Условия равновесия, оптимальности и механизмы управления переходными процессами в разбалансированных экономических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

гч

V 1 О

На ирг) нах рукописи

Кранчоико Сс})ГсП Аиатольонич

Условия равновесия, оптимальности, рентабельности и механизмы управления переходными процессами и разбалансиронапных экономических системах

01.01.09 -- математическая кибернетика

Ашорефсрат диссертации на соискание учено!! степени кандидата фичико-мате.матнчоских наук

Моекаа 1<Ж)

Работа выполнена в Московским фнчико-техннческом институте Государственного комитет ГФ но высшему образованию

Научные руководители — доктор физико-математических паук, профессор Яков.''нч» Г.И., кандидат физико-математических наук, доцет Бирюков С.И.

Официальные оппоненты: доктор технических паук, профессор Проной А.И., кандидат экономических наук, доцент Тимофеев И.А.

Ведущая организация: Донской государственный технический университет

Защита диссертации состой гея «_»___,_1990 г.

в-час. на заседании диссертационного сонета К 063.91.03 при Московском физико-техническом институте по адресу 141700, Московская область, {'.Долгопрудный, ИистигугскиН нер.,9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан «_»_1996 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор А.Н.САМЫЛОВСКИЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Складывающиеся в России спецнфн-чгскис условия нропчнодст ва и натурально-финансового обращения приводят к тому, ч ю многие принципиально способные с технологическому функционированию ирончнодегпеиные предприятия практически бечдейстуюг ич-su несовершенства механизмов обмена. Ориентированное иа внешний рынок и мировые цени poccnilcKoe нроптодство окачываетея цежншеепоеобпым.

Похожая обстановка наблюдается по многих странах СНГ и Восточной Европы. где происходи!' переход, от административной си-сгемы управления хочяйсшом к рыночноП.

Экономика мореходного периода. — новый объект исследонапия. Интерес к нему н настоящее время превосходит ичвестныс научные достижения и побуждает к нопым исследованиям и рачработкам, к которым обращена настоящая диссертация.

Рачрабагываемые н диссертации нелинейные математические модели и их исследования нацелены на мпможноегь испольчования реальной статистической информации, для'идентификации моделей. Диссертационная работа посвящена псследопанню равновесных и неравновесных состояний п актах 'элементарных и сложных нагуралг,-нмх обменов меж;1у субъектами хочяйстжчшой системы, динамики переходных процессов, условий оптимальности и рентабельности в магматических моделях рачбнланспрованной экономики.

Цель исследования. Целыо настоящей работы является рачра-оотка приводящих к рентабельному нрончнодству формаличовапных схем вчапмодейст пня и мехапнчмов управления переходными обменными процессами между < убьсктами хочяйс! венной системы н условиям нерехо m di n iMiiiiitcipa i nniioíl гнен'мы управления проичвод-

ством и распределением к рыночной..

Общая методика исследования. 13 качестве методики исследовании и разработок в диссертации применяется моделирование обменных процессов, как системы моделей индивидуальных доходов и издержек, прибылей и убытков, множеств рентабельного производства И рентабельного производственного потребления.

Научная норизна. В работе исследуются элементарные рыночные взаимодействия производств; оптимальные наборы технологий и автономной и неавтономной производственных системах; строятся мо- : дели рыночного взаимодействия предприятий; выводится формула согласованной (равной) рентабельности и ставится задача ее максими ча-ции в автономной производственной системе; вводятся понятия допустимых и устойчивых внутренних ней в рентабельных подсистемах.

Конструируются ограничения на допустимые цены н форме многогранных множеств.

Предлагается человеко-машинная процедура поиска рентабельных подсистем и устойчивых внутренних цен; исследуется корректность и разрабатывается численный метод решения формальных задач максимизации рентабельности.

Рыночное взаимодействие предприятий и других экономических субъектов в условиях взаимных неплатежей исследуется как натуральный обмен взаимополезными предметами.

Выводятся условия равновесия, определяются равновесные и неравновесные цены в актах элементарных к сложных обменов.

Обсуждается проблема применения теории полезности к моделированию натурального обмена между производственными предприятиями.

