КХД-описание эксклюзивных процессов с легкими мезонами: пертурбативные и непертурбативные аспекты тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ

1а 11 иииш

004608095

УДК 539.125.17; 539.126.17

МИХАЙЛОВ Сергей Владимирович

КХД-ОПИСАНИЕ ЭКСКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЛЕГКИМИ МЕЗОНАМИ: ПЕРТУРБАТИВНЫЕ И НЕПЕРТУРБАТИВНЫЕ АСПЕКТЫ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Дубна 2010

004608095

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова ОБЪЕДИНЕННОГО ИНСТИТУТА ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Грозин А. Г. (ИЯФ СО РАН, Новосибирск)

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Пивоваров А. А. (ИЯИ РАН, Москва)

доктор физико-математических наук, профессор

Лиходед А. К. (ГНЦ ИФВЭ, Протвино)

Ведущая организация: Петербургский институт ядерной физики

РАН, Гатчина

Защита состоится в ^^ч.ОО мин, на заседании дис-

сертационного совета Д 720.001.01 при ОБЪЕДИНЕННОМ ИНСТИТУТЕ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ по адресу: 141980, г. Дубна, Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, ОИЯИ, ул. Жолио-Кюри, б.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты.

Автореферат разослан "Д7 "0^052010 г,

Учёный секретарь диссертационного совета /1 ц^^7^^ кандидат физико-математических наук гг® Арбузов А. Б.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) — признанная теория сильных взаимодействий. Методами теории возмущений (ТВ) получены многочисленные подтверждения того, что КХД правильно описывает взаимодействия адронов в области больших передач импульса <32 » т2 « 0.6 ГэВ2 -характерный адронный масштаб [50,51]. В реальных процессах, с адронами на массовой поверхности, взаимодействие происходит не только при больших (малые расстояния), но и при малых импульсах р2 (большие расстояния), на масштабах масс адронов, средних виртуальностях кварков и глю-онов и т.п. Для применимости ТВ необходимо разделять вклады больших и малых расстояний в амплитудах физических процессов. При таком разделении (факторизации) часть амплитуды, сформированная при больших виртуальностях, — жесткая партоннэя амплитуда Т - вычисляется по ТВ в виде ряда по степеням ае. Часть амплитуды, сформированная виртуаль-ностями адронных масштабов, учитывается феноменологически введением универсальных амплитуд распределения у? (АР в эксклюзивных процессах) или функций распределения / (в инклюзивных процессах). Эти распределения аккумулируют всю информацию о матричных элементах кварковых токов по адронным состояниям, они могут быть либо извлечены из эксперимента, либо определены непертурбативными методами. То, что амплитуда (сечение) всего процесса может быть представлена в ведущем твисте в виде интегральной свертки жесткой партонной амплитуды и амплитуд распределения А = Т Л-О ((1/(З2)"'1"), и составляет содержание "теорем факторизации" [33].

1здесь символ К обозначает обычную интегральную свертку, В(х) = /д йхА{х)В[х), по

долям продольного импульса х \

Важная задача теории сильных взаимодействий - вычисление из первых принципов КХД амплитуд распределения адронов <рж(х), х2, %з), аккумулирующих информацию о непертурбативной кварк-глюонной динамики. Одним из популярных подходов, позволяющих определять низкоэнергетические адронные характеристики, является метод правил сумм КХД (ПС КХД) [34,35]. Основной особенностью метода является полуфеноменологический учет взаимодействия с полями КХД-вакуума — конденсатами, проявляющимися как степенные по \/0!2 поправки к корреляторам токов еще в области применимости пертурбативной КХД (пКХД). Этот метод, изначально предназначенный для извлечёния статических характеристик (констант распада, масс) адронов, включал только нижайшие по размерности конденсаты, (: <7(0)<?(0) :), (:'(?°„(0)С?®„(0) :), и токи без производных. Нами было показано [25, 36], что для получения динамических характеристик адронов типа АР (т.е. нелокальных матричных элементов) в ПС КХД необходимо учесть конденсаты с производными всех размерностей, (: £(0)Е(0,г)д(г) :), (: д(0)-умЕ(0, г)д(г) :), и т.п. 2 Последнее ведет к исследованию корреляционных длин в КХД-вакууме и развитию нового формализма ПС КХД НЛК.

Диссертация посвящена развитию пертурбативного и непертурбатив-ного направлений в факторизационной схеме КХД. Актуальность темы обусловлена текущим этапом развития эксперимента: точность данных эксклюзивных жестких процессов существенно улучшилась и позволяет проводить количественные сравнения с теоретическими предсказаниями. Это требует знания пертурбативных эффектов выше одной петли и позволяет проверять количественно оценки для длин корреляций и других проявлений непертур-бативного вакуума КХД. При этом пион, как простейший и легчайший из адронов, является наиболее удобным объектом как теоретических изысканий в этих двух направлениях, так и их экспериментальных проявлений.

2Е(0,г) = Рсхр\-гд,]* (у^у1'] — фазовый струнный фактор Фока-Швингера, упорядоченный вдоль прямого пути, соединяющего точки 0 и г, и вводимый для обеспечения калибровочной инвариантности раздвинутого кваркового тока

1.2. Основные цели (и задачи) исследования

Цель работы состояла в том, чтобы (1) построить формализм для расчета низкоэнергетических динамических характеристик адронов — амплитуд распределения (АР), формфакторов (ФФ), проявляющихся в эксклюзивных процессах; (2) усовершенствовать точность расчёта их жестких амплитуд и КХД-эволюции. Объединение результатов этих двух направлений в рамках теорем факторизации позволит получить прецизионные, количественные описания для эксклюзивных процессов. На заключительном этапе провести сравнение предсказаний КХД с наиболее точными измерениями для жестких процессов с легкими мезонами.

Построенный формализм применяется в актуальных для современной физики адронов и теории поля задачах:

• Установлено допустимое множество моделей для АР пиона ведущего твиста из правил сумм КХД с нелокальными конденсатами;

• В том же формализме предложены модели для АР ведущего твиста для продольно- и поперечно-поляризованных /ьмезонов;

• Получены переходные формфакторы процессов 77* —»7Г°, /гу* —► 7г° в порядках 0(ол.) и 0(/3оо%) КХД. Проводится детальное сравнение с экспериментальными данными;

• Исследованы ряды пертурбативной КХД для ренормгрупповых функций. Получены ядра эволюции Ефремова-Радюшкина-Бродского-Лепажа (ЕРБЛ) (Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи, ДГЛАП) в 2-х петлях и улучшенные вкладами ренормалонных цепочек во всех порядках теории возмущений.

• Разработано обобщение процедуры оптимизации ряда теории возмущений КХД Бродского-Лепажа-Маккензи (БЛМ) для произвольного порядка по константе связи;

1.3. Научная новизна и практическая ценность диссертации

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Развит новый формализм, основанный на НЛК и ПС КХД, для получения ампли-

туд распределения и их различных функционалов. Это позволяет перейти к количественному описанию жестких эксклюзивных процессов с легкими мезонами и доставляет, в частности, реалистичные АР твиста 2 для 7г- и />-мезонов.

В пертурбативном секторе развит подход для вычисления ренормалонных поправок во всех петлях, получены (несинглетные) ядра ЕРБЛ и ДГЛАП с такими поправками. Вычислено 2-петлевое ядро ЕРБЛ для поперечно-поляризованного векторного мезона. Предложено обобщение оптимизационной процедуры БЛМ на любой порядок пКХД.

Получены переходные ФФ в порядке 0(/3qQКХД и проведено сравнение пион-фотонного ФФ с экспериментом. Этот анализ позволил определить из обработки данных CLEO важную характеристику вакуума КХД — величину корреляционной длины в кварковом вакууме (подтверждена ее величина Xf ~ 0.4 ГэВ2, полученная ранее из феноменологии адронов и на решетке).

Практическая ценность диссертации состоит в том, что представлены как эффективный формализм получения непертурбативной части факто-ризационного подхода, так и улучшения его пертурбативной составляющей, что важно для КХД-расчетов адронных амплитуд. Дальнейшие применения развитых методов для изучения жестких процессов с ж- и р-мезонами, а также, учитывая результаты в пертурбативном секторе, инклюзивных процессов глубоко неупругого рассеяния и е+е~-аннигиляции, представляет практический интерес для специалистов, работающих в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ, г. Дубна), Институте ядерных исследований (ИЯИ РАН, г. Москва), Институте теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова (ИТЭФ, г. Москва), Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова (ПИЯФ, г. С.-Петербург), Институте физики высоких энергий (ИФВЭ, г. Протвино), Институте ядерной физики им. Г. И. Будкера (ИЯФ СО РАН, г. Новосибирск) и других институтах и лабораториях.

1.4. Апробация диссертации и публикации

Результаты работы опубликованы в двадцати четырех статьях [1-24] в журналах, входящих в список ВАК, а также в восьми публикациях [25-32] в других журналах, препринтах и трудах конференций. Они доложены на следующих симпозиумах и конференциях в России:

1. 1 Международное совместное Рабочее совещание Тайвань-Дубна «Физика промежуточных и высоких энергий», г. Дубна, Россия, 26-28 июня 1995 г.

2. 10-й Международный Семинар по Физике высоких энергий «Квар-ки'1998», г. Суздаль, Россия, 18-24 мая 1998 г.

3. 13-й Международный Семинар «Кварки'2004», г. Пушкиногорье, Россия, 24-30 мая, 2004 г.

4. Международная конференция «Ренормгруппа и связанные с ней проблемы», г. Дубна, Россия, 1-6 сент. 2008 г.

5. Международная Гельмгольцевская Школа «Расчеты для современных и будущих коллайдеров», г. Дубна, Россия, 10-20 июля 2009 г.

6. Всероссийское совещание по прецизионной физике и фундаментальным физическим константам « ФФК09», г. Дубна, Россия, 1-4 декабря 2009 г.

и за рубежом:

1. The International Conference «Hadron Structure'96», Stara Lesna, Vysoke Tatry, Slovakia, Feb. 12-16, 1996.

2. The XXXVIth Rencontres de Moriond «QCD and High Energy Hadronic Interactions», Les Arcs, Savoie, France, March 17-24, 2001.

3. International Workshop on Light Cone Physics: «Hadrons and Beyond», Durham, UK, August 5th-9th, 2003

4. The International Conference «Recent Advances in Perturbative QCD and Hadronic Physics», Trento, Italy, July 20-25, 2009.

5. The International Conference «Hadron Structure'09», Tatranská Strba, Slovakia, Aug. 29-Sept. 3, 2009.

1.5. Личный вклад автора

Основные положения и выводы диссертации [1-32] являются результатом самостоятельных исследований автора. В тех частях, выполненных в соавторстве работ, которые относятся к теме диссертации, автору принадлежат постановка и формализация задачи, проведенные аналитические и, отчасти, численные расчеты.

1.6. Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и "7 приложений, включает рисунков и 5 таблиц, содержит список цитированной литературы из 132 наименований. Полный объём — 151 стр.

1.7. На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Выведены моментные правила сумм КХД с нелокальными конденсатами (НЛК) для амплитуд распределения (АР) легких мезонов. Получены АР старшего твиста, (х-1) и другие функционалы АР для 7г- и р-мезонов. Исследованы "прямые" (не моментные) правила сумм с НЛК для АР пиона, установлена взаимосогласованность результатов различных типов КХД правил сумм.

2. Найдены несинглетные ядра уравнений КХД-эволюции в двухпет-левом приближении, а также ядра и решения, улучшенные вкладами ренормалонных цепочек во всех порядках теории возмущений. Получены: общее выражение для спектральной плотности в порядке 0(а8), и частное рч в порядке 0(Ро<^) для правил сумм на световом конусе.

3. Разработано обобщение оптимизационной процедуры Бродского-Лепажа-Маккензи для любого порядка теории возмущений КХД.

