Универсально вписанные и описанные многогранники тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Макеев Владимир Владимирович

УНИВЕРСАЛЬНО ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ

01 01 04 - Геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2004

Работа выполнена на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант :

доктор физико-математических паук, профессор Нецветаев Никита Юрьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ионин Владимир Кузьмич

доктор физико-математических наук, профессор Долбилин Николай Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Дискант Валентин Иванович

Ведущая организация: Ярославский государственный университет.

Защита состоится "23" VI 2004 г. ъi6 часоЕ на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр.. д.28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб.. д.7.9.

Защита будет проходить в Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова РАН по адресу: Санкт-Петербург, наб.реки Фонтанки, д.27

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Нежинский В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известная теорема Шнирельмана (1929)1 утверждает, что во всякую (кусочно) регулярную жорданову кривую класса С на плоскости вписан некоторый квадрат. Заметим, что в случае выпуклых кривых это утверждение значительно проще и доказывалось некоторыми авторами еще раньше. В то же время до сих пор не известно, можно ли вписать квадрат в произвольную жорда-нову кривую на плоскости.

Кажется, ничто не противоречит тому предположению, что во всякую регулярную жорданову плоскую кривую можно вписать некоторый подобный образ любого наперед заданного вписанного в окружность четырехугольника.

Практически очевиден тот факт, что квадрат описан вокруг любой плоской кривой.

Наиболее известные примеры других универсально-вписанных и универсально-описанных многоугольников таковы.

Это универсальные покрышки Пала2 для множеств единичного диаметра, имеющие вид правильного шестиугольника. Они использовались Борсуком для доказательства его известной теоремы о возможности разбить подмножество плоскости на 3 части меньшего диаметра.

Классическая теорема Безиковича3 о возможности вписать в выпуклую фигуру на плоскости аффинно правильный шестиугольник независимо передоказывалась несколькими авторами (Ю. Г. Решет-няк4, Д. Лаугвиц5) и успешно использовалась для решения различных экстремальных задач двумерной выпуклой геометрии.

Отметим также результаты Б. Грюнбаума6 и В. Беме7 о том, что

1Шнирельман Л. Г. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. - Успехи мат. наук, вып. 10 (1944), 34-44.

2Pal J. Uber ein elementares Variationsproblem. - Danske Videnskab selskab. Math. Fys. Meddel 3 (1920), No. 2, 35 p.

3Besicovitch A. Measure of asymmetry of convex curves. - J. London Math. Soc. 23 (1942), 237-240.

4Решетняк Ю. Г. Одна экстремальная задача из теории выпуклых кривых. -Успехи мат. наук 8 (1953), No. 6, 125-126.

5Laugwitz D. Konvexe Mittelpunktsbereiche und normierte Raume. - Math. Z. 61 (1954), 235-244

6Griinbaum B. Afíine-regular polygons inscribed in plane convex sets. - Riveon Lematematika 13 (1959), 20-24.

'Bóhme W. Ein Satz uber ebene konvexe Figuren.)—-Methr (1958V 153-156.

в произвольную (соответственно центрально-симметричную) выпуклую фигуру вписан аффинный образ правильного пятиугольника (восьмиугольника).

В этом круге вопросов, как и во многих других задачах выпуклой и комбинаторной геометрии, при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно.

Возможные трехмерные аналоги теоремы Шнирельмана обсуждаются в работах Кли8 и Гриффитса9. В частности, до последнего времени оставался открытым неоднократно поднимавшийся вопрос о возможности вписать правильный октаэдр в произвольное трехмерное выпуклое тело.

Приведем наиболее известные примеры универсально-вписанных и универсально-описанных многогранников.

Как доказал Громов (1970), в гладкую замкнутую гиперповерхность, ограничивающую область с ненулевой эйлеровой характеристикой, вписан симплекс, положительно гомотетичный данному.

Гриффите (1991) доказал, что во всякое центрально-симметричное выпуклое тело вписан куб. (Независимо это доказали Хаусел, Е. Макай, А. Сюч.)

Какутани (1940) доказал, что вокруг любого компактного множества в трехмерном евклидовом пространстве описан куб. (В дальнейшем этот результат был доказан и в n-мерном случае.)

Универсальные покрышки Гейла10 для множеств единичного диаметра, имеющие пересечения двух центрально-симметричных правильных симплексов, использовались в трехмерном случае Грюнбау-мом11 (1957) и Хеппешем (1958) для доказательства гипотезы Борсу-ка о возможности разбить подмножество трехмерного пространства на 4 части меньшего диаметра. (В достаточно больших размерностях гипотеза Ворсука была недавно опровергнута.)

Работы автора (1981, 1982, 1994, 2000), а также близкие результа-

8KIee V., Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. - Dolciani Math. Exp., vol. 11, Math. Assoc. Amer. Washington, DC, 1991.

'Griffiths H. The topology of square pegs in round holes. - Proc. London Math. Soc. (3) 62 (1991), 647-672.

10Gale D. On inscribing n-dirnensional sets in a regular n-simplex. - Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 222-225.

11Gn3nbaum B. Affine-regular polygons inscribed in plane convex sets. - Riveon Lematematilca 13 (1959), 20-24.

ты Г. Куперберга12, Хаусел, Е. Макай, А. Сюча13 содержат построение новых серий универсальных покрышек.

Все вышеупомянутые результаты относятся к задаче о возможности вписать в выпуклое тело того или иного класса (например в гладкое или с какой-либо симметрией) (или описать вокруг него) многогранник того или иного вида посредством аффинного преобразования из некоторой подгруппы G группы Aff(Rn) аффинных преобразований пространства

К сформулированной задаче тесно примыкает старая задача поиска конфигураций точек Ai,...,Ak на стандартной сфере Sn~l С Rn таких, что для всякого непрерывного отображения /: S"-1 Rm найдется такое вращение а сферы, что /(a(Ai)) = • • • = f(a(Ak)), т. е. fc-вершинник А\... Ак посредством вращения вписывается в некоторое множество уровня отображения /. ("Задача Кнастера". Обзор известных результатов по ней см. Макеев (1989).)

Б. Кнастер (14) высказал предположение, что таковыми являются все конфигурации к точек, если к + т — п + 1.

Эта известная гипотеза опровергнута автором (1986) во всех случаях, кроме m = 1,2,п — 2, а недавно она была опровергнута при Хорошо известно, что при гипотеза

Кнастера верна.

С задачей Кнастера тесно связано наблюдение М. Л. Громова о том, что известную теорему Дворецкого18, гласящую, что у многомерного выпуклого тела существует сечение небольшой размерности, близкое к шару, в случае двумерных сечений можно доказывать топологическими средствами.

Хорошо известна связь между вышеуказанными вопросами и задачей о делении конечной массы, непрерывно распределенной на ев-

12Kuperberg G. Circumscribing constant-width bodies with polytopes. - New York J. Math. 5 (1999), 91-100; Preprint arXiv: math.MG/9809165.

l3Hausel Т., Makai E., Sziics A. Polyhedra inscribed and circumscribed in convex bodies. - Gen. Math. 5 (1997), 183-190.

14Knaster B. Problem P 4. - Colloq. Math. 1 (1947), 30-31.

15Chen W. Counterexamples to Knaster's conjecture. - Topology 37 (1998), 401405.

16Kashin B. S., Szarek S. J. The Knaster problem and the geometry of high dimensional cubes. - С R. Acad. Sci Paris Ser. 1 336 (2003), 931-936.

17Hinrichs A., Richter C. New counterexamples to Knaster's conjecture (2003).

18Dvoretzky A. Some results on convex bodies and Banach spaces. - Proc. Int. Symp. on Linear spaces. Jerusalem, I960, pp. 123-160.

19Milman V. D. A few observations on the connections between local theory and some other fields. - Lecture Notes Math. 1317 (1988), 283-289.

клидовой плоскости или в пространстве, некоторым набором прямых или плоскостей. Наиболее известный из литературы результат такого типа — теорема о разрезании сандвича утверждает, что п конечных масс, непрерывно распределенных в Еп, можно одновременно рассечь гиперплоскостью на равные части. Недавно Дольников,20 и Живалевич и Вречица21 обобщили это утверждение. Следует отметить также хорошо известное утверждение о возможности разделить непрерывно распределенную на плоскости массу парой перпендикулярных прямых на 4 равные части, а также22 тройкой проходящих через одну точку прямых на б равных частей.