Предложенная в диссертации методика, все основные научные положения и полученные результаты являются новыми. В их числе:

- приводящая к попым результатам концепция совместного использования нелинейных функций производственного дохода и нелинейных функций производственных издержек для исследования рыночных равновесий, переходных процессов и производственного ценообразования;

- свойства ориентированной выпуклости множеств рентабельного предложения и множеств рентабельного спроса;

- формула согласованной (равной) рентабельности производственных предприятии, задача и метод её максимизации;

- множество допустимых производственных цен и задача о максимально устойчивых внутренних пенах;

~ необходимые услЬвия рыночного равновесия в автономных и неавтономных производственных системах;

- применение теории полезности к моделированию натуральных обменов, приводящее к построению множеств равновесных состояний;

- неравновесные доны и исследование ценообразования при натуральном обмене.

Практическая ценность. 'Разработанные в диссертации экономико-математические модели, допускающие идентификацию на базе реальной статистической информации и полученные результаты являются основой для теоретического изучения экономических процессов в разбалансированных производственных системах,механизмов ценообразования. а также для разработки прикладных расчётных и моделирующих комплексов.

Содержательная простота и наглядная геометрическая интерпретируемость нелинейных моделей экономических субъектов и обменных процессов, условий равновесия, механизмов рентабельного ценообразования обеспечивает возможность прямого использования ре-

чультагоп диссертационно!! работы !> учебном процессе и форме лабораторных -занятий по курсам «Экономическая теория» и «Магматическая экономика».

Реализация результатов работы. Созданные к настящему времени компьютерные моделирующие комплексы псиользукпся и исследовательской работе и учебном процессе в Московском физико-техническом институте, Российском Государственном гуманитарном универснюе, Международном институте управления, бизнеса п права, Международном университет.

Достоверность результатов. Достоверность всех формальных результатов обоснована строгими математическими выводами и доказательствами. Достоверность общих положений и обобщений подтверждается ссылками па литературные источники, сопоставлением полученных результатов и их совпадение в частых случаях с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты работы доклалывалнсь на объединённых научных семинарах Кафедры общей и прикладной -экономики и Лаборатории соцпалыю-зкономического моделирования МФТИ, на научных семинарах в С.-Пегербергской государственной инжеперно-чкономнчепсой академии, Институте системного анализа РАН, Институте проблем управления РАН.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 3 научные работы (1 статья н 2 препринта) общим объемом 1,5 печатных .чиста. .

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения; текст изложен па 117 машинописных страницах, содержит 15 рисунков. Список литературы включает 50 наименований.

о

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование выбора темы диссертации, её актуальность и место в теории взаимодействия элементов сложных экономических систем, краткий обзор содержания и результатов диссертационной работы.

В перооН главе диссертации даётся обзор отечественной и зарубежной литературы но теме диссертации, исследуется современное состояние национальной российской экономики, описывается методика исследования.

Литературные источники по теме критически оцениваются по признаку применимости содержащихся в них результатов к моделированию современной российской экономики. Выделяются фундаментальные идеи, пригодные для теоретических исследований и прикладных разработок.

Первые модели экономики переходного периода оказываются пригодными только для разового применения из-за быстрого изменения реальных условий. Анализ полученных результатов показывает, что в современных условиях возможны только кратко- и среднесрочные прогнозы, что прогнозы финансовых показателей оказываются более точными по •сравнению с прогнозами натуральных показателей н что точность первых существенно повышается с повышением точности вторых.

. Эти выводи побуждают к разработке моделей рыночного взаимодействия производственных предприятий, прежние связи между которыми оказались оборванными.

Анализ современного состояния российской экономики проводится на основе официальной статистики, государственной и деловой документации.

б

Современной финансово-производственной системе свойственны массовые взаимные неплатежи, высокая доля нерентабельных предприятий, нерегулярность взаимных материальных обменов, высокий уровень инфляции, низкий уровень инвестиций.

Финансовая деятельность частных банков, фондов и компаний в основном ограничивается спекулятивными и посредническими операциями. Запятые перераспределением собственности, финансовые институты практически на участвуют в регулировании собственно экономических процессов.

Внешняя торговля сводится к экспорту топлива и сырья и К импорту предметов конечного потребления.

Фактически бездействуют фондообразующие производства.