4. Результаты из п. 1 и п. 2 применены для описания в рамках правил сумм на световом конусе переходных формфакторов процессов 77* —» 7г°, /ту* —» 7г°, анализа экспериментов CELLO и CLEO, а также сравнения с решеточными данными. Получено хорошее согласие предсказаний КХД в порядке 0(as) с различными данными. Учтён вклад в порядке 0(/%aJ), важный для оптимизации по Бродскому-Лепажу-Маккензи, и уменьшающий значение формфактора на величину < 10%.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации.

В первой главе «ПС КХД с нелокальными конденсатами для мезонных амплитуд распределения» дано историческое введение в метод ПС КХД. Главными объектами исследования здесь являются мезонные амплитуды распределения (АР) ведущего твиста. Они определяются и восстанавливаются по своим функционалам — (£2п)д/-моментам (£ = 2х — 1) и обратным моментам {х~1)м, которые получаются в рамках обобщенных правил сумм КХД с нелокальными вакуумными конденсатами.

В 1-м разделе обсуждается проблема ПС КХД для моментов амплитуд распределения, показана [3] несостоятельность первоначального подхода Черняка и Житницкого (ЧЖ) [37], основанного на стандартных локальных конденсатах [34]. Важность учета нелокальности вакуумных конденсатов (Н/1К) для оценки моментов АР, основные идейные и расчетные элементы метода иллюстрируется на примере простой скалярной модели [1]. Вводятся и исследуются основные характеристики для описания различных НЛК - функции распределения /г(ь") по виртуальности и. В отсутствии теории КХД-вакуума эти распределения конструируются как модели. Главный вывод раздела — надежное построение АР мезонов в ПС КХД невозможно без учёта нелокальности конденсатов.

В разделе 2 обсуждаются основные элементы ПС КХД с НЛК, вклады разных конденсатов вычисляются в общем виде [1, 25], вычислены 0(а8) поправки. Рассмотрен вклад глюонного НЛК [4], незначитель-

ный численно в случае легких мезонов, но требующий громоздкого теоретического анализа. Вводится минимальная "гауссова" модель для НЛК, учитывающая только одну, важнейшую характеристику НЛК распределений — обратную ширину распределения А(/, т.е., одну из корреляционных длин в КХД-вакууме. Последняя определяется (к2), средней виртуальностью кварков в вакууме, связана с вакуумным средним размерности 5 [38], = = (я(г9&1шС/{2{с1д)) ~ 0.4 ГэВ2, и известна из оценок в феноменологии адронов и решетки, см. гл. 2, 4. Отношение А2/т2 ~ 1 может служить критерием важности учета нелокальных конденсатов. Построены прецизионные ПС КХД с НЛК для моментов пионной и р1-мезонной (продольной) АР [9], дающие оценки моментов до (£10)д/, см. рис. 1(а) для моментов АР пиона. Кривые оценок величин наших ПС отличаются замечательной стабильностью по борелевскому параметру М2 в стандартном доверительном интервале КХД ПС. Это обеспечивает маленькую ошибку при определении величин в КХД ПС с нелокальными конденсатами, по сравнению со стандартной процедурой, даже для высоких моментов, см. рис. 1(а).

0.3 0.25 0.2 0.15

0.1 0 05

(а)

1

1

1 1 1 <4*% 8Ч 111 11 «я%

-1 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

Рис. 1. (а) средние (синие) столбики — средние значения моментов, боковые (серые) дают интервал неопределенностей обработки ПС КХД. (ж-1)^ = {х~1)„/3- 1 - независимая оценка обратного момента из ПС КХД. (Ь) гегенбауэровские моменты, полученные из первых 5 {¡-моментов на (а)

Затем эти 5 моментов были пересчитаны в коэффициенты гегенбауэров-ских гармоник [16,28], и оказалось, что с хорошей точностью достаточно двух, следующих за нулевой, гармоник с коэффициентами аг, сц, более высокие подавлены примерно на порядок. Построено допустимое множество моделей амплитуды распределения (АР) 7г-мезона твиста 2 и отвечающие

им доверительные интервалы на плоскости (02,01), см. рис. 2(слева) при различных значениях А^. Пучок допустимых профилей АР (при предпочти-

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Рис. 2. слева: допустимые множества 2-параметрических АР на плоскости (аг.гц) при Л^ = 0.6, 0.5, 0.4 ГэВ2 соответственно, справа: Пучок допустимых профилей АР (зеленые кривые) в сравнении с моделью ЧЖ — пунктирная (красная) и асимптотич. — коротко-пунктирная (черная)

тельном значении А2 = 0.4 ГэВ2) приведен на рис. 2(справа), он согласуется и с независимой оценкой для (х~1)ж на рис. 1(слева). Главное отличие от профиля АР ЧЖ (пунктирная двугорбая кривая на рис. 2 (справа)) состоит в существенно меньшем наклоне кривых пучка вблизи концов х = 0,1, которые при малых х < 0.1 даже ниже асимптотической АР. В дальнейшем будем ссылаться на это множество АР, как на БМС (Бакулев-Михайлов-Стефанис) пучок. Подчеркнем, что допустимое множество АР, включающее только две нетривиальные гармоники, — эмпирическое следствие ПС с Н/1К, а не упрощенная обрывом ряда модель.

В разделе 3 сформулированы и исследуются [14, 15] ПС КХД с ИЛК для константы распада и моментов АР поперечно-поляризованного рт-мезона. Идейно этот расчет повторяет предыдущие для АР пиона и р1, но

4

3 2 1 0

РИС. 3. АР ведущего твиста поперечно-поляризованных р (слева), // (справа) -мезонов

отягощен необходимыми проекциями на более сложные тензорные структуры для аккуратного выделения вклада ведущего твиста. На рис. 3 приведен профиль соответствующей АР, построенный на трех гегенбауэровских гармониках, т.к. в этом случае КХД ПС определяют моменты до [15]. С помощью КХД ПС НЛК улучшены оценки тензорной восприимчивости х кваркового конденсата [14]

Во второй главе «Прямое определение пионной амплитуды распределения твиста 2» развивается подход для непосредственного определения формы АР пиона 1рп(х\ц2) и радиальных возбуждений. Он основан на частичном сохранении аксиального тока и использует недиагональный коррелятор аксиального и псевдоскалярного токов. Применяя затем естественное приближение для кварк-глюон-кварковых нелокальных конденсатов, удается получить важное соотношение для взвешенной суммы АР радиальных возбуждений пиона [39]. Распределение кварков-партонов <рм(х) по продольному импульсу хР в пионе (левая часть (1), М2 - параметр Бореля)

¥>„(*) + Мх)е~т1'/Ы2 + <М*)е~т""/М2 + • • • =

+ + (1)

оказалось прямо связанным с Л(^) — распределением кварков по виртуальности V в непертурбативном КХД-вакууме. Задача состоит в извлечении <рг(х) и масс резонансов то; по правой части (1), при этом /Д^) — гладкая функция, параметризующая скалярное вакуумное среднее (: д(0)Я(0,2)д(г) :} = (: д(0)д(0) :) /0°сехр(-|^2| «/)/»(*!/ и удовлетворяющая асимптотическим условиям при V —> 0 и оо.

В 1-м разделе обсуждаются различные модели для неизвестной пока fs, общие условия для них. Эти модели соотносятся [17] с данными решеточных расчетов нелокальных кварковых конденсатов [40]. Из решеточных данных исследованием предельных переходов и перенормировок извлекается обратная ширина кваркового распределения А2 = (0.4 -г- 0.55) ГэВ2, подтверждая оценки из адронной феноменологии.

В 2-м разделе развит "интегральный" подход — найдено интегральное двух-параметрическое преобразование [6,7,26] в комплексной плоскости г = 1 /М2, осуществляющее проекцию на резонансное состояние. При этом сформулированы условия получения массы резонанса {тп*}, если предыдущее состояние и масса уже известны. В этом подходе устойчивость процедуры для определения АР/масс была проверена на примере точно решаемой задачи двумерного гармонического осциллятора. Установлено ослабление чувствительности формы ^(х) к деталям анзаца Л(^). Так, приняв т,г = 0, шаг за шагом предсказываются массы первых радиальных возбуждений: т,— 1.8 ГэВ2 (сравнить с 1.7 ГэВ2 экспериментальной); т2, = 3-4 ГэВ2, а также их АР [7,26]. Разные анзацы и разные подходы

РиС. 4. Профили пионной АР — оплошной линией, коротким и длинным пунктирами - для р;п-1И'1ш,1х ¡ипацеп и методов ичвлск'пия. Средняя тонкая пунктирная кривая — асимптотическая АР, покачала для сравнения.

приводят к несколько различным АР 1рп(х), см. рис. 4, которые, в целом, имеют общие черты поведения в области 0.1 < х < 0.9. Вне этой области профили АР подавлены.

Во 3-м разделе в "дифференциальном" подходе [6], предполагая известным спектр {тг}, построена процедура выделения основного состояния и низших резонансов, основанная на сконструированных дифференциальных операторах. Эффективность процедуры зависит от класса функций и форма АР зависит от деталей поведения конкретного анзаца. Исследованы классы функций, лучше удовлетворяющие критериям процедуры и

описывающие первые возбуждения.

Основной вывод — получаемые профили АР пиона качественно согласуются друг с другом и, в целом, с АР из моментных ПС КХД гл. 1. и противоречат АР ЧЖ [37]. Главное ограничение методов — решение зависит от деталей модели fs{v) и не позволяет надежно определить АР в окрестностях концевых точек х = 0,1.

В третьей главе « Пертурбативные вычисления для жестких эксклюзивных процессов» объектами исследований являются пертурбативные компоненты теорем факторизации применительно к процессам с ж,р — мезонами: ядра и решения уравнений эволюции ЕРБЛ, V, (ДГЛАП, Р) для АР старшего твиста [33], жесткие партонные амплитуды и их спектральные плотности р. Будет также рассмотрена и решена общая задача оптимизации рядов в пКХД в духе процедуры Бродского-Лепажа-Маккензи (БЛМ).

Известно, в 1-петлевых (несинглетных) ядрах эволюции У(о) = 0(у > х)у(х,у) + (х —» х, у —> у), свойства конформной симметрии (КС) не нарушены, а решения соответствующих уравнений - гегенбауровские гармоники грп = 6ж(1 — х)Сп2{ — 1) - определяются этими свойствами, которые нарушаются перенормировками в следующих петлях. В 1-м разделе обсуждается общая структура 2-петлевого ядра ЕРБЛ для легких мезонов, источники и проявления в ней нарушений КС [13]. Это иллюстрируется прямым 2-петлевым расчетом ядра ЕРБЛ в случае поперечно-поляризованного р-мезона, позволяющим использовать АР, найденную в гл.1, для вычислений процессов в порядке 0(а6).

Одним из источников нарушения КС является перенормировка заряда, проявляющаяся на 2-петлевом уровне в особых логарифмических вкладах а]У% ~ а3в(у > х)у(х,у)(а8(30\п{х/у)) -I- {х -> х, у -> у). Такие вклады можно суммировать во всех порядках ~ (аа/?01п(х/у))п, что соответствует учёту бесконечной ренормалонной цепочки, см. рис. 5, в 1-петлевых диаграммах для эволюционных ядер. Возникающие ряды для ядер/аномальных размерностей имеют ненулевой радиус сходимо-

сти [10,11], в отличии от ренормалонных вкладов в матричные элементы, и результат можно трактовать как эффективный учет 1-петлевого "бега" заряда. Развит подход для вычисления таких вкладов "во всех петлях", в несиглетные ядра в модели [у3]г>=б [10] и КХД [11,27]. Получены замкну-

(а)

(Ь)

(с)

—'ИГ"* + -

РиС. 5. Характерные диаграммы для учета вкладов ренормалонных цепочек в ядра ДГЛАП (а, Ь, с) и, аналогично, ЕРБЛ ((1). Черный круг представляет сумму всех типов 1-петлспых вставок (штрихованный круг) в глюонную линию — кварковую, глюонную (духовую) петли. В вершинах к — составной оператор, МС означает зеркально симметричную диаграмму.

