Уравнения обобщенной гидродинамики в кинетической теории и распространение акустических волн в разреженном газе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

□ОЗОбЭТЗВ

На правах рукописи

Соловчук Максим Александрович

УРАВНЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Калининград - 2007

Работа выполнена в Российском Iосударственном университете имени Иммануила Канта

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор кафедры теоретической физики РГУ имени Иммануила Канта Л ебле Сергеи Борисович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

зав кафедрой статистической физики СПбГУ

Щекин Александр Кимович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной безопасности и прикладной алгебры РГУ имени Иммануила Канта Верещагина Ирина Сергеевна Ведущая организация Московский инженерно-физический

институт

Защита состоится _2007 года в ч с /'мин

на заседании диссертационного совета К 212 084 02 физического факуть-тета Российского государственного университета имени Иммануила Каи га по адресу 236041, г Калининград, ул Александра Невского, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета имени Иммануила Канта

Автореферат разослан « ¿С » ¿^-А . л Ученый секретарь диссертационного совета

2007 года

В А Пахотин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Задачи газовой динамики традиционно рассматриваются с точки зрения гидродинамических уравнений Навье-Стокса Однако уравнения На-вье-Стокса справедливы только в области малых чисел Кнудсена (отношение длины свободного пробега к характерному масштабу неоднородности задачи) Уравнения Навье-Стокса становятся неприменимы, когда длина свободного пробега становится сравнима с характерным масштабом задачи Это может произойти или когда длина свободного пробега становится большой, или когда уменьшается характерный масштаб задачи Особенно это актуально при рассмотрении общей теории волновых возмущений атмосферы, где длина свободного пробега изменяется с высотой по порядку величины Соответственно, существенно меняются и числа Кнудсена (становятся очень большими) Например, в аэронавтике и космонавтике размеры аппаратов могут быть порядка длины свободного пробега Миниатюризация, с другой стороны, приводит к появлению приборов, микроэлектромеханических систем, где характерный масштаб задачи достигает длины свободного пробега

Бакнер и Ферцигер [1], опираясь на линеаризованное уравнение Больцмана, решили задачу о распространении линейной плоской волны в разреженном газе при произвольных числах Кнудсена Тестирование решения проводилось путем сравнения с экспериментальными данными Мейера-Сесслера [2] и Гринспена [3] для коэффициента затухания и фазовой скорости Лоялка и Ченг [4] уточнили граничное условие диффузного отражения, использованное в работе Бакнера и Ферцигера, учитывая закон сохранения массы на осциллирующей пластинке Они сводили модельное кинетическое уравнение к системе интегральных уравнений, которая затем решалась численно Их результаты для фазовой скорости и коэффициента

затухания находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными Однако перенесение этой методики на случай нелинейных волн невозможно Постановка граничных и начальных условий для функции распределения представляет собой дополнительную, трудно решаемую проблему

Поэтому в настоящее время продолжаются интенсивные поиски уравнений обобщенной гидродинамики, справедливых в широком диапазоне чисел Кнудсена В недавних работах с помощью несингулярной теории возмущений получены такие уравнения (Чен, Рао, Шпигель [5]), которые тестировались с помощью сравнения с классическими экспериментами Мейера-Сесслера [2] и Гринспена [3] Однако при больших числах Кнудсена результаты теории сильно расходятся с экспериментальными данными для затухания

Несмотря на значительное число работ и на кинетическом, и на гидродинамическом уровнях, описывающих кнудсеновский режим, правильный учет затухания в кнудсеновской области по-прежнему не включен в гидродинамическое описание Цель работы.

Настоящая работа посвящена изучению следующих вопросов

• развитие метода двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле силы тяжести,

• вывод уравнений обобщенной гидродинамики, справедливых в широком интервале чисел Кнудсена,

• решение задачи о распространении акустических волн малой амплитуды при произвольных числах Кнудсена в случае однородного газа,

• построение и анализ решения распространения акустических волн в неоднородной по числу Кнудсена газовой среде

Научная новизна.

В работе предложено развитие метода двухсторонних функций распределения, предложенного Лизом [7], для стратифицированного в поле тяжести Земли газа Были выведены новые системы уравнений обобщенной гидродинамики для моделей интеграла столкновений в форме Бхатна-гара-Гросса-Крука (БГК) и Гросса-Джексона на основе кинетического уравнения Больцмана Полученные уравнения дают хорошее согласие с экспериментальными данными по фазовой скорости при всех числах Кнудсена Но имеется расхождение с экспериментом для коэффициента затухания в области больших чисел Кнудсена Однако результаты для коэффициента затухания, полученных в уравнениях, лучше согласуются с экспериментом в области промежуточных чисел Кнудсена по сравнению с Ченом, Рао, Шпигелем [5] Для улучшения согласия с экспериментом в области больших чисел Кнудсена для коэффициента затухания разработанная методика вывода уравнений обобщенной гидродинамики применяется для обобщенного кинетического уравнения [6] Полученные уравнения дают качественное согласие с экспериментальными данными по фазовой скорости и коэффициенту затухания при всех числах Кнудсена, в отличие от других гидродинамических моделей, которые сильно расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена

Для случая линеаризованной системы уравнений в случае однородной среды решена задача генерации и распространения акустических волн при произвольных числах Кнудсена Для слабо неоднородной среды исследовано фоновое состояние и методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюена получено решение для газа в поле силы тяжести Научная и практическая значимость

Выведенные в работе системы обобщенных уравнений гидродинамики справедливы в большем, нежели у предшественников, интервале чисел

Кнудсена Результаты работы могут применяться в физике атмосферы (развитие общей теории и моделирование), в теории и моделировании течений в микро- и наноструктурах Основные положения, выносимые на защит)':

1 Выведены новые системы уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК, 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона, 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона При выводе использован метод двусторонних функций распределения.