Объекты исследования и цель работы. Целью работы является нахождение многомерных пространственных (чаще всего трехмерных) аналогов известных теорем из двумерной геометрии таких, как вышеперечисленные теоремы Пала, Шнирельмана, Безиковича, Гей-ла и др. о вписанных и описанных многоугольниках (и многогранниках) для выпуклых фигур, и их использование для решения некоторых экстремальных задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.

Методы исследования. Для комбинаторной и выпуклой геометрии, по замечанию Хопфа23, характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических рассуждений. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать па отрезке все промежуточные значения24, но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому требуются более серьезные топологические соображения.

При доказательстве результатов диссертации используются такие топологические средства, как степень отображения, индексы пересечения, сингулярные, в том числе эквивариантные, гомологии и кого-мологии для доказательства отсутствия некоторых эквивариантных отображений (теоремы типа Борсука-Улама), векторные расслоения,

20Дольников В. Л. Об одном обобщении теоремы о бутерброде. - Мат. заметки 52 (1992), вып. 2, 27-37.

21 Zivalevic R. Т., Vrecica S. Т. An extensión of the ham sandwich theorem. -Bull. London Math. Soc. 22 (1990), 183-186.

22Buck Ft., Buck E.Equipartition of convex sets. - Math. Mag. 22 (1948/49), 195-198.

23Hopf H. Uber Zusammenhange zwischen Topologie und Metrik in Rahmen der elementaren Geometrie. - Math. Phys. 3 (1953), 16-29.

24Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. - ГостехиЗдат, М. 1951, гл. 3.

а также специально развитая техника (бордизмы между конфигурационными многообразиями).

Из геометрических методов используется инвариантное интегрирование и интегральные поперечные меры.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.

1. В большинстве случаев (в смысле размерности) опровергнута известная гипотеза Кнастера о непрерывных отображениях сферы в евклидово пространство.

2. Найдены новые решения задачи Кнастера для случая отображения в прямую.

3. Получено обобщение теоремы Шнирельмана на некоторые другие вписанные в окружность четырехугольники при дополнительных ограничениях на кривую, в которую их вписывают.

3. Теоремы Беме и Грюнбаума о вписанных аффинно-правильных пятиугольниках для выпуклых фигур перенесены на значительно более широкий класс пятиугольников. Для теорем тех же авторов об аффинно правильных восьмиугольниках, вписанных в центрально-симметричную выпуклую фигуру найдены пространственные аналоги,

4. Построены новые примеры многогранников, подобно и/или аф-финно-вписанных в каждое выпуклое тело в К3 (и описанных вокруг него). В частности:

5. Построено трехпараметрическое семейство вписанных в сферу шестивершинников, подобно вписанных во всякое трехмерное гладкое выпуклое тело. Это семейство содержит правильный октаэдр, вопрос о возможности вписывать который в трехмерные выпуклые тела неоднократно ставился.

6. В размерности 3 доказана гипотеза Грюнбаума о возможности вписать в выпуклое тело К С К" разностное множество симплекса (аффинный образ кубооктаэдра) для почти всех выпуклых тел К С К3, а также двойственное утверждение о возможности описать вокруг К аффинный образ ромбододекаэдра.

7. Доказано существование в трехмерном нормированном пространстве обобщенных правильных многогранников (кубов и октаэдров).

8. Все доказанные в работе теоремы о сечениях и проекциях выпуклых тел переносятся на "неинтегрируемый" случай, когда вместо к-мерных сечений и проекций выпуклого тела рассматриваются поля выпуклых фигур в слоях тавтологического расслоения над многообразием Грассмана к-плоскостей.

9. Получены асимптотически точные оценки для размерности объемлющего пространства в теореме Дворецкого для случая двумерных подпространств, в том числе — в "неинтегрируемом" случае.

10. Доказан ряд теорем о делении массы, непрерывно распределенной на евклидовой плоскости или в пространстве, конусами над гранями многогранников с той или иной группой симметрии с обшей вершиной в центре этих многогранников.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по комбинаторной геометрии, дискретной геометрии, геометрии нормированных пространств, решении различных экстремальных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях:

1. Международные конференции по выпуклой и дискретной геометрии (Быдгощ, Польша, 1994 и 1998 гг.).

2. Международная конференция по топологии и динамическим системам, посвященная 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 1999 г.).

3. Международная конференция по дискретной геометрии и ее приложениям, посвященная 70-летию С. С. Рышкова (Москва, МГУ -МИ РАН 2001 г.).

4. 2-я Российско-германская конференция, посвященная 90-летию со дня рождения А. Д. Александрова (С.-Петербург, ММИ им. Л. Эйлера, 2002 г.).

5. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1996 и 2002 гг.).

6. Международные конференции по геометрии в целом (Черкассы, Украина, 2001 и 2003 гг.);

в МГУ им. М. В. Ломоносова на семинарах под руководством проф. С. С. Рышкова (2000), проф. И. X. Сабитова (2001), проф. Н. П. Долбилина и Н. Г. Мащевитина (2002);

на С.-Петербургском городском топологическом семинаре им. В. А. Рохлина (1997-2004), на С.-Петербургском городском геометрическом семинаре (1990-2004 гг.).

Публикации. .Основные результаты диссертации опубликованы в 24 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 6 глав, разделенных на 30 параграфов, 15 рисунков и списка литературы из 65 наименований. Объем диссертации — 157 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ГЛАВА 1: Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в евклидовом пространстве

Теорема 1.1 (1.6.1). Пусть 2п — 3 < т(п — т). Тогда найдутся непрерывное отображение /: 5"-1 —> Ет и п — т + 1 точек .. ,хп-т+1 € 5Т,-1) ■которыепосредствомповоротасферынелъзя поместить в одно множество уровня отображения /.

Тем самым дается опровержение старой гипотезы Кнастера (1947) о том, что для любого непрерывного отображения /: 5П_1 Мта стандартной сферы 5П-1 С Кп и л ю бтьнга|-1) чекц,..., хп_т+1 б 5П_1 найдется такой поворот а сферы 5"-1. что /(а^)) = ■ •■ = /(а(хп_т+1)). Это утверждение опровергается при всех т, кроме т = 1,2,п-2.

Теорема 1.2 (1.2.1). Пусть п > 3, а р — простое число < 2п - 2. Пусть точки А1,... ,Ар — вершины правильногор-угольника, вписанного в большую окружность стандартной сферы 5"-1 С Кп! Тогда для произвольной функции / € С(5П-1) найдется такой поворот а сферы, что /(а(Лх)) = • • • = /(а(-Др)).

ГЛАВА 2: Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела)

Многогранник Л С Р называется вписанным в выпуклое тело К С Шп, если все его вершины принадлежат границе д К тела К. Многогранник А описан вокруг К, если К С А и К имеет общие точки со всеми гранями многогранника А.

Пусть О — замкнутая подгруппа группы А}сохраняющих ориентацию аффинных преобразований пространства Многогранник А назовем (¡-вписанным в выпуклое тело К ((¡-описанным вокруг К), если для некоторого д € С многогранник дА вписан в К (описан вокруг К). В случае, когда (7 = А//^, будем говорить об аффинно-вписанных и аффинно-описанных многогранниках. Если G — группа подобий, то будем говорить о подобно-вписанных и подобно-описанных многогранниках.

Теорема 2.1 (2.1.1). Любые 4 точки окружности можно с помощью подобия поместить на любой плоской С^-гладкой звездной жор-дановой кривой 7, которую нельзя пересечь окружностью более чем в 4 точках.

По теореме Бляшке условию теоремы удовлетворяют звездные овалы с 4 вершинами — стационарными точками кривизны.

Теорема 2.2. Пусть р — простое число, р > 5. Тогда на любой С2 -гладкой звездной жордановой кривой на плоскости лежат некоторые 4 вершины правильного р-уголъника.

В частности, в любую С2-гладкую звездную жорданову кривую на плоскости вписана трапеция с вершинами в 4 вершинах правильного ^-угольника.