Сложившаяся обстановка во многом обязана несовершенной системе ценообразования, на которую помимо рыночных отношений сильное влияние оказывают государственные, административные и теневые органы.

Принимаемая в диссертации методика исследования основывается на принципах (читабельности участников произнодсгвешюго взаимодействия и на принципах полезности для субъектов предметом натурального обмена.

При описании рыночного взаимодействия незамкнутой производственной системы учитываются три вида 'элементарных взаимодействий:

- внешнего владельца производственного фактора и производственного потребителя;

- производителя и конечного потребителя;

- производителя и производственного потребителя.

D замкнутой uponзподственной системе на рынке и шимолсПпиуют только производители и производственные потреби гели.

D главе обосновывается замена признанного инструмента теоретического исследования условий равновесия — линейных моделей развивающейся экономики неймановского типа нелинейными моделями с меньшим числом неременных и параметров.

Линейные связи заменяются менее громоздкими нелинейными за счёт предположения об оптимальных технологических процессах, причём оптимальность рассматривается симметрично й с позиций дохода от продаж продуктов, и с позиций затрат на закупку производственных факторов.

Конструируются нелинейные производственные модели в форме скалярных функций дохода У(х) и издержек R(z)} функций убытков = (р, j:) - У (г)-и прибылей тг(р,г) = (p,z) - R(z), где х и р — соответственно векторы производственных ресурсов и их цен, г и р — вектор выпусков и их цен.

Вводятся Множество D — {(/>;J") : (р,я) — < 0} возможного рыночного спроса на производственные факторы и множество S = {(/'! г) : {Р< ') — R{z) > 0} возможного рыночного предложения произведённых продуктов, а также множество Д. = \{р\х) : [р,х) < рентабельного производственного потребления и множество Sr = {(р; г) : (¡к г) > (1 + r')I?(z)} рентабельного производства, где г* — коэффициент желаемой рентабельности.

Для построения названных множеств используются условия прибыльности и рентабельности производства. Свойства используемых для этого нелинейных функций дохода и функций издержек, а также формул прибыли и убытков, с одной стороны, выводятся стандартными Meiодами Из линейных оптимизационных моделей неймановского типа, а с другой путём содержательных гипотез." Функции максимальной прибыли и .минимальных убытков вводятся как функции. сопряжённые с функциями дохода и издержек соответственно.

Исследуются свойства ориентированной выпуклости множеств возможного предложения И .возможного спроса.

Теорема 1.1 Пусть пары (р1; г1) и (р2; г2) лежат во множестве так, что разности р1 — р2 и г1 — г2 имеют противоположные знаки, тогда для любого а : 0<а<1 точка (ар' + (1 — «)р2; аг1 + (1 — а)г2) лежит в 5++.

Теорема 1.2 Пусть пары (я1;г1) и (р2;?2) лежат во множестве так, что раз/Гости р1 — р2 и г1 — х2— одного знака, тогда для любого а : 0 < а < 1 точка (ар1 + (1 — а)р2\ ах1 + (1 — а)хг) лежит в

Фигурирующие в теоремах 1.1 и 1.2 множества 5++ и определяются аналогично множествам 5 и И формулами, в которых функции У(х) и Л(г) заменены их вогнутой мажорантой и выпуклой ми-норанто^ соответственно.

Множества Зг и Д. обладают похожими свойствами ориентированной выпуклости.

Вторая глава диссертационной работы посвящена экоцомико-ма-тематическому моделированию рентабельного производства и рыночного поведения производственных предприятий, постановке и решению оптимизационных задач поиска рентабельных подсистем и устойчивых внутренних цен.

Исследуются множества равновесных рыночных состояний при бинарном взаимодействии производственных предприятий и расположение множеств равновесия по отношению к функциям максимальной прибыли и функциям минимальных убыткоц.