2 Решена задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды при произвольных числах Кнудсена на основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики Результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания сравниваются с экспериментом и результатами других авторов

3 Решена задача о распространении акустических волн в случае слабо неоднородной среды Решение строится методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (разложение по малому параметру Я / Н , Я - длина волны, Н - высота однородной атмосферы)

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

• XXXV научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград КГУ, 2004),

• семинаре кафедры статистической физики СПбГУ (Санкт-Петербург, 2005),

• XXXVI научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников, аспирантов и студентов (Калининград КГУ, 2005),

• международной научной конференции «Избранные вопросы современной математики» (Калининград, 2005),

• международной конференции «Дни дифракции 2005»(Санкт-Петербург,

2005),

• международной конференции по акустике (Будапешт, 2005),

• международной конференции «Дни дифракции 2006»(Санкт-Петербург,

2006),

• XXV международном симпозиуме по динамике разреженных га-зов(Санкт-Петербург, 2006),

• XVIII сессии Российского акустического общества (Таганрог, 2006),

• На семинаре кафедры теоретической физики РГУ им И Канта Публикации. Основное содержание диссертации отражено в десяти работах, перечень которых прилагается в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы Общий объем диссертации 90 страниц Диссертация содержит 22 графика Список использованной литературы содержит 89 наименований на 10 страницах ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении анализируются современное состояние и проблемы динамики волновых возмущений в газе при произвольных числах Кнудсена Обосновывается тема диссертации и формулируются решаемые в ней задачи Подробно во введении рассмотрены теоретические и эксперимен-

тальные работы по распространению звука в однородном разреженном газе

В первой главе диссертации выведена система уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК, 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона, 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона

В первом параграфе первой главы рассматривается кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в форме БГК в поле силы тяжести

81 Ъ7 5К ' к>

здесь g - ускорение свободного падения, V и г - скорость частицы и

радиус-вектор, - локально-равновесная функция распределения,

v - эффективная частота столкновений газа

Уравнение БГК умножается на набор линейно независимых функций в пространстве скоростей В одномерном случае 0 = (0,0,(7.) используется следующий набор

(Р\ = Щ % = т(Г:-и:)\

<р2 = тК, <р3 = 1т(К-иЖ-0)2, (2)

(рг = ~т{У-и)\ <рь = }-т(у:-и:)\

Моменты функции распределения определяются через скалярное произведение

М, =<<р,>= ¡¿У<р/ (3)

Моменты связаны с термодинамическими параметрами соотношениями

М, = р, М4 г= Р„,

М2 = р11:, М5 = (4)

Мъ = \~кТ, М6 = д: 2 т

здесь р - плотность, Р.. - вертикальная компонента тензора давлений, с]. - вертикальная компонента вектора теплового потока, д. - новый параметр, имеющий смысл теплового потока

После умножения уравнения БГК скалярно на функции (2) получается следующая система уравнений

1р + £(р(/г) = 0, ОТ 02

3 ГТ тт д тт ' д _ _

—и_+и.—и. +--Рг+я = О,

б/ ' дг р дг

3 к д , 3 к тт д , ,3 к _ „.Э., д --— {рТ) + --1/, —(РТ) + (-- рТ + Р._;)—и: +—дг = О, 2 те от 2 т дг 2 т дг дг

—Р„ +и,—Р„+ЗР„—и,+2—д_ = -у{г){Р„ -¿7), 5/ ~ " Эг " йг ~ дг ' т

С? 02 & 2 т р 02

9 г

дг

д - т, 8 _ д Т7 3 п д _ 0 г .

от & & 2 р дг дг

где

7, =<—(¥. -II.)* >

(5)

Полученная система в соответствии со схемой вывода справедлива при всех числах Кнудсена По структуре она является системой гидродинамического типа и обобщает уравнения Навье-Стокса на произвольные числа Кнудсена Однако система (5) пока не замкнута Для замыкания системы необходимо представить значения интегралов (6) через термодинамические функции (4)

Следуя идее метода разрывных функций распределения [7], решение кинетического уравнения ищется в виде комбинации двух локально равновесных функций распределения Функция распределения выражается как Г при Гг > 0 и /" при Уг < О

/- =--- ехр(--—), (7)

3/2„ ±3 у ±2

где Ут = л/2кТIт - средняя тепловая скорость молекул газа Интегралы (4), (6) вычисляются непосредственно после подстановки разрывной функции распределения (7) Находятся связи параметров разрывной функции распределения с термодинамическими параметрами и получаются следующие выражения для интегралов

2 т 12 т т

(8)

2 т 4 т т Недостатком модели БГК является то, что она дает правильное значение только одного из коэффициентов вязкости или теплопроводности

В третьем параграфе с целью устранения этого недостатка рассматривается более точная модель интеграла столкновений - модель Гросса-Джексона

8ф дю д(р Г ^ 1 |

где = (/-/о)'У"о - неравновесная добавка к функции распре-

деления

Ж, = 1, Хг =

^ = Л(|~С2)' Л = {10)

~^=(с2 -Зсг2), Хб - ^с2(с2-5-с22)

где с = ¥ /УГ - безразмерная скорость

Умножая уравнение (9) на набор линейно независимых функций(Ю) и представляя решение уравнения в виде разрывной функции распределения (7), выводится новая система уравнений обобщенной гидродинамики для модели интеграла столкновений Гросса-Джексона

В четвертом параграфе рассмотренная процедура вывода уравнений гидродинамического типа применяется к обобщенному уравнению Больц-мана (Алексеев [6]), которое имеет следующий вид Ц Т

гп ы) 7 (11)

Здесь Jв - интеграл столкновений Больцмана, г - среднее время между столкновениями частиц,

О _8 ~ д Р 8

т субстанциональная производная, - внешняя сила

При умножении уравнения (11) на набор функций (2) и использовании модели разрывной функции распределения (7), получается новая система

уравнений обобщенной гидродинамики на основе кинетического уравнения (11)

Во второй главе обобщенные уравнения гидродинамики применяются к решению классической задачи о распространении звука Пусть плоская пластина колеблется в газе в направлении своей нормали с некоторой частотой и> Решения, полученные в модели для одномерного случая однородной среды, сравнивались с результатами экспериментов по распространению ультразвука Рассматривая линеаризованную систему уравнений, получается дисперсионное соотношение Решая его, находится фазовая скорость и коэффициент затухания и сравниваются полученные результаты с экспериментальными данными Мейера-Сесслера [2] и Гринспена [3]