Теорема 2.3 (2.3.1). Пусть сумма любых двух соседних у^глов выпуклого пятиугольника Р = А1А2А3А4А5 больше п, а Л о —фиксированная точка границы д К выпуклой фигуры К С К2. Тогда существует аффинный образ пятиугольника Р, вписанный в К так, что образ вершины А\ лежит в точке Ао•

Теорема 2.4 (2.3.3). Во всякую выпуклую фигуру КС Е2 вписан зеркально-симметричный аффинный образ правильного пятиугольника.

Нижеследующая теорема обобщает известную теорему Безикови-

ча.

Теорема 2.5 (2.4.1). Во всякую выпуклую фигуру на плоскости аф-финно вписан и вокруг нее аффинно описан произвольный наперед заданный центрально-симметричный шестиугольник А.

Теорема 2.6 (2.5.1). Пустьр — простое число, 2 < р < 2га, К С

— ограниченное множество. Тогда вокруг ортогональной проекции К на некоторую двумерную плоскость можно описать правильный р-угольник.

ГЛАВА 3: Подобно вписанные и описанные многогранники в М3

Теорема 3.1 (3.2.1). Всякая правильная пятиугольная пирамида П в К3 подобно описана вокруг каждого выпуклого тела. Кроме того, П подобно вписана в каждое гладкое выпуклое тело.

Теорема 3.2 (3.2.2). Пусть а,Ь £ (0,1). Пусть А^, А2, Аз —вершины правильного треугольника, лежащие на окружности стандартной единичной сферы

а А4, As, Aq — вершины, правильного треугольника, лежащие на окружности {z == —6} той же сферы. Тогда во всякое гладкое трехмерное выпуклое тело К можно вписать подобный образ шестивер-шинника А1... А6

Следствие 3.3. В любое гладкое выпуклое тело вписан правильный октаэдр.

Тем самым (в случае тела с гладкой границей) дается ответ на неоднократно ставившийся вопрос.

Ромбододекаэдром называется двенадцатигранник, ограниченный плоскостями, которые проходят через ребра некоторого куба и составляют равные углы с гранями куба.

Теорема 3.4. Вокруг тела постоянной ширины в трехмерном пространстве описан ромбододекаэдр (той же ширины).

В частности, каждое множество единичного диаметра содержится в некотором ромбододекаэдре единичной ширины.

Теорема 3.5 (3.3.1). Пусть S С S2 —следующее Yl-точечное подмножество единичной сферы в ¡R3:

5 = {(±1,0,0), (0, ±1,0), (±а, 0, ±6), (0, ±а, ±6)},

где a,b £ (0,1), а2 + b2 = 1 и знаки ± сочетаются всевозможными способами. Пусть M(S) — 12-гранник, ограниченный опорными плоскостями, проведенными к сфере в точках множества S. Тогда вокруг произвольного тела постоянной ширины 2 в описан конгруэнтный образ 12-гранника M(S).

Теорема 3.6 (3.5.2). Пусть AqBqCqDq — правильная треугольная пирамида с вершиной D . Во всякое С2-гладкое выпуклое тело К С R3 вписан подобный образ ABCD пирамиды AqBqCqDq такой, что касательная плоскость в точке D параллельна основанию ABC, а то главное направление в точке D, в котором достигается максимальное значение нормальной кривизны границы дК, составляет наперед заданный угол ао с ребром АВ.

Теорема 3.7 (3.6.1). Пусть К — центрально-симметричный трехмерный выпуклый компакт в Тогда на границе компакта К лежат середины ребер некоторого прямоугольного параллелепипеда, или же некоторое центральное сечение компакта К является прямоугольником.

ГЛАВА 4: Аффинно-вписанные и описанные многогранники для трехмерного выпуклого тела

Кубооктаэдром называется выпуклая оболочка середин ребер некоторого куба. Нижеследующая теорема дает положительный ответ в размерности 3 для большинства выпуклых тел на поставленный Грюнбаумом вопрос о возможности вписать в выпуклое тело в R" разностное множество n-мерного симплекса. Отметим, что это утверждение является пространственным обобщением вышеупомянутой теоремы Безиковича о вписанном аффинно правильном шестиугольнике.

Теорема 4.1 (4.1.1). Кубооктаэдр аффинно вписан во всякое выпуклое тело К С R3, за исключением, возможно, того случая, когда тело К содержит некоторый параллелограмм Р и содержится в цилиндре с направляющим множеством Р.

Теорема 4.2 (4.3.1). Пусть К С К3 — центрально-симметричное тело с центром О £ I3. Тогда в К можно вписать аффинно-правилъный икосаэдр Ai...An (т.е. аффинный образ правильного икосаэдра) так, чтобы (по нашему выбору) было выполнено любое из следующих условий 1-3:

(1) OAi = ОА2 = О A3 и А1А2 = А2А3 < А1А3 (или, по выбору,

> А\Аз), где А1А2А3 — треугольная грань икосаэдра;

(2) А\А2 = А2А з = А1А3 и ОА\ = ОА2 < О A3 (или, по выбору,

> О A3), где А\АгАз — треугольная грань икосаэдра;

(3) ОА\ = ОА2 = О A3 = ОА4 < 0А5 (соответственно > ОАь), где А\, — вершины икосаэдра, образующие аффинно-правильный пятиугольник (или, что то же, лежащие в одной плоскости).

Следующая часть главы 4 посвящена возможным обобщениям понятия правильного многогранника на нормированном пространстве.

Назовем симплекс в пространстве с нормой правильным правильным), если все его ребра имеют одинаковую длину. Неизвестно, имеется ли в n-мерном нормированном пространстве правильный n-мерный симплекс при п> 3.

В трехмерном нормированном пространстве имеется много правильных тетраэдров25. Нижеследующая теорема содержит новые результаты в этом направлении.

2SPetty С. Equilateral sets in Minkowski spaces. - Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), 369-374.

Теорема 4.3 (4.4.1). Пусть в трехмерном векторном npocmvan- -, стве Е заданы две н о р || • ||i и || • Цг.г дав Енайдется || ■ ||i-правильный тетраэдр ABCU такой, что

В Е также найдется \-\\-правильный тетраэдр ABCD такой, что

Теорема 4.4 (4.4.2). Пусть впространстве R3 заданы две нормы: (l'lli u ll'IU- Тогда в Е3 найдется ||-||i-правильный тетраэдр ABCD

с

||УШ||2 = \\АС\\2 = \\AD\\2,

(соответственно < ЦС-ОЦг^- В R3 такЖенШдется |] • \\правиль-ный тетраэдр ABCD с

(соотпветпстпвенно < ||Л£)[|2^.

Назовем кубом (в двумерном случае — квадратом) параллелепипед (параллелограмм) с попарно равными диагоналями и попарно равными ребрами (сторонами).

Теорема 4.5 (4.5.1). Пусть Е — нормированная плоскость. Тогда

(1) ВЕимеется "квадрат"с диагональю (или стороной), параллельной наперед заданной прямой.

(2) Во всякую регулярную жорданову кривую в Е можно вписать "квадрат".

Таким образом, теорема Шнирельмана верна и на нормированной плоскости.

Теорема 4.6 (4.5.2). Пусть Е — трехмерное нормированное пространство. Тогда

(1) В пространстве Е существует "куб".

(2) Во всякий шар, гладко и центрально-симметрично вложенный в Е, можно вписать "куб" с тем же центром симметрии.

13

Таким образом, теорема Хаусела-Макаи-Сюча о вписанном кубе также переносится в нормированное пространство.

Назовем правильным октаэдром в нормированном пространстве выпуклую оболочку п отрезков с общей серединой и равной длины таких, что все расстояния между концами (разных) отрезков попарно равны.

Теорема 4.7 (4.5.3). Пусть || • |(г и jj • Ц2 — две нормы в трехмерном пространстве Е. Тогданайдется || -^-правильный октаэдр ABC А'В'С' с диагоналями ЛА', ВВ', С С такой, что

(или, по нашему выбору, ЦЛА'Цг = Ц-ВВ'Цг < ЦСС'Цг)-

Автору неизвестно, имеются ли правильные октаэдры в произвольном нормированном пространстве размерности > 4.