тые выражения для полных ядер Уг(х,у) (Р\г)) в КХД. В ^-калибровке это даёт, например, для ядра ЕРБЛ (для пионной АР)

1-Л /

' 1 А +

Уо-^У1 = а5СЕ 2

0(у >х)[-

1

-фп

А(0,О у-х^ + А(А, О +(х х,у -» у) (2)

ф1п(х) ~ б&х^'ЪМ-^х-!), Л = А(0,Ц) = ааУд(О, (3)

где А(е,£) — некоторая функция; А — её частное значение, аномальная размерность глюонного поля; 1р1п — собственные функции ЕРБЛ. Найдено обобщение приближения "наивной неабелизации" специальным выбором калибровки £ = —3, при котором А — а.,Д) [12]. Для улучшенного таким образом уравнения ЕРБЛ восстанавливается свойство КС, но решения даются другим представлением группы КС, со смещенным на —А индексом. Учтенные в V1 вклады важны при малых значениях х ~ 10~!. При еще меньших х более важными оказываются другие источники нарушения КС - квадратично-логарифмические члены, обязанные эффектам перенорми-

ровки составного оператора ® в вершинах на рис. 5 и выраженные, отчасти, "одеванием" лестничными диаграммами.

Известная процедура оптимизации БЛМ [42], изначально сформулированная для разложения до члена с^я2, фиксирует значение нормировки // у связи а8(//2) по отношению к внешнему масштабу импульсов /х. При этом, ¿2 —> (#>> т-е-' часть ¿2. связанная с перенормировкой заряда, переносится, следуя РГ, в новую нормировку // —» //'. Последняя замена нормировки, учитывающая специфику проявления радиационных поправок, может заметно изменить оценку для всей величины и эффективно учитывает часть следующих порядков разложения. Для процедуры достаточно знать лишь пропорциональную До часть поправок в приближении за лидирующим. Во 2-м разделе разработано обобщение процедуры БЛМ для любого фиксированного порядка, основанное: (1) на разложении ^ в ряд по допустимым степеням коэффициентов /^-функции (2) на эмпирической иерархии коэффициентов Д-функции, Д, = уСл - |ЛГ/ » 1 и Д| = 0(/#+1)) в пК-ХД [21,31]. Эта иерархия позволяет получить новое разложение по степеням 1/Д|, включающее и все другие коэффициенты Д-функции. Например, (¿з представим в виде разложения по До ,/?1

4« = Д2 ¿3[2]+Д^з[0,1]+До ¿з[1]+Л3[0]. (4)

Причем, большим вкладам в иерархии отвечают До ¿з[2] и Д «¿3[0,1] (Д = ^(Дм))- Член Д)^з[1] подавлен как 1/Д, а с/3[0] - как 1/До- Обобщающая процедура, основанная на иерархии, дает ц' в виде однозначного разложения в ряд по степеням а8(/л'2) последовательно от порядка к порядку [21], при этом, нулевой член разложения — стандартная нормировка БЛМ. В результате этого обобщения, названного последовательным (п)БЛМ, исходный ряд может быть переписан в форме некоторой непрерывной дроби или ряда, коэффициенты которого уже не зависят от Д-функции, и их значения отвечают конформному пределу Д = 0, см. элемент ¿з[0] в (4). Рассмотрены скелетные диаграммы — образы алгебраических элементов этой схемы. Показано, что следование исходному принципу БЛМ не всегда приводит к оптимизации, т.е. к уменьшению по сравнению с

Проводится усовершенствование процедуры пБЛМ для систематического улучшения сходимости рядов пКХД. Затем эти процедуры применяются к функции Адлера, Д-отношению е+е~ —► h в адроны, правилу сумм Бъёр-кена для поляризованного рассеяния. Именно к этим величинам удалось получить явно двойное разложение (т.е. представление в виде матрицы, а не ряда) до порядка О(а^), реализующее условие (1). Последнее обобщение пБЛМ позволяет использовать включенные свободные параметры для улучшения сходимости отрезков степенных разложений в КХД.

В настоящее время проведены расчеты жестких амплитуд Т для переходных ФФ в порядках 0(as) - asT\ [18,41,43], что позволяет вычислять ФФ (с учетом 2-петлевой ЕРБЛ-эволюции) в рамках теорем факторизации. А также в следующем порядке пКХД члены О(а2/?о) - а^Д^/з [43], что дает оценку знака и величины эффектов в этом порядке (на основании предложений БЛМ). Но знание жестких амплитуд оказывается недостаточным для описания этих процессов при существующей кинематике эксперимента. Для дисперсионных соотношений, далее примененных в гл. 4, нужны соответствующие этим однократные спектральные плотности (СП) p(1W(Q2,s) для ФФ Frr^no(Q2,q2) [44], определяемые как скачки мнимых частей ФФ по s = —q2,

p(Q2, s) = — [T(Q2, -s) ® + tw-4] = Q2) | .(5)

Q2+s

В разделе 3 впервые в общем виде получены приведенные СП р^ [23], построенные на гегенбауэровских гармониках фп в (5), что обеспечивает компактную форму:

у. О \ХУ [Ар

п

}^п(а;)-Ср2[ {С„1 + у{п)Ьп1)Мх)}- (6) 1=0,2,...

Это позволяет эффективно применять СП для любых моделей пионной АР. Здесь у(п),уа(п) — собственные значения 1-петлевых ядер; 6„/,С„7 - вычислимые треугольные матрицы, последняя порождена элементом д{х,у)

2-петлевых ядер [43], связанного со специфическим нарушением КС калибровочными полями. Результаты при п = 0,2,4 в (5,6) сводятся к случаю, исследованному в [45].

Вычисление СП в порядке О(а1(3о) основывается на извлеченном из [43] Т2р, зависящем порознь от Цц, р?, взятом здесь, для простоты, при

= №

а]= а%Т0 ® |сРТ:,(2) + Цу) ([К(1,,]+ - -

Т0 — борновская жесткая амплитуда; Ь(у) = 1п [(<522/ + Я2у) //4]' —/Зо-часть 2-петлевого ядра, обсуждавшаяся в разделе 1; Го<8>Т^',То®7^Р' — коэффициентные функции в 1 и 2 петлях соответственно. Для получения СП необходимо взять, следуя (5), скачки мнимых частей Г0 <2> Ь, То ® Ь2. Окончательные выражения достаточно громоздки и интерпретируются в [23,24], здесь же на рис. б показаны графики приведенных СП аа(ц1)$%) (р™ = Ь0Сг [0 (х-§*£)]) в сравнении с /^(х) для нулевой гармоники, играющие ключевую роль в феноменологическом анализе переходных формфакторов в гл. 4. 2 1 о -1! -2 -3 -4

ГЧ а8Ь0СР42) \ N /

N /

0.2

0.4

0.6

Рис. б. Пунктирная (зеленая) линия - а,(др) = аа(ц1) Ь0СгЯ^(х, §) при <Э2 = //р = (2.4 йеУ)2; непрерывная (красная) дает Ро\х) в (6).

В четвертой главе «Верификация пионной АР в эксклюзивных процессах» проведено детальное сравнение полученных пион-ных АР с рядом экспериментальных данных при учете двухпетлевой ЕРБЛ

КХД-эволюции и одно- и двухпетлевых пертурбативных амплитуд, исследованных в предыдущих главах.

В 1-м разделе рассмотрены предварительные оценки чувствительности процесса 7*7* —» 7Г° [2] к нелокальности вакуумных конденсатов. Обсуждаются различные подходы КХД для вычисления переходного форм-фактора (ФФ) F~n'*(Q2) процесса 77* —► 7г°. Затем обсуждается подход правил сумм на световом конусе (ПС СК), Ходжамирян [44], Шмеддинг и Яковлев [45], основанный на дисперсионных соотношениях и конструировании физической спектральной плотности. Это позволяет учесть эффекты взаимодействия в начальном состоянии с квазиреальным фотоном и поэтому наиболее подходит для описания процессов при кинематике реальных экспериментов 7(q ~ 0)7*(Q) —► 7Г°. Во 2-м разделе результаты для переходного ФФ F77*^7r(<52) в ПС СК в порядке О (a s) сравнивается с данными CLEO/CELLO [46,47] экспериментов. Это вычисление рассматривается и как инструмент обратной задачи по извлечению пионной АР [18] из высокоточных данных CLEO. Существенно улучшен предыдущий анализ [45] эксперименталь-

РиС. 7. Три 2<т- допустимых области значений (02,04) с центральными точками + следующих из анализа данных CLEO при различных значениях А2 : (а) — для А2 = 0.4 GeV2, ô2 = (0.19 ± 0.02) GéV2; (Ъ) — для Л2 = 0.5 GéV2, rt2 = (0.235 ± 0.025) GéV2; (с) - для А2 = 0.6 GéV2, <52 = (0.29 ±0.03) GeV2. Непрерывной линией описан 2<т-контуры, прерывистой — 1<т-контуры. Три скошенных параллелограмма представляют допустимые области (аг, 04), получаемые из ПС КХД для АР [16] при значениях А2 = 0.4, 0.5, 0.6 GeV2 (слева направо). Все значения пересчитаны к нормировке ц2 = (2.4)2 GeV2, средней для передач Q2xp CLEO. Точки * означает здесь ВМС модели, отвечающие приведенным частным значениям А2, модель ЧЖ — И, асимптотическая АР

ных данных по F7*77r (Q2) путем учета двухпетлевой эволюции пионной АР для передач Q2exp CLEO. Исследована чувствительность результатов

к с^-поправкам и ко вкладу твиста 4 (пропорциональному величине й2). Приводим обработку данных CLEO, извлекая параметры пионной АР (с тремя гегенбауэровскими гармониками) — коэффициенты Гегенбауэ-ра «2, щ, см. рис. 7(а,Ь,с). Этот анализ подтверждает наши предыдущие результаты и, в общем, выводы [45]: как асимптотическая АР (♦), так и модель ЧЖ [37] (■) отвергается данными CLEO, в то время как пучок ВМС моделей АР (центральные точки X), следующий из КХД правил сумм с HJTK (см. гл. 1-2) — подтверждается. Существенный элемент анализа — учет связи 2<52 ~ А2 (полученной из ПС КХД) между параметром вклада твиста 4 в жестком процессе и, соответственно, основным параметром непертурбативного КХД-вакуума, А2. Совместно с использованием данных CLEO это дает новое ограничение величины А2 = (qD2q) / (qq) и ведет: (1) к учету АР пиона, согласованному с величиной вклада твиста 4, важного в области умеренных/малых передач; (2) к независимой оценке средней виртуальности вакуумных кварков, А2 < 0.4 ГэВ2, см. пересечение допустимой области АР из ПС КХД (зеленый прямоугольник) и 2<т-облаети CLEO на рис. 7(а). В результате, величина А2 оказывается в согласии с другими независимыми оценками из адронной феноменологии [3,9,48] и решетки [17]. Так, из анализа переходного ФФ в порядке О (a s) КХД получает подтверждение низкоэнергетическая амплитуда АР, полученная в методе ПС КХД с нелокальными конденсатами.

В 3-м разделе результаты предыдущего анализа усилены, дополнены исследованием обратного момента (х~1)п в CLEO, двух-струйной диссоциации пионов в Е791 эксперименте [18,20,30], вычислений на решетке [22]. Исследование главных источников неопределенностей ПС СК для F77 ~"г, связанных с неопределенностью оценки вклада твиста 4, некоторых параметров ПС СК привело к консервативным, но и более надежным результатам извлечения допустимой области АР на рис. 8 (слева). Эти выводы устойчивы: к возможному исключению части низкоэнергетических экспериментальных точек, объяснение которых особенно

0.25 Q^Fy^m [GeV]

0.2 _ —------'

L-'Тл

0.15 ^rrç^frrt

0.1

0.05 Q2 [GcV2]

О 0.1 0.2 0.3 0.4

Рис. 8. Слева: Сравнение ограничений из данных CLEO по ФФ с предсказаниями ПС КХД HJIK для пучка АР БМС — прямоугольник (зеленый) - на плоскости (02,04)- Плотный (зеленый) контур — 1 гт-область CLEO; тонкий (синий) контур — 2гт-область; штрих-пунктирный (красный) контур Зст-область; + — лучший фит БМС [18,19]; • — лучший фит из [45]; ♦ — Асимпт. АР; ■ — ЧЖ АР: вертикальные полосы — ограничения для о2 из решетки; прочие условия как на рис. 7. Справа: Теоретические предсказания для F77'^* из ПС СК на фоне данных CELLO — ромбы, CLEO — треугольники. Полоса (зеленая) — пучок БМС; пунктирная (красная) линия — АР ЧЖ; нижняя пунктирная (черная) линия — АР Асимпт.