Предположим, что на рынке встречаются предприятие, производящее продукты г и желающее их продать, и предприятие, желающее приобрести эти продукты для производственных целей. Это значит, что производитель-продавец и потребитель-покупатель моделируют-

ся в одном и том же пространстве объёмов г и цен р продукта своими множествами безубыточного существования. Кроме того, одно из предприятий или оба могут решать задачу извлечения из производства максимальной прибыли, и тогда к модели добавится функция (поверхность) £)' оптимального предложения или функция (поверхность) 5* оптимального спроса, или обе. •

Вектор-функция оптимального предложения (спроса) определяется как вектор объёмов продуктов г+ (г~), при которых достигается максимум прибыли от продажи (минимум убытков от приобретения) продуктов при фиксированных ценах р.

Очевидно, что если множества 5 и О не пересекаются, то рыночное взаимодействие предприятия-производителя и предприятия-потребителя невозможно. Необходимым условием взаимодействия является непустота пересечения именно множеств О и 5, а не кривых £>' к5'.

Теорема 2.1 Пусти Я(г) и У(г) — соответственно выпуклая и вогнутая функции, тогда для любой {г,р} множества Р в в' и V найдутся соответственно {г+,р+} и {г~,р~} такие, что р+ == р~ = р, 1шп{г+,г~} < г < тах{*+,з~}. 4

Следствие. Если кривые оптимального поведения 5* и О* пересекаются, то точка их пересечения лежит во множестве Р.

Далее вводятся и с помощью теории возмущений исследуются специфические понятия автономных и неавтономных производственны* систем, условия равновесия и оптимума и них на языке цен внутрен* нею и внешнего рынка.

Рассматривается динамическая модель производственной системы неймановского гица: х(* - 1) =. ~ г(<), х(0) < х°,

гт < .*(Г), - 1) > 0, £(«) > 0, z(t) > 0, t = 1, 2, ...,2\ где

( — моменты рремсни, Т — горизонт планирования, - интенсивности технологических, процессов, 4 и В — соответственно матрицы затрат и выпусков, и гт — заданные векторы. Для этой модели исследуется задача максимизации по интенсивногтям суммарной дисконтированной прибыли.

Теорема 2.2 Для того, чтобы интснсишюсти были оптимальным решением задачи максимизации суммарной дисконтированной прибыли необходимо и достаточно существование пен внешнего рынка А'(<), удовлетворяющим условиям

\'и-1)А- А*(«)В- с(0 > 0,г = 1, 2, ..., Г;

£ и*),ПО) = £ МО,*'(*)) - (А'(0),г°) + (а'(Г), ст).

(=1 1=1

где с(е) = рЦ)В - 7(«)р(е - 1)Л.

Следствие. Для того, чтобы производственная система была автономно й (независимой от внешнего рынка) необходимо и достаточно; чтобы внутренние цены р(() и внешние цены А(<) удовлетворяли соотношениям

А(0)>0, А(Г)>0;. (А((-1)+ 1)) А - [Л(*)+/>(/)]&> 0.

< = 1, 2, ..., Т;

(=1

Далее изучаются плановая траектория и траектория движения производственной системы, когда вместо критерия суммарной прибыли используется критерий «сиюминутной прибыли».

Теорема 2.3 На допустимой плановой траектории х!^ - 1). 1 = 1, 2, ..., Т и допустимой траектории лиижеш/я :(?)■ ^ = 1.2.....Т

*

н iiiironoMiioti upon luo/icTiicmioll системе существуют внутренние пены p{t), t — 1,2, ...,T - 1, удовлетворяющие условиям ¡,(1 - l),'l - ¡>(t)D > 0; V (P(t + l),x(t)) = R(P(t - 1), z(t)).

Вводится понятие согласованной (рапной) рентабельности в Производственной подсистеме, дается вывод формулы согласованной рентабельное! и и «много1ранника» рентабельных внутренних пен.

Рентабельности ^ предприятий в автономной системе, вообще говоря, могут быть ратными, однако в условиях «равноправных* соглашений кажется естественным предположение об их равенстве: г,- = г, / = 1, 2, ..., р.

При ном условии получается формула согласованной рентабельности

г <

1

£ ^"li-^l'l 1 Ajl • • • т Xiп )

--1 .

«.(-И = 1,.....Ч.)

Предлагаются постановки и методы решения задач о максимальной согласованной рен табельности и о максимально устойчивых внутренних ценах.