ГЛАВА 5: О плоских сечениях выпуклых тел

Дворецкий доказал, что для фиксированного натурального к и £ > 0 при п > N(k,e) = exp(215£~2¿2 ln /с) через центр центрально-симметричного тела в R" проходит £-сферическое /с-мерное сечение. В дальнейшем оценка N(k,e) улучшалась различными авторами, а условие центральной симметричности было снято. Определим две функции:

любое центрально-симметричное выпуклое тело в обладает e-сферическим к-мерным центральным сечением}

и

ei(n,k) = inf{e | через любую внутреннюю точку О выпуклого тела в Rn проходит к-мерное сечение, содержащее некоторый к-мерный шар с центром в О и содержащееся в шаре с тем же центром

и коэффициентом гомотетии 1 + е}.

Обозначим через р(п) наибольшее простое число, меньшее п. Теорема 5.1 (5.1.1). При п > 3

Кажется правдоподобным, что нижние оценки в сформулированной теореме являются точными.

Из теоремы непосредственно следует, что е(п,2) ~ ¡^ и £1(71,2) ~

Теорема 5.2 (5.1.2). Еслш п — 1 — простое нечетное число, то

Заметим, что эта теорема вычисляет е(4,2) и £1(4,2). Всюду в дальнейшем под нормированным пространством понимаем вещественное нормированное пространство, Яп обозначает п-мерное вещественное пространство со стандартной евклидовой нормой.

Пусть Е\ и — два нормированных пространства одинаковой размерности. Расстоянием Банаха-Мазура между ними называется

^(Е1>£2) = т!{1п(||ЛМ|А-1||)}1

где инфимум берется по всем линейным изоморфизмам А: Е\ -¥ Е2.

Теорема 5.3 (5.2.1). Во всяком трехмерном нормированном пространстве найдется двумерное подпространство Е2 с

Данная оценка неулучшаема.

Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Дворецкого. Определим на классах изоморфных векторных расслоений над топологическими пространствами неотрицательный скалярный вариант.

Пусть 7: Е -ь В — вещественное векторное расслоение с базой В. Обозначим через множество финслеровых метрик на 7. Символом Ех будем обозначать слой 7-1(х) над точкой х. Соответственно, Е^ обозначает этот же слой, снабженный нормой из финслеровой метрики Положим

771(7)= БиР ^¿ЛЕ^КШ"), где п = сПт 7.

Обозначим через С к (Кп) многообразие Грассмана неориентированных ¿-плоскостей в Ж", проходящих через нуль. Пусть : Ек (Е") —>• Сь(Еп) — каноническое расслоение, в котором слоем над Л-плоскостью изС^(Ж") является она же, рассматриваемая как линейное пространство. Нижеследующая гипотеза обобщает известную теорему Дворецкого.

Гипотеза 5.4. Для всякого натурального к имеем

Случай к — 1 тривиален. При А: = 2 гипотеза следует из того, что

гипотеза не доказана (и не

опровергнута).

Инвариант тп(7) геометрический и трудно вычислим. В [Макеев, 2002], например, вычислены т{7!) = |1п(4/3), го(7з) = 1п\//3> т(7?) = \n\fl.

Глава 5 содержит решение еще нескольких экстремальных задач о плоских сечениях трех- и четырехмерного, а также многомерного выпуклого тела (§4, 5).

ГЛАВА 6: О делении непрерывно распределенной массы в евклидовом пространстве и на сфере

Глава посвящена задаче о делении непрерывно распределенной в евклидовом пространстве, па сфере или проективной плоскости конечной массы некоторым набором плоскостей или прямых. В частности, для хорошо известных утверждений о возможности разделить непрерывно распределенную на плоскости массу парой перпендикулярных прямых на 4 равные части, а также тройкой проходящих через одну точку прямых на 6 равных частей в работе найдены аналоги на сфере, проективной плоскости и в трехмерном пространстве.

Теорема 6.1 (6.1.1). Для любой непрерывно распределенной на плоскости конечной массы, найдутся 5 лучей с общим началом, разделяющие плоскость на 5 конгруэнтных секторов Е\,... таких, что т(Е{) = ш{Ег) = т(Е3) = т(В4) > т{Еь).

Теорема 6.2 (6.1.2). Для всякой конечной непрерывно распределенной на плоскости массы т найдется такой зеркально-симметричный аффинный образ правильного пятиугольника, что лучи, исходящие из его центра в вершины, делят т на 5 равных частей.

16

Три попарно перпендикулярные плоскости разбивают трехмерное пространство Кп на 8 равных октантов. Повернем одновременно 4 из этих октантов, имеющие общий луч, на некоторый угол вокруг этого луча. Полученную конфигурацию октантов будем называть скрученной.

Теорема 6.3 (6.3.2). Для всякого непрерывного распределения массы

в найдется скрученная система октантов, разбивающая массу на 8 равных частей.

Полным ориентированным флагом в будем называть вложенную последовательность ориентированных подпространств возрастающей размерности:

где ориентация внешнего пространства фиксирована.

Теорема 6.4 (6.3.4). Пусть Ь — полный ориентированный флаг в М3, а К\2 — конусы, над гранями правильного додекаэдра или

ромбододекаэдра с общей вершиной в его центре О. Для любой конечной массы т в К3, распределенной непрерывно и симметрично относительно точки О, найдется сохраняющее ориентацию линейное преобразование а такое, что

а флаг а(Ь) — любой наперед заданный.

Найдутся также ромбододекаэдр Б с цептром в точке О и линейное преобразование, сводящееся к сжатиям в направлении двух осей Б с некоторыми коэффициентами, такие, что тп(а(К"1)) = • • - =

т(а(ВД).

Теорема 6.5 (6.4.2). Пусть в К3 непрерывно и центрально-симметрично относительно О распределены массы т и т'.

(1) Найдутся 3 плоскости, проходящие через О и делящие каждую из масс т и т' на 8 равных частей.

(2) Найдутся 3 взаимно-перпендикулярные плоскости, проходящие через О и делящие массу т на 8 равных частей.

(3) Найдутся 4 плоскости, проходящие через О, три из которых перпендикулярны четвертой, делящие массу т на 12 равных частей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Макеев В. В., Универсальные покрышки. I, Укр. геом. сб. 24

(1981), 70-79.

2. Макеев В. В., Универсальные покрышки. 11, Укр. геом. сб. 25

(1982), 82-86.

3. Макеев В. В., Пространственные обобщения некоторых теорем о выпуклых фигурах, Мат. заметки 36 (1984), по. 3, 405-415.

4. Макеев В. В., Оценки асферичности сечений выпуклых тел, Украинский геом. сб. 28 (1985), 76-79.

5. Макеев В. В., О некоторых свойствах непрерывных отображений сфер и задачах комбинаторной геометрии, Геометрические вопросы теории функций и множеств (Межвуз. мат. сб.), Калинин, 1986, pp.75-85.

6. Макеев В. В., Шестидольныеразбиения трехмерного пространства, Вестник ЛГУ (1988), по. 2, 31-34.

7. Макеев В. В., Задача Кнастера и почти сферические сечения, Мат. сб. 180 (1989), по. 3, 424-431.

8. Макеев В. В., Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела и связанные с ними задачи, Мат. заметки 51 (1992), по. 5, 67-71.

9. Макеев В. В., Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере, Мат. заметки 53 (1993), по. 4, 86-88.

10. Макеев В. В., Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела. 2, Мат. заметки 55 (1994), 128-130.

11. Makeev V. V., Polygons inscribed in a convex body, Convex and discrete geometry. June 27 - July 2. Abstracts, Institut Mathematyki i Fizyki ATR, Budgoszcz, Poland, 1994.

12. Макеев В. В., О четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую, Мат. заметки 57 (1995), по. 1, 129-132.

13. Макеев В. В., Аффинно-вписанные и аффинно-описанные многоугольники и многогранники, Зап. науч. семин. ПОМИ 231 (1995), 286-298.

14. Макеев В. В., Applications of topology to some problems in combinatorial geometry, Mathematics in St. Petersburg, Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 174, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1996, pp. 223228.