чувствительно к деталям оценки твиста 4; а также к стандартным вариациям вкладов радиационных поправок [18]. Мы заключаем, что согласно результатам CLEO модель АР ЧЖ исключена на уровне не менее 4-сг, а асимптотическая АР —ма уровне не менее З-сг. Напротив, пучок АР БМС из ПС КХД HJIK (гл. 1) большей частью включен в 1-а доверительный интервал, см. прямоугольник (зеленый) включенный во внутренний 1-а эллипс на рис. 8 (слева). Поведение ФФ на фоне экспериментальных данных на рис. 8 (справа) наглядно демонстрирует важность подавления АР БМС в области концевых точек х = 0,1, обязанную нелокальности конденсатов (см. гл. 1). Именно высокий наклон профиля АР ЧЖ ведет к существенному завышению предсказаний для переходного ФФ (пунктирная (красная) кривая на рис. 8 (справа)) над данными CLEO. На рис. 9 (слева) приведен аналогичный анализ в терминах обратного момента (аГ1)* пионной АР. Этот функционал АР важен при вычислении разных пионных ФФов и может быть получен независимо от вычисления моментов АР только в ПС КХД HJ1K. Результат последней оценки представлен на рисунке синей полосой, покрывающей 1-а эллипс CLEO. Предложенный нами пучок АР хорошо согласуется и с данными по ди-

фоне экспериментальных данных: зеленая полоса — для пучка БМС; пунктирная (красная) линия — АР ЧЖ; сплошная (черная) линия — АР Асимпт.

фракционной диссоциации пиона в две струп на ядре в эксперименте Е791, независимо подтверждая этим наши результаты для АР пиона, см. полосу (зеленую) на рис. 9 (справа). Наконец, результаты решеточных расчетов [49] для 2-го момента пионной АР, показанные вертикальными полосами на рис. 8 (слева), хорошо совмещаются и с БМС областью, и лежат внутри 1-сг эллипса CLEO. Взаимное согласие всех трех независимых вычислений сохранится и в случае применения ренормалонной модели ко вкладам твиста 4, исследованной в [22], и, предположительно, завышающей отрицательный вклад твиста 4. Найденные ограничения поддерживают придавленную на концах двугорбую форму пионной АР, полученную нами ранее из КХД правил сумм с нелокальными конденсатами при значении средней виртуальности вакуумных кварков А^ ~ 0.4 ГэВ2.

В 4-м разделе переходные фотон-пионный (7*7 —> тг) и р-фотон-пионный (7*р —> 7г) ФФ изучены в ПС СК в порядке О(а^/?о) пКХД. Спектральная плотность для вычисления формфакторов получена в порядке 0(as) в общем виде для любых гегенбауэровских гармоник, а в следующем порядке, 0(а2), учтена часть, пропорциональная /^-функции. Исследуется величина вклада такой двухпетлевой поправки на основе процедуры БЛМ, дающей знак и порядок величины вклада. Улучшена модель мезонного спектра в ПС СК учетом конечных ширин мезонов.

Суммарная величина вновь учтенных поправок к F7 77r составляет —7% при Q2 ~ 2 GeV2 и падает до -2% (при Q2 > 6 GeV2 ). Показано, что использование ВМС АР пиона дает предсказания все еще неплохо согласующиеся с данными CELLO и CLEO [23], см. рис. 10 (левый), хотя величина ФФ уменьшается, и согласие несколько ухудшается.

Рис. 10. Зеленая полоса — предсказания для ФФ [23], основанные на АР БМС и включающие важные неопределенности подхода; верхняя красная линия — предсказания для АР ЧЖ; нижняя черпая линия - предсказания для "асимптотической" АР. Фиолетовые ромбы — данные CELLO; черные треугольники — CLEO; красные ромбики — новые данные ВаВаг

В тех же приближениях обсуждаются предсказания для ФФ процесса 7*р —» 7г, которые оказываются чувствительными к поведение амплитуды распределения пиона в окрестности концевых точек х = 0,1 вместо "интегральной характеристики" {х~1)71 для процесса 77* —> 7Г°. Так доставляется независимый тест для АР пиона [23]. Наши предсказания для ФФ F7'l'~>n представлены на рис. 11.

Рис. И. Зеленая полоса — предсказания для ФФ [23], основанные на АР БМС и включающие важные неопределенности подхода; верхняя красная линия — предсказания для АР ЧЖ; нижняя черная линия - предсказания для "асимптотической" АР.

Установлено, что в рамках коллинеарной факторизации никакая АР не может воспроизвести наблюдаемый рост с Q2 при (Q2 > 10 GeV2) части новых данных ВаВаг для F1 "/7Г, см. рис. 10 (правый), хотя модель ВМС согласуется с другой (низко-энергетической) частью результатов ВаВаг [52] (рис 10 (левый)). Если высокоэнергетические результаты эксперимента ВаВаг подтвердятся, то это потребует существенного пересмотра взглядов на условия применимости коллинеарной факторизации [24].

В заключении суммированы основные выводы диссертации, а важные технические детали собраны в семи приложениях:

1. Параметризация нелокальных вакуумных конденсатов.

2. Численные параметры для правил сумм КХД.

3. Аномальные размерности эволюции пионной АР.

4. Пертурбативное разложение КХД /5-функции.

5. Пертурбативное разложение Д/-функции.

6. Спектральные плотности для жестких амплитуд.

7. Элементы парциальных амплитуд в порядке O((3oa2s)

Список публикаций по материалам диссертации

[1] С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин, "Нелокальность кварковых конденсатов и волновая функция пиона в КХД. ", Яд. физ. 49, 794 (1989).

[2] С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин, "Процесс 7*7* —> 7г° и нелокальность конденсатов", Яд. физ. 52, 1095 (1990).

[3| S. V. Mikhailov, А. V. Radyushkin, "The pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates", Phys. Rev. D 45, 1754, 1992.

[4| С. В. Михайлов, "Нелокальный глюонный конденсат в КХД правилах сумм волновых функций", Яд. физ. 56, 143 (1993).

[5| А. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, "The Photon structure function F(2) in QCD with nonlocal vacuum quark condensates", Письма в ЖЭТФ 60, 159 (1994).

[6] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, "QCD sum rules for pion wave function revisited", Z. Phys. C 68, 451 (1995).

[7] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, "Integral transform technique for meson wave functions", Mod. Phys. Lett.A 11 (1996) 1611.

[8] A. E. Dorokhov, S. V. Esaibegian, S. V. Mikhailov "Virtualities of quarks and gluons in QCD vacuum and nonlocal condensates within single instanton approximation " Phys. Rev. D 56, 4062 (1997).

[9] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, "The />meson and related meson wave functions in QCD sum rules with nonlocal condensates", Phys. Lett. B436, 351 (1998).

[10] S. V. Mikhailov, "Renormalon chains contributions to the non-singlet evolutional kernels in (^3)6 and QCD", Phys. Lett. B 416 421 (1998).

[11] S. V. Mikhailov, "Renormalon chains contributions to non-singlet evolution kernels in QCD", Phys. Lett. B 431 387 (1998).

[12] S. V. Mikhailov, "A multiloop improvement of nonsinglet QCD evolution equations", Phys. Rev. D 62, 034002 (2000).

[13] S. V. Mikhailov, A. A. Vladimirov,"ERBL and DGLAP kernels for transversity distributions. Two-loop calculations in covariant gauge", Phys. Lett. B 671 111 (2009).

[14] Bakulev A. P., Mikhailov S. V., "QCD vacuum tensor susceptibility and properties of transversely polarized mesons", Eur. Phys. J.C 17, 129 (2000).

[15] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, "New shapes of light-cone distributions of the transversely polarized rho mesons", Eur. Phys. J. C 19, 361 (2001).

[16] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "QCD-based pion distribution amplitudes confronting experimental data", Phys. Lett. B508, 279 (2001).

[17] А. P. Bakulev, S. V. Mikhailov "Lattice measurements of nonlocal quark condensates, vacuum correlation length, and pion distribution amplitude in QCD", Phys. Rev. D 65, 114511 (2002).

[18] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Unbiased analysis of CLEO data beyond LO and pion distribution amplitude" Phys. Rev. D 67, 074012 (2003).

[19] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "CLEO and E791 data: A smoking gun for the pion distribution amplitude? " Phys. Lett. B578, 91 (2004).

[20] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Deep inside the pion: Reconciling QCD theory with data", Annalen Phys. 13, 629 (2004).

[21] S. V. Mikhailov, "Generalization of BLM procedure and its scales in any order of pQCD: A practical approach", JHEP 06, 009 (2007).

[22] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Tagging the pion quark structure in QCD" Phys. Rev. D 73, 056002 (2006).

[23] S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Transition form factors of the pion in light-cone QCD sum rules with next-to-next-to-leading order contribution " Nucl. Phys. В 821, 291 (2009).

[24] S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Pion transition form factor at the two-loop level vis-a- vis experimental data", Mod. Phys. Lett.A 24, 2858 (2009).

[25] С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин, "Нелокальность кварковых конденсатов и волновая функция пиона в КХД. Общий формализм", Dubna preprint Р2-88-103, 1988.

[26] А. P. Bakulev, S. V. Mikhailov "New approach to the non-diagonal QCD sum rules for pion wave functions" Chin. J. Phys. 34, 1065 (1996).

[27] S. V. Mikhailov, "The non-singlet evolution kernels improved by renormalon chain contributions in QCD", in Proceedings of the 10th International seminar Quarks'98, Suzdal, Russia, 18-24 May 1998 edited by F.L. Bezrukov at al.(INR RAS, Moscow, 1998), pp. 142-155; hep-ph/9809299.

[28] A. R Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "On a QCD based pion distribution amplitude versus recent experimental data" Proceedings of the 36th Rencontres De Moriond On QCD And Hadronic Interactions, 17-24 Mar 2001, Les Arcs, France / Ed. by J. T. T. Van. Singapore: World Scientific, 2002. Pp. 133-136.

[29] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "What is this thing called pion distribution amplitude? From theory to data", Proceedings of the International Workshop on Light Cone Physics: Hadrons and Beyond, Durham. UK, August 5th-9th, 2003 / Dalley, S., Institute for Particle Physics Phenomenology, 2003, Pp. 172-177

[30] A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Accessing the pion distribution amplitude through the CLEO and E791 data", Fizika B13, 423 (2004).

[31[ S. V. Mikhailov, "Any order generalization of BLM procedure in QCD", in Proceedings of the 13th International Seminar Quarks '2004, 2, Pushkinogorie, Russia, May 24~30, 2004, edited by D. G. Levkov, V. A. Matveev, V. A. Rubakov (INR RAS, Moscow, 2005), pp. 181-201; hep-ph/0410134

[32] S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis, "Two-loop contribution to the pion transition form factor vs. experimental data", Invited talk given by the first author at the 3rd Joint International Hadron Structuro'09

Conference, Tatranska Strba (Slovak Republic), Aug. 30-Sept. 3, 2009, Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) В 198 (2010) 199.

Список цитированной литературы

[33] А. V. Efremov, А. V. Radyushkin, Phys. Lett. B94, 245 (1980); G. P. Lepage, S. J. Brodsky, Phys. Rev. D22, 2157 (1980).

[34] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B147, 385, 448, 519 (1979).

[35] A. I. Vainshtein, V. I. Zakharov, V. A. Novikov, M. A. Shifman, Sov. J. Nucl. Phys. 39, 77 (1984).

[36] С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин, Письма в ЖЭТФ 43, 551 (1986).

[37] V. L. Chernyak, A. R. Zhitnitsky, Phys. Rept. 112, 173 (1984).

