Управление и наблюдение динамических систем в конфликтных ситуациях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ
|
Барсегян, Ваня Рафаелович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ереван
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
^изииэиъь ^иъптзт-взиъ <}Ь5ПШЗЛ|-ЬЪЬГЬ иачивьъ цццаыгьизь ьъьпгшэьадзь ы и^эпиизизииъ -Т1РПРиз1Л>ЬРЬ ^иизьвп^
ГГ5 ОД
рипиьазиъ аиъзи пиаизьи-* л .
2 9 ЛЯГ Ш
аьъшьшшцъ эдиичиродзрь аьцимирги-ио ьа оьбпшс цпъыьмэизьъ ьгиаьбимъьрш-и
11.01.09 «ишрЬ(5ш1п|11|ш^шО ЦЬрЬпОЬт(11)ш и
йшрЬйштМш^шО мршйшршСшр^О» 11.02.01 «вЬишЦшй ¿¡Ь^шй^ш» 15шийшсф1ЛП[.р;п1.йОЬрп4
гр^тпр^ q^1U^шl^шй шшл}и$шО|1 ИицдйшО шшЬОш[ипип1р]шО
иьаиио-ьп
ЬРьаиъ-2000
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ
БАРСЕГЯН ВАНЯ РАФАЕЛОВИЧ
УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЯХ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальностям
ОД
А. 01.09 "Математическая кибернетика и математическая логика" А. 02.01 "Теоретическая механика"
ЕРЕВАН - 2000
Uinbüiu|ununi.pjtuG pbüujD huiuiniuwilb|. t ЬрЦшй^ щЬшш^шО ИшйицишршйпиЗ
'ПшгшпОш^шО Qünrih^ujfTjnuüfap' 3>fiqfiliiu-i5uipbi5ujin|iliuil|ujc qfiuirupjniQGbpfi оп1(1лпр,
щрпфЬипр L.4. 4]bmpnujwtj
фЬя№ш-йшрЬ13ш1л|11)ш1)шО QhuiiupjniGiibph гр1|тпр, щрпфЬипр h.O. SuiULiuilulili mbtuQtiliuiliiuG qtiuimpjnLQGbph ryiljmnp, щрпфЬипр L.U. Unilutiu]ujü
Urcuigiuuiujp liiijqi5LuljbpL4ni.pjruG' <-ibi5bpni|njh ujbmuiLjujG hiudujiuujpujG
T|iu2mmuiGnLpjni.G[! l)uijujGui|ni. t 2000 p. octnuuinuh 4-hG, cf. 11°°. 037 «UtüßbtfiuuifiljiüljUJG 1фрЬпСЬт[11|ш U йшийш^тшЦшй funphpah OfiumnuJ hbinLjiui hujugbrn}'
375014, ß. bpUujG, Tl. UUiuljfi фп^. 1:
UinbGuifununipjujGQ ЦшрЬ||11 йшйприШиц. hU^lh-h qtiinuil|UjQ qpuityjjpujGni.C): UbqümqtipQ шпшрфлб t « 03 » hniihuh 2000 р.
ишиБшсфтщЦшй [unphprtfi сфщ. guipmr\u\iup,
mGin. q.|im. р., tuiluiq qfiui. uJ2fu.' /iß U.b. IfbLßnQjuiG
Тема диссертации утверждена в Ереванском государственном университете
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Петросян ЛЛ. доктор физико-математических наук, профессор Заславский И.Д. доктор технических наук, профессор Мовсисян ЛЛ.
Ведущая организация: Кемеровский государственный университет
Защита состоится 4 августа 2000 г. в 11°° часов на заседании специализированного совета 037 "Математическая кибернетика и информатика" в Институте проблем информатики и автоматизации HAH РА и ЕрГУ по адресу: 375014, г. Ереван, ул. П. Севака, 1.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИПИА HAH РА.
Автореферат разослан " 03 " июля 2000 г.
Ученый секретарь специализированного совета к.э.н.
¿w? ¿г?
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Для исследования различных задач оптимального управления, основным источником которых являются прикладные проблемы, и преодоления трудностей в их эффективном решении в основном используются классические и специально разработанные методы теории оптимального управления, учитывающие особенности этих задач. В частности, для решения задач, связанных с функционированием системы в условиях конфликта, используется теория, дифференциальных игр. Существенное место в этих задачах занимают игры сближения-уклонения в ситуации, которую приходится описывать посредством нескольких целевых множеств с постоянной и переменной динамикой. При этом приходится учитывать зависимость поведения системы от случайных факторов. Важное теоретическое и практическое значение имеют также задачи управления, сближения и встречи, игрового взаимодействия, а также понятие области достижимости управляемых материальных точек в ньютоновском гравитационном поле. Задачи управления и наблюдения распределенными системами имеют приложения в различных областях науки и техники, в частности, в области управления современными летательными аппаратами с упругими конструкциями, Изложенные задачи и методы их исследования являются основой данной работы, которая посвящена исследованию задач оптимального управления движением и оцениванию состояния систем, описываемых сосредоточенными и распределенными параметрами, с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени при наличии конфликтных ситуаций и неопределенностей с постоянной и переменной динамикой, стоящих на стыке двух наук; математической кибернетики и теоретической механики.
Актуальность темы обусловлена широким прикладным спектром результатов работы в таких областях науки и техники, как освоение кос-
мического пространства, автоматизация управления производственными процессами с применением современных вычислительных машин, робототехника, гибкие автоматизированные производства и т.п.
Цель и задачи работы. Разработка теории дифференциальных игр с несколькими целевыми множествами поэтапно меняющихся систем и платежным функционалом, зависящим от траектории в заданные моменты времени, когда стратегии игроков формируются с учетом случайных величин, появляющихся в ходе измерений позиции:
• исследование задач оптимального управления объектами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями и системами с распределенными параметрами с фазовыми ограничениями и ограничениями по отношению к части координат, заданных в промежуточные моменты времени, когда критерий качества задан на всем промежутке времени;
• описание и построение области центрального гравитационного пространства, в котором может оказаться управляемый объект при заданной величине характеристической скорости, прикладываемой в любой точке исходной эллиптической орбиты;
• исследование движения в гравитационном поле при малых отклонениях начальных параметров и при неточных измерениях текущих состояний;
• построение и исследование математических моделей игрового взаимодействия управляемых объектов в гравитационном поле при импульсном и непрерывном управлении;
• синтез и оценивание состояния систем, движения которых описываются интегро-дифференциальным уравнением и систем с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния.
Объектом исследования являются системы, описываемые сосредоточенными и распределенными параметрами при наличии конфликтных ситуаций и случайных факторов.
Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии, теории функционального анализа, оптимального управления и наблюдения для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, теории стохастических дифференциальных игр.