15. Макеев В. В., О пятиугольниках, вписанных в замкнутую выпуклую кривую, Зап. науч. семин. ПОМИ 246 (1997), 184-190.

16. Макеев1 В В., Об аппроксимации плоских сечений выпуклого тела, Зап. науч. семин. ПОМИ 246 (1997), 174-183.

17. Макеев В. В., Об аффинных образах ромбододекаэдра, описанных вокруг трехмерного выпуклого тела, Зап. науч семин. ПОМИ 246 (1997), 191-195.

18

стей, связанные с выпуклыми компактами, Зап науч семин ПОМИ 252 (1998), 165л174

19. Макеев В В , О геометрии двумерных и трехмерных пространств Минковского, Зап. науч. семин. ПОМИ 267 (2000), 146-151

20. Макеев В. В , Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокруг выпуклых компактов, Алгебра и анализ 12 (2000), по 4, 1-15.

21 Макеев В В , Деление'на равные части непрерывно распределенной массы на сфере и в пространстве, Зап науч семин ПОМИ 279 (2001), 187-196.

22 Макеев В В . Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокруг выпуклых компактов. II, Алгебра и анализ 13 (2001), по 5, 110-133.

23 Макеев В. В , Плоские сечения выпуклых тел и универсальные расслоения, Зап. науч. семин. ПОМИ 280 (2002), 219-233.

24. Макеев В. В., О двух нерешенных геометрических задачах, Зап. науч семин. ПОМИ 28,0 (2002). 234-238

»111 77

Типография Издательства СПбГУ. 199061, С.-Петербург, Средний пр., 41.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Задача о непрерывных функциях на сфере (задача Кнастера) в евклидовом пространстве

§1. Лемма о непрерывной функции на многообразии Штифеля 2-реперов

§2. Применение к задаче Кнастера.

§ 3. Инфинитезимальная задача Кнастера

§4. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени на двумерной сфере

§ 5. Обобщение задачи о непрерывных функциях на сфере евклидова пространства

§ 6. Контрпример к гипотезе Кнастера.

ГЛАВА 2. Многоугольники, вписанные и описанные вокруг выпуклой фигуры (или тела)

§ 1. Введение и метод доказательства.

§2.0 четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую.

§3.0 пятиугольниках, вписанных в замкнутую кривую

§ 4. Вписанные и описанные шестиугольники для выпуклой фигуры

§ 5. О многоугольниках, вписанных в сечение и описанных вокруг проекции выпуклого тела Lf g

§ 6. Применение к универсальным покрышкам 5 i

ГЛАВА 3. Подобно вписанные и описанные многогранники в R3 5*

§1. Подобно вписанные и описанные трехмерные четырех и пятивершин-ники и пятигранники ^

§2. Подобно вписанные шестивершинники и описанные шестигранники

§3. Многогранники, описанные вокруг выпуклых тел постоянной ширины

§ 4. Подобно вписанные пятивершинники ~Ч

§ 5. О симплексах, вписанных в выпуклое тело

§ 6. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного выпуклого компакта gQ

ГЛАВА 4. Аффинно вписанные и описанные многогранники $ Ч

§ 1. О возможности вписать аффинный образ кубооктаэдра в трехмерное выпуклое тело

§ 2. Вписанные и описанные многогранники для центрально симметричного тела.1 & %

§ 3. Вписанные и описанные многогранники для центрально-симметричного выпуклого тела.Н

§4. Эквидистанционная проблема

§5. Кубы и октаэдры в нормированном пространстве ЛОЧ

ГЛАВА 5. О плоских сечениях выпуклых тел {

§ 1. О плоских сечениях трехмерного и четырехмерного выпуклого тела МО

§ 2. Асимптотически точная оценка асферичности двумерного сечения многомерного выпуклого тела МУ

§ 3. Об одновременном приближении сечения нескольких выпуклых тел эллипсоидами или кругами /

§4. О двумерных подпространствах нормированного пространства

§5. Финслеровы метрики на векторных расслоениях над грассмановыми многообразиями

ГЛАВА 6. О делении непрерывно распределенной массы в евклидовом, проективном пространстве и на сфере

§1.0 делении непрерывно распределенной массы на плоскости "

§ 2. О делении плоскостями на равные части массы, непрерывно распределенной в трехмерном евклидовом пространстве

§ 3. Теоремы о делении плоскостями нескольких масс, непрерывно распределенных в евклидовом пространстве f

§ 4. Распределения на и RP2 1HI

В комбинаторной и выпуклой геометрии, для которой по замечанию Хопфа [(1953)] характерна взаимосвязь чисто метрических и топологических соображений, имеется немало задач для решения которых используются топологические соображения. Для решения задач на плоскости нередко достаточно элементарного свойства непрерывных функций принимать на отрезке все промежуточные значения ([Яглом, Болтянский, 1951], гл.З), но в более высоких размерностях задачи резко усложняются, и для их решения по-видимому следует использовать более серьезные топологические соображения.

Во многих задачах выпуклой и комбинаторной геометрии при попытке перенести двумерный результат на более высокие размерности уже в размерности три мало законченных результатов, а в более высоких размерностях почти ничего не известно [(Болтянский,Гохберг,1965), (Грюнбаум,19бЗ), Яглом, Болтянский, 1951].

В данной диссертации топологические средства используются для поиска многомерных (чаще всего трехмерных) аналогов некоторых теорем из двумерной геометрии и для решения некоторых экстремальных, задач выпуклой геометрии в евклидовых и нормированных пространствах.

Первая глава содержит нижеследующую топологическую лемму и ее применение к известной задаче о непрерывных функциях на сфере в евклидовом пространстве [(Макеев,1989)].

На многообразии Штифеля ,п 2-реперов в евклидовом пространстве Шп свободно действуют циклические группы Zm поворотами реперов в их плоскости на кратные ^ углы. Имеются в виду повороты в направлении от первого вектора репера ко второму. Ниже мы будем рассматривать на многообразии Vi)П вышеописанное действие циклической группы Zp простого нечетного порядка р, образующую которой обозначим через t. А—

Лемма 1.1.1 [(Макеев, 1989)]. Если / 6 С\п>3, а простое р > 2п — 2, то найдутся такие х G V2,n и числа 0 < i < • • • < iin-i < Р — 1, что f(tH(x)) = . — f(t%2n~2(x)). Если же р < 2п — 2, то орбита некоторой точки х G V2,п отображается функцией / в одну точку.

Откуда непосредственно следует [(Макеев,1989)].

1. Теорема 1.2.1.Пусть точки Ai,.,Ap лежат в вершинах правильного р-угольника, вписанного в большую окружность стандартной сферы 571-1 С R", п > 3, а р — простое число > 2п — 2. Тогда для произвольной функции f G C(Sn~1) найдутся такие номера 1 <(<••< г2п-2 < Р и поворот а сферы, что /(a(^jj) = • • • = /(«(Дгп-г))- Если же р <2п — 2, то для произвольной функции / € C(Sn~1) найдется такой поворот а сферы, что /(а(Лх)) = • • • = f(a(Ap)).

Лемма 1 в дальнейшем применяется при доказательстве различных геометрических теорем.

Вторая, Третья и четвертая главы диссертации посвящены задаче о вписанных и описанных многоугольниках и многогранниках для выпуклого тела.

Многогранник А С М" называется вписанным в выпуклое тело К с R", если все его вершины принадлежат границе дК тела К. Многогранник А описан вокруг К, если К С А к К имеет общие точки со всеми гранями многогранника А.

Пусть G — замкнутая подгруппа группы Aff * сохраняющих ориентацию аффинных преобразований пространства Мт\ Многогранник А назовем G-вписанным в выпуклое тело К (G-описанным вокруг К), если для некоторого g Е G многогранник дА вписан в К (описан вокруг К). В случае, когда G = Д//^, будем говорить об аффинно-вписанных и аффинно-описанных многогранниках. Если G — группа подобий, то будем говорить о подобно-вписанных и подобно-описанных многогранниках.

Глава 2 посвящена в основном вписанным и описанным многоугольникам.