Анализируется распространение мод Учитывается роль трех мод при распространении колебаний, и отражение молекул от колеблющейся плоскости считается диффузным Учет распространения трех мод позволяет лучше описывать затухание в области промежуточных чисел Кнудсена

На рисунках 1, 2 результаты численных расчетов коэффициента затухания и фазовой скорости сравниваются с экспериментом и работами других авторов

Полученные значения для фазовой скорости находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными при произвольных числах Кнудсена Значения для коэффициента затухания выглядят лучше по сравнению с результатами, полученными из других гидродинамических моделей

На рисунках 3, 4 проведено сравнение результатов численных расчетов коэффициента затухания и фазовой скорости для обобщенных уравнений гидродинамики на основе кинетического уравнения (11) Значения для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом при числах Кнудсена<1 и в свободномолекулярном режиме При остальных числах Кнудсена наши уравнения дают качественное согласие с экспери-

ментом, в отличие от других гидродинамических моделей, которые сильно расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена

Рис 1 Сравнение различных теоретических результатов по распространению звука с экспериментальными данными Величина, обратная безразмерной фазовой скорости, в зависимости от обратного числа Кнудсена 1-теория Навье-Стокса, 2-данная теория, 3 - обобщенные гидродинамические уравнения Алексеева(уравнения Эйлера)[6], 4 - обобщенные уравнения Навье-Стокса(Алексеев), 5 - расчеты Чена,Рао и Шпигеля [5], кружки - экспериментальные данные Мейера-Сеслера и Гринспена[2, 3]

10_1_0 1 Кп

06 1 3 1 1

05

а 4

04- ~— __| \

03 <1 "а » ^^ / \\

0 2

0 1 2, '

0 , - -г

001 01 г 1 ю

Рис 2 Коэффициент затухания в зависимости от обратного числа Кнудсена Обо-

значения см рис I

Рис 3 Величина, обратная безразмерной фазовой, скорости в зависимости от отношения частоты столкновений к частоте волны

Результаты, полученные на основе обобщенных уравнений гидродинамики из обобщенного уравнения Больцмана - 1, сравниваются с работой Чена-Шпигеля, регуляризованным методом Грэда [8] и

экспериментальными данными - кружки

0 35 —— Навье-Стокс

03 0 2& А \ / ^ \ / "" ^ Чен,Шпигель _Штрухтруп, Торрильхон

\

02 / 1 о \ 5

0 15 / г . * " ч

0 1 X / / / ,' / /

0 05

0 01 0 1 1 ю

Рис 4 Скорость затухания в зависимости от отношения частоты столкновений к частоте волны Обозначения - см рис 3

В третьей главе метод Вентцеля- Крамерса- Бриллюена применяется к системе обобщенных уравнений гидродинамики Предполагается, что на нижней границе при г = 0 генерируется волна с характерной частотой 0О Предполагая, что частота а>0 достаточно велика, вводится характерный параметр С = 3а>аН /Ут » 1, где Н - высота однородной атмосферы Решение ищется в форме

Мы = у/д, ехр(г£»00 + с с (12)

где, например, '/Л, отвечающее моменту М,, задано выражением

6 ю 1

V* = (13)

к -I м~\ (11■>)

здесь (рК (г) - фазовая функция, отвечающая различным корням дисперсионного соотношения

54 з

-77 +

125

Для

fM£)

l 8z

12 63 3 Л 2 ( з 37 24 , 18Л

--IU---h — 11 77 + —IU +-IU--U~ +- 775 25 5 J V 5 5 5 )

-1-Зш + Зм2 +/и3 =0 удобства введены

15

и = — exp(-z),

í»n

где

соотношения

, - эффективная час-

тота столкновений газа на высоте z = 0

В качестве примера рассматривается проблема генерации и распространения волновых возмущений в газе в поле силы тяжести Имеется плоская пластинка на высоте z = 0, которая осциллирует с заданной частотой соа Считается, что на высоте z=0 все моменты Мк = 0, за исключением М2 =£/„ ехр(г<у0О Для оценки безразмерная частота выбирается равной н(0)= 0 1

Mí

Рис 5 Зависимость моментов Мк от высоты, м(0) = 0 1 Поведение решения для моментов Мк, построенных методом ВКБ, показано на рис 5 Графики позволяют сравнить поведение старых моментов,

используемых в уравнениях Навье-Стокса( плотность, скорость, температура), как функции высоты и дополнительных моментов М4, М5, Мь В работе проиллюстрировано отличие зависимости от высоты в области малых чисел Кнудсена и в условиях существенно растущего числа Кнудсена

В заключении диссертации анализируются полученные результаты и подводятся основные итоги работы

В работе получены следующие основные физические результаты

• Выведена система уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах 1) на основе кинетического уравнения Больцма-на и модели интеграла столкновений БГК, 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона, 3) на основе обобщенною уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона

• Решена задача о распространении акустических волн малой амплитуды в однородном газе и проведено сравнение с экспериментальными данными Система уравнений гидродинамического типа на основе уравнения Больцмана и подхода Гросса-Джексона позволяет более точно описывать явления при больших и промежуточных числах Кнудсена по сравнению с другими гидродинамическими моделями Система уравнений на основе обобщенного уравнения Больцмана дает качественное согласие с экспериментом при всех числах Кнудсена

• Построены и проанализированы решения задачи о распространении акустических волн в случае неоднородной среды Проанализирована зависимость моментов функции распределения от высоты

Цш ируемая литература

1 Buckner J К, Ferziger J Н Linearized boundary value problem for a gas and sound propagation//Phys.Fluids 1966 V9 N 12 P 23152322

2 Meyer E , Sessler G Schallausbreitung in Gasen bei hohen Frequenzen und sehr niedrigen Drucken HZ Physik 1957 149 P 15-39

3 Greenspan M Propagation of sound in five monatomic gases I I JAcoustSocAm 1956,V28N4 P. 644-648

4 Loyalka S К, Cheng T S Sound wave propagation in a rarified gas // Phys Fluids , V 22 N 5 1979 P 830-836

5 X Chen, H Rao, and E A Spiegel, "Continuum description of rarefied gas dynamics I Derivation from kinetic theory" // Phys Rev E 64, 046308 2001