Задача поиска рентабельной подсистемы формулируется, Как частично целочисленная оптимизационная задача

£ ¿,F<(fir J'.,.....J",j

J = ~—-----► max

'(=(0,1),

£ < E ^. j = 1,2,..., n. ¡=i i=t

Теорема 2.4 Пусть F(r) — непрерывная неубывающая неотрицательная /1 функция, вогнутая па множестве Q = {.г : j- > д) при некоюром q > 0, а /?(г) — непрерывная положи те.тьная и /?<''+">+ функция, сильно выпуклая на множестве

G = {z : Z> g} при некотором q > 0, тогда для любого нетривиального вектора S функция J (х, г) = ^jfj a х Л(,,+")+ обладает следующими свойствами:

1°. Для любых ж0, 2°, г1, г1.- х° > 0, г° > 0, а1' > 0, г1 > 0 выполняется предельное соотношение

Hjn J (г° + ах1, г° + аг1) = 0.

2°. На множестве К = {х, г : 'х > 0, г > 0, г < Dz}, где D — диагональная матрица с элементами du > 0, i = 1, 2, ..., р + п функция J (х, z) достигает максимального значения.

3°. J (х, i) — псевдовыпуклая на множестве H = {х, : : х > q, z > g} функция.

Для решения задачи поиска рентабельной подсистемы предлагается диалоговая процедура покоординатной максимизации раздельно по целочисленным и непрерывным переменным. Задача максимизации рентабельности по непрерывным переменным, которая ставится, как задача тах/(з/)|р(у) > 0, гд'е f(y) и ç{y) соответственно непрерывная и кусочно-линейная в Я'п функции, а ограничение ¡р(у) > О удовлетворяет условию Слейтера.

Теорема 2.5 Для того, чтобы точка у* была решением задачи (2.55) необходима и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

0 = maxmin{/(2/) - f(y'); v(y)},

Для решения этой задачи предлагается итерационный численный метод центров, представляющий собой простую итерационную процеДУРУ

yr+1 = arg шах min {/(у) - f(yr)\ , г = 0, 1, 2, ....

Теорема 2.0 В простом итерационном процессе чис-лопая послсдо-чптелыюпи /0/) монотонно сходится к значению задачн из любой ипчн. ii,nuil ¡очки ya: ^p(íP) > 0, причём псе [юслсдопательныс приближения i/+\ г = ü, 1, 2, ... лежит н допустимоII области задачи. Если />ешешю задачи сдинстиенное, то последовательность t/+1, г = 0, 1,2,... схолится к решению задач)/ у'.

Попутно задаче поиска рентабельной подсистемы выводится многогранник (множество) рентабельных цен

Е S «' = 1. 2, Pj>0,

j=i J'=I

где числа fí¡, F* и векторы г,^, ¿'j полагаются заданными и вычисляются из 1>енкч|ия задачи максимизации рентабельности.

Формально любые цены, удовлетворяющие это!) системе неравенств, обеспечивают рентабельное производство в найденной подсистеме. С содержательной точки зрения, малые вариации цен не должны разрушать условия рентабельности. Поэтому представляют интерес внутренние точки многогранного множества, причём при поиске внутренних точек желательно забраться повпутрь множества поглубже. Требуемый результат лежит на пути решения следующей задачи линейного программирования — задачи макснмнзании устой-чиности внутренних цен:

¿"ад £ Z'>P> ¿ + í < F'. ¿ = 1, 2. ..., ;v J /

Эта задача разрешима: имеет непустую допустимую область переменных и ограниченное сверху значение целевой функции. Она решаемся стандартными пакетными средствами.

Оптимальное значение параметра £ может быть отрицательным, нулевым или положительным.

В первом случае, то есгь, когда С* < «многогранник» внутренних цен пуст. Этот случай невозможен при успешном решении задачи максимизации согласованной рентабельности и использовании порождаемых ею (и не испорченных экспертами) коэффициентов задачи.

Второй случай (£* = 0) означает существование неустойчивых внутренних равновесных цен.

В третьем случае, когда £* > 0, оптимальное решение р], г = 1, 2, ..пг — это устойчивыевнутренние равновесные цены, обеспечивающие равнорентабелыюе производство в найденной подсистеме.

В условиях высокой инфляции значительная часть рыночного взаимодействия принимает форму обмена.