[38] A. G. Grozin, Int. J. Mod. Phys. A10, 3497 (1995).

[39] A. V. Radyushkin, "Pion wave function from QCD sum rules with nonlocal condensates", hep-ph/9406237.

[40] M. D'Elia, A. Di Giacomo, E. Meggiolaro, Phys. Rev. D 59, 054503 (1999).

[41] E. P. Kadantseva, S. V. Mikhailov, and A. V. Radyushkin, Sov. J. Nucl. Phys. 44, 326 (1986).

[42] S. J. Brodsky, G. P. Lepage, P. B. Mackenzie, Phys. Rev. D 28, 228 (1983).

[43] B. Melic, D. Miiller, K. Passek-Kumericki, Phys. Rev. D 68, 01401 (2003).

[44] A. Khodjamirian, Eur. Phys. J. С 6, 477 (1999).

[45] A. Schmedding, O. Yakovlev, Phys. Rev. D 62, 116002 (2000).

[46] J. Gronberg and others, Phys. Rev. D 57, 33 (1998).

[47] H. J. Behrend and others, Z. Phys. С 49, 401 (1991).

[48] A. A. Ovchinnikov, A. A. Pivovarov, Sov. J. Nucl. Phys. 48, 721 (1988).

[49] V. M. Braun et al., Phys. Rev. D74, 074501 (2006); M. A. Donnellan et al, PoS LAT2007, 369 (2007).

[50] Ф. Индурайн, Квантовая хромодинамика (Мир, Москва, 1986), 288 с.

[51] М. Пескин, Д. Шредер Введение в квантовую теорию поля (РХД, Москва, 2001), 783 с.

[52] В. Aubert and others, Phys. Rev. D 80,052002 (2009).

Получено 24 мая 2010 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 25.05.2010. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,93. Уч.-изд. л. 1,71. Тираж 100 экз. Заказ № 56994.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПС КХД С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КОНДЕНСАТАМИ ДЛЯ МЕЗОННЫХ АМПЛИТУД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Постановка задачи, простой скалярный пример.

1.1.1 Введение нелокальных конденсатов.

1.1.2 Простой скалярный пример.

1.2 Основные компоненты нелокальных конденсатов в КХД правилах сумм.

1.2.1 Скалярный и векторный кварковые конденсаты

1.2.2 Четырехкварковый конденсат.

1.2.3 Три локальный кварк-глюонный конденсат.

1.2.4 Глюонный конденсат.

1.3 Прецизионные ПС КХД с НЛК для АР пиона.

1.3.1 Правила сумм для моментов АР пиона.

1.3.2 АР пиона.

1.4 Результаты для АР продольно- и поперечно-поляризованных /9-мезонов.

ГЛАВА 2. ПРЯМОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПИОННОЙ АМПЛИТУДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТВИСТА 2.1 Вводные замечания. Модели функций распределения.

2.1.1 Вводные замечания о недиагональном корреляторе

2.1.2 Модели функций распределения в непертурбативпом КХД вакууме.

2.2 "Интегральный" подход к извлечению АР.

2.3 'Дифференциальный" подход к извлечению АР

2.3.1 Общие формулы.

2.3.2 Модель спектра и АР пиона.

ГЛАВА 3. ПЕРТУРБАТИВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ

ЖЕСТКИХ ЭКСКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССОВ

3.1 Структура 2-х и многопетлевых ядер эволюции

3.1.1 Структура 2-петлевых ядер эволюции.

3.1.2 Ядра эволюции с ренормалонными цепочками

3.2 Обобщение процедуры оптимизации Бродского-Лепажа— Маккензи.

3.2.1 Пертурбативное разложение - от ряда к матрице

3.2.2 Задача БЛМ - первое обобщение.

3.2.3 Последовательная БЛМ процедура (БеВЬМ)

3.2.4 Оптимизация последовательной БЛМ процедуры

3.3 Спектральные плотности для жестких амплитуд

3.3.1 Спектральная плотность в порядке 0(а3).

3.3.2 Спектральная плотность в порядке 0{(3^а28).

ГЛАВА 4. ВЕРИФИКАЦИЯ ПИОННОЙ АР В ЭКСКЛЮЗИВНЫХ ПРОЦЕССАХ

4.1 Переходной формфактор пиона.

4.1.1 Введение.

4.1.2 Дисперсионные соотношения для F7*77Г.

4.2 Правила сумм на световом конусе: извлечение пионной АР, и средней виртуальности кварков в вакууме.

4.3 Правила сумм на световом конусе: оценки неопределенностей извлечения АР.

4.4 Влияние поправок на переходные формфакторы

4.4.1 Общее обсуждение поправок.

4.4.2 Эффекты к (52.Р7*77Г—интегральная характеристика

4.4.3 Эффекты к (^)АР7*рп—дифференциальная характеристика

Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) — признанная теория сильных взаимодействий. Методами теории возмущений (ТВ) получены многочисленные подтверждения того, что КХД правильно описывает взаимодействия адронов в области больших передач импульса ф2 т2р ~ 0.6 ГэВ2 -характерный адронный масштаб [1,2]. В реальных процессах, с адронами на массовой поверхности, взаимодействие происходит не только при больших (малые расстояния), но и при малых импульсах р2 (большие расстояния), на масштабах масс адронов, средних виртуалыюстях кварков и глю-онов и т. п. Для применимости ТВ необходимо разделять вклады больших и малых расстояний в амплитудах физических процессов. При таком разделении (факторизации) часть амплитуды, сформированная при больших виртуальностях, — жесткая партонная амплитуда Т - вычисляется по ТВ в виде ряда по степеням а3. Часть амплитуды, сформированная виртуаль-ностями адронных масштабов, учитывается феноменологически введением универсальных амплитуд распределения <р (АР в эксклюзивных процессах) или функций распределения / (в инклюзивных процессах). Эти распределения аккумулируют всю информацию о матричных элементах кварковых токов по адронным состояниям, они могут быть либо извлечены из эксперимента, либо определены непертурбативными методами. То, что амплитуда (сечение) всего процесса может быть представлена в ведущем твисте в виде интегральной свертки жссткой партонной амплитуды и амплитуд распределения А — Т® П ^г + О ((1/Ф2)Пг,у)5 и составляет содержание "теорем факторизации" [3-5].

Важная задача теории сильных взаимодействий - вычисление из первых принципов КХД амплитуд распределения адронов ъЖ2,£з), аккумулирующих информацию о непертурбативной кварк-глюонной динамики. Одним из популярных подходов, позволяющим опре ^десь символ <53 обозначает обычную интегральную свертку, А(х) ®В(х) = <1хА(х)13(х), по долям продольного импульса х делять низкоэнсргетические адронные характеристики, является метод правил сумм КХД (ПС КХД) [6,7]. Основной особенностью метода является полуфеноменологический учет взаимодействия с полями КХД-вакуума — конденсатами, проявляющимися как степенные по 1/0>2 поправки к корреляторам токов еще в области применимости пертурбативной КХД (пК-ХД). Этот метод, изначально предназначенный для извлечения статических характеристик (констант распада, масс) адронов, включал только нижайшие по размерности конденсаты, (: <?(0)д(0) :), (: (0)6^,(0) :), и токи без производных. Нами было показано [8,9], что для получения динамических характеристик адронов типа АР (т.е. нелокальных матричных элементов) в ПС КХД необходимо учесть конденсаты с производными всех размерностей, (: д(0)Е(0, г)д(г) :), (: £(0)7М.Е(0, :), и т.п. 2 Последнее ведет к исследованию корреляционных длин в КХД-вакууме и развитию нового формализма ПС КХД НЛК.

Диссертация посвящена развитию пертурбативного и пепертурбатив-ного направлений в факторизационной схеме КХД. Актуальность темы обусловлена текущим этапом развития эксперимента: точность данных эксклюзивных жестких процессов существенно улучшилась и позволяет проводить количественные сравнения с теоретическими предсказаниями. Это требует знания пертурбативных эффектов выше одной петли, и позволяет проверять количественно оценки для длин корреляций и других проявлений непертурбативпого вакуума КХД. При этом пион, как простейший и легчайший из адронов, является наиболее удобным объектом как теоретических изысканий в этих двух направлениях, так и их экспериментальных проявлений.

Основные цели (и задачи) исследования

Цель работы состояла в том, чтобы (1) построить формализм для расчета низкоэнергетических динамических характеристик адронов — амплитуд распределения (АР), формфакторов (ФФ), проявляющихся в эксклюзивных процессах; (2) усовершенствовать точность расчёта их жестких амплитуд и КХД-эволюции. Объединение результатов этих двух направле

2Е(0, с) — Рехр[-г<7я/0~ А^(у)с1у'1} — фазовый струнный фактор Фока-Швингера, упорядоченный вдоль прямого пути, соединяющего точки 0 и л, и вводимый для обеспечения калибровочной инвариантности раздвинутого кваркового тока ний в рамках теорем факторизации позволит получить прецизионные, количественные описания для эксклюзивных процессов. На заключительном этапе провести сравнение предсказаний КХД с наиболее точными измерениями для жестких процессов с легкими мезонами.

Построенный формализм применяется в актуальных для современной физики адронов и теории поля задачах:

• Установлено допустимое множество моделей для АР пиона ведущего твиста из правил сумм КХД с нелокальными конденсатами;

• В том же формализме предложены модели для АР ведущего твиста для продольно- и поперечно-поляризованных р-мезонов; • Получены переходные формфакторы процессов 77* —> 7г°, ру* —> 7г° в порядках 0(а5) и 0(/3оа%) КХД. Проводится детальное сравнение с экспериментальными данными;

• Исследованы ряды пертурбативной КХД для ренормгрупповых функций. Получены ядра эволюции Ефремова-Радюшкина-Бродского-Лепажа (ЕРБЛ) (Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи, ДГЛАП) в 2-х петлях и улучшенные вкладами ренормалонных цепочек во всех порядках теории возмущений.

• Разработано обобщение процедуры оптимизации ряда теории возмущений КХД Бродского-Лепажа-Маккензи (БЛМ) для произвольного порядка по константе связи;

Научная новизна и практическая ценность диссертации

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Развит новый формализм, основанный на НЛК и ПС КХД, для получения амплитуд распределения и их различных функционалов. Это позволяет перейти к количественному описанию жестких эксклюзивных процессов с легкими мезонами и доставляет, в частности, реалистичные АР твиста 2 для 7Г- и р-мезонов.

В пертурбативном секторе развит подход для вычисления ренормалонных поправок во вссх петлях, получены (несинглетные) ядра ЕРБЛ и ДГЛАП с такими поправками. Вычислено 2-петлевос ядро EPBJI для поперечно-поляризованного векторного мезона. Предложено обобщение оптимизационной процедуры BJIM на любой порядок пКХД.

Получены переходные ФФ в порядке 0(/3оа?) КХД и проведено сравнение пион-фотонпого ФФ с экспериментом. Этот анализ позволил определить из обработки данных CLEO важную характеристику вакуума КХД — величину корреляционной длины в кварковом вакууме (подтверждена ее величина А^ ~ 0.4 ГэВ2, полученная ранее из феноменологии адронов и на решетке).

Практическая ценность диссертации состоит в том, что представлены как эффективный формализм получения непертурбативной части факто-ризационного подхода, так и улучшения его пертурбативной составляющей, что важно для КХД-расчетов адронных амплитуд. Дальнейшие применения развитых методов для изучения жестких процессов с ж- и р-мезонами, а также, учитывая результаты в пертурбативном секторе, инклюзивных процессов глубоко неупругого рассеяния и е+е~-аннигиляции, представляет практический интерес для специалистов, работающих в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ, г. Дубна), Институте ядерных исследований (ИЯИ РАН, г. Москва), Институте теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алихаиова (ИТЭФ, г. Москва), Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова (ПИЯФ, г. С.Петербург), Институте физики высоких энергий (ИФВЭ, г. Протвино), Институте ядерной физики им. Г. И. Будкера (ИЯФ СО РАН, г. Новосибирск) и других институтах и лабораториях.