6 Alexeev В V , Generalized Boltzmann Physical Kinetics, Elsevier, 2004

7 Yang H T, Lees L Rayleigh's problem at low Mach number according to the kinetic theory of gases//Journ Math Phys, 1956 V 35 P 195-235

8 Struchtrup H , Torrilhon M, Regulanzation of Grad's 13 moment equations Derivation and linear analysis//Phys Fluids 2003, V 15, N 9, p 2668-2680

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1 Лебле С Б , Соловчук М А Уравнения трехмерной динамики газа по функции распределения с разрывом в пространстве скоростей // Математическое моделирование, 2006,т 18,N4, с 118-128

2 Vereshchagin D А , Leble S В , Solovchuk М A Piecewise continuous distribution function method in the theory of wave disturbances of m-homogeneous gas//Physics Letters A 2006, V 348, Is 3-6, p 326-334

3 Solovchuk M A, Leble S В The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas from a piecewise continuous description to fluid equations //Acta Acustika V 91, Supplement 1, p SI76

4 Solovchuk M A , Leble S В Piecewise continuous partition function method and ultrasound at half-plane // International Seminar 'Days on Dilfraction 2005'Abstracts (Saint Petersburg, 2005) p 75

5 Solovchuk M A, Leble S В The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas from a piecewise continuous distribution to fluid equations// Proceedings of International Conference "Forum Acusticum 2005" Budapest, 2005 L235-L240

6 Solovchuk M A , Leble S В Piecewise continuous partition function method in the theory of wave perturbations of inhomogeneous gas // Тез межд научн конф "Избранные вопросы современной математики" Калининград 2005 р 256-258

7 Solovchuk М А , Leble S В Problem of modeling of higher atmospheie gas perturbations // Proc of the 9th Western Pacific Acoustics Conference, Seoul, Korea, 2006, ae2-2

8 Solovchuk M A , Leble S В Two-side distribution function and WKB solutions for ultrasound at stratified gas // International Seminar 'Days on Diffraction 2006' Saint Petersburg 2006 p 90

9 Соловчук M A , Лебле С Б Теория возмущения стратифицированного разреженного газа// Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества Т 2 - М ГЕОС, 2006, с 158-162

10 Solovchuk MA, Leble SB The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas Gross-Jackson model // 25th International Symposium on rarefied gas dynamics 2006 p 16

Соловчук М аксим Александрович

УРАВНЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В КИНЕТ ИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать ] 1 04 2007 г Формат 60x90 1/16 Бумага для множительных аппаратов Ризограф Уел печ л 1,3 Уч-изд л 0,9 Тираж 80 экз Заказ 51

Издательство Российского государственного

университета имени Иммануила Канта, 236038, г Калининград, ул А Невского, 14

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Обобщенные уравнения гидродинамики в модели интеграла столкновений Гросса-Джексона.

1.1 Подпространство дискретного спектра линеаризованного оператора столкновений и разрывная функция распределения.

1.2 Замыкание моментной системы в случае интеграла столкновений БГК.

1.3 Обобщение на случай Гросса-Джексона.

1.4 Обобщенное уравнение Больцмана.

ГЛАВА 2. Обобщенные уравнения гидродинамики и распространение звука в однородном газе при произвольных числах Кнудсена.

2.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и постановка задачи о распространении звука на полуоси

2.2 Дисперсионное соотношение.

2.3 Сравнение с экспериментом.

2.4 Релаксационные моды в модели БГК.

ГЛАВА 3. Основное состояние и малые колебания одноатомного газа в гравитационном поле.

3.1 Обобщенные уравнения гидродинамики и равновесное состояние газа.

3.2 Метод ВКБ и локальные дисперсионные соотношения

3.3 Решение задачи генерации звука от колеблющейся пластины.

Задачи газовой динамики традиционно рассматриваются с точки зрения гидродинамических уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса справедливы только в области малых чисел Кнудсена (отношение длины свободного пробега к характерному масштабу неоднородности задачи). Уравнения Навье-Стокса становятся неприменимы, когда длина свободного пробега становится сравнима с характерным масштабом задачи. Это может произойти или когда длина свободного пробега становится большой, или когда уменьшается характерный масштаб задачи. Особенно это актуально при рассмотрении общей теории волновых возмущений атмосферы, где длина свободного пробега изменяется с высотой по порядку величины. Соответственно, существенно меняются и числа Кнудсена (становятся очень большими). Например, в аэронавтике и космонавтике размеры аппаратов могут быть порядка длины свободного пробега. Миниатюризация, с другой стороны, приводит к появлению приборов, микроэлектромеханических систем, где характерный масштаб задачи достигает длины свободного пробега.

Одной из первых работ, в которой волновые возмущения в газах исследовались с точки зрения более общего кинетического подхода, является работа Ван Чан и Уленбека [2].

В работе Ван Чан и Уленбека [2] был указан способ построения дисперсионных соотношений для звука в газе с помощью апроксимации решения уравнения Больцмана конечным числом собственных функций линеаризованного оператора столкновений для максвелловских молекул. Наиболее последовательно эти идеи изложены в работе Фоха и Форда [3]. Пекерисом, Альтерманом, Финкельштейном и Франковски [4] был проведен численный расчет фазовой скорости и коэффициента затухания волны с использованием базиса из 483 функций, но существенного продвижения в кнудсенов-скую область по сравнению с результатами по Навье-Стоксу достигнуто не было.

Хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению звука в однородном газе для всех режимов по числу Кнудсена было достигнуто в целом ряде работ при использовании модельных интегралов столкновения (метод Гросса-Джексона [6]). Идея модели заключается в замене интеграла соударений Больцмана более простым выражением, которое, тем не менее, сохраняет число частиц, оставляет постоянным количество движения и энергию и ведет к необратимому поведению. Вероятно, простейшей моделью является уравнение с одной постоянной времени релаксации( уравнение БГК [5]):

В этом уравнении соударения приводят газ к максвелловскому распределению в течение времени - . Недостатком этой модели является то, что она у дает правильное значение коэффициента вязкости, но неправильное значение коэффициента теплопроводности. Поэтому полезно получить последовательный процесс для вывода простых моделей и расширения области их применения.