Научная новизна. В диссертации разработаны методы построения стохастических частично-программных стратегии и случайных движений игроков для дифференциальных игр при нескольких целевых множествах для случая поэтапно меняющихся линейных и собственно лит нейных систем, когда платой игры является функционал, зависящий от траектории в заданные моменты времени. Построена максимизирующая последовательность, доставляющая частично-программный максимин. Исследованы ее аналитические и геометрические свойства. Получена оценка для эволюции частично-программного максимина и доказано, что он является ценой соответствующей детерминированной позиционной дифференциальной игры. Для линейной дифференциальной игры уклонения от нескольких целевых множеств и игры уклонения поэтапно меняющейся нелинейной системы построены стратегии, гарантирующие требуемые уклонения, и получены оценки для изменяющегося во времени расстояния системы от поводыря.
Сформулированы постановки и даны конструктивные методы решения задач оптимального управления объектами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, а также поэтапно меняющимися линейными уравнениями и интегро-дифферен-циальными уравнениями (системами с распределенными параметрами) с фазовыми ограничениями и ограгичениями по отношению к части координат, заданных в промежуточные моменты времени, когда критерий качества процесса задан на всем промежутке времени. Показано, что, увеличивая число промежуточных моментов времени с соответствующими фазовыми ограничениями, можно получить решение задачи опти-
мального управления по заданной трубке. С такими постановками решены прикладные задачи оптимального управления для механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Проведен численный расчет и анализ полученных результатов.
Для оптимального управления системами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями, построен стохастический программный синтез и получена оценка для расстояния стохастического движения от желаемого.
Дм движения управляемой материальной точки в ньютоновском гравитационном поле получено уравнение семейства траекторий, выходящих из заданной точки, при заданной величине характеристической скорости. Предложен алгоритм построения границы области достижимости в плоском случае и схема для построения алгоритма в пространственном случае. Исследовано изменение дальности полета при малых отклонениях начальных параметров. Получено кинематическое соотношение для параллельного сближения управляемых объектов. Построены оптимальное стохастическое управляющее воздействие и оптимальная стохастическая траектория для сближения космических аппаратов и получена оценка для отклонения стохастического движения от желаемого. Для случая ньютоновского центрального гравитационного поля построена модель многошаговой антагонистической игры; показано существование ситуации равновесия в чистых стратегиях; построена модель неантагонистической игры в плоском случае в классе двухим-пульсных программных стратегий; найдена парето-оптимальная ситуация; построена модель игры с "линией жизни" и получено условие, характеризующее выигрывающие множества игроков. Для случая однородного центрального поля построено решение задачи преследования с предписанной продолжительностью и на быстродействие.
Исследована задача оптимального наблюдения системами с распределенными параметрами. Построен универсальный оптимальный
фильтр, восстанавливающий состояние системы при реальном сигнале, движение которого описывается интегро-дифференциальным уравнением с симметричным ядром. Построен универсальный оптимальный фильтр для оптимального наблюдения колебаниями струны. Решена задача оптимального наблюдения управляемых колебательных движений прямоугольной мембраны, края которой закреплены.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты для решения задач сближения и уклонения при нескольких целевых множествах для широкого класса систем с постоянной и переменной динамикой имеют важное теоретическое и практическое значение. Предложенный конструктивный метод оптимального управления с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени позволяет увеличить эффективность решения ряда прикладных задач управления летательными аппаратами, технологическими процессами с использованием робототехнических систем и т.п. Широкое приложение может найти описание области достижимости и построенные модели игрового взаимодействия объектов в гравитационном поле. Важное практическое значение имеет управление систем с распределенными параметрами по принципу обратной связи.
Обоснованность и достоверность. Полученные результаты базируются на обоснованном использовании строгого математического аппарата, а также сравнений решения конкретных задач и численных результатов с теоретическими выводами.
Апробация полученных результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на XVII научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления ЛГУ (1987), на семинарах кафедры механики управляемого движения (1986-1988, 1997), кафедры информационных систем (1986), кафедры МСТНМО ЛГУ (1987, 1988), на VIII конференции молодых ученых института механики HAH Армении (1991), на конференции, по-
священной 65-летию создания кафедры теоретической механики ЕГУ (1995), на конференции, посвященной 75-летию со дня рождения академика HAH РА С.А. Амбарцумяна (1997), на первой международной конференции по "Управлению колебаниями и хаосом" (1997), на республиканской конференции "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем" (1997), на республиканской конференции "Контактные и смещенные граничные задачи механики деформируемого твердого тела", посвященной 85-летию со дня рождения академика HAH РА Н.Х, Арутюняна (1997), на научной сессии Армянского математического союза (1997), на семинарах кафедры теоретической механики и факультета механики Ереванского государственного университета, на ежегодных научных семинарах профессорско-преподавательского состава Ереванского госуниверситета (1988-1999).
Публикации. По основным результатам диссертации опубликованы 21 научные статьи.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 174 наименований, изложенных на 296 стр. компьютерного текста.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы, приводится краткий обзор некоторых публикаций, относящихся к теме диссертационной работы. Сформулирована цель работы, кратко изложено содержание диссертации по главам.
Первая глава посвящена дифференциальным играм сближения-уклонения двух лиц при нескольких целевых множествах, когда игроки
выбирают свои стратегии из класса стохастических частично-программных стратегий, при формировании которых учитываются случайные величины, появляющиеся в ходе измерений позиции.
В § 1.1 дается постановка задачи дифференциальной игры для поэтапно меняющейся линейной системы
*к=Ак{1)хк+Вк(1)ик+Ск(1к (к = 1.....т) (1}
где хк е Я"-фазовый вектор системы, Ак(1)-(пхп) Вк(с)-(пхрк), Ск(1)-(г^к) -измеримые, ограниченные матрицы функции при г0 <г<© (© -заданные моменты времени). Управления ик и выбираются.
соответственно из компактных множеств Рк с ЯРк и <5к сИ41 .
Платой игры является функционал
I 2
2
(2)
где 10 = < г>1 <... < 1>т = 0 -заданные моменты времени. Предполагается, что в процессе игры соблюдается непрерывность траектории системы (1) в момент времени тЗк "переключения" системы.
Для исходной позиции (г0> х0) системы (1) выбирается разбиение Дг промежутка 10 < I < О, так чтобы при любом г (т.е. разбиении Дг) моменты времени (к = 1.....т) являлись узлами разбиения
= = ..., ^>=^ = 0 (3)
На основе метода стохастического программного синтеза определены частично-программные стратегии игроков на полуинтервале
(к = 1.....т; ] =
из выбранного разбиения д, как измеримые неупреждающие функции
.....
2 51 < ^ < Ъ, j = 1...., ¡к -¡к_|', к = 1.га)
и случайное движение как решение соответствующего стохастического дифференциального уравнения. Определяются стохастические частично-программные стратегии игроков и соответствующее случайное движение на к-ом этапе [йк_!, т&к) времени. Уточняется характер функционала (2) и качество процесса, порожденного парой программ {ик(); ук()}, характеризующихся величиной математического ожидания. В п. 1.1.1 показано существование допустимых программ и получены условия, из которых определяются частично-программные управления Оп-
ределяется стохастический частично-программный максимин рк(и, х., Дг) для исходной позиции (с», х») н выбранного разбиения Дг, доказаны некоторые ее свойства.