Апробация диссертации и публикации

Результаты работы опубликованы в двадцати четырех статьях [10-33] в журналах, входящих в список ВАК, а также в восьми публикациях [9,3440] в других журналах, препринтах и трудах конференций. Они доложены на следующих симпозиумах и конференциях в России:

1. 1 Международное совместное Рабочее совещание Тайвань-Дубна «Физика промежуточных и высоких энергий», г. Дубна, Россия, 26-28 июня 1995 г.

2. 10-й Международный Семинар по Физике высоких энергий «Кварки'1998», г. Суздаль, Россия, 18-24 мая 1998 г.

3. 13-й Международный Семинар «Кварки'2004», г. Пушкиногорье, Россия, 24-30 мая, 2004 г.

4. Международная конференция «Ренормгруппа и связанные с ней проблемы», г. Дубна, Россия, 1-6 сент. 2008 г.

5. Международная Гельмгольцевская Школа «Расчеты для современных и будущих коллайдеров», г. Дубна, Россия, 10-20 июля 2009 г.

6. Всероссийское совещание по прецизионной физике и фундаментальным физическим константам « ФФК09», г. Дубна, Россия, 1-4 декабря 2009 г. и за рубежом:

1. The International Conference «Hadron Structure'96», Stara Lesna, Vysoke Tatry, Slovakia, Feb. 12-16, 1996.

2. The XXXVIth Rencontres de Moriond «QCD and High Energy Hadronic Interactions», Les Arcs, Savoie, France, March 17-24, 2001.

3. The International Workshop on Light Cone Physics: «Hadrons and Beyond», Durham, UK, August 5t,h—9th, 2003

4. The International Conference «Recent Advances in Perturbative QCD and Hadronic Physics», Trento, Italy, July 20-25, 2009.

5. The International Conference «Hadron Structure'09», Tatranska Strba, Slovakia, Aug. 29-Sept. 3, 2009.

Личный вклад автора

Основные положения и выводы диссертации [9-40] являются результатом самостоятельных исследований автора. В тех частях, выполненных в соавторстве работ, которые относятся к теме диссертации, автору принадлежат постановка и формализация задачи, проведенные аналитические и, отчасти, численные расчеты.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и 7 приложений, включает 35 рисунков и 5 таблиц, содержит список цитированной литературы из 131 наименований. Полный объём — 151 стр.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена развитию как непертурбативного, так и пер-турбативного направлений в рамках факторизационной схемы для жестких процессов в квантовой хромодинамике.

В непертурбативной части предложен новый формализм для получения динамических характеристик мезонов - формфакторов, амплитуд распределения и т.п.,- основанный на правилах сумм КХД с нелокальными вакуумными конденсатами (НВК). Иными словами это означает, что для вычисления нелокальных матричных элементов с мезонами необходимо учитывать корреляционные длины в КХД вакууме, т.е. НВК. На этом основании были развиты обобщенные правила сумм КХД для мезонных амплитуд распределения (АР), в которых АР восстанавливаются из оценок их моментов и других функционалов от АР. В этом подходе, в частности, были получены реалистичные АР твиста 2 для 7Г- и р-мезонов. Важной особенностью подхода является слабая зависимость результатов от неизвестных еще деталей взаимодействий в непертурбативиом вакууме КХД. Последние проявляются здесь в моделях для распределения по виртуально-стям "вакуумных" кварков и глюонов. Эти модели строятся в соответствии с данными вычислений конденсатов на решетке, ипстантонными моделями вакуума.

Развит также иной формализм для прямого определения АР пиона <Рх{х) и его резонансов. Результаты этого подхода хотя и сильнее зависят от модели непертурбативного вакуума, но качественно подтверждают результаты для (/?7г(ж), установленной в предыдущем подходе. В результате установлен пучок (множество) допустимых профилей пионной АР в низкой точке нормировки ~ 1 ГэВ2 которые могут быть представлены в виде трех нижайших гегенбауэровских гармоник с п — 0, 2,4. Наши результаты поддерживают двугорбую, придавленную в окрестности концевых точек амплитуду распределения и существенно отличаются от прежней модели Черняка-Житницких. Они хорошо согласуются с последними решеточными расчетами момента АР пиона и с результатами эксперимента CLEO по измерению переходного пион-фотопного формфактора (ФФ).

Этот подход применялся и для изучения переходного пион-фотонного ФФ непосредственно из трехточечного коррелятора. А также для оценки функций распределения фотона в глубоконеупругом рассеянии. Полученные мезонные характеристики позволяют перейти к количественному описанию в КХД жестких эксклюзивных процессов с легкими мезонами.

В пертурбативной части объектами исследований являются пертур-бативные компоненты теорем факторизации применительно к процессам с (цсевдо)скалярными и векторными мезонами: ядра и решения уравнений эволюции ЕРБЛ, V, (ДГЛАП, Р) для АР старшего твиста, жесткие пар-тонные амплитуды и их спектральные плотности р. Несколько обособлено стоит решение общей задачи оптимизации рядов в пертурбативной КХД в духе процедуры Бродского-Лепажа-Маккензи (ВЛМ).

Вычислено 2-петлевое ядро ЕРБЛ для поперечно-поляризованного векторного мезона. Установлена общая структура двухпетлевых ядер с точки зрения нарушающих/сохраняющих конформную симметрию членов. Развит подход для вычисления ренормалонных поправок для ядер эволюции во всех петлях, и получены (несинглетные) ядра ЕРБЛ, V(x,y), и ДГЛАП, Р{х), с такими поправками. Учтенные в ядрах эволюции вклады становятся важными при малых значениях х ~ При еще меньших х более важными оказываются другие источники нарушения конформной симметрии - квадратично-логарифмические члены, обязанные эффектам перенормировки составного оператора.

Для расчетов ФФ в правилах сумм на световом конусе (ПССК), использующих дисперсионные соотношения, требуются однократные спектральные плотности (СП) p(l'2\Q2,s), соответствующие известным жестким амплитудам Tit2 процесса 7*7* —> 7г°. В общем виде получены СП р^ в порядке 0(o;s), построенные на гегенбауэровских гармониках, что обеспечивает их компактную форму и удобство применения в правилах сумм на световом конусе. Получена СП р^ в порядке O(ßoa2) КХД для нулевой гегенбау-эровской гармоники, позволяющий оценить знак и порядок двухпетлевого вклада в ФФ FrT^no(Q2,q2).

Разработано обобщение процедуры БЛМ для любого фиксированного порядка, основанное: (1) на разложении пертурбативных коэффициентов di в ряд по допустимым степеням коэффициентов /^-функции ßj; (2) на эмпирической иерархии коэффициентов /^-функции, Д) = у С/1 — |iYj 1 и Pj = 0(/#+1)) в пКХД. Обобщенная Б JIM процедура дает новый масштаб ренормировки /и! в виде однозначного разложения в ряд по степеням as(p!2) последовательно от порядка к порядку. Эта процедура применяется к оптимизации рядов функции Адлера, Д-отношению е+е~ h в адроны, правилу сумм Бъёркена для поляризованного рассеяния.

Наконец, в феноменологической части получены переходные ФФ в порядке O(o!s) КХД и проведено детальное сравнение пион-фотонного ФФ с экспериментами CELLO [51], CLEO [50]. Затем учтены эффекты порядка 0((3oas) и обсуждается сравнение с совсем недавними результатами ВаВаг [54]. В том же порядке даны предсказания для переходного форм-фактора процесса 7*р —> тт. Для получения этих ФФ были собраны вместе большинство полученных ранее результатов вычислений и методов исследования. Ввиду специфической кинематики экспериментов применялись ПССК, включающие спектральные плотности АР пиона ведущего твиста с учетом двухпетлевой ЕРБЛ-эволюции. Показана существенная роль КХД-поправок в области малых и умеренных передач Q2: до ~ —20% в порядке 0(а3) и —8% в порядке O(f3oa2), а также оцененого нами твиста-4, приводящего к заметному отрицательному вкладу в этой области передач.

Это вычисление рассматривается и как инструмент обратной задачи по извлечению пионной АР из высокоточных экспериментальных данных в классе обоснованной нами двухпараметрической (а2, <24) модели. Анализ позволил определить из обработки данных CLEO важную характеристику вакуума КХД — величину корреляционной длины в кварковом КХД-вакууме, подтверждая ее значение X2 ~ 0.4 ГэВ2, полученное ранее из феноменологии адронов и независимо извлеченное из расчетов на решетке.

Исследуя извлечение АР пиона заключаем, что согласно результатам CLEO модель АР Черняка-Житницких исключена на уровне не менее 4-<7,, а асимптотическая АР — па уровне не льенее 3-сг. Напротив, пучок АР ВМС из ПС КХД с нелокальными конденсатами большей частью включен в 1-сг доверительный интервал извлечения. Поведение ФФ на фоне экспериментальных данных наглядно демонстрирует важность подавления АР ВМС в области концевых точек х = 0,1, обязанного нелокальности конденсатов (см. гл. 1). Именно большой обратный момент (,х~1)7Г АР Черняка

Житницких ведет к существенному завышению предсказаний для переходного ФФ над данными CLEO. Наконец, результаты решеточных расчетов [53] для 2-го момента пионной АР хорошо совмещаются и с ВМС областью, и лежат внутри 1-сг эллипса CLEO. Взаимное согласие всех трех независимых вычислений сохранится и в случае применения реиормалои-иой модели ко вкладам твиста 4, исследованной в [31], и, предположительно, завышающей отрицательный вклад твиста 4.

Сформулируем в заключение основные положения и результаты диссертации.

1. Выведены моментные правила сумм КХД с нелокальными конденсатами для амплитуд распределения (АР) легких мезонов. Получены АР старшего твиста (рм(х), (х~1) и другие функционалы АР для тг-и /?-мезонов. Исследованы "прямые" (не моментные) правила сумм с нелокальными конденсатами для АР пиона, установлена взаимосогласованность результатов различных типов ПС.

2. Найдены несинглетные ядра уравнений КХД-эволюции в двухпетле-вом приближении, а также ядра и решения, улучшенные вкладами ренормалонных цепочек во всех порядках теории возмущений. Получены общее выражение для спектральной плотности р\ в порядке 0(as) и частное р2 в порядке 0{(3qO¿2s) для правил сумм на световом конусе.

- 3. Разработано обобщение оптимизационной процедуры Бродского-Лепажа-Маккензи для любого порядка теории возмущений КХД.

4. Результаты из п. 1 и п. 2 применены для описания в рамках правил сумм на световом конусе переходных формфакторов процессов 77* —» 7г°, /гу* —» 7г°, анализа экспериментов CELLO и CLEO, а также сравнения с решеточными данными. Получено хорошее согласие предсказаний КХД в порядке 0(а5) с различными данными. Учтён вклад в порядке 0(/3оа2), важный для оптимизации по Бродскому-Лепажу-Маккензи и уменьшающий значение формфактора па величину < 10%.

Благодарности

Эта работа была выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 06-02-16215, 07-02-91557, 08-01-00686 и 09-02-01149, грантов 20062010 гг. программы Гейзенберг-Лапдау и гранта DFG (проект DFG 436 RUS 113/881/0).

Считаю своим долгом и приятной обязанностью выразить свою благодарность всем, кто обучал и наставлял меня, понимал и поддерживал а именно:

• Своим соавторам Александру Бакулеву и Нико Стефанису — за понимание, участие, поддержку и ценные советы, а также за удивительные годы совместного творчества в стенах Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова ОИЯИ и ИТФ-Н Рурского университета Бохума.

• Своему учителю и соавтору Анатолию Радюшкину — за обучение.

• Своему старшему товарищу и соавтору Дмитрию Ширкову — за внимание, поддержку, наставление, пример.

• Руководству Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова и Объединенного ииститута ядерных исследований, в том числе руководителю темы Д. И. Казакову, руководителям нашего сектора А. В. Ефремову и О. В. Теряеву, а также директору Института теоретической физики (ИТФ-И) Рурского университета Бохума, профессору Клаусу Гёке — за создание прекрасной творческой атмосферы в Дубне и Бохуме.