Рассмотрим задачу на собственные функции и собственные значения N линеаризованного оператора столкновений JstXi — \х%- Оператор Jst является самосопряженным, его собственные значения - \ вещественны, а система функций - полна и ортотогональна. Следовательно, произвольную функцию (р в пространстве скоростей можно разложить по базису Xi > и действие оператора Jst на функцию ср сводится к

00 00

Jstv = Jst АкХк = S ^АкХк к=1 к~1

Если формально к равенству в правой части прибавить и вычесть uip, где v = const, то

00

JstV - + v)AkXk ~ vp k=l

Пронумеруем собственные значения в порядке возрастания модуля. Моделирующее упрощение оператора столкновений столкновений заключается в обрыве ряда, что достигается выбором параметра v = |Ajy| и требованием Лдг+р = Ajv(P = 1,2,.). Кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений Гросса-Джексона J^ запишется в виде aft + = ЛУг= + -1 к=1

Уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК) является первым приближением в рамках метода Гросса-Джексона.

Основываясь на методе Гросса-Джексона, в дальнейшем были выполнены многочисленные исследования по звуку в однородном газе при произвольных числах Кнудсена [7-23]. Эти работы различались подходами к поиску решения кинетического уравнения. Гринспен [7] и Мейер-Сесслер [8] экспериментально исследовали рапространение звука при высоких частотах и очень низких давлениях. Число Кнудсена в экспериментах изменялось в пределах от нескольких десятков до сотых. Фазовую скорость и затухание возмущения можно определить экспериментально, если считать это возмущение локально плоской волной. При этом приемник при числах Кнудсена Кп > 1 помещался на расстояния, не превышающие длину свободного пробега.

В 60-х годах Сирович и Тербер с помощью модельного уравнения БГК аналитически исследовали задачу о спектре звуковых колебаний в однородном газе при произвольных числах Кнудсена. В области промежуточных и больших чисел Кнудсена они использовали метод аналитического продолжения дисперсионного соотношения из области малых в область высоких частот. Сравнение аналитических результатов Сировича и Тербера для фазовых скоростей и коэффициента поглощения звука с экспериментами Гринспена и Мэйера, Сесслера для одноатомных газов дало удовлетворительное согласие при всех числах Кнудсена. Но не ясно, почему их результаты для восьмимоментной модели дают лучшее согласие с экспериментальными данными, чем их результаты для 11-моментной модели.

Бакнер и Ферцигер [17], [18] использовали простое, но реалистичное предположение, что отражение молекул от пластины является диффузным. Их результаты хорошо согласуются с экспериментом для малых и больших чисел Кнудсена (сплошная среда и свободномолекулярный режим); в переходном режиме хорошее согласование получено только для фазовой скорости, а коэффициент затухания отличается от экспериментальных значений примерно на 30%. Они использовали модель Гросса-Джексона с тремя и пятью моментами.

Лоялка и Ченг [21,22] уточнили граничное условие диффузного отражения, использованное в работе Бакнера и Ферцигера, учитывая закон сохранения массы на пластине. Они сводили модельное кинетическое уравнение к системе интегральных уравнений, которая затем решалась численно. Их результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Однако перенесение этой методики на случай нелинейных волн, по-видимому, невозможно. Постановка граничных и начальных условий для функции распределения представляет собой дополнительную, трудно решаемую проблему.

Поэтому в настоящее время продолжаются интенсивные поиски уравнений обобщенной гидродинамики [45-49,51,53-56,58,59,68-70], справедливых в широком диапазоне чисел Кнудсена. В недавних работах с помощью несингулярной теории возмущений [79] получены такие уравнения (Чен, Рао, Шпигель [45-48]), которые тестировались с помощью сравнения с классическими экспериментами Мейера-Сесслера и Гринспена. Их выражения для тензора давлений Ру и теплового потока q, в отличие от уравнений Навье-Стокса, выражаются через термодинамические величины (р, U, Т) и их производные. Так их конечная формула для тензора давлений Pij и теплового потока q неявным образом содержит члены всех порядков по числу Кнудсена Кп, что дает вероятность, что процедура вывода гидродинамических уравнений даст большую точность по сравнению с уравнениями Навье-Стокса. Однако их результаты нельзя считать адекватными физическим условиям распространения волновых возмущений в кнудсеновском режиме.

Другой подход к исследованию распространения звука в однородном газе рассмотрен в работах Алексеева [51-54]. Опираясь на цепочку уравнений ББГКИ и положения несингулярной теории возмущений, Алексеев вывел обобщенное кинетическое уравнение. Далее из кинетического уравнения им были выведены уравнения обобщенной гидродинамики, дающие качественное согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Результаты его численных расчетов для коэффициента затухания (рис. 1) отличаются от данных эксперимента при больших числах Кнудсена примерно в два раза. Однако другие известные гидродинамические модели дают расхождение в несколько порядков при больших числах Кнудсена. При этом приходится решать систему дифференциальных уравнений вдвое более высокого порядка, чем традиционные гидродинамические уравнения.

10 1

0.1

Kn

0.6

0.5

-Навье-Стокс

----Эйлер(Алексеев) a Навье-Стокс \ ~ (Алексеев) • ■ ■ Чен-Шпигель

0.4

0.3

0.2

0.1 0

0.01

10

Рис. 1.Сравнение различных теоретических результатов по распространению звука с экспериментальными данными [7,8] - кружки.

Коэффициент затухания как функция обратного числа Кнудсена.

Несмотря на значительное число работ и на кинетическом, и на гидродинамическом уровнях, описывающих кнудсеновский режим, правильный учет затухания в кнудсеновской области по-прежнему не включен в гидродинамическое описание.

В нашей работе мы опираемся на понятия разрывной функции распределения и более совершенной по сравнению с Ченом, Рао, Шпигелем теорией возмущения, что является новым элементом уже существующей теории. Кроме того, так как результаты упомянутых авторов при описании затухания катастрофически расходятся с результатами экспериментов, мы обращаемся к результатам Алексеева, который учитывает парные корреляции в одночастичном приближении посредством применения той же теории возмущения к цепочке Боголюбова.