Известная теорема Шнирельмана [1944] утверждает, что во всякую регулярную жорданову кривую класса С2 на плоскости можно вписать квадрат. Кажется ничто не противоречит утверждению [Макеев, 1995], что во всякую регулярную жорданову плоскую кривую можно вписать некоторый подобный образ любого наперед заданного вписанного в окружность четырехугольника.

Теорема 2.1.1[Макеев, 1995]. Любые четыре точки окружности можно с помощью подобия поместить на любой плоской С2-гладкой звездной жордановой кривой j, которую нельзя пересечь окружностью более чем в четырех точках.

По теореме Бляшке условию теоремы удовлетворяют звездные овалы с четырьмя вершинами — стационарными значениями кривизны.

Теорема. [Макеев, 1995].На любой С2-гладкой звездной жордановой кривой на плоскости лежат некоторые четыре вершины правильного р-угольпика для простого р > 5.

Теорема 2.3.1[Макеев, 1997]. Пусть сумма любых двух соседних углов выпуклого пятиугольника А1А2А3А4А5 больше ж, a Aq - фиксированная точка границы дК выпуклой фигуры К С М2. Тогда существует аффинный образ пятиугольника, вписанный в К так, что вершина А\ лежит в точке Aq.

Теорема 2.3.3. Во всякую выпуклую фигуру К с R2 вписан аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника.

Хорошо известна теорема Безиковича [1942], впоследствии неоднократно передоказываемая другими авторами, о возможности вписать (соответственно описать вокруг) во всякую выпуклую фигуру аффинный образ правильного шестиугольника. Эта теорема оказалась очень полезной для решения ряда экстремальных задач из выпуклой двумерной геометрии.

Нижеследующая теорема обобщает теорему Безиковича [1942].

Теорема 2.4.1 (см.[Макеев, 1996]) Во всякую выпуклую фигуру на плоскости аффинно вписан и вокруг нее аффинно описан произвольный наперед, заданный центрально симметричный шестиугольник А.

Теорема 2.5.1. [МАкеев, 1994]. Если простое 2 < р < 2п, то для любого ограниченного К С Мп вокруг ортогональной проекции К на некоторую двумерную плоскость, можно описать правильный р-угольник.

Глава 3 посвящена поиску подобно вписанных и описанных многогранников в основном в трехмерном пространстве.

Теорема 3.2.1. [Макеев, 2000] Всякая правильная пятиугольная пирамида П в R3 подобно описана. Кроме того, всякая такая пирамида подобно вписана во всякий выпуклый компакт К в R3 с гладкой границей.

Теорема 3.2.2.[Макеев, 2001] Пусть a,b е (0,1). Пусть Аь А2, А3 — вершины правильного треугольника, лежащие на окружности {z = а} стандартной единичной сферы

S2 = {(x,y,z) 6R3| x2 + y2 + z2 = l}, а А\, А$, Aq — вершины правильного треугольника, лежащие на окружности {z = —6} той же сферы. Тогда во всякое гладкое трехмерное выпуклое тело К можно вписать подобный образ шестивершинника А\. Aq.

Следствие. В любое гладкое выпуклое тело вписан правильный октаэдр.

Тем самым (в случае тела с гладкой границей) дается ответ на неоднократно ставившийся вопрос [Klee, 1991].

Ромбододекаэдром называется двенадцатигранник, ограниченный плоскостями, которые проходят через ребра некоторого куба и составляют равные углы с гранями куба.

Теорема [Макеев, 1997/98]. (см.§ 3, гл.З) Вокруг тела постоянной ширины 1 в трехмерном пространстве описан ромбододекаэдр с единичным расстоянием между противоположными сторонами.

Это утверждение также доказано в [Hausel,1997, Kuperberg,1999]. Купер-берг построил однопараметрическое семейство многогранников с указанным свойством.

Теорема 3.3.1. Пусть S С S2 — следующее двенадцатиточечное подмножество единичной сферы в М3:

5 = {(±1,0,0), (0, ±1,0), (±а, 0, ±у/1 -а2), (0, ±а, ±y/l-a*)}, где 0 < а < 1 и знаки ± сочетаются всевозможными способами. Тогда двенадцатигранник M(S), ограниченный опорными плоскостями, проведенными к сфере в точках множества S, подобно описан вокруг произвольного тела постоянной ширины в R3.

Теорема 3.5.2. [Макеев, 2001] Пусть AqBqCqDq — правильная треугольная пирамида с вершиной Dq. Во всякое С2-гладкое выпуклое тело К С К3 вписан подобный образ ABCD пирамиды AqBqCqDq такой, что касательная плоскость в точке D параллельна основанию ЛВС, а то главное направление в точке D, в котором достигается максимальное значение нормальной кривизны границы д К, составляет наперед заданный угол а0 с ребром АВ.

Теорема 3.6.1. Пусть К — центрально-симметричный трехмерный выпуклый компакт в К3. Тогда на границе компакта К лежат середины ребер некоторого прямоугольного параллелепипеда, или же некоторое центральное сечение компакта К является прямоугольником.

Глава 4 диссертации посвящена аффинно-вписанным и описанным многогранникам в основном для трехмерного выпуклого тела.

Кубооктаэдром называется выпуклая оболочка середин ребер некоторого куба. Нижеследующая теорема дает положительный ответ в размерности 3 для большинства выпуклых тел на поставленный Грюнбаумом вопрос о возможности вписать в выпуклое тело в Rn разностное множество п-мерного симплекса. Отметим, что это утверждение является пространственным обобщением вышеупомянутой теоремы Безиковича о вписанном аффинно правильном шестиугольнике.

Теорема 4.1.1.[Макеев, 1995] Во всякое выпуклое тело в R3, кроме описанных ниже, аффинно вписан кубооктаэдр. Возможные исключения представляют собой тела, содержащие некоторый параллелограмм Р и содержащиеся в цилиндре с направляющим множеством Р).

Теорема 4.3.1. [Макеев, 2001] Пусть К С К31 — центрально-симметричное тело с центром О 6 I3. Тогда в К можно вписать аффинно-правильный икосаэдр А\. А(т.е. аффинный образ правильного икосаэдра) так, чтобы (по нашему выбору) было выполнено любое из следующих условий 1-3:

1) OAi = ОА2 = ОА3 и АгА2 = А2А3 < ЛхЛ3 (или, по выбору, > AiA3), где А\А2А3 — треугольная грань икосаэдра;

2) AiA2 = А2А3 = А1А3 и О Ах = ОА2 < ОА3 (или, по выбору, > ОА3), где А\А2А3 — треугольная грань икосаэдра;

3) ОА\ = ОА2 = ОА3 = ОА4 < ОЛ5 (соответственно > О А 5), где Ai,.,As — вершины икосаэдра, образующие аффинно-правильный пятиугольник (или, что то же, лежащие в одной плоскости).

Следующая часть главы 5 посвящена возможным обобщениям понятия правильного многогранника на нормированном пространстве.

Назовем симплекс в пространстве с нормой || || правильным (|| ||-правильным), если все его ребра имеют одинаковую длину. Неизвестно, имеется ли в п-мерном нормированном пространстве правильный n-мерный симплекс при п> 3.

В трехмерном нормированном пространстве имеется много правильных тетраэдров [Petty, 1991]. Нижеследующая теорема [Макеев 2000, 2001] содержит новые результаты в этом направлении.

Теорема 4.4.1. [Макеев, 2000] Пусть в трехмерном векторном пространстве Е заданы две нормы: || • ||i и || ■ ||2. Тогда в Е найдется такой || • ||i-равносторонний тетраэдр ABCD, что

АВ\\2 = ||С£>||2> \\ACh = ||ВЯ||2 и \\AD\\2 = \\ВС\\2.

В Е также найдется такой || • ||i-равносторонний тетраэдр ABCD, что

ACh = \\ADh = ||БС||2 = ||BD||2.

Теорема 4.4.2. Пусть в пространстве R3 заданы две нормы: || • ||i и || • ||2. Тогда в М3 найдется || • \\\-правильный тетраэдр ABCD с

АВ\\2 = \\АС\\2 = \\ADh,

ВС\\2 = \\BD\\2 > \\CDh соответственно < ||C.D||2>). В R3 также найдется || ■ ||i-правильный тетраэдр ABCD с

BC\\2 = \\BD\\2 = \\CD\\2l \\АВ\\2 = ||ЛС||2 > \\ADh соответственно < ||Л1)||2/

Назовем кубом параллелепипед с попарно равными диагоналями и попарно равными ребрами.