• Своим коллегам по работе И. Аникину, А. Дорохову, А. Котикову, А. Катаеву, А. Пимикову, А. Сидорову и О. Соловцовой за интерес к моей работе, заинтересованные обсуждения и помощь.

• Всему коллективу Лаборатории теоретической физики им. И. Н. Боголюбова ОИЯИ — за внимание и доброжелательное отношение, много способствовавшие плодотворной работе.

1. Индурайн, Ф. Квантовая хромодинамика / Ф. Индурайн. — Москва: Мир, 1986. - С. 288 с.

2. Пескин, М. Введение в квантовую теорию поля / М. Пескин, Д. Шредер. Москва-Ижевск: РХД, 2001. — 783 с.

3. Михайлов, С. В. Нелокальность кварковых конденсатов и волновая функция пиона в КХД. Общий формализм / С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин. Препринт ОИЯИ Р2-88-103, 1988.

4. Михайлов, С. В. Нелокальность кварковых конденсатов и волновая функция пиона в КХД / С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин // Яд. физ. 1989. - Т. 49. - С. 794-803.

5. Михайлов, С. В. Процесс 7*7* —7г° и нелокальность конденсатов / С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин // Яд. физ. 1990.— Т. 52.— С. 1095-1105.

6. Mikhailov, S. V. The pion wave function and QCD sum rules with nonlocal condensates / S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // Phys. Rev. — 1992. — Vol. D45. Pp. 1754-1759.

7. Михайлов, С. В. Нелокальный глюонный конденсат в правилах сумм КХД для волновых функций мезонов / С. В. Михайлов // Яд. физ. — 1993.-Т. 56.- С. 143-150.

8. Bakulev, А. P. The photon structure function Fo in QCD with nonlocal vacuum quark condensates / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // JETP Lett. 1994. - Vol. 60. - Pp. 150-155.

9. Bakulev, A. P. QCD sum rules for pion wave function revisited / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Z. Phys. 1995. - Vol. C68. - Pp. 451-458.

10. Bakulev, A. P. Integral transform technique for meson wave functions / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Mod. Phys. Lett. 1996. - Vol. All. — Pp. 1611-1626.

11. Dorokhov, A. E. Virtualities of quarks and gluons in QCD vacuum and nonlocal condensates within single instanton approximation / A. E. Dorokhov, S. V. Esaibegian, S. V. Mikhailov // Phys. Rev.- 1997.— Vol. D56. Pp. 4062-4068.

12. Bakulev, A. P. The p-meson and related meson wave functions in QCD sum rules with nonlocal condensates / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Phys. Lett. 1998. - Vol. B436. - P. 351.

13. Mikhailov, S. V. Renormalon chains contributions to the non-singlet evolutional kernels in ф\ and QCD / S. V. Mikhailov // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B416. Pp. 421-432.

14. Mikhailov, S. V. Renormalon chains contributions to non-singlet evolution kernels in QCD / S. V. Mikhailov // Phys. Lett. 1998. - Vol., B431. -Pp. 387-394.

15. Mikhailov, S. V. A multiloop improvement of nonsinglet QCD evolution equations / S. V. Mikhailov // Phys. Rev. — 2000.- Vol. D62.— P. 034002.

16. Bakulev, A. P. QCD vacuum tensor susceptibility and properties of transversely polarized mesons / A. P. Bakulev. S. V. Mikhailov // Eur. Phys. J. 2000. - Vol. C17. - Pp. 129-135.

17. Bakulev, A. P. New shapes of light-cone distributions of the transversely polarized rho mesons / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Eur. Phys. J. — 2001. Vol. C19. - Pp. 361-372.

18. Mikhailov, S. V. ERBL and DGLAP kernels for transversity distributions. Two-loop calculations in covariant gauge / S. V. Mikhailov, A. A. Vladimirov // Phys. Lett. 2009. - Vol. В671,- Pp. 111-118.

19. Bakulev, A. P. QCD-based pion distribution amplitudes confronting experimental data / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Phys. Lett. 2001. - Vol. B508. - Pp. 279-289;

20. Erratum / ibid. 2004. - Vol. B590. - Pp. 309-310.

21. Bakulev, A. P. Lattice measurements of nonlocal quark condensates, vacuum correlation length, and pion distribution amplitude in QCD / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Phys. Rev. 2002. - Vol. D65. - P. 114511.

22. Bakulev, A. P. Unbiased analysis of CLEO data beyond LO and pion distribution amplitude / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 074012.

23. Bakulev, A. P. CLEO and E791 data: A smoking gun for the pion distribution amplitude? / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Phys. Lett. 2004. - Vol. B578. - Pp. 91-98.

24. Bakulev, A. P. Deep inside the pion: Reconciling QCD theory with data / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Annalen Phys. — 2004. — Vol. 13.-Pp. 629-636.

25. Mikhailov, S. V. Generalization of BLM procedure and its scales in any order of pQCD: A practical approach / S. V. Mikhailov // JHEP. — 2007. -Vol. 06. P. 009.

26. Bakulev, A. P. Tagging the pion quark structure in QCD / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Phys. Rev.- 2006.- Vol. D73.-P. 056002.

27. Mikhailov, S. V. Transition form factors of the pion in light-cone QCD sum rules with next-to-next-to-leading order contributions / S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Nucl. Phys. 2009. - Vol. B821. - Pp. 291-326.

28. Mikhailov, S. V. Pion transition form factor at the two-loop level vis-a-vis experimental data / S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Mod. Phys. Lett. — 2009. Vol. A24. - Pp. 2858-2867.

29. Bakulev, A. P. New approach to the non-diagonal QCD sum rules for pion wave functions / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov // Chin. J. Phys. — 1996. Vol. 34. - Pp. 1065-1073.

30. Bakulev, A. P. Accessing the pion distribution amplitude through the CLEO and E791 data / A. P. Bakulev, S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Fizika. 2004. - Vol. B13. — Pp. 423-432.

31. Mikhailov, S. V, Two-loop contribution to the pion transition form factor vs. experimental data / S. V. Mikhailov, N. G. Stefanis // Nucl. Phys. (Proc. Suppl). 2010. - Vol. B198. - Pp. 199-203.

32. Chevnyak, V. L. Asymptotic behavior of exclusive processes in QCD / V. L. Chernyak, A. R. Zhitnitsky // Phys. Rept.— 1984.- Vol. 112.— P. 173.

33. Grozin, A. G. Methods of calculation of higher power corrections in QCD / A. G. Grozin // Int. J. Mod. Phys. 1995. - Vol. A10. - Pp. 3497-3529.

34. D'Elia, M. Gauge-invariant quark antiquark nonlocal condensates in lattice QCD / M. D'Elia, A. Di Giacomo, E. Meggiolaro // Phys. Rev.~1999. Vol. D59. - P. 054503.

35. Brodsky, S. J. On the elimination of scale ambiguities in pcrturbative Quantum Chromodynamics / S. J. Brodsky, G. P. Lepage, P. B. Mackenzie // Phys. Rev. 1983. - Vol. D28. - P." 228.

36. Kadantseva, E. P. Total as corrections to processes 7*7* —» 7r° and 7*7r —» 7T in a perturbative QCD / E. P. Kadantseva, S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // Sov. J. Nucl. Phys. 1986. - Vol. 44. - Pp. 326-335.

37. Melic, B. Next-to-next-to-leading prediction for the photon-to-pion transition form factor / B. Melic, D. Müller, K. Passek-Kumericki // Phys. Rev. 2003. - Vol. D68. - P. 014013.

38. Khodjamirian, A. Form factors of 7*p —> 7r and 7*7 —> 7r° transitions and light-cone sum rules / A. Khodjamirian // Eur. Phys. J. — 1999. —1. Vol. C6. Pp. 477-484.

39. Schmedding, A. Perturbative effects in the form factor 77* —> 7r° and extraction of the pion wave function from CLEO data / A. Schmedding, O. Yakovlev // Phys. Rev. 2000. - Vol. D62. - P. 116002.

40. Gronberg, J. Measurements of the meson photon transition form factors of light pseudoscalar mesons at large momentum transfer / J. Gronberget al. // Phys. Rev. 1998. - Vol. D57. - Pp. 33-54.

41. Behrend, H. J. A measurement of the 7r°, eta and eta-prime electromagnetic form-factors / H. J. Behrend et al. // Z. Phys. — 1991. — Vol. C49. — Pp. 401-410.

42. Ovchinnikov, A. A. QCD sum rule calculation of the quark gluon condensate / A. A. Ovchinnikov, A. A. Pivovarov // Sov. J. Nucl. Phys. —- 1988. Vol. 48. - Pp. 721-723.

43. Braun, V. M. Moments of pseudoscalar meson distribution amplitudes from the lattice / V. M. Braun et al. // Phys. Rev. 2006. - Vol. D74. -P. 074501. - hep-lat/0606012.

44. Aubert, B. Measurement of the 77* —» ttq transition form factor / B. Aubert et al. // Phys. Rev. 2009. - Vol. D80. - P. 052002.

45. Radyushkin, A. V. Deep elastic processes of composite particles in field theory and asymptotic freedom / A. V. Radyushkin. — Dubna preprint P2-10717, 1977 Iiep-ph/0410276.

46. Chemyak, V. L. Asymptotic behavior of hadron form-factors in quark model / V. L. Chernyak, A. R. Zhitnitsky // JETP Lett.- 1977.-Vol. 25. Pp. 510-513.

47. Efremov, A. V. Factorization and asymptotic behaviour of pion form factor in QCD / A. V. Efremov, A. V. Radyushkin // Phys. Lett. 1980. -Vol. B94. - Pp. 245-250. '

48. Lepage, G. P. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynam-ics / G. P. Lepage, S. J. Brodsky // Phys. Rev. 1980.- Vol. D22.-P. 2157.

49. Baier, V. K. Effect of vacuum fluctuations on cross-sections of hard processes in QCD / V. K. Baier, Y. F. Pinelis. IYaF preprint 81-141, Novosibirsk, 1981.

50. Gromes, D. Space-time dependence of the gluon condensate correlation function and quarkonium spectra / D. Gromes // Phys. Lett. — 1982. — Vol. B115. — Pp. 482-486.

51. Shuryak, E. V. The role of instantons in quantum chromodynamics. 3. Quark-gluon plasma / E. V. Shuryak // Nucl Phys. — 1982.— Vol. B203. Pp. 140-156.

52. Mikhailov, S. V. Nonlocal condensates and QCD sum rules for pion wave function / S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // JETP Lett. 1986.-Vol. 43. - Pp. 712-715.

53. Chernyak, V. L. Exclusive decays of heavy mesons / V. L. Chernyak, A. R. Zhitnitsky // Nucl. Phys. 1982. - Vol. B201. - P. 492.

54. Mikhailov, S. V. Quark condensate nonlocality and pion wave function in QCD / S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // Sov. J. Nucl. Phys. — 1989. Vol. 49. - Pp. 494-503.

55. Stefanis, N. G. Gauge invariant quark two-point Green's function through connector insertion to 0(a5) / N. G. Stefanis // Nuovo Cirri. — 1984.— Vol. A83. P. 205.

56. Ioffe, B. L. Pion form-factor at intermediate momentum transfer in QCD / B. L. Ioffe, A. V. Smilga // Phys. Lett. 1982. - Vol. B114.~ Pp. 353358./

57. Беляев, В. M. Определение масс барионов и барионпых резонансов из правил сумм КХД. Нестранпые барионы / В. М. Беляев, Б. JI. Иоффе // ЖЭТФ. 1982. - Т. 56. - С. 876-821.

58. Овчинников, А. А. Расчет кварк-глюонного конденсата в правилах сумм КХД / А. А. Овчинников, А. А. Пивоваров // Яд. физ. — 1988. — Т. 48. С. 1135-1139.

59. Mikhailov, S. V. Nonlocal gluonic condensate in QCD sum rules for the meson wave functions / S. V. Mikhailov // Phys. Atom. Nucl. — 1993. — Vol. 56. Pp. 650-657.