Лемма 1 Для всякой позиции (их»), це [тЗы,"^], при всяком разбавлении Дг справедливо равенство
р,(с»,х<„Дг)=е<(1.,х<.,Дг) где х,,Лг) частично программный экстремум.
Лемма 2 Частично-программный максимин р,() удовлетворяет условию Липшица по х.
В п. 1.1.2 построена максимизирующая последовательность, доставляющая частично-программный максимин и показано, что совокупность таких последовательностей, отвечающая данной исходной позиции (г», х») и разбиению дг, является ограниченным, замкнутым, выпуклым множеством и изменяется полунепрерывно сверху по изменению фазового состояния. В п. 1.1.3 получена оценка для изменения частично-программного максимина с изменением исходной позиции (п,х»), когда эта позиция перемещается в пространстве, следуя траектории {1, хк[1]} системы ¡1), которая отвечает некоторому случайному движению. В п. 1.1.4 доказана следующая теорема.
и
Теорема Каковы бы ни были исходная позиция (г«, х»)
^г, <£к, к =!.....гп) и последовательность разбиений Аг (г = 1,2,...),
удовлетворяющая условиям (3) и Нш8г=0, где б,. =5ир(т|г'-т1У),
существует предел
1ш1 рк(ц,х„Лг)=рк(и ,х*)
0Г—Н)
и справедливо равенство
рк(ц, х*) = рк(ц,х.)
Здесь рк(и,х») — цена соответствующей позиционной дифференциальной игры.
В § 1.2 предполагается, что движение конфликтно-управляемой системы описывается линейным дифференциальным уравнением
Х = А(0Х + В(1)Ш-С(1)У (4)
где А(0, В^), Соизмеримые, ограниченные матрицы функции с соответствующими размерностями. Управления и и V выбираются соответственно из компактных множеств РсЯр, (¿сЛ4. Заданы моменты времени 10 = д0<1>1 <...<г>т =0 и в й' заданы выпуклые, замкнутые и ограниченные множества Мк (к = 1,..., т). Рассматривается дифференциальная игра уклонения от целевых множеств Мк в классе стохастических частично-программных стратегий. Определяются стохастические частично-программные стратегии игроков и случайное движение. Наряду с движением исходной системы (4) рассматривается движение точки (поводырь) и'!;), динамика которой определяется следующим уравнением
и^А^ + В^+ССф
С помощью построенной X -функции, при самом упорном сопротивлении со стороны первого игрока, построена стратегия второго игрока, отслеживающая поводырь, которая обеспечивает соответствующие уклонения от всех целевых множеств.
В п. 1.2.1 предполагается, что второй игрок истинное положение сис-
темы х, в момент времени t,e[to,0] измеряет с ошибкой х,. Следовательно, построенное движение в виде ломанных Эйлера (t, x[t]) для системы (4) даже при х. =w, может выйти из пучка, построенного поводырем (t, w[t]). Получена мажорирующая оценка для величины расстояния стохастического состояния системы от поводыря в виде
. + £5!<>]* P2(t,> VS5' +-L(9(5W)+cd£l)x
к-И , , t+l , , ^
2vX5<r) 2v£6[r)
"Pi
l+cd£;
г \
2v£S<''
где
p(t)=!|w(t)-x[t]||,
|jc(t|<c,|jA(t)j|<v, d= max p(v„v2),
Vj, V2^Q
u + Zt i=l
H f ^
i=I
<£j, (?(o[r))-iOt при 5|rUo.
В § 1.3. исследуется дифференциальная игра при нескольких целевых множествах для поэтапно меняющихся собственно линейных систем
= Ак(1)хк (к = 1.....т)
где ^ : [(д. ©]хРкх(Зк Я" непрерывная функция. Платой игры является (2). Определены стохастические частично-программные управления и случайное движение, существование которой обосновано в силу теоремы о суперпозиции измеримых функций. В п. 1.3.1 методом стохастического программного синтеза построена стохастическая программная конструкция. В п. 1.3.2 исследована эволюция частично-программного максимина и получена оценка для ее измерения.
В § 1.4 предполагается, что движение конфликтно-управляемой системы описывается поэтапно меняющимися нелинейными дифференциальными уравнениями
*k=4(t."I[,ult,vk)(k = l.....m) ¡5)
где функции fk •.[t0,°°)xRnxPkxQk->Rn удовлетворяют стандартным условиям гладкости, липшицевости и роста, а также условиям седдовой точки в "маленькой" игре. Рассматривается дифференциальная игра
уклонения от целевых множеств Mk(k = l.....m), когда игроки свои
стратегии выбирают из класса соответствующих вероятностных мер. Наряду с движением исходной системы (5), рассматривая движение поводыря, которое формируется так, чтобы в процессе игры они взаимно отслеживались, стратегия второго игрока, гарантирующая ' уклонение от всех целевых множеств, строится с помощью функции Ляпунова. Получена оценка расстояния между пучком построенного поводыря и пучком стохастического движения.
Во второй главе исследуются задачи оптимального управления объектами, движения которых описываются линейными дифференциальными уравнениями и интегро-дифференциальными уравнениями (системами с распределенными параметрами) с фазовыми ограничениями и ограничениями по отношению к части координат, заданные в промежуточные моменты времени, когда критерий качества задан на всем промежутке времени.
В § 2.1 предполагается, что движение управляемого объекта описывается линейными дифференциальными уравнениями
x = A(t)x + B(t)u+f(t) (6)
где хе R"-фазовый вектор, A(t)-(nxn), B(t)-(nxr) мерные матрицы, элементы которых измеримые ограниченные функции, f(t) - п — мерный вектор внешних воздействий (измеримая ограниченная функция) при t0 < t < Т, в заданные моменты времени
t0<t,<...<tm<tm+1 =Т (7)
фазовая точка x(tk) принадлежит некоторому компактному множеству
x(tk)eXkcRn (8)
Предполагается, что на промежутке времени [t0,T] задан критерий качества ®[и]. Сформулирована задача оптимального управления линейными системами при требовании перевода фазовой точки системы (6) из начального состояния x(t0) через фиксированные компактные множества Хк (или точки) (8) в конечное состояние х(т), так чтобы критерий качества принимал наименьшее возможное значение ге[и°]. В п. 2.1.1 решение поставленной задачи приведено к решению задачи условного экстремума, где надлежит определить минимум функционала ге[и] с интегральными соотношениями, которые получены путем дополнения до конечного состояния нулевыми продолжениями импульсных переходных матриц системы (6) соответствующих промежуточных состояний. При фазовых ограничениях вида (8) для исследования задачи предполагается, что зафиксированы некоторые точки x(tk) из компактных множеств Xk(k = l,..„ т). Следовательно построенное оптимальное управление u°(t) будет зависеть от выбранных точек x(tk), т.е. u°(t)=u(t, x(t0), ...,x(tk),..., х(т)), поэтому значение функционала также будет зависеть от выбранных точек x(tk). Далее надлежит найти такие точки x(tk) из множестваХк, для которых функция ae[t0, x(tj),...,x(tm),T] принимает минимальное значение, т.е.