Настоящая работа посвящена изучению следующих вопросов:

- развитие метода двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле силы тяжести,

- вывод уравнений обобщенной гидродинамики, справедливых в широком интервале чисел Кнудсена,

- решение задачи о распространении акустических волн малой амплитуды при произвольных числах Кнудсена в случае однородного газа,

- построение и анализ решения распространения акустических волн в неоднородной по числу Кнудсена газовой среде.

В работе выведена новая система уравнений обобщенной гидродинамики для моделей интеграла столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона на основе кинетического уравнения Больцмана и обобщенного кинетического уравнения.

Для случая линеаризованной системы уравнений, в случае однородной среды, решена задача генерации и распространения акустических волн. Для слабо неоднородной среды исследовано фоновое состояние и методом ВКБ получено решение для экспоненциально стратифированной среды.

Выведенная в работе система обобщенных уравнений гидродинамики справедлива в большем, нежели у предшественников, интервале чисел Кнудсена. Результаты работы могут применяться в физике (развитие общей теории и моделирование) атмосферы, в теории и моделировании течений в микро- и наноструктурах.

В первой главе описывается метод двусторонних функций распределения. На основе данного метода выводятся системы уравнений обобщенной гидродинамики для кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений в форме Бхатнагара-Гросса-Крука и Гросса-Джексона. С целью продвинуться в кнудсеновскую область далее используется обобщенное и уравнение Больцмана.

Во второй главе рассматривается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды, которая используется в качестве теста полученных уравнений. Результаты численного расчета для коэффициента затухания и фазовой скорости сравниваются с экспериментальными данными и результатами других авторов.

В третьей главе исследуется равновесное состояние газа и рассматриваются малые колебания газа в поле тяжести Земли. Система уравнений гидродинамики на основе модели БГК обобщается на трехмерный случай. Построена зависимость моментов функции распределения от высоты.

В заключении анализируются полученные результаты и подводятся основные итоги работы.

Основные защищаемые положения:

1. Выведены новые системы уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона. При выводе использован метод двусторонних функций распределения.

2. Решена задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды при произвольных числах Кнудсена на основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики. Результаты для фазовой скорости и коэффициента затухания сравниваются с экспериментом и результатами других авторов.

3. Решена задача о распространении акустических волн в случае слабо неоднородной среды. Решение строится методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюена (разложение по малому параметру А/Я , А -длина волны, Н - высота однородной атмосферы).

Основные результаты исследований опубликованы в 10 печатных работах [80-89].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные физические результаты:

1. Развит метод двухсторонних функций распределения для описания волновых возмущений в газе в поле тяжести Земли

2. Используя метод двухсторонних функций распределения, выведена система уравнений обобщенной гидродинамики в трех вариантах: 1) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений БГК; 2) на основе кинетического уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона; 3) на основе обобщенного уравнения Больцмана и модели интеграла столкновений Гросса-Джексона. В предельном случае больших частот столкновений (малых чисел Кнудсена) полученная система переходит в систему уравнений Эйлера для идеального газа. В следующих порядках получаются уравнения Навье-Стокса и Барнета.

3. На основе полученных обобщенных уравнений гидродинамики решается задача о распространении акустических волн малой амплитуды в случае однородной среды. Результаты для фазовой скорости и коэффициента сравниваются с экспериментом и результатами других авторов. Система уравнений гидродинамического типа на основе уравнения Больцмана и подхода Гросса-Джексона позволяет более точно описывать явления при больших и промежуточных числах Кнудсена по сравнению с другими гидродинамическими моделями. Полученные значения для фазовой скорости находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными при произвольных числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания выглядят лучше по сравнению с результатами, полученными из других гидродинамических моделей. Применение названного метода к обобщенному уравнению Больцмана позволило получить обобщенные уравнения гидродинамики, дающих хорошее согласие с экспериментальными данными по распространению ультразвука при всех числах Кнудсена. Значения для коэффициента затухания хорошо согласуются с экспериментом при числах Кнудсена <1 и в свободномолекулярном режиме. При остальных числах Кнудсена наши уравнения дают качественное согласие с экспериментом, в отличие от других гидродинамических моделей, которые катастрофически расходятся с экспериментом при больших числах Кнудсена. Это позволяет применять их для расчета волновых возмущений в атмосфере на всех высотах.

4. Исследовано равновесное состояние газа в обобщенной гидродинамике. Используя метод ВКБ, построены и проанализированы решения задачи о распространении акустических волн в случае неоднородной среды. Проанализирована зависимость моментов функции распределения от высоты.

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук Сергею Борисовичу Леб-ле за многолетнюю терпеливую работу по руководству научным исследованием, а также кандидату физико-математических наук Дмитрию Алексеевичу Верещагину за многочисленные обсуждения на начальном этапе работы.

1. Mott-Smith Н.М. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave// Phys.Rev., V. 82. N. 2. 1951. p. 885-892.

2. Wang Chang C.S., Uhlenbeck G.E. On the propagation of sound in monoatomic gases // Eng.Res.Ins., Univ. of Michigan.Project M 999. Ann.Arbor., Michigan, 1952.

3. Foch D., Ford Jr.G.M. The description of sound in monoatomic gases. In "Stadies in Statistical Mechanics" (ed, J. de Boer and G.E. Uhlenbeck), N.Holland,5. (1970). P.103-231.

4. Pekeris C. L., Alterman Z., Finkelstein L., Frankowski K., Propagation of sound in a gas of rigid spheres Phys. Fluids, 5, 1608-1610 (1962)

5. Bhatnagar P.L., Gross E.P. and Krook M. A model for Collision processes in gases.I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Phys. Rev. 1954 V.94. N.3 P. 511-525.

6. Gross E.P., Jackson E.A. Kinetic models and linearized Boltzmann equation // Phys. Fluids. 1959. V.2. N 4, P.432-441.

7. Greenspan M. Propagation of sound in five monatomic gases. // J.Acoust.Soc.Am. 1956, V. 28. N 4. P.644-648.

8. Meyer E., Sessler G. Schallausbreitung in Gasen bei hohen Frequenzen und sehr niedrigen Drucken. // Z.Physik. 1957. 149. P. 15-39.

