82. Braun V. M. et al. Moments of pseudoscalar meson distribution amplitudes from the lattice // Phys. Rev., 2006, Vol. D74, Pp. 074501, hep-lat/0606012.
83. Martinelli G., Sachrajda С. T. A lattice calculation of the pion's form-factor and structure function // Nucl. Phys., 1988, Vol. B306, Pp. 865.
84. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R. Asymptotic behavior of hadron form-factors in quark model, (in russian) // JETP Lett., 1977, Vol. 25, Pp. 510-513.
85. Chernyak V. L., Zhitnitsky A. R., Serbo V. G. Asymptotic hadronic form-factors in quantum chromodynamics // JETP Lett., 1977, Vol. 26, Pp. 594-597.
86. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form factor in QCD // Theor. Math. Phys., 1980, Vol. 42, Pp. 97-110.
87. Lepage G. P., Brodsky S. J. Exclusive processes in quantum chromodynamics: Evolution equations for hadronic wave functions and the form-factors of mesons // Phys. Lett., 1979, Vol. B87, Pp. 359-365.
88. Braguta V. V., Onishchenko A. I. Pion form factor and QCD sum rules: Case of axial current // Phys. Lett., 2004, Vol. B591, Pp. 267-276.
89. Shirkov D. V., Solovtsov I. L. Analytic model for the QCD running coupling with universal as(0) value // Phys. Rev. Lett., 1997, Vol. 79, Pp. 1209-1212.
90. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and resonance physics. Sum rules // Nucl. Phys., 1979, Vol. B147, Pp. 385-447.
91. Bebek C. J. et al. Further measurements of forward-charged-pion electroproduction at large к2 // Phys. Rev., 1974, Vol. D9, Pp. 12291242.
92. Bebek С. J. et al. Measurement of the pion form-factor up to Q2 = 4 GeV2 // Phys. Rev., 1976, Vol. D13, Pp. 25-42.
93. Ruiz Arriola E., Broniowski W. Pion electromagnetic form factor, perturbative QCD, and large-Nc Regge models // Phys. Rev., 2008, Vol. D78, Pp. 034031.
94. Raha U., Aste A. Electromagnetic pion and kaon form factors in light-cone resummed perturbative QCD // Phys. Rev., 2009, Vol. D79, Pp. 034015.
95. Maris P., Tandy P. C. The pi, K+, and K0 electromagnetic form factors // Phys. Rev., 2000, Vol. C62, Pp. 055204.
96. Stefanis N. G. New vistas of the meson structure in QCD from low to high energies // Nucl. Phys. Proc. Suppl., 2008, Vol. 181-182, Pp. 199203.
97. Bakulev A. P., Pimikov A. V., Stefanis N. G. , Pion form factor in the QCD sum-rule approach with nonlocal condensates.// ArXiv:0905.2522 hep-ph., 2009.