®[t0.4.....tm.T]= .min s[t0,x(t)),...,x(tm),T].
x(lk>Xk
k=l.....m
Если функционал ае[ц] является нормой некоторого нормированного пространства, то оптимальное управляющее воздействие u°(t) строится с помощью проблемы моментов. В п. 2.1.2 приводятся некоторые свойства рассмотренной задачи. При том же критерии качества приведено сравнение решения этой задачи с решениями задач оптимального управления без фазовых ограничений на промежутке времени [t0,T] и для каждого промежутка [tk_|,tk](k = l,...,m). Показано, что увеличивая число промежуточных моментов времени с соответствующими фазовыми
ограничениями можно обеспечить прохождение движения системы в желаемой трубке.
В § 2.2 исследуется задача оптимального управления системой (6) с критерием качества ®[и], заданным на всем промежутке времени, когда в моменты времени 1к(к = 1,...,т+1) ограничения поставлены только по отношению к части координат фазового вектора х((к)
(Ь )-• .«¡к М (¡к 5 п, к = 1,..., ш +1) а остальные координаты в моменты времени (к могут принимать любые допустимые значения. Изложен путь решения этой задачи.
В § 2.3 сформулирована задача оптимального управления поэтапно меняющимися линейными системами с фазовыми ограничениями и ограничениями по отношению к части координат, заданными в моменты времени 1к (7) "переключения" системы, когда критерий качества задан на всем промежутке времени и предложен способ решения этой задачи.
В § 2.4 рассматривается задача оптимального управления движением материальной точки переменной массы в однородном гравитационном поле с фазовыми ограничениями, заданными в промежуточные моменты времени, когда функционал характеризует расход массы. При заданных моментах времени 10 < 1, < (2 и соответствующих фазовых ограничениях с помощью проблемы моментов построен явный вид оптимального управляющего воздействия, который является реактивной силой материальной точки. Рассмотрен численный пример в следующих случаях: когда в промежуточный момент времени ц фазовое ограничение задано в виде фиксированной точки; когда эта точка принадлежит фазовому пространству и когда задано ограничение в виде окружности только по отношению к геометрическим координатам. Проведенный анализ для полученных указанным способом, решенш! в разных постановках подтверждает теоретические результаты,
В § 2.5 приведен кинематический и динамический анализ многозвенного манипулятора, звенья которого считаются абсолютно твердыми
телами. В общем случае сформулирована задача оптимального управления с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени. Так как, уравнения движения в общем случае нелинейные, то приведены линеаризованные уравнения этой системы. В п. 2.5.1 рассматривается задача оптимального управления трехзвенного электромеханического манипулятора, звенья которого совершают одно вращательное и два поступательных движения с заданными промежуточными состояниями. Предполагая независимость движения звеньев манипулятора, получена система линейных дифференциальных уравнений. С помощью изложенного способа решена сформулированная задача, и построен явный вид оптимальных управляющих воздействий, которые являются входными напряжениями двигателей приводов.
В § 2.6 предполагается, что движение управляемого упругого континуума L описывается следующим интегро-дифференциальным уравнением
Q(P. 0=--jjK(P,S)^|ÏÏda(S)+j}K(RS)dF(S, 0 (9)
L L
где Q(P, t) отклонение точки P от положения равновесия в момент времени t,K(P,S)-функция влияния, т.е. прогиб точки Р от единичной силы, приложенной в точке s(s, PeL), do(s) - масса, приходящаяся на элемент dS, dF(S,t) внешняя сила, приложенная к участку dS перпендикулярно плоскости равновесия.
Пусть прогиб Q(P, t) удовлетворяет начальным условиям
Q(P,O) = <p0(P), (10)
В промежуточные моменты времени (7) заданы значения состояния
q(p, tj) и скорости ^"d^'^Utj любой точки континуума. Заданы также
значения состояния и скорости любой точки континуума в конечный момент времени
О(р,Т) = 0, ^ит=о
(11)
и минимизирующий функционал
т
(12)
о ь
где
Ц1
ь
Среди возможных управлений и(Р, I), 0< 1 <Т требуется найти оп- ' тимальное управление и°(Р, с), переводящее систему, описываемую уравнением (9), из заданного начального состояния (10) через заданные промежуточные состояния в конечное состояние (11), и минимизирующее функционал (12). В п. 2.6.1 рассматривается задача оптимального управления собственными колебаниями прямоугольной мембраны, края которой закреплены, и в промежуточные моменты времени заданы значения прогиба и скорости мембраны при заданном критерии качества на всем промежутке времени. С помощью метода разделения переменных решение этой задачи сводится к проблеме моментов в пространстве Ь2. Получены явный вид оптимального управляющего воздействия и минимальное значение функционала. Исследована сходимость рядов для полученных решений. Показано, что увеличением числа промежуточных моментов времени, выбором ограничения для прогиба и скорости в промежуточные моменты времени с помощью построенного оптимального управляющего воздействия можно переводить систему к конечному состоянию так, чтобы движение проходило в заранее предусмотренной полосе. В п. 2,6,2 решается задача оптимального управления для случая, когда в промежуточном моменте времени задано только значение прогиба мембраны.
В § 2.7 построенная оптимальная фазовая траектория системы (6) с функционалом
{и] =
/ 1и,2М
1т
¡13)
для двухточечной задачи считается желаемой траекторией. На практике реальное движение системы под воздействием программного управления и°(т), те [(0, Т] будет отличаться от желаемого движения х°(0, обусловленным различными причинами, следовательно, в конце процесса не будет выполнено конечное условие. Поэтому предполагается, что в моменты времени с0 = т, <...<тк =Т имеется возможность корректировки фазовой траектории движения системы ддя прицеливания на траекторию х°(0. В зависимости от ограниченности физических возможностей измерительных устройств и различных внешних влияний результаты измерения значения фазового вектора будут неточными и характеризуются появлением случайных величин. Построен стохастический программный синтез для линейных управляемых систем. Построены соответствующее оптимальное стохастическое управление и стохастическое движение
х(1,.....Ы+Й^МтИ^.-ЛИгМ)^
ъ
где и^т,^,...,^) - оптимальное управляющее воздействие, переводящее систему (6) из состояния .... в желаемое состояние х°(тж), и ми-
нимизирующее функционал (13) на промежутке времени [т,, тН1], Х^д] -фундаментальная матрица решения однородной части системы (6). Предполагается, что случайные величины ...,5,) распределены равномерно на полуинтервале [од) и в совокупности независимы. Получена оценка для отклонения стохастического движения от желаемого в виде
ИО-х^, (14)
¡=2
Третья глава посвящена описанию и построению области гравитационного пространства, в котором может оказаться управляемая материальная точка из заданного начального положения на исходной эллиптической орбите при заданной величине характеристической скорости. Исследуется изменение дальности полета при малых отклонениях начальных параметров, параллельное сближение управляемых объектов, оптимальное управление сближением управляемых объектов с учетом неточных измерений текущих состояний. Построены и исследованы математические модели игрового взаимодействия управляемых объектов в ньютоновском гравитационном поле при импульсном и непрерывном управлении, а также решены игровые задачи преследования в однородном центральном гравитационном поле.