60. Dosch, H. G. The Area Law of the Wilson Loop and Vacuum Field Correlators / H. G. Dosch, Y. A. Simonov // Phys. Lett. — 1988. — Vol. B205. — P. 339.

61. Simonov, Y. A. Topological Charges and Convergence of the Cluster Expansion / Y. A. Simonov // Sov. J. Nucl. Phys. — 1989. — Vol. 50. — P. 310.

62. Simonov, Y. A. Nonperturbative Dynamics of Heavy Quarkonia / Y. A. Simonov 11 Nucl. Phys. 1989. - Vol. B324. - P. 67.

63. Nikolaev, S. N. Vacuum Corrections to QCD Charmonium Sum Rules: Basic Formalism and 0(G3) Results / S. N. Nikolaev, A. V. Radyushkin // Nucl. Phys. 1983. - Vol. B213. - P. 285.

64. Ball, P. The p Meson Light-Cone Distribution Amplitudes of Leading Twist Revisited / P. Ball, V. M. Braun // Phys. Rev.— 1996.— Vol. D54. Pp. 2182-2193.

65. Kroll, P. The 7Г7 transition form factor and the pion wave function / P. Kroll, M. Raulfs // Phys. Lett. 1996. - Vol. B387. - Pp. 848-854.

66. Shifman, M. A. QCD and resonance physics: Applications / M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, V. I. Zakharov // Nucl. Phys.— 1979.—• Vol. B147. — Pp. 448-518.

67. Radyushkin, A. V. QCD sum rule calculation of the Isgur-Wise form-factor / A. V. Radyushkin // Phys. Lett. 1991. - Vol. B271. - Pp. 218222.

68. Михайлов, С. В. Ядро эолюции волновой функции пиона: Двухпетле-вой расчет в калибровке Фейнмана / С. В. Михайлов, А. В. Радюш-кин. Препринт ОИЯИ Р2-83-721, Дубна: 1983.

69. Dittes, F. М. Two-loop contribution to the evolution of the pion wave function / F. M. Dittes, A. V. Radyushkin // Phys. Lett.— 1984.— Vol. B134. — Pp. 359-362.

70. Sarrnadi, M. H. The asymptotic pion form-factor beyond the leading order / M. H. Sarrnadi // Phys. Lett. 1984. - Vol. B143. - P. 471.

71. Mikhailov, S. V. Evolution kernels in QCD: Two loop calculation in Feyn-man gauge / S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // Nucl. Phys. — 1985. — Vol. B254. P. 89.

72. Михайлов, С. В. Ядра эволюции волновой функции пиона: Двухпет-левой расчет в 6-мерной скалярной 03-модели / С. В. Михайлов, А. В. Радюшкин // ТМФ. 1985. - Т. 65. - С. 44-59.

73. Vladimirov, A. A. Method for computing renormalization group functions in dimensional renormalization scheme / A. A. Vladimirov // Theor. Math. Phys. 1980. - Vol. 43. - P. 417.

74. Makeenko, Y. M. Conformal operators in quantum chromodynamics / Y. M. Makeenko // Sov. J. Nucl. Phys. 1981. - Vol. 33. - P. 440.

75. Belitsky, A. V. NLO evolution kernels for skewed transversity distribu• tions /' A. V. Belitsky, A. Freund, D. Mueller // Phys. Lett. 2000.-Vol. B493. - Pp. 341-349.

76. Korchemsky, G. P. Renormalization of the Wilson Loops Beyond the Leading Order / G. P. Korchemsky, A. V. Radyushkin // Nucl. Phys. — 1987. Vol. B283. - Pp. 342-364.

77. Mikhailov, S. V. Structure of two loop evolution kernels and evolution of the pion wave function in <fi3 in six-dimensions and QCD / S. V. Mikhailov, A. V. Radyushkin // Nucl. Phys. 1986. - Vol. B273. - R 297.

78. Miiller, D. The evolution of the pion distribution amplitude in next-to-leading-order / D. Miiller // Phys. Rev. — 1995. — Vol. D51. Pp. 38553864.

79. Batemann, H. Higher transcendental functions (Batemann Manuscript Project) / H. Batemann, A. Erdelyi. — New York: McGraw-Hill, 1953.

80. Chyla, J. On the BLM scale fixing procedure, its generalizations and the 'genuine' higher order corrections / J. Chyla // Phys. Lett.— 1995.—• Vol. B356. Pp. 341-348.

81. Neubert, M. Scale setting in QCD and the momentum flow in Feynman diagrams / M. Neubert // Phys. Rev. — 1995.— Vol. D51.— Pp. 59245941.

82. Beneke, M. Naive non-Abelianization and resummation of fermion bubble chains / M. Beneke, V. M. Braun // Phys. Lett. 1995. - Vol. B348. —1. Pp. 513-520.

83. Brodsky, S. J. Commensurate scale relations in Quantum Chromodynam-ics / S. J. Brodsky, H. J. Lu // Phys. Rev. 1995. - Vol. D51. - Pp. 36523668.

84. Grunberg, G. On Some possible extensions of the Brodsky-Lepage-MacKenzie approach beyond the next-to-leading order / G. Grunberg, A. L. Kataev // Phys. Lett,. 1992. - Vol. B279. - Pp. 352-358.

85. Groote, S. Spectral moments of two-point correlators in perturbation theory and beyond / S. Groote, J. G. Korner, A. A. Pivovarov // Phys. Rev. — 2002. Vol. D65. - P. 036001.

86. Kataev, A. L. New extended Crewther-type relation / A. L. Kataev, S. V. Mikhailov // PoS. 2009. - Vol. RADCOR2009. - P. 036.

87. Grunberg, G. Renormalization group improved perturbative QCD / G. Grunberg // Phys. Lett. 1980. - Vol. B95. - P. 70.

88. Gorishnii, S. G. The O(aJ) corrections to crtot(e+e —> hadrons) and T(r —► vT + hadrons) in QCD / S. G. Gorishnii, A. L. Kataev, S. A. Larin // Phys. Lett. 1991. - Vol. B259. - Pp. 144-150.

89. Radyushkin, A. V. Transition form-factor 77* —> 7r° and QCD sum rules /

90. A. V. Radyushkin, R. Ruskov // Nucl. Phys.- 1996.- Vol. B481.—1. Pp. 625-680.

91. Musatov, I. V. Transverse momentum and Sudakov effects in exclusive QCD processes: 7*777° form factor / I. V. Musatov, A. V. Radyushkin // Phys. Rev. 1997. - Vol. D56. - Pp. 2713-2735.

92. Donnellan, M. A. Lattice Results for Vector Meson Couplings and Par-ton Distribution Amplitudes / M. A. Donnellan et al. // PoS. — 2007. — Vol. LAT2007. P. 369.

93. Del Debbio, L. Pion distribution amplitude from the lattice / L. Del Deb• bio // Few Body Syst. 2005. - Vol. 36.— Pp. 77-82.

94. Guo, Z.-k. Pion distribution amplitude extracted from the experimental data with the local duality sum rule / Z.-k. Guo, J. Liu // Phys. Rev. — 2008. Vol. D78. - P. 076006.

95. Agaev, S. S. Higher twist distribution amplitudes of the pion and electromagnetic form factor F~(Q2) / S. S. Agaev // Phys. Rev. — 2005.—• Vol. D72. P. 074020. - hep-ph/0509345.

96. Bijnens, J. Exploring light-cone sum rules for pion and kaon form factors / J. Bijnens, A. Khodjamirian // Eur. Phys. J. — 2002. — Vol. C26. — Pp. 67-79.

97. Anikin, I. V. Pion structure in the instanton liquid model / I. V. Anikin, A. E. Dorokhov, L. Tomio // Phys. Part. Nucl.- 2000.- Vol. 31.—• Pp. 509-537.

98. Petrov, V. Y. Pion and photon light-cone wave functions from the instanton vacuum / V. Y. Petrov, M. V. Polyakov, R. Ruskov, C. Weiss. K. Goeke // Phys. Rev. 1999. - Vol. D59. - P. 114018.

99. Praszalowicz, M. Pion light cone wave function in the non-local NJL model / M. Praszalowicz, A. Rostworowski // Phys. Rev.— 2001.—1. Vol. D64. P. 074003.

100. Nam, S.-i. Leading-twist pion and kaon distribution amplitudes in the gauge-invariant nonlocal chiral quark model from the instanton vacuum / S.-i. Nam, H.-C. Kim // Phys. Rev.- 2006.-Vol. D74. — P. 076005.

101. Ball, P. | Kb | and constraints on the leading-twist pion distribution amplitude from B -Kiv / P. Ball, R. Zwicky // Phys. Lett.— 2005.—1. Vol. B625. — Pp. 225-233.

102. Braun, V. M. QCD sum rules in exclusive kinematics and pion wave function / V. M. Braun, I. E. Filyanov // Z. Phys. 1989. - Vol. C44. -Pp. 157-161.

103. Brodsky, S. J. Light-Front Dynamics and AdS/QCD Correspondence: The Pion Form Factor in the Space- and Time-Like Regions / S. J. Brodsky,

104. G. F. de Teramond // Phys. Rev. 2008. - Vol. D77. - P. 056007.

105. Floratos, E. G. Higher order effects in asymptotically free gauge theories: The anomalous dimensions of Wilson operators / E. G. Floratos, D. A. Ross, C. T. Sachrajda // Nucl Phys. 1977. - Vol. B129. - Pp. 66-88.

106. Gonzalez-Arroyo, A. Second order contributions to the structure functions in deep inelastic scattering. I. Theoretical calculations / A. Gonzalez-Arroyo, C. Lopez, F. J. Yndurain // Nucl. Phys.— 1979. Vol. B153. —• Pp. i61-186.

107. Müller, D. Conformal constraints and the evolution of the nonsinglet meson distribution amplitude / D. Müller // Phys. Rev. — 1994.— Vol. D49.- Pp. 2525-2535.

108. Ефремов, A. D. Асимптотическое поведение электромагнитного форм-фактора пиона в КХД / А. В. Ефремов, А. В. Радюшкип // ТМФ. — 1980. Т. 42. - С. 147-166.

109. Bakulev, А. P. Rcnormalization-group improved evolution of the meson distribution amplitude at the two-loop level / A. P. Bakulev, N. G. Stefanie // Nucl. Phys. 2005. - Vol. B721. - Pp. 50-78.

110. Каданцева, E. P. Полные «.¡-поправки к процессам 7*7* —> 7г° и 7*7г —> 7Г в пертурбативной КХД / Е. Р. Каданцева, С. В. Михайлов, А. В.

111. Радюшкип // Яд. физ. 1986. - Т. 44. - С. 507-516.

112. Praszalowicz, М. Pion light cone wave function in the non-local NJL model / M. Praszalowicz, A. Rostworowski // Phys. Rev.— 2001.— Vol. D64. P. 074003.

113. Dorokhov, A. E. Pion distribution amplitudes within the instanton model of QCD vacuum / A. E. Dorokhov // JETP Lett. 2003.- Vol. 77.-Pp. 63-67.

114. Chetyrkin, K. G. Corrections of order a'* to i?had in pQCD with light gluinos / K. G. Chetyrkin // Phys. Lett. 1997. - Vol. B391. - Pp. 402412.

115. Magradze, B. A. Analytic approach to perturbative QCD / B. A. Ma-gradze // Int. J. Mod. Phys. 2000. - Vol. A15. - Pp. 2715-2734.

116. Gardi, E. Can the QCD running coupling have a causal analyticity structure? / E. Gardi, G. Grimberg, M. Karliner // JEEP. 1998. - Vol. 07. -P. 007.

117. Baikov, P. A. Order aj. QCD Corrections to Z and r Decays / P. A. Baikov, K. G. Chetyrkin, J. H. Kühn // Phys. Rev. Lett.- 2008,— Vol. 101. P. 012002.---N ^ K152,

118. Baikov, P. A. Adler Function, Bjorken Sum Rule, and the Crewther Relation to Order aj in a General Gauge Theory / P. A. Baikov, K. G. Chetyrkin, J. H. Kuhn // Phys. Rev. Lett. 2010.- Vol. 104.-• P. 132004.