В третьей главе речь идёт об экономических субъектах, представленных абстрактными моделями в форме функций полезности 1/А(гА), ив(гв) и об экономической среде, моделируемой ограничениями на объёмы предметов обмена + zl> = г; гА > 0; > 0.

Для определённости используются кусочно-квадратичные функции полезности, различающиеся для разных участников обмена разными значениями параметров. Каждый из субъектов А и В стремится максимизировать свою полезность, изменяя объёмы гл (или гн) своих предметов за счёт обмена ими с другим субъектом.

Исследуется природа и динамика меновых цен (равновесных и неравновесных), условия равновесия в форме уравнений Эйлера и соотношений дополняющей нежесткостн, рассматриваются способы управления равновесием.

Теорема 3.1 Для того, чтобы о модели обмена точка допустимою множества была точкоП равновесия, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие Ал > 0, Лл > 0, такие //; > 0, г = 1. 2,----п и такие

i'i > 0, i = 1, 2, ..., n, которые удовлетворяли бы равенствам;

XAVUA(zA) + \"VUUA(zA) = t № + £ » 0 ;

i— i i=i

ф?- ?,) =PiZA =0, ¿«1,2.....n.

Здесь V"A(zA) обозначает функцию полезности субъекта В, выраженную 'icpei объёмы гА субъекта А; V — символ гралне/па; i — номера, и --- количество предметов обмена; е— орты.

Для акт on бинарных и сложных обменов и произвольного Лектора гдо начальных объёмов предметов обмена определяется линча обмена: Ц:м) = {: Л : uA(zA) > 0} П {г4 : HiM(*'4) > О}, где uA(zA) = V\zA) - UA(zA0)\ u"A(zA) = i'"A(zA) - UBA(zA0). Линча L{zM) выпукла и ограничена. Если точка гжг неравновесная, то в линзе найдётся точка, и которой обе функции: uA(zA) и «"''(г'1) строго положительны, и переход в такую точку выгоден обоим субъектам. Расположенное н линче множество равновесных точек является множеством притяжения в процессах обмена.

В зависимости от условий обмена определяются меновые неравновесные, равновесные, маргинальные, индивидуальные и компромиссные ноны обмена, устанавливаются их нижние н верхние границы и связь с множителями Лагряджа.

Исследуются свойства безусловного и условного равновесия.

Обсуждается проблема применения теории полезности для описания рыночного nnne/кчшя производственных участников обмена.

Заключении содержит основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены модели рыночного спроса и рыночного пред- тоження производственных предприятий в форме множеств возможного спроса и множеств возможного предложения. Исследованы свойства ориентированной выпуклост и этих множеств. Исследованы свойства функций 'оптимального спроса н оптимального предложения.

2. Построено множество равновесных состояний рыночного взаимодействия производственных предприятий, получено условие его непустоты и его свойство поглощать непус1ые множества оптимальных состояний равновесия.

3. Выведена формула согласованной рентабельное!и и попав.iciia задача поиска рентабельной подсистемы.

•4. Построены «многогранник» рентабельных впу Iреппнх пен н задача поиска максимально устойчивых внутренних ней в автономных производственных системах.

5. Разработан численный метод решения задачи максимизации согласованной рентабельности.

6. Разработаны диалоговая процедура поиска решабельпых иод-систем и программное обеспечение для решения формальных задач, включённых в процедуру.

7. Разработана модель обмена взанмополезпымп предметами, введены понятия равновесных и неравновесных йен обмена в условиях ограниченных суммарных объёмов предмоюн обмена.

8. Получены условия равновесных состояний, формулы и границы обменных цен.

Публикации но томе диссертации

1. Меркулов К.В., Кравченко С.А. Об одном методе центров для задачи выпуклого программирования. Между мед. сб. «Моделирование процессов обработки информации». — М., 1981, с.38-48.

2. Бирюков С.П., Кравченко С. А. Равновесие и оитимумы в системе взаимодействующих производств. Препринт МФТИ, №1, — М.,

• 1990, - 32 с.

3. Кравченко С.А. Натуральный обмен и условия рыночного равновесия. Препринт МФТИ №2. - М., 1996, — 23с.

Л(РПг) г я/а/ж*., ¿а*. л/У-т,