В § 3.1 выводится уравнение, описывающее семейство орбит, выходящих из заданной точки эллиптической орбиты при заданной величине характеристической скорости для компланарного случая.
В § 3.2 определяется понятие области достижимости при движении из заданной точки исходной орбиты и области достижимости для заданной эллиптической орбиты при заданной величине характеристической скорости. В п. 3.2.1 граница области достижимости в плоском случае строится как огибающая семейства орбит. Показано, что условия теоремы о существовании огибающей семейства непрерывных кривых в данном случае выполняются. Получено уравнение границы области достижимости. Приведен алгоритм, с помощью которого можно численно построить границу области достижимости. Предложенный метод построения границы области достижимости является конструктивным. В п. 3.2.2 в предположении, что величина характеристической скорости мала, выводится уравнение границы области достижимости по первому приближению. В п. 3.2.3 в качестве иллюстрации изложенного метода рассматривается задача построения области достижимости из круговой орбиты в предположении, что суммарный вектор скорости в точке
старта постоянен по величине. В этом случае доказано, что граница области достижимости из фиксированной точки круговой орбиты есть эллипс, известный под названием эллипса безопасности, один из фокусов которого совпадает с центром притягивающего тела, а линия апсид проходит через точку старта. Граница области достижимости из заданной круговой орбиты является окружностью. В п. 3.2.4 предложена схема построения области достижимости в пространственном случае. Она основана на том, что всевозможные траектории управляемого движения расположены в плоскостях, пересекающихся с плоскостью исходной орбиты по линии, притягивающей центр-точку старта. В п. 3.2.5 формулируются и доказываются характерные свойства области достижимости в центральном ньютоновском поле.
Утверждение 1. Функция D(x0,V) непрерывна по совокупности аргументов в метрике Хаусдорфа.
Здесь х0 - начальная эллиптическая орбита, V - величина характеристической скорости. D - область достижимости.
В § 3.3 исследуется изменение дальности полета пассивного участка материальной точки из исходной орбиты при малых отклонениях значений величины прикладываемого импульса, угла ее наклона и точки старта на исходной орбите. В точке (iq, ), прикладывая характеристическую скорость V под углом , управляемый объект покидает исходную орбиту. Дальность полета пассивного участка задается формулой L = Rep, где R= const. Тогда в линейном приближении изменение угла ср, в зависимости от малых отклонений начальных параметров движения t)0, V и v< будет иметь место
3i}0 9V Эф
где
!+
а
р0 - параметр исходной орбиты, ц-гравитационная постоянная, уог - радиальная, ув1р - трансверсальная составляющие орбитальной скорости в точке (г0,1>0).
В § 3.4 получено кинематическое соотношение для параллельного сближения управляемых объектов в ньютоновском поле, которое позволяет преследователю, при заданной программе для модуля характеристической скорости или угла ее наклона, единственным образом определить второе. Если заранее не задан ни модуль характеристической скорости, ни угол ее наклона, то преследователь имеет возможность выбрать свои управляющие параметры оптимальным образом.
В § 3.5 исследуется процесс сближения космического аппарата с неманеврирующим объектом на орбите. Рассматривая линеаризованное уравнение относительного движения космических объектов, построены оптимальное программное управляющее воздействие и оптимальная траектория (желаемая), обеспечивающие конечное фазовое состояние и минимизирующие функционал вида (13). Под воздействием программного управления, построенного для линеаризированных уравнений, на
практике реальное движение отклоняется от желаемого. Поэтому используя подход, изложенный в § 2.7, решена задача оптимального стохастического управления сближением космических аппаратов с учетом неточных измерений текущих состояний. Получена оценка, аналогичная (14), для отклонения реального движения от желаемого движения.
В § 3.6 построены и исследованы математические модели игрового взаимодействия управляемых объектов в ньютоновском центральном поле при импульсном и непрерывном управлении. Для этой цели приводится уравнение движения управляемого объекта переменной массы в рассматриваемом поле тяготения. В п. 3.6.1 построена многошаговая антагонистическая игра Г(х0,у0, N,(1), где (1-гравитационная постоянная. Предполагается, что у обоих игроков имеются достаточные запасы ресурсов для выполнения N-шаговых орбитальных маневров, и после каждого импульса они остаются в поле тяготения центрального тела. Выигрышем второго игрока является величина
тах Г(хк,ук;,к)= р(х, у)
где г -непрерывная функция от х, у. Выигрыш первого игрока равен -Р. Через х = (х0,...,хн), у = (уо, ..Ук) обозначены реализованные траектории игроков, соответственно первого и второго, в процессе игры. В целом, траектории х и у являются цепочками кусков эллипсов, соединенных в точках приложения импульсов с характеристическими скоростями и у[2\ к = 1,.... N. Игроки принимают чистые стратегии, каждый раз осуществляя выбор величины импульса и угла его наклона. На основе свойств области достижимости показано существование ситуации равновесия в чистых стратегиях. В п. 3.6.2 построена и исследована модель неантагонистической задачи о мягкой встрече с заданной трансверсальной составляющей скорости двух игроков в одной плоскости в предположении, что начальные орбиты круговые. Игроки
стремятся обеспечить конечные условия игры с минимальными затратами ресурсов. В классе двухимпульсных программных стратегий построена парето-оптимальная ситуация. В п. 3.6.3 рассматривается игровая задача преследования двух материальных точек переменной массы непрерывным управлением с предписанной продолжительностью и терминальным выигрышем. Решение этой задачи приводится к решению эквивалентной задачи Коши. В п. 3.6.4 построена и исследована модель игры с "линией жизни" в ньютоновском поле в плоском случае. В качестве "линии жизни" рассматривается граница области, достижимости второго игрока. Исследован вопрос о минимальном количестве ресурсов первого игрока, которое необходимо для выхода за внешнюю границу "линии жизни". Получено условие, характеризующее выигрывающие множества игроков.
Утверждение 2. Для того, чтобы точки (if'.^je ?5\ (ь^.Фг )е А принадлежали выигрывающему множеству игрока 1, необходимо и достаточно, чтобы имело место
— (E,-e,sinE,)<— (Е, ~e2sinE2)—-(в2-е2 smE°) Ü! n2 n2
где ai=-j¡2i большая полуось i-ой орбиты, i =1,2; E, - эксцентрическая ai
аномалия, e, - эксцентриситет орбиты.
В § 3.7 рассматриваются игровые задачи преследования Г(у,г,ю) в однородном центральном гравитационном поле (здесь ог = |хг~,3, гср- средний радиус сферического слоя). В п. 3.7.1 решена игровая задача преследования Г(у,г,'Г,м) с предписанной продолжительностью Т. В этой игре функцией выигрыша является величина расстояния между игроками. Показано, что если Т< —, то оптимальную стратегию игрокам дос-
со
тавляют постоянные управления, такие что векторы ускорений преследователя и преследуемого ориентированы параллельно друг к другу, а
их величины максимальны. Получен явный вид значения игры. Показано также, что если — п<Т<—(п+1), то фазовая поверхность, отве-
ш со
Я , . , л
чающая моментам времени тк=—к, к = 1,2,..., п,является поверхностью
со
переключения. В момент времени хк, происходит переключение стратегий игроков, изменяется направление ускорения на противоположное, а величины ускорения остаются максимальными. Найдено также значение игры для этого случая. Далее рассматривается игра преследования на быстродействие Г(у,г,со). В общем случае найдены оптимальные стратегии игроков, оптимальная траектория игры и получено выражение для определения значения игры. В плоском случае, при некотором ограничении на начальные состояния игроков, получен явный вид значения игры. Показано, что в играх г(у,г,Т,со) и Г(у,г,ш) в пределе при со-» 0, полученные результаты совпадают с решениями аналогичных игр Г (у,/Л') и Г(у, г) при отсутствии гравитационных сил.
Четвертая глава посвящена синтезу и оцениванию состояния систем, движение которых описывается интегро-дифференциальным уравнением с симметричным ядром и систем с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния.
В § 4.1 исследуются вопросы измерения состояния распределенных систем, приводятся математические выражения, которые могут служить выходами измерительных устройств для идеальных и реальных сигналов.
В § 4.2, предполагая, что движение системы описывается интегро-дифференциальным уравнением
= (15)
где (3(хд)-отклонение точки с абсциссой х от положения равновесия в момент времени I, К(х,б) -функция влияния, рассматривается задача построения оптимальной операции, восстанавливающей состояние сис-
темы при реальном сигнале
Z(T)=j[f(x)Q(x,-!:)+g(xX?(x,t)+(o(x^(x))]dT, t-fl<x<t (16)
s
Здесь функции f(x) и g(x) характеризуют множества на континууме S, подлежащие измерению, ш(х, ^(т)) - случайный процесс, тЭ > 0 постоянное число. Методом разделения переменных уравнение (15) приводится к бесконечной системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами и с неограниченным оператором. Из (16) имеем следующее выражение для каждой гармоники реального сигнала
zk(x)=fkx 1к(х) + £кх2кМ+Ак(т)> t-l3^X<t (17)
где
xlk(t)=Qk(tX =!-2,...)
погрешность Дк(х) удовлетворяет условию
J4(t)dT
здесь 5к (к = 1, 2,...)-положительные постоянные.
Требуется для каждого k = 1.2,... найти операцию (?lk[i,zk(x)], i = l, 2 которая удовлетворяет условию
supl<p?k [t, zk (т)]- xik (t 1 = min sup|tplk [t, zk (x)] - xik (t}
Zk ' ' «Pik Zj.
по всевозможным реализациям zk(x) (17) и по всевозможным операциям <Pik-
Рассматривая специальным образом усиленный поступающий сигнал для каждой гармоники yk(t), и учитывая некоторую предысторию этого сигнала, построена универсальная оптимальная операция
«ЙЬ.Ук(т)]= }yk(Ä.i)iT (18)
i-e
где vS(t,t)=vg(?). C = x-t
Ук|(0=—7-—Гё^кви
1«и. . к2 хп2 г
^■"(оыОкг-ОкзК+8к
X ССК,Д7г;-ёк МП^к(«к! - °к2 )+ (<к - 8кКзIх
х(Гк 5Ш+ gk «М-Д^)}.
(20)
Операция (18) позволяет определить прогиб и скорость любой точки системы при наблюдении сигнала гк (т) на множестве положительной меры.
Показано, что
где а=1 + е, е > 0 число. Показана также ограниченность нормы построенной бесконечномерной операции.
В § 4.3 рассматривается задача оптимального наблюдения колебаний струны. Используя результаты § 4.2, построен универсальный оптимальный фильтр, восстанавливающий прогиб и скорость любой точки струны в заданный момент времени.
В § 4.4, учитывая важное практическое значение управления систем с распределенными параметрами по принципу обратной связи, рассмотрена задача оптимального наблюдения управляемых колебательных движений прямоугольной мембраны, края которой закреплены. Применяя метод, изложенный в § 4.2, для каждой гармоники построена оптимальная разрешающая операция,
/Ую.ЛМ)»!- \Чкп(I.тХь'"кп(г^кл«м^кл(г -0+ (<»з\к„(х-()- 1)]с1т (21)
где
лкп
Здесь функции (м) аналогичны функциям (19) и (20), а иь(т) -коэффициенты разложения управляющего воздействия. С помощью (21) определяются прогиб и скорость всех точек мембраны в любой момент времени.
1. На основе метода стохастического программного синтеза для дифференциальных игр при нескольких целевых множествах поэтапно меняющихся линейных и собственно линейных систем, когда платой игры является функционал от траектории в заданные моменты времени, определены стохастические частично-программные стратегии игроков и соответствующие случайные движения. Построена максимизирующая последовательность, доставляющая частично-программный максимин. Показано, что совокупность таких последовательностей является ограниченным, замкнутым, выпуклым множеством и изменяется полунепрерывно сверху по изменению фазового состояния. Получена оценка для изменения частично-программного максимина. Доказано, что стохастический частично-программный максимин является ценой для соответствующей детерминированной позиционной дифференциальной игры.
2. Для линейной дифференциальной игры уклонения от нескольких целевых множеств в классе стохастических частично-программных
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
стратегий построена стратегия второго игрока, отслеживающая поводырь, которая обеспечивает уклонение от всех целевых множеств при самом упорном сопротивлении со стороны первого игрока. Получена оценка для величины расстояния стохастического состояния системы от поводыря в любой момент времени.
3. Для дифференциальной игры уклонения поэтапно меняющейся нелинейной системы от нескольких целевых множеств в классе соответствующих вероятностных мер построена стратегия второго игрока, гарантирующая уклонение от всех целевых множеств и получена оценка расстояния между пучками стохастического движения и поводыря.
4. Разработан конструктивный метод решения задач оптимального управления объектами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями и поэтапно меняющимися уравнениями с фазовыми ограничениями и ограничениями по отношению к части координат, заданных в промежуточные моменты времени, когда критерий качества задан на всем промежутке времени. Выявлены характерные свойства этих задач. Показано, что увеличивая число промежуточных моментов времени с соответствующими фазовыми ограничениями, можно получить решение задачи оптимального управления по заданной трубке. Решена задача оптимального управления движением в гравитационном поле, проведен численный расчет и анализ результатов, а также решена задача оптимального управления электромеханическим манипулятором.
5. Исследована задача оптимального управления системами, движение которых описывается интегро-дифференциальными уравнениями с фазовыми ограничениями, заданными в промежуточные моменты времени, когда критерий качества задан на всем промежутке времени. Решена задача оптимального управления колебаниями прямоугольной мембраны, края которой закреплены и получен явный вид минимального значения функционала. Показано, что увеличивая чис-
ао промежуточных моментов времени с соответствующими ограничениями на прогиб и скорость мембраны, можно обеспечить колебательное движения системы в заранее предусмотренной полосе.
6. Реализован стохастический программный синтез для оптимального управления систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, и дана оценка для отклонения реального движения от желаемого движения.
7. Получено уравнение семейства траекторий, выходящих из заданной точки, при заданной величине характеристической скорости. Предложен алгоритм построения границы области достижимости в плоском случае и схема для построения в пространственном случае. Изучены ряд характерных свойств области достижимости.
8. Исследовано изменение дальности полета в ньютоновском гравитационном поле при малых отклонениях начальных параметров и получено кинематическое соотношение для параллельного сближения управляемых объектов. Методом стохастического программного синтеза решена задача оптимального управления сближением космических аппаратов с учетом неточных измерений текущих состояний и получена оценка для отклонения реального движения от желаемого движения.
9. Для случая ньютоновского гравитационного поля решены следующие задачи: построена модель многошаговой антагонистической игры и показано существование ситуации равновесия; построена модель неантагонистической игры в плоском случае и в классе двухимпульс-ных программных стратегий найдена парето-оптимальная ситуация; для модели непрерывной антагонистической игры с предписанной продолжительностью игровая задача сводится к задаче Коши; построена модель игры с "линией жизни" и получено условие характеризующее выигрывающие множества игроков.
10.Для случая однородного центрального гравитационного поля решены
игровые задачи преследования с предписанной продолжительностью и на быстродействие.
И.Дана постановка задачи оптимального наблюдения системы, движение которой описывается интегро-дифференциальным уравнением при реальном сигнале, и найдена величина усиления сигнала для каждой гармоники, при которых получается универсальная оптимальная операция, восстанавливающая состояние системы. Решены задача оптимального наблюдения струны и задача оптимального наблюдения управляемых колебательных движений прямоугольной мембраны края которой закреплены.
ПЕРЕЧЕНЬ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Барсегян В.Р. Дифференциальная игра преследования в гравитационном поле. Уч. записки ЕГУ, 1988, 2 (168), с. 31-37,
2. Барсегян В.Р. Дифференциальная игра преследования с предписанной продолжительностью в гравитационном поле. Вестник ЛГУ, сер.1, вып. 2(8), 1988, с. 97-98.
3. Барсегян В.Р. Об одной модели неантагонистической игры в гравитационном поле. Межвуз. сб. научных трудов. "Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы". Пермь, вып. 21, 1988, с.24-27.
4. Барсегян В.Р. Область достижимости управляемого движения в гравитационном поле. Рукопись депон. ВИНИТИ, 1325- В88 от 18 февраля 1988, 40 с.
5. Барсегян В.Р., Малафеев O.A. Об игровых задачах в центральном ньютоновском поле тяготения. Межвуз. сб. научных трудов. "Проблемы теории игр в общих системах". ЯГУ, Якутск, 1988, с. 51-56.
6. Барсегян В,Р. Игра с "линией жизни" в гравитационном поле. Сб. научных трудов. "Теория игр и ее приложения". Кемерово, КемГУ, 1989, с. 89-97.
7. Барсегян В.Р. Кинематические зависимости при параллельном сближении управляемых объектов в ньютоновском гравитационном поле. Материалы VIII конференции молодых уч. Института механики АН Армении. Ереван 18-22 февраля, 1991, с. 11.
8. Габриелян М.С., Барсегян В.Р. Стохастический программный синтез для поэтапно меняющихся линейных систем. Уч. записки ЕГУ,. 1994, 2, с. 29-39.
9. Барсегян В.Р. Изменение дальности полета при малых отклонениях начальных параметров. Изв. HAH РА, Механика, 1995, т. 48, 1, с. 3-8.
10. Габриелян М.С., Барсегян В.Р., Симонян Т.А Об уклонении стохастической линейной системы при m целевых множествах. Уч. записки ЕГУ, 1996, 1, с. 10-16.
11. Барсегян В.Р., Сардарян А.Г. К задаче оптимального управления линейными системами при фиксированных промежуточных фазовых состояниях. "Некоторые вопросы теоретической и прикладной механики". (Сб. статей), Ереван, 1997, с. 9-15.
12. Барсегян В.Р. Стохастический программный синтез для поэтапно меняющихся систем. "Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем". Ереван, 1997, с. 28-33.
13. Барсегян В.Р., Сардарян А.Г. Оптимальное управление трехзвенного электромеханического манипулятора при фиксированных промежуточных фазовых состояниях. Уч. записки ЕГУ, 1997, 2(187), с. 83-85.
14. Барсегян В.Р., Сардарян А.Г. Оптимальное управление двухзвенного манипулятора при фиксированных промежуточных состояниях. "Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем". Ереван 1997, с. 34-39.
15. Барсегян В.Р. Задача наблюдения колебаниями струны. Изв. HAH РА,
Механика, 1998, т. 51, 1, с. 72-78.
16. Барсегян В.Р., Айрапетян В.В. К задаче наблюдения управляемых колебательных движений мембраны. Уч. записки ЕГУ, 1997, 2(187), с. 21-26.
17. Габриелян М.С., Барсегян В.Р., Симонян Т.А. О гарантированном уклонении поэтапно меняющейся системы от нескольких целевых множеств. Научная сессия Армянского Математического союза, 17-19 декабря, 1997. Тезисы докладов, с. 10-11.
18. Barseghian V.R. String Vibration Observation Problem. Control of Oscillations and Chaos. 1-st International Conference. St. Petersburg.
1997, p. 309-310.
19. Барсегян В.P. Об оптимальном управлении колебаниями мембраны при фиксированных промежуточных состояниях. Уч. записки ЕГУ,
1998, 1(188), с. 24-29.
20. Барсегян В.Р. Оптимальное стохастическое управление сближением космических аппаратов. Изв. HAH и ГИУ Армении, сер. Технические науки. 1999, 1. с. 94-100.
21. Барсегян В.Р. Оптимальное управление линейными системами при фиксированных промежуточных фазовых состояниях. Изв. HAH РА, Механика, 1999, 2 с. 56-62.
uua>na>uQhn
4UL3U aU3)U3bLh PUPUblSUb «IfiGuuLiMailjuiG huuJwljiupqbp|i qbl)iuilujpnu5|] U q|iuinii5|] l}nQ$>i№uiuJjfiO fiptuith^ujliDbpniO»
VANYA R. BARSEGHYAN "Control and Observation of Dynamic Systems in Conflict Situations"
U2|uLULniuGj5Q DM.hPi4.Lu6 t libQLnpnDwgilujd U. puu2h-itluu<i mujpwtibLnpbpnil hui-iSujLjLupqbpfi 2wpc№ujG oujmfiiiuJL qbljiuilujpiIiuGp, ^ujqajjfiD i|f)i5u)l)Gbp|i rifim-. iSujGq b qDLuhiuintiiuGQ duii5iuGujli[i C|i2UjGI}jui|. u]iuhbp|iG qpi|iu6 $>ujqiuj[iG uujh-tfujDujL|iujl|nu5Gbp|i, hpiuilhtiuiliObpli U ujGnpnznLpjiuD LqaijiituG-
Gbpfi LunLjUijnipjiiiG i)bujpnu5: ^liinuipLiijLud bG fiG£ii)bu huiuiniuinmG, wjGuqbu t[ tiniuuj wn tinuuui i)mi(in|mlni\ q|iGuJii[ibuijn4 huutiujbujpqbp:
Cuiin Giqujiniu^iujfiG puiqdnipjnLGDbptn rjbu|pnu5 tuiiuuj uin tmiuu) ifini{in[mlnr\ qdiujpG, U huutfuipjiu qduijfiG rtfiGwiJfiliujjnil qh^pbGgliuJL |miribp|i hujiiujp, bpp fxiuur^fi qfiGQ hiuGqfiuwGnitJ t duiiJiuGujl)fi i5fi2UJDMJUJL uiajhbpfiQ hbuiiuqdhg ljujfuiliud $ini.GL]g{inOuJL, uuihtiiuGilwd t tuujqiugnqGbph uuin-Ixiaiuinfili i5aiuGail]h-6pLuqpuijfiG uuipaiubqpuiGbp b htuiiuiiquiinujufuuiG u]iuuiiu-hiuljiiiG 2Lupdnii5Gbp: UiuuGujbh-6pujqpujjhG i5ui£u|ii5}iGfi haiilaip ljwnnigiluj6 t dmpuhi5|iqiugGnq hujgnpqai^ajGnipjnLG U hbuiuiqnuii{uj6 bG uujr>ajhufi hiugnpqiu-l)UjGni.pjnLGGbpti hujuil^nLpjnLGGbpi]: Uinuigi[ui6 bG qGiuhuiunuljuiGGbp l5iuu-DixjL(|i—¿rpuiqpuijjiQ i5iuputii3hG|i huiiSiup: Uujuignigijujfiit, np umnfuuiuuihl) ilaiu-GaiL)[i-dpujqpujjtiG i5iupu[ii5JiGq hiuDr^puuiGnnS t hiuduJiqiuinutTJuuG qbinbp-(]fiGmgi|ai6 q|i^bpbGgtiiu[ fuajqfi q|iG|]: Uuin|-utuuuihl( i5wuGiul|[i-6pujqptujhG uinpaiinbqfimGbpfi r}iuunti5 ruunu5Giuu[ip4wd t 2Win Ga|UJtnujl)UijfiG piuqi5nip-jniGGbpfig ¿briJaiD r{fi$bpbGg[iiu[ fuairiQ b umiugi{uid t ntqqnpqfig hiutfiuljujpqf? rtfipfifi hbnujijnpnLpjujG qGiuhiuiniuljUjGti ijbpbhg cfuitituGujlih jnLpiupwGynLp Lqiuhji hiudiup: btituG qGiuhiuinail)aiG utnuigi|Lu6 t GuiU trniuu) lun tmaiq ifin-i|infxji|nq nj q6uujfiG huii3iuljuipqbp[i 2u'm Giquimiul|UJj[iG pujqdni.pjn(.GGbphg 2bqduiG r).fi$bpbGghuJL fuiuqfr hiutiuip:
QUiul)bpimitu6 li munitfGujuhpiiwfr t huiuiniuinmG U tuiiuu) uin tuiuiiq i|in-
фп|ш1пг\ rtfiQiuútil|uijn4 qóiuj|iú hiutfuilíiupqbpti hiuúiup ou|ui{iúuii_ г\Ь1|ш4шр-úuiG fuûqfipûbp doitiiuûiulih úh2wGl|jiUL uiuihbpfiü inptluiö 4>iuqiuj}iû uiuhikuGui-фш1|пи5йЬрп4, fiG¿u]bu GuiL. $iuqujj|iG IjnnprtfiGiuinGbph úfi úoiufi 1|рш rçpiluiô ишМшйшфш^гийОЬрпЦ, bpp npoilffî hiujiniuGfiZD трЦшб t lutfpnqç cfrutJiuíiiut|fi ^ОшЬрЦш^пиЗ: Snijg t шрЦшб, np, aiilb|UigGb|n4 diuúiuGuit)h i5(igujGl|juiL щш-hbpQ huii5iuu|ujmuiutiiujû 3>iuqiujhG uuihGi5tuGu^iulinu5Gbpn4 huiúiuliujpqti ощш[и5ш[ 2tup<íniúQ 1)1цшш1^1110(1 шрЦшб tuniyii|iul|fiü: Ujqiqbufi qpiliuöjaübpniJ [тбфиб ЬО 1)Ьйтрп0шд1[ш0 U рш2^4ш0 ujiupuiübmpbpnil tfbfbuiGpljUJ^iiiG huíüiuljajpqbpfi oujinfiüuii г^Ы^ш^шрйшО fuörjpfiübp: Qàiujfrû huii5w^ujpqbp}i ощифйш|_ цЫцифирйшй huiúiup l]uinrugi|LUó t ишфишифЦ áptuqpujjhG ujiûpbq L utnuigijuiá t дшй1|шф ni utnnfuiuuinhl) 2UJpdniú0bph hbniu4nprupjujG qúiuhiuiriujl)aiG[]:
итшдфпй bG GjnLinnOjiuû qpiuitfimuigtinG qui2innid utiqpGiulpjJÛ nLtibôpji 1лр4ш6 Ijbmfig трЦшд pDm.piuqp|4¿ ujpiuqrupjujdp qrupu bljnq 2wpcínu5Qbp|i фйрр huj^uJuujpruiÜQ: Unuijiupluluiá t uiqnpfipiJ hujpp qbiqpruú hiuuui-Gb[|uupjujü uijiprujpfi t|uinni.gi5iuG hiuútup, iniupuiáiuljuiü qbaißruü uj|.qnn|ipt3h Ijumnigiüiuü ufubiîur. ГкипиЗСилфрфиб t pnháph hbnuiilnpnipjujû фпффп^гиОц' ul)qpGuil]UiG ujuipujiíbinpbpfi фпрр 2bqnuîûbp|ig:
111лшд4ш0 t ^Ырлфиргщ opjbljmGbpfi qmqmhbn únmbgúujG IjfiGbúiuinhLi UJaG^iupjruG U npn2iluió t pn^nq uuipßbpfi únuibgúuiG oiqintiúiui. uinnfuiuumjil) qbljimlujpruÜQ: Мшшидфиб L пшгиййшфрЦшб bû qpuii||iuiiughnG qui2Uibpnu5 пЬ^шфирфщ opjbljuiGbpfi fuuiquijliG фп^и^Ьдгп^гиййЬр^ йшрЬйшт^ш-IjluG dnqb[Gbp [ii5uini.|uiujhG U uiG|]Gn.liiuin qbljuiL(iupniiiGbpfi qbujpnuJ:
Чшпгидфиб t ufiúbmpplj Ijnphqnil JiGmbqpuiitfiÍJbpbGghuJi. Ьш4шишрпи5ш1 G^iupuiqp^iq hu»5uil)ujpq|i ilh^líG (ípiuljuiG inqqiulinij ilbpuJljiuGqG^nri 4uj|üujGfi oujinjiúui|_ ntGtiLlbpumi. ЭДчшр: Lruó4uió bG lUJPh l* ni.r|r|UiGl)jruG úbúppujG|i imuuiujGruüGbph оицифйиц. qhuiüiuG fuGqfipübpQ".