Теорема 4.5.1. Пусть Е — двумерное нормированное пространство. Тогда

1) В Е имеется квадрат с диагональю (или стороной), параллельной наперед заданной прямой.

2) Во всякую регулярную жорданову кривую в Е можно вписать квадрат.

Таким образом, теорема Шнирельмана [1944] верна и на нормированной плоскости.

Теорема 4.5.2. Пусть Е — трехмерное нормированное пространство. Тогда

1) В пространстве Е существует куб.

2) Во всякий шар, гладко и центрально-симметрично вложенный в Е, можно вписать куб с тем же центром симметрии.

Таким образом, теорема [Hausel, 1999] о вписанном кубе также переносится в нормированное пространство.

Назовем правильным октаэдром в нормированном пространстве выпуклую оболочку п отрезков с общей серединой и равной длины таких, что все расстояния между концами (разных) отрезков попарно равны.

Теорема 4.5.3. Пусть || • ||i и || • ||г — две нормы в трехмерном пространстве Е. Тогда найдется || • ||i-правильный октаэдр АВСА'В'С' с диагоналями АА', ВВ', СО такой, что

АА'\\2 = \\ВВ'\\2 > \\СС\\2 или, по нашему выбору, ЦАА'Цг = ЦБВ'Цг < ЦСС'Цг^.

Автору неизвестно, имеются ли правильные октаэдры в произвольном нормированном пространстве размерности > 4.

Назовем подмножество К С Мп ^-сферическим, если оно содержит некоторый шар и содержится в гомотетичном щаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 + е.

Дворецкий [(I960)] доказал, что для фиксированного натурального к и е > 0 при п > N(k,s) = exp(215£-2fc2 In к) через центр центрально симметричного тела в R" проходит ^-сферическое fc-мерное сечение. В дальнейшем оценка N(k, е) улучшалась различными авторами, а условие центральной симметричности было снято.

Определим две функции e(n, к) = inf{£| любое ограниченное центрально симметричное выпуклое тело в W1 обладает е-сферическим /с-мерным центральным сечением} и Е\ (п,к) = inf{£:| через любую внутреннюю точку О

11— выпуклого тела в Мп проходит /с-мерное сечение, содержащее некоторый к-мерный шар с центром в О и содержащееся в шаре с тем же центром и коэффициентом гомотетии 1 + £}. Обозначим через р(п) наибольшее простое число, меньшее п. Теорема 5.1.1. При п > 3

1— -1<е(п,2).< 1

COStttHT ' ' ' COS' 7Г

2п—2 р(2п—2) U

К-- I < £i{n,2) <---1. cos n^T C0SRfe)

Кажется правдоподобным [(Макеев,1989)], что верхние оценки в сформулированной теореме являются точными.

2 2 Из теоремы непосредственно следует, что e(n, 2) ~ ^ и £\(п, 2) ~

Более слабые оценки имеются в [Макеев,1984, Milman, 1988].

Теорема 5.1.2. Если п — 1 - простое нечетное число, то е(п, 2) = sec 2^-1 и ei(n, 2) = sec ^ - 1.

Заметим, что эта теорема вычисляет е(4,2) и £i(4, 2). Всюду в дальнейшем под нормированным пространством понимаем вещественное нормированное пространство, Rn обозначает n-мерное вещественное пространство со стандартной евклидовой нормой.

Пусть Ei и Е2 — два нормированных пространства одинаковой размерности. Расстоянием Банаха-Мазура между ними называется число d(EuE2).= inf{ln(||A|| • ||Л1||)}, А где инфимум берется по всем линейным изоморфизмам А : Ei —> Е2.

- 12

Теорема 5.2.1 [Макеев, 2002]. Во всяком трехмерном нормированном пространстве найдется двумерное подпространство Е2 с d(E2, R2) <

Данная оценка неулучшаема.

Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Дворецкого.

Определим на классах изоморфных векторных расслоений над топологическими пространствами неотрицательный скалярный вариант.

Пусть 7 : Е В - вещественное векторное расслоение с базой В. Обозначим через множество финслеровых метрик на 7. Символом Ех будем обозначать слой 7-1(:г) над точкой х. Соответственно, Е^ обозначает этот же слой, снабженный нормой из финслеровой метрики / £ Положим т(7)= sup inf di(E^/\Rn), где п = dim 7.

6^(7)хеВ

Обозначим через Gfc(Rn) многообразие Грассмана неориентированных к-плоскостей в R", проходящих через нуль. Пусть 7^ : Ек(Rn) —► G^(Rn) -каноническое расслоение, в котором слоем над /с-плоскостыо из Gk{R") является она же, рассматриваемая как линейное пространство. Нижеследующая гипотеза обобщает известную теорему Дворецкого [I960].

Гипотеза. Для всякого натурального к имеем lim m(7j?) = 0. п—»оо

Случай к = 1 тривиален. При к = 2 гипотеза следует из того, что т(7^) ~ j^y [Макеев, 2002]. При к > 3 гипотеза не доказана (и не опровергнута).

Инвариант 771(7) геометрический и трудно вычислим. В [Макеев, 2002], например, вычислены 771(7!) = Мп(4/3), 771(73) = In 4/3,771(77) = 1п\/7.

Глава 5 диссертации содержит решение еще нескольких экстремальных задач о плоских сечениях трех и четырехмерного, а также многомерного выпуклого тела § 4,5.

Глава 6 диссертации посвящена задаче о делении непрерывно распределенной в евклидовом пространстве, на сфере или проективной плоскости конечной массы некоторым набором плоскостей или прямых. Наиболее известный из литературы результат такого сорта — теорема о разрезании сандвича утверждает, что п конечных масс непрерывно распределенных в Мп можно одновременно рассечь гиперплоскостью на равные части. Недавно Дольников (1992), Живалевич (1990) и Вречица обобщили это утверждение. Следует отметить также хорошо известное утверждение о возможности разделить непрерывно распределенную на плоскости массу парой перпендикулярных прямых на четыре равные части, а также [Buck, 1948/49] тройкой проходящих через одну точку прямых на шнесть равных частей. Для последних двух утверждений в работе найдены аналоги на сфере, проективной плоскости и в трехмерном пространстве. Приведем несколько из доказанных в гл.б теорем.

Теорема 6.1.1. [Макеев, 1996] Для любой непрерывно распределенной на плоскости конечной массы найдутся пять лучей с общим началом, разделяющие плоскость на 5 таких конгруэнтных секторов Ei,., что т{Ех) = т(Е2) = т{Е3) = т(Е4) > т(Е5).

Теорема 6.1.2. 1) Во всякую выпуклую фигуру К С R2 вписан аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника.

2) Для всякой конечной непрерывно распределенной на плоскости массы m найдется такой аффинный зеркально симметричный образ правильного пятиугольника, что лучи, исходящие из его центра в вершины, делят m на 5 равных частей.

Три попарно перпендикулярные плоскости разбивают трехмерное пространство Мп на восемь равных октантов. Повернем одновременно четыре из этих октантов, имеющие общий луч, на некоторый угол вокруг этого луча. Полученную конфигурацию октантов будем называть скрученной.

Теорема 6.3.2.[Макеев, 1998] Для всякого непрерывного распределения массы в R3 найдется скрученная система октантов, разбивающая массу на восемь равных частей.

Полным ориентированным флагом в Rn будем называть вложенную последовательность ориентированных подпространств возрастающей размерности:

О С Li С Ь2 С • • • С Ln = Rn, где ориентация внешнего пространства фиксирована.

Теорема 6.3.4. [Макеев, 2001] Пусть L - полный ориентированный флаг в R3, a Ki,., К\2 ~ конусы над гранями правильного додекаэдра или ромбододекаэдра с общей вершиной в его центре О. Для любой конечной массы m в R3, распределенной непрерывно и симметрично относительно точки О, найдется такое сохраняющее ориентацию линейное преобразование а, что m {а{К{)) = т(а(К2)) = • • • = m (а(К12)), а флаг a(L) - любой наперед заданный.