9. Greenspan M. Rotational Relaxation in Nitrogen, Oxygen and Air. // J.Acoust.Soc.Am. 1959. V. 31, N 2. p. 155-160

10. Schotter R., Rarefied gas acoustics in the noble gases, // Phys. Fluids. 1974. V. 16. N. 6. p. 1163-1168

11. Maidanik G., Heckl M. Propagation and reflection of sound in rarefied gases. II.Experimental // Physics of fluids. 1965. V. 8. N. 2. p. 266-272

12. Marques, Jr., Dispersion and absorption of sound in monatomic gases: An extended kinetic description. //J. Acoust. Soc. Am. . 1999. 106, p. 3282-3288

13. Sirovich L. Kinetic model of gas mixtures //Phys.Fluids. 1962. V.5. P.908-918

14. Sirovich L., Thurber J.K. Sound propagation according to the kinetic theory of gases. Adv.Appl.Mech.,Supp.2. 1. (1963). P.152-180.

15. Sirovich L., Thurber J.K. Propagation of forced sound waves in rarefied gas dynamics. Acoust.Soc.Am.37. №■ 2. (1965). P.329-339.

16. Sirovich L., Thurber J.K. Plane wave propagation in kinetic theory. J.Math.Phys.8. № 4. (1967). P.888-895.

17. Buckner J.K., Ferziger J.H. Linearized initial value problem for a gas// Phys.Fluids. 1966. V.9. N. 12. P.2309-2314.

18. Buckner J.K., Ferziger J.H. Linearized boundary value problem for a gas and sound propagation// Phys.Fluids. 1966. V.9. N. 12. P.2315-2322.

19. Siewert C.E., Burniston E.E., Journ. Math. Phys., 18, 376 (1977)

20. Thomas J.R., Siewert G.E. Sound wave propagation in a rarified gas. Trans.Theory and Stat.Phys.,8.(1979). P.219-240.

21. Loyalka S.K., Cheng T.S. Sound wave propagation in a rarified gas. Phys.Fluids.,22. №■ 5. (1979). P.830-836.

22. Cheng T.S., Loyalka S.K. Sound wave propagation in a rarefied gas. II. Gross-Jackson model. Progress in Nuclear Energy. 8. (1981). P.236-267.

23. Banankhah A., Loyalka S.K. Propagation of a sound wave in a rarified polyatomic gas. Phys.Fluids.30. №■ 1. (1987). P.56-64.

24. Monchik L. Small periodic disturbances in polyatomic gases. Phys.Fluids. 7. № 6. (1964). P.882-896.

25. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. М. "Мир"1965, 308 с.

26. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978, 496 с.

27. П.Резибуа, М. ДеЛенер. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. М.: "Мир", 1980. 423 с.

28. Pao Y.P. Boltzmann collision operator with infinite range intermolecular potentials.//Proc. IX Symp. rarefied gas dynamics/ ed. M. Backer and R. Fiebing, Gotingen:1974 V.l. P.A.6-1-A.6-6

29. Yang H.T., Lees L. Rayleigh's problem at low Mach number according to the kinetic theory of gases // Journ.Math.Phys., 1956 . V. 35. P.195-235.

30. Liu Chung Yen., Lees L. in"Ratified gas dynamics" (ed.by L.Talbot). Academic Press. (1961). P.391-428.

31. Lees L. Kinetic theory description of rarified gas flow // J.Soc.Industr. and Appl.Math., 1965, V. 13. N. 1. . P.278-311.

32. Шидловский И.П. Введение в динамику разреженного газа.М.: Наука, 1965. 220с.

33. Костомаров Ю.А. Инж. Журнал. №3. (1963).

34. Nanbu К., Watanabe Y. Analysis of the internal structure of shock waves by means of the exact direct-simulation method // Rep.Inst.High Speed.Mech., 1984, V. 48. N 366. P.l-75.

35. Sampson R.E., Springer G.S. Condensation on and evaporation from droplets by a moment method// J.Fluids.Mech.1969, 36. part.3. P.577-584.

36. Ivchenko I. Evaporation (condensation) theory of spherical particles with all Knudsen number// J.Coll and Interf.Science.1987, 120. N. 1. P.l-7.

37. Ивченко И.В., Лоялка С.К., Томпсон Р.В. Об одном методе решения проблемы переноса тепла между цилиндрами при произвольных числах Кнудсена, Теплофизика Высоких Температур, 1993, том 31, N 4, с. 636-641

38. Leble S.B., Vereshchagin D.A. Kinetic description of sound propagation in exponentially stratified media // Advances in Nonlinear Acoustic (ed.H.Hobaek).Singapore. World Scientific. 1993. P.219-224.

39. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Stratified gas and nonlinear waves passing the Knudsen layer// Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications "NOLTA '93".(Hawaii) 1993, 3. P.1097-1100.

40. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition functionand acoustics in stratified gas.// in Nonlinear Acoustics in Perspective, ed. R.Wei 1996, p.142-146.

41. X.Chen, H. Rao, and E.A. Spiegel, Macroscopic equations for rarefied gas dynamics, Physics Letters A 271 (2000) 87-91

42. A. I. Sukhorukov and P. Stubbe, "Application of the kinetic transport theory to a unified treatment of longitudinal perturbations in neutral and charged gases, "Phys. Plasmas 2, 4059 (1995)

43. P. Stubbe and A. I. Sukhorukov, "On the physics of Landau damping,"Phys. Plasmas 6, 2976 (1999)

44. X.Chen, H. Rao, and E. A. Spiegel, "Continuum description of rarefied gas dynamics: I. Derivation from kinetic theory,"Phys. Rev. E 64, 046308 (2001).

45. X. Chen, H. Rao, and E. A. Spiegel, "Continuum description of rarefied gas dynamics: II. The propagation of ultrasound, "Phys. Rev. E 64, 046309 (2001)

46. X. Chen, H.Rao, and E.A. Spiegel, "Continuum descriptionof rarefiedgas dynamics: III.The structure of shock waves,"Phys. Rev. E 65, 036304 (2002)

47. E.A. Spiegel and J.-L. Thiffeault, Higher-order Continuum Approximation for Rarefied Gases, Physics of Fluids 15(11), P.3558-3567(2003).

48. Vereshchagin D.A., Leble S.B. Piecewise continuous distribution function method: Fluid equations and wave disturbances at stratified gas // J. of Atmospheric and Solar-Terrestrial Phys., 2006, 68, p. 1321-1329

49. Sharipov F., Marques W., Jr., and Kremer G. M., Free molecular sound propagation // J. Acoust. Soc. Am. 2002. 112(2), p. 395-401

50. Алексеев Б.В. Исследование распространения звука в рамках обобщенных уравнений Навте-Стокса //ДАН. Механика сплошной среды. 1990. т.313. N 5. с. 1078-1081

51. Alexeev В. V., The generalized Boltzmann equation // Physica A. 1995. 216. p. 459-468

52. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов // УФН ,2000, т. 170, N6, с. 649-679

53. Alexeev B.V., Generalized Boltzmann Physical Kinetics, Elsevier, 2004.

54. Struchtrup H., Torrilhon M., Regularization of Grad's 13 moment equations: Derivation and linear analysis// Phys.Fluids. 2003, V. 15, N 9, p. 2668-2680

55. Struchtrup H. Macroscopic Transport Equations for rarefied gas flows. Springer-Verlag. Berlin. 2005. 258 pp.

56. Бобылев A.B. О методах Чепмена-Энскога и Трэда решения уравнения Больцмана // ДАН СССР, 1982, т. 262, N 1. с. 71-75,

57. Bobylev A. V. Instabilities in the Chapman-Enskog expansion and hyperbolic Burnett equations//J. of Statistical Physics. 2006, V. 124. N 2-4. p. 371-399

58. Soderholm L. Nonlinear Acoustics Equations to Third Order. New Stabilization of the BurnettEquations //Mathematical Modeling of Wave Phenomena, AIP Conference Proceedings. Eds Borje Nilsson and Louis Fishman 2006, 834.

59. Керзон Хуанг. Статистическая механика, М.: "Мир", 1966. 520 с.

60. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967

61. S. Chapmann, T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, third ed., Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1970.

62. Силин Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971, 332 с.

63. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976

64. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана.// Под редакцией Дж.Л. Либовица, Е.У. Монтролла М.: Мир, 1986.

65. Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., Наука, 1974. 831с.

67. Четверушкин Б.Н., Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М.: МАКС Пресс, 2004, 332с.

68. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике газа и жидкости. Москва, Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005.

69. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа. ЖВМиМФ, 2005, т. 45, N 3, с. 545-556

70. Эндер А.Я., Эндер А.И. Интеграл столкновений уравнения Больцмана и моментный метод. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2003. 224с.

71. Bird G.A. Molecular gas dynamics and directsimulation of gas flow. Clarendon Press. Oxford 1994

72. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1949. 2, N 4, p. 331-407.// рус. пер.: Грэд.Г. О кинетической теории разреженных газов. Механика, 1952 4(14), 5(15)

73. Н. Grad, "Asymptotic theory of the Boltzmann equation,"Phys. Fluids 6, 147 (1963).//рус.пер.: Некоторые вопросы кинетической теории газов/ Под.ред. Шидловского. М.: Мир 1965

74. Щекин А.К., Лебле С.Б., Верещагин Д.А. Введение в физическую кинетику газов. Калининград. 1990. 80с.

75. Буш Г.А., Иванов Е.А., Куличков С.Н., Педанов М.В. Некоторые результаты по регистрации акустических сигналов от высотных взрывов // Известия АН. Физика атмосферы и океана, 1997, т.ЗЗ. N 1. с. 67-71

76. Roman F. White J-A, Velasco S. On a paradox concerning thetemperature distribution of an ideal gas in a gravitational field// Eur. J. Phys. 1995, V. 16. p. 83-90 .

77. Maslov V.P. The Complex WKB method for nonlinear equations. I. Linear theory. Progress in Physics, 16. Birkhauser Verlag, Basel, VIII. 300pp.

78. Leble S.B. Nonlinear Waves in Waveguides with Stratification (Berlin: Springer-Verlag, 1990), 164p.

79. Solovchuk M.A., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: from a piecewise continuous distribution to fluid equations. Proceedings of International Conference "Forum Acusticum 2005"(Budapest, 2005) L235-L240.

80. Solovchuk M.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition function method in the theory of wave perturbations of inhomogeneous gas. Избранные вопросы современной математики. Тез. межд. научн. конф. Калининград. 2005 р.256-258.

81. Solovchuk М.А., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: from a piecewise continuous description to fluid equations.Acta Acustika. V. 91, Supplement 1, p. S176.

82. Solovchuk M.A., Leble S.B. Piecewise continuous partition function method and ultrasound at half-plane. International Seminar 'Days on Diffraction 2005'. Abstracts (Saint Petersburg, 2005). p.75.

83. Vereshchagin D.A., Leble S.B., Solovchuk M.A. Piecewise continuous distribution function method in the theory of wave disturbances of inhomogeneous gas // Physics Letters A. 2006, V. 348, Is. 3-6, p. 326-334

84. Лебле С.Б., Соловчук М.А. Уравнения трехмерной динамики газа по функции распределения с разрывом в пространстве скоростей// Математическое моделирование, 2006, т. 18, N 4, с. 118-128

85. Solovchuk М.А., Leble S.B. Two-side distribution function and WKB solutions for ultrasound at stratified gas. International Seminar 'Days on Diffraction 2006'. Abstracts. Saint Petersburg, 2006. p.90

86. Solovchuk M. , Leble S. Problem of modelling of higher atmosphere gas perturbations// Proc. of the 9th Western Pacific Acoustics Conference, Seoul, Korea, June 26-28, 2006, ae2-2, id 320

87. Соловчук M.A., Лебле С.Б. Теория возмущения стратифицированного разреженного газа// Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества. Т.2 М:ГЕОС, 2006, с. 158-162.

88. Solovchuk М.А., Leble S.B. The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas: Gross-Jackson model. 25th International Symposium on rarefied gas dynamics. 2006. Abstracts, p. 16