Найдется также такой ромбододекаэдр D с центром в точке О и такое линейное преобразование, сводящееся к сжатиям в направлении двух осей D с некоторыми коэффициентами, что m(a(Ki)) = • • • = т(а(К 12)).

Теорема 6.4.2. Пусть на проективной плоскости RР2 непрерывно распределены массы mum'.

1) Найдутся 3 прямые, делящие каждую из масс ш и ш' на 4 равные части.

2) Найдутся 3 взаимно-перпендикулярные прямые, делящие массу m на 4 равные части.

3) Найдутся 4 прямые, три из которых пересекаются в одной точке и перпендикулярны четвертой, делящие массу m на 6 равных частей.

1. Floyd E. Real-valued mappings of spheres. Proc. Am. Math. Soc. 1955. V.6. N6. P.957-959

2. D. Gale, On inscribing n-dimensional sets in a regular n-simplex, 222-225, 1953,4, Proc. Amer. Math. Soc.

3. Griffiths H. The topology of square pegs in round holes. Proc. London Math.

5. Grunbaum В., Affine-regular polygons inscribed in plane convex sets, Hiveon1.matematika 13 (1959), 20-24.

6. Grunbaum B. Partitions of mass-distributions and of convex bodies by hyperplans//Pacii

8. Grunbaum B. Measures of symmetry for convex sets. Proc.Simpos.Pure.Math.

9. V.7 (Convexity). Providence (USA), 1963, 233-270

10. Громов M. Л. 0 симплексах, вписанных в гиперповерхности. Мат. заметки,5 (1969) № 1, 81-89

11. F. John. An inequality for convex bodies. Univ. Kentucky Research Club. Bull.6, 1940, 26

12. H. Hadwiger. Simultane Verteilung zweier Korper// Arch. Math. 17, 1966, 274278

13. Hausel Т., Makai E,, Sziics A. Each symmetric convex body in E.^ admits aninscribed cube. Mathematika (в печати)

14. Hinrichs A. Richter C. New counterexamples to Knaster's conjecture. (2003)preprint - 1531. Литература

15. Hopf H.Uber Zusammenhange Zwischen Topologie und Metrik in Rahmen derelementaren Geometric. Math. Phys., 1953, terber 3, 16-29

16. Kakutani S. A. A proof, that there exists a circumscribing cube around anybounded closed set in Ml Ann. Math. 1942. V.43. P.285-303

17. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. Мир, М. 1965

18. Kashin B.S. Szarek S.J. The Knaster problem and the geometry of high dimensionalcubes. C.R.Acad.Sci Paris Ser.l 336(2003), 931-936

19. Klee v.. Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry andnumber theory. Dolciani Math. Exp., vol. 11, Math. Assoc. Am. Washington, DC, 1991

20. Knaster B. Un continu irreductible a decomposition continue en tranches. Fund.Math/1935. V.25. R568-577

21. Knaster B. Problem P 4. Colloq.Math. 1947. V.l. P.30-31

22. Kuperberg G. Circumscribing constant-width bodies with polytopes. New York

23. J.Math. 5(1999), 91-100; Preprint arXiv: math.MG/98091651.vesay G.R. On a theorem of F.J.Dyson//Ann.Math. 1954. V.59. P.227-229

24. Milman V. D. A few observations on the connections between local theory andsome other fields. Lecture Notes Math. 1988, v.1317, p.283-289

25. J. Pal, Uber ein elementares Variationsproblem. Danske Videnskab selskab.

26. Math. Fys. Meddel, 3(1920), JV^ 2, 35 p

27. Petty C. Equilateral sets in Minkowski spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 29,1971,369-374

28. R. Rattray. An antipodal point, orthogonal point theorem. Ann. Math. 60,1954,502-512

29. Стинрод H. Эпстейн Д. Когомологические операции. М.: Наука, 1983

30. Шнирельман Л. Г. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых. Успехи мат. наук, вып. 10 (19$^), 34-44

31. R. Т. ZivaleviC, S. Т. Vrecica. An extension of the ham sandwich theorem.

32. Bull. London Math. Soc. 22, 1990, 183-186- 1 5 4 1. Литератера

33. И. Яглом, В. Болтянский. Выпуклые фигуры . Гостехиздат, М. 1951

34. Работы автора по теме диссертации

35. Макеев В. В. Универсальные покрышки. I / / Укр. геом., сб. 1981. Вып.24.1. 70-79

36. Макеев В.В. Универсальные покрышки. I I / / Укр. геом. сб. 1982. Вып.25.1. 82-86

37. Макеев В. В. Пространственные обобш;ения некоторых теорем о выпуклыхфигурах. Мат. заметки. 1984. Т.36, Вьш.З. 405-415

38. Макеев В. В^ Оценки асферичности сечений вьшуклых тел. Украинскийгеом. сб. вып. 28, 1985, 76-79

39. Макеев В.В. О некоторых свойствах непрерывных отображений сфер и задачах комбинаторной геометрии. Геометрические вопросы теории функций и множеств (Межвуз. мат. сб.) Калинин, 1986. 75-85

40. Макеев В. В. Шестидольные разбиения трехмерного пространства. Вестник1. ЛГУ, № 2, 1988, 31-34

41. Макеев В.В. Задача Кнастера и почти сферические сечения. Мат. сб. 180(1989), Ш 3, с.424-431

42. Макеев В.В. Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела и связанные с ними задачи. Мат.заметки, т.51, в.5(1992), 67-71

43. Макеев В.В. Решение задачи Кнастера для многочленов второй степени надвумерной сфере. Мат.заметки, т.53, в.4(1993), 86-88

44. Макеев В. В. Вписанные и описанные многогранники выпуклого тела. 2,

45. Мат. Заметки, 55(1994), 128-130

46. V. Makeev, Polygons inscribed in a convex body. Abstracts. Convex and discretegeometry. Institut Mathematyki i Fizyki ATR Budgoszcz, Poland, June 27-July 2, 1994 - 1 5 5 1. Литература

47. Макеев В. Б. О четырехугольниках, вписанных в замкнутую кривую. Мат.заметки, 57 (1995), N 1, 129-132

48. Макеев В. В. Аффинно-вписанные и аффинно-описанные многоугольникии многогранники. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.231. 1995. 286-298

49. V. Makeev, Applications of topology to some problems in combinatorial geometry.

50. Mathematics in St.Petersburg, Amer.Math.Soc.Transl.(2), vol.174. Amer.Math.Soc,

52. Макеев В. В. О пятиугольниках, вписанньгх в замкнутую выпуклую кривую. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.24б, 1997, с.184-190

53. Макеев В. В. Об аппроксимации плоских сечений выпуклого тела. Зап.науч. семин. ПОМИ, 246, 1997, 174-183

54. Макеев В.В. Об аффинных образах ромбододекаэдра, описанных вокругтрехмерного выпуклого тела. Зап.науч.семинаров ПОМИ, 246, 1997, 191-195

55. Макеев В. В. Некоторые специальные конфигурации плоскостей, связанныес выпуклыми компактами. Зап. научн. семин. ПОМИ, 252, 1998, 165-174

56. Макеев В. В. О геометрии двумерных и трехмерных пространств Минковского. Зап. науч. семин. ПОМИ, 267, 2000, 146-151

57. Макеев В. В. Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокругвыпуклых компактов. Алгебра и анализ 12(2000) № 4, 1-15

58. Макеев В.В. Деление на равные части непрерывно распределенной массына сфере и в пространстве. Зап.науч.семинаров ПОМИ, т.279 (2001), 187-196

59. Макеев В. В. Трехмерные многогранники, вписанные и описанные вокругвыпуклых компактов. II, Алгебра и анализ 13 (2001), JN'^ 5, 110-133.

60. Макеев В. В. Плоские сечения выпуклых тел и универсальные расслоения.

61. Зап. науч. семин. ПОМИ, т.280, 2002, с.219-233.

62. Макеев В.В. О двух нерешенных геометрических задачах. Зап.науч.семинаров

63. ПОМИ. т.280, 2002, с.234-238- 1 